Justification des poutres flchies sous
sollicitations d'effort tranchant
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2
Rappels : Effets des efforts M et V
a) Le moment flchissant fait tourner la section jusqu ce que les contraintes
normales qui apparaissent quilibrent cet effort.
b) leffort tranchant fait glisser les uns par rapport aux autres les plans
perpendiculaires au plan moyen et ceux parallles au plan moyen.
Des contraintes tangente apparaissent dans ces plans pour sopposer ces
glissements.
M
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3
Rpartition des contraintes tangentielles
1) Contraintes tangentielles dans une poutre (Rappel RDM)
Hypothses : - matriau homogne et lastique
- Calculs en phase lastique
Considrons un tronon de poutre dx en quilibre
M+dM
dx
y
V V+dV
M
(y) Bo
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4
Efforts appliqus la fibre d'aire Bo :
Effort normal sur la fibre d'aire Bo de longueur dx :
Cet effort normal tend faire glisser la fibre paralllement l'axe longitudinal de la poutre.
quilibr par la rsultante des efforts qui s'exercent sur les faces latrales de la fibre.
NBo+dNBo NBo
dx
oB
BB
bB S.I
MydB
I
MdB)y(N
oo
o
dNBo = dM
I SBo
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5
Soit u : la trace de la surface de glissement sur le plan de la section
u = primtre de Bo u = arc(ABC)
En supposant que les contraintes tangentes sont uniformment rparties, on peut
crire :
Appliquons cette expression diffrents cas.
.u.dx = d M
I
S Bo
B o
A
B C
B o
= d M
d x
S Bo
u.I =
V
u SBo I
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6
2) Rpartition des contraintes tangentes sur la hauteur
d'une poutre en B.A.
a) Section rectangulaire
u = bo = largeur de la poutre au niveau du plan de cisaillement
donc = V
b o SBo I1
avec I1 = moment d'inertie de la section homogne rduite
Bo
d
bo
La valeur de la contrainte est maximale au niveau de l'axe neutre
max = V
bo SBc I1
Sous l'axe neutre : = cste = max
Bc
d
bo
y1
max
As
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7
La rsultante des efforts de compression qui sexerce sur la section est :
Or
Do le bras de levier des forces lastiques
Donc
b) Section en T
NBc = M
I1 SBc
b
bo
As
y1
max
b
bo
As
y1
max
Axe neutre dans la nervure Axe neutre dans la table
NBc = M
z
z = I1
SBc
max = V
bo z
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3) Contrainte tangente sur une section verticale du
hourdis d'une poutre en T
Moment statique du bton comprim :
Si on nglige la partie comprime de lme on aura :
do
u = ho donc = V
h o SBo I1
avec SBo = b1ho (y1 - ho2
)
ho
b
bo
As
y1
b1
SBc = bho (y1 - ho2
) + bo (y1-ho)
2
SBc bho (y1 - ho2
) = V
h o z b1b
A la jonction du hourdis avec l'me, on aura donc : = V
h o z b - bo
2b
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9
4) Contrainte tangente la priphrie des armatures
longitudinales tendues
La contrainte la priphrie des armatures longitudinales tendues est appele "contrainte d'entranement des armatures".
Soit u = ui la somme des primtres utiles des barres ou paquets de barres
On a alors : = V
u i n As (d - y1)
I1 ou =
V
z . u i
Sur un paquet de barres de section Asi, la contrainte d'entranement est :
= V . n A si (d - y1)
ui.I1 =
V.n As (d - y1)
ui.I1 Asi
As
donc : = V
z . u i Asi
As avec ui le primtre utile du paquet de barres considr
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5) Contrainte tangente dans le plan vertical de jonction
entre nervure et saillie du talon
h1
As1
y1
d
As
u = h1 : hauteur du talon
= V
h 1 nAs1 (d - y1)
I1 =
V
h1 n As (d - y1)
I1 As1
As
= V
h 1.z As1
As
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11
Comportement des poutres en bton arm
Considrons une poutre sur 2 appuis simples soumise 2 charges concentres F
a a -2a
F F
(M) M=Pa
(V)
V=F
V= -F
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1) Observation exprimentale
On fait crotre les charges F:
dans un premier temps le bton n'est pas fissur
ensuite apparaissent des fissures inclines dans la zone d'effort tranchant et verticales en fibres infrieures dans la zone de moment flchissant
si on augmente encore la charge, les fissures dans la zone d'effort tranchant progressent vers la face suprieure en s'inclinant d'avantage et les fissures dans la zone de moment flchissant deviennent de plus en plus nombreuses et importantes. On observe aussi des fissures horizontales le long des armatures longitudinales.
La pice se transforme en un systme de blocs de bton dont l'quilibre est assur par leurs ractions mutuelles et par celles des armatures qui les relient.
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2) Etat de contrainte provoqu par l'effort tranchant
Considrons dans la zone tendue de la poutre, deux plans perpendiculaires dont l'un est parallle au plan moyen de la poutre.
Les contraintes normales dans le bton tendu tant nulles, celui-ci se trouve dans
un tat de cisaillement pur (1 = 2 = ).
Le cercle de mohr reprsentatif de cet tat fait apparatre deux contraintes
principales 3 de compression et 4 de traction (3 = 4 = ) s'exerant sur les
plans 3 et 4 situs /4 par rapport au plan 1;
1
2
1
2
3 4
3 4 3 4
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3) Rgle de couture
L'effort tranchant a donc pour effet de crer des fissures inclines sensiblement 45 sur la ligne moyenne.
Schmatiquement, si de telles fissures apparaissent, la partie ABCD de la poutre ci-
dessous tendra se dtacher et tomber.
On conoit donc qu'il est ncessaire de rattacher cette partie ABCD au reste de la
poutre l'aide d'armatures dites de couture ou armatures transversales.
A
B C
D
A
B CB C
D
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15
Pour assurer l'quilibre des bielles, on dispose des armatures transversales
inclines d'un angle par rapport l'axe de la poutre appeles armatures de
couture.
RITTER-MRSH modlise la structure ainsi ferraille par un treillis simple
constitu de la faon suivante :
A
B
C
D
diagonale comprime diagonale tendue
membrure comprime
membrure tendue
z (1+cotg)
z
45
4) Section d'acier de couture Thorie du treillis de
RITTER-MRCH
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16
soient : Fc = effort dans la barre AC
Fs = effort dans la barre BD
Fst = effort dans la barre AD
Fbo = effort dans la barre AB
En utilisant la mthode de Ritter, applicable aux treillis articuls, on obtient :
A C
B D
z
45
Fst
Fs
Fc
Fs
Fc
Fbo
V
M
V
M
Coupe dans la section
Fs = MA z
; Fc = MB z
; Fst = V
sin e t F bo = V
2
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17
cas dun treillis multiple
Soient : At la section totale des armatures transversales situes dans un cours
st l'espacement des cours d'armatures transversales
et st la contrainte de traction dans les armatures transversales
Le nombre de cours d'armatures transversales sur la longueur z(1+cotg) sparant deux bielles est :
n = z(1+cotg)
st
L'effort repris par chaque cours d'armatures est donc : Ft = Fst n
= V
n.sin =
V . st z(sin + c o s )
or Ft = At.st donc At
st =
V
z.st (sin + c o s )
A
B
C
D
st
z (1+cotg)
z At = 4 Ai
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5) Dcalage de la courbe du moment flchissant
Selon le fonctionnement en treillis simple de Ritter-Mrsh, l'effort de traction Fs en B est
valu en prenant en compte le moment flchissant agissant une distance z de la section
considre: FsB =
MA z
A
B
C
D
z
45
z
Fc
Fs
Donc:
Pour valuer le moment agissant sur une membrure tendue, on prend en compte le
moment flchissant agissant une distance a=0.8h de la section considre dans la direction
o les moments augmentent en valeur absolue.
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Courbe enveloppe desmoments
Courbe enveloppe desmoments dcale de 0.8h
M
x
0.8h0.8h
0.8h 0.8h
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20
Prescriptions rglementaires
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21
1) Contraintes tangentes conventionnelles
a) Contrainte au niveau de l'axe neutre
b) contrainte tangente sur le plan de jonction du hourdis avec l'me d'une poutre en T
c) contrainte tangente dans le plan vertical de jonction entre nervure et saillie du talon
d) contrainte d'entranement des armatures tendues
avec : ui = primtre utile du paquet de barres
Asi = section du paquet de barres
As = section totale des armatures tendues
u = Vu
bo d au lieu de u =
Vu
bo z
se = Vu
0.9d.ui Asi
As
u = Vu
0.9d.ho b - bo
2b
u = Vu
0.9d.h1 As1
As
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22
2) Justification d'une section courante
a) Etat limite ultime du bton de l'me (A.5.1,21)
Le rglement impose la vrification suivante :
Valeurs de la contrainte tangente limite :
- Cas o les armatures d'me sont droites
fissuration peu prjudiciable :
fissuration prjudiciable ou trs prjudiciable :
- Cas o les armatures droites sont inclines 45
u = Vu
bo d u
u = min(0.2 fcj / b ; 5 MPa)
u = min(0.15 fcj / b ; 4 MPa)
u = min(0.27 fcj / b ; 7 MPa)
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23
b) Calcul des armatures d'me (A.5.1,23)
La justification vis--vis de l'ELU des armatures d'me s'exprime par :
avec : At = section d'un cours d'armatures transversales
st = espacement des cours d'armatures transversales
= angle d'inclinaison des armatures transversales
st= fet / s
fet = limite d'lasticit des armatures transversales
At
st
Vu
z(sin + cos) st
Or u = Vu
bo d et z 0.9d d'o
At
st
s bo u 0.9(sin + c o s ) fet
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24
Remarque :
Il existe une diffrence sensible entre les rsultats thoriques (thorie du treillis) et
exprimentaux car tant que le bton n'est pas fissur, il participe la rsistance
l'effort tranchant. Il s'en suit que les armatures d'me n'ont quilibrer qu'une part
de l'effort tranchant Vu, donc de u.
Lcart est fix rglementairement 0.3k ftj* do linquation :
At
st
s bo (u 0.3k ftj*
)
0.9(sin + cos) fet
avec : ftj*
= min ( ftj ; 3.33 MPa)
k = 1 en flexion simple sans reprise de btonnage ou si surface de reprise
indentations de saillie 5mm.
k = 0 si reprise de btonnage non traite (sans indentations) ou si fissuration trs
prjudiciable.
k = 1 + 3Nu
B. fcj en flexion compose avec compression
k = 1 - 10|Nu|
B. fcj en flexion compose avec traction (k en valeur algbrique)
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25
c) Section minimale d'armatures transversales (A.5.1,22)
d) Diamtre des aciers transversaux
e) Espacement maximal
At fet
bo st 0.4 MPa
t min ( ; h
35 ;
bo
10)
st min (0.9 d ; 40 cm ; 15 'min)
avec 'min = diamtre minimal des armatures longitudinales comprimes si A' 0
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26
Exercice n10 On considre la section suivante, soumise en flexion simple un effort
tranchant ultime Vu = 92.4 KN.
Sachant que :
fc28 = 30 MPa
fet = 215 MPa
il ny a pas de reprise de btonnage
la fissuration est peu prjudiciable
1) Justifier lme de la poutre
2) Calculer lespacement des armatures la section considre
4145
20
cadre 6
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27
3) Rpartition des armatures transversales a) Mthode gnrale
On se fixe la section d'armatures transversales At ce qui revient choisir t (t = 6 12 mm).
Pour des facilits de mise en uvre, on placera en gnral des cadres identiques sur toute la trave.
On calcule les espacements :
initial sto au voisinage de l'appui
intermdiaires st(x); en particulier gauche et droite des charges concentres.
On trace la courbe "E" reprsentative de st(x)
On choisit st1 sto (il est recommand de prendre st1 7 cm)
On place la premire nappe d'armatures st1/2 du nu de l'appui.
On rpte st1 un nombre entier de fois jusqu' ce qu'il soit possible de passer un espacement suprieur et ainsi de suite en enveloppant la courbe "E".
On arrte le processus lorsque st stmax
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b) Mthode pratique de Caquot
Conditions d'application :
charges uniformment rparties poutre section constante cas de flexion simple avec k=1
Dmarche suivre :
calcul de l'espacement sto l'appui position du premier cours d'armatures une distance sto/2 du nu de l'appui espacements suivants pris dans la suite de Caquot : 7 8 9 10 11 13 16 20 25 35 40
Chaque valeur d'espacement est rpte "n" fois avec n = nombre de mtres ( par excs) dans la demi-porte de la poutre ou dans la porte totale pour une console.
Exercice n11 Dterminer, selon la mthode de caquot, la rpartition des armatures dans
une poutre de porte 5.80 m sachant que lespacement initial au voisinage de lappui est st1 = 11 cm et stmax = 35 cm
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4) Effort tranchant prendre en compte au voisinage des appuis
a) charges rparties
simplification : Souvent, au lieu de faire les calculs avec Vu(0) on les fait avec Vu(h/2)
b) charges concentres
Article A.5.1,2:
Pour la vrification de la rsistance du bton et des armatures d'me au voisinage des
appuis, l'effort tranchant Vu peut tre valu en ngligeant les charges situes une
distance de l'appui infrieure h
2 et en ne prenant en compte qu'une fraction gale
2a
3h
des charges situes une distance "a" de l'appui comprise entre 0.5h et 1.5h.
h/2 3h/2
q/3
q
a
Vu Qu Qu = 0 si a < h
2 (Qu est considre comme directement transmise l'appui)
et 2a
3h Qu si
h
2 a
3h
2
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30
Exercice n12 Considrons la poutre tudie en flexion simple dans l'exercice n5. Vrifier l'me de la poutre et dterminer les armatures transversales, en supposant
une variation linaire de l'effort tranchant pour 0 x /2 : Vu(x) = 292.9 48.6x (avec "x" en mtre et "Vu" en KN).
Exercice n13 Faire la rpartition des armatures transversales dans une poutre reposant sur deux
poteaux de largeur bp=20 cm.
Donnes :
porte = 6m; section B = 20x40 cm rsistance caractristique du bton fc28 = 25 MPa; = 1; b =1.5 btonnage avec reprise armatures de haute adhrence FeE400 ; = 1.6 fissuration prjudiciable ; enrobage minimum e = 2.5 cm armatures longitudinales :
armatures tendues 6HA20 ; d=35cm armatures comprimes 3HA12 ; c'=4cm
armatures transversales : un cadre + une pingle HA6 dont les espacements seront pris dans la suite suivante : 9 11 13 16 20 25 - 35 - 40.
Vu(x) = 90 27x avec "x" en mtre et "Vu" en KN
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5) Justifications des sections d'appui (A.5.1,3)
a) Appui simple d'about ou appui de rive
Section minimale darmatures longitudinales
Pour quilibrer la composante horizontale transmise par la bielle dabout, on
doit prolonger au-del du bord de l'appui et y ancrer une section d'armatures
longitudinales infrieures As telle que :
Profondeur minimale de l'appui
la contrainte de compression c dans la bielle doit rester admissible:
Soient : a = longueur d'appui de la bielle
bo= largeur de la poutre avant l'appui
Fbo = effort de compression dans la bielle :
Bo = aire de la section droite de la bielle :
As Vu
fe / s
a
Fbo
45
Fbo = Vu
2
La contrainte de compression dans la bielle est : c = Fbo
Bo =
2 Vu
a bo
On doit donc avoir : c = 2 Vu
a bo 0.8
fcj b
c--d Vu 0.267 a bo fcj ou a 3.75 Vu
bo fcj
c 0.8 fcj b
002b
aB
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32
b) Appui intermdiaire
Soient : Mu le moment flchissant l'ELU sur l'appui intermdiaire
Vu l'effort tranchant qui prend la valeur : Vug gauche de l'appui
et Vud droite de l'appui
Ru = | Vug | + | Vud| = raction verticale de l'appui
Profondeur minimale d'appui de la bielle
Pour chacune des traves adjacentes il faut vrifier :
Contrainte moyenne de compression sur appui
Section minimale d'armatures longitudinales infrieures
Le moment ngatif Mu provoque au niveau des armatures infrieures une force de
compression :
Vu 0.267 a bo fcj
cm = Ru
a bo 1.3
fcj b
F's = |Mu|
z
|Mu|
0.9 d
L'armature longitudinale doit donc quilibrer l'effort : Vu + Mu
0.9 d avec Mu en valeur
algbrique.
D'o : As
Vu + Mu
0.9 d
fe / s vrifier de chaque ct de l'appui si |Mu| < 0.9d Vu.
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33
c) Profondeur d'appui prise en compte dans les cas courants (A.5.1,313) Poutre nervure rectangulaire reposant sur un poteau dont elle est solidaire
Poutre nervure rectangulaire reposant sur un appareil d'appui
Poutre talon reposant sur un appareil d'appui
Exercice n14 Pour la poutre de l'exercice n12, faire les vrifications ncessaires aux appuis
a 2cm
Armature infrieure
avec ancrage droit
a 2cm
Armature infrieure
avec ancrage courbe
a
45 45
a
45 45
a
45 45
h1 = hauteur du talon
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34
6) Couture du hourdis avec l'me (A.5.3,2)
At = Asd + Aid
= aciers suprieurs et infrieurs de la dalle
u = Vu
0.9d.ho b - bo
2b ho
b
bo
As
Asd
Aid
vrification du bton : u u
armatures de couture hourdis-me :
At
st
Vu
0.9d fet / s b - bo
2b ou
At
st
s Vu
0.9d fet b - bo
2b
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7) Couture du talon avec l'me
Exercice n15
Pour la poutre de l'exercice n12, vrifier la liaison hourdis-nervure
u = Vu
0.9d.h1 As1
As
At
st
Vu
0.9d fet / s As1
As
ou At
st
sVu
0.9d fet As1
As
As1
As
h1
At
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36
8) Entranement des armatures La brusque variation de la contrainte de cisaillement longitudinal au
niveau de l'armature tendue peut conduire un glissement de la barre par
rapport au bton. Il convient donc de vrifier que l'effort tranchant est
quilibr par l'adhrence se dveloppant au contact acier-bton pour les
diffrentes armatures isoles ou en paquet.
Article A6.1,3 :
En gnral, la vrification se s ftj n'est effectuer que :
pour les chapeaux des poutres hyperstatiques soumises des charges trs concentres,
en cas d'utilisation de paquets de plus de 2 barres.
se = Vu
0.9d.ui Asi
As s ftj avec s = 1 pour les ronds lisses
et s = 1.5 pour les barres HA
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37
Exercice n16
Le dimensionnement en flexion simple de l'appui intermdiaire d'une
poutre continue conduit une section d'armatures A = 4cm.
Choisir les armatures en chapeau et contrler la contrainte d'adhrence
par entranement.
Donnes : fc28 = 25 MPa
fe = 500 MPa
d = 40 cm
Vu = 115 KN
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