16/05/2009 Page 1 sur 3 IMdR/M2OS
IMdR
Groupe de travail Management Mthodes Outils Standard (M2OS)
Jean-Claude Ligeron
Cours de Fiabilit en mcanique
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Introduction
Depuis son origine lISdF (Institut de Sret de Fonctionnement) puis lIMdR (Institut de Matrise des Risques) le groupe de travail M2OS (Management, Mthodes Outils Standard) fort dune vingtaine de membres sest donn pour tche de publier des ouvrages destins servir de rfrences aux personnes soucieuses de Sret de Fonctionnement et de Matrise des risques. Ceux ci peuvent tre dbutants afin les aider dmarrer dans le mtier ou plus chevronns pour se rappeler tels ou tels lments techniques. Dans la ligne des ouvrages quil a labors, M2OS propose ici au lecteur le cours de fiabilit en mcanique que Jean-Claude Ligeron enseigne depuis de nombreuses annes. Ce cours reprsente le fruit de son exprience acquise MATRA, puis dans les entreprises o il a exerc et pour finir dans la socit quil a fonde. Nous tenons ici remercier Jean-Claude Ligeron davoir accept cette publication qui comme les autres constitue un trait dunion entre les anciens et les nouveaux . Ce cours ne se veut pas fig mais volutif en fonction de son enrichissement, compte tenu des dernires nouveauts en la matire et dexpriences complmentaires que vous pourriez avoir acquises dans votre milieu. Il vous est possible dadresser tous commentaires sur lexistant, et proposer des complments par le moyen de votre choix en ladressant par courriel au coordinateur du projet : [email protected] . Actuellement lensemble se compose des modules suivants :
1. Les Bases >> 2. Fiabilit des structures >> 3. Les complments >> 4. Exemples pratiques >>
Chaque module se compose de chapitres contenant et / ou une prsentation gnrale et un texte. 1 - Laccs direct aux modules seffectue en cliquant sur >> droite de la dsignation. 2 - Certains modules mentionnent des rfrences non rdites mais dont le contenu reste dactualit et nont pas t remplaces. 3 - Le lecteur noubliera pas que vous avez accs un cours conu pour tre profess. Le professeur ntant pas l, vous voudrez bien avoir de lindulgence pour certaines planches qui de ce fait sont un peu plus difficiles apprhender sans les commentaires oraux Il prsente une base pour se familiariser avec le domaine et fournit un trs grand nombre de rfrences et de donnes pour approfondir le domaine. Prsidents du groupe M2OS: J.M. Cloarec (Bombardier) et Y. Mortureux (UIC/SNCF) Coordinateur du projet: P. R. Leclercq (R.I.S.) Membres actifs de M2OS: Mme M.M.Oudin-Darribre, MM. J.M. Cloarec (Bombardier), R.Grattard (RATP),J.Lafont, P.Leclercq (R.I.S.), J-C Ligeron, D.Merle (Thales), P.Moreau (LRBA), D.Morel (LRBA), Y.Mortureux (UIC/SNCF), J.Ringler (Ringler Consultant), J.Riout (CETIM), G.Sabatier (LGM), M.Testylier (GMAO Services)
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Les bases - 1. Gnralits J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
FIABILITE MECANIQUE
Les bases
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Les bases - 1. Gnralits J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
SOMMAIRE
1. Gnralits2.Mthodologie >> 3.Thories de contrainte / Rsistance >> 4.Fatigue >> 5.Fatigue oligocyclique >> 6.Mcanique de la Rupture >> 7.Amorage >> 8.Pices particulires >>
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Les bases - 1. Gnralits J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
1. GENERALITES
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Les bases - 1. Gnralits J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
CE QUE N'EST PAS LA FIABILITE EN MECANIQUE
LA LOI DE WEIBULL
LA METHODE CONTRAINTE RESISTANCE
MOINS PRECISE QUE L'ELECTRONIQUE
REMPLACE LE TRAVAIL DU CALCULATEUR DE RDM
SE FAIT SANS ANALYSE FONCTIONNELLE ET AMDEC
SE FAIT PAR UN FIABILISTE ELECTRONICIEN OU UN STATISTICIEN
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Les bases - 1. Gnralits J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
NE PAS FAIRE
CALCUL AVEC NOMBRE DE 9 ELEVES
CALCUL ZONES DE NON-LINEARITES
SANS TENIR COMPTE DES NIVEAUX DE CONFIANCE
UTILISER LES TABLES DE DONNEES INCONSIDEREMENT
VOULOIR METTRE A TOUT PRIX DES PROBABILITES
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Les bases - 1. Gnralits J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
CE QU'EST LA FIABILITE EN MECANIQUE
UNE METHODOLOGIE INTEGREE DE FIABILITE PRENANT EN COMPTE L'ALEATOIRE DANS LES PROCESSUS DE DEGRADATION DES SYSTEMES MECANIQUES
ELLE UTILISE :UNE METHODOLOGIE DERIVEE DES TECHNIQUES CLASSIQUES DE FIABILITEELLE UTILISE LES RESULTATS DES BUREAUX DE CALCULELLE EST PRATIQUEE PAR DES MECANICIENS
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Les bases - 1. Gnralits J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
REGLES POUR OBTENIR UNE HAUTE FIABILITE
FAIRE AUSSI SIMPLE QUE POSSIBLE
EVITER D'INTRODUIRE DES PROCEDURES DE DIMINUTION DE COUT AU DEPEND DE LA FIABILITE
TENIR COMPTE DES ERREURS HUMAINES
UTILISER DES ELEMENTS CONNUS
PRENDRE DES PRECAUTIONS SUR LES CONCEPTIONS NOUVELLES
ANALYSER LES DONNEES DU TERRAIN
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Les bases - 1. Gnralits J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
REGLES POUR OBTENIR UNE HAUTE FIABILITE (Suite)
FAIRE ATTENTION AUX DONNEES DU TERRAIN DANS LE CAS DE MODIFICATIONS ET AMELIORATIONS
DANS LE CAS DE PARAMETRES CRITIQUES UTILISER DES SF DE 3 A 6
CONSIDERER LE DIAGNOSTIC DES ELEMENTS CRITIQUES
INCLURE DES FACILITES POUR INSPECTION DANS LA CONCEPTION
INTRODUIRE DES REDONDANCES LORSQUE NECESSAIRE
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Les bases - 1. Gnralits J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
REGLES POUR OBTENIR UNE HAUTE FIABILITE (Suite)
FAIRE ATTENTION AUX ASPECTS MAINTENANCE f (FIABILITE)
FAIRE ATTENTION AUX ASPECTS TRANSPORTS, STOCKAGE
UTILISER DES COMPOSANTS STANDARDS SI POSSIBLE
FAIRE ATTENTION AUX ASPECTS FABRICATION f (FIABILITE)
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Les bases - 1. Gnralits J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
COMPARAISON ELECTRONIQUE MECANIQUE
ATTRIBUTS ELECTRONIQUE MECANIQUE
Mode de dfaillance
Facteurs de contrainte
Burn-in
constant
croissant
Dure de vie
Test de vie
Maintenance
Donnes de fiabilit
Simple
Prdictible
conomiquement justifiable
Applicable pour de longues dures
Obsolescence, vieillissement
Courte due lobsolescence
Bon march et efficace
Remplacement
Nombreuses
Complexe
Difficile prdire prcisment
Trop cher
Applicable pour de courtes dures
Arrive trs tt
Longue
Difficile et cher
Rparation et remplacement
Trs peu de bonnes donnes
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Les bases - 1. Gnralits J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
LES TYPES DE PROBLEMES DU FIABILISTE
AMELIORER LA CONCEPTION / CRITERES SURETE DE FONCTIONNEMENT
"ASSURANCE" SURETE DE FONCTIONNEMENT DU SYSTEME
EVALUATION QUANTITATIVE DE LA FIABILITE / OBJECTIF
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Les bases - 1. Gnralits J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
CRITIQUE DES ANALYSES SYSTEME
* AMDEC SOUVENT UTILISEES DE FACON "PURE ET BRUTE"
AVANTAGESBALAYAGE EXHAUSTIF
TIENT COMPTE DE L'ENVIRONNEMENT
FILTRE FIN
INCONVENIENTSPANNE D'ORDRE 1
PROBLEME POUR LES SCENARIOS DE PANNES COMPLEXES
CONVERGE LENTEMENT VERS LES PROBLEMES DE CONCEPTION
LOURD-VOLUME DE PAPIER IMPORTANT
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Les bases - 1. Gnralits J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
ETUDE SYSTEME
ETUDE QUALITATIVE DU TYPE :
AMDEC
ANALYSE FONCTIONNELLE
ARBRE DE DEFAILLANCE
CALCULS PRELIMINAIRES
"COMPOSANTS CRITIQUES"
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Les bases - 1. Gnralits J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
TENDANCES POUR LES ETUDES SYSTEMES
* COMPLEMENT OU REMPLACEMENT DE LAMDEC PAR DIVERSES METHODES
ANALYSE FONCTIONNELLEDEN/CNESCEPAMDEC ASTUCIEUSES
FTA, ARBRE DEVENEMENTS
ANALYSE DE RISQUESCONDITIONS INSIDIEUSESDES IMPREVUSMODES COMMUNS...
BUT : CONVERGER PLUS RAPIDEMENT VERS LOBJECTIF DE LETUDE
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Les bases - 1. Gnralits J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
TENDANCES RECUEIL DE DONNEES
RETOUR DEXPERIENCE FAVORISE PAR OUTILS :BASE DE DONNEES
STATISTIQUE SIMPLE
TEST PLUS PUISSANT (EDF)
VOIR ECHELLE NATIONALE
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Les bases - 1. Gnralits J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
TENDANCE : CALCULS NON STANDARDS
MAITRISE DES MATERIAUX :BASE DE DONNEES
MODELESDANG VAN
AMORCAGE DES FISSURES
A FOND D ENTAILLE
MODELE DE GREAGER (d)
SCHIVJE k = f(a)
...
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Les bases - 1. Gnralits J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
CONCLUSIONS
BESOIN DE STANDARDISATION MECANIQUE / ELECTRONIQUE
MODELE
GROUPE DE COMPETENCE
DIALOGUE MECANICIEN / FIABILISTE
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Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
2. METHODOLOGIE
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Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
SPECIFICITE DE LA FIABILITE EN MECANIQUE
PHENOMENES DE VIEILLISSEMENT ET D'USURE
ABSENCE DE NORMALISATION ET DE STANDARDISATIONsources de donnes limitesniveau de dcomposition
AFFAIRE DE MECANICIENScalculsmodes de dfaillance...
non constantlois statistiques complexes
t
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Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
LOIS STATISTIQUES UTILISEES
- Loi exponentielle f(x) = e - x , E(x) = , (x) =
- Loi binomiale - Lois discrte (succs ou chec)- Exploitation essais (bon ou mauvais)
Probabilit (k dfaillances sur n essais) = Ckn pk (1-p)n-kp : proportion dfectueuse
- Loi normale - Incertitudes sur mesures, fabrications- Phnomnes de fatigue (Wohler)- Forme limite loi binomiale- Tests statistiques aiss
F(x) = e -- Loi log normale
- y = ln x normale- Mortalits et dures de rparation
1
12
1 2
(x - x)22 x 2
x
x
0 x
f(x)
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Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
LOIS STATISTIQUES UTILISEES (suite)
souple
roulements, engrenages, etc ...
f(x) =
= 3 = 1 = 0.5
f(X)
X
x - - 1 . Exp - x -
Techniques baysiennes = 0 : exponentielle f(x) = entier : Poisson Nombre dincidents sur un parc important Probabilit (x = k) = avec m = t E ( ) = V() = m
- Loi de Gamma
- Loi de Poisson e - /
+ 1 ( + 1)
mkkI
e - m
- Loi de Weibull
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Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
LA FIABILITE EN MECANIQUE
SA SPECIFICITE
LA METHODOLOGIE GENERALE
CONTRAINTES RESISTANCE
FIABILITE
EFFORTS STATIQUESDE FATIGUEOLIGOCYCLIQUES
MECANIQUE DE LA RUPTURE
PIECES PARTICULIERES
TABLES DE TAUX DE DEFAILLANCE
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Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
ANALYSE DE LA MISSION - ANALYSE PRELIMINAIRE
DEFINIR Le besoin et les objectifs
La mission
Les limites du systme
Les conditions de succs ou d'chec
Spcifications techniques et fonctionnelles
Dossiers de plans et de calculs
Graphe de missionModes nominaux, dgrads, catastrophiques
Blocs diagrammes fonctionnels
Composants critiquesChoix mthode de calculAxes de recherche des donnes
ENTREES
SORTIES
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Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
ANALYSE QUALITATIVE
Failure Modes Effects and Criticallity Analysis
Analyse des Modes de Dfaillances de leurs Effets et de leur Criticit
Entres Modes de dfaillance composantschelle de criticit
Liste des causes des dfaillancesConsquences au niveau systme sur la russite de la mission
Sorties
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Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
MODES DE DEFAILLANCE
CORROSION : PIQURES, CONTRAINTES, CAVITATION, ATTAQUES CHIMIQUES, EROSION, GALVANIQUE
FRETTAGE : FATIGUE, USURE, CORROSION
FLAMBAGE
FATIGUE : THERMIQUE, CYCLES ELEVES, CYCLES FAIBLES, SURFACE
BRINELLING, ECAILLAGE
USURE : IMPACT, ADHESIVE, FRETTAGE, ....
FRAGILE
COMBINEES FATIGUE ET FLAMBAGE
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Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
MODES DE DEFAILLANCE (suite)
CHOC THERMIQUE
RELAXATION THERMIQUE
STRESS CORROSION
DEFORMATION ELASTIQUE
COMBINEE EFFORT TEMPERATURE
RADIATION
FATIGUE ACOUSTIQUE
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Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
MECANISMES PHYSIQUES DE DEFORMATION
DEFORMATION ELASTIQUE : NIVEAU ATOMIQUE
DEFORMATIONS PERMANENTES ELASTIQUES OU VISCOPLASTIQUES = NIVEAU CRISTALLIN
GLISSEMENTS ET MACLAGEDISLOCATIONS
LES RUPTURES
RUPTURE FRAGILE = LIAISONS INTER ATOMIQUES
RUPTURE DUCTILE = DEFAUTS CRISTALLINS
RUPTURE PAR FATIGUEPHASE D'ACCOMMODATIONPHASE D'AMORCAGEPHASE DE CROISSANCE
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Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
Composantes du vecteur contrainte et de la matrice reprsentative du tenseur des contraintes (d'aprs Germain-Muller)
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21
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T1
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23
13
T3 X1
X3
X2
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12
T2
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Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
Variables de dformation et de dplacement
Description en vitesse Description en petites perturbations Description en transformation finieVariables dEuler
t) M(x, M =Configuration actuelle
v Vitesser
Gradient des vitesses v grad r
Tenseur des taux de dformation
( )[ ]Tv grad v grad 21 D
rr+=
Tenseur des taux de dformationslastiques De
Tenseur des taux de dformationsinlastiques Dp
Partition D = De = Dp
Tenseur de Piola-Kirchhoff 1 1-TF . (F) det S =
Tenseur de Piola-Kirchhoff 2 S . F *S -1=
D D D ppee === &&& D D D ppee &&&
Variables dEuler Variables de Lagrange
u tDplacemenr
Gradient des dplacements u grad r
Tenseur des dformations
( )[ ]Tu grad u grad 21
rr+=
Tenseur des dformationslastiques e
Tenseur des dformations inlastiques p
Partition = e = p
Variables de Lagranget) ,t ,M(M M 00=
Configuration initiale
Gradient de la transformation linaire tangente
Tenseur de Green-Lagrange
( )1F F 21 T =
Transformation lastique par rapport la configuration relche E
Tenseur des dformations lastiques
Transformation inlastique P
Tenseur des dformations inlastiques
Dcomposition F = E . P( e + p)
Configuration actuelle configuration initiale
Tenseur des contraintes de Cauchy Tenseur des contraintes de Cauchy
Transformation ( )( )t ,t ,MxF x(M) 00=
( )0MxF F
=
( )1E E 21 Te =
( )1P P 21 Tp =
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Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
DETERMINATION DES CONTRAINTES
Dcomposition du systme en sous-systme et composants (niveau de dcomposition)
Contraintesmcaniquesusure et rosioncorrosionthermiques
Dtermination par:calculsmesures
Distribution statistique
Outils : Rsistance des Matriaux Outils Informatiques (CAO) Techniques d'essais Exploitations statistiques
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Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
DETERMINATION DE LA RESISTANCEA LA CONTRAINTE DES ELEMENTS
Lois de survie des lments soumis :fatigueusure
Distribution statistique de la rsistance la contrainte
Composants "standardiss (roulements, bagues, engrenages) : lois de survie
sinonthorie de la fatiguemcanique de la rupturedonnes en exploitationessaistables de donnes
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Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
INTEGRATION DES RESULTATS AU NIVEAU SYSTEME
Entres : tudes au niveau composant
Sorties : Fiabilit (et ventuellement Scurit - Disponibilit)
Comparaison l'objectif :Objectif respect ?
OUI NON
Propositions de modificationsou d'amliorationsRetour conception
- fatigue
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Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
ANALYSE DUNE DEFAILLANCE
Erreur humaine proprement dite : oubli ngligence tourderie etc
Erreur humaine due aux contraintes extrieures : manque de temps mauvaise condition de travail qualification inadapte etc
Erreur humaineou faute
Lentit est diffrente de ce quelle doit tre vis vis de la fonctionnalit vise
Faiblesse ou dfaut potentiel
Certaines fonctions ne peuvent pas tre ralises pour un profil ou contrainte dutilisation donn
Dfaillance
Rencontre de 2 conditions : lentit est dans un tat de faiblesse et le profil ou contrainte dutilisation
correspond celui qui engendre la faiblesse
Densit deprobabilit
contrainte rsistance
Mesurephysique
Interaction entre le produit et lenvironnementLa probabilit de dfaillance est figure par la zone
hachure lintersection des deux surfacesPanne
Une dfaillance n est pas systmatiquement aperue par lutilisateur
Statistiquement, une panne est engendre par 2,5 dfaillances
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Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
ERREURS HUMAINES
4 PHASES :IdentificationInvestigationActions correctivesVrification
PRATIQUESPrvenir les erreurs de connexions
duquer sur les erreurs possibles
Obtenir des informations sur systmes similaires
Concevoir des systmes prenant en considration lerreur humaine
Se souvenir que lhumain nest pas trs fiable
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Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
QUALIFICATIONINADEQUATE
NEGLIGENCE
INCOMPETENCE
EDUCATION INADEQUATE
AUTORITE INADEQUATE
EXPERIENCE INADEQUATE
60%
PRATIQUEMALHONNETE
APTITUDE A COMMUNIQUER
INADEQUATE
DEFAILLANCESEN CONSTRUCTION
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Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
PROPOSED SET OF TYPICAL FAILURE CAUSE POSSIBILITIES
CAUSES REF. PROBABILITIES
Design Incorrect design w.r.t mechanical environment C1 10-3
Incorrect design w.r.t the selection of a functional parameter C2 2 . 10-2
Incorrect design w.r.t thermal environment C3 5 . 10-3
Incorrect design w.r.t ground environment C4 5 . 10-3
Realisation Material not complient with the definition metallic C15 10-2
composite, bonding C25 10-1
Incorrect machining C6 3 . 10-3
Incorrect thermal treatment C7 10-3
Incorrect surface treatment C8 5 . 10-3
Incorrect assembly C9 3 . 10-3
Incorrect adjustment C10 10-2
Degraduation during handling, storage, integration, C11 10-3
No respect of storage conditions, of life time limitations, C12 3 . 10-3
Incorrect realization of a manufacturing process C13 5 . 10-3
Typical realization "human error" C14 3 . 10-3
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Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
PROPOSED SET OF TYPICAL SOLUTION FAILURE POSSIBILITIES
SOLUTION REF. PROBABILITIES
Testing Qualification testing structural aspects S1 2 . 10-2
Qualification testing functional aspects S2 5 . 10-2
Acceptance testing structural aspects S3 5 . 10-2
Acceptance testing function aspects S4 10-1
Development testing S5 5 . 10-2
Inspection / Analysis Incoming inspection S6 metallic 5 . 10-3,composite,bonding, 5 . 10-2
Dimensional inspection S7 5 . 10-2
Surface treatment inspection S8 5 . 10-2
Heat treatment inspection S9 5 . 10-2
Manufacturing process inspection S10 5 . 10-2
Visual inspection S11 5 . 10-3, whenexplicity required
Integration inspection S12 5 . 10-3, whenexplicity required
Etablishment of a procedure S13 5 . 10-2
Check by analysis S14 5 . 10-2
Typical manufacturing inspection S15 5 . 10-2
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Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
FIABILITETHEORIQUE
P13Marges de
Tolrancement
P12Marges de
Sollicitations
P11Marges
Fonctionnelles
P22Efficacit
des parades
P21OprationIncorrecte
R = Pi
FIABILITEPRATIQUE
1 - P2
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Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
FIABILITE
THEORIQUEMECANIQUE
THEORIQUEFONCTIONS PRATIQUE
R1 R2 R3
ELABORATIONINCORRECTE PARADES
tudes des marges Dispersion des efforts caractristiques
Tolrance Dispersion des fonctions
Conception Ralisation
Tests Inspection
=
=3
1 iRi R
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Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
ALLOCATION DE TOLERANCES POUR ASSEMBLAGES MECANIQUES
Zone dacceptation
Tolrance dAssemblage
Schmadallocation
Tolrance des composants
Dfinition d une fonction de cot/tolrance
Mthodes de programmation linaire
Mthodes de programmation non linaire avec contraintes
Cot = A . f (B . T)
A = cots fixesB = cot pour obtenir T
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Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
ANALYSE DES VARIATIONS1. PIRE CAS2. RMS3. MONTE-CARLO
Composant A Composant B
Sous-systmeA
Composant C Composant D
Sous-systmeB
PROBLEME
Systme
HIERARCHISATION DES CARACTERISTIQUES
Limites de tolrances
Fonctions classes CF0CF1CF2
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Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
NEF
1) Analyse fonctionnelle
2) Analyse des marges
3) Probabilit thoriqueFiabilit thorique
4) Probabilit d laboration incorrecte (fiabilit pratique)P1 = modes dgradsP2 = autres causes
5) Mise en place de solutions et leur efficacit
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Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
Dcomposition de la courbe en baignoire reprsentant les distributions dutaux de dfaillance du produit durant son cycle de vie
N (m1,1)Distribution de la dfaillance de jeunesse (Erreurs de conception et de fabrication)
N (m2,2)Distribution de la dfaillanceoccasionnelle ou anormalede la fabrication(Erreur accidentelle ou anormalede la fabrication courante)
N (m3,s3)Distribution de la dfaillance intrinsque la technologie
N (m4,s4)Distribution desdfaillances d'usure
taux de dfaillance
temps
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Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
MATERIAUX
ENVIRONNEMENTSYSTEME
Re, Rm, Klc,
t
OBJECTIF
t
SOLLICITATIONS
CONTRAINTES
F
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Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
Mcanique Alatoire
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Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
Dimensionnement des structures
tape (1)Dfinition des actions
et des matriaux
Acquisition des donnes statistiques sur les phnomnes physiques naturels
tude de la relation entre le phnomne physique et les actions mcaniques
Dfinition des exigences relatives aux fonctions dusage et choix architectural
Dfinition des actions mcaniques relatives aux fonctions dusage
Caractrisation physique et loi de comportement - Rhologie des matriaux
Dfinition des donnes rglementaires considres comme extrmes selon les tats limites choisis
Connaissance des variables alatoires et des processus
ou
Choix d une structure par reproduction et extrapolation de l exprience et estimation de ses paramtres
Conception d une forme structurale qui intgre la relation FORME/FORCE pour optimisation
ou
Vrification de la fonction mcanique de la structure et des rglements
Acquisition de donnes sur les imperfections et valuation de la scurit conventionnelle pour chaque tat considr
ou
tape (2)Donnes de la
conception
tape (3)Conception de la
forme
tape (4)Vrification des
fonctions satisfaites
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Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
Schma dun systme mcanique en utilisant des espaces de trajectoires
Actions a SystmemcaniqueRponse p = K(a)
Systmedobservation
Observation obs = B(p)
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Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
quation diffrentielle stochastique
exct = processus dexcution
quation de Fokker-Planck (EFP)
( )ttt exc t, , f =&
( )ds exc s, ,f 't'
tsstt +=
( ) ( )dW(t) dt b d ttt +=
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Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
AVANTAGES
Modles descriptifs mathmatiques ajustable sur donnes alatoires
Schmatisations physiques, traitements mathmatiques prenant en compte les diverses sources d incertitudes
Transfert des incertitudes sur rsultats, mise en vidence sensibilits, facteurs de dcision
Dtection de phnomnes significatifs ayant leur origine dans la dispersion ou variabilit
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Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
CARACTERE ALEATOIRE DES ACTIONS
Actions naturellesles sismesle ventla neigela houlepluies, crues, couranttempratures, gradients thermiqueschocs de glace
Actions dexploitationscharges de trafic sur les structurescharges de plancher
Actions accidentelles
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Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
APPROCHE PROBABILISTESTATIQUE ET DYNAMIQUE
Approche statique
V0 = S (Vb)
Approche dynamique
Y(t) = f(Xt)
Xt = excitation Y(t) = rponse
On introduit gnralement
Zt = h Y(t)
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Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
MODELISATION
Mthodes de filtrage linaire
Modles traitement analytique
Linarisation quivalente
Perturbations
Stabilit - non explosion - ergodicit - stationnarit
Gamma, convergence
Markovianisation approche
quations Fokker - Plank
Mthodes numriques
SystmemcaniqueActions A
Rponsep = K(a)
Systmedobservation
Observationobs = B(p)
55
36
Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
LE VENT
Vent naturelvariation lentevariation rapide
vitesse moyenneturbulence
Corrlation spatialedensit spectrale unilatrale
DavenportHarris
Pressions et forces arodynamiques
t) (M,'V (M)V t) (M,Vrrr
+=
(M)V
t) U(M, t) (M,V'
56
37
Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
TENUE AU VENT
ALGORITHMES :
Shinozuka et JanAnalyse spectrale et filtrage linaire
BorgmanFiltrage linaireAnalyse de Fourier de la fonction transfert impulsionnelle caractrisant le filtre
Wittig et SinbaAnalyse spectrale n(t)FFT
Markovianisation approche
t) t, t,X f(Xt, tXM = & EQUA DIF STOCHASTIQUE
M = matrice carre, relle symtrique, dfinie positiveXt = rponse de la structuref = fonction valeurs vectoriellesnt = excitation gaussienne stationnaire centre
57
38
Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
VAGUES(t) = variation niveau
T0 = priode
Hauteur de vague significative Hs ou H1/3
Nombre moyen de passages 0 Tztemps entre passage 0Tz = 3.349 Hs0.559
Loi de Weibull
2 relationsPierson et Moskowitz
JonswapUtilisation PETCH = distance et direction du vent
+
-S
S(w)
= Transforme de Fourier complexe
58
39
Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
Modle de vagues
Thorme de Airy :deux dimensionspression de surface ngligeabletermes non linaires ngligeablesdplacements de surface ngligeable
vitesse des particules et acclrations
Effet du courant
Modle deffortcoefficients de MorisonEffet de traces cdEffet d inertie Cm
Coefficient de Morison Cd et Cm
wt)-(Kx cos a T) (x, +
pU et pU&
dP(t)
59
40
Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
DISTRIBUTIONS DE PROBABILITE PAR VARIABLES
Vitesse du ventDavenport
Loi de Rayleigh pour vitesse horaire en un point particulier
Type 1 Fy(y) = EXP (-EXP (-x(y-v)))
Type 2 Fy(y) = EXP (-(u/y)k)
Type 3 Fy(y) = 1 - EXP
-K -y
60
41
Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
REPONSE SISMIQUE ET ALEATOIRE DES STRUCTURES DES REACTEURS NUCLEAIRES
1. INTRODUCTION
Les racteurs sont soumis des sollicitations de deux types :les sollicitations sismiques qui sont transitoires,les fluctuations de pression induites par les coulements perturbs qui sont stationnaires.
Le spcialiste du dimensionnement possde un certain nombre de donnes :de nature rglementaire pour les sismes,de nature exprimentale pour les pressions fluctuantes.
Le besoin actuel est de :mieux cerner les marges de scurit,tenir compte des non-linarits de la structure,mesurer leffet d incertitude sur les caractristiques mcaniques des structures.
61
42
Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
REPONSE SISMIQUE ET ALEATOIRE DES STRUCTURES DES REACTEURS NUCLEAIRES (suite)
2. DONNEES SISMIQUES ET ANALYSE DE LA REPONSE DES STRUCTURES
On dfinit pour un site un sisme maximum historique raisonnable (SMHV) avec une intensit I et sa profondeur H.
Pour effectuer des calculs de rponse, on utilise un spectre de rponse doscillateurs S(, ) qui reprsente le maximum au cours du temps de la rponse d un oscillateur harmonique de frquence et d amortissement rduit .
Ceci est effectu laide dabaques construits partir de sismes enregistrs.
S(, ) = F (, , H, I)
Deux niveaux de sismes sont dfinis :un sisme de base aprs lequel linstallation peut redmarrer I = SMHV,un sisme de sret aprs lequel linstallation doit rester sre. Son intensit est telle que :
IS = IB + I
62
43
Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
REPONSE SISMIQUE ET ALEATOIRE DES STRUCTURES DES REACTEURS NUCLEAIRES (suite)
3. ANALYSE DE LA REPONSE DES STRUCTURES
La mthode Modale est utilise en gnral pour le calcul de la rponse de la structure.
Elle consiste dterminer les modes propres de la structure sur lesquels on applique le spectre doscillateur de manire obtenir le maximum atteint au cours du temps.
Le maximum de la rponse de la structure est calcul en effectuant la combinaison quadratique des maximum modaux.
Par contre la mthode modale suppose :les problmes linaires,pas d interactions entre modes,les facteurs de pie ne sont pas modifis.
63
44
Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
REPONSE SISMIQUE ET ALEATOIRE DES STRUCTURES DES REACTEURS NUCLEAIRES (suite)
3. ANALYSE DE LA REPONSE DES STRUCTURES (suite)
Lorsque lon passe de la rponse doscillateurs simples la rponse de systmes plusieurs rsonances (trs faux pour rsonances faiblement amorties) ; des formules permettent deffectuer une correction pour tenir compteapproximativement de ces effets (ROSENBLUTH).
Pour un systme deux oscillateurs :
(1, 1) (2, 2) on a
avec et
T = dure de sisme
C1 et C2 = coefficients de participation modale
22 1
22112
22
21
21
2
1max YCmax YC 2 max YC max YC max Z
+++=
( )2
'21
'1
2112
, +
=
( )2T 1 '
+
=
64
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Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
REPONSE SISMIQUE ET ALEATOIRE DES STRUCTURES DES REACTEURS NUCLEAIRES (suite)
4. METHODE STATISTIQUE DANALYSE SISMIQUE
Pour pallier aux inconvnients de la mthode modale, une mthode statistique a t dveloppe.
Cette mthode suppose que le signal sismique f(t) est obtenu laide :dune fonction alatoire stationnaire (t) de densit spectrale F(),dune fonction variation lente E().
Une ralisation ft() = E() (t) (0 T).t() tant une ralisation de (t) considre dans lintervalle de temps [t, t + T].La rponse to dun systme linaire quelconque ft(z) est une fonction alatoire stationnaire dont la densit spectrale est :
X(, to) = H((, to) H*(, to) F() avec :
( ) e ) - E(to h(z) to ,H ai2to0
=
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Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
REPONSE SISMIQUE ET ALEATOIRE DES STRUCTURES DES REACTEURS NUCLEAIRES (suite)
4. METHODE STATISTIQUE DANALYSE SISMIQUE (suite)
h() rponse impulsionnelle caractrisant le systme linaire.
F() et E() tant dduits des spectres doscillateurs.
S(, ) ce qui permet dobtenir : la valeur quadratique moyenne de la rponse
les donnes ncessaires la fabrication de spectres,la dterminations des facteurs de pic en utilisant la mthodologie de VANMARCKE.
1/2
- d to) ,X( (to)X
=
+
66
47
Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
REPONSE SISMIQUE ET ALEATOIRE DES STRUCTURES DES REACTEURS NUCLEAIRES (suite)
5. ANALYSE SISMIQUE TEMPORELLE
Dans certains cas, il est ncessaire davoir une analyse en fonction du temps de manire :
tenir compte des non-linarits, pouvoir effectuer des essais en injectant des spectres enveloppants le spectre rglementaire, tirer de lanalyse sismique un champ spatial de contraintes.
Cette mthode nest nanmoins pas statistiquement satisfaisante, car on ne dfinit pas prcisment le processus alatoire sismique.
67
48
Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
REPONSE SISMIQUE ET ALEATOIRE DES STRUCTURES DES REACTEURS NUCLEAIRES (suite)
6. AUTRES METHODES DANALYSE
Pour calculer la rponse de systmes non linaires certains auteurs ont pens utiliser les quations de FOKKER-PLANK. Soit pour un processus de MARKOV non stationnaire Y(t). On peut montrer que la densit de probabilit conditionnelle Pc(Yo, Y, t) vrifie une quation diffrentielle parabolique du type :
On peut appliquer cette quation un vecteur de fonctions alatoires X(t) vrifiant un systme dquations non linaires de type :
F(t) = source dexcitation alatoire
Y(t) tant le secteur
Dune faon gnrale, les quations de FP peuvent tre intressantes pour analyser des systmes simples et en dduire certaines rgles ou modles lmentaire qui sont ensuite vrifis sur des cas plus complexes.
( )pc bij yj yi
1/2 pc) (ai yi
- t
pci j
2
i
+
=
( ) F(t) K(X) X ,X A X =++ &&&
)t(X)t(X
&
68
49
Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
ANALYSE PRELIMINAIRE
ANALYSE QUALITATIVE(FMECA)
MODELISATION
CALCULS DE FIABILITEDES COMPOSANTS
CALCUL AU NIVEAUSYSTEME
APPROCHE APPROCHE FIAB-MECA
FIN
OKCOMPARAISON/ OBJECTIFS COMPARAISON/ OBJECTIFS
MODIFICATIONSNIVEAUX DE QUALITEARCHITECTURE SYSTEME(REDONDANCES)
MODIFICATIONSDIMESNSIONSMATERIAUXARCHITECTURE
69
50
Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
APPROCHE FIABILITE EN MECANIQUE
COMPOSANTS CRITIQUES
CHOIX METHODE
COMPOSANTS SIMILAIRESSUR SYSTEMES SIMILIAIRES
APPROCHE
RECUEIL DE DONNEESEN EXPLOITATION
RECUEIL DE DONNEESEN MAINTENANCE
CALCUL (t) AVEC INTERVALLEDE CONFIANCE
COMPOSANTS STANDARDS
METHODE constructeur
CONDITIONS DUTILISATIONET SPECTRE DE CHARGE
RECUEIL DE DONNEESTECHNOLOGIQUES
CALCUL (t) ET R(t)PAR METHODES NORMAL.
COMPOSANTS MAL CONNUS
OU PIECESDE STRUCTURE
CONDITIONS DUTILISATIONET SPECTRE DE CHARGE
RECUEIL DES CARACTERISTIQUESMECANIQUE DES MATERIAUX
CALCUL DE CONTRAINTERESISTANCE
CALCUL DE RESISTANCE DES MATERIAUX NECESSAIRES
70
51
Les bases - 2. Mthodologie J-C Ligeron -M2OS/IMdR 2009
CHARGECaractrisation probabiliste des forces extrieure dues lenvironnement
COMPORTEMENT MECANIQUE
Fonctions dtat limite
- plastification - flambement - poinonnement
Comportement post-ruine
Identification des variablesalatoires de base dans lesmodles mcaniques
METHODES DE FIABILITE
Pour un lment de rupture- mthode dHasofer-Lind- mthode dapproximation
par la loi Normale
Pour la structure dans son ensemble
- distribution multinormale- hyperplan quivalent
Algorithme de recherche des principaux mcanismes
ASPECT STRUCTURE
Mthode danalyse de structure
Mthode de r analyse de structure
Critre dobtention demcanisme
LOGICIEL DANALYSE DE FIABILITE GLOBALE
71
1
Les bases - 3. Thorie de contrainte / rsistance J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
3. THEORIE DECONTRAINTE / RESISTANCE
72
2
Les bases - 3. Thorie de contrainte / rsistance J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
METHODOLOGIE "CONTRAINTES-RESISTANCE"
DOSSIER DECALCUL
GRAPHE DEMISSION
DETERMINATIONDES CONTRAINTES
DETERMINATIONDES RESISTANCES
DONNEES SURLES MATERIAUX
COMPARAISON CONTRAINTE / RESISTANCE
PROBABILITE DE DEFAILLANCE DES COMPOSANTS
73
3
Les bases - 3. Thorie de contrainte / rsistance J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
CONTRAINTES
STATISTIQUES ALEATOIRES
GRANDNOMBRE
DECYCLES
FAIBLENOMBRE
DECYCLES
Re, sD Whler
Goodman...
Miner
Fatigueoligo-
cyclique
KlcParis
Neuber..
ABANDE
ETROITE
CF.sinusod.
ABANDELARGE
Mthodesde
comptage
Re, Rm, Klc, ...
METHODE "CONTRAINTE - RESISTANCE"
SINUSOIDALES
74
4
Les bases - 3. Thorie de contrainte / rsistance J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
CONTRAINTE ET RESISTANCEVALEURS DE RESISTANCE A LA CONTRAINTE
Donnes ncessaire :- limite d'lasticit- charge la rupture- limite de fatigue- module de Young, de Poisson- Kt, q, etc ...
Sources :- donnes fabricant- travaux Tucson- Metal Handbook (AMS)- MIL HDBK 5B- essais
si possiblesous forme
distributionnelle
75
5
Les bases - 3. Thorie de contrainte / rsistance J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
CONTRAINTE ET RESISTANCELES CONTRAINTES STATIQUES
Incertitudes sur la rsistance P- Environnement- Tolrances de montage d'usinage- Traitements thermiques- Htrognits- Etc.
Incertitudes surla contrainte C
PnPqPu
P
A C PR
Probabilit de rupture
E
76
6
Les bases - 3. Thorie de contrainte / rsistance J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
FACTEURS DE SECURITE
1) SF = USWS
WS = CONTRAINTE DE TRAVAILUS = RESISTANCE MAXIMUM
2) SF = MSLNSL
MSL = CHARGE MAXIMUMNSL = CHARGE NORMALE
3) SF = MSML
MS = RESISTANCE MOYENNEML = CHARGE MOYENNE
4) SF = YSWS
YS = LIMITE ELASTIQUEWS = CONTRAINTE DE TRAVAIL
77
7
Les bases - 3. Thorie de contrainte / rsistance J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
5) SF = DSMNS
DS = CONTRAINTE DE DOMMAGE (LIMITE DE FATIGUE)MNS = CONTRAINTE MAXIMUM CONNUE
6) FSg = Fol . Fld . FsuFSg = APPLICABLE AUX ENGRENAGESFol = CORRECTION DE SURCHARGEFld = CORRECTION DE DISTRIBUTION DE CHARGEFsu = FACTEUR DE SECURITE USUEL
7) FS =
fi = FACTEUR DE CHOCf2 = FACTEUR D'ELASTICITEf3 = MARGE REELLE DE SECURITE
fi 31 i =
normale Contraintechoc le par gnre Contrainte
SgSsh f1 =+
lastique Limitemaximum Rsistance
ELUS f2 =+
78
8
Les bases - 3. Thorie de contrainte / rsistance J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
FIABILITE EN MECANIQUEASPECTS DETERMINISTES - ASPECTS PROBABILISTES
s
F(0)F()
F(0)F()
Contrainte applique F()
Rsistance la contrainte0 F(0)
0
0
0
0
Facteur de scurit S=0
79
9
Les bases - 3. Thorie de contrainte / rsistance J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
COMPARAISON "CONTRAINTE ET RESISTANCE"
Entres : Contrainte C et rsistance par composantLoi de survie et rparation rsistance
Sorties : Loi de fiabilit du composant
Outils : Algbre des V.A.Simulation de Monte-CarloMthode R / CTransforme de MellinDrives partielles
C
Approche classique
Coefficient de scurit
k=C
Approche statistique
Fiabilit
R = proba ( > C)
c
C p
80
10
Les bases - 3. Thorie de contrainte / rsistance J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
dCC1
f1 (C1)
f2 (2) C
f1 (C)
f2 ()f1 (C)
f2 ()
Distribution de la contrainte C
Distribution de larsistance la
contrainte
81
11
Les bases - 3. Thorie de contrainte / rsistance J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
La probabilit d une contrainte C1 est gale la surface de l lment diffrentiel dC, soit :
La probabilit d une rsistance la contrainte suprieure C1 est :
La probabilit d avoir une contrainte C, et d y rsister est donc le produit des deux possibilits, c est la fiabilit relative la possibilit d une contrainte C1, soit :
La fiabilit est la probabilit que la rsistance la contrainte soit suprieure toutes valeurs possibles de C, soit :
On aurait pu raisonner de la mme faon en considrant une rsistance la contrainte 2 et la probabilit que la contrainte applique doit infrieure.
On aurait alors :
( ) dC C f 2
dC C C 2
dC - C Prob 11111 =
+
( ) ( ) =>
d f C Prob1C
21
( ) ( ) =
d f dC C f R1C
211d
dC d )(f (C)f dR R- 2- 1-
==
+
+
+
dC d )(f (C)f RC 2- 1
=
++
( ) : soit dC, (C)f d f dR 2- 122
=
=
+
d dC (C)f )(f R
C 1- 2
82
12
Les bases - 3. Thorie de contrainte / rsistance J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
AUTRES TRANSFORMATION
Transf. z Distributions d origine Distributions finale
n21 X ... X X Z += Toute normales suivant N(ui, i) Normales suivant :
i
, ui N
21 X X Z += Uniformes dans (a1, b1) et (a2, b2)2
b b a a u 2121Z
+++=
( ) ( )12
a b a b
222
2112
Z
++=
Distribution trapzodale
Soit (b1 - a1) < (b2 - a2) on obtient :
11 a b1
a1 + a2a1 + b2 a2 + b1
b1 + b2
11 a b1
a1 b1
n21 X .. X X Z .+= Distributions exponentielles indpendantes de mme paramtres
Distributions Gamma
avec = n - 1
( )
++ = Z/-11 e Z
1 f(Z)
n21 X .. X X Z .+= Distributions Gamma de mme et de paramtres a1, a2 ... an
Distributions Gamma de mme et = a1 + a2 + ... an + (n - 1)
83
13
Les bases - 3. Thorie de contrainte / rsistance J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
MOYENNES ET DISPERSIONS DE FONCTIONS DE VARIABLES ALEATOIRES
) -
i = 1n
i = 1nn ni = 1 i = 1
Z UZ V(Z) = Z Observations
a X a UX a X a = constante
X + a UX + a X a = constante
X - Y UX - U Y X + Y + 2 r X Y
X + Y
V.A. dpendantes
V.A. indpendantes
X . Y UX UY + r X YUX Y + U Y X + X Y + r X Y + 2 r U X . UY X Y
UX Y + U Y X + X Y
V.A. dpendantesNormales
V.A. indpendantesNormales
X UX + x 4 UX X + 2 X4
X / Y
(UX /UY)+(U X Y/UY)(r X Y/UX UY)
UX / UY
UX/UY(X/UX + Y/UY - 2 r XY/ UX UY)
UX Y + U Y X / UY4 V.A. dpendantesFormules trsapproches
V.A. indpendantesFormules trsapproches
X 1/2 (UX - X/2) 1/4 UX - (2/X - X/2) 1/2
Xi UXi (U Xi + UXi UXi V.A. indpendantes
Ux Uy
84
14
Les bases - 3. Thorie de contrainte / rsistance J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
CALCUL C/R
1er cas
CC
25 daN/mm2 30 daN/mm2
2me cas
CC
25 daN/mm2
N(30,2)
Dispersion sur
R = ?
R = ?
C
3me cas
N(25,3)
C
85
15
Les bases - 3. Thorie de contrainte / rsistance J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
CORRECTION
1er cas
2me cas
3me cas
1,2 2530 Cs ==
2,5- 2
30 - 25 u ==
R = 1 - F (-2,5) = F(2,5)
R = 0,9938
R = P ( > C) = P( > 1)= P(log > 0)
( )( )1/2C2C , - N Log 2+==> N (5, 3,6)
0 5
3,6
1,38- - - 0 u =
=
=
R = F(1,38)R = 0,916
86
16
Les bases - 3. Thorie de contrainte / rsistance J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
Comparaison contrainte/rsistanceMthode de simulation de Monte-Carlo
Contrainte
f(c)
c
F(c)
c
Rsistancef()
F()
Densit de probabilit
Fonction de rpartition
1
f( - c)
Proba ( < c)
- c0
87
1
Les bases - 4. Fatigue J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
4. FATIGUE
88
2
Les bases - 4. Fatigue J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
CONTRAINTE ET RESISTANCELES CONTRAINTES DE FATIGUE
Matriau soumis des cycles de contrainte
cration et progression de fissures amorcesaux dfauts de la matire (pailles, soufflures, ...)
Fragilisation, "fatigue"
rupture au bout d'un certain nombre de cyclespour des contraintes < limite d'lasticit
ESSAIS DE FATIGUE
prouvettes soumises des efforts cycliquesau niveau Ci Rupture Ni cycles
Courbes d'endurance(S.N)
89
3
Les bases - 4. Fatigue J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
CONTRAINTE ET RESISTANCECOURBE DENDURANCE
CZone d endurance limite
CpPe
Zone d endurance illimite
R = 0,1R = 0,5R = 0,9
N104 105 106 107 108Np
CmaxCmCmin
C
min
maxS C
CR =
t
Sollicitation
alternes
rptes
ondules
Rsx = 1
Cm 0
Rs =0
90
4
Les bases - 4. Fatigue J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
N1
1
zone d'endurance illimite
P = 0,1P = 0,5P = 0,9
Log N
N
F(c)
LN
Contrainte s
a
N
91
5
Les bases - 4. Fatigue J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
CONTRAINTE ET RESISTANCELIMITE DENDURANCE
Cn
Cmax
e = Ka.Kb.Kc.Kd.Ke..........ee = limite dendurance sur prouvette lisseKa = effet dchelle Ka = 1 1 < 7,5 mm
0,95 7,5 < d < 500,75 d > 50 mm
Kb = effet de surfaceKc = effet de tempratureKe = effet dentaille
Kr = effets divers (corrosion, radiations....)
CmaxKt = --------- (concentration de contraintes)
Cn (NEUBER)
e Kn - 1Kn = ------ f = -----------
en Kt - 1
Ke = 1 / Kn
92
6
Les bases - 4. Fatigue J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
cf
e
a
cf
f
B
pf
moy m
moy
m
a
moy
a
CC r =
=
A
93
7
Les bases - 4. Fatigue J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
D
a
f(0)
mm
m
a r
=
f()
107
ma
N
94
8
Les bases - 4. Fatigue J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
FATIGUEDIAGRAMMES DIVERS
Cmin
C
Cm
Cmax
2Ca
Ca
parabole de GERBER
droite de SODERBERG
droite de GOODMANN
e
Caaspect alatoire
Cm
Cm
Ca + Cm
mu
diagramme deGOODMANN
simplifi
Cmr2 =
u
e
mu
mu
e
u
m
0
am
diagramme de HAIGH
95
9
Les bases - 4. Fatigue J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
CONTRAINTE ET RESISTANCECourbe dendurance
Modles Whler
Bastenaire
Courbe approche
( )[ ] -c - exp -c A N e
e
=
Ln N = a - b c
Butot - Lieurade
)(N/mn2A m 0,41 2e +='
'e 0,08
'e ecba ... K . K . K =
prouvette lisse en flexion rotative
0,9 m
e
103ni 104
Ni 105 106 hN
96
10
Les bases - 4. Fatigue J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
CAS DES CONTRAINTES SINUSOIDALES
1 TRANSFORMER LES CONTRAINTES COMBINEES EN CONTRAINTE UNIAXIALECritres de Saint Vnant (traction maxi)
Tresca (cisaillement maxi)Von Miss (nergie de distorsion maxi)Dang.Van....
2 TRANSFORMER CHAQUE NIVEAU DE CONTRAINTES A MOYENNE NON NULLEEN CONTRAINTE EQUIVALENTE A MOYENNE NULLE
Diagrammes de GoodmannHaigh
Ca1Cm1
CCa2Cm2
n1 n2 n3 t
97
11
Les bases - 4. Fatigue J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
3 CALCULER LE NOMBRE DE CYCLES LIMITE A PARTIR DE LA COURBE DE WOHLERDU MATERIAU
4 CALCUL DU DOMMAGE CUMULE
Loi de MINER d =
Loi de HENRY d =
5 COMPARAISON AU DOMMAGE LIMITE (I)
niNi
(1+(1- ))niNi
niNi
Ca+CmC
Ni In.N
RmReeiD
DeI
CaiCmI
CmRm
98
12
Les bases - 4. Fatigue J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
CRITERES DE RUPTURE
Saint Venante = tractione = compressione = cission
Coulomb Tresca
Rankine
Von Mises
Torre Stassi
Bahuaud - Dang Van
Comp
= ee '
Cis.+
=
1 ee
Comp ee = '
Cis.2
ee
=
Cis. ee =
Comp ee = '
Cis.3
ee
=
Cis.3 eee
=
99
13
Les bases - 4. Fatigue J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
0
Rm
m a
Re
e
e106 cycles0
RmRe m
107 cycles
100
14
Les bases - 4. Fatigue J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
FATIGUE
BASTENAIRE
Zone Endurance Interm leves
DistributionN
1/NNormalecensure
Interm Log NNormale
Courbes 1/Nf de (c - e)
C - e =A (N+B)m
Log Nf(linaire) de c
DistributionC
Normale Normale Normale
101
15
Les bases - 4. Fatigue J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
RELATION DE BASQUIN
( )bffa 2N '='f = coefficient de rsistance en fatigue
b = Exposant de rsistance la fatiguevarie entre -0.05 et -0.12
RELATION DE MANSON COFFIN
( ) ( ) 2N 2N2
2
cff
bf
f ''
+
=
5n' 1n' - b+
=
5n' 11 - c +
=cb n' =
102
16
Les bases - 4. Fatigue J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
Limite de fatigue Sf
HB = duret Brinell
f = contrainte vraie rupture
b exposant de rsistance en fatigue
f = coefficient de ductilit en fatigue
RA = rduction de la section la rupture C ductilit en fatigue = -0.5
RELATION DE MANSON COFFIN
HB 0.25 2
S S uf ==
50 S uff +=='
=
u
f
S2 Log
G1- b
=
0.65 - 11 Ln f
103
17
Les bases - 4. Fatigue J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
ra 1
1 - K 1 K tf+
+=
31.8
31.8
u
10 x HB . 0.5
300 10 x S
300 a
=
=
r = Rayon
104
18
Les bases - 4. Fatigue J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
FIABILITE EN FONCTION DU NOMBRE DE CYCLES
DETERMINISTES
Sinusodales moyenne nullec
t
Sinusodales variant par paliers
c
t
ALEATOIRES
Bande troitec
t
Bande large
c
t
105
19
Les bases - 4. Fatigue J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
DOMMAGE
MINER 1 Nn
i
i = Understressing et Overstressing ngligs
HENRY
+=
Nn - 1 1
Nn D
( )ee -c =
CORTEN et DOLAN
Manson et NewmarkE.S.D.U.
... CC
CC
N1 Ng d
1
33
d
1
2
21 +
+
+
=
106
20
Les bases - 4. Fatigue J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
POSSIBILITES DE SIMULATION DU PROCESSUS OPERATOIRE ALEATOIRE
Simple reproduction
Analys par des mthodes de dcompte
Blocs quivalent des amplitudes harmoniques, moyennes et frquences
Amplitudes quivalentes de cycles of harmoniques
Processus opratoire
AlatoireHarmonique
quivalence amplitude et
valeur moyenne
Blocs quivalent des amplitudes et
moyennes
Analys par le moyen de la thorie de corrlation
Processus stationnaire
Fonction quivalente de densit de probabilit de paramtre caractristique
Fonction de corrlation
quivalente du processus normal
Fonction de corrlation quivalente et fonction arbitraire de densit de
probabilit
Fonction quivalente de densit de probabilit de
paramtre caractristique
Densit quivalente spectrale de puissance et fonction de probabilit de
densit
Processus non stationnaire
107
21
Les bases - 4. Fatigue J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
VARIOUS POSSIBILITIES FOR SIMULATING RANDOM PROCESSES ON THE BASIS OF CORRELATION THEORY CHARACTERISTICS
Type of process Exemple of simulated process Power spectral density Probability density function of ordinates
Stationary Gaussian (with Gaussian probability density function)
From all statistical characteristics only the Gaussian probability density function is reproduced
Not simulatedx
tg
Stationary with an arbitrary probability density function
Stationary Gaussian (with Gaussian probability density function)
Stationary with an arbitrary probability density function of peaks
Stationary Gaussian with an arbitrary power spectral density
Stationary with an arbitrary power spectral density and an arbitrary probability density function
x
tg
From all statistical characteristics only the probability density function is reproduced (if it has an analytical form, the simulation algorithm is simpler)
Not simulated
Not simulated Not simulated
x
tg
From all statistical characteristics only the transition probability density matrix, characterizing transitions between two or more successive ordinates, is reproduced
Not simulated Not simulatedx
tg
From all statistical characteristics only the probability density function of local peaks (envelopes) is reproduced
x
tg
From all statistical characteristics only the power spectral density is reproduced the probability density function of ordinates being Gaussian
x
tg
From all statistical characteristics both the power spectral density and probability density function are reproduced (if they can be expressed analytically the simulation algorithm is simpler)
x
p(x)
g
g
p(x)
g
p(x)
g
x
p(x)
g
x
p(x)
g
108
22
Les bases - 4. Fatigue J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
VARIOUS POSSIBILITIES FOR SIMULATING RANDOM PROCESSES ON THE BASIS OF CORRELATION THEORY CHARACTERISTICS
Type of process Exemple of simulated process Power spectral density Probability density function of ordinates
Part-by-part stationary
Individual partial stationary sections of a non-stationary process are simulated according to previous algorithms (simulation of (x) or S(a) or both of them)
x
t
Non-stationary with an analytical probability density function of ordinates
Non-stationary Gaussian with a given power spectral density
Non-stationary with an arbitrary power spectral density in an arbitrary probability density function of ordinates
Special
x
t
From all statistical characteristics only the analytical time-dependent probability density function of ordinates is reproduced (the corresponding power spectral density usually represents white noise)
Not simulated
x
t
From all statistical characteristics only the analytical time-dependent power spectral density is reproduced, the probability density function of ordinates being Gaussian (time-dependent or time-independent)
x
t
From all statistical characteristics both time-dependent power spectral density and probability density function of ordinates are reproduced
x
t
xx1
x
(x)
211 x
222 x
233 x
xx2x3
x
(x)
t
x
(x)
t
x
(x)
t
x
(x)
t
Depending on circumstances Depending on circumstances
109
23
Les bases - 4. Fatigue J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
PRINCIPLES OF COUNTING METHODS
Method Graphical representation Characteristic parameters
Relative peakmethod
Maximum amplitudemethod
Relative rangemethod
Positive peakNegative peak
Counted peakMean level crossing
b1, b3, b5, ... Positive rangesb2, b4, b6, ... Negative ranges
x
110
24
Les bases - 4. Fatigue J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
PRINCIPLES OF COUNTING METHODS
Method Graphical representation Characteristic parameters
Relative range-meanmethod
Level crossingmethod
Rain flowmethod
Positive crossing above the common mean level
Relative ranges
b1, b2, b3, ... Relative rangesa1, a2, a3, ... Their
corresponding mean values
Negative crossing below the common mean level
111
25
Les bases - 4. Fatigue J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
CHARGE ALEATOIRE
= nK Krms
2i
( )nrmsK C dNda
=
112
26
Les bases - 4. Fatigue J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
CAS DES CONTRAINTES ALEATOIRES A BANDE ETROITE
( )( )
= +
d
Nn d
-
CAS DES CONTRAINTES ALEATOIRES A BANDE LARGE
Mthodes de comptage, par exemple- comptage des pics- comptage des cycles moyens
y
Gauss
p(y)
Raleigh
p(crte)
113
27
Les bases - 4. Fatigue J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
DOMMAGE SOUS CHARGE ALEATOIRE
=
+i0
eC-
1i
eeq dc e C
1 C ii
2
[ ] ( )
+=
2. 1 2
2KT N DE 0
[ ] =
+=n
1i
n
jiji,
djdiij22 2 di D
N0 = Nombre moyen par unit de temps de passage zro du signal
114
28
Les bases - 4. Fatigue J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
CHARGES ALEATOIRES A BANDE DE FREQUENCE ETROITE
Expression de la courbe de Wohler
N = K(c - e)n Loi de Weibull
Log N = a - bc Wohler
Log N = a - b Log C Basquin
Log N = a - b Log(c - e) Stromeyer
Bastenaire
NC = K Modle utilis
( )e1e
- c-e -c A N1
=
115
29
Les bases - 4. Fatigue J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
BIBLIOGRAPHIE
SHWOB et PEYRACHE Trait et fiabilit ED. MASSON
BAZOVSKY Thorie et pratique de la sret de ED. DUNODfonctionnement
MARCOVICI et LIGERON Utilisation des technique de fiabilit ED. LAVOISIERen mcanique
LIGERON La fiabilit en mcanique ED. DESFORGES
HAVGEN Probabilistic approach to design ED. WILEY AND SONS
SHIGLEY Mechanical engineering design ED. MC GRAW HILL
CAZAUX, POMEY et RABBE La fatigue des mtaux ED. DUNOD
BATHIAS et BAILON La fatigue des matriaux et des ED. MALOINEstructures
BARTHELEMY Notions pratiques de mcanique ED. EYROLLESde la rupture
116
1
Les bases - 5. Fatigue oligocyclique J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
5. FATIGUE OLIGOCYCLIQUE
117
2
Les bases - 5. Fatigue oligocyclique J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
Statique
C
COURBE DE TRACTION
monotone
cyclique
np
2K
2C
=
Dynamiquen'
p
2K'
2C
=
Mthode par :- incrment- 1 prouvette par niveau- paliers successifs- traction aprs cyclage
n = crouissage monotonen = crouissage cyclique
118
3
Les bases - 5. Fatigue oligocyclique J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
(Mpa)
(%)-1-2 21
1000
2000
Courbe dcrouissage cycliqueAlliage 30 NCD 16(daprs H.P. Lieurade)
119
4
Les bases - 5. Fatigue oligocyclique J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
FATIGUE OLIGOCYCLIQUE
Loi dcrouissagecyclique
=K
=K
2
p2
n(
(
2
t2n(
(
e2
t
p2
CpC'p
u'u
P'u
'p p
Courbe d'crouissagemonotone
Courbe d'crouissagecyclique(adoucissement)
n < 0,1mn
< 1,2 adoucisst
n > = 0,1mn
> 1,4 durcisst
120
5
Les bases - 5. Fatigue oligocyclique J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
FATIGUE OLIGOCYCLIQUE
0.1 n ou 1.2 u
m
IRSIDC
CI
u'fC
'u
CI
0,2 1 'f
%
Statiquen
2K
2C
=
Dynamiquen'
p
2K'
2C
=
C
C
p
t
2p
2e
2t
121
6
Les bases - 5. Fatigue oligocyclique J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
RESISTANCE A LA FATIGUECOURBES DE MANSON-COFFIN
(ductilit)100
10
1
0,1
0,01
'f2
p2
e2
t2
%
C 'FE
1 10 102 103 104 N (cycles rupture)
p21) = 'f.(2N) -C (MANSON)
e22) = C 'f.(2N)
b (BASQUIN)
Trac approch (lieurade)
107 cycles : D = E. = 0.41 m + 2A
1/2 cycle = 1/2 cycle 'f = f
e2
C 'fE'
CfE
103 cycles : = 0.01 -p
2e
2
122
7
Les bases - 5. Fatigue oligocyclique J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
FATIGUE OLIGOCYCLIQUE
Lois de Manson-Coffin
( )b2N E
fC' 2
e=
( ) 2C2Nf' 2
p=
( ) ( )cb 2Nf' 2N
EfC'
2p
2e
2t
+=
+
=
Cf = coefficient de rsistance en fatigueCf = contrainte vraie rupturef = coefficient de ductilit en fatiguef = dformation vraie rupture
Relation nergtique
( )
+==
n'1n' - 1p 2Ca W 2NC Wf a3
Ca = Amplitude de contrainte de la boucle dhystrsis1 10 100 1000
0,1
1
10
100
2
2e
N
EfC'
f'
2p
123
8
Les bases - 5. Fatigue oligocyclique J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
2
N cycles
t
p e
( )bfe 2N EfC'
2=
( ) c-fp 2N fC' 2 =t = e + p
124
9
Les bases - 5. Fatigue oligocyclique J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
FATIGUE OLIGOCYCLIQUE
Lois de Manson-Coffin
( )be 2N EfC'
2=
( ) 2Cfp 2N' 2 =
( ) ( )cfbpet 2N' 2NEfC'
22
2+=
+
=
Cf = coefficient de rsistance en fatigueCf = contrainte vraie rupturef = coefficient de ductilit en fatiguef = dformation vraie rupture
Relation nergtique
( )
+==
n'1n' - 1 2Ca W 2NC Wf p
a3
1) Ca = Amplitude de la boucle dhystrsis1 10 100 1000
0,1
1
10
100
2
2e
N
EfC'
f'
2p
2t
125
10
Les bases - 5. Fatigue oligocyclique J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
AMPLITUDE CONTRAINTE f(N)
2C
N0
1000
2000
3000
101 102 103 104
t impos
Boucles de rfrenceN > 200 50e cyclet lev moiti de la chute
126
11
Les bases - 5. Fatigue oligocyclique J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
PARAMETRE DE FATIGUE OLIGOCYCLIQUE
nergie dissipe
dformation plastiquecontrainte cyclique
mouvement des dislocationsrsistance leur avancement
W(dformation/cycle) = mesure du dommage par fatigueRsistance la fatigue = capacit absorber et diffuser W
Wf = N . W W = ANa-1Wf = ANa
(a = 0,15)
n' 1n' - 1 . C W p +
=
(HALFORD)b = n (a - 1) / (1 + n )
c = (a - 1) / (1 + n )
127
12
Les bases - 5. Fatigue oligocyclique J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
APPROXIMATION DES COURBES
Mthode IRSID
107 cycles
N = 1/2 cycle Cf = Cf = contrainte vraie rupture
Droite lastique
tallongemen A E
2A 0.41 2
me =+
=
N = 103 cycles
2N = 1 f = f = dformation vraie rupture
Droite plastique
2 - 0.01 ep
=
128
13
Les bases - 5. Fatigue oligocyclique J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
APPROXIMATION DES COURBES
Mthode des 4 points1er point 1/4 cycle ordonne 2.5 Cf/E
2e point 105 cycle ordonne 0.9 m/E
1er point 10 cycles ordonne 1/4(f)0.75
2e point 104 cycles ordonne 104 cycles
Mthodes des pentes universellesdroite lastique b = -0.12droite plastique c2 = -0.6
pour N = 1
=
2e
f - 0.0132 . 1.911
e
( )0,6ff ' = E 3.5
EC' mf =
lastique
plastique
129
14
Les bases - 5. Fatigue oligocyclique J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
APPROXIMATION DES COURBESRelations nergtiques
Wf = 3.2 N0.15 Wf = W . N = nergie totale ruptureW = 3.2 N0.85 W = nergie par cycle mesure sur boucle
Dure de vie
f et Cf trs proches de f et Cf
( )
( )/0.85n'1-p
1/0.85
2 .
n' - 1 . K'n' 1 2600 N
+
+=
Z - 100100 log f = Z = striction en 0
finale sectionrupture charge
SF C
f
ff =
Relation de MORROW : b = -n/(1 + 5n ) C2 = -1/(1 + 5n )Relation de TOMKINS : b = -n/(1 + 2n ) C2 = -1/(1 + 2n )Relation de HALFORD : n . (a - 1) / (1 + n ) C2 = (a - 1) / (1 + n )
130
1
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
6. MECANIQUE DE LA RUPTURE
131
2
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
2a
KIC = C 2aC
cadN = CI k
m
132
3
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
MECANIQUE DE LA RUPTURE
O
y rx
Z
Hypothse : point r,
KI = C N a
KI = C N a
est fonction : Gomtrie piceMise en charge
Mode I = ouvertureMode II = glissement droitMode III = glissement vis
2a
aN
X
r
CIJ = K2fI J ()
2 r
133
4
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
ZONE PLASTIQUE
y
e
r
Sans zoneplastique Avec zone
plastique
Zone plastique calculedaprs le champ lastiquede contraintes
Zone plastiquerelle
2
e
Ip
K 21 r
= Contrainte plane
2
e
Ip
K 61 r
= Dformation plane
Autres formules en utilisant VON MISES ou TRESCA
134
5
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
EPROUVETTES
a
L = 2 W L = 2 WB
W = 2B
prouvettecompacte
Dformation plane (conditions essais)
a = longueur de la fissurePc = charge l'instabilit
+
+
=
9/27/25/23/21/2C
IC Wa 154.8
Wa 150.66 -
Wa 87.8
Wa 18.42 -
Wa 11.58
WBP K
2
u
IC
2
u
IC K 2.5 b K 2.5 a
135
6
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
RESILIENCE
UnitsJoules/cm2 Joules
VU
KCVKCU
KVKU
Formedelentaille
Essai SCHNADTEssai BATTELLEEssai de traction par chocEssai PELLINIEssai ROBERTSON
Zone I Zone II
Zone III
Rs
ilienc
e
Temprature
100 x totale Surfacegrains Surface itCristallin =
136
7
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
Niveau ductile de la courbe de transition = BARSOM et ROLFE
Niveau fragile et bas = SAILORS et CORTEN
Corrlation globale = BEGLEY et LOGSDON
RELATIONS ENTRE KIc et Kv
137
8
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
MECANIQUE DE LA RUPTURE
KI KIc rupture brutale
- Influence de la temprature- Influence de la vitesse, KIc Kid
Units = Mpa x m1/2 aciers haute rsistance30 100 Mpa . m1/2
KI SCC = seuil de non propagation
Corrlations :
Hahn et Rosenfield
f = dformation rationnelle rupturen = coeff d crouissage . KV = rsilience u = limite lasticitCourbe variation = Mthode IRSID
=
1 - K 100 6.4 K Rolfe et Barsomu
v
2
u
Ic
( )[ ]1/22fuIc n 0.0005 E 0.017 K +=
138
9
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
MODE I
Y
X
Z
MODE II
Y
X
Z
MODE III
Y
X
Z
139
10
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
Mode I
( )
=
23sin
2sin - 1
2cos
r2K 1/2
Ix
( )
+
=23sin
2sin 1
2cos
r2K 1/2
Iy
( ) 23cos
2cos
2sin
r2K 1/2
Ixy
=
( ) 0 , yzxzyxz ==+=
+
=
2 sin 2 - 1
2 cos
2r
GK u 2
1/2I
+
=
2 cos 2 - 2
2 sin
2r
GK v 2
1/2I
w = 0 (dformations planes)
Mode II
( )
=
23cos
2cos - 2
2sin
r2K 1/2
IIx
( ) 23c
2cos
2sin
r2K 1/2
IIy
= os
( )
=
23s
2sin - 1
2cos
r2K 1/2
IIxy in
( ) 0 , yzxzyxz ==+=
+
=
2 cos 2 - 2
2 sin
2r
GK u 2
1/2II
++
=
2 sin 2 1-
2 cos
2r
GK v 2
1/2II
w = 0 (dformations planes)
140
11
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
Mode III
( ) 2sin
r2K 1/2
IIIxz
=
0 xyzyx ====
2 sin 2r
GK w
1/2III
=
u = v = 0
( ) 2cos
r2K 1/2
IIIyz
=
xy
Y
X
Z
y
x
r
yz
z
xz
141
12
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
Expression de la dimension r, de la zone plastifie priphrique
Expression de ry Etat de contrainte Mode dedtermination
Matriaux Auteur
2y
2
yK 0.15 r
=Dformation plane Calcul Solide sans
consolidationJ. Rice
2y
2
yK 0.40 r
=Contrainte plane Calcul Solide sans
consolidationJ. Rice
3n1n 1
2y
2
yK 0.32 r
++
=
Contrainte plane Calcul Solide decoefficientd'crouissement n
Hutchinson
2y
2
yK 0.13 r
=Dformation plane Mtallographie Acier au silicium Hahn Rosenfield
2y
2
yK 0.1 0.05 r
=Dformation plane Microduret Ferrite, austnite,
maragingBathias
2y
2
yK 0.06 r
=Dformation plane Mtallographie Inco 718 Pineau
2y
2
yK 0.145 r
=Contrainte plane Contraste cristallin 6061 T6 Lankford Davidson
142
13
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
METHODES ANALYTIQUES DEVALUATION DE K
Approche par variable complexeApproche par fonction de GREEN
EXEMPLES DE FACTEURS DINTENSITE DE CONTRAINTE
Mthode facteurs de correction
54321I F * F * F * F * F * a K =
F1 Facteur tenant compte de la surface libre lorigine de la fissure
F2 Facteur tenant compte de la surface libre vers laquelle se dirige la fissure
F3 Facteur tenant compte de la forme relle de la fissure
F4 Facteur tenant compte du gradient de contrainte
F5 Facteur tenant compte de la zone plastique
143
14
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
CRITERES DENERGIE
11 We Wi +=
Wi = Travail de Fi
1 We = Variation dnergie lastique du corps
G1 = nergie disponible pour progression de la fissure
planes sContrainte E
K G 21C1C =
( ) planes nsdformatio - 1 E
K G 21C1C =
144
15
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
cartement en fond de fissure (COD)
Intgrale J. de RICE
Courbe R
nergie quivalente
MECANIQUE DE LA RUPTURE ELASTO-PLASTIQUE
145
16
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
INTEGRALE J. DE RICE
dadP 1 = E
K J 2I=
P = nergie potentielle par unit dpaisseur
ds xut - dx2 W J
i
=
rx2
ds
ur
tr
nr
M
x1W = densit dnergie de dformation= dplacement= chemin dans le plan= vecteur traction
ij = tenseur des dformations
- Mthodes dessais = Begley et Landes
ur
tr
ijij d )W( =
0
146
17
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
CORRELATIONS
ROLFE et NOVAK
BARSOM et ROLFE
SAILORS et CORTEN
BEGLEY et LOGDSON
IRDID f()
KRAFT
HAHN et ROSENFIELD
2-32IC (Re) 10 6.4 - Re(KV) 0.64 K =
3/22IC (KV) 0.222
EK
= STATIQUE (KV) 0.65 E
KIC = DYNAMIQUE (KV) 0.65 E
KId =
1/2IC (KV) 14.6 K =
Re . 0.0718 KIC =
dT 2 En KIC =
[ ]1/22fIC )n (0.0005 . Re . E . 0.017 K +=
147
18
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
COD
2Re cos1 ln
ERe 8
a
=
cartement en fond de fissure
E ReK 0.49
2
= Dformations planes
COURBE RA partir de charge applique P
a eff + a0 a + ry
ry = Rayon de la zone dforme plastiquement
148
19
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
MODELE DE WHEELER
max CK dNda m
Deux zones plastiques
Rv = zone plastique relle
Rf = zone plastique fictive si non surcharge
RvRf =
149
20
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
ANALOGIE ENTRE LES CONCEPTS DE J ET DE K
Mcanique linaire lastique Mcanique lasto-plastique
= ds xu t - Wdx J
12
rr
= ijij d W
J indpendant du contour
= E = kn
)(f Kr ij-1/2
ij =)(f r
kIJk ij 1n
n -
1nn
nij
= +
+
)(g Kr ij-1/2
ij =)(g r
kIJ ij 1n
n -
1nn
nij
= +
+
)(g Kr u ij1/2
i =)(g r
kIJ u i 1n
n -
1nn
nij
= +
+
dadP-
EK G
2
== dadP- J =
150
21
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
MECANIQUE RUPTURE - FLUAGE
SK h dtda
=
h et S f(MATERIAU, , EPAISSEUR)
- Utilisateur intgrale J. de RICE
- Introduction par Landes et Begley dun paramtre C*
151
22
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
ANALOGIE ENTRE LES CONCEPTS DE K, J et C*Mcanique
linaire lastiqueMcanique lasto-plastique Mcanique visco-plastique
= ds xu t - Wdx J
12
rr
= ijij d W
J indpendant du contour
= ds xu t - dx*W *C
12
rr
= ijij d *W &
C* indpendant du contour
= E = kn n
0
=
0
&
)(f Kr ij-1/2
ij =)(f r
kIJk ij 1n
n -
1nn
nij
= +
+
)(f r I
*C ij 1nn -
1n
n
n000ij
= ++
)(g Kr ij-1/2
ij =)(g r
kIJ ij 1n
n -
1nn
nij
= +
+
)(g r I
*C ij 1nn -
1n
n
n000ij
= ++
&
)(g Kr u i-1/2
i =)(g r
kIJ u i 1n
n 1nn
ni
= +
+
dadP-
EK G
2
== dadP- J =
da*dP- C =*
152
23
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
PARAMETRES UTILISES POUR DECRIRE LES DIFFERENTES ETAPES DE LA VIE DUNE STRUCTURE
KIcJIcnergie quivalentecorrlations
CODcourbes R
KIdJIa
CODKIa
rupture
rupture
rupture
rupture
rupture KIcJIcdN
da KJKeffectif
f(K) dtda
=
.f)K ,K K,f( dNda
Isccmax=
dtda
KCODC*
rupture KIr
rupture KIr
rupture KIr
fluctuation
fluctuation
fluctuation
fluctuation
FATIGUESeuil KS
CORROSIONSeuil KIscc
FATIGUE CORROSIONSeuil KS
FLUAGE
STATIQUEDEFORMATIONS PLANES
STATIQUECONTRAINTES PLANES
DYNAMIQUEDEFORMATIONS PLANES
DYNAMIQUECONTRAINTES PLANES
STATIQUE
FATIGUE
CORROSION max, K
J ,K
EPFK ,
K
Amorage
duneFissure
153
24
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
METHODE IRSID
TKIc = temprature laquelle KIc = 100 Mpa . m1/2
TK3.5 = KV = 28 J (KCY = 35 J/cm2)
- Trac de la courbe de rsilience ISO - Y
- Calcul des valeurs de KIc partir de la rsilience KV par la relation :KIc = 19(KV)1/2
- Trac de la courbe KIc . f(I)
- Calcul de T KIc partir de TK3.5(temprature)
Temprature T KIc = 9 + 1.37 TK3.5
- Translation de la courbe KIc f() de telle manire qu elle passe par le point
T = TK1c . KIc = 100 MP.am1/2
154
25
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
VITESSE DE FISSURATION
Vitesse fonction de K et R =
Loi utilise = Loi IRSID =
- Caractrise fissuration lente
- Mise en vidence seuil de non fissurationC1 = formules de KRAFT
Mc Evily et JohnsonMc Clintock
IRSIDm = 20 n = coeff d crouissage cycliqueC1 = -1.35m - 4.03n dductible de b et C2 Lois de Manson-Coffin
KmaxKmin
mm/c 10 dNdaK K
2R1- K
K 10 4-0
m
0
4- =
( )dNda K C PARIS de Loi m1 ==
mm/cycle 10 dNda K 7-S
155
26
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
Lois phnomnologiques
156
27
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
Lois phnomnologiques
157
28
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
Dtermination de C1( ) ( )
n . K . E 7 - 1 - 1 . 1 . 16.10 C1 2
c3
246 +=KRAFT
Mc EVILY
m = rsistance traction KSI
u = limite lasticit KSI
Kc = tenacit KSI inches1/2
u = allongement rparti
f = dformation rationnelle rupture
n = coefficient dcrouissage
= intervalle inclusionnaire
E. . . 2
cste C1mu
mu 2
+
=
maxKK =
Mc CLINTOCK 2f
2 =
. . E . 0.76 C1
m2
158
29
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
0 100 200 300 400 500
10
20
30
40
68
4Nombre de
cycles x 103
a(mm)
A B C
Retard aprs surcharges dans l'alliage d'aluminium 2024-T3 d'aprs Schijve et Broek
A
B
C
Sm=8.2
suchargecycle (0)
surcharge (0)
Sa=3.3
Smax=19.2Smin=-2.9
Smax=19.2
(kg/mm2)
159
30
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
Schmatisation du modle de Wheeler
ai
Zone plastique de surcharge
rpi rpo
a(mm)
Propagationnon retarde
Propagationretarde
N(cycles)
Surcharge
a0
F
160
31
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
Traces en fonction de s, T indique les domaines ou prdomine unmcanisme de dformation et de rupture donn
Traces en coordonnes rduites
Plusieurs domaines sont distingus :clivage 1 : amorce sur macro dfautclivage 2 : zone de dformation plastique htrogneclivage 3 : aprs dformation plastique macroscopiqueductilefluage transgranulairefluage intergranulairerecristallisation dynamique
COURBES DE DEFORMATION DASHBY
161
32
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
P.B. : VITESSE DE PROPAGATION DES FISSURES DE FATIGUETaille critique d un dfautDfinition de KI KI Cn V2 aKIC mesure de la rsistance dun matriau
la propagation brutale dune fissure(KISCC : utilis pour la corrosion sous tension)
APPLICATION A LA FATIGUEPropagation de fissure Variations a (gomtrique)et Cn(charge) Variation de K
Ks = seuil de non propagation
MECANIQUE DE LA RUPTURE
Cn
2a
( ) Kmin -Kmax K KC dnda : PARIS m1 ==
mm/cycle 5.10 dnda 7-> a0 et m # 2
fmm
1
a
a m/2N. C . C A
ada 0
c=
( )
= mm11
1-2m
0f C . C . A. a / 1 N
167
38
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
LOI DE FISSURATION
s t a d eI
s t a d e I I
s t a d e I I I
d a
d N
K
d a = C 1 ( K ) m d N
E c h e l l e l o g a r i t m i q u e
Stade I - Fonction de la charge MAXStade II - Loi de PARIS propagation lenteStade III - Rupture finale
168
39
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
a i
W
P
P
Calcul de K
P = P.f ( ) a iW
B.W
Calcul de (da/dN)a i
Mesure dea = f(N)
Courbe de propagation(da/dN) = f( K)
log(da/dN)
log( K)
Principe de la dtermination de la vitesse de propagation d'une fissure en fatigue
169
40
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
Principe du calcul du temps de propagation d'un dfaut
R dcroissant
da
dN
K
Vitesse de propagation d'une fissuredans le matriau considr
Intgration de la loi de propagation
Dtermination de la relationK = f-a)
a
Pice prsentant un dfaut
ao = dfaut initialaf = dfaut ruptureN = nombre de cycles de propagation
N = afao
da
g(K, R)
( )R .K g dNda
=
Cette intgration peut tre ralise de manire analytique ou par un calcul itratif
170
41
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
Lois phnomnologiques
171
42
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
Lois phnomnologiques
172
43
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
Lois phnomnologiques
173
44
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
JOINTS SOUDES
Modle de MADDOX
MS = correction de surface libreMt = correction d paisseurMK = correction de concentration0 = facteur de forme
lieurade a calcul dure de vie f(q)
Modle de LAWRENCE
a) Calcul par E.F. du champ de contrainte
b) Ajustement courbes 4e degr
c) Calcul du facteur d intensit de contrainte
Modle de BOUSSEAU
Essai IRSID sur E355
0
KtS M . M . M a C K
=
nomSC
= dX dX
dcaXf - C 1.1a K f
a
0
( )mtNK K a C 1.1 C dNda =
174
45
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
Organigramme dun problme de prvision dvolution de fissure
Efforts extrieursAFI
Structure
Fissure
Mthode de calculs analytiques
Mthode des lments finis
Mthode des quations intgrales
Loi de comportement la dformation
ij = F(ij)
Mcanique des milieux continus
Variables defissuration
K = Kr(n) J = Jr(n) 2G = Gr(n) 2
Mthode dintgration
Loi de fissuration
G) ou(K I Na
=
a0 N
volution de la fissure
a
175
46
Les bases - 6. Mcanique de la rupture J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
Prvision de la fatigue haute temprature
structure
Mthodede calcul
(M, T)
(M, T)
Calculde rupture
Fissuremacroscopique
Point M*NR ou tR
Loi de comportement
lasto-visco-plastique
Essais surprouvettesTO
Loi de rupturefluage-fatigue
SollicitationsT(M)F
176
1
Les bases - 7. Amorage J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
7. AMORCAGE
177
2
Les bases - 7. Amorage J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
AMORCAGE EN FATIGUE A CHAUD
crouissage et fluage
Lois de plasticit cyclique
Lois viscoplasticit cyclique
Mthode de partition de la dformation
Strain range partitionning
178
3
Les bases - 7. Amorage J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
PREVISION DE LAMORCAGE
REGLE DE NEUBER
Kt2 = K - k
nom
nom
critre E.. = KtEP.nom = csteP.E.P.A
METHODE
KtKtEPKtEP
KtEP.nomdpart
CEPT
E..
N
thorique
Nacas dun chargement damplitude constante
179
4
Les bases - 7. Amorage J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
500
Corrlation entre le nombre de cycles ncessaires l amorage d une fissure de fatigue et le rapport
(acier HY130 ; daprs BARSOM et Mc NICOL)
K
)(N/mm K 2
mm0,20,40,81,63,16,29,4
2
th
N/mm 685 K
103 104 105 106
200
300400
600800
1000
2000
3000
4000
Nombre de cycles lamorage
180
5
Les bases - 7. Amorage J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
DETERMINATION CEPT
2Cm
crouissage cyclique Manson-Coffin
2Cmax
2t
2t
Na
N
{ } . C . E ; Na CEPT tmax =
181
6
Les bases - 7. Amorage J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
AMORCAGE
Mthode fonde sur le coefficient de NEUBER
Mthode fonde sur lamplitude locale de dformation
Mthode fonde sur le facteur d intensit de contrainte
R) 0,85 - (1 7,03 KS =
0 R par K de Valeur K SSO ==
R1-R1 0,2 1
K 1,2 K SOS ++
=
= R) - (1 K K SOS
BARSOM
Mc EVILY
KLESNIL et LUCAS
182
7
Les bases - 7. Amorage J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
PREVISION DAMORCAGEMthode SHO, modifi par ZWICKY
e2R'
KE
K
e2R'
EK =
N
Donnes Calcul de la dure damorage
Kt
temps
2
2
N
plane
plane
2
Chargement d amplitude constante
183
1
Les bases - 8. Pices particulires J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
8. PIECES PARTICULIERES
184
2
Les bases - 8. Pices particulires J-C Ligeron - M2OS/IMdR 2009
PIECES PARTICULIERES