PENDAHULUAN
1
1.1 Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus perlu memahami bahasan tentang system bilangan real, karena kalkulus didasarkan pada system bilangan real dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli, yaitu 1, 2, 3, ... Dengan menggunakan bilangan asli kita dapat menghitung banyaknya buku yang kita miliki, kendaraan yang melalui suatu jalan, orang-orang yang berada dalam suatu ruang dan lain-lainnya. Himpunan semua bilangan asli biasa dinotasikan dengan N. Jadi
N = {1, 2, 3, 4, β¦} Jika di dalam himpunan semua bilangan asli kita tambahkan semua
negatifnya dan nol, maka diperoleh bilangan-bilangan bulat, yaitu β¦, β3, β2, β1, 0, 1, 2, 3, β¦ Himpunan semua bilangan bulat biasa disimbolkan dengan Z. Jadi
Z = {β¦, β3, β2, β1, 0, 1, 2, 3, β¦} Selanjutnya untuk mengukur besaran-besaran seperti panjang, berat dan arus listrik maka bilangan bulat tidak memadai. Dalam hal ini bilangan bulat tidak dapat memberikan ketelitian yang cukup. Untuk keperluan ini maka dapat digunakan
bilangan-bilangan rasional, seperti 2
19,52,
43 β , dan
87 . Bilangan rasional
didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan ba dengan a dan b
keduanya bilangan bulat dan b β 0. Dengan demikian bilangan-bilangan bulat termasuk bilangan rasional juga. Bilangan bulat 3 merupakan bilangan rasional
sebab 3 dapat ditulis sebagai 26 . Himpunan semua bilangan rasional biasa
dinotasikan dengan Q. Jadi
Q = {baβ a β Z, b β Z, b β 0}
Bilangan rasional yang dapat menjadi ukuran dengan ketelitian yang cukup ternyata masih tidak dapat menjadi ukuran semua besaran misalnya panjang sisi miring segitiga siku-siku berikut.
1
1
1
Gambar 1 Dengan menggunakan bilangan irrasional maka hal tersebut di atas tidak menjadi
masalah. Panjang sisi miring segitiga siku-siku tersebut adalah 2 . Bilangan
irrasional yang lain antara lain 3 7,5,3 , e dan Ο.
Sekumpulan bilangan rasional dan irrasional beserta negatifnya dan nol bilangan-bilangan real (bilangan nyata). Himpunan semua bilangan real dinotasikan dengan R. Hubungan keempat himpunan N, Z, Q, dan R dapat dinyatakan dengan
N β Z β Q β R dan digambarkan dengan diagram venn berikut.
NZ
Q
R
Gambar 2 Masih terdapat sistem bilangan yang lebih luas dari system bilangan real
yaitu bilangan yang secara umum dapat dinyatakan dalam bentuk a + b 1β dengan
a dan b keduanya bilangan bulat, atau a + bi dengan i = 1β . Bilangan demikian dinamakan bilangan kompleks dan himpunan semua bilangan kompleks dinotasikan dengan C.
2
Dalam buku ini bilangan kompleks tidak dibicarakan lebih lanjut. Jadi, apabila dalam buku ini disebutkan suatu bilangan tanpa keterangan apapun dimaksudkan adalah bilangan real. 1.2 Operasi Bilangan Pada R telah dikenal operasi penjumlahan dan perkalian. Misalkan x dan y bilangan real maka penjumlahan x dan y ditulis x + y dan perkalian x dan y ditulis x . y atau secara singkat ditulis xy. Sifat-sifat operasi penjumlahan dan perkalian pada R adalah sebagai berikut. 1) Hukum komutatif: x + y = y + x dan xy = yx. 2) Hukum asosiatif: x + (y + z) = (x + y) + z dan x(yz) = (xy)z. 3) Hukum distributif: x(y + z) = xy + xz. 4) Elemen-elemen identitas:
Terhadap penjumlahan: 0 sebab x + 0 = x. Terhadap perkalian: 1 sebab x.1 = x.
5) Invers (balikan): Setiap bilangan real x mempunyai invers aditif (disebut juga negatif) βx yang memenuhi x + βx = 0 dan setiap bilangan real x yang tidak nol mempunyai invers multiplikatif (disebut juga balikan) yaitu xβ1 yang memenuhi x. xβ1 = 1.
Pengurangan dan pembagian didefinisikan dengan
x β y = x + (βy) dan
yx = x. yβ1
1.3 Urutan Bilangan-bilangan real bukan nol dibedakan menjadi dua himpunan terpisah yaitu bilangan-bilangan real positif dan bilangan-bilangan real negatif. Berdasarkan fakta ini diperkenalkan relasi urutan < (dibaca βkurang dariβ) yang didefinisikan dengan:
x < y jika dan hanya jika y β x positif. x < y mempunyai arti yang sama dengan y > x. 3
Sifat-sifat urutan: 1) Trikotomi: Jika x dan y bilangan-bilangan real maka pasti berlaku salah satu di
antara yang berikut: x < y atau x = y atau x > y.
2) Transitif: jika x < y dan y < z maka x < z. 3) Penambahan: x < y β x + z < y + z 4) Perkalian:
Jika z positif maka x < y β xz < yz Jika z negatif maka x < y β xz > yz
Relasi urutan β€ (dibaca βkurang dari atau sama denganβ) didefinisikan dengan:
x β€ y jika dan hanya jika y β x positif atau nol. Sifat-sifat ini adalah: 1) Transitif: jika x β€ y dan y β€ z maka x β€ z. 2) Penambahan: x β€ y β x + z β€ y + z 3) Perkalian:
Jika z positif maka x β€ y β xz β€ yz Jika z negatif maka x β€ y β xz β₯ yz
1.4. Pertidaksamaan
Pertidaksamaan merupakan kalimat terbuka yang menggunakan relasi <, >, β€ atau β₯. Penyelesaian suatu pertidaksamaan adalah semua bilangan yang memenuhi pertidaksamaan tersebut yang biasanya merupakan interval atau gabungan interval-interval. Mengenai interval dapat dijelaskan sebagai berikut.
Interval terbuka (a,b) adalah himpunan semua bilangan real yang lebih besar dari a dan kurang dari b. Jadi (a,b) = {xβ a < x < b}. Sedangkan interval tertutup [a,b] adalah himpunan semua bilangan real yang lebih besar atau sama dengan a dan kurang atau sama dengan b. Jadi [a,b] = {xβ a β€ x β€ b}. Beberapa interval ditunjukkan dalam daftar berikut.
4
Penulisan Interval Penulisan Himpunan Dalam Garis Bilangan
(a, b) {xβ a < x < b} a b
[a, b] {xβ a β€ x β€ b} a b
[a, b) {xβ a β€ x < b} a b
(a, b] {xβ a < x β€ b} a b
(ββ, b) {xβ x < b} a b
(ββ, b] {xβ x β€ b} a b
(a, β) {xβ x > a} a b
[a, β) {xβ x β₯ a} a b
(ββ, β) R Contoh Pertidaksamaan
1) 2x β 7 < 4x β 2 2) β5 β€ 2x + 6 < 4 3) x2 β x β 6 < 0 4) 3x2 β x β 2 > 0
5) 1252β€
ββ
xx
Contoh 1 Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2x β 7 < 4x β 2. Penyelesaian: 2x β 7 < 4x β 2 β 2x < 4x + 5 β β2x < 5
β x > 25β
Hp: interval ( 25β , β) = {xβ x > 2
5β }
5
Contoh 2 Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan β5 β€ 2x + 6 < 4. Penyelesaian: β5 β€ 2x + 6 < 4 β β11 β€ 2x < β2
β 211β β€ x < β1
Hp: interval [ 211β , β1) = {xβ 2
11β β€ x < β1}
Contoh 3 Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan x2 β x β 6 < 0. Penyelesaian: x2 β x β 6 < 0 β (x β 3)(x + 2) < 0 + + β β β + +
β2 3 Hp: interval (β2, 3) = {xβ β2 < x < 3} Contoh 4 Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3x2 β x β 2 > 0 Penyelesaian: 3x2 β x β 2 > 0 β (x β 1)(3x + 2) > 0 + + β β β + +
32β 1
Hp: interval (ββ, 32β ) βͺ (1, β) = {xβ x < 3
2β atau x > 1}
Contoh 5
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 1252β€
ββ
xx
Penyelesaian: 252
ββ
xx β€ 1
β 252
ββ
xx β 1 β€ 0
β 2
)2(52β
βββx
xx β€ 0
6
β 23
ββ
xx β€ 0
β (x β 3)(x β 2) β€ 0 dengan syarat x β 2 (mengapa?)
+ + β β β + +
2 3 Hp: interval (2, 3] = {xβ 2 < x β€ 3} 1.5 Nilai Mutlak Konsep nilai mutlak sangat diperlukan untuk mempelajari kalkulus. Oleh karena pembaca yang ingin memahami betul konsep-konsep dalam kalkulus disarankan mempunyai ketrampilan dalam bekerja menggunakan nilai mutlak. Definisi:
Nilai mutlak bilangan real x, ditulis x didefinisikan dengan
βͺβ©
βͺβ¨β§
<
β₯
β=
0
0
xjika
xjika
x
xx
Misal: 55 = , 5)5(5 =ββ=β , 00 =
Sifat-sifat nilai mutlak
1) baab =
2) ba
ba=
3) baba +β€+ (ketidaksamaan segitiga)
4) baba ββ₯β Pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak Untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak dapat digunakan teorema berikut.
7
Teorema:
1. ax < β βa < x < a
2. ax > β x < βa atau x > a.
Secara fisis x dapat menyatakan jarak x ke 0, sehingga x yang memenuhi ax <
menyatakan x yang jaraknya ke 0 kurang dari a.
Secara fisis cx β dapat menyatakan jarak x ke c, sehingga x yang memenuhi
acx <β menyatakan x yang jaraknya ke c kurang dari a.
44 844 76 a 44 844 76 a
βa 0 a
44 844 76 a 44 844 76 a
βa c a Contoh 1
Tentukan penyelesaian 3<x .
Penyelesaian:
Nilai x yang memenuhi β3 < x < 3 merupakan penyelesaian pertidaksamaan 3<x .
Gambarkan penyelesaian pertidaksamaan tersebut pada garis bilangan. Contoh 2
Tentukan penyelesaian pertidaksamaan 2βx < 3.
Penyelesaian:
2βx < 3 β β3 < x β 2 < 3
β β3 + 2 < x < 3 + 2 β β1 < x < 5
Jadi, penyelesaiannya adalah x yang memenuhi β1 < x < 5. Gambarkan pada garis bilangan penyelesaian pertidaksamaan ini.
8
Contoh 3 Tentukan penyelesaian pertidaksamaan 53 βx β₯ 1.
Penyelesaian:
53 βx β₯ 1 β 3x β 5 β€ β1 atau 3x β 5 β₯ 1
β 3x β€ 4 atau 3x β₯ 6
β x β€ 34 atau x β₯ 2
Jadi, penyelesaiannya adalah x yang memenuhi x β€ 34 atau x β₯ 2. Gambarkan pada
garis bilangan penyelesaian pertidaksamaan ini. Contoh 4 Andaikan Ξ΅ (epsilon) adalah bilangan positif.
Tunjukkan bahwa 5
2 Ξ΅<βx β Ξ΅<β105x .
Penyelesaian:
5
2 Ξ΅<βx β Ξ΅<β 25 x
β Ξ΅<β 25 x
β Ξ΅<β )2(5 x
β Ξ΅<β105x
Contoh 5 Andaikan Ξ΅ (epsilon) adalah bilangan positif, carilah bilangan positif Ξ΄ sedemikian
sehingga Ξ΄<β 3x β Ξ΅<β186x
Penyelesaian:
Ξ΅<β186x β Ξ΅<β )3(6 x
β Ξ΅<β 36 x
β Ξ΅<β )36 x
β 6
3 Ξ΅<βx
Oleh karena itu dapat dipilih Ξ΄ = 6Ξ΅ .
9
Secara mundur dapat dilihat bahwa Ξ΄<β 3x β Ξ΅<β186x .
Terkait dengan bilangan akar pangkat dua dapat dinyatakan bahwa
xx =2
SOAL 1 Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut dan gambarkan himpunan penyelesaiannya pada garis bilangan. 1. 4x β 7 < 3x β 5 16. (x + 2)(2x β 1)(3x + 7) β₯ 0 2. 2x + 16 < x + 25 17. x3 β 5x2 β 6x < 0 3. 7x β 1 β€ 10x + 4 18. (x + 5)(x + 2)2(2x β 1) > 0
4. 6x β 10 β₯ 5x β 16 19. 242<
+β
xx
5. 10x + 1 > 8x + 5 20. 1312β₯
ββ
xx
6. β6 < 2x + 3 < β1 21. 1+x < 4
7. β3 < 4x β 9 < 11 22. 43 +x < 8
8. 3x + 2 < 5x + 1 < 16 23. 23β
x β€ 6
9. 2x β 4 β€ 6 β 7x β€ 3x + 6 24. 24 +x β₯ 10
10. x2 + x β 12 < 0 25. x42 β β₯ 10
11. x2 β 5x + 6 > 0 26. 15
3+
x β€ 4
12. 3x2 β 11x β 4 β€ 0 27. 72+
x > 2
13. 2x2 + 7x β 15 β₯ 0 28. 5
31 xβ β€ 4
14. 0125β€
β+
xx 29.
x52 + > 1
15. 0132>
+β
xx 30. 31
βx
> 6.
10
Buktikan bahwa implikasi yang ditunjukkan adalah benar
31. 5,03 <βx β 5,2155 <βx .
32. 6
2 Ξ΅<βx β Ξ΅<β126x .
33. 2
4 Ξ΅<+x β Ξ΅<+ 82x .
Dalam soal berikut, jika Ξ΅ bilangan positif, carilah bilangan positif Ξ΄ sedemikian sehingga implikasi yang diberikan benar.
34. Ξ΄<β 5x β Ξ΅<β153x
35. Ξ΄<β 2x β Ξ΅<ββ 3)54( x
11
FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI
2
2.1 Fungsi dan Grafiknya
Definisi
Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap x anggota A dengan tepat satu y anggota B.
A disebut domain (daerah asal) fungsi f dan B disebut kodomain (daerah kawan). Sedangkan himpunan semua anggota B yang mempunyai pasangan disebut range (daerah hasil). f
A B
Gambar 2.1 Fungsi
Definisi di atas tidak memberikan pembatasan pada domain dan kodomain. Domain dapat berupa himpunan yang beranggotakan orang atau yang lain, demikian pula kodomain. Dalam uraian selanjutnya domain dan kodomain dibatasi pada himpunan-himpunan bilangan real.
Untuk memberi nama fungsi digunakan huruf tunggal seperti f (atau g, atau F), maka f(x) menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x. Jadi jika f(x) = x3 β 4, maka
Fungsi dan Limit Fungsi 12
f(2) = 23 β 4 = 4 f(β1) = (β1)3 β 4 = β5 f(a) = a3 β 4 f(a + h) = (a + h)3 β 4 = a3 + 3a2h + 3ah2 + h3 β 4
Contoh 1
Untuk f(x) = x2 β 2x, carilah dan sederhanakan: a. f(4) b. f(4 + h) c. f(4 + h) β f(4)
d. h
fhf )4()4( β+ dengan h β 0.
Penyelesaian: Contoh 2
Untuk f(x) = x2 β 2x dengan daerah asal {β1, 0, 1, 2, 3}, carilah daerah hasil fungsi f.
Penyelesaian:
Fungsi dan Limit Fungsi 13
Bilamana untuk sebuah fungsi daerah asalnya tidak dirinci, maka dianggap daerah asal fungsi tersebut adalah himpunan bilangan real sehingga aturan fungsinya bermakna dan memberikan nilai bilangan real. Contoh 3
a. Daerah asal f(x) = 3
1βx
adalah {x β Rβ x β 3}.
b. Daerah asal g(t) = 29 tβ adalah {t β Rβ 9 β t2 β₯ 0}.
Apabila daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi merupakan himpunan bilangan real, kita dapat membayangkan fungsi itu dengan menggambarkan grafiknya pada suatu bidang koordinat, dan grafik fungsi f adalah grafik dari persamaan y = f(x). Contoh 4
Buatlah sketsa grafik dari: (a) f(x) = x2 β 4
(b) g(x) = x1
(c) h(x) = βxβ
Penyelesaian:
Fungsi dan Limit Fungsi 14
2.2 Operasi pada Fungsi
Jika f dan g dua fungsi maka jumlah f + g, selisih f β g, hasil kali fg, hasil bagi f/g dan perpangkatan fn adalah fungsi-fungsi dengan daerah asal berupa irisan dari daerah asal f dan daerah asal g, dan dirumuskan sebagai berikut.
(f + g)(x) = f (x) + g(x) (f β g)(x) = f (x) β g(x) (f g)(x) = f (x) g(x)
(f / g)(x) = )()(
xgxf asalkan g(x) β 0
Contoh 5
Jika f(x) = x2 β 2x dan g(x) = x β 1, tentukan f + g, f β g, fg, f/g dan f 3. Selanjutnya gambarlah sketsa grafiknya.
Penyelesaian:
Fungsi dan Limit Fungsi 15
Selanjutnya didefinisikan komposisi fungsi sebagai berikut.
Jika f dan g dua fungsi dengan daerah asal g merupakan daerah hasil f maka
komposisi g o f memenuhi (g o f)(x) = g (f(x))
Contoh 6
Jika f(x) = x2 β 2x dan g(x) = x β 1, tentukan g o f dan f o g. Selanjutnya gambarlah sketsa grafiknya.
Penyelesaian:
(g o f)(x) = g (f(x)) = g (x2 β 2x) = x2 β 2x β 1
(f o g)(x) = f (g(x)) = f (x β 1) = (x β 1)2 β 2(x β 1) = x2 β 2x + 1 β 2x + 2 = x2 β 4x + 3 Gambar grrafik dibiarkan untuk latihan. 2.3 Pengertian Limit Perkataan limit berarti mendekati, seperti βSaya sudah menahan sampai mendekati batas kesabaran saya,β atau βJanganlah kamu mendekati zina.β Untuk memahami pengertian limit fungsi kita awali dengan fungsi berikut.
f(x) = 113
ββ
xx
Fungsi tersebut tidak terdefinisi di x = 1 sebab di titik ini f(x) berbentuk 00 . Tetapi
dapat diselidiki mengenai nilai f(x) di titik-titik yang dekat dengan 1 (x mendekati 1). Perhatikan nilai f(x) untuk beberapa x seperti terlihat pada daftar dan grafik y = f(x) dapat dilihat pada gambar berikut.
Fungsi dan Limit Fungsi 16
x y = f(x)
1,25 3,813 1,1 3,310 1,01 3,030 1,001 3,003 β β 1 ? β β 0,999 2,997 0,99 2,970 0,9 2,710 0,75 2,313
Gambar 2.2 Berdasarkan informasi pada tabel dan pada grafik menunjukkan bahwa f(x) mendekati 3 apabila x mendekati 1. Secara matematis hal tersebut dituliskan dengan
11lim
3
1 ββ
β xx
x = 3
dan ini dibaca βlimit (x3 β 1)/ (x β 1) untuk x mendekati 1 adalah 3.β Dalam contoh ini kita menghubungkan limit dengan perilaku fungsi dekat dengan 1, bukannya di 1. Contoh 1
Dengan menggunakan beberapa nilai pendekatan x tentukan x
xx
sinlim0β
Fungsi dan Limit Fungsi 17
Penyelesaian:
x y = x
xsin
1 0,84147 0,5 0,95885 0,1 0,99833 0,01 0,99998 β β 0 ? β β β0,01 0,99998 β0,1 0,99833 β0,5 0,95885 β1 0,84147
Jadi, x
xx
sinlim = 1. 0β
Ingat kembali mengenai nila mutlak. Jika Ξ΅ adalah sembarang bilangan positif,
maka jarak f(x) ke bilangan L kurang dari Ξ΅ dapat dinyatakan dalam bentuk:
Lxf β)( < Ξ΅
dan ini ekuivalen dengan L β Ξ΅ < f(x) < L + Ξ΅
yang menunjukkan bahwa f(x) terletak pada interval terbuka (L β Ξ΅, L + Ξ΅) seperti terlihat pada gambar 2.3 (a). Selanjutnya misalkan Ξ΄ adalah suatu bilangan positif dan x cukup dekat dengan c sehingga jarak x ke c kurang dari Ξ΄, tetapi x β c maka
0 < cx β < Ξ΄
dan ini ekuivalen dengan c β Ξ΄ < x < c + Ξ΄
yang berarti x terletak dalam interval terbuka (c β Ξ΄, c + Ξ΄) dan dapat digambarkan seperti terlihat pada gambar 2.3 (b).
Fungsi dan Limit Fungsi 18
f(x) L + Ξ΅ L L β Ξ΅ x
Ξ΅<β Lxf )(
(a)
f(x)
c β Ξ΄ c c + Ξ΄ x
Ξ΄<β< cx0
(b)
Gambar 2.3 Gambar-gambar dalam Gambar 2.2 dan Gambar 2.3 diharapkan dapat memudahkan kita untuk memahami definisi formal dari limit sebagai berikut.
Definisi Limit f(x) untuk x mendekati c adalah L, ditulis
Lxfcx
=β
)(lim
jika dan hanya jika untuk setiap bilangan Ξ΅ > 0 (betapapun kecilnya), terdapat bilangan Ξ΄ > 0 sedemikian sehingga apabila 0 < cx β < Ξ΄ berlaku Lxf β)( < Ξ΅.
Fungsi dan Limit Fungsi 19
Untuk setiap Ξ΅ > 0 terdapat bilangan Ξ΄ > 0 sedemikian sehingga
apabila 0 < cx β < Ξ΄ berlaku Lxf β)( < Ξ΅
Gambar 2.4 Contoh 2 Buktikan bahwa 5)73(lim
4=β
βx
x
Analisis pendahuluan: Misalkan Ξ΅ > 0 sembarang, kita harus dapat menemukan bilangan Ξ΄ > 0 sedemikian
sehingga apabila 0 < 4βx < Ξ΄ berlaku 5)73( ββx < Ξ΅.
Perhatikan 5)73( ββx < Ξ΅ β 123 βx < Ξ΅
β )4(3 βx < Ξ΅
β 43 βx < Ξ΅
β 4βx < 3Ξ΅
Fungsi dan Limit Fungsi 20
Oleh karena itu dapat dipilih Ξ΄ = 3Ξ΅ . Tentu saja dapat dipilih bilangan Ξ΄ yang kurang
dari 3Ξ΅ .
Bukti:
Ambil sembarang bilangan Ξ΅ > 0. Kita pilih Ξ΄ > 0, yaitu Ξ΄ = 3Ξ΅ . Apabila 0 < 4βx < Ξ΄
maka berlaku 5)73( ββx = 123 βx
= )4(3 βx
= 43 βx
= 3 4βx
< 3Ξ΄ = 3.3Ξ΅ = Ξ΅.
Jadi, terbukti . 5)73(lim4
=ββ
xx
Contoh 3
Buktikan bahwa 52
232lim2
2=
βββ
β xxx
x
Analisis pendahuluan: Misalkan Ξ΅ > 0 sembarang, kita harus dapat menemukan bilangan Ξ΄ > 0 sedemikian
sehingga apabila 0 < 2βx < Ξ΄ berlaku 52
232 2
ββ
ββx
xx < Ξ΅.
Perhatikan 52
232 2
ββ
ββx
xx < Ξ΅ β 52
)2)(12(β
ββ+
xxx < Ξ΅
β 5)12( β+x < Ξ΅
β )2(2 βx < Ξ΅
β 22 βx < Ξ΅
β 2βx < 2Ξ΅
Oleh karena itu dapat dipilih Ξ΄ = 2Ξ΅ atau yang lebih kecil dari
2Ξ΅ .
Fungsi dan Limit Fungsi 21
Bukti:
Ambil sembarang Ξ΅ > 0 dipilih Ξ΄ = 2Ξ΅ sehingga 0 < 2βx < Ξ΄ berlaku
52
232 2
ββ
ββx
xx = 52
)2)(12(β
ββ+
xxx
= 5)12( β+x
= )2(2 βx
= 22 βx
= 2βx
< Ξ΄ = 2Ξ΅ < Ξ΅
Berarti terbukti bahwa 52
232lim2
2=
βββ
β xxx
x.
Contoh 4 Buktikan bmcbmx
cx+=+
β)(lim
Analisis Pendahuluan:
Untuk setiap Ξ΅ > 0, akan dicari bilangan Ξ΄ > 0 sedemikian sehingga apabila 0 < βx β cβ < Ξ΄ berlaku β(mx + b) β (mc + b)β < Ξ΅. Perhatikan: β(mx + b) β (mc + b)β < Ξ΅ β βmx β mcβ < Ξ΅ β βmββx β cβ < Ξ΅
β βx β cβ < mΞ΅ asalkan m β 0
Dapat dipilih Ξ΄ = mΞ΅ .
Bukti: Untuk m = 0, bukti cukup jelas.
Misal m β 0. Untuk setiap Ξ΅ > 0 dipilih Ξ΄ = mΞ΅ . Oleh karenanya jika 0 < βx β cβ < Ξ΄
maka berlaku β(mx + b) β (mc + b)β = β(mx + b) β (mc + b)β = βmx β mcβ
Fungsi dan Limit Fungsi 22
Contoh 5 Buktikan, jika c > 0, maka cx
cx=
βlim
Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan Ξ΄ > 0 sedemikian sehingga apabila 0 < βx β cβ < Ξ΄ berlaku
cx β < Ξ΅ untuk setiap Ξ΅ > 0.
Perhatikan:
cx β = cx
cxcx+
+β ))((
= cx
cx+β
= cx
cx+
β
β€ ccx β
Dapat dipilih Ξ΄ = cΞ΅
Bukti:
Ambil sembarang Ξ΅ > 0 dipilih Ξ΄ = cΞ΅ . Oleh karenanya jika 0 < βx β cβ < Ξ΄ maka
berlaku cx β β€ ccx β
< ccΞ΅ < Ξ΅.
2.4 Teorema Limit
Teorema 2.4.1 Misalkan n bilangan bulat positif, k konstanta, serta f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai limit di c, maka:
1) kkcx
=β
lim
2) cxcx
=β
lim
3) )(lim)(lim xfkxkfcxcx ββ
=
Fungsi dan Limit Fungsi 23
4) )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf
cxcxcx βββ+=+
5) )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxfcxcxcx βββ
β=β
6) )(lim).(lim)]().([lim xgxfxgxfcxcxcx βββ
=
7) )(lim
)(lim
)()(lim
xg
xf
xgxf
cx
cxcx
β
ββ
= , asalkan β 0 )(lim xgcxβ
8) n
cxn
cxxfxf β₯β¦β€
β’β£β‘=ββ
)(lim)]([lim
9) ncx
ncx
xfxf )(lim)(limββ
= , asalkan untuk n bilangan genap. 0)(lim >β
xfcx
Bukti teorema 2.4.1 ini dibiarkan untuk latihan. Dengan menggunakan teorema ini maka penentuan nilai limit suatu fungsi akan menjadi lebih mudah. Contoh 6
Carilah 235lim x
xβ
Penyelesaian: = 5 teorema 2.2.1 3) 235lim x
xβ2
3lim xxβ
= 5 teorema 2.2.1 8) 2
3lim β₯β¦
β€β’β£β‘β
xx
= 5(3)2 teorema 2.2.1 2) = 45. Contoh 7
Carilah )205(lim 23
ββ
xx
Penyelesaian: = teorema 2.2.1 5) )205(lim 23
ββ
xx
20lim5lim3
23 ββ
βxx
x
= 45 β 20 teorema 2.2.1 1)
Fungsi dan Limit Fungsi 24 = 25.
Fungsi dan Limit Fungsi 25
ontoh 8
Carilah
C
xx
x
205lim2
3
ββ
= x
x
x
x
3
23
lim
205lim
β
ββ
x
xx
205lim2
3
ββ
Penyelesaian: teorema 2.2.1 7)
= 3
205lim 23
ββ
xx teorema 2.2.1 2) dan 9)
=325 dari contoh 7.
= 35
gat, bentuk disebut polinom dan hasil bagi
polinom
nn xaxaxaaxf ++++= ...)( 2
210
disebut fungsi rasional, mm
nxa+...
In
n
xb+....
eorema 2.4.2 ini dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema 2.4.1.
engan adanya teorma 2.4.2 maka penentuan nilai limit fungsi polinom atau fungsi
xbxbb
xaxaa
+++
+++2
210
2210
Teorema 2.4.2
olinom maka = f(c)
2) Jika f fungsi rasional maka = f(c) asalkan nilai penyebut di c tidak nol.
1) Jika f fungsi p )(lim xfcxβ
)(lim xfcxβ
T Drasional menjadi sangat mudah, tentunya asalkan syarat perlu pada teorema tersebut untuk fungsi rasional dipenuhi.
Contoh 9
Tentukan 613107lim 452
+βββ
xxxx
Penyelesaian: = 7(2)5 β 10(2)4 β 13(2) + 6 = 44 613107lim 452
+βββ
xxxx
Contoh 10
Tentukan 863
613107lim 2
45
2 ββ
+βββ xx
xxxx
Penyelesaian: 863
613107lim 2
45
2 ββ
+βββ xx
xxxx
= 8)2(6)2(3
6)2(13)2(10)2(72
45
ββ
+ββ = 8
44β
= 2
11β .
Contoh 11
Tentukan 1273lim 2
3
1 +β
++β xx
xxx
= 2
3
1 )1(73lim
β
++β x
xxx
Penyelesaian: Teorema 2.4.2 tidak dapat digunakan karena nilai penyebut di x = 1 adalah nol
dan teorema 2.4.1 bagian 7) juga tidak dapat dugunakan karena limit penyebut nol. Tetapi, karena limit pembilang 11, maka selama x mendekati 1 terjadi pembagian bilangan yang dekat 11 dengan bilangan positif dekat 0. Hasilnya adalah sebuah bilangan positif yang besar dan dapat dibuat besar sekehendak kita dengan membiarkan x cukup dekat dengan 1. Dalam hal ini dikatakan limitnya tidak ada. Contoh seperti ini akan diuraikan lebih lanjut pada bagian lain. Contoh 12
Tentukan 6103lim 2
2
2 β+β+
β xxxx
x
Penyelesaian: Sebelum mencoba mengambil limitnya terlebih dahulu diadakan
penyederhanaan pecahan dengan faktorisasi.
6103lim 2
2
2 β+β+
β xxxx
x =
)3)(2()5)(2(lim
2 +β+β
β xxxx
x
= 35lim
2 ++
β xx
x
= 57
Fungsi dan Limit Fungsi 26
Teorema 2.4.3 (Teorema Apit) Misalkan f, g dan h adalah fungsi-fungsi dengan f(x) β€ g(x) β€ h(x) untuk setiap x di sekitar c, kecuali mungkin di c. Jika = = L, )(lim xf
cxβ)(lim xh
cxβmaka = L. )(lim xg
cxβ
Bukti: Diberikan bilangan Ξ΅ > 0 Karena = L, berarti terdapat bilangan Ξ΄1 > 0 sedemikian hingga )(lim xf
cxβ
0 < βx β cβ < Ξ΄1 β βf(x) β Lβ < Ξ΅ β L β Ξ΅ < f(x) < L + Ξ΅. Karena = L, berarti terdapat bilangan Ξ΄2 > 0 sedemikian hingga )(lim xh
cxβ
0 < βx β cβ < Ξ΄2 β βh(x) β Lβ < Ξ΅ β L β Ξ΅ < h(x) < L + Ξ΅ Dipilih Ξ΄ = min{Ξ΄1, Ξ΄2} Apabila 0 < βx β cβ < Ξ΄ maka berlaku
L β Ξ΅ < f(x) β€ g(x) β€ h(x) < L + Ξ΅ β L β Ξ΅ < g(x) < L + Ξ΅ β βg(x) β Lβ < Ξ΅
Terbukti = L. )(lim xgcxβ
Contoh 13
Dapat diselidiki bahwa 1 β 6
2x β€ x
xsin β€ 1 untuk semua x yang mendekati tetapi
tidak 0. Tunjukkan bahwa x
xx
sinlim0β
= 1.
Fungsi dan Limit Fungsi 27
Penyelesaian:
Misalkan f(x) = 1 β 6
2x , g(x) = x
xsin , dan h(x) = 1, maka = )(lim0
xfxβ 6
1lim2
0
xx
ββ
= 1
dan = 1, sehingga diperoleh )(lim0
xhxβ
61lim
2
0
xx
ββ
β€ x
xx
sinlim0β
β€ 1lim0βx
β 1 β€ x
xx
sinlim0β
β€ 1
Berdasarkan teorema 2.4.3 maka dapat disimpulkan x
xx
sinlim0β
= 1.
SOAL 2
1. Untuk fungsi f(x) = 3x3 + x, hitunglah masing-masing nilai a. f(1) c. f( 2
1 )
b. f(β6) d. f(x1 )
2. Untuk fungsi g(t) = 21 tt
+, hitunglah masing-masing nilai
a. f(1) c. f( 41 )
b. f(9) d. f(4
1
x)
3. Gambarlah grafik fungsi
a. b. βͺβ©
βͺβ¨
β§
>
β€+β=
1,3
1,4)(
2
xx
xxxf
βͺβ©
βͺβ¨
β§
β₯+<<
β€β=
2,120,1
0,1)(
2
xxx
xxxg
4. Jika f(x) = x2 + x dan g(x) = 3
2+x
, tentukan:
a. (f + g)(2) d. (f / g)(1)
b. (f β g)(2) e. (g o f)(1)
c. (f g)(1) f. (f o g)(1)
5. Jika f(x) = 12 βx dan g(x) = x2 , tentukan:
Fungsi dan Limit Fungsi 28
a. (f g)(x) d. (f o g)(x)
Fungsi dan Limit Fungsi 29
+ g 4(x)
c. (g o f)(x)
alam soal nom it-limit tersebut.
b. (f / g)(x) e. f 4(x)
D or 6 β 10, buktikan lim
2)73(lim3
=ββ
xx
6.
8)42(lim2
β=βββ
xx
7.
8. 10525lim
2
5=
ββ
β xx
x
71
65lim2
1=
ββ+
β xxx
x 9.
10. 22lim2
=β
xx
11. Buktikan bahwa jika )(lim xf
cxβ = L dan )(lim xf
cxβ = M, maka L = M.
Misalkan F dan G adalah fungsi-fungsi sedemikian sehingga 0 β€ F(x) β€ G(x) mua x dekat dengan c,
12.untuk se kecuali mungkin di c, buktikan bahwa jika
= 0 maka = 0.
k soal-soa erikut (no. 13 s.d. 20), tentukan nilai limit fungsi berikut 3.
4.
5.
6.
)(lim xGcxβ
)(lim xFcxβ
Untu l b
)47(lim3
ββ
xx
1
)52(lim 3
1xx
xβ
ββ 1
)27)(34(lim 32
0xxx
x+β
β 1
2483lim 3
4
2 +β
ββ xx
x 1
17. 4
2lim 2
2
2 ββ
β uuu
u
18. 5477lim 2
2
1 ββ++
ββ tttt
t
Fungsi dan Limit Fungsi 30
9. 44
)6)(2(lim 2
2
2 ++ββ+
ββ wwwww
w 1
20. 12
)32)(1(lim 2
2
1 +ββ+β
β yyyyy
y
2.5 Limit Kiri dan Limit Kanan
Definisi
Limit f(x) untuk x mendekati c dari kiri adalah L, ditulis
)(lim xfcx ββ
= L
jika untuk setiap bilangan Ξ΅ > 0 (betapapun kecilnya), terdapat bilangan Ξ΄ > 0
sedemikian sehingga apabila 0 < c β x < Ξ΄ , maka berlaku Lxf β)( < Ξ΅.
Limit f(x) untuk x mendekati c dari kanan adalah L, ditulis
)(lim xfcx +β
= L
jika untuk setiap bilangan Ξ΅ > 0 (betapapun kecilnya), terdapat bilangan Ξ΄ > 0 sedemikian sehingga apabila 0 < x β c < Ξ΄ , maka berlaku Lxf β)( < Ξ΅.
Teorema 2.5.1
Lxfcx
=β
)(lim jika dan hanya jika = = L )(lim xfcx ββ
)(lim xfcx +β
Contoh 14
f(x) = βͺβ©
βͺβ¨
β§
<
β₯β
1,
1,2
2 x
x
x
x
Tentukan , , dan , selanjutnya gambarkan grafik
fungsi f.
)(lim1
xfx ββ
)(lim1
xfx +β
)(lim1
xfxβ
Penyelesaian:
)(lim1
xfx ββ
= 1lim 2
1=
βx
x
)(lim1
xfx +β
= 12lim1
=ββ
xx
Karena = = 1 maka = 1. )(lim1
xfx ββ
)(lim1
xfx +β
)(lim1
xfxβ
Fungsi dan Limit Fungsi 31
Contoh 15
g(x) = Tentukan , , dan , βͺβ©
βͺβ¨
β§
<
β₯β
1,
1,3
2 x
x
x
x)(lim
1xg
x ββ)(lim
1xg
x +β)(lim
1xg
xβ
selanjutnya gambarkan grafik fungsi g Tentukan , , dan , selanjutnya gambarkan grafik
fungsi f.
)(lim1
xgx ββ
)(lim1
xgx +β
)(lim1
xgxβ
Penyelesaian:
)(lim1
xgx ββ
= 1lim 2
1=
βx
x
)(lim1
xgx +β
= 23lim1
=ββ
xx
Fungsi dan Limit Fungsi 32
)Karena β maka tidak ada. )(lim1
xgx ββ
(lim1
xgx +β
)(lim1
xgxβ
2.6 Limit Tak Hingga Contoh 16
Carilah 20
1limxxβ
jika ada.
Penyelesaian:
x 2
1x
Β± 1 1 Β± 0,5 4 Β± 0,2 25 Β± 0,1 100 Β± 0,05 400 Β± 0,01 10.000 Β± 0,001 1.000.000 Untuk menunjukkan jenis perilaku seperti uang ditunjukkan dalam contoh ini kita gunakan notasi
Semakin x mendekati 0, x2 juga semakin dekat
dengan 0, dan nilai 2
1x
menjadi sangat besar
(lihat tabel di samping). Nampak dari grafik
fungsi f(x) = 2
1x
yang diperlihatkan pada
gambar 2.4 bahwa nilai f(x) dapat dibuat sangat besar dengan mengambil x cukup dekat ke 0. dengan demikian nilai f(x) tidak mendekati suatu
bilangan , sehingga 20
1limxxβ
tidak ada.
20
1limxxβ
= β
Hal ini tidak berarti bahwa kita menganggap β sebagai suatu bilangan. Tidak juga bermakna bahwa limit tersebut ada. Notasi tersebut hanyalah menyatakan cara khusus untuk menunjukkan bahwa limit tersebut tidak ada. Secara umum kita tuliskan
)(lim xfcxβ
= β
untuk menunjukkan nilai f(x) menjadi semakin besar ketika x semakin mendekati c. Limit jenis serupa, untuk fungsi yang menjadi negatif tak berhingga ketika x mendekati c dituliskan dengan
)(lim xfcxβ
= β β
Contoh 17
ββ β
ββββ
β 20
1limxx
= β β
Hal ini juga dapat diberlakukan untuk limit kiri dan limit kanan
)(lim xfcx ββ
= β = β )(lim xfcx +β
)(lim xfcx ββ
= β β = β β )(lim xfcx +β
Sebuah garis x = c disebut asimtot tegak kurfa y = f(x) jika paling sedikit salah satu dari pernyataan berikut benar:
)(lim xfcxβ
= β = β = β )(lim xfcx ββ
)(lim xfcx +β
)(lim xfcxβ
= β β = β β = β β )(lim xfcx ββ
)(lim xfcx +β
Sebagai contoh, sumbu Y atau x = 0 merupakan asimtot tegak kurva y = 2
1x
karena
20
1limxxβ
= β.
Fungsi dan Limit Fungsi 33
Contoh 18 Hitunglah
( )x
xtanlim
2β
β Ο dan
( )x
xtanlim
2+
β Ο
Penyelesaian:
( )x
xtanlim
2β
β Ο =
( ) xx
x cossinlim
2β
β Ο =
( )
( )x
x
x
x
coslim
sinlim
2
2
β
β
β
β
Ο
Ο
= β
( )x
xtanlim
2+
β Ο =
( ) xx
x cossinlim
2+
β Ο =
( )
( )x
x
x
x
coslim
sinlim
2
2
+
+
β
β
Ο
Ο
= β β
2.7 Kekontinuan Fungsi
Definisi Misalkan f : A β R suatu fungsi, maka a. Fungsi f dikatakan kontinu di c β A jika )()(lim cfxf
cx=
β
b. Fungsi f dikatakan kontinu pada himpunan A jika f kontinu disetiap anggota A.
Definisi a mengandung arti bahwa f dikatakan kontinu di c β A jika dipenuhi ketiga syarat berikut:
1) ada )(lim xfcxβ
2) Nilai f(c) ada 3) )()(lim cfxf
cx=
β
Fungsi dan Limit Fungsi 34
Contoh 19
1. f(x) =
βͺβͺ
β©
βͺβͺ
β¨
β§
=
β ββ
2,
2,
1
242
x
xxx
Apakah f kontinu di x = 2? Gambarkan grafik fungsi f. Penyelesaian:
1) = )(lim2
xfxβ 2
4lim2
2 ββ
β xx
x =
2)2)(2(lim
2 β+β
β xxx
x = )2(lim
2+
βx
x = 4 (ada)
2) f(2) = 1 (ada)
3) Karena β f(2) maka f )(lim2
xfxβ
tidak kontinu di x = 2.
Gambarkan grafik fungsi f diserahkan kepada pembaca.
2. f(x) = 242
ββ
xx
Apakah f kontinu di x = 2? Gambarkan grafik fungsi f. Penyelesaian:
1) = )(lim2
xfxβ 2
4lim2
2 ββ
β xx
x =
2)2)(2(lim
2 β+β
β xxx
x = )2(lim
2+
βx
x = 4 (ada)
2) f(2) tidak ada
3) Karena f(2) tidak ada, maka f tidak kontinu di x = 2.
Gambarkan grafik fungsi f diserahkan kepada pembaca.
3. f(x) =
βͺβͺ
β©
βͺβͺ
β¨
β§
=
β ββ
2,
2,
4
242
x
xxx
Apakah f kontinu di x = 2? Gambarkan grafik fungsi f.
Fungsi dan Limit Fungsi 35
Penyelesaian:
1) = )(lim2
xfxβ 2
4lim2
2 ββ
β xx
x =
2)2)(2(lim
2 β+β
β xxx
x = )2(lim
2+
βx
x = 4 (ada)
2) f(2) = 4 (ada)
3) Karena = f(2) maka f kontinu di x = 2. )(lim2
xfxβ
Gambarkan grafik fungsi f diserahkan kepada mahasiswa.
4. f(x) = βͺβ©
βͺβ¨
β§
<
β₯β
1,
1,2
2 x
x
x
x
Apakah f kontinu di x = 1? Gambarkan grafik fungsi f.
Penyelesaian:
1) = )(lim1
xfx ββ
1lim 2
1=
βx
x
)(lim1
xfx +β
= 12lim1
=ββ
xx
Karena = = 1 maka = 1 (ada) )(lim1
xfx ββ
)(lim1
xfx +β
)(lim1
xfxβ
Lihat kembali contoh 14.
2) f(1) = 2 β 1 = 1 (ada) 3) Karena = f(1), maka f kontinu di x = 1. )(lim
1xf
xβ
Gambarkan grafik fungsi f diserahkan kepada mahasiswa.
5. g(x) = βͺβ©
βͺβ¨
β§
<
β₯β
1,
1,3
2 x
x
x
x
Apakah g kontinu di x = 1? Gambarkan grafik fungsi g.
Penyelesaian:
1) = )(lim1
xgx ββ
1lim 2
1=
βx
x
= )(lim1
xgx +β
23lim1
=ββ
xx
Fungsi dan Limit Fungsi 36
Fungsi dan Limit Fungsi 37
) Karena β maka tidak ada. )(lim1
xgx ββ
(lim1
xgx +β
)(lim1
xgxβ
(lihat kembali contoh 15) Karena tidak ada, maka g )(lim
1xg
xβtidak kontinu di x = 1
Teorema 2.7.1
1. Fungsi polinom (fungsi suku banyak) kontinu pada R. 2. Jika fungsi-fungsi f dan g keduanya kontinu di c dan k sembarang konstanta
maka fungsi f + g, f β g, kf , f /g (asal )(lim xgcxβ
β 0) juga kontinu di c.
3. Jika g fungsi yang kontinu di c dan f fungsi kontinu di g(c) maka f o g kontinu di c.
SOAL 2
1. Tentukan limit (sepihak) berikut:
a. xx
x ββ0lim
b. xx
x +β0lim
c. ,
βͺβͺβͺ
β©
βͺβͺβͺ
β¨
β§
>β
β€β€
<
=
1,2
10,
0,
)( 2
xx
xx
xx
xf
)(lim0
xfx ββ
, , , dan )(lim0
xfx +β
)(lim1
xfx ββ
)(lim1
xfx +β
2. Apakah fungsi-fungsi berikut kontinu di 2?
a. h(t) =
βͺβͺ
β©
βͺβͺ
β¨
β§
=
β ββ
2,
2,
12
283
t
ttt
b. h(t) =
βͺβͺβ©
βͺβͺβ¨
β§
=
β ββ
2,
2,
2
284
t
ttt
c. g(x) = βͺβ©
βͺβ¨
β§
β₯
<
+
+
2,
2,
1
3
2 x
x
x
x
d. f(x) = βͺβ©
βͺβ¨
β§
>
β€
β
+β
2,
2,
2
43
x
xx
3. f(x) =
βͺβͺβͺ
β©
βͺβͺβͺ
β¨
β§
>β
β€β€
<
1,2
10,
0,
2
xx
xx
xx
a. Apakah f kontinu di 0? b. Apakah f kontinu di 1?
4.
βͺβͺβͺ
β©
βͺβͺβͺ
β¨
β§
>
β€β€β
<
=
1,
10,
0,
)(
2
xx
xx
xx
xg
a. Apakah g kontinu di 0? b. Apakah g kontinu di 1?
Fungsi dan Limit Fungsi 38
TURUNAN FUNGSI
3
3.1 Pengertian Turunan Fungsi
Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi f β yang nilainya di c adalah
f β (c) = h
cfhcfh
)()(lim0
β+β
asalkan limit ini ada.
Contoh 1 Jika f(x) = 3x2 + 2x +4, maka turunan f di x = 2 adalah
f β (2) = h
fhfh
)2()2(lim0
β+β
= h
hhh
)42.22.3(4)2(2)2(3lim22
0
++β++++β
= h
hhhh
)4412(424)44(3lim2
0
++β+++++β
= h
hhhh
2312lim2
0
++β
= h
hhh
)2312(lim0
++β
= )2312(lim0
++β
hh
= 14 Jika f mempunyai turunan di setiap x anggota domain maka
f β (x) = h
xfhxfh
)()(lim0
β+β
Jika y = f(x) turunan y atau turunan f dinotasikan dengan y β, atau dxdy , atau f β (x), atau
dxxdf )(
Turunan Fungsi 38
Contoh 2 Jika f(x) = 3x2 + 2x +4, maka turunan f di sembarang x adalah
f β (x) = h
xfhxfh
)()(lim0
β+β
= h
xxhxhxh
)423(4)(2)(3lim22
0
++β++++β
= h
xxhxhxhxh
)423(422)2(3lim222
0
++β+++++β
= h
hhxhh
236lim2
0
++β
= h
hxhh
)236(lim0
++β
= )236(lim0
++β
hxh
= 6x + 2
3.2 Turunan Fungsi Konstan dan Fungsi Pangkat 1. Jika f(x) = k dengan k konstan untuk setiap x (f fungsi konstan), maka f β(x) = 0.
Bukti: f β(x) = h
xfhxfh
)()(lim0
β+β
= h
kkh
ββ0
lim
= 0
2. Jika f(x) = x untuk setiap x (f fungsi identitas), maka f β(x) = 1.
Bukti: f β(x) = h
xfhxfh
)()(lim0
β+β
= h
xhxh
β+β
)(lim0
= hh
h 0limβ
= 1.
3. Jika f(x) = xn dengan n bilangan bulat positif, untuk setiap x, maka f β(x) = nxnβ1.
Bukti: f β(x) = h
xfhxfh
)()(lim0
β+β
= h
xhx nn
h
β+β
)(lim0
Turunan Fungsi 39
= h
xhnxhhxnnhnxx nnnnnn
h
β+++β
++ βββ
β
1221
0
...2
)1(
lim
= h
hnxhhxnnnxh nnnn
h
ββ β
βββ +++
β+ ββββ
β
1221
0
...2
)1(
lim
= ββ β
βββ +++
β+ ββββ
β
1221
0...
2)1(lim nnnn
hhnxhhxnnnx
= 1
0lim β
β
n
hnx
= 1βnnx
Contoh 3 Jika f(x) = x5, maka turunan f adalah f β(x) = 5x4
3.3 Sifat-sifat Turunan Jika k suatu konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, u dan v fungsi-fungsi dalam x sehingga u =f(x) dan v =g(x) maka berlaku:
1. Jika y = ku maka y β = k(uβ )
2. Jika y = u + v maka y β = u β + v β
3. Jika y = u β v maka y β = u β β v β
4. Jika y = u v maka y β = u β v + u v β
5. Jika y = vu maka y β = 2
''v
uvvu β
Contoh 4
1. Jika f(x) = 3x5, maka f β(x) = 3.5x4 = 15x4
2. Jika f(x) = 3x5 + 2x, maka f β(x) = 15x4 + 2
3. Jika f(x) = 3x5 β 2x, maka f β(x) = 15x4 β 2
4. Jika f(x) = (3x5 + 2x)(4x + 7), maka f β(x) = (15x4 + 2) (4x + 7) + (3x5 + 2x)4
5. Jika f(x) = 7423 5
++
xxx , maka f β(x) = 2
54
)74(4)23()74)(215(
++β++
xxxxx
Turunan Fungsi 40
6. Jika f(x) = x p dengan p bilangan bulat negatif maka f(x) = x βn dengan β n = p,
sehingga f(x) = nx1 . Dengan menggunakan turunan y =
vu diperoleh
f β(x) = 2
1
)(.1.0
n
nn
xnxx ββ
= n
n
xnx
2
1ββ
= nn xnx 21 βββ
= 1βββ nnx
= 1βppx
3.4 Aturan Rantai (untuk Turunan Fungsi Komposisi)
Untuk menentukan turunan y = (3x4 + 7x β 8)9 dengan cara mengalikan bersama kesembilan faktor (3x4 + 7x β 8) kemudian mencari turunan polinom berderajat 36 tentulah sangat melelahkan. Cara yang mudah untuk menentukan turunan y = (3x4 + 7x β 8)9 adalah dengan menggunakan aturan rantai.
dxdu
dudy
dxdy
=
Aturan Rantai Misalkan y = f(u) dan u = g(x) menentukan fungsi komposisi yang dirumuskan dengan y = f(g(x)) = (f o g)(x). Jika g terdiferensialkan di x dan f terdiferensialkan di u = g(x) maka y = (f o g)(x) terdiferensialkan di x dan
y β = (f o g) β (x) = f β(g(x)) gβ(x)
atau
FungsΓ komposisi dapat diperluas menjadi komposisi 3 fungsi, 4 fungsi dan seterusnya.
Jika y = f(u) u = g(v) v = h(x)
yakni y = (f o g o h)(x)
maka dxdv
dvdu
dudy
dxdy
=
Turunan Fungsi 41
Contoh 5 Tentukan turunan y = (3x4 + 7x β 8)9
Penyelesaian:
Misalkan u = 3x4 + 7x β 8 β dxdu =12x3 + 7
y = u9 β dudy = 9u8.
dxdu
dudy
dxdy
= = 9u8(12x3 + 7)
= 9(3x4 + 7x β 8)8(12x3 + 7) 3.5 Turunan Fungsi Invers
Misalkan y = f(x) dan f mempunyai invers f β1 sehingga x = f β1(y). Dengan menggunakan aturan rantai pada x = f β1(y) diperoleh
dxdy
dyydf
dxdx )(1β
=
β 1 = dxdy
dydx
β dydx =
dxdy1
3.6 Turunan Fungsi Implisit
FungsΓ implisit secara umum dapat ditulis sebagai f(x, y) = 0 dengan y sebagai fungsΓ dalam x.
Contoh fungsi implisit: 1) y β 2x3 β 8 = 0
2) 2x3y β 7y β x2 + 1 = 0 Contoh 6
1. Tentukan dxdy dari fungsΓ yang dirumuskan dengan y β 2x3 β 8 = 0
Penyelesaian: Apabila kedua ruas y β 2x3 β 8 = 0 diturunkan terhadap x, maka diperoleh:
Turunan Fungsi 42
dxdy β 6x2 = 0 β
dxdy = 6x2
2. Tentukan dxdy dari fungsΓ yang dirumuskan dengan 2x3y β 7y β x2 + 1 = 0
Penyelesaian: Apabila kedua ruas 2x3y β 7y β x2 + 1 = 0 diturunkan terhadap x, maka diperoleh:
6x2y + 2x3
dxdy β 7
dxdy β 2x = 0
β dxdy (2x3 β 7) = 2x β 6x2y
β dxdy =
7262
3
2
ββx
yxx
3.7 Turunan Tingkat Tinggi Jika fungsi diturunkan maka turunannya, yaitu f β juga berupa fungsi sehingga boleh jadi f β mempunyai turunan tersendiri yang dinyatakan oleh (f β)β = f ββ. Fungsi yang f ββ baru ini disebut turunan kedua dari f karena dia merupakan turunan dari turunan f . Dengan notasi Leibniz kita tuliskan turunan kedua dari y = f(x) sebagai
2
2
dxyd
dxdy
dxd
=ββ β
βββ
Notasi lain adalah f ββ(x) = D2f(x) Contoh 7 Jika f(x) = 3x4 + 7x β 8, tentukan f ββ(x).
Penyelesaian:
f β(x) = 12x3 + 7 untuk mencari f ββ(x) kita turunkan f β(x):
f ββ(x) = )712( 3 +xdxd
= 36x2
Contoh 8
Jika f(x) = (3x5 + 2x)(4x + 7), tentukan f ββ(x).
Turunan Fungsi 43
Penyelesaian:
f β(x) = ββ β
βββ + )23( 5 xx
dxd (4x + 7) + (3x5 + 2x) β
β β
βββ + )74( x
dxd
= (15x4 + 2) (4x + 7) + (3x5 + 2x)4
f ββ(x) = dxd [(15x4 + 2) (4x + 7) + (3x5 + 2x)4]
= dxd [(15x4 + 2) (4x + 7)] +
dxd [(3x5 + 2x)4]
= +ββ β
βββ ++++β
β β
βββ + )74()215()74()215( 44 x
dxdxxx
dxd
ββ β
βββ++β
β β
βββ + 4)23(4)23( 55
dxdxxxx
dxd
= 60x3(4x + 7) + (15x4 + 2) 4 + (15x4 + 2) 4 + (3x5 + 2x).0 = 60x3(4x + 7) + (15x4 + 2) 4 + (15x4 + 2) 4
3.8 Turunan Fungsi Aljabar dan Fungsi Transenden
βͺβͺβͺ
β©
βͺβͺβͺ
β¨
β§
β©β¨β§
HiperbolikFungsialEksponensiFungsi
LogaritmaFungsiSiklometriFungsi
riTrigonometFungsi
TransendenFungsi
IrrasionalFungsiRasionalFungsi
AljabarFungsi
Fungsi
3.8.1 Turunan Fungsi Rasional
Contoh-contoh tentang turunan yang diuraikan sebelumnya (contoh 3) adalah contoh-contoh turunan fungsi rasional. Jadi turunan fungsi rasional ini tidak perlu dibahas kembali.
3.8.2 Turunan Fungsi Irrasional Fungsi Irrasional adalah akar dari fungsi-fungsi rasional
Turunan Fungsi 44
Contoh 9
Tentukan turunan y = n x dengan n bilangan bulat positif
Penyelesaian: y = n x β x = y n sehingga dydx = ny nβ1
dxdy =
dydx1 = 1
1βnny
= nyn
β11 = ( ) nn xn
β11 = ( ) nnx
n
β111 = 111 βnxn
Contoh 10
Tentukan turunan y = xx 43 +
Penyelesaian: y = xx 43 + = ( )21
43 xx +
Dengan aturan rantai diperoleh: y β = ( ) ( )43421 23 2
1
++β xxx
= xx
x
42
433
2
+
+
3.8.3 Turunan Fungsi Trigonometri
Akan dicari turunan fungsi kosinus sebagai berikut. Ingat: cos (a + b) = cos a cos b β sin a sin b.
Jika f(x) = cos x, maka
f β(x) = h
xfhxfh
)()(lim0
β+β
= h
xhxh
cos)cos(lim0
β+β
= h
xhxhxh
cossinsincoscoslim0
βββ
= h
hxhxh
sinsin)1(coscoslim0
βββ
= h
hxh
)1(coscoslim0
ββ
β h
hxh
sinsinlim0β
= xh
coslim0β h
hh
)1(coslim0
ββ
β xh
sinlim0β h
hh
sinlim0β
= cos x . 0 β sin x . 1 = β sin x
Turunan Fungsi 45
jika f(x) = cos x, maka f β(x) = β sin x Jadi, Analog:
jika f(x) = sin x, maka f β(x) = cos x
jika f(x) = tg x, maka f β(x) = sec2 x
jika f(x) = ctg x, maka f β(x) = β cosec2 x
jika f(x) = sec x, maka f β(x) = sec x tg x
jika f(x) = cosec x, maka f β(x) = β cosec x ctg x
3.8.4 Turunan Fungsi Siklometri
Fungsi siklometri adalah invers fungsi trigonometri. Akan dicari turunan invers fungsi sinus (arcus sinus) berikut. y = arc sin x β x = sin y β 1
x y
21 xβ
dydx = cos y
dxdy =
ycos1 cos y = 21 xβ
= 21
1
xβ
jika y = arc sin x, maka y β = 21
1xβ
Jadi,
Turunan Fungsi 46
Analog:
jika y = arc cos x, maka y β = β 21
1xβ
jika y = arc tg x, maka y β = 211x+
jika y = arc ctg x, maka y β = β 211x+
jika y = arc sec x, maka y β = 1
12 βxx
jika y = arc cosec x, maka y β = β 1
12 βxx
3.8.5 Turunan Fungsi Logaritma Akan dicari turunan f(x) = ln x berikut.
f β(x) = h
xfhxfh
)()(lim0
β+β
= h
xhxh
ln)ln(lim0
β+β
= hx
hx
h
ββ β
βββ +
β
lnlim
0
= h
xh
h
ββ β
βββ +
β
1lnlim
0
= x
xh
xh
h.
1lnlim
0
ββ
ββ β
ββ +
= x
xh
hx
h
ββ β
βββ +
β
1lnlim
0
Turunan Fungsi 47
= x
xh h
x
h
ββ β
βββ +
β
1lnlim
0
= x
xh
h
hx
h
0
0
lim
1lnlim
β
βββ β
βββ +
Mengingat (1) = ln dan (2) )(lnlim0
xfhβ
)(lim0
xfhβ
exh h
x
h=β
β β
βββ +
β1lim
0
Sehingga diperoleh:
f β(x) = x
xh
h
hx
h
0
0
lim
1lnlim
β
βββ β
βββ +
= x
xh
h
hx
h
0
0
lim
1limln
β
βββ β
βββ +
= xeln
= x1
jika f(x) = ln x, maka f β(x) = x1
Jadi,
Selanjutnya jika y = a log x maka turunannya dapat dicari sebagai berikut.
y = a log x β y = ax
lnln
= aln
1 ln x
Sehingga y β = aln
1x1
= ax ln
1
Turunan Fungsi 48
jika y = a log x , maka y β = ax ln
1 Jadi,
3.8.6 Turunan Fungsi Eksponensial
Akan dicari turunan y = a x sebagai berikut. y = a x β ln y = ln a x β ln y = x ln a
β x = ay
lnln
β x = aln
1 ln y
Sehingga dydx =
aln1
y1
Diperoleh dxdy = y ln a.
= a x ln a
jika y = a x , maka y β = a x ln a Jadi,
Khususnya untuk a = e, jika y = e x , maka y β = e x ln e
= e x
jika y = e x , maka y β = e x Jadi,
Turunan Fungsi 49
3.8.7 Turunan Fungsi Hiperbolik
Definisi
sinh x = 2
xx ee ββ coth x = xtanh
1 = xx
xx
eeeeβ
β
β+
cosh x = 2
xx ee β+ sech x = xcosh
1 = xx ee β+2
tanh x = xx
coshsinh = xx
xx
eeeeβ
β
+β csch x =
xsinh1 = xx ee ββ
2
Jika f(x) = sinh x, maka dengan menggunakan turunan fungsi eksponensial diperoleh
)(' xf = βββ
ββββ
β β β
2
xx eedxd
= 2
)( xx ee βββ
= 2
xx ee β+
= cosh x.
Jadi, jika f(x) = sinh x, maka f β(x) = cosh x
3.9 Turunan Fungsi Parameter
Apabila disajikan persamaan berbentuk: x = f(t) y = g(t)
maka persamaan ini disebut persamaan parameter dari x dan y, dan t disebut
parameter. Dari bentuk parameter ini dapat dicari dxdy dengan cara sebagai
berikut. Dari x = f(t) dibentuk t = h(x) dengan h fungsi invers dari f. Nampak bahwa y = g(t) merupakan bentuk fungsi komposisi
y = g(t) = g(h(x))
Turunan Fungsi 50
Diperoleh dxdy =
dtdy
dxdt atau
dxdy =
dtdy
dtdx1
dxdy =
dtdxdtdy
sehingga
SOAL
Carilah dxdy untuk yang berikut
1. y = (3x4 + 2x2 + x)(x2 + 7) 5. y = 934
12 +β xx
2. y = (x3 + 3x2)(4x2 + 2) 6. y = 11
+β
xx
3. y = 13
12 +x
7. y = 12
132 2
++β
xxx
4. y = 15
22 βx
Dengan aturan rantai tentukan dxdy untuk yang berikut
8. y = (2 β 9x)15
9. y = (5x2 + 2x β 8)5 15. y = sin ββ β
βββ
+β
5213
xx
10. y = 92 )934(1
+β xx 16. y = cos ββ
β
ββββ
β+β412
xx
11. y = sin (3x2 + 11x) 17. y = arcsin (3x4 β 11x) 12. y = cos (3x4 β 11x) 18. y = arctg (3x4 β 11x)8 13. y = sin3 x 19. y = ln (5x2 + 2x β 8)
14. y = 4
11ββ β
βββ
+β
xx 20. y = e (2 β 9x)
Tentukan turunan fungsΓ implisit berikut
21. x2 + y2 = 9 26. 4x3 + 11xy2 β 2y3= 0 22. 4x2 + 9y2 = 36 27. xy + 3y = 10x
23. x y = 4 28. xy + sin y = x2 24. xy2 β x + 16 = 0 29. cos (xy) = y2 + 2x 25. x3 β 3x2y+ 19xy = 0 30. 6x β xy2 + xy3 = y2
Turunan Fungsi 51
Tentukan dxdy untuk fungΓs parameter berikut
31. y = 2 β 9t 34. x = ln (2t β 9) x = sin t y = (t2 + 7)3 32. y = 2 β 9t2 35. x = e (2t β 9) x = arc sin (t β 1) y = cosec t 33. x = ln (2 β 9t) 36. y = sec (t β 1) y = sin t x = tg (t β 1)
Turunan Fungsi 52
Integral
INTEGRAL
4
Definisi 4.0.1
Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika
F β(x) = f(x) untuk setiap x β D.
Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan β« dxxf )( dan f (x) dinamakan integran.
Jadi dxdβ« dxxf )( = f (x).
Contoh 1
sin x, sin x + 5, sin x β 7 adalah fungsi-fungsi integral tak tentu dari cos x pada seluruh garis real, sebab derivatif mereka sama dengan cos x untuk semua x. Sifat 4.0.2:
Misalkan f dan g mempunyai anti turunan dan k suatu konstanta, maka
1. β« dxxkf )( =
[ =
β« dxxfk )(
2. β« + dxxgxf )]()( β«β« + dxxgdxxf )()(
Teorema 4.0.3
Jika F dan G keduanya integral tak tentu dari f pada interval I, maka F(x) dan G(x) berselisih suatu konstanta pada I
Jadi F(x) β G(x) = C dengan C sembarang konstanta. Akibat 4.0.4
Jika F suatu fungsi integral tak tentu dari f , maka
β« dxxf )( = F(x) + C.
dengan C konstanta sembarang.
Thobirin, Kalkulus Integral 53
Integral
4.1 Rumus Dasar
1. β« = dxxn 1
11 +
+nx
n + C , n β β1 11. dx
xβ« + 211 = arc tan x + C
2. β« dxx1 = ln x + C , x β 0 = β arc cot x + C
3. β« = e x + C 12. dxe x dxxβ«
β 211 = arc sin x + C
4. β« = dxa x xaaln
1 + C , a β 1 = β arc cos x + C
a > 0
5. β« = β cos x + C 13. dxxsin dxxxβ« β112
= arc sec x + C
6. β« = sin x + C = β arc csc x + C dxxcos
7. β« = tan x + C 14. dxx2sec β« dxxsinh = cosh x + C
8. β« = β cot x + C 15. dxx2csc β« dxxcosh = sinh x + C
9. β« = sec x + C dxxx tansec
10. β« = β csc x + C dxxx cotcsc
SOAL Tentukan: 1. β« β dxx 2)2(
2. dxx
xxβ«
++3
2 12
3. dxx
xβ«
+1
4. β« β dxxx )(sin
5. β« dxx2
Thobirin, Kalkulus Integral 54
Integral
4.2 Integral dengan Substitusi
Masalah: Tentukan β« + dxx 2006)52(
Untuk menyelesaikan permasalahan seperti ini dapat digunakan aturan seperti pada teorema berikut. Teorema 4.2.1
Jika u = g(x) yang didefinisikan pada interval I mempunyai invers x = g β1(u) dan fungsi-fungsi g dan g β1 keduanya mempunyai derivatif yang kontinu pada intervalnya masing-masing, dan f kontinu pada interval di mana g β1 didefinisikan, maka
β« dxxgxgf )(')}({ = β« duuf )(
Contoh 2
Tentukan β« + dxx 2006)52(
Penyelesaian:
Substitusikan u = 2x + 5 β 2=dxdu
du = 2 dx
maka = β« + dxx 2006)52( β« + dxx 2)52(21 2006
= β« duu 2006
21
= 2007
20071
21 u + C
= 2007)52(4014
1+x + C
Contoh 3
Tentukan β« + dxxx 20062 )53(
Penyelesaian:
Substitusikan u = 3x2 + 5 β dxdu = 6x
du = 6x dx
Thobirin, Kalkulus Integral 55
Integral
maka = β« + dxxx 20062 )53( β« + dxxx 6)53(61 20062
= β« duu 2006
61
= 2007
20071
61 u + C
= 20072 )53(12042
1+x + C
Contoh 4
Tentukan β« dxx21cos
Penyelesaian:
Substitusikan u = x21 β
21
=dxdu β du =
21 dx
maka β« dxx21
21cos2 = β« duucos2
= 2 sin u + C
= 2 sin x21 + C
SOAL Tentukan:
1. β« 6. β dxx 9)2(3 β«β
dxx 24
1
2. β« 7. + dxxx 92 )25( β« ++ 2)1(4 xdx
3. β« +dx
x 4)3(8 8. β« β dxxx 12 2
4. β« dxxx ln
1 9. β« dxxe x cossin
5. β« dxx
x)sin(ln 10. β« dxe x4
Thobirin, Kalkulus Integral 56
Integral
4.3 Integral Parsial
Masalah: Tentukan β« dxex x
Misalkan: u = f(x) β )(' xfdxdu
= β dxxfdu )('= β dxudu '=
v = g(x) β )(' xgdxdv
= β dxxgdv )('= β dxvdv '=
uv = f(x) g(x) β )(')()()(')( xgxfxgxfdxuvd
+=
dxxgxfdxxgxfuvd )(')()()(')( +=
= )(uvd dxuvdxvu '' +
= )(uvd dvuduv +
Jika kedua ruas diintegralkan, diperoleh
uv = β«β« + dvuduv
β« dvu = uv β β« duv β
Contoh 5
Tentukan β« dxex x
Penyelesaian: Misalkan u = x β du = dx
β dxedv x= xx edxev == β«
sehingga = β« dxex x β«β dxeex xx
= β«β dxeex xx
= Ceex xx +β
Contoh 6
Tentukan β« dxex x2
Penyelesaian:
Misalkan β du = 2x dx 2xu =
β dxedv x= xx edxev == β«
Thobirin, Kalkulus Integral 57
Integral
sehingga = β« dxex x2 β«β xdxeex xx 22
= β«β dxxeex xx 22
= Ceexex xxx +ββ )(22
= Ceexex xxx ++β 22
Contoh 7
Tentukan 5. β« dxxx cos
Penyelesaian: Misalkan u = x β du = dx
β dxxdv cos= xdxxv sincos == β«
sehingga = β« dxxx cos β«β dxxxx sinsin
= Cxxx ++ cossin
Contoh 8
Tentukan β« dxxe x cos
Penyelesaian:
Misalkan β xeu = dxedu x=
β dxxdv cos= xdxxv sincos == β«
sehingga = β« dxxe x cos β«β dxexxe xx sinsin
= β«β dxxexe xx sinsin
misal β xeu = dxedu x=
dxxdv sin= β β«= dxxv sin
xcosβ=
= { }β« ββββ dxexxexe xxx cos)cos(sin
= β«β+ dxexxexe xxx coscossin
Diperoleh β« = dxxe x cos β«β+ dxexxexe xxx coscossin
2 β« = dxxe x cos xexe xx cossin +
β« = dxxe x cos xexe xx cos21sin
21
+ + C
Thobirin, Kalkulus Integral 58
Integral
SOAL Tentukan: 1. β« 6. dxxx sin β« dxxe x sin
2. β« 7. dxxx 2sin β« dxxarcsin
3. β« 8. dxxln β« dxarctan
4. β« 9. β dxex x β« dxxx 2ln
5. β« 10. β dxex x2 β« dxx
xlnln
4.4 Integral yang Menghasilkan Arcus Tangen dan Logaritma
Ingat: dxxβ« + 21
1 = arc tan x + C
Berdasarkan rumus di atas dapat dibuktikan bahwa untuk konstanta a β 0, maka berlaku:
dxxaβ« + 22
1 = a1 arc tan
ax + C (4.4.1)
Perhatikan penyebut dalam integran.
Selanjutnya akan dicari dxcbxxβ« ++ 2
12
Jika f(x) = x2 + 2bx + c dengan D = 4b2 β 4c < 0, maka f(x) definit positif dan selalu dapat dibawa ke bentuk
f(x) = (x + b)2 + p2 dengan p2 = c β b2 > 0
sehingga dxcbxxβ« ++ 2
12 = dx
pbxβ« ++ 22)(1 dan dengan menggunakan (4.4.1)
dapat diperoleh
dxcbxxβ« ++ 2
12 =
pbx
p+arctan1 + C (4.4.2)
dengan p = 2bc β
Thobirin, Kalkulus Integral 59
Integral
Contoh 9
Tentukan β« +dx
x 231
Penyelesaian:
Dengan menggunakan rumus (4.4.1) diperoleh β« +dx
x 231 =
31 arc tan
3x + C
Contoh 10
Tentukan β« +dx
x 91
2
Penyelesaian:
Dengan menggunakan rumus (4.4.1) diperoleh β« +dx
x 231 = =
31 arc tan
3x + C
Contoh 11
Tentukan β« ++dx
xx 521
2
Penyelesaian: b = 1 c = 5
p = 2415 2 ==β
Dengan rumus (4.4.2) diperoleh β« ++dx
xx 521
2 = 21 arc tan
21+x + C
Atau secara langsung dengan cara berikut:
β« ++dx
xx 521
2 = β« ++dx
x 4)1(1
2 = 21 arc tan
21+x + C
Selanjutnya ingat: β« dxx1 = ln x + C
Dengan rumus ini dapat ditunjukkan bahwa
β« dxxgxg)()(' = ln )(xg + C (4.4.3)
Thobirin, Kalkulus Integral 60
Integral
Contoh 11
Tentukan β« +++ dxxx
x42
222
Penyelesaian:
Dengan rumus (4.4.3) diperoleh β« +++ dxxx
x42
222 = 42ln 2 ++ xx + C
Contoh 12
Tentukan β« +++ dxxx
x136
52
Penyelesaian:
β« +++ dxxx
x136
52 = β« ++
++dx
xxx
1362)62(
221
= β« +++
dxxx
x136)62(
221
+ β« ++dx
xx 1362
2
= 136ln21 2 ++ xx + β« ++
dxx 4)3(
12 2
= 136ln21 2 ++ xx +
21.2 arc tan
23+x + C
= 136ln21 2 ++ xx + arc tan
23+x + C
SOAL
Tentukan:
1. β« +++ dx
xxx
13105
2 5. β« +++ dxxx
x74
232
2. β« β++ dx
xxx
1155
3
2
6. β« +++ dxxx
x136
152
3. β«β« = dxxxdxx
cossintan 7. β« +β
+ dxxx
x136
142
4. β« ++dx
xx 745
2 8. β« +ββ dxxx
x74
232
Thobirin, Kalkulus Integral 61
Integral
4.5 Integral Fungsi Pecah Rasional Pn(x) = ao + a1x + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn dengan an β 0 dinamakan polinomial (fungsΓ
suku banyak) berderajat n. Fungsi konstan Po(x) = ao dapat dipandang sebagai polinomial berderajat nol.
Fungsi pecah rasional adalah fungsi berbentuk )()(
xDxN dengan N(x) dan D(x) polinomial-
polinomial. Uraian mengenai integral fungsi pecah rasional dapat diperinci untuk beberapa kasus sebagai berikut.
4.5.1 Keadaan N(x) = Dβ(x)
Jika N(x) = Dβ(x) maka berdasarkan rumus (4.4.3) diperoleh:
β« dxxDxN)()( = ln )(xD + C
dan ini sudah dibahas pada bagian 4.4 sehingga tidak perlu diulang. 4.5.2 Keadaan derajat N(x) β₯ derajat D(x)
Lakukan pembagian N(x) oleh D(x) sehingga diperoleh bentuk
)()()(
)()(
xDxRxQ
xDxN
+= dengan derajat R(x) < derajat D(x)
Q(x) adalah polinom, sehingga integralnya sangat mudah.
Contoh 13
1. β« +dx
xx
12
3
= β« ββ¬β«
β©β¨β§
+β dx
xxx
12 = ...
2. β« +++ββ dx
xxxxx
136604819
2
24
= β« ββ¬β«
β©β¨β§
+++
++β dxxx
xxx136
8646 22 = ...
Kepada pembaca dipersilakan untuk melanjutkan penyelesaian kedua contoh dalam contoh 13 di atas. Dengan demikian yang perlu dipelajari lebih lanjut adalah keadaan dimana
derajat N(x) < derajat D(x) dan N(x) β Dβ(x)
Thobirin, Kalkulus Integral 62
Integral
4.5.3 Keadaan Derajat N(x) < Derajat D(x)
Pada pembahasan ini N(x) β Dβ(x). Tanpa mengurangi umumnya pembicaraan, diambil koefisien suku pangkat tertinggi dari x dalam D(x) adalah satu. Untuk
menghitung β« dxxDxN)()( , terlebih dahulu integran dipisah menjadi pecahan-
pecahan parsialnya. Contoh 14
6466
23
2
β+++
xxxx dapat dipecah menjadi pecahan-pecahan parsial berikut
315
210
11
6466
23
2
++
+β
β=
β+++
xxxxxxx
Jadi
β« β+++ dx
xxxx
6466
23
2
= β«β«β« ++
+β
βdx
xdx
xdx
x 315
210
11
= β«β«β« ++
+β
βdx
xdx
xdx
x 3115
2110
11
= Cxxx ++++ββ 3ln152ln101ln
Karena sebelum melakukan pengintegralan terlebih dahulu diadakan pemisahan
)()(
xDxN menjadi pecahan-pecahan parsialnya, maka sebelumnya perlu dipelajari
cara memisah )()(
xDxN menjadi pecahan-pecahan parsialnya tersebut.
Memisah Pecahan Menjadi Pecahan Parsial
Dalam pembicaraan ini tetap diasumsikan: 1) derajat N(x) < derajat D(x) 2) koefisien suku pangkat tertinggi dari x dalam D(x) adalah satu 3) N(x) dan D(x) tidak lagi mempunyai faktor persekutuan
Thobirin, Kalkulus Integral 63
Integral
Menurut keadaan faktor-faktor D(x), dalam memisahkan )()(
xDxN menjadi pecahan-
pecahan parsialnya dapat dibedakan menjadi 4 keadaan, yaitu: a. Semua faktor D(x) linear dan berlainan b. Semua faktor D(x) linear tetapi ada yang sama (berulang) c. D(x) mempunyai faktor kuadrat dan semua faktor kuadratnya berlainan d. D(x) mempunyai faktor kuadrat yang sama.
a. Semua faktor D(x) linear dan berlainan Misalkan faktor-faktor D(x) adalah x β a, x β b, x β c, dan x β d, maka D(x) = (x β a) (x β b) (x β c) (x β d).
Dibentuk )()(
xDxN =
dxD
cxC
bxB
axA
β+
β+
β+
β (1)
sebagai suatu identitas dalam x, sehingga untuk setiap nilai x yang diberikan maka nilai ruas kiri dan nilai ruas kanan dalam (1) sama. Konstanta A, B, C, dan D adalah konstanta-konstanta yang masih akan dicari nilainya.
Contoh 15
Pisahkan 64
6623
2
β+++
xxxx atas pecahan-pecahan parsialnya.
Penyelesaian:
64 23 β++ xxx = 0 β (x β 1) (x + 2) (x + 3) = 0
Dibentuk
32164
6623
2
++
++
β=
β+++
xC
xB
xA
xxxx (2)
β )3)(2)(1(
)2)(1()3)(1()3)(2(64
6623
2
++β+β++β+++
=β++
+xxx
xxCxxBxxAxxx
x
β )2)(1()3)(1()3)(2(66 2 +β++β+++=+ xxCxxBxxAx
untuk x = 1 β )4)(3(12 A= β A = 1
untuk x = β 2 β 30 = B(β3)(1) β B = β10 untuk x = β 3 β 60 = C(β4)(β1) β C = 15
Jika nilai A, B, dan C ini disubstitusikan ke dalam (2) maka diperoleh
315
210
11
6466
23
2
++
+β
β=
β+++
xxxxxxx
Thobirin, Kalkulus Integral 64
Integral
sehingga
β« β+++ dx
xxxx
6466
23
2
= β«β«β« ++
+β
βdx
xdx
xdx
x 315
210
11
= Cxxx ++++ββ 3ln152ln101ln
Pada bagian ini dijumpai bentuk β« βdx
ax1
b. Semua faktor D(x) linear tetapi ada yang sama (berulang)
Misalkan faktor-faktor D(x) adalah x β a, x β b, x β c, x β c, x β d, x β d, dan x β d, maka D(x) = (x β a) (x β b) (x β c)2 (x β d)3. Selanjutnya dibentuk
)()(
xDxN = 322 )()()( dx
Gdx
Fdx
Ecx
Dcx
Cbx
Bax
Aβ
+β
+β
+β
+β
+β
+β
(3)
Perhatikan suku-suku pecahan di ruas kanan terutama yang sesuai dengan akar sama c dan d.
Contoh 16
Pisahkan 3)1)(2( +β xxx atas pecahan-pecahan parsialnya.
Penyelesaian:
Dibentuk
323 )1()1(12)1)(2( ++
++
++
β=
+β xD
xC
xB
xA
xxx (4)
)2()1)(2()1)(2()1( 23 β++β++β++= xDxxCxxBxAx
untuk x = β1 β―β β1 = β3D untuk x = 2 β―β 2 = 27A untuk x = 0 β―β 0 = A β 2B β 2C β 2D untuk x = 1 β―β 1 = 8A β 4B β 2C β D Dari keempat persamaan tersebut diperoleh:
272
=A , 272
β=B , 276
β=C , 31
=D
Jadi 323 )1(31
)1(276
1272
2272
)1)(2( ++
+
β+
+
β+
β=
+β xxxxxxx
Thobirin, Kalkulus Integral 65
Integral
Selanjutnya dapat dicari integral β« +βdx
xxx
3)1)(2(
β« +βdx
xxx
3)1)(2( = β«β«β«β« +
++β
++
β+
βdx
xdx
xdx
xdx
x 331
2276
272
272
)1()1(12
= ...
Pada bagian ini dijumpai bentuk β« βdx
ax1 dan β« β
dxax n)(
1 n = 2, 3, ...
c. D(x) mempunyai faktor kuadrat dan semua faktor kuadratnya berlainan
Ingat teorema dalam aljabar berikut. Teorema: Akar-akar tidak real persamaan derajat tinggi dengan koefisien real
sepasang-sepasang bersekawan, artinya jika a + bi suatu akar maka a β bi juga akar persamaan itu
Berdasarkan teorema tersebut maka apabila a + bi akar persamaan D(x) = 0 maka demikian juga a β bi, sehingga salah satu faktor D(x) adalah {x β (a + bi)}{ x β (a β bi)} = (x β a)2 + b2 yang definit positif. Misal D(x) = (x β p) (x β q) 2 {(x β a)2 + b2}{(x β c)2 + d2} maka perlu dibentuk
)()(
xDxN = 22222 )()()( dcx
GFxbax
EDxqx
Cqx
Bpx
A+β
++
+β+
+β
+β
+β
(5)
Contoh 17
Pisahkan 1
33 βx
x atas pecahan-pecahan parsialnya.
Penyelesaian:
133 βx
x = )1)(1(
32 ++β xxxx
Dibentuk 111
323 ++
++
β=
β xxCBx
xA
xx
)1)(()1(3 2 β++++= xCBxxxAx
untuk x = 1 β―β 3 = 3A untuk x = 0 β―β 0 = A β C untuk x = β1 β―β β3 = A + 2B β 2C Setelah dicari nilai-nilai A, B, dan C diperoleh 1=A , 1β=B , dan , sehingga 1=C
Thobirin, Kalkulus Integral 66
Integral
11
11
13
23 +++β
+β
=β xx
xxx
x
Jadi β«β«β« +++β
+β
=β
dxxx
xdxx
dxx
x1
11
11
323
= ... = ...
Pada bagian ini dijumpai bentuk β« βdx
ax1 , β« β
dxax n)(
1 n = 2, 3, ... , dan
β« +β+ dx
baxBAX
22)(
d. D(x) mempunyai faktor kuadrat yang sama
Berdasarkan teorema dalam bagian c di atas maka apabila a + bi merupakan akar berlipat k dari persamaan D(x) = 0 maka demikian juga a β bi, dan faktor-faktor dari D(x) yang sesuai dengan akar-akar ini adalah {(x β a)2 + b2}k. Misal D(x) = (x β p) (x β q) 2 {(x β a)2 + b2}{(x β c)2 + d2}3 maka perlu dibentuk
)()(
xDxN = 22222222 }){()()()( dcx
JHxdcx
GFxbax
EDxqx
Cqx
Bpx
A+β+
++β
++
+β+
+β
+β
+β
322 }){( dcxLKx+β+
+
Contoh 18
Pisahkan 22
23
)1)(2(1523
+ββ+β
xxxxx atas pecahan-pecahan parsialnya.
Penyelesaian:
Dengan cara seperti yang telah diberikan sebelumnya didapatkan
22
23
)1)(2(1523
+ββ+β
xxxxx = 222 )1(1
12
1+
β+β
ββ x
xxx
x
Thobirin, Kalkulus Integral 67
Integral
Jadi β« +ββ+β dx
xxxxx
22
23
)1)(2(1523 = β«β«β« +
β+β
ββ
dxx
xdxxxdx
x 222 )1(11
21
Pada bagian ini dapat muncul bentuk β« +β+ dx
baxBAX
n}){( 22 , n = 2, 3, ... , dan
Dalam mencari β« dxxDxN)()( kita dihadapkan kepada empat jenis integral yang
berbentuk:
(1) β« βdx
ax1
(2) β« βdx
ax n)(1 n = 2, 3, ...
(3) β« +β+ dx
baxBAX
22)(
(4) β« +β+ dx
baxBAX
n}){( 22 , n = 2, 3, ...
Tiga bentuk yang pertama telah dapat diselesaikan menggunakan teori-teori yang sudah diberikan. Adapun integral bentuk keempat dapat diselesaikan dengan substitusi y = x β a sebagai berikut.
β« +β+ dx
baxBAX
n}){( 22 = β« +++ dy
byBaAAyn}{ 22
= β«β« ++
+++ dy
byBaA
bybydA
nn }{}{)(
2 2222
22
Integral untuk suku pertama pada ruas terakhir bukan masalah karena berbentuk
β« nudu , n = 2, 3, ... Sedangkan integral pada suku keduanya dapat diubah menjadi
β« ++ dybyBaA
n}{ 22 = β«
βͺβ
βͺβ¬β«
βͺβ©
βͺβ¨β§
ββ β
βββ+
+nn
by
dyb
BaA22
1
= { }β«+
+β nn t
dtb
BaA212 1
dengan byt =
Untuk menghitung integral { }β«+
ntdt
21dapat digunakan rumus reduksi berikut
Thobirin, Kalkulus Integral 68
Integral
{ }β«+
ntdt
21 =
{ }β« ββ+β
β+
+β 1212 12232
)1)(22( nn tdt
nn
tnt
Dalam tulisan ini tidak diberikan bukti rumus reduksi tersebut.
Contoh 19
Selesaikan β« +++ dxxx
x22 )134(
3 .
Penyelesaian:
β« +++ dxxx
x22 )134(
3 = β« ++++
dxxx
x22
21
)134(1)42(
= β«β« +++
+++ dx
xxdx
xxx
222221
)134(1
)134(42
= β«β« +++
++++ dx
xxxxxd
2222
2
21
}9)2{(1
)134()134(
= β«β« +++
++++ dx
xxxxxd
2222
2
21
}9)2{(1
)134()134(
= [ ]{ }β«
+++
++β dx
xxx 22221
13/)2(9
1134
1
= [ ]{ }β«
+++
++β dx
xxx 22811
221
13/)2(
1134
1
Untuk [ ]{ }β«
++dx
x2281
1
13/)2(
1 substitusikan dxdtxt31,
32
=+
= sehingga
[ ]{ }β«++
dxx
22811
13/)2(
1 = { }β«
+dt
t 22271
11
= { } βββ
ββββ
β+β
β+
+β β« dttt
t1
122.232.2
)1)(22.2(271
2
= { } βββ
ββββ
β+
++ β« dt
ttt
11
21
)1(2271
2
= βββ
ββββ
β+
+t
tt arctan
21
)1(2271
Thobirin, Kalkulus Integral 69
Integral
= βββ
ββββ
β ++
++
+ 32arctan
21
)1(2.32
271
32
xxx
= βββ
ββββ
β ++
+++
32arctan
21
)2(262
271 x
xx
= 3
2arctan541
1022
271 +
+++ x
xx
Jadi β« +++ dxxx
x22 )134(
3 = [ ]{ }β«
+++
++β dx
xxx 22811
221
13/)2(
1134
1
= 134
122
1
++β
xx +
32arctan
541
1022
271 +
+++ x
xx + C.
LATIHAN
1. β« β+dx
xxx
432 4. β« +βdx
xxx
)1()1( 222
2. β« +β+ dx
xxx
)4()1(3
2 5. β« ββ+β dx
xxxxx
2
234 2322
3. β« +dx
xx
22 )1( 6. β« β
++ dxx
xx32
23
)2(14
4.6 Integral Fungsi Trigonometri
4.6.1 Rumus-rumus Sederhana
β« dxxcos = sin x + C β« dxxtan = β ln βcos xβ+ C
β« dxxsin = β cos x + C β« dxxcot = ln βsin xβ+ C
β« dxx2sec = tan x + C β« dxxx tansec = sec x + C
β« dxx2csc = β cot x + C β« dxxx cotcsc = β csc x + C
β« dxxsec = ln βsec x + tan xβ + C β« dxxcsc = β ln βcsc x + cot xβ + C
4.6.2 Bentuk β« dxxxR cos)(sin dan β« dxxxR sin)(cos
Jika R fungsi rasional maka β« dxxxR cos)(sin = β« )(sin)(sin xdxR
= β« dyyR )(
Thobirin, Kalkulus Integral 70
Integral
β« dxxxR sin)(cos = β β« )(cos)(cos xdxR
= β β« dttR )(
Dengan mengingat rumus cos2 x + sin2 x = 1, maka:
β« dxxxxR cos)cos,(sin 2 = β« β dyyyR )1,( 2
β« dxxxxR sin)sin,(cos 2 = β β« β dtttR )1,( 2
Contoh 20
1. β« +β dxxxx cos)7sincos2( 2
2. β« dxx3sin
4.6.3 Integral dengan memperhatikan rumus-rumus
sin x sin y = )}cos(){cos(21 yxyx +ββ
sin x cos y = )}sin(){sin(21 yxyx β++
cos x cos y = )}cos(){cos(21 yxyx β++
sin2 x = }2cos1{21 xβ
cos2 x = }2cos1{21 x+
Contoh 21 Carilah
1. β« dxxx 2sin3sin
2. β« dxxx 2cos3sin
3. β« dxxx 2cos3cos
4. β« dxx2sin
5. β« dxx4sin
4.6.4 Substitusi xy 2
1tan=
Jika R(sin x, cos x) fungsi rasional dalam sin x dan cos x, maka
dapat dibawa menjadi integral fungsi rasional dalam y dengan
menggunakan substitusi
β« dxxxR )cos,(sin
xy 21tan= .
Thobirin, Kalkulus Integral 71
Integral
xy 21tan= β x = 2 arc tan y β dy
ydx 21
2+
=
Selanjutnya perhatikan
21 y+
x21
y
1 Memperhatikan gambar di atas dapat dipahami bahwa
x21sin =
21 yy+
dan x21cos =
211
y+
sin x = ).2sin( 2
1 x
= xx 21
21 cossin2 = 2
21 yy+
21
1y+
= 212
yy
+
Jadi sin x = 212
yy
+.
Dengan menggunakan rumus cos x = ).2cos( 21 x diperoleh
cos x = 2
2
11
yy
+β
tan x = 212
yy
β
cot x = yy
21 2β
Contoh 22
Carilah: 1. β« + xdxsin1
2. β« + xxdx
cossin
3. β« + xdxcos1
4. β« dxxcsc
Thobirin, Kalkulus Integral 72
Integral
4.6.5 Integral R(tan x) Jika integran fungsi rasional dalam tan x saja, maka dapat dijadikan integral fungsi rasional dalam y dengan substitusi y = tan x, sehingga x = arc tan y dan
21 ydydx+
= .
Jadi β« β« += dy
yyRdxxR 21)()(tan
Contoh 23
Carilah: 1. 2. β« dxxtan β« + xdxtan1
4.6.6 Rumus Reduksi untuk Integral Fungsi Trigonometri Jika n bilangan bulat positif, maka:
β« β« ββ=+ dyydxx nn )1(sin 212 dengan y = cos x
β« β« β=+ dttdxx nn )1(cos 212 dengan t = sin x
Untuk n bilangan genap positif dapat digunakan rumus:
β« β« ββ β
+= dxxn
nn
xxdxx nn
n 21
cos1cossincos
β« β« ββ β
+β
= dxxn
nn
xxdxx nn
n 21
sin1sincossin
β« β« ββ
+β
= dxxn
xdxx nn
n 21
tan1
tantan
β« β« ββ
ββ
β= dxx
nxdxx n
nn 2
1
cot1
cotcot
β« β« ββ
ββ
+β
= dxxnn
nxxdxx n
nn 2
1
sec12
1secsinsec
β« β« ββ
ββ
+β
β= dxx
nn
nxxdxx n
nn 2
1
csc12
1csccoscsc
Bukti rumus-rumus di atas tidak diberikan dalam tulisan ini.
Thobirin, Kalkulus Integral 73
Integral
LATIHAN
4.7 Integral Fungsi Irrasional
Dalam tulisan ini dibahas beberapa jenis integral fungsi irrasional. Pada dasarnya integral ini diselesaikan dengan mengubah integral irrasional menjadi integral rasional, baik rasional aljabar maupun trigonometri.
4.7.1 Rumus yang perlu dihafal
1) dxxaβ«
β 22
1 = Cax+arcsin
2) dxaxx
aβ«
β 22 = arc sec C
ax+
3) dxaxβ«
+ 22
1 = Caxx +++ 22ln
4) dxaxβ«
β 22
1 = Caxx +β+ 22ln
5) dxxaβ« β 22 = Caxaxax++β arcsin
22
222
6) dxaxβ« + 22 = Caxxaaxx+++++ 22
222 ln
22
7) dxaxβ« β 22 = Caxxaaxx+β++β 22
222 ln
22
Dua rumus pertama mudah dibawa ke bentuk rumus integral dasar dengan
substitusi axy = . Sedangkan rumus-rumus yang lain dapat dibuktikan dengan
menggunakan metode yang akan diterangkan pada bagian 4.7.4.
Thobirin, Kalkulus Integral 74
Integral
4.7.2 Bentuk Irrasional Satu Suku
ntuk irrasional dari satu macam suku, misalnya x, Jika integran hanya memuat be
maka integral dapat dijadikan integral rasional dengan substitusi n xy = dimana n
kelipatan persekutuan terkecil dari pangkat-pangkat akar.
Contoh 24
β« +dx
xx3
6 xy =1
diambil substitusi , sehingga dan
.7.3 Satu-satunya Bentuk Irrasional
6yx = dyydx 56=
cbxax ++2
Dalam hal ini
4
cbxax ++2 se tubagai satu-sa nya bentuk irrasional di dalam tegran dapat dintegran, maka in ijadikan rasional dengan substitusi
cbxax ++2 = yax + , jika a > 0
atau
cbx cxy +ax 2 ++ = , jika c β₯ 0
Dengan substitusi yang pertama diperoleh bay
cyxβββ
=2
)( 2
dan dx dapat dinyatakan
ke dalam bentuk rasional dalam y kali dy.
Contoh 25
β«+ββ
dxxxx 26)3(
1 yxxx +=+β 262
2 diambil substitusi , sehingga
)3(2)2( 2
+ββ
=yyx dan dy
yyydx 2
2
)3(26
21
+++
β= . Selanjutnya dapat diselesaikan seperti
integral raasional
.7.4 Substitusi Trigonometri mus trigonometri
+ tan2 x = sec2 x bentuk-bentuk irra rasional fungsi
4Dengan memperhatikan ru
cos2 x + sin2 x = 1 dan 1sional berikut dapat dijadikan bentuk
trigonometri.
Thobirin, Kalkulus Integral 75
Integral
Thobirin, Kalkulus Integral 76
entuk Substitusi Diferensial B22 xa β x = a sin ΞΈ dx = a cosΞΈ dΞΈ 22 ax β x = a sec ΞΈ dx = a secΞΈ tanΞΈ dΞΈ 22 xa + x = a tan ΞΈ dx = a sec2ΞΈ dΞΈ
Contoh 26
= Caxaxax++β arcsin
22
222 dxxaβ« β 221. Buktikan
dxxβ«
β 291 2. Gunakan substitusi x = a sin ΞΈ untuk menentukan
dxxxxβ« +ββ 26)3(
12
3. Carilah
ATIHAN 4.7 L
1. dβ«1 x
xx β 22 1
2. dxx
xβ«
β 21
dxxxxβ« +ββ 14)2(
12
3.
dxxxxβ« +ββ 84)2(
12
4.
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 77
INTEGRAL TERTENTU
5.1 Pengertian Integral Tertentu Definisi 5.1.1
Partisi P pada interval [a,b] adalah suatu subset berhingga P = {x0, x1, x2, β¦, xn} dari
[a,b] dengan a = x0 < x1 < x2 < β¦ < xn = b.
Jika P = {x0, x1, x2, β¦, xn} partisi pada [a,b] maka Norm P, ditulis P , didefinisikan
sebagai P = max{xi β xi-1β1 = 1, 2, 3, β¦, n}.
a = x0 x1 x2 β¦ xn = b. Contoh 1:
Pada interval [β3, 3], suatu partisi P = {β3, β 211 , β 2
1 , 31 , 2, 3}mempunyai norm:
P = max{β 211 β (β3), β 2
1 β (β 211 ), 3
1 β (β 21 ), 2 β 3
1 , 3 β 2}
= max{ 23 , 1, 6
5 , 35 , 1}
= 35 .
Jika f fungsi yang didefinisikan pada [a,b], P = {x0, x1, x2, β¦, xn} suatu partisi pada
[a,b], wi β [xi-1, xi], dan Ξxi = xi β xi-1, maka disebut Jumlah Riemann f pada
[a,b].
β=
Ξn
iii xwf
1
)(
w1 w2 w3 w4 wi wn x0 = a x1 x2 x3 x4 xi-1 xi xn-1 b = xn-1
y = f(x)
5
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 78
Contoh 2: Fungsi f pada [β3, 3] didefinisikan dengan f(x) = x2 β 1 dan P = {β3, β 2
11 , β 21 , 3
1 , 2, 3} partisi
pada [β3, 3]. Dipilih titik-titik: w1 = β2, w2 = β 21 , w3 = 0, w4 = 2
11 , w5 = 322 .
w1 = β2 β―β f(w1) = 3 Ξx1 = 2
3 β―β f(w1).Ξx1 = 29
w2 = β 21 β―β f(w2) = β 4
3 Ξx2 = 1 β―β f(w2).Ξx2 = β 43
w3 = 0 β―β f(w3) = β1 Ξx3 = 65 β―β f(w3).Ξx3 = β 6
5
w4 = 211 β―β f(w4) = 4
5 Ξx4 = 35 β―β f(w4).Ξx4 = 12
25
w5 = 322 β―β f(w5) = 9
55 Ξx5 = 1 β―β f(w5).Ξx5 = 955
Jumlah Riemann fungsi f tersebut pada interval [β3, 3] bersesuaian dengan partisi P di atas
adalah β = =
Ξ5
1
)(i
ii xwf9
100 .
Jika P = {β3, β 2
11 , β1, β 21 , 3
1 , 2, 2 21 , 3} partisi pada [β3, 3] dan w1 = β2, w2 = β1, w3 β= 2
1 , w4 = 0, w5
= 2
11 , w6 = 31 , serta w7 =2 4
3 tentukan jumlah Riemann fungsi f pada [β3, 3] bersesuaian dengan partisi P ini.
2
Definisi 5.1.2
1. Jika f fungsi yang terdefinisi pada [a,b] maka: Lxwfn
iiiP=Ξβ
=β 10
)(lim jika dan hanya jika
untuk setiap bilangan positif Ξ΅ terdapat bilangan positif Ξ΄ sehingga untuk setiap partisi
P = {x0, x1, x2, β¦, xn} pada [a,b] dengan P < Ξ΄, berlaku β=
βΞn
iii Lxwf
1)( < Ξ΅.
2. Jika f fungsi yang terdefinisi pada [a,b] dan β=
βΞ
n
iiiP
xwf10
)(lim ini ada, maka limit tersebut
dinamakan integral tertentu (Integral Riemann) fungsi f pada [a,b]. Selanjutnya f
dikatakan integrable pada [a,b] dan integralnya ditulis . β«b
a
dxxf )(
Jadi = β«b
a
dxxf )( β=
βΞ
n
iiiP
xwf10
)(lim
3. Jika f integrable pada [a,b] maka: a. = β β«a
b
dxxf )( β«b
a
dxxf )(
b. Jika a = b maka = = 0 β«b
a
dxxf )( β«a
a
dxxf )(
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 79
Dari definisi 5.1.2 bagian 2 dapat dipahami bahwa jika , maka
=
0)( >xf
β«b
a
dxxf )( β=
βΞ
n
iiiP
xwf10
)(lim secara geometris menyatakan luas daerah di bawah kurva
, di atas sumbu X, di antara garis x = a dan x = b. )(xfy = Contoh 3:
Jika f(x) = x + 3, tentukan . β«β
+3
2
)3( dxx
Penyelesaian: -3 -2 -1 0 1 2 3
Y f(x) = x + 3
3
Buat partisi pada [β2, 3] dengan menggunakan n interval bagian yang sama panjang. Jadi panjang
setiap interval bagian adalah Ξx = n5 .
Dalam setiap interval bagian [xi-1,xi] partisi tersebut diambil wi = xi.
Akan dicari nilai β=
βΞ
n
iiiP
xwf10
)(lim .
X x0 = β2
x1 = β2 + Ξx = β2 + n5
x2 = β2 + 2Ξx = β2 + 2(n5 )
x3 = β2 + 3Ξx = β2 + 3(n5 )
. :
xi = β2 + i.Ξx = β2 + i(n5 )
. :
xn = β2 + n.Ξx = β2 + n(n5 ) = 3
Karena untuk setiap i = 1, 2, 3, β¦, n dipilih wi = xi maka wi = β2 + i(n5 )= β2 +
ni5 , sehingga
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 80
f(wi) = wi + 3
= (β2 + ni5 ) + 3
= 1 + ni5
Jadi jumlah Riemann fungsi f pada [β2, 3] bersesuaian dengan partisi P tersebut adalah
β=
Ξn
iii xwf
1
)( = β=
ββ β
βββ +
n
i nni
1
551
= β=
ββ β
βββ +
n
i ni
n 1
515
= ββ==
+n
i
n
i ni
nn 11
5515
= ββ==
+n
i
n
i
inn 1
21
2515
= )}1({25)(521
2 ++ nnn
nn
= 5 + ββ β
βββ +
n11
225
Jika P β 0 maka n β β, sehingga:
β=
βΞ
n
iiiP
xwf10
)(lim = βββ
ββββ
βββ β
βββ ++
ββ nn
112255lim
= 2117
Jadi = β«β
+3
2
)3( dxx 2117 .
Contoh 4:
Tentukan . β«b
a
dx
Penyelesaian:
Dalam hal ini f(x) = 1 untuk setiap x β [a,b]. Ambil sembarang partisi P = {x0, x1, x2, β¦, xn}
pada [a,b] dan sembarang titik wi β [xi-1, xi], i = 1, 2, 3, β¦, n, maka
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 81
β=
Ξn
iii xwf
1)( = dan Ξxi = xi β xi-1 β
=
Ξn
iix
1.1
= β=
ββn
iii xx
11 )(
= (x1 β x0) + (x2 β x1) + (x3 β x2) + β¦ + (xn β xn-1)
= xn β x0
= b β a
Jadi β=
βΞ
n
iiiP
xwf10
)(lim = )(lim0
abP
ββ
= b β a
Dengan demikian = b β a. β«b
a
dx
Teorema 5.1.3 (Teorema Fundamental Kalkulus)
Jika f integrable pada [a,b] dan F suatu anti turunan dari f pada [a,b]
(atau Fβ(x) = f(x) untuk setiap x β [a,b]), maka : = F(b) β F(a) β«b
a
dxxf )(
F(b) β F(a) biasa ditulis [ ]baxF )( Bukti:
Ambil sembarang partisi P = {x0, x1, x2, β¦, xn} pada [a,b]. Karena Fβ(x) = f(x) untuk setiap
x β [a,b] maka Fβ(x) = f(x) untuk setiap x β [xi-1, xi], i = 1, 2, 3, β¦, n. Berdasarkan teorema
nilai rata-rata maka terdapat wi β [xi-1, xi] sehingga
F(xi) β F (xi-1) = Fβ(wi) (xi β xi-1)
= f(wi) (xi β xi-1) i = 1, 2, 3, β¦, n
Diperoleh:
β=
Ξn
iii xwf
1)( = β
=ββ
n
iiii xxwf
11 ))((
= β=
ββn
iii xFxF
11 )}()({
= {F(x1) β F(x0)} + {F(x2) β F(x1)} + {F(x3) β F(x2)} + β¦ + {F(xn) β F(xn-1)}
= F(xn) β F(x0)
= F(b) β F(a)
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 82
β=
βΞ
n
iiiP
xwf10
)(lim = )}()({lim0
aFbFP
ββ
= F(b) β F(a).
Jadi β« = F(b) β F(a) b
a
dxxf )(
Contoh 5
β«β
+3
2
)3( dxx = [ ]3 22
21 3 β+ xx = )}2(3)2({)}3(3)3({ 2
212
21 β+ββ+ = 2
117 .
Contoh 6
Tentukan integral berikut.
1. β«β
2
2
3dxx
2. β«β
Ο
Ο
dxxsin
Teorema 5.1.4
Jika f integrable pada [a,b] dan c β (a,b) maka = + β«b
a
dxxf )( β«c
a
dxxf )( β«b
c
dxxf )(
Teorema 5.1.5
1. k konstanta β«β« =b
a
b
a
dxxfkdxxkf )()(
2. β«β«β« +=+b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()}()({
3. Jika f(x) β₯ 0 untuk setiap x β [a,b] maka β₯ 0. β«b
a
dxxf )(
4. Jika f(x) β€ g(x) untuk setiap x β [a,b] maka β€ β«b
a
dxxf )( β«b
a
dxxg )(
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 83
5.2 Aplikasi Integral
5.2.1 Luas Daerah
Berdasarkan pengertian integral tertentu (Integral Riemann) pada definisi 5.1.2 dan
uraian di atas dapat dipahami bahwa jika , maka secara geometris
menyatakan luas daerah di antara kurva
0)( >xf
)(x
β«b
a
dxxf )(
fy = dan sumbu X serta dibatasi oleh garis-garis
x = a dan x = b. Jadi
β«=b
a
dxxfA )(
Contoh 7
Tentukan luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y = x + 3, sumbu X, garis x = β2 dan
garis x = 3.
Penyelesaian:
A = = β«β
+3
2
)3( dxx [ ]3 22
21 3 β+ xx = )}2(3)2({)}3(3)3({ 2
212
21 β+ββ+ = 2
117 .
Contoh 8
Tentukan luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva , sumbu X, garis x = β2 dan garis
x = 2.
3xy =
Penyelesaian:
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 84
Y
)(xfy =
)(xgy =
a b X
Selanjutnya jika suatu daerah dibatasi oleh dua kurva )(xfy = dan serta
garis-garis x = a dan x = b seperti gambar di atas, maka luas daerahnya adalah sebagai berikut
)(xgy =
{ }β« β=b
a
dxxgxfA )()(
b
Contoh 9
Tentukan luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva dan . 4xy = 22 xxy β=
Penyelesaian:
Menentukan batas-batas dicari dengan menentukan akar-akar persamaan
yang dapat kita temukan akar-akarnya adalah x = 0 dan x = 1.
24 2 xxx β=
sehingga luasnya adalah A = = β« ββ1
0
42 )2( dxxxx1
0
532
51
31
β₯β¦β€
β’β£β‘ ββ xxx =
157
51
311 =ββ .
22 xxy β=
Y
4xy =
X 0
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 85
Selanjutnya jika suatu daerah dibatasi oleh dua kurva )(yx Ο= dan )(yx Ο= serta
garis-garis y = c dan y = d seperti gambar di bawah ini, maka luas daerahnya adalah sebagai
berikut
{ }β« β=d
c
dyyyA )()( ΟΟ
Y
d x = Ο(y) x = Ο (y)
c
X 0
Contoh 10
Tentukan luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva dan xy 42 = 434 =β yx .
Penyelesaian:
434 =β yx
Menentukan batas-batas dengan mencari akar-akar persamaan yang
diperoleh y = β1 dan y = 4.
432 += yy
xy 42 = ekuivalen dengan 2
41 yx = dan 434 =β yx ekuivalen dengan )43(
41
+= yx
Y
0
xy 42 =
X
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 86
sehingga luasnya adalah A = β«β β
β¬β«
β©β¨β§ β+
4
1
2
41)43(
41 dyyy = {β«
β
β+4
1
24341 dyyy } =
24125
.
5.2.2 Volume Benda Putar
a. Metode Cincin
Y
0
y = f(x)
a b
X 1βix ix wi
f(wi)
Jika daerah yang dibatasi kurva y = f(x), sumbu X, garis-garis x = a dan x = b diputar
mengelilingi sumbu X sebagai sumbu putar, maka volume benda putar yang terjadi dapat dicari
sebagai berikut.
Dibuat partisi P = {x0, x1, x2, β¦, xn} pada [a,b]. Untuk setiap i = 1, 2, β¦, n dipilih satu
titik wi β [xi-1, xi], selanjutnya dibuat persegi panjang dengan panjang f(wi) dan lebar
Ξxi = xi β xi-1. Jika persegi panjang ini diputar terhadap sumbu X, maka diperoleh silinder
hampiran dengan volume
{ } iii xwfV Ξ=Ξ 2)(Ο
f(xi)
Ξxi
Akibatnya diperoleh jumlahan Riemann
{ }ββ==
Ξ=Ξn
iii
n
ii xwfV
1
2
1)(Ο
Apabila P β 0 maka diperoleh volume benda putar yang dimaksud, yaitu
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 87
{ }β=β
Ξ=n
iiiPX xwfV
1
2
0)(limΟ
= = { }β«b
a
dxxf 2)(Ο { }β«b
a
dxxf 2)(Ο
Jadi Jadi
{ }β«=b
aX dxxfV 2)(Ο { }β«=
b
aX dxxfV 2)(Ο
Selanjutnya apabila daerah yang dibatasi oleh dibatasi oleh dua kurva Selanjutnya apabila daerah yang dibatasi oleh dibatasi oleh dua kurva )(xfy )(xfy
Ο
= dan
serta garis-garis x = a dan x = b seperti gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu X sebagai sumbu putar, maka volume benda yang terjadi adalah
)(xgy =
{ } { }[ ]β« β=b
aX dxxgxfV 22 )()(Ο
0 Xa b
Y y = f(x)
y = g(x)
Dengan cara sama, jika daerah yang dibatasi kurva x = Ο(y), sumbu Y, garis-garis y = c
dan y = d diputar mengelilingi sumbu Y sebagai sumbu putar, maka volume benda putar yang
terjadi adalah.
{ }β«=d
cY dyyV 2)(ΟΟ
Demikian pula apabila daerah yang dibatasi oleh dua kurva )(yx Ο= dan )(yx Ο=
serta garis-garis y = c dan y = d diputar mengelilingi sumbu Y sebagai sumbu putar, maka
volume benda yang terjadi adalah
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 88
{ } { }[ ]β« β=d
cY dyyyV 22 )()( ΟΟΟ
Contoh 11
Tentukan volume benda putar yang terjadi apabila daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva
xy = , sumbu X dan garis x = 4 diputar mengelilingi sumbu X.
Penyelesaian:
xy =
Y
X 0
4
{ }β«=4
0
2dxxVX Ο = ΟΟΟ 8
21 4
0
24
0
=β₯β¦β€
β’β£β‘=β« xdxx
Contoh 12
Tentukan volume benda putar yang terjadi apabila daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva
, sumbu Y dan garis x = 3 diputar mengelilingi sumbu Y. 3xy =
Penyelesaian:
3 yx =
Y
X 0
3
Karena maka3xy = 3 yx = , sehingga
{ } ΟΟΟΟ5
9953 3
353
0
3
0
23 3
2
=β₯β₯β¦
β€
β’β’β£
β‘=== β«β« ydyydyyVY
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 89
Contoh 13
nda putar yang terjadi apabila daeTentukan volume be rah tertutup yang dibatasi oleh dua kurva
diputar mengelilingi sumbu X.
Penyel
Dapat dicari bahwa perpotongan kedua kurva adalah di (0, 0) dan (2, 4). Jika
aka
2xy = dan y x82 =
esaian:
xy 82 =
xy 8=m . Perhatikan gambar berikut.
{ } { }[ ] [ ] ΟΟΟΟ 4814882
522
42
222=β€β‘ β=β=β= β«β« xxdxxxdxxxV
entukan pula apabila daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu Y.
benda pejal (ruang antara tabung besar dan kecil)
adalah
55 000β₯β¦β’β£
X
T
b. Metode Kulit Tabung
Perhatikan gambar di samping.
Volume
h)rrV ( 21
22 ΟΟ β=
hrr )( 21
22 β= Ο
hrrrr ))(( 1212 β+= Ο
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 90
hrrrr 12 βββ += Ο )(
22 12β
β ββ
Rumusan ini dapat ditulis sebagai
V rhr Ξ= Ο2
dengan 2
12 rrr += dan 12 rrr β=Ξ
Misalkan diketahui daerah dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X serta garis-garis x = a
dan x = b. Apabila daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu Y sebagai sumbu putarnya,
maka volume benda putar yang terjadi dapat dicari sebagai berikut.
titik
Dibuat partisi P = {x0, x1, x2, β¦, xn} pada [a,b]. Untuk setiap i = 1, 2, β¦, n dipilih satu
21β+
= iii
xxw β [xi-1, xi], selanjutnya dibuat persegi panjang dengan panjang f(wi) dan
dan lebar Ξxi = xi β xi-1. Jika persegi panjang ini diputar terhadap sumbu Y, maka diperoleh
tabung hampiran dengan volume
iiii xwfwV Ξ=Ξ )(2Ο
Akibatnya diperoleh jumlahan Riemann
Apabila
ββ Ξ=Ξnn
Ο == i
iiii
i xwfwV11
)(2
P β 0 maka diperoleh volume benda putar yang dim ksud, yaitu a
β=β
Ξ= fn
iiiiPY xwwV
10)(lim2Ο
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 91
=
Jadi
a kurva
β«b
a
dxxfx )(2Ο
β«=Y dxxfxV )(2Ο b
a
Selanjutnya apabila daerah yang dibatasi oleh dibatasi oleh du )(xfy = dan
serta garis-garis x = a dan x = b seperti gambar di bawah ini diputa
sumbu Y sebagai sumbu putar, maka volume benda yang terjadi adalah
]
serta garis-garis y = c dan y = d i
sumbu putarnya, maka volume
)(xgy = r mengelilingi
[β« β=b
Y dxxgxfxV )()(2Ο a
oleh kurva x = Ο(x), sumbu Y
Dengan cara sama, misalkan diketahui daerah dibatasi
Y
. Apabila daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu X sebaga
benda putar yang terjadi adalah
β«=d
cX dyyyV )(2 ΟΟ
y = f(x)
y = g(x)
0 Xa b Ξxi
c
d
Y
X 0
y = Ο (x)
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 92
Demikian pula apabila daerah yang dibatasi oleh dua kurva )(yx Ο= dan )(yx Ο=
serta garis-garis y = c dan y = d seperti gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X
sebagai sumbu putar, maka volume benda yang terjadi adalah
Tentukan volum dibatasi oleh kurva
[ ]β« β=d
cX dyyyyV )()(2 ΟΟΟ
c
d
Y
0
x =
X
Ο(y) x
Contoh 14
e benda putar yang terjadi apabila daerah tertutup yang
xy 1= , sumbu X, dan garis x = 1 diputar mengelilingi sumbu Y.
Penyelesaian:
ΟΟΟΟ328
322212
4
1
234
1
214
1
=β₯β₯β¦
β€
β’β’β£
β‘=== β«β« xdxxdx
xxVY
Contoh 15
Diketahui suatu daerah tertutup dibatasi oleh kurva garis xt
Dalam hal ini 0>
ry = , sumbu X, dan garis x = t.
r dan 0>t . Jika daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu X, tentukan
olume benda yang terjadi dengan dua cara. v
= Ο (y)
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 93
aian:
Dengan metode cincin
Penyeles
Cara I
β« ββ¬β«
β©β¨β§=
t
X dxxtrV
0
2
Ο
X
xtry =
Y
0 t
r β«=t
dxxtr
0
22
2
Ο
t
xtr
0
32
2
31
β₯β¦β€
β’β£β‘= Ο
tr 2
31Ο=
Cara II
Dengan metode kulit tabung. Karena xtry = y
rtx = , maka
β« β=r
X dyyrttyV
0
)(2Ο
β« β=r
dyyr
yt0
2 )1(2Ο
r
yr
yt0
32
31
212 β₯β¦
β€β’β£β‘ β= Ο
β₯β¦β€
β’β£β‘ β= 22
31
212 rrtΟ
tr 2
31Ο=
5.2.3 P
n parameter x = f(t), y = g(t),
a β€ t β€ b. Panjang kurva tersebut dapat dicari sebagai berikut.
X
anjang Kurva
Misalkan suatu kurva mulus diberikan oleh persamaa
yrtx =
Y
0 t
r x = t
yt rtβ
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 94
Dibuat partisi P = {t0, t1, t2, β¦, tn} pada [a,b] dengan a = t0 < t1 < t2 < β¦ < tn = b, maka
kurva akan terbagi menjadi n bagian oleh titik-titik Q0, Q1, Q2, β¦, Qn-1, Qn. Perhatikan gambar
berikut.
Pada bagian ke i, panjang busur Qi-1Qi , yaitu isΞ dapat didekati oleh . Dengan Pythagoras
kita peroleh
iwΞ
iwΞ = 22 )()( ii yx Ξ+Ξ
[ ] [ ]212
1 )()()()( ββ β+β= iiii tgtgtftf
Selanjutnya berdasarkan Teorema Nilai Rata-rata pada Derivatif tentu terdapat ),( 1 ii ttt ββ dan
demikian sehingga ),(Λ 1 ii ttt ββ
))((')()( 11 ββ β=β iiiii tttftftf
))(Λ(')()( 11 ββ β=β iiiii tttgtgtg
atau
iiii ttftftf Ξ=β β )(')()( 1
iiii ttgtgtg Ξ=β β )Λ(')()( 1
dengan . 1ββ=Ξ iii ttt
Oleh karena itu diperoleh
[ ] [ ]22 )Λ(')(' iiiii ttgttfw Ξ+Ξ=Ξ
[ ] [ ] iii ttgtf Ξ+= 22 )Λ(')('
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 95
dan panjang polygon dari segmen garis
[ ] [ ]ββ==
Ξ+=Ξn
iiii
n
ii ttgtfw
1
22
1)Λ(')('
Apabila P β 0 maka diperoleh panjang kurva seluruhnya adalah
[ ] [ ] [ ] [ ]β«β +=Ξ+==β
b
a
n
iiiiP
dttgtfttgtfL 22
1
22
0)(')(')Λ(')('lim
Jadi
[ ] [ ]β« +=b
a
dttgtfL 22 )(')('
atau
β« ββ β
βββ+β
β β
βββ=
b
a
dtdtdy
dtdxL
22
Jika persamaan kurvanya adalah y = f(x) dengan a β€ x β€ b, maka
β« ββ β
βββ+=
b
a
dxdxdyL
2
1
dan jika persamaan kurvanya adalah x = Ο(y) dengan c β€ y β€ d, maka
β« βββ
ββββ
β+=
d
c
dydydxL
2
1
Contoh 16
Hitunglah keliling lingkaran . 222 ryx =+
Penyelesaian:
Lingkaran tersebut dapat ditulis dalam persamaan parameter sebagai
x = r cos t, y = r sin t dengan Ο20 β€β€ t , sehingga trdtdx sinβ= dan tr
dtdy cos= .
Akibatnya [ ] rtrdtrdttΟ2
0
2 = β«rtrL ΟΟΟ
2cossin 20
2
0
222 ==+= β«
Contoh 17
Menggunakan integral hitunglah panjang ruas garis yang menghubungkan titik P(0, 1) dan
Q(5, 13).
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 96
Penyelesaian:
Persamaan ruas garis PQ adalah 15
12+= xy , sehingga
512
=dxdy
. Oleh karena itu
135
135
135
1215
0
5
0
5
0
2
=β₯β¦β€
β’β£β‘==β
β β
βββ+= β«β« xdxdxL
Contoh 18
Menggunakan integral hitunglah panjang kurva 23
xy = dari (1, 1) dan (4, 8).
Penyelesaian:
23
xy = , maka 21
23 x
dxdy
= . Oleh karenanya
63,78
1310278
491
278
491
231
23
23
4
1
23
4
1
4
1
2
21
ββββ
β
β
βββ
β
ββ=
β₯β₯
β¦
β€
β’β’
β£
β‘ββ β
βββ +=+=β
ββ
ββββ
β+= β«β« xdxxdxxL
Diferensial Panjang Busur
Misalkan f suatu fungsi yang dapat didiferensialkan pada [a, b]. Untuk setiap ),( baxβ
didefinisikan s(x) sebagai
β« +=x
a
duufxs 2)]('[1)(
maka s(x) adalah panjang kurva y = f(u) dari titik (a, f(a)) ke titik (x, f(x)), sehingga
22 1)]('[1)(' β
β β
βββ+=+==
dxdyxf
dxdsxs
β’
β’
a
Y
X 0
s(x)
x
(x, f(x))
(a, f(a))
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 97
Oleh karenanya diferensial panjang kurva ds dapat ditulis sebagai
dxdxdyds
2
1 ββ β
βββ+=
Selanjutnya hal ini dapat ditulis dalam bentuk-bentuk
dydydxds
2
1 βββ
ββββ
β+= atau dt
dtdy
dtdxds
22
ββ β
βββ+β
β β
βββ=
Untuk keperluan mengingat, dapat pula ditulis dalam bentuk: 222 )()()( dydxds +=
5.2.4 Luas Permukaan Benda Putar
Kita mulai dengan mencari rumus untuk luas permukaan (selimut) kerucut terpancung.
Misalkan jari-jari lingkaran alas kerucut terpancung adalah r1 dan jari-jari lingkaran atasnya r2
sedangkan panjang ruas garis pada pembangun kerucut antara dua lingkaran itu (rusuk kerucut
terpancung) l, maka luas selimut kerucut terpancung itu adalah
lrrA ββ β
βββ +
=2
2 21Ο
Apabila sebuah kurva pada suatu bidang diputar mengelilingi sebuah garis pada bidang
itu, maka hasilnya berupa permukaan benda putar dengan luas permukaan dapat dicari sebagai
berikut.
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 98
Pemutaran terhadap sumbu X
Misalkan suatu kurva mulus pada kuadran pertama diberikan oleh persamaan parameter
x = f(t), y = g(t), a β€ t β€ b. Dibuat partisi P = {t0, t1, t2, β¦, tn} pada [a,b] dengan
a = t0 < t1 < t2 < β¦ < tn = b, maka kurva terbagi menjadi n bagian. Misalkan panjang kurva
bagian ke i dan ordinat sebuah titik pada bagian ini. Apabila kurva itu diputar mengelilingi
sumbu X, maka ia akan membentuk suatu permukaan dan bagian ini akan membentuk
permukaan bagian. Luas permukaan bagian ini dapat dihampiri oleh luas kerucut terpancung,
yaitu
isΞ
iy
isΞ
ii sy ΞΟ2 .
Apabila kita jumlahkan luas-luas ini dan kemudian mengambil limitnya dengan membuat
0βP , kita akan memperoleh hasil yang kita definisikan sebagai luas permukaan benda
putar tersebut. Jadi luasnya adalah
β«β =Ξ==β
**
*1022lim dsysyA
n
iiiP
ΟΟ
Dengan menggunakan rumus A tersebut di atas, kita harus memberi arti yang tepat pada y, ds,
dan batas-batas pengintegralan * dan **.
Misalkan apabila permukaan itu terbentuk oleh kurva )(xfy = , a β€ x β€ b, yang diputar
mengelilingi sumbu X, maka kita peroleh untuk luasnya:
dxxfxfdsyAb
aβ«β« +== 2
**
*
)]('[1)(22 ΟΟ
Contoh 19
Tentukan luas permukaan benda putar apabila kurva xy = , 0 β€ x β€ 4, diputar mengelilingi
sumbu X.
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 99
Penyelesaian:
Misalkan xxf =)( maka x
xf2
1)(' = , sehingga
18,36)117(6
)14(32
4114
2112 2
34
0
234
0
4
0
2
ββ=β₯β₯β¦
β€
β’β’β£
β‘+=+=β
β
βββ
β+= β«β«ΟΟΟΟ xdxxdx
xxA
Apabila persamaan kurva yang bersangkutan diketahui dalam bentuk persamaan
parameter x = f(t), y = g(t), a β€ t β€ b, maka rumus untuk luas permukaan menjadi:
dttgtftgdsyAb
aβ«β« +== 22
**
*
)]('[)]('[)(22 ΟΟ
Contoh 20
Tentukan luas permukaan benda yang terbentuk apabila suatu busur dari sikloid
Ο20),cos1(),sin( β€β€β=β= ttayttax diputar mengelilingi sumbu X.
Penyelesaian:
Y
0 X 2
Misalkan dan )sin()( ttatf β= )cos1()( tatg β= , maka )cos1()(' tatf β= dan
, sehingga: tatg sin)(' =
dttatataA β« +ββ=Ο
Ο2
0
2222 sin)cos1()cos1(2
dttta β« ββ=Ο
Ο2
0
2 cos22)cos1(2
dtta β« β=Ο
Ο2
0
23
2 )cos1(22
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 100
dtta β« ββ β
βββ=
Ο
Ο2
0
32
2sin8
dttta β« ββ β
βββ
β₯β¦
β€β’β£
β‘ββ β
ββββ=
Ο
Ο2
0
22
2sin
2cos18
Dengan substitusi ββ β
βββ=
2cos tu maka dttdu β
β β
ββββ=
2sin
21
Untuk t = 0 β u = 1
Untuk t = 2Ο β u = β1
Jadi 21
1
321
1
22
364
3116)1(16 auuaduuaA ΟΟΟ =β₯β¦
β€β’β£β‘ ββ=ββ=
ββ
β«
Pemutaran terhadap sumbu Y
Analog:
Apabila sebuah kurva pada suatu bidang diputar mengelilingi sumbu Y, maka hasilnya
berupa permukaan benda putar dengan luas permukaannya adalah:
β«=**
*
2 dsxA Ο
Contoh 21
Tentukan luas permukaan benda yang terbentuk apabila kurva ayayax β€β€ββ= ,22
diputar mengelilingi sumbu Y.
Penyelesaian:
Misalkan 22)( yaygx β== maka 22
)('ya
yygβ
β= a
β a
X
X 0 sehingga β«β«
β β+β==
a
a
dyya
yyadsxA 22
222
**
*
122 ΟΟ
[ ]β«β
β ===a
a
aa ayadya 2422 ΟΟΟ
Dengan demikian luas permukaan bola dengan jari-jari a adalah 4Οa2.
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 101
5.2.5 Usaha atau Kerja
Dalam fisika kita tahu bahwa apabila ada gaya F yang konstan menggerakkan suatu
benda sehingga bergerak sejauh d sepanjang suatu garis dengan arah gaya dan gerakan benda
sama, maka kerja W yang dilakukan oleh gaya tersebut adalah
W = F . d
Apabila satuan untuk F adalah pond an satuan jarak adalah kaki maka satuan kerja
adalah kaki pond. Apabila gaya diukur dengan satuan dyne dan jarak dengan satuan sentimeter
maka satuan kerja adalah dyne cm atau erg. Apabila gaya diukur dengan satuan Newton dan
jarak dengan satuan meter maka satuan kerja adalah Newton meter atau joule.
Pada kenyataannya biasanya gaya itu tidak konstan. Misalkan sebuah benda digerakkan
sepanjang sumbu X dari titik x = a ke titik x = b. Misalkan gaya yang menggerakkan benda
tersebut pada jarak x adalah F(x) dengan F suatu fungsi kontinu. Untuk menentukan kerja yang
dilakukan gaya tersebut dapat dicari sebagai berikut.
Interval [a,b] dibagi dengan menggunakan partisi P = {x0, x1, x2, β¦, xn}. Pada setiap
interval bagian [xi-1, xi] gaya F dapat dihampiri oleh gaya konstan F(wi), dengan wi β [xi-1, xi]
untuk setiap i = 1, 2, β¦, n. Jika Ξxi = xi β xi-1, maka kerja yang dilakuka gaya F pada interval
bagian [xi-1, xi] adalah
ΞWi = F(wi) Ξxi.
Jika dijumlahkan kemudian dicari limitnya untuk 0βP maka diperoleh kerja yang
dilakukan gaya F pada interval [a, b], yaitu
β«β =Ξ==β
b
a
n
iiiP
dxxFxwFW )()(lim10
Jadi
β«=b
a
dxxFW )(
a. Aplikasi pada Pegas
Dengan menggunakan hokum Hooke yang berlaku dalam fisika, gaya F(x) yang
diperlukan untuk menarik (atau menekan) pegas sejauh x satuan dari keadaan alami adalah
F(x) = k.x
Di sini, k adalah konstanta dan disebut konstanta pegas yang nilainya positif dan tergantung
pada sifat fisis pegas. Semakin keras pegas, maka semakin besar nilai k.
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 102
Contoh 22
Apabila panjang alami sebuah pegas adalah 10 inci. Untuk menarik dan menahan pegas sejauh
2 inci diperlukan gaya 3 pon. Tentukan kerja yang dilakukan gaya untuk menarik pegas itu
sehingga panjang pegas 15 inci.
Penyelesaian:
Menurut hokum Hooke gaya F(x) yang diperlukan untuk menarik pegas sejauh x inci
adalah F(x) = k.x. Dari sini dapat dicari nilai konstanta k. Diketahui bahwa F(2) = 3, sehingga
3 = k.2 atau 23
=k . Oleh karena itu xxF23)( = .
Apabila pegas dalam keadaan alami sepanjang 10 inci menyatakan x = 0, maka pegas dengan
panjang 15 inci menyatakan bahwa x = 5, sehingga
75,18475
235
0
=== β« dxxW
Jadi, kerja untuk menarik pegas itu adalah 18,75 inci pond.
b. Aplikasi pada Pemompaan Cairan
Dengan menggunakan prinsip-prinsip yang sama dapat dihitung kerja yang dilakukan
pada pemompaan cairan.
Contoh 23
Sebuah tangki berbentuk kerucut lingkaran tegak penuh dengan air. Apabila tinggi tangki 10
kaki dan jari-jari lingkaran atasnya 4 kaki,
a. tentukan kerja untuk memompa air sehingga sampai tepi tangki
b. tentukan kerja untuk memompa air sehingga mencapai 10 kaki di atas tepi tangki.
10 β y
y
X
Y Y
Ξy
10 β y
y
Ξy
(4, 10)
y104
xy 104=
X
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 103
Penyelesaian:
a. Letakkan tangki dalam system koordinat seperti tampak dlam gambar. Buatlah sketsa
yang berdimensi tiga dan juga sketsa penampang dimensi dua. Misalkan air dimasukkan ke
dalam kerucut-kerucut terpancung (horizontal),
Air ini harus diangkat sehingga mencapai tepi tangki. Perhatikan sebuah kerucut terpancung ke
i dengan tinggi yang berjarak y dari puncak kerucut (puncak kerucut berada di bawah),
memiliki jari-jari
yΞ
y104
, maka ia mempunyai volume hampiran yyV Ξββ β
βββ=Ξ
2
104Ο dan
beratnya (gaya berat) yyF Ξββ β
βββ=
2
104ΟΞ΄ , dengan Ξ΄ = 62,4 adalah kepadatan air dalam satuan
pon/kaki kubik. Gaya yang diperlukan untuk mengangkat air tersebut adalah sama dengan
beratnya dan harus diangkat sejauh 10 β y. Jadi kerja WΞ adalah
)10(104 2
yyyW βΞββ β
βββ=Ξ ΟΞ΄
Karenanya, apabila dijumlahkan kemudian dicari limitnya diperoleh
138,2641
310
254)10(
254 10
0
4310
0
32 ββ₯β¦β€
β’β£β‘ β=β= β« yydyyyW ΟΞ΄ΟΞ΄
Jadi kerja untuk memompa air sehingga sampai ke tepi tangki adalah 26,138 kaki pond.
b. Seperti dalam a, sekarang air dalam kerucut terpancung harus diangkat 20 β y,
sehingga
69,13041
320
254)20(
254)20(
104 10
0
4310
0
3210
0
2
ββ₯β¦β€
β’β£β‘ β=β=ββ
β β
βββ= β«β« yydyyydyyyW ΟΞ΄ΟΞ΄ΟΞ΄
Jadi kerja untuk memompa air sehingga sampai ke tepi tangki adalah 130,690 kaki pond.
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 104
5.2.6 Momen dan Pusat Massa (Titik Berat)
Misalkan ada dua benda masing-masing memiliki massa sebasar m1 dan m2 yang
diletakkan pada papan berimbang dengan jarak berturut-turut d1 dan d2 dari titik penyangga
pada bagian-bagian yang berbeda. Keadaan tersebut akan seimbang jika dipenuhi
d1 m1 = d2 m2.
d1 d2 m1 m2
Suatu model amtematis yang baik diperoleh apabila papan tersebut kita letakkan pada
suatu system bandmil yang titik asalnya kita impitkan dengan titik penyangga papan, maka
koordinat x1 dari massa m1 adalah x1 = βd1 dan dari massa m2 adalah x2 = βd2. Jadi syarat
keseimbangan adalah
x1 m1 + x2 m2 = 0
m1 m2
x1 x1 0
Hasil kali massa m dan jarak berarah dari suatu titik tertentu dinamakan momen
partikel (benda) terhadap titik tersebut. Momen ini mengukur kecenderungan massa yang
menghasilkan suatu putaran pada titik tersebut. Syarat supaya dua massa pada sebuah garis
berimbang adalah jumlah momen-momen terhadap titik itu sama dengan nol.
Keadaan tersebut dapat diperluas untuk sejumlah n benda (partikel). Jumlah momen M
(terhadap titik asal) suatu system yang terdiri atas n massa, yaitu m1, m2, β¦, mn yang berbeda
pada x1, x2, β¦, xn pada sumbu X adalah jumlah momen masing-masing massa, yaitu
M = x1 m1 + x2 m2 + β¦ + xn mn = β=
n
iii mx
1
Syarat keseimbangan di titik asal adalah M = 0. Tentunya titik asal tedak selalu menjadi titik
seimbang system tersebut, kecuali dalam hal khusus. Akan tetapi pasti terdapat titik seimbang
dalam suatu system tersebut. Misalkan x merupakan koordinat titik seimbang system pada
sumbu X, maka momen terhadap titik tersebut harus nol. Jadi berlaku
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 105
0)(...)()( 2211 =β++β+β nn mxxmxxmxx
atau
0...222111 =β++β+β nnn mxmxmxmxmxmx
nnn mxmxmxmxmxmx +++=+++ ...... 212211
sehingga diperoleh
mM
m
mxx n
ii
n
iii
==
β
β
=
=
1
1
Titik dengan koordinat x dinamakan pusat massa, titik ini adalah titik seimbang. Perhatikan
bahwa x diperoleh sebagai hasil bagi momen system terhadap titik asal dan jumlah massa.
a. Distribusi massa yang kontinu pada suatu garis
Perhatikan sepotong kawat lurus dengan kepadatan massa (massa tiap satuan panjang)
yang berlainan. Kita ingin mengetahui kedudukan titik berat kawat itu. Untuk ini kita letakkan
kawat itu sepanjang system koordinat (dengan batas-batas x = a dan x = b) dan andaikan
kepadatan di x adalah Ξ΄(x). Dengan menggunakan prosedur yang sudah kita lakukan untuk
berbagai macam fenomena di depan, dibuat partisi, metode hampiran dan dicari limitnya,
dengan memperhatika bagian sepanjang xΞ , sehingga xxm ΞβΞ )(Ξ΄ berakibat
xxxM ΞβΞ )(Ξ΄ , diperoleh
β«=b
a
dxxm )(Ξ΄ dan β«=b
a
dxxxM )(Ξ΄
Akhirnya maka diperoleh
β«
β«== b
a
b
a
dxx
dxxx
mMx
)(
)(
Ξ΄
Ξ΄
Contoh 24
Kepadatan Ξ΄(x) sepotong kawat di sebuah titik yang terletak x cm dari salah satu ujungnya
adalah Ξ΄(x) = 3x2 g/cm. Tentukan pusat massa kawat antara x = 0 dan x = 10.
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 106
Penyelesaian:
0 10
Dengan memperhatika Ξ΄(x) jelas bahwa kawat dibagian x = 10 lebih berat dari pada di bagian
x = 0, sehingga pusat massanya akan lebih dekat ke x = 10. Secara pasti bahwa pusat massanya
adalah
[ ][ ] 5,7
3
3
100
3
10
04
43
10
0
2
10
0
2
===
β«
β«
x
x
dxx
dxxxx
b. Distribusi massa yang kontinu pada bidang
Perhatika n partikel yang masing-masing memiliki massa m1, m2, β¦, mn yang terletak
pada bidang koordinat berturut-turut di , , β¦, . ),( 11 yx ),( 22 yx ),( nn yx
m1 β’ (x1, y1)
m3 β’ (x3
m4 β’ (x4, y4)
mn β’ (xn, yn)
m2 β’ (x2, y2)
, y3)
Jumlah momen n partikel terhadap sumbu Y adalah
β=
=+++=n
iiinnY mxmxmxmxM
12211 ...
Sedangkan jumlah momen n partikel terhadap sumbu X adalah
β=
=+++=n
iiinnX mymymymyM
12211 ...
Koordinat pusat massa system tersebut adalah ),( yx dengan
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 107
β
β
=
=== n
ii
n
iii
Y
m
mx
mMx
1
1 dan
β
β
=
=== n
ii
n
iii
X
m
my
mMy
1
1
Persoalan yang kita hadapi sekarang adalah menentukan pusat massa lamina, yaitu
sepotong lempeng tipis yang rata.
Misalkan lamina ini homogen, yang berarti kepadatan Ξ΄ adalah konstan. Untuk suatu
lempeng homogen yang berbentuk persegi panjang, pusat massanya terletak pada perpotongan
kedua diagonalnya.
Jika diketahui lamina homogen berbentuk persegi panjang L mempunyai kepadatan
massa Ξ΄ konstan dan garis lurus terletak pada bidang yang memuat lamina tersebut, maka
momen lamina L terhadap garis adalah
l
l
mdLM =)(l
dengan d : jarak pusat massa lamina L ke garis l
m : massa lamina yang dapat dihitung dari m = Ξ΄ A (disini A adalah luas lamina L)
ilustrasi ini dapat dilihat pada gambar berikut.
d
l
L
Selanjutnya perhatikan lamina homogen L dengan kepadatan massa Ξ΄ dibatasi oleh
kurva , , x = a, dan x = b dengan )(xfy = )(xgy = )()( xfxg β€ .
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 108
Dibuat partisi P = {x0, x1, x2, β¦, xn} pada [a,b]. Untuk setiap i = 1, 2, β¦, n dipilih satu titik
],[ 1 iii xxx ββ yang merupaka titik tengah sub interval [xi-1, xi], maka 2/)( 1β+= iii xxx .
Selanjutnya dibuat persegi panjang dengan panjang )]()([ ii xgxf β dan lebar 1ββ=Ξ iii xxx
sebagai lamina hampiran . Tentu pusat massa lamina berada di garis iL iL ixx = , tepatnya
berada pada koordinat ββ β
βββ +
2)()(,ix ii xgxf
. Oleh karena itu momen terhadap sumbu Y
adalah
iL
iiiY mxLM =)(
ii Ax Ξ΄=
iiii xxgxfx Ξβ= )]()([Ξ΄
Kita peroleh jumlahan
ββ==
Ξβ=n
iiiii
n
iiY xxgxfxLM
11)]()([)( Ξ΄
Apabila P β 0, maka diperoleh momen lamina L terhadap sumbu Y, yaitu
β=β
=n
iiYPY LMLM
10)(lim)(
β=β
Ξβ=n
iiiiiP
xxgxfx10
)]()([limΞ΄
β« β=b
a
dxxgxfx )]()([Ξ΄
Jadi
β« β=b
aY dxxgxfxLM )]()([)( Ξ΄
Selanjutnya perhatikan bahwa momen terhadap sumbu X adalah iL
iii
iX mxgxfLM2
)()()( +=
iii AxgxfΞ΄
2)()( +
=
iiiii xxgxfxgxf
Ξβ+
= )]()([2
)()(Ξ΄
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 109
iii xxgxf Ξβ= ])}({)}([{2
22Ξ΄
Kita peroleh jumlahan
ββ==
Ξβ=n
iiii
n
iiX xxgxfLM
1
22
1])}({)}([{
2)( Ξ΄
Apabila P β 0, maka diperoleh momen lamina L terhadap sumbu X, yaitu
β=β
=n
iiXPX LMLM
10)(lim)(
β=β
Ξβ=n
iiiiP
xxgxf1
22
0])}({)}([{lim
2Ξ΄
β« β=b
a
dxxgxf ])}({)}([{2
22Ξ΄
Jadi
β« β=b
aX dxxgxfLM ])}({)}([{
2)( 22Ξ΄
Selanjutnya massa lamina L adalah m(L) = Ξ΄ A
Jadi
β« β=b
a
dxxgxfLm )]()([)( Ξ΄
Oleh karena itu diperoleh koordinat pusat massa lamina L adalah ),( yx dengan
β«
β«
β«
β«
β
β=
β
β== b
a
b
ab
a
b
aY
dxxgxf
dxxgxfx
dxxgxf
dxxgxfx
LmLMx
)]()([
)]()([
)]()([
)]()([
)()(
Ξ΄
Ξ΄
β«
β«
β«
β«
β
β=
β
β== b
a
b
ab
a
b
aX
dxxgxf
dxxgxf
dxxgxf
dxxgxf
LmLMy
)]()([
])}({)}([{21
)]()([
])}({)}([{2
)()(
2222
Ξ΄
Ξ΄
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 110
Contoh 25
Diketahui suatu lamina homogen L dengan kepadatan massa Ξ΄ konstan, yang merupakan
daerah tertutup yang dibatasi kurva dan 3xy = xy = . Tentukan
a. momen L terhadap sumbu Y
b. momen L terhadap sumbu X
c. massa lamina L
d. pusat massa lamina L.
Penyelesaian:
Dapat dicari bahwa perpotongan kedua kurva adalah (0, 0) dan (1, 1), sehingga batas-
batas x adalah 0 dan 1.
a. δδδ51
51
52][)(
1
0
5251
0
3 =β₯β₯β¦
β€
β’β’β£
β‘β=β= β« xxdxxxxLM Y
b. { } { }[ ] δδδ285
71
21
22)(
1
0
721
0
232=β₯β¦
β€β’β£β‘ β=β= β« xxdxxxLM X
c. δδδ125
41
32][)(
1
0
4231
0
3 =β₯β₯β¦
β€
β’β’β£
β‘β=β= β« xxdxxxLm
d. 2512
12551
)()(
===Ξ΄
Ξ΄
LmLMx Y dan
73
125285
)()(
===Ξ΄
Ξ΄
LmLMy X
Jadi koordinat pusat massa lamina L adalah ββ β
βββ=
73,
2512),( yx