KERJA PROJEK MATEMATIK TAMABAHAN

TAJUK : LUAS PERMUKAAN BAR COKLAT

Contoh Jawapan Soalan Lanjutan I.

Jika luas permukaan bahagian atas bar coklat dan ketebalannya dikekalkan, teroka bentuk yang boleh menghasilkan jumlah luas permukaan bar coklat yang minimum. Beri kesimpulan anda.

1. Memahami Masalah. (a) Maklumat yang diberi.

Permuakaan atas bar coklat dikekalkan dalam erti kata lain bar coklat mempunyai keratan rentas seragam dengan luasnya dikekalkan sebagai 75.6 cm2. [atau 84 cm2 jika isipadu yang asal digunakan]

Ketebalan = 3 cm. Oleh kerana luas keratan rentas dan ketebalan dikekalkan, isipadu bar

coklat juga dikekalkan sebagai 226.8 cm3. [atau 252 cm3 jika isipadu yang asal digunakan]

(b) Hasil yang dikehendaki. Mencari bentuk bar coklat yang mempunyai jumlah luas permukaan yang

minimum.

2. Merancang Strategi.

Jumlah luas permukaan, L = 2 luas permukaan atas + (perimeter permukaan atas) tinggi = 2 75.6 + (perimeter) 3 cm

Oleh kerana luas permukaan atas dan ketebalan dikekalkan (malar) , jumlah luas permukaan hanya bergantung kepada perimeter permukaan atasnya.

Permukaan atas yang mempunyai luas yang tetap dan perimeter yang paling minimum akan memberi jumlah luas permuaan yang minimum.

Pertimbangkan bentuk segiempat dan segi tiga berikut yang mempunyai luas yang sama iaitu 100 cm2. Perimeter setiap rajah dihitungkan.

Perimeter = 50 cm Perimeter = 40 cm Perimeter = 60 cm

3 cm

20 cm

5 cm

10 cm

10 cm

22 cm

4 cm5 cm 5 cm

3 cm 3 cm

Perimeter = 52.36 cm2 Perimeter = 48.28 cm2 Perimeter = 45.59

Segiempat sama mempunyai perimeter lebih kecil daripada segiempat yang lain. Segitiga sama mempunyai perimeter lebih kecil daripada segitiga yang lain.

Segiempat sama mempunyai perimeter yang lebih kecil daripada segitiga sama. Daripada keputusan di atas, bentuk seragam dengan sisi yang sama panjang iaitu

poligon sekata mempunyai perimeter yang kecil. Selain daripada itu poligon sekata yang mempunyai bilangan sisi yang banyak mempunyai perimeter yang lebih kecil.

Bulatan adalah bentuk yang paling seragam dan boleh dianggap sebagai had bagi poligon sekata apabila bilangan sisi, n adalah tak terhingga besarnya.

Berdasarkan hujah ini, konjektur berikut dibuat.

Konjektur

Jika luas permukaan atas dan ketebalan dikekalkan, bar coklat dengan keratan rentas berbentuk bulatan iaitu silinder mempunyai jumlah luas permukaan yang minimum.

Penerokaan selanjutnya akan dihadkan kepada bentuk prisma dengan keratan rentasnya berbentuk poligon sekata.

Satu rumus untuk menentukan perimeter poligon sekata yang mempunyai luas yang malar akan diterbitkan. Seterusnya jumlah luas permukaan prisma akan dihitungkan. Dengan membandingkan nilai jumlah luas permukaan, diharapkan bentuk bar coklat yang mempunyai jumlah luas permukaan minimum akan diperoleh.

3. Melaksanakan strategi.

Pertimbangkan sebuah poligon sekata yang mempunyai n sisi dan berpusat di O.

15.1967 cm10 cm

20 cm

200 cm

200 cm

20 cm

S

T U

V

W

N

O

oa

a

a a

x o x o

s

ss

s

s

Katakan panjang setiap sisinya ialah s. Poligon sekata dibahagi kepada n segitiga serupa dengan sudut di O ialah o

Jika luas poligon sekata ialah A, maka luas setiap segitiga ialah A/n. o = 360 o/ n Panjang sisi a boleh ditentukan dengan

Panjang sisi s boleh ditentukan dengan petua kosinus s 2 = a 2 + a 2 2 a.a kos = 2a 2 2 a 2 kos = 2a 2(1- kos ) s = a(2(1-kos)) Maka jumlah luas permukaan bar coklat, L = 3 ns + 75.6 2 = 3ns + 151.2 cm2.

Seterusnya program Microsoft EXCELL akan digunakan untuk menentukan luas permukaan bar coklat. Jadual 1 menunjukkan keputusan pengiraan.

Sekiranya keratan rentas berbentuk bulatan (iaitu bar coklat berbentuk silinder),

j2 = 75.6 j2 = 24.064 j = 4.906Jumlah luas permukaan bar coklar = 2 (j2 ) + 3 (2j) = 2(75.6) + 3(2 4.906) = cm2

Daripada Jadual 1, didapati apabila n semakin besar, jumlah luas permukaan semakin kecil dan menghampiri jumlah luas bar coklat berbentuk silinder iaitu 243.676 cm2.

Oleh kerana had bagi poligon sekata apabila n infinti ialah bulatan, maka boleh disimpulkan bahawa bar coklat yang berbentuk silinder mempunyai jumlah luas permukaan yang minimum sekiranya ketebalan dan luas permukaan atasnya dikekalkan.

T U

O

oa

a

x o x o

s

Jadual 1

243.676

4. Menyemak Penyelesaian. Untuk menyemak jawapan setiap langkah penyelesaian di atas disemak dengan

teliti dan dipastikan mematuhi hukum-hukum dan petua-petua matematik. Selain daripada itu isipadu bar coklat juga dihitung dengan hasil tambah n prisma yang membentuk bar cokalt tersebut. Ini akan memastikan pengiraan panjang sisi a dan sudut adalah jitu. Daripada jadual 1 didapati isipadu bar dikekalkan pada 226.8 cm3.

Isipadu prisma = ½ a2sin 3 cm3

Isipadu bar coklat = n Isipadu prisma

Lampiran

Rumus yang digunakan dalam jadual 1.

Kuantiti Rumus Excelln

A/nasLV

a

a

s

3 cmO