Download ppt - KVALITET SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

3 kriterijuma

Kod projektovanja ili ocene kvaliteta sistema automatskog upravljanja kao što je regulisani elektromotorni pogon, bitna su tri kriterijuma:

stabilnost statička karakteristika

dinamička karakteristika Analiza prema redosledu i važnosti:

stabilnost, zatim ponašanje u stacionarnom stanju, i na kraju kvalitet prelaznog režima.

KVALITET SISTEMA KVALITET SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJAAUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

1

Stabilnost

• Teorema Ljapunova o stabilnosti dinamičkih sistema

Za linearne dinamičke sisteme

• Algebarski kriterijumi stabilnosti

• Grafo-analitički kriterijumi stabilnosti

2

Алекса́0ндр

Миха́0йлович

Ляпуно0в,

1856-1918

Za stacionarne, kontinualne, fizički ostvarive, linearne sisteme sa

koncentrisanim parametrima, potreban i dovoljan uslov za

stabilnost jeste da svi koreni njegove karakteristične jednačine

imaju negativne realne delove ili, što je isto, da leže u levoj

poluravni kompleksne promenljive p. [1].

[1]. M. Stojić, Kontinualni sistemi automatskog upravljanja, Naučna knjiga, Beograd

1 0 1 2... ... 0

Re( ) 0, 1,...,

w

nn n n

i

N pF p

D p

D p a p a p a a p p p p p p

p j n

U opštem slučaju, za kompleksna rešenja, uslov je Re(pj)<0,

U slučaju realnih rešenja karakteristične jednačine, uslov se svodi se na

pj <0

Kontinualni sistemi

3

Svi koreni karakteristične jednačine u levoj polovini kompleksne ravni:

Diskretni sistemi

4

Potreban i dovoljan uslov za globalnu asimptotsku stabilnost linearnog digitalnog (diskretnog) sistema

je da sve nule svojstvenog polinoma matrice A, odnosno svi koreni karakteristične jednačine

budu po modulu manji od 1 ili, što je isto, da se nalaze unutar jediničnog kruga sa centrom u koordinatnom početku z ravni [1].

1( ) ( )k kt t x A x

det( ) 0z I A

[1]. M. Stojić, Digitalni sistemi upravljanja, Nauka, Beograd

1 1w

W p W pYF p p Y p U p

U W p W p

Statičke karakteristike

5

u yW(p)

+

_e

Posmatrajmo sistem:

Pretpostavimo da je sistem stabilan.

Greška je:

0

1

1

lim lim limt t p

E p U p Y p U pW p

e e t u t y t pE p

Odnosno:

01

p

p U pe

W p

Uzmimo dalje da se W(p) u opštem slučaju može predstaviti u obliku:

0

00 0 1

r

k P pW p

p Q p

P Q

r - je astatizam sistema6

Astatizam sistema

7

0

0

0 0 1r

k P pW p P Q

p Q p

ako je r = 0 (nulti astatizam),

0

limp

W p k

ako je r = 1 (astatizam prvog reda),

ako je r = 2 (astatizam drugog reda),

0

lim 0p

p W p

2

0lim 0p

p W p

0

limp

W p

0

limp

p W p k

2

0lim 0p

p W p

0

limp

W p

0

limp

p W p

2

0limp

p W p k

Konstanta položaja Brzinska konstanta Konstanta ubrzanja

Posmatrajmo sistem kada se na ulaz dovede odskočni signal:

0

0

0

1 1 p

p

up

upe

W p k

- konstanta položaja

ako je r = 0, kp = k greška postoji e()=u0/(1+k)

za r > 0, kp→∞ greška ne postoji e(∞)→0.

Sistem nultog astatizma

8

00

uu t u h t U p

p

0

lim pp

W p k k

r = 0, kp = k greška postoji

Odziv sistema sa nultim astatizmom u vremenskom domenu.

r > 0, kp→∞, greška ne postoji

9

Posmatrajmo sistem kada se na ulaz dovede linearna funkcija (rampa):

0

0

0

1 v

p

uup

eW p k

0

lim vp

pW p k k

- brzinska konstanta

0 0vr k e

Primer „soft start”Konstantno ubrzanje.

01 /vr k k e u k

1 0vr k e

Sistemi sa astatizmom prvog reda

10

00 2

( )u

u t u t U pp

Greška se povećava.

Greška ne postoji.

Greška ima konačnu vrednost.

Vremenski odziv sistema sa astatizmom nultog reda kada se na ulaz dovede “rampa” funkcija.

kp = k, greška postoji

kv = 0, e(∞) → ∞

11

Odziv sistema sa astatizmom prvog reda kada se na ulaz dovede “rampa” funkcija

kv≠0kv=k

kp

12

Odziv sistema sa astatizmom drugog reda kada se na ulaz dovede “rampa” funkcija

kv

kp

13

Posmatrajmo sistem kada se na ulaz dovede polinomijalna funkcija (na pr. kvadratna):

02

0

0

1 u

p

uup

eW p k

2

0lim up

p W p k k

- konstanta ubrzanja

2 0ur k e

02 /ur k k e u k

2 0ur k e

Sistemi sa astatizmom drugog reda

14

2 00 3

( )u

u t u t U pp

Greška se povećava.

Greška ne postoji.

Greška ima konstantnu vrednost.

Primer: zadavanje ciljne (referentne) pozicije kod sistema za pozicioniranje.

kp

r=1<2, ku=0, e(∞)→∞

r=2 ku=k

Greška se povećava

Odziv sistema kada se na ulaz dovede signal sa kvadratnom zavisnosti od vremena

15

uu

up

yx+

–

–

+F1(p) F2(p)

Statička greška kod sistema sa dva ulaza

16

uu – Upravljački ulaz

up – Poremećaj

0

1

2

lim lim

( )

( )

ut p

u

u

p

e u t y t p E p

E p U p Y p

X p F p U p Y p

Y p F p X p U p

Statička greška kod sistema sa dva ulaza

17

21

1 2

2

1 2 1 2

1

1

1 1

u p

u p

Fy p F U p U p

F F

FE p U p U p

F F F F

*

uU pp

1

mp T

Uprošćeni primer regulisanog pogona

18

mp

mU p

p

uu(t)

t

ω*up(t)

t

mm

ω*

mm

ωme+

–

–

+k

*

uU pp

1

mp T

Odloženo dejstvo poremećaja

19

uu(t)

t

ω*

0p tmp

mU p e

p

up(t)

t

mm

t0

ω*

mm

ωme+

–

–

+k

a) Proporcionalni regulator brzine, veoma brz odziv momenta, Njutnova jednačina

1( )F p k 2

1( )

m

F pp T

*

0

1

lim1 1

m

m m

p

m m

mpp

p p T mpe

k k kp T p T

0mm

0mm


20

*

0lim 0

1p

m

pp

ek

p T

2

1 2 1 2

1

1 1u p

FE p U p U p

F F F F

b) Proporcionalno-Integralni regulator brzine, veoma brz odziv momenta, Njutnova jednačina

1

1 1( ) i

p ii

p TF p k K K

p T p

2

1( )

m

F pp T


21

1

mp Tω*

mm

ωme+

–

–

+

Kp

1iK

p

+

+

b) Proporcionalno-Integralni regulator brzine, veoma brz odziv momenta, Njutnova jednačina

1

1( ) i

i

p TF p k

p T

2

1( )

m

F pp T

*

0

1

lim 01 11 1

1 1

m

m

p i i

i m i m

mpp

p p Tpe

p T p Tk k

p T p T p T p T

0mm

0mm


22

*

0lim 0

1 11

pi

i m

pp

ep T

kp T p T

Dinamičke karakteristike

• Posmatramo sisteme drugog reda

• Promena upravljačkog ulaza kao “step funkcija”

• Dva različita slučaja:– Sa konjugovano kompleksnim polovima.– Sa realnim polovima (koji u opštem slučaju

nisu jednaki, ali bi mogli biti).

23

Dominantni konjugovano-kompleksni polovi

24

2

2 2( )

2n

wn n

F pp p

00( ) ( ) ( )

uu t u h t U p

p

20

2 2( ) ( ) ( )

2n

wn n

uY p U p F p

p p p

y(t)

Fw(p)

u(t)

U(p) Y(p)

1

20 2

2

( ) £ ( ) ( )

11 cos 1

1

arccos 1

n

w

tn

y t U p F p

u e t

Dominantni konjugovano-kompleksni poloviKorišćene oznake:

25

ωn – prirodna (neprigušena) učestanostζ – faktor relativnog prigušenjaπ – preskok [%]Ts – vreme smirivanjaTk – vreme kašnjenja – period oscilacijaTu – vreme usponaTd – dominantna vremenska konstantaTr – vreme reagovanja


26

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Vreme, t [s]

u(t)

, y(t

)

0.63 u0

ymax

Td Ts

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Vreme, t [s]

u(t)

, y(t

)

0.5 u0

ymax

T10 T90

±5%(±2%)

Td

Ts

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Vreme, t [s]

u(t)

, y(t

)

0.63 u0

ymax

Td Ts

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Vreme, t [s]

u(t)

, y(t

)

0.5 u0

ymax

T10 T90


27

Tu

Tk

Tr

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Vreme, t [s]

u(t)

, y(t

)ymax

t t


28

τ

π

Dominantni realni polovi (dva realna pola)

29

1 2

1 2 1 2

1( )

1 1w

p pF p

p p p p T p T p

00( ) ( ) ( )

uu t u h t U p

p

( ) ( ) ( )wY p U p F p y(t)

Fw(p)

u(t)

U(p) Y(p)

2 1

1 2

1

1 20

1 2 1 2

/ /1 20

1 2 1 2

( ) £ ( ) ( )

1

1

w

p t p t

t T t T

y t U p F p

p pu e e

p p p p

T Tu e e

T T T T

1 21 2

1 1T T

p p

Dominantni realni polovi (dva realna pola)Korišćene oznake:

30

Ts – vreme smirivanjaTk – vreme kašnjenjaTu – vreme usponaTd – dominantna vremenska konstanta

Ne mogu se definisati:ωn – prirodna (neprigušena) učestanostζ – faktor relativnog prigušenjaπ – preskok [%]τ – period oscilacijaTr – vreme reagovanja


31

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Vreme, t [s]

u(t)

, y(t

)

0.63 u0

Td Ts

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Vreme, t [s]

u(t)

, y(t

)

0.5 u0

T10 T90

±5%(±2%)

Td

Ts


32

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Vreme, t [s]

u(t)

, y(t

)

0.63 u0

Td Ts

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Vreme, t [s]

u(t)

, y(t

)

0.5 u0

T10 T90

Tu

Tk

Matlab/Simulnik model

33

1

s +0.5s+12

Transfer FcnStep Scope

1

s+0.64147

Transfer Fcn1

1

s+1.55826

Transfer Fcn2

Scope11

s +2.2s+12

Transfer Fcn3