Download pdf - La méthode ziegler nichols pour la détermination des paramètres d un controleur pid pour un système 2 eme order

الجمهورية الجزائرية الديمقراطية الشعبية

République Algérienne Démocratique et Populaire

Ministère de l'Enseignement Supérieur

et de la Recherche Scientifique

Université de Bechar

Faculté des Sciences et Technologie

Département de Technologie

ارة التعليم العالي والبحث العلميوز

جامـــعة بشــار

كلية العلوم والتكنولوجيا

التكنولوجياقســــم

Mémoire de Fin d’Etudes pour l’obtention du diplôme de Licence

Domaine : Sciences Techniques

Filière : Génie Electrique

Spécialité : automatisme industriel

Thème

La méthode de Ziegler-Nichols pour la

détermination des paramètres d’un contrôleur PID pour un système 2éme ordre

Présenté par : Rahmani Oussama

Encadreur : HAIDAS Mohammed

Année Universitaire : 2013/2014

2

REMERCIEMENTS

Je remercie dieu qui ma donné la force et la volonté d’accomplir ce modeste

travail.

Je tiens à présenter mes grandes reconnaissances à mon encadreur

Mr: Haidas Mohammed qui par son confiance, ses conseils ont porté une

attention constante à mon travail, ainsi que pour tous ses encouragements

pendant toute la durée de ce travail et pour les nombreux discussions

fructueuses que j'ai eu. Qu'ils trouvent dans ce mémoire l'expression de ma

profonde gratitude.

Je tiens également à exprimer mes plus vifs remerciements aux

membres de jury espérant qu'ils jugent très utiles et accepter mon présent

mémoire.

Sans oublier les enseignants qui mon soutenus durant les années de

mon cursus universitaire.

En fin je remercie vivement tous ceux qui de prés ou de loin, ont

contribué d’une manière ou d’une autre à la réalisation de ce mémoire.

A tous, on dit merci.

Rahmani Oussama

3

DEDICACE

Je dédie ce modeste travail:

A mon père et à ma mère sans l’aide des quels ce travail n’aurai

pu se réaliser, avec l’expression de mon respect et mon affection que

dieu les protège.

A toute ma famille

A mes amis

A touts qui me connaissent

Sommaire

Introduction générale…………………………………………………………....

6

Chapitre I : Généralités sur les systèmes asservis

I.1. Introduction ……………………………………………………...................... 8

I.2. Principe général de la régulation ………………………………...................... 8

I .3.Expression de la fonction bouclée …………………………………………… 9

I.3.1. Système en Boucle Fermée (FTBF)…………………………...................... 9

I.3.2. système en boucle ouverte (FTBO)…………………….............................. 10

I.4. Nécessité de la boucle fermée ……………………………….......................... 11

I.5. Quelques types des régulateurs ……………………………………………… 11

I.6. Modélisation des systèmes dynamiques linéaires continus………………….. 12

I.7. Equations d'un système linéaire …………………………………………… 12

I.9. Qualités d’un système asservi ……………………………...........…………... 12

I.9.1. Stabilité : Compensation …………………………………...………….. 13

I.9.2. Précision …………………………………………………...…………... 13

I.9.3. Rapidité ………………………...…………………………..………….. 14

I.10. Comportement des systèmes asservis………………………….………….... 14

I.11. Conclusion ……………………………………………………...…………... 15

Chapitre II : Modélisation brushless DC moteur

II.1. Introduction……………………………………………………..…………... 17

II.2. Description d’un brushless DC moteur …………………………………....... 17

II.3 Composition du moteur brushless……………………………………………. 18

II.4. Modélisation d’un brushless DC moteur ………………………………….... 18

II.4.1. Les équations électriques .………………….....................…………...... 18

II.5. Maxon BLDC Moteur ………….……………………………..…………...... 22

II.5.1. Maxon EC 45 flat ∅45 mm, brushless DC motor ……..…………......... 22

II.6. Les différents types de moteur brushless ……………………...………….... 23

II.6.1. Moteurs brushless outrunner……………………………..………….... 23

II.6.2. Moteurs brushless inrunner …………………………………………... 24

II.6.3. Moteurs brushless disques ……………………………….…………... 25

5

II.7. Conclusion…………………………………………………………………... 25

Chapitre III : Asservissement en vitesse et en position du modèle

de l'articulation

III.1. Introduction………………………………………………………………... 27

III.2. Principe général d’un correcteur PID ……………………………………... 27

III.3. Réglage d'un PID …………………………………………………………... 28

III.4 Les paramètres du PID influencent sur la réponse du système de la manière

suivante……………………………………………………………………..

29

III.5. Les caractéristiques du régulateur PID …………………..………………... 30

III.5.1.Structure des régulateurs PID ………………………………………... 30

III.6.Les actions PID ……………………………………………………………... 31

III.7.Méthode de Ziegler-Nichols …………………………………..………….... 32

III.7.1. Méthode de la réponse indicielle ………………………..…………... 32

III.7.2. Méthode du point critique…….……………………………………... 32

III.7.3.Autre méthode de Ziegler empiriques…………………..………….... 33

III.7.3.a. Essai en boucle ouverte ………………………………………... 33

III.7.3.b. Essai en boucle fermée ………………………………………... 34

III.8. Conclusion ………………………………………………………………... 34

Conclusion générale………………………………………………..…………... 36

6

Introduction Générale

Les régulateurs PID répondent à plus du 90% des besoins industriels et le nombre

de régulateurs installés dans une usine pétrolière, par exemple, se compte par milliers.

Malheureusement, malgré l'expérience acquise au fil des ans, les valeurs choisies pour

les paramètres P, I et D ne sont pas toujours satisfaisantes, ni adaptées au processus à

régler.

L'histoire des régulateurs est déjà longue et il peut être intéressant de rappeler

quelques étapes importantes. Les premiers régulateurs de type centrifuge apparaissent

vers 1750 pour régler la vitesse des moulins à vent, suivi en 1788 du fameux

contrôleur de vitesse d'une machine à vapeur de James Watt.

En 1942, Ziegler et Nichols ont proposé deux démarches permettant de trouver

facilement les paramètres optimums pour une installation donnée. Au fil des ans, les

propositions de Ziegler et Nichols ont été adaptées ou modifiées selon les besoins.

De nos jours le moteur brushless est largement utilisés dans l’industrie.

Le défaut principal des moteurs à courant continu est la présence des balais, qui

engendrent des frottements, des parasites, et limitent la durée de vie du moteur par

leur usure. Pour éviter tous ces problèmes on utilise des moteurs brushless, ou

moteurs sans balais.

Dans un premier temps, nous étudierons le Généralité sur les systèmes asservis,

puis nous verrons modélisation d’un moteur brushless. Enfin, pour terminer nous

verrons commende PID d’un moteur brushless.

Chapitre I :

Généralité sur les

Systèmes Asservis

Chapitre I : Généralité sur les systèmes asservis

8

I-1) Introduction :

En Automatique, on désigne par système un procédé de nature quelconque qui évolue

sous l’action de son entrée u (input) et dont l'évolution est caractérisée par sa sortie y

(output). Si ces deux grandeurs sont des fonctions d’une variable continue t, on parle de

système à temps continu, d’entrée u(t) et de sortie y(t).

Dans ce chapitre sera présenté les généralités sur les systèmes asservis ainsi que la

régulation en boucle ouverte et en boucle fermée.

I-2) Principe général de la régulation :

Dans la plupart des appareils dans des installations industrielles et domestiques, il est

nécessaire de maintenir des grandeurs physiques à des valeurs déterminées, en dépit des

variations externes ou internes influant sur ces grandeurs. Par exemple, le niveau d’eau

dans un réservoir, la température d’une étuve, la vitesse et la position des moteurs, étant

par nature variables, doivent donc être réglés par des actions convenables sur le processus

considéré. Si les perturbations influant sur la grandeur à contrôler sont lentes ou

négligeables, un simple réglage dit en boucle ouverte, permet d’obtenir et de maintenir la

valeur demandée (par exemple : action sur un robinet d’eau). Dans la majorité des cas,

cependant, ce type de réglage n’est pas suffisant, parce que trop grossier ou instable. Il faut

alors comparer, en permanence, la valeur mesurée de la grandeur réglée à celle que l’on

souhaite obtenir et agir en conséquence sur la grandeur d’action, dite grandeur réglante.

On a, dans ce cas, constitué une boucle de régulation et plus généralement une boucle

d’asservissement. Cette boucle nécessite la mise en ouvre d’un ensemble de moyens de

mesure, de traitement de signal ou de calcul, d’amplification et de commande d’actionneur,

constituant une chaine de régulation ou d’asservissement. La consigne est maintenue

constante et il se produit sur le procédé une modification d’une des entrées perturbatrices.

L’aspect régulation est considéré comme le plus important dans le milieu industriel, car les

valeurs des consignes sont souvent fixes. Néanmoins, pour tester les performances et la

qualité d’une boucle de régulation, on s’intéresse à l’aspect asservissement.


9

I -3) Expression de la fonction bouclée :

I-3-1) Système en Boucle Fermée ( FTBF ) :

Soit un système asservi, le plus général, représente par le schéma de la fig.

Figure. I.1: Schéma fonctionnel d’un système asservi (Boucle Fermée)

Soit A(p) et B(p), respectivement, les fonctions de transfert des chaines directes et de

retour.

Cherchons la fonction de transfert du système complet :

H(p) = 𝑆(𝑝)

𝜀(𝑝) (I.1)

Nous avons les relations suivantes :

S(p) = A(p) . (p) S ' (p) = B(p) .S(p) (p) = E(p) – S ' (p)

S(p) = A(p) . [ E(p) – S ' (p) ] = A(p) . [ E(p) – B(p) . S(p) ]

d’où S(p) = A(p)

1+A(p).B(p) E(p) (I.2)

La fonction de transfert d'un système bouclé ou en Boucle Fermée (FTBF) est donc le

rapport de la fonction de transfert de sa chaîne directe à 1 + A(p). B(p.:

H(p) = A(p)

1 A(p).B(p) (I.3)

On distingue :

• Le calcul de l’erreur permet de comparer la valeur de la consigne à la valeur réelle de la

sortie (grandeur à réguler), INTERET

• un régulateur qui calcule la commande de façon à ce que le système atteigne l'objectif

fixé,


10

• un actionneur qui réalise l'interface de puissance,

• un capteur permettant la mesure (ou l'estimation) de la valeur à réguler.

Remarque :

On utilise ensuite les méthodes vues précédemment sur cette FTBF pour étudier la

réponse 𝑠(𝑡) du système à une entrée 𝑒(𝑡) quelconque. Ceci permet ensuite d'analyser les

performances du système bouclé.

I-3-2) Système en boucle ouverte ( FTBO ) :

Un système est en boucle ouverte lorsque la commande est élaborée sans l'aide de la

connaissance des grandeurs de sortie : il n'y a pas de feedback. Dans le cas contraire, le

système est dit en boucle fermée. La commande est alors fonction de la consigne ( la

valeur souhaitée en sortie) et de la sortie. Pour observer les grandeurs de sortie, on utilise

des capteurs. C'est l'information de ces capteurs qui va permettre d'élaborer la commande.

La Fonction de Transfert en Boucle Ouverte (également appelée F.T.B.O.) est la fonction

de transfert qui lie les transformées de Laplace de la sortie de la chaine de retour S ' (p) a

l'erreur S’(p). Elle correspond a l'ouverture de la boucle (Fig.I.2):

Figure. I.2: Schéma fonctionnel d'un système asservi en Boucle Ouverte

Dans ce cas, = E puisque le comparateur ne reçoit plus qu'une seule information.

On a donc : S ' (p) = B(p) . S(p) (I.4)

= B(p) . A(p) . (p)

= B(p) . A(p) . E(p)

d'ou : 𝑆(𝑝)

E(𝑝) = K(p) = A(p) . B(p) (I.5)

La Fonction de Transfert en Boucle Ouverte (ou FTBO) d'un asservissement est le produit

des fonctions de transfert de la chaîne directe par la chaîne de retour.


11

La fonction de transfert en boucle ouverte a une grande importance dans l'étude de la

stabilité des systèmes ; de plus, elle est directement accessible à la mesure.

I-4) Nécessité de la boucle fermée :

Un système de commande peut opérer en boucle ouverte à partir du seul signal de

consigne. Mais la boucle fermée (contre réaction) est capable de stabiliser un système

instable en BO.

Une (BF) permet de :

Compenser les perturbations externes.

Compenser les incertitudes internes au processus lui-même. Pour cela, un système

de commande peut réaliser deux fonctions distinctes :

L’asservissement, c'est à dire la poursuite par la sortie d'une consigne variable

dans le temps

La régulation, à savoir la compensation de l'effet de perturbations variables sur la

sortie (la consigne restant fixe)

L’utilisation du feedback (retour) est le principe fondamental en automatique. La

commande (appliquée au système) est élaborée en fonction de la consigne (sortie désirée)

et de la sortie. La figure suivante représente le principe du feedback :

Figure. I.3 : principe du feedback

I-5) Quelques types des régulateurs :

On distingue trois grandes classes de régulateurs :

• Analogique : il est réalisé avec des composants analogiques et son signal de sortie évolue

de manière continue avec le temps → système asservi continu.

• Numérique : il est réalisé à partir d'un système programmable et son signal de sortie

est le résultat d'un algorithme de calcul → système asservi échantillonné.

• T.O.R. (Tout ou Rien).


12

I-6) Modélisation des systèmes dynamiques linéaires continus :

Pour effectuer la commande et le réglage d'un système dynamique, il est important d'en

connaître le comportement, et donc les relations mathématiques existant entre les

grandeurs d'entrées et les grandeurs de sortie : on cherche le modèle mathématique du

système.

On peut distinguer deux sortes de modèles :

• Modèle de connaissance. C'est le modèle du physicien qui est obtenu en écrivant

toutes les équations différentielles régissant le fonctionnement du système.

• Modèle de commande. C'est le modèle de l'ingénieur qui n'est qu'un modèle

approché plus simple, mais suffisant pour appréhender le comportement dynamique

du système.

I-7) Equations d'un système linéaire :

Un système est dit linéaire si l'équation liant la sortie à l'entrée est une équation

différentielle linéaire à coefficients constants. La forme générale de cette équation est :

b0s(t) + b1𝑑𝑠(𝑡)

𝑑𝑡 + … +bn

𝑑𝑛𝑠(𝑡)

𝑑𝑡𝑛 = a0e(t) + a1

𝑑𝑒(𝑡)

𝑑𝑡 + … + am

𝑑𝑚𝑒(𝑡)

𝑑𝑡𝑚 (I.6)

L’indice n représente l'ordre du système linéaire. Seuls les systèmes pour lesquels m ≤ n

sont réalisables pratiquement.

On appelle fonction de transfert d'un système linéaire le rapport entre la transformée de

Laplace de la sortie sur celle de l'entrée :

G(p)= 𝑆(𝑃)

𝐸(𝑃) =

𝑏0+𝑏1𝑝+⋯+𝑏𝑚𝑝𝑚

𝑎0+𝑎1𝑝+⋯+𝑎𝑛𝑝𝑛 (I.7)

I-8) Qualités d’un système asservi :

Tous les systèmes asservis ont pour but d'assurer l'égalité (ou au moins la plus petite

erreur) entre la consigne et la sortie. Le cahier des charges de tout système bouclé

s'énonce au moins en 3 points :


13

I-8-1) Stabilité : Compensation

Un des risques majeurs de tout système bouclé dans un asservissement est l'oscillation.

On considère le système suivant :

Figure. I.4 :stabilité système bouclée

Si K est très grand, une faible erreur e impose une commande u importante. Dans ce cas, la

sortie y peut dépasser la consigne yc, entraînant ainsi une réaction en sens oppose mais

toute aussi importante. Le système peut alors fortement osciller sans jamais trouver une

position d'équilibre.

I-8-2) Précision :

Sur la figure précédente, l'écart e mesure la précision du système asservi. Or, puisque la

commande u est déterminée à partir de l'erreur e, il est aisé de voir qu'une loi de commande

du type u = K.e exigera un grand gain pour avoir une erreur e faible (e = u/K). Il faudra

alors trouver un compromis pour le choix du gain afin d'éviter que le système ne devienne

instable (voir précédemment).

Pour mesurer la précision d’un système asservi on s’intéresse à l’erreur.

Le système est d’autant plus précis que l’erreur est proche de zéro. Idéalement cette erreur

devrait être nulle, pratiquement c’est impossible à tout instant et ceci pour deux raisons :

Lorsque la consigne varie la sortie ne varie pas instantanément à cause de l’inertie du

système

Il existe des perturbations qui affectent le comportement du système et modifient au

moins temporairement la valeur de la sortie

Lorsqu’il s’agit d’un système asservi, on parle de la précision statique et dynamique.

Précisions dynamique : caractérisée pendant le régime transitoire essentiellement

pour une sollicitation en échelon de position. Elle est liée directement au degré de la

stabilité de la marge de gain et de phase


14

La précision statique : a pour but d’évaluer l’aptitude du système à suivre différentes

catégories de sollicitation d’entrée. Elle est caractérisée par la différence en régime

permanent entre l’entrée (cosigne) et la sortie (réponse), cette différence appelée écart

ou erreur.

Erreur statique : on appel erreur statique la valeur de e(t) lorsque le temps tend vers

l’infini pour une réponse à un échelon unitaire

Erreur de trainage : on appelle erreur trainage la valeur de e(t) lorsque le temps tend

vers l’infini pour une réponse à une rampe unitaire.

I-8-3) Rapidité :

C'est l'inertie propre du processus qui limite sa rapidité de réponse. On ne peut donc

espérer rendre un processus plus rapide qu'en modifiant son signal de commande u (u

grand de façon à faire réagir très vite le système). Néanmoins, il convient là encore de faire

attention à des dépassements ou des saturations.

I-9) Comportement des systèmes asservis :

Un gain dans la chaine directe permet d'améliorer la précision d'un asservissement (mais

ce gain ne permet pas d'annuler l'erreur de position ou de vitesse). Il n'est pas possible

d'augmenter ce gain de façon trop importante car il peut dégrader la stabilité du système,

voire rendre le système instable.

D'ou le dilemme classique en automatique :

Un gain faible donne un système stable mais peu précis

Un gain fort donne un système plus précis mais moins stable.

Le gain de la boucle ouverte à une action sur l'asservissement, on parle d'un correcteur

proportionnel.

Un correcteur est un système qui va élaborer la commande d'un système en fonction de

l'erreur mesurée entre la sortie et la consigne. Un correcteur proportionnel est un système

qui donne une commande proportionnelle à l'erreur mesurée. Beaucoup de systèmes

peuvent être commandés par ces types de correcteurs simples à mettre en œuvre. Le

réglage du gain va consister à obtenir un bon compromis stabilité précision.


15

Figure. I.5: système avec un correcteur

I.10.Conclusion :

Dans Ce chapitre on na fait un détail d’étude Généralité sur les systèmes asservis tel que

systèmes asservis, boucle Fermée, boucle ouverte, les régulateurs, Modélisation des

systèmes dynamiques, la Stabilité, la Précision et la Rapidité, a fin de connaitre les

éléments principaux de l’asservissement et ces problèmes rencontrés, d’où la nécessité de

l’utilisation des correcteurs et son dimensionnement.


16

Chapitre II :

Modélisation

brushless DC moteur


17

II-1) Introduction :

Les moteurs sans balais « brushless » permettent d’obtenir des ratios

performances/encombrement très impressionnants par rapport aux technologies plus

conventionnelles. Associée à un système électronique, l’amélioration des performances de

cette technologie est continue depuis une vingtaine d’années.

la technologie brushless trouve sa place dans la chaîne de traction électrique et hybride des

véhicules là où l’encombrement et le poids doivent être optimisés robotique bien sûr, mais

aussi véhicules électriques, outillages portatifs, ventilateurs ou encore disques durs.

Le défaut principal des moteurs à courant continu est la présence des balais, qui engendrent

des frottements, des parasites, et limitent la durée de vie du moteur par leur usure. Pour

éviter tous ces problèmes on utilise des moteurs brushless, ou moteurs sans balais.

II-2) Description d’un brushless DC moteur :

Le stator est constitué de bobines d'excitation qui sont généralement au nombre de 3 ou

de 6. Celles-ci sont le plus souvent connectées en étoile, mais elles peuvent également être

connectées en triangle.

Le rotor est constitué d'aimants permanents comportant 2 à 8 pôles avec une alternance des

pôles Nord et Sud.

La plupart des moteurs BLDC comprennent également un ensemble de trois capteurs à

effet Hall qui, positionné à 60° ou à 120° l’un de l’autre, permettent de connaître la

position du rotor. La connaissance de la position du rotor permet à un circuit électronique

auxiliaire d’effectuer les commutations de l’alimentation.

Figure. II.1 : Schéma d’un brushless DC moteur


18

II -3) Composition du moteur brushless :

Un moteur brushless comporte les mêmes éléments qu’un moteur à courant continu,

excepté le collecteur, mais l’emplacement des bobines et des aimants permanents sont

inversés. Le rotor est composé d’un ou plusieurs aimants permanents, et le stator de

plusieurs bobinages.

Figure. II.2 : schéma d’un moteur brushless

II-4) Modélisation d’un brushless DC moteur :

Figure. II.3 : Schéma équivalent brushless DC moteur

II-4-1) Les équations électriques sont :

Ve = Ri+ Ldi

dt +e (II.1)

Ve = Ri+e

e = – Ri – L di

dt + vs (II.2)


19

JdWm

dt = ∑Ti (II.3)

Te = kfwm + JdWm

dt + TL (II.4)

E= kewm et Te = ktwm (II.5)

Par conséquent, les équations de réécriture II.2 et II.3, l'équation II.6 et II.7 sont obtenus,

di

dt = – i

R

L –

Ke

Lwm+

1

Lvs (II.6)

dWm

dt= i

Kt

J –

Kf

Jwm +

1

JTL (II.7)

pour l'équation

L{di

dt = – i

R

L –

Ke

Lwm +

1

L vs} (II.8)

ceci implique II.6

Si = – iR

L –

Ke

Lwm +

1

LVs (II.9)

L{dWm

dt = i

Kt

J –

Kf

Jwm +

1

J TL} (II.10)

ceci implique :

Swm = – iKt

J –

Kf

Jwm +

1

JTL (II.11)

à ne pas charger (TL = 0): équation II.11devient:

Swm = – iKt

J –

Kf

Jwm +

1

JTL (II.12)

De l'équation II.12, i est fait l'objet d'un substitut dans l'équation II.9.


20

i = SWm+

Kf

J Wm

Kt

J

(II.13)

( SWm+

Kf

J Wm

Kt

J

)(s + R

L) = –

Ke

L wm +

1

L Vs (II.14)

L'équation II.14 devient:

{( 𝑠2J

𝐾𝑡 +

SKf

Kt +

SRJ

KtL +

KfR

KtL ) +

Ke

L}wm =

1

L vs (II.15)

Vs = {𝑠2JL+sKfL+ sR j+KfR+KeKt

𝐾𝑡} wm (II.16)

G(s) = Wm

𝑽𝑠 =

Kt

𝑠2JL+sKfL+ sRJ+KfR+KeKt (II.17)

G(s) = Wm

𝑽𝑠 =

Kt

𝑠2JL+(KfL+ RJ)s+KfR+KeKt (II.18)

- La constante de frottement est faible, c'est-à-𝑘 𝑘 𝑓 𝑓 tend vers 0, ce qui implique que;

- RJ ≫ KfL, et

- Ke 𝑘t ≫ RKf

Et les remises à zéro des valeurs négligeables, la fonction de transfert est finalement

s'écrire;

G(s) = Wm

𝑽𝑠 =

Kt

𝑠2JL+RJs+KeKt (II.19)

Donc, en réarrangement et de manipulation mathématique sur "JL", en multipliant haut et

en bas de l'équation II.19 par:

R

𝐾𝑒𝐾𝑡 ×

1

𝑅

Equation II.20 est obtenu après la manipulation,


21

G(s) =

1

𝐾𝑠

RJ

𝐾𝑒𝐾𝑡×

L

𝑅× 𝑠2+

RJ

𝐾𝑒𝐾𝑡×s+1

(II.20)

De l'équation II.13, les constantes suivantes sont acquis, La mécanique (constante de

temps),

𝜏𝑚 = RJ

𝐾𝑒𝐾𝑡 (II.21)

𝜏e = L

𝑅 (II.22)

G(s) =

1

𝐾𝑠

RJ

𝐾𝑒𝐾𝑡×

L

𝑅× 𝑠2+

RJ

𝐾𝑒𝐾𝑡×s+1

(II.23)

𝑉𝑠 = la tension de la source à courant continu

i= le courant d'induit

Te= le couple électrique,

kf = la constante de frottement

J = l'inertie du rotor

wm = la vitesse angulaire

TL = la charge mécanique supposée

ke = the back emf constant

kt= la constante de couple

U(t) : la tension d'alimentation

R : la résistance de l'enroulement

L : l'inductance de l'enroulement

i(t) : le courant passant à travers l'enroulement

w : la vitesse angulaire du moteur

e(t) : la force contre électromotrice

Kw : la constante "contre électromotrice" exprimée en V / RPM


22

II-5) Maxon BLDC Moteur:

II-5-1) Maxon EC 45 flat ∅45 mm, brushless DC motor:

Le moteur BLDC prévue à cette thèse est le CE 45 ∅ plat de 45 mm, sans balais, 30

Watt de moteurs Maxon. Le numéro de commande du moteur est 200142. Les paramètres

utilisés dans la modélisation sont extraites de la fiche technique de ce moteur avec les

paramètres pertinents utilisés correspondant. Ci-dessous dans le tableau 5.1, les principaux

paramètres extraits utilisés pour la tâche de modélisation.

Maxon moteur Unité Valeur

Valeur à la tension nominale

1 tension nominale V 12.0

2 Vitesse à charge rpm 12.0

3 Non Courant de charge mA 151

4 Vitesse nominale rpm 2860

5 Couple nominal (couple permanent max) mNm 59.0

6 Courant nominal (max. courant continu) A 2.14

7 Couple de décrochage mNm 255

8 Courant de démarrage A 10.0

9 Efficacité maximale % 77

Caractéristiques

10 La phase de résistance terminale à la phase Ω 1.20

11 D'inductance de phase terminale à la phase mH 0.560

12 Couple constant mNm/A 25.5

13 Vitesse constante rpm/V 37.4

14 Vitesse / couple Gradient rpm/mNm 17.6

15 Constante de temps mécanique ms 17.1

16 Rotor à inertie gcm2 92.5

17 Nombre de phases 3

Tableau II.1 : paramètres du moteur BLDC utilisés


23

Figure. II.4: Schéma bloc du moteur brushless

II-6) Les différents types de moteur brushless :

Selon les applications, il existe une grande variété de moteurs brushless avec des

caractéristiques de couples, vitesses, inertie différentes en fonction de leurs constitutions.

II-6-1) Moteurs brushless outrunner :

On appelle « outrunner » les moteurs brushless dont le rotor est autour du stator. Cette

configuration est intéressante en termes de couple moteur, car les aimants sont disposés sur

un diamètre important, ce qui crée un bras de levier très intéressant. De plus, cette

disposition permet de placer facilement plusieurs séries d’aimants (jusqu’à 32 pôles sur

certains moteurs brushless outrunners) et de bobines. Les bobines sont toujours câblées par

groupes de 3, et les aimants sont soit collés par groupes de 2, soit constitués d’une partie

magnétique comprenant plusieurs pôles. Comme pour un moteur pas à pas, les moteurs

brushless outrunners comprenant plus de 3 bobines et 2 pôles ne font qu’une fraction de

tour lorsque le champ a tourné de 180°. Leur fréquence de rotation est donc plus faible

mais le couple très élevé. Ces moteurs brushless outrunners sont souvent utilisés dans des

applications qui nécessitent un fort couple, car ils peuvent être reliés à la charge sans

nécessiter de dispositif de réduction. Leur coefficient Kv est relativement faible par rapport

aux autres types de moteurs brushless. Les principales applications des moteurs brushless

outrunners sont les suivantes : ventilateurs, moteurs de disques durs, Cd-rom, moteurs de

vélos électriques (intégrés dans me moyeu), bateaux ou avions radio commandés…


24

Figure. II.5 :Rotor et stator d'un moteur brushless outrunner

II-6-2) Moteurs brushless inrunner :

Contrairement au type précédent, les moteurs brushless inrunners ont le rotor à

l’intérieur du stator. Ils n’ont généralement qu’une seule paire de pôles sur le rotor, et 3

bobines au stator. L’inertie du rotor est beaucoup plus faible que pour un moteur outrunner,

et les vitesses atteintes par ce type de moteur sont beaucoup plus élevées (Kv jusqu’à

7700tr/min/V). La gestion électronique de la commutation est par contre plus simple car le

rotor tourne à la même fréquence que le champ magnétique. Le couple des moteurs

brushless inrunners est plus faible que pour un outrunner car les aimants sont sur un

diamètre plus petit à taille de moteur égale. Ce type de moteur brushless est très utilisé

dans l’industrie car il se rapproche beaucoup d’un moteur à courant continu à balais et

collecteur.

Figure. II.6:Moteurs brushless inrunner


25

II-6-3) Moteurs brushless disques :

Le rotor et le stator peuvent également être constitués de deux disques faces à face, avec

les rayons et les bobines répartis selon les rayons de ces deux disques. Ce type de moteur

brushless est peu employé car l’action des bobines sur les aimants crée un effort axial

important qui nécessite des butées à billes conséquentes, sans offrir de différences notables

au niveau des performances par rapport à un moteur brushless outrunner.

Figure. II.7 :Moteurs brushless disques

II-7) Conclusion :

Pour un moteur brushless, on a constaté que la réponse en position est instable, hors que

la réponse en vitesse converge vers la stabilité, d’où, on voit bien la nécessité d’une

commande pour stabiliser un système qui ne l’est pas, et améliorer les performances.

Concernant le choix du moteur, on a choisi brushless dc moteur, car est le plus utilisé dans

l’automatique et la robotique, pour ces dimensions et sa non-influence de la charge sur la

vitesse (vitesse est relativement constante quelque soit la charge), ainsi la simplicité de

polarisation.

Le prochain chapitre sera consacré à l’implémentation de la commande PID appliquée sur

un modèle d’un moteur brushless

Chapitre III :

Commende PID

d’un moteur

brushless

Chapitre III : Commande PID d’un moteur brushless

27

III-1) Introduction :

La commande PID est dite aussi (correcteur, régulateur, contrôleur), se compose

de trois termes P, I et D, d’où le ‘P’ correspond au terme proportionnel, ‘I’ pour

terme intégral et ‘D’ pour le terme dérivé de la commande. Les régulateurs PID sont

probablement les plus largement utilisés dans le contrôle industriel. Même les plus

complexes systèmes de contrôle industriel peut comporter un réseau de contrôle dont

le principal élément de contrôle est un module de contrôle PID.

Le régulateur PID est une simple implémentation de retour d’information

(Feedback). Il a la capacité d'éliminer la compensation de l'état d'équilibre grâce à

l'action intégrale, et il peut anticiper le futur grâce à une action dérivée.

Ce chapitre a pour but, d’implémenter la commande PID classique pour un moteur

à courant continu à excitation séparée, pour un seul objectif est d’annuler

l’erreur statique, diminuer le dépassement, diminuer le temps de réponse et le

temps de monté afin d'obtenir une réponse adéquate du procédé et de la régulation

et d’avoir un système précis, rapide, stable et robuste. Le réglage des coefficients

(paramètres) de la commande PID est basé sur la méthode empirique de « Ziegler &

Nichols ».

III-2) Principe général d’un correcteur PID :

L'erreur observée es t la différence entre la consigne et la mesure. Le PID permet

trois actions en fonction de cette erreur :

Une action Proportionnelle : l'erreur est multipliée par un gain Kp

Une action Intégrale : l'erreur est intégrée sur un intervalle de temps s, puis

multipliée par un gain Ki

Une action Dérivée : l’erreur est drivée suivant un temps s, puis multipliée par un

gain Kd

Les actions dérivées et intégrales ne s'emploient jamais seules mais en combinaison

avec l'action proportionnelle.

Il existe plusieurs architectures possibles pour combiner les trois effets (série,

parallèle ou mixte), on présente ici une architecture parallèle :


28

Figure III.1 : Correcteur PID

La fonction de transfert avec la transformée de Laplace du régulateur PID parallèle est

la somme des trois actions:

C(s) = KP + Ki * 1

s + KdS =

KdS2+KPS+1

S avec S =

du

dt

III-3) Réglage d'un PID :

Le réglage d'un PID consiste à déterminer les coefficients Kp, Ki et kd afin

d'obtenir une réponse adéquate du procédé et de la régulation. L'objectif est d'être

robuste, rapide et précis. Il faut pour cela limiter le/ou les éventuels dépassements

(overshoots).

La robustesse est sans doute le paramètre le plus important et délicat. On dit

qu'un système est robuste si la régulation fonctionne toujours même si le modèle

change un peu. Un régulateur doit être capable d'assurer sa tâche même avec ces

changements afin de s'adapter à des usages non prévus.

La rapidité du régulateur dépend du temps de montée et du temps d'établissement

du régime stationnaire.

Le critère de précision est basé sur l'erreur statique.


29

Figure III.2: Réponse d’un système du second ordre

III-4) Les paramètres du PID influencent sur la réponse du système

de la manière suivante :

Kp : Lorsque Kp augmente, le temps de montée (rise time) est plus court mais il

y a un dépassement plus important. Le temps d'établissement varie peu et

l'erreur statique se trouve améliorée.

Ki : Lorsqu’il augmente, le temps de montée est plus court mais il y a un

dépassement plus important. Le temps d'établissement au régime stationnaire

s'allonge mais dans ce cas on assure une erreur statique réduite. Donc plus ce

paramètre est élevé, moins l'erreur statique est grande, mais plus la réponse du

système est ralentie.

Kd : Lorsque Kd augmente, le temps de montée change peu mais le

dépassement diminue. Le temps d'établissement au régime stationnaire est

meilleur. Pas d'influences sur l'erreur statique. Si ce paramètre est trop élevé, le

système anticipe trop et la consigne n'est pas atteinte dans des délais adéquats.

Pour ces trois paramètres, le réglage au-delà d'un seuil trop élevé a pour effet

d'engendrer une oscillation du système de plus en plus importante menant à

l'instabilité.


30

III-5) Les caractéristiques du régulateur PID :

Le régulateur standard le plus utilisé dans l’industrie est le régulateur PID

(proportionnel intégral dérivé), car il permet de régler à l’aide de ses trois paramètres

les performances (amortissement, temps de réponse, ...) d’un processus modélisé par

un deuxième ordre. Nombreux sont les systèmes physiques qui, même en étant

complexes, ont un comportement voisin de celui d’un deuxième ordre. Par

conséquent, le régulateur PID est bien adapté à la plupart des processus de type

industriel et est relativement robuste par rapport aux variations des paramètres du

procédé.

Si la dynamique dominante du système est supérieure à un deuxième ordre, ou si le

système contient un retard important ou plusieurs modes oscillants, le régulateur PID

n’est plus adéquat et un régulateur plus complexe (avec plus de paramètres) doit être

utilisé, au dépend de la sensibilité aux variations des paramètres du procédé.

Il existe trois types d’algorithme PID, le PID série, le PID parallèle et le PID mixte.

III-5-1) Structure des régulateurs PID :

Type Parallèle : PID=KP(1+1

𝑠+𝑇𝑖)(1+sTd)

figure III.3 : régulateur parallèle


31

Type Mixte : PID=KP+1

𝑠+𝑇𝑖+sTd

Figure III.4 : régulateur mixte

Type Série : PID=KP(1+1

𝑠+𝑇𝑖)(1+sTd)

Figure III.5 : régulateur série

III -6) Les actions PID :

Un régulateur PID est obtenu par l’association de ces trois actions et il remplit

essentiellement les trois fonctions suivantes :

- Fonction proportionnelle donne un système plus précis, plus rapide.

- Fonction intégrateur élimine l’erreur statique.

- Fonction dérivée accélère la correction.


32

III -7) Méthode de Ziegler-Nichols :

En 1942, Ziegler et Nichols ont proposé deux approches heuristiques basées sur

leur expérience et quelques simulations pour ajuster rapidement les paramètres des

régulateurs

P, PI et PID. La première méthode nécessite l'enregistrement de la réponse

indicielle en boucle ouverte, alors que la deuxième demande d'amener le système

bouclé à sa limite de stabilité.

III-7-1) Méthode de la réponse indicielle :

Pour obtenir les paramètres du régulateur PID, il suffit d'enregistrer la réponse

indicielle du processus seul (c'est-à-dire sans le régulateur), puis de tracer la tangente

au point d'inflexion de la courbe. On mesure ensuite sa pente p, le retard apparent L

correspondant au point d'intersection de la tangente avec l'abscisse et le gain K0 = y∞

/E ,On peut alors calculer les coefficients du régulateur choisi à l'aide du tableau 1.

Généralement, les gains Kp proposés par Ziegler-Nichols sont trop élevés et

conduisent à

un dépassement supérieur à 20%. Il ne faut donc pas craindre de réduire Kp d'un

facteur 2

pour obtenir une réponse satisfaisante.

Tableau III.1: Paramètres PID obtenus à partir d'une réponse indicielle (ZNt)

III-7-2) Méthode du point critique :

Cette méthode est basée sur la connaissance du point critique du processus.

Expérimentalement, on boucle le processus sur un simple régulateur proportionnel

dont on augmente le gain jusqu'à amener le système à osciller de manière permanente;

on se trouve ainsi à la limite de stabilité. Après avoir relevé le gain critique Kcr du

régulateur et la période d'oscillation Tcr de la réponse, on peut calculer les paramètres

du régulateur choisi à l'aide du tableau 2. Ici également, les valeurs proposées

conduisent à un temps de montée relativement court malheureusement assorti d'un

Type Kp Ti Td

P 1/ (pLK0) = 1/ (aK0)

PI 0.9/ (pLK0) = 0.9/ (aK0) 3L

PID 1.2/ (pLK0) = 1.2/ (aK0) 2L 0.5L


33

dépassement élevé. Cette situation n'étant pas toujours satisfaisante, on peut être

amené à corriger les coefficients proposés et, en particulier, à diminuer le gain Kp. On

notera que les paramètres Ti et Td proposés par les deux méthodes de Ziegler-Nichols

sont dans un rapport constant égal à4 Le régulateur possède donc deux zéros

confondus valant −1/(2Td) = −2/Ti.

Tableau III.2: Paramètres PID obtenus à partir du point critique (ZNf )

III-7-3) Autre méthode de Ziegler empiriques :

Il s’agit de la méthode Ziegler la plus ancienne, basée sur l’observation de la

réponse du processus et la connaissance de la structure du correcteur. Le modèle

supposé du système à commander est : F(S) = Ke−Ts

S

III-7-3-a) Essai en boucle ouverte :

Cet essai est réalisé s’il est possible d’ouvrir la boucle de commande. On règle alors

Le gain proportionnel à 1,

L’action intégrale à ∞,

L’action dérivée à 0.

L’entrée du sortie est un échelon, et on relève la sortie (avec K = ΔY/ΔYr)

Figure. II.7 : la sortie d’un système boucle ouverte

Type Kp Ti Td

P 0.5 Kcr

PI 0.4 Kcr 0.8 Tcr

PID 0.6 Kcr 0.5 Tcr 0.125 Tcr


34

Régulateur Réglage

P Kp = T/τ

PI Kp = 0.9 T/τ, Ti = 3.3 T

PID Kp = 1.27 T/τ, Ti = 2 T, Td = 0.5 T

Tableau III.3 : Paramètres PID en boucle ouverte

III-7-3-b) Essai en boucle fermée :

Cette méthode est utilisée quand le processus est instable en boucle ouverte, ou

qu’il n’est pas techniquement possible d’ouvrir le boucle. On réalise alors un test de

pompage. Pour cela, on règle

Le gain proportionnel jusqu’au gain critique Kpc,

L’action intégrale à ∞,

L’action dérivée à 0.

On mesure alors la période des oscillations, Tosc, que fait la sortie du système.

Régulateur Réglage

P Kp = 0.5 Kpc

PI Kp = 0.45 Kpc , Ti = 0.83

PID Kp = 0.6 Kpc , Ti = 0.5 Tosc , Td = 0.125 Tosc

Tableau III.4 : Paramètres PID en boucle fermée

III-8) Conclusion :

Les trois actions du régulateur PID permettent de commander le moteur

brushless , tout en garantissant une annulation de l’erreur permanente de la

sortie régulée, vis-à-vis d’échelons en entrée de consigne. Cette propriété de

précision est due à la présence d’une action intégrale. L’ajout d’une action dérivée

permet d’augmenter la stabilité du moteur brushless, et donc de diminuer le

dépassement de la réponse indicielle. L’ajout de cette dérivée n’est pas systématique

et dépend des propriétés du moteur électrique, du cahier de charge imposé (en terme

de dépassement), dans certains cas il suffit l’utilisation d’un régulateur PI


35

uniquement, comme l’asservissement en vitesse du moteur électrique. La réalisation

de l’action dérivée est préférentiellement réalisée sur la mesure, afin d’éviter la

saturation de la commande.

Un des intérêts du régulateur PID, qui explique sa popularité dans le milieu

industriel, est sans conteste la possibilité de le régler sans connaissance

approfondie du système. En effet, on dispose de méthodes empiriques, fondées

uniquement sur la réponse temporelle du système, selon une procédure

expérimentale, comme la méthode d’oscillation de Ziegler- Nichols utilisée ,

permettant dans la majorité des cas d’aboutir à des performances acceptable.

36

Conclusion Générale

L’inconvénient des moteurs à courant continu est la présence des balais, qui

engendrent des frottements, des parasites, et limitent la durée de vie par contre ce

problème est résolue avec le moteur brushless tout en améliorant ces performances et

donnant un pas d’avance aux technologies,

Dans ce travail, le régulateur PID a été utilisée comme un outil technique

essentiel utilisé dans la modélisation et le contrôle du système.

Le principe d’un correcteur est de « modeler » la fonction de transfert en boucle

ouverte pour trouver un système ; la détermination de l’erreur, Le temps réponse

et le dépassement.

Pour cela, on a fait la méthode de Ziegler Nichols au niveau des réponses

indicielles d’un système 2 éme

ordre réglé par un contrôleur PID.

Ce travail nous a permis d’acquérir une expérience enrichissante dans le domaine

de la régulation des moteurs électriques tel que le moteur brushless, et mettre des

connaissances acquises durant nos études.

37

Bibliographies:

[1] ECET-462, « The Design of PID Controllers using Ziegler Nichols

Tuning» --Brian R Copeland; Purdue University, calumet; March, 2008

[2] Zoom sur, « Les Moteurs BruShless», N° 3 - Septembre 2013

[3] Département Automatique-Robotique, « Commande, Cours», Franck Plestan,

Année 2009/2010.

[4] Ing. V. Leleux, « Circuit de commande d'un moteur brushless DC par onduleur triphasé commandé en modulation de largeur d'impulsion par microcontrôleur», Ir. N.Gillieaux-Vetcour, Gramme –

Liège, Revue Scientifique des ISILF n°19, 2005.

[5] Bouiche Hachemi, Brahami Mohamed, « Commande PID d’un moteur à courant continu», Université Abderrahmane Mira – Bejaia, 2009-2010.

[6] Lahbib Amaanan, « Les différentes techniques de commande des moteurs brushless», Polytech’ Clermont-Ferrand, 2013-2014.

[7] Soumya sekhsokh, Kawtar oukili, «Etude D’une Boucle de Régulation de Niveau : Implémentation de Régulateur et Réglage du Procède»,

Ecole Supérieure de technologie, FES, 2010/2011.

[8] Oludayo John Oguntoyinbo, «PID Control OF Brushless DC Motor and Robot trajectory Planning and Simulation with Matlab®/Simulink®», university of applied sciences, Vasa Yrkeshogskola,

2009.

[9] Ben ismail Ameni, Ben Slimane Nabil,Guezguez Nadia, «Asservissement de position et de vitesse d'une articulation Robotique», Université de

Sousse, République Tunisienne,2011-2012.

[10] Guenane Lounas, «simulation des correcteurs classiques(P.I.D)sous PSpice et Matlab(Simulink) », Université A/Mira de Bejaia,2009-2010.

38

[11] Prof. Mohammed-Karim Fellah, «Partie 1-Automatique 1 et 2 (Asservissements Linéaires Continus)», Université Djillali Liabès – Sidi

Bel-Abbès, Novembre 2013.

[12] Prof. Freddy Mudry- «Ajustage des Paramètres d’un Régulateur PID», ecole d’ingénieurs du canton de vaud, mars 2006.

[13] Automatique, «Systèmes linéaires, non linéaires, à temps continu, à temps discret, représentation d'état», Cours et exercices corrigés.

[14] Benayad kamel, « Comparaison entre méthode de ziegler-nichols de cohen-coon pour la détermination des paramètres des contrôleurs à structure PID pour la commande d’un moteur à courant continu »,université de béchar ,2011.

39

Liste de figures

Figure. I.1: Schéma fonctionnel d’un système asservi (Boucle Fermée)………...

3

Figure. I.2: Schéma fonctionnel d'un système asservi en Boucle Ouverte ……… 4

Figure. I.3 : Principe du feedback ……………………………………………….. 5

Figure. I.4 : Stabilité système bouclée …………………………………………… 7

Figure. I.5: Système avec un correcteur ………………………………………… 8

Figure. II.1 : Schéma d’un brushless DC moteur ……………………………….. 11

Figure. II.2 : Schéma d’un moteur brushless …………………………………… 12

Figure. II.3 : Schéma équivalent brushless DC moteur ………………………… 12

Figure. II.4: Schéma bloc du moteur brushless ………………………………… 17

Figure. II.5 : Rotor et stator d'un moteur brushless outrunner ………………… 18

Figure. II.6: Moteurs brushless inrunner ……………………………………… 18

Figure. II.7 : Moteurs brushless disques ……………………………………… 19

Figure III.1 : Correcteur PID ……………………………………………........ 21

Figure III.2: Réponse d’un système du second ordre 23 …………………….. 23

figure III.3 : Régulateur parallèle ……....…………………………………..... 24

Figure III.4 : Régulateur mixte ..….………………………………………… 25

40

Figure III.5 : Régulateur série …………………………………………………

Figure. III.7 : La sortie d’un système boucle ouverte……………………………..

25

28

Figure.III.8 : Modélisation sous Matlab de sortie de moteur brushless………….

Figure.III.9 : Modélisation sous Matlab de BLDC en boucle ouverte Avec PID..

Figure.III.10 : Modélisation sous Matlab de BLDC en boucle Fermé Avec PID…

30

30

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Figure.III.11 : Modélisation sous Matlab de BLDC en boucle Fermé avec Zoom 31

Figure.III.12 : Modélisation sous Matlab de BLDC avec bode…………………… 31