Inleiding kernfysica
IV. Kernmodellen
V. Verval van kernen
H.J. Bulten voor prof. J.F.J. van den Brand,
www.nikhef.nl/~henkjan/kernmodel.pdf
1Inleiding kernfysica 13 april 2010
Vloeistofdruppelmodel• Tentamenstof: dictaat pag. 25-33, 39-50
– Extra achtergrond (blz 34-38 en 51-54), geen tentamenstof
• Vloeistofdruppelmodel:– Kern gemodelleerd als vloeistof
• Intermoleculaire afstand in vloeistof klein, net als afstand tussen nucleonen in kern
• Van der Waals krachten – korte dracht, tussen naburige molekulen, net als kernkracht
• Dichtheid kern ongeveer constant:
Inleiding kernfysica 13 april 2010 2
3-fm
nucleonen17.0
Vloeistofdruppelmodel• Tentamenstof: dictaat pag. 25-33, 39-50
– Extra achtergrond (blz 34-38 en 51-54), geen tentamenstof
• Vloeistofdruppelmodel:– Kern gemodelleerd als vloeistof
• Intermoleculaire afstand in vloeistof klein, net als afstand tussen nucleonen in kern
• Van der Waals krachten – korte dracht, tussen naburige molekulen, net als kernkracht
• Dichtheid kern ongeveer constant:
• Protonen en neutronen : vrijwel gelijke massa’s en de kernkracht is ook ongeveer gelijk
• Beschouw nucleonen, met isospin
• Coulombafstoting tussen protonen wordt als aparte storing in rekening gebracht
Inleiding kernfysica 13 april 2010 3
pnppnn VVV
3-fm
nucleonen17.0
neutron1/2
proton1/2met2/1 zTT
vloeistofdruppelmodel
1. Volume energie Bv1. Constante dichtheid : interactie tussen nucleonen leidt tot een
bindingsenergie voor de nucleonen van
Inleiding kernfysica 13 april 2010 4
AaB vv
vloeistofdruppelmodel
1. Volume energie Bv1. Constante dichtheid : interactie tussen nucleonen leidt tot een
bindingsenergie voor de nucleonen van
2. Oppervlakte energie– Aan oppervlakte minder naburige nucleonen: oppervlakte correctie
Inleiding kernfysica 13 april 2010 5
AaB vv
3/2AaB FF
vloeistofdruppelmodel
1. Volume energie Bv1. Constante dichtheid : interactie tussen nucleonen leidt tot een
bindingsenergie voor de nucleonen van
2. Oppervlakte energie– Aan oppervlakte minder naburige nucleonen: oppervlakte correctie
3. Coulombenergie
Echter: Coulombenergie binnen het proton zelf is al verdisconteerd in de massa van het proton!
Inleiding kernfysica 13 april 2010 6
AaB vv
3/2AaB FF
MeV7.04
)(
5
3
44
34)()(
3/1
2
0
22
0
3
0
3
3
2
A
Z
R
Zedrr
rR
Zer
R
ZedrdrrVrB
R
CoulC
MeV7.0,)1(
3/1
cCC a
A
ZZaB
vloeistofdruppelmodel
4. Asymmetrie-energie– Pauli-principe: discrete energieniveaus kunnen met 2 protonen en 2
neutronen bezet worden (2 spinwaarden).
– Optimaal benut volume: evenveel protonen als neutronen
Inleiding kernfysica 13 april 2010 7
Asymmetrie-potentiaal
• Fermi-gas :
Inleiding kernfysica 13 april 2010 8
dpph
VdN
dppdVhpxdd
hdxdp
n
x
2
3
2333
42
4
Volume eenheidscel
Aantal neutron toestanden tussen p en p+dp
Fermi impuls: hoogste waarde p voor Fermi gas
Asymmetrie-potentiaal
• Fermi-gas :
Inleiding kernfysica 13 april 2010 9
3/2
3/52
3/5
3/2
3/52
3/5
5
3
0
2
3
2
3
3
2
0
3
2
3
2333
8
3
5
4
8
3
5
4
5
48
2
3
88
42
4
V
Zh
mT
V
Nh
mp
hm
Vdpp
h
V
m
pT
ph
Vdpp
h
VN
dpph
VdN
dppdVhpxdd
hdxdp
p
p
n
f
N
p
n
n
f
P
n
n
x
F
Fn
Volume eenheidscel
Aantal neutron toestanden tussen p en p+dp
Fermi impuls: hoogste waarde p voor Fermi gas
Totale kinetische Energie neutronen
Totale kinetische Energie protonen
Asymmetrie-potentiaal• Asymmetrie: ontwikkel totale kinetische energie als Taylor-reeks in
verschil Z-N:
• Merk op: de term die evenredig is met A is al besloten in de volume term van de energie
• Merk op: een ongeveer evengrote term met de bijdrage van de potentiele energie met dezelfde vorm is besloten in de constante a
Inleiding kernfysica 13 april 2010 10
A
NZaB
A
NZKAT
OKAKAT
AN
AZ
A
NZ
A
NZKTTT
AA
np
2
23/2
42
3/5
3/53/5
3/5
3/2
3/53/5
9
51
2
1
)(9
102
2
1)1()1(
2
1
)1(2
),1(2
Paarenergie
6. Paarenergie. – kernen met even N en Z stabieler
• 165 stabiele even-even kernen, 6 stabiele even-oneven kernen
Inleiding kernfysica 13 april 2010 11
onevenoneven
oneveneven
eveneven
Bp 0
2/1
:eelExperiment
AaP
Vloeistofdruppel model
• Bindingsenergie
(Weizsaecker)
Inleiding kernfysica 13 april 2010 12
1
0
1)2(
)1(),( 2/12
3/13/2 AaA
ZAaAZZaAaAaZAB pACFV
Analytische schatting
• Coulomb:
• Kernkracht: Ansatz
• Schatting parameters:
Inleiding kernfysica 13 april 2010 13
R
cZdr
R
Zer
re
cZ
R
rdqrVB
re
crv
R
C
2
0
3
2
3
3
5
331)(
1)(
....21)(4
9
)(2
3
3
2
)1()1()(
dracht eindige :
lading sterke constante,koppelings
,)(
3/102
0
3/2
3
00
2
0
33
AR
k
RRR
r
eR
A
R
cg
R
A
R
cgB
Rrr
e
R
ReRe
y
cAgrV
yg
r
e
y
cgrv
4.0
fm 1 -1
g
Schillenmodel• Atomen: edelgasconfiguratie, volle schillen Z=2,10,18,36,54,86
• Kernen: 2,8,20,(28),(40),50,82,126
Inleiding kernfysica 13 april 2010 14
Schillenmodel
• Energieen eerste aangeslagen toestand
Inleiding kernfysica 13 april 2010 15
Schillenmodel• Zeer stabiel: dubbel-magische kernen (4He,16O, 40Ca, 56Fe,
208Pb, …..)– ijzer-56: hoogste bindingsenergie per nucleon
– Allen grondtoestand
– Vaak eerste aangeslagen toestand
– Indicatie voor schillenstructuur.
• Mean Field (centrale potentiaal) a la waterstofatoom– Caveat: gemiddelde afstand nucleonen ~2 fm, straal 1.6 fm, dracht
kernkracht ~ 1.4 fm
– Kortedrachtscorrelaties – numerieke berekeningen zeer gecompliceerd
– Laagstgelegen toestanden allen bezet – nucleonen kunnen wegens Pauli-principe niet gemakkelijk verstrooiien
– We gebruiken: isospin symmetrie (kernkrachten zijn ladingsonafhankelijk), en equivalentie van massaverdeling en ladingsverdeling
• Ladingsverdeling is bekend uit elektron verstrooiing.
Inleiding kernfysica 13 april 2010 16
0J 2J
Schillenmodel (extra stof)
• Woods-Saxon potentiaal:
• Vergelijk: Harmonische oscillator potentiaal:
Inleiding kernfysica 13 april 2010 17
fm25.1 fm,65.0,MeV50
1
)(
3/1
0
0
ARaV
e
VrV
a
Rr
)3)(2)(1(3
1
)2)(1()12(2
)2/3(
2)(
0
2/)1(,2/
1,0
0
22
0
2
nnnbB
nnlb
nE
rm
krrV
n
n
nn
nn
n
n
Energie niveaus
Aantal toestanden per n
Totaal aantal toestanden schil
Schillenmodel• Woods-Saxon – bepaal
eigenwaarden numeriek. Ontaarding van verschillende l-waarden wordt opgeheven
• Echter: grote spin-baan koppeling wordt waargenomen: extra term
• Werkt voornamelijk in de buurt van het oppervlak van de kern
Inleiding kernfysica 13 april 2010 18
fmafmRMeVV
edr
d
rRslVrV
ls
a
Rr
lsls
67.0,27.1,15
11
)(1
)(
00,
1
2
020,
Schillenmodel
• Verwachtingswaarde l.s :
• Grote opsplitsing voor hoge l
• Indringers vanuit de n+1 schil
Inleiding kernfysica 13 april 2010 19
2/1 voor )1(
2/1 voor
2
)1()1()1(2
}{2
1
2
2
222
ljl
ljl
sslljj
sljsl
Verval van kernen
Inleiding kernfysica 13 april 2010 20
Vervalsprocessen
• Neutron-emissie
• Proton-emissie
Inleiding kernfysica 13 april 2010 21
nXX A
Z
A
Z 1
pYX A
Z
A
Z
1
1
Vervalsprocessen• Neutron-emissie
• Proton-emissie
• Beta-min verval
• Beta-plus verval
• Zwakke wisselwerking:
Inleiding kernfysica 13 april 2010 22
nXX A
Z
A
Z 1
pYX A
Z
A
Z
1
1
e
A
Z
A
Z eYX
1
1
e
A
Z
A
Z eYX
1
1
e
e
enp
epn
Vervalsprocessen• Neutron-emissie
• Proton-emissie
• Beta-min verval
• Beta-plus verval
• Electron-invangst– (zware kernen, K-schil), gevolgd door Roentgenstraling
• Alpha-verval:
• Gamma-verval
• Spontane splijting e.g.
Inleiding kernfysica 13 april 2010 23
nXX A
Z
A
Z 1
pYX A
Z
A
Z
1
1
e
A
Z
A
Z eYX
1
1
e
A
Z
A
Z eYX
1
1
e
A
Z
A
Z YeX 1
YX A
Z
A
Z
2
2
n5TcCsCf *105
43
*142
55
252
98
XX A
Z
A
Z
*
Vervalsprocessen• Neutron-emissie
• Proton-emissie
• Beta-min verval
• Beta-plus verval
• Electron-invangst– (zware kernen, K-schil), gevolgd door Roentgenstraling
• Gamma-verval
Inleiding kernfysica 13 april 2010 24
nXX A
Z
A
Z 1
pYX A
Z
A
Z
1
1
e
A
Z
A
Z eYX
1
1
e
A
Z
A
Z eYX
1
1
e
A
Z
A
Z YeX 1
XX A
Z
A
Z
*
Vervalsprocessen• Neutron-emissie
• Proton-emissie
• Beta-min verval
• Beta-plus verval
• Electron-invangst– (zware kernen, K-schil), gevolgd door Roentgenstraling
• Gamma-verval
• Alpha-verval:
• Spontane splijting e.g.
Inleiding kernfysica 13 april 2010 25
nXX A
Z
A
Z 1
pYX A
Z
A
Z
1
1
e
A
Z
A
Z eYX
1
1
e
A
Z
A
Z eYX
1
1
e
A
Z
A
Z YeX 1
YX A
Z
A
Z
2
2
n5TcCsCf *105
43
*142
55
252
98
XX A
Z
A
Z
*
Bindingsenergie, Q-waarde• Massa neutraal atoom M
– 1 amu = 1/12 deel massa van 12-C atoom
• Bindingsenergie– De energie die nodig is om een atoom te ontbinden in Z waterstofatomen
en N neutronen
– Bindingsenergie elektronenwolk verwaarloosbaar
• B.v deuterium:
• Dus ook:
• Reactie
– Endoterm: Q<0. Exotherm Q>0. Elastisch: Q=0
Inleiding kernfysica 13 april 2010 26
2)( cMNmZmB nH
eVBMeVB electronnucleair 6.13,22.2
2)( cmNmZmB Knp
)...(:
)...(
..21
1
2
1
ntb
ntb
TTTTQook
cmmmmQ
ntb
Vervalsreacties• Levensduur van een kern hangt af van de wisselwerking
(sterk/zwak/elektromagnetisch)
• van de Q-waarde : hoge Q-waarde geeft kortere levensduur
• Van de overlap in golffuncties tussen begin en eindtoestand (e.g. parteitsbehoud) of van tunneleffect)
Inleiding kernfysica 13 april 2010 27
vervalswet
• Aantal vervallen/tijdseenheid is evenredig met het aantal nog niet vervallen deeltjes:
• Levensduur
• Halfwaardetijd
• Twee-deeltjes verval in het rustsysteem:
• Alpha-verval: niet-relativistisch (massa’s >> Q/c2)
– Discreet energiespectrum
Inleiding kernfysica 13 april 2010 28
teNtNtNdt
dN 0)()(
/1
/2ln2/1
021 2121 dd pppenEEEd
Qmm
mTQ
mm
mT
21
12
21
21 ,
Alpha verval
Inleiding kernfysica 13 april 2010 29
Alpha-verval
Inleiding kernfysica 13 april 2010 30
ex
ex
ETQT
EcmE
2
2
22
Drie-deeltjes verval, beta-verval
• Energiebehoud en impulsbehoud zijn niet voldoende om de energieen van de drie dochterdeeltjes te bepalen: continu spectrum– Continue spectra in beta-verval : Pauli postuleert neutrino.
Inleiding kernfysica 13 april 2010 31
e
e
eNiCu
eZnCu
6464
6464
Zie ookWu+Albert, PR75, 315 (1949)
0:
0)0(1,0:
0,0:
forcecontact :itionweak trans
lforbidden
JbehalveJTellerGamow
JFermi
Potentiaalbarriere
• Positief geladen deeltjes uit kern: Coulomb barriere
Inleiding kernfysica 13 april 2010 32
Tunneleffect
• Een eenvoudige schatting: beschouw eendimensionale vlakke golf, rechthoekige potentiaalbarriere.
Inleiding kernfysica 13 april 2010 33
V0
L
I II III
continu en
:
,:
:
,))((
2
0
2
0
2
2
2
2
ikx
xx
ikxikx
EeIII
kvDeCeII
BeAeI
II
IIII
kv
kkxV
dx
d
2
0
2
0
22
0
2
2
02
)(
kvkv
km
E
Lxvm
xV
Tunneleffect
• Een eenvoudige schatting: beschouw eendimensionale vlakke golf, rechthoekige potentiaalbarriere.
Inleiding kernfysica 13 april 2010 34
V0
L
I II III
continu en
:
,:
:
,))((
2
0
2
0
2
2
2
2
ikx
xx
ikxikx
EeIII
kvDeCeII
BeAeI
II
IIII
kv
kkxV
dx
d
ikLLL
ikLLL
ikEeDeCe
EeDeCe
DCBAik
DCBA
)(
)()(
x=0
Tunneleffect• We hebben vier vergelijkingen met 5 onbekenden (A,…,E). We kunnen dus
B,C,D en E uitdrukken in A. In het bijzonder geldt voor de transmissiecoefficient
• Exponentiele afname, met Gamow-factor
• Niet-rechthoekige potentiaal:
Inleiding kernfysica 13 april 2010 35
14
||
|| 2
222
2
Lvoore
k
k
A
ET L
LG 2
Tunneleffect• We hebben vier vergelijkingen met 5 onbekenden (A,…,E). We kunnen dus
B,C,D en E uitdrukken in A. In het bijzonder geldt voor de transmissiecoefficient
• Exponentiele afname, met Gamow-factor
• Niet-rechthoekige potentiaal:
• (a en b de grenzen van het gebied waar V groter dan E is)
• Coulomb Barriere:
Inleiding kernfysica 13 april 2010 36
14
||
|| 2
222
2
Lvoore
k
k
A
ET L
LG 2
dxExVmGeT
b
a
G
)(22
,
2
22
arccos8
22
b
R
b
R
b
R
c
bZZmcdrE
r
cZZmG tb
b
R
tb
Tunneleffect• We hebben vier vergelijkingen met 5 onbekenden (A,…,E). We kunnen dus
B,C,D en E uitdrukken in A. In het bijzonder geldt voor de transmissiecoefficient
• Exponentiele afname, met Gamow-factor
• Niet-rechthoekige potentiaal:
• (a en b de grenzen van het gebied waar V groter dan E is)
• Coulomb Barriere:
Inleiding kernfysica 13 april 2010 37
14
||
|| 2
222
2
Lvoore
k
k
A
ET L
LG 2
dxExVmGeT
b
a
G
)(22
,
2
22
arccos8
22
b
R
b
R
b
R
c
bZZmcdrE
r
cZZmG tb
b
R
tb
c
ZZmcB
E
mcZZA
E
cZZb
RBAGRb
tbtb
tb
22 32,
2,
:
Levensduur alpha-verval
Inleiding kernfysica 13 april 2010 38
levensduur als functie van de alpha-energie voor verschillende kernen.
Merk op, dat de de data 28 orden van grootte omspannen
Empirische relatie (curves) :
3/2
2/1 7.17.28log ZE
Zt
Schatting levensduur
• We hebben empirisch
• Onze schatting van de transmissiecoefficient bij de Coulombpotentiaalbarriere is
• nucleon in kern, typische snelheden 0.1-0.2c– Botst ongeveer
– Halfwaardetijd
– Invullen voor
– schatting :
Inleiding kernfysica 13 april 2010 39
3/2
2/1 6.19.28log ZE
Zt
c
ZZmcB
E
mcZZA
E
cZZb
eTRBAGRb
tbtb
tb
G
22 32,
2,
,:
HzR
v 2110
.sec2ln10 21
2/1
Get
6/160
60 4.16.2 ZZRARR
3/221
2/1 7.17.28)2ln10log(log ZE
ZGt
Fusie reacties• Ook in de botsing tussen twee geladen deeltjes dient de Coulomb-
barriere geslecht te worden. De werkzame doorsnede is gegeven door
• S-factor : gewoonlijk een langzaam varierende functie van de energie.
• Fusie in zon:
• Eerste reactie is zwakke wisselwerking, 2e sterke wisselwerking
• In sterren: Gamow-factor sterke functie van temperatuur (centrum zon: ongeveer 16 miljoen K, levensduur protonen 10 miljard jaar)
• Fusie : hoge deeltjesdichtheid nodig en hoge temperatuur
Inleiding kernfysica 13 april 2010 40
22
22
,)(
)( tbGE
E
ZZmc
EeE
ESE
G
MeVm101.8:
MeVm108.3:
228
253
Sntd
Svedpp e