DISTRIBUSI SAMPLING

Distribusi Rata-Rata

Jika μ dan σ diketahui jumlah sampel acak

Populasi ukuran n yang dapat ditarik dari populasi N

n

Masing-masing sampel rata-rata dari pokok rata σ. Dan simpangan baku dari rata-

rata σx. (sigma indeks eks) = U

= => > 5 %

Jika n cukup besar sehingga

≈ 1 Maka μX¯ = μ

σX¯ = => ≤ 5%

Contoh

n = 3

N = 200

≈ 1

DALIL LIMIT PUSAT

1

Bila contoh acak berukuran n ditarik dari suatu populasi yang besar atau tak

terhingga dengan nilai tengah μ dan ragam ², maka nilai tengah sampel x¯ akar

menyebar menghampiri distribusi normal dengan nilai tengah μX¯ = μ dan simpangan

baru x = sehingga

Contoh

Umur bola lampu merek a rata-rata 800 jam dengan ragam 1600. Hitunglah suatu

contoh acak terdiri dari 25 bola lampu mempunyai umur rata-rata kurang dari 780 jam.

Jawab

μ = 800 σ² = 1600 => σ = = 40 jam n = 25 x = 780

x = = 8

= 0,5 – 0,4938

= 0,0062

Jika sampel terdiri dari 36 bola lampu, hitunglah probabiliti rata-rata umur lampu 785-

800 jam

n = 36 x =

=

2

Z2 =

P (-2,25 < t < 0)

= 0,4878 = 48,8%

Apabilah dari populasi diketahui varianya dan perbedaan antara rata-rata dari

sampel tidak lebih dari sebuah harga d yang ditentukan, maka.

Dari contoh 1.

Berapa jumlah anggota sampel yang harus diambil jika perbedaan antara sampel

dengan sampel lainnya tidak lebih dari 5 jam, 2,5 jam, 1 jam.

Jawab

1. σ x¯ ≤ d ≤ 5 ≤ 5 25 n = 1600 n = 64 BUAH

2. ≤ 2,5 n = 256 BUAH

3. ≤ 1 n = 1600 BUAH

DISTRIBUSI BEDA DUA NILAI TENGAH

3

Bila contoh –contoh bebas berukuran n1 dan n2 diambil dari dua buah populasi

tang besar/tak berhingga masing-masing dengan nilai tengah μ1 dan μ2, serta ragam σ1²

dan σ2², maka beda kedua nilai tengah contoh akar menyebar menghampiri

sebaran normal dengan nilai tengah dan simpangan baku

μx1¯ - X2¯ = μ1 – μ2 dan σx1¯ - σx2¯ = σ1² + σ2² n1

n2

Sehingga :

Contoh :

Masa pakai tabung gambar merek A mempunyai nilai tengah. 6,5 thn dan

simpangan baku 0,9 thn. Tabung gambar B masing-masing 6 thn dan 0,8 thn. Berapa

peluang sebuah contoh acak terdiri dari 40 tabung A mempunyai umur rata-rata lebih

lama dari 45 tabung B

JAWAB

A B

μ1 = 6,5 μ2 = 6,0

σ1 = 0,9 σ1² = 0,81 σ2 = 0,8 σ2² = 0,64

n1 = 40 n2 = 45

=

P [( )>1] = P (z) = 2,69 = 0,5 – 0,4964

4

= 0,0036 => 0,36 %

DISTRIBUSI PROPORSI

Terdapat kategori a sebanyak y. Maka

parameter proporsi di =

POPULASI

N

Sampel ukuran n. Dan jika terdapat kategori

A sebanyak x. Maka statistik sampel =

Jika semua sampel yang mungkin diambil dari populasi tersebut maka di dapat

sekumpulan harga-harga statistik

Proporsi => Rata-Rata Proporsi =>

Simpangan Baku Proporsi =>

Jika dari populasi yang berdistribusi binomal dengan parameter μ¯, untuk

peristiwa A

( O < μ¯<1 ) di ambil sampel akar ukuran n dimana statistik proporsi untuk

peristiwa A = , maka n cukup besar. Distribusi proporsi ( ) mendekati distribusi

normal.

Z = X/n - μ¯

Ƭn/n => > 5%

=>

Contoh :

Ada petunjuk kuat bahwa 10 % anggota masyarakat tergolong kedalam golongan

A. sebuah sample acak terdiri atas 100 orang telah diambil.

5

1. Tentukan peluangnya bahwa dari 100 orang telah di ambil paling sedikit 15

dari golongan A.

2. Berapa orang harus diselidiki agar prosentase orang 4 dari sample yang 1

dengan lainnya diharapkan berbeda paling besar.

Jawab :

Populasi yang dihadapi berukuran cukup besar dengan μ¯ = 0,10 dan 1 - μ¯ = 0,9.1. n = 100

x = 15

Jika perbedaan antara proporsi sample yang satu dengan sampel lainnya

diharapkan tidak lebih dari sebuah harga d yang ditentukan .

2.

Perbedaan 1 %

Jika σ² baru populasi induk tidak diketahui σ² dapat diduga dengan s² jika n ≥ 30

6

Jika n < 30 => nilai s² amat bervariasi

Untuk n < 30 => distribusi t (t = student).

DISTRIBUSI STUDENT (t)

Fungsi DENSITAS f (t) =

Harga

K konstanta yang besarnya tergantung n.

Luas kurva (luas daerah dibawah kurva) = 1 unit .

Bentuk grafik = grafik distribusi normal simetrik terhadap t = 0.

Untuk distribusi t mendekati distribusi normal baku.

Contoh :

Berapa nilai t untuk p = 0,095 n = 25 tp = 1,75

= nuh => derajat bebas

Nilai tp tergantung

Probability (P)

Derajat bebas ( ) = n – 1

P = 0,95 P = 0,95 P = 0,995

n = 20 n = 10 n = 25

tp = 1,73 tp = 1,83 tp = 2,80

S² Kalau Ƭ² diketahui jangan hitung S² Kalau Ƭ tidak di ketahui maka hitunglah S²

n Σ i² - (Σ i)² S² = --------------------

n (n-1)

7

PENAKSIRAN PARAMETER

Kita berusaha untuk menyimpulkan populasi untuk itu kelakuan populasi di

pelajari berdasarkan data yang diambil secara sampling ataupun sensus. Dalam

kenyataanya, mengingat berbagai factor, untuk keperluan tersebut diambil sebuah sampel

yang representative lalu berdasarkan pada hasil analisis terhadap data sampel, kesimpulan

mengenai populasi di buat.

Kelakuan populasi yang akan di tinjau disini hanyalah mengenai parameter

populasi dan sampel yang digunakan adalah sampel acak. Data sampel dianalisis nilai-

nilai yang perlu, yaitu statistik, dihitung dan dari nilai-nilai statistik ini kita simpulkan

bagaimana parameter bertingkah laku. Cara pengambilan kesimpulan tentang parameter

yang pertama kali akan dipelajari ialah sehubungan dengan cara-cara menaksir harga

parameter.

Jadi harga parameter yang sebenarnya tetapi tak diketahui itu akan ditaksir

berdasarkan staristik sampel yang diambil dari populasi yang bersangkutan.

Parameter populasi yang akan ditaksir dan diuraikan dalam bagian ini terutama

adalah rata-rata simpangan baku dan persen.

Kenyataan yang terjadi adalah :

Menaksi Ө oleh terlalau tinggi

Menaksir Ө oleh terlalu rendah

Keduanya ini lebih jelas tidak dikehendaki karenanya kita membimbingkan

penaksiran yang baik bagiannya.

Berikut ini diberikan criteria untuk mendapatkan penaksiran yang baik :

1. penaksir dikatakan penaksir tak dibias jika rata-rata semua harga yang

mungkin akan sama dengan Ө. => Σ (Ө^) = Ө.2. penaksir bervariasi minimum : penaksir dengan varians terkecil diantara semua

penaksir untuk parameter yang pertama. Jika 1 dan 2 dua penaksir untuk Ө

dimana varians 1 < 2 maka 1 merupakan penaksir bervarians minimum.

8

3. misalkan penaksir untuk Ө yang berdasarkan sebuah sampel acak berukuran n.

jika ukuran sampel n makin besar mendekati ukuran populasi menyebabkan

mendekati Ө, maka disebut penaksir konsisten.

4. penaksir yang tak bias dan bervariasi minimum dinamakan penaksir terbaik.

MENAKSIR PARAMETER

Jika Ө adalah parameter populasi maka adalah penduga untuk Ө.

POPULASI Ө = μ = X¯ Ө μ P Ƭ² s²Penduga yang baik adalah pendugaan (penduga) yang tak bias dan paling efisien.

Menaksir parameter - taksiran titik

- taksiran selang

Tak siran selang (INTERVAL).sebuah selang yang di dengar diharapkan terletak

nilai parameter yang sebenarnya.

P ( 1 < θ < 2) = j

γ = koefien kepercayaan

Ө1 = batas kepercayaan sebelah bawah

Ө2 = batas kepercayaan sebelah atas

γ semakin besar maka semakin baik

γ = 0,95 – 0,99.

95 % nilai akar berada di antara 1 dan 2

taraf siqnifikan (<).

9

MENAKSIR RATA-RATA (μ)

Simpangan baku diketahui

Selang kepercayaan ( ) 100 % bagi μ

x¯ - Z ¹/2 γ < µ < x¯ + Z¹/2 γ

Contoh :

Telah diketahui Iq mahasiswa UNM. A berdistribusi normal dengan ragam 49.

sebuah sampel acak berukuran n= 36 mahasiswa. Di ambil dari populasi tersebut dan

rata-rata IӨ ke mahasiswa tersebut adalah 115 buatlah selang kepercayaan 95 % untuk

nilai tengah IӨ mahasiswa universitas A.

Penyelesaian

Dik : σ² = 49 σ = 7 n = 36 = 115

- Z ½ γ < μ< + z₁/₂γ

115 – z 0,475 < μ < 115+ Z 0,475

115 – 1,96 < μ < 115 + 1,96

112,711 < μ < 115 + 1,96

115 – Z 0,495

115-2.575

112 Contoh :

Jika IӨ mahasiswa universitas A terdistribusi normal dan tidak di ketahui.

Buatlah selang kepercayaan 95 %-99 % berdasarkan sampel acak ukuran 25 dengan rata-

rata 116 dan simpangan baku sampel 8.

Jawab :

n= 25 = 116 S = 8

10

- tp < μ < + tp

P =

= 0.975 DB = n – 1

= 25 – 1 = 24

Untuk J =95 % t 0,975,24 = 2,06

116 – 2,06

112,70 <μ

MENAKSIR RATA-RATA (μ)

Simpangan Baku Tidak Diketahui

- tp < μ < + tp

Tp dari tabel t => P =

DB = n – 1

Untuk J = 99 % P = = 0,995

DB = n-I => 25-1 = 24

tp 0,995,24 = 2,8

112,70 <

Selang kepercayaan (j) 100 % bagi μSimpangan baku tidak diketahui, tetap n cukup besar.

- tp < μ < + tp

11

Soal sama dengan sebelumnya.

Berdasarkan sampel uku7ran 64 dengan rata-rata 117 dan simpangan baku sampel 9.

Jawab :

N = 64 = 117 S = 9

Untuk ) j = 95 %

117 – t

Untuk J = 99 % dicari sendiri

UKURAN CONTOH UNTUK PENAKSIRAN RATA-RATA

Bila digunakan untuk menduga μ kita percaya (γ) 100 % bahwa bobotnya

tidak akan melebihi satuan tertentu b, bila ukuran contohnya di ambil sebanyak

²

Berapa n yang harus diambil kalau kita ingin percaya bahwa nilai dengan tidak

menyimpan dari μ sebanyak maka 2. Bila diketahui IӨ mahasiswa berdistribusi normal

dengan simpangan baku.

Jawab :

Dik : J = 95 % σ = 9 b = 2

N =

Menaksir selisi rata-rata (μ1 – μ2 ) σ1 = Ƭ₂ jn diketahui

(X¯₁‒X¯₂)‒ (μ₁‒μ₂<(85‒76)+

4,84 < μ₁‒μ₂< 13.16Ƭ₁ = Ƭ₂ tetapi tidak diketahui besarnya.

12

(X¯₁‒X¯₂)‒tp <(X¯₁‒X¯₂) + tp

P = DB = (μ₁+μ₂)‒2 S² = ( n₁‒1) S₁²+(n₂‒1)S3² n₁+n₂‒2

contoh :

selang kepercayaan (95 %) pada μ₁‒μ₂ dari universitas A yang terdiri dari 15

mahasiswa, dengan rata-rata 87 dan kelas B yang terdiri dari 14 mahasiswa dengan nilai

rata-rata 79 simpangan baku untuk kelas A dan B masing-masing 6 dan 7.

Jawab :

n₁ = 15 μ₂ = 14

X¯₁ = 87 X¯₂ = 79

S₁ = 6 S₂ = 7

Simpangan Baku Gabungan

S² = (15 – 1) 6² + (14 – 1) 7² = 14. 36 + 13. 49 15 + 14 – 2 27

S =

Untuk 95 % = J P =

DB = n₁ + n₂ - 2 = 27 t 0.975,27 = 2,05

(87-79) – 2.05 65 < μ₁‒μ₂ < (87-79) + 2,05 65

X < μ₁‒μ₂ < X₁

LANGKAH II PENGUJIAN HIPOTESIS

1. Nyatakan hyfotesis nol = Ho. Ө = Өo

2. Tentukan hypotesis alternatife = H₁ yang sesuai

H₁ = Ө < Өo, H₁ : Ө > Өo H₁: Ө ≄Өo

3. Taraf nyata / significans

catatan : biasanya ≥ 5 % (0-5 %)

13

4. Pilih Yi statistik yang sesuai : z, t ,y² ,F.

5. tentukan daerah kitis (tergantung pada H₁)

Ө<Өo => Yi pihak kiri

Catatan : Hypotesis di tolak PO daerah kritis (daerah di arsir)

Ө > Өo = Yi dua pihak kanan

Ө≄Өo => Yi dua pihak

6. Rating nilai statistik Yi berdasarkan data contoh.

7. Tolak Ho jika nilai statistik Yi jatuh pada daerah kritis.

8. Terima Ho jika nilai statistik Yi jatu diluar daerah kritis.

Tuliskan pernyataan yang bermakna tentang hypotesis yang terjadi.

Contoh : rata-rat curah hujan bulan januari 40 Cm.

Ho = μ = 40 Ho = μ = 5 ton

H₁ = μ > 25 H₁ = μ 5 ton

Yi rata-reata / nilai tengah (μ)

Z = X¯‒μo

14

Contoh :

Rata-rata masa pakai lampu merek A 800 jam dengan ragam 1600. apakah rata-

rata masa pakai lampu tersebut masih tetap jika dari 30 buah lampu yang diambil secara

acak menghasilkan masa pakai rata-rata 788 jam Yi dilakukan pada tarap ℓ = 5 %

Jawab : Ho = μ0 = 800 ℓ = 5 % X¯ = 788 n = 30

H₁ = μ1 ≄ 800 Ƭ² = 1600 => Ƭ = 40

=

Dari hasil hitungan Ho di terima atau berarti bahwa ; umur rata-rata dari lampu A

masih belum berubah.

1. Perusahaan alat olahraga menyatakan barang pancing sintetik yang menghasilkan

mempunyai kekuatan tidak kurang dari 8 Kg. Dengan simpangan baku 0,5 Kg.

Untuk menguji kebenaran ucapan tersebut 50 batang pancing dites dan

kekuatannya 7,8 Kg. Benarkah ucapan perusahaan tersebut pada taraf ℓ = 1%.

Jawab :

H0 = μ = 8 ℓ = 1% Ƭ = 0,5

H1 = μ < 8 X = 7,8

Z = X - μ

15

Dari hasil perhitungan terlihat bahwa H0 ditolak. Pernyataan tersebut diatas tidak

diterima (berarti tidak ada pancing yang tahan sampai 8 kg).

2. Harapan hidup rata-rata di 4S adalah 70 tahun. Dari catatan kematian sebanyak

100 orang yang diambil secara acak diperoleh umur rata-rata 71,8 tahun dan

simpangan baku 8,9 tahun. Apakah ini menunjukkan bahwa harapan hidup lebih

besar dari zona pada taraf ℓ = 5%.

Jawab :

H0 = μ = 70 ℓ = 5% N = 100 Z =

H1 = μ > 70 X = 71,8 S = 8,4 = Ƭ H0 ditolak

16

3. Masa pakai lampu rata-rata 800 jam untuk menguji hal tersebut dicoba 25 buah

lampu dan diperoleh rata 788 jam dan simpangan baku 50 jam. Apakah masa

pakai lampu belum berubah pada taraf ℓ = 1%.

Jawab :

H0 = μ = 800 ℓ = 1 S = 50

H1 = μ ≠ 800 μ = 25 X = 788

H0 diterima jadi masa pakai lampu masih mencapai rata-rata 800 jam.

4. Waktu rata-rata yang diperlukan untuk mendaftar 1 orang mahasiswa pada setiap

semester adalah 50 menit. Suatu prosedur pendaftaran baru dengan system

komputerisasi. Sedang dicoba bila suatu contoh diacak T/D. 12 mahasiswa

memerlukan waktu pendaftaran 42 menit dengan simpangan baku 11,9 menit

dengan sisitim tersebut ujilah hypotesis bahwa waktu yang dibutuhkan untuk

pendaftaran kurang 50 menit pada taraf ℓ = 5 % dan ℓ = 1 %.

Jawab :

Ho = μ = 50 ℓ = 5 %

H₁ = μ < 50 ℓ = 1 %

μ = 12. S = 11,9 X¯ 41

17

t = ℓ = 1 %

catatan :

untuk ℓ = 1 % Ho di terima

untuk ℓ = 5 % Ho ditolak

Proses pengisihan minuman ke dalam botol oleh sebuah mesin variasinya 0,50. sebuah

mesin baru di coba dan dari 20 botol yang di isi variasinya 0,40. apakah anda dapat

percaya bahwa mesin baru tersebut mengisi. Botol minuman dengan variasi lebih kecil ℓ

= 1 %.

Ho = Ƭ² = 0.5 ℓ = 1 % μ = 20

H₁ = Ƭ² < 0,5 S² = 0,4

X² = (n – 1) S² =

Ƭ² catatan lihat tabel X² P = 0.01 (¯ 1 %) DB = 20 – 1 = 19

Perusahan aki menyatakan bahwa simpangan baku aki yang diproduksinya adalah 0,9

Thn bilah suatu contoh acak 10 buah aki menghasilkan S = 1,2 Thn. Apakah menurut

anda . 0,9 Thn dengan ℓ = 5 %

Jawab :

Ho : Ƭ² = 0,9² = 0,81 n = 10 S = 12

H₁ : Ƭ² > 0,81 S²= 1,44

X² =

18

Catatan lihat tabel X²P = 0,01 (1 %)

DB = 20 – 1 = 19

Perusahaan aki menyatakan bahwa simpangan baku aki yang di produksinya adalah 0,9

Thn bila suatu contoh acak 10 buah aki menghasilkan S = 1,2 Thn. Apakah menurut anda

> 0,9 Thn dengan ℓ= 5%

Jawab :

Ho = Ƭ² = 0,9² =0,81 n = 10 S = 1,2

H₁ = Ƭ² > 0,81 S² = 1.44

X² =

Untuk uji 2 pihak

19

ℓ cari di tabel ℓ

X² (μi)

Uji proporsi

Dapatkah disimpulkan bahwa proporsi jenis laki-laki dan wanita sama jika dari 4800

orang yang diambil secara acak terdapat 2458 laki-laki pada taraf ℓ = 5 %.

Jawab :

Ho = μ¯ = 0,5 X = 2458

H₁ = μ¯≄ 0,5 n = 4800

Z =

(1- )< Z <Z (1- ) Z (1- ) di dapat dari tabel

dengan peluang (1-X)

(1-0,85) = 0,475

Jadi proporsi laki-laki dan wanita masih dapat diterima.

Obat penenanang ketegangan syaraf di duga hanya efektif 60%. Percobaan dengan obat

baru terhadap 100 pasien menunjukkan bahwa obat baru tersebut mempunyai 70%

efektif. Apakah ini cukup kuat untuk menyatakan bahwa obat baru tersebut efektif

dengan = 5%.

Jawab :

20

H0 = 0 = 0,6 = 5% = 70 % = 0,7.

H1 = >0,6 n = 100

Z = = = 2,04

H0 ditolak

H1 diterima

Uji Dua Nilai Tengah A. 1 = 2 = dan diketahui

Z =

H0 : U1=U2 Z ≥ Z (0,5-1/2 )

H1 : U1≠U2 Z ≤ -Z (0,5-1/2 )

H1 : U1 < U2 Z ≤ -Z (0,5- )

B. H1 : U1 >U2 Z ≥ Z (0,5- )

B. 1 = 2 = dan tidak diketahui

T = S2 =

H0 : U1 = U2

H1 : U1≠U2 t ≥ t1-1/2 U/ t ≤ - t1-1/2

H1 : U1 < U2 t ≤ -G-

H1 : U1 > U2 t ≥ t1-

DB = n1+n2-2

21

22

1 ≠ 2

T1 =

Daerah KritisH0 : U1 = U2

H1 : U1≠U2 t1≥ u/ t1 ≤ -

H1 : U1 < U2 t1 ≤ -

H1 : U1 > U2 t1 ≥

Dimana untuk 2 uji pihak

t1 = t (1- ½ ) (n1-1)

t2 = t (1- ½ ) (n2-1)

Uji Satu Pihak t1 = t (1- ½ ) (n1-1)

t2 = t (1- ½ ) (n2-1)

W1 = s12/n1 W2 = s2

2/n2

Observasi Berpasangan

T = Daerah Kritis

H0 : UB = 0

H1 : UB ≠ 0 t ≥ t (1-1/2 ) u/ t ≤ -t (1-1/2 )

H1 : UB<0 t ≤ -t (1- )

H1 : UB>0 t ≥ t (1- ) DB = n-1

23

Contoh:

Bahasa Inggris diberikan dengan 2 metode. Metode 1 untuk 25 mahasiswa metode II

untuk 14 mahasiswa. Nilai rata-rata metode 1 = 85 dengan simpangan baku 4 nilai rata-

rata metode II = 81 dengan simpangan baku 5. ujilah nilai rata-rata kedua metode II B

berbeda satu atau tidak pada rata-rata = 5%

Jawab :

H0 : U1 = U2 U1=15 U2= 14

H1 : U1≠U2 S1= 4 S2= 5

= 5 % X = 85 X= 81

T= S2 =

=

S = 4,51

T=

Ho ditolak

P = 1-1/2 ℓ = 0,975

DB = (U1 + U2) – 2 = 27

24

Jumlah pasangan ayah dan anak 10. rata-rata beda tinggi anak dan ayah 0,8 dan

SB2=11,07. ujilah Po taraf =5% beda tinggi ayah dan anak cukup berarti.

Jawab :

Ho = UB = 0 = 5% SB2 = 11,07 = 3.33

H1 = UB ≠ 0 B = 0,8 N = 10

T = t = (1-1\2 ):n-1 = t 0,995,9

= 2,26

Ho terminal

25