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5/11/2018 JUAREZ BADILLO TOMO 2

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~LlMUSAN O R IE G A E D fT O R E S


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A e \ O S i O MEULALiO JUAREL MOl U .O~:UH>II lIeN:I ;Rio . P o o i " E l ' Q R ()!; V < ~ ~ ~ ~I)E~.S_~ES fN LA P IoCU.!TJ'Il'C1f !IGENI1lRlA DE !.illU I ! I I ' o ' E R S O D A D N A c : ; o Q I < i4 . ~ ID E Mo';XlCQ.A lF ONSO : f'lIC O ROOR fGUE Z~EJtI~,.F'~iiE.~~~~.~~DUS ruO IOS ~!lJOOfS ~N LJv!'"~!I : . ..e DE 1 !I O~l I' R [. Io , De IJ(Ui;l\'ti'!i>!!},t,!)N~e~ .~. ott M~);!C(), IDE I.A U N "v ell_" ,,,, , I~~~A~NJ. ..

MECAN ICA DE.SUELOSieORi~~ .P1.ICACOON~,~tit: u r. WcANlCA. DE SUR09iQUOI lSl"JN r>AQ~", "P 00, !1(ji'fC"'!. !II~ ~ [l~ ~'" OOFll!f'\JeDe SEl 'I I lI \PRQOUQII lI I I}~JJlIlIT[ '- 'A.'O' I .I fTDPD, U~C'fR.ONICO 0 M~~ fMl!~VHClOn, ~,;.oo" ~ ,(!~ (J C Y ,t ,! .O O! I:' _~$ r$ I~ ( IEREWPE~AC!ON y Al~"'~ENAW.NTO '05 INFORM~ciON~),$INO i" lN S } jJ 'iI oo le N U> _ E SC AI TO D EL ~ mT O~ .

OZ004, EDliORIAl. LIM USA, SA t:E cs:GRuPO NOAIle:GA EDnOHEsB A u : : E R . o . s : 95, MateO, D..F.C.P; 06040'jij 8 50 3 6 05 001(600) 7069100r Q l 5512 2903_ ; ' ' f I lmusaOriooega.CQm.m~WWWJ1Dr iegIMom.nv:CANIEM I'IilMI. 121

HE C HO EN Mtluco!S 8 l: o l 8 68 1 !H) 1 2 1 l c 8 ,22.2,.j:.!!j~-

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PROLOOO DE LOS AIJTORES:c" t.~. {-' .,. I . .. L._ J.-, r . ; ; , S : con 1 7 1 U . C l t iC sat,s a:ectOn que os autores pOtl~tI ,a"P.I~aa U,I-!pO


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PltOLOGOContinuando el es!u.erz(J'que l e s , co n d it io e.n 1963 a. La pub1 i~cadon del pt.imer volurnen de es ta ob ra. los dQS i6 ~ en e s i'n R en fe "rQ s .e.rofe~res e. il'lvestigailot"e$ .Eufal io Juarez. Badutp .'[ Alfonso Ric.oRodnf/Uez. presentttn ahoro. la segundaparte de 512 hbro.que recogeIa s aplicacionf!s ptacticas m a s importa:ntes de le teoda " de.sarroltadaen e l primer tomo.C O~ e"te nuevo flalumen se camp/eta el programa actual deIemsteria en. Ia, Facaltad de lnge~il!r:ia de Iii UlJiversidad Nadonal!I se cubcen cietto.s aspectos ese,ndwe.$ ,del con:tenidode Ja asint1a~tur:a en el ,nipel de Lamaestria.La obra , primers, del genera e n I 'lI Je s. tr o p81.$ , una de las mU,1/

POUlS' escritasoriglnalmente en castetlllFio.ha ter iido tan amplia QUIn-to justa 8COf1ida (del Torno I ha salida !la. la segunda edid6n)'dr;bido. segura mente. no solo a Is pentaja del idioms sIno rambiena .alg un a~ cu alid ad es te le .u an fcs , entre IlJ i$ q pe (;O lb e citar ul;!a C : 1 ;PQ~,$.icion de caractec ~ q;f! ner a1 ,1 / n o espedalizada y una presentad6n,cenerament,e didiktka. Puede. ded'rsc, extendiendx Is cile,br,e {rasede l' pensador espaflQr . que la c la rid ad no solo es cotfe.siaae j U f J S o / ' o s$ino tambien de ~abio$. y esros dQS maestros .han tetlido en altacon5idera:don a . .los estudiantes q ue . cede dia tit mayor mimero:.han. de e:nfrentarse ron sa ,libraNo haJJ duda d e que eUas, ron: susbien ..~robadas r:apacidat1 y perseuf!tancia g con su plau.sibIe ellt.lJsiIU~mo. habran de compteta.r en brt:lJeSIJ tratado can el tercer JI u:Uimovolumen. rela:tIpoal fl'ujo de a fIU tJ e n sue /a s ,Es de elemental jukficia sefialar que los autots. en u~nras.fIOque los honra mucho .. ha.R cedido los productos de le venta de .'05fa.s l . ioltime.i' IE:s a. ia .Fa.cultad de lngenieria. en la queambcs hideflOnlos ,estua ios de rnllelliecia. dllil fI A .l{onso .R ic o, m Ull brillante iJ.ll.lm:~no mio POl ' cieao.a1canz6 despacs con:a ita ,di.stincion y. cl.triosamente .sin que tilprincIPiQ cregetatenef espe,cial VQCadOllp8t:a: tal C!$pe;.cialidad. fa ma : es t.r ia e n mecanica desuelcs. .Ai comienzo de l libro 10$ atJtM~:$ plll1Scntan la s imoig e n.e s d ellng .lose A. C titc;i< '!3'ydd Dr. Na:/:x)t Carrillo .Flo t :C$ , De ~$tii mane~ra,impticitamente dedican sil trabajo it do de. los hombres quem a s n a n . .tenido que ve.r con el nacimiento ,g el desarrollo ele faMecan ka de Suelos en ' M : e ;: c i l; o . /o s e A. C'uev01.s!ucsin dudael ml i sdestacMo de 108 .precur:sore:5 de es t dl$ cipiin ag elhombre que con.5 U labor ,establecidlos frmdlJmento.s para que pudiera: habtarse de

M ate ria l p ro te gid o p or d ere ch os d e a uto r


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PROLOGO

una B sc :u el aMe x ic a 'n a de ,Mecanica de Suelo~; a: e st t :;l r,e (J ,edic6durante tmlCh03: I J di/iciles atlo$stl' sinflUiat infuid6n q : m : i~(:atl~ableesJu .e r :z o .Nabor Carri l lo , at dedic-at at nacit!t: tte , campo su s b r. illa n .t tsdote~ ,g su destacado, talento .. contril>.ug6 qz.lizaen rttaqot' medidaq !.!e " i" g~ n o tr o a dade a esa l !scuela reoonocimiel ' lw ,nationa" "f!.1tatUl'a inter,nacional. , ,c s Justo . 1 1 conveni:f!,nte que la. ptesend:a de1 '1$10,5 hombres. ambos qa destlpBt'f!:ddO$ ,de entrt!' 120S0ttOS, pre.ceda1m , trabajo como el ,que ahara I.lf!: 18 10:.No me restasino decir.', como o'bsewador ,mas 0 m:enos ce-t 'canode la, fnlcanliable labO'l:de lo~ .feii'ot',~:s luarez .Badi l lo q Rico, quememcel ' l , junto con Ia . mas cordial . f,ei ici tad6n., e1 aRt 'adedm.ie,nto del il Un, ii ;, " t : t~ ' idady el de: 1 0$ e ,~ tud/ iOsosde la mecanica de IOS:Sl~elo,s.

/auier Bartos Sierra,R , e c r o r de. , t a . Unipcrsirlad Nacional AuMnoma de M'mcoBxdirector de 1a Pacu1 tad d e lngeoieria lela U.N.AM.E~sec,r;e!f:atiod~ Obras Ai:bliea& del Potl 'et EjecutivoM'e:rlclJllo.

1 . 0

M ateri a l p ro te gid o p ar d ere c h os d e a uto r


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C APIT ULO 'I

I-I. In.tI'oduooi6nEn. t:ste: capiitulo se trataransomeramente los proMemas que:d .e r l v . . . .a n . d. e J a . . c n . n gelaci.tin de ..1 .8 9 . 1 1 . ' . a._. ' .Iih.'.re. C . O f i . _ t . _ ' C . ~ n i i d a e n . _ e[ eudo, po.releelo climatico. hadendo espedal mfasis en 1 0 que sereUue aca.mbl.OSv,o.,lum.etdco8 yvariationes. de PIoPiedadesmec. a rn e .. !.1Si Ia temperatura de! agl.la t ihre lIega aun ....101J: igual a SI I J!:unt:ode cofiqe]ad6.ll , e.1ag ua se tot.n .a.s6U da y ,su v olum en aumen t a . TantoeI punta decongdad6u. como el coe.idente de e';:pansi6nvQlumttri~adelaff~!a depen den de la p.resi6n a ctu an ta so bl'e: ~ sta . Ala pre.si6na tmo s fl:'r Jc a. , el pu.nt .o de congelaci .on couespondc a un a t !emper3 lturade OC:, ~n tanto que hajo una ptesl6n. de ,600 atm6s(eras el aguBs e ~ong ,e :l aa ~:5QG ya. BOO atw 6sferas a -1OeC . Losc::oefidenteade expansibn v c h u r u ' i t r i c O ! i s . o n 1109 a laun6sf~ra, 0.102 a 600yOJ 12 a nO() .. .C!landoel agua se conqela en masas de grava 0arena limpiashaypues . till 8 iume n to d e vohlmen:: sin emba rg 'D , . esra expansion :n onec;esar.iamentees de un 10% del velam en ln kial de vacio!S ,j(lomOI

c . o . , r . \ ' : s . p . o Q d . , e - : r . i .a . a .I .~ J ) J g o . _ : n . .o .m a . l . d. .. . . , ; . g ~ . . ~ . a . ~ Q ~ n. g e : . ] . . a .da......U.E:st.Q. g ; u .e . e .l . a . glla.-pue.de: d ren arse duran te Ia. congelaclon. SI en uaa m asa de aren a 5 1 ! :encuentran capa.s gfUe:saS de: hitlo Q Icutes grandes de esta substancia.pod.l decirse que dhielo s e: lo r.m6 pot ,congela.cion in situ de unamasa de ag ua: p 'rev iam er tt ,e existen te, S in ,em b arg o"siel ag ua E ' : S U IhomQ g~n ea roe nteln ( )r pofad a:< l 1... 1m0l:8a de suelo,. com .o es g en et,al.la c c o n . g 1 e l a c i o f J afecta al c e a j u n t o de dicha m a s a . . sin q u e : el agl !aorme capas 0 lentes alslades de hielo,E n l i m l o s sanreados 0 aeeaas Hmoisas e n , i gu al , co .nd i c i6 f i. .el dec.todela congeJ:ad6n depende muC:h.odel gradicnte; COD . el quese abate.Ia t~l'!1plit;!l'atYra. Un . ern.friamlento .r6ipldoprovoc8 la con'9'!:lad6n I. n$ittt. com o en - e l c:aso d e : la aren a y le t ,g r ,av a.pe :r os i r eI d esc ::en sode la temperatuI,a: es g.radual. la mayor parte del agua se aSttlpa.en peq u.en a.s cap ita! d e h ielo p 'a.l'a le.las :a la supe:rfIdeexpuesta al en ..fr iam i en t o.Re s! :d ta a siu n a altemacl6n d e: c ap as: d e :su elo hdadol ye .s tr at os d e Me lo .En. condiciones n,ab.itales, en s!;!N~lo:s Ilmosos expuestosa fuertes,c am b ia,s d e dim a :..pu ed e::.n . for m arse c apas de hE ela de v adas califl:..Il leitroS de:es.pesor ..La EotPlacion de: masas de:hielo limpio indJ:t:a tina

IIM ater i [ 11p ro te g id o po r de l C'{; has de a utor


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CArnUl.o .~.

emi 'Qlr i .! .c :ii lndel .agua; ,de~osvad08hac:ia ' e . ~centfode c :o ng ela .m i en to ,;. e ~agl.:l.a pue .d .e p1\oc :~de :r d i: 1 :5iuek"eI1l. c:onge:lam.~e:nto 0' puede se[abSl~!i~IMda de un Manto a cuH,eIt ,a ,.s it uado ba~o iazcna de CCU1.gt!~aci6n. En1 3 1 .fig.[~l s e . M u e s h a n . talesposlb,iUdades e n . u n . e:spec.im,en de: suelefino. E] espk~me~ ..A de~ca:n.sa. sC!lbrc1i:ln.a b~.s,e s61.ida e impefnl'l!


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MECANI,CA , D E SUE:LOS (II)

&IMsistemas ablertos. . re.pr:e:5entados; porel esptdmenB. eldesarrollo inicial de. losJentes de. hi.e1o t a mm e : n es dehidoalagu,aprocedente de 10.8 niveles ioferiOfielS de la masa de :suelo.por loqu.e.en un principio.. esa :zona. seconsoUda. Sin emb3irgQ"segun atleP'I IQCI ! :SQ, p~gresa,. ,ailmenta la cant.dad de. agua que st: extrae de Ia:fuen te ,de ,agua Uhre .basta , qU.e. fina: tmen.te. fa can t iJ d !a d de agu8 que.toma la muestra pO.r 18 parle inledo:r 19urua a la que fluyehaciala7:ona de cQng,e : la-mbmtQ, m.ant leni tn.do.sE!:constante . de ahl en ade'an.~t e o el c Q rllten id o,. de ag ua. en lapar te inferior de 11. muestra .IL a 'e ;x :p er ie nc i:a Q b t en id a 'e n . 1 I e ' g i Q n J e s 'm quep.t'evalecm au y b8i,a~tem p eraturas d uraD ,te. larg os perloaos, de tiem po., de:m ue-stra que: elespes.or total de las, ~ente8. de hie]ofnrmac:las en e] sueJo naturall ..tra~ja:n do com Q sistem a ablertQ. puedealcan%af va r ios; m e tr ,o s:.Un sistem a ab ier iQ puede converlirse e n ,e e:r rad o' Bin m ils quem s e. . .t . " a t : e n . _ t ~ e : . .. ] . 8 . s . ~ . p e . r . . .e :. ~t.d 'e '~ n . .g e1..... . D l l e n t o . . Y . e. .1 D i v e . .1 f t . " r i . . ,fico. u n acapade graVIna. tal como se S!:moohz3 enel espklm.m C de la fig..I~I. . .Blaguano pu,edesu,bb pt)t c:apilal'fdad a t ra v.! s del sudo gru~Y , po r 10 ta Jn to .. d e ta l e sU 'ato .h ac ia. arriba. Ja mag : s e Icomporta ' comoun siste~a C:U.radQ.Se h a.e n< :o otr.a do ,q u,l!:l08~en!tes de: M.d.o nose d,esauollan. am enes 'q ue. m af.iadl'duraa la existen c:ia de las oonak:fon,es cUmltkas~ p ' r , o P ia ~ a ' . ~ X i ! ! t , a . e .n e 1 .. u . e : l , ? c . ' , i e r t . o . _ , pOf~entaje m . "nimo d e . ~ : p a . ' r t k 1 l 1 1 . ' la sILnas. Tamblet1. a ft ':c ta n enoe rt a f,orrna a la oTmadOn. y desarr;olilod,e fates lentes. el grado dtuni.formidad de la:spal'tlcuJas. el peso' tspecifioo del suelo 'I el tipo de:.estraUf ica ,c ion. .. La . ( o rma cua:n,t!tativaen que cad a factor iJfe:c.ta a. ]108 fen6menOis, en estudio. no. estaatindilucldada par complete.En gen.eral,. se dice ,que: un suelo es suscep't.lbt~ a la !S !c cl6 n .de. / a L e ~ad-" , .. ,...nde .... .l,1 p.~.. ...ri .,~..............al' -.., '11,",1"~'" -', ' - c ~~ 1 i .. . ' :1._:. _.rl (,...... . .u . . .. .. . .. .. ~ . . t;_ ,'''''' '" U~_'U"_" _._51.. "' ~ ... s ap.rec~ a.D '_de hJeioptl,ro ..1-12'. Efootos de Ja helada

C . U 8 ! 1. .d .; ' 0 . . el ..< lgu..J . _ . S E : . e G . . n. 9 . e l a . _ . _ f ! .n ~ . m vac.i l o . d e l s..iel.o ~a".~,u.na. p..~ S i 6 nmQderada . aetna cOlno. u nac! .m a , separ an dola~ parhcuIas s6lid(lis yautIUUllta:ndQ el volamen de 10.5vacios, Cuando lacol lgela.dQ n oeurreeu un suele no . s . r . t . s c e p t i b l e a ]a helada. camo Ia gravl!olaaren;a.Q en un ~~stemla c 1! !:1 l'a do .e :1 .a um e n to d e velu men , . segll.n se indic6.tien e cnm o lim ilte un 10% del velumen inieial de ]'0.5 vaetos, per Joque en unsuelo de : . supedtdehorizonta1. la el,e:v


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C APITULO I

sIstema a.blerto (;onstituido pot suelo .~p.ti:b~e a lah.:ltlda. lae.xpanSi6npor conge: lad6n. p 1 ! : 1 e d e : , JlelElr a ,sermud:ilo,mayor qued lim i te in r li.c a.d Jop or Ia ,e xp re:s i6 :n l ..I.T.a presi6n que ejc:n ;e el suelooMgela do 031expa ud el's e: a n n a o estit d etem l in a .d ac on exac:titud. petQes" desde: lueg Q ,. d~ g ran m a , g m . t ; u . d y telJr icam e n t!e: p tled e U eg a.t avalores de un orden. ,extraQrdir iariQ. q~.e'e'xceden.en, mucho alas car-gas usuales SQbre:pl .h~~tas. .A,S:I,eualquter estmetura situadasob re e.llUelO", se eleva juntam.tnteconel.

POI' otra palM:, durante el deshiJelo que ccurre al iniciar.se Japri:mCliVIera, 1 0 1 ::zona con.geJaaa. de s L l ~ : I . o se lunde, proce:.soque. genet,al~mcntle, dlJt'a algunas se ;man3S y vaacompa.fiado de: a5en tamlen tosd e~ s ub s:u elo "',l.a m a ! jn if:u d de. esb! a:sentamientQ en un suilo dadod ep e.rn de:,.fu nd am :m talm e n te. d e :sise ha n fo.rmadoo no en esc well)I!~n t,~:sd@ hlelo PU[OI d u . r : a n t e : la ~pocai. de l Jon ' gelac i6D . . Bn . e l caso desueles I tO, 5uscep t. iMe .s a la helada, en qUE : e l oon .g e lam Jm t ono . E o t m . oI.en tes d e b ielo. el asen tam ie:n tn ,est~ aco,t;ado por la expresIon I-I iStD' >embargo. el valee real ,de talasentamiientono. puede eXlcede.r. e Ja,umentg, de volumen eausado par el pmce:so previa de: C O J l g e 1 a . d 6 n .En 5!.!eJo5 susce:ptibles a la hdada. 'en los 'qu.e d ,com.gelam.iento hayafn l'.m a do Itm t es d e hie!.Q. at fundlfse este se tien e el Id ec lo a d:k IQ n a lde~eolapso de la.soo,y,edas de las cavl~dad~santes l1enilS de h i e l . o " , po.r1 0 que el .a sen ta iin i~ ntQ ' p ued e au m en ta r en E o.l:~ a n at,a ble:: Io sa ser it:a ...mientos difellencialesasodado'sa esee fm6m~:rlQ'5QQ f~t:u,eDtic:f'Yen~ed e pr Q olem . as para. e,stnu;turas .su:p'.rayadentes. e :spe clf ic am en t~ par acamJ.no!!:,a~l '~pistas, ~~C. . ,En el ease de 5 l 1 1 e l o s que Iermen talude:s 0laderes .. la aa::i6n de lah . e la ! ? a. . 'p r Q d . u . c : e . c " 'e n . . ' .e : ! 3 . , e . :J 1 C i a n . n ~ mOVim~ent._.o de,IB..s .' . .p .a:rtk.u~e., hac.i8..el p!'e del talltid . 51 eI n talte:r iain o 'e.'! .suseeptib],e: a lan,elada, la s1 P 8 . d k . - . u l a s . d. ee ' ~ue~o_(ol()ca._da~~ n I~ 5upufIded.el talud.lse~e8 ..p_. .. ' . z . ; a n. ' ._nonnalmente a dLcha :supedn:;h1':, ,durante el pt'loceso d~ (ongcl.a'


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ME CANIC A D E SUE LOS (n)

llegarapreBentarse por esfuerw cortaate 'en la secclen entre elmure propiamente dicho y su loaa de cimentaci6n.En los sueles suseepubles a la helada, eJ espesor de: los lentes deblelo Jormedosdepende de varies factores, entre los que puedenenumerarse el grado de susceptibilidad del sudo" la fadlidad. deldreaaje [tanto para absorber, como para ceder aqua) , la intensldaddel fero y duraclon del mlsmo, especlalmente este ultimo factor.Las soluclones que: se hanadoptado para evitar la acci6n nccivadel cOIllJdamiento de: las capas superficiale:s del terrene per efectoclimatkopueden agrll,parse en tres tipos dif:erentes;a) SubstituciWi. de los suelos susceptibles, a fa helada POI'otrosno .9:usceptibles, hasta la profundtdad necesarla para lJegar a nl.velesm as ab!_jo que la pe.netraci611 del efecto climAtico exterior.. b) Drenaje adecuade para abanr el ntvel freAticQ a. una rwfun-didad ..mayor que la altura maxIma de ascenaien capilar de', saele,c] Couvef:5i6n del slstemaebterto extstente en cerrade, Esm selogra excavando hasta 1 8 1 peofundidad de congeIad6n_y colccando aesc n,ive] una capa de material gflleso. no eaptlar, Postericrmentevolvera a rellenarse la excavation ton el material ol"iginal.Lo anterior ha sido aplicado principalmente a camlnoa y aero-ptstas, .Ademas de los carnbios volumetrkos anotados en. los parrafos an-teriores, la fa.se del deshtele en los sueles produce una disminuci6nde la resistencia al esfuerzo eortante de loS mtsmos y ccnsecuente-mente, una dismilludon de su capacidad de ,catga. Esto es filcilme.nte.explicable: tomando en cuenta 1 0 expuesto en. el Capitulo XII delVolumen] de esta obea, pues al fundlrse el Melo y tratar el suelode c:am.primirse:,.e1agua experimentare presiones en ezcese de Iah id ro st atic a. q u e 5 01 0 s e disipan cuando el ag:ua haya s id e t ot al m e n tedreaada, 10 cual secede normalmente en periodos de do! ,0 tresmeses, a no ser que se hayan tornado pcecauclones espeetales en 10referente al drenaje. .

I3. CIasI f l .cacl6n de s.uelos de &enerdo OOnsu susoopUblUdad aJa beladaSegun A. Casagrande1. un suele puede considerarse:coltlo nosusceptible a la he.lada .51 POSCi: !Denos de ua 3% de parnculas me-nores de: 0 .02 mm, ElIntervalocrkico en el eual el mate r ia l em,piezaa,mostrarse scseepubleesea entre 3% y 10% de coatenldo de aque-Ilas partlculas, dependiendo de sus caraeterlsticas gl 'BnuIQm~~dca:J,Los suelos suscepubles a la accl6n de las heladas pueden clesli"carse como se m.ul:stra en Is 'Tabla. 1~1. arnpllamente usada pOL' lostecnicos. de todo el mundo, En esa tabla los sueles aparecen a9rnpa~do.s en oeden creciente de susceptibiJidad.

IS

Mllterilll proteoido por dorechos de autor


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C,APllULO I

TABLA I~.lTIPODE SUBlO

Gravas c.on :3% a 20'% de partkula.s menaces, queO.02rnm.Arenas COl} 3% a 15% de pad[(:1.Ilasmenores que0.02 m m .Gravas 'con m as del 2 { 1 ' r a de: pctrtlcul


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MECANIC A D E rSUE LOS (II)

S. i . 5 . e d .ibu.J a. p


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CAPITULO J

i8

M a te ri a l p otegido P O f derec hos de a utor


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C APllULO II

DISTiRlBUClON DEESFDERZOSEN LA MASAlDEL SUELO

En. este capitulo 51! erata el problema de impottancia fundamen-tal en Mecinica de Saelos, de: Ia cUstribudon de losesfuer:zos apli~cades en Ia superficlede: una masa de suelo a tedos los punt os deesa masa, En realidad puede dectrse 'que tal problema no ha aiGQsatisfactotiamente [tsil~ltl) en suelos, Las soludones que actualmentese aplieaD, basadas en Ia Te.Qria de Is El!asuddiad, adolecen de lo sdefectos practkos acarreados pOl' las fuertes h.ip6tesisimpuestaspoJ:las. ne(:e$idades dela feSI)Iuci6nmatematica tan Ireeaentes, in~lo rtu na da m e:n :te. en aquell.adisciplina. Sin EiI1l00rgo. hasta boy . 1aMedinica de: Suelos no ha sldo capaz de desanollar sus propia.ssoludonesm8s adaptad!a.s a sus realtdades, por 10 eual resulta tm~prescindible recurrir a.gn a las teerlas eMsti


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C APITULO II

los pmye,ctos re1aUvos a suelospu.eden trat'arse eenraeeaable segu~r.ldad y ecenomia,

Los 'esftH~rz:05;yue IJlla sola: rnrga. venita'! concentrada actuallte; : ' . 11 . Ia superfidc horizon tal de ua media se.rnllinfinit,o" homogeni ! :o , 150-tropo y l inealmente e1&s.uco. inducle en lospru.mtos d ~ c u,a !!q uie rvcrucal trazada ell el media. fue.ron ealeuladns pot Vt;Z primtra pU.1'Bonsstnesq I.,

.~./

Fli,lll. lfll.'~OI PIO'fiO


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M :E CANICA DE SUELOS U I . )

t icumr .Ja2-1. se h an . ,ob ten id o supomien.do que el material en c:uyoSl?cI\O .se pl0duoen lo e esfuerzos que:se miden es }1O:mogenlco,is6tropo;.l inealmt:nte elst:kol Y semHnf in i to , Hmila .dopct[una so la . . f ronterap l .C f . n a . . .. . .s e . v i. :d . t ': .n. ..e q .. .e . . t ; .I :s . u . , e . l. o 1 1 .o . . . e. s . h . .~ O ! .H . O .g to ._ e Q ., . . p...u. t : s S l . ! . s p . - r o . p . . e . d a . ~desmecanleas no' son las mismasencodQs los puu tQS de 5U .masa: Iliis6tl\()po, pues en un plfmto dado, esas propiedades varian, en general,ell. las. d isU n tas d ir ec< :ion es d e:~ espaclo:;ni lin.ealmente 'elasticQ . pues ,la s r ela c:io n es e:sfuerzo~d:e:fof.m aci:6n die lo s suelos no son las que, col 't 'e$ponden .a ese com.por tamimto . POl lfllUmo. tampo cQ e s semiln-Hnita ni.nlgurnamasade :suelo.De hecho no debedejar de mefidoilja(~e que la apUcad6n m ashecue:nt.e en Mec/in.ica de: Sutlos de las fOrmulas de Beusslnesq~sC riba en el cakulo deasemamteates de ]05 .sll!elo.s5ujdo! a eon se-IidaJd6n. vale: dedr de: ar.;;iIla:sy sueles compresible:s, en . los quea I.g u n as d ela ~_Mp6 t~ s[ s_t~~!c:as. ~a.e~asti~Lda~pe[f:cta~ppr ejeml']o"dilst.an de san sfaceese 'en for.m a m uy tspeC:laLaun den ttQ ' d ie lossu elo s en g en er ,a l.Pa.ra la, a.pHcad6n p't~ctica de .Ia: . formu.la 2~1 es clon'Venient,eexpresarla eemo sl'g ue ,(Ug. U..l).

3P :;' 3P .: :"1 11 : ~ ' ' : : '2 11 : if, , ; " c - 2 ~- (r':+ .:"1' .

de donde

r, = = _ , / 7'~ - - - _ . ( , . 1 1 r" )-.. ~]~ " " '1 t ._-- ., "" . .E n (:1 A n.e:xo Il -b se Iltt!:Se.nta. un a tahla. de valcees di;: P " . e~lhJ.tlcI6fide: la . rda:cI6n r/z. Ast para encontrar el valor de unesfucrzon or m a l v er tic al. fj"" con 1


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CAPlruw n

(A) y div idir ese valor de t, e:n t : re: la ; :; co r t (S ,pond ien te al plan Q enque .se caltulsld ,ufueno. (dlsta~c~,a 'en;tre elplcmo, d~ apl,ic a d6nde la carga _ y elplano en, que seslh.la al punto en que se caleula elesfuel'zo C on e! v .a lor de esra telaci6n, r/:" , S i 1 : ' se le cc ic aa ,el valorde Po cor respol1d ienh! : : Y SI! calcula el esfUtrlo aplicand,o ,Ia ee. 26.II~. E x ' f . e : a . . s l 6 n doe," formula de &upiaeiq a otn:s COgdiclODl!llde earga. oomunes

La c3rga linica concen. tradacuyo, eJecta se ha anaUzado en las~c :c:i6n 1I~ 2. au oq ue d .eac ci6n c orm im . en.la practica" n e cOlli!itituyeel 6n ko case ,q~H'!!es n ec esaeie e:st,u dia r. O tr as c on m , (:io ne :s de , carga'" m uy com un es se pre . ..sent an a cootlol.l.ad6nen .forma c:ondsa. sin:efitrar. en general. alos d e, taUes ma t { !:m a t l~cos de : IaoDtentfOIl de .I il s f6 l' J li ulas que : ! Ie: in-duye.n .E o fa fig u ,ra II..2aparece una car'ga Ii -I!,ea1.uni l , o rmementedistribu.ida enla lon-gi tud. 1 9 , ,de p li.lnlda-de, de ,carg a,. pOll" uni" ,da,d de longitud., E Ivalo[ de a~en unpun-to . de fa ma$BbajQ 0pl!edeobtene:rse:rldl~

FilS. 111.2. Oi lt r i611c161!' d. ,",'' ''1''101 ... ~"llf lin.al fl. mente in.tegran.do 18 1.foI l9ilud II/dfo eX,presi6n 2..1 a 10 lat.g o. de la linea de car ..ga, usl.dtando

P!J~ 1 .(. 1 . 2)(I.::;_- ....___... . -:+ .(2~8)2'1t o(r + z!t) Vr + y - + z~ xi+!l + Z' x ' + .z~.L a a n te rio r: ,expreslon 2~8 puede ponerse en E o.rm a .adime:nsiQna],in ttodu den dolQ s param ,etros.

xm,;=~.z .: II. 1' :1 ': = -Z

Mater ia l proleqido par del echas de autor


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Ea.. .fu nd 6!d . d t: ta le s, par:ametr05. . 1 8 , ee , .2 -8 ruu.tta,z 1 n (. 1 ..2).

,'''. - ,,- ~ 2,1 ' ( m . Z + Uvmi + - I t ' + 1 :m z + 1 : 11+1 +m,:l-+t'. . (2-9)10 cualpaede expreMrse comofl: ::;p, (2,.lm

En donde ,P o es el segundo miutbro de.la ,expl'es.i6n2~,9.'.H I. v alor d e 1 ' . . fUEl:. tibl:.ila:dQ para dH!~e:~ues va lQres de InY 11 porR . . . E" FaduD l~ y en .I!:1 Ane:xQ ' n~c aparocen las g rb flc8Js q u.e te5p


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CAf . lTULO II'

Lln case d e con dic:t6n d e ear 'g a al1nmis iRter~sante en lapracucaque ,e] anterior es e: l que 'torresponde ala ilg. n~3. en Ja que sea n alb ;.a la in.fh,lImcia ,en ~;l m a sa del,conUn':UlO .homogetlcQ, eiit:s:Hcoe1 0 0 . . t . [ . 0 . , .p o. ' ., _ ' d . ~ . .una.....u _ p e . r l. : . f . C.~.jere.......~an9. ,1 . u . _. I . a . . ... . u . : n ~fo r :m . r -men t !e , c a r g a d a , C O ~~U' umdadc5 die 'CiU'i)':apor Ullidad de erea, _81. esfuen :o ~~ ba;o una esqmna d e la su pe :r fi.e le carg,ada y ,3 un ap ro fl:! m c lid ad z , p ue de obtmerse pOl' i:ntegrad6n de In ec . . 2~ le.n todael area r t!, puedet,lbUilll!fs,t: 5 1 . 1 valor en fu.ntlon de : d.istinb)s m : y. 1l..l!sta.la bar fuetambHhl reali~ada .potP'adtHn.~ y en , l e i ! An~xo I I - e l i se muestra ~n1"1agrafica con los restlilados de Ia tahuladon.P ar a e n .c .o ntr ar el va .lor de : fr;! ,en an p 'tln foA b aJo un a. e.sq uin ,a deIa.superfici t: reecang 'Ldllt; uniformem.t:n te cargada Sf: pl~oo~de: a caiMaterial protcgido por derechos de autor


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MECANrCA .D E SUELOS (II),

traccio!l1l!C:s,el area GO'HG se rest6 del fotal in kial do, s ,'ec:es,por: 10q ue .ser a necesarto calcular ' el e sfue! :'%o,tf.I ' POt ella producido y to -mar io come ad ir lvoun a vez. R 1 'E:.duer::::o ,, ,, ' , deSilaO:'l!tfa

Un, c:a.soespeeial de !ll'


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_3w.~~ : [ ' 2 1 ' : ] ; [ - ~ . . ! .2 : I . ] r - W.z' [ ,: ;,. .. - - . (r' h z , 3 { J - ] "- 21t- I.. """. ., 23 ( p 2 + z~)aJ :'. ~ -';'" _De: donde, Hnalmente

(2~~5)

Lo amterior puede e5cribirsc aut!

donde(2..11)

, Los v:alor~fu~ We plleden.~bula,r5e en fund6n ,de ~oscorrespondic:nte,s de ' / ' 1 " En el Anex.o H-e Sf! presenta la t:abulad6nen cues-t:i6:n., En,c();Tl.tral ldo Wn. el valor de ""~ re:solta .simpllem,en,te de laa plic ac :io .n . d e la ,( or m l.:ila 2~16.En muehos ' Casos se han de cimelltilr estructuras: sabre sueloscompresibl.es, que conelenen finos estratos de arena 0 l im.o alt-el'naa.o5,con etros de ar:dl,la ,(;;lrdlla:sfinam.,entll! : estr,aUfkada:s),.BI Dr. A.Gasagra:nd1e:hizo ntltl1_f que" en estes 511elps. laslaminas de arena 0limo,acbla~ como rduenos.~~l conj~lo~~quel:estringen 10., .defor . .J] ] ,aClon non::z:onta1 de la atledla. H. M. W'f!St:erga,m:l1 ebtuvo un ao ollld 6n d .e . es te problema para. e : 1 . C8.S0 exlremoen quelas de[1Qrma~clones nOl ' izQnules fuer;3in nulas, De acuerde iZooesta oolucl6n elesfut: r%o vertical deb ido a la ,acd6n de una s o~ a cO) rg a vertical eon ..eentrada supedh:;ial,act~fite$Obre l in, : m l e d i o ~e:mi inf ini tQ. , que seCOilnpo.r te s e9 ( l! n . I a ley de' Heeke, per il q uetm g il tota1m:.ente :r~:strin~gida SU defo.rmac: i6n ho.ri~ontal. esta dado pOI

Jl' . Z11, = = .2ltK (r';-Z + 1(% z1f~f~

dondel(~: l I -2 I I . ." ' \ } 2 n . . . ~ } (2..19)


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MECAN lCADE SUELOS (II)

S!en~ 'ilIa r e l s a , .6n, de Poisson para el mat~larcillo$o ,blando,An6Iogam~te a1 ease de las SQludones ,obtemdas a,partlt de lade ,Bousslflesq" se alentaell la a ctu al U te.r atu ra COD e:c:uac:icmes 'Ygra.ficas que pemdten extender la ,soluciun de Westetgaard aotrascoo.didone:5 de lcarga, anilo Basil las v.istas, sin, embargo, ,~tO:5 gri,.flc:os Sf: om lten , en , esta obra po r ,oonsiderarse quesQ n pocos loscasos prietic03 que amer1ta:n s u aplkad6:n .

.A Icontinuaci6n se menclonan algUDos trabajes tmdlentes !II resel-' \f,ef e li p ro blem a d e transmlslon, de esfuerzos a l c on tin u o semUnfinito.homogtneo. is6tropo yllnealW,en.b!: e:lastko"provoc:ados par (argassupedida.les obedient!!:.! a di,fereDltes, leyes de dbtribuci6n de: inlt~[~spractico.a) Carga linf!m de lotrgilud infinita

51 en laeXpl'ulon 28, correspondicnte a Ia Innuencia: de unac.arga Ifnw d e lo :n g i,t ud fi1tita,y, esta m a gm t .u dc rtC :Je h asta se:!:muchQ ma~rque las x r z quelntuvmgBD en. el.caso. ,suv~dol'podrA constdemrs:e ComO (+ co) y. en t a J I sltuad6n el valor rr. henepor limite pr(}':,=- ". 7 C ' (xl+ .z2):1Que ccmesponde al e.duttzQ e n . un PlJD.tQ ,situadoen el plano,normal a 1a linea de ~~9a. trazado pOl' su ext roernQ,. extend i&!:dosela lInea infb t l tameDbi! : desde el pu.nta odgen. de: coeedenadas, en Jadil'ecci6n del eje Y. hada (+ 00). (carga semiinfiRita).Si lotlinea de taIga se ~tiende tambiea infinitamente ell eI sen. .tJdo (- C ( J ) 'carga mflnIta) el esfuer:z:o a : . ."a ]4 proiundidad z; enun plano normal a la ]lneatrazada Lorel origen de cecrdenedas, esslmplemente , el doble del dadopo,ra I t < = . 2..2~.

b} Ate,s duular unifot1nllmente ,AlJl'gacl8:E . s t e : eaeo ya ha sid.o tratlldo en ,el, parra .Fo precedente, percW Ilcame:nte .par ,Si encont.rllI' lo ses fu c.r :z :o s. v e:r tic ales a IQ lar,go de unanormalaI Uta trazada pee su eentee, L. l - iirgenson' presents una

soluclOn mls general. que pumite cakular oa ,e.s(u.e:rzos vertkales ylo s c orta nte s m ax .im .o :!l e n cualq uie:r pun lo del medi(l l sernilnfinito. E nla .fig. U..5 apaeeee 'Una g.raf.ica ,m que se vacla la saludOn antesmendonada.

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Material protogido por derechos de autor


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C APITULO U

F IlS . U 5 . Dilfr;k~i6t1cI. .JNrtOJ nrH=I., V


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MECAN IC A . D E S UE LOS , (II)

iII z :I

. . 1 .

5. E:SfUU!lC eg,,'TII,IiI'!"'[fiG. n . : 7 . ,D. lmibftJ lu t d. dNl'lOS HrllcvIH t' COIfam; mhllrllu ,6a[o ncr CO ,gC lir.cmr.lqtd. l o .. ;i 1 J 1 i 1 I lI Ii iJ U v

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M u te ri a l p ro tc g id o p or del C{;has de autor


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C 'AP IT t! LO II

Ia . ' ~ l ~ a : O : i Z m d : r : n : ~ ~uEUerzoprinclpal mayo.r" (t~. UHI esfueno 'tmb:. ac:,tiia. natu:ralma,w1 a4iS o , r:e :s pe c:, toa Ia an, t~riOt dir ,ecci6n . . . "En 18 ,f ig. U..7 aparectu.na g r a n c a que da losvaIoru de r : J . Yde. "tq,t.:, en los distinlo.spliJn.toa del,medio Sllmlinflnllo.

d) Ca~glJ ,t r iangular ,c h long i tt td in /in it a . (,triitlgulo i$d'Scde$)La soIu.cl6n para, estc: ' ease ,fue pmpuestapor' Cau)tner:s y sereflerca 1 a I1g. n.s,

Ip i!

IIL- b J: I I I. " .J I ,. ....."_J __ ,__ ...... ..", , , , = , ' :I!:

b ~ !~IIiIII__

F tS .. 1 14 . D.lstrihdoll fl. , f t iHnOl. ,Mia III1C1laI!'90 ,~ 'Ml"I'llif.thM(ld6ll,.lo hOK.J",'

'" "': [,,'+...iI-~( 0:, - ... ) - ~ In ':;- ]p : z . ,- ;,'n ' ;~ ~ - & - ( < < . ] - , 1 1 2 )1 1 1 : ' ,

En 1 8 .fig. U.,g apaece: la, . soJ :ucl6n . g rA,f .i ca de ]8$ eeuaeteneeanteneres para I O ! ! vafor~ d e : a. y ' ' 'C '~.B ite easo u:'Vlstefmportanda.pridia especial. porN apllc:acl6na preS8!l; d ie HUT8.

30

M ater i [11proteg ido pa r derec hos de a utor


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MBCANIC 'A D E SU ELO S (U)

FIG. 1I.9,Dl,,".II"1O.t d,IHIHnOlnrliCflln , c~ m r : l , l i m O l ~/o, no: cwg'"Iti_~fll . 11. IHfif.ll/iilOltitv lftidnlll/ol:.6IOtt..'

e) C a rg a tt ia ng u.la t ,d e .lo ng itu d in.finitR (.tr ia.n:gulo t .scalenQ). --Tamb i en , CarotherS' (Ho lasoludon gene'ral para este ease, conb5 .f6l 'iDulas

P [ x a + b - x . 22 10 r. 2z] . f 1 ]17 . . . =~ -(I. + .' 8--b-----,-~ n~- ' 1 ' 1 : _ it b r'1I ,a TIl'_ .,p 1( ' : . z : z : t I )' ' ' C ' . . , , ; ; ; ; : - ; ; - : - . 'a tl- I i'" ' ...

Que paeden inte[pretarse 't!'n 1 8 1 fig...II-lO.Las u:pr,esianeslmteriores ,SOilsusceptibles defabl,.!1a:cl6n ,smdllaen. cl.lalquler ,caso p.ra c tiC (), -

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Material protcgido por derechos de autor


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CAP lTU ,LO D

1

IlII

(2- -25)

E.,I,mi:s,mo iDivestigiaoor arriba dtado, pr:opordcma soluclones grA . .fleas de: CJaS uacio.Da. &. :lal figa. JIU y lI...12 St .D1ueskan 185cwvas c:011'espoD diea.tes. .B s : denotar que" 'CQD, Ia ayu:da de estas gdifc:as puecle cncon~'Uatse el valor de (f~ b ajo c ua1 q! iIu pun,to del Area rtangulatsujt--taa Ia CBtgatr,ianguw:; para i:Uo Sua ,nec.esatio l1Sa1" dIche grificmuttuadam en t~ hacien do las adicion,e!Ji Y , aUbst raeaoaes que: SeDpen mm t a _ pa,'fap ooer ,P ,o~t:r,: . . a I p.mto , c u a 1 , . ~ _ q , u i , t t , a 0 b le D , ' , 'e n l a , a m , ' . . ~ . -iJi'cl6n de 0 0 en. Ia deQ .. Pal'a resolv~ estos prob1emas pueden.u . s a r s e cualesql! .dera d e 1 8$ ,d btr ib uc:io :n u, d e car,sa ya vista.s y queccn ven gan en ,cada c . a . s o .

. 3 2

M a te ri a l p ro to old o p or d el C'{; hos de a utor


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M.ECANlCA DE S'UEl:OS (U)

. ._

P...y~,vL . . . . : , . , . . - I III......- '1 ~ ~O~II ~~- :1 ~ " l i L i I , , .

o . . J :2 , 10

Loan.tuior impUcala hip6tq1s de que ,d principia, d.el:. $I:II.~-posid6n dc' CalUsa.8, y ,ef:edos es aplh:able ,a lospro.blemg, de Janatul"aJeza, katada., -S~5esumao. ,!:as ordg_ada3 dc~qtder C1UV8 de "n" ,en Jafilg11-11 ,In: la ,',s c o r.t ,e spGo ,' d im ,~ s d ,c la , " ,' , fi g , . , ~ , I ,m . . 1 2 . Im I, ~tI,i I t ,~dDS, r . c ' ' _ ' 'scnt:a:I1Jas orduadas pooveo.leDCles del diagrams , d e : Fad,um patB unacalfga uni;OI':m,emmb!i msl:til:luidasobre: ,e ] hearectan,guiarr. '

33

M ateri


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C A ! P . ~ . 1 i U L O U

e.1 ,,," "~ , iM ' !O\:~ 0" ~," I~.i,!. 'Oll~: S ID lE III,

FUi . 1 1 1 - 1 2 . , &!!II'~ ntIiGQ/'n ;1!d '1J~;JcshiQ QpOf'llnC! C0'f9!l! 'tiaill,'II,ttl!" d. lanlitttd'lnit" (,..illl, " t o , tmQrllifol'9 ) Carga .b:apecial de Iong it 'Ud in /ini ta- "

P '[ Q, x.. '. , 2 z : l' t , g , ; Z I L ) - ]". := ,-.. ~+ '-:-a. + '~n~ + ~\x ~f.O'. '.... -" , a a: r' r~ . "1t , "" "" ..1 ~!,......_p ...[ C " " . L . a . .~ . , _ z , z . , . ]" ...,.-- a . cl1t -~_


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MECANIC A D E SllE :LOS (U)

x,IP

, . I"": .0 : .1I~--1I+ zfile. UII:I. Ohfrll!u ,~ d tf~ " ; 0 IIIG' wrg'q'tv."..dGl d . 1 0 1 ! , 1 I " ' 11:1;.IIffa t ' n t p e d O I'IcNII9.11,I9}

Desde lu,ego. toda:;, estas ecua(;iooesson fidlment:e. tabulablupara el trabajo en un "rroblemapTictill' pero, pa~a maYQrfadlidad~en Ia ,f ig" ilA4 ,se tnduyeuna. soll.l ,dQD.graf lca, dada par J . . , O. o.tei~pa.[a los: puntClsindkados.HI .presentecaso Its d e m , uy esp ecia]. _im p o rtan ci.a pllu:tica, porpundtir el , cAlcW odie lesesfaeraes i!lducidos p O . r un. t e rmpJAn. Pataresolver este: p'f'ablema ba,joelce:ntro delte:r.raplen bastar,a. multipkar ~or dose]val.or d e : a , l obtenidopata cada .p .r oftmd ld ad ,z .conl a g r i.f 'lcapR: : !I en tada" SL se desean calClu lar .Io.s esfuu%QS ,baJo ,e Icen tJro del ,ex!trem ,ofin al .d e 'W i 1.terrap~en SUPUE';sto!ltmunimIto enlongltud. bastari. ,aplicar la mi,tad d e 1 ! . val:o!' de tit- obtenidopar:a. , t lterrapltn, ,eompldo de fOf:!gitud infinita.h) Pla .no se"niin_fini 'to anilorme.ment,e CMgado.. E1 _Pl::oblemare5ue1t!o por Caiiother.s' se esquematl.:za en Ia fig.11..1.5. Los ,es ful! t7 :os act1!Jantes p ued en c;a lc ula r.se co n la s fO rmu la!l a _ = ' ; ' [ a + ~]

11 " = ~ [ . '~ ~ ~ J: '_ .r-. (2 . .28 )... ~,P .....n'~a~"~'-.. ~~ _' ~1 1 :

M aterl al protegido par de rec has de autor


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CAPituLO II

I~I 0.40. ,' " 'I;;)Z1 : . L I~ IoJ O.)[)'~zLi.I

IQ

0.,2:0w i. . . .a :Q...Ic(

:> - O . H)

oil.f~G. IIi.H. GNflclIId. yalOJ., rJ . iRll.. c;c, ,paN" dlC1110 d. ",'''.rI~''rlj\Q:lI.1rJ.lM:O crllllO",.CGJSiIJ . ' ' ' 1 ' ' ' ' , fI O t ' _ I;lIiIJ CW JII'Ai 'oN'lCr ' ft '~Iilifdi'M/~irGrU:fd.oJ, '0'. O.a""'g}Loa eS.(ue :rm ,s, p,riDcipales en lo s (USUllto~ pun tas del continuo de

t u t : 1 o estiD dados ' p o o r

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Materlal p otegido par deroc hos d autor


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MECANlIC A D E SUELOS (Ill)

'"X . - - - ~ - - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - ~ ~ ~ XH I I . ~ )

1'1

b

I~ra-l ' ' ' 'IG" UI6. D m r1& 'ciM J. . ' H I I O I 6010' ,lUI p l a r t O 1 I1 IJ i1 .1 ,; D U O ' . , ; I om ' . . . . , .. ",po, cont:tIrd

i) Plano ,~'emii'nfinit.'o!,pnifomHmt.ent :e ca r gadQ , con taludLa 5Qluci6na este p[-(]b1tmatamhli!n es deb~da a carothu,!4 ytesponde a las sl:guit:rl,tes ecuadones, relaoonadas rCon 18 ,fig. 11...16

r ; . = : ' [ ~ ,+ ~.0 ]p I [ J C . . z . t J 'T;II- ~- .'~+~l- 2e, ln~,~ I b b t.,p ' ~'1 .= . . . _ _ _" IXn b ,.

M a ter i a l p ro tC ' g id o p a r dC-I C{; ha s de a utor


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CAP I1U ,LO II

II~ _ _ q , ~ ~ ._ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ _ _ ~a~,~~

II ~II

j) .Plano infinito uinifarme'men:t.e ca1'gado con laia t rapeda l,deSCIi ,r ..,gada de IDtlgitu.d ltt!lnita . .Los wt : .ler :zos ;tilc ualqw e:r piu nto d e la m a :sa d e suelQ en est,e..CASO'puedm, rl1:$Qlvet~e con l8~ sigu,lentes ecuaclQnes, debida5 B ~!:'o~then'" fig . 1 1 . . .17.c r . = : [ ( P + ~i) - : ( t r . , + tt.,) + : (tt - A I } ]_ _p I [ - ( ~ , . _ ' ~ : ' ) _ b ( " . . ) x.( . _ .. ) u, 2 z : ' I n . r . I I ] -1ft'_ = ' . '. ' I . , ' , I I 'I - ~.. ,a; + ttl I +- IX - cr.1 .+- ..-" ' ..... 1t I " ' . " It' . '" ' , o J ' _ . _ , . a " 1 " ' 1

n-:5 . La carta de ,NewmarkNewma rk ' d . e s a r I'o l iO I en ~9-t2 \liD m ~ todo g rafico sen cW o q U . 1 lp erm it e o bte :n e :r ra .p fd a:m e n te lo s ,es[uerzos ve~tic:ales (ti., t rans .

m itioo,s a un m tdio semllo finito, ,hom,ogtneo" is61ropo y elAsticapor cuaIqui,ucon d.ki6n de. c:arg a :un U'orm em eot:e: fepam da .sab re lasuperfide del me:dio, Esta eartaes especlalmenteiltU. cuandose tie~~e~_ .!a r ia s , il r -_eas:a!!a~asl.apUc",:"do cada un a de elias. dHer ,en tespU1:5 !_one .s a la . sup!':ffkJe de:lm edlo_" "Hi metodo se base. en la ec, 2~] 5 corre-spolldiente a l esfuef.%over-t l .calbajoe1 centro de un areacirC;I:.IIar uni f 'Ormemen. t e :ca , rgada" Est a,ecu:ad6njrN;tC!!dt: tst:rihirse:

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Mute-riul proteoldo par dercchos de autor


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MECANICA DE , SUELOS ( II)

fl. =1 _ (I 1 . ) " 1 IIIIV - .1 + (t:/:-rl '.51 al eata eeuad6n se da a r;./w el v a lQ r 0.1 Be eJliCUI!:Dtra 'q ue r /~resuIta se1'O ..21. es dtdr,. que ,s i 51 time un circulo cargado de:radior = = 0.21z. donde; es]a ptofundidad de un pooto,A bajo elc en tr o d el drcu]o. el esfuerz:o en dlche pl!JHoA sera.

t 1 . = O ..tw81 esee cil ',culo, de r = ( '1 , 2 1 : : SI!: divM !e en tin nume to de se: g:men tos[guales (fig. U18),. cadauno d e enos cont ribuJrA al e s f u e r . % O _ a , totalm IamismaproP9.rd6n". SI e 1 n iim .em es 20 c omo ItS usual en lascar tu d e N ew .m a rk, c;:ada seg m en to (ooperar:i para tl esfuea o tI.#ccm .O.lw/201 =0'.005 w. B lvalo.r de 0.005 el!I elv alo r d e in .A uen d a. ( lo rr es..pondlmle 8. cada uno de los .segmentes circulates conslderados.Sit ahOu. st toma f1./w :=0.2. re.suha r/z :::;::.10. es d edr . para elm: iSmo pW1tO. / \ a la profundidad Z . , serequlm ahara un drcufo carg a...do de r : : : : :0.10 z,para que e I eslueuo ar. sea. :Igual a f~.2 w..

. Condatrlco, con el anterior puede dibuJar.seotro drculo (fli" n ..18) co n dieM, r = = 0.40,;., Com.o ' dprim u cl:ulO produda. en A un39

Muteri al proteoido par derec hos de autor


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C APITULO II

Irt.=_ (U W , :s e : sig u e q ue b: c omn a mlcala.rahora , allr eg ad a p fOdu (:r : QUo~w ~ 0.1 w (de m.odo qqt d nu,t'Yo c&culQ total Jenera fT ~ = = '0.2w).AM- ",. 1_ JI~J,. .. ,q,-~.. .:J:t,.,.l".t'~,-, .~1 -,-. __ ,-f,.... I,.. .... nmlOJ1g- a" bas..___, .. 1 w.. r w . . . . . . U.. W,VU:W:Ul! ~PI1 ..........UlI.:"'!.UQ_ ~~. _. .. .... _ .ta,t) s ~ g . l l l l d o . s e t i m l . 'mil . I a . , " c o r o n a . , i l i u b d t . . v . - ld . i d a e n M . - .c a s . C : U X a :.hl..i u e n . .daes la mismB que 1 a de [os'.sesmenltos origfna,les. 1(0.005 w).De:~tamanaapuede _guit," dando, a gJiW veloees de 0'.3. O.i.0.5. 0 .6 . 0.1" D.8 , 0.,9 ,ob ten feB do aSi loa: radios de dtt1i.llos , c .O : l 1 c , h 'l f rf . ..' C O S a1. f u n d . . O n . - . I. e. Is. Z d d . p ll J .' .D t O . A . " . ( J u e d.n . I . 'Q S . , . e s . . ' r u e r . z D S . O.3 til"O.4w. etc, en , e] punto, A"Ptolcmgando los radios,'lectores ya , usadosR tendria,~8.5: nuevas, (lMOJ:'Ut5 ruculatts ai iadicmfi subdlVidtdas enHess cuya, influ,m.cia, 'U ig ,ualm en te de O '.OO5w sab .re el esJuerzo en A.Para . = lw - 1.0 resuIta qued radio _ d , e t c;IIIc.ulbcorrespondlenteItS ya infinite. para ,c:ualqu,jtl ' z diferente. de cero, po t 1 0 que las i teasIquI!!:se 'generanpor p rolo, n .g aoon . d e 105 radio,s vectO[U fue'ta delc . - I t t u . .lo... m. . .' . q . u : e zlw .....0. 9..aun siendo I nUB lt as . n e n.e n lam i sma :in.f1umda sobre A que las reatan,tes dlbuJadas .En. 'e"lAnuo U.. se prc.senta. una caeta de Newmark ccnstruidapar... el v a 1 o ! : de z . q ue sein dic B ,_ Par.a lenC'lg~ltral"elv al( )~ d e 0::' e n :pun .t os ;COI l d J le tt ll te a p rof und i, ~d ad es q ue:.d A p ued e pD )C e ders~ e n for m a. sim i la r, cons~yend.Q' otrascartas de Newmark, CQR base en otrosvalJott:S de z. Dd:tenotafsesin em b arg o, q ue d. \ta 1o r d e c r. d ~m d e s6 !o dd. va1o .rd f! ] 'a Rlaci~tlz.. POl'10que una soia carta de Newmark puede'usar5e para detef-m m a . r l . ' o s 17'.~ a . _ . I . . dm...n .t a_.S. P r o . _ '. . . ..Wl"r u d a . d .e s . . a )0 . 1 . a t . ' . ' . Q o . _ . . e } . a _V.. e : d : ~ c a .1 . . p o . _ . rd oentfo de' lo s d rc ulo s ( lo n c::e n tr ic os .C~Ull.ta1de C!ooSlderar que 1 l a zusada P'at31 la c -o ft .S tmcc i6n , d e . Ia ana. ~ta laa ,dist intaspro--.fundidades a qu.e se desea cakular los esfuer%as, !liZbien a. di.fB'Q.tese m l iw . .P:u:estQ de otr:s. o~. en b :. 'p~dlca lre.puedehaeer . fWldo.nSi I ' facam , de Newmark de . dQsf t lJa :nuas d lsCl inw.a) Us:a.ndo varil!llscutu de Newmark:. POl" ejemp)o, stlas .Z .115" ,. -dati para la ( lomtruccl6n de l a : s ,cartas SOJ!j I c: :m. 2 em , 5 em. 10 ,emy .20 em . y se t l iene. UD 'rea c: :a rgBda. cuyainHu.encia. se dese a d et.et ..-mmat. r epr e:sen tad 1a. a eseala : ~.OO" .Ia s c ar ta s, pmpordonarlan Iosa.produddos .pot ta l kea a p ro fu :n d id ad .es . d e I 19. 2 m , Sm., 10m y2'()m. _!lueson~asz utU lzadas a estaJaJ 00.

b ) Usan.dO una 5O~a,eartadeN cwmark. para 1 o , cual s e r a I're:cls()disponer devanas phmt,ilIa~del. 6reacargsda cuya.inDuencia se es-tudls" dibujadB5 a uealas dilum'l!es.Asl1. por eJempla,. si . 1 . 8 carta de~- -... - ...~.I .. ;..._.. f'u'" ~AK.. f " Id . . , . .. .. .. .. .. b s. _... ....;,", - d e - J. '0 - ' .u : s . v ~ . : . , . ' _ ' - _ c . v ~ . _ _ . _ , _ . ' " , v . ' _ . " _ z . . . . e . _ / ' . _0 1 1 . . , Y s e . .esea caonal' dc r . que se produce a L a $ profund!idades. die 2 m. 5 m..U).10 . Y 20m . deb efb con struh 'sew p,lan ,W la9!a e s c a m s tales que. eu sp . ro , fu n m . 'd . la . . . 1 e . s . . queden.....r.iefI....usmtadu po.r Ia .z :::::::0 CJ!Q: Q dedr. ,.escalas: 20. S O l , u m y 200.. . .

I La plantilla ..deIlu:m ,cargadB. di~l~da en. papel t~'ans.patenh:.secoloca 'eD tal fOnga que d centro de la carta coinclda 'COD d. plUtlto

40Material proteoldo por derechos de autor


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MEC ANIC AD E SUE LOS (II)

haJO d cualquleran c alc ula r:s e los ( I " A, ,eontinuacl6n g'c:ontarinlos elementos de a r e a de la carta cUDiertos pa.r c:U.wuta_ cargada.a p.tO ;tiQ t PQ . ,d oc on v'm l en tem e n te la s fracclo!1e.s, de elem ra11to .E I numeroasS obC en fdo, m ultfpUeado po.r eI v r u , O , t d .e: fn iueD cla com .m de loselem e ntos (en . ,e ] dehfmU oan terio.r 0.005) da re i valor dem.iluenciat o t a l _ . q!ue .mul t ipl icado POrt ' law que Be tenga . da . el liT. deseado.PO.9iD;Jl'!tlIu~.fit:ea mltldma utilid!ad del metodo de N ewm ark apa-r ez :c a .eaa nd o se- tien .eu na .zona con d lv e't'sas A reas -carsadas tln.lfor~memente . pero con. cargOlis de : dist:intasintensidades,. poes en estecaso,..lo9 m tt:odos _an ees v istos r:equICl"i:dan t n t !. lchos c .a lcu los . m im t r a i! Ique laeaeta de New.mar.k fttnclQuas~n mayor dilicu1tad.u.s. Estnd los ~&Obre sis temas no homogeneos

But.mist:a: u,," n , Uestudi6 e lp .l 'o b I~ .n }a de [ a dist.ribl,u~Jj6'nde. esuer-zes y ,desplazamientos. mun sistema n o 'h om og ,& 1eo fo.rmadopot'dOl!! ca~. ealda un a de: cllashomogenea. ~S6tfopa y Iinealmen:teeilstica.. La prlm.e{acapa es fnffnitahO:I:'i%ontalm:mU:;.pel'o" n~Q@espe:SOI! ' l in i to. h.. La segunda cap:a. subyac:e:nte a la anltenor" es:sem lin Ein ita. Se ~upon e q ue ,en tre las, doscapas exiSte 1 ! . t l l l ccmtac to~ontm\il6. sie:ndola frontera. plana entre ,elias perfectameD.terugosa ..lh . y HJ SOD los m6dulos de e:lastiei:dad de lasdos capas, , s e : estudi6el case dein:tub prictfco, co~ apUcad6nal dlseito de pavimelllos,en eJ c.ual. E1,. s;C 'o 'eUc le nte d e influel'l 'ciClI del nfu:ert'Q, ~'rHccfl, (lr/,.o 0,.2. 0'04 0.6 0.8 1.0

'3 - - - - -- - -- - - -- - .- -.F la . n 1 9'. C IIQ 'C I!IJ. ' . ' H l l w d . . n 1 l! M O l 'fWffCflI. IlfIItfimitldOlHnw"ma fl.do c 'cGpaIi' ,.,.,1"'(.... ,.,M1oo)

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M a te ri a l p ro tc -g id o p or d ere c h as d e a uto r


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CAPITULO :II

E .n....s . . . fig.U . '. . 1 9.~ . " . . c : . m.. ' u u t t t m . c ; . . . l . l s c . t : !. : rv . .as . . . d. e j .n . . . .~ . ' u e ,n . - '~ . ( .i .a.de....a . . .a . r g . , . a .lu.pedicial,.silp'utshl c i~w a t ,. uni (O i'mcm,mte .dist:r ibmda. ,m 10REt--:0,:~ : e e s J ~ : : d i :~ri:~:J~~: ~ ' ~ e : I C : : = ;~itm.... '. m . 't . ,r a . , c a p a . . ~s.tU".c .. 5 . . . . m ,_ o s. . . . f..r ~ , d a . ' 'S s e , i . ~f.ef.,m .a . ~,~s.t,m.i_tas: e i , , ' . . .a. . c l. 0J1.........~..B~/B.#, ,en, matu~alesC;Uyat


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MEC AMCA. D ,S SUE LOS (II),

: s i 8 J . f 1 ' J ; se oon sidem . ,de: m o , dic~,o valor ~~H~:re:ducea s:6IQ un 10%dt; la p~e:.s:L6n .Slip 'edk[al. . .. . ..... '.'En ~a f i g , . , 11-20 se nUlestra una. c",mpar,aci6n de : Ias dl:srtdnuci,o ..Res del eSl,!erzo, vertical e . . n : ~nmedlo ,boR 'H)~ :neo yerl el ~~!ltem;a,_dedes capas; para,dca.sl) en que Ell&..~ ~o . ~ ; : : ;0..5 y tin = 1. Laf i g ' I ! l . I l ' a se com p:l.em enta ,con fa. 11~19" e : n . el.set1i.t:iido d.e: Q ue m~!u~stra, ~os e s fl [l !e t%ose: n cU3 il qui er pun ta de Ia: mas a del media y n o s610 ,en laver t ieoo ..baj 0 e~ ce;lltro del a re a, c ar rg ada .Begun el ana:li5i~ h~;Oii(!o, efe.ct.~adQ PQ~BurmIstel, e : ~ , d,esp:la~a~miento vertical elasUca en la sllperfide del siste~a esta dado por lae:xpres~6nGoode

A = de5p~a%;;uniellto vertical eala ,super fide del sistem al! ;~ ad Jo r a db n el1 skma l de desp ,! aza :m ien . to .. que: de.peade de L a~e~~d6nB~IB:= y de l a . r- e~ac l6n .h /rp'= p re s i6 n llu u .fo l:me . en . el ,~tea dl:'cular:r ~r~d~o del drculo, cal:~adoE;= M6dll.~o de .Elastiddid de la segund!a. ,capa..s em i in .f in iW . . En la f~.g. 11-21 apa,rece una graH(:a. que da los valores de .8 paradi.ferenh~,sI,e.18ido!O~s de ~as:que ta l la.ctOI depend :e ..Para e:~ uso de esa ru:ifica es pI'edsl) det.ermini':iOde una. sola cape, E,f,ectuando,laprueba.deplaca aheraen ~a..s~per f~cle d :elsi stema de d os.,c ap as . Ia apllesi6n 2,..J3, nueva~m e:n t re u.sada~. ~!efmIU.ra el ca . , . l c t ! . J ? de F..... la"Qr. .a H c a . ; d~_la . . fi.g. n... : - ' mpr:oPQl'CtOD:ara la corre!pondlentlf.': rd~CI(mBj.ll!2' de la cual pu.edededaelrse el valor die.EI Con los valores de B~.y . 8 : 2 . ag~ de:termi~nsdos.pueden ,ca.k.~.lla['se con. la .s it lf ,mu ia s ant,e.r.iOl:es ." 1 1a . griH!'"C al U~ 21 los, des;p.la~llmien~o:s; v ,u tt ca le s, b a jo re i Cel1.tto d e : c:uaiqllie:farea drcuw r cargadaap~i.cada eD~a supef.ficJie del s~:!!!tema de' doscapas .. Los resultados d!1l:BUJ!' llds te 'f se hiatt .aplk:ad osob n~: tod !O >al disciiio,de:pavimenrto,s" fu~gimdo eI pavimm.to 'como primers. caps mas I'ii-

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M uteri E ll p otegido par del ec has de autor


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CAPlTUW n

'.........~,",,,,",,,IO!'-''i lIIiMi.. ~1oi .1IC!UlI E z. _ - " , . - , t I ....Jillt9dl;;ln I:!!.' l P + ' Jill.", iii ' ' i ' . , II! O~III. ~alli: io

I,ll

O J ! I I

0'1 ,. . .~.:g "".""I:~. .jij.";. . '- ;IlE~::. .. 0.13.!I,j , I..! . 0 4 - I"f AliI

" "1 . 1 - -Of "I1E:I,t1!Of dill III 'GOpGll., (I!:rdcl t It

9 1 < 1 1 1 1 1 . Sin embavgol , hasta hoy" lo s m t t o d o 8 a:f ii ll i it ioos e:m anad osdeesta:s teO ill'ia s S On m e llO I co~fi.ables Ique ,OLiOS m as em .piricos , petol defiE, ilt, l . t a c Q \ ! i ma,- cO!M"prOba, des, D , ehe obs,e",,' ,',a:~s,e g "tle,des~e el ~un'lode-nsta de. t tansmls~6n de e.sfUer'ZlDI3. las teo:nas d h ! : :,5urm15ter , n n . d mrf:.5tlltado'.!I,qut; ha,ce.n,aparea:r los obtenidos een Ia solIJd6nbasicade ,Bou! ! ,s ine :sq como , r Coos t:t v ad or es _( po r ejem plo. vb;se ref. Ii).:Redmt e :m .m t . e15 5~ han desal!,iOHado algunos estudios en , ,eonexi6nc : o n m,ediQs ,semjl infm~ro! '! no Hneales Y ' II,Q homogelloos: es dedr, COD,mal;erialu que al Set sometidosa compresi6Q simple mues:tran Tela..

Materlal p orgido per derec has d autor


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MEC ANIC A. D E SUE LO S (II)

FIG;.II~n, R. lod4f !; . . f4 J tI f;Q i !o 11_1 """. " ' H r J O Y i li ormQ C ; iM !II" .dado: I I I o . r H ) a I r . i a J ' J. Jnoldones esfl.u:rzo,.-defQtmaci6n dd tipo indicado ( 1 . 1 : la i.g.. II...22. que:mate:maUcamente pueden expresarse

n>1Dande . 1 : es una c:ongtante caract,erIst iG3 del matmal.En el, easeen qu.e fa = ,1 la ee. 2..3~ 1'tj)fesentara lalcy d e : Hooke y k comdd.econ elm6dulo de' elastlddad del medic.Las:condusfones queparecen de.sprenderse: de estos estudi:os sonque en los: suelos [tales, que indIJdaolememte 5e 8(ettaran :masell sucamportam.iertto al tipo de dtformaci6n elastica sugerldo; 100 es-fue.rzos vertfca'le:s baia lacarg3 eoncenteada son me:UOl'uque los, de-terminadoshaeteado uso d e : Ia teoela clastca de Bou5sin.esq y que fosdespla~amientQS' vettka'ies de los puntos bajl) la carga ecueren 'e nfo .rm a mucho m J i.s oo n ce .n l:'r ad a. en . Ia ee ee an ia de la supe:.ride que10 que se desprende de la menclonada teerfa dbica .. :Es muylntexe ..sante nace:r netar que los estudi.os eomentadespeeeeea j:usti:fkar la.eeneeida regia ,e:mpllrica" ya. meneienada en el Votumen. I de estaebra, en el sentido de que, para el ,calculo de asentamientes, es sufi ..den.t" Qonsiaera.1as deorma.ci.onr;sdel. suelo hasta una profundidadc om& r en d id a en ;t r.e:una y mediay des veces el anche de1! c.imimto.". ",' ',' . ,--' 'a,-. '. '.' Mee . lea ""'el a. _opmtuno, . rma lmen~e, . b _ etr notarque, en ___cAn! d e S , 1 i ! _ .os. _pesar de las merltorlas tmd l! l' Icms s ei ia lad a.s :. el problema de dJisf ,r lbu~don de: e,d ue r% o s en la mas!!;.del suelo. dism de parler su consideradoc omo r es ue lt o y es m ucho a6n 1 0 1 que en estas. diucciones na ,d einvestigarse,.

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M ateri El l p ro lC 'Q id oPQ r d e re c h as d e a ut or


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C A PITU LO II

.UiEXOD..a

V ,e'sde e l pun to d,e v ista de la TeO,tla de Ia Blasticidad" elpro-b~,ema.de. Boussm.esqe's un cam parUculardel.prob]e:ma de Mindlin. Ten el eaal se !n pon ,e Is cxis t ienda. de un . soHdo " lUre ocups. J a l Iegi~ndel e.spado . : z : : > O. en cuyo lnttltio[ obr~ una ca. fga ceneentrada P , .ar.'lIcada len elpunitO:Z=C!, t =0 (fig . U ..a.). Se : trata de:..cakularer estade deesfuer.zos enan punto cualquie:r.a. A de lamasa.B ]p ir()b ~e :ttla d e B O I u . s s m e s q re suna .. pa rt ie ula ri:a d6 :n d el anter.lor tr es ul.ta do d e. b a ce r ,c= O . ~QR ]0,que la. ItaIga concentrada qaedaap~iCada en' Ja fmnt~ra del medlesemiInngi~o,..hQmQgi!neo, : i ]sauopoy I J Q e a 1 m e n . t e ellsUco., La soludon d e l proble 'ma, p l ! J e : d elog.ra:rse por vadrQS ( , ;8min~io de,..pmd.hmdol de Is, he: rr .am,ient,a ma.te:-m a t l c a utilaada. .En la fef. ,8 se jtp . r . ...se~.'ta. . .n . .r.B.'.ta.m.l.ientio. d...e.,...a..~. ..~~'Y."'.. FI ,G . 1 1 ~ 1 . 1 I . ' . !..E ..p roW .mQ , r ; I . ill! " ,NJllJ t.l le x ped lt Q '. b a sa do en. ] ! a aJ;!l1caaonde la.tandormado'J) de Hank el:: u n a !ilol~liC::ionm uy general con he-l'.ram:ieo:ta. t:msodalpod:rA.el,5e e : n l l a .ref...9 . En . la f \ e . f . . JOse d e . s a . : r r o U aun, tratamiento m.atemati.co mls simple. pero, mas .labori.oso. El tta~t8miento ..qut: ,aqui ,!~ :pR.!eDta esta bru.a.do fund!amentalmmte enla .ref. 11.La cargB ( lQ 'D .ce J )l tr aaap .roduce en elm.e:dio un . estado d!e esfuer.zosydesplazami.en:to.s que ' I!vi:denltem.en t.e tS ~im.etdoo reap ectoa l ejie deapHcacliin . de, la carga..._ '. _ ..Las: ecuad.on e.s: de '. N av iero de la de.forroaciOn, que e:xp;tesanlas cou dkion u de ,eq uilib ria en lun dO n d e las, c .om p on en t.es del vu,tordesplazamim.tov( P'J.U:.(3)' son

r7 1 a . . . . . . . , F a _y::l!vl . - l i- . _ ~ - 2 " ' . , : ,. . .. ' dIy . .." " + .~ . = 0~... p; 'uX! V


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M EC ANIC A D E SUE LOS (U)

En donde: I I - ' es el D I .6 du lo d e Pois sOD " G el m 6 du lode rig ld e:z.BG= ...2 (1 + I J . ). . .P (Pl> F 'I.' Pa ) las uuzas de masa y i(.x~.%Ji. x,,) el sl:stemacoordenado ortogonal de .referencla ..Lasees, 2-8.1 t lmen . c.omovariables unicame.u.l !e B . VI. V z Y 1 1 ! . . . . . . . . . . . . ..Mult.ipUcando las. ees, 24.1 por los vusores 1 1 . iz.i. [es,pectiva-men te y su .mando . -VI; + I _ ; ~ 'V div, V + f : . ~ 0 U-a2}

Ecuaci6n q ue: .b a sido i amada fundame.rltal de Ia T eorsa de laElastIcldad ..51 se apllea a 2 :ra.2 el operador dlv:dIV.V~j;T-112 div.'V,diV,:+.!:.div.F=O (24.3)-_~ U'Puo:

yConde Ii! es Ia ,deEonnad6n volumetdca 0 1.. .in.w r.ianfe: ddh!::nF:sot defol 'roacl6n.SubsUtu.yendo 10' an terio.r en I a ee , 2:~a.3 y silnpUffcando2 (I - ~) > 7 . . 1 1 . + - . I d . " .. . . ; ; , - O v, "7";'. lV.,t_ - ..I - 2~ - 'liSe sl:lpondr.a. aheea la existencl:a de: una fund6n ". potencial defuer~i armooica. E n t al c as o. . , . .r div. F =Vlf= 0 -

pat Ie tanto,. de ia ec.2--a.4 se sigue: que, si t; exi~te\11 ;:;.0~

10 C UB ldanl~ + . 1 . !;-ao. + . 1 , , ; _ ~ " , . = 0,v v , 1~:2 . \I \fl:. . IT v r .... I J . .

Materia l protcgido por derechos de autor


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lX,12.IX-B.1"-14.IX 15.An~NO I .X - I 1 . ,Ancx ,o IXb .Ane:toIX-c.A n e : i l : o , IX~,Ancx:olX -e ,AnexG rx~r.,Anc~Q lX~,

IND iCE .

PrLMon !' li lg a~va .P i1 (J lc s de ,cQ :n t rQ I, e , , " GtUP05 de pllo~c~ ., , " . , . " ,. .' , :oc.terioro Y p f ,o l ik - c d 6 1 :1 . de pito,tes .,.. " ,',. .filu" clilln,a~Q~de dm~flltacion Y .C lljO! 'l~., " ,. " .' , ,. FOI'mUI. u d in a :m i c as para 'Ill ca.pacidad de : CIIsa & I'ilot!ut d !' !C o 1 Id i Q $ . I' ll : g , t ! 1 , p e . , . , : " . , . . , . . , " . , , "P l!U tb as d c, , e i l : fE< l . en p.Ua ,e~". . . . , ,. ., .. . " . . . . , . . .. ,Alguno~ I:ipa~ oo:mun,e~ de : pilo:tc!! p~~(l13dIQ~ Ilpropi!!d!)$pafl h ln c .... 1gelpe " .. . . . . , ., . . . , .'. . . . .I iP (l S' 4 e pil.Qtes()al,i!d~1ien cl~u,g,alr.. ., ., . " " Pi1otc.sb:ineados Ii. p re sio n ., pre olic a,v :a do ~ . ., . .pna~. I~mndm!e cimelI!tacion y cajo,ncs,.. ,'. ,P'lOblC im as rcsl!-eho.,. "' . , .. . .. " . .. ,. ., . . . .

Clpitulo x, PRI.NCIPIOS PARAE:L [ ) (ISE :NO OF., fAV ' IMENTOSE 'lN CAMI,NOS YAER !0P1S1 ASX _ Lx - z ,X -3 ." - 4 ."5.X.6.X/J ' .X-8.

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A ncxo' X .I-c.!\~(';x(l, X I - < I .X I~ ..1

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