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LA PARABOLA

cbxaxy 2

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ARGOMENTI TRATTATI

1. L’equazione della parabola

2. Questioni basilari

3. Questioni relative alle rette tangenti

4. Curve deducibili dalla parabola

5. Discussione di sistemi di 2° grado con parametro

6. Il Segmento parabolico

7. Proprietà ottica della parabola

3

L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA

Definizione Si dice parabola P il luogo geometrico dei punti P del piano equidistanti da un punto F, detto fuoco, e da una retta d, detta direttrice.

Il punto medio del segmento, FK in figura, la cui misura è la distanza fuoco-direttrice, è il vertice V della parabola.

Dalla definizione data, ponendoci in un opportuno riferimento cartesiano, possiamo ricavare l’equazione della parabola con il vertce nell’origine.

Sia F (0 ; f ), con f R0 , il fuoco, d: y = -f la direttrice e P(x;y) un generico punto P della P.Tali punti devono soddisfare la condizione dettata dalla definizione, cioè:

axy

:originenell' cecon verti parabola della

equazionel' ottiene si , 0 fcon

, 4f

1 a ponendo ; x

4f

1y ; x4fy

; ffy2yffy2yx cioè

,PHPF :quadrato al elevando quindi,

fyPH

fyxPFcon , PHPF

2

22

22222

22

22

4

0; x:simmetria di assedell' equazione

;4a

1-y : direttrice della equazione

0;0V : verticedel coordinate

; 4a

10;F :fuoco del coordinate

:ax y equazione di parabola della ticicaratteris lementiE 2

Osservazioni sul coefficiente a

Dall’equazione y = ax2 si deduce che:

1. a > 0 y 0 , il grafico della P si trova nel semipiano positivo delle y, concavità verso l’alto;

a < 0 y 0 , il grafico della P si trova nel semipiano negativo delle y, concavità verso il basso;

Per a = 0 la parabola degenera nella retta y = 0 (asse delle ascisse).

5

2. All’aumentare del valore assoluto di a, diminuisce l’apertura della parabola e viceversa.

6

Equazione generale della parabola

con asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate

Mediante una traslazione del sistema di riferimento della parabola di equazione y = ax2 , si ottiene

l’equazione generale della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate:

y = ax2 + bx + c .

. cbxaxy equazionel' ottiene si

4a

4a

b-4ac quindi ,

a2

bcon , ac (*)

(*) 4a

a2

b

quindi e ac

2ab ponendo

, x2aaaxy , xay

ottiene si axy equazionenell' oSostituend

. cbxaxy axy :azione trasformla

ottenere di consente che , yy

xx one traslazila oeffettuiam

oneDimostrazi

n2nn

22

2

n22

nn2

nn

2vv

n2nn

2vv

nv

nv

.β ; αvnO β ; αV :oriferiment nuovo nel verticedel coordinate le sono e che Osserva

7

:segue quanto ottiene si ,

4a

a2

b

e yy

xx

relazioni dalle e figura Dalla

oneDimostrazi

;2a

b x:simmetria di assedell' equazione

;4a

1y : direttrice della equazione

; 4a

1;

2a

bF :fuoco del coordinate

4a

;2a

bV : verticedel coordinate

:cbx ax y equazione di parabola della ticicaratteris lementiE

nv

nv

2

fuoco). e eper vertic passa che osserva ( a2

b x:simmetria di assedell' Equazione

a4

1

a4

1

4ay ;

a4

1y ;

a4

1y

a4

1y :direttrice retta della Equazione

a4

1

4aa4

1 yy yy ;

a2

bx x: Fuoco del Coordinate

4ay ;

a2

b x:Vertice del Coordinate

nnnv

FvFnFnFvVertF

VertVert

8

Equazione generale della parabola

con asse di simmetria parallelo all’asse delle ascisse

c nbynayn x c T vbxvaxvy

:y)con x scambia (si xy

yx equazioni le

applicando ottiene si T azione trasformLa

22

nv

nv

Ogni parabola con asse parallelo all’asse x si può

ottenere mediante una trasformazione simmetrica T,

rispetto alla retta y = x, di una parabola con asse di

simmetria parallelo all’asse y.

2a

by :simmetria di assedell' equazione

4a

1 x: direttrice della equazione

2a

b ;

4a

1F :fuoco del coordinate

2a

b ;

4aV : verticedel coordinate

:cby ay x equazione di

parabola della ticicaratteris lementiE2

9

PARABOLE PARTICOLARI

Data l’equazione y = ax2 + bx + c :

• se b = 0 l’equazione diventa y = ax2 + c e il grafico della parabola è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate, infatti ax2 + c = a(-x)2 + c ;

• se c = 0 l’equazione diventa y = ax2 + bx e il grafico della parabola passa per l’origine del riferimento, infatti il punto O(0;0) soddisfa sempre l’equazione y = ax2 + bx .

Data l’equazione x = ay2 + by + c :

• se b = 0 l’equazione diventa x = ay2 + c e il grafico della parabola è simmetrico rispetto all’asse delle ascisse, infatti ay2 + c = a(-y)2 + c ;

• se c = 0 l’equazione diventa x = ay2 + by e il grafico della parabola passa per l’origine del riferimento, infatti il punto O(0;0) soddisfa sempre l’equazione x = ay2 + by .

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QUESTIONI BASILARI

1. Date le seguenti equazioni di parabole, traccia i grafici corrispondenti, dopo aver determinato gli elementi caratteristici (vertice, fuoco, asse di simmetria, direttrice) e le intersezioni con gli assi cartesiani.

x.assel'con neintersezio esistenon quindi

, 0-34

, 074x- x

74x-xy

0y : xassel'con neIntersezio

A(0;7) 74x-xy

0x :y assel'con neIntersezio

4

11y ;

4a

1y direttrice

2 x; a2

b xsimmetria di asse

; 4

13 ; 2F ;

4a

1 ;

a2

bF fuoco

; 3 ; 2V ; 4a

; a2

bV e vertic

; 01a perchè , altol' versoconcavitàcon

,y delle asseall' parallelo simmetria di assel' ha parabola La

7c ; 4b ; 1a ; 74x-xy 1a.

2

2

2

2

11

0;2C ; 3

20;-B 2y ;

3

2-y ;

3

42y ; 16

4 , 04-4y-y3

4-4y-y3x

0x :y assel'con neIntersezio 4;0) A(-

4-4y-y3x

0y : xassel'con neIntersezio

12

65 x;

4a

1 xdirettrice

3

2y ;

a2

by simmetria di asse

3

2 ;

4

21F ;

a2

b ;

4a

1F fuoco

3

2 ;

3

16V ;

a2

b ;

4aV e vertic

0;3a perchè destra, versoconcavitàcon , x delle asseall' parallelo simmetria di assel' ha parabola La

4c ; 4b ; 3a ; 4-4y-y3 x1b.

211,22

22

2

12

2. PROBLEMA RICORRENTE: determinare l’equazione di una parabola.

Facendo riferimento all’equazione y = ax2 + bx + c , determinare l’equazione di una parabola significa

determinare i tre coefficienti a, b, c. Pertanto il problema deve fornire tre condizioni tra loro indipendenti,

da cui ricavare tre equazioni indipendenti.

Alcune di tali condizioni sono le seguenti:

• le coordinate del vertice V(xV;yV), forniscono due fra le seguenti tre condizioni: condizione di

passaggio, xV = -b/2a , yV = -/4a ;

• le coordinate del fuoco F(xF;yF), forniscono due condizioni: xF = -b/2a, yF = (1-)/4a ;

• conosco l’equazione della direttrice: ydir = -(1+)/4a ;

• conosco l’equazione dell’asse di simmetria: xasse = -b/2a ;

• condizione di passaggio per un dato punto P(xp ; yp);

• tangenza ad una retta di nota equazione y = mx +q

Se si conoscono le coordinate del Fuoco e l’equazione della direttrice, basta applicare la definizione di

parabola come luogo geometrico (pag. 3) .

Si fanno considerazioni analoghe per la parabola di equazione x = ay2+ by + c.

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2a. Determina l’equazione della parabola avente il fuoco e la direttrice indicati.

y. asseall' rispetto simmetrico è parabola della grafico il quindi

, 0)(b grado primi di termineil manca :neOsservazio

V(0;1) 1xy

0x ordinate asse neIntersezio

sol.; nessuna , 01 x 1xy

0y ascisse asse neIntersezio

; 0 xsimmetria di asse 0;1V :Vertice

0;1a perchè , altol' verso:Concavità

: trovaredevo grafico ilPer

1xy 4

3y

4

5-yx

cioè , 3) pag. (vedi PHPF :ha si

, geometrico luogo come , parabola di edefinizion laPer

. cbxaxy tipodel equazionecon cioè y, asseall' parallelo

simmetria di assel' ha parabola la che deduce si dati Dai

4

3y :d ;

4

50;F

2

22

222

2

2

14

. )5C(0;1 ; )5-B(0;1 2yy

2

1x

0x

ordinate asse neIntersezio

; A(2;0) 2yy

2

1x


; 1 y simmetria di asse

; ;12

5V :Vertice

; 02

1a perchè , sinistra verso:Concavità


2yy2

1x 3x1-y2-x

cioè , 3) pag. (vedi PHPF :ha si

, geometrico luogo come , parabola di edefinizion laPer

. cbyay x tipodel equazionecon cioè x,asseall' parallelo

simmetria di assel' ha parabola la che deduce si dati Dai

3 x:d ; 2;1F

2

2

2222

2

2b. Determina l’equazione della parabola avente il fuoco e la direttrice indicati.

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2c. Determina l’ equazione della parabola avente il fuoco F(2 ; 3/2) e il vertice V(2;2).

. x2x2

1-y : è parabola della equazionel' ;

0c

2b2

1-a

;

a6ac4a161

24ac

-4ab

;

a6ac4a161

c8a4a2

-4ab

;

a6ac4b1

-4ab

c2b4a2

;

Fuoco del ordinata 2

3

4a

-1

Vertice e Fuoco di ascisse 22a

b-

V(2;2)per parabola della passaggio di condizione c2b4a2

:condizioni treoccorrono c, b, a, , ticoefficien trei edeterminarpoter per ; cbxaxy

tipodel equazione l' ha quindi y, asseall' parallelo simmetria di assel' ha parabola la che deduce si dati Dai

2

2

22

2

. O(0;0) , 0 x, ordinate asse neIntersezio

; 0) ; A(4 ; O(0;0) x2x

2

1-y


0;1/2a perchè basso, il verso:Concavità


2

16

2d. Determina l’ equazione della parabola avente il vertice V(0;1) e direttrice d: x = -1/4 .

. 1y2yx : è parabola della equazionel' ;

1c

2b

1a

;

aa4a41

-2ab

ac

;

aac4a41

-2ab

0ca2a

;

aac4b1

-2ab

0 cba

;

direttrice della equazione 4

1

4a

-1-

Vertice del ordinata 12a

b-

V(0;1)per parabola della passaggio di condizione cba0

:condizioni treoccorrono c, b, a, , ticoefficien trei edeterminarpoter per ; cbyay x

tipodel equazione l' ha quindi x,asseall' parallelo simmetria di assel' ha parabola la che deduce si dati Dai

2

22

22

2

. A(1;0) , 0y , ascisse asse neIntersezio

; 1) ; V(0 1y2yx


;01a perchè , destra verso:Concavità


2

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QUESTIONI RELATIVE ALLE RETTE TANGENTI

Analizziamo questi due problemi:

1. determinare le equazioni delle rette tangenti alla parabola, condotte da un punto di note coordinate;2. determinare l’equazione della parabola tangente ad una retta di nota equazione.

1. Rette tangenti alla parabola, condotte da un punto P

Questi problemi si possono trattare, come indicato nel capitolo 9 delle “coniche”, con il metodo del discriminante nullo, o con il metodo delle formule di sdoppiamento.

Di solito conviene applicare il metodo delle formule di sdoppiamento se il punto P appartiene alla parabola.

Esempi

a. Determina le equazioni delle rette tangenti alla parabola di equaz. y = x2 - 2 e passanti per P(1; -5) .

. 11x6y e 3x2y : Pin tangentiRette

6m

2m ; 012m4m ; 03mmx x...

)1x(m5y

2xy

nullo ntediscrimina del Metodo

2

1222

18

a. Determina l’equazione della retta tangente alla parabola di equaz. y = -x2 +3x , nel suo punto A di ascissa positiva e di ordinata -4.

. 16-5xy : tangentee polare ettar ; 2

4x34x -

2

4-y : tosdoppiamen di formule le applico

4 ;- 4A quindi ; 4x

1x ; x3-x4- :A di ascissal' Determino

to"sdoppiamen di formule" delle Metodo

2

12

19

2. Parabola tangente ad una retta di nota equazione

Esempio

. 4-xy : parabola equazione

4c

0b

1a

01a ; 01a2a 012ax13a-ax

6a2c

3a3b

tangenzadi condizione 0 05-y2x

cbxaxy

Bper passaggio cba3

Aper passaggio cb2a40

. 05-y2x : tretta alla

B(1;3)in tangentee A(2;0)per passante ,y asseall' parallelo

simmetria di assecon parabola della equazionel' aminDeter

2

222

2

. V(0;4) , 0 x, ordinate asse neIntersezio

C(-2;0) ; 0) ; A(2 4xy


;01a perchè , basso il verso:Concavità


2

20

CURVE DEDUCIBILI DALLA PARABOLA

. O(0;0) , 0 x: 0y , ascisse asse neIntersezio

; A(0;2) ; O(0;0) y2yx


; 1y simmetria di asse ; V(-1;1) : Vertice

;01a perchè , destra verso:Concavità

; x asseall' parallelo simmetria di Asse

: y2y xparabola della grafico il Per

1y

1x

y2yx

;

01-y

01x

1x1y2y

1x 1-y ; 1x1y

: 1x1y funzione la tegraficamen aRappresent .1

2

2

22

1per x 2x -xy

1per x 24x-xy 11-x-3x-xy

: 11-x-3x-xy funzione la tegraficamen aRappresent .2

2

22

2

21

DISCUSSIONE DI SISTEMI DI 2° GRADO CON PARAMETRO

CASO PARABOLA – RETTA

y e/oper x ilimitazion eventuali

retta una di equazione

parabole di fascioun di equazione

(2) oppure

y e/oper x ilimitazion eventuali

rette di fascioun di equazione

parabola una di equazione

(1)

: casi seguenti i presentare possono Si

Il parametro del sistema è il parametro che caratterizza il fascio di rette o di parabole.

Discutere un sistema del tipo (1) o (2), significa determinare, compatibilmente alle eventuali limitazioni, per quali valori del parametro le rette intersecano la parabola nel caso (1), o la retta interseca le parabole nel caso (2).

In questo contesto ci occuperemo solo del caso (1).

Esempi

:grafico) (metodo grafico dal ediscussion la effettuare comodo molto E'

(1) tipodel sistema

3x0

kx2y

x2xy

:sistema seguente il Discuti 1.

2

22

. O(0;0) , 0y : 0 x, ordinate asse neIntersezio

; A(2;0) ; O(0;0) 2x-xy


; V(1;-1) : Vertice

;01a perchè , altol' verso:Concavità

; 1 x:y asseall' parallelo simmetria di Asse

:2x -xy parabola della grafico il Per

2

2

Le limitazioni 0 x 3 individuano l’arco di par. utile per trovare i valori di k, per i quali si hanno intersezioni rette – parabola.

Dal grafico si evince che si devono individuare i valori di k per una retta tangente e per le rette passanti per O(0;0) e per B(3;3).

• Retta per O: kO = 0 ; • Retta per B: kB= -3 ;

• Retta tangente: kT = - 4 , infatti:

; 4 -k ; 0k44

; 0kx4 x kx2y

x2xy 22

0.y e 0 x, limite sol. una , 0kPer . 3y e 3 x, limite soluzione una e

ordinaria soluzione una ha si 3- kper , icoincident sono soluzioni due le 4 kper eparticolarIn

. soluzione una ammette sistema il ;0 3kper ; soluzioni due ammette sistema il 3- ; 4-kper

:che deduce si grafico Dal iConclusion

23

. F(-2;2) centro , 0kper 2y

knessun per 2x igeneratric rettecon , proprio fascio 22y

1

22y

xy

1

022x :sistema seguente il Discuti 2.

2

2

kkx

x

kkxx

kkx

Le limitazioni x -1 individuano l’arco di par. utile per trovare i valori di k, per i quali si hanno intersezioni rette – parabola.Dal grafico si evince che si devono individuare i valori di k per una retta tang. e per la retta passante per A(-1;1).• Retta per A: kA = 1 ; • Retta tangente: kT = 4 – 81/2 , infatti:

224k ; 08k8k 02k2kxx 1,222

. 1y e 1- x, limite soluzione una e

ordinaria soluzione una ha si 1 kper

, icoincident sono soluzioni due le 22-4kper eparticolarIn

. soluzioni due ammette sistema il 22-4k1per

; soluzione una ammette sistema il 1kper

:che deduce si grafico Dal iConclusion

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IL SEGMENTO PARABOLICO

La regione finita S di piano delimitata dall’arco di parabola AVB e dal segmento AB, prende il nome di segmento parabolico.

Teorema di Archimede: L’area del segmento parabolico S equivale ai 2/3 dell’area del rettangolo AHKB ( HK è il segmento parallelo ad AB, che si trova sulla retta t, tangente alla parabola) .

25

Esempio: determina l’area del segmento parabolico S delimitato dalla parabola y = x2 - 2x e dalla retta y = - 2x + 4 .

. 3

32

5

454

3

2AHAB

3

2A

3

2A

. 5

4AH : O(0;0)per passa

"t " retta la che osservando ,HK e AB fra distanza la Trovo

.-2x y : t ; 0q quindi

, 0q x qx2y

x2xy : "t " retta la Trovo

. 54HKAB quindi

, B(2;0) e A(-2;8) 4x2y

x2xy: B eA di coordinate le Trovo

A3

2A

AHKBS

22

2

AHKBS

26

PROPRIETA’ OTTICA DELLA PARABOLA

Un raggio di luce proveniente dal fuoco si riflette sulla parabola in direzione parallela all’asse di simmetria e, viceversa, un raggio proveniente da una direzione parallela all’asse di simmetria viene riflesso nel fuoco.

Questa proprietà, che si può facilmente dimostrare per via analitica, trova importanti applicazioni tecniche, per esempio nella costruzione dei proiettori (luce dal fuoco) e degli specchi ustori (luce verso il fuoco).