บนไดเซยนคณตศาสตร คดลดขนเทพ 472 ฟงกชนตรโกณมต http://www.focus-physics.com/
2.8 ตวผกผนของฟงกชนตรโกณมต กลมท 1 ส าหรบ a rc s in a rc tan arccos ec เทคนคการท า อานคามมออกมาตรงๆ ถามมมนตดลบกแคใสลบใหมนจบ
ตวอยางท 1 จงหาคาของ 1a rc s in
2
เทคนค s in อะไรได 1
2 ออ 1
s in 3 02
เวลาตอบนยมตอบเปนมมเรเดยน 1a rc s in
2 6
ตวอยางท 2 จงหาคาของ 1a rc s in
2
เทคนค s in อะไรได 1
2 ออ 1
s in 3 02
เวลาตอบนยมตอบเปนมมเรเดยนแคใสลบ 1a rc s in
2 6
จงหาคาของ
1. a rc s in 0 0 6. 1a rc s in
2 6
2. 1a rc s in
2 6
7. 2
a rc s in2 4
3. 2a rc s in
2 4
8. 3a rc s in
2 3
4. 3a rc s in
2 3
9. a rc s in 1
2
5. a rc s in 12
ตวอยางท 1 จงหาคาของ a rc ta n 1 เทคนค tan อะไรได 1 ออ ta n 4 5 1
เวลาตอบนยมตอบเปนมมเรเดยน a rc ta n 14
ตวอยางท 2 จงหาคาของ a rc ta n 1 เทคนค tan อะไรได 1 ออ ta n 4 5 1
เวลาตอบนยมตอบเปนมมเรเดยนแคใสลบ a rc ta n 14
บนไดเซยนคณตศาสตร คดลดขนเทพ 473 ฟงกชนตรโกณมต http://www.focus-physics.com/
จงหาคาของ
1. a rc ta n 0 0 5. a rc ta n 14
2. a rc ta n 14
6. 1
arc tan63
3. 1a rc tan
63
7. a rc tan 33
4. a rc ta n 33
ตวอยางท 1 จงหาคาของ a rc c o s e c 2
เทคนค มองมมเปน s in อะไรได 1
2 ออ 1
s in 3 02
เวลาตอบนยมตอบเปนมมเรเดยน a rcco s ec 26
ตวอยางท 2 จงหาคาของ a rc c o s e c 2
เทคนค มองเปน s in อะไรได 1
2 ออ 1
s in 3 02
เวลาตอบนยมตอบเปนมมเรเดยนแคใสลบ a rc c o s e c 26
จงหาคาของ
1. a rc c o s e c 12
5. 2
a rcco s ec42
2. a rc c o s e c 26
6. 2
a rcco s ec33
3. 2a rcco s ec
42
7. a rc c o s e c 12
4. 2a rcco s ec
33
กลมท 2 ส าหรบ arccos arc sec a rc c o t เทคนคการท า อานคามมออกมาตรงๆ ถามมมนตดลบกแคเอา ลบออกใหมนจบ
ตวอยางท 1 จงหาคาของ 1a rc c o s
2
เทคนค cos อะไรได 1
2 ออ 1
co s 6 02
เวลาตอบนยมตอบเปนมมเรเดยน 1a rc c o s
2 3
บนไดเซยนคณตศาสตร คดลดขนเทพ 474 ฟงกชนตรโกณมต http://www.focus-physics.com/
ตวอยางท 2 จงหาคาของ 1a rc c o s
2
เทคนค cos อะไรได 1
2 ออ 1
co s 6 02
เวลาตอบนยมตอบเปนมมเรเดยน 1 2a rc c o s
2 3 3
จงหาคาของ
1. a rc c o s 02
6. 1 2
a rc c o s2 3 3
2. 1a rc c o s
2 3
7. 2 3
a rc c o s2 4 4
3. 2a rc c o s
2 4
8. 3 5a rc c o s
2 6 6
4. 3a rc c o s
2 6
9. a rc c o s 1
5. a rc c o s 1 0 ตวอยางท 1 จงหาคาของ a rc c o t 1 เทคนค tan อะไรได 1 ออ ta n 4 5 1
เวลาตอบนยมตอบเปนมมเรเดยน a rc c o t 14
ตวอยางท 2 จงหาคาของ a rc c o t 1 เทคนค tan อะไรได 1 ออ ta n 4 5 1
เวลาตอบนยมตอบเปนมมเรเดยน 3
a rc c o t 14 4
เชน
1. a rc c o t 14
2. 3
a rc c o t 14 4
3. 1arc co t
63
4. 1a rc co t
33
5. a rc c o t 33
6. a rc c o t 36
บนไดเซยนคณตศาสตร คดลดขนเทพ 475 ฟงกชนตรโกณมต http://www.focus-physics.com/
ตวอยางท 1 จงหาคาของ a rc s e c 2
เทคนค มองเปนกอน cos อะไรได 1
2 ออ 1
co s 6 02
เวลาตอบนยมตอบเปนมมเรเดยน a rc s e c 23
ตวอยางท 2 จงหาคาของ a rc c o s e c 2
เทคนค มองเปนกอน cos อะไรได 1
2 ออ 1
co s 6 02
เวลาตอบนยมตอบเปนมมเรเดยน 2a rc s e c 2
3 3
จงหาคาของ
1. 2a rc s ec
63
4. 2 3arcs ec
4 42
2. a rc s e c 23
5. 2 5
arcs ec6 63
3. 2arcs ec
42
.
กลมท 3 ส าหรบ กลมนมองแลวตอบไดเลยแตมขอระวงคอ ตองดชวงของ arc ดวย
a rc s in ,2 2
a rc ta n ,2 2
a rc c o s 0 ,
1 s in (a rc s in x ) x 7 a rc s in s in x x 2 co s (a rcco s x ) x
8 a rc c o s c o s x x
3 tan (a rc tan x ) x
9 a rc ta n ta n x x
4 co t(a rc co t x ) x
10 a rc c o t c o t x x
5 sec (a rc sec x ) x
11 a rc s e c s e c x x
6 co s ec (a rc co s ecx ) x
12 a rc c o s e c c o s e c x x
จงหาคาของ
1. a rc s in s in3 3
2. 3a rc s in s in
4 4
ระวง
บนไดเซยนคณตศาสตร คดลดขนเทพ 476 ฟงกชนตรโกณมต http://www.focus-physics.com/
3. a rcs in s in6 6
4. 1 1s in a rc s in
2 2
5. 2 2s in a rc s in
2 2
6. 3 3s in a rc s in
2 2
7. 1 1s in a rcs in
2 2
8. a rc c o s c o s2 2
9. 2 2a rc c o s c o s
3 3
10. 3 3a rc c o s c o s
4 4
11. 5arcco s co s
6 6 6
ระวง
12. a rc ta n ta n2 2
13. 3a rc ta n ta n
4 4
ระวง
14. 2a rc ta n ta n
3 3
ระวง
15. 5arc tan tan
6 6
ระวง
16. 2a rc s in s in
3 3
ระวง
17. 3 3tan a rc tan
3 3
กลมท 4 วาดรปแลวหาคาไดเลย หลกการท า 1.ทกตวถาเปนบวกวาดรปจตภาคท 1 ทงหมด 2. ส าหรบ a rc s in a rc tan arccos ec เปนลบวาดรป จตภาคท 4 3.ส าหรบ arccos arc sec a rc c o t เปนลบวาดรป จตภาคท 2
บนไดเซยนคณตศาสตร คดลดขนเทพ 477 ฟงกชนตรโกณมต http://www.focus-physics.com/
ตวอยางท 1
5
3arccossin
ให 3A a rc c o s
5
3c o s A
5 น าไปวาดรปจะได 4
s in A5
A
3
x
y
5
4
ตวอยางท 2 [โควตา มข. / 2553] 5
co s a rc s in1 3
มคาเทากบขอใด
1 21 .
1 3 1 2
2 .1 3
53 .
1 3 5
4 .1 3
ให 5A a rc s in
1 3
5s in A
1 3
A12
513
x
y
1 2
c o s A1 3
จงหาคาของ
1.
2
1arccossin
2. 2seccos arc
3.
12
13seccos arc
4.
3
4arctancos
บนไดเซยนคณตศาสตร คดลดขนเทพ 478 ฟงกชนตรโกณมต http://www.focus-physics.com/
5.
2
2arcsincos
6.
4
5tanarccos
7.
13
12arcsincos
8. 2arccossec ec
9.
4
3arctansec
10.
2
3arccostan
11. 3ta n a rc se c
4
12. 1c o t a rc ta n
3
13 2arctansin
14. 3s in a rc c o s
5
15. 1 2co s a rcs in
1 3
16. 1tan a rc s in
4
17. 2co s ec a rcco s
3
18. s in a rc ta n 2
กลมท 5 มมสองเทา สามเทาและครง ตวอยางท 1. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / คณตศาสตร 1 2539]
คาของ 1ta n 2 a rc s in
5
เทากบขอใดตอไปน
1. -1 2. 1 3. 4
3 4. 4
3
แนวคด
1ta n 2 a rc s in
5
บนไดเซยนคณตศาสตร คดลดขนเทพ 479 ฟงกชนตรโกณมต http://www.focus-physics.com/
ให 1A arcs in
5
1s in A
5
( a rc s in ตดลบคอมมใน 4
Q คา tan จงตดลบ)
A2
15
x
y
จะได 1
ta n A2
โจทยถาม 22
12
2 ta n A 42ta n 2 A
1 ta n A 311
2
ตอบ
ตวอยางท 2. [ขอสอบเขามหาวทยาลย /คณตศาสตร 1 ต.ค. 2541]
1sec 2 a rc s in
3
มคาเทากบเทาใด
แนวคด
หาคา 1co s 2 arcs in
3
กอน
โดยให 1arcs in A
3
1s in A
3
จะได
2
2 1 1c o s 2 A 1 2 s in A 1 2
33
ตอบ
1 1se c 2 a rc s in 3
c o s 2 A3
ตวอยางท 3 . [ขอสอบเขามหาวทยาลย / คณตศาสตร 1 ม.ค. 2547]
คา 21 1s in 2 a rc tan co t a rc s in
2 3
เทากบเทาใด
แนวคด ให 1A a rc ta n
2 1
ta n A2
และ 1B a rc s in
3 1
ta n B3
A
15
B
8
1
2
3
จะได
2 2s in 2 A c o t B 2 s in A c o s A c o t B
บนไดเซยนคณตศาสตร คดลดขนเทพ 480 ฟงกชนตรโกณมต http://www.focus-physics.com/
21 2 42 8 8 8 .8
55 5
ตอบ
ตวอยางท 4 . [ขอสอบเขามหาวทยาลย /คณตศาสตร 1 2534]
คาของ 3
a rc ta n34
s in c o s 2 a rc s in2 5
เทากบขอใดตอไปน
1. 1 6
1 0 2 5 2. 1 6
3 2 5 3. 1 7
1 0 2 5 4. 1 7
3 2 5
วธท า
3
a rc ta n34
s in c o s 2 a rc s in2 5
ให 3A a rc ta n
4 3
ta n A4
3B a rc s in
5 3
s in B5
ดงรป
A
4
3
5
B
4
35
แสดงวาโจทยถาม (มม A และ มม B อยในควอดรนตท 1 คามม เปนบวกทงสอง)
2A 1 c o s A
s in c o s 2 B 2 c o s B 12 2
2
41
4 1 752 1
2 5 1 0 2 5
ตอบ
ตวอยางท 5. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2549] 1 1
co s 2 a rc tan s in a rc tan1 3 1 3
มคาเทากบขอใดตอไปน
1. 1 21
1 7 01 7 0
2. 1 21
1 7 01 7 0
3. 1 21
1 7 01 7 0
4. 1 21
1 7 01 7 0
วธท า
บนไดเซยนคณตศาสตร คดลดขนเทพ 481 ฟงกชนตรโกณมต http://www.focus-physics.com/
1 1co s 2 a rc tan s in a rc tan
1 3 1 3
ให 1A a rc ta n
1 3
1ta n A
1 3 ( เนองจาก 1
a rc ta n1 3
เปนมม ในควอดรนตท 4)
x
y
A
1170
13
จะไดวา 1
s in A
1 7 0
โจทยถามคาของ 2 2 1co s 2 A sin A 1 2 s in A sin A 1
1 7 0 1 7 0
ตอบ ขอ 1.
จงหาคาของ
1.
4
5sin2arctan
2.
13
12arccos2tan
3. 3arctan2sin
4. 2s in 2 a rc s in
3
5. 1 4s in a rcs in
2 5
6. 1 4s in a rcco s
2 5
7. xs in ( 2 a rc c o s )
2 2
8.
2
2arccos2cos
9.
2
1arccos2cos
10. )5
3arcsin2(cos
บนไดเซยนคณตศาสตร คดลดขนเทพ 482 ฟงกชนตรโกณมต http://www.focus-physics.com/
11. 4co s 2 a rcco s
5
12. 3co s 2 a rcco s
5
13. 1arcsin2cos
14.
2
3arccos2cos
15.
3
2arcsin2sin
16.
5
4arccos
2
1sin
17.
5
3arcsin2cos
18. 1 3s in ( a rc c o t( ))
2 4
19. )]21arctan(2cos[
20 3c o s ( 2 a rc ta n x )
2
21. )]5
3arcsin(2cos[
22. 5ta n 2 a rc ta n
1 2
23. xarctan2tan
24. )3
1arctan2tan(
25. 2arctan2tan
26. 2s in 2 a rcs in
3
27. 3co s 2 a rc s in
5
28. 1tan 2 a rcco s
3
29. 2sec 2 a rc s in
7
30. s in 3 a rc ta n 2
31. 3c o s 3 a rc s in
5
32. 1 3s in a rcco s
2 5
บนไดเซยนคณตศาสตร คดลดขนเทพ 483 ฟงกชนตรโกณมต http://www.focus-physics.com/
33. 1s in a rc ta n 3
2
34. 1 1 2co s a rcco s
2 1 3
35 1 3co s a rcs in
2 5
36 1ta n a rc ta n 3
2
กลมท 6 อาจใชตวชวย
1.
22 a rc s in x a rc s in 2 x 1 x
2.
22 a rcco s x 2 x 1
3.
2
2 x2 a rc ta n x a rc ta n
1 x
ลองท าด
1.
12 arcs in
3
2.
12 a rc c o s
3
3. 12 a rc ta n
3
4. 12 a rc ta n
5
กลมท 7 มมทนกเรยนตองจ า
37 26.5 18.5
8 74 18
53 71.5
1682
63.5
3
4
5
1
10
3
7
2425
1
2
5
7
1
5072
5 1
10 2 5
4
บนไดเซยนคณตศาสตร คดลดขนเทพ 484 ฟงกชนตรโกณมต http://www.focus-physics.com/
54 15
75
3 1
3 1
2 236
10 2 5
5 1
4
ตวอยาง จงหาคาของ
1. 3a rc s in 3 7
5
2. 4a rc s in 5 3
5
3. 4a rc c o s 3 7
5
4. 3a rc c o s 5 3
5
5. 3a rc ta n 3 7
4
6. 4a rc ta n 5 3
3
7. 1a rc ta n 1 8 .5
3
8. 1arcs in ( ) 2 6 .5
5
9. 2a rcco s 2 6 .5
5
10. 1a rc ta n 8
7
11. a rc tan 2 6 3 .5 12. a rc tan 3 7 1 .5
13. 1a rcs in 1 8 .5
1 0
14. 3 1a rc s in 1 5
2 2
15. 3 1arcs in 7 5
2 2
16. 3 1arcco s 7 5
2 2
17. 3 1arcco s 1 5
2 2
บนไดเซยนคณตศาสตร คดลดขนเทพ 485 ฟงกชนตรโกณมต http://www.focus-physics.com/
18. 3 1arc tan 1 5
3 1
19. 3 1arc tan 7 5
3 1
กลมท 8 ทกขอรวมกนได 2
เสมอ
a rc s in x a rc c o s x2
a rc ta n x a rc c o t x2
a rc se c x a rc c o s e c x2
a rc s in x a rc c o s x2
ตวอยาง จงหาคาของ
1. 1 1a rc s in a rc co s
3 3 2
2. 3 3a rc s in a rc c o s
5 5 2
3. 4 4a rc s in a rc co s
5 5 2
4. 1 1a rc s in a rc co s
2 2 2
5. 3 3a rc s in a rcco s
2 2 2
6.
5 5s in a rc s in a rcc o s s in 1
1 3 1 3 2
7.
7 7s in a rc s in a rcc o s s in 1
2 5 2 5 2
8.
2 4 2 4s in a rc s in a rcco s s in 1
2 5 2 5 2
9.
5 5c o s a rc s in a rc c o s c o s 0
1 3 1 3 2
บนไดเซยนคณตศาสตร คดลดขนเทพ 486 ฟงกชนตรโกณมต http://www.focus-physics.com/
a rc ta n x a rc c o t x2
ตวอยาง จงหาคาของ
1. 1 1a rc tan a rc co t
3 3 2
2. 3 3a rc ta n a rc c o t
4 4 2
3. 4 4a rc ta n a rc c o t
3 3 2
4. 1 1arc tan a rc co t
23 3
5. 1 1a rc ta n a rc c o t
2 2 2
6.
7 7s in a rc ta n a rc c o t s in 1
2 4 2 4 2
7.
1 1s in a rc ta n a rc c o t s in 1
7 7 2
9.
c o s a rc ta n 3 a rc c o t 3 c o s 02
10. 3 1 3 1c o s a rc ta n a rc c o t c o s 0
23 1 3 1
a rc se c x a rc c o s e c x2
1. 5 5a rc se c a rc c o s e c
4 4 2
2. 1 0 1 0a rc se c a rc c o s e c
3 3 2
3. 5 0 5 0a rc se c a rc c o s e c
7 7 2
4. a rc se c 2 a rc c o s e c 22
5. 2 5 2 5a rc s e c a rc c o s e c
7 7
6.
7 7s in a rc se c a rc c o s e c s in 1
2 5 2 5 2
7.
1 0 1 0s in a rc se c a rc c o s e c s in 1
3 3 2
บนไดเซยนคณตศาสตร คดลดขนเทพ 487 ฟงกชนตรโกณมต http://www.focus-physics.com/
8.
2 2s in a rc sec a rc co s ec s in 1
23 3
9.
5 5c o s a rc se c a rc c o s e c c o s 0
2 2 2
กลมท 9
1. x yarc tan x a rc tan y a rc tan x y 1
1 x y
2. x yarc tan x arc tan y arc tan , x y 1
1 x y
3. x yarc tan x a rc tan y a rc tan , x y 1
1 x y
ตวอยางท 1 [คดโอลมปก / 2538]
ให 1 1a 2 a rc tan a rc tan
3 7 จงหาคาของ 1 8 0
a
1 1a 2 a rc ta n a rc ta n
3 7
1 1 1a a rc ta n a rc ta n a rc ta n
3 3 7
1 1
13 3a a rc ta n a rc ta n
1 1 71
3 3
เพราะ 1 1 11
3 7 2 1 ใชสตรท 1
3 1a rc ta n a rc ta n
4 7
3 1
4 7a rc ta n a rc ta n 1
1 1 41
4 7
โจทยถาม 1 8 0a
1 8 0
4 54
ตวอยางท 2 [คดโอลมปก / 2538] 1 1
tan 2 tan 3
มคาตรงกบขอใดตอไปน
1. 4
2. 3
4
3.
4
4. 3
4
คาของ
2 3a rc ta n 2 a rc ta n 3 a rc ta n
1 2 3
เพราะ 2 3 6 1 ใชสตรท 2
a rc ta n 1
4
(เพราะ a rc tan ตดลบถกนยามไวทคามมตดลบในควอดรนตท 4)
3
4
บนไดเซยนคณตศาสตร คดลดขนเทพ 488 ฟงกชนตรโกณมต http://www.focus-physics.com/
ตวอยางท 3 .คาของ 2arctan1arctan เทากบเทาใด
1 2a rc ta n 1 a rc ta n 2 a rc ta n
1 1 2
เพราะ 1 2 2 1 ใชสตรท 3
3a rc ta n
1
a rc ta n 3
ตวอยางท 3. คาของ
1 1 7ta n a rc c o t a rc c o t a rc ta n
5 3 9
5 1 2s in a rc s in a rc s in
1 3 1 3
เทากบเทาใด
1 1 7ta n a rc c o t a rc c o t a rc ta n
5 3 9
5 1 2s in a rc s in a rc s in
1 3 1 3
7ta n a rc ta n 5 a rc ta n 3 a rc ta n
9
5 5s in a rc s in a rc c o s
1 3 1 3
5 3 7ta n a rc ta n a rc ta n
1 5 .3 9
s in2
1 7ta n a rc ta n a rc ta n
8 9
1
1 7
8 9ta n a rc ta n
1 71
8 9
6 5
7 2ta n a rc ta n ta n a rc ta n 1 1
6 5
7 2
บนไดเซยนคณตศาสตร คดลดขนเทพ 489 ฟงกชนตรโกณมต http://www.focus-physics.com/
ตวอยางท 4 .คาของ c o t a rc c o t 7 a rc c o t 1 3 a rc c o t 2 1 a rc c o t 3 1 เทากบขอใดตอไปน
1 11 .
4 1 3
2 .4
93 .
2 2 5
4 .2
วธท า. 1 1 1 1c o t a rc ta n a rc ta n a rc ta n a rc ta n
7 1 3 2 1 3 1
1 1 1 1
7 3 1 1 3 2 1c o t a rc ta n a rc ta n
1 1 1 11 1
7 3 1 1 3 2 1
3 8 3 4
2 1 7 2 7 3c o t a rc ta n a rc ta n
2 1 7 1 2 7 2
2 1 7 2 7 3
3 8 3 4co t a rc tan a rc tan
2 1 6 2 7 2
1 9 1co t a rc tan a rc tan
1 0 8 8
1 9 1
1 0 8 8c o t a rc ta n
1 9 11
1 0 8 8
2 6 0c o t a rc ta n
8 4 5
8 4 5co t a rc c o t
2 6 0
1 3 1 3co t a rc co t
4 4
บนไดเซยนคณตศาสตร คดลดขนเทพ 490 ฟงกชนตรโกณมต http://www.focus-physics.com/
ตวอยางท 5 .จงหาคาของ 1 1 1 1tan a rc tan a rc tan a rc tan a rc tan
2 3 4 5
วธท า
1 1 1 1
2 3 4 5ta n a rc ta n a rc ta n
1 1 1 11 . 1 .
2 3 4 5
9ta n a rc ta n 1 a rc ta n
1 9
9ta n 4 5 a rc ta n
1 9
tan 4 5 tan Atan 4 5 A
1 tan 4 5 . tan A
91
1 41 92 .8
9 51 1 .
1 9
ตวอยางท 6. [ทนเลาเรยนหลวง (ก.พ.) / 2543] จงหาคาของ
1 1 1 12 c o t c o t 3 c o t 7 c o t 1 3 c o t 2 1
ใชสตรผลบวกของ a rc tan นนคอ
1 1 1 11 1 1 12 c o t ta n ta n ta n ta n
3 7 1 3 2 1
1 11 / 3 1 / 7 1 / 1 3 1 / 2 12 co t tan tan
1 1 / 2 1 1 1 / 2 7 3
1 11 0 3 42 co t tan tan
2 0 2 7 2
1 11 12 co t tan tan
2 8
1 1 / 2 1 / 82 co t tan
1 1 / 1 6
1 1 0 1 52 co t tan 2 3
1 5 1 0
ตอบ
บนไดเซยนคณตศาสตร คดลดขนเทพ 491 ฟงกชนตรโกณมต http://www.focus-physics.com/
ตวอยางท 7 . [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2541]
คาของ 1 1 1 1a rc tan a rc tan a rc tan a rc tan
3 5 7 8 เทากบขอใดตอไปน
ก. 2
ข. 3
ค. 4
ง. 6
วธลด
18.5
71.5
1
10
3
8
82
7
1
50
จ า 1 1 1 1
a rc ta n a rc ta n a rc ta n a rc ta n3 7 5 8
1 8 .5 8 1 8 .5 4 54
ลองท าเอง จงหาคาของ
1. 3
1arctan
3
1arctan
2. 3
1arctan
2
1arctan
3. 7
1arctan
3
4arctan
4. 8
1arctan
5
1arctan
5. 7
1arctan
8
1arctan
5
1arctan
3
1arctan
6. 8
1arctan
5
1arctan
2
1arctan
7. 3arctan2arctan
บนไดเซยนคณตศาสตร คดลดขนเทพ 492 ฟงกชนตรโกณมต http://www.focus-physics.com/
กลมท 10 ตวอยางท1 [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2536]
คาของ 5 4s in a rc s in a rc c o s
1 3 5
เทากบเทาใด
ก. 4 8
6 5 ข. 5 2
6 5 ค. 5 6
6 5 ง. 6 3
6 5
จาก 5 4s in a rc s in a rc c o s
1 3 5
ให 5A a rc s in
1 3 5
s in A1 3
4B a rc c o s
5 4
c o s B5
s in A B s in A c o s B c o s A s in B
B
4
53
A
513
12
5 4 1 2 3 5 6
s in A B1 3 5 1 3 5 6 5
ตวอยางท 2 [ขอสอบเขามหาวทยาลย / คณตศาสตร 1 2549] s in (a rc tan 2 a rc tan 3) เทากบขอใดตอไปน
1. 1
2 2.
1
2
3. 1
2
4. 1
2
วาดรปสามเหลยมมมฉากไดดงรป
B
1
103
A
25
1 จะได s in a rc ta n 2 a rc ta n 3 s in A B
บนไดเซยนคณตศาสตร คดลดขนเทพ 493 ฟงกชนตรโกณมต http://www.focus-physics.com/
s in A c o s B c o s A s in B
2 1 1 3
5 1 0 5 1 0
= 5 1
5 0 2
คดลด
26.5 18.5
71.563.5
1
10
3
1
2
5
1
s in (6 3 .5 7 1 .5 ) s in 1 3 5
2
ตวอยางท 3 . [โควตา มช. / 2547]
จงหาคาของ 3 3s in a rc tan a rc co s
4 5
วธท า
ให 3A a rc ta n
4
3ta n A
4
และ 3B a rc c o s
5
3c o s B
5
A
4
3
3B
54
y
x x
y
5
จะไดวา โจทยถาม s in A B s in A c o s B c o s A s in B
3 3 4 4 9 1 60 .2 8
5 5 5 5 2 5
ตอบ
บนไดเซยนคณตศาสตร คดลดขนเทพ 494 ฟงกชนตรโกณมต http://www.focus-physics.com/
ลองท าด
จงหาคาของ
1.
13
12arccos
5
4arccoscos
2.
5 3sec a rcs in a rc tan
1 3 4
3.
5
4arcsin
5
3arccossin
4.
4
3arctan
13
5arcsincos
5.
2
3arcsin
2
1arcsinsin
6.
4
3arctan
13
5arcsinsec
7.
5
12arctan
5
3arccossin
8.
5
4arcsin
13
12arcsinsin
9.
5
4arcsin
13
5arcsinsin
10.
25
7arcsin
17
15arccoscos
11.
3
1arcsin
2
1arcsinsin
12.
13
5arccos
5
3arcsintan
13.
13
12arccos
5
4arcsin2tan
14.
13
12arccos
5
4arcsin2sin
15.
85
13arccos
17
15arcsin
5
3arcsin
16.
3
4arctan
13
5arccossin
17. 13
13arctan
3
1arctan
18.
7
1arccos
7
1arcsinsin
19.
2
1arccos
2
1arcsincos
บนไดเซยนคณตศาสตร คดลดขนเทพ 495 ฟงกชนตรโกณมต http://www.focus-physics.com/
20.
2arctan
5
4arccos2sin5
21.
5
3arcsin
5
3arccossin
22.
3
1arctan
3
4arcsintan
23.
10
3arccos
2
1arctancos
24. )5
12arctan
5
3sin(arccos
กลมท 11 ตวอยางท 1. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2543]
คาของ 1 5s in 2 a rc ta n a rc ta n
5 1 2
ตรงกบขอใดตอไปน
1. 0 2. 3
3. 5
4. 2
วธท า
1 5s in 2 a rc ta n a rc ta n
5 1 2
ให 1A a rc ta n
5
1ta n A
5
และ 5B a rc ta n
1 2
5ta n B
1 2
26
A
1
5
5
B
13
12
y
x x
y
s in 2 A B s in 2 A c o s B c o s 2 A s in B
22 s in A c o s A c o s B 1 2 s in A s in B
2
1 5 1 2 1 52 1 2
1 3 1 32 6 2 6 2 6
5 1 2 1 2 5
1 3 1 3 1 3 1 3
0
บนไดเซยนคณตศาสตร คดลดขนเทพ 496 ฟงกชนตรโกณมต http://www.focus-physics.com/
ตวอยางท 2 .จงหาคาของ 4 4s in 2 a rc c o s a rc ta n
5 3
1. 5
3 2.
5
4 3.
4
3 4.
3
4
วธท า
ให 4 4x a rcco s co s x
5 5
4 4y a rc ta n ta n y
3 3
4 4s in 2 a rcco s a rc tan s in ( 2 x y )
5 3
s in 2 x co s y co s 2 x s in y
22 sin x co s x co s y (2 co s x 1) sin y
2
3 4 3 4 4 42 2 1
5 5 5 5 5 5
จงหาคาของ
1. 1s in 2 a rc ta n 1 a rc c o s
3
2. 1c o s 3 a rc ta n 2 a rc ta n 1
2
3. 1 5 1c o s a rc ta n 5 a rc s in
3 4
4. 4s in 2 a rc tan 1 3 a rc tan
5
5.
2
1arctan2
5
3arcsin
2
1sin
6.
10
1arcsin2
5
4arcsinsin
y
x
5 3
4
บนไดเซยนคณตศาสตร คดลดขนเทพ 497 ฟงกชนตรโกณมต http://www.focus-physics.com/
สมการของฟงกชนอนเวอรสตรโกณมต
ตวอยางท 1 [ขอสอบเขามหาวทยาลย / คณตศาสตร 1 ต.ค. 2543]
ถา 1 1a rc ta n x a rc ta n 2 a rc ta n
4 2 แลว s in 1 8 0 a rc ta n x มคาเทากบขอใดตอไปน
1. 1 3
5 1 7
2. 1 6
5 1 7
3. 1 3
5 1 7
4. 1 6
5 1 7
วธท า 1 1a rc ta n x a rc ta n 2 a rc ta n
4 2 1 1
x tan a rc tan 2 a rc tan4 2
ให 1A a rc ta n
4 1
ta n A4
1B a rc ta n
2 1
ta n B2
(มม A และ มม B อยในควอดรนตท 1 คามม เปนบวกทงสอง) จะได x ta n A 2 B
ta n A ta n 2 Bx
1 ta n A ta n 2 B
22
12
2 ta n B 42ta n 2 B
1 ta n B 311
2
1 4
4 3x
1 41
4 3
1 3x
1 6
โจทยถาม 1 3
s in 1 8 0 arc tan x s in a rc tan x s in a rc tan1 6
ให 1 3C arc tan
1 6
1 3ta n C
1 6
(มม C อยในควอดรนตท 3 คามม เปนลบ)
16
13
5 17
x
y
C
ถามคา 1 3 1 3 1 3
s in a rc tan1 6 5 1 7 5 1 7
ตอบ
บนไดเซยนคณตศาสตร คดลดขนเทพ 498 ฟงกชนตรโกณมต http://www.focus-physics.com/
ตวอยางท 2. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / คณตศาสตร 1 2541]
ก าหนดให 4 1 2a rc c o s a rc s in x
5 1 3 2
แลว ta n x มคาเทากบขอใดตอไปน
1. 1 6
6 3 2. 6
6 3 3. 1 6
6 3 4. 6
6 3
วธท า
4 1 2a rc c o s a rc s in x
5 1 3 2
4 1 2
x a rc c o s a rc s in2 5 1 3
4 1 2tan x tan a rcco s a rc s in
2 5 1 3
4 1 2ta n x c o t a rc c o s a rc s in
5 1 3
หาคา 4 1 2co t a rcco s a rc s in
5 1 3
ให 4A a rc c o s
5 4
c o s A5
1 2B a rc s in
1 3 1 2
s in B1 3
(มม A และ มม B อยในควอดรนตท 1 คามม เปนบวกทงสอง)
1 1 ta n A ta n Bc o t A B
ta n A B ta n A ta n B
A
4
35
B5
1213
1 ta n A ta n B
c o t A Bta n A ta n B
3 1 21
2 0 3 6 1 64 5
3 1 2 1 5 4 8 6 3
4 5
สรป 4 1 2 1 6ta n x c o t a rc c o s a rc s in
5 1 3 6 3
ตอบ
บนไดเซยนคณตศาสตร คดลดขนเทพ 499 ฟงกชนตรโกณมต http://www.focus-physics.com/
ตวอยางท 3. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / คณตศาสตร 1 2538]
เซตค าตอบของสมการ a rc ta n 1 x a rc ta n 1 x4
เปนสบเซตของเซตในขอใดตอไปน
1. 4 , 0 2. 3,1 3. 2 , 2 4. 1, 3 วธท า
a rc ta n 1 x a rc ta n 1 x4
ให A a rc ta n 1 x ta n A 1 x และ B a rc ta n 1 x ta n B 1 x
ดงนน จากโจทยจะได A B4
ta n A B ta n 14
ta n A ta n B1
1 ta n A ta n B
1 x 1 x1
1 1 x 1 x
1 x 1 x1
1 1 x 1 x
2
21
1 1 x
2
21
x
2x 2 x 2 เซตค าตอบคอ 2 , 2 เปนสบเซตของขอ 3.
บนไดเซยนคณตศาสตร คดลดขนเทพ 500 ฟงกชนตรโกณมต http://www.focus-physics.com/
ตวอยางท 4. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / คณตศาสตร 1 2532]
ผลเฉลยทงหมดของอสมการ 2 1a rc c o s s in a rc c o s x
2
เปนสมาชกของเซตใดตอไปน
1. 1 1 1 1 1, , , , , ...
2 42 2 2 4 2
2. 1 1 1 10 , , , , , ...
2 42 2 4 2
3. 3 1 1 3..., , , 0 , , , ...
2 2 2 2
4. 1 1 1 1..., , , 0 , , , . . .
4 2 2 4
วธท า
2 1a rc c o s s in a rc c o s x
2
เนองจาก s in s in
จงได 2 1a rc c o s s in a rc c o s x
2
2 1s in a rcco s x co s
2
2 1s in a rcco s x 1
2
2 1s in a rcco s x 1
2
s in A 1 A2
2 1a rc c o s x
2 2
2 1x c o s
2 2
2 21 1
x 0 x2 2
1x
2
ตอบ ขอ 3.