IV EPMEM – ENCONTRO PARANAENSE DE MODELAGEM EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Modelagem Matemática: perspectivas interdisciplinares para o ensino e a aprendizagem de
matemática
Maringá – PR, 11 a 13 de Novembro de 2010.
O PENSAMENTO MATEMÁTICO DE ALUNOS: UM ESTUDO
Bárbara Nivalda Palharini
Universidade Estadual de Londrina [email protected]
Lourdes Maria Werle de Almeida
Universidade Estadual de Londrina [email protected]
Resumo: Neste trabalho apresentamos parte de um estudo que visa entrelaçar a teoria do pensamento matemático com a Modelagem Matemática. O estudo foi elaborado com base na teoria do pensamento matemático enquanto pensamento matemático elementar e pensamento matemático avançado, bem como na Modelagem Matemática enquanto alternativa pedagógica. Apresentamos aqui parte de uma atividade desenvolvida por um grupo de alunos e analisada à luz da teoria do pensamento matemático. A análise apresentada descreve procedimentos e processos utilizados pelos alunos. Concluímos que alunos envolvidos em atividades de Modelagem Matemática vem a desenvolver processos associados ao pensamento matemático elementar e, avançado. Palavras-chave: Educação Matemática; Modelagem Matemática; Pensamento Matemático.
Introdução
Muitas das dificuldades ao trabalhar os conteúdos matemáticos com os alunos estão
relacionadas à maneira como eles lidam com a Matemática. Essas dificuldades associadas
à aprendizagem da Matemática são constantemente apresentadas por professores, pais e
alunos.
Explicar o porquê do sucesso ou do insucesso em Matemática é um dos grandes
mistérios da Educação Matemática. Pesquisadores como Sfard (1991), Tall (2002) e
Dreyfus (1991) direcionam seus estudos para essas questões, tendo como foco o estudo do
pensamento matemático de alunos. Assim, com base nos processos utilizados pelos alunos
e associados ao pensamento matemático tais autores procuram esclarecer o porquê das
dificuldades e incertezas na aprendizagem da Matemática.
Uma das grandes preocupações da Educação Matemática acerca das dificuldades
dos alunos é de como ocorre a construção do conhecimento matemático na formação dos
IV EPMEM – ENCONTRO PARANAENSE DE MODELAGEM EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Modelagem Matemática: perspectivas interdisciplinares para o ensino e a aprendizagem de
matemática
Maringá – PR, 11 a 13 de Novembro de 2010.
mesmos. Neste contexto, pensamos na Modelagem Matemática como um dos caminhos
que pode estimular os alunos e proporcionar a aprendizagem dos conteúdos matemáticos.
Assim, apresentamos uma atividade de Modelagem Matemática desenvolvida por
alunos e sua análise com base nas características e processos revelados por eles e
associados ao pensamento matemático.
Os processos do pensamento matemático
A teoria do pensamento matemático é revelada em estudos cognitivos associados à
aprendizagem da Matemática. Autores com cujo foco de estudo é o pensamento
matemático o associam a pensamento matemático elementar e pensamento matemático
avançado (Tall, 2002).
O pensamento é entendido neste discurso como uma atividade interna e racional
que envolve a reflexão sobre uma ação, sobre aquilo que vemos e pensamos acerca do que
nos cerca.
Tall (2002) aborda o pensamento matemático enquanto pensamento matemático
elementar e pensamento matemático avançado. Sendo que ao pensar matematicamente os
alunos utilizam tanto pensamentos elementares quanto pensamentos avançados.
A passagem do pensamento matemático elementar para o pensamento matemático avançado envolve o desenvolvimento, que vai da descrição à definição, do convencimento à prova de uma maneira lógica baseada em definições. (...) Este desenvolvimento se dá da coerência da matemática elementar para a consequência da matemática avançada de uma maneira baseada em entidades abstratas as quais devem ser construídas por meio de deduções de definições formais. (Tradução nossa: Tall, 2002, p. 20)
No trânsito entre pensamento matemático elementar e pensamento matemático
avançado os alunos refinam seus conhecimentos e constroem conhecimentos. Neste
contexto os alunos utilizam de processos que dão origem ao conhecimento matemático,
estes processos são caracterizados por Dreyfus (1991) como os processos de representação
e de abstração.
O processo de representação está ligado às representações que utilizamos dos
objetos matemáticos e às representações que fazemos dos mesmos em nossa mente, ou
IV EPMEM – ENCONTRO PARANAENSE DE MODELAGEM EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Modelagem Matemática: perspectivas interdisciplinares para o ensino e a aprendizagem de
matemática
Maringá – PR, 11 a 13 de Novembro de 2010.
seja, existem representações simbólicas e representações mentais e, tais representações são
utilizadas no contexto matemático.
Segundo Dreyfus (1991), associado ao processo de representação está à
visualização, a tradução e mudança de representações e a modelagem. Sendo a modelagem
considerada neste contexto como envolvendo um sistema físico, ou seja,
na modelagem a situação ou o sistema é físico e o modelo é matemático; na representação o objeto a ser representado é a estrutura matemática, e o modelo é uma estrutura mental. Assim, a representação mental está relacionada ao modelo matemático como o modelo matemático está relacionado ao sistema físico. Cada um deles é uma interpretação parcial do outro. Cada um deles reflete algumas (mas não todas) as propriedades do outro. E cada um deles manifesta sua capacidade de manipular mentalmente o sistema em consideração. (Tradução nossa: Dreyfus, 1991, p. 34).
O processo de abstração envolve outros dois processos relacionados em Dreyfus
(1991) como os processos de generalização e de síntese.
O processo de generalização é considerado como um dos processos mais
importantes quando nos referimos à aprendizagem dos conceitos matemáticos. O processo
de generalização, segundo Dreyfus (1991), envolve o ato de generalizar e é caracterizado
como derivar ou induzir algo a partir de particularidades, a fim de identificar aspectos
comuns e expandir domínios de validade. A generalização pode estabelecer um resultado
grande para uma classe de resultados ou estabelecer a formulação de um conceito
matemático e, estas são as grandes importâncias deste processo na Matemática. A síntese é
um processo igualmente importante que envolve sintetizar, compor diversas partes em um
todo, uma entidade.
Os processos associados à representação e à abstração podem ser expressos no
trabalho dos alunos com os objetos matemáticos, ou seja, na ação e reflexão dos alunos
sobre os objetos matemáticos.
Segundo Tall (1995), é na ação e reflexão sobre estes objetos que ocorre o trânsito
entre pensamento matemático elementar e pensamento matemático avançado.
Dessa maneira, considerando os processos associados ao pensamento matemático e
às ações dos alunos sobre os objetos matemáticos abordamos a Modelagem Matemática na
IV EPMEM – ENCONTRO PARANAENSE DE MODELAGEM EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Modelagem Matemática: perspectivas interdisciplinares para o ensino e a aprendizagem de
matemática
Maringá – PR, 11 a 13 de Novembro de 2010.
Educação Matemática, pois consideramos que esta proporciona aos alunos o contato com
objetos matemáticos e suas múltiplas representações.
A Modelagem Matemática como alternativa para o desenvolvimento de processos de
pensamento
A Modelagem Matemática na Educação Matemática, de modo geral, envolve a
observação de um fenômeno, a elaboração de representações matemáticas, e a obtenção de
um modelo matemático para o fenômeno estudado, bem como a reinterpretação do modelo
obtido em relação ao fenômeno.
Como mencionado ao tratar dos processos associados ao pensamento matemático,
Dreyfus (1991), refere-se ao termo “Modelagem”, como um processo de pensamento que
consiste na obtenção de uma representação matemática para um objeto ou um processo não
matemático.
Entendemos a Modelagem Matemática na Educação Matemática como uma
alternativa pedagógica na qual fazemos uma abordagem, por meio da Matemática, de uma
situação não essencialmente matemática (Almeida e Brito, 2005).
Segundo Barbosa (2001),
Modelagem pode ser entendida em termos mais específicos. Do nosso ponto de vista, trata-se de um ponto de vista, trata-se de uma oportunidade para os alunos indagarem situações por meio de matemática sem procedimentos fixados previamente e com possibilidades diversas de encaminhamento. Os conceitos e idéias matemáticas exploradas dependem do encaminhamento que só se sabe à medida que os alunos desenvolvem a atividade. (p.5).
É neste contato com a Matemática que encaramos a Modelagem Matemática como
associada à diversos processos do pensamento matemático. É neste sentido, que ao se
envolver com as diversas ações que compreendem uma atividade de Modelagem
Matemática os alunos podem vir a desenvolver os processos associados ao pensamento
matemático elementar e ao pensamento matemático avançado.
Essas ações compreendidas na Modelagem Matemática são citadas por Almeida e
Ferruzzi (2009) como: o entendimento de um problema, a simplificação ou estruturação do
IV EPMEM – ENCONTRO PARANAENSE DE MODELAGEM EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Modelagem Matemática: perspectivas interdisciplinares para o ensino e a aprendizagem de
matemática
Maringá – PR, 11 a 13 de Novembro de 2010.
mesmo, um processo de matematização, o trabalho com a matemática envolvida no
problema, a interpretação, validação e apresentação dos resultados obtidos.
Envolvidos nessas ações um grupo de alunos desenvolveu uma atividade de
Modelagem Matemática no âmbito de uma disciplina de Modelagem Matemática e, é por
meio dos registros desta atividade que analisamos os processos e as relações efetuadas
pelos alunos no desenvolvimento da atividade.
Metodologia utilizada: contexto e procedimento
Os alunos envolvidos neste estudo desenvolveram a atividade ao final de uma
disciplina sobre Modelagem Matemática na Educação Matemática. A atividade foi
denominada por eles como “análise quantitativa da nicotina e do cádmio acumulados no
organismo do fumante”. Neste texto apresentamos parte desta atividade, considerando a
análise da nicotina no organismo do fumante.
A metodologia utilizada para analisar o comportamento dos alunos, foi a
abordagem qualitativa. Utilizamos esta abordagem, pois por meio dela é possível analisar o
ambiente da sala de aula, tendo como base o pesquisador e os alunos investigados;
considerar os dados como predominantemente descritivos, já que se trata do
desenvolvimento dos alunos na respectiva atividade; se preocupar mais com o processo do
que com o produto final; buscar para análise o significado que os alunos dão para a
atividade; analisar os dados de maneira indutiva (Ludke e André, 1986).
A atividade especificada neste trabalho foi desenvolvida em grupo e exigiu dos
alunos a escolha do tema, do problema a ser resolvido, bem como sua resolução,
concluindo com uma apresentação sob a forma de seminário para todos os alunos da
disciplina.
Os dados para análise foram coletados por meio de observação direta dos alunos,
aplicação de questionário, anotações em diário de campo, gravações de áudio e vídeo e os
registros escritos dos alunos.
Assim, buscamos por meio da análise dos alunos na atividade que segue
compreender o pensamento matemático utilizado por eles, considerando os processos
associados ao pensamento matemático e demonstrados pelos mesmos. Tal compreensão
IV EPMEM – ENCONTRO PARANAENSE DE MODELAGEM EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Modelagem Matemática: perspectivas interdisciplinares para o ensino e a aprendizagem de
matemática
Maringá – PR, 11 a 13 de Novembro de 2010.
pode ser obtida, considerando os processos expressos pelos alunos e identificando as ações
dos alunos na atividade de Modelagem Matemática.
Uma atividade de Modelagem Matemática: análise quantitativa da nicotina no
organismo do fumante
O cigarro é um dos produtos mais consumidos no mundo. No mundo, existem
atualmente, 1,3 bilhões de fumantes que consomem cerca de 7,3 trilhões de cigarros. No
Brasil, o número de fumantes gira em torno de 25 milhões de pessoas.
Na composição do cigarro existe cerca de 4700 substâncias químicas nocivas a
saúde, porém nem todas são detectadas. O uso do cigarro pode levar a alterações genéticas
que levam ao câncer e que são irreversíveis. O cigarro é a causa de 90% dos casos de
câncer no pulmão, e também a 40% dos casos de doenças no coração.
A nicotina é um alcalóide psicoativo que age diretamente no sistema nervoso
central. O seu tempo de permanência no corpo humano não é muito prolongado devido a
sua meia-vida ser bem pequena, o que aumenta seu potencial vicioso. A nicotino-
dependência foi definida nas conclusões do relatório do Surgeon General, do
Departamento de Saúde e Serviços Humanos dos Estados Unidos:
• A nicotina é droga que causa dependência, é psicoativa; é reforçadora da
motivação de fumar; com a repetição do uso desenvolve-se tolerância, exigindo doses
progressivamente maiores para desencadear o mesmo efeito.
• A nicotina liga-se a receptores específicos do sistema nervoso: no cérebro interage
com todos os centros alterando o metabolismo energético cerebral;
• As interações incluem ativação elétrica, relaxação muscular e efeitos sobre o
sistema cardiovascular e endocrínico.
• O processo farmacológico determinador da dependência é similar aos
desenvolvidos em outras drogas, como cocaína e heroína.
• A supressão do uso da nicotina acompanha-se de corte de sintomas desagradáveis,
quase sempre insuportáveis, que desaparecem prontamente com nova dose de nicotina.
Para estudar a concentração de nicotina no corpo humano quando absorvidos do
cigarro, os alunos utilizaram a Modelagem Matemática para desenvolver um modelo que
IV EPMEM – ENCONTRO PARANAENSE DE MODELAGEM EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Modelagem Matemática: perspectivas interdisciplinares para o ensino e a aprendizagem de
matemática
Maringá – PR, 11 a 13 de Novembro de 2010.
representa o acúmulo dessa substância no corpo humano em relação ao tempo de uso do
tabaco. Os dados para a obtenção dos modelos foram recolhidos da Organização Mundial
da Saúde, dissertações de mestrado, artigos da Internet e do livro Nicotina Droga Universal
de José Rosemberg, médico e presidente do comitê coordenador do controle do tabagismo
no Brasil.
Problema Formulado:
Sabe-se que o consumo do cigarro gera a dependência, e este por sua vez traz
incontáveis prejuízos à saúde de seu consumidor. Para um fumante que consome
aproximadamente um maço de cigarros por dia, qual será o acúmulo de nicotina em seu
organismo no decorrer do tempo, sabendo que a meia-vida da nicotina é de 2 horas?
Hipóteses:
• A pessoa fuma apenas um cigarro;
• A nicotina presente em um cigarro corresponde a 1 mg;
• Considerando que a pessoa trague o cigarro e absorva em média 80% da
quantidade total de nicotina presente no mesmo;
• A meia-vida da nicotina é de 2 horas.
Variáveis:
t - tempo em horas;
n – variável auxiliar representando n unidades de tempo;
C(n) – concentração de nicotina em miligramas no organismo depois de n unidades
de tempo;
C(t) – concentração de nicotina em miligramas no organismo depois de t horas.
Com base no problema apresentado e considerando as variáveis e hipóteses
definidas os alunos construíram a tabela e o gráfico que representa a concentração de
nicotina no organismo após fumar um cigarro.
IV EPMEM – ENCONTRO PARANAENSE DE MODELAGEM EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Modelagem Matemática: perspectivas interdisciplinares para o ensino e a aprendizagem de
matemática
Maringá – PR, 11 a 13 de Novembro de 2010.
Figura 1 Tabela e gráfico da concentração de nicotina no organismo no decorrer do tempo - Registro dos alunos.
Na interpretação do gráfico os alunos colocam que:
“por meio do gráfico observamos que os pontos obtidos se comportam semelhantemente ao gráfico de uma função exponencial decrescente”
(Registro dos alunos durante a apresentação da atividade).
Na resolução da atividade os alunos utilizam recursos matemáticos, como, equações
diferenciais ordinárias e o método dos mínimos quadrados, a fim de determinar uma
função que melhor se ajuste aos pontos do gráfico expresso. Na utilização do conceito de
equações diferenciais ordinárias eles utilizam a tabela 2 a fim de deduzir o modelo
matemático.
Figura 2 Registro dos alunos para desenvolvimento do modelo para uma pessoa que fuma um cigarro
A partir dessa tabela os alunos obtiveram o modelo matemático:
IV EPMEM – ENCONTRO PARANAENSE DE MODELAGEM EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Modelagem Matemática: perspectivas interdisciplinares para o ensino e a aprendizagem de
matemática
Maringá – PR, 11 a 13 de Novembro de 2010.
A fim de determinar os valores de e foi utilizado o método dos mínimos
quadrados para o ajuste de uma reta por meio da linearização da expressão. Concluindo:
Após a obtenção do modelo os alunos fizeram a validação do mesmo que foi
encontrado com base nos dados da tabela 1 (Figura 1). O entendimento de que o modelo
matemático foi satisfatório pode é evidenciado nas falas dos alunos:
Aluna D2: “deu bem próximo” Aluno D1: “o modelo encontrado ficou muito bom”
Em seguida, foi observado pelos alunos o gráfico do comportamento da
concentração de nicotina no organismo.
Figura 3 Tabela e Gráfico representando a validação do modelo obtido - Registro dos alunos (sic).
Para concluírem esta parte da apresentação os alunos colocaram que:
Daí quando nós obtivemos o modelo, nós levantamos uma nova questão: em quanto tempo a nicotina absorvida de um cigarro será eliminada do organismo? Usando o nosso modelo, que encontramos para a concentração de apenas um cigarro, nós não poderíamos igualar a zero, então nós igualamos a um valor bastante pequeno, para ver quanto tempo essa nicotina permaneceria no organismo, resolvendo esses cálculos nós encontramos que o tempo em dias será 2 dias 17 horas 47 minutos e 41 segundos para que depois que você fumar um cigarro essa nicotina seja eliminada do organismo.
(Registros dos alunos durante a apresentação).
No desenvolvimento da atividade foi abordado que a situação estudada é atípica
para um fumante, pois em um intervalo de tempo uma pessoa consome vários cigarros e
não apenas um, conforme foi deduzido. Assim, os alunos investigaram a situação que
IV EPMEM – ENCONTRO PARANAENSE DE MODELAGEM EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Modelagem Matemática: perspectivas interdisciplinares para o ensino e a aprendizagem de
matemática
Maringá – PR, 11 a 13 de Novembro de 2010.
responde: qual o acúmulo de nicotina no organismo, de uma pessoa que fuma
aproximadamente um maço de cigarros diariamente, no decorrer do tempo?
Foram definidas novas variáveis para o estudo da situação mencionada:
Variáveis:
t - tempo em horas;
C(t) – concentração de nicotina em miligramas no organismo depois de t horas.
Após estas definições os alunos apresentaram um quadro contendo a generalização
de um modelo para um fumante que fuma n cigarros por dia.
Figura 4 Concentração de nicotina no organismo - Registro dos alunos.
Utilizando o conceito de soma de uma progressão geométrica finita os alunos
concluíram que a concentração de nicotina no organismo no decorrer do tempo é:
Sobre o modelo encontrado os alunos apontaram que:
“mesmo que uma pessoa fumasse infinitos cigarros, a tendência do teor de nicotina no organismo é se estabilizar devido ao seu decaimento exponencial”
(Registro dos alunos durante a apresentação da atividade).
IV EPMEM – ENCONTRO PARANAENSE DE MODELAGEM EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Modelagem Matemática: perspectivas interdisciplinares para o ensino e a aprendizagem de
matemática
Maringá – PR, 11 a 13 de Novembro de 2010.
A partir desta consideração os alunos analisaram o limite da concentração de
nicotina no organismo, obtendo . Utilizaram então este
limitante para construir o gráfico da função que determina a concentração de nicotina no
organismo do fumante considerando a situação estudada
e o limite de .
Figura 5 Gráfico que representa o modelo para quem fuma n cigarros por dia - Registro dos alunos (sic).
Após a construção do gráfico, os alunos apresentaram as conclusões:
“Podemos perceber que a concentração da nicotina no decorrer do tempo no organismo de um tabagista que fuma regularmente um cigarro a cada hora, tende a se estabilizar não ultrapassando a marca de mg. Conforme os modelos elaborados, fica claro que a nicotina se esvai do organismo em um tempo que pode ser considerado curto e, também é notável que, aí se encontra o motivo da mesma causar dependência. Em função desta dependência, o fumante consome diversos cigarros por dia, só que para sustentar o vício pela nicotina, acaba absorvendo diversas outras substâncias nocivas à saúde, sendo que diversas delas são altamente cancerígenas, como é o caso do cádmio, cuja concentração é muito menor do que a concentração da nicotina por cigarro, em contrapartida, sua meia-vida é maior”.
(Registro dos alunos durante a apresentação da atividade).
IV EPMEM – ENCONTRO PARANAENSE DE MODELAGEM EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Modelagem Matemática: perspectivas interdisciplinares para o ensino e a aprendizagem de
matemática
Maringá – PR, 11 a 13 de Novembro de 2010.
Considerações sobre a Modelagem Matemática e o pensamento matemático na
atividade
Para análise, consideramos um aluno em particular. Este aluno participou
efetivamente de todos os encontros em que a atividade foi desenvolvida, tanto em sala de
aula quanto nas reuniões em outros horários. Ele considerou seu envolvimento na atividade
muito bom e em entrevista informal argumentou que:
“Nosso trabalho foi ótimo, modéstia à parte, tivemos uma excelente experiência em grupo. Todos contribuíram com o desenvolvimento do trabalho. Quando alguém não se lembrava de algum conceito usado, outro recordava e explicava para o restante do grupo. Foi uma grande experiência [...] dava até uma empolgação de colocar em prática os conceitos aprendidos no curso. É disso que precisa ver aplicação dos conceitos. Às vezes pensamos que é difícil aplicar, pois necessita de conceitos muito sofisticados, mas na realidade pode-se fazer um trabalho muito bom com o pouco que sabemos”.
(Fala do aluno)
Os conceitos utilizados na atividade, segundo o aluno, já lhe eram conhecidos. Ele
não atribuiu dificuldade ao desenvolver a atividade e isso denota compreensão do
problema desenvolvido. O que pode ser percebido em sua fala:
“quanto mais próximo da realidade, precisamos de ideias matemáticas mais elaboradas” (Fala do aluno)
O desenvolvimento da atividade foi descrito pelo aluno por meio de certas etapas.
Em entrevista informal ele cita tais etapas como:
“A 1.ª é a escolha do tema. Essa etapa é a mais difícil e uma das mais importantes, nessa etapa, não sabemos que rumo pode tomar todo o trabalho, pode não chegar a nada, ou precisar de conhecimentos muito mais avançados do que aqueles disponíveis em nosso curso. A 2.ª etapa é pesquisar tudo a respeito do tema todas as informações possíveis, de fontes confiáveis, é claro. Nessa etapa, corre-se o risco de não se encontrar muitas informações a respeito do tema. Deve-se nessa etapa, esgotar todas as informações possíveis. A 3.ª etapa é o desenvolvimento do problema e essa etapa depende muito das informações e da matemática disponível em nossa bagagem. A 4.ª etapa é a resolução do problema. Pelo menos espera-se resolver. Nessa etapa juntamos as informações pesquisadas com os conceitos matemáticos disponíveis em nosso arsenal. A 5.ª etapa é a validação dos resultados obtidos, nessa etapa verificamos se conseguimos atingir nosso objetivo, ao menos se aproximar. Na 6.ª etapa é a conclusão”.
(Fala do aluno)
IV EPMEM – ENCONTRO PARANAENSE DE MODELAGEM EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Modelagem Matemática: perspectivas interdisciplinares para o ensino e a aprendizagem de
matemática
Maringá – PR, 11 a 13 de Novembro de 2010.
Para o desenvolvimento do modelo da nicotina podemos observar o processo de
mudança de representações ou tradução - da representação tabular para a representação
gráfica - conforme sinaliza o esquema que segue.
Figura 6 Tabela e gráfico da concentração de nicotina no organismo no decorrer do tempo - Registro dos alunos.
A partir da utilização do gráfico que representa a concentração de nicotina no
organismo faz-se uma análise da quinta coluna da tabela 2 a fim de deduzir o modelo
matemático que representa C(t).
Figura 7 Registro dos alunos para desenvolvimento do modelo para uma pessoa que fuma um cigarro
A análise da coluna remete ao uso do conceito de equações diferenciais ordinárias,
e a partir disso o aluno conclui que:
Para a obtenção deste modelo o aluno coloca que:
IV EPMEM – ENCONTRO PARANAENSE DE MODELAGEM EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Modelagem Matemática: perspectivas interdisciplinares para o ensino e a aprendizagem de
matemática
Maringá – PR, 11 a 13 de Novembro de 2010.
“a gente linearizou aquela equação que a gente tinha para poder utilizar o método dos mínimos quadrados, para poder encontrar a reta que se ajusta aqueles pontos lá né, e ... depois de ter linearizado, então a gente utilizou o método dos mínimos quadrados para encontrar os valores de a e b. Então a gente usou o método dos mínimos quadrados aqui, encontrou a reta, fez os cálculos e depois voltamos lá onde linearizamos e construímos aquela tabela ali que tem a concentração de nicotina. Daí a gente fez o que, colocou numa tabela e fez a comparação com aqueles valores que a gente tinha anteriores né, daí deu bem próximo, né os valores que a gente encontrou com essa função ai. Aqui o gráfico desse decaimento, da função que a gente encontrou pelo método dos mínimos quadrados”.
(Fala do aluno)
A partir das observações do aluno, da utilização de objetos como gráficos e tabelas
conjecturamos que o aluno utiliza o processo cognitivo caracterizado por Dreyfus (1991)
como o processo de representar-visualizar.
O processo de generalização é revelado pelos alunos ao apresentar a expressão que
representa o consumo de cigarros durante o dia, com intervalos de uma hora.
Figura 8 Concentração de nicotina no organismo - Registro dos alunos.
O processo de generalização é descrito em Dreyfus (1991) como compondo o
processo de abstração. Segundo Dreyfus (1991) o processo de abstração aliado ao processo
de representação remete à ocorrência do pensamento matemático avançado.
O processo de representação foi utilizado durante a atividade por meio de:
visualizações, da utilização de representações simbólicas, da utilização de gráficos e
tabelas, e por meio da mudança de representações ou tradução.
IV EPMEM – ENCONTRO PARANAENSE DE MODELAGEM EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Modelagem Matemática: perspectivas interdisciplinares para o ensino e a aprendizagem de
matemática
Maringá – PR, 11 a 13 de Novembro de 2010.
Com relação aos processos e objetos utilizados pelo aluno, podemos inferir que são
utilizados: objetos como gráficos e tabelas; ocorrem mudanças de representações, ora da
representação tabular para a representação gráfica, ora da representação gráfica para a
representação algébrica; representações simbólicas são utilizadas a fim de explicar a
formalização dos objetos matemáticos.
O uso de diferentes representações e a generalização (associado ao processo de
abstração) revela aspectos relacionados ao pensamento matemático avançado.
Considerando ações associadas à Modelagem Matemática, pode-se observar nos
procedimentos dos alunos que foi efetuado o entendimento de uma situação problema,
envolvendo uma pergunta a ser estudada, a seleção de variáveis e a escolha de hipóteses
para trabalhar a situação. Em seguida os alunos partiram em busca de uma representação
matemática para o problema proposto, o que acarretou na obtenção de um modelo
matemático.
O modelo obtido foi validado por meio do uso de representações tabulares e
gráficas do objeto matemático e, em seguida, foi comunicado à turma em forma de
seminário. A comunicação do modelo matemático se deu em forma de representação
simbólica e gráfica.
Dessa maneira, os alunos utilizaram diversas representações do objeto matemático
e diversos processos associados ao processo de representação citado em Dreyfus (1991).
Assim, envolvido na atividade de Modelagem Matemática o aluno utiliza diversas
representações (mentais e simbólicas) da situação-problema e/ou dos resultados
matemáticos para a busca de uma representação matemática que melhor se adapta ao
problema. Processos matemáticos como a abstração e a generalização são utilizados pelo
aluno durante sua manipulação com os conteúdos matemáticos.
O aluno utiliza de processos de representação e abstração que, segundo Dreyfus
(1991), são importantes para as interações entre “pensamento matemático elementar” e
“pensamento matemático avançado”.
Ao formular o modelo matemático a busca por uma representação matemática que
satisfaça as condições dispostas para o problema faz com que o aluno utilize de outros
processos como o processo de representação, visualização, tradução entre representações e
IV EPMEM – ENCONTRO PARANAENSE DE MODELAGEM EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Modelagem Matemática: perspectivas interdisciplinares para o ensino e a aprendizagem de
matemática
Maringá – PR, 11 a 13 de Novembro de 2010.
generalização. A interação destes vários processos, segundo Dreyfus (1991), proporciona o
desenvolvimento do pensamento matemático avançado.
Ainda, nesta etapa, são utilizadas ainda representações gráficas que remetem à
compreensão que o aluno tem do objeto matemático e denotam a utilização do processo de
representar-visualizar, enfatizando relações do “pensamento matemático elementar”,
considerando, neste caso, a necessidade da justificativa visual, da necessidade de
“perceber” o objeto matemático.
Conjecturamos que a articulação dos processos utilizados foi fundamental para a
compreensão e o desenvolvimento da atividade de Modelagem Matemática. Neste sentido,
considerando o quadro teórico estabelecido, de que a interação entre os processos
associados ao pensamento matemático possibilita o desenvolvimento do pensamento
matemático avançado (Dreyfus, 1991), podemos considerar que o aluno, ao desenvolver a
atividade conduziu seu desenvolvimento no sentido do “pensamento matemático
avançado”.
Considerações finais
A Modelagem Matemática foi utilizada como alternativa pedagógica. Nesse
sentido, analisamos os processos associados ao pensamento matemático na medida em que
os alunos exploravam a situação-problema da nicotina no organismo, o que nos
possibilitou inferir sobre o modo como o pensamento matemático do aluno envolvido
ocorreu durante o desenvolvimento da atividade.
Temos que, a atividade de Modelagem Matemática possibilitou o desenvolvimento
de processos cognitivos associados ao pensamento matemático avançado, como os
processos de representação, de abstração e de generalização.
Assim, a partir da análise colocada, inferimos que atividades de Modelagem
Matemática têm potencial para que os alunos desenvolvam seus processos de pensamento.
IV EPMEM – ENCONTRO PARANAENSE DE MODELAGEM EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Modelagem Matemática: perspectivas interdisciplinares para o ensino e a aprendizagem de
matemática
Maringá – PR, 11 a 13 de Novembro de 2010.
Referências
ALMEIDA, L. M. W. ; BRITO, D. S.. Atividades de Modelagem Matemática: que sentido os alunos podem lhe atribuir?. Ciência e Educação (UNESP), v. 11, p. 1-16, 2005. ALMEIDA, L. M. W. ; FERRUZZI, E. Uma aproximação socioepistemologica para a Modelagem Matemática. Alexandria Revista de Educação em Ciência e Tecnologia, v.2, n. 2, p. 117-134, jul 2009. BARBOSA, Jonei C. Modelagem na Educação Matemática: contribuições para o debate teórico. In: REUNIÃO ANUAL DA ANPED, 2001. Caxambu. Anais eletrônicos do ANPED. Caxambu, 2001, 1 CD. DREYFUS, T. Advanced mathematical thinking processes. In David Tall (Org.), Advanced mathematical thinking (pp. 25–41). Dordrecht: Kluwer, 1991. E tem gente que diz que cigarro não é droga. Disponível em: <www.saude.sc.gov.br/cidadao/de_olho_na_saude/outros/fumo/Cigarro.htm>. Acesso em: 07/09/2010. LÜDKE, M; ANDRÉ, M. E. D. A. Pesquisa em Educação: Abordagens Qualitativas. São Paulo: EPU, 1986. ROSEMBERG, J. Nicotina droga universal. São Paulo: Secretaria da Saúde do Estado de São Paulo, 2003. SFARD, A. On the dual nature of mathematical conceptions: reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics, 22, 1-36, 1991. TALL, D. Advanced Mathematical Thinking. Mathematics Education Library. Kluwer Academic Publishers. A. J. Bishop, Cambridge, U. K, 2002.
________. Cognitive growth in elementary and advanced mathematical thinking . In Proceedings of 19th International Conference for the Psychology of Mathematics Education, (Vol. 1, pp. 61-75). Recife, Brasil. 1995.