LOGO
Hukum-Hukum Aljabar Boole
1. Hukum Komutatif
a) Untuk Gerbang Logika OR
Gerbang OR dengan 2 masukan tertentu, yaitu A dan B dapat dipertukarkan tempatnya dengan mengubah urutan sinyal-sinyal masukan.
A + B = B + A = Y
B
A
LOGO
b) Untuk Gerbang Logika AND
Gerbang AND dengan 2 masukan tertentu, yaitu A dan B dapat ditukar tempatnya dan dapat diubah urutan sinyal-sinyal masukannya.
A . B = B . A = Y
Contoh :
BA
LOGO
2. Hukum Asosiatif
a) Untuk Gerbang Logika OR
Gerbang OR dengan 2 masukan tertentu, yaitu A dan B, dapat dikelompokkan tempatnya dan dapat diubah urutan sinyal-sinyal masukannya.
A + (B + C) = (A + B) + C
Keluarannya akan tetap sama dengan
Y = A + B + C
LOGO
Contoh :
C
A
CB
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
LOGO
b) Untuk Gerbang Logika AND
Gerbang AND dengan 3 masukan tertentu, A, B, dan C, dapat dikelompokkan tempatnya dan dapat diubah urutan sinyal-sinyal masukannya.
A . (B . C) = (A . B) . C
Artinya keluarannya akan tetap sama dengan
Y = A . B . C
LOGO
B
C
A
C
BA
Y
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
LOGO
bermula dari sebuah persamaan Boole yang dapat diturunkan menjadi persamaan boole lainnya.
Berguna untuk menghasilkan hubungan boole yang baru,langkahnya:
TEOREMA DUALISME
Gantikan setiap tanda OR dengan sebuah tanda AND
Gantikan setiap tanda AND dengan sebuah tanda OR
Setiap 0 dan 1 diganti dengan komplemennya
LOGO
Manfaat teorema dualitasContoh persamaan
Menghasilkan hubungan Boole yang baru
A.(B+C)=A.B+A.C
A
C
B
LOGO
TEOREMA PERTAMA
TEOREMA KEDUA
DAPAT MEREDUKSI RANGKAIAN-RANGKAIAN LOGIKA YANG RUMIT MENJADI SEDERHANA
HUKUM DE MORGAN
Hubungan antara gerbang logika kombinasional NOR dengan gerbang
logika dasar AND dan inverternya
Hubungan antara gerbang logika kombinasi NAND dengan gerbang
logika kombinasi OR dan inverternya
LOGO
1.Teorema pertama Persamaan Boole Gerbang logika NOR
Gerbang logika NOR dapat digantikan dengan gerbang logika yang setara yaitu gerbang logika AND yang kedua masukannya dibalik menggunakan gerbang logika inverter(NOT)
LOGO
2.TEOREMA KEDUAGerbang logika NAND dapat
digantikan dengan gerbang logika yang setara yaitu gerbang logika OR dengan kedua masukannya dibalik menggunakan gerbang logika inverter(NOT)
Persamaan Aljabar Boolenya:
LOGO
NO Gerbang OR
Gerbang AND
Keterangan
1 A+B=B+A A.B=B.A Hukum komutatif
2 A+(B+C)=(A+B)+C
A.(B.C)=(A.B).C
Hukum asosiatif
3 A.(B+C)=A.B +A.C
A+B.C=(A+B).(A+C)
Hukum distributif
4 A+0=A=A.1 A.1 =A=A+0 Teorema dualitas
5 A.(B+C)=A.B+A.C
A+B.C=(A+B)(A+C)
Teorema dualitas
6 A+0=A A.0=0 Hukum aljabar boole
7 A+1=1 A.1=A Jika dengan 1
8 A+A=A A.A=A Identitas
12 A+A.B=A A.(A+B)=A Aljabar boole jumlah hasil kali
LOGO
Contoh dan Penerapan Aljabar Boole dalam Teknik Digital
1. Diketahui satu persamaan aljabar Boole, yaitu Y = AB + AC + BD + CD
Sederhanakan persamaan tersebut dengan cara faktorisasi!
Jawab :
Y = AB + AC + BD + CD = ?
LOGO
Sifat-Sifat Khusus Aljabar Boole
Secara umum aturan aljabar biasa dengan aljabar Boole adalah sama.
Tetapi ada beberapa aturan atau kaidah aljabar Boole yang mempunyai sifat khusus yang perlu kita ketahui.
Sifat khusus dari aljabar Boole tsb membuatnya berguna dalam proses penyederhanaan rangkaian logika.
LOGO
Dalam operasi gerbang OR
Kaidah Pertama:
A + 0 = ASebuah gerbang OR dengan 2 masukan, jika sebuah keadaan masukannya adalah A dan yang lainnya adalah 0, akan menghasilkan kembali masukan yang semula, yaitu A.
LOGO
Dalam operasi gerbang OR
Contoh : Rangkaian logika yang terdiri dari sebuah gerbang OR dua masukan. Salah satu masukan nya A dan yang lain 0 atau 1, hasilnya akan tetap A.
1 + 0 = 1 0 + 0 = 0
0
1
1
0
0
0
LOGO
Dalam operasi gerbang OR
Kaidah Kedua :
A + 1 = 1Suatu gerbang OR dengan 2 masukan, jika salah satu masukannya aktif, yang dinyatakan dengan 1 sedangkan masukan yang lainnya A, maka hasil keluarannya akan tetap 1.
LOGO
Dalam operasi gerbang OR
Contoh : Rangkaian logika yang terdiri dari sebuah gerbang OR dua masukan. Salah satu masukannya adalah 1, sedang yang lain adalah 0 atau 1, hasilnya akan tetap 1
0 + 1 = 1 1 + 1 = 1
1
0
1
1
1
1
LOGO
Dalam operasi gerbang OR
Kaidah Ketiga :
A + A = AJika suatu gerbang OR memiliki 2 masukan yang sama, keaadan A misalnya, maka hasilnya adalah masukan tersebut.
LOGO
Dalam operasi gerbang OR
Hal ini dinyatakan dengan :
A + A = A
A
A
A
A A Y
0 0 0
1 1 1
A A Y
0 0 0
1 1 1
LOGO
Dalam operasi gerbang OR
Contoh : Rangkaian logika yang terdiri dari sebuah gerbang OR dua masukan. Salah satu masukannya adalah 0
atau 1, sedang yang lain juga sama, maka hasilnya akan tetap sama.
1 + 1 = 1 0 + 0 = 0
1
1
1
0
0
0
LOGO
Dalam operasi gerbang OR
Kaidah Keempat :
Ā + A = 1Suatu gerbang OR dengan 2 masukan, jika salah satu masukannya dinyatakan dengan A, sedangkan masukan yang lainnya
LOGO
Dalam operasi gerbang OR
Contoh : Rangkaian logika yang terdiri dari sebuah gerbang OR dua masukan. Salah satu masukan nya adalah 0 atau 1, sedang yang lain adalah kebalikannya, maka hasilnya tetap 1.
0
1
1
1
0
1
LOGO
Dalam operasi gerbang AND
Kaidah Pertama:
A . 0 = 0Sebuah gerbang AND dengan 2 masukan, jika keadaan sebuah masukannya adalah A, sedangkan keadaan masukan yang lainnya adalah 0, maka keluarannya dinyatakan dengan 0.
LOGO
Dalam operasi gerbang AND
Contoh : Rangkaian logika yang terdiri dari sebuah gerbang AND dua masukan.Salah satu masukannya adalah 0 atau 1, sedangkan yang lain adalah 0,maka keluarannya sama dengan 0.
1 . 0 = 0 0 . 0 = 0
0
1
0
0
0
0
LOGO
Dalam operasi gerbang AND
Kaidah Kedua :
A . 1 = ASebuah gerbang AND dengan 2 masukan, jika keadaan sebuah masukannya adalah A, sedangkan keadaan masukan yang lainnya adalah 1, maka keluarannya dinyatakan dengan A.
LOGO
Dalam operasi gerbang AND
Contoh : Rangkaian logika yang terdiri dari sebuah gerbang AND dua masukan. Salah satu masukannya adalah 0
atau 1, sedangkan yg lain adalah 1, maka keluarannya sama dengan 0 atau 1 juga.
1 . 1 = 1 0 . 0 = 0
1
1
1
0
0
0
LOGO
Dalam operasi gerbang AND
Kaidah Ketiga :
A . A = ASebuah gerbang AND dengan 2 masukan, jika keadaan sebuah masukannya adalah A, sedangkan keadaan masukan yang lainnya adalah A juga, maka keluarannya dinyatakan tetap A.
LOGO
Dalam operasi gerbang AND
Contoh : Rangkaian logika yang terdiri
dari sebuah gerbang AND dua masukan. Salah satu masukannya adalah 0 atau 1, sedangkan yg lain sama dengan masukannya, maka keluarannya sama dengan 0 atau 1 juga.
0 . 0 = 0 1 . 1 = 1
0
0
0
1
1
1
LOGO
Dalam operasi gerbang AND
Kaidah Keempat :
Ā . A = 0Sebuah gerbang AND dengan 2 masukan, jika keadaan sebuah masukannya adalah A, sedangkan keadaan masukan yang lainnya adalah kebalikan dari A , maka keluarannya dinyatakan tetap 0.
LOGO
Dalam operasi gerbang AND
Contoh : Rangkaian logika yang terdiri dari sebuah gerbang AND dua masukan.
Salah satu masukannya adalah 0 atau 1, sedangkan yang lain kebalikan dengan masukannya, maka keluarannya sama dengan 0.
1 . 1’ = 0 0 . 0’ = 0
1
1
0
0
0
0
LOGO
Tabel Ringkasan Perbedaan Aljabar Biasa dengan Aljabar Boole
Gerbang Aljabar AljabarLogika Biasa Boole
A + 0 = A A + 0 = AOperasi A + 1 = A + 1 A + 1 = 1Gerbang OR A + A = 2A A + A = A
A + Ā = 0 A + Ā = 1A . 0 = 0 A . 0 = 0
Operasi A . 1 = A A . 1 = A
Gerbang AND A . A = A2 A . A = AA . Ā = -A2 A . Ā = 0
LOGO
Rangkaian Ekuivalen
Dalam mendesain rangkaian logika seringkali kita diminta untuk menggunakan gerbang - gerbang NAND atau NOR saja . Untuk memudahkan pelaksanaan desain tersebut , maka diberikan rangkaian ekivalen dari gerbang NAND dan NOR yaitu sebagai berikut:
LOGO
contoh 1.1:
Ubahlah rangkaian dibawah ini menjadi rangkaian yang hanya terdiri dari gerbang NAND saja.
contoh 1.2:
Ubahlah rangkaian dibawah ini menjadi rangkaian yang hanya terdiri dari gerbang
NOR saja..
LOGO
IC TTLSelama ini kita hanya mengenal symbol-symbol suatu gerbang logika. Di dalam prakteknya suatu gerbang - gerbang logika ini dikemas dalam suatu IC (integrated circuits). Salah satu diantaranya yang terkenal adalah TTL (transistor –transistor logic). Setiap IC TTL ini mempunyai seri-seri tersendiri yang sudah ditetapkan oleh pabrik. Untuk lebih jelasnya berikut ini ada lah salah satu data book dari TTL seri 74 yaitu SN74LS00 .
LOGO
Tabel gerbang IC TTLNama Gerbang Input/gerbang Jumlah
GerbangTTL
Inverter 1 6 74047408
ANDOR
234
332
741174217432
NAND 23481213
432111
74007410742074307413474133
NOR 234
432
740274277425