Download pdf - Kalkylens och analys historia

Kalkylens och analys historia

Vladimir Tkatjev ht2015

Några motiveringar för framväxt

1. Beräkning av areor begränsade av kurvor, volymer

begränsade av ytor, tyngdpunkters läge m.m.

2. Givet en funktion, finn dess maxima och minima.

3. Givet en kurva, finn i en given punkt på kurvan dess

tangent.

4. Givet en kropps acceleration som funktion av tiden,

finns dess läge och hastighet.

Viktigaste etapper in kalkylens utveckling

• Areaberäkningar och volymsberäkningar (Arkimedes, Eudoxes)

• Decimala positionssystem (Al-Khwarizmi, Al-Kashi, Stevin)

• Trigonometri och logaritmer (Hipparchus, Pitiscus m.m., Napier)





• Astronomiska observationer och lagar (Brahe, Kepler)

• Reella talen som ett begrepp (Stevin, Viète, Napier)

• Matematiska skriftliga språket utvecklas och förfinas (Viète, Descartes)

• Koordinatsystem (Appolonius, Descartes)









• Areaberäkningar (kvadraturer) och volymsberäkningar för godtyckliga kurvor

och kroppar (Kepler, Cavalieri, Torricelli, Fermat, Wallis)

• Likformigt accelererad rörelse (Galilei)

• Tangenter till kurvor och extremproblem (Fermat, Descartes, Barrow, Roberval)









• Areaberäkningar (kvadraturer) och volymsberäkningar för godtyckliga kurvor

och kroppar (Kepler, Cavalieri, Torricelli, Fermat, Wallis)

• Likformigt accelererad rörelse (Galilei)

• Tangenter till kurvor och extremproblem (Fermat, Descartes, Barrow, Roberval)

• Newtons Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica

• Infinitesimalkalkyl av Newton och Leibniz

• Bernoulli bröderna och Euler

• Demokritos härledning av pyramidens volym (ca 400 f.Kr.)

• Arkimedes och Evdoxos använder infinitesimala metoder och

uttömningsmetoden för att bestämma areor och volymer (ca 250 f.Kr.)

• Eudoxus: Om man från en given storhet tar bort mer an hälften av den, sedan

från återstoden tar bort mer an hälften o.s.v., har men efter ändligt många steg

en rest som är mindre än varje annan förut given storhet.

• Arkimedes axiom: givet två sträckor 𝑎 och 𝑏 finns det ett heltal 𝑛 så att 𝑛𝑎 > 𝑏


Parabelns kvadratur

Arkimedes (287 - 212 f.Kr.) bestämde arean av ett parabelsegment genom att

succesivt fylla ut segmentet med trianglar vars areor han kunde bestämma.

Sats 24 i Parabolens kvadratur: Parabolbitens area är fyra tredjedelar så stor

som grundtriangelns area.

Idé: att visa att de två inskrivna trianglarna 𝑃𝑅𝑄 och 𝑃𝑟𝑞 har det samma arean

som är en åttondedel av grundtriangelns 𝑃𝑄𝑞 area, och applicera geometriska

summan:

1 +1

4+1

16+⋯+

1

4𝑘… =

1

1−1

4

=4

3

Motsvarande problem att finna arean under en kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) försökte man

på 1600-talet lösa genom att finna metoder for att summera rektangelareor



Astronomi

• Tycho Brahes observations av planeten Mars (1500-talet): planeter

rör sig längs elliptiska planetbanor

• Keplers lagar (1500-talet): solen ligger in ellipsens brännpunkt samt

gäller det att förhållande 𝑇2

𝑟3 ger samma konstant för alla planeter:

• Varför just ellipsen?...

• Newtons gravitationslagen (1687): nya matematiken krävdes!

Mercury Venus Jorden Mars Jupiter Saturnus

Period

(jordens dagar) 88 224 365 687 4332 10760

Radie (106 km) 58 108 150 228 778 1429

𝑇2

𝑟3

0,0398 0,0400 0,0395 0,0398 0,0398

0,0397

Bonaventura Cavalieri (1598-1647)

• Italiensk matematiker, verksam i Bolonga

• Geometria Indivisibilibus…(1635):

• Cavalieri princip: Alla plana figurer som konstrueras mellan samma

parallella linjer, inuti vilka godtyckliga linjer som är dragna på

konstant avstånd från de parallella linjerna är lika stora i de delar

som innesluts av figurerna, kommer att vara lika stora.

• Samma princip gäller volymer:

Grupparbete

Visa att halvklotets volym är lika med volymen

av konens komplementet inuti omskrivna

cylinder:

Kvadraturer

• Evangelista Torricelli (1608-1647) visade att en oändligt lång

kropp vid rotation kunde generera en ändlig volym. Exempel:

rotera 𝑦 =1

𝑥 för 𝑥 > 1 kring 𝑥-axeln.

• Gilles de Roberval (1602-1675): kvadraturen av cykloid (en

kurva som bildas av en punkt på en rullande cirkel) m.m.

en cykloid:

• Rene Descartes (1596-1650): löste geometriska problem med

algebra och omvänt, löste algebraiska ekvationer geometriskt.

Löste bl.a. tangent och subnormalproblem

Vi söker det största värdet av uttrycket 𝑎𝑥 − 𝑥2. Fermat visste från Euklides att det största

värdet är 𝑎2

4. Alltså finns det exakt två rötter till ekvationen för alla värde 𝑐 som mindre än

𝑎2

4,

se bilden. Idén går tillbaka till Viète: antar att 𝑥1 och 𝑥2 är rötter

av andragradsekvationen 𝑎𝑥 − 𝑥2 = 𝑐, d.v.s.

𝑎𝑥1 − 𝑥12 = 𝑎𝑥2 − 𝑥2

2

Konjugatregeln ger

𝑎𝑥1 − 𝑎𝑥2 = 𝑥22 − 𝑥1

2 = 𝑥2 − 𝑥1 𝑥2 + 𝑥1

och efterföljande division med 𝑥2 − 𝑥1 ger 𝑥2 + 𝑥1 = −𝑎.

När 𝑐 närmar sig det största värde, de två rötterna sammanfaller, d.v.s. 𝑥2 = 𝑥1 = −𝑎/2

vilket ger det största värdet 𝑎2

4.

Det gav Fermat en metod för att studera enklaste extremproblem. I den moderna

formuleringen handlar det om kritiska punkter, dvs derivatornas nollställe.

Räkna med Fermat (adaequalitas)

Metoden byggs på att man likställer 𝑓(𝑥) och 𝑓(𝑥 + 𝑒). Fermat använder ett latinskt ord

adequate (”to equal”). Till exempel, vi söker extrempunkter hus kurvan 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 𝑥2. Adequate:

2𝑥 − 𝑥2 = 2(𝑥 + 𝑒) − (𝑥 + 𝑒)2 2𝑒 − 2𝑥𝑒 − 𝑒2 = 0 2 − 2𝑥 − 𝑒 = 0

vilket ger 𝑥 = 1.

Med hjälp av samma metod bestämmer Fermat även tangentens ekvation.

Men det orsakade ett klurigt metodologiskt problem om division med noll.

Räkna med Fermat (adaequalitas)

Kvadratur (areaberäkningar): Räkna arean under kurvan 𝑦 = 𝑥3 där 𝑥 = 0…𝑎.

Den moderna beteckningen 𝑥3𝑑𝑥𝑎

0.

Fermat delar intervallet med hjälp av en geometrisk talföljd:

0 < ⋯ < 𝑞3𝑎 < 𝑞2𝑎 < 𝑞𝑎 < 𝑎

där 𝑞 → 1 ger arean (se figuren).

Rektanglarnas area över kurvan räknas då som

𝑎3 𝑎 − 𝑎𝑞 + 𝑎𝑞 3(𝑎𝑞 − 𝑎𝑞2) + 𝑎𝑞2 3(𝑎𝑞2 − 𝑎𝑞3) + ⋯

= 𝑎4 1 − 𝑞 1 + 𝑞4 + 𝑞8 +⋯

=𝑎4(1 − 𝑞)

1 − 𝑞4=

𝑎4

1 + 𝑞 + 𝑞2 + 𝑞3→𝑎4

4

Räkna med Fermat: kvadraturer

Det mest produktiva perioden 1665-1666 när han vistades på landet (Woolsthorpe)

• Lärare: Isaac Barrow

• Halleys komet 1684

Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (1687)

• Binomialteoremet för 1 − 𝑥 𝑎

• oändliga serier

• differentialkalkylen (fluxionsmetod)

• gravitationslagen

Bl.a.

• Differentialen (momenta)

• ’Lemma 2’ ger produktregeln för derivata

Isaac Newton (1642-1727)

• Binomialsatsen:

𝑥 + 𝑦 𝑛 = 𝑛

𝑖

𝑛

𝑖=0

𝑥𝑛𝑦𝑛

Även för reella 𝑛, t.ex.

• Newtons rörelselagar

𝐹 = 𝑚 ⋅𝑑𝑣

𝑑𝑡= 𝑚𝑎


k

k

xk

xx

0

2/1 2/111

Se även Newtons manuskript


http://cudl.lib.cam.ac.uk/collections/newton

Gottfrid Wilhelm Leibniz (1646-1716)

• Tysk matematiker, filosof

• Leibniz är den som använde de beteckningar i analys vi använder idag

𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑠,𝑑𝑦

𝑑𝑥,𝑑2𝑦

𝑑𝑥2, 𝑦𝑑𝑥

• Karakteristiska triangel (sidor 𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑠)

• År 1675: för första gången skrivet 𝑦𝑑𝑥, kallad summa.

• Partiell integration som vi skriver i dag

Leibniz hade inte den dynamiska syn som Newton, som betraktade fluenter

som varierade med tiden. Där Newton såg hastigheter och sträckor såg Leibniz

differenser och summor. Kalkylen upptäcktes oberoende av dem, de var lika

lite rigorösa och en del missuppfattningar kom att orsaka en dispyt med

långvariga efterdyningar.

Analys efter Newton och Leibniz

Bernoulli: Schweizisk familj som producerat flera framstående matematiker. Bl.a.

• Jakob Bernoulli (grundarna till matematisk analys, isoperimetriskt problem, sannolikhetslära,

kombinatorik, Bernoullifördelning, Bernoullital)

• Johann Bernoulli (tillämpad matematik, en ekvation för kedjekurvan, partialbråksuppdelning)

• Daniel Bernoulli ( svängande strängen med hjälp av trigonometriska serier, hydrodynamik,

Bernoullis princip, sannolikhetslära)


Leonhard Euler (1707-1783), schweizisk matematiker som var verksam i Berlin och

Sankt Petersburg. En elev till Johann Bernoulli.

De första verken som använde kalkylen för att studera funktioner som allmänt begrepp

(och inte kurvor) skrevs av Euler, tidernas mest produktive matematiker och

problemlösare (under 60 år skrev 800(!) sidor om året).

För Euler var integration det invers till derivering, inte att räkna ut en area.

• Introductio in analysin infinitorum (1748) och Institutiones calculi differentialis (1755)

• Komplexa tal och deras betydelse för analys

• Eulers formel

• 1769 presenterar Euler begreppet dubbelintegral och gör variabelbyten.

• 𝜁-funktionen, bl.a. ett berömt samband (Baselproblemet) 𝜁 2 = 1 +1

22+1

32+1

42… =

𝜋2

6

• Elliptiska funktioner m.m.

• topologi: ett förhållande som gäller för alla konvexa polyedrar: 𝐻 − 𝐾 + 𝑆 = 2, där 𝐻

står för antalet hörn, K antalet kanter och S antalet sidor.


Rigorösa definitioner

Bernhard Bolzano (1781-1848) och Augustine Cauchy (1789-1857) gav goda

definitioner av de svåra begreppen gränsvärde, kontinuitet, derivata och integral.

Att de inte är vad vi har i dag beror på att man inte hade någon definition av

begreppet reellt tal. Konvergens och likformig konvergens var länge problematiska

och många misstag gjordes vid gränsövergångar och omsummeringar.

Först 1858 kunde Richard Dedekind (1831-1916) definiera reella tal med s k snitt.

Komplex analys

Cauchy och C.F. Gauss (1777-1855)

Från ca 1820 utvecklades analysen med komplexvärda funktioner av komplexa

variabler av bl. a. Cauchy och Gauss. Den senares doktorsavhandling 1799 är ett

bevis för algebrans fundamentalsats som säger att varje polynom har ett

nollställe.

Referenser

• T. Hall, Matematikens utveckling, Gleerups, 1970

• B.G. Johansson, Matematikens historia, Studentlitteratur, 2004

• J. Thompson, Matematiken i historien, Studentlitteratur, 1996

• S. Kaijser, Den kurviga vägen till kalkylen, 2010

• B. Sjöberg, Från Euklides till Hilbert, Åbo Akademi, 2001

• O. Axling, Analysens och kalkylens historia, föreläsningsanteckningar

• Wikipedia

http://www2.math.uu.se/~sten/mhd/normkalq.pdf