Klaksifikasi Hadron dan Meson sebagaiRepresentasi Uniter pada Sistem Partikel
Elementer
Mulyadi
NPM : 0399020527
Departemen Fisika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Indonesia
Depok 2004
Halaman Persetujuan
Skripsi : Klaksifikasi Hadron dan Meson sebagai Representasi Uniter pada
Sistem Partikel Elementer
Nama : Mulyadi
NPM : 0399020527
Skripsi ini telah diperiksa dan disetujui
Pembimbing
Dr.Terry Mart
Penguji I Penguji II
Dr. Anto Sulaksono Dr. L.T. Handoko
Kata Pengantar
Partikel-partikel Subnuklir merupakan kumpulan partikel yang unik. Salah sat-
unya adalah karena beberapa sifat istimewa yang terkait satu sama lain melalui
kesimetrian. Kesimetrian partikel-patrikel ini dapat dipelajari dalam suatu topik
pembelajaran di Fisika yang kerap dikenal sebagai Teori Grup. Sesungguhnya
Teori Grup bukan hanya membahas representasi dan klaksifikasi ”cantik” dari
partikel-partikel subnuklir, namun pada sistem many-body lainnya seperti pada
molekul-molekul dapat dipelajari melalui Teori Grup.
Tepat tanggal 1 juni 2002, Saya ingat pertama kali bertemu Pak Terry di
Salemba untuk membicarakan masalah tugas akhir, karena saya tertarik di bidan-
gnya beliau, Fisika Nuklir-Partikel teoritik. Saya tidak menyangka, karena banyak
masalah dan lain-lain tugas akhir saya terbengkalai sampai bulan maret tahun
ini. Tentu saja topik yang saya bawakan berbeda dengan yang seharusnya saya
dapat kalau saya memulai Skripsi 2 tahun silam. Pemilihan topik ini sangat baik
dilakukan oleh Pak Terry, karena Grup Fisika teoritik di Jurusan kita memang
membutuhkan pengetahuan tersebut, karena ternyata banyak jurnal ilmiah di
bidang nuklir-partikel teoritik ternyata tidak terlepas dengan pembahasan Grup
seperti yang baru saja dilakukan ”Bapak” Nofirwan, S.si pada tugas akhir beliau
semester lalu.
Melalui Kata Pengantar ini, Penulis hendak mengucapkan terima kasih yang
setulusnya kepada pak Terry yang telah dengan sabar dan setia menanti saya
untuk mengerjakan tugas akhir saya, walaupun saya sudah beberapa kali ”bolos”
dari Fisika. Terima kasih juga pada Pak Handoko yang banyak memberi masukan
dan berperan sebagai pembimbing ”tak resmi” saya. Tidak lupa saya ucapkan
terima kasih pada Pak Anto yang sangat mendukung dan memberi semangat
pantang mundur pada para mahasiswa. Selain dosen-dosen di grup kita, Saya
juga hendak mengucapkan terima kasih pada dosen-dosen lainnya yang secara
tidak langsung telah berjasa bagi saya antara lain: Pak Chairul Bahri, yang san-
gat mendukung mahasiswa grup kita, termasuk saya untuk tetap bekerja keras
iii
di Fisika ; Pak Rachmat W.Adi, yang sangat memberi dukungan moral terhadap
studi saya di jurusan Fisika UI; Pak Herbert P.Simanjuntak, yang sangat mem-
pengaruhi apresiasi saya terhadap Fisika; Pak M.Hikam, yang mempercayai saya
menjadi asisten untuk mata kuliah Fisika statistik; Ibu Rosari Saleh, alias ibu
”Oca”, yang banyak memberikan masukan-masukan mengenai hal-hal lain di lu-
ar Fisika selama saya kuliah dengan beliau; dan segenap dosen-dosen lain yang
saking banyaknya tidak bisa saya sebutkan satu-persatu. Dari pihak mahasiswa,
saya tak lupa ucapkan terima kasih kepada, ”Pak” Nofirwan, S.si; Julio, S.si;
Freddy Simanjuntak, S.si; Anton wiranata; Yunita; Nowo Riveli; Ardi mustofa;
dll
Demikian halnya semua yang saya katakan, semoga isi skripsi ini bermanfaat
dan mohon maaf jika ditemukan kesalahan, karena tidak mudah untuk menghin-
dar dari kesalahan.
iv
Daftar Isi
Halaman Persetujuan ii
Kata Pengantar iii
Daftar Isi v
Daftar Gambar vii
Daftar Tabel viii
1 Pendahuluan 1
1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Tinjauan Pustaka 7
2.1 Elemen-elemen Teori Grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Definisi Grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 Subgrup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.3 Isomorfisme dan Homomorfisme . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.4 Kelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.5 Perkalian Langsung Grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Representasi Linier Grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.1 Definisi Representasi Grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.2 Representasi Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.3 Representasi Ekivalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.4 Representasi Uniter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.5 Representasi Iredusibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.6 Perkalian langsung Representasi . . . . . . . . . . . . . . . 20
v
2.2.7 Perkalian Luar Representasi . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.8 Perkalian Dalam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Grup Lie 29
3.1 Transformasi infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Konstanta Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4 Grup Simpel dan Semi-Simpel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5 Aljabar Simpel dan Semi-simpel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.6 Beberapa contoh Grup Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.7 Kekompakan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.8 Penjumlahan langsung dan Semi-langsung dari Aljabar Lie . . . . 48
3.9 Representasi Kontradingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4 Hasil dan Pembahasan 51
4.1 Sifat umum Grup-grup Uniter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2 Grup SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3 Homomorfisme SU(2) dengan R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.4 Multiplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.5 Grup SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.5.1 Transformasi Infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.5.2 Osilator harmonik 3 dimensi . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.5.3 Diagram Bobot untuk representasi fundamental . . . . . . 66
4.5.4 Pelabelan irreps SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.5.5 Representasi Kompleks Konjugat . . . . . . . . . . . . . . 76
4.5.6 Klaksifikasi Hadron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.5.7 Klaksifikasi Meson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5.8 Formula massa Gell-Mann – Okubo . . . . . . . . . . . . . 86
4.6 Grup di atas SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.6.1 Kuark dengan citarasa dan spin . . . . . . . . . . . . . . . 90
Daftar Acuan 94
vi
Daftar Gambar
4.1 Diagram Bobot Representasi Fundamental SU(3) . . . . . . . . . 68
4.2 Aksi dari operator tangga pada bidang I3-Y . . . . . . . . . . . . 68
4.3 Diagram Bobot Tipikal suatu representasi SU(3) dengan λ = 6
dan µ = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4 Kontur dari suatu diagram bobot . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.5 Diagram Bobot Tipikal SU(3) untuk (λµ)=(11) λ = 6. Diagram
bobot memiliki multiplisitas 2 yang ditandai titik yang dilingkari 77
4.6 Diagram Bobot Tipikal suatu representasi kompleks konjugat 3
SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.7 (a)Oktet Baryon (Jπ = 12
+). (b) Dekuplet Baryon (Jπ = 3
2
+) . . . 83
4.8 (a)Meson pseudoskalar JP = 0−.(b) Meson vektor JP = 1− . . . . 85
4.9 Plot Chew-Frautschi dari keadaan-keadaan qq yang menunjukkan
momentum sudut orbital, L terhadap kuadrat massa . . . . . . . 87
vii
Daftar Tabel
1.1 Beberapa kesimetrian dalam Fisika . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 Tabel perkalian grup S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1 Sifat matriks yang relevan terhadap definisi bermacam grup kontinu 43
3.2 Macam-macam Grup Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.1 Nilai-nilai Konstanta dklm yang didefinisikan menurut dan . . . . 63
4.2 Kemungkinan nilai-nilai Y dan I untuk . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.3 Karakteristik baryon-baryon bermassa rendah . . . . . . . . . . . 82
4.4 Dimensi dari irreps SU(N). Partisi yang dilarang ditandai dengan * 91
viii
Bab 1
Pendahuluan
Alam semesta kita ini sangat menarik dan unik. Salah satu ”keajaiban” alam
yaitu terdapatnya kesimetrian. Kesimetrian merupakan atribut alamiah dalam
dunia fisis dan oleh karena itu merupakan titik awal dari segala hukum fisis.
Untuk mempelajari kesimetrian , Kita akan menggunakan Teori Grup, karena
teori grup merupakan cabang matematika yang cocok untuk mempelajari kes-
imetrian sistem-sistem fisis. Dasarnya adalah Hamiltonian ataupun Lagrangian
dari sistem, karena kesimetrian suatu sistem fisis dinyatakan oleh Lagrangian dan
Hamiltonian sistem tersebut. Teori Grup dapat menjelaskan berbagai keteratu-
ran sifat dan besaran fisis yang teramati dan dapat membantu menyederhanakan
dan menyatukan hukum fisika dari sistem-sistem yang jelas berbeda. Teori grup
merupakan ”alat” yang bermanfaat untuk memahami perilaku sistem dimana ter-
dapat kesimetrian di dalamnya. Berkaitan dengan kesimetrian, dalam skripsi ini
juga akan dibahas mengenai kesimetrian yang dipelajari dalam mekanika kuan-
tum. Mula-mula terdapat kesimetrian permutasi untuk partikel identik, yang
tekait pada grup simetrik. Peran dari grup simetri ini adalah untuk menjamin
bahwa fungsi gelombang partikel dapat mencakup sifat ketidakdapat-terbedakan
secara tepat dan sesuai. Selain itu Kesimetrian juga merupakan sifat alamiah
dari alam , karena beberapa hal cenderung memiliki preferensi yang sama.
1.1 Latar Belakang
Ide awal dari teori grup sebagai cabang dari ilmu matematika berawal pada aw-
al abad 19. Pada akhir abad 19, dan awal abad 20, perkembangan teori grup
secara signifikan dilakukan oleh Frobenius, Schur, Lie, dan Cartan. Peran teori
grup secara esensial baru disadari pada sekitar tahun 1920-an, bersamaan de-
ngan pengembangan teori representasi dari Grup, yang sangat terkait erat dengan
1
mekanika kuantum.
Pada zaman sekarang, dalam perkembangan fisika modern, khususnya pada
bidang fisika energi tinggi, kesimetrian memainkan peran yang sangat penting
dan sangat diperlukan. Saat ini, para fisikawan percaya bahwa semua interaksi
fundamental dapat dideskripsikan melalui teori gauge, yaitu teori yang menje-
laskan kesimetrian gauge. Aspek lain yang tak kalah penting adalah perluasan
teori dari grup Lie ke pembahasan kesupersimetrian. Konsep-konsep ini sedang
diaplikasikan ke fisika partikel, teori medan kuantum (Quantum Field Theory),
dan gravitasi dalam bentuk teori string dan superstring. Latar belakang pemil-
ihan topik ini adalah untuk mempelajari topik Teori Grup secara literatur dan
menggunakannya dalam representasi uniter untuk kasus partikel-partikel subnuk-
lir.
1.2 Perumusan Masalah
Dalam mekanika kuantum, terdapat 5 macam kesimetrian . Beberapa diantaranya
dan konsekuensinya diringkas pada tabel 1.1.
1. Kesimetrian permutasi diskret
Dalam mekanika kuantum, nilai ekspektasi besaran-besaran fisika tidak
berubah terhadap permutasi partikel-partikel identik. Transformasi per-
mutasi membentuk sebuah grup yang disebut grup simetrik Sn
2. Kesimetrian ruang-waktu kontinu
(a) Translasi dalam ruang
r′ = r + ρ (1.1)
Dalam kasus ini kesimetrian terjadi berdasarkan asumsi kehomogenan
ruang. Ini artinya kita dapat memilih sembarang koordinat titik asal,
atau dengan kata lain : Tidak terdapat posisi absolut. Hal ini berlaku
untuk sistem terisolir dan mengakibatkan potensial interaksi antara 2
partikel tidak bergantung pada pemilihan titik asal koordinat sistem.
Konsekuensi dari kesimetrian ini adalah hukum kekekalan momentum
linier.
2
(b) Translasi waktu
t′ = t + t0 (1.2)
Kesimetrian terjadi berdasarkan asumsi kehomogenan waktu. Ini artinya
waktu awal dapat dipilih secara sembarang, suatu fenomena fisis dapat
dilakukan pada sembarang waktu, atau dengan kata lain: Tidak ter-
dapat waktu absolut. Hal ini berlaku untuk sistem yang konservatif,
dimana medan luar tidak bergantung waktu. Lagrangian dan Hamil-
tonian sistem yang demikian tidak bergantung waktu dan konsekuensi
dari kesimetrian ini adalah hukum kekekalan energi.
(c) Rotasi dalam ruang 3 dimensi
x′ = Rijxj (i, j = 1, 2, 3) (1.3)
dimana xi adalah komponen-komponen dari suatu vektordan Rij adalah
matriks rotasi. Kesimetrian rotasi berasal dari asumsi keisotropikan
ruang atau ketiadaan preferensi arah. Kesimetrian ini juga menun-
jukkan bahwa sifat dari suatu sistem tidak bergantung pada orien-
tasi sistem tersebut di dalam ruang. Konsekuensi dari kesimetrian ini
adalah hukum kekekalan momentum angular.
(d) Transformasi Lorentz
x′µ = Λµνx
ν (µ, ν = 0, 1, 2, 3) (1.4)
dimana xν merupakan suatu titik di dalam ruang-waktu Minkowski.
Persamaan(1.4) merupakan transformasi Lorentz antara 2 sistem yang
bergerak relatif secara beraturan. Dalam relativitas khusus, Hukum-
hukum fisis diformulasikan sedemikian sehingga hukum tersebut iden-
tik untuk semua kerangka acuan inersial. Dalam batas non relativistik,
hukum fisika invarian terhadap transformasi galileo, yaitu bahwa tidak
terdapat kecepatan absolut. Konsekuensi dari kesimetrian ini adalah
hukum kekekalan yang terkait dengan generator dari grup Lorentz.
3. Kesimetrian ruang-waktu diskret
(a) Pembalikan ruang (pencerminan), P , dimana
Pr = r′ = −r (1.5)
3
Dalam mekanika kuantum, operasi pembalikan ruang didefinisikan oleh
operator uniter yang menghasilkan suatu bilangan kuantum yang dise-
but paritas, yang selalu kekal pada setiap interaksi alam, kecuali pada
interaksi lemah.
(b) Pembalikan waktu, T , dimana
t → −t (1.6)
Ini adalah perubahan arah aliran waktu. Diperkenalkan dalam mekani-
ka kuantum oleh Wigner tahun 1932. Hukum-hukum fisika secara
umum simetrik terhadap waktu, kecuali misalnya untuk peluruhan
K0
(c) Transformasi-transformasi simetri dari point groups, yang merupakan
jenis transformasi dimana paling sedikit satu buah titik dari suatu
sistem benda dalam ruang yang tetap pada posisinya, dan titik pa-
da benda tersebut menempati posisi yang sama setelah transformasi.
Contohnya: rotasi terhadap sumbu tetap dan pencerminan terhadap
suatu bidang.. Untuk material yang tak berhingga (tak tercacah),
sepeti kisi kristal, translasi terhadap segmen tertentu juga temasuk
agar diperoleh kesimetrian dasar dalam fisika molekul dan zat padat.
4. kesimetrian besaran internal kontinu
Berkaitan dengan transformasi-transformasi yang bekerja dalam ruang de-
rajat kebebasan intrinsik pada partikel-partikel subnuklir, sebagai contoh,
spin, cita rasa (flavor), color. Flavor F merupakan suatu derajat kebebasan
yang bergantung pada beberapa derajat kebebasan lainnya yaiu: isospin I,
hypercharge Y ,Charm C,Beauty B, dan Topness T . Kesimetrian in-
ternal lebih sulit untuk dipelajari karena tidak nyata bila dibandingkan
dengan Grup simetri. Pengalaman menunjukkan bahwa beberapa trans-
formasi yang relevan akan membentuk grup yang uniter. Secara khusus,
Keinvarianan terhadap transformasi-transformasi yang dideskripsikan de-
ngan grup uniter U(1) akan menghasilkan kekekalan bilangan muatan dan
partikel (khusus untuk Lepton, dan Baryon). Kesimetrian isospin dari in-
teraksi kuat, yang dideskripsikan oleh SUI(2), merupakan pengejawantahan
dari (hampir) kedegenerasian massa proton dan neutron. Bentuk alternatif
lainnya adalah kesimetrian SUF (2) yang menjelaskan kedegenerasian massa
kuark up dan down.
4
Asumsi teoritik Transformasi simetrik Konsekuensi
Ketidakterbedakan partikel identik Permutasi Statistik Fermi-DiracKehomogenan Ruang Translasi Ruang Kekekalan Momentum LinierKehomogenan Waktu Translasi Waktu Kekekalan EnergiKeisotropikan Ruang rotasi 3 dimensi Kekekalan Momentum AngularKetiadaan kecepatan absolut Transformasi Lorentz Kekekalan Generator Grup Lorentz
Tabel 1.1: Beberapa kesimetrian dalam Fisika
5. kesimetrian besaran internal diskret.
(a) Konjugasi muatan, C. Dengan transformasi ini, tanda suatu muatan
listrik berubah dari positif ke negartif dan sebaliknya. Ini merupakan
kesimetrian antara partikel dan antipartikel. Dalam kerangka kerja
persamaan Dirac, konjugasi muatan merupakan operator antiuniter ,
tetapi dalam teori medan merupakan operator uniter. Eksperimen-
eksperimen yang mengkonfirmasi ketidakkekalan paritas dalam inter-
aksi lemah juga memberi bukti terhadap C-violation atau keasimetrian
partikel dan antipartikel.
(b) Paritas-G. Transformasi yang terkait dengan kesimetrian ini merepre-
sentasikan konjugasi muatan yang dikombinasikan dengan rotasi sebe-
sar π di dalam ruang isospin suatu partikel. Dalam interaksi kuat,
paritas-G terkekalkan.
Dalam skripsi ini, pembahasan masalah akan dititik beratkan kepada jenis kes-
imetrian besaran intrinsik kontinu yang terkait langsung dengan Grup Lie kompak
yang akan dibahas mendetail pada bab 3. Sedangkan pembahasan utama akan
mengacu pada klaksifikasi Hadron dan Meson menurut representasi uniter
sebagai aplikasi fisis Grup Lie kompak pada partikel-partikel elementer berenergi
tinggi.
5
1.3 Metode Penelitian
Penelitian yang dilakukan di sini sifatnya hanya teoritik. Karena itu diperlukan
suatu kerangka kerja yang sistematis dalam menerangkan proses-proses fisika yang
terjadi. Kerangka kerja teoritik yang digunakan adalah teori grup dengan bersum-
ber pada beberapa literatur utama, dan karena skripsi ini sifatnya studi literatur,
maka akan terdapat banyak landasan teori dan tinjauan pustaka yang menyertai
sebagai pendahuluan yang komplit terhadap pembahasan utama yang singkat
1.4 Tujuan
Tujuan penelitian ini adalah mempelajari kesimetrian besaran-besaran intrinsik
partikel subnuklir yaitu hadron dan meson melalui teori representasi terutama
melalui representasi yang uniter.
6
Bab 2
Tinjauan Pustaka
2.1 Elemen-elemen Teori Grup
Terdapat beberapa definisi dan pemahaman dasar dalam Teori Grup, antara lain
definisi grup itu sendiri, pengertian kelas, subgrup, dan perkalian langsung.
2.1.1 Definisi Grup
Suatu himpunan G yang terdiri dari elemen-elemen transformasi g membentuk
suatu grup jika memenuhi syarat-syarat berikut:
1. Hasil dari penerapan sembarang transformasi secara berturut-turut
g1 ∈ G, g2 ∈ G
merupakan suatu transformasi baru yang juga terdapat di dalam himpunan
tersebut:
g1g2 = g ∈ G (2.1)
Relasi ini disebut produk atau hukum komposisi
2. Hukum komposisi memenuhi sifat asosiatif untuk semua g1, g2, g3 ∈ G,
(g1g2)g3 = g1(g2g3) (2.2)
3. Salah satu elemen transformasi merupakan elemen identitas, yaitu bahwa
e ∈ G sedemikian sehingga
ge = eg = g (2.3)
7
4. Kalau suatu elemen transformasi terdapat dalam himpunan tersebut, ma-
ka invers dari transformasi itu juga terdapat dalam himpunan tersebut
sedemikian sehingga:
gg−1 = g−1g = e (2.4)
Walaupun sifat asosiatif berlaku untuk semua grup, maka tidak demikian halnya
dengan sifat komutatif. Namun terdapat grup yang memnuhi sifat komutatif,
yang disebut grup abelian. Secara umum, dilihat dari kuantitas elemen dalam
suatu grup, maka grup dapat dibagi menjadi 2 jenis utama, yaitu: (1) Grup
berhingga (finite groups), (2) Grup tak berhingga (infinite groups).
Grup berhingga
Grup berhingga merupakan suatu grup dengan jumlah elemen yang berhingga
N , dengan N menyatakan orde dari grup tersebut. Ada beberapa contoh Grup
berhingga, 2 diantaranya adalah : Grup titik (Point groups) dan Grup simetrik
(Symmetric groups)
1. Grup titik (Point groups)
Grup ini terkait dengan kesimetrian benda dimana minimal satu titik tetap
pada posisi semula setelah proses transformasi terjadi. Transformasi-transformasi
dalam grup ini tidak merubah jark dan dapat dibangun dari 3 jenis trans-
formasi dasar:
(a) Rotasi sudut tertentu terhadap sumbu tertentu
jika sudutnya 2π/n, transformasi tersebut ditandai dengan Cn.
(b) Refleksi terhadap bidang
(c) Translasi
kesimetrian ini terjadi hanya pada benda tak berhingga yang meru-
pakan ekstrapolasi dari benda yang nyata
2. Grup simetrik (Symmetric groups)
Peran Grup simetrik adalah menyediakan fungsi-fungsi gelombang yang
mencakup sifat keidentikan partikel secara tepat dengan memperhitungkan
semua derajat kebebasan sistem. Transformasi yang terdapat dalam Grup
simetrik adalah permutasi, yang menyatakan pertukaran partikel-partikel
8
pembentuk sistem. Semua permutasi yang mungkin dari sekumpulan par-
tikel membentuk Grup simetrik. Sebuah sistem partikel identik dideskrip-
sikan dengan fungsi gelombang yang bersifat simetrik untuk boson dan anti-
simetrik untuk fermion. Pandang n objek dalam urutan 1,2,..,n. Permutasi
menyatakan transisi dari urutan demikian menjadi urutan lain, a1, a2, ..., an.
Notasi untuk transisi ini adalah:
Pa =
(1 2 ... na1 a2 ... an
)(2.5)
Pada persamaan di atas, elemen-elemen dalam suatu kolom dapat saling
dipertukarkan, yang artinya kita dapat mulai dari urutan awal sembarang,
namun kita selalu melakukan pertukaran dari urutan i ke ai . Contoh:
Pa =
(1 2 3 4 55 3 2 1 4
)(2.6)
Jika permutasi di atas ini bekerja pada fungsi gelombang 5-partikel, kita
akan peroleh
Paψ(1, 2, 3, 4, 5) = ψ(5, 3, 2, 1, 4) (2.7)
Permutasidari n objek menghasilkan suatu grup berorde N = n! , dengan
elemen identitas:
Pe =
(1 2 ... n1 2 ... n
)(2.8)
Sedangkan invers dari sembarang elemen Pa adalah
P−1a =
(a1 a2 ... an
1 2 ... n
)(2.9)
Jika dalam grup terdapat suatu elemen permutasi lain
Pb =
(a1 a2 ... an
b1 b2 ... bn
)(2.10)
maka penerapan Pa dan Pb secara berturut-turut, kita akan dapatkan per-
mutasi lain (yang juga merupakan elemen dari grup)
Pc = PbPa
(1 2 ... nb1 b2 ... bn
)(2.11)
9
e (12) (13) (23) (123) (132)
e e (12) (13) (23) (123) (132)(12) (12) e (132) (123) (23) (13)(13) (13) (123) e (132) (12) (23)(23) (23) (132) (123) e (13) (12)(123) (123) (13) (23) (12) (132) e(132) (132) (23) (12) (13) e (123)
Tabel 2.1: Tabel perkalian grup S3
Sebagai contoh:
Pc =
(1 2 3 4 54 3 5 1 2
) (1 2 3 4 55 3 2 1 4
)
=
(5 3 2 1 42 5 3 4 1
)(1 2 3 4 55 3 2 1 4
)
=
(1 2 3 4 52 5 3 4 1
)(2.12)
Grup S3 merupakan salah satu contoh grup permutasi yang cukup sederhana
dan baik untuk dipelajari. Ada 3!=6 elemen grup S3 yaitu:
e =
(1 2 31 2 3
), (12) =
(1 2 32 1 3
), (13) =
(1 2 33 2 1
)
(23) =
(1 2 31 3 2
), (123) =
(1 2 32 3 1
), (132) =
(1 2 33 1 2
)(2.13)
Dari grup ini dapat dirancang tabel perkalian grup yang mengatur aturan perkalian
antar elemen grup seperti yang diperlihatkan pada tabel (2.1):
Grup tak berhingga
Terdapat pula grup dengan banyak elemen tak berhingga. Grup semacam ini
terpecah ke dalam 2 kategori
1. Grup Diskrit
memiliki elemen yang dapat dicacah karena dari satu elemen ke elemen lain
terdapat perbedaan yang jelas
2. Grup Kontinu
memiliki elemen yang kontinu sehingga antara satu elemen ke elemen lain,
10
terdapat banyak sekali elemen sehingga perbedaannya tidak jelas (kontinu).
Namun pada skripsi ini, penekanan akan dilakukan pada grup kontinu de-
ngan jumlah parameter berhingga.
2.1.2 Subgrup
Dari elemen-elemen grup kontinu G maupun diskrit, kita dapat memilih suatu
subset H dan menuliskan
H ⊂ G atau G ⊃ H (2.14)
untuk mengsimbolisasikan bahwa subset H terkandung dalam G. Jika subset H
sendiri membentuk grup, maka H disebut subgrup dari G
Koset
Jika g merupakan salah satu elemen dari G, maka kita dapat membentuk him-
punan elemen-elemen gH dengan mengalikan g dengan semua elemen H, maka
terdapat korespondensi satu - satu antara H dan gH. Jika g ∈ H maka gH
sendiri merupakan subgrup. Namun jika g ∈ G dan tidak dikandung oleh h, ma-
ka gH bukan merupakan suatu grup karena tidak mengandung elemen identitas.
gH yang terbentuk ini disebut sebagai koset kiri (left coset) dari H. Dengan
cara yang analog, dapat didefinisikan koset kanan (right coset) Hg. Sembarang
elemen G merupakan bagian dari baik H, atau salah satu dari kosetnya. Sebagai
contoh perhatikan kembali tabel (2.1) yang terdiri dari 4 subgrup berikut:
H1, e, (12)
H2, e, (13) (2.15)
H3, e, (23)
H4, e, (123), (132)
2.1.3 Isomorfisme dan Homomorfisme
Dua buah grup G dan G′ dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-
satu antara elemen-elemen mereka, yaitu bahwa untuk setiap g ∈ G, terdap-
at satu dan hanya satu g′ ∈ G′, korespondensi g ↔ g′ kekal terhadap hukum
perkalian.
Grup-grup isomorpik memiliki struktur yang sama. Berikut contoh grup yang
11
saling isomorfik:
rotasi π terhadap sumbu-x ↔ (12)(34) ↔ a
rotasi π terhadap sumbu-y ↔ (13)(24) ↔ b
rotasi π terhadap sumbu-z ↔ (14)(23) ↔ c
perkalian 3 rotasi di atas ↔ (1)(2)(3)(4) ↔ e (2.16)
Sedangkan sebuah grup G dikatakan homomorfik dengan G′, jika untuk sem-
barang g ∈ G, terdapat korespondensi antara tiap g′ ∈ G′ dengan minimal satu
g sedemikian sehingga g′1g′2 = g′ atau G → G′. Contoh homomorfisme ada pada
baba 4 pada pembahasan homomorfisme antara SU(2) dengan O(3)
2.1.4 Kelas
Dua elemen a dan b dari grup G dikatakan konjugat satu sama lain jika terdapat
elemen ketiga x0 ∈ G sedemikian sehingga:
b = x0ax−10 atau a = x−1
0 bx0 (2.17)
Jika 2 elemen a dan b konjugat terhadap c, maka ketiganya saling konjugat satu
sama lain.
Kelas konjugasi (ataus kelas) merupakan sehimpunan elemen yang konjugat ter-
hadap suatu elemen tertentu melalui seluruh elemen grup. Dari pembahasan di
atas, dapat disimpulkan bahwa semua elemen dalam sautu kelas saling konjugat
satu sama lain. Elemen-elemen suatu grup dibagi-bagi menjadi kelas-kelas yang
berbeda. Jika kita tandai kelas-kelas dari suatu grup G dengan Ci(i = 1, 2, ..., K),
maka grup tersebut dapat ditulis sebagai gabungan kelas-kelas nya
G = C1 ∪ C2 ∪ ... ∪ CK (2.18)
dimana K ≤ N untuk suatu grup berhingga berorde N . Sebagai contoh, ki-
ta pandang kembali grup S3, kita pilih elemen (123) dan dengan menggunakan
tabel (2.1) untuk menentukan salah satu kelas S3 yang mengandung (123) sebagai
12
berikut:
e(123)e = (123)
(12)(123)(12)−1 = (12)(13) = (132)
(13)(123)(13)−1 = (13)(23) = (132) (2.19)
(23)(123)(23)−1 = (23)(12) = (132)
(123)(23)(123)−1 = (123)
(132)(123)(132)−1 = (123)
Dengan proses yang serupa dengan di atas, kita dapatkan ternyata untuk S3
terdapat 3 buah kelas C1, C2, C3 dengan anggota-anggota sebagai berikut: C1 =
e, C2 = (12), (13), (23), C3 = (123), (132)
Partisi
Permutasi dapat ditulis sebagai produk dari siklus tertutup tanpa elemen yang
sama. Anggap dalam suatu permutasi dari n objek, siklus yang panjangnya i
muncul sebanyak ki kali, maka haruslah
k1 + 2k2 + 3k3 + ... + nkn = n (2.20)
dimana ki ≥ 0. Setiap struktur siklik merepresentasi kelas, sehingga tiap set
bilangan bulat ki yang memenuhi (2.20) berkorespon dengan suatu kelas dari
grup Sn. Kita dapat perkenalkan lagi bilangan bulat
λ1 = k1 + k2 + ... + kn
λ2 = +k2 + ... + kn
.
.
λn = kn (2.21)
sehingga persamaan (2.20) menjadi:
λ1 + λ2 + ... + λn = n (2.22)
dimana, λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ λn ≥ 0
Himpunan λ = [λ1, λ2, ..., λn] dikatakan partisi. Kita dapat menyatakan ki dalam
13
suku λi
k1 = λ1 − λ2
k2 = λ2 − λ3
. (2.23)
.
kn = λn
Dengan kata lain, terdaapt korespondensi satu-satu antara himpunan [k1, k2, ..., kn]
dan [λ1, λ2, ...λn]. Artinya terdapat korespondensi satu-satu antara suatu partisi
λ dengan suatu struktur siklik atau kelas, dan banyaknya partisi n sama dengan
banyaknya kelas dari Sn
2.1.5 Perkalian Langsung Grup
Kita dapat definisikan suatu grup G sebagai perkalian langsung antara 2 grup
lain H1 dan H2 jika
1. semua elemen H1 commute dengan semua elemen H2
2. H1 dan H2 hanya memiliki satu elemen yang sama yaitu elemen identitas
3. Suatu elemen G dapat secara unik ditulis sebagai perkalian h1 ∈ H1 dan
h2 ∈ H2:
g = h1h2 = h2h1 (2.24)
Dalam definisi yang lebih luas,G merupakan perkalian langsung jika ia isomopfik
terhadap H1 × H2. Perkalian langsung dapat diperumum ke lebih dari 2 faktor
asalkan semua Hi(i = 1, 2, ..., n) kommut antar mereka. Semua grup ini harus
berbeda dan satu-satunya elemen yang sama hanya elemen identitas. Suatu sifat
penting adalah bahwa tiap Hi merupakan subgrup invarian dari G
Suatu grup G merupakan produk semi langsung jika grup ini memiliki subgrup
H1 dan H2 sedemikian sehingga
1. H1 merupakan subgrup invarian dari G
2. H1 dan H2 hanya memiliki elemen identitas sebagai satu-satunya elemen
yang sama
3. sembarang elemen G dapat ditulis sebagai perkalian h1 ∈ H1 dan h2 ∈ H2.
14
2.2 Representasi Linier Grup
Dalam mekanika kuantum, kita tertarik pada sifat-sifat keadaan eigen terhadap
bermacam transformasi. Teori Grup menawarkan suatu cara sistematik untuk
menemukan sifat-sifat ini dari kesimetrian Hamiltonian. Keadaan eigen memben-
tukruang vektor linier yang menyediakan representasi matriks dari grup transfor-
masi G. Coba kita tandai represntasi yang demikian itu dengan D(g) dimana g
merupakan salah satu elemen dari G
Kasus yang sederhana secara trivial dari suatu representasi diperoleh untuk grup
pembalikan (inversi) dimana matriks berukuran 1 × 1. Dua elemen dari grup
adalah elemen identitas e(x → x) dan P (x → −x). Untuk sembarang keadaan
dengan paritas genap, π = +1, representasinya adalah
D(e) = 1 D(P ) = 1 (2.25)
Keadaan dengan paritas ganjil, π = −1, memberikan representasi
D(e) = 1 D(P ) = −1 (2.26)
Suatu representasi dibentuk dari matriks-matriks sebanyak jumlah elemen dalam
grup.
2.2.1 Definisi Representasi Grup
Suatu grup Γ dari operator-operator linier didefinisikan dalam ruang vektor berdi-
mensi berhingga L dikatakan suatu representasi linier dari suatu sembarang grup
G jika G homomorfik terhadap Γ. Coba kita sebut operator yang berkaitan de-
ngan g ∈ G dengan S(g). Maka kita peroleh
S(g1)S(g2) = S(g1g2) (2.27)
S(e) = e (2.28)
S(g−1) = S−1(g) (2.29)
Relasi ketiga berasal dari fakta bahwa operator S(g) haruslah non-singular, yaitu
bahwa ia memiliki invers S−1(g) agar dapat memenuhi aksioma suatu grup. Se-
hingga dapat kita tuliskan
S(g)S−1(g) = e (2.30)
Padahal gg−1 = e mengakibatkan
S(g)S(g1) = S(e) = e (2.31)
Dengan membandingkan (2.30) dan (2.31) kita peroleh (2.29)
15
2.2.2 Representasi Matriks
Jika dimensi L adalah n maka suatu representasi memilii derajat n atau dengan
kata lain representasi tersebut berdimensi-n. Malahan,operator-operator S(g)
menghasilkan matriks-matriks berukuran n × n yang bekerja pada vektor basis
|1 >, |2 >, ..., |n > dari L
S(g)|k >=∑
Dµik(g)|i > (2.32)
Matriks-matriks Dµ(g) membentuk representasi matriks dari grup G. Biasanya
matriks ini diberikan indeks superskrip µ yang berkaitan dengan dimensi dari
representasi. Notasi yang umum untuk suatu representasi matriks adalah Γ atau
D.
Coba kita ambil suatu set fungsi ψ1, ψ2, ...ψn yang berkorespon dengan nilai eigen
yang sama dari suatu hamiltonian H. Misalnya H invarian terhadap grup trans-
formasi Γ yaitu
[H,S(g)] = 0 (2.33)
maka sembarang fungsi baru S(g)ψi berkorespon dengan nilai eigen yang sama.
Matriks transformasi dari ψi ke S(g)ψi merupakan suatu representasi linier dari
G. Ini merupakan suatu kasus khusus dari apa yang sering disebut sebagai sub-
space invarian dalam teori grup. Dalam suatu ruang linier L, sangatlah mungkin
untuk menemukan suatu subspace L′ dengan vektor basis ψi memiliki sifat bahwa
suatu vektor yang telah ditransformasi S(g)ψi juga merupakan elemen dari L′.
Maka L′ dikatakan subspace invarian jika sifat ini dimiliki oleh semua transfor-
masi S(g) dari transformasi Γ
2.2.3 Representasi Ekivalen
Ambil 2 buah representasi S(g) dan S ′(g) berturut-turut dalam L dan L′. Jika L
dan L′ memiliki dimensi yang sama dan dapat dicari operator linier non-singular
M yang mengubah L dan L′ ke satu sama lain sedemikian sehingga
MS(g) = S ′(g)M (2.34)
untuk tiap g maka 2 representasi tersebut dikatakan ekivalen. Dengan kata lain,
jika kita mengubah basis di dalam ruang L dengan matriks M representasi terse-
but akan menjadi
S ′(g) = MS(g)M−1 (2.35)
16
Sembarang transformasi dari suatu matriks yang memiliki bentuk (2.35) dikatakan
transformasi keserupaan
2.2.4 Representasi Uniter
Dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang merupakan vektor keadaan atau
kombinasi linier dari vektor-vektor keadaan, yaitu keadaan eigen ψi dari hamilto-
nian. ψi membentuk ruang Hilbert, yang mana dalam produk skalar didefinisikan
dengan
< ψi|ψj >=< ψj|ψi >∗ (2.36)
Vektor basis ψi dapa dipilih yang ortonormal yaitu memenuhi:
< ψi|ψj > δij (2.37)
Suatu operatr U dikatakan unitary jika
< Uφ, Uψ >=< φ, ψ > (2.38)
Untuk basis ortonormal, hal ini mengimplikasikan
< Uψi|Uψj >=< ψi|ψj >= δij untuk semuai, j (2.39)
Matriks yang berasosiasi dengan U dalam basis ortonormal merupakan matriks
unitary
UU † = U †U = 1 (2.40)
Jika operator-operator dari suatu representasi S(g) dari suatu grup G bersifat
uniter, maka representasinya disebut representasi uniter. Kebanyakan grup yang
menarik di Fisika memiliki representasi uniter atau representasi yang dapat di-
ubah menjadi transformasi uniter.
Dalam subbab ini ada suatu teori penting: Setiap representasi ekivalen terhadap
suatu representasi uniter untuk grup Lie kompak yang berhingga.
Bukti: Untuk grup berhingga ada suatu pembuktian yang baku seperti yang akan
dijabarkan di bawah ini.
Kita perkenalkan suatu operator penjumlahan invarian berikut
H2 =1
N
∑
h∈G
S†(h)S(h) (2.41)
dimana N merupakan orde dari grup dan penjumlahannya dilakukan terhadap
seluruh elemen h dari G. Ini adalah matriks hermit dan kita dapat buktikan
17
bahwa nilai eigennya real dan positif. Maka adalah sah jika kita definisikan suatu
akar dari operator H berikut:
H = (H2)12 (2.42)
Operator H memberikan representasi ekivalen
S ′(g) = HS(g)H−1 (2.43)
yang akan kita buktikan bersifat uniter. Mula-mula kita tunjukkan dahulu bahwa
S†(g)H2S(g) =1
N
∑
h∈G
S†(g)S†S(h)S(g)
=1
N
∑
h∈G
S†(hg)S(hg) (2.44)
=1
N
∑
h′∈G
S†(h′)S(h′)
= H2
dimana h′ = hg juga dijumlahkan terhadap seluruh elemen G, disusun ulang
dengan perkalian di sisi kanan, dengan elemen tetap g. Mengalikan (2.44) dengan
H−1 di sebelah kiri dan S−1H−1 di sebelah kanan, kita peroleh
H−1S†(g)H = HS−1H−1 (2.45)
atau secara alternatif, dengan menggunakan fakta bahwa H bersifat hermitian,
(HS(g)H−1
)†=
(HS(g)H−1
)−1(2.46)
atau dengan menggunakan definisi (2.43)
S ′†(g) = S ′−1(g) (2.47)
yang membuktikan bahwa representasi ekivalen S ′ bersifat uniter. Bukti ini dapat
diperumum untuk grup Lie kompak melalui penggunaan integrasi invarian ter-
hadap elemen-elemen grup alih-alih menggunakan penjumlahan invarian (2.41).
2.2.5 Representasi Iredusibel
Iredusibilitas merupakan sifat yang sangat penting dari suatu grup. Dalam Fisika,
kita menggunakan grup-grup simetris terutama melalui representasi iredusibel.
Keadaan-keadaan terdegenerasi dari suatu hamiltonian dapat menyediakan fungsi
18
basis untuk representasi iredusibel.
Jika dalam ruang vektor linier L, kita dapat menemukan suatu basis dimana
matriks-matriks D(g) dari representasi berdimensi-n dapat secara simultan ditulis
dalam bentuk:
D(g) =
∣∣∣∣D1(g) C(g)
0 D2(g)
∣∣∣∣ (2.48)
untuk semua elemen g dari grup G, representasi D(g) dikatakan redusibel. Blok
matriks di sini adalah 2 matriks persegi D1 dan D2 berdimensi n1 dan n2 dan 2
matriks segiempat, dimana salah satunya memiliki semua elemen sama dengan
nol yaitu pada matriks yang terletak pada sebelah kiri bawah. Bentuk yang
demikian menunjukkan keberadaan subspace invarian L1 berdimensi n1. Coba
kita sebut
(X1
0
)vektor-vektor yang merupakan bagian dari L1 saja. Maka
kita tuliskan (D1 C0 D2
)(X1
0
)=
(D1X1
0
)(2.49)
yaitu bahwa vektor yang telah bertransformasi juga merupakan bagian dari L1.
Coba sekarang kita ambil vektor
(0
X2
)yang merupakan milik/bagian dari L2,
maka hasilnya
(D1 C0 D2
)(0
X2
)=
(CX2
D2X2
)(2.50)
yaitu suatu vektor yang menjadi bagian dari keseluruhan ruang. Maka, agar
L2 menjadi subspace invarian, kita harus mengambil C = 0. Jika matriks C
nol, representasi D dikatakan fully redusibel. Maka, terdapat suatu subspace
invarian kedua L2 berdimensi n2 dan keseluruhan ruang L dapat ditulis sebagai
penjumlahan langsung
L = L1 + L2 (2.51)
dan representasi D merupakan penjumlahan
D = D1 + D2 (2.52)
Jika untuk representasi tertentu D, tidak ada transformasi keserupaan yang mem-
bawa matriks-matriks D(g) ke dalam bentuk diagonal secara simultan untuk se-
mua g ∈ G maka representasi tersebut dikatakan iredusibel atau disingkat irreps.
Dalam kasus representasi fully redusibel, matriks D1 dan D2 dapat direduksi
lebih jauh lagi menjadi penjumlahan matriks-matriks berdimensi lebih kecil lagi
yang iredusibel. Notasi untuk penjumlahan yang didefinisikan menurut () adalah
D = D1 ⊕D2 ⊕D3 ⊕ ........⊕DK (2.53)
19
Untuk representasi uniter, redusibilitas secara langsung berarti fully redusibel.
Coba kita ambil suatu basis ortonormal e1i ∈ L1, e2
i ∈ L2:
(e1i , e
1j) = (e2
i , e2j) = δij (e1
i , e2j) = 0 (2.54)
Keinvarianan subspace L1 berarti bahwa
S(g)e1i =
n1∑j=1
D1jie
1j (2.55)
sedangkan, untuk suatu vektor dalam L2, kita punya
S(g)e2j =
n1∑
l=1
C1lje
1l +
n2∑
k=1
D2kje
2k (2.56)
Relasi ortogonalitas (2.54) memberikan
Cij = (e1i , S(g)e2
j) (2.57)
Namun secara definisi S merupakan operator uniter yang menghasilkan
Cij =< S−1(g)e1i , e
2j >=< S(g−1)e1
i , e2j >= 0 (2.58)
jadi matriks C dalam persamaan (2.50) memiliki semua elemen sama dengan nol.
Maka L2 juga merupakan subspace invarian. Representasi redusibel dapat dipec-
ah lagi dan lagi menjadi blok-blok matriks sepanjang diagonalnya sampai hanya
mengandung representasi iredusibel. Dalam mekanika kuantum, mereduksi su-
atu representasi berkaitan erat dengan eliminasi kedegenerasian atau melengkapi
pelabelan fungsi gelombang. Hal ini terjadi karena jika suatu representasi ire-
dusibel untuk keseluruhan grup, bisa jadi representasi tersebut redusibel bagi
subgrupnya.
2.2.6 Perkalian langsung Representasi
Dari 2 representasi matriks, Dµ1(g) dan Dµ2(g) berdimesni n1, dan n2, kita dapat
mengkonstruksi suatu representasi Dµ(g) sebagai suatu produk /perkalian lang-
sung atau kronecker dari 2 matriks . Ini merupakan matriks berukuran n1 × n2
dengan elemen-elemen yang dilabeli 2 indeks
Dµik,jl(g) = Dµ1
ij (g)Dµ2
kl (g) (2.59)
Matriks Dµ mendeskripsikan sifat transformasi dari produk fungsi ψ1j ψ
2l , jika
kita melakukan transformasi g yang sama secara simultan pada koordinat ψ1
20
dan ψ2. Fungsi fungsi ini dapat mendeskripkan 2 partikel-partikel yang berbeda
atau bagian-bagian yang independen dari sistem yang sama. Secara terpisah kita
peroleh
S(g)ψ1j =
∑Dµ1
ij ψ1i ; S(g)ψ2
l =∑
Dµ2
kl ψ2k
dan untuk sistem gabungan kita peroleh
S(g)ψ1j ψ
2l =
∑Dµ1
ij Dµ2
kl ψ1i ψ
2k
=∑
Dµik,jlψ
1i ψ
2k
Perkalian langsung menawarkan suatu cara untuk menghasilkan representasi-
representasi baru dari representasi lama. Jika Dµ1 dan Dµ2 iredusibel, maka
secara umum matriks Dµ bersifat redusibel. Orang tertarik untuk menemukan
irreps yang mana yang terjadi dalam Dµ. Masalah matematis ini memiliki im-
plikasi yang penting dalam fisika. Misalnya, dalam kopling 2 momentum sudut
j1 dan j2 yang menghasilkan |j1 − j2| ≤ j ≤ j1 + j2, terkait dengan irreps grup
rotasi yang diperoleh dari perkalian langsung 2 irreps yang berkorespon dengan
µ1 = j1 dan µ2 = j2
2.2.7 Perkalian Luar Representasi
Untuk grup simetrik, orang biasanya memperkenalkan 2 jenis perkalian (pro-
duk) representasi.Yang pertama adalah perkalian langsung /perkalian dalam yang
terkait dengan produk fungsi dari partikel yang sama. Sedangkan perkalian luar
terkait dengan produk fungsi-fungsi dari partikel-partikel berbeda.
Dalam Fisika, orang biasanya mempunyai 2 sistem partikel 1,2,...,m dan m +
1,m+2, ...n yang dideskripsikan oleh fungsi gelombang ψ[f1](1, 2, ..., m) dan ψ[f2](m+
1,m+2, ..., n) dari kesimetrian tertentu [f1], [f2] berturut-turut terhadap permu-
tasi partikel. Dengan kata lain, ψ[f1] merupakan bagian dari subspace invarian
dari irreps [f1] dan ψ[f2] merupakan bagian dari subspace invarian dari irreps
[f2]. Sekarang kita hendak mengkonstruksi keadaan-keadaan produk dari sistem
terkombinasi ψ[f1](1, 2, ..., m)ψ[f2](m + 1,m + 2, ..., n). Masalahnya adalah men-
cari kesimetrian permutasi [f ] yang mungkin dari total fungsi ψ[f ](1, 2, ...,m, m+
1,m + 2, ..., n). Nilai dari [f ] diberikan oleh perkalian luar. Jadi, melakukan
perkalian luar dari 2 irreps [f1] dari Sn1 dan [f2] dari Sn2 , berarti mendekomposisi
matriks yang merupakan representasi redusibel dari Sn1+n2 ke dalam suku-suku
irreps [f ] dari Sn1+n2 dan menetukan multisiplistasnya m[f ]. Secara simbolik kita
21
dapat tuliskan
[f1]⊗ [f2] = [f2]⊗ [f1] =∑
[f ]
m[f ][f ] (2.60)
Mula-mula pandang kasus paling sederhana dimana salah satu dari sistem diben-
tuk oleh satu partikel saja, yaitu ambil [f2] = [1]. Untuk sistem lain ambil mis-
alnya irreps [f1] = [321] dari S6. Hasilnya harus merupakan suatu penjumlahan
dari irreps dari S7
⊗ a =
a
+
a
+ a + a (2.61)
Diagram pada sisi kanan diperoleh dari [321] dengan menempelkan kotak tamba-
han a dengan semua cara yang mungkin sedemikian sehingga diperoleh diagram
young yang benar. Jika pada akhirnya kita memilih Young tableau dideskripsikan
dengan simbol Yamanuchi Y1=(312211) kita dapat menuliskan (2.61) dalam ben-
tuk eksplisit
1 2 52 46 ⊗ 7 =
1 2 5 73 46 +
1 2 53 4 76 +
1 2 53 46 7 +
1 2 53 467 (2.62)
Namun jika [f1] dan [f2] mengandung lebih dari satu kotak alias n1 6= 1 dan
n2 6= 1, cara yang diterapkan adalah meletakkan kotak label-label awal (sesuai
urutan) pada diagram young yang hendak dikalikan untuk memperoleh diagram
young yang tepat (pertimbangkan semua kemungkinan). Lalu ulang prosedur
ini untuk label-label berikut dengan syarat tambahan bahwa simbol yang ditam-
bahkan ketika dibaca dari kanan ke kiri baris perbaris adalah sedemikian sehingga
pada tiap ”tahap”, banyaknya simbol a ≥ banyaknya simbol b ≥ banyaknya sim-
bol c dan seterusnya. Yang dimaksud dengan ”tahap” di sini adalah: b yang
pertama harus didahului a yang pertama, b yang kedua harus didahului a yang
kedua, c yang pertama harus didahului a dan b yang pertama dan seterusnya.
Untuk contoh di atas, hasil yang diperoleh ditampilkan berikut ini merupakan
22
penjumlahan irreps [f ] dari S8
⊗
a abc =
a ab
c +
a a
bc +
a abc
+
ab
ac +
ab
a c +
a
a bc +
a
abc (2.63)
Dalam suku-suku partisi, diagram young di atas dapat ditulis
[22]⊗ [212] = [431] + [4212] + [2312] + [3212] + [322] + [3221] + [3213] (2.64)
Dalam contoh in, tiap representasi [f ] dari S8 muncul dengan multisiplitas lebih
dari satu. Sangatlah mungkin mengetes validitas dari hasil reduksi dengan meng-
gunakan argumen dimensionalitas. Dimensi-dimensi dari partisi yang terhubung
melalui perkalian luar memenuhi persamaan yang merupakan konsekuensi dari
persamaan (2.60) berikut:
d[f1] × d[f2] × (n1 + n2)!
n1!n2!=
∑
[f ]
m[f ]d[f ] (2.65)
Dengan menggunakan argumen yang berdasar pada dimensi suatu irreps, suatu
uji coba alternatif dapat dicapai dengan mempertimbangkan bahwa semua dia-
gram young yang muncul pada sisi kiri dan kanan persamaan (2.60) berasosiasi
dengan irreps yang sama dari SU(N). Untuk SU(N) maka persamaan dimensi
yang harus dipenuhi adalah:
dSU(N)[f1] × d
SU(N)[f2] =
∑
[f ]
m[f ]dSU(N)[f ] (2.66)
dimana dimesi dari SU(N) sendiri menurut representasi [f ] adalah
dSU(N)[f ] =
N∏i<j
fi − fj + j − i
j − i(2.67)
Untuk contoh yang tersirat dalam persamaan (2.63) dan (2.64) kita membu-
tuhkan paling sedikit SU(5) agar dapat memperhitungkan semua diagram, karena
23
5 merupakan bilangan yang menyatakan jumlah baris terbesar yang muncul pa-
da diagram yang sama pada sisi kanan persamaan (2.63)dan (2.64). Lalu dengan
menggunakan (2.67) untuk SU(5) kita peroleh
d[22] = 50 d[212] = 45 d[431] = 1050 d[332] = 315
d[3221] = 175 d[2312] = 10 d[4212] = 450 d[3212] = 210
d[3212] = 40
yang memenuhi (2.66)
2.2.8 Perkalian Dalam
Perkalian dalam sering juga disebut perkalian kronecker atau perkalian langsung
representasi karena mengacu kepada perkalian irreps dari Sn. Aplikasi fisis dari
perkalian dalam dapat dimengerti misalnya pada suatu partikel mikroskopik yang
dideskripsikan dengan suatu fungsi gelombang ψ yang biasanya dinyatakan seba-
gai suatu perkalian dari beberapa fungsi, masing-masing mepresentasikan suatu
derajat kebebasan. Misalnya, untuk sebuah kuark , terdiri dari 3 derajat ke-
bebasan koordinat ruang R, spin χ, citarasa φ, dan warna C. Untuk suatu
sistem dengan n partikel, kita dapat memperlakukan kesimetrian permutasi se-
cara individual pada setiap derajat kebebasan dan mengkonstruksi suatu fungsi
gelombang total dari kesimetrian Sn tertentu. Peran dari perkalian dalam adalah
menyediakan fungsi gelombang n-partikel dari kesimetrian yang dikehendaki se-
bagai suatu kombinasi linier dari perkalian fungsi, masing-masing faktor dalam
fungsi ini merepresentasikan suatu derajat kebebasan dan memiliki kesimetrian
permutasi yang cocok dengan kesimetrian fungsi gelombang secara total.
Secara umum, perkalian dalam dari 2 buah irreps [f ′] dan [f ′′] dari Sn membangk-
itkan penjumlahan irreps Sn
[f ′]× [f ′′] =∑
m[f ][f ] (2.68)
Ini dikatakan sebagai deret Clebsch − Gordan dari Sn. Subspace invarian [f ]
dibentuk oleh vektor-vektor |[f ]Y > didefinisikan sebagai jumlah dari perkalian
|[f ′]Y ′ > dan |[f ′′]Y ′′ > melalui
|[f ]Y >=∑
Y ′,Y ′′S([f ′]Y ′[f ′′]Y ′′|[f ′]Y ′)|[f ′]Y ′ > |[f ′′]Y ′′ > (2.69)
Koefisien-koefisien S([f ′]Y ′[f ′′]Y ′′|[f ]Y ) merupakan koefisien Clebsch − Gordan
dari Sn. Mereka membentuk suatu matriks ortogonal yang memberikan trans-
24
formasi antara basis-basis |[f ]Y > dan |[f ′]Y ′ > |[f ′′]Y ′′ >. Dengan menggu-
nakan sifat ortogonalitas dari matriks ini, kita dapat mengubah relasi (2.69)
untuk menghasilkan
|[f ′]Y ′ > |[f ′′]Y ′′ >=∑
[f ]Y
S([f ′]Y ′[f ′′]Y ′′|[f ]Y )|[f ]Y > (2.70)
Sekarang, kita akan pelajari perkalian S3.
Ruang spin dan isospin suatu nukleon dapat menghasilkan ruang berdimensi-4
dengan perkalian langsung. Sembarang vektor x dalam ruang ini dapat ditulis
sebagai
x =
u ↑u ↓d ↑d ↓
(2.71)
dan kita dapat memperkenalkan aksi dari grup
SU(4) ⊃ SUS(2)× SUI(2)
dimana sisi kanan persamaan merupakan perkalian langsung dari SUS(2) yang
bekerja pada ruang spin dan SUI(2) bekerja pada ruang isospin. Dimensi dari [2]
dan [11] sebagai irreps SU(4) dapat dihitung menggunakan formula (2.67) dan
menghasilkan
dSU(4)[2] = 10 d
SU(4)[11] = 6 (2.72)
Representasi-representasi [2] dan [11] dari SU(4) dapat didekomposisikan dengan
cara berikut:
SU(4) = SU(2)× SU(2) + SU(2)× SU(2)(2.73)
SU(4) = SU(2) × SU(2) + SU(2) × SU(2) (2.74)
Dari persamaan di atas dapat dicek bahwa ternyata dimensi dari masing-masing
representasi juga memenuhi persamaan tersebut.
Untuk S3, perkalian dalam dapat diperoleh sebagai perluasan dari teknik yang
dijelaskan di atas. Coba kita anggap bahwa masing-masing dari 3 objek-objek
ini adalah suatu partikel, yang mana merupakan vektor SU(4). Mula-mula kita
kerjakan perkalian luar [2] dari S2 dan [1] dari S1:
SU(4) × SU(4) = SU(4) + SU(4) (2.75)
25
Ini juga merupakan perkalian langsung dari 2 irreps SU(4) yang diindikasikan
oleh diagram young dan dimensi mereka. Pada sisi lain, pada sisi kiri persamaan
di atas, kita dapat gunakan relasi (2.73) dan
SU(4) = SU(2) × SU(2) (2.76)
untuk memperoleh
⊗ =
× + ×
⊗
(×
)
=(
⊗)×
(⊗
)+
⊗
×
⊗
=
+
×
+
+ ×
= × + × + ×
+2 × (2.77)
Sekarang, kita dapat identifikasi 2 suku pada sisi kanan persamaan (2.75) sebagai
SU(4) = SU(2)× SU(2) + SU(2)× SU(2)
(2.78)
dan
SU(4) = SU(2)× SU(2) + SU(2)× SU(2)
+ SU(2)× SU(2) (2.79)
Ini adalah dekomposisi dari irreps SU(4) ke dalam irreps SU(2)×SU(2). Suku per-
tama pada sisi kanan persamaan (2.78) harusnya kita antispiasi karena perkalian
dari 2 keadaan simetrik menghasilkan keadaan simetrik.
Berikutnya pandang perkalian luar berikut
SU(4) ⊗ SU(4) = SU(4) + SU(4) (2.80)
26
dan dengan menggunakan relasi (2.74) dan (??) pada sisi kiri persamaan, kita
dapatkan
SU(4)⊗ =
× + ×
⊗
(×
)
=(
⊗)×
⊗
+
⊗
×
(⊗
)
=
+
× + ×
+
(2.81)
Dengan memperhitungkan (2.79) kita dapaka identitas
SU(4) = SU(2) × SU(2) (2.82)
Dari sudut pandang S3, kita dapat menggunakan relasi (2.78),(2.79),(2.82) un-
tuk memperoleh deret Clebsch−Gordan. Misalnya, jika kita mencari perkalian
dalam [21] × [21], ternyata itu muncul sekali masing-masing pada persamaan
(2.78),(2.79),(2.82), sehingga dapat kita tuliskan
[21]× [21] = [3] + [21] + [13] (2.83)
dengan analogi, kitapun bisa dapatkan
[3]× [3] = [3] (2.84)
[3]× [21] = [21]× [3] = [21] (2.85)
Untuk kelengkapan kita dapat tambahkan deret-deret Clebsch−Gordan berikut
[3]× [13] = [13] (2.86)
[13]× [13] = [3] (2.87)
Yang pertama menyatakan bahwa perkalian suatu fungsi yang antisimetrik de-
ngan fungsi yang simetrik merupakan suatu fungsi yang antisimetrik dan yang
terakhir menyatakan bahwa perkalian 2 fungsi-fungsi yang antisimetrik meru-
pakan fungsi yang simetrik. Dengan menggunakan teknik yang sama, kita dapat
lebih jauh mempertimbangkanS4 dan seterusnya. Untuk memperoleh seluruh
27
deret Clebsch − Gordan, kita harus menggunakan minimal SU(4). Sesungguh-
nya relasi semacam (2.86) merupakan kasus khusus dari deret Clebsch−Gordan
yang lebih umum yang mana Suntuk sebarang [f ] dari Sn tertentu memenuhi
persamaan
[f ]× [1n] = [1n]× [f ] = [f ] (2.88)
dimana [f ] menyatakan representasi konjugat dari [f ]. Deret persamaan (??)
merupakan kasus khusus dari (2.88) karena partisi [21] bersifat self − conjugate.
Sifat lain yang cukup berguna adalah
[f ]× [g] = [g]× [g] (2.89)
[f ]× [g] = [f ]× [g] (2.90)
mereka alngsung diperoleh dari sifat komutatif dan distributif dari perkalian
dalam
([f ]× [g])× [h] = [f ]× ([g]× [h]) = ([f ]× [h])× [g] (2.91)
Dengan mengambil [h] = [1n] dan menggunakan (2.88) kita bisa turunkan (2.89),dan
(2.90) dari (2.89) dengan menggantikan [f ] dengan [f ]
28
Bab 3
Grup Lie
Grup Lie merupakan grup kontinu dengan jumlah elemen tak terhingga. Walau
demikian, elemen-elemen di dalam grup ini dapat dilabeli dengan himpunan
berhingga r parameter-parameter real yang kontinu. Oleh sebab itu, Grup Lie
kadang disebut juga sebagai Grup kontinu berhingga (finite continous group).
Grup Lie ini dikembangkan oleh ahli matematika kebangsaan Norwegia, Sophus
Lie. Tidak seperti Grup diskret sebelumnya, Grup Lie ini tidak mungkin dibu-
at tabel perkalian grup nya. Namun struktur grup ini ditentukan melalui se-
himpunan hubungan komutasi antara generator-generator dari grup, yang mana
banyaknya generator ini juga sama dengan r
3.1 Transformasi infinitesimal
Pandang sehimpunan n variabel xi0(i = 1, 2, ..., n) yang merepresentasikan koordinat-
koordinat suatu titik dalam basis tertentu di dalam ruang berdimensi-n. Trans-
formasi basis mengubah xi0 menjadi xi melalui persamaan
xi = f i(x10, x
20, ..., x
n0; a
1, a2, ..., ar) (3.1)
dimana aρ(ρ = 1, 2, ..., r) merupakan sehimpunan parameter bebas real dan f i
merupakan fungsi analitik dan bergantung secara esensial pada aρ. Dengan kata
lain, aρ menentukan f i secara unik dan komplit, yang artinya tidak ada 2 atau
lebih transformasi (dengan parameter berbeda) yang sama untuk semua nilai x0
dan r menyatakan jumlah terkecil parameter yang dibutuhkan. Dalam notasi
yang lebih singkat, (3.1) dapat ditulis
x = f(x0; a) = Sax0 (3.2)
29
dimana sehimpunan transformasi bergantung pada parameter a dan memetakan
titik x0 ke x. Sehimpunan transformasi f i membentuk grup jika memenuhi ak-
sioma berikut:
1. Dua transformasi berturut-turut menghasilkan transformasi lain yang juga
merupakan anggota himpunan yang sama. misalnya:
x = f(x0; a) dan x′ = f(x; b) (3.3)
dan lalu
x′ = f(x; b) = f(f(x0; a); b) = f(x0; c) = f(x0; ϕ(a; b) (3.4)
yang menyatakan bahwa terdapatnya sehimpunan parameter cρ yang didefin-
isikan melalui
cρ = ϕρ(a; b) (3.5)
yang berarti bahwa ϕ merupakan fungsi analitik dari a dan b, yaitu ia
mengandung semua turunan orde berapapun terhadap a dan b
2. Untuk tiap transformasi terdapat invers yang unik
x0 = f(x; a) (3.6)
yang juga merupakan elemen dari himpunan yang sama. Keunikan nilai a
dijamin oleh kondisi ∣∣∣∣∂f
∂x0
∣∣∣∣ 6= 0 (3.7)
yaitu bahwa jacobian dari transformasi tidak boleh bernilai nol.
3. terdapat transformasi identitas dan didefinisikan sebagai berikut:
x0 = f(x; a) = f(f(x0; a); a) = f(x0; ϕ(a; a)) = f(x0; a0) (3.8)
untuk kemudahan, dapat dipilih
aρ0 = 0 (ρ = 1, 2, ..., n) (3.9)
Ide dasar Sophus Lie adalah memandang transformasi kontinu berhingga sebagai
serentetan transformasi infinitesimal. Transformasi ini merupakan transformasi
”di sekitar” elemen identitas dan kita dapat mereduksi studi terhadap grup kon-
tinu ke studi terhadap transformasi infinitesimal, karena struktur elemen grup di
30
”sekitar” elemen identitas ini menentukan struktur grup secara keseluruhan.
Dari sifat yang dibahas di atas, kita dapat tuliskan 2 ekspresi ekivalen berikut:
x = f(x0; a) (3.10)
x = f(x; 0) (3.11)
Suatu transformasi infinitesimal x+dx dapat diperoleh dengan 2 cara: mendifer-
ensialkan (3.10)
x + dx = f(x0; a + da) (3.12)
atau dengan memperkenalkan parameter infinitesimal δa sedimikian sehingga
x + dx = f(x; δa) (3.13)
sehingga diperoleh
dx =
(∂f(x0; b)
∂bσ
)
b=a
daσ (3.14)
atau
dx =
(∂f(x; a)
∂aσ
)
a=0
δaσ (3.15)
Dengan memperkenalkan notasi
uiσ =
(∂fi(x; a)
∂aσ
)
a=0
(3.16)
dan menulis ulang persamaan(3.15) sebagai
dxi = uiσ(x)δaσ (3.17)
Sama seperti persamaan (3.4), kita dapat tulis
x = dx = f(x; δa) = f(f(x0; a); δa) = f(x0; ϕ(a; δa))
Dari ekivalensi antara (3.13) dan (3.14) dapat ditulis
a + da = ϕ(a; δa) (3.18)
Jika dipilih δa = 0 maka
x = f(x; 0) = f(x0; ϕ(a; 0)
sehingga
a = ϕ(a; 0) (3.19)
persamaan (3.19) sangat penting dalam studi transformasi infinitesimal, karena
akan meghantarkan ke pembahasan generator infinitesimal dan konstanta struk-
tur
31
3.2 Konstanta Struktur
Untuk perubahan infinitesimal δaτ dalam parameter-parameter aτ , persamaan
(3.18) dapat ditulis sebagai
a + da = ϕ(a; δa) = ϕ(a; 0) +∂ϕ(a; b)
∂bτ
∣∣∣∣b=0
daτ (3.20)
menggunakan (3.19) didapat bahwa
daρ = µρτδa
τ (3.21)
dimana
µρτ (a) =
∂ϕ(a; b)
∂bτ b=0(3.22)
yaitu bahwa daρ merupakan kombinasi linier dari δaτ , dan sebaliknya,δaτ dapat
ditulis sebagai kombinasi linier dari daρ jika matriks µρτ tak singular. Dengan
mendefinisikan λ sedemikian sehingga
λµ = 1 atau λσρµ
ρτ = δσ
τ (3.23)
kita dapat tuliskan
δaσ = λσρ(a)daρ (3.24)
dengan notasi ini, persamaan (3.17) dapat ditulis sebagai
dxi = uiσ(x)λσ
ρ(a)daρ (3.25)
Pada sisi lain persamaan (3.14) dapat ditulis sebagai
dxi =∂xi
∂aρdaρ (3.26)
sehingga didapat bahwa∂xi
∂aρ= ui
σ(x)λσρ(a) (3.27)
Syarat cukup dan syarat perlu dari sistem adalah
∂2xi
∂aσ∂aρ=
∂2xi
∂aρ∂aσ(3.28)
syarat ini menghasilkan persamaan
(uj
τ
∂uiν
∂xj− uj
ν
∂uiτ
∂xj
)λτ
ρλνσ + ui
τ (∂λτ
σ
∂aρ− ∂λτ
ρ
∂aσ) = 0 (3.29)
32
atau dengan menggunakan persamaan (3.23), kita dapatkan(
ujκ
∂uiδ
∂xj− uj
δ
∂uiκ
∂xj
)= cτ
κδ(a)uiτ (3.30)
dimana
cτκδ =
(∂λτ
ρ
∂aσ− ∂λτ
σ
∂aρ
)µρ
κµσδ (3.31)
atau secara alternatif∂λτ
ν
∂aγ− ∂λτ
γ
∂aν= cτ
κδλκνλ
δγ (3.32)
karena uiσ tidak bergantung pada aτ menurut definisi(3.16), diferensiasi terhadap
persamaan (3.30) menghasilkan
∂cτκδ
∂aρui
τ = 0 (3.33)
besaran-bearan uiτ saling bebas linier dan tidak bergantung terhadap indeks τ .
Ini berasal dari sifat bahwa parameter-parameter aτ esensial dalam transformasi
(3.1). Karena uiτ saling bebas linier, maka
∂cτκδ
∂aρ= 0 (3.34)
yaitu bahwa cτκδ tidak bergantung a. Besaran cτ
κδ disebut konstanta struk-
tur dari grup Lie, dan memainkan peran yang penting dalam sifat grup. Dari
persamaan (3.30) didapat bahwa
cτκδ = −cτ
δκ (3.35)
Secara definisi, parameter-parameter grup Lie bersifat real , dan semua relasi yang
mendeskripsikan struktur grup harus menyangkut bilangan real. Inilah sebabnya
konstanta struktur harus berupa bilangan real. Dari konstanta struktur, kita
dapat mengkonstruksi suatu tensor rank 2 yang simetrik
gρτ = cµρλc
λτµ (3.36)
yang disebut sebagai tensor metriks atau Killing form. Sifatnya telah digunakan
oleh Cartan untuk membedakan grup-grup semi simpel dari grup-grup lainnya.
Tensor gρτ juga bermanfaat untuk menaikkan dan menurunkan indeks dari struk-
tur konstan. Misalnya
cµνσ = cλµνgλσ (3.37)
dimana sisi kiri persamaan di atas antisimetrik terhadap permutasi 2 sembarang
indeks yang merupakan generalisasi dari (3.35)
33
3.3 Generator
Pandang sebuah fungsi F dari koordinat xi. Suatu transformasi infinitesimal
xi → xi + dxi mengubah F dengan perubahan yang kecil sekali melalui
dF =∂F
∂xidxi = δσui
σ
∂F
∂xi= δaσXσF (3.38)
dimana operator-operator
Xσ = uiσ
∂
∂xi(3.39)
disebut operator-operator infinitesimal atau generator dari grup transformasi
yang telah didefinisikan menurut (3.2). dari (3.30) ternyata, dapat ditulis relasi
komutasi berikut
[Xκ, Xδ] = cτκδXτ (3.40)
Sifat bebas linier dari uiτ menghantarkan ke sifat bebas linier dari operator Xτ .
Mereka membentuk ruang vektor berdimensi-r. Produk Lie atau ’Lie product’
dari sembarang 2 vektor basis ruang ini didefinisikan melalui komutator mereka,
yang memerikan vektor basis lain (di ruang yang sama). Ini artinya sehimpunan
basis vektor ini bersifat tertutup terhadap hukum perkalian grup. Operator-
operator infinitesimal r membentuk ruang vektor berdimensi-r yang dikarakter-
isasi oleh besaran-besaran ΣaτXτ . Melalui cara inilah, Generator atau operator-
operator ini membentuk Aljabar Lie real. Untuk setiap grup Lie terdapat aljabar
Lie real yang unik. Meski demikian, beberapa grup Lie non-isomorfik dapat
berkorespon teerhadap aljabar Lie real yang sama.
Suatu aljabar Lie L berdimensi n(≥ 1) memiliki sifat berikut:
[Xρ, Xσ] ∈ L Xρ, Xσ ∈ L (3.41)
[αXρ + βXσ, Xτ = α[Xρ, Xτ ] + β[Xσ, Xτ ] (3.42)
untuk Xρ, Xσ, Xτ ∈ L dan semua bilangan real α dan β;
[Xρ, Xσ] = −[Xσ, Xρ] (3.43)
[[Xρ, Xσ], Xτ ] + [[Xσ, Xτ ], Xρ] + [[Xτ , Xρ], Xσ] = 0 (3.44)
Ini merupakan identitas jacobi atau kondisi assosiatif.
Penerapan persamaan (3.40) ke dalam persamaan (3.44) menghasilkan hubungan
cµρσc
νµτ + cµ
στcνµρ + cµ
τρcνµσ = 0 (3.45)
34
yang merupakan relasi penting dan merupakan sifat penting konstanta struktur
selain (3.35). Persamaan (3.35) dan (3.45) berasal dari asumsi bahwa trans-
formasi f i membentuk grup. Sebaliknya, mulai dari persamaan-persamaan ini,
kita dapat mencari semua nilai u dan λ yang memenuhi persamaan (3.30) dan
(3.32), dan menentukan xi yang memenuhi (3.27) dan membentuk sebuah grup.
Ada suatu perhitungan sederhana yang membuktikan bahwa konstanta struk-
tur cρσλ bersifat antisimetrik terhadap transposisi 2 sembarang indeks, dan in-
varian terhadap sembarang permutasi sirkular. Persamaan (3.35) membuktikan
keantisimetrian terhadap transposisi 2 indeks pertama, sehingga cukup bagi kita
untuk membuktikan keantisimetrian terhadap transposisi indeks 2 dan 3. Dari
persamaan (3.36) dan (3.37), ternyata:
cρσλ = cτρσgτλ = cτ
ρσcντµc
µλν
menerapkan sifat (3.45) pada faktor pertama dan kedua, persamaan di atas dapat
ditulis ulang sebagai
cρσλ = −cτσµc
ντρc
µλν − cτ
µρcντσc
µλν
dan dengan menggunakan (3.35) untuk faktor kedua dari suku pertama dan faktor
ketiga untuk suku kedua, kita dapatkan
cρσλ = cτσµc
νρτc
µλν + cτ
µρcντσc
µνλ
Sekarang kita permutasikan λ dengan σ pada sisi kiri dan sisi kanan persamaan
di atas, sehingga menghasilkan
cρσλ = cτλµc
νρτc
µσν + cτ
µρcντλc
µνσ
menerapkan (3.35) pada semua c dan menyusun ulang suku-suku dan faktor-
faktor akan menghasilkan
cρσλ = −cµσνc
τρµc
νλτ − cν
τρcµνσc
τµλ
Lalu melakukan permutasi melingkar dari indeks-indeks berulang µ → τ → ν
pada suku pertama dan τ → µ → ν pada suku kedua, kita dapatkan
cρσλ = −cτσµc
νρτc
µλν − cτ
µρcντσc
µνλ = −cρσλ
yang membuktikan keantisimetrian terhadap permutasi λ dengan σ. Menurut
sifat konstanta struktur pada persamaan kedua di atas dan sifat kesimetrian dari
gρτ , kita dapat tuliskan
cµνσ = cνσµ = cτνσgτµ = gµτc
τνσ
35
Dengan menggunakan persamaan (3.38), kita dapat tuliskan
F (x + dx) = F (x) +∂F
∂xidxi = SδaF (3.46)
dimana operator
Sδa = 1 + δaσXσ (3.47)
mempengarui perubahan infinitesimal F → F +dF yang diimbas oleh parameter-
parameter infinitesimal δaσ. Dua buah transformasi infinitesimal berturut-turut
SδaSδb bekerja pada F memerikan transformasi infinitesimal lainnya
SδaSδb = (1 + δaσXσ)(1 + δbρXρ) = 1 + δaσXσ + δbρXρ (3.48)
karena hanya orde pertama yang harus dipertahankan. Persamaan (3.48) me-
nunjukkan bahwa perkalian 2 elemen grup berkorespon dengan penjumlahan
parameter-parameter transformasi infinitesimal. Sekarang coba kita pandang
satu buah parameter grup Lie berhingga (bukan infinitesimal) berorde-1 dan
menuliskan perubahan infinitesimalnya dari parameter tersebut, a, δa sebagai
δa =a
N(3.49)
dengan N menyatakan bilangan sembarang yang besar. Menerapkan transformasi
(3.47) sebanyak N kali, kita akan peroleh
Sa = (1 +a
NX)N
yang mana, untuk limit N →∞, menjadi
Sa = eaX (3.50)
dan dapat diperumum ke grup berorde-r dengan menuliskan
Sa = eaρXρ (3.51)
dimana aρ berkoresponden dengan parameter-parameter grup ”kanonik” yang
istimewa. Invers dari transformasi (3.51) dapat ditulis
S−1a = e−aρXρ (3.52)
yang ternyata merupakan transformasi dengan tanda berlawanan dengan trans-
formasi (3.51). Secara umum, operator infinitesimal Xρ tidak saling commute,
sehingga urutan operator harus diperhatikan. Operator (3.47) dapat dipandang
36
sebagai ekspansi taylor orde pertama dari (3.51) dengan aρ → δaρ. Terkadang
jika suku-suku orde pertama hasil ekspansi saling meniadakan, maka kita harus
mempertahankan suku orde 2 dari ekspansi taylor (3.51) dan (3.52) tersebut.
Sa = 1 + δaσXσ +1
2δaσδaρXσXρ (3.53)
Sa = 1− δaσXσ +1
2δaσδaρXσXρ (3.54)
Salah satu teorema fundamental Lie menjamin bahwa kita tidak pernah membu-
tuhkan orde yang lebih tinggi dari 2, karena mereka terkait dengan komutator-
komutator dan hal ini mendefinisikan struktur grup. Contoh tipikal yang akan
diperlihatkan di sini adalah produk SaSbS−1a S−1
b . Perhitungan secara langsung
dari persamaan (3.53) dan (3.54) memberikan
SaSbS−1a S−1
b = 1 + δaσδbρ[Xσ, Xρ] (3.55)
Dalam aplikasi fisis grup Lie, generator Xσ (atau kombinasi linier dari mereka)
berkorespon dengan observabel-observabel. Invarian suatu hamiltonian terhadap
transformasi grup berarti
[H, Sa] = 0 (3.56)
yang mana dengan menggunakan Pers. (3.56) (3.47) atau (3.51) akan meng-
hasilkan
[H, Xσ] = 0 (3.57)
karena aσ atau δaσ bebas linier stau sama lain. Maka sifat invarian dari hamilto-
nian terhadap transformasi-transformasi yang membentuk grup Lie berarti bahwa
H commute dengan semua generator grup tersebut. Berikut ini terdapat suatu
contoh penentuan generator-generator grup Lie.
Tentukan generator-generator dan Aljabar Lie dari transformasi linier berikut:
x′ = ax + b
Elemen identitas dari transformasi adalah x′ = x. Transformasi infinitesimal di
sekitar elemn identitas memberikan
x′ = (1 + δa)x + δb
maka
dx = (δa)x + δb
37
Terhadap transformasi ini F (x) berubah secara infinitesimal menjadi:
F (x + dx) = F (x) + dxdF
dx= [1 + (δax + δb)] F
sehingga terdapat 2 generator:
Xa = xd
dx, Xb =
d
dx
sehingga Aljabar Lienya adalah:
[Xa, Xb] = xd
dx
(d
dx
)− d
dx
(x
d
dx
)= − d
dx= −Xb
3.4 Grup Simpel dan Semi-Simpel
Sekarang, kita akan menggunakan persamaan (3.55) untuk menemukan beberapa
sifat konstanta struktur dari grup simpel dan semi-simpel. Terlepas dari itu, ,
kita dapat melihat bahwa persamaan (3.55) mempunyai konsekuensi langsung
terhadap grup abelian dimana
SaSb = SbSa
atau
SaSbS−1a S−1
b = 1
menggunakan (3.55), kita dapatkan
1 + δaρδbσ[Xρ, Xσ] = 1 (3.58)
maka
[Xρ, Xσ] = 0 (3.59)
konsekuensinya, semua konstanta struktur untuk grup abelian bernilai 0
cτρσ = 0 untuk semua ρ, σ, τ (3.60)
Aljabar dari suatu grup abelian dikatakan bersifat abelian atau komutatif. Pada
bagian 2.2, kita lihat bahwa suatu subgrup merupakan himpunan bagian S ′ dari
elemen-elemen sautu grup S yang membentuk juga grup dengan hukum komposisi
yang sama. Ambil elemen-elemen S ′aS′b ∈ S ′ dan juga
S ′aS′b(S
′a)−1(S ′b)
−1 = S ′c ∈ S ′ (3.61)
38
menggunakan (3.55) pada sisi kiri dan (3.47) pada sisi kanan persamaan (3.61),
kita dapatkan
1 + δaρδbσ[Xρ, Xσ] = 1 + δcτXτ (3.62)
Dari (3.40), kita juga bisa dapati
r∑τ=1
δaρδbσcτρσXτ =
p∑τ=1
δcτXτ
dimana r berada pada orde S dan p berada pada orde S’. Karena r > p, kita
dapat membagi penjumlahan pada sisi kiri menjadi 2 kontribusi penjumlahan
yang berbeda dan menuliskan:
p∑τ=1
(δaρδbσcτρσ − δcτ )Xτ +
r∑τ=p+1
δaρδbσcτρσXτ = 0 (3.63)
Xτ adalah besaran-besaran yang bebas linier, , yang mana
p∑ρ,σ=1
δaρδbσcτρσ = 0 untukτ > p (3.64)
atau
cτρσ = 0 untuk τ > p dan ρ, σ ≤ p (3.65)
Dengan definisi invariansubgrup yang telah dibahas sebelumnya, suatu invarian
subgrup H adaalh suatu subgrup dari S jika ia mengandung semua konjugat-
konjugat dari elemen-elemennya. Coba kita tandai orde dari H dan S berturut-
turut p dan r dengan (p < r)dan anggap h1 ∈ H dan s1 ∈ S sehingga
sh1s−1 ∈ H
dan juga
sh1s−1h−1
1 = h2 ∈ H (3.66)
menggunakan (3.55) pada sisi kiri dan (3.47) pada sisi kanan, kita dapat tuliskan
1 + δsρδhσ1 [Xρ, Xσ] = 1 + δhτ
2Xτ
atau, berdasarkan persamaan (3.40), kita dapatkan
r∑ρ=1
p∑σ=1
r∑τ=1
δsρδhσ1c
τρσXτ =
p∑τ=1
δhτ2Xτ (3.67)
39
dimana penjumlahan terhadap indeks-indeks yang berulang telah ditulis secara
eksplisit . Seperti pada kasus sebelumnya penjumlahan terhadap τ pada sisi kiri
dapat dipecah menjadi 2 bagian:
p∑τ=1
(r∑
ρ=1
σpσ=1δs
ρδhσ1c
τρσ − δhτ
2
)Xτ +
r∑τ=ρ+1
r∑ρ=1
p∑σ=1
δsρδσ1 cτ
ρσXτ = 0 (3.68)
Dari kebergantungan linier generator-generator , ternyata
r∑ρ=1
p∑ρ=1
cτρσδs
ρδhσ1 = 0 untuk τ > p (3.69)
dan karena δsρ dan δhσ1 variasi-variasi yang saling bebas, akhirnya dapat disim-
pulkan
cτρσ = 0 untuk τ > p, σ ≤ p dan untuk sembarang ρ (3.70)
Misalnya terdapat suatu grup memiliki subgrup invarian yang abelian. Jika
indeks-indeks dari generator dari subgrup invarian abelian ditandai dengan ρ, σλ, ...
maka menurut persamaan (3.36) kita dapat tuliskan
gρσ = cµρλc
λσµ = −cµ
ρλcλµσ
sdan menggunakan persamaan (3.70) untuk faktor kedua pada ekspresi di atas
kita dapatkan
gρσ = −cµ
ρλcλµσ
dan menggunakan persamaan (3.70) lagi pada faktor pertama , elemen tensor gρσ
menjadi
gρσ = −cµ
ρλcλσµ
Faktor kedua di atas adalah suatu konstanta struktur dari subgrup invarian
abelian dan berdasarkan persamaan (3.60), kita peroleh
gρσ = 0 (3.71)
ini berarti
det|gρσ| = 0 (3.72)
yang merupakan syarat perlu untuk suatu grup agar tidak bersifat semi-simpel.
Kebalikannya
det|gρσ| 6= 0 (3.73)
40
merupakan syarat cukup untuk suatu grup agar bersifat semi-simpel. Kondisi
(3.73) berarti bahwa matriks gρσ memiliki invers gρσ′ yang memenuhi
gρσgρσ′ = δσ′
σ (3.74)
Ada sebuah contoh bahwa grup euclidian dalam 2 dimensi E2 didefinisikan menu-
rut transformasi
x′ = xcosθ + ysinθ − ρ1
y′ = −xsinθ + ycosθ − ρ2
tidak bersifat semi-simpel . Transformasi pertama di atas secara geometris merep-
resentasikan 2 operasi berturut-turut:
1. Suatu translasi titik asal sistem koordinat oleh ρ = (ρ1, ρ2), dalam sistem
baru, vektor r = (x, y) memiliki komponen-komponen
x′ = x− ρ1, y′ = y − ρ2
2. suatu rotasi melalui sudut θ terhadap sumbu z dari sistem yang telah ter-
translasi
Sekarang, pandang suatu rotasi infinitesimal
cosθ ≈ 1, sinθ ≈ θ
maka
x′ − x = θy − ρ1
y′ − y = −θx− ρ2
Suatu fungsi skalar dapat berubah menjadi
F (xi + dxi) = F (xi) + dx∂F
∂x+ dy
δF
δy
=
[1 + (θy − ρ1)
∂
∂x+ (−θ − ρ2)
∂
∂y
]F
pada tiap parameter infinitesimal,θ, ρ1, ρ2, terdapat generator-generator yang
berkorespondensi dengan mereka menurut definisi (3.38), yaitu:
X1 = y∂
∂x− x
∂
∂y,
X2 = − ∂
∂x,
X3 = − ∂
∂y.
41
Aljabar-aljabar yang dapat dibentuk dari generator-generator ini adalah
[X1, X2] = X3, X[X1, X3] = −X2, [X2, X3] = 0
maka
c312 = 1, c2
13 = −1, c123 = 0
dan
gρσ =
−2 0 00 0 00 0 0
yang meninjukkan bahwa grup di atas tidak bersifat semi-simpel karena
det|gρσ| = 0
3.5 Aljabar Simpel dan Semi-simpel
Konsep-konsep dari grup Lie simpel dan semi-simpel dapat diperkenalkan melalui
aljabar yang dideskripsikan oleh grup tersebut. Untuk keperluan ini, kita perlu
mendefinisikan sub aljabar. Dalam analoginya dengan subgrup, suatu sub aljabar
L′ dari suatu aljabar Lie adalah suatu himpunan bagian dari L yang dengan
sendirinya membentuk suatu aljabar dengan komutator yang sama dengan yang
dimiliki L.
L′ dikatakan sub aljabar yang sejati (propersubalgebra) dari L jika paling sedikit
satu elemen dari L tidak terkandung di dalam L′. karena demikian, dimensi L′lebih kecil daripada dimensi L′.Suatu sub aljabar L′ dari L dikatakan membentuk sub aljabar invarian atau ideal
dari L jika komutator
[Xρ, Xσ] = cτρσXτ ∈ L′ (3.75)
untuk semua Xρ ∈ L dan Xσ ∈ L. Definisi ini ekivalen dengan persamaan
(3.70). Jika alajabar L mengandung anggota-anggota yang tak terdapat dalam
sub aljabar ideal, maka sub aljabar ideal ini dikatakan proper ideal.
3.6 Beberapa contoh Grup Lie
Pada subbab ini, kita kan mempelajari beberapa contoh Grup Lie . Elemen-
elemen grup Lie adalah berupa matriks persegi berukuran n x n. Alasannya
adalah bahwa semua Grup Lie yang penting dalam fisika adalah grup Lie lin-
ier. Agar membentuk grup maka matriks-matriks ini harus bersifat non-singular.
42
nama grup sifat
Simetrik a = aT
Skew-Simetrik a = −aT
Orthogonal a−1 = aT
Real a = a∗
imajiner a = −a∗
Hermitian a = a†
Skew Hermitian a = −a†
Uniter a−1 = a†
Tabel 3.1: Sifat matriks yang relevan terhadap definisi bermacam grup kontinu
Hukum komposisi grup adalah perkalian matriks yang memiliki sifat asosiatif.
Elemen-elemen suatu matriks bisa bersifat real (R) atau kompleks (C). Dalam
aplikasi fisis matriks-matriks ini, secara umum ditandai dengan a, berasal dari
suatu transformasi dari suatu ruang vektor x = (x1, x2, x3, ...xn) menjadi ruang
vektor lain x′ = (x′1, x′2, ..., x
′n)
x′ = ax (3.76)
Suatu grup transformasi dapat didefinisikan melalui sifat-sifat a. Sebuah daf-
tar sifat-sifat matriks yang relevan diberikan pada tabel 3.1. n2 buah elemn
matriks baik kompleks maupun real adalah parameter-parameter yang bervari-
asi secara kontinu. Konstrain yang dinyatakan oleh sifat-sifat yang tertera pada
tabel 3.1 biasanya membatasi banyaknya parameter-parameter independen. Pa-
da tabel 3.2 dijabarkan beberapa grup yang paling penting. Grup Linier umum
GL(n,C)terdiri dari matriks-matriks kompleks berderajat n merupakan grup ma-
triks linier terbesar. Grup-grup lain yang didaftarkan di bawah merupakan sub-
grup dari grup ini. Orde dari grup GL(n,C) diberikan oleh 2 kali banyaknya
elemen matriks n2, karena tiap elemen matriks berupa bilangan kompleks. Pada-
hal , grup GL(n,R) yang elemen-elemennya matriks real, berorde n2. Ternyata
GL(n,C) ⊃ GL(n,R) (3.77)
Dengan menerapkan kondisi det a = 1 (untuk suatu grup unimodular), kita
peroleh grup Spesial Linier kompleks, SL(n, C), atau grup Special Linier Real,
SL(n, R). Pada kasus pertama det a = 1 mengakibatkan terdapatnya 2 konstrain
43
Nama Grup Definisi Orde KeteranganLinier umum KompleksGL(n,C)
det a 6= 0 2n2 GL(n,C)⊃GL(n,R)
Linier umum RealGL(n,R) atau GL(n)
a = a∗
det a 6= 0n2
Spesial Linier KompleksSL(n,C)
det a=1 2n2 − 2 SL(n,C)⊃SL(n,R)
Spesial Linier RealSL(n,R) atau SL(n)
a = a∗
det a = 1n2 − 1
Uniter U(n) atau Un a−1 = a†
—det a—=1n2 Isomorfik de-
ngan GL(n,R)
Tabel 3.2: Macam-macam Grup Lie
dan pada kasus kedua , 1 konstrain, yang memberikan orde SL(n, C) , 2n2 − 2,
dan orde SL(n,R n2 − 1. Ternyata
GL(n,C) ⊃ SL(n,C) ⊃ SL(n,R) (3.78)
Elemen-elemen dari sautu grup unitary adalah berupa matriks-matriks uniter.
Sifat keunitarian menjamin bahwa transformasi linier (3.76) mempertahankan
keinvarianan bentuk kuadratik hermitian
n∑i=1
xix∗i (3.79)
kondisi keunitarian
aa† = a†a = 1 (3.80)
menghasilkan konsekuensi
det a = eiϕ (3.81)
dan mengakibatkan n konstrain dari elemen-elemen diagonal dan n(n − 1) dari
elemen matriks non diagonal, menyisakan
n2 − n− n(n− 1) = n2 (3.82)
buah parameter-parameter independen yang real yang menyatakan orde r dari
grup U(n). Untuk grup spesial unitary SU(n), restriksi tambahan adalah bahwa
det a = 1 (ϕ menjadi 0 pada persamaan (3.81)) mereduksi orde grup menjadi
44
r = n2−1. Transformasi linier kompleks (3.76) menghasilkan keinvarianan bentuk
kuadratikn∑
i=1
(xi)2 (3.83)
memiliki sifat
aT a = aaT = 1 (3.84)
dan membentuk grup linier ortogonal yang kompleks O(n,C). Kondisi ortogo-
nalitas (3.84) mengharuskan terdapatnya 2n buah konstrain dari elemen-elemen
diagonal dan n(n−1) dari elemen-elemen non-diagonal (bagian real dan imajiner
terpisah) yang mengakibatkan orde O(n, C) diberikan oleh
r = 2n2 − 2n− n(n− 1) = n(n− 1) (3.85)
Dengan membatasi matriks-matriks a harus real, kita peroleh grup real ortogonal
O(n,R) berorde
r = n2 − n− n(n− 1)
2=
n(n− 1)
2(3.86)
Kondisi ortogonalitas (3.84) juga memberikan
det a = ±1 (3.87)
dan elemen-elemen dari O(n,C)dapat dibagi menjadi 2 himpunan yang terputus,
yang pertama terkait dengan det a=+1 dan yang lainnya terkait dengan det a =
-1. Himpunan dengan det a=+1 membentuk subgrup SO(n,C) untuk a 6= a∗ dan
SO(n,R) untuk a = a∗. Mereka tetap berorde n(n− 1) dan n(n−1)2
. grup-grup ini
merepresentasiakn rotasi-rotasi ”sejati”. Sedangkan himpunan yang terkait de-
ngan det a =-1 merepresentasikan rotasi-rotasi ”tak-sejati” karena mengikutser-
takan inversi atau refleksi yang ditandai dengan operator I. Inversi bertanggung
jawab untuk det a=-1. Sehingga, kita dapat tuliskan, pada kasus ini, misalnya
O(n) = SO(n)× I (3.88)
dimana O(n) merupakan notasi alternatif untuk O(n,R).
Suatu generalisasi dari grup O(n) adalah grup O(n,m) dari transformasi-transformasi
linier real yang menginvariankan besaran
n∑i=1
x2i −
n+m∑j=n+1
(xj)2 (3.89)
45
Matriks a yang menginvariankan (3.89)harus memenuhi
aT ga = g (3.90)
dengan
g =
(In 00 In
)(3.91)
dimana In matriks satuan berukuran n × n. Dengan generalisasi (3.86), kita
dapati bahwa orde O(n,m) adalah
r =1
2(n + m)(n + m− 1) (3.92)
Ruang Minkowski x1, x2, x3, ix0 yang kuadrat jaraknya dari titik asal diberikan
oleh
s2 = (x0)2 − (x1)2 − (x2)2 − (x3)2 (3.93)
merupakan kasus khusus dari (3.89). Grup yang menginvariankan (3.93) meru-
pakan grup Lorentz homogen yang isomorfik terhadap O(3,1). Grup Simpletik
dibentuk oleh matriks-matriks berukuran 2n× 2n yang menginvariankan bentuk
bilinier skew simetrikn∑
k=1
(xky−k − x−kyk) (3.94)
Keinvarianan (3.94) mengimplikasikan
aT ga = g (3.95)
dimana g sekarang matriks skew simetrik
g =
(0 In
−In 0
)(3.96)
Kita dapat melihat bahwa suatu transformasi simpletik hanya dapat didefinisikan
dalam dimensi genap saja. Ada 3 tipe grup simpletik yaitu
a real Sp(2n, R)
a kompleks S(2n,C)
a uniter Sp(2n)
Untuk Sp(2n,R) banyaknya konstrain yang dihasilkan dari elemen-elemen diag-
onal (3.95) sama dengan n dan terdapat 4C2n buah konstrain dari elemen-elemen
non-diagonal, sehingga ordenya adalah
r = (2n)2 − (2n2 − n) = n(2n + 1) (3.97)
46
Untuk Sp(2n, C) baik banyaknya parameter-parameter real maupun banyaknya
konstrain 2 kali lipat sehingga ordenya
r = 2n(2n + 1) (3.98)
Untuk Sp(2n, C), kondisi unitari (3.80) mengakibatkan terdapatnya 2n + C22n
buah konstrain tambahan terhadap Sp(2n, C), sehingga ordenya menjadi
r = 2n(2n + 1)− 2n− n(2n− 1) = 2n2 + n (3.99)
3.7 Kekompakan
Transformasi infinitesimal memparameterisasi elemen-elemen grup di sekitar ele-
men identitas dan merupakan pencerminan sifat-sifat lokal suatu grup. Walaupun
kebanyakan informasi yang terkait dalam struktur suatu grup Lie berasal dari
studi terhadap sifat lokalnya, terdapat sifat global yang juga penting, misalnya
Kekompakan compactness.
Seperti dalam ruang euclid berdimensi berhingga, kekompakan dari grup Lie
mengacu kepada ruang parameter-parameter grup. Teorema Heine-Borel menya-
takan bahwa suatu himpunan bagian titik-titik dalam ruang euclid berdimensi
berhingga bersifat kompak jika dan hanya jika himpunan bagian tersebut ter-
tutup/terbatas. Suatu set titik-titik di dalam interval [a,b] tertutup jika dan
hanya jika kedua ujung interval dapat dicakupi. Definisi ini mengacu hanya
pada himpunan-himpunan terhubung saja. Dalam bahsa teori grup, grup ter-
hubung berarti bahwa dari sembarang elemen g, kita dapat memperoleh elemen
identitas dengan variasi yang kontinu dari r parameter-parameter grup tersebut.
Kesimpulannya, suatu grup Lie dikatakan kompak jika parameter-parameternya
a1, a2, ...ar terbentang di dalam interval tertutup berhingga
αρ ≤ aρ ≤ βρ , ρ = 1, 2, ..., r
Banyak grup yang menarik di fisika bersifat kompak. Misalnya untuk U(n),
kondisi unitari menghendaki
n∑j=1
|aij|2 = 1 untuk semua i
yang menunjukkan bahwa |aij| ≤ 1 untuk semua i dan j, yaitu bahwa parameter-
parameter dari U(n) bervariasi terbatas di dalam interval tertutup berhingga.
47
Argumen yang mirip berlaku untuk SU(n) atau O(n) yang merupakan subgrup
dari U(n). Grup-grup bersifat tidak kompak kalau himpunan-himpunan param-
eter mereka memiliki jangkauan yang tak berhingga dan oleh karenanya tak ter-
batas.
Perbedaan antara Grup Lie yang kompak dan yang tidak kompak sangat pent-
ing karena teori representasinya sangat berbeda. Setiap representasi berdimensi
berhingga dari sautu grup Lie kompak ekivalen dengan suatu representasi uniter
dan oleh karenanya bersifat redusibel. Untuk grup Lie non-kompak, representasi-
representasi berdimensi berhingga tidak lagi uniter dan semua representasi uni-
tarinya berdimensi tak hingga.
3.8 Penjumlahan langsung dan Semi-langsung
dari Aljabar Lie
Suatu aljabar Lie yang real maupun kompleks L merupakan suatu penjumlahan
langsung dari 2 aljabar Lie L1 dan L2
L = L1 ⊕ L2
jika ruang vektor dari L merupakan penjumlahan langsung dari ruang-ruang vek-
tor L1 dan L2 dan jika sembarang elemen L1 commute dengan sembarang elemen
L2 . Jika L1 dan L2 merupakan aljabar-aljabar Lie dan grup-grup Lie H1 dan H2
maka aljabar Lie dari perkalian langsung H1×H2 isomorfik terhadap L1⊕L2 con-
tohnya SO(4) = SO(3) × SO(3). Representasi-representasi dari perkalian lang-
sung grup H1×H2 diberikan oleh perkalian langsung dari representasi-representasi
H1 dan H2. misalnya D1 dan D2 representasi-representasi berdimensi n1 dan n2
dari dua aljabar Lie berturut-turut L1 dan L2 maka matriks
D = D1 ⊗ In2 + D2 ⊗ In1
dimana In merupakan matrik satuan berukuran n × n merupakan representasi
berdimensi n1n2 dari L1 × L2 Aljabar dari perkalian langsung selalu isomorfik
denagn aljabar penjumlahan langsung. sebaliknya, jika suatu grup Lie memiliki
suatu aljabar yang isomorfik dengan suatu penjumlahan langsung tidak selalu
berarti bahwa grup tersebut adalah suatu perkalian langsung. misalnya untuk
U(n) dengan n ≥ 2. aljabar U(n) isomorfik dengan U(1) + SU(n) dimana U(1)
∼ In. namun U(n) bukan merupakan perkalian langsung dari U(1) dan SU(n)
48
karena kedua grup ini memiliki dua elemen yang sama In dan −In yang melanggar
definisi suatu perkalian langsung grup. dalam kasus tersebut kesulitan dalam
teori representasi dapat diatasi dengan universal covering group yang mereduksi
masalah representasi grup tersebut menjadi masalah grup SU(n)
3.9 Representasi Kontradingen
Untuk suatu representasi matriks tertentu yang didefinisikan oleh pemetaan g →D(g), representasi kontradingennya diberikan oleh
g → DT (g−1) = (DT )−1(g)
Jika D uniter, maka begitu pula representasinya. Dan pada kasus ini (DT )−1 =
D∗.
Representasi D∗ yang diperoleh dari D dengan proses kompleks konjugasi disebut
representasikonjugat atau representasikomplekskonjugat. Maka, dalam kasus
representasi uniter, representasi-representasi konjugat dan kontradingen bersifat
identik.
Mudah untuk mendefinisikan representasi kontradingen menggunakan diagram
Young . Untuk suatu diagram Young dengan partisi [f1, f2, ..., fn], dapat ditun-
jukkan bahwa representasi kontradingen yang berkorespon dengannya dideskrip-
sikan sebagai [f1−fn, f1−fn−1, ..., f1−f2]. Partisi semacam ini adalah sedemikian
sehingga dapat melengkapi segiempat dengan n baris dan f1 kolom. Misalnya,
representasi [6541] dari SU(4) dan representas kontradingennya [521] adalah :
... dan (3.100)
Jika semua matriks dari suatu representasi real, maka representasinya bersifat
real. Jika D ekivalen dengan suatu representasi real D′, maka D ekivalen dengan
D∗. Hal ini mudah terlihat, karena keekivalenan antara D dan D′ berarti
D′(g) = TD(g)T−1untuk semua g ∈ G
dimana T merupakan matriks tak-singular. Dengan mengambil kompleks konju-
gatnya, kita peroleh
D′(g) = T ∗D∗(g)T ∗−1
49
Oleh karena itu,
D∗(g) = T ∗−1D′(g)T ∗ = T ∗−1TD(g)T−1T ∗
= (T−1T ∗)−1D(g)T−1T ∗
Namun demikian, terdapat contoh-contoh dimana D dan D∗ ekivalen tanpa harus
real. Jika D ekivalen terhadap suatu representasi real, maka dikatakan D real
atau berpotensial real. Misalnya, semua irrep grup rotasi R3 secara potensial
bernilai real. Jika D ekivalen terhadap D∗ tapi D tidak ekivalen terhadap suatu
representasi real, maka D disebut pseudoreal
50
Bab 4
Hasil dan Pembahasan
Transformasi-transformasi linier yang menginvariankan bentuk hermit kuadratik
n∑i=1
xix†i
membentuk grup uniter U(n) yang elemen-elemennya berupa matriks-matriks
uniter. Grup-grup uniter memiliki aplikasi yang luas di dalam ilmu fisika. Grup-
grup ini menjelaskan karakteristik intrinsik dari partikel-partikel kuantum atau
sekumpulan derajat kebebasan dalam sistem komposit (sistem yang terbentuk
dari satuan-satuan yang lebih elementer). Misalnya grup SU(3) digunakan un-
tuk menjelaskan level-level rotasi dari nuklei yang terdeformasi. Grup SU(2)
berkaitan dengan derajat kebebasan spin dan isospin. Grup SU(3) berkaitan de-
ngan kombinasi isospin dan hypercharge, yang digunakan oleh Gell-Mann dan
Ne’eman untuk mengklaksifikasi partikel-partikel elementer. Dalam SU(3), kita
dapat memperkenalkan 3 cita rasa kuark yaitu:up,down,strange. Dengan menam-
bah satu cita rasa, yaitu charm, kita dapat menggunakan SU(4) untuk memperlu-
as klaksifikasi partikel elementer. Kesimetrian cita rasa didukung oleh ide bahwa
hadron merupakan sistem gabungan kuark dan interaksi antar kuark merupakan
interaksi yang tidak bergantung pada cita rasa. Jika semesta pembicaraan diper-
luas menyangkut 2 cita rasa tambahan, yaitu bottom, top maka grup SU(6) dapat
digunakan untuk keperluan ini. Kendati demikian, pecahnya kesimetrian akan
sering terjadi dengan bertambahnya cita rasa. Grup SU(4) diperkenalkan seba-
gai grup simetri nuklei yang berdasar pada fakta bahwa tiap nukleon memiliki 4
keadaan intrinsik bebas yang berkaitan dengan 2 buah kemungkinan keadaan spin
±12
dan 2 kemungkinan nilai isospin ±12. Grup yang cukup untuk mendeskrip-
sikan hal ini adalah SUS(2)×SUI(2) dimana S dan I berturut-turut menyatakan
spin dan isospin. Ini merupakan subgrup dari SU(4) dan memerlukan represen-
51
tasi iredusibel dari SU(4) dikonstruksi dari perkalian langsung dari representasi
iredusibel SUS(2) dan SUI(2). hasil dari perkalian ini dapat menjelaskan super-
multiplet dalam nuklei. Kita juga dapat mengkombinasikan spin dan cita rasa
SU(3) pada hadron yang dipandang sebagai sistem gabungan kuark. Maka, kita
dapatkan perkalian langsung grup SUS(2) × SUF (3) yang merupakan subgrup
dari SU(6) yang representasinya akan membangkitkan keadaan supermultiplet
untuk baryon. Grup SU(2)× U(1) menyediakan kerangka kerja untuk interaksi-
interaksi elektromagnet dan SUC(3) merupakan grup gauge untuk interaksi kuat.
Grup-grup uniter juga digunakan dalam klaksifiaksi fungsi gelombang banyak
partikel dalam fisika nuklir dan fisika atom. Selanjutnya, Kita akan deskripsikan
beberapa sifat matematis dari U(N) dan SU(N) dan membahas secara detail
SU(2), SU(3), dan SU(4). Lalu pada akhirnya, kita akan masuk ke masalah uta-
ma skripsi ini, Klaksifikasi partikel elementer berdasarkan representasi grup di
mana kesimetrian terjadi.
4.1 Sifat umum Grup-grup Uniter
Suatu matriks u uniter berukuran n× n secara umum dapat ditulis sebagai
u = eih (4.1)
dimana matriks h bersifat Hermitian:
h = h† (4.2)
yang didapat dari kondisi unitaritas uu† = 1. Kehermitan dari h menunjukkan
bahwa n elemen-elemen diagonalnya real dan elemen-elemen non-diagonal nya
mengandung 12n(n−1) parameter-parameter bebas kompleks. Secara keseluruhan
ada n2 parameter bebas real, yang merupakan orde dari U(n). Kondisi unitaritas
menjamin
|det u|2 = 1 (4.3)
Matriks u ini juga bisa didiagonalisasi dengan matriks uniter lain v:
u′ = vuv−1
52
Maka, kita dapat tuliskan:
det u = det u′ =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
ei.h′11
ei.h′22
..
ei.h′nn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(4.4)
= ei.trace(h′) = ei.trace(vhv−1) = ei.trace(h)
karena h adalah matriks hermit , maka
trace h = α = real (4.5)
bersamaan dengan persamaan (4.4) , memberikan
det u = eiα (4.6)
Untuk α = 2πn, kita peroleh bahwa det u = 1, suatu transformasi uniter spesial,
yang merupakan elemen dari SU(n) yang memiliki n2−1 parameter karena α telah
dispesifikasi. Jadi, elemen dari SU(n) didefinisikan oleh
u0 = eih0 , trace h0 = 0, det u0 = 1 (4.7)
Maka, suatu elemen dari U(n) dapat ditulis sebagai
u = eih = ei(h0+α/n1n) = ei(α/n)1nu0 (4.8)
dimana 1n merupakan matriks satuan berukuran n × n. Sekarang kita alihkan
pada U(1)yang merupakan grup yang penting dalam fisika. Generatornya F0 ∼ 1n
merepresentasikan operator bilangan partikel. Jika N merupakan eigenvalue dari
F0, aksi U(1) pada suatu fungsi gelombang ψ menghasilkan fase
U(1)ψ → eiN0aψ (4.9)
dimana a0 berhubungan dengan parameter α. Sehingga, keinvarianan terhadap
U(1) berarti kekekalan bilangan partikel, misalnya bilangan baryon, bilangan
lepton, muatan, dst. Dalam suku parameter-parameter grup aρ matriks hermit
(8.1) dapat ditulis
h =n2−1∑ρ=0
aρ λρ
2(4.10)
Matriks-matriks λρ membentuk suatu himpunan lengkap. Untuk U(2), matriks-
matriks tersebut adalah: 12, σx, σy, σz dan untuk U(3) : 13 dan 8 buah matriks
53
Gell-mann yang akan diperkenalkan nanti. Matriks-matriks ini ternormalisasi
sehingga
trace(λiλj) = 2δij (4.11)
Secara khusus, hal ini memberikan
λ0 =
√2
n1n (4.12)
yang menghasilkan nilai
a0 = trace(hλ0) = α
√2
n(4.13)
untuk SU(n) , matriks hermit h0 mengandung semua suku (8.10) kecuali λ0
h0 =n2−1∑ρ=1
aρ λρ
2(4.14)
sifat trace(h0) mengimplikasikan
trace λρ = 0 (4.15)
4.2 Grup SU(2)
Suatu elemen SU(2) adalah matriks uniter berukuran 2× 2 :
u =
(a bc d
)(4.16)
dengan a, b, c, dan d bilangan kompleks, sehingga terdapat 8 parameter real. Juga
dipenuhi bahwa
det u = 1
dan
u−1 =
(d −b−c a
)
dan karena kondisi unitaritaritas u† = u−1 mengharuskan d = a∗ dan c = −b∗
sehingga u dapat ditulis dalam bentuk
u =
(a b−b∗ a∗
)(4.17)
yang hanya mengandung 4 buah parameter . Kondisi det u = 1 memberikan
konstrain
aa∗ + bb∗ = 1 (4.18)
54
Untuk transformasi infinitesimal, sangat berguna untuk memperkenalkan parametrisasi
berikut:
a = 1− 1
2a11, b = −1
2b12 − i
2a12 (4.19)
yang konsisten dengan det u = 1, sehingga kita dapat tuliskan
u =
(1 00 1
)− i
2a11
(1 00 −1
)− i
2a12
(0 11 0
)− b12
2
(0 1−1 0
)
= 12 − i
2a11σz − i
2a12σx − i
2b12σy (4.20)
Dimana 12 merupakan matriks berukuran 2 × 2 dan σx, σy, dan σz merupakan
matriks Pauli
σx =
(0 11 0
); σy =
(0 −ii 0
); σz =
(1 00 −1
)(4.21)
Dari sini, kita dapati 3 generator SU(2) sebagai berikut
Ji = Si =1
2σi , (i = x, y, z) (4.22)
Transformasi berhingga dari grup ini adalah:
u = e−iω.J (4.23)
dimana untuk kasus ini, ω = (a12, b12, a11)
4.3 Homomorfisme SU(2) dengan R3
Untuk membuktkan homomorfisme, kita harus berurusan dengan transformasi
berhingga SU(2) seperti (4.17) dan mengkaitkannya dengan rotasi. Pandang
suatu vektor kompleks
w = u + iv (4.24)
yang memiliki sifat
w.w = w21 + w2
2 + w33 = 0 (4.25)
Pandang pula suatu rotasi real dengan parameter α, β, γ. Terhadap transformasi
ini, vektor w menjadi
w′ = Rw (4.26)
dengan
u′ = Ru v′ = Rv (4.27)
55
Secara definisi, suatu rotasi menginvariankan panjang vektor, sedemikian sehing-
ga
w′.w′ = (w′1)
2 + (w′2)
2 + (w′3)
2 = 0 (4.28)
Sekarang, kita akan parameterisasi komponen-komponen wi(i = 1, 2, 3). Per-
samaan (4.25) juga berarti:
u.u = v.v, u.v = 0 (4.29)
Malah, akan lebih sederhana, jika kita perkenalkan lagi 2 besaran kompleks ξ dan
η dan mengkaitkannya dengan wi dengan cara sebagai berikut
w1 − iw2 = η2 (4.30)
w1 + iw2 = −ξ2 (4.31)
w3 = ξη (4.32)
Suatu rotasi umum terhadap sumbu tertentu merupakan serentetan 3 rotasi
berturut-turut: rotasi sudut γ terhadap sumbu-z, diikuti dengan rotasi sudut
β terhadap sumbu-y, dan rotasi sudut α terhdap sumbu-z lagi. Kita mulai bahas
yang terakhir:
w′1 = w1cosα + w2sinα (4.33)
w′2 = −w2sinα + w2cosα (4.34)
w′3 = w3 (4.35)
yang menghasilkan
η′2 = w′1 − iw′
2 = eiα(w1 − iw2) = eiαη2 (4.36)
−ξ′2 = w′1 + iw′
2 = −e−iαξ2 (4.37)
Dengan menarik akar (4.36) dan (4.37), kita dapati
(ξ′
η′
)= ±
(e−i/2α 0
0 ei/2α
)(ξη
)(4.38)
Perhatikan bahwa matriks yang didapat
uα =
(e−i/2α 0
0 ei/2α
)(4.39)
56
bersifat uniter dan dua matriks yang berbeda ±uα berkoresponden dengan rotasi
sudut α yang sama. Rotasi sudut β terhadap sumbu-y menghasilkan transformasi
w′1 = w1cosβ + w3sinβ (4.40)
w′2 = w2 (4.41)
w′3 = w1sinβ + w3cosβ (4.42)
yang mana akan menghasilkan
η′2 =(ξcos(β
2) + ηsin(β
2))2
(4.43)
ξ′2 =(ξsin(β
2)− ηcos(β
2))2
(4.44)
ξ′η′ =(ξcos(β
2) + ηsin(β
2)) (−ξsin(β
2) + ηcos(β
2))
(4.45)
Ternyata (ξ′
η′
)= ±
(cos(β
2) sin(β
2)
−sin(β2) cos(β
2)
)(ξη
)(4.46)
Kita peroleh matriks uniter yang real berukuran 2 × 2
uβ =
(cos(β
2) sin(β
2)
−sin(β2) cos(β
2)
)(4.47)
dan lagi baik ±uβ berkaitan dengan rotasi sudut β yang sama . Matriks yang
terkait dengan suatu rotasi sudut γ terhadap sumbu-z seperti (4.39) namun
bergantung pada γ
uγ =
(e−i/2γ 0
0 ei/2γ
)(4.48)
Oleh karena itu , homomorfisme antara SU(2) dengan R3 berarti bahwa 2 matriks
uniter berukuran 2 × 2 yang berbeda tanda berkorespon terhadap rotasi R yang
sama
±u → R (4.49)
dimana
u = uαuβuγ =
(e−i/2(α+γ)cos(β
2) e−i/2(α−γ)sin(β
2)
−ei/2(α−γ)sin(β2) e−i/2(α+γ)cos(β
2)
)(4.50)
Matriks u ini dapat diidentifikasi sebagai matriks uniter spesial menurut (4.17),
sehingga didapat bahwa:
|a| = cosβ
2, arg a = −1
2(α + γ) (4.51)
|b| = sinβ
2, arg b = −1
2(α− γ)
57
Matriks (4.50) merupakan transpos dari representasi fundamental D1/2 dari SU(2),
dan dengan menuliskan
ξ = χ 12
12, η = χ 1
2− 1
2(4.52)
Kita dapat menuiskan bahwa
D1/2(α, β, γ) = uT (4.53)
dengan uT merupakan transpos dari matriks (4.50). Sedangkan transpos matriks
uβ dari (4.47) dapat ditulis sebagai
d1/2(β) = uTβ (4.54)
dimana d1/2 representasi fundamental untuk grup rotasi R3. Menurut (4.23) kita
dapat mencakupkan spin ke dalam operator rotasi dengan menganggap generator-
generator grup rotasi sebagai komponen-koponen momentum angular total
J = L + S (4.55)
Jadi, ketika suatu partikel memiliki spin, maka operator rotasi partikel tersebut
mengandung momentum angular total. berdasarkan basis ini, teori representasi
SU(2) dan R3 adalah sama.
4.4 Multiplet
Multiplet merupakan sehimpunan keadaan-keadaan kuantum yang membentuk
subspace invarian untuk suatu representasi iredusibel suatu grup. Keadaan-
keadaan dalam multiplet terkait satu sama lain melalui grup transformasi tapi
sifatnya terdegenerasi. Seperti yang telah dijelaskan pada awal bab ini, keinvari-
anan SU(2) menghasilkan keterdegenerasian spin dan isospin. Deskripsi matem-
atis untuk spin dan isospin sama seperti yang telah diuraikan pada bab subbab
sebelumnya. Dua keadaan isospin I = 12, Iz = ±1
2memiliki sifat yang sama seper-
ti keadaan spin S = 12, Sz = ±1
2. Sama seperti spin, maka pada isospin terdapat
2 basis vektor pada ruang isospin
u =
(10
)d =
(01
)(4.56)
Berdasarkan analogi dengan (4.22), generator dari SUI(2) adalah
Ii =1
2τi (i = x, y, z) (4.57)
58
dimana:
τx =
(0 11 0
); τy =
(0 −ii 0
); τz =
(1 00 −1
)(4.58)
Merekapun memiliki aljabar yang sama dengan R3 dan transformasi berhingga
u = e−iω.I (4.59)
dimana ω merupakan sudut rotasi di ruang isospin. Grup SUI(2) merupakan
grup simetri untuk interaksi kuat, yang berarti bahwa:
[Hstrong, I] = 0 (4.60)
Maka, suatu isomultiplet yang mengandung 2I + 1 partikel dan dianggap seba-
gai keadaan yang berbeda untuk partikel yang sama dan harus memiliki massa
yang sama (atau berbeda sedikit). Misalnya untuk I = 12
, contoh isomultiplet
adalah baryon (p,n) atau meson (K+, K0). Pion(π+, π0, π−) membentuk suatu
isomultiplet dengan I = 1. Perluasan ke banyak partikel mirip dengan perlakuan
terhadap momentum angular total dari sistem banyak partikel. Isospin dari n
partikel bergabung bersama memberikan
I =n∑
i=1
I(i) (4.61)
Contoh yang cukup menarik untuk sistem banyak partikel dari sudut pandang
isospin adalah nukleus
4.5 Grup SU(3)
Mula-mula, kita akan turunkan generator-generator grup SU(3) berdasarkan pada
transformasi infinitesimal. Matriks 3 × 3 diperoleh dari mengerjakan generator-
generator ini dalam ruang berdimensi 3 dan menghasilkan matriks Gell-Mann.
Keterkaitan antara osilator harmonik isotropik dan SU(3) juga akan dibahas
4.5.1 Transformasi Infinitesimal
Kita mulai dari representasi fundamental yang merupakan matriks uniter beruku-
ran 3× 3. Di sekitar elemen identitas, matriks u ini dapat ditulis
u = 13 + iρ (4.62)
59
Dimana 13 merupakan matriks identitas berukuran 3× 3, dan ρ merupakan ma-
triks kompleks berukuran 3× 3 yang memenuhi sifat
ρ = ρ† (4.63)
diperlukan oleh kondisi unitaritas. Maka, jika ρij = aij+ibij, maka harus dipenuhi
pula bahwa
aij = aji, bij = −bji (4.64)
yang berarti bahwa bii = 0. Akan lebih nyaman bekerja langsung dalam basis
sferis dimana koordinat-koordinat suatu titik adalah x1, x0, x−1, dan transformasi
infinitesimal akan mengubah xi menjadi x′i(i = 1, 0,−1) oleh
x′1x′0x′−1
=
1 + ia11 ia10 − b10 ia1−1 − b1−1
ia10 + b10 1 + ia10 ia0−1 − b0−1
ia1−1 + b1−1 ia0−1 + b0−1 1 + ia1−1
x1
x0
x−1
(4.65)
Di sini, kita berurusan dengan transformasi spesial, yaitu det u =1. Parameter-
parameter transformasi infinitesimal harus memenuhi konstrain (suku orde ke-2
dalam ρij diabaikan)
a11 + a10 + a−1−1 = 0 (4.66)
. Maka, mengeliminasi a−1−1, matriks dari persamaan (4.65) bergantung pada 8
parameter bebas a11, a00, a10, b10, a1−1, b1−1, a0−1, b0−1, dan orde dari SU(3) adalah
8. Terhadap transformasi infinitesimal, suatu fungsi skalar f berubah menjadi
F (x′1, x′0, x
′−1) = SF (x1, x0, x−1) +
∑i
(x′i − xi)∂F
∂xi
=
[1 + ia11
(x1
∂
∂x1
− x−1∂
∂x−1
)+ ia00
(x0
∂
∂x0
− x−1∂
∂x−1
)
+ia10
(x1
∂
∂x0
+ x0∂
∂x1
)+ ia1−1
(x1
∂
∂x−1
+ x−1∂
∂x1
)+ ia0−1
(x0
∂
∂x−1
+ x−1∂
∂x0
)
+b10
(x1
∂
∂x0
− x0∂
∂x1
)+ b1−1
(x1
∂
∂x−1
− x−1∂
∂x1
)
+b0−1
(x0
∂
∂x−1
− x−1∂
∂x0
)F
](4.67)
60
Dari sini , kita dapat definisikan operator-operator infinitesimal
X11 = x1∂
∂x1
− x−1∂
∂x−1
, X00 = x0∂
∂x0
− x−1∂
∂x−1
X10 = x1∂
∂x0
+ x0∂
∂x1
, Y10 = −i
(x1
∂
∂x0
− x0∂
∂x1
)
X1−1 = x1∂
∂x−1
+ x−1∂
∂x1
, Y1−1 = −i
(x1
∂
∂x−1
− x−1∂
∂x1
)
X0−1 = x0∂
∂x−1
+ x−1∂
∂x0
, Y0−1 = −i
(x0
∂
∂x−1
− x−1∂
∂x0
)(4.68)
Pada setiap operator-operator tersebut, kita dapat asosiasikan suatu matriks.
Misalnya
X11
x1
x0
x−1
=
1 0 00 0 00 0 −1
x1
x0
x−1
, dan seterusnya (4.69)
Matriks-matriks yang dihasilkan terkait dengan 8 matriks Gell-Mann λi(i =
1, 2, ..., 8) sebagai berikut:
X11 + X00 =
1 0 00 1 00 0 −2
=
√3λ8, X11 −X00 =
1 0 00 −1 00 0 0
= λ3
X10 =
0 1 01 0 00 0 0
= λ1, Y10 =
0 −i 0i 0 00 0 0
= λ2
X1−1 =
0 0 10 0 01 0 0
= λ4, Y1−1 =
0 0 −i0 0 0i 0 0
= λ5
X0−1 =
0 0 00 0 10 1 0
= λ6, Y0−1 =
0 0 00 0 −i0 i 0
= λ7(4.70)
Semua matriks Gell-Mann traceless dan ternormalisir agar memenuhi (4.11). Da-
pat ditambahkan pula matriks λ0 menurut definisi (4.12):
λ0 =
√2
3
1 0 00 1 00 0 1
(4.71)
matriks ini berkorespon dengan generator infinitesimal U(1)
N = x1∂
∂x1
+ x0∂
∂x0
+ x−1∂
∂x−1
(4.72)
61
yang diperoleh seperti dengan cara diatas tapi mengabaikan konstrain 4.66. De-
ngan perhitungan langsung, dapat ditemukan pula bahwa aljabar Lie SU(3)
adalah:
[λk, λl] = 2ifklmλm (4.73)
dimana fklm bersifat antisimetrik terhadap pertukaran sembarang 2 indeks. Nilai-
nilai yang tidak habis adalah permutasi-permutasi berikut:
f123 = 1, f147 = f165 = f246 = f257 = f345 = f376 = 12
f458 = f678 =√
32
(4.74)
Jika λ0 tidak termasuk, mereka juga memenuhi
[λk, λl] = 2dklmλm +4
3δkl13 (4.75)
Dan jika λ0 termasuk, mereka memenuhi
λk, λl = 2dklmλm (4.76)
dimana konstanta dklm bersifat simetrik terhadap permutasi sembarang 2 indeks.
Nilai-nilai mereka yang tak nol diberikan oleh tabel 4.1.
Sama seperti SU(2), kita dapat memperkenalkan generator-generator:
Fi =1
2λi (4.77)
Relasi komutasi Fi dapat diperoleh langsung dari (4.73):
[Fi, Fl] = ifklmFm (4.78)
yang merepresentasikan bentuk lain dari Aljabar Lie SU(3). Dengan menggu-
nakan operator Fi, kita dapat tuliskan transformasi S yang didefinisikan menurut
(4.67)
S = 1 + iδθiFi (4.79)
Bentuk berhingganya
S = eiθiFi (4.80)
merupakan transformasi uniter karena θi real dan Fi bersifat hermit.
62
klm dklm klm dklm klm dklm
000√
23
118√
33
366 -12
011√
23
146 12
377 -12
022√
23
157 12
448 -√
36
033√
23
228√
33
558 -√
36
044√
23
247 -12
668 -√
36
055√
23
256 12
778 -√
36
066√
23
338√
33
888 -√
36
077√
23
344 12
088√
23
355 12
Tabel 4.1: Nilai-nilai Konstanta dklm yang didefinisikan menurut dan
63
4.5.2 Osilator harmonik 3 dimensi
Osilator harmonik isotropik merupakan contoh hamiltonian dengan degenerasi
yang disengaja, seperti atom hidrogen. Grup U(3) merupakan grup simetrik
terbesar karena kebergantungan V pada r2 yang juga merupakan kesimetrian di-
namis. Osilator harmonik diguakan untuk mendeskripsikan pergeseran kecil dari
posisi kesetimbangan. Dalam Fisika nuklir, digunakan sebagai pendekatan perta-
ma dari gerakan-gerakan individu masing-masing nukleon dalam nukleus (model
kulit) sedangkan dalam fisika subnuklir digunakan sebagai pendekatan terhadap
pembatasan potensial linier antara suatu kuark dan antikuark. Hasil yang diper-
oleh di bawah dapat langsung diperumum ke osilator harmonik berdimensi-n,
yaitu grup U(n). Jika kita mengukur jarak dalam satuan parameter panjang os-
ilator b =(
hmω
) 12
dan energi dalam satuan hω , hamiltonian osilator harmonik
suatu partikel bermassa m adalah:
H =1
2
(−∇2 + r2)
(4.81)
Sangat nyaman bekerja dalam koordinat katresian dan memperkenalkan operator-
operator kreasi
a†x =1√2
(x− ∂
∂x
)a†y =
1√2
(y − ∂
∂y
)a†z =
1√2
(z − ∂
∂z
)(4.82)
dan adjoin yang berkaitan dengan operator-operator di atas , operator-operator
anihilasi
ax =1√2
(x +
∂
∂x
)ay =
1√2
(y +
∂
∂y
)az =
1√2
(z +
∂
∂z
)(4.83)
sehingga hamiltonian (4.81) menjadi
H =∑
a†iai +3
2(4.84)
yang merupakan contoh bentuk kuadratik hermit . Operator-operator di atas
memenuhi relasi komutasi
[ai, aj] = [a†i , a†j] = 0, [ai, a
†j] = δij (4.85)
[ai, H] = ai [a†i , H] = −a†i (4.86)
Keadaan dasar dari H
|0 >=1
π34
exp
[−1
2(x2 + y2 + z2)
](4.87)
64
memnuhi kondisi
ai|0 >= 0
Keadaan tereksitasi yang berkaitan dengan eksitasi kuanta N = Nx + Ny + Nz
adalah
ψN = (a†x)Nx(a†y)
Ny(a†z)Nz |0 > (4.88)
Degenerasi suatu lebel dengan N kuanta adalah 12(N + 1)(N + 2), yang merep-
resentasikan penjumlahan terhadap degenerasi lipat-(2l + 1) dengan l = N, N −1, N − 2, ..., 1. Maka osilator harmonik memiliki degenerasi yang lebih banyak
daripada yang bisa kita harapkan dari kesimetrian sferis dan ini berasal dari kein-
varianan H terhadap U(3), dan R3 hanyalah subgrup dari U(3). Keinvarianannya
digambarkan melalui relasi komutasi
[a†iaj, H] = 0 (4.89)
yang dapat secara langsung diturunkan dari (4.85) dan (4.86). Maka ada 9
operator-operator
Aij = a†iaj (4.90)
yang kommut dengan H. Mereke merepresentasikan 9 buah generator U(3) dan
relasinya dengan 8 generator SU(3) yang didefinisikan sebelumnya. Operator ke-9
H0 = a†xax + a†yay + a†zaz (4.91)
berkorespon dengan (4.72 ) dan menghasilkan transformasi U(1) yang jelas mengkekalkan
banyaknya kuanta dan juga kommut dengan semua operator lainnya karena H0 =
H − 32. Dalam suku Aij, operator uniter mempunyai bentuk
U = exp
(∑ij
CijA− ij
)(4.92)
dimana parameter Cij harus memenuhi syarat
Cij = −C∗ij (4.93)
yang diperluakn oleh U † = U−1. Maka, dengan mengambil Cij = aij + ibij, kita
peroleh aij = −aji, bij = bji, yaitu 9 parameter-parameter bebas yang diperlukan
oleh U(3). Terhadap U , operator kreasi bertransformasi seperti
(a†i ) = Ua†iU−1 =
∑(exp C)ija
†j =
∑Uija
†j (4.94)
65
dimana matriks C yang diperkenalkan di atas dan u merupakan matriks uniter
yang merupakan salah satu elemen U(3). dalam aplikasinya di dalam fisika nuk-
lir , kombinasi linier dari Aij merupakan opertor tensor iredusibel terhadap ro-
tasi. Alasannya adalah bahwa dalam bentuk ini mereka memiliki arti fisis un-
tuk mendeskripsikan nuklei terdeformasi. Tensor operator L = 0 diberikan oleh
(4.91) dan merepresentasikan operator bilanagn partikel, tensor operator L = 1
berkorespon dengan momentum angular, dan L = 2 berkorespon dengan oper-
ator kuadrupol Qµ(µ = 0,±1,±2). Operator kuadrupol menghasilkan interaksi
kuadrupol-kuadrupol antara nukleon-nukleon.
Dari (4.85), kita dapat perlihatkan bahwa generator Aij memnuhi relasi komutasi
berikut
[Aij, Akl] = ailδjk − Akjδil (4.95)
Keabsahan relasi ini tidak hanya berlaku pada U(3),tetapi juga untuk alajabar
U(n) asalkan definisi Aij diperluas ke osilator harmonik isotropik berdimensi-
n U(n). Keberlakuan dari U(n) ke SU(n) dapat dibuat denagn mendefinisikan
operator-operator:
A′ij = Aij − 1
nδijH0 (4.96)
dimana H0 merupakan generalisasi dari (4.91) ke n dimensi. dari definisi (4.96)
mengimplikasikan bahwan∑
i=0
A′ii = 0 (4.97)
yakni hanya n− 1 dari operator-operator ini yang bebas linier, memberikan total
n2 − 1 buah generator-generator SU(n)
4.5.3 Diagram Bobot untuk representasi fundamental
Diagram beban dapat digunakan untuk memperoleh pelabelan komplit subspace
invrain dari suatu representasi. Kita dapat melabeli suatu irreps baik dengan
bobot tertinggi atau dengan nilai eigen dari operator-operator invarian. Pada
sembarang kasus, kita perlu nilai eigen dari Hi. Sebelum mendefinisikan operator-
operator invarian dari SU(3) da membahsa masalah pelabelan, coba kita latih
dahulu mula-mula dengan menggambar diagram bobot suatu representasi funda-
mental.
Bobot suatu representasi merupakan himpunan nilai-nilai eigen m1,m2, ..., ml
dari Hi. untuk SU(3), l = 2 sehingga, kita dapat gambarkan diagram bidang yang
66
mengandung titik-titik yang merepresentasi nilai-nilai dari sehimpunan (m1,m2).
Alih-alih menggunakan H1 dan H2 kita menggunakan
Y =2√3H1, I3 = H2 (4.98)
Operator-operator ini relevan untuk penggunaan dalam bidang fisika partikel.
Di dalam ruang 3 dimensi representasi fundamental, kita perkenalkan basis-basis
bebas linier
u =
100
d =
010
s =
001
(4.99)
Terminologi yang digunakan terkait dengan kuark-kuark u, d, dan s karena sperti
yang kana kita lihat di bawah , nilai-nilai eigen ini terkait dengan bilangan kuan-
tum kuark. Dengan menggunakan matriks-matriks (4.70) , dengan segera kita
dapat lihat bahwa:
Y u = 13u Y d = 1
3d Y s = −2
3s
I3u = 12u I3d = −1
2d I3s = 0 (4.100)
Pada diagram bobot gambar 4.1 setiap titik merepresentasikan sehimpunan (m1,m2)
nilai-nilai eigen yang berasosiasi dengan basisi vektor tertentu yang didefinisikan
sebelumnya menurut (4.99). Dengan penggunaan lebih lanjut matriks-matriks
(4.70), kita dapati:
d = I−u u = I+d
s = V−u u = V+s
s = U−d d = U+s (4.101)
dan
U−u = I+u = V+u = 0 (4.102)
Relasi-relasi (4.101) menunjukkan bahwa operator-operator tangga memperbolehkan
kita bergeser dari satu titik ke titik lain sehingga dapat menjelajahi seluruh titik-
titik pada diagram. Hal ini valid untuk sembarang diagram. Aksi operator-
operator tangga secar skematik digambarkan pada gambar 4.1.
Relasi-relasi (4.102) menunjukkan bahwa u berkorespon dengan bobot terting-
gi, yang tidak dapat dilampaui titik manapun. Selisih(
12, 1
3
) − (−12, 1
3
)= (1, 0)
dan(
12, 1
3
) − (0,−2
3
)=
(12, 1
)positif, berarti bahwa komponen pertama yang
tak-nol positif, sehingga u memiliki bobot yang lebih tinggi daripada d atau s
67
Gambar 4.1: Diagram Bobot Representasi Fundamental SU(3)
Gambar 4.2: Aksi dari operator tangga pada bidang I3-Y
4.5.4 Pelabelan irreps SU(3)
Untuk lebih jauh mengkonstruksi diagram-diagram bobot untuk representasi pa-
da dimensi yang lebih tinggi pada SU(3), kita melabelnya terlebih dahulu. Hal
68
ini dapat dikerjakan dengan menggunakan operator-operator invarian yang kom-
mut dengan semua generator. Grup SU(3) memiliki 2 operator invarian,yaitu
operator juadratik F 2 dan operator kubik G3 yang masing-masing didefinisikan
sebagai berikut:
F 2 =∑
FiFi = 34Y 2 + I2
3 + 12[I+, I−] + 1
2[U+, U−] + 1
2[V+, V−] (4.103)
G3 = 8∑
dijkFiFjFk (4.104)
Nilai-nilai eigen dari F 2 dan G3 dalam subspace invarian dari suatu irrep menyedi-
akan sehimpunan 3 indeks untuk melabel irreptersebut. Namun demikian, dalam
praktik, biasanya orang menggunakan label alternatif yang diperoleh dengan men-
gasosiasikan Diagram Young dengan suatu irrep. Untuk SU(3), sembarang Dia-
gram Young yang mengandung maksimum 3 baris dan representasi dari partisi
(f1 + s, f2 + s, f3 + s) dengan s = 0, 1, 2, 3, ..., n ekivalen satu sama lain. Ini
berarti bahwa dengan menambahkan sejumlah tertentu kolom-kolom yang terdiri
dari 3 baris masing-masing ke tiap diagram, orang akan peroleh representasi-
representasi ekivalen. Dengan kata lain, cukup untuk menspesifikasi panjang
dari baris pertama dan kedua sebagai berikut
︸ ︷︷ ︸ ︸ ︷︷ ︸yang berarti bahwa hanya 2 label λ = f1 − f2 dan µ = f2 − f3 yang diperlukan.
Maka, notasi untuk suatu irrep adalah (λ, µ). Misalnya, untuk representasi fun-
damental, orang menggunakan
atau (λµ) = (10)
Nilai eigen F 2 atau G3 sama untuk sembarang vektor-vektor subspace invarian
dari suatu irrep. Lebih baik menghitung nilai eigen ini mulai dari vektor bobot
tertinggi φmax. Kita pilih definisi berikut:
I+φmax = V+φmax = U−φmax = 0 (4.105)
Y φmax = 13(λ− µ)φmax (4.106)
I3φmax = 12(λ + µ)φmax (4.107)
Perhatikan bahwa (4.100)dan(4.102) konsisten dengan definisi ini. Mudah me-
nunjukkan bahwa untuk irrep (λµ), persamaan nilai eigen untuk F 2 adalah
F 2max =
1
3(λ2 + µ2 + λµ + 3λ + 3µ)φmax (4.108)
69
namun agak panjang untuk membuktikan bahwa pada akhirnya
G3φmax =1
9(λ− µ)(2λ + µ + 3)(λ + 2µ + 3)φmax (4.109)
Untuk satu dan beberapa hal kedua persamaan di atas hanya akan dipakai tanpa
pembuktian.
Secara umum, pelabelan secara komplit terhadap suatu vektor basis sautu ir-
rep ditunjukkan dengan mempertimbangkan rantai dari subgrup. Di sini, coba
pertimbangkan
SU(3) ⊃ SUI(2)× UY (1) (4.110)
yang disebut rantai kanonik. Grup SU(3) memiliki subgrup SU(2) yang berkore-
spon dengan spin-I, spin-U , dan spin-V berturut-turut. Semua spin ini memenuhi
relasi komutasi SU(2), asalkan kita definisikan
V3 =3
4Y +
1
2I3, U3 =
3
4Y − 1
2I3 (4.111)
Di sini, kita pilih SUI(2) berdasarkan spin-I (atau isospin). Operator-operator
kommutnya terdiri dari I2 dan I3. Generator dari UY (1) adalah operator hy-
percharge Y yang sebanding dengan H1 dari SU(3) sedemikian sehingga mereka
memenuhi relasi komutasi
[I2, I3] = [I2, Y ] = [Y , I3] = 0 (4.112)
Keinvarianan F 2 dan G3 kommut dengan semua generator , maka juga kommut
dengan I2, Y , dan I3. Maka, nilai-nilai eigen tersebut secara simultan mem-
bentuk vektor basis untuk suatu irrep (λµ) dan ini semua dapat dilabeli dengan
sehimpunan (λµ)II3Y . Dengan konstruksi eksplisit, orang juga dapat membuk-
tikan ini semua merupakan set uang komplit. Biasanya kita mulai dari vektor
bobot tertinggi dan dengan menerapkan operator-operator tangga I±, U±, dan
V± dan relasi komutasi antara mereka, kita dapat menjelajahi seluruh subspace
invarian (λµ). Banyaknya fungsi-fungsi bebas yang dihasilkan dari kesimetrian
(λµ) memberikan dimensi dari irrep (λµ) berikut:
dSU(3)(λµ) =
1
2(λ + 1)(µ + 1)(λ + µ + 2) (4.113)
Untuk ilai λ dan µ yang tetap sedemikian sehingga λ > µ. Nilai-nilai yang
mungkin dari Y dan I diperlihatkan pada tabel (4.2)
70
Kita akan lihat aksi eksplisit operator-operator tangga I±, U±, dan V± pada suatu
vektor basis φ(I, I3, Y ), kita peroleh
Y V±φ = (Y ± 1)V±φ
I3V±φ = (I3 ± 1
2)V±φ
yang menunjukkan bahwa V+(V−) menaikkan (menurunkan) Y dengan 1 dan I3
dengan 12. Dengan ringkasan berikut, kita dapatkan
I± : ∆I3 = ±1, ∆Y = 0 ∆I = 0
V± : ∆I3 = ±12, ∆Y = ±1 |∆I| = 1
2(4.114)
U± : ∆I3 = ∓12, ∆Y = ±1 |∆I| = 1
2
Untuk I±, ∆ = 0 berarti bahwa I± memiliki elemen matriks tak-nol hanya dalam
isomultiplet yang sama. Untuk V±, U±, perubahan I dapat diharapkan dari pe-
rubahan ∆I3. Operator-operator ini bekerja antara anggota-anggota isomultiplet
yang berbeda. Aturan (4.114) diilustrasikan pada gambar 4.2 . Formula umum
untuk aksi operator tangga pada vektor basis φ(I, I3, Y ) suatu irrep (λ, µ) adalah:
I±φ(I, I3, Y ) =√
I(I + 1)− I3(I3 ± 1)φ(I, I3 + 1, Y ) (4.115)
V±φ(I, I3, Y ) = a±φ(I + 12, I3 ± 1
2, Y ± 1)b±φ(I − 1
2, I3 ± 1
2, Y ± 1)(4.116)
U±φ(I, I3, Y ) = c±φ(I + 12, I3 ∓ 1
2, Y ± 1) + d±φ(I − 1
2, I3 ∓ 1
2, Y ± 1)(4.117)
dengan
a+ =
((I + I3 + 1)[1
3(λ− µ) + I + 1
2Y + 1][1
3(λ + 2µ) + I + 1
2Y + 2][1
3(2λ + µ)− I − 1
2Y ]
2(I + 1)(2I + 1)
) 12
(4.118)
dan
b+ =
((I − I3)[
13(µ− λ) + I − 1
2Y ][1
3(λ + 2µ)− I + 1
2Y + 1][1
3(2λ + µ) + I − 1
2Y + 1]
2I(2I + 1)
) 12
(4.119)
Koefisien-koefisien lainnya terkait dengan a dan b seperti yang diperlihatkan di
bawah. Malahan koefisien-koefisien a± dan b± merupakan elemen-elemen matriks
V±. Mereka bergantung pada I, I3, dan Y sehingga dapat dituliskan
a±(I, I3, Y ) =< φ(I +1
2, I3 ± 1
2, Y ± 1)|V±|φ(I, I3, Y ) > (4.120)
b±(I, I3, Y ) =< φ(I − 1
2, I3 ± 1
2, Y ± 1)|V±|φ(I, I3, Y ) > (4.121)
71
dan c± dan d± adalah
c± =< φ(I +1
2, I3 ∓ 1
2, Y ± 1)|U±|φ(I, I3, Y ) > (4.122)
d± =< φ(I − 1
2, I3 ∓ 1
2, Y ± 1)|U±|φ(I, I3, Y ) > (4.123)
dapat diperlihatkan pula bahwa
a−(I, I3, Y ) = b+(I + 12, I3 − 1
2, Y − 1) (4.124)
b−(I, I3, Y ) = a+(I − 12, I3 − 1
2, Y − 1) (4.125)
c+(, I3, Y ) = [(I +1
2)(I +
3
2)− (I3 + 12)(I3 − 1
2)]
12 a+(I, I3, Y )
−[I(I + 1)− I3(I3 − 1)]12 a+(I, I3 − 1, Y )
(4.126)
d+(, I3, Y ) = [(I +1
2)(I − 1
2)− (I3 + 12)(I3 − 1
2)]
12 b+(I, I3, Y )
−[I(I + 1)− I3(I3 − 1)]12 b+(I, I3 − 1, Y )
(4.127)
c−(I, I3, Y ) = d+(I + 12, I3 + 1
2, Y − 1) (4.128)
d−(I, I3, Y ) = c+(I − 12, I3 + 1
2, Y − 1) (4.129)
Untuk mendefinisikan secara unik elemen-elemen matriks ini, beberapa kon-
vensi fase relatif harus dibuat. Untuk keadaan-keadaan dalam multiplet yang
sama, biasa digunakan konvensi fase Condon dan Shortley. Fase-fase relatif antara
isomultiplet-isomultiplet yang berbeda didefinisikan dengan persyaratan bahwa
elemen-elemen matriks tak-nol a± dan b± dari operator V± bersifat real dan posi-
tif. Ada juga konvensi fase lain, misalnya konvensi fase Gel’fand-Biedernharn
untuk grup uniter yang mana elemen-elemen matriks generator-generator Ai,i−1
yang didefinisikan menurut (4.90) bersifat positif. Untuk SU(3), hal ini berarti
bahwa elemen-elemen matriks I− dan U− semua positif.
Pada tahap ini kita telah mempunyai semua elemen-elemen untuk mempersem-
bahkan beberapa karakteristik umum diagram bobot untuk SU(3). Mengingat
bahwa setiap irrep memiliki diagramnya sendiri-sendiri. Akibat peran analog
yang dimainkan 3 subaljabar SU(2) yang ekivalen dari SU(3), diagram bobot
boleh memiliki bentuk segitiga (gambar 4.1) atau segienam (gambar 4.3 dan 4.4)
yang diperoleh dari perpotongan garis-garis multiplet I, V, dan U . Tiap vektor
basis suatu subspace invarian berasosiasi dengan suatu titik (I3, Y ) yang terletak
72
Y I
-13(2λ + µ) µ
2
-13(2λ + µ) µ
2− 1
2µ2
+ 12
-13(2λ + µ) + 2 µ
2− 1 µ
2µ2
+ 2
. . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
-13(2λ + µ) + µ 0 1 2 µ
-23(2λ− µ) + 1 1
232
52
µ + 12
-23(2λ + µ) + 2 1 2 µ + 1
. . . . .
. . . . . .
13(λ− µ) λ
2− µ
2. λ
2+ µ
2
13(λ− µ) + 1 λ
2− µ
2+ 1 λ
2+ µ
2− 1
2
. . . . .
. . . . . .
13(λ + 2µ)− 2 λ
2− 1 λ
2λ2
+ 1
13(λ + 2µ)− 1 λ
2− 1
2λ2
+ λ2
13(λ + 2µ) λ
2
Tabel 4.2: Kemungkinan nilai-nilai Y dan I untuk
73
di dalam segienam. Karena I3, V3, dan U3 merupakan operator-operator proyek-
si spin, nilai-nilai eigennya harus 0,±12,±1,±3
2dan seterusnya , dan menurut
(4.111)
Y =2
3(V3 − U3) (4.130)
Oleh karena itu, nilai-nilai eigen dari Y haruslah 0,±13,±2
3, 1 dst, konsisten de-
ngan tabel 4.2. Tiap diagram memiliki 3 sumbu simetri, yang pertama tegak lurus
pada I3, yang kedua tegak lurus pada V3, dan yang terakhir tegak lurus pada U3.
Sekarang kita dapat gambarkan kontur dari diagram bobot yang terkait dengan
suatu irrep (λµ). Pada gambar 4.4 digambarkan untuk kasus λ > µ Mula-mula,
kita gambarkan titik A =(
12(λ + µ), 1
3(λ− µ)
)yang berkorespon dengan φmax
dari (4.105)-(4.107). Menurut gambar 4.2, titik B dapat dicapai dengan menger-
jakan n kali operator U+ pada φmax untuk menghasilkan φB = (U+)nφmax. Garis
AB merupakan multiplet spin-U dengan U = konstanta dan −U ≤ U3 ≤ U .
Ujung-ujungnya A dan B, berkorespon dengan −U = Umax dan U berturut-
turut. Mengambil nilai Ymax = 13(λ − µ) dan (I3)max = 1
2(λ + µ) pada (4.111),
kita dapatkan
Umax =3
4Ymax − 1
2(I3)max = −1
2µ, Vmax =
λ
2(4.131)
yaitu titik A memiliki U = µ2
dan pada garis AB terdapat 2U + 1 = µ + 1
buah titik. Maka, untuk mencapai B dari A, kita perlu menerapkan U+ pada φmax
sebanyak n = µ kali. Dengan menggunakan relasi komutasi [I3, U+] = −12U+ dan
[Y , U+] = U+, µ kali, kita dapati
I3φB =[(I3)max − µ
2
]φB = λ
2φB
Y φB = [Ymax − µ]φB = 13(λ + 2µ)φB (4.132)
dimana φB ∼ (U+)µφmax. Dengan cara yang mirip, kita dapat bahas garis
AF yang merupakan multiplet V . Dari (4.131), kita dapat lihat bahwa φF ∼(V−)λφmax dan bahwa
I3φF =[(I3)max − λ
2
]φF = µ
2φF
Y φF = [Ymax − λ]φF = −13(2λ + µ)φF (4.133)
Titik C dicapai dari B dengan mengerjakan I− pada φB sebanyak λ kali dan E
dicapai dari F dengan mengerjakan I− pada φF sebanyak µ kali. Titik D dapat
diperoleh dari A dengan mengerjakan I− pada φmax sebanyak λ + µ kali. Juga
74
Gambar 4.3: Diagram Bobot Tipikal suatu representasi SU(3) dengan λ = 6 danµ = 2
untuk tiap titik pada garis AB atau AF, terdapat multiplet spin-I yang berujung
pada CD dan DE, berturut-turut. Dari setiap titik pada ABC, kita dapat mem-
bangun multiplet spin-V yang berujung pada DEF dan juga pada tiap titik pada
AFE, multiplet spin-U yang berujung pada BCD. Dengan cara ini, mulai dari
titik A, kita dapat membuat suatu lattice seperti pada gambar 4.3 dimana tiap
vektor basis dalam subspace invarian dari irrep (λµ) direpresentasikan dengan
sebuah titik. Sebaliknya, titik-titik di dalam segienam tidak selalu berkorespon
dengan vektor basis tunggal. Maka, titik dalam memiliki multiplisitas yang tidak
sama dengan 1.
Coba kita ilustrasikan masalah multiplisitas pada diagram pada gambar 4.3. Pa-
da konturnya (segi enam terbesar),hanya terdapat satu vektor basis yang berko-
respon dengan suatu titik tertentu. Di sebelah dalam kontur, pada segienam
pertama tiap titik berkorespon dengan 2 vektor. Pada segienam kedua , terdapat
korespondensi titik-titik dengan 3 vektor, dan seterusnya. Setelah itu, segienam
menjadi suatu segitiga dan dari keadaan itu pada banyaknya vektor bebas saling
75
Gambar 4.4: Kontur dari suatu diagram bobot
bebas pada tiap titik tetap sama. Secara umum, untuk kasus dimana λ > µ ter-
dapat µ buah segienam sehingga multiplisitas titik-titik pada sembarang segitiga
adalah µ + 1. Sebuah kasus yang menarik adalah representasi dengan λ = 1
karena representasi ini digunakan dalam klaskifikasi Hadron. Diagram bobotnya
digambarkan pada gambar 4.5
4.5.5 Representasi Kompleks Konjugat
Pada subbab (3.9) telah dibahas mengenai notasi-notasi representasi kontradin-
gen dan kompleks konjugat. Untuk representasi uniter, keduanya bersifat real.
Karena SU(n) merupakan grup kompak,semua representasi-representasinya bersi-
fat uniter atau ekivalen terhadap representasi uniter, sehingga orang biasanya
cukup mengacu pada representasi kompleks konjugat D∗ saja. Walaupun memi-
liki dimensi yang sama, secara umum D dan D∗ tidak ekivalen. Jika diagram
76
Gambar 4.5: Diagram Bobot Tipikal SU(3) untuk (λµ)=(11) λ = 6. Diagrambobot memiliki multiplisitas 2 yang ditandai titik yang dilingkari
Young mereka berbeda, ini berarti bahwa mereka tidak ekivalen karena terdapat
korespondensi satu-satu antara sautu representasi dengan diagram Young.
Suatu kasus penting, dengan implikasi fisis, adalah representasi kompleks kon-
jugat dari representasi fundamental. Seperti pada SU(2) yang telah dibahas
sebelumnya, representasi kompleks konjugat berasosiasi dengan antipartikel dari
suatu partikel yang telah dideskripsikan dengan representasi fundamental. Dalam
model kulit inti, representasi ini mendeskripsikan suatu hole di dalam kulit ter-
tutup. Representasi fundamental memiliki partisi [f1] = [1]. Maka, menurut
aturan di atas, representasi kompleks konjugat memiliki partisi [1n−1]. Selanjut-
nya, keadaan-keadaan dasar 4.99 yang merepresentasikan kuark-kuark u, d, dan
s membentuk bentangan irrep dari SU(3). Maka, keadaan-keadaan antikuark
u, d, dan s membentuk bentangan irrep . Di dalam basis yang terbentuk oleh
keadaan-keadaan kuark u, d, s, dan c, orang biasanya akan memperkenalkan rep-
resentasi fundamental dari SU(4). Maka, keadaan-keadaan antikuark u, d, s, dan
c akan membentang lagi dan membentuk representasi dari SU(4) dan seterus-
77
nya.
Kaitan antara representasi kompleks konjugat dan antipartikel dapat juga di-
mengerti dengan mempertimbangkan operator uniter yang berkorespon dengan
representasi tersebut. Misalnya, untuk SU(3), kita dapati bahwa
S∗ = e−iθiFi∗
(4.134)
yang merupakan kompleks konjugat dari (4.80). Maka, −F ∗i = −F T
i meru-
pakan generator-generator dari representasi antipartikel. Di sini, F3 = H2 dan
F8 = H1 bersifat real dan terkait dengan ˆI − 3 dan Y melalui (4.98). Maka, kom-
pleks konjugasi berfungsi untuk mengubah tanda I3 dan Y melalui persamaan
(4.134) seperti yang diperoleh dari Gell-Mann–Nishijima yang akan dibahas nan-
ti. Bilangan-bilangan kuantum ini merepresentasikan antipartikel. Lebih jauh
lagi, melalui definisi yang diberikan pada tabel 4.2 , kompleks konjugasi mem-
pertukarkan peran dari operator-operator penaikan dan penurunan I±, U± dan
V±. Dalam diagram bobot, hal ini mengacu pada refleksi baik terhadap sumbu I3
dan Y . Misalnya, representasi fundamental SU(3) dideskripsikan dengan diagram
gambar 4.1, dimana tiap titik dapat diasosiasikan dengan suatu kuark. Maka,
diagram bobot dari representasi kompleks konjugat harus muncul seperti pada
gambar 4.6, dimana tiap titik berasosiasi dengan suatu antikuark.
Maka, refleksi terhadap kedua sumbu pada diagram bobot menghasilkan diagram
bobot representasi kompleks konjugat. Pada sisi lain, untuk suatu representasi
(λµ) SU(3), kita peroleh bahwa λ = f1 − f2, µ = f2 − f3, sehingga secara defin-
isi, representasi kompleks konjugat harus mempunyai f ′1 = f1 − f3 = λ + µ dan
f ′2 = f1 − f2 = λ. Dalam diagram young, ini berarti
(λµ)∗ =
∗
= = (µλ) (4.135)
Formula(4.113)untuk dimensi dari suatu irrep SU(3) simetrik terhadap λ dan µ
dan memberikan nilai yang sama untuk (λµ)∗ dan (λµ).
Maka jika, alih-alih (λµ), kita gunakan dimensi (d) sebagai suatu label, repre-
sentasi komleks konjugatnya dilabeli dengan d(atau d∗). Misalnya, representasi
dundamental terkadang dilabeli dengan 3 dan kompleks konjugatnya dengan 3.
Dengan notasi ini, orang dapat menulis perkalian langsung
3× 3 = 3× 3 = 8 + 1 (4.136)
yang akan digunakan dalam klaksifikasi meson pada subbab nanti.
78
Gambar 4.6: Diagram Bobot Tipikal suatu representasi kompleks konjugat 3SU(3)
4.5.6 Klaksifikasi Hadron
Hadron merupakan partikel-partikel yang berinteraksi kuat dan terdiri dari 2
kategori:
1. Baryon
memiliki spin 12
dan kelipatan ganjilnya dan secara struktur terdiri dari
3 buah kuark . Keadaan dasar Baryon memiliki massa yang lebih dari
meson. Terdapat 8 baryon yang disebut sebagai oktet SU(3) yang pertama
kali diidentifikasi oleh Gell-Mann dan Nee’man yang membawa teori jalan
lipat-8 (eight-fold way)
2. Meson
memiliki spin bilangan bulat dan terdiri dari kuark dan antikuark. Lebih
banyak tentang meson akan dibahas pada subbab berikut.
Pengklaksifikasian dan pengelompokan dapat dibuat dalam beberapa isomulti-
plet, dan beberapa isomultiplet membentuk multilet SU(3). Pada tabel (4.3)
79
terdaftar beberapa baryon bermassa rendah dan beberapa sifat pentingnya. Jalan
lipat-8 merupakan teori yang dikembangkan Gell-Mann dan Nee’man yang meru-
pakan langkah penting dalam klaksifikasi partikel elementer. Pada saat itu, se-
buah triplet medan baryon diperkenalkansebagai alat bantu matematis untuk
pengkonstruksian representasi-representasi oktet dan dekuplet dari SU(3).
Gell-mann memprediksikan partikel-partikel hipotetis yang terdiri dari 3 macam,
yaitu kuark u, d, dan s yang bertransformasi menurut representasi fundamen-
tal SU(3) dan memiliki spin 12. Baryon dideskripsikan sebagai keadaan 3-kuark.
Anggap kuark u, d, dan s sebagai keadaan-keadaan kuantum yang berbeda yang
disebut flavor. Mereka membentuk basis untuk representasi fundamental λµ =
(10) SUF (3). Keadaan 3 kuark ini diperoleh dari perkalian langsung
× × =
+
×
=
+
+
+
(4.137)
yang menghasilkan representasi SU(3) non ekivalen. Mereka dapat diidentifikasi
baik dengan label (λµ) yang sama dengan (30),(11), atau (00), ataupun dengan
dimensi yang dapat dihitung dari formula(4.113)
Irrep (11) muncul dengan multiplisitas 2 dan 8 partikel pertama pada tabel
(4.3)dengan Jπ = 12
+terkait dengan representasi 2 oktet. Melalui grup per-
mutasi S3, dapat kita pahami bahwa masing-masing partikel ini harus dapat
dideskripsikan oleh 2 tipe keadaan yaitu ψρ dan ψλ dan inilah sebabnya menga-
pa 2 representasi oktet muncul di (4.137). Masing-masing dari delapan partikel
tersebut berkorespon dengan vektor basis (λµ)=(11) SU(3), sehingga tiap par-
tikel elementer dengan Jπ = 12
+kita dapat asosiasikan sebuah titik pada diagram
bobot pada gambar 4.5. Hal ini diplot pada gambar 4.7a. Pada gambar 4.7b,
kita perlihatkan diagram bobot untuk representasi (λµ)=(30) berdimensi 10, di-
mana tiap titik merepresentasikan satu dari 10 partikel dengan Jπ = 32
+dari
tabel (4.3). Pada waktu klaksifikasi ini diusulkan , kecuali partikel Ω−, semua
partikel telah ditemukan. Selain baryon pada gambar 4.7 terdapat pula suatu
barion dengan citarasa singlet yang terkait dengan representasi (00). ini adalah
partikel Λ dengan Jπ = 12
−. Partikel ini memiliki paritas negatif yang dapat di-
80
mengerti dalam model kuark sebagai keadaan tereksitasi L = 1, sementara oktet
dan dekuplet baryon pada gambar 4.7 berada pada keadaan dasar L = 0
Dalam model kwark nonrelativistik baryon dengan Jπ = 32
+kecuali Ω− juga
terlihat sebagai keadaan-keadaan tereksitasi dari barion keadaan dasar. Perbe-
daan massa diantaranya dijelaskan melalui interaksi color hyperfine yang bekerja
antar kuark. Kuark merupakan fermion dengan spin 12
sehingga 3 kuark dapat
bergabung menjadi berspin S = 12
atau 32
Setiap garis horizontal pada gambar 4.7 merepresentasikan suatu isomultiplet
dan setiap isomultiplet memiliki memiliki hypercharge tertentu. Ide mengenai
hypercharge Y diperkenalkan oleh Gell-Mann dan Nakano dan Nishijima untuk
mendeskripsikan fenomena yang belum terjawab seperti produksi pasangan me-
son K dan kemudian diterima sebagai suatu konsep. Hubungan antaranya adalah
Q = I3 +Y
2(4.138)
. Ada juga bilangan strangeness S yang berhubungan melalui
S = Y −B (4.139)
dimana B adalah bilangan baryon. Proton, neutron dan partikel ∆ tidak
bersifat non-strange, sedangkan Σ, Λ, Ξ, Ω bersifat strange.
Eksperimen menunjukkan bahwa bilangan baryon akan kekal dalam setiap reaksi.
Sekarang dalam GUT (Grand Unified Theory), diharapkan bilangan baryon di-
langgar melalui interaksi lemah, sehingga proton bersifat tak stabil. Namun, sam-
pai saat ini peluruhan proton belum pernah teramati secara eksperimen. Muatan
juga kekal dalam tiap proses. Dari 2 persamaan terakhir di atas, bahwa setiap
interaksi yang mengkekalkan I3 juga akan mengkekalkan Y dan S karena Q adn
B selalu kekal. Interaksi-interaksi kuat dan elektromagnet mengkekalkan S(atau
Y ) namun interaksi lemah tidak. Konsekuensinya adalah partikel strange dapat
meluruh menjadi partikel non-strange hanya melalui peluruhan interaksi lemah.
Menarik diperhatikan bahwa multiplet spin-U , muatan bersifat konstan. Hal ini
dapat dimengerti melalui (4.117) yang menunjukkan bahwa U+(U−) menurunkan
(menaikkan) I3 sebanyak 12
dan menaikkan (menurunkan) Y sebanyak 1.
Pada tiap multiplet baryon SU(3) terdapat korespondensi suatu multiplet bary-
on yang berbeda. Diagram bobot dari suatu multiplet antibaryondapat diperoleh
dari pengubahan tanda Y → −Y dan I3 → −I3 dan dengan refleksi pada sumbu
Y dan I3. Jika kesimetrian SUF (3) eksak, maka semua partikel dalam multiplet
SUF (3) akan memiliki massa yang sama.
81
Partikel Massa(MeV)
JP I I3 Y waktuhidup (s)
Modus pelu-ruhan utama
p 938.27 12
+ 12
12
1 > 1.6 ×1025 tahun
-
n 939.57 12
+ 12
−12
1 889 pe−νe(100%)
Λ 1115.6 12
+0 0 0 2.6× 10−10 pπ−(64.1%), nπ0(35.7%)
Σ+ 1184.4 12
+1 1 0 0.8× 10−10 pπ0(51.6%), nπ0(48.3%)
Σ0 1192.5 12
+1 0 0 7.4× 10−20 Λγ(100%)
Σ− 1197.4 12
+1 -1 0 1.5× 10−10 nπ−(99.85%)
Ξ0 1314.9 12
+ 12
12
-1 2.9× 10−10 Λπ0(100%)
Ξ− 1321.3 12
+ 12
−12
-1 1.6× 10−10 Λπ−(100%)
∆++ 1232 32
+ 32
32
1 5.5× 10−24 pπ+(99.4%)
∆+ 1232 32
+ 32
12
1 5.5× 10−24 pπ0, nπ+(99.4%)
∆0 1232 32
+ 32
−12
1 5.5× 10−24 pΛπ−, nπ0(99.4%)
∆− 1232 32
+ 32
−32
1 5.5× 10−24 nΛπ−(99.4%)
Σ+∗ 1382.8 32
+1 1 0 1.8× 10−23 Λπ(88%), Σπ(12%)
Σ0∗ 1383.7 32
+1 0 0 1.8× 10−23 Λπ(88%), Σπ(12%)
Σ−∗ 1387.2 32
+1 -1 0 1.8× 10−23 Λπ(88%), Σπ(12%)
Ξ0∗ 1531.8 32
+ 12
12
-1 6.9× 10−23 Ξπ(100%)
Ξ−∗ 1535.0 32
+ 12
−12
-1 6.9× 10−23 Ξπ(100%)
Ω− 1672.4 32
+0 0 -2 0.8× 10−10 ΛK−(67.8%), Ξπ(32.2%)
Λ(1405) 1407 12
−0 0 0 1.3× 10−23 Σπ(100%)
Tabel 4.3: Karakteristik baryon-baryon bermassa rendah
82
Gambar 4.7: (a)Oktet Baryon (Jπ = 12
+). (b) Dekuplet Baryon (Jπ = 3
2
+)
4.5.7 Klaksifikasi Meson
Meson juga terklaksifikasi dalam multiplet SU(3) menurut struktur kuarknya.
Dalam model kuark, meson dideskripsikan sebagai keadaan yang mentransfor-
83
masikan pasangan kuark-antikuark menurut transformasi SU(3). Perkalian lang-
sung suatu kuark q dan antikuark q memberikan
× = × = × (4.140)
Untuk SU(3), hal ini ekivalen dengan (4160). Maka, kita boleh harapkan me-
son menjadi anggota dari oktet SU(3) ataupun suatu keadaan singlet. Diagram
bobotnya digambarkan pada gambar 4.8.
Dari diagram bobot meson-meson pseudoskalar pada gambar 4.8, diagram bobot
kuark pada gambar 4.2 , dan diagram bobot antikuark pada gambar 4.6, kita da-
pat membaca isi kuark dari meson karena Y dan I3 merupakan bilangan kuantum
yang bersifat aditif. Dengan langsung, kita dapatkan
π+ ∼ θδ, π− ∼ δθ (I = +) (4.141)
K+ ∼ us, K− ∼ su (I = 12) (4.142)
K0 ∼ ds, K0 ∼ sd (I = 12) (4.143)
π0 ∼ 12(dd− uu) (4.144)
Meson η01 merupakan flavor singlet, sehingga harus berkorespon dengan sklar
SUF (3)
η01 ∼ |(00)I = 0, I3 = 0, Y = 0 >=
1√3
3∑i=1
|qi > |qi >=1√3(uu+dd+ss) (4.145)
Dengan relasi ortogonalitas, kitapun dapatkan
η08 ∼ |(11)I = 0, I3 = 0, Y = 0 >=
1√6(uu + dd− 2ss) (4.146)
Meson pseudoskalar dan meson vektor yang ringan dan ditemukan di alam
diberikan pada tabel 4.4. Selain bilangan kuantum yang sama dengan baryon,
ada juga bilangan kuantum khusus untuk meson yaitu paritas-G dan konjugasi
muatan C
Untuk baryon yang berada pada keadaan dasar, misalnya anggota oktet dan
dekuplet, paritas relatifnya P = 1. Meson tersusun atas suatu partikel dan
antipartikel, dan oleh karenanya memiliki paritas relatif P = −1. Jika tereksitasi
pada suatu keadaan yang proporsional dengan Ylm, maka terhadap inversi ruang
Ylm → (−1)lYlm, sehingga paritas totalnya
P = (−1)l+1 (4.147)
84
Gambar 4.8: (a)Meson pseudoskalar JP = 0−.(b) Meson vektor JP = 1−
Medan kuark berperilaku seperti medan Dirac yang mana konjugasi muatan C
mempertukarkan partikel dan antipartikel. Tanda(-1) muncul karena statistik
Fermi, fase (−1)l muncul dari Ylm, dan bagian spin(−1)s+1 bersama-sama mem-
bentuk
C + (−1)1(−1)l(−1)s+1 = (−1)l+s (4.148)
Meson Pseudoskalar mempunyai l = 0 dan s = 9, maka paritasnya −1 dan it-
ulah sebabnya mengapa mereka disebut pseudoskalar. Meson pseudoskalar non-
strange (strangeness=0) mempunyai JPC = 0−+. Meson vektor mempunyai
l = 0 adn s = 1 sedangkan meson non-strange mempunyai JPC = 1−−. Dengan
mengkopling l 6= 0 dengan s, kita bisa dapatkan kombinasi lain dari JP . Secara
umum ada beberapa tipe multiplet SU(3). Misalnya untuk l = 1 atau 0, kita
dapati
85
Meson pseudoskalar l = 0 s = 0 JP = 0−
Meson vektor l = 0 s = 0 JP = 0−
Meson skalar l = 1 s = 1 jP = 0+
Meson aksial vektor l = 1 s = 1 JP = 1+
Meson tensor l = 1 s = 1 JP = 2+
Daftar di atas dapat diteruskan dengan mengambil l = 2 dan seterusnya. Karena
kesulitan pengukuran massa dan lebar, multiplet dengan l = 1 atau lebih biasanya
sulit dan tidak lengkap.
Kontras dengan baryon, pada meson, partikel dan antipartikel tergabung dalam
multiplet yang sama. Untuk meson, partikel dan antipartikel memilii paritas
yang sama, oleh karenanya bisa berada pada multiplet yang sama. Transformasi
partikel-antipartikel berarti S → −S, I3 → −I3. Maka, pasangan meson dan
antimeson terdiri dari π+, π−, K+, K−, K0, K0, ρ+, ρ−, dan seterusnya. Empat
kaon yang strange membentuk 2 doblet isospin yang terkait dengan
G
(K+
K0
)= −
(K0
−K−
)atau G
(K0+−K−
)= −
(K+
K0
)(4.149)
4.5.8 Formula massa Gell-Mann – Okubo
Eksperimen menunjukkan bahwa baik pada baryon dan meson terjadi pemeca-
han(splitting) massa antara multiplet-multiplet isospin yang berbeda dalam mul-
tiplet SU(3) tertentu. Maka, kesimetrian SUF (3) tidaklah eksak. Kita perlu
mengerti bagaimana kesimetrian ini pecah.
Pada pembahasan di bawah ini, kita mengabaiakn spliting yang sangat kecil
dalam suatu isomultiplet akibat pecahnya kesimetrian isospin dan mengambil
massa rerata untuk tiap I. Misalnya
p, n → mN = 939MeV
Λ → mΛ = 1116MeV
Σ+, Σ0, Σ− → mΣ = 1193MeV
Ξ0, Ξ− → mΞ = 1318MeV (4.150)
yang memberikan splitting massa kira-kira dalam orde 10% cukup jauh lebih be-
sar dibandingkan pecahnya simetri isospin dalam orde 1%
86
Gambar 4.9: Plot Chew-Frautschi dari keadaan-keadaan qq yang menunjukkanmomentum sudut orbital, L terhadap kuadrat massa
hadron merupakan eigenstate dari Hamiltonian interaksi kuat Hstrong. Klaksi-
fikasi yang berbasiskan keinvarianan SUF (3) bertumpu pada 2 asumsi utama.
Pertama: gatya kuat tidak bergantung citarasa, dan massa kuark u, d, dan s
sama.
Dalam QCD, teori interaksi kuat, gluon yang merupakan partikel pembawa gaya,
tidak membedakan kuark dengan citarasa yang berbeda. Dari analisis spektra
massa , kita dapat menyimpulkan asumsi yang kedua di atas tidaklah benar dan
harus dimodifikasi dengan mengambil
mu∼= md, ms > mu (4.151)
Maka, nilai ekspektasi dari Hstrong dalam ruang 3 dimensi memiliki nilai
< Hstrong > =
mu 0 00 md 00 0 ms
= 2mu+ms
3
1 0 00 1 00 0 1
+ mu−ms
3
1 0 00 1 00 0 −2
= 2mu+ms
31 + mu−ms√
3λ8 (4.152)
87
Hal ini berarti bahwa < Hstrong > dapat displit menjadi 2 suku
< Hstrong >= H0 + H8 (4.153)
dimana H0 ∼ 1 merupakan invarian SU(3) dan H8 merupakan suatu suku pec-
ahnya kesimetrian (symmetry breaking) dengan sifat transformasi yang spesifik
terhadap SUF (3) yang dibawa oleh λ8, yang merupakan anggota dari suatu oktet.
Untuk kelengkapan, suku λ8 harus ditambah dengan sifat analog lainnya. Bentuk
yang paling umum adalah
H8 = xF8 + yd8abFaFb (4.154)
dimana x dan y merupakan parameter yang tetap, Fi merupakan generator-
generator SU(3). Sedangkan d8abFaFb dapat dituliskan
d8abFaFb = 1√3
(F1
2+ F2
2+ F3
2)−
√3
6
(F4
2+ F5
2+ F6
2+ F7
2)− 1√
3F8
2
=√
32
(F1
2+ F2
2+ F3
2)−
√3
6
(F8
2)−
√3
6F 2
=√
32
(I2 − 1
4Y 2 − 1
3F 2
)(4.155)
yang memang merupakan invarian isospin adn hypercharge. Suku terakhir men-
gandung operator casimir yang merupakan SU(3)invarian. Untuk baryon B de-
ngan Y danI tertentu yang merupakan multiplet (λµ), teori perturbasi orde satu
menghasilkan
mB =< B|Hstrong|B >= m0 + δm1Y + δm2
[I(I + 1)− 1
4Y 2
](4.156)
Persamaan terakhir merupakan rumus massa Gell-Mann–Okubo.
Untuk Oktet Baryon, dimana 4 reaksi dalam persamaan (4.150) dapat difit-kan,
kita bisa mengeliminasi 3 parameter dan memperoleh relasi linier antar massa:
1
2(mN + mΞ) =
1
4(3mλ + mΣ) (4.157)
Untuk dekuplet, rumus massa Gell-Mann–Okubo dan dibawa ke dalam bentuk
yang lebih sederhana
mB = m0 + δm1Y (4.158)
yang mencerminkan pemisahan yang hampir sama antar massa isomultiplet
mΩ −mΞ∗∼= 138 MeV
mΞ∗ −mΣ∗∼= 149 MeV
mΣ∗ −m∆∼= 152 MeV
88
Pada waktu Dell-Mann dan Nee’Man mengusulkan klaksifikasi SU(3), partikel
Ω− belum ditemukan. Keberadaannya baru diprediksi karena dalam dekuplet
terdapat tempat kosong dan massanya terprediksi beberapa MeV dari (4.158)
Untuk splitting massa meson, kita dapat menggunkan Hamiltonian yang sama
Hstrong, namun tidak lagi diagonal dalam ruang keadaan meson vektor dan pseu-
doskalar karena H8 merupakan oktet, mengizinkan kopling antara keadaan-keadaan
oktet dan singlet, misalnya antara (4.145) dan (4.146).Juga pada persamaan
(4.154), kita harus menset x = 0, alasannya terkait dengan fakta bahwa meson
dan antimeson merupakan multiplet yang sama. Maka, menurut teori CPT , par-
tikel dan antipartikel memiliki massa yang sama, namun memeiliki hypercharge
yang berlawanan tanda, sehingga suku linier dalam Y tidak boleh muncul dalam
Hstrong. Pada sektor pseudoskalar, misalnya, elemen-elemen matriks diagonal
Hstrong adalah
< η1|Hstrong|η1 >=< η1|H0|η1 >= m1 (4.159)
< M8|Hstrong|M8 >=< M8|H0 + H8|M8 >=
m8 + δm
[I(I + 1)−
√Y
4
](4.160)
dimana M8 = π, K, η8. Oleh karena itu
m8 + 2δm = mπ
m8 + 12δm = mK
yang memberikan
m8 =1
3(4mK −mπ) δm =
2
3(mπ −mK) (4.161)
Dengan mπ = 138 MeV dan mK = 496 MeV, kita dapatkan
m8 = 615.3 MeV, δm = −238.7 MeV (4.162)
Sku H8 mengizinkan kopling antar keadaan dengan I dan Y yang sama tapi
tidak antar isomultiplet yang berbeda. Maka, dalam ruang nonet meson matriks
Hstrong bersifat diagonal kecuali untuk subspace yang terbentuk oleh η1 dan η8,
dimana kita dapat selesaikan masalah nilai eigen
(m8 < η8|H8|η8 >
< η8|H8|η8 > m1
)(c1
c2
)= λ
(c1
c2
)(4.163)
89
dengan c21 + c2
2 = 1, maka eigenstatenya dapat dituliskan sebagai:
|η >= cosθp|η8 > +sinθp|η1 >
|η′ >= −sinθp|η8 > +cosθp|η1 > (4.164)
dengan θp ditemukan dalam eksperimen jika λ teridentifikasi dalam partikel fisis
η dan η′
meson merupakan partikel boson yang memenuhi persamaan Klein-Gordon. Ji-
ka perlakuan di atas diterapkan pada kuadrat massa, akan menghasilkan sudut
mixing θ ∼= −11o. Berdasarkan analogi dengan meson vektor
|ω >= cosθV |ω8 > +sinθV |ω1 >
|φ >= −sinθV |ω8 > +cosθV |ω1 > (4.165)
Ternyata sudut yang diperlukan menurut eksperimen adalah θV∼= arctan
(1√2
)
yang menghantarkan ke suatu mixing yang ideal dimana hanya φ yang mengan-
dung kuark strange
ω ∼ 1√2(uu + dd)
φ ∼ ss (4.166)
4.6 Grup di atas SU(3)
Dalam pembahasan ini, kita akan gunakan argumen yang bergantung pada di-
mensi irrep suatu SU(n) yang diberikan oleh
dSU(n)[f ] = Πn
i<j
fi − fj + j − i
j − i(4.167)
Untuk pemakaian praktisnya diberikan pada tabel 4.5 untuk beberapa diagram
Young sampai dengan 6 kotak
4.6.1 Kuark dengan citarasa dan spin
Dalam pembahasan sebelumnya, kita mempertimbangkan derajat kebebasan citarasa
dengan 3 citarasa yang berbeda u, d, dan s, dan transformasi SU(3) dalam ru-
ang ini. Kuark merupakan fermion berspin 12
sehingga SU(2) diperlukan untuk
dalam ruang spin. Namun, orang biasanya dapat pula memilih keadaan-keadaan
berikut sebagai basis
u ↑, u ↓, d ↑, d ↓, s ↑, s ↓
90
SU(3) SU(4) SU(5) SU(6) SU(7) SU(8) SU(9) SU(10) SU(11) SU(12)
[1] 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12[2] 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78[12] 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66[3] 10 20 35 56 84 120 165 220 286 364[21] 8 20 40 70 112 168 240 330 440 572[13] 1 4 10 20 35 56 84 120 165 220[4] 15 35 70 126 210 330 495 715 1001 1365[31] 15 45 105 210 378 630 990 1485 2145 3003[22] 6 20 50 105 196 336 540 825 1210 1716[212] 3 15 45 105 210 378 630 990 1485 2145[14] * 1 5 15 35 70 126 210 330 495[5] 21 56 126 252 462 792 1287 2002 3003 4368[41] 24 84 224 504 1008 1848 3168 5148 8008 12012[32] 15 60 175 420 882 1680 2970 4950 7865 12012[312] 6 36 126 336 756 1512 2772 4752 7722 12012[221] 3 20 75 210 490 1008 1890 3300 5445 8580[213] * 4 24 84 224 504 1008 1848 3168 5148[15] * * 1 6 21 56 126 252 462 792[6] 28 84 210 462 924 1716 3003 5005 8008 12376[51] 35 140 420 1050 2310 4620 8580 15015 25025 40040[42] 27 126 420 1134 2646 5544 10692 19305 33033 54054[412] 10 70 280 840 2100 4620 9240 17160 30030 50050[32] 10 50 175 490 1176 2520 4950 9075 15730 26026[321] 8 64 280 896 2352 5376 11088 21120 37752 64064[313] * 10 70 280 840 2100 4620 9240 17160 30030[23] 1 10 50 175 490 1176 2520 4950 9075 15730[2212] * 6 45 189 588 1512 3402 6930 13068 23166[214] * * 5 35 140 420 1050 2310 4620 8580[16] * * * 1 7 28 84 210 462 924
Tabel 4.4: Dimensi dari irreps SU(N). Partisi yang dilarang ditandai dengan *
91
yang dapat membentuk ruang invarian untuk U(6). Jika kita pisahkan transfor-
masi U(1) yang berkaitan dengan kekalan bilangan partikel, tersisa transformasi
SU(6) dan menggunakan rantai
SU(6) ⊃ SUF (3)× SU)S(2)
Dengan kata lain dengan mempertimbangkan transformasi-transformasi dari sub-
grup SU(3)× SU(2) ,irreps dari SU(6) redusibel ke daalm penjumlahan produk
irreps SU(3) dan SU(2). Pada kasus 3 kuark (Baryon), irreps SU(6) yang ada
berasal dari hasil perkalian langsung
× × = + 2 + (4.168)
Suatu cara untuk memperoleh isi SU(3) × SU(2) dari representasi ini adalah
dengan menggunakan perkalian dalam karena semua representasi ini merupakan
anggota S3 karena kita berurusan dengan 3 partikel. Jawabannya adalah:
= × + × (4.169)
= × + = ×
+ × + ×
(4.170)
= × + × (4.171)
Relasi-relasi ini memiliki suku-suku tambahan yang diperbolehkan menurut rep-
resentasi SU(3). Mengingat bahwa diagram dengan maksimum n baris diper-
bolehkan untuk SU(n). Dalam aplikasinya, orang biasanya menuliskan perkalian
di atas dengan notasi berikut
56 = 28 +4 10
70 = 48 +2 10 +2 8 +2 1
20 = 41 +2 8 (4.172)
Jika hamiltonian kuark yang terpilih memperlihatkan kesimetrian SU(6), maka
keadaan-keadaan pada irrep SU(6) akan menghasilkan degenerasi. Misalnya, pa-
da 56, 28 dan 410 akan saling berdegenerasi. Malahan, kesimetrian SU(6) pecah
92
dalam SUF (3) oleh massa kuark yang berbeda, dan dalam SU(2) oleh gaya antar
kuark yang memiliki suku tensor bergantung spin. Gaya antar spin menjelaskan
perbedaan massa dalam nukleon dan partikel ∆. Maka pecahnya simetri SU(6)
memperbolehkan pencampuran multiplet 56,70,dan 20.
Untuk meson, yang dideskripsikan sebagai sistem qq, perkalian langsung SU(6)
yang terkait dengannya adalah
× = + (4.173)
Dekomposisi dari 35 atau 1 ke dalam representasi SU(3) × SU(2) dapat diper-
oleh denganmenggunakan argumen dimensi. Kuark merupakan fermion berspin 12
sehingga kita bisa peroleh S = 0 atau S = 1 untuk pasangan qq. Dan hasilnya da-
pat dikombinasikan dengan irrreps SU(3) yang dihasilkan dari persamaan (4.136),
sehingga dapat kita peroleh 11,1 8,3 1, dan 38 dimana indeks di atas berarti 2S +1
untuk baryon. Sehingga dekomposisinya menjadi
1 = 11
35 = 18 +3 1 +3 8 (4.174)
Multiplet SU(6) seperti persamaan (4.172) dan (4.174) terkadang disebut super-
multiplet dan dapat digunakan dalam studi spektrum massa.
93
Daftar Acuan
[1] Fl. Stancu, Group Theory in Subnuclear Physics, 1995.
[2] Morton Hammermesh, Group Theory and its Application To Physical Prob-
lems, 1962
[3] Stephen Gasiorowicz, Quantum Physics, 1998
[4] F.E Close, An Introduction to Quarks and Partons, 1979
94