Karakteristik dinamis struktur domes berelemen membran
(DYNAMICS CHARACTERISTIC of THE STRUCTURAL DOMES
USING SHELL ELEMENT )
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Sebagian
Persyaratan Memperoleh Gelar Sarjana Teknik
Dikerjakan Oleh :
Devy Sari PurniawatiNIM. I.0101060
JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2005
KARAKTERISTIK DINAMIS STRUKTUR DOMES
BERELEMEN MEMBRAN
(DYNAMICS CHARACTERISTIC of THE STRUCTURAL DOMES
USING SHELL ELEMENT )
Dikerjakan Oleh : DEVY SARI PURNIAWATI
NIM. I 0101060
SKRIPSI Telah disetujui untuk dipertahankan di hadapan
Tim Penguji Pendadaran Fakultas Teknik Universitas Sebelas Maret
Disetujui,
PEMBIMBING I PEMBIMBING II
Ir. AGUS SUPRIYADI, MT SENOT SANGADJI, ST, MTNIP. 131 792 199 NIP. 132 258 673
JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2005
ALGORITMA KENDALI AKTIF DENGAN KONTROL PID
PADA STRUKTUR SDOF
(ACTIVE CONTROL ALGORITHM WITH PID CONTROLLER
ON SDOF STRUCTURE)
SKRIPSI
Dikerjakan Oleh :
DEVY SARI PURNIAWATINIM. I 0101060
Dipertahankan didepan Tim Penguji Pendadaran Fakultas Teknik Universitas Sebelas Maret Surakarta dan diterima guna memenuhi salah satu persyaratan untuk mendapatkan gelar Sarjana Teknik.
Pada hari : Selasa
Tanggal : 25 Januari 2005
Tim Penguji Pendadaran :
Ketua : Ir. AGUS SUPRIYADI, MT : ………………….. NIP. 131 792 199 Anggota 1 : SENOT SANGADJI, ST,MT : ………………….. NIP. 132 134 682 Anggota 2 : STEFANUS A K, ST, MSc, PhD : ………………….. NIP. 132 134 682 Anggota 3 : EDY PURWANTO, ST, MT : ………………….. NIP. 132 163 113
Mengetahui, Disahkan oleh : a.n Dekan, Ketua Jurusan Teknik Sipil,
Ir. Paryanto, MS Ir. Agus Supriyadi, MTNIP. 131 569 244 NIP. 131 792 199
MOTTO
Keinginan manusia adalah seperti koin-koin kecil yang dibawanya dalam sebuah
kantung. Semakin banyak yang dimilikinya akan semakin memberatkannya.
Hidup adalah rintangan yang harus dihadapi, perjuangan yang harus
dimenangkan, rahasia yang harus digali, dan anugerah yang harus dipergunakan.
Hal kecil membentuk kesempurnaan, tapi kesempurnaan bukanlah hal kecil.
If life is a river and your heart is aboat, the water is flowing spirit keep you float.
Always welcome thw new morning with a new spirit, a sime on your face, love in
your heart and good thoughts in your mind.
Forget the mistake that you have made, but don’t forget the lesson you learned.
PERSEMBAHAN
UNTUK PAPA, MAMA, KEDUA KAKAK, DAN ADIKKU DI
YOGYAKARTA
ABSTRAK
Devy Sari Purniawati, 2005, Karakteristik Dinamis Struktur Domes Berelemen Membran. Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Sebelas Maret Surakarta.
Struktur domes adalah bangunan alternatif yang tahan terhadap gelombang air maupun tekanan angin yang cukup besar. Domes juga tahan terhadap getaran gempa bumi dan bahaya kebakaran. Biaya pembuatan domes relatif murah karena tidak memakai balok dan kolom. Analisis ini bertujuan untuk mengetahui bagaimana pengaruh bentuk elemen (shell) pada struktur monolithic dome dari beton bertulang dan berapa besarnya periode getar dan frekuensi alami domes pada kondisi unforced vibration.
Hasil analisis menunjukkan bahwa modus getar dome berelemen shell persegi berbentuk asimetris dan dome berelemen shell belah ketupat terdeformasi cukup signifikan di puncak menyebabkan kedua domes tersebut tidak memiliki tingkat kestabilan yang cukup. Modus getar dome berelemen shell segitiga berbentuk simetris, hal ini menunjukkan bahwa dome berelemen shell segitiga cukup stabil. Besarnya periode getar dan frekuensi alami pada fundamental mode (modus pertama) kondisi unforced vibration shell persegi adalah 0.07354 detik dan 13.59 Hz, segitiga adalah 0.07358 detik dan 13.59 Hz, belah ketupat adalah 0.07437 detik dan 13.45 Hz.
KATA PENGANTAR
Puji dan Syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha esa,
sehingga penulis dapat menyelesaikan penelitian dengan judul Karakteristik
Dinamis Struktur Domes Berelemen Membran. Penelitian ini bertujuan untuk
melengkapi persyaratan memperoleh gelar Sarjana Teknik pada Fakultas Teknik,
Jurusan Teknik Sipil, Universitas Sebelas Maret Surakarta.
Penulis ingin mengucapkan terima kasih secara khusus kepada Bapak
Ir.Agus Supriyadi, MT dan Bapak Senot Sangadji, ST, MT selaku pembimbing
skripsi penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan penelitian ini dengan baik.
Semoga penelitian ini dapat memberikan manfaat bagi semua pembaca
yang budiman.
Surakarta, Januari 2005
Penulis,
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ii
HALAMAN PENGESAHAN iii
HALAMAN MOTTO iv
HALAMAN PERSEMBAHAN v
ABSTRAK vi
KATA PENGANTAR vii
UCAPAN TERIMA KASIH viii
DAFTAR ISI ix
DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL xi
DAFTAR TABEL xiv
DAFTAR GAMBAR xv
DAFTAR LAMPIRAN xvi
BAB I PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Identifikasi Masalah 2
1.3 Rumusan Masalah 3
1.4 Batasan Masalah 3
1.5 Manfaat dan Tujuan 4
BAB II LANDASAN TEORI 5
2.1 Tinjauan Pustaka 5
2.2 Dasar Pemikiran 6
2.3 Persamaan Differensial Gerakan Struktur MDOF 7
2.4 Solusi Modus Getar dan Frekuensi Alami 9
2.5 Model Elemen Hingga 11
2.5.1 Idealisasi Matriks Kekakuan Struktur Segitiga 15
2.5.2 Idealisasi Matriks Kekakuan Struktur Persegi 21
2.5.3 Proses pembentukan Persamaan Global Struktur 24
2.5.4 Perhitungan Tegangan Elemen 25
BAB III METODOLOGI PENELITIAN 25
3.1 Uraian Umum 25
3.2 Analisis Model 25
3.3 Deskripsi Domes 25
3.3.1 Permodelan Struktur 26
3.4 Metode Analisis 26
3.5 Kerangka Analisis 26
3.6 Tahap Analisis 28
BAB IV ANALISA DAN PEMBAHASAN 30
4.1 Analisis Struktur Dome 30
4.1.1 Struktur Dome Elemen Shell Persegi 30
4.1.2 Struktur Dome Elemen Shell Segitiga 34
4.1.3 Struktur Dome Elemen Shell Belah Ketupat 38
4.2 Pembahasan 41
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 44
5.1 Kesimpulan 44
5.2 Saran 44
DAFTAR PUSTAKA xvii
LAMPIRAN xviii
DAFTAR TABEL
Tabel 4.1 Tabel Partisipasi Mode 32
Tabel 4.2 Data Frekuensi Alami dan Periode Getar 32
Tabel 4.3 Joint Displacement Struktur 33
Tabel 4.4 Gaya Dalam dan Tegangan Elemen Shell 35
Tabel 4.5 Data Frekuensi Alami dan Periode Getar Struktur 36
Tabel 4.6 Joint Displacement Struktur 36
Tabel 4.7 Gaya Dalam dan Tegangan Elemen Shell 38
Tabel 4.8 Data Frekuensi Alami dan Periode Getar Struktur 40
Tabel 4.9 Joint Displacement Struktur 40
Tabel 4.10 Gaya Dalam dan Tegangan Elemen Shell 41
Tabel 4.11 Perbandingan Nilai Joint Displacement Maksimum 43
Tabel 4.12 Perbandingan Nilai Periode Getar dan Frekuensi Alami 43
Tabel 4.13 Perbandingan Gaya Dalam dan Tegangan Dalam Shell 43
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1 Model Dome yang Bervariasi 1
Gambar 1.2 Desain Elemen Struktural Dome 2
Gambar 2.1 (a) Sistem dengan Tiga Derajat Kebebasan Teredam
(b) Free-Body Diagram 7
Gambar 2.2 Elemen Segitiga Dalam Tiga Dimensi 14
Gambar 2.3 Elemen Segitiga Pada Koordinat Global 15
Gambar 2.4 Elemen Segitiga Pada Koordinat Lokal 16
Gambar 2.5 Elemen Shell Rectangular dengan Empat Joint 20
Gambar 2.6 Elemen Persegi dengan Koordinat Global 21
Gambar 3.1 Diagram Ilustrasi Global Penelitian 27
Gambar 3.2 Diagram Alir Proses Perhitungan Secara Umum 28
Gambar 3.3 Diagram Alir Perhitungan dengan Komputer 29
Gambar 4.1 Crenosphere Stadion di Amerika Serikat Tinggi
Maksimum dome mencapai 500ft dengan diameter
Maksimum 1000ft 30
Gambar 4.2 Dome dengan Elemen Shell Persegi 30
Gambar 4.3 Modus Getar Pertama dengan Periode Getar
(T= 0,07354 detik) 31
Gambar 4.4 Distribusi Gaya Shell Maksimum pada Tiap Tingkat Mode 32
Gambar 4.5 Distribusi Momen Shell Maksimum pada
Tiap Tingkat Mode 32
Gambar 4.6 Distribusi Gaya Shell Maksimum pada
Tiap Tingkat Mode 33
Gambar 4.7 Distribusi Tegangan Shell Maksimum pada
Tiap Tingkat Mode 33
Gambar 4.8 Dome Kaca dengan Elemen Shell Segitiga 34
Gambar 4.9 Dome dengan Elemen Shell Segitiga 34
Gambar 4.10 Modus Getar Pertama dengan Periode Getar
(T= 0,07358 detik) 35
Gambar 4.11 Distribusi Gaya Shell Maksimum
pada Tiap Tingkat Mode 35
Gambar 4.12 Distribusi Momen Shell Maksimum
Pada Tiap Tingkat Mode 35
Gambar 4.13 Distribusi Gaya Geser Shell Maksimum
Pada Tiap Tingkat Mode 36
Gambar 4.14 Distribusi Tegangan Shell Maksimum
Pada Tiap Tingkat Mode 37
Gambar 4.15 Dome dengan Elemen Shell Belah Ketupat 38
Gambar 4.16 Modus Getar Pertama dengan Periode Getar
(T=0,07438 detik) 38
Gambar 4.17 Distribusi Gaya Shell Maksimum
Pada Tiap Tingkat Mode 39
Gambar 4.18 Distribusi Momen Shell Maksimum
Pada Tiap Tingkat Mode 39
Gambar 4.19 Distribusi Gaya Geser Maksimum
Pada Tiap Tingkat Mode 40
Gambar 4.20 Distribusi Tegangan Shell Maksimum
Pada Tiap Tingkat Mode 40
Gambar 4.21 Perbandingan Pola Getaran Struktur Domes 41
Gambar 4.22 Domes dengan Elemen Shell Belah Ketupat
Tampak dari atas 41
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran A Hasil Analisis Model
A-1 Model Shell Elemen Persegi
A-2 Model Shell Elemen Segitiga
A-3 Model Shell Elemen Belah Ketupat
Lampiran B Surat-surat Skripsi
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dome merupakan suatu alternatif bangunan struktural yang memiliki
banyak keunggulan. Model struktur dome yang spherical atau elliptical
membuatnya sangat aerodinamis dalam menahan beban angin, tornado, maupun
hurricane apabila dibandingkan dengan struktur biasa yang cenderung memakai
bentuk flat/datar. Sebuah dome mampu menahan angin hingga berkecepatan 150
mph bahkan juga hurricane dengan kecepatan 300 mph.[1]
Struktur dome banyak digunakan sebagai struktur rumah tinggal di pantai-
pantai Amerika Serikat karena memiliki ketahanan terhadap gelombang air
maupun tekanan angin yang cukup besar misalnya seperti bangunan dome di
Porth Arthur, Texas.
Keunggulan lain dari dome adalah ketahanannya terhadap getaran gempa
bumi. Hal ini disebabkan oleh karena ikatan antara struktur dome dengan pondasi
yang dibuat rigid dan monolith sehingga tidak terdapat eksentrisitas yang bisa
menyebabkan puntir pada struktur utama.
Gambar 1.1. Model Dome yang Bervariasi
Struktur dome juga sangat preventif terhadap bahaya kebakaran.
Monolithic dome yang terbuat dari beton tentu saja tahan terhadap panas api bila
dibandingkan dengan struktur biasa yang masih memakai elemen kayu dan baja.
Resiko bangunan rusak oleh serangga, tikus, maupun kucing dapat dihindari
karena struktur dome terbuat dari beton dan monolithic.
Biaya pembuatannya pun lebih murah, hal ini bisa dilihat dari desain dome
yang tidak memakai elemen atap dan plafond yang kadang biaya konstruksinya
mencapai 300.000.000 rupiah tiap 941.411 m2.
Gambar 1.2. Desain Elemen Struktural Dome
Desain dome yang baik dan optimal harus mampu memberi ketahanan
struktural terhadap beban angin dan beban gempa bumi. Gempa bumi, tanah, dan
pondasi struktur biasanya bergetar pada periode 0.2 hingga 1.2 detik, sedangkan
angin pada umumnya berhembus dengan periode getar sebesar 2 detik atau
dengan frekuensi alami 0.5 Hz. Sehingga diperlukan desain elemen shell dari
dome yang tepat baik berbentuk triangular, rectangular, maupun diamond untuk
mencapai kondisi getaran struktur yang berada jauh dari resonansi getaran gempa
bumi maupun beban angin.
1.2 Identifikasi Masalah
Dome dapat dibuat dari bermacam-macam elemen mulai dari beton, beton
bertulang, aluminium (logam), batu, batu bata (masonry), polyurethane, dan
sebagainya. Masing-masing bahan memiliki ketahanan dan modulus elastisitas
yang berbeda sehingga dalam desain dome perlu diperhatikan pemilihan elemen
yang tepat sehingga bisa dicapai desain yang optimal dari segi durabilitas,
ketahanan struktur, dan ekonomis.
Model shell element dari struktur dome juga perlu dikaji untuk
mendapatkan desain yang terkuat, shell element dengan area yang luas dan bentuk
yang jauh dari segitiga akan memperlemah struktur karena memberikan respon
dinamis dan tegangan inersia yang besar saat struktur diguncang oleh gempa bumi
atau tertekan oleh angin.
Berdasarkan latar belakang yang telah dikemukakan sebelumnya maka
ditemukan beberapa masalah yang dapat dikaji diantaranya adalah tentang
pengaruh bentuk atau model shell element pada struktur Plane Stress terhadap
respon dinamis struktur yang berupa respon perpindahan (joint displacement),
frekuensi alami, tegangan membran dan modus getar.
1.3 Rumusan Masalah
Bagaimana pengaruh bentuk elemen (shell) pada struktur monolithic
dome dari beton bertulang : triangular, rectangular, atau diamond terhadap
karakteristik dinamis (frekuensi alami, periode getar, modus getar, dan
displacement).
1.4 Batasan Masalah
Pada penulisan tugas akhir ini analisis struktur dibatasi secara elastis,
struktur dome yang dianalisis hanya sampai dengan keadaan bahwa struktur
belum mengalami retak. Dalam kondisi elastis beton dapat dianggap sebagai
bahan yang homogen dan isotropis. Lingkup permasalahan penulisan skripsi ini
adalah sebagai berikut :
a. Bangunan sebagai building house ditepi pantai bertingkat dua terbuat dari
beton bertulang.
b. Jenis dome yang ditinjau adalah monolithic dengan model hemispherical.
c. Struktur didiskritisasikan ke dalam bentuk dua dimensi, yaitu plane stress
d. Derajat kebebasan struktur berupa MDOF.
e. Rasio panjang sisi-sisi elemen shell rectangular 1:2.
f. Rasio panjang sisi-sisi elemen shell triangular 1:1.
g. Rasio panjang sisi-sisi elemen shell diamond 1:1.
h. Respon dinamis yang ditinjau adalah sebagai berikut :
1. Reaksi perpindahan (joint displacement)
2. Frekuensi alami
3. Periode getar struktur
4. Tegangan membran (axial, bending tensile, shear)
1.5 Manfaat dan Tujuan
Tujuan utama dari penulisan skripsi ini adalah untuk menjawab rumusan
masalah yang ada, yaitu bagaimana menciptakan model desain shell element yang
terbaik untuk menciptakan struktur domes yang memiliki kekuatan maksimal
terhadap gempa bumi dan angin.
Sedangkan manfaat yang dapat diambil adalah sebagai berikut :
a. Manfaat Teoritis
Untuk dijadikan dasar pengetahuan di bidang perencanaan desain shell
element struktur domes hemispherical yang tahan terhadap angin dan gempa
bumi.
b. Manfaat Praktis
Untuk lebih menyebarluaskan pemakaian domes hemispherical berelemen
membran sebagai salah satu alternatif dalam desain struktur di Indonesia.
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Tinjauan Pustaka
Beban dinamik adalah setiap beban yang besarnya, arah atau posisinya
berubah menurut waktu. Demikian pula respon struktur terhadap beban dinamik,
yaitu lendutan dan tegangan yang dihasilkan juga mengalami perubahan waktu,
atau bersifat dinamik. (R.W. Clough & Penzein, 1988).
Kemudian R.W. Clough & Penzein (1988) juga mengatakan bahwa
masalah dinamika struktur adalah sifat perubahan menurut waktu sehingga
masalah dinamik tidak mempunyai penyelesaian tunggal, seperti pada masalah
statis. Analisisnya harus menentukan penyelesaian berturut-turut sesuai dengan
semua waktu yang penting dalam riwayat respon. Jadi masalah dinamis jelas lebih
kompleks dan banyak menyita waktu daripada masalah statis.
Analisis dinamik ini digunakan pada struktur-struktur khusus yaitu :
gedung yang strukturnya tidak beraturan, gedung dengan loncatan bidang muka
yang besar, gedung dengan tingkat kekakuan yang tidak merata, gedung yang
tingginya lebih dari 40 m, gedung yang bentuk, ukuran, dan penggunaannya tidak
umum. (Pedoman Perencanaan Ketahanan Gempa untuk Rumah dan Gedung,
1987).
Anil K Chopra (1995) menyatakan bahwa salah satu aplikasi penting dari
teori dinamika struktur dalam rekayasa gempa adalah analisis respon dari struktur
terhadap gerakan tanah yang diakibatkan oleh gempa bumi.
Pada analisis dinamik pertama-tama haruslah menentukan frekuensi alami
dan modus getar struktur sebagai parameter dasar. Metode yang dikenal untuk
masalah ini adalah penyelesaian nilai eigen dan vektor eigen dari struktur. (Senot
Sangadji, 2004).
Modal Analysis Method adalah metode yang memakai standar mode
shapes pada struktur MDOF dengan kondisi unforced vibration. Pada kondisi
tersebut akan diperoleh suatu pola/ragam goyangan struktur MDOF yang dikenal
secara umum dengan standar mode shapes, karena respon struktur merupakan
fungsi langsung atas mode shapes struktur yang bersangkutan. (Widodo. 2001).
Clough & Penzien (1993) mengatakan bahwa metode ini juga mempunyai
kelemahan yaitu terletak pada penyelesaian eigenproblem untuk mencari
nilai/koordinat mode shapes. Karena proses tranformasi dari coupled menjadi
uncoupled, persamaan differensial menjadi uncoupled maka tidak diperlukan
matriks massa, matrik redaman, dan matriks kekakuan.
Persamaan eigenproblem merupakan karakteristik struktur yang berupa
hubungan antara massa dan kekakuan struktur. Hubungan tersebut akan
menentukan nilai frekuensi sudut dan periode getar dari struktur. (Widodo, 2001).
2.2 Dasar Pemikiran
Cangkang (domes) adalah bentuk struktural tiga dimensional yang kaku
dan tipis yang mempunyai permukaan lengkung. Permukaan cangkang dapat
mempunyai sembarang bentuk. Bentuk yang umum adalah permukaan yang
berasal dari kurva yang diputar terhadap satu sumbu (misalnya permukaan bola,
ellips, kerucut dan parabola).
Beban – beban yang bekerja pada permukaan domes diteruskan ke tanah
dengan menimbulkan tegangan geser, tarik, dan tekan pada arah dalam bidang (in-
plane) permukaan tersebut. Tipisnya permukaan domes menyebabkan tidak
adanya tahanan momen yang berarti.
Domes tersusun atas elemen – elemen shell yang tertata rapi membentuk
kubah. Elemen – elemen shell ini sangat tipis dengan bentang relatif besar tetapi
sangat kuat untuk menahan beban angin dan gempa bumi.
Berdasarkan definisi tersebut, dapat disimpulkan bahwa dalam struktur
domes elemen shell berperan sebagai penahan beban, baik beban mati maupun
beban hidup yang bekerja pada struktur.Kondisi tersebut menyebabkan integritas
domes sangat bergantung pada elemen shell, baik bentuk, ukuran maupun
ketebalannya.
Pemilihan bentuk, ukuran maupun ketebalan shell yang tepat harus
menjadikan struktur memiliki kekakuan yang cukup sehingga memiliki frekuensi
alami tertentu yang jauh dari frekuensi alami angin dan gempa bumi.
2.3 Persamaan Differensial Gerakan Struktur MDOF
Secara umum struktur bangunan gedung tidaklah selalu dapat dinyatakan
didalam suatu sistem yang mempunyai derajat kebebasan tunggal (SDOF).
Struktur seperti domes dan sejenisnya yang mempunyai bentuk fisik kontinu,
maka pada struktur – struktur seperti itu akan mempunyai derajat kebebasan tak
terhingga atau derajat kebebasan banyak (multi degree of freedom).
Derajat kebebasan adalah derajat independensi yang diperlukan untuk
menyatakan posisi suatu sistem pada suatu saat, jadi sistem kebebasan derajat
banyak adalah suatu sistem yang punya beberapa titik yang dapat berpindah
secara berbeda. Anggapan seperti prinsip shear building berlaku pada struktur
dengan derajat kebebasan banyak (MDOF). Untuk memperoleh persamaan
differensial tersebut, maka tetap dipakai prinsip keseimbangan dinamik (dynamic
equilibrium) pada suatu massa yang ditinjau. Untuk memperoleh persamaan
tersebut maka diambil model struktur MDOF seperti Gambar 2.1
Gambar 2.1 (a) Sistem dengan tiga derajad kebebasan teredam;
(b) Free-Body Diagram dimana : m = massa struktur
c = koefisisen redaman struktur
•u = kecepatan relatif
k = kekakuan tingkat
u = nodal displacement
p(t) = beban luar saat t
Berdasarkan pada kesetimbangan dinamik pada free body diagram gambar
maka akan diperoleh :
P3(t) c1 c2 c3
k1 k2 k3
P1(t) P2(t)
u1 u2 u3
(a)
(b)
0(t)p)uu(c)u(ukucum 11221221111 =−−−−−+•••••
(2.1)
0(t)p)uu(c)u(uk)uu(c)u(ukum 223323312212222 =−−−−−−+−−••••••
(2.2)
0(t)p)uu(c)u(ukum 312323333 =−−+−+••••
(2.3)
Pada persamaan tersebut diatas tampak bahwa keseimbangan dinamik
suatu massa yang ditinjau ternyata dipengaruhi oleh kekakuan, redaman dan
simpangan massa sebelum dan sesudahnya. Persamaan dengan sifat – sifat seperti
itu umumnya disebut coupled equation, karena persamaan – persamaan tersebut
akan tergantung satu sama dengan yang lainnya. Penyelesaian persamaan tersebut
harus dilakukan secara simultan, artinya dengan melibatkan seluruh persamaan
yang ada.
Selanjutnya menyusun persamaan – persamaan diatas menurut parameter
yang sama (percepatan, kecepatan, dan simpangan) sehingga akan diperoleh :
(t)puk)uk(kucu)c(cum 1121212212111 =−++−++••••
(2.4)
(t)puk)uk(kukucu)c(cucum 23323212332321222 =−++−−++−•••••
(2.5)
(t)pukukucucum 33323332233 =+−+−••••
(2.6)
Persamaan – persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut
:
••
••
••
3
2
1
3
2
1
uuu
m000m000m
+
−−+−
−+
•
•
•
3
2
1
33
3322
221
u
uu
cc0cccc0ccc
+
=
−−+−
−+
(t)p(t)p(t)p
uuu
kk0kkkk0kkk
3
2
1
3
2
1
33
3322
221
(2.7)
Persamaan di atas dapat ditulis dalam matriks yang lebih kompak :
p(t)kuucum =++•••
(2.8)
Apabila struktur dengan derajat kebebasan banyak tersebut dikenai beban
gempa bumi maka persamaan (2.8) menjadi :
{ }•••••
−=++ gu1mkuucum(2.9)
dimana {1}adalah vektor angka satu dan ••
gu adalah percepatan tanah.
2.4 Solusi Modus Getar dan Frekuensi Alami
Setiap benda memiliki bentuk modus dan frekuensi tertentu yang disebut
modus getar dan frekuensi alami. Frekuensi memiliki satuan Hertz (Hz),
seringkali dinyatakan dalam radian tiap satuan waktu dan disimbolkan dengan
huruf latin ω. Frekuensi dapat didefinisikan sebagai banyaknya siklus yang
dilakukan selama satu detik. Invers dari frekuensi adalah periode, yaitu waktu
yang dibutuhkan suatu benda untuk menyelesaikan satu siklus, dengan satuan
detik (second). Setiap benda memiliki frekuensi alami dengan jumlah yang tidak
terbatas, tetapi yang diperlukan dalam analisis seringkali hanyalah yang terendah
(fundamental frequency).
Sedangkan modus atau mode adalah bentuk deformasi struktur ketika
bergerak dalam satu periode tertentu. Modus sangat penting untuk diketahui
karena ketika modus muncul, berarti ada banyak energi yang memakai suatu
struktur dan membuatnya bergetar. Jika energi yang memasukinya terlalu banyak
sehingga melebihi kapasitas struktur, maka struktur akan mengalami keruntuhan
karena amplitudo getarannya akan menjadi tak terhingga seiring dengan waktu
dan disusul dengan hilangnya integritas struktur.
Angin topan memisahkan suatu rumah dari atapnya yaitu ketika angin
menggunakan tekanan dan mulai mengangkat atap. Karena struktur domes tidak
memiliki atap, maka angin tidak dapat memisahkan struktur domes. Frekuensi
alami angin yang berkisar antara 0.5 Hz terletak diluar jangkauan frekuensi gempa
yang berkisar antara 0.8-5 Hz.
Oleh karena itu sangatlah penting untuk mengetahui pada frekuensi berapa
sebuah domes akan bergetar, sehingga struktur domes dapat dibuat agar memiliki
modus pertama dengan deformasi tertentu dan frekuensi tertentu yang dianggap
lebih baik bagi kekakuan dan integritas tertentu.
Karena sistem bergerak dengan getaran bebas, dapat diperoleh dengan
menghilangkan matriks redaman dan vektor beban yang dikenakan dari
persamaan (2.8) sehingga diperoleh :
0kuum =+••
(2.10)
dimana 0 adalah vektor nol. Masalah analisis getaran terdiri dari penentuan
kondisi didalam persamaan diatas akan memungkinkan terjadi gerak. Untuk suatu
sistem MDOF, diasumsikan getaran bebas adalah harmonis sederhana, yang
dinyatakan sebagai :
θ)sin(ωiφu(t) n +=
(2.11)
dalam pernyataan nφ menggambarkan bentuk sistem (yang tidak berubah
menurut waktu; hanya amplitudo yang berubah) dan θ adalah sudut fase.
Perubahan perpindahan menurut waktu dinyatakan dalam fungsi harmonis
sederhana sin (ωt+θ). Bila diambil turunan kedua dari persamaan diatas,
percepatan pada getaran bebas adalah :
sinφωu n2−=
••(ωt+θ) = - uω2
(2.12)
dengan mensubstitusikan persamaan (2.11) dan (2.12) ke persamaan (2.10)
didapatkan :
sinmφω n2− (ωt+θ)+k nφ sin (ωt+θ) = 0
(2.13)
karena bentuk sinus sembarang dan dapat dihilangkan persamaan diatas dapat
ditulis :
(k- 0m)φω n2 =
(2.14)
persamaan tersebut selalu mempunyai penyelesaian tak berarti (trivial solution)
nφ = 0, yang tidak berguna karena dengan penyelesaian ini berarti tidak ada
getaran. Persamaan diatas mempunyai penyelesaian yang berarti (nontrivial
solution) jika :
0mωk 2 =−
(2.15)
persamaan (2.15) disebut persamaan karakteristik, persamaan frekuensi, atau
eigenproblem.
Dengan memperluas determinan akan diperoleh persamaan aljabar berderajat N,
dalam parameter 2ω untuk sistem yang mempunyai N derajat kebebasan.
Ke-N akar-akar persamaan ini ( N321 ,......ωω,ω,ω ) menunjukkan frekuensi
natural dari ke-N getaran yang mungkin terjadi pada sistem. Akar dari persamaan
karakteristik dikenal sebagai nilai karakteristik, nilai normal atau nilai eigen. Jika
frekuensi natural getaran Nω sudah diketahui, persamaan (2.14) dapat
diselesaikan untuk mendapatkan vektor nφ . Nilai eigen atau nilai karakteristik
tidak memberikan amplitudo yang pasti pada vektor nφ , tetapi nilai tersebut
hanya akan sebanding antara yang satu dengan yang lain. Sehingga akan diperoleh
N vektor nφ yang dikenal sebagai pola normal (normal modes) atau bentuk pola
natural (natural mode shapes), atau vektor eigen (eigenvectors).
2.5 Model Elemen Hingga (Plane Stress)
Realitas perilaku struktur yang rumit pada domes dan pada semua struktur
pada umumnya menuntut proses analisis yang rumit dan hampir tidak dapat
dilakukan, karena pada kenyataannya, struktur seperti ini memiliki massa yang
terdistribusi secara kontinu pada keseluruhan bagiannya. Keadaan tersebut
membuat struktur memiliki derajat kebebasan (Degree of Freedom) atau DOF
yang tidak terhingga, sehingga jumlah komponen perpindahan yang harus
dipertimbangkan menjadi tidak terhingga pula.
Agar perilaku domes ini dapat dianalisis dengan lebih mudah namun tetap
mendekati perilaku yang sebenarnya, maka komponen perpindahan harus
dinyatakan dalam bentuk jumlah terhingga dari koordinat yang sudah
didiskretisasikan.
Untuk mendiskretisasikan koordinat perpindahan yang akan dianalisis,
keseluruhan sistem harus dibagi-bagi menjadi sejumlah bagian yang tepat atau
elemen-elemen yang perilakunya dengan mudah telah dimengerti dan telah dapat
diformulasikan dalam bentuk aplikasi konsep matematis biasa dan kemudian
merakit kembali sistem struktur asli dari elemen – elemen tersebut untuk
mempelajari perilakunya.
Pada analisis tugas akhir ini, model didiskretisasikan ke dalam Plane
Stress. Plane Stress adalah keadaan dimana tegangan normal dan tegangan geser
yang tegak lurus bidang diasumsuikan nol (Daryil L Logan,1986).
Jenis elemen hingga yang dipakai untuk mendiskretisasikan elemen –
elemen dalam mengidealisasikan domes yang akan dianalisis pada skripsi ini
adalah elemen shell, dimana elemen shell yang akan dianalisis ada 3 macam
bentuk yaitu segitiga (triangular), persegi (rectangular), dan belah ketupat
(diamond).
Hubungan tegangan dan regangan yang didasari atas hukum Hooke dapat
ditulis dalam bentuk sebagai berikut :
( ) [ ]( )σ=ε .C
(2.16)
( ) [ ] ( ) [ ]( )ε=ε=σ − .D.C 1
(2.17)
[ ]C adalah operator matriks yang menghubungkan vektor tegangan ( )σ dan
vektor regangan ( )ε . Sedangkan matriks [ ] [ ] 1CD −= sebagai matriks konstitutif
tegangan (matriks kekakuan material), adalah operator matriks yang
menghubungkan vektor tegangan ( )σ dan vektor regangan ( )ε . Matriks [ ]C dan
matriks [ ]D keduanya merupakan matriks simetris.
Material kontinu yang diasumsikan bersifat isotropik, sehingga hubungan
antara tegangan dan regangan dapat diturunkan, baik itu tegangan bidang maupun
regangan bidang.
Tegangan bidang didasarkan atas asumsi bahwa :
0
0
0
z
yzxz
yzxzz
=ε
=γ=γ
=τ=τ=σ
akan didapatkan komponen tegangan dari regangan:
y2x2x 1E
1E
ευ−
υ+ευ−
=σ
(2.18)
y2x2y 1E
1E
ευ−
+ευ−
υ=σ
(2.19)
Gxy
xy
τ=γ
(2.20)
Pada persamaan (2.20), G adalah konstanta elastisitas lain yang disebut modulus
geser. Hubungan G terhadap modulus elastisitas (E) dinyatakan :
)1(2EGυ+
=
(2.21)
persamaan (2.21) disubstirusikan ke persamaan (2.20) diperoleh :
xyxy E)1(2τ
υ+=γ
(2.22)
υ adalah angka poisson (Possion Ratio).
Persamaan (2.18), (2.19), dan (2.22) disubstitusikan ke persamaan (2.17) didapat
hubungan antara tegangan dan regangan bidang sebagai berikut :
γεε
υ−υ−υ
υυ−
υ−=
τσσ
xy
y
x
2
xy
y
x
2100
0101
1E
(2.23)
dengan :
υ−υ−υ
υυ−
υ−=
2100
0101
1ED 2
(2.24)
[ ]D adalah matriks kekakuan material tegangan bidang untuk Plane Stress.
2.5.1. Idealisasi Matriks Kekakuan Struktur Segitiga
Gambar (2.2) Elemen Segitiga dalam 3 Dimensi
Sifat – sifat material (material properties) yang diperlukan dalam analisis
dengan elemen shell meliputi :
a. Modulus elastisitas (modulus of elasticity)
b. Modulus geser (shear nodulus)
c. Poisson’s ratio, ketiga material properties diatas digunakan untuk
menghitung kekakuan lentur dan geser transversal.
d. Koefisien ekspansi thermal (coefficient of thermal expansion), untuk
menghitung ekspansi membran dan regangan lentur thermal.
e. Massa jenis (mass density), untuk menghitung massa elemen.
f. Berat jenis (weight density), untuk menghitung berat sendiri dan beban
gravitasi.
x
y
Y
X
Gambar (2.3) Elemen Segitiga pada Koordinat Global
Untuk mengembangkan [ ]K didasarkan pada koordinat local x,y
y
vk
uk
k
vi vj
ui uj
i j xGambar (2.4) Elemen Segitiga pada Koordinat Lokal
u = u (x,y) : komponen displacement arah sumbu x
v = v (x,y) : komponen displacement arah sumbu y
Untuk persoalan ini “The Assumed Displacement Field” diambil sebagai
polinomial linier dalam x dan y untuk u maupun v :
yaxaau 321 ++=
(2.25)
yaxaav 654 ++=
(2.26)
selanjutnya parameter non dimensional 6321 a.....a,a,a tersebut akan dinyatakan
dalam fungsi “nodal degrees of freedom” di titik nodal i,j,k.
k6k54k
k3k21k
j6j54j
j3j21i
i6i54i
i3i21i
yaxaavyaxaau
yaxaav
yaxaauyaxaavyaxaau
++=++=
++=
++=++=++=
persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk matriks :
=
6
5
4
3
2
1
kk
jj
ii
kk
jj
ii
k
j
i
k
j
i
aaaaaa
.
yx1000yx1000yx1000000yx1000yx1000yx1
vvvuuu
(2.27)
bila diinvers persamaan (2.27) menjadi :
=
k
j
i
k
j
i
6x6
6
5
4
3
2
1
vvvuuu
.H00H
A21
aaaaaa
(2.28)
dimana A : Luas elemen segitiga
: ½ ( )( )ikij y,yx,x
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
3x3ijkiik
jiikkj
ijjikiikjkkj
xxxxxxyyyyyy
yxyxyxyxyxyxH
−−−−−−−−−
=
(2.29)
agar lebih simple titik nodal di elemen segitiga tersebut berimpit dengan titik awal
koordinat lokal x-y sehingga :
0y0y0x jii ===
A = ½ ( )( )0y0x kj −− = ½ kjyx
3x3jkjk
kk
kj
xxxx0yy00yx
H
−−−=
(2.30)
persamaan (2.25) dan (2.26) dapat ditulis dalam bentuk matriks :
=
6
5
4
3
2
1
aaaaaa
.yx1000000yx1
vu
(2.31)
persamaan (2.31) disubstitusikan ke persamaan (2.28) diperoleh :
=
k
j
i
k
j
i
vvvuuu
H00H
yx1000000yx1
A21
vu
[ ] { } 1x66x2
k
j
i
k
j
i
321
321
U.Nvvvuuu
NNN000000NNN
A21
=
=
(2.32)
dengan : N = shape function
u = nodal displacement vector
( )kj1 yxN = - ( )yxxxy jkk −+
2N = yxxy kk −
3N = yx j
(2.33)
menggunakan “Strain Displacement Equations” dapat ditulis sebagai berikut :
[ ] { } 1x66x2
xy
y
x
xy
y
x
u.N.0
0
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
γεε
(2.34)
persamaan (2.32) disubstitusikan ke persamaan (2.34) didapat :
{ } [ ]{ }u.B=ε
(2.35)
sehingga didapat matriks kekakuan local :
[ ] [ ] [ ][ ]dvB.D.BKv
T∫∫∫=
(2.36)
dimana untuk Plane Stress matriks kekakuan material tegangan bidang dapat
dilihat pada persamaan (2.24):
υ−υ−υ
υυ−
υ−=
2100
0101
1ED 2
proses integrasi persamaan diatas cukup panjang, sehingga tidak ditulis secara
lengkap disini. Hasil stiffness matrik elemen segitiga sebagai berikut :
[ ] [ ] [ ] [ ]BDBAtK T ××××=
(2.37)
dimana : K = matrik kekauan elemen
t = tebal struktur
A = luas penampang elemen
D = matriks konstitutif (material) elemen
[ ]
βγβγβγγγγ
βββ=
kkjjii
kji
kji
000000
A21B
(2.38)
[ ] =TB Transpose matriks [ ]B
jkikji xxyy −=γ−=β
kijikj xxyy −=γ−=β
ijkjik xxyy −=γ−=β
2.5.2. Idealisasi Matriks Kekakuan Struktur Persegi
Elemen Shell (gabungan dari plate dan membrane) digunakan untuk
memodelkan suatu komponen struktur yang memiliki ketebalan lebih kecil
dibandingkan dimensi panjang dan lebarnya seperti pada pelat lantai rumah pada
umumnya. Diasumsikan bidang potongan pelat melintang tetap dan tidak
mengalami deformasi ketika pelat mengalami tegangan. Shell rectangular
dibentuk oleh empat joint j1,j2,j3, dan j4 dengan aspect ratio (perbandingan
dimensi panjang dan lebar) mendekati satu dan memiliki enam derajat kebebasan
aktif pada setiap joint yang terhubung.
Gambar (2.5 ) Elemen Shell Rectangular dengan Empat Join
untuk mengembangkan [ ]K didasarkan pada koordinat lokal x, y.
e f
gh
Y
XGambar (2.6) Elemen Persegi pada Koordinat global
Gambar (2.7) Elemen persegi pada koordinat lokal
u (x,y) = komponen displacement arah sumbu x
v (x,y) = komponen displacement arah sumbu y
xyayaxaayxu 4321),( +++=
xyayaxaayxv 8765),( +++=
(2.39)
persamaan tersebut dapat ditulis menjadi :
[ ]4321 u)yh)(xb(u)yh)(xb(u)yh))xb(u)yh)(xb(bh41)y,x(u +−++++−++−−=
……………………………………………………………………………………(2
.40)
[ ]4321 v)yh)(xb(v)yh)(xb(v)yh))xb(v)yh)(xb(bh41)y,x(v +−++++−++−−=
……………………………………………………………………………………(2
.41)
kemudian diperoleh nilai N “Shape Function” :( )( ) ( )( )
bh4yhxbN
bh4yhxbN 21
−+=−−=
( )( ) ( )( )bh4
yhxbNbh4
yhxbN 43+−=++=
yang dapat ditulis kedalam bentuk matriks :
ef
gh
x,u
b b
h
h
eu
ev
fufv
gu
gv
hu
hv
y,v
=
h
h
g
g
f
f
e
e
4321
4321
vuvuvuvu
N0N0N0N00N0N0N0N
vu
(2.42)
[ ] { } 1x88x2 u.N=
dengan menggunakan displacement regangan, dapat ditulis sebagai berikut :
[ ] { } 1x88x2
xy
y
x
xy
y
x
u.N.0
0
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
γεε
(2.43)
persamaan (2.42) disubstitusikan ke persamaan (2.43) menjadi :
{ } [ ]{ }u.B=ε
(2.44)
sehingga didapat matriks kekakuan lokal :
[ ] [ ] [ ][ ]∫ ∫− −
=h
h
b
b
T dydxt.BDBK
(2.45)
dimana untuk Plane Stress matriks kekakuan material tegangan bidang dapat
dilihat pada persamaan (2.24):
υ−υ−υ
υυ−
υ−=
2100
0101
1ED 2
proses integrasi persamaan diatas cukup panjang, sehingga tidak ditulis secara
lengkap disini. Hasil stiffness matrik elemen segitiga sebagai berikut :
[ ] [ ] [ ] [ ]BDBAtK T ××××=
(2.46)
dimana : K = matrik kekauan elemen
t = tebal struktur
A = luas penampang elemen
D = matriks konstitutif (material) elemen
=
+−−++−+−−−−−−++−−−
+−+−−−
y)(hx)(by)(hx)(by)(hx)(by)(hx)(bx)(b0x)(b0x)(b0x)(b0
0y)(h0y)(h0y)(h0y)(h
bh41B
………………………………………………………………………………….(2.4
7)
2.5.3. Proses Pembentukan Persamaan Global Struktur
Setelah mendapatkan nilai [ ]K dari tiap-tiap elemen, nilai [ ]K tersebut
digabung untuk mendapatkan nilai displacement. Penggabungan ini disebut
assembling pada matriks kekakuan elemen, menggunakan metode yang sangat
popular yaitu Direct stiffness Method.
Persamaan global struktur adalah sebagai berikut :
{ } [ ] { }d.Kf s=
(2.48)
dimana : { }f = global nodal forces
[ ] =sK matriks kekakuan struktur global
{ }d = displacement
Sebelum syarat batas diterapkan determinan [ ] =sK 0 sehingga tidak dapat
di inverskan. Tetapi setelah syarat batas diterapkan struktur akan bersifat
immobile (tidak berpindah), determinan [ ]sK menjadi ≠ 0 sehingga solusi bisa
dilakukan dan didapatkan nilai displacement.
Setelah syarat batas diterapkan persamaan (2.46) akan menghasilkan 1 set
persamaan simultan :
=
n
2
1
n
2
1
mn2n1n
n22221
n11211
f
ff
d
dd
.
KKK
kKKKKK
MM
L
MMMM
L
L
(2.49)
dengan metode persamaan linier program SAP 2000 dapat menghasilkan nilai
displacement.{ }d merupakan unknown degrees of freedom yang biasa disebut
Primary Unknowns yang merupakan parameter pertama kali terhitung dalam
metode kekakuan.
2.5.4 Perhitungan Tegangan Elemen
Untuk struktur Plane Stress tegangan masing-masing elemen adalah sebagai
berikut :
{ } [ ] [ ] { }dBD ××=σ
(2.50)
dimana : { }=σ Tegangan bidang tiap elemen
[ ] =D matriks kekakuan material
[ ] =B matriks B
{ } =d displacement
BAB III
METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Uraian Umum
Metodologi adalah cara atau prosedur untuk menjawab rumusan masalah
yang telah dikemukakan, yaitu untuk mengetahui pengaruh bentuk atau model
shell element pada struktur Plane Stress terhadap respon dinamis struktur yang
berupa respon perpindahan (joint displacement), frekuensi alami, tegangan
membran dan modus getar.
3.2 Analisis Model
Permodelan suatu struktur adalah mengidealisasikannya sebagai suatu
sistem yang tersusun dari elemen – elemen yang layak, yang masih memberikan
ketepatan yang cukup ketika perilakunya dianalisis dan dengan jumlah
perhitungan yang masuk akal. (Walter, 1988)
3.3 Deskripsi Domes
Struktur dome yang dipilih untuk dianalisis adalah bangunan rumah
sebagai building house di tepi pantai bertingkat dua berjenis monolithic dan
spherical berdiameter 16 m dan tinggi 8 m.
3.3.1 Permodelan Struktur
Sifat–sifat material yang diidealisasikan dan digunakan sebagai parameter
dalam analisis adalah sifat dari satu material utama pembentuk struktur aslinya,
yaitu material beton C651. Sifat-sifat material tersebut adalah sebagai berikut :
a. Massa per unit volume (m) = 1922.2063 kg/m3
b. Berat per unit volume (w) = 18850.404 N/m3
c. Modulus Elastisitas (E) = 2.57 x 1010 N/m2
d. Poisson’s Ratio (υ ) = 0.2
e. Koefisien ekspansi thermal = 4 x 10-6 m/m/ Co
3.4 Metode Analisis
Proses analisis struktur domes tidak mungkin dilakukan tanpa program
komputer karena banyaknya derajat kebebasan (DOF) yang dimiliki struktur akan
membuat matriks kekakuan dan matriks massa mempunyai ordo yang besar
sehingga menyulitkan perhitungan, menyita waktu dan kurang akurat bila
perhitungan dilakukan secara manual. Metode analisis yang digunakan adalah
Modal Analysis Method.
3.5 Kerangka Analisis
Tahap analisis yang dilakukan untuk mencari pengaruh bentuk atau model
shell element pada struktur Plane Stress terhadap respon dinamis struktur yang
berupa respon perpindahan (joint displacement), frekuensi alami, tegangan
membran dan modus getar dapat diuraikan sebagai berikut :
a. Memodelkan struktur dome dengan metode elemen hingga, termasuk
pembebanan, dan parameter penyusunnya.
b. Menganalisis model struktur untuk mendapatkan ferekuensi alami, modus
getar, dan displacement dari struktur dengan bantuan program komputer yaitu
SAP 2000 menggunalkan Modal analysis Method.
c. Membandingkan dan mengevaluasi hasil analisis dari ketiga elemen shell.
Ilustrasi global penelitian ini bisa digambarkan dalam diagram sebagai berikut :
Gambar 3.1 Diagram Ilustrasi Global Penelitian
STRUKTUR
Domes
BEBAN Berat sendiri
Material
Parameter Penyusunnya
ANALISIS DINAMIS
Modal Analysis
RESPON I Frekuensi alami
RESPON II Modus Getar
RESPON III Displacement
Persamaan Karakteristik
3.6 Tahap Analisis
Analisa dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :
Gambar 3.3 Diagram Alir Proses Perhitungan Secara Umum
Data Struktur (Material dan Frame)
Pemodelan Struktur
Analisa Dinamis Struktur dengan Modal Analysis
Respon Perpindahan Struktur
MULAI
SELESAI
Frekuensi Natural/Periode Getar
Gambar 3.5 Diagram Alir Perhitungan dengan Program Komputer
Program di atas dilakukan berulang-ulang dengan variasi model struktur
Data Struktur (Material dan Frame)
Pemodelan Struktur
MULAI
Analisa Data (Run Data)
Output : Frekuensi Alami dan Periode Getar Modus Getar, Joint Displacement
SELESAI
BAB IV
ANALISIS DAN PEMBAHASAN
4.1 Analisis Struktur Dome
Setelah selesai memodelkan 3 shell struktur domes, yaitu persegi, segitiga,
dan belah ketupat dengan bantuan program SAP2000 didapatkan frekuensi alami,
periode getar, displacement dan bentuk modus getar. Hasil analisis selengkapnya
dapat dilihat pada lampiran A.
4.1.1 Struktur Dome Elemen Shell Persegi
Salah satu contoh model struktur dome dengan elemen shell persegi :
Gambar 4.1 Crenosphere Stadium di Amerika Serikat. Tinggi maksimum dome mencapai 500 ft dengan diameter maksimum 1000 ft.
Model struktur dome yang digunakan pada analisis ini adalah gambar 4.2 berikut :
Gambar 4.2 Dome dengan elemen shell persegi
Monolithic domes di atas disusun oleh : 200 buah elemen shell, dengan
luasan shell maksimum pada bagian dasar lengkung sebesar 3.1225 m2, dan luas
daerah shell minimum di puncak dome sebesar 0.2428 m2.
Hasil analisis didapatkan bahwa pada mode ke-1 kumulatif partisipasi
modenya memberikan pengaruh terbesar bagi keseluruhan mode. Maka mode ke-
1 akan digunakan sebagai dasar analisis desain struktur dome.
Gambar 4.3 Modus getar pertama dengan periode getar ( T = 0.07354 detik ).
Pada mode pertama dome mengalami deformasi terbesar pada bagian
dasar struktur, hal ini terjadi karena luas elemen shell yang lebih besar
dibandingkan dengan luasan shell di atasnya sehingga kekakuannya menjadi lebih
kecil.
Data periode getar dan frekuensi alami struktur dalam kondisi tanpa beban
dapat dilihat pada tabel di bawah ini :
Tabel 4.2 Data frekuensi alami dan periode getar struktur
OutputCase Step Period Frequency Text Text Sec Cyc/sec
MODAL Mode 1 0,073539 13,598 MODAL Mode 2 0,073539 13,598 MODAL Mode 3 0,064251 15,564
Tabel 4.1 Tabel Partisipasi Mode Step Period UX UY UZ SumUX SumUY SumUZ Text Sec Unitless Unitless Unitless Unitless Unitless Unitless
Mode 1 0,073539 0,695236 0,18267 2,17E-10 0,695236 0,18267 2,17E-10 Mode 2 0,073539 0,182671 0,695235 9,551E-11 0,877907 0,877905 3,125E-10 Mode 3 0,064251 3,501E-12 1,496E-11 6,386E-11 0,877907 0,877905 3,764E-10 Mode 4 0,06339 8,698E-12 2,536E-12 9,519E-11 0,877907 0,877905 4,715E-10 Mode 5 0,06339 1,792E-13 5,412E-12 1,057E-11 0,877907 0,877905 4,821E-10 Mode 6 0,060918 7,172E-15 1,144E-11 4,107E-12 0,877907 0,877905 4,862E-10 Mode 7 0,060918 4,426E-12 5,178E-13 1,124E-12 0,877907 0,877905 4,873E-10 Mode 8 0,057386 2,294E-11 3,594E-11 6,617E-13 0,877907 0,877905 4,88E-10
Tabel 4.3 Joint displacement struktur
U1 (m) U2(m) U3 (m) R1 (rad.) R2 (rad.) R3 (rad.) maksimum 0,25714 0,253645 0,220642 0,218774 0,200597 0,221889minimum -0,25364 -0,25711 -0,22081 -0,23563 -0,25367 -0,22181
Modus getar struktur pada step mode pertama, kedua, dan ketiga bisa
dilihat perbedaannya pada gambar diagram gaya dan tegangan dalam shell berikut
ini :
Mode ke-1 Mode ke-2 Mode ke-3 Gambar 4.4 Distribusi gaya shell maksimum pada tiap tingkat mode
Dari gambar diatas dapat diketahui modus getar ke-1 dan ke-2 masih
simetris dan tegangan berpusat di dasar sebesar 1530 ton/m. Pada mode ke-3
modus getar sudah asimetris, garis meredian satu dengan yang lain berbeda arah
perpindahannya. Tegangan terbesar terletak pada tiap – tiap garis merediannya
sebesar 3650 ton/m.
Mode ke-1 Mode ke-2 Mode ke-3 Gambar 4.5 Distribusi momen shell maksimum pada tiap tingkat mode
Mode ke-1 distribusi momen terbesar terletak pada 2 shell bawah dan
momen terbagi rata menuju puncak domes. Mode ini masih cukup stabil karena
deformasi struktur sangat kecil. Kondisi pada mode ke-2 masih sama dengan
mode ke-1 tetapi struktur sudah terdeformasi cukup besar ke kiri. Pada mode ke-3
distribusi momen terbesar terdapat pada garis meredian.
Mode ke-1 Mode ke-2 Mode ke-3 Gambar 4.6 Distribusi gaya geser shell maksimum pada tiap tingkat mode
Distribusi gaya geser terbesar mode ke-1 dan mode ke-2 berpusat pada
dasar dome dan struktur masih bersifat simetris dan hanya terdeformasi ke kanan
dan ke kiri. Mode ke-3 sudah bersifat asimetris dan gaya geser terbesar mendekati
puncak dome.
Mode ke-1 Mode ke-2 Mode ke-3 Gambar 4.7 Distribusi tegangan shell maksimum pada tiap tingkat mode
Mode ke-1 struktur dome masih stabil karena hampir tidak terdeformasi
dan tidak ada distribusi tegangan yang besar. Hal ini ditunjukkan dengan tidak
adanya warna biru pada struktur. Mode ke-2 distribusi tegangan shell terbesar
berpusat pada dasar dome sebelah kiri dan struktur sudah mulai terdeformasi ke
kanan. Mode ke-3 sangat tidak stabil karena distribusi tegangan shell terbesar
terdapat pada garis meridian menerus dari puncak menuju dasar sehingga
menyebabkan struktur tidak simetris.
Selanjutnya gaya dan tegangan maksimum maupun minimum dapat
ditabelkan sebagai berikut:
Tabel 4.4 Gaya dalam dan tegangan elemen shell
Maksimum Minimum F (ton/m) 6187,23 -6186,54 M (ton-m/m) 29,61 -29,61 V (ton/m) 37,17 0,08 S Top (ton/m^2) 145132,17 -145108,82 S Bottom (ton/m^2) 108239,06 -108239,02 S Average (ton/m^2) 743,54 1,69
4.1.2 Struktur Dome Elemen Shell Segitiga
Salah satu contoh model struktur dome dengan elemen shell segitiga :
Gambar 4.8 Dome kaca dengan elemen shell segitiga
Model struktur dome yang digunakan pada analisis ini adalah gambar 4.9 berikut :
Gambar 4.9 Dome dengan elemen shell segitiga
Monolithic domes di atas disusun oleh : 1534 buah elemen shell, dengan
luasan shell maksimum pada bagian dasar lengkung sebesar 0.6213 m2, dan luas
daerah shell minimum di puncak dome sebesar 0.0814m2.
Gambar 4.10 Modus getar pertama dengan periode getar ( T = 0.07358 detik ).
Pada mode pertama dome tidak mengalami deformasi yang signifikan, hal
ini terjadi karena luas elemen shell yang able sama pada setiap bagian
sehingga kekakuan strukturnya merata.
Data periode getar dan frekuensi alami struktur dalam kondisi tanpa beban
dapat dilihat pada table di bawah ini :
Tabel 4.5 Data frekuensi alami dan periode getar struktur
Step Period FrequencyText Sec Cyc/sec
Mode 1 0,073583 13,59 Mode 2 0,073578 13,591 Mode 3 0,055663 17,965
Tabel 4.6 Joint displacement struktur
U1 (m) U2(m) U3 (m) R1 (rad.) R2 (rad.) R3 (rad.) maksimum 0,279203 0,272816 0,326079 0,9563 0,956954 0,070443minimum -0,27893 -0,273 -2,06637 -0,95643 -0,95395 -0,15308
Modus getar struktur pada step mode pertama, kedua, dan ketiga bisa
dilihat perbedaannya pada gambar diagram gaya dan tegangan dalam shell berikut
ini :
Mode ke-1 Mode ke-2 Mode ke-3 Gambar 4.11 Distribusi gaya shell maksimum pada tiap tingkat mode
Mode ke-1 Mode ke-2 Mode ke-3 Gambar 4.12 Distribusi momen shell maksimum pada tiap tingkat mode
Mode ke-1 Mode ke-2 Mode ke-3 Gambar 4.13 Distribusi gaya geser shell maksimum pada tiap tingkat mode
dome. Mode ke-3 terdistribusi merata dan tidak ada warna biru menunjukkan
tidak ada gaya geser shell yang besar.
Mode ke-1 Mode ke-2 Mode ke-3 Gambar 4.14 Distribusi tegangan shell maksimum pada tiap tingkat mode
Distribusi tegangan shell pada ketiga mode ini hampir sama dengan
distribusi gaya shell. Distribusi terbesar ditunjukkan dengan warna biru dan
terkecil dengan warna kuning. Bentuk ketiga mode ini simetris sehingga struktur
masih cukup stabil.
Selanjutnya gaya dan tegangan shell maksimum maupun minimum dapat
ditabelkan sebagai berikut :
Tabel 4.7 Gaya dalam dan tegangan elemen shell
Maksimum Minimum F (ton/m) 11555,30 -13163,21 M (ton-m/m) 105,71 -124,94 V (ton/m) 341,883 0,04 S Top (ton/m^2) 237318,93 -393551,44 S Bottom (ton/m^2) 225077,76 -556714,14 S Average (ton/m^2) 6837,67 0,79
4.1.3 Struktur Dome Elemen Shell Belah Ketupat
Model struktur dome dengan menggunakan bantuan perangkat lunak
analisis struktur adalah sebagai berikut :
Gambar 4.15 Dome dengan elemen shell belah ketupat
Adapun monolithic domes di atas disusun oleh : 504 buah elemen shell,
dengan luasan shell maksimum pada bagian dasar lengkung sebesar 1.2404 m2,
dan luas daerah shell minimum di puncak dome sebesar 0.1898m2.
Gambar 4.16 Modus getar pertama dengan periode getar ( T = 0.07438 detik ).
Pada mode pertama dome mengalami deformasi yang cukup signifikan
pada bagian puncak dome, bentuk elemen yang tidak stabil berupa belah ketupat
dan makin mengecil di bagian puncak dome.
Data periode getar dan frekuensi alami struktur dalam kondisi tanpa beban
dapat dilihat pada tabel di bawah ini :
Tabel 4.8 Data frekuensi alami dan periode getar struktur
OutputCase Step Period Frequency Text Text Sec Cyc/sec
MODAL Mode 1 0,07437 13,445 MODAL Mode 2 0,07428 13,463 MODAL Mode 3 0,06707 14,909
Tabel 4.9 Joint displacement struktur
U1 (m) U2(m) U3 (m) R1 (rad.) R2 (rad.) R3 (rad.) maksimum 0,357577 0,411316 2,285892 2,011925 1,399059 0,666591minimum -0,34698 -0,33387 -1,44834 -2,13247 -2,54897 -0,6667
Modus getar struktur pada step mode pertama, kedua, dan ketiga bisa
dilihat perbedaannya pada gambar diagram gaya dan tegangan dalam shell berikut
ini :
Mode ke-1 Mode ke-2 Mode ke-3 Gambar 4.17 Distribusi gaya shell maksimum pada tiap tingkat mode
Mode ke-1 dan mode ke-3 terdeformasi di puncak tetapi tidak terdeformasi
ke kanan maupun ke kiri. Sedangkan pada mode ke-2 terdeformasi ke kanan.
Kondisi seperti di atas menunjukkan bahwa struktur tidak stabil di puncak dome.
Mode ke-1 Mode ke-2 Mode ke-3 Gambar 4.18 Distribusi momen shell maksimum pada tiap tingkat mode
Distribusi momen pada struktur dome ini merata, ditunjukkan dengan
warna hijau yang seragam di tiap shellnya. Warna hijau ini berkisar antara 220-
660 tonm.
Mode ke-1 Mode ke-2 Mode ke-3
Gambar 4.19 Distribusi gaya geser shell maksimum pada tiap tingkat mode
Distribusi gaya geser pada ketiga mode tersebut terbesar terletak pada
puncak dome. Kondisi ini ditunjukkan dengan adanya perbedaan warna di puncak
dome yaitu merah. Warna merah berkisar antara 4200-5600 ton/m, sedang warna
ungu berkisar antara 0-14 ton/m.
Mode ke-1 Mode ke-2 Mode ke-3 Gambar 4.20 Distribusi tegangan shell maksimum pada tiap tingkat mode
Ketiga mode tersebut terdistribusi merata dengan warna yang sama tetapi
pada mode ke-1 dan mode ke-3 terdeformasi besar di puncak.
Selanjutnya gaya dan tegangan shell maksimum maupun minimum dapat
ditabelkan sebagai berikut :
Tabel 4.10 Gaya dalam dan tegangan elemen shell
Maksimum Minimum F (ton/m) 354047,59 -351811,4 M (ton-m/m) 389,30 -537,74 V (ton/m) 4451,82 0,008377 S Top (ton/m^2) 7608419,28 -68090,96 S Bottom (ton/m^2) 6556956,95 -73030,46 S Average (ton/m^2) 89036,47 0,17
4.2 Pembahasan
a. Hasil analisis menunjukkan bahwa modus pertama struktur domes dengan
elemen shell berbentuk dasar persegi, segitiga, dan belah ketupat memiliki
deformasi yang sedikit berbeda seperti ditunjukkan pada gambar berikut ini :
a. dome persegi b. dome segitiga c. dome belah ketupat
Gambar 4.21 Perbandingan pola getaran struktur domes
Gambar di atas menunjukkan bahwa struktur domes dengan elemen shell
segitiga dan persegi memiliki simpangan yang tidak terlalu besar hal ini
disebabkan karena bentuk dasar elemen shellnya cukup stabil.
b. Hasil analisis menunjukkan bentuk modus getar yang dihasilkan elemen shell
persegi mode ke-3 pada distribusi gaya, momen, gaya geser dan tegangan
shell berbentuk asimetris. Garis meridian satu dengan yang lain berbeda arah
perpindahannya. Kalau dikaji lebih lanjut elemen shell persegi tidak memiliki
tingkat kestabilan yang tinggi, karena terdapat 4 titik yang bisa dibuat
bermacam–macam ruang misalnya belah ketupat.
c. Modus getar shell segitiga dari mode ke-1 sampai mode terakhir berbentuk
simetris. Kalau dikaji lebih lanjut elemen shell segitiga yang memiliki 3 titik
hanya bisa dibuat 1 bidang saja. Hal ini menunjukkan bahwa shell segitiga
memiliki tingkat kestabilan yang lebih tinggi dari shell persegi.
d. Domes dengan elemen shell berbentuk dasar belah ketupat cenderung
mengalami deformasi yang cukup besar pada bagian puncak domes, diduga
karena perbedaan aspek rasio sisi belah ketupat bagian bawah dengan bagian
puncak yaitu 1:1 dengan 1:4 sehingga elemen shell di puncak lebih tidak kaku.
Lokasi deformasi
Lokasi deformasi Lokasi deformasi
e. Nilai perbandingan joint displacement ketiga struktur dapat dilihat pada tabel
di bawah ini :
Tabel 4.11 Perbandingan nilai joint displacement maksimum
Maximum joint displacement
(m) Domes shell persegi 0,25714 Domes shell segitiga 0,32607 Domes shell belah ketupat 2,28589
Tabel di atas menunjukkan bahwa Domes berelemen shell belah ketupat
memiliki simpangan yang sangat besar, yaitu lebih dari 2 meter. Simpangan
ini tentu sangat berbahaya bagi penghuni dome apabila terjadi gempa atau
tiupan angin yang cukup besar (tornado).
f. Data periode getar dan frekuensi alami struktur menunjukkan angka yang
saling mendekati, dimana berkisar pada nilai 0.074 detik atau sekitar 13,5 hz.
Frekuensi alami ini cukup aman terhadap getaran dinamis angin yang berkisar
pada nilai 0.5 Hz.
Tabel 4.12 Perbandingan nilai Periode getar dan Frekuensi alami
Periode Getar
(detik) Frekuensi Alami
(Hz) Domes shell persegi 0,073539 13,59 Domes shell segitiga 0,073583 13,59 Domes shell belah ketupat 0,074379 13,44
g. Data gaya dalam dan tegangan dalam elemen shell struktur dapat dilihat pada
tabel berikut ini :
Tabel 4.13 Perbandingan gaya dalam dan tegangan dalam shell
Domes shell persegi Domes shell segitiga Domes shell belah ketupat F max. (ton/m) 6187,23 11555,3 354047,60 M max. (ton-m/m) 29,61 105,72 389,30 V max. (ton/m) 37,18 341,88 4451,82 S max. (ton/m^2) 145132,17 237318,93 6556956,95
Semakin besar gaya dalam yang ditahan oleh elemen shell, maka semakin
besar pula faktor keamanan yang harus dianalisis dalam desain struktur
domes.
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan analisis yang telah dilakukan terhadap tiga model dengan tiga
tipe shellyang berbeda, yaitu persegi (rectangular), segitiga (triangular), dan
belah ketupat (diamond), dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :
a. Elemen shell persegi menunjukkan modus getar yang asimetris karena pada
garis meridian satu dengan yang lain berbeda perpindahannya.
b. Elemen shell belah ketupat memiliki modus getar yang terdeformasi besar di
puncak domes.
c. Elemen shell segitiga menunjukkan modus getar yang simetris dari mode
pertama sampai terakhir.
d. Besarnya periode getar dan frekuensi alami pada fundamental mode (modus
pertama) kondisi unforced vibration shell persegi adalah 0.07354 detik dan
13.59 Hz, segitiga adalah 0.07358 detik dan 13.59 Hz, belah ketupat adalah
0.07437 detik dan 13.45 Hz.
5.2 Saran
Beberapa pembatasan dan penyederhanaan yang dilakukan dalam analisis
ini dapat menjadi bahan pertimbangan pada analisis selanjutnya. Misalnya jumlah
model, bentuk struktur domes lain yang belum dikaji dalam analisis ini.
DAFTAR PUSTAKA
Anonim, 1997. Pedoman Penulisan Skripsi dan Laporan Kerja Praktek.
Surakarta: UNS Press.
Ayala, D.D & C, Kasapula. 2001. Limit State Analysis of Hemispherical Domes
with Finite Friction. Inggris, from:http://.www.monolitihicdome.com .
Bambang Suhendro. 1992. Metode Elemen Hingga dan Aplikasinya. Yogyakarta.
Clough, Ray, W ., Joseph Penzein. 1975. Dynamics of Structure. London: Mc-
Graw-Hill, Inc.
Copra, Anil K. 1995. Dynamics of Structure: Theory and Applications to
Earthquake Engineering. New Jersey:Prentice Hall, Inc.
Departemen Pekerjaan Umum, 1987. Pedoman Perencanaan Ketahahan Gempa
untuk Rumah dan Gedung. Yayasan Badan Penerbit Pekerjaan Umum.
Gaoboging & Wen, En H. 2003. Sensitivity Analisys of Cable to Suspense dome
structural system. China: Departemen of Civil Engineering Zhe Chiang University
Hang Zao.
Logan, Daryl L. 1986. A First Course in Finite Element Method. Boston: PWS
Engineering.
Paz, Mario. 1993. Dinamika Struktur: Teori dan Perhitungan. Edisi kedua. New
York: Van Nostrand Reinhold Company.
Schodek, Daniel. 1990. Struktur. Yogyakarta:Erlangga.
Svensson, H.S., and E. Jordet. 1996. The Concrete Cable Stayed Helgeland
Bridge in Norway. Accessed on September 9th, 2003, from: http://www.aas-
jakobsen.no/Brodges/Publication/Helgeland_bridge/Helgeland_Bridge_e.htm.
Widodo. 2001. Respon dinamik Struktur Elastik. Yogyakarta: UII Press.
Zimmerman, Jonathan & Robert Bisset. 2004. Dome of a Home Premiers on The
Travel Channel. Accssed on September 13th, 2004, from:
www.domeofhome.com.