Kapitel 2
Euklidische Geometrie
Kapitel 2
Euklidische Geometrie
Kapitel 2 © Beutelspacher
Januar 2004Seite 2
InhaltInhalt
2.1 Was ist Geometrie?
2.2 Axiome
2.3 Kongruenzsätze
2.4 Besondere Geraden im Dreieck und ihre Schnittpunkte
2.5 Der Kreis
2.6 Der Satz des Pythagoras
2.7 Die Strahlensätze
2.8 Beweisarten
2.1 Was ist Geometrie?
2.2 Axiome
2.3 Kongruenzsätze
2.4 Besondere Geraden im Dreieck und ihre Schnittpunkte
2.5 Der Kreis
2.6 Der Satz des Pythagoras
2.7 Die Strahlensätze
2.8 Beweisarten
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Januar 2004Seite 3
2.1 Was ist Geometrie?2.1 Was ist Geometrie?
• Geometrie ist die Wissenschaft von dem uns umgebenden
Raum.
• Geometrie ist das älteste mathematische Teilgebiet. Viele
Jahrhunderte lang war Mathematik im wesentlichen Geometrie. Es
gab keine Analysis, keine Algebra, keine Stochastik ...
• Ägyptern und die Babylonier (ab 3000 v. Chr.): Geometrie ist eine
Naturwissenschaft. Man fragte nicht nach logischer Ableitbarkeit,
sondern nach Übereinstimmung mit der Realität.
Man „wusste” zum Beispiel, wie man rechte Winkel konstruieren
konnte, und das reichte.
• Geometrie ist die Wissenschaft von dem uns umgebenden
Raum.
• Geometrie ist das älteste mathematische Teilgebiet. Viele
Jahrhunderte lang war Mathematik im wesentlichen Geometrie. Es
gab keine Analysis, keine Algebra, keine Stochastik ...
• Ägyptern und die Babylonier (ab 3000 v. Chr.): Geometrie ist eine
Naturwissenschaft. Man fragte nicht nach logischer Ableitbarkeit,
sondern nach Übereinstimmung mit der Realität.
Man „wusste” zum Beispiel, wie man rechte Winkel konstruieren
konnte, und das reichte.
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Pythagoras von Samos (ca. 580 v. Chr. - 500 v. Chr.)Pythagoras von Samos (ca. 580 v. Chr. - 500 v. Chr.)
• Die alten Griechen entdeckten die Macht des Denkens:
Man kann durch reines Denken Erkenntnisse erzielen!
• Das Denken folgt gewissen Regeln, den Gesetzen der Logik: Wenn
die Voraussetzungen eines logischen Schlusses gegeben sind, dann
gilt automatisch auch die Folgerung. Die Griechen entdeckten die
Logik und damit auch die Möglichkeit der Mathematik.
• Im Mittelalter gab es den Ausdruck „more geometrico” („nach
geometrischer Art”). Damit wurden Argumentationsketten
bezeichnet, die streng logisch aufgebaut waren.
• Die alten Griechen entdeckten die Macht des Denkens:
Man kann durch reines Denken Erkenntnisse erzielen!
• Das Denken folgt gewissen Regeln, den Gesetzen der Logik: Wenn
die Voraussetzungen eines logischen Schlusses gegeben sind, dann
gilt automatisch auch die Folgerung. Die Griechen entdeckten die
Logik und damit auch die Möglichkeit der Mathematik.
• Im Mittelalter gab es den Ausdruck „more geometrico” („nach
geometrischer Art”). Damit wurden Argumentationsketten
bezeichnet, die streng logisch aufgebaut waren.
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Geometrie und WirklichkeitGeometrie und Wirklichkeit
• Platon (427 v. Chr. - 347 v. Chr.): Es gibt zwei Welten: die Welt der
Ideen (die eigentliche Welt) und die Welt der Erscheinungen (die nur
ein Abbild (Schatten) der Idealen Welt ist).
• Immanuel Kant (1724 - 1804): Geometrie ist ein Produkt unseres
Verstandes: „synthetische Urteile a priori”.
• David Hilbert (1862 - 1943): Wir definieren nicht, was ein “Punkt” ist;
wir legen nur die Spielregeln fest. (Analog zum Schachspiel). “Man
muss jederzeit an Stelle von ‘Punkte, Geraden, Ebenen’ ‘Tische,
Stühle, Bierseidel’ sagen können.”
• Platon (427 v. Chr. - 347 v. Chr.): Es gibt zwei Welten: die Welt der
Ideen (die eigentliche Welt) und die Welt der Erscheinungen (die nur
ein Abbild (Schatten) der Idealen Welt ist).
• Immanuel Kant (1724 - 1804): Geometrie ist ein Produkt unseres
Verstandes: „synthetische Urteile a priori”.
• David Hilbert (1862 - 1943): Wir definieren nicht, was ein “Punkt” ist;
wir legen nur die Spielregeln fest. (Analog zum Schachspiel). “Man
muss jederzeit an Stelle von ‘Punkte, Geraden, Ebenen’ ‘Tische,
Stühle, Bierseidel’ sagen können.”
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2.2. Axiome2.2. Axiome
• Die axiomatische Methode
• Die Axiome
• Winkel
• Kongruenz
• Kongruenzsätze
• Winkelsummensatz
• Die axiomatische Methode
• Die Axiome
• Winkel
• Kongruenz
• Kongruenzsätze
• Winkelsummensatz
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Euklid (ca. 300 v. Chr.)Euklid (ca. 300 v. Chr.)
• Die „Elemente“: Eines der Bücher, die die Welt veränderten.
Es hat einen kaum vorstellbaren Einfluß auf die Entwicklung der
Wissenschaft gehabt.
Die Geschichte der Mathematik wäre ohne dieses Buch völlig anders
verlaufen.
Es ist das mit Abstand wichtigste Mathematikbuch aller Zeiten.
• Ziel war es, das damalige mathematische Wissen
systematisch zusammenzufassen.
• Die „Elemente“: Eines der Bücher, die die Welt veränderten.
Es hat einen kaum vorstellbaren Einfluß auf die Entwicklung der
Wissenschaft gehabt.
Die Geschichte der Mathematik wäre ohne dieses Buch völlig anders
verlaufen.
Es ist das mit Abstand wichtigste Mathematikbuch aller Zeiten.
• Ziel war es, das damalige mathematische Wissen
systematisch zusammenzufassen.
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Januar 2004Seite 8
Thema der Woche: EuklidThema der Woche: Euklid
• Wer war das?
• Wann und wo hat er gelebt?
• Was hat er gemacht?
• Worin liegt seine Bedeutung?
• …?
• Wer war das?
• Wann und wo hat er gelebt?
• Was hat er gemacht?
• Worin liegt seine Bedeutung?
• …?
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Die axiomatische MethodeDie axiomatische Methode
• Euklid präsentiert sein Material nicht wie eine Datenbank, aus der
man die Informationen beliebig abrufen kann,
• Es gibt Axiome (über Punkte und Geraden), die allem zugrunde
liegen,
es gibt Sätze; jeder Satz hat Voraussetzung und Behauptung
und muss rein logisch bewiesen werden.
Euklid hat einen de-facto Standard geschaffen, der nun fast 2300
Jahre lang die Mathematik definiert hat, und dies tun wird, solange
es Mathematik geben wird.
• Man nennt dies einen axiomatischen Aufbau der Geometrie.
• Euklid präsentiert sein Material nicht wie eine Datenbank, aus der
man die Informationen beliebig abrufen kann,
• Es gibt Axiome (über Punkte und Geraden), die allem zugrunde
liegen,
es gibt Sätze; jeder Satz hat Voraussetzung und Behauptung
und muss rein logisch bewiesen werden.
Euklid hat einen de-facto Standard geschaffen, der nun fast 2300
Jahre lang die Mathematik definiert hat, und dies tun wird, solange
es Mathematik geben wird.
• Man nennt dies einen axiomatischen Aufbau der Geometrie.
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Januar 2004Seite 10
Unsere AxiomeUnsere Axiome
• Inzidenzaxiom
• Linealaxiom
• Axiom von Pasch
• Geodreieckaxiom
• Kongruenzaxiom
• Parallelenaxiom
• Inzidenzaxiom
• Linealaxiom
• Axiom von Pasch
• Geodreieckaxiom
• Kongruenzaxiom
• Parallelenaxiom
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Das InzidenzaxiomDas Inzidenzaxiom
• Es gibt Punkte und Geraden;
jede Gerade ist eine Teilmenge der Punktmenge.
Durch je zwei verschiedene Punkten P und Q gibt es genau
eine Gerade; diese Gerade bezeichnen wir mit PQ.
Es gibt drei Punkte, die nicht auf einer gemeinsamen Geraden
liegen.
• Bemerkung: „Inzidenz“ bezeichnet die Situation, dass ein Punkt auf
einer Geraden liegt. Man sagt auch, der Punkt „inzidiert“ mit der
Geraden.
• Es gibt Punkte und Geraden;
jede Gerade ist eine Teilmenge der Punktmenge.
Durch je zwei verschiedene Punkten P und Q gibt es genau
eine Gerade; diese Gerade bezeichnen wir mit PQ.
Es gibt drei Punkte, die nicht auf einer gemeinsamen Geraden
liegen.
• Bemerkung: „Inzidenz“ bezeichnet die Situation, dass ein Punkt auf
einer Geraden liegt. Man sagt auch, der Punkt „inzidiert“ mit der
Geraden.
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Folgerungen 1 aus dem InzidenzaxiomFolgerungen 1 aus dem Inzidenzaxiom
2.2.1 Folgerung. Es gibt mindestens drei Geraden.
Beweis. Nach dem Inzidenzaxiom gibt es drei Punkte, die nicht auf
einer gemeinsamen Geraden liegen. Wir nennen sie P, Q und R.
Je zwei dieser Punkte bestimmen – ebenfalls nach dem Inzidenz-
axiom – eine Gerade. Also gibt es die Geraden PQ, QR und PR.
Diese Geraden sind verschieden! Wenn zum Beispiel PQ = QR
wäre, so würden auf dieser Geraden sowohl die Punkte P, Q als
auch die Punkte Q, R liegen. Also enthielte diese Gerade die
Punkte P, Q, R; diese Punkte waren aber genau so gewählt, dass
sie nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen.
2.2.1 Folgerung. Es gibt mindestens drei Geraden.
Beweis. Nach dem Inzidenzaxiom gibt es drei Punkte, die nicht auf
einer gemeinsamen Geraden liegen. Wir nennen sie P, Q und R.
Je zwei dieser Punkte bestimmen – ebenfalls nach dem Inzidenz-
axiom – eine Gerade. Also gibt es die Geraden PQ, QR und PR.
Diese Geraden sind verschieden! Wenn zum Beispiel PQ = QR
wäre, so würden auf dieser Geraden sowohl die Punkte P, Q als
auch die Punkte Q, R liegen. Also enthielte diese Gerade die
Punkte P, Q, R; diese Punkte waren aber genau so gewählt, dass
sie nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen.
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Januar 2004Seite 13
Folgerung 2 aus dem InzidenzaxiomFolgerung 2 aus dem Inzidenzaxiom
2.2.2 Folgerung. Je zwei verschiedene Geraden schneiden sich in
höchstens einem Punkt.
Beweis. Angenommen, es gäbe zwei verschiedene Geraden g und
h, die (mind.) zwei verschiedene Punkte P und Q gemeinsam
haben.
Dann wären P und Q zwei verschiedene Punkte, durch die zwei
verschiedene Geraden (nämlich g und h) gehen. Dies widerspricht
aber dem Inzidenzaxiom; denn durch je zwei verschiedene Punkte
geht genau eine Gerade (also insbesondere keine zwei Geraden).
2.2.2 Folgerung. Je zwei verschiedene Geraden schneiden sich in
höchstens einem Punkt.
Beweis. Angenommen, es gäbe zwei verschiedene Geraden g und
h, die (mind.) zwei verschiedene Punkte P und Q gemeinsam
haben.
Dann wären P und Q zwei verschiedene Punkte, durch die zwei
verschiedene Geraden (nämlich g und h) gehen. Dies widerspricht
aber dem Inzidenzaxiom; denn durch je zwei verschiedene Punkte
geht genau eine Gerade (also insbesondere keine zwei Geraden).
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Das LinealaxiomDas Linealaxiom
• Je zwei Punkten P, Q ist ihr Abstand PQ zugeordnet;
PQ ist eine reelle Zahl mit folgenden Eigenschaften:
PQ 0,
PQ = 0 genau dann, wenn P = Q ist;
PQ = QP,PQ PR + RQ (Dreiecksungleichung);
Gleichheit gilt genau dann, wenn P, Q, R auf einer gemein-
samen Geraden liegen und R „zwischen” P und Q liegt.
Jede nichtnegative reelle Zahl kommt als Abstand vor.
Bemerkung: Der Name kommt von einem „Lineal mit Skala“.
• Je zwei Punkten P, Q ist ihr Abstand PQ zugeordnet;
PQ ist eine reelle Zahl mit folgenden Eigenschaften:
PQ 0,
PQ = 0 genau dann, wenn P = Q ist;
PQ = QP,PQ PR + RQ (Dreiecksungleichung);
Gleichheit gilt genau dann, wenn P, Q, R auf einer gemein-
samen Geraden liegen und R „zwischen” P und Q liegt.
Jede nichtnegative reelle Zahl kommt als Abstand vor.
Bemerkung: Der Name kommt von einem „Lineal mit Skala“.
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Strecken und StrahlenStrecken und Strahlen
• Seien A und B zwei verschiedene Punkte.
Die Strecke zwischen A und B besteht aus allen Punkten
zwischen A und B und den Punkten A und B. Bezeichnung: AB
• Bemerkung: Unterscheiden Sie Strecken und Geraden:
Eine Strecke hat eine Länge, eine Gerade hat keine Länge.
• Seien A und B zwei verschiedene Punkte.
Der Strahl mit Anfangspunkt A in Richtung B besteht
(1) aus allen Punkten zwischen A und B
(2) allen Punkten C, so dass B zwischen A und C liegt und
(3) den Punkten A und B. Bezeichnung: AB
• Seien A und B zwei verschiedene Punkte.
Die Strecke zwischen A und B besteht aus allen Punkten
zwischen A und B und den Punkten A und B. Bezeichnung: AB
• Bemerkung: Unterscheiden Sie Strecken und Geraden:
Eine Strecke hat eine Länge, eine Gerade hat keine Länge.
• Seien A und B zwei verschiedene Punkte.
Der Strahl mit Anfangspunkt A in Richtung B besteht
(1) aus allen Punkten zwischen A und B
(2) allen Punkten C, so dass B zwischen A und C liegt und
(3) den Punkten A und B. Bezeichnung: AB
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DreieckeDreiecke
• Seien A, B, C drei Punkte, die nicht auf einer gemeinsamen
Geraden liegen. Dann bezeichnen wir mit ABC das Dreieck mit
den Ecken A, B, C und den Seiten AB, BC, CA.
• Bemerkung: Die Seiten eines Dreiecks sind Strecken und keine
Geraden.
• Seien A, B, C drei Punkte, die nicht auf einer gemeinsamen
Geraden liegen. Dann bezeichnen wir mit ABC das Dreieck mit
den Ecken A, B, C und den Seiten AB, BC, CA.
• Bemerkung: Die Seiten eines Dreiecks sind Strecken und keine
Geraden.
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Axiom von PaschAxiom von Pasch
• Moritz Pasch (1843-1930, Professor in Gießen)
• Ziel: Einteilung der Ebene in zwei „Halbebenen“
(rechts - links, oben - unten usw.).
• Axiom von Pasch: Sei ABC ein Dreieck, und sei g eine
Gerade, die keine Ecke des Dreiecks enthält.
Dann gilt: Wenn g eine Seite des Dreiecks ABC trifft,
dann trifft g genau eine weitere Seite von ABC.
• Moritz Pasch (1843-1930, Professor in Gießen)
• Ziel: Einteilung der Ebene in zwei „Halbebenen“
(rechts - links, oben - unten usw.).
• Axiom von Pasch: Sei ABC ein Dreieck, und sei g eine
Gerade, die keine Ecke des Dreiecks enthält.
Dann gilt: Wenn g eine Seite des Dreiecks ABC trifft,
dann trifft g genau eine weitere Seite von ABC.
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Wozu dient das Axiom von Pasch?Wozu dient das Axiom von Pasch?
Mit dem Axiom von Pasch kann man vernünftig definieren, wie eine
Gerade g die gesamte Ebene in „Halbebenen“ aufteilt:
Sei P ein Punkt außerhalb der Geraden g. Man bestimmt zwei
Punktmengen H und H‘ auf folgende Weise:
H besteht aus allen Punkten Q, so dass die Strecke PQ die
Gerade g nicht schneidet. H‘ besteht demgegenüber aus allen
Punkten R, so dass die Strecke PR die Gerade g schneidet.
Mit Hilfe des Axioms von Pasch kann man beweisen, dass die
Mengen H und H‘ unabhängig von der Auswahl des Punktes P
sind und alle Eigenschaften von Halbebenen haben.
Mit dem Axiom von Pasch kann man vernünftig definieren, wie eine
Gerade g die gesamte Ebene in „Halbebenen“ aufteilt:
Sei P ein Punkt außerhalb der Geraden g. Man bestimmt zwei
Punktmengen H und H‘ auf folgende Weise:
H besteht aus allen Punkten Q, so dass die Strecke PQ die
Gerade g nicht schneidet. H‘ besteht demgegenüber aus allen
Punkten R, so dass die Strecke PR die Gerade g schneidet.
Mit Hilfe des Axioms von Pasch kann man beweisen, dass die
Mengen H und H‘ unabhängig von der Auswahl des Punktes P
sind und alle Eigenschaften von Halbebenen haben.
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Januar 2004Seite 19
WinkelWinkel
• Seien R, S und T drei Punkte nicht auf einer Geraden. Winkel
RST ist die Vereinigung der Strahlen SR und ST; das heißt:
RST = SR ST.
Man nennt S den Scheitel und SR und ST die Schenkel des
Winkels RST.
• Inneres eines Winkels: Punkte auf den Strecken, die Punkte auf
verschiedenen Schenkeln verbinden.
• Bemerkung: Die Punkte R und T, die die Schenkel des Winkels
RST andeuten, sind nicht eindeutig bestimmt: Für R kann man
jeden Punkt auf dem Schenkel SR wählen.
• Seien R, S und T drei Punkte nicht auf einer Geraden. Winkel
RST ist die Vereinigung der Strahlen SR und ST; das heißt:
RST = SR ST.
Man nennt S den Scheitel und SR und ST die Schenkel des
Winkels RST.
• Inneres eines Winkels: Punkte auf den Strecken, die Punkte auf
verschiedenen Schenkeln verbinden.
• Bemerkung: Die Punkte R und T, die die Schenkel des Winkels
RST andeuten, sind nicht eindeutig bestimmt: Für R kann man
jeden Punkt auf dem Schenkel SR wählen.
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Januar 2004Seite 20
Das GeodreicksaxiomDas Geodreicksaxiom
Jedem Winkel RST wird ein Winkelmaß m(RST)
zugeordnet. Dies ist eine Zahl zwischen 0° (“Grad”) und 180°
(jeweils ausschließlich).
Diese Zuordnung hat die folgenden beiden Eigenschaften:
(1) Sei g eine Gerade, R und S zwei Punkte auf g, sei H eine
Halbebene von g und sei eine reelle Zahl zwischen 0 und
180. Dann gibt es einen Punkt T in H, so dass der Winkel
RST genau das Maß hat.
(2) Sei U ein Punkt im Innern des Winkels RST. Dann ist
m(RST) = m(TSU) + m(USR).
Jedem Winkel RST wird ein Winkelmaß m(RST)
zugeordnet. Dies ist eine Zahl zwischen 0° (“Grad”) und 180°
(jeweils ausschließlich).
Diese Zuordnung hat die folgenden beiden Eigenschaften:
(1) Sei g eine Gerade, R und S zwei Punkte auf g, sei H eine
Halbebene von g und sei eine reelle Zahl zwischen 0 und
180. Dann gibt es einen Punkt T in H, so dass der Winkel
RST genau das Maß hat.
(2) Sei U ein Punkt im Innern des Winkels RST. Dann ist
m(RST) = m(TSU) + m(USR).
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Januar 2004Seite 21
Winkel < 180°Winkel < 180°
Bemerkung:
Der Begriff „Inneres eines Winkels“ ist – so wie wir ihn definiert
haben – nur für Winkel vom Maß < 180° sinnvoll.
Deshalb bezieht sich das Geodreiecksaxiom auch nur auf Winkel,
deren Maß größer als 0° und kleiner als 180° ist.
Alles, was wir über größere Winkel wissen müssen, ergibt sich
später automatisch.
Bemerkung:
Der Begriff „Inneres eines Winkels“ ist – so wie wir ihn definiert
haben – nur für Winkel vom Maß < 180° sinnvoll.
Deshalb bezieht sich das Geodreiecksaxiom auch nur auf Winkel,
deren Maß größer als 0° und kleiner als 180° ist.
Alles, was wir über größere Winkel wissen müssen, ergibt sich
später automatisch.
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Januar 2004Seite 22
Kongruenz von Strecken und WinkelnKongruenz von Strecken und Winkeln
Zwei Strecken heißen kongruent, wenn sie gleich lang sind.
Zwei Winkel heißen kongruent, wenn sie das gleiche Maß haben.
Zum Beispiel sind alle Winkel vom Maß 30° kongruent.
Definition. Zwei Dreiecke ABC und A’B’C’ heißen kongruent,
(Schreibweise ABC A’B’C’), falls folgende Aussagen gelten:
AB = A’B’, BC = B’C’, CA = C’A’
und
m(A) = m(A’), m(B) = m(B’), m(C) = m(C’).
Zwei Strecken heißen kongruent, wenn sie gleich lang sind.
Zwei Winkel heißen kongruent, wenn sie das gleiche Maß haben.
Zum Beispiel sind alle Winkel vom Maß 30° kongruent.
Definition. Zwei Dreiecke ABC und A’B’C’ heißen kongruent,
(Schreibweise ABC A’B’C’), falls folgende Aussagen gelten:
AB = A’B’, BC = B’C’, CA = C’A’
und
m(A) = m(A’), m(B) = m(B’), m(C) = m(C’).
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Januar 2004Seite 23
Was ist ein Kongruenzsatz?Was ist ein Kongruenzsatz?
• In einem Kongruenzsatz versucht man, aus drei der obigen
Gleichungen die anderen drei zu erschließen.
Kongruenzsätze werden abgekürzt: SWS, WSW, SSS, ...
• Beispiel: SWS: Seien ABC und A’B’C’ Dreiecke.
Wenn AB = A’B’ und m(B) = m(B’) und BC = B’C’ gilt,
so sind die beiden Dreiecke kongruent.
Das bedeutet, dass dann auch m(A) = m(A’) und
AC = A’C’ und m(C) = m(C’) gilt.
Kurz: Wenn zwei Dreiecke in zwei Seiten und dem eingeschlos-
senen Winkel „übereinstimmen”, dann sind sie kongruent.
• In einem Kongruenzsatz versucht man, aus drei der obigen
Gleichungen die anderen drei zu erschließen.
Kongruenzsätze werden abgekürzt: SWS, WSW, SSS, ...
• Beispiel: SWS: Seien ABC und A’B’C’ Dreiecke.
Wenn AB = A’B’ und m(B) = m(B’) und BC = B’C’ gilt,
so sind die beiden Dreiecke kongruent.
Das bedeutet, dass dann auch m(A) = m(A’) und
AC = A’C’ und m(C) = m(C’) gilt.
Kurz: Wenn zwei Dreiecke in zwei Seiten und dem eingeschlos-
senen Winkel „übereinstimmen”, dann sind sie kongruent.
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Januar 2004Seite 24
Das KongruenzaxiomDas Kongruenzaxiom
• Es gilt der Kongruenzsatz SWS.
• Bemerkung. Wenn man Geometrie nur aufgrund der bisherigen fünf
Axiome betreibt, kommt man zur „absoluten” Geometrie; darin ist
sowohl die euklidische als auch die nichteuklidische Geometrie
enthalten.
Wir kommen zur euklidischen Geometrie, wenn wir noch das
Parallelenaxiom fordern.
• Es gilt der Kongruenzsatz SWS.
• Bemerkung. Wenn man Geometrie nur aufgrund der bisherigen fünf
Axiome betreibt, kommt man zur „absoluten” Geometrie; darin ist
sowohl die euklidische als auch die nichteuklidische Geometrie
enthalten.
Wir kommen zur euklidischen Geometrie, wenn wir noch das
Parallelenaxiom fordern.
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Januar 2004Seite 25
Das ParallelenaxiomDas Parallelenaxiom
• Definition. Wir nennen zwei Geraden parallel, wenn sie keinen
Punkt gemeinsam haben oder gleich sind.
• Zu jedem Punkt P und jeder Geraden g mit P g gibt es genau
eine Gerade h durch P, die parallel zu g ist.
• Bemerkung. Man kann alle Aussagen der euklidischen Geometrie
der Ebene aus diesen sechs Axiomen logisch ableiten! Für einige
werden wir das im folgenden tun.
• Definition. Wir nennen zwei Geraden parallel, wenn sie keinen
Punkt gemeinsam haben oder gleich sind.
• Zu jedem Punkt P und jeder Geraden g mit P g gibt es genau
eine Gerade h durch P, die parallel zu g ist.
• Bemerkung. Man kann alle Aussagen der euklidischen Geometrie
der Ebene aus diesen sechs Axiomen logisch ableiten! Für einige
werden wir das im folgenden tun.
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Januar 2004Seite 26
Nebenwinkel, Scheitelwinkel, WechselwinkelNebenwinkel, Scheitelwinkel, Wechselwinkel
• Seien g und h Geraden, die sich in einem Punkt S schneiden.
Seien R, R’ Punkte auf g und T, T’ Punkte auf h, so dass S
sowohl zwischen R und R’ also auch zwischen T und T’ liegt.
Dann heißen die Winkel RST und RST’ Nebenwinkel.
Die Winkel RST und R’ST’ werden Scheitelwinkel genannt.
• Seien g und g’ parallele Geraden, die von einer Geraden h in den
Punkten S bzw. S’ geschnitten werden. Sei T ein Punkt auf g
und T’, T“ Punkte auf g’, so dass T und T’ auf verschiedenen
Seiten, aber T und T“ auf der gleichen Seite von h liegen.
Dann heißen die Winkel TSS’ und SS’T‘ Wechselwinkel und
die Winkel TSS‘ und T“S‘S“ Stufenwinkel. (Dabei ist S“ …).
• Seien g und h Geraden, die sich in einem Punkt S schneiden.
Seien R, R’ Punkte auf g und T, T’ Punkte auf h, so dass S
sowohl zwischen R und R’ also auch zwischen T und T’ liegt.
Dann heißen die Winkel RST und RST’ Nebenwinkel.
Die Winkel RST und R’ST’ werden Scheitelwinkel genannt.
• Seien g und g’ parallele Geraden, die von einer Geraden h in den
Punkten S bzw. S’ geschnitten werden. Sei T ein Punkt auf g
und T’, T“ Punkte auf g’, so dass T und T’ auf verschiedenen
Seiten, aber T und T“ auf der gleichen Seite von h liegen.
Dann heißen die Winkel TSS’ und SS’T‘ Wechselwinkel und
die Winkel TSS‘ und T“S‘S“ Stufenwinkel. (Dabei ist S“ …).
Kapitel 2 © Beutelspacher
Januar 2004Seite 27
Satz über Nebenwinkel, Scheitelwinkel, WechselwinkelSatz über Nebenwinkel, Scheitelwinkel, Wechselwinkel
2.2.3 Satz. (a) Die Summe der Maße von Nebenwinkeln ist 180°.
Kurz: Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°.
(b) Scheitelwinkel sind gleich groß.
(c) Wechselwinkel und Stufenwinkel sind jeweils gleich groß.
Beweis. (a) Seien die Bezeichnungen wie in der Definition. Sei x =
m(RST) und y = m(RST’). Zu zeigen: x + y = 180°.
Angenommen, x + y < 180°. Dann wäre TST’ ein Winkel mit Maß
< 180°: Widerspruch, da T, S, T‘ auf einer Geraden liegen.
Angenommen, x + y > 180°: Man erhält auf ähnliche Weise einen
Widerspruch.
2.2.3 Satz. (a) Die Summe der Maße von Nebenwinkeln ist 180°.
Kurz: Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°.
(b) Scheitelwinkel sind gleich groß.
(c) Wechselwinkel und Stufenwinkel sind jeweils gleich groß.
Beweis. (a) Seien die Bezeichnungen wie in der Definition. Sei x =
m(RST) und y = m(RST’). Zu zeigen: x + y = 180°.
Angenommen, x + y < 180°. Dann wäre TST’ ein Winkel mit Maß
< 180°: Widerspruch, da T, S, T‘ auf einer Geraden liegen.
Angenommen, x + y > 180°: Man erhält auf ähnliche Weise einen
Widerspruch.
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Januar 2004Seite 28
Beweis (b), (c)Beweis (b), (c)
(b) Wir verwenden wieder die Bezeichnungen aus der Definition. Die
Paare RST und RST’, sowie RST‘ und T‘SR’ sind
Nebenwinkel. Also gilt
m(T‘SR’) = 180° – m(RST‘) = 180° – (180° – m(RST)) = m(RST).
(c) (etwas schwieriger …).
(b) Wir verwenden wieder die Bezeichnungen aus der Definition. Die
Paare RST und RST’, sowie RST‘ und T‘SR’ sind
Nebenwinkel. Also gilt
m(T‘SR’) = 180° – m(RST‘) = 180° – (180° – m(RST)) = m(RST).
(c) (etwas schwieriger …).
Kapitel 2 © Beutelspacher
Januar 2004Seite 29
WinkelsummensatzWinkelsummensatz
2.2.4 Satz. Die Summe der Maße der (Innen-) Winkel eines Dreiecks
ist gleich 180°. Kurz: Die Winkelsumme im Dreieck ist 180°.
Beweis. Sei ABC ein Dreieck. Sei g die Parallele durch C zu
AB. Seien D und E Punkte C auf g, wobei D „links” und E
„rechts” liegt.
2.2.4 Satz. Die Summe der Maße der (Innen-) Winkel eines Dreiecks
ist gleich 180°. Kurz: Die Winkelsumme im Dreieck ist 180°.
Beweis. Sei ABC ein Dreieck. Sei g die Parallele durch C zu
AB. Seien D und E Punkte C auf g, wobei D „links” und E
„rechts” liegt.
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Januar 2004Seite 30
Winkelsummensatz: BeweisdetailsWinkelsummensatz: Beweisdetails
A und ACD, B und BCE sind Wechselwinkel; daher haben
sie nach 2.2.3 das gleiche Maß.
Mit dem Geodreicksaxiom folgt:
m(DCB) = m(DCA) + m(C)
DCB und BCE Nebenwinkel, also m(DCB) + m(BCE) =
180°.
Zusammen folgt
180° = m(DCB) + m(BCE)
= m(DCA) + m(C) + m(BCE) = m(A) + m(C) + m(B).
Somit ist m(A) + m(C) + m(B) = 180°.
A und ACD, B und BCE sind Wechselwinkel; daher haben
sie nach 2.2.3 das gleiche Maß.
Mit dem Geodreicksaxiom folgt:
m(DCB) = m(DCA) + m(C)
DCB und BCE Nebenwinkel, also m(DCB) + m(BCE) =
180°.
Zusammen folgt
180° = m(DCB) + m(BCE)
= m(DCA) + m(C) + m(BCE) = m(A) + m(C) + m(B).
Somit ist m(A) + m(C) + m(B) = 180°.
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Konstruktion von Parallelen IKonstruktion von Parallelen I
2.2.5 Satz (Konstruktion von Parallelen). Seien g und g‘
Geraden, die eine dritte Gerade so schneiden, dass die Innenwinkel
zusammen genau 180° ergeben. Dann sind g und g‘ parallel.
Beweis. Sei h die Gerade, die von g und g‘ geschnitten wird;
seien die Schnittpunkte A und A‘. Angenommen, g und g‘
würden sich in einem Punkt schneiden B schneiden. Dann wäre
AA‘B ein Dreieck, dessen Winkelsumme größer als 180° ist: ein
Widerspruch.
2.2.5 Satz (Konstruktion von Parallelen). Seien g und g‘
Geraden, die eine dritte Gerade so schneiden, dass die Innenwinkel
zusammen genau 180° ergeben. Dann sind g und g‘ parallel.
Beweis. Sei h die Gerade, die von g und g‘ geschnitten wird;
seien die Schnittpunkte A und A‘. Angenommen, g und g‘
würden sich in einem Punkt schneiden B schneiden. Dann wäre
AA‘B ein Dreieck, dessen Winkelsumme größer als 180° ist: ein
Widerspruch.
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Eindeutigkeit von ParallelenEindeutigkeit von Parallelen
2.2.6 Satz (Eindeutigkeit von Parallelen). Seien g und g‘ Gera-
den, die eine dritte Gerade so schneiden. Wenn g und g‘ parallel
sind, so ist die Summe der Innenwinkel zusammen genau 180°.
Beweis. Sei h die Gerade, die von g und g‘ geschnitten wird;
seien die Schnittpunkte A und A‘. Angenommen die Summe der
Innenwinkel wäre verschieden von 180°. Dann gäbe es ein von g‘
verschiedene Gerade g‘‘ durch A‘, so dass die Summe der
Innenwinkel von g und g‘‘ gleich 180° ist. Nach 2.2.5 wäre auch
g‘‘ eine Parallele zu g durch A‘. Also gäbe es zwei Parallelen zu g
durch A‘: ein Widerspruch!
2.2.6 Satz (Eindeutigkeit von Parallelen). Seien g und g‘ Gera-
den, die eine dritte Gerade so schneiden. Wenn g und g‘ parallel
sind, so ist die Summe der Innenwinkel zusammen genau 180°.
Beweis. Sei h die Gerade, die von g und g‘ geschnitten wird;
seien die Schnittpunkte A und A‘. Angenommen die Summe der
Innenwinkel wäre verschieden von 180°. Dann gäbe es ein von g‘
verschiedene Gerade g‘‘ durch A‘, so dass die Summe der
Innenwinkel von g und g‘‘ gleich 180° ist. Nach 2.2.5 wäre auch
g‘‘ eine Parallele zu g durch A‘. Also gäbe es zwei Parallelen zu g
durch A‘: ein Widerspruch!
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Konstruktion von Parallelen IIKonstruktion von Parallelen II
Wir nennen zwei Geraden senkrecht, wenn sie sich schneiden und
einen Winkel von 90° einschließen. Wenn g senkrecht auf h steht,
nennt man h auch ein Lot auf g.
2.2.7 Satz. (a) Wenn zwei Geraden senkrecht auf einer dritten
stehen, dann sind sie parallel.
(b) Sei P ein Punkt außerhalb einer Geraden g. Man kann die
Parallele h zu g durch P wie folgt konstruieren: Fälle das
Lot l von P auf g und errichtet dann das Lot h in P auf l.
Beweis. (a) Spezialfall von 2.2.4.
(b) Dies ist nur eine explizite Form von (a).
Wir nennen zwei Geraden senkrecht, wenn sie sich schneiden und
einen Winkel von 90° einschließen. Wenn g senkrecht auf h steht,
nennt man h auch ein Lot auf g.
2.2.7 Satz. (a) Wenn zwei Geraden senkrecht auf einer dritten
stehen, dann sind sie parallel.
(b) Sei P ein Punkt außerhalb einer Geraden g. Man kann die
Parallele h zu g durch P wie folgt konstruieren: Fälle das
Lot l von P auf g und errichtet dann das Lot h in P auf l.
Beweis. (a) Spezialfall von 2.2.4.
(b) Dies ist nur eine explizite Form von (a).
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2.3 Kongruenzsätze2.3 Kongruenzsätze
• Basiswinkelsatz
• Außenwinkelsatz
• WSW
• SWW
• SSS
• SsW
• Mittellotsatz
• Basiswinkelsatz
• Außenwinkelsatz
• WSW
• SWW
• SSS
• SsW
• Mittellotsatz
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BasiswinkelsatzBasiswinkelsatz
2.3.1 Basiswinkelsatz. Sei ABC ein Dreieck.
Wenn die Seiten AC und BC kongruent sind,
dann sind auch die Winkel A und B kongruent.
Kurz: Ein gleichschenkliges Dreieck hat gleich große Basiswinkel.
Beweis. (Achtung: kurz und trickreich!)
Wegen CA = CB, ACB BCA und CB = CAfolgt mit SWS, dass ACB BCA gilt.
Aus der Kongruenz von ACB und BCA folgt: CAB CBA.
2.3.1 Basiswinkelsatz. Sei ABC ein Dreieck.
Wenn die Seiten AC und BC kongruent sind,
dann sind auch die Winkel A und B kongruent.
Kurz: Ein gleichschenkliges Dreieck hat gleich große Basiswinkel.
Beweis. (Achtung: kurz und trickreich!)
Wegen CA = CB, ACB BCA und CB = CAfolgt mit SWS, dass ACB BCA gilt.
Aus der Kongruenz von ACB und BCA folgt: CAB CBA.
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AußenwinkelsatzAußenwinkelsatz
Sei ABC ein Dreieck, und sei D ein Punkt, so dass B zwischen
A und D liegt. Dann heißt der Winkel CBD ein Außenwinkel
des Dreiecks ABC; die Winkel A und C heißen die
gegenüberliegenden Innenwinkel des Dreiecks ACB
2.3.2 Außenwinkelsatz. Das Maß eines Außenwinkel eines
Dreiecks ist gleich der Summe der Maße seiner gegenüber-
liegenden Innenwinkel.
Insbesondere ist jeder Außenwinkel größer als jeder gegenüber-
liegende Innenwinkel
Sei ABC ein Dreieck, und sei D ein Punkt, so dass B zwischen
A und D liegt. Dann heißt der Winkel CBD ein Außenwinkel
des Dreiecks ABC; die Winkel A und C heißen die
gegenüberliegenden Innenwinkel des Dreiecks ACB
2.3.2 Außenwinkelsatz. Das Maß eines Außenwinkel eines
Dreiecks ist gleich der Summe der Maße seiner gegenüber-
liegenden Innenwinkel.
Insbesondere ist jeder Außenwinkel größer als jeder gegenüber-
liegende Innenwinkel
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Beweis des AußenwinkelsatzesBeweis des Außenwinkelsatzes
Beweis. Sei ABC ein Dreieck, und sei D ein Punkt mit A - B - D.
Wir müssen zeigen, dass m(CBD) = m(A) + m(C) ist.
Da CBD und ABC Nebenwinkel sind, gilt
m(CBD) + m(B) = 180°.
Aus dem Winkelsummensatz folgt m(A) + m(B) + m(C) = 180°.
Zusammen ergibt sich:
m(CBD) = 180° – m(B)
= 180° – (180° – m(A) – m(C))
= m(A) + m(C).
Beweis. Sei ABC ein Dreieck, und sei D ein Punkt mit A - B - D.
Wir müssen zeigen, dass m(CBD) = m(A) + m(C) ist.
Da CBD und ABC Nebenwinkel sind, gilt
m(CBD) + m(B) = 180°.
Aus dem Winkelsummensatz folgt m(A) + m(B) + m(C) = 180°.
Zusammen ergibt sich:
m(CBD) = 180° – m(B)
= 180° – (180° – m(A) – m(C))
= m(A) + m(C).
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WSWWSW
2.3.3 Satz. Es gilt der Kongruenzsatz WSW.
Zusatz: Seien und zwei Zahlen zwischen 0 und 180 mit +
< 180, und sei c eine positive reelle Zahl. Dann gibt es ein Dreieck
ABC mit m(A) = , m(A) = und AB = c. Alle solchen
Dreiecke sind kongruent.
Beweis. Seien ABC und A'B'C' Dreiecke mit
A A', AB = A'B' und B B'.
Wir müssen zeigen: ABC A‘B‘C‘.
1. Fall: BC = B'C'. Dann sind die Dreiecke kongruent nach SWS.
2.3.3 Satz. Es gilt der Kongruenzsatz WSW.
Zusatz: Seien und zwei Zahlen zwischen 0 und 180 mit +
< 180, und sei c eine positive reelle Zahl. Dann gibt es ein Dreieck
ABC mit m(A) = , m(A) = und AB = c. Alle solchen
Dreiecke sind kongruent.
Beweis. Seien ABC und A'B'C' Dreiecke mit
A A', AB = A'B' und B B'.
Wir müssen zeigen: ABC A‘B‘C‘.
1. Fall: BC = B'C'. Dann sind die Dreiecke kongruent nach SWS.
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Beweis WSW (2. Fall) Beweis WSW (2. Fall)
2. Fall: BC B'C'. Wir müssen daraus einen Widerspruch ableiten.
Wir können o.B.d.A. BC > B'C' annehmen.
Dann gibt es auf BC einen Punkt C* mit BC* = B'C'. Also gilt nach SWS ABC* A'B'C'.
Insbesondere ist C*AB = C'A'B'.
Da aber C* im Innern des Winkels A liegt, ist nach dem
Geodreiecksaxiom C*AB < CAB.
Zusammen folgt A' = C'A'B' = C*AB < CAB = A,
ein Widerspruch!
2. Fall: BC B'C'. Wir müssen daraus einen Widerspruch ableiten.
Wir können o.B.d.A. BC > B'C' annehmen.
Dann gibt es auf BC einen Punkt C* mit BC* = B'C'. Also gilt nach SWS ABC* A'B'C'.
Insbesondere ist C*AB = C'A'B'.
Da aber C* im Innern des Winkels A liegt, ist nach dem
Geodreiecksaxiom C*AB < CAB.
Zusammen folgt A' = C'A'B' = C*AB < CAB = A,
ein Widerspruch!
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SWWSWW
2.3.4 Satz. Es gilt der Kongruenzsatz SWW.
Zusatz: Sei c eine positive reelle Zahl, und seien und zwei
Zahlen zwischen 0 und 180 mit + < 180. Dann gibt es ein
Dreieck ABC mit AB = c, m(B) = und m(C) = . Alle
solchen Dreiecke sind kongruent.
Beweis 1 (rechnerisch). Da und bekannt sind, kann man mit
dem Winkelsummensatz auch ausrechen. Dann wendet man
WSW an.
2.3.4 Satz. Es gilt der Kongruenzsatz SWW.
Zusatz: Sei c eine positive reelle Zahl, und seien und zwei
Zahlen zwischen 0 und 180 mit + < 180. Dann gibt es ein
Dreieck ABC mit AB = c, m(B) = und m(C) = . Alle
solchen Dreiecke sind kongruent.
Beweis 1 (rechnerisch). Da und bekannt sind, kann man mit
dem Winkelsummensatz auch ausrechen. Dann wendet man
WSW an.
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SWW: BeweisSWW: Beweis
Beweis 2 (geometrisch). Seien ABC und A'B'C' Dreiecke mit
AB = A'B', B B' und C C'.
1. Fall: BC = B'C'. Dann sind die Dreiecke kongruent (SWS).
2. Fall: BC B'C', o.B.d.A. BC > B'C'. Dann gibt es auf BC einen Punkt C* mit BC* = B'C'. Nach SWS gilt ABC* A'B'C'.
Insbesondere ist m(AC*B) = m(A'C'B‘) = m(ACB) (nach Vor.).
Dann wäre der Außenwinkel AC*B von AC*C so groß wie der
gegenüberliegende Innenwinkel ACC* (= ACB): Widerspruch!
Beweis 2 (geometrisch). Seien ABC und A'B'C' Dreiecke mit
AB = A'B', B B' und C C'.
1. Fall: BC = B'C'. Dann sind die Dreiecke kongruent (SWS).
2. Fall: BC B'C', o.B.d.A. BC > B'C'. Dann gibt es auf BC einen Punkt C* mit BC* = B'C'. Nach SWS gilt ABC* A'B'C'.
Insbesondere ist m(AC*B) = m(A'C'B‘) = m(ACB) (nach Vor.).
Dann wäre der Außenwinkel AC*B von AC*C so groß wie der
gegenüberliegende Innenwinkel ACC* (= ACB): Widerspruch!
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SSSSSS
2.3.5 Satz. Es gilt der Kongruenzsatz SSS.
Zusatz: Seien a, b, c positive reelle Zahlen mit a + b > c, a + c >
b, b + c > a. Dann gibt es ein Dreieck ABC mit BC = a, AC = b
und AB = c. Alle solchen Dreiecke sind kongruent.
Beweis. Seien ABC und A'B'C' Dreiecke mit
AB = A'B', BC = B'C' und CA = C'A'.
Es gibt einen eindeutigen Punkt C* mit folgenden Eigenschaften:
C und C* liegen auf verschiedenen Seiten von AB,
ABC* A’B’C’, BC* = B’C’.
Dann gilt ABC* A’B’C’ nach SWS.
2.3.5 Satz. Es gilt der Kongruenzsatz SSS.
Zusatz: Seien a, b, c positive reelle Zahlen mit a + b > c, a + c >
b, b + c > a. Dann gibt es ein Dreieck ABC mit BC = a, AC = b
und AB = c. Alle solchen Dreiecke sind kongruent.
Beweis. Seien ABC und A'B'C' Dreiecke mit
AB = A'B', BC = B'C' und CA = C'A'.
Es gibt einen eindeutigen Punkt C* mit folgenden Eigenschaften:
C und C* liegen auf verschiedenen Seiten von AB,
ABC* A’B’C’, BC* = B’C’.
Dann gilt ABC* A’B’C’ nach SWS.
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SSS: Beweis, Teil 2SSS: Beweis, Teil 2
Wir werden zeigen, dass ABC* ABC gilt. Dann folgt ABC
A’B’C’.
Aus ABC* A’B’C’ folgt aufgrund der Voraussetzung:
AC = A‘C‘ = AC* und BC = B‘C‘ = BC‘.
Wir betrachten wir den Schnittpunkt S von CC* mit AB.
Also sind CAC* und CBC* gleichschenklig. Also folgt mit Basis-
winkelsatz: m(ACS) = m(AC*S) und m(BCS) = m(BC*S).
Also ist m(ACB) = m(ACS) + m(BCS)
= m(AC*S) + m(BC*S) = m(AC*B).
Damit ergibt sich ABC ABC* wegen SWS.
Wir werden zeigen, dass ABC* ABC gilt. Dann folgt ABC
A’B’C’.
Aus ABC* A’B’C’ folgt aufgrund der Voraussetzung:
AC = A‘C‘ = AC* und BC = B‘C‘ = BC‘.
Wir betrachten wir den Schnittpunkt S von CC* mit AB.
Also sind CAC* und CBC* gleichschenklig. Also folgt mit Basis-
winkelsatz: m(ACS) = m(AC*S) und m(BCS) = m(BC*S).
Also ist m(ACB) = m(ACS) + m(BCS)
= m(AC*S) + m(BC*S) = m(AC*B).
Damit ergibt sich ABC ABC* wegen SWS.
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Januar 2004Seite 44
SsWSsW
2.3.6 Satz. Es gilt der Kongruenzsatz SsW. Das bedeutet: Seien
ABC und A'B'C' Dreiecke mit
AB = A'B', BC = B‘C' und C C'.
Wenn AB > BC ist, dann gilt ABC A'B'C‘.
Zusatz: Seien c und a positive reelle Zahlen mit c > a, und sei
eine Zahl zwischen 0 und 180. Dann gibt es ein Dreieck ABC mit
AB = c, BC = a und m(C) = . Alle solchen Dreiecke sind
kongruent.
2.3.6 Satz. Es gilt der Kongruenzsatz SsW. Das bedeutet: Seien
ABC und A'B'C' Dreiecke mit
AB = A'B', BC = B‘C' und C C'.
Wenn AB > BC ist, dann gilt ABC A'B'C‘.
Zusatz: Seien c und a positive reelle Zahlen mit c > a, und sei
eine Zahl zwischen 0 und 180. Dann gibt es ein Dreieck ABC mit
AB = c, BC = a und m(C) = . Alle solchen Dreiecke sind
kongruent.
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Januar 2004Seite 45
Ein HilfssatzEin Hilfssatz
Hilfssatz zum Beweis von SsW.
Im Dreieck liegt der längeren Seite der größere Winkel gegenüber
und umgekehrt.
Beweis. Hausaufgabe 2, Übungsblatt 7
Hilfssatz zum Beweis von SsW.
Im Dreieck liegt der längeren Seite der größere Winkel gegenüber
und umgekehrt.
Beweis. Hausaufgabe 2, Übungsblatt 7
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Januar 2004Seite 46
Beweis zu SsW, Teil 1Beweis zu SsW, Teil 1
Beweis zu SsW.
Seien ABC und A‘B‘C‘ Dreiecke mit
AB = A‘B‘, BC = B‘C‘ und C C‘.
Sei außerdem AB > BC.
Indirekter Beweis: Wir nehmen an, dass ABC nicht kongruent zu
A‘B‘C‘ ist und zeigen, dass dann AB < BC folgt.
Annahme: ABC A‘B‘C‘. Dann gilt AC A‘C‘ wegen SSS.
Beweis zu SsW.
Seien ABC und A‘B‘C‘ Dreiecke mit
AB = A‘B‘, BC = B‘C‘ und C C‘.
Sei außerdem AB > BC.
Indirekter Beweis: Wir nehmen an, dass ABC nicht kongruent zu
A‘B‘C‘ ist und zeigen, dass dann AB < BC folgt.
Annahme: ABC A‘B‘C‘. Dann gilt AC A‘C‘ wegen SSS.
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Januar 2004Seite 47
Beweis von SsW, Teil 2Beweis von SsW, Teil 2
1. Fall: AC > A‘C‘. Dann gibt es einen Punkt A* auf der Geraden
AC, für den A*C = A‘C‘ gilt. Nach SWS gilt
A*BC A‘B‘C‘
und damit ist A*B = A‘B‘ = AB. Daher ist ABA*
gleichschenklig, und also ist m( AA*B) < 90°. Daher gilt m(
BA*C) > 90°, und nach dem Hilfssatz zu SsW gilt BC > A*B =
AB. Widerspruch!
2. Fall: AC < A‘C‘. Diesen Fall führt man wie in Fall1 zu einem
Widerspruch, indem man AC und A‘C‘ vertauscht.
1. Fall: AC > A‘C‘. Dann gibt es einen Punkt A* auf der Geraden
AC, für den A*C = A‘C‘ gilt. Nach SWS gilt
A*BC A‘B‘C‘
und damit ist A*B = A‘B‘ = AB. Daher ist ABA*
gleichschenklig, und also ist m( AA*B) < 90°. Daher gilt m(
BA*C) > 90°, und nach dem Hilfssatz zu SsW gilt BC > A*B =
AB. Widerspruch!
2. Fall: AC < A‘C‘. Diesen Fall führt man wie in Fall1 zu einem
Widerspruch, indem man AC und A‘C‘ vertauscht.
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Januar 2004Seite 48
Senkrechte Geraden. LoteSenkrechte Geraden. Lote
Definitionen. Zwei Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn
sie sich schneiden und einen Winkel vom Maß 90° einschließen.
Wenn die Geraden g und h senkrecht aufeinander stehen,
so nennt man h auch eine Senkrechte zu g.
Wenn P ein Punkt von h ist,
so heißt h auch das Lot von P auf g.
Der Schnittpunkt von g und h heißt Fußpunkt des Lots.
2.3.7 Satz. Sei P ein Punkt und g eine Gerade. Dann gibt es
genau ein Lot von P auf g.
Definitionen. Zwei Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn
sie sich schneiden und einen Winkel vom Maß 90° einschließen.
Wenn die Geraden g und h senkrecht aufeinander stehen,
so nennt man h auch eine Senkrechte zu g.
Wenn P ein Punkt von h ist,
so heißt h auch das Lot von P auf g.
Der Schnittpunkt von g und h heißt Fußpunkt des Lots.
2.3.7 Satz. Sei P ein Punkt und g eine Gerade. Dann gibt es
genau ein Lot von P auf g.
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Januar 2004Seite 49
Beweis des Satzes über LoteBeweis des Satzes über Lote
Beweis. 1. Fall: P liegt auf g.
Dann folgt die Aussage direkt aus dem Geodreiecksaxiom.
2. Fall: P liegt nicht auf g.
Betrachte beliebige Punkte A und B auf g.
Es gibt einen Punkt P’ mit folgenden Eigenschaften
P und P’ liegen auf verschiedenen Seiten (Halbebenen) von g.
m(BAP) = m(BAP’)
AP = AP’. Sei S der Schnittpunkt von PP’ mit g. Falls S = A ist, so sind
BSP und BSP’ kongruente Wechselwinkel, also sind beide
rechte Winkel.
Beweis. 1. Fall: P liegt auf g.
Dann folgt die Aussage direkt aus dem Geodreiecksaxiom.
2. Fall: P liegt nicht auf g.
Betrachte beliebige Punkte A und B auf g.
Es gibt einen Punkt P’ mit folgenden Eigenschaften
P und P’ liegen auf verschiedenen Seiten (Halbebenen) von g.
m(BAP) = m(BAP’)
AP = AP’. Sei S der Schnittpunkt von PP’ mit g. Falls S = A ist, so sind
BSP und BSP’ kongruente Wechselwinkel, also sind beide
rechte Winkel.
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Januar 2004Seite 50
Beweis des Satzes über Lote – FortsetzungBeweis des Satzes über Lote – Fortsetzung
Sei S A.
(a) Existenz eines Lotes:
SAP SAP’ (SWS).
Also folgt m(PSA) = m(P’SA). Da sie Nebenwinkel sind,
müssen beide rechte Winkel sein. Also steht PS senkrecht auf g.
(b) Eindeutigkeit: Angenommen, es gäbe einen Punkt T S auf g,
so dass auch PT auf g senkrecht steht.
Sei R ein Punkt, so dass T zwischen S und R liegt.
Dann ist PTR Außenwinkel des Dreiecks PST mit gegenüber-
liegendem Innenwinkel PST. Also hätte der Außenwinkel das
gleiche Maß wie ein gegenüberliegender Innenwinkel: Widerspruch.
Sei S A.
(a) Existenz eines Lotes:
SAP SAP’ (SWS).
Also folgt m(PSA) = m(P’SA). Da sie Nebenwinkel sind,
müssen beide rechte Winkel sein. Also steht PS senkrecht auf g.
(b) Eindeutigkeit: Angenommen, es gäbe einen Punkt T S auf g,
so dass auch PT auf g senkrecht steht.
Sei R ein Punkt, so dass T zwischen S und R liegt.
Dann ist PTR Außenwinkel des Dreiecks PST mit gegenüber-
liegendem Innenwinkel PST. Also hätte der Außenwinkel das
gleiche Maß wie ein gegenüberliegender Innenwinkel: Widerspruch.
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Januar 2004Seite 51
MittellotMittellot
Definition:
Seien P und Q verschiedene Punkte.
Das Mittellot (die Mittelsenkrechte) der Strecke PQ
ist diejenige Gerade, die
(1) durch den Mittelpunkt von PQ geht und
(2) senkrecht auf PQ steht.
Definition:
Seien P und Q verschiedene Punkte.
Das Mittellot (die Mittelsenkrechte) der Strecke PQ
ist diejenige Gerade, die
(1) durch den Mittelpunkt von PQ geht und
(2) senkrecht auf PQ steht.
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Januar 2004Seite 52
MittellotsatzMittellotsatz
2.3.8 Satz. Seien P und Q verschiedene Punkte. Dann hat jeder
Punkt des Mittellots von PQ den gleichen Abstand von P wie von
Q.
Beweis. Sei X ein Punkt des Mittellots h von PQ.
Sei M der Schnittpunkt von h mit PQ. Wenn X auf PQ liegt, so
ist X = M der Mittelpunkt der Strecke PQ.
Also gilt die Aussage für diesen Punkt.
Sei nun X nicht auf PQ. Dann sind die Dreiecke XMP und
XMQ nach SWS kongruent. Daraus folgt XP = XQ.
2.3.8 Satz. Seien P und Q verschiedene Punkte. Dann hat jeder
Punkt des Mittellots von PQ den gleichen Abstand von P wie von
Q.
Beweis. Sei X ein Punkt des Mittellots h von PQ.
Sei M der Schnittpunkt von h mit PQ. Wenn X auf PQ liegt, so
ist X = M der Mittelpunkt der Strecke PQ.
Also gilt die Aussage für diesen Punkt.
Sei nun X nicht auf PQ. Dann sind die Dreiecke XMP und
XMQ nach SWS kongruent. Daraus folgt XP = XQ.
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Januar 2004Seite 53
Umkehrung des MittellotsatzesUmkehrung des Mittellotsatzes
2.3.9 Satz. Seien P und Q verschiedene Punkte. Dann liegt jeder
Punkt, der den gleichen Abstand von P wie von Q hat, auf dem
Mittellot von PQ.
In altertümlicher Sprache: Der „Ort“ aller Punkte mit gleichem
Abstand von P und Q ist das Mittellot von PQ.
2.3.9 Satz. Seien P und Q verschiedene Punkte. Dann liegt jeder
Punkt, der den gleichen Abstand von P wie von Q hat, auf dem
Mittellot von PQ.
In altertümlicher Sprache: Der „Ort“ aller Punkte mit gleichem
Abstand von P und Q ist das Mittellot von PQ.
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Januar 2004Seite 54
Beweis der Umkehrung des MittellotsatzesBeweis der Umkehrung des Mittellotsatzes
Beweis. Sei X ein beliebiger Punkt mit XP = XQ. Wir müssen
zeigen, dass X auf dem Mittellot von PQ liegt.
Betrachte den Mittelpunkt M der Strecke PQ. Wenn X auf PQ
liegt, so ist X = M, und also liegt X auf dem Mittellot.
Sei also X PQ. Es genügt zu zeigen, dass die Gerade XM
senkrecht auf PQ steht. Denn dann ist XM das Mittellot von PQ;
insbesondere liegt M dann auf dem Mittellot.
Nach SSS sind die Dreiecke XMP und XMQ kongruent.
Insbesondere sind die Winkel XMP und XMQ kongruent.
Als kongruente Nebenwinkel sind sie also beide rechte Winkel,
daher steht XM senkrecht auf PQ.
Beweis. Sei X ein beliebiger Punkt mit XP = XQ. Wir müssen
zeigen, dass X auf dem Mittellot von PQ liegt.
Betrachte den Mittelpunkt M der Strecke PQ. Wenn X auf PQ
liegt, so ist X = M, und also liegt X auf dem Mittellot.
Sei also X PQ. Es genügt zu zeigen, dass die Gerade XM
senkrecht auf PQ steht. Denn dann ist XM das Mittellot von PQ;
insbesondere liegt M dann auf dem Mittellot.
Nach SSS sind die Dreiecke XMP und XMQ kongruent.
Insbesondere sind die Winkel XMP und XMQ kongruent.
Als kongruente Nebenwinkel sind sie also beide rechte Winkel,
daher steht XM senkrecht auf PQ.
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Januar 2004Seite 55
2.4 Besondere Geraden im Dreieck2.4 Besondere Geraden im Dreieck
• Wir untersuchen Mittellote, Höhen, Seitenhalbierende und
Winkelhalbierende eines Dreiecks.
• Es wird sich zeigen, dass diese Geraden jeweils durch einen
gemeinsamen Punkt gehen.
• Dies ist eine sehr bemerkenswerte Tatsache, denn im allgemeinen
werden sich drei Geraden (von denen keine zwei parallel sind) in
drei verschiedenen Punkten schneiden.
Es ist etwas Besonderes, wenn drei verschiedene Geraden durch
einen gemeinsamen Punkt gehen!
• Wir untersuchen Mittellote, Höhen, Seitenhalbierende und
Winkelhalbierende eines Dreiecks.
• Es wird sich zeigen, dass diese Geraden jeweils durch einen
gemeinsamen Punkt gehen.
• Dies ist eine sehr bemerkenswerte Tatsache, denn im allgemeinen
werden sich drei Geraden (von denen keine zwei parallel sind) in
drei verschiedenen Punkten schneiden.
Es ist etwas Besonderes, wenn drei verschiedene Geraden durch
einen gemeinsamen Punkt gehen!
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Januar 2004Seite 56
Satz über die Mittellote eines DreiecksSatz über die Mittellote eines Dreiecks
2.4.1 Satz. Sei ABC ein Dreieck. Dann schneiden sich die Mittellote
der drei Seiten in einem gemeinsamen Punkt. Dieser Punkt hat von
allen Ecken den gleichen Abstand.
Beweis. Sei ga das Mittellot der Seite BC und gb das Mittellot der
Seite AC. Nach dem Mittellotsatz haben
(1) alle Punkte auf ga den gleichen Abstand von B wie von C,
(2) alle Punkte auf gb den gleichen Abstand von A wie von C.
Also hat der Schnittpunkt S von ga und gb auch den gleichen
Abstand von A wie von B. Nach der Umkehrung des Mittellotsatzes
liegt S auf dem Mittellot gc von A und B.
Also gehen alle Mittelsenkrechten durch den Punkt S.
2.4.1 Satz. Sei ABC ein Dreieck. Dann schneiden sich die Mittellote
der drei Seiten in einem gemeinsamen Punkt. Dieser Punkt hat von
allen Ecken den gleichen Abstand.
Beweis. Sei ga das Mittellot der Seite BC und gb das Mittellot der
Seite AC. Nach dem Mittellotsatz haben
(1) alle Punkte auf ga den gleichen Abstand von B wie von C,
(2) alle Punkte auf gb den gleichen Abstand von A wie von C.
Also hat der Schnittpunkt S von ga und gb auch den gleichen
Abstand von A wie von B. Nach der Umkehrung des Mittellotsatzes
liegt S auf dem Mittellot gc von A und B.
Also gehen alle Mittelsenkrechten durch den Punkt S.
Kapitel 2 © Beutelspacher
Januar 2004Seite 57
BemerkungenBemerkungen
• Der gemeinsame Schnittpunkt der Mittellote ist auch der
Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABC.
• Wir haben hier folgende Beweisstrategie verwendet:
Betrachte den Schnittpunkt von zwei der betrachteten Geraden und
zeige, dass auch die dritte betrachtete Gerade durch diesen
Schnittpunkt geht. Dann gehen alle drei betrachteten Geraden durch
diesen Punkt.
• Der gemeinsame Schnittpunkt der Mittellote ist auch der
Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABC.
• Wir haben hier folgende Beweisstrategie verwendet:
Betrachte den Schnittpunkt von zwei der betrachteten Geraden und
zeige, dass auch die dritte betrachtete Gerade durch diesen
Schnittpunkt geht. Dann gehen alle drei betrachteten Geraden durch
diesen Punkt.
Kapitel 2 © Beutelspacher
Januar 2004Seite 58
Das MittendreieckDas Mittendreieck
Definition. Sei A*B*C* ein Dreieck. Sei A der Mittelpunkt von
B*C*, B der Mittelpunkt von A*C* und C der Mittelpunkt von A*B*.
Dann nennt man ABC das Mittendreieck von A*B*C*.
2.4.2 Hilfssatz. Sei ABC ein Dreieck. Konstruiere A*B*C*:
– A* ist der Schnittpunkt der Parallelen zu AC durch B mit
der Parallelen zu AB durch C,
– B* ist der Schnittpunkt der Parallelen zu BC durch A mit
der Parallelen zu BA durch C,
– C* ist der Schnittpunkt der Parallelen zu CB durch A mit
der Parallelen zu CA durch B.
Dann ist ABC das Mittendreieck von A*B*C*.
Definition. Sei A*B*C* ein Dreieck. Sei A der Mittelpunkt von
B*C*, B der Mittelpunkt von A*C* und C der Mittelpunkt von A*B*.
Dann nennt man ABC das Mittendreieck von A*B*C*.
2.4.2 Hilfssatz. Sei ABC ein Dreieck. Konstruiere A*B*C*:
– A* ist der Schnittpunkt der Parallelen zu AC durch B mit
der Parallelen zu AB durch C,
– B* ist der Schnittpunkt der Parallelen zu BC durch A mit
der Parallelen zu BA durch C,
– C* ist der Schnittpunkt der Parallelen zu CB durch A mit
der Parallelen zu CA durch B.
Dann ist ABC das Mittendreieck von A*B*C*.
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Januar 2004Seite 59
Beweis des HilfssatzesBeweis des Hilfssatzes
Beweis. Zu zeigen: A ist der Mittelpunkt von B*C* usw.
Dazu zeigen wir, dass BAC* und CB*A kongruent zu ABC
sind: Die Winkel ABC* und BAC sind als Wechselwinkel
kongruent; ebenso sind die Stufenwinkel BAC* und ABC
kongruent. Da ABC und BAC* auch die Seite AB gemeinsam
haben, sind die Dreiecke nach WSW kongruent.
Ebenso zeigt man die Kongruenz der anderen Dreiecke. Also sind
die Seiten AC* und AB* beide so lange wie BC, also gleich lang.
Somit ist A der Mittelpunkt der Strecke B*C*.
Ebenso zeigt man die Behauptungen für B und C.
Beweis. Zu zeigen: A ist der Mittelpunkt von B*C* usw.
Dazu zeigen wir, dass BAC* und CB*A kongruent zu ABC
sind: Die Winkel ABC* und BAC sind als Wechselwinkel
kongruent; ebenso sind die Stufenwinkel BAC* und ABC
kongruent. Da ABC und BAC* auch die Seite AB gemeinsam
haben, sind die Dreiecke nach WSW kongruent.
Ebenso zeigt man die Kongruenz der anderen Dreiecke. Also sind
die Seiten AC* und AB* beide so lange wie BC, also gleich lang.
Somit ist A der Mittelpunkt der Strecke B*C*.
Ebenso zeigt man die Behauptungen für B und C.
Kapitel 2 © Beutelspacher
Januar 2004Seite 60
Die HöhenDie Höhen
Definition. Sei ABC ein Dreieck. Wir bezeichnen mit ha das Lot
durch A auf die Seite BC (= a) und nennen es die Höhe von A auf a. Entsprechend definiert man die Höhen hb und hc.
2.4.3 Satz. Die Höhen eines Dreiecks schneiden sich in einem
gemeinsamen Punkt; dieser wird der Höhenschnittpunkt genannt.
Definition. Sei ABC ein Dreieck. Wir bezeichnen mit ha das Lot
durch A auf die Seite BC (= a) und nennen es die Höhe von A auf a. Entsprechend definiert man die Höhen hb und hc.
2.4.3 Satz. Die Höhen eines Dreiecks schneiden sich in einem
gemeinsamen Punkt; dieser wird der Höhenschnittpunkt genannt.
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Januar 2004Seite 61
Beweis des HöhenschnittpunktsatzesBeweis des Höhenschnittpunktsatzes
Beweis. Sei ABC ein Dreieck. Wir konstruieren dazu ein Dreieck
A’B’C’, so dass ABC das Mittendreieck von A’B’C’ ist.
Beobachtung: Die Höhe ha von ABC ist die Mittelsenkrechte der
Seite B‘C‘ des Dreiecks A’B’C’. (Denn ha geht durch den
Mittelpunkt von B‘C‘ und steht senkrecht auf BC, und BC ist
parallel zu B‘C‘.) Entsprechendes gilt für die anderen Höhen.
Also: Die Höhen von ABC sind genau die Mittellote von A’B’C’ !
Die Mittellote jedes Dreiecks (also auch von A’B’C’) schneiden sich
in einem gemeinsamen Punkt (2.4.1). Also schneiden sich auch die
Höhen des Dreiecks ABC in einem gemeinsamen Punkt.
Beweis. Sei ABC ein Dreieck. Wir konstruieren dazu ein Dreieck
A’B’C’, so dass ABC das Mittendreieck von A’B’C’ ist.
Beobachtung: Die Höhe ha von ABC ist die Mittelsenkrechte der
Seite B‘C‘ des Dreiecks A’B’C’. (Denn ha geht durch den
Mittelpunkt von B‘C‘ und steht senkrecht auf BC, und BC ist
parallel zu B‘C‘.) Entsprechendes gilt für die anderen Höhen.
Also: Die Höhen von ABC sind genau die Mittellote von A’B’C’ !
Die Mittellote jedes Dreiecks (also auch von A’B’C’) schneiden sich
in einem gemeinsamen Punkt (2.4.1). Also schneiden sich auch die
Höhen des Dreiecks ABC in einem gemeinsamen Punkt.
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Januar 2004Seite 62
Winkelhalbierende, AbstandWinkelhalbierende, Abstand
Definitionen. (a) Sei BAC ein Winkel. Die Winkelhalbierende
des Winkels BAC ist diejenige Gerade AD mit der Eigenschaft,
dass m(DAB) = ½m(BAC) gilt.
(b) Sei ABC ein Dreieck. Dann nennt man die Winkelhalbierenden
der Winkel A, B, C die Winkelhalbierenden des Dreiecks
ABC.
Definition. Sei P ein Punkt außerhalb einer Geraden g.
Der Abstand von P zu g ist die Länge des Lots von P auf g
(genauer gesagt: die Länge der Strecke PF, wobei F der Fußpunkt
des Lots von P auf g ist). Der Abstand von P zu g ist die
kürzeste Verbindung von P zu einem Punkt von g.
Definitionen. (a) Sei BAC ein Winkel. Die Winkelhalbierende
des Winkels BAC ist diejenige Gerade AD mit der Eigenschaft,
dass m(DAB) = ½m(BAC) gilt.
(b) Sei ABC ein Dreieck. Dann nennt man die Winkelhalbierenden
der Winkel A, B, C die Winkelhalbierenden des Dreiecks
ABC.
Definition. Sei P ein Punkt außerhalb einer Geraden g.
Der Abstand von P zu g ist die Länge des Lots von P auf g
(genauer gesagt: die Länge der Strecke PF, wobei F der Fußpunkt
des Lots von P auf g ist). Der Abstand von P zu g ist die
kürzeste Verbindung von P zu einem Punkt von g.
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Januar 2004Seite 63
Satz über die WinkelhalbierendenSatz über die Winkelhalbierenden
2.4.4 Satz. Seien g1 und g2 zwei Geraden, die sich in dem Punkt
S schneiden, und sei h die Winkelhalbierende von g1 und g2.
Dann sind die Punkte auf h genau die Punkte,
die den gleichen Abstand von g1 wie von g2 haben.
Beweis. Wir müssen zwei Dinge zeigen:
(1) Jeder Punkt auf h hat den gleichen Abstand von g1 wie von g2.
(2) Jeder Punkt, der den gleichen Abstand von g1 wie von g2 hat,
liegt auf h.
2.4.4 Satz. Seien g1 und g2 zwei Geraden, die sich in dem Punkt
S schneiden, und sei h die Winkelhalbierende von g1 und g2.
Dann sind die Punkte auf h genau die Punkte,
die den gleichen Abstand von g1 wie von g2 haben.
Beweis. Wir müssen zwei Dinge zeigen:
(1) Jeder Punkt auf h hat den gleichen Abstand von g1 wie von g2.
(2) Jeder Punkt, der den gleichen Abstand von g1 wie von g2 hat,
liegt auf h.
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Januar 2004Seite 64
Beweis des Satzes über die WinkelhalbierendenBeweis des Satzes über die Winkelhalbierenden
Sei X ein Punkt, und sei F1 (bzw. F2) der Fußpunkt des Lots von X auf
g1 (bzw. g2).
(1) Sei X auf h, o.B.d.A. X S. Zu zeigen: XF1 = XF2.
Die Dreiecke SXF1 und SXF2 sind rechtwinklig, und die Hypotenusen
und ein weiteres Paar von Winkeln sind gleich groß sind. Daher sind sie
kongruent (ÜA). Also ist XF1 = XF2.
(2) Nun gelte X F1 = X F2. Zu zeigen: m(XSF1 ) = m(XSF2). SXF1
und SXF2 sind rechtwinklige Dreiecke, bei denen die Hypotenusen und
ein Paar von Katheten gleich lang sind. Also sind sie kongruent (ÜA).
Insbesondere sind die Winkel XSF1 und XSF2 gleich groß.
Sei X ein Punkt, und sei F1 (bzw. F2) der Fußpunkt des Lots von X auf
g1 (bzw. g2).
(1) Sei X auf h, o.B.d.A. X S. Zu zeigen: XF1 = XF2.
Die Dreiecke SXF1 und SXF2 sind rechtwinklig, und die Hypotenusen
und ein weiteres Paar von Winkeln sind gleich groß sind. Daher sind sie
kongruent (ÜA). Also ist XF1 = XF2.
(2) Nun gelte X F1 = X F2. Zu zeigen: m(XSF1 ) = m(XSF2). SXF1
und SXF2 sind rechtwinklige Dreiecke, bei denen die Hypotenusen und
ein Paar von Katheten gleich lang sind. Also sind sie kongruent (ÜA).
Insbesondere sind die Winkel XSF1 und XSF2 gleich groß.
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Januar 2004Seite 65
Schnittpunkt der WinkelhalbierendenSchnittpunkt der Winkelhalbierenden
2.4.5 Satz. In jedem Dreieck schneiden sich die Winkelhalbie-renden
in einem gemeinsamen Punkt. Dieser Punkt hat von allen Seiten des
Dreiecks den gleichen Abstand (Mittelpunkt des Innkreises).
Beweis. Sei ABC ein Dreieck. Seien sa (bzw. sb bzw. sc) die
Winkelhalbierende von A (bzw. B bzw. C).
Hilfssatz 2.4.4 sagt: Der Schnittpunkt S von sa und sb hat den
gleichen Abstand von AC, AB und BC. Insbesondere hat er den
gleichen Abstand von AC und BC. Wiederum nach 2.4.4 liegt S
also auf der Winkelhalbierenden sc durch C.
Also schneiden sich alle Winkelhalbierenden in dem Punkt S.
2.4.5 Satz. In jedem Dreieck schneiden sich die Winkelhalbie-renden
in einem gemeinsamen Punkt. Dieser Punkt hat von allen Seiten des
Dreiecks den gleichen Abstand (Mittelpunkt des Innkreises).
Beweis. Sei ABC ein Dreieck. Seien sa (bzw. sb bzw. sc) die
Winkelhalbierende von A (bzw. B bzw. C).
Hilfssatz 2.4.4 sagt: Der Schnittpunkt S von sa und sb hat den
gleichen Abstand von AC, AB und BC. Insbesondere hat er den
gleichen Abstand von AC und BC. Wiederum nach 2.4.4 liegt S
also auf der Winkelhalbierenden sc durch C.
Also schneiden sich alle Winkelhalbierenden in dem Punkt S.
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Januar 2004Seite 66
Ein HilfssatzEin Hilfssatz
2.4.5 Hilfssatz. Seien g1 und g2 parallele Geraden, sei P ein
Punkt außerhalb von g1 und g2, und seien F1 und F2 die
Fußpunkte der Lote von P auf g1 bzw. auf g2. Sei h eine
beliebige Gerade durch P, die g1 und g2 in den Punkten P1 und
P2 schneidet. Dann gilt:
PP1 = PP2 PF1 = PF2.
Kurz: Man kann die Tatsache, dass P den gleichen Abstand von g1
und g2 hat, auch an einer „schrägen“ Geraden h ablesen.
2.4.5 Hilfssatz. Seien g1 und g2 parallele Geraden, sei P ein
Punkt außerhalb von g1 und g2, und seien F1 und F2 die
Fußpunkte der Lote von P auf g1 bzw. auf g2. Sei h eine
beliebige Gerade durch P, die g1 und g2 in den Punkten P1 und
P2 schneidet. Dann gilt:
PP1 = PP2 PF1 = PF2.
Kurz: Man kann die Tatsache, dass P den gleichen Abstand von g1
und g2 hat, auch an einer „schrägen“ Geraden h ablesen.
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Januar 2004Seite 67
Beweis des HilfssatzesBeweis des Hilfssatzes
Beweis. Die Dreiecke PF1P1 und PF2P2 haben beide einen
rechten Winkel, ferner sind die Winkel F1PP1 und F2PP2
kongruent, da sie Scheitelwinkel sind. Nach dem Winkelsummensatz
sind also auch die Winkel PP1F1 und PP2F2 kongruent.
Nun zeigen wir die beiden Implikationen.
“”: Wegen PP1 = PP2 sind die Dreiecke PF1P1 und PF2P2
kongruent nach WSW. Also ist auch PF1 = PF2.
“”: Da PF1 = PF2 ist, folgt PF1P1 PF2P2 nach WSW.
Also ist auch PP1 = PP2.
Beweis. Die Dreiecke PF1P1 und PF2P2 haben beide einen
rechten Winkel, ferner sind die Winkel F1PP1 und F2PP2
kongruent, da sie Scheitelwinkel sind. Nach dem Winkelsummensatz
sind also auch die Winkel PP1F1 und PP2F2 kongruent.
Nun zeigen wir die beiden Implikationen.
“”: Wegen PP1 = PP2 sind die Dreiecke PF1P1 und PF2P2
kongruent nach WSW. Also ist auch PF1 = PF2.
“”: Da PF1 = PF2 ist, folgt PF1P1 PF2P2 nach WSW.
Also ist auch PP1 = PP2.
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Januar 2004Seite 68
Abstand von parallelen GeradenAbstand von parallelen Geraden
2.4.6 Hilfssatz. Seien g und g‘ parallele Geraden. Dann haben je zwei Punkte P1 und P2 auf g den gleichen Abstand zu g‘.
Beweis. ÜA.
Definition. Diesen Abstand nennt man kurz auch den Abstand der
Geraden g und g‘.
2.4.6 Hilfssatz. Seien g und g‘ parallele Geraden. Dann haben je zwei Punkte P1 und P2 auf g den gleichen Abstand zu g‘.
Beweis. ÜA.
Definition. Diesen Abstand nennt man kurz auch den Abstand der
Geraden g und g‘.
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Januar 2004Seite 69
SeitenhalbierendenSeitenhalbierenden
Definition. Sei ABC ein Dreieck. Man nennt die
Verbindungsstrecken einer Ecke mit dem Mittelpunkt der
gegenüberliegenden Seite die Seitenhalbierenden von ABC.
2.4.7 Satz. Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in
einem gemeinsamen Punkt S.
Dieser Punkt S teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1,
wobei der größere Teil jeweils bei der entsprechenden Ecke liegt.
Der Punkt S heißt Schwerpunkt des Dreiecks.
Definition. Sei ABC ein Dreieck. Man nennt die
Verbindungsstrecken einer Ecke mit dem Mittelpunkt der
gegenüberliegenden Seite die Seitenhalbierenden von ABC.
2.4.7 Satz. Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in
einem gemeinsamen Punkt S.
Dieser Punkt S teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1,
wobei der größere Teil jeweils bei der entsprechenden Ecke liegt.
Der Punkt S heißt Schwerpunkt des Dreiecks.
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Januar 2004Seite 70
Beweis des Satzes über die Seitenhalbierenden, IBeweis des Satzes über die Seitenhalbierenden, I
Beweis. Sei ABC ein Dreieck. Seien Ma, Mb, Mc die Mittelpunkte der
Seiten BC, AC und AB.
Sei S der Schnittpunkt von sa = AMa und sb = BMb.
Wir betrachten die Parallelen g1, g2, g3 und g4 zu BMb durch die Punkte
A, Mc, Ma und C.
Behauptung: Die Abstände von g1 und g2, g2 und BMb, BMb und g3, g3
und g4 sind alle gleich.
„g1 und g2 sowie g2 und BMb haben den gleichen Abstand“:
Da Mc der Mittelpunkt von A und B ist, ist McA = McB. Nach dem
Hilfssatz 2.4.5 hat daher Mc den gleichen Abstand von g1 wie von BMb;
also hat g2 den gleichen Abstand von g1 wie von BMb.
Beweis. Sei ABC ein Dreieck. Seien Ma, Mb, Mc die Mittelpunkte der
Seiten BC, AC und AB.
Sei S der Schnittpunkt von sa = AMa und sb = BMb.
Wir betrachten die Parallelen g1, g2, g3 und g4 zu BMb durch die Punkte
A, Mc, Ma und C.
Behauptung: Die Abstände von g1 und g2, g2 und BMb, BMb und g3, g3
und g4 sind alle gleich.
„g1 und g2 sowie g2 und BMb haben den gleichen Abstand“:
Da Mc der Mittelpunkt von A und B ist, ist McA = McB. Nach dem
Hilfssatz 2.4.5 hat daher Mc den gleichen Abstand von g1 wie von BMb;
also hat g2 den gleichen Abstand von g1 wie von BMb.
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Januar 2004Seite 71
Beweis des Satzes über die Seitenhalbierenden, IIBeweis des Satzes über die Seitenhalbierenden, II
Genauso: „g3 hat den gleichen Abstand von BMb wie von g4“.
Betrachte die Schnitte der fünf Geraden mit der Seite AC von
ABC. Da g2 denselben Abstand von g1 wie von BMb hat, muss
X nach 2.4.5 der Mittelpunkt von A und Mb sein.
Ebenso folgt: Y ist Mittelpunkt von Mb und C. Da aber Mb der
Mittelpunkt von A und C ist, teilen die Geraden g1, g2, BMb, g3
und g4 die Strecke AC in vier gleich lange Strecken ein.
Nach 2.4.5 ist auch der Abstand von BMb zu g2 der gleiche wie der
zu g3.
Damit ist die (Zwischen-)Behauptung bewiesen.
Genauso: „g3 hat den gleichen Abstand von BMb wie von g4“.
Betrachte die Schnitte der fünf Geraden mit der Seite AC von
ABC. Da g2 denselben Abstand von g1 wie von BMb hat, muss
X nach 2.4.5 der Mittelpunkt von A und Mb sein.
Ebenso folgt: Y ist Mittelpunkt von Mb und C. Da aber Mb der
Mittelpunkt von A und C ist, teilen die Geraden g1, g2, BMb, g3
und g4 die Strecke AC in vier gleich lange Strecken ein.
Nach 2.4.5 ist auch der Abstand von BMb zu g2 der gleiche wie der
zu g3.
Damit ist die (Zwischen-)Behauptung bewiesen.
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Januar 2004Seite 72
Beweis des Satzes über die Seitenhalbierenden, IIIBeweis des Satzes über die Seitenhalbierenden, III
Zwischenbehauptung und 2.4.5 ergeben: g1, g2, BMb, g3 zerlegen
AMa in drei gleich lange Strecken. Also teilt S die Strecke AMa im
Verhältnis 2:1, wobei der längere Teil die Strecke SA ist.
Ebenso: S teilt die Strecke BMb im Verhältnis 2:1, wobei der
längere Teil bei der Ecke B liegt.
Warum liegt S auch auf der dritten Seitenhalbierenden?
Der Schnittpunkt S' von BMb und CMc teilt (nach entsprechenden
Überlegungen) sowohl BMb als auch CMc im Verhältnis 2:1.
Also teilt sowohl S als auch S‘ die Strecke BMb im Verhältnis 2:1,
wobei in beiden Fällen der längere Teil bei der Ecke B liegt. Also ist
S' = S, und der Satz ist bewiesen.
Zwischenbehauptung und 2.4.5 ergeben: g1, g2, BMb, g3 zerlegen
AMa in drei gleich lange Strecken. Also teilt S die Strecke AMa im
Verhältnis 2:1, wobei der längere Teil die Strecke SA ist.
Ebenso: S teilt die Strecke BMb im Verhältnis 2:1, wobei der
längere Teil bei der Ecke B liegt.
Warum liegt S auch auf der dritten Seitenhalbierenden?
Der Schnittpunkt S' von BMb und CMc teilt (nach entsprechenden
Überlegungen) sowohl BMb als auch CMc im Verhältnis 2:1.
Also teilt sowohl S als auch S‘ die Strecke BMb im Verhältnis 2:1,
wobei in beiden Fällen der längere Teil bei der Ecke B liegt. Also ist
S' = S, und der Satz ist bewiesen.
Kapitel 2 © Beutelspacher
Januar 2004Seite 73
2.5 Der Kreis2.5 Der Kreis
Definition: Sei M ein Punkt, und sei r eine positive reelle Zahl.
Der Kreis mit Mittelpunkt M (um M) und Radius r ist die Menge
K aller Punkte P mit PM = r.
Mit anderen Worten: Ein Kreis besteht aus allen Punkten, die von
einem festen Punkt denselben Abstand haben:
K = {P PM = r}.
Sei K ein Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r. Sei P ein Punkt
auf K. Dann heißt die Strecke MP ein Radius von K.
(Achtung: Das Wort “Radius” hat zwei Bedeutungen!)
Definition: Sei M ein Punkt, und sei r eine positive reelle Zahl.
Der Kreis mit Mittelpunkt M (um M) und Radius r ist die Menge
K aller Punkte P mit PM = r.
Mit anderen Worten: Ein Kreis besteht aus allen Punkten, die von
einem festen Punkt denselben Abstand haben:
K = {P PM = r}.
Sei K ein Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r. Sei P ein Punkt
auf K. Dann heißt die Strecke MP ein Radius von K.
(Achtung: Das Wort “Radius” hat zwei Bedeutungen!)
Kapitel 2 © Beutelspacher
Januar 2004Seite 74
Sehnen, Sekanten und TangentenSehnen, Sekanten und Tangenten
Sei K ein Kreis um M mit Radius r.
Definition: Seien P und Q verschiedene Punkte von K. Dann
heißt die Strecke PQ eine Sehne von K. Wenn M PQ ist, so
heißt PQ ein Durchmesser von K.
Definition: Eine Gerade, die einen Kreis K in genau zwei Punkten
trifft, wird Sekante genannt; eine Gerade, die K in genau einem
Punkt P trifft, heißt Tangente an K in dem Punkt P.
Definition: Die Menge X aller Punkte mit XM < r heißt das
Innere von K; die Menge der Punkte Y mit YM > r wird das
Äußere von K genannt.
Sei K ein Kreis um M mit Radius r.
Definition: Seien P und Q verschiedene Punkte von K. Dann
heißt die Strecke PQ eine Sehne von K. Wenn M PQ ist, so
heißt PQ ein Durchmesser von K.
Definition: Eine Gerade, die einen Kreis K in genau zwei Punkten
trifft, wird Sekante genannt; eine Gerade, die K in genau einem
Punkt P trifft, heißt Tangente an K in dem Punkt P.
Definition: Die Menge X aller Punkte mit XM < r heißt das
Innere von K; die Menge der Punkte Y mit YM > r wird das
Äußere von K genannt.
Kapitel 2 © Beutelspacher
Januar 2004Seite 75
Existenz und Eindeutigkeit von TangentenExistenz und Eindeutigkeit von Tangenten
2.5.1 Satz. Sei K ein Kreis um M mit Radius r. Dann gilt:
(a) (Konstruktion von Tangenten) Wenn t eine Gerade ist, die
durch den Punkt P von K geht und senkrecht auf dem Radius PM
steht, dann ist t eine Tangente von K.
(b) (Eindeutigkeit von Tangenten) Wenn t eine Tangente ist, die
K in dem Punkt P berührt, dann steht t senkrecht auf dem Radius
PM .
(c) Jeder Punkt von K liegt auf einer eindeutig bestimmten
Tangenten.
(d) Eine Tangente enthält keinen Punkt aus dem Innern von K.
2.5.1 Satz. Sei K ein Kreis um M mit Radius r. Dann gilt:
(a) (Konstruktion von Tangenten) Wenn t eine Gerade ist, die
durch den Punkt P von K geht und senkrecht auf dem Radius PM
steht, dann ist t eine Tangente von K.
(b) (Eindeutigkeit von Tangenten) Wenn t eine Tangente ist, die
K in dem Punkt P berührt, dann steht t senkrecht auf dem Radius
PM .
(c) Jeder Punkt von K liegt auf einer eindeutig bestimmten
Tangenten.
(d) Eine Tangente enthält keinen Punkt aus dem Innern von K.
Kapitel 2 © Beutelspacher
Januar 2004Seite 76
Beweis des Satzes über Tangenten, (a)Beweis des Satzes über Tangenten, (a)
Beweis. (a) Sei t die Gerade durch P, die senkrecht auf PM steht.
Angenommen, t schneidet den Kreis K in einem weiteren Punkt Q
P.
Wegen PM = r = QM ist MPQ ein gleichschenkliges Dreieck.
Also sind die Basiswinkel kongruent. Da aber der Basiswinkel
MPQ nach Voraussetzung ein rechter Winkel ist, muss auch
MQP ein rechter Winkel sein: ein Widerspruch, da die
Winkelsumme 180° ist.
(b) Sei t eine Tangente, die K in dem Punkt P berührt.
Sei F der Fußpunkt des Lots von M auf t.
Falls F = P, sind wir fertig.
Beweis. (a) Sei t die Gerade durch P, die senkrecht auf PM steht.
Angenommen, t schneidet den Kreis K in einem weiteren Punkt Q
P.
Wegen PM = r = QM ist MPQ ein gleichschenkliges Dreieck.
Also sind die Basiswinkel kongruent. Da aber der Basiswinkel
MPQ nach Voraussetzung ein rechter Winkel ist, muss auch
MQP ein rechter Winkel sein: ein Widerspruch, da die
Winkelsumme 180° ist.
(b) Sei t eine Tangente, die K in dem Punkt P berührt.
Sei F der Fußpunkt des Lots von M auf t.
Falls F = P, sind wir fertig.
Kapitel 2 © Beutelspacher
Januar 2004Seite 77
Beweis des Satzes über Tangenten, (b), (c), (d)Beweis des Satzes über Tangenten, (b), (c), (d)
Wir nehmen an, dass F P ist.
Dann gibt es P’ P auf t = FP, so dass F der Mittelpunkt von P
und P’ ist. Dann ist MF das Mittellot von P und P’.
Da M auf dem Mittellot von P und P’ liegt, folgt mit dem
Mittellotsatz MP’= MP = r.
Also liegt P’ auf K. Daher würde t zwei Punkte von K enthalten,
ein Widerspruch zur Definition einer Tangente.
(c) folgt aus (a) und (b).
(d) folgt weil der Radius die kürzeste Verbindung von M zum
Berührpunkt einer Tangente ist.
Wir nehmen an, dass F P ist.
Dann gibt es P’ P auf t = FP, so dass F der Mittelpunkt von P
und P’ ist. Dann ist MF das Mittellot von P und P’.
Da M auf dem Mittellot von P und P’ liegt, folgt mit dem
Mittellotsatz MP’= MP = r.
Also liegt P’ auf K. Daher würde t zwei Punkte von K enthalten,
ein Widerspruch zur Definition einer Tangente.
(c) folgt aus (a) und (b).
(d) folgt weil der Radius die kürzeste Verbindung von M zum
Berührpunkt einer Tangente ist.
Kapitel 2 © Beutelspacher
Januar 2004Seite 78
UmfangswinkelUmfangswinkel
Definition. Sei AB eine Sehne eines Kreises K mit Mittelpunkt M.
Dann teilt diese Sehen den Kreis in zwei “Kreisbögen” ein.
Sei C ein von A und B verschiedener Punkt von K.
Dann heißt der Winkel ACB Umfangswinkel (Peripheriewinkel).
Der Winkel AMB heißt Mittelpunktswinkel. Sei AD eine
Tangente. Dann heißt DAB ein Sehnentangentenwinkel.
Definition. Sei AB eine Sehne eines Kreises K mit Mittelpunkt M.
Dann teilt diese Sehen den Kreis in zwei “Kreisbögen” ein.
Sei C ein von A und B verschiedener Punkt von K.
Dann heißt der Winkel ACB Umfangswinkel (Peripheriewinkel).
Der Winkel AMB heißt Mittelpunktswinkel. Sei AD eine
Tangente. Dann heißt DAB ein Sehnentangentenwinkel.
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Januar 2004Seite 79
Umfangswinkelsatz Umfangswinkelsatz
2.5.2 Umfangswinkelsatz. Sei AB eine Sehne eines Kreises K.
Dann sind alle Umfangswinkel ACB, wobei C in einem
Kreisbogen ist, gleich groß.
Genauer gilt: Jeder Umfangswinkel ist genau halb so groß wie der
Mittelpunktswinkel über der Strecke AB
und genau so groß wie der auf der anderen Seite von AB liegende
Sehnentangentenwinkel.
2.5.2 Umfangswinkelsatz. Sei AB eine Sehne eines Kreises K.
Dann sind alle Umfangswinkel ACB, wobei C in einem
Kreisbogen ist, gleich groß.
Genauer gilt: Jeder Umfangswinkel ist genau halb so groß wie der
Mittelpunktswinkel über der Strecke AB
und genau so groß wie der auf der anderen Seite von AB liegende
Sehnentangentenwinkel.
Kapitel 2 © Beutelspacher
Januar 2004Seite 80
Satz des ThalesSatz des Thales
2.5.3 Folgerung: Satz des Thales (650 bis 560 v. Chr.).
Sei AB ein Durchmesser eines Kreises K.
Dann gilt für jeden von A, B verschiedenen Punkt C von K:
m(ACB) = 90°.
Kurzform: „Der Winkel im Halbkreis ist ein rechter“.
Beweis. (Umfangswinkelsatz wird vorausgesetzt!).
Der Umfangswinkelsatz sagt, dass der Winkel ACB genau so
groß ist wie der “gegenüberliegende” Sehnentangentenwinkel.
Da die Sehne in diesem Fall ein Durchmesser ist, steht die Tangente
senkrecht auf der Sehne. Also ist der Sehnentangentenwinkel, und
damit auch der Umfangswinkel ACB ein rechter Winkel.
2.5.3 Folgerung: Satz des Thales (650 bis 560 v. Chr.).
Sei AB ein Durchmesser eines Kreises K.
Dann gilt für jeden von A, B verschiedenen Punkt C von K:
m(ACB) = 90°.
Kurzform: „Der Winkel im Halbkreis ist ein rechter“.
Beweis. (Umfangswinkelsatz wird vorausgesetzt!).
Der Umfangswinkelsatz sagt, dass der Winkel ACB genau so
groß ist wie der “gegenüberliegende” Sehnentangentenwinkel.
Da die Sehne in diesem Fall ein Durchmesser ist, steht die Tangente
senkrecht auf der Sehne. Also ist der Sehnentangentenwinkel, und
damit auch der Umfangswinkel ACB ein rechter Winkel.
Kapitel 2 © Beutelspacher
Januar 2004Seite 81
Beweis des UmfangswinkelsatzesBeweis des Umfangswinkelsatzes
Betrachte den Fall „M liegt innerhalb von ABC. Andere Fälle: ÜA
Sei + die Größe des Umfangswinkels, die Größe des Sehnen-
tangentenwinkels und die Größe des Mittelpunktswinkels.
Dann haben die drei Winkel bei M die Größen , 180°–2 und
180°–2. Somit gilt:
+ 180°–2 + 180°–2 = 360°,
also + = /2.
Da der Winkel BAM das Maß (180°–)/2 hat, gilt
+ (180°–)/2 = 90°, also = /2.
Zusammen folgt + = . Damit sind alle Behauptungen bewiesen.
Betrachte den Fall „M liegt innerhalb von ABC. Andere Fälle: ÜA
Sei + die Größe des Umfangswinkels, die Größe des Sehnen-
tangentenwinkels und die Größe des Mittelpunktswinkels.
Dann haben die drei Winkel bei M die Größen , 180°–2 und
180°–2. Somit gilt:
+ 180°–2 + 180°–2 = 360°,
also + = /2.
Da der Winkel BAM das Maß (180°–)/2 hat, gilt
+ (180°–)/2 = 90°, also = /2.
Zusammen folgt + = . Damit sind alle Behauptungen bewiesen.
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Januar 2004Seite 82
2.6 Der Satz des Pythagoras2.6 Der Satz des Pythagoras
• Flächeninhalt
• Satz des Pythagoras
• Kathetensatz
• Höhensatz
• Flächeninhalt
• Satz des Pythagoras
• Kathetensatz
• Höhensatz
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Januar 2004Seite 83
Flächeninhalt IFlächeninhalt I
Definition des Flächeninhalts: Problem!
(a) Kongruente Dreiecke haben den gleichen Flächeninhalt.
(b) Zerlegung: Seien F und F' Figuren. Wir zerlegen F in Figuren
F1, F2, ... und F' in Figuren F1', F2', ... Wir setzen fest: Wenn F1
und F1‘, F2 und F2', ... jeweils den gleichen Flächeninhalt haben,
dann haben auch F und F' den gleichen Flächeninhalt.
Folgerung: Wenn die Figuren F und F' so in Dreiecke 1, 2, ...
und 1', 2', ... zerlegt werden können, dass 1 1', 2 2', ...,
dann haben die beiden Figuren den gleichen Flächeninhalt.
Kurz: Zerlegungsgleiche Figuren haben den gleichen Flächeninhalt.
Definition des Flächeninhalts: Problem!
(a) Kongruente Dreiecke haben den gleichen Flächeninhalt.
(b) Zerlegung: Seien F und F' Figuren. Wir zerlegen F in Figuren
F1, F2, ... und F' in Figuren F1', F2', ... Wir setzen fest: Wenn F1
und F1‘, F2 und F2', ... jeweils den gleichen Flächeninhalt haben,
dann haben auch F und F' den gleichen Flächeninhalt.
Folgerung: Wenn die Figuren F und F' so in Dreiecke 1, 2, ...
und 1', 2', ... zerlegt werden können, dass 1 1', 2 2', ...,
dann haben die beiden Figuren den gleichen Flächeninhalt.
Kurz: Zerlegungsgleiche Figuren haben den gleichen Flächeninhalt.
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Januar 2004Seite 84
Flächeninhalt IIFlächeninhalt II
Bemerkung: Wir können bislang nur sagen, ob zwei Figuren den
gleichen Flächeninhalt haben oder nicht. Wir können aber noch
keinen Flächeninhalt "messen".
Wir können sagen „ ein Quadrat der Seitenlänge 2 hat den gleichen
Flächeninhalt wie ein Rechteck mit den Seitenlängen 1 und 4“.
Wir legen fest: Wenn eine Figur F in Teilfiguren F1, ..., Fn zerlegt
ist und die Teilfiguren F1, ..., Fn alle den gleichen Flächeninhalt
haben, so ist der Flächeninhalt von F das n-fache des
Flächeninhalts von F1.
Bemerkung: Wir können bislang nur sagen, ob zwei Figuren den
gleichen Flächeninhalt haben oder nicht. Wir können aber noch
keinen Flächeninhalt "messen".
Wir können sagen „ ein Quadrat der Seitenlänge 2 hat den gleichen
Flächeninhalt wie ein Rechteck mit den Seitenlängen 1 und 4“.
Wir legen fest: Wenn eine Figur F in Teilfiguren F1, ..., Fn zerlegt
ist und die Teilfiguren F1, ..., Fn alle den gleichen Flächeninhalt
haben, so ist der Flächeninhalt von F das n-fache des
Flächeninhalts von F1.
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Januar 2004Seite 85
Flächeninhalt eines RechtecksFlächeninhalt eines Rechtecks
Beispiel: Ein Rechteck mit Seitenlängen a und b (a, b N)
hat einen Flächeninhalt, der ab mal größer ist als der Flächeninhalt
eines Quadrats der Seitenlänge 1 (Einheitsquadrat).
Wir legen fest: Das Einheitsquadrat hat den Flächeninhalt 1 !
Dann hat ein Rechteck mit Seitenlängen a, b N den Flächeninhalt
ab.
Wir legen fest: Ein Rechteck mit den Seitenlängen a, b R hat den
Flächeninhalt ab. Insbesondere hat ein Quadrat der Seitenlänge a
den Flächeninhalt a2.
Beispiel: Ein Rechteck mit Seitenlängen a und b (a, b N)
hat einen Flächeninhalt, der ab mal größer ist als der Flächeninhalt
eines Quadrats der Seitenlänge 1 (Einheitsquadrat).
Wir legen fest: Das Einheitsquadrat hat den Flächeninhalt 1 !
Dann hat ein Rechteck mit Seitenlängen a, b N den Flächeninhalt
ab.
Wir legen fest: Ein Rechteck mit den Seitenlängen a, b R hat den
Flächeninhalt ab. Insbesondere hat ein Quadrat der Seitenlänge a
den Flächeninhalt a2.
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Januar 2004Seite 86
Flächeninhalt eines rechtwinkligen DreiecksFlächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks
2.6.1 Satz. Sei ABC ein rechtwinkliges Dreieck mit rechtem
Winkel bei C; seien a und b die Längen der beiden Katheten.
Dann hat ABC den Flächeninhalt ab/2.
Beweis. Wir betten das Dreieck ABC in ein Rechteck ACBD mit
den Seitenlängen a und b ein.
Dann sind die Dreiecke ABC und BAD kongruent.
Also ist der Flächeninhalt des Rechtecks doppelt so groß wie der
Flächeninhalt des Dreiecks.
Mit anderen Worten: Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC ist halb
so groß wie der Flächeninhalt des Rechtecks.
Also ist der Flächeninhalt des Dreiecks gleich ½ab.
2.6.1 Satz. Sei ABC ein rechtwinkliges Dreieck mit rechtem
Winkel bei C; seien a und b die Längen der beiden Katheten.
Dann hat ABC den Flächeninhalt ab/2.
Beweis. Wir betten das Dreieck ABC in ein Rechteck ACBD mit
den Seitenlängen a und b ein.
Dann sind die Dreiecke ABC und BAD kongruent.
Also ist der Flächeninhalt des Rechtecks doppelt so groß wie der
Flächeninhalt des Dreiecks.
Mit anderen Worten: Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC ist halb
so groß wie der Flächeninhalt des Rechtecks.
Also ist der Flächeninhalt des Dreiecks gleich ½ab.
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Januar 2004Seite 87
Satz des PythagorasSatz des Pythagoras
Berühmtester Satz der Mathematik;
insgesamt gibt es über 100 verschiedene Beweise!
2.6.2 Satz des Pythagoras. In einem rechtwinkligen Dreieck mit
den Kathetenlängen a und b und der Hypotenusenläge c gilt
a2 + b2 = c2.
In Worten: Das Quadrat über der Hypotenuse ist gleich der Summe
der Quadrate über den Katheten.
Berühmtester Satz der Mathematik;
insgesamt gibt es über 100 verschiedene Beweise!
2.6.2 Satz des Pythagoras. In einem rechtwinkligen Dreieck mit
den Kathetenlängen a und b und der Hypotenusenläge c gilt
a2 + b2 = c2.
In Worten: Das Quadrat über der Hypotenuse ist gleich der Summe
der Quadrate über den Katheten.
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Januar 2004Seite 88
Beweis des Satzes von PythagorasBeweis des Satzes von Pythagoras
Beweis. Wir verlängern die Seiten CA und CB des Dreiecks
ABC. Dann legen wir dreimal ein rechtwinkliges Dreieck mit den
Seitenlängen a, b, c so an, daß wir ein Quadrat mit der Seitenlänge
a+b erhalten.
Da die vom rechten Winkel verschiedenen Winkel der Dreiecke
zusammen 90° ergeben, ist auch das im Innern entstehende Viereck
ein Quadrat. Dieses hat die Seitenlänge c. Daher gilt:
Flächeninhalt des großen Quadrats =
Flächeninhalt des Quadrats in der Mitte + 4 · Fläche des Dreiecks.
Das heißt: (a+b)2 = c2 + 4ab/2.
Daraus ergibt sich a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab, bzw. a2 + b2 = c2.
Beweis. Wir verlängern die Seiten CA und CB des Dreiecks
ABC. Dann legen wir dreimal ein rechtwinkliges Dreieck mit den
Seitenlängen a, b, c so an, daß wir ein Quadrat mit der Seitenlänge
a+b erhalten.
Da die vom rechten Winkel verschiedenen Winkel der Dreiecke
zusammen 90° ergeben, ist auch das im Innern entstehende Viereck
ein Quadrat. Dieses hat die Seitenlänge c. Daher gilt:
Flächeninhalt des großen Quadrats =
Flächeninhalt des Quadrats in der Mitte + 4 · Fläche des Dreiecks.
Das heißt: (a+b)2 = c2 + 4ab/2.
Daraus ergibt sich a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab, bzw. a2 + b2 = c2.
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Januar 2004Seite 89
Beispiel zum Satz des PythagorasBeispiel zum Satz des Pythagoras
Mit dem Satz des Pythagoras kann man die dritte Seite eines
rechtwinkligen Dreiecks ausrechnen, wenn zwei Seiten gegeben
sind.
Beispiel: Wenn die Längen der Katheten 3 und 4 sind, so muss
die Länge der Hypotenuse gleich sein.
Man kann schrittweise Strecken der Länge 2, 3, 4, 5, …
konstruieren (Quadratwurzelschnecke).
Mit dem Satz des Pythagoras kann man die dritte Seite eines
rechtwinkligen Dreiecks ausrechnen, wenn zwei Seiten gegeben
sind.
Beispiel: Wenn die Längen der Katheten 3 und 4 sind, so muss
die Länge der Hypotenuse gleich sein.
Man kann schrittweise Strecken der Länge 2, 3, 4, 5, …
konstruieren (Quadratwurzelschnecke).
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Januar 2004Seite 90
Satz des Pythagoras für „beliebige“ FigurenSatz des Pythagoras für „beliebige“ Figuren
Man kann den Satz des Pythagoras so variieren, dass man statt
Quadraten „beliebige“ Figuren an die Seiten zeichnet.
Es gilt dann immer
Summe der Flächen der Figuren über den Katheten
= Fläche über der Hypotenuse
Als Voraussetzung braucht man nur, dass der Flächeninhalt der
Figuren jeweils ein fester Prozentsatz der Quadratfläche ist.
Man kann den Satz des Pythagoras so variieren, dass man statt
Quadraten „beliebige“ Figuren an die Seiten zeichnet.
Es gilt dann immer
Summe der Flächen der Figuren über den Katheten
= Fläche über der Hypotenuse
Als Voraussetzung braucht man nur, dass der Flächeninhalt der
Figuren jeweils ein fester Prozentsatz der Quadratfläche ist.
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Januar 2004Seite 91
Umkehrung des Satzes des PythagorasUmkehrung des Satzes des Pythagoras
2.6.3 Satz. Sei ABC ein beliebiges Dreieck mit den
Seitenlängen a, b, c. Wenn gilt
a2 + b2 = c2,
dann ist ABC rechtwinklig mit rechtem Winkel bei C.
Anwendung: Konstruktion eines rechten Winkels im 3,4,5-
Dreieck.
2.6.3 Satz. Sei ABC ein beliebiges Dreieck mit den
Seitenlängen a, b, c. Wenn gilt
a2 + b2 = c2,
dann ist ABC rechtwinklig mit rechtem Winkel bei C.
Anwendung: Konstruktion eines rechten Winkels im 3,4,5-
Dreieck.
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Januar 2004Seite 92
Der HöhensatzDer Höhensatz
2.6.4 Höhensatz. Sei ABC ein rechtwinkliges Dreieck (mit
rechtem Winkel bei C. Sei F der Fußpunkt des Lots von C auf
AB. Sei h = CF, p = AF und q = BF. Dann gilt
h2 = pq.
Anwendung: Gegeben ein Quadrat mit Seitenlänge h und eine
positive reelle Zahl p < h. Konstruiere ein Rechteck, das eine Seite
der Länge p hat und gleichen Flächeninhalt wie das Quadrat hat.
2.6.4 Höhensatz. Sei ABC ein rechtwinkliges Dreieck (mit
rechtem Winkel bei C. Sei F der Fußpunkt des Lots von C auf
AB. Sei h = CF, p = AF und q = BF. Dann gilt
h2 = pq.
Anwendung: Gegeben ein Quadrat mit Seitenlänge h und eine
positive reelle Zahl p < h. Konstruiere ein Rechteck, das eine Seite
der Länge p hat und gleichen Flächeninhalt wie das Quadrat hat.
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Beweis des HöhensatzesBeweis des Höhensatzes
Beweis. Wende Pythagoras auf die Dreiecke AFC und BFC an:
h2 + p2 = b2, h2 + q2 = a2.
Wir addieren die beiden Gleichungen und wenden Pythagoras an:
2h2 + p2 + q2 = a2 + b2 = c2 ...
Wegen c = p + q ist also
2h2 + p2 + q2 = c2 = (p+q)2 = p2 + 2pq + q2,
also 2h2 = 2pq, und damit h2 = pq.
Beweis. Wende Pythagoras auf die Dreiecke AFC und BFC an:
h2 + p2 = b2, h2 + q2 = a2.
Wir addieren die beiden Gleichungen und wenden Pythagoras an:
2h2 + p2 + q2 = a2 + b2 = c2 ...
Wegen c = p + q ist also
2h2 + p2 + q2 = c2 = (p+q)2 = p2 + 2pq + q2,
also 2h2 = 2pq, und damit h2 = pq.
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Januar 2004Seite 94
Der KathetensatzDer Kathetensatz
2.6.5 Kathetensatz. Sei ABC ein rechtwinkliges Dreieck mit
rechtem Winkel bei C. Sei F der Fußpunkt des Lots von C
auf AB. Sei q = BF. Dann gilt
a2 = qc.
Anwendung: Gegeben ein Rechteck mit Seitenlängen q und c.
Konstruiere ein Quadrat, das den gleichen Flächeninhalt wie das
Rechteck hat.
2.6.5 Kathetensatz. Sei ABC ein rechtwinkliges Dreieck mit
rechtem Winkel bei C. Sei F der Fußpunkt des Lots von C
auf AB. Sei q = BF. Dann gilt
a2 = qc.
Anwendung: Gegeben ein Rechteck mit Seitenlängen q und c.
Konstruiere ein Quadrat, das den gleichen Flächeninhalt wie das
Rechteck hat.
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Januar 2004Seite 95
Beweis des KathetensatzesBeweis des Kathetensatzes
Beweis. Wende Pythagoras auf das Dreieck BFC an:
a2 = q2 + h2.
Mit dem Höhensatz folgt:
a2 = q2 + h2 = q2 + pq = q(q+p) = qc.
Bemerkung: Auf dem Höhen- und Kathetensatz beruht die Fähigkeit
der Griechen, variable Größen multiplizieren zu können.
(Problem: Das Produkt ist eine andere Sorte von Größe (nämlich
eine Fläche) als die Ausgangsgröße.)
Beweis. Wende Pythagoras auf das Dreieck BFC an:
a2 = q2 + h2.
Mit dem Höhensatz folgt:
a2 = q2 + h2 = q2 + pq = q(q+p) = qc.
Bemerkung: Auf dem Höhen- und Kathetensatz beruht die Fähigkeit
der Griechen, variable Größen multiplizieren zu können.
(Problem: Das Produkt ist eine andere Sorte von Größe (nämlich
eine Fläche) als die Ausgangsgröße.)
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Januar 2004Seite 96
2.7 Die Strahlensätze2.7 Die Strahlensätze
2.7.1 Erster Strahlensatz. Sei ABC ein Dreieck,
sei B* ein Punkt auf AB, und sei C* ein Punkt auf AC.
Dann gilt: Wenn B*C* parallel zu BC ist, so gilt:
AB* / AB = AC* / AC.
Beweis. Ist technisch aufwändig, weil man den Satz zunächst für
natürliche, dann rationale und dann reelle Zahlen beweist.
Spezialfall: AB = 2AB*.
2.7.1 Erster Strahlensatz. Sei ABC ein Dreieck,
sei B* ein Punkt auf AB, und sei C* ein Punkt auf AC.
Dann gilt: Wenn B*C* parallel zu BC ist, so gilt:
AB* / AB = AC* / AC.
Beweis. Ist technisch aufwändig, weil man den Satz zunächst für
natürliche, dann rationale und dann reelle Zahlen beweist.
Spezialfall: AB = 2AB*.
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Januar 2004Seite 97
Bemerkung zum ersten StrahlensatzBemerkung zum ersten Strahlensatz
Unter den Voraussetzungen des 1. Strahlensatzes gilt auch
AB* / B*B = AC* / C*C.
Beweis. Aus AB / AB* = AC / AC* (1. Strahlensatz) folgt
1 + B*B / AB* = (AB* + B*B) / AB* = AB / AB*
= AC / AC* = (AC* + C*C) / AC* = 1 + C*C / AC* .
Also B*B / AB* = C*C / AC*; das heißt
AB* / B*B = AC* / C*C.
Unter den Voraussetzungen des 1. Strahlensatzes gilt auch
AB* / B*B = AC* / C*C.
Beweis. Aus AB / AB* = AC / AC* (1. Strahlensatz) folgt
1 + B*B / AB* = (AB* + B*B) / AB* = AB / AB*
= AC / AC* = (AC* + C*C) / AC* = 1 + C*C / AC* .
Also B*B / AB* = C*C / AC*; das heißt
AB* / B*B = AC* / C*C.
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Januar 2004Seite 98
AnwendungenAnwendungen
1. Aufteilung einer Strecke in gleiche Teile. Sei AB eine Strecke,
die in n gleiche Teile eingeteilt werden soll.
Dazu bildet man einen Strahl ACn, der in n gleiche Teilstrecken
AC1, C1C2, ..., Cn–1Cn aufgeteilt ist.
Die Parallelen zu BCn durch die Punkte C1, C2, ..., Cn–1 schneiden
die Strecke AB in den Punkten B1, B2, ..., Bn–1;
diese teilen die Strecke AB in n gleiche Teilstrecken ein.
2. „Projektionssatz“: Wenn drei parallele Geraden zwei Geraden g
und h schneiden, so haben die auf g bzw. h ausgeschnittenen
Strecken das gleiche Verhältnis.
1. Aufteilung einer Strecke in gleiche Teile. Sei AB eine Strecke,
die in n gleiche Teile eingeteilt werden soll.
Dazu bildet man einen Strahl ACn, der in n gleiche Teilstrecken
AC1, C1C2, ..., Cn–1Cn aufgeteilt ist.
Die Parallelen zu BCn durch die Punkte C1, C2, ..., Cn–1 schneiden
die Strecke AB in den Punkten B1, B2, ..., Bn–1;
diese teilen die Strecke AB in n gleiche Teilstrecken ein.
2. „Projektionssatz“: Wenn drei parallele Geraden zwei Geraden g
und h schneiden, so haben die auf g bzw. h ausgeschnittenen
Strecken das gleiche Verhältnis.
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Januar 2004Seite 99
Umkehrung des ersten StrahlensatzesUmkehrung des ersten Strahlensatzes
2.7.2 Umkehrung des ersten Strahlensatzes. Sei ABC ein
Dreieck, sei B* ein Punkt auf AB, und sei C* ein Punkt auf AC.
Dann gilt: Wenn gilt
AB* / AB = AC* / AC,
dann ist B*C* parallel zu BC.
Beweis. Sei h die Parallele zu BC durch B*, diese schneidet AC
in dem Punkt C+. Wir müssen zeigen, dass C+= C* ist.
2.7.2 Umkehrung des ersten Strahlensatzes. Sei ABC ein
Dreieck, sei B* ein Punkt auf AB, und sei C* ein Punkt auf AC.
Dann gilt: Wenn gilt
AB* / AB = AC* / AC,
dann ist B*C* parallel zu BC.
Beweis. Sei h die Parallele zu BC durch B*, diese schneidet AC
in dem Punkt C+. Wir müssen zeigen, dass C+= C* ist.
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Januar 2004Seite 100
Beweis der UmkehrungBeweis der Umkehrung
Wir wenden den 1. Strahlensatz an:
AB* / AB = AC+ / AC,
also
AC+ = AB* AC / AB.
Nach Voraussetzung ist aber AB* / AB = AC* / AC, also
AC* = AB* AC / AB.
Zusammen folgt C+ = C*.
Wir wenden den 1. Strahlensatz an:
AB* / AB = AC+ / AC,
also
AC+ = AB* AC / AB.
Nach Voraussetzung ist aber AB* / AB = AC* / AC, also
AC* = AB* AC / AB.
Zusammen folgt C+ = C*.
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Januar 2004Seite 101
Der zweite StrahlensatzDer zweite Strahlensatz
2.7.3 Zweiter Strahlensatz. Sei ABC ein Dreieck,
sei B* ein Punkt auf AB, und sei C* ein Punkt auf AC.
Dann gilt: Wenn B*C* parallel zu BC ist, so gilt:
AB* / AB = B*C* / BC.
Beweis. Wir betrachten die Parallele zu AC durch B*; diese
schneidet BC in einem Punkt S.
Das Viereck C*B*SC ist ein Parallelogramm;
also ist SC = B*C*.
2.7.3 Zweiter Strahlensatz. Sei ABC ein Dreieck,
sei B* ein Punkt auf AB, und sei C* ein Punkt auf AC.
Dann gilt: Wenn B*C* parallel zu BC ist, so gilt:
AB* / AB = B*C* / BC.
Beweis. Wir betrachten die Parallele zu AC durch B*; diese
schneidet BC in einem Punkt S.
Das Viereck C*B*SC ist ein Parallelogramm;
also ist SC = B*C*.
Kapitel 2 © Beutelspacher
Januar 2004Seite 102
Beweis des zweiten StrahlensatzesBeweis des zweiten Strahlensatzes
Wir wenden den ersten Strahlensatz “von B aus” an:
BS / SC = BB* / B*A.
Wegen BC = BS + SC ergibt sich
BC = BB* SC / B*A + SC= (BB* SC + B*A SC) / B*A
= (AB* + BB*) SC / B*A = AB SC / B*A = AB B*C* / B*A.
Also folgt BC / B*C* = AB / AB*.
Wir wenden den ersten Strahlensatz “von B aus” an:
BS / SC = BB* / B*A.
Wegen BC = BS + SC ergibt sich
BC = BB* SC / B*A + SC= (BB* SC + B*A SC) / B*A
= (AB* + BB*) SC / B*A = AB SC / B*A = AB B*C* / B*A.
Also folgt BC / B*C* = AB / AB*.
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Januar 2004Seite 103
Die Mittellinie eines DreiecksDie Mittellinie eines Dreiecks
Definition. Sei ABC ein Dreieck. Sei Mb der Mittelpunkt der Seite
AC, und sei Ma der Mittelpunkt der Seite BC. Dann heißt die
Strecke MbMa die Mittellinie (oder Mittelparallele) des Dreiecks
ABC.
2.7.4 Satz über die Mittellinie. Die Mittellinie ist parallel zur
Grundseite AB und genau halb so lang wie diese.
Beweis. Aus der Umkehrung des ersten Strahlensatzes folgt die
Parallelität. Aus dem zweiten Strahlensatz ergibt sich dann die
Tatsache, dass die Mittellinie halb so lang wie die Grundseite ist.
Definition. Sei ABC ein Dreieck. Sei Mb der Mittelpunkt der Seite
AC, und sei Ma der Mittelpunkt der Seite BC. Dann heißt die
Strecke MbMa die Mittellinie (oder Mittelparallele) des Dreiecks
ABC.
2.7.4 Satz über die Mittellinie. Die Mittellinie ist parallel zur
Grundseite AB und genau halb so lang wie diese.
Beweis. Aus der Umkehrung des ersten Strahlensatzes folgt die
Parallelität. Aus dem zweiten Strahlensatz ergibt sich dann die
Tatsache, dass die Mittellinie halb so lang wie die Grundseite ist.
Kapitel 2 © Beutelspacher
Januar 2004Seite 104
Einfacher Beweis des SchwerpunktsatzesEinfacher Beweis des Schwerpunktsatzes
Beweis des Satzes 2.4.7 (Schnittpunkt der Seitenhalbierenden):
Sei ABC ein Dreieck. Sei Mb der Mittelpunkt der Seite AC, Ma
der Mittelpunkt der Seite BC, und sei MbMa die Mittellinie.
Sei S der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden AMa und BMb. Da
die Mittellinie parallel zur Grundseite ist, können wir den zweiten
Strahlensatz anwenden. Es folgt, dass S die beiden
Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 teilt.
D.h. BMb schneidet AMa in dem Punkt, der die Strecke AMa im
Verhältnis 2:1 teilt. Ebenso folgt aber: CMc teilt AMa in dem Punkt,
der die Strecke im Verhältnis 2:1 teilt. Also gehen alle drei
Seitenhalbierenden durch denselben Punkt.
Beweis des Satzes 2.4.7 (Schnittpunkt der Seitenhalbierenden):
Sei ABC ein Dreieck. Sei Mb der Mittelpunkt der Seite AC, Ma
der Mittelpunkt der Seite BC, und sei MbMa die Mittellinie.
Sei S der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden AMa und BMb. Da
die Mittellinie parallel zur Grundseite ist, können wir den zweiten
Strahlensatz anwenden. Es folgt, dass S die beiden
Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 teilt.
D.h. BMb schneidet AMa in dem Punkt, der die Strecke AMa im
Verhältnis 2:1 teilt. Ebenso folgt aber: CMc teilt AMa in dem Punkt,
der die Strecke im Verhältnis 2:1 teilt. Also gehen alle drei
Seitenhalbierenden durch denselben Punkt.
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Januar 2004Seite 105
Umkehrung des zweiten Strahlensatzes? Umkehrung des zweiten Strahlensatzes?
Umkehrung des zweiten Strahlensatzes?
Sei ABC ein Dreieck, sei B* ein Punkt auf AB, und sei C* ein
Punkt auf AC.
Sei AB* / AB = B*C* / BC. Gilt dann: B*C* ist parallel zu BC ??
Nein!
Umkehrung des zweiten Strahlensatzes?
Sei ABC ein Dreieck, sei B* ein Punkt auf AB, und sei C* ein
Punkt auf AC.
Sei AB* / AB = B*C* / BC. Gilt dann: B*C* ist parallel zu BC ??
Nein!
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Januar 2004Seite 106
2.8 Bemerkung zu Beweisen2.8 Bemerkung zu Beweisen
Jeder mathematische Satz ist von der Form “A B”.
Aus A (der Voraussetzung) folgt B (die Behauptung).
Behauptung: A B.
Direkter Beweis: Es gelte A.
Bla bla bla.
Also gilt B.
Indirekter Beweis: Angenommen, B ist falsch.
Bla bla bla: Ein Widerspruch!
Also ist die Annahme falsch. Also gilt B.
Jeder mathematische Satz ist von der Form “A B”.
Aus A (der Voraussetzung) folgt B (die Behauptung).
Behauptung: A B.
Direkter Beweis: Es gelte A.
Bla bla bla.
Also gilt B.
Indirekter Beweis: Angenommen, B ist falsch.
Bla bla bla: Ein Widerspruch!
Also ist die Annahme falsch. Also gilt B.