1

Konkrete forløb - Innovation i og med matematik i stx og hf

Indhold

Forløb om LED i matematik og fysik ...................................................................................................................................... 3

Overordnet om forløbet ......................................................................................................................................................... 3

Faglige mål og innovative kompetencer .......................................................................................................................... 3

Forløbets længde og processen ........................................................................................................................................... 3

Kort præsentation af elevernes projekter samt en elevbesvarelse ..................................................................... 4

Evaluering .................................................................................................................................................................................... 4

Moduloversigt............................................................................................................................................................................. 5

Elevevaluering LED forløb .................................................................................................................................................... 5

Kundeundersøgelse for Bilka .................................................................................................................................................... 6

Abstract: ........................................................................................................................................................................................ 6

Indledende bemærkninger ................................................................................................................................................... 6

Oplæg til arbejdet ...................................................................................................................................................................... 7

Forstå-fasen ................................................................................................................................................................................. 7

Design-fasen ................................................................................................................................................................................ 7

Dataindsamling: ......................................................................................................................................................................... 7

Produktionsfasen ...................................................................................................................................................................... 8

Formidlingsfasen.................................................................................................................................................................... 10

Evalueringen ............................................................................................................................................................................ 10

Bilag: Spørgeskemaet ........................................................................................................................................................... 11

Skydetræneren ............................................................................................................................................................................. 12

Abstract ...................................................................................................................................................................................... 12

Problemet og metoden ........................................................................................................................................................ 13

Kort til den divergente fase: .............................................................................................................................................. 14

Aktivering af matematikken: ............................................................................................................................................. 15

Hitskabelonen ............................................................................................................................................................................... 20

Abstract: ..................................................................................................................................................................................... 20

Problemstilling ........................................................................................................................................................................ 20

Produkt ....................................................................................................................................................................................... 20

Kommissorium for konsulentundersøgelse ................................................................................................................ 20

Referencer ................................................................................................................................................................................. 21

Oplæg til eleverne - Hvordan laver man et hit? ......................................................................................................... 21

Fremtidens musikmarked? ................................................................................................................................................ 22

Eksempel på spørgsmål ....................................................................................................................................................... 22

Spørgeskema med resultater ............................................................................................................................................ 22

2

Karrusellen..................................................................................................................................................................................... 24

1 Indledning ............................................................................................................................................................................. 24

2 Opdragsgiveren og grundversionerne af et varmt ønske .................................................................................. 24

2.1 Første versionering .................................................................................................................................................. 24

2.2 Anden versionering .................................................................................................................................................. 24

2.3 Tredje versionering .................................................................................................................................................. 24

2.4 Fjerde versionering .................................................................................................................................................. 24

3 Version 1; 1. skridt: Matematisk formulering og opstilling .............................................................................. 24

3.1 Fysik, Newton, og eksperimenter ....................................................................................................................... 24

4 Version 1; 2. skridt: Matematisk løsning .................................................................................................................. 24

4.2 Version 1; Bestemmelse af den totale reaktionskraft ................................................................................ 24

4.4 Version 1; Enheds-check ........................................................................................................................................ 24

5 Version 1; 3. skridt: Overdragelse af løsningen ..................................................................................................... 24

5.1 Version 1; Observationer ....................................................................................................................................... 24

5.2 Version 1; Problemer ............................................................................................................................................... 24

5.3 Version 1; Indsættelse af konkrete værdier ................................................................................................... 24

6 Problem A; På- og af-stigningsproblemet ................................................................................................................ 24

6.1 Problem A; 1. skridt: Matematisk formulering og opstilling ................................................................... 24

6.2 Problem A; 2. skridt: Matematisk(e) løsning(er) ......................................................................................... 24

7 Problem A; 3. skridt: Overdragelse af løsningen ................................................................................................... 24

3

Forløb om LED i matematik og fysik Overordnet om forløbet Det var et studieretningstoningsforløb i matematik og fysik i 1. g på en studieretningen (SA, MA og ng), men det kan også fint bruges i studieretninger med fysik som studieretningsfag.

Helt overordnede arbejde eleverne med LED, hvad er LED fysikfagligt samt forskellige matematiske modelleringer af rentabiliteten ved at investere i LED.

Innovationselementet var at eleverne skulle ideudvikle på, hvordan LED kunne skabe ny værdi for en samarbejdspartner uden for skolen.

Som det fremgår af moduloversigten var forløbet bygget op med en teoretiske indføring, hvor eleverne blev klædt på rent fagligt i begge fag, således at de blev i stand til på et fagligt grundlag at genere ideer om, hvordan LED kan bruges på en ny værdiskabende måde for andre. Herefter arbejdede eleverne i fem grupper på deres projekter, hvor det endelige produktkrav var, at eleverne skulle præsentere deres ide for en ekstern samarbejdspartner.

Det pædagogiske og faglige sigte med at stille krav om, at eleverne skulle finde en ekstern samarbejdspartner var, dels at det er en væsentlig kompetence at udvikle en ide, som eleverne tror så meget på, at de er parate til at præsentere den for en ekstern organisation, institution eller virksomhed, dels at det motiverer elevernes vilje til at sætte sig ind i et fagligt stof ganske betydeligt, når de skal præsenterer det for andre. I forlængelse heraf motiverer det også elevernes indsats i forhold til deres formidling af stoffet.

Faglige mål og innovative kompetencer De faglige mål inden for fysik fremgår af moduloversigten, hvor emnerne for de enkelte moduller er anført.

I matematik arbejde eleverne med at udlede sætningen for endelige kvotientrækker og ved hjælp af denne samt renteformlen at udlede annuitetsformlen. Dette er indrømmet ikke den mest enkle måde at gøre det på, men det træner nogle matematikfagligheder som de skal bruge i et senere forløb. Herudover sikrer det en passende faglighed til at mundtligt eksamensspørgsmål. Herefter arbejdede eleverne med at modellere ved hjælp af annuitetsformlen fire parametre G, r, y og n. Eleverne skulle vælge hvilke to parametre der skulle være konstante, samt hvilke to der skulle være variable, herunder hvilken der var henholdsvis den uafhængige og den afhængige variable. Rammen for disse overvejelser var nogle konstruerede opgaver, eksempelvis kunne det være hvor lang tid der ville gå før en investering var tilbagebetalt som funktion af rentesatsen (investeringen og den periodemæssige besparelse var konstante), og hvor oplysningerne blev præsenteret i et naturligt sprog, for at citere læreplanen. På den måde fik eleverne erfaring med at bruge annuitetsformlen til at modellere følsomheden af en investerings rentabilitet i forskellige scenarier. Målet med dette var, at klæde eleverne på til at modellere virkelige investeringer ud fra indhentede informationer fra en samarbejdspartner.

Ud over disse faglige mål spillede de innovative kompetencer, som fremgår på side 8 i Innovation i matematik. Hensigten med idegenereringen, det efterfølgende projektarbejde samt den afsluttende præsentation har helt klart været at styrke de personlige, sociale, faglige og formidlingsmæssige kompetencer. I hvor høj grad det er lykkedes diskuteres under evalueringen nedenfor.

Vedlagt findes de to præsentationer, der blev brugt til at introducere eleverne for CDIO-modellen, som dannede grundlaget for gruppernes innovative proces i forløbet.

Forløbets længde og processen Som det fremgår af den billagte lektionsoversigt består forløbet af 24 lektioner af 90 minutter, hvad umiddelbart kan forekomme at være temmelig meget. Det kan forklares med, at det dækker to fag på en sådan måde, at der i begge fag kan stilles et eksamensspørgsmål i supplerende stof.

Alene inden for matematik A skal der afsættes 75 timer, svarende til 50 moduller til at behandle supplerende stof. I dette forløb arbejdes der i høj grad med - med bearbejdning af autentisk

4

talmateriale, ligesom … samt deduktive forløb over udvalgte emner opfyldes. På den baggrund er det klart, at forløbet giver et passende udbytte i forhold til de resurser der lægges ind i det.

Som det fremgår ovenfor er der først en fase, hvor eleverne indføres i teoretisk stof. Rent didaktisk er denne fase meget tilsvarende forløb, hvor der undervises i kernestof. Derimod har den resterende del af forløbet karakter af et projektarbejde, hvor eleverne i mange moduler arbejder selvstændigt i grupper. Dette rummer nogle muligheder og udfordringer. Mulighederne rummer det helt overordnede mål, nemlig at træne de innovative kompetencer, som er beskrevet ovenfor. Det er så at sige hele projektets rationale. Udfordringen er primært at sikre, at grupperne arbejder effektivt. Dette kan blandt andet gøres ved at tilrette forløbet så det består af en række større eller mindre delmål med faste deadlines, præcis som vi kender fra afleveringer. I dette forløb satte vi deadlines op for, hvornår grupperne skulle have fastlagt en ide, hvornår de skulle have etableret en aftale med en samarbejdspartner, hvornår præsentation til samarbejdspartneren skulle være færdig og endelig hvornår projektet skulle være præsenteret. Herudover bad vi hver gruppe føre en projektrapport, hvor de noterede produktet for hver eneste lektion. Endelig begyndte vi hver lektion med en kort status på hvor de enkelte grupper var nået til, og i forlængelse heraf en diskussion af hvordan eventuelle fælles problemer kunne løses. Med andre ord brugte vi nogle klart definerede og overskuelige produktkrav til grupperne og løbende status på arbejdet som middel til at holde eleverne til ilden.

Herudover kræver det en lærerrolle, hvor læreren er konsulenten i Steen Becks model over læringsrum. Det er naturligvis afgørende for den enkeltes gruppes muligheder for succes, at samarbejdet fungerer rigtig godt. Det stiller dels krav til gruppedannelsen, men også at læreren løbende arbejder som integrator i det omfang det er nødvendigt. Herudover skal læreren være klar til at rådgive om, hvordan en eventuel samarbejdspartner kan kontaktes, eksempelvis at det er en god ide at ringe, hvis de ikke svarer på en mail. Endelig er der ikke mindst også behov for at give faglig rådgivning.

Kort præsentation af elevernes projekter samt en elevbesvarelse Klassen bestod af fem grupper, der arbejde med følgende projekter:

Smart traffic. En nytænkning af trafiklyset, så der kun er en lampe, der kan skifte mellem rød, gul og grøn i stedet for det traditionelle. Dette vil give betydelige besparelse på elforbruget.

Del LED. Et koncept som alle kommuner kan bruge til at udbrede kendskabet og bruge af LED

Pærelækker. Anvendelse af at LED lys kan genereres på en måde, så farvespektret øger appiteten.

Produktet skulle anvendes i restaurantionsbranchen.

Intelligent lys. Kommunal gade og stibelysning, der delvis er styret af censorer, således at lyset er mest koncentreret der, hvor der er trafikanter.

LED for trafiksikkerhed. Anvendelse af LED til at øge trafikanters opmærksomhed på farlige steder i trafikken ved at få lys til at blinke i situationer, der kan være farlige.

Vedlagt findes en elevbesvarelse fra gruppen, der beskæftigede sig med Smart traffic.

Evaluering Forløbet blev evalueret ved et Lectio spørgeskema, en efterfølgende diskussion i klassen samt et fokusinterview. Det 9 sider lange spørgeskema er bilagt, men her skal nogle enkelte pointer fremhæves.

Helt overordnet var der en del elever, der var glade for forløbet, en del der var neutrale og en lille gruppe, som gerne havde været forløbet foruden.

På spørgsmålene:

Hvilken betydning har det haft for det du har lært om LED og GRYN formlen, at innovation har spillet en stor rolle i forløbet?

Hvilken betydning har det haft for din motivation, at innovation spillede en stor rolle i forløbet?

5

Svarer 14 elever, at det har haft en positiv eller meget positiv betydning, 7 der var neutrale og 3 der var enten negative eller meget negative.

Således har innovation ifølge eleverne selv overordnet set styrket fagligheden og motivationen. I forhold til de sociale kompetencer har eleverne også overordnet set betragtet det positivt. Særligt evnen til at skabe nye ideer, øge kendskabet til at se matematikkens muligheder for at løse problemer, blive bedre til at formidle til en given målgruppe samt evnen til at argumentere og finde belæg har eleverne oplevet, at de som følge af forløbet er blevet bedre til.

Se video, hvor Amalie, Tone og Adam diskutere deres erfaringer fra forløbet. Hvis linket ikke virker er adressen: https://www.youtube.com/watch?v=x57IoWEC174

Moduloversigt Forløb om LED i matematik og fysik: Modulerne er af 90 minutter

Lektion/fag Beskrivelse Materialer 1-6 Fysik

Teori: I dette modul skal vi have afrundet de basale egenskaber ved bølger. Diffraktion og interferens. Forsøg: Muligvis et demonstrationsforsøg om stående bølger på en streng. Introduktion til bølgeegenskaberne ved lys. Forsøg: Illustration af farvespektrum med et gitter. Der skal her lægges hvordan det kontinuerte spektrum ser ud. Øjet og synsevnen. Farveblandinger og Farvetrekanten Forsøg: Illustration af hvordan mennesket oplever farver. Det elektromagnetiske spektrum og foton beskrivelsen af lys. Fotoner, Bohrs atommodel, Hydrogenatomet llustrations Atomernes fingeraftrykIntrodiktion til LED begrebet. Hvordan måler vi kvaliteten af lys. Ra-værdi og hvordan finder vi den. Llustrations forsøg: Spektrum fra en LED pære Spektrum fra en LED pære versus spectrallampe.

Orbit C 2.udgave side 64-78, 108 – 130.

7-10 Matematik

Teori: Sætning om sum af en endelig kvotienmtrække Opstillingen af en endelig betalingsrække ved hjælp af renteformlen. Udledning af Annuitetsformlen. Opgaver med modellering af rentabilitet i et værktøjsprogram.

Matsamf s. 105 - 110

11-13 Begge fag

Innovationscamp med idegenerering der ender emd at hver gruppe har en ny ide samt en forslag tiol en samarbejdsparter, der vil have glæde af den.

14-24 Matematik (8) Fysik (3)

Projektarbejde i grupper, hvor hver gruppe gennemarbejder ideen, finder en samarbejdsparter og aftaler et møde, hvor ideen præsenteres.

Elevevaluering LED forløb Se separat pdf-fil samt videointerview med tre elever.

6

Kundeundersøgelse for Bilka Et innovativt forløb i statistik.

Abstract: Alle skoler har en erhvervsvirksomhed i deres nærhed, som sikkert synes, at det kunne være interessant med en statistisk undersøgelse af en eller anden art. En 1.g klasse på Ørestad Gymnasium udførte en kundeundersøgelse for varehuset Bilka i 2013. Undervejs i forløbet arbejdede eleverne bl.a. med deskriptiv statistik og chi2-test. Butikschefen i Bilka (i Fields i Ørestad) ville gerne vide om kunderne læste Bilkas tilbudsavis, om de kendte Bilkas (på det tidspunkt) nye koncept ”max-to-i-kø”, og om konceptet faktisk virkede.

Dette blev præsenteret for eleverne, der arbejdede i en divergent fase med, hvilke faktorer, der er relevante at spørge om, og hvad man faktisk ville have at vide i en kundeundersøgelse. Her var rigtigt mange spørgsmål i spil (køn, alder, indkøbsbeløb, husstandsindkomst, indkøbsmønster, boligform, antal børn, arbejde, husdyr osv.). Eleverne udvalgte så i en konvergent fase nogle få relevante spørgsmål.

Gruppernes spørgsmål blev sammenfattet til ét spørgeskema, som eleverne gruppevis fik svar på ved at interviewe kunder i Bilka på forskellige tidspunkter. Hele dette materiale blev lagt ind i et stort regneark, som alle grupper fik.

Parallelt med dette gruppearbejde gennemgik klassen de grundlæggende begreber i deskriptiv statistik, og hvordan man kunne anvende GeoGebra til at udføre deskriptiv statistik.

Grupperne skulle så producere deres svar på spørgsmålene i form af statiske diagrammer og deskriptorer. Men her viste det sig, at der var brug for at kunne sammenligne afhængighed af to variable, (fx køn og indkøbsmønster). Derfor brugte klassen 3 moduler til at gennemgå principperne i chi2-test og hvordan man udfører en sådan i GeoGebras statistikmodul.

Igen følger en divergent fase, fordi det med GeoGebra er meget nemt at få lavet statistiske analyser af data, og eleverne producerede (alt for) mange diagrammer. Her skulle de så udvælge i en konvergent fase de få, som skulle danne grundlag for deres arbejde.

Endelig skulle grupper udarbejde en rapport i formidlet form til butikschefen i Bilka. Her var benspændet, at denne rapport skulle holdes i et ”matematikfrit” sprog, så enhver kan forstå konklusionerne. Rapporten måtte gerne indeholde anbefalinger til Bilka, fx i form af ændret reklamemønster. Denne rapport afleveres til Bilkas butikschef.

Evaluering bestod af en produktevaluering af elevernes afsluttende rapport til Bilka, en procesevaluering af deres personlige og sociale kompetenceudvikling og endelig en matematikfaglig vurdering af hver elev.

Indledende bemærkninger Dette forløb er i sin oprindelige form ikke tilrettelagt som et decideret innovativt forløb i matematik. Det er en del af et eksamensforsøg på matematik C i stx, hvor den afsluttende mundtlige eksamen afløstes af fire delprøver - en multiple choise test i oktober, en skriftlig prøve i december, en portfolio prøve i marts og en mundtlig projekteksamen i maj. Det beskrevne undervisningsforløb er en del af det forløb, der afsluttede med portfolioprøven i marts.

7

Et af Ørestads Gymnasiums indsatsområder er autentisk undervisning, og med det menes undervisning der gennemføres i samarbejde med parter uden for skolen. Forløbet med statistik er netop et sådan forløb, hvor eleverne i samarbejde med Bilka i Fields lavede en kundeundersøgelse for supermarkedskæden. Det forløb, der her beskrives er en justeret udgave af det faktiske forløb med indlagte småjusteringer, som ville indgå hvis forløbet skulle gentages i en innovativ form.

Oplæg til arbejdet Da 1.k på Ørestad Gymnasium i januar 2013 skulle i gang med statistik, kontaktede vi butikschefen for Bilka i indkøbscenteret Fields for at høre, om han havde noget han gerne ville have undersøgt statistisk. Vi var 28 elever, der villigt stillede arbejdskraft og matematikkompetencer til rådighed. Bilka havde den gang lige sat et nyt koncept i verden ”Max to i kø”, der gik ud på, at man ville minimere antal kunder i kø ved kasseapparaterne ved hele tiden at åbne og lukke kasser. Butikschefen ville gerne vide om kunderne kendte princippet, og om det faktisk bevirkede, at køen til kasserne var mindre. Samtidigt ville han gerne vide, om kunderne faktisk læste de tilbudsaviser, som Bilka udsendte.

Forstå-fasen Klassen arbejde i grupper, og hver gruppe skulle nu finde ud af, hvordan man kan designe en kundeundersøgelse, der afklarer butikschefens problem. Her var første fase en åbning ud mod alle de muligheder, der er for at spørge Bilkakunder. Efter at have formuleret de ”trivielle” spørgsmål: ”Kender du max-2-i-kø-princippet?”, ”Læser du tilbudsavisen?” viste det sig hurtigt, at måske var der fx forskel på mænds og kvinders holdning til de to spørgsmål. Så for at få en grundig analyse af butikschefens problem skulle der inddrages flere variable. Pludselig eksploderede mulighederne. Hvad med alder? Indkomst? Antal børn? Boligsituation? Arbejde? Holder hund? Livretter? Slikforbrug? Overvægtig eller ej? osv. Hver gruppe skulle udarbejde ti spørgsmål, som fremlagdes for klassen, hvor gruppen skulle argumentere for relevansen af og sammenhængen i spørgsmålene.

Design-fasen I denne fase udarbejde hver gruppe med udgangspunkt i alle spørgsmålsforslagene en hypotese, som de ville undersøge. Hypotesen fremlagdes for klassen og efter denne fremlæggelse med respons formulerede gruppen sine spørgsmål til kundeundersøgelse. Foruden de to ”trivielle spørgsmål” måtte gruppen max stille 5 yderligere spørgsmål. I denne fase opstår en del nye problemer, Fx hvordan spørger man præcist til folks arbejde, så man kan inddele dem i grupper? Hvordan spørger man til folks bopæl? Postnummer? eller kategori (ejer-/lejebolig? lejlighed/villa?) Eller hvordan spørger man til personlige oplysninger, så man ikke træder for tæt på eller fornærmer folk ved fx at spørge til deres alder? eller køn?

Dataindsamling: For at få så stort et statistisk materiale som muligt, ville vi samarbejde alle spørgsmålene fra grupperne til ét spørgeskema, som så alle grupper skulle indsamle svar på. Flere af grupperne havde meget parallelle spørgsmål, fx alder og køn med.

Derfor valgte grupperne hver en talsmand, som mødtes med de andre grupper for at lave et fælles spørgeskema. Det endte med et spørgeskema med 10 spørgsmål. Hver gruppe fik et modul til at få Bilkakunder, der lige havde passeret kasserne til at besvare spørgsmålene. Vi valgte et ydermodul, så eleverne kunne holde fri her og så udføre spørgeskemaundersøgelsen på et andet tidspunkt, så vi også fik dækket eventuelle forskelle i det tidspunkt på ugen, hvor kunderne kom. Spørgeskemaet er vedlagt som bilag.

Matematik indhold: Sideløbende med design af spørgeskema gennemgik vi i klassen den deskriptive statistiks grundbegreber: deskriptorer og grafiske illustrationer. Samtidigt

8

gennemgik vi, hvordan man i programmet GeoGebra laver statiske diagrammer og udregner deskriptorer.

Produktionsfasen Alle gruppernes data indlæstes i samme regneark, så hver gruppe kunne arbejde med hele datasættet. Opgaven var nu at får fremstillet diagrammer over svarene på de forskellige spørgsmål og diskutere konklusioner på de statistiske analyser. Her er CAS-værktøjet optimalt, for eleverne kan hurtigt og nemt få fremstillet læssevis af forskellige diagrammer og udregnet masser af statistiske deskriptorer på kort tid og uden det store arbejde. Derfor kunne grupperne koncentrere sig om fortolkningen af resultater og allerede i denne fase snakkede vi om, hvordan man formidler matematisk information for ikke-matematikkyndige. På denne fik de statistiske begreber en begrebsmæssig forarbejdning af eleverne, som gav den større forståelse for selve begreberne.

Fra rapporten til Bilka:

Det viste sig hurtigt, at der var forskel på forskellige gruppers besvarelse af de centrale spørgsmål. Vi gennemgik begreberne stikprøve og population, og at der godt kan være en forskel i en stikprøve uden at det afspejler en faktisk forskel i populationen, men skyldes tilfældige udsving. Derfor måtte vi diskutere, hvornår en forskel i en stikprøve er så stor, at den faktisk udtrykker en reel forskel i populationen. Her valgte jeg som lærer at gennemgå chi2-testteorien i løbet af tre moduler med udgangspunkt i GeoGebras statistikmodul.

Herved åbnedes op for en helt ny form for spørgsmål til materialet. Fx er der forskel på mænds og kvinders læsning af tilbudsavis. På unge og ældres indkøbsmønster (fx storkøb

9

eller små dagligindkøb). På om der er forskelle i de forskellige indkomstgruppers måde at gå efter særlige billige tilbud eller blot købet det de skal bruge? osv osv.

Her er en ny divergent fase, for lige pludselig kan man stille en masse nye spørgsmål, som kan besvares. Og med datamaterialet på computer kan man meget nemt lave de relevante statistiske analyser og få tegnet de relevante diagrammer i GeoGebra. Derfor vender mange grupper igen tilbage til forstå-fasen. Hvad var det vi ville undersøge, og skal vi nu ændre/dreje temaet i en anden retning. Her opstår også nye spørgsmål, som vi ikke lige fik spurgt kunderne om, men vi kunne af tidsmæssige grunde ikke foretage yderligere kundeundersøgelser i dette forløb.

Fra en elevportfolio:

Af alle disse muligheder måtte grupperne igen vælge et fokus for deres arbejde, og så udarbejde den relevante statisk på deres materiale og finde de relevante konklusioner.

10

Formidlingsfasen Nu er vi der, hvor et almindeligt matematikprojekt ville være færdigt. Eleverne har lavet en statistisk undersøgelse og fået afklaret deres spørgsmål. Men i dette tilfælde skal elevernes arbejde afleveres til butikschefen i Bilka. Og vi kan ikke gå ud fra, at han kender statistikbegreberne fra kernestoffet på matematik. Derfor skal der laves en rapport for ham, der i almindelige ord formidler gruppernes resultat. Samtidigt må grupperne gerne komme med begrundede anbefalinger til butikschefen med henblik på at forbedre Bilkas forhold for kunderne og målrette deres reklamestrategier for derved at øge deres omsætning. Eleverne lavede hver deres rapportafsnit, som så sammensattes til en endelig rapport, der sendtes til butikschefen.

Evalueringen

Evalueringen består af tre elementer.

1) Første del er den formidlingsmæssige del. Elevernes arbejde er en kort rapport til

butikschefen i Bilka, og deres arbejde burde evalueres af modtageren, nemlig butikschefen. Dette er produktevalueringen. Hovedspørgsmålet er her, om produktet - rapporten til butikschefen - har været til værdi for ham. Denne del lykkedes ikke i vores tilfælde, for butikschefen, som vi oprindeligt havde kontakt med, var flyttet til en anden Bilka-afdeling, og den nytiltrådte butikschef havde ikke umiddelbart tid til at mødes med klassen.

2) Anden del er en procesevaluering, som lærer foretager sammen med grupperne, så eleverne bliver klar over deres faglige, sociale og personlige kompetenceudvikling i forløbet. Denne foregik heller ikke i dette forløb, men den skulle være foregået i grupperne, hvor de hver især i samtale med læreren diskuterede deres erfaringer og de opnåede innovative kompetencer. I denne samtale bliver også selve forløbet evalueret: Kunne tilrettelæggelsen være bedre, kunne nye ideer til processen komme frem osv.

3) Den sidste evaluering er den faglige evaluering, hvor elevernes faglige kompetenceudvikling vurderes. Denne bestod af den afsluttende portfolioevaluering. Her var hver elev til en intern individuel mundtlig prøve med læreren uden censor. Prøven varede 15 minutter pr. elev, og hver elev præsenterede sit arbejde, der lå i deres elektroniske portfolio. Her gjorde eleverne rede for, hvordan de havde behandlet det statistiske datamateriale, og de fortalte om de indgående matematisk begreber og metoder. Denne prøve afsluttedes med en karakter, der indgik med 30% vægt i deres samlede eksamensresultat på matematik C.

11

Bilag: Spørgeskemaet

12

Skydetræneren

Abstract Målgruppe og omfang

Forløbet kan afvikles på 3-4 timer, og det kan bruges på alle niveauer, men kan især være interessant at bruge i forbindelse med at introducere innovations arbejdsgange i 1g og 1hf. Da forløbet bygger på aktivering af eksisterende viden, bør eleverne have været igennem nogle matematikforløb inden projektet, hvor deskriptiv statistik og elementær geometri behandles.

Fagligt udbytte

Dette projekt er en oplagt til at repetere og fastholde viden, som eleverne har tilegnet sig i forgående forløb. Desuden er målet, at eleverne bliver bedre til at aktivere matematik i forbindelse med projekter.

Beskrivelse af opgaven

Sagen omhandler træning af bueskytter. En fiktiv træner her udviklet to træningsmetoder, en der gerne skulle forbedre skytters sigte, og en der gerne skulle forbedre deres stabilitet. Det er så elevernes opgave at omsætte hullede skydeskiver til to tal, der er et mål for disse to evner (for en nærmere beskrivelse af hvad der menes med sigte og stabilitet se elevernes projektbeskrivelse). Dette ender med, at eleverne skal lave en planche, hvorpå de præsentere deres metode til at beregne værdierne på.

Innovations elementer

For at eleverne skal kunne få ideer, der kan bruges til at løse problemet med en matematisk tilgang, skal de gennemgå en kreativ proces. Et af de centrale elementer i den kreative proces er nogle bergrebs kort som ligner de kort som bruges i andre kreative processer, men for at styre eleverne mod en matematisk tilgang består kortene af nogle relevante, og for eleverne kendte matematiske begreber. Herved får man både repeterede gennemgået stof og man får aktiveret matematik i idegenereringen. (Se næste side: ”Kort til divergent fase”)

Tidsplan

De første 45 minutter styrer læreren eleverne igennem en proces der har som formål at give eleverne en forståelse af problemet, aktivere relevant matematik og give eleverne ideer til løsningsforslag (se beskrivelsen i rapporten: Forslag til kreativ proces – aktivér matematikken! og nedenfor er vedlat et skema til fase 2 i denne proces).

Herefter arbejder eleverne med at udvikle metoderne og lave planchen. Dette bør kunne klares på en halvanden times tid, men hvis man oplever at eleverne har gode tidskrævende diskussioner, kan man jo overveje at give lidt længere tid. Her er det en god ide at udfordre elevernes løsnings forslag med nogle benspænd eventuelt i form af nogle obskure skytteskiver.

De sidste 45 minutter laver eleverne en postersession, hvor de går rundt og ser de andre løsningsforslag, og bedømmer dem med en prik på figuren!

Efter denne session evalueres forløbet på klassen.

Problembeskrivelse - opgaveforlæg

Oplægget til eleverne følger på de næste sider, og til sidst følger et par plancher med elevernes løsninger.

13

Problemet og metoden I denne opgave skal I træne at arbejde innovativt, derfor er det måden I arbejder på der er i fokus, ikke det svar I kommer frem til. Ofte handler innovation om at løse et problem på en sådan måde, at løsningen er ny og til glæde for andre. Det kræver selvfølgelig, at vi har et ”problem”, der kan løses på mange forskellige måder:

Sagen omhandler træning af bueskytter. En træner her udviklet to træningsmetoder, en der gerne skulle forbedre skytters sigte, og en der gerne skulle forbedre deres stabilitet. For at forstå hvad træneren mener med sigte og stabilitet kan man se på disse 4 figurer, hvor alle 4 skytter er blevet bedt om at sigte efter krydset i centrum:

Hvis træneren skal kunne bedømme hvor stor en effekt hans træningsmetoder har, er han nød til på en eller anden måde at kunne måle deres sigte og deres stabilitet, men her er han kommet i problemer. Det, der ville være nemmest for ham, var at finde en metode til – ud fra skydeskiverne, at kunne beregne to tal: ét, der beskriver skyttens sigteevne og ét, der beskriver skyttens stabilitet. På den måde kunne han sammenligne skytternes præstation før og efter træningsforløbet. Det er nu jeres opgave at udvikle en metode til at beregne et tal ud fra skydeskiven, der beskriver skyttens sigte og derefter en metode til at beregne et tal ud fra skydeskiven, der beskriver skyttens stabilitet.

Krav: I skal lave en planche som skal indeholde: En grundig beskrivelse af begge metoder, det er en god ide at benytte figurer som en del af

beskrivelsen Eksempel der viser begge metoder anvendt på en skytte Når I er færdige med planchen, skal I vurdere 4 skytter og rangere dem fra bedst til værst.

Figur 1: Denne skytte har et godt sigte, og er samtidig meget stabil.

Figur 2: Denne skytte har et dårligt sigte, men er meget stabil.

Figur 3: Denne skytte har et godt sigte, men er meget ustabil.

Figur 4: Denne skytte har et dårligt sigte, og er samtidig meget ustabil.

14

Kort til den divergente fase:

Lineærsammenhæng Procent regning

Eksponentielsammenhæng Logaritmer

Regression Halveringskonstant

Formel/Model Retvinklet trekanter

Variable Vilkårlige trekanter

Ligning Median

Middeltal Kvartilssæt

Koordinatsystem Boksplot

Sumkurve

15

Aktivering af matematikken: Hvordan kan det bruges til at løse problemet?

Eksempler på andre tilfælde hvor det er blevet brugt for eksempel opgaver og projekter.

______________________________________________________________________________________________________________________________

______

______________________________________________________________________________________________________________________________

______

______________________________________________________________________________________________________________________________

______

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_______________________

______________________________________________________________________________________________________________________________

______

______________________________________________________________________________________________________________________________

______

______________________________________________________________________________________________________________________________

______

______________________________________________________________________________________________________________________________

______

16

17

18

19

20

Hitskabelonen

Abstract: Emnet er popmusik og musikmarkedet, hvilket nok tiltaler elever på mange forskellige studieretninger. Forløbet er en videreudvikling af et materiale fra Københavns Universitet (se referencerne senere).

Umiddelbart omhandler forløbet to kernestofområder: Deskriptiv statistik og bekræftende statistik (test for uafhængighed) og det vil være oplagt at gennemføre forløbet i et samarbejde med musik.

Forløbet kan tidsmæssigt afvikles umiddelbart efter introduktionen af uafhængighedstest, hvor man med fordel kan gennemgå teorien med et velvalgt eksempel (f.eks. drenge og pigers tøjforbrug – se referencer). En nøje gennemgang af eksemplet fungerer som en fælles reference til, hvad eleverne forventes at gøre med data i denne opgave.

Forberedelse inden forløbet: Eleverne kan læse bilag 1 og 2 og de 50 numre på sidste års hitliste skal være analyseret (beskrevet i bilag 1). Dette gøres let ved at de får 2-3 numre at analysere hver. Vær sikker på, at de forstår den analyse, de skal foretage (få evt. en musiklærer til at forklare det).

Problemstilling En nyt pladelabel skal etableres og jeres konsulentbureau har fået opgaven at sikre pladeselskabet en strategi til at lave succesfuld kommerciel musik nu og i fremtiden. Rammerne for jeres arbejde ses beskrevet i kommissoriet nedenfor.

Lærerkommentar: Læg evt. kommissoriet i en fil for sig med brevhoved fra et firma (virkeligt eller fiktivt).

Produkt Jeres opgave er at udarbejde et 1-2 siders notat til direktøren for det nye pladeselskab der svarer på kommissoriet samt at komponere og fremføre et stykke musik, der lever op til hitskablonens struktur (se bilag 1).

Notatet skal skrives på baggrund af en deskriptiv analyse af top 50 fra sidste år samt en uafhængighedstest af mindst en af spørgsmålene fra spørgeskemaet (se bilag 1 og 2). Der udarbejdes ligeledes en synopsis, der kan danne baggrund for en mundtlig fremlæggelse. Der lægges i synopsens matematikdel særligt vægt på forklaring af uafhængighedstesten.

Lærerkommentar: Notatformen er central for at underbygge innovationsideen og giver her fagligt god mening, idet formidlingen af statistik jo er vanskeligt men centralt også i forhold til skriftlig eksamen (formuler nulhypotesen etc.). Komposition af et musikstykke er kun relevant, hvis opgaven er i samarbejde med musik, og ligeledes kan synopsen erstattes af et mere klassisk skriftligt opgaveformat.

Kommissorium for konsulentundersøgelse Designbureauet Clever-studio ønsker at udvide aktivitetsområde inden for dansk kultur og design ved oprettelse af et nyt dansk pladeselskab. Pladeselskabets målsætning er at blive en markant label med en central position inden for dansk populærmusik i løbet af en kort årrække. Dette opnås bedst ved at markere sig på hitlisterne allerede i indeværende år. Efter nogle års positionering inden for dansk mainstream vil man i fremtiden udbygge det genremæssige udbud til også at indeholde indie-området.

For hurtigst muligt at opnå størst mulig kommerciel succes ønsker bureauet, at der udarbejdes en konsulentrapport, der analyserer sidste års største kommercielle hits og identificerer typiske kendetegn for de numre, der sælger mest. Analysen skal udmunde i en skabelon, der kan sikre, at pladeselskabets produktioner opnår succes på den danske salgshitliste, og dermed sikre, at labelen blive en vægtig spiller i den danske pladebranche. Skabelonens anvendelighed ønskes illustreret ved komposition af et musikstykke med hitpotentiale, der følger skabelonens opbygning.

For at sikre en stabil fremtidig kurs i det meget flygtige musikmarked, ønskes en empirisk underbygget analyse af ungdommens musikforbrug, der kan udstikke en retning for fremtidens musikmarked.

21

Referencer Materiale om hitskabelonen fra KU findes her.

Henrik Marstal og Morten Jaeger: Hitskabelonen, Lindhardt og Ringhof, 2003. Udgået fra forlag, men et uddrag findes her.

Dansk musikbranche ifpi udgiver de officielle hitlister i Danmark på http://www.hitlisterne.dk/

Side 3-12 i Bjørn Grøn Kursusmateriale til det nye statistikpensum er en god optakt til den beskrivende del materialet kan findes her: http://www.emu.dk/sites/default/files/Bj%C3%B8rnGr%C3%B8n.pdf

Bjørn Felsager En eksperimentel indføring i hypotesetest. Fra side 17 er en fin simulering af teststørrelsen der forklarer hvad der sker ”under motorhjelmen”. Skrevet til TI Nspire. http://www.emu.dk/sites/default/files/Bj%C3%B8rnFelsager.pdf

Oplæg til eleverne - Hvordan laver man et hit?

Hitskabelonen – en statistisk undersøgelse

For at besvarer dette spørgsmål må man naturligvis først gøre sig klart hvad er et hit? Et naturligt svar på dette spørgsmål er at se på hitlisten for sidste år.1 Hvis man selv vil lave et hit, må man naturligvis undersøge om der er nogle generelle kendetegn ved de numre der sælger mest.

Ligesom et klassisk værk ofte vil følge nogle konventioner og have en bestemt form som f.eks. sonateformen, kan man også inden for populærmusikken finde kutymer i udformningen af et pop eller rocknummer. Vi fremsætter her følende hypotesen

En typisk hit følger denne opbygning

1) Nummerets længde er mellem 3 og 4 minutter

2) Nummerets omkvæd indtræffer inden der er gået 1 minut

3) Nummeret følger formen:

Undersøgelsen:

Som population i undersøgelsen vil vi undersøge top 50 fra 2013 (best sælgende ”tracks”). Hitlisten samt hvilke numre I skal tage jer af ses bagerst. Efter at vi har samlet datamaterialet er det oplagt at lave deskriptiv statistik på data, ved at lave en antalstabel for udvalgte af kategorierne, samt finde middelværdi, median og kvartilsæt.

Den deskriptive analyse giver os hittenes karakteristika, men kan naturligvis ikke forklare hvorfor det er sådan. Bogen Hitskabelonen af Marstal og Jaeger giver mange svar på det. Man kan f.eks. konstatere at vores hitskabelon er en ABABCB–form, hvor man f.eks. i jazz ofte vil tale om en AABA-form. Marstal og Jaeger beskriver de forskellige formleds karakteristika på s. 106ff. I bogen er der også mange andre interessante bud på, hvorfor radioernes pophit er et så forholdsvis homogent landskab.

1 Salgshitlister er en oplagt (og klassisk) måde at få en ide om, hvad der er et hit, idet man må regne med, at folk tillægger nummeret en vis værdi, når de betaler for det. Med fremkomsten af tjenester som Spotify, Youtube osv. kan man naturligvis sætte spørgsmål ved det. Hvis man laver musik for at tjene penge, er det nu stadig en gode ide, at starte med at undersøge salgshitlister.

Intro Vers Omkvæd Vers Omkvæd Kontrast stk.Afsluttene

omkv. (+outro)

22

Lærerkommentar: Eleverne skal blot hver især analysere 2-3 numre, og man kan med fordel få dem til at indtaste resultaterne i et delt dokument, så de er lige til at kopier ind i et regneark. HUSK: At give en nøje instruks i, hvordan tiderne skal indtastes (decimal eller som minutter og sekunder).

Fremtidens musikmarked? CD’en er død! Er radioen også ved at dø? Hvordan ser fremtiden musikalske marked ud? Er unge interesserede i musik? Hvilken musikalske genrer hører de? Hvordan lærer de ny musik at kende? Hvilke platforme bruger de - stream eller radio? Betyder streaming og lignende tjenester at unge får en større musikalske horisont, eller snævres den ind?

Disse og mange andre spørgsmål kan man måske få svar på ved at udsende et spørgeskema til skolens øvrige elever.

Lærerkommentar: Dette bilag er med for at sætte gang i elevernes underen og få dem på sporet af, hvad man kan undersøge med en uafhængighedstest. Eksempel på spørgeskema som eleverne kom frem til ses i bilag 3.

Eksempel på spørgsmål Lærerkommentar: Nedenstående spørgsmål er nogle, som eleverne i en mus A og mat B studieretning har fundet på. Spørgeskemaet var udsendt til alle skolens elever, og svarandelene er også angivet. Sådanne data er naturligvis også fine at bruge til deskriptiv statistik, men har man de enkelte elevers individuelle svar, kan man undersøge mange ting. F.eks. er de elever, der hører megen musik de samme som dem, der betaler for deres musik (er der uafhængighed mellem om man betaler for musikken og at man hører megen musik)? Den type spørgsmål kræver, at eleverne grupperer spørgsmålene og derudfra konstruerer en krydstabel. Overvej nøje, hvor mange spørgsmål eleverne skal have lov til at sende ud og til hvor mange – kan man ikke teknisk trække data ud til krydstabellerne, så må man gøre det manuelt.

Spørgeskema med resultater 1.1 Hvor meget musik hører du om dagen i gennemsnit? 0 timer

4 1,1 %

0-0,5 timer

30 8%

0,5-1 timer

48 12,9 %

1-2 timer

88 23,6 %

2-3 timer

68 18,2 %

3-4 timer

49 13,1 %

4-5 timer

32 8,6 %

5-6 timer

24 6,4 %

over 6 timer

29 7,8 %

Ubesvaret

1 0,3 %

1.2 Hvordan skaffer du primært din musik? (Genre flere svar) treaming med abonnement (spotify TDC play etc.)

76 20,4 %

Streaming gratis (spotify, youtube etc.)

202 54,2 %

Betalt Download

11 2,9 %

Ulovlig Download

37 9,9 %

Radio

12 3,2 %

CD

14 3,8 %

LP

5 1,3 %

Andet

13 3,5 %

Ubesvaret

3 0,8 %

1.3 Hvilken musikgenrer lytter du til? (Gerne flere svar) Pop

288 77,2 %

23

Rock

214 57,4 %

Jazz

102 27,3 %

Blues

61 16,4 %

Elektronisk

114 30,6 %

Reggae

115 30,8 %

Hiphop

174 46,6 %

Funk

65 17,4 %

Metal

54 14,5 %

Klassisk

109 29,2 %

Andet

157 42,1 %

1.4 Hvordan opdager du ny musik? (Gerne flere svar) Forslag fra musiktjenester

168 45%

Anbefalet af venner/familie

271 72,7 %

Anbefalet af medier (Gaffa, blogs etc.)

153 41%

Radioen

223 59,8 %

TV/film

143 38,3 %

Set i reklamer

64 17,2 %

Abonnement på specifikke playlister

49 13,1 %

1.5 Synes du selv du formår at høre forskellige genrer musik? Ja

307 82,3 %

Nej

63 16,9 %

Ubesvaret

3 0,8 %

1.6 Har dine forældres forhold til musik haft indflydelse på din? Ja i høj grad

58 15,5 %

Ja i nogen grad

151 40,5 %

Nej slet ikke

159 42,6 %

Ubesvaret

5 1,3 %

2.2 Hvad er det vigtigste for et godt hit? Et godt beat

116 31,1 %

Et catchy omkvæd

96 25,7 %

En god tekst

83 22,3 %

Man skal kunne danse til det

25 6,7 %

Fed guitarsolo

12 3,2 %

Andet

34 9,1 %

Ubesvaret

7 1,9 %

2.3 Kan moderne hits være langtidsholdbare som f.eks. Michael Jacksons hits?

Ja klart

208 55,8 %

Jeg tvivler

133 35,7 %

Nej

27 7,2 %

Ubesvaret

5 1,3 %

24

Karrusellen Det følgende eksempel er udarbejdet af Steen Markvorsen, DTU Compute, som et eksempel på, hvordan man arbejder med innovative projekter det første år på DTU.

Indholdsfortegnelsen følger nedenfor, mens projektbeskrivelsen findes på de følgende sider, idet der er tale om et interaktivt pdf-dokument med små animationer, der anskueliggør de forskellige situationer, der bringes i spil undervejs.

1 Indledning

2 Opdragsgiveren og grundversionerne af et varmt ønske

2.1 Første versionering

2.2 Anden versionering

2.3 Tredje versionering

2.4 Fjerde versionering

3 Version 1; 1. skridt: Matematisk formulering og opstilling

3.1 Fysik, Newton, og eksperimenter

4 Version 1; 2. skridt: Matematisk løsning

4.2 Version 1; Bestemmelse af den totale reaktionskraft

4.4 Version 1; Enheds-check

5 Version 1; 3. skridt: Overdragelse af løsningen

5.1 Version 1; Observationer

5.2 Version 1; Problemer

5.3 Version 1; Indsættelse af konkrete værdier

6 Problem A; På- og af-stigningsproblemet

6.1 Problem A; 1. skridt: Matematisk formulering og opstilling

6.2 Problem A; 2. skridt: Matematisk(e) løsning(er)

7 Problem A; 3. skridt: Overdragelse af løsningen