1
Matriks
FIS 2215 Fisika Matematika@STKIP Surya
Determinan merupakan bilangan unik yang dapatdihitung dari suatu matriks (karakteristik darisebuah matriks). Bilangan ini dapat menentukanapakah kumpulan persamaan linear dapatdiselesaikan atau tidak. Dengan kata lain, bilanganini dapat menentukan apakah suatu matriks dapatdicari invers-nya
Determinan dari suatu matriks dilambangkandengan
|A| atau det(A)
Determinan hanya ada untuk matriks bujur sangkar.
Determinan matriks
Sifat-sifat dari Determinan1. Determinan dari sebuah matriks adalah det A. Jika setiap elemen dari salahsatu baris (atau salah satu kolom) dari determinan A, dikalikan dengan sebuahbilangan k, maka nilai dari determinan akan berubah menjadi k.det(A)
2. Nilai determinan akan sama dengan NOL apabila:- Semua elemen dari salah satu baris (atau kolom) adalah nol- Dua baris (atau dua kolom) adalah identic- Dua baris (atau kolom adalah sebanding
3. Jika dua baris (atau dua kolom) dari suatu determinan ditukar, maka nilai darideterminan akan berganti tanda
4. Nilai dari determinan tidak akan berubah apabila:- Baris ditulis menjadi kolom dan kolom ditulis menjadi baris (“ditranspos”).- Setiap elemen dari salah satu baris kita tambahkan k kali elemen-elemen darisalah satu baris lainnya, dimana k adalah bilangan sembarang. Pernyataan inijuga berlaku untuk kolom.
Sifat-sifat dari Determinan5. Determinan |A| tidak berubah jika setiap elemen dari suatu baris atau setiapelemen dikali dengan suatu konstanta, ditambahkan ke baris yang lain.
6. |AB| = |A| |B|
7. Det dari matriks diagonal = perkalian dari elemen-elemen diagonal
2
Determinan matriks 2 2
Jika maka det(A) = 1 1
2 2
,a b
Aa b
1 1
1 2 2 1
2 2
.a b
a b a ba b
1
2 1
1
1
2
2
2
aa bb
b
ba
a
Contoh 1:Carilah determinan dari matriks
3 2
7 1A
Solusi:
3
1
2
7
3 1 4
1 7
(3 ) (1) ( 7 ) ( 2 )
Solusi:
� =1 12 2
= 1 � 2 − 2 � 1 = 0
Contoh 2:
1 1
2 2A
Carilah determinan dari matriks
Determinan Matriks Ordo 3x3 dimana
A =
Determinan A3x3
hg
edc
ig
fdb
ih
fea
ihg
fed
cba
3
Contoh 1:Carilah determinan dari matriks di bawah ini!
420
513
502
Dengan menggunakan rumus diperoleh
2
3028
)6(5)12(0)14(2
)1(0)2(35)5(0)4(30)5(2)4(12
20
135
40
530
42
512
420
513
502
214
321
112
Contoh 2:Carilah determinan dari matriks di bawah ini!
13
91014
)9(1)10(1)7(2
)2(4)1(11)3(4)2(11)3(1)2(22
14
211
24
31)1(
21
322
214
321
112
Dengan menggunakan rumus diperoleh
4
Determinan dari matriks nxn dengan n > 3 dapat dicaridengan menggunakan metode yang sama sepertimencari determinan matriks 3x3. Hanya saja prosesnyaakan memerlukan perhitungan yang panjang.
Dengan memanfaatkan sifat-sifat determinan, maka nilaideterminan akan diperoleh lebih cepat.
Determinan Anxn
0 4 0 3
1 1 5 2
1 2 0 6
3 0 0 1
Contoh:Carilah determinan dari matriks di bawah ini!
0 4 0 30 4 3
1 1 5 25 1 2 6
1 2 0 63 0 1
3 0 0 1
2 6 1 6 1 25 0 4 ( 3)
0 1 3 1 3 0
5 0 2 1 6 0 4 1(1) 6(3) 3 1(0) ( 2)(3)
5 0 2 4 17 3 6
5 50
250
Tips: Gunakan elemen a23, sebab mengandung baris 2 kolom 3 paling banyak mengandung elemen bernilai nol Invers dari matriks A2x2
dapat dihitung melalui langkah-langkah berikut:
Hitung determinan det(A) = ad - bc
Tukar posisi a11 dan a22
Ganti tanda a12 dan a21 (beri tanda “-”)
Bagi setiap elemen dari matriks dengan det(A) yaitu
��� =�
�����adjoin
=1
�� − ��� −�
−� �
Cek hasil yang diperoleh apakah memenuhi A A-1=I atautidak
matriks adjoin
5
Contoh: Carilah invers dari matriks
� =1 3
−2 −7
Solusi:Ikuti langkah-langkah yang sudah dijelaskansebelumnya.
|A| = (1x-7) – (-2x3) =- 1maka
��� =1
−1−7 −32 1
=7 3
−2 −1
Cek ulang matriks invers yang diperolehmelalui hubungan
A-1 A = I
diperoleh
���� =1 3
−2 77 3
−2 −1=
1 00 1
Pengertian Minor (submatriks), Kofaktor, danAdjoin
Jika � =� � �� � �� ℎ �
, maka minor dari matriks A dapat dinyatakan, maka minor
dari matriks A dapat dinyatakan dalam Mij, yang didefinisikan sebagaideterminan submatriks yang diperoleh dari matriks A setelah menghilangkanke-i dan kolom ke-j.
Minor dari matriks A diatas antara lain adalah sebagai berikut :-Baris ke 1 dan kolom ke 1 dihilangkan sehingga diperoleh
� �� =� �ℎ �
jadi � �� =� �ℎ �
= �.�− �.ℎ
-Baris ke 1 dan kolom ke 2 dihilangkan sehingga diperoleh
� �� =� �� �
jadi � �� =� �� �
= �.�− �.�
- Baris ke 1 dan kolom ke 3 dihilangkan sehingga diperoleh
� �� =� �� ℎ
jadi � �� =� �� ℎ
= �.ℎ − �.�
- Baris ke 2 dan kolom ke 1 dihilangkan sehingga diperoleh
� �� =� �ℎ �
jadi � �� =� �ℎ �
= �.�− �.ℎ
Jika minor Mij menyatakan minor ke-ij dari matriks A, maka kofaktor ke-ijdari matriks A, dinyatakan dengan Cij, didefinisikan sebagai berikut
��� = −1 �� � � ��
6
Maka matriks kofaktor 3x3 dapat dituliskan sebagai:
� =
��� ��� ���
��� ��� ���
��� ��� ���
Matriks adjoin adalah transpos dari matriks kofaktor di atas yaitu:
������� = ��
=
��� ��� ���
��� ��� ���
��� ��� ���
invers dari matriks ordo 3x3 dimana
� =� � �� � �� ℎ �
dapat dihitung dari
��� =�
�����adjoin
dengan syarat � ≠ 0
Invers dari matriks A3x3
Contoh:
Tentukan invers dari matriks
� =−1 4 05 −2 −1
−3 6 3
SolusiPertama-pertama kita hitung dahulu determinan dari A, yaitu |A| = -48Selanjutnya cari matriks adjoin:
���� =0 −12 −4
−12 −3 −124 −6 −18
dan dari rumusan matriks invers kita peroleh:
��� =1
−48
0 −12 −4−12 −3 −124 −6 −18
=
0�
�
�
���
�
�
��
�
���
�
�
�
�
�
7
Untuk mencari invers dari suatu matriks, kita tuliskan matriks A, sebuahgaris, lalu matriks identitas. Selanjutnya kita melukakan “operasi baris(row operations)” untuk mengubah matriks A menjadi matriks identitas. Melalui operasi baris, maka bagian kanan akan berubah menjadi matriksinvers.
72
31A
1210
0131
2r1+r2
1072
0131
1210
0131r2
1210
3701r1 3r2
Mencari invers matriks 2x2 melaluiOPERASI BARIS
72
31A
12
371A
Cek jawaban yang diperoleh dengan mengalikannya dengan A. Jika A-1 adalah invers yang diinginkan maka hasil perkalianAA-1 akan menghasilkan matriks identitas I.
10
011AA
Carilah invers dari matriks
213
314
012
A
Solusi:Pertama-tama tuliskan
2r1 + r2
-3/2r1 + r3
Mencari invers matriks 3x3 melaluiOPERASI BARIS
2 1 0 1 0 0
4 1 3 0 1 0
3 1 2 0 0 1
100
012
001
213
310
012
10
012
001
20
310
012
23
21
1/2r2 + r3
6r3 + r2
Tambahkan ½ kali baris kedua ke baris ketiga diperoleh
Tambahkan 6 kali baris ketiga ke baris kedua
-r2 + r1
1/2*r1
211 -
641-
3-2-1
100
010
001
2r3
Tambahkan minus kali baris kedua ke baris pertama diperoleh
Kalikan 1/2 kali baris pertama dan kalikan 2 kali baris ketiga diperoleh
A-1IdentitasI3x3
1
641-
6-4-2
00
010
002
2
1
2
121
8
Menggunakan matriks invers dalammenyelesaikan sistem persamaan linear
Sistem persamaan linear dapat kita tuliskan dalam bentuk matriksseperti yang ditunjukkan di bawah ini:
x + 3y = 5
2x – y = 3
BA xKoefisienmatriks
Variabelmatriks
konstantamatriks
1 3 5
2 1 3
x
y
1BAx
1 1 BA A A x
BA x Kalikan kedua sisi dari sebelahkiri dengan invers A-1
Perkalian ini menghasilkan matriks identitas
1 BI AxDan perkalian identitas dengansembarang matriks, akanmenghasilkan matriks itusendiri.
Sehingga kita memperoleh rumusuntuk mencari variable matriks: Kalikan invers A dengan konstantamatriks
Solusinya?
Contoh 1
Tuliskan sistem persamaan linear di bawah inidalam bentuk Ax = B.
Solusi
Persamaan matriks
yang bersesuaian
4
4 3
3 3 1
y z
x y
x y z
0 1 1 4
4 1 0 3
3 1 3 1
x
y B
z
Contoh 2Tuliskan sistem persamaan di bawah ini dalam bentukpersamaan matriks AX= B. Carilah A-1 dan selesaikanuntuk memperoleh X.
Solution
Invers dari matriks di atas adalah
3 5 9
2 4
x y
x y
3 5 9
1 2 4
xAX B
y
1 2 5
1 3A
1 2 5 9 2
1 3 4 3X A B
diperoleh solusi (2, 3)
9
Solusi:
Sistem diatas dapat dinyatakan sebagai berikut :
Contoh 3Tentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaanlinear berikut :
-2x + 3y = -16x - 4y = 13
Pertama-tama kita hitung determinannya
−2 31 −4
= 5
Maka inversnya adalah
��� =�
�
−4 −3−1 −2
Jadi� = ����
=�
�
−4 −3−1 −2
−1613
=5
−2diperoleh solusi untuk sistem persamaan yaitu
(x, y) = (5, -2)
Cari inversnya
1052
0131
1210
0131
-2r1+r2
1210
0131
-r2
1210
3501r1-3r2
15 3 1 4
X B2 1 3 1
A
inilah solusiuntuk system persamaan di atas
xy
Contoh 4
352
13
yx
yx
52
31A
Contoh 5
Tuliskan sistem persamaan linear kedalam bentuk persamaan matriks AX = B. Carilah A-1 lalu cari nilai x, y dan z.
Solusi Wdengan menghitung secaramanual atau menggunakan kalkulatordapat diperoleh:
7
2 3 13
4
x z
x y z
x y z
1 0 1 7
2 1 3 13
1 1 1 4
x
y B
z
10
Kita dapat menghitung nilai determinan dan invers dari suatu matriksdengan menggunakan kalkulator.
Menyelesaikan sistem persamaan linear denganmenggunakan metoda GAUSS
Sistem persamaan linear: Sistem persamaan linear dapat ditulisdalam bentuk matriks yang diperluas(augmented matrix), suatu matriksyang mengandung koefisien dankonstanta dari sistem linear, kemudian memanipulasi matriksyang diperluas untuk memperolehsolusi dari sistem persamaan linear tersebut. Matriks yang diperluasyang bersesuaian:
11 12 1
21 22 2
a a k
a a k
2222121
1212111
kxaxa
kxaxa
Operasi yang menghasilkan matriksekivalen-baris
1. Dua baris dapat ditukar:
2. Sebuah baris dikalikan dengan constanta yang bukan nol:
3. Sebuah baris dikalikan dengan suatu konstanta kemudianditambahkan ke baris lain:
i jR R
i ikR R
j i ikR R R
Barnett/Ziegler/Byleen Finite Mathematics 11e 40
Kemungkinan bentuk akhir matriksuntuk sistem persamaan dengan 2
variabel
Bentuk 1: Solusi unik(Konsisten dan independen)
1 0
0 1
m
n
Bentuk 2: Terdapat tak-berhinggasolusi (Konsisten dan Bergantung)
1
0 0 0
m n
Bentuk 3: Tidak ada solusi(Inkonsisten)
1
0 0
m n
p
11
Bentuk eselon: Sebuah matriks yang diperluas yang koefisiennya mempunyai angka 1 pada diagonal danangka 0 di bawah angka diagonal
1 1 1 1
0 1 1 2
0 0 1 1
Solusi
Contoh 1
3 7
3 1
x y
x y
Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan mentransformasikanbentuk matriks diperluasya ke dalambentuk eselon
Tuliskan bentuk matriks yang diperluas
3 1 7
1 3 1
Lakukan operasi baris untuk mentransformasikanmatriks ke dalam bentuk eselon.
3R2 + R13 1 7
0 10 10
Bentuk matriks terakhir memberikanpersamaan:
R2 10 3 1 7
0 1 1
3 1 7
0 10 10
3 7
1
x y
y
Karena y = 1, maka x dapat diperoleh melaluisubstitusi.
Diperoleh solusi (2, 1).
3x + 1 = 7
3x + y = 7
3x = 6
x = 2
Contoh 2
Selesaikanlahx + 3y = 52x – y = 3
1. Matriks yg diperluas2. Eliminasi 2 pada baris kedua
melalui operasi baris3. Bagi baris kedua dengan -7
untuk memperolehkoefisien 1
4. Eliminasi 3 pada barispertama, kolom kedua.
:
1 2
2 2
2 1 1
1 3 5
2 1 3
2
1 3 5
0 7 7
/ 7
1 3 5
0 1 1
3
1 0 22, 1; (2,1)
0 1 1
R R
R R
R R R
x y
R2
12
Contoh 3
Selesaikan
x + 2y = 4
x + (1/2)y = 41. Kalikan persamaan dengan 2 untuk
mengeliminasi pecahannya.
2. Tuliskan sistem persamaannya dalambentuk matriks yang diperluas.
3. Kalikan baris 1 dengan -2 dantambahkan ke baris kedua
4. Bagi baris kedua dengan -3
5. Kalikan baris kedua dengan -2 dantambahkan ke baris pertama
6. Bentuk terakhir memberikan solusi:
x = 4, y = 0
2 4
14 2 8
2
1 2 4
2 1 8
1 2 4
0 3 0
1 2 4
0 1 0
1 0 4
0 1 0
x y
x y x y
Contoh 4
Selesaikan
10x - 2y = 6
-5x + y = -3
1. Tuliskan dalam bentuk matriksyang diperluas.
2. Bagi baris pertama dengan 2
3. Tambahkan baris pertama ke bariskedua
4. Karena 0 = 0 selalu benar, makakita memiliki sistem yang salingbergantung satu sama lain. Keduapersamaan di atas adalah identikartinya memiliki solusi sebanyaktak berhingga.
10 2 6
5 1 3
5 1 3
5 1 3
5 1 3
0 0 0
Contoh 5
Selesaikan
Tulis ulang persamaan kedua
Tambahkan baris pertama kebaris kedua
Baris terakhir ekivalen denganpersamaan 0x + 0y = -5
Karena persamaan inimerupakan persamaan yang tidak mungkin, maka tidakterdapat solusi.
5 2 7
51
2
x y
y x
5 2 7
5 2 2
5 2 7
5 2 2
5 2 7
0 0 5
x y
x y
Contoh 62 8
1
2 2
x y z
x y z
x y z
Solusi
Bentuk matriks yang diperluas
2 1 1 8
1 1 1 1
1 2 1 2
Gunakan metoda eselon untukmenyelesaikan
13
Tujuan kita adalah untuk mentransformasi
Ke dalambentuk
2 1 1 8
1 1 1 1
1 2 1 2
0 .
0 0
a b c d
e f g
h i
Tukar baris 1 dan baris 21 1 1 1
2 1 1 8
1 2 1 2
1 1 1 1
0 3 3 6
1 2 1 2
–2R1 + R2
1 1 1 1
0 1 1 2
0 1 2 1
1 1 1 1
0 1 1 2
0 0 3 3
–R2 + R3
(1/3)R2
R1 + R3
1 1 1 1
0 1 1 2
0 0 1 1
(1/3)R3
z = –1.
Substitusi z ke dalam y – z = 2y –(1) = 2
y + 1 = 2y = 1
Substitusi y dan z ke dalam x – y + z = 1x – 1 – 1 = 1
x – 2 = 1x = 3
diperoleh solusi (3, 1, –1).
Contoh 7
Dengan menggunakan eliminasi Gauss selesaikanlah sistem persamaan linear berikut!
Solusi
Tuliskan ke dalam bentuk matriks yang diperluas. Kita perlu angka nol padadaerah yang diarsir.
3
1
2 5
x y z
x y z
y z
1 1 1 3
1 1 1 1
0 1 2 5
Tambahkan baris pertama ke bariskedua. Langkah ini biasanya ditulissebagai R1 + R2.
1 1 1 3
0 2 2 2
0 1 2 5
14
Kita butuh angka 1 padadaerah yang diarsir.
Kita butuh angka 0 padadaerah yang diarsir.
1 1 1 3
0 2 2 2
0 1 2 5
2
1 1 1 3
0 1 1 1
0 1 2 5
1
2R
1 1 1 3
0 1 1 1
0 1 2 5
3 2
1 1 1 3
0 1 1 1
0 0 3 6
R R
Kita butuh angka 1 pada daerah yang diarsir. 1 1 1 3
0 1 1 1
0 0 3 6
3
1 1 1 3
0 1 1 1
0 0 1 2
1
3R
Karena terdapat angka 1 pada daerahyang diarsir, maka matriks inidikatakan dalam berada dalambentuk eselon-tereduksi.
z = 2, substitusi balik untukmemperoleh nilai x dan y
diperoleh solusi (2, 1, 2).
1 1 1 3
0 1 1 1
0 0 1 2
2
1
1
1
y z
y
y
3
( )1 2 3
2
x y z
x
x
Contoh 8
Eliminasi Gauss dapat digunakan untukmentransformasikan bentuk matriks yang diperluas kedalam bentuk eselon-baris tereduksi. Proses inimembutuhkan perhitungan yang lebih panjang, namunkita tidak perlu lagi melakukan substitusi balik.
Transformasi matriks dari contoh sebelumnya ke dalambentuk eselon-baris tereduksi.
1 1 1 3
0 1 1 1
0 0 1 2
Kita butuh angka 0 pada daerahyang diarsir.
2 3
1 1 1 3
0 1 0 1
0 0 1 2
R R
Butuh angka 0 pada daerah yang diarsir.
1 1 1 3
0 1 0 1
0 0 1 2
1 2 1 0 1 4
0 1 0 1
0 0 1 2
R R
1 3 1 0 0 2
0 1 0 1
0 0 1 2
R R
diperoleh solusi (2, 1, 2).
15
Contoh 9
Gunakan eliminasi Gauss untukmenyelesaikan sistem persamaanlinear berikut.
Solusi
Baris terakhir menunjukkanpernyataan yang salah yaitu 0 4.
Maka tidak ada solusi untuk sistempersamaan di atas.
3 5 2
4 2 1
6 10 2 0
x y z
x y z
x y z
3 5 1 2
4 1 2 1
6 10 2 0
3 1
3 5 1 2
4 1 2 1
0 0 0 42R R
Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan ATURAN CRAMER
Aturan Cramer
Solusi sistem persamaan linear 2 variabel (x, y)
1 1 1
2 2 2
isa x b y c
a x b y c
1 1
2 2
1 1
2 2
andx
c b
c b Dx
a b D
a b
1 1
2 2
1 1
2 2
y
a c
Da cy
a b D
a b
Solusi sistem persamaan linear 3 variabel
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
is
a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
1 1 1
2 2 2
3 3 3
1 1 1
2 2 2
3 3 3
,x
d b c
d b c
d b c Dx
a b c D
a b c
a b c
1 1 1
2 2 2
3 3 3
1 1 1
2 2 2
3 3 3
andy
a d c
a d c
Da d cy
a b c D
a b c
a b c
1 1 1
2 2 2
3 3 3
1 1 1
2 2 2
3 3 3
z
a b d
a b d
a b d Dz
a b c D
a b c
a b c
Solusi
Contoh 16 2,
2 3 2.
x y
x y
Gunakan aturan Cramer untukmenyelesaikan
Pertama-tama, kita cari D, Dx, dan Dy.
6 1
2 3D
6( 3) (2)(1)
18 2
20
2 1
2 3x
D
2( 3) ( 2)(1)
6 2
4
6 2
2 2y
D
6( 2) (2)(2)
12 4
16
4 1
20 5x
Dx
D
16 4
20 5y
Dy
D
diperoleh solusi (1/5, 4/5).
16
Contoh 2
Gunakan aturan Cramer untuk menyelesaikansistem persamaan linear berikut!
Solusi
4 3
2 9 5
x y
x y
3 427 20
5 9
1 35 6
2 5
1 49 18
2
1
7
9
x
y
D
D
D
Dx = 7, Dy = 1 and D = 1
Diperoleh solusi
71
7xDx
D
11
1
yDy
D
Solusi
Contoh 3 2 8
1
2 2
x y z
x y z
x y z
Gunakan aturan Cramer untukmenyelesaikan
2 1 1
1 1 1
1 2 1
D
Pertama-tama kita cari D, Dx, Dy, dan Dz.
1 1 1 1 1 1(2) (1) ( 1)
2 1 2 1 1 1
(2)( 1 2) (1)(1 2) ( 1)(1 1)
6 3 0
9
2 8 1
1 1 1
1 2 1y
D
8 1 1
1 1 1
2 2 1x
D
2 8
1
2 2
x y z
x y z
x y z
1 1 1 1 1 1(8) (1) ( 2)
2 1 2 1 1 1
(8)( 1 2) (1)(1 2) ( 2)(1 1)
24 3 0 27
1 1 8 1 8 1(2) (1) ( 1)
2 1 2 1 1 1
(2)(1 2) (1)(8 2) ( 1)(8 1)
6 6 9 9
17
2 8
1
2 2
x y z
x y z
x y z
2 1 8
1 1 1
1 2 2z
D
27 9 93, 1, 1.
9 9 9yx z
DD Dx y z
D D D
diperoleh solusi (3, 1, –1).
1 1 1 8 1 8(2) (1) ( 1)
2 2 2 2 1 1
(2)(2 2) (1)( 2 16) ( 1)(1 8)
0 18 9 9
Slide 9- 66Copyright © 2006 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
Selesaikan denganmenggunakan aturan Cramer
a) (1, 4)
b) (1, 3)
c) (2, 3)
d) Tidak ada solusi
5 19
2 6 22
x y
x y
Slide 9- 67Copyright © 2006 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
Selesaikan denganmenggunakan aturan Cramer
a) (1, 4)
b) (1, 3)
c) (2, 3)
d) Tidak ada solusi
5 19
2 6 22
x y
x y