De Broglie propose una analogia fra onde e particelle. Per un’onda elettromagnetica vale il principio di sovrapposizione e si osserva l’esistenza di quanti tali che
La Tesi di laurea del duca Loius de Broglie (1924)
Analogia: se alle onde elettromagnetiche sono associati i fotoni, che si comportano come corpuscoli, vuol dire che alcuni
corpuscoli sono manifestazioni di onde. Questo modifica il concetto di corpuscolo; cosi’ ad ogni particella materiale (ad esempio un elettrone)
deve essere associata una onda.
, energia per un'onda da 1 quanto (fotone)
momentodelfotone , vettore d'onda
u h
p k k
2
, k=vettore d'onda.p k
Ad un fascio di particelle materiali di momento p, come per un quanto di radiazione, deve essere associata una
onda con
2
L'analogia non e' completa: p va modificata perche' per particelle di massa m,
la legge di dispersione e' E= .2
uABC
c
p
m
Nel caso della luce, vale la descrizione in termini di un quadripotenziale (A, f) che obbedisce alla equazione delle onde con velocita’ c.
Come descrivere le onde associate a particelle con massa, come gli elettroni,neutroni, etc.? Ci vuole una diversa ampiezza, la funzione d’onda
y(r).
3 2. , , intensita' fascio
2
ik r he p ky y
Differenza: la funzione d’onda, a differenza del campo, e’ inosservabile; deve avere un modulo e una fase ed essere
complessa.
L’intensita’ della luce va con il quadrato del campo; per il campo vale il principio di sovrapposizione .
Analogamente, l’intensita’ di un fascio di particelle va con il quadrato della funzione d’onda, e ci si devono aspettare
fenomeni di interferenza e diffrazione.
Deve valere il principio di sovrapposizione.
Distanza fra gli atomi di un solido elementare = parametro reticolare
4
Esperimento di Clinton Davisson and Lester Germer (1927): per verificare le idee di De Broglie: gli elettroni diffrangono dalle superfici come la luce fa’ da un reticolo.
.
Qualche Angstrom. Che energia deve avere un elettrone per avere l=1 Angstrom?
3424
10
6.6*106.6*10
10
h Js Jsp
m ml
2 48 22 2 2
17 17
31 2
6.6 *10 ( )
4.8*10 4.8*102 9.1*10
Js
p h J sm Jm Kg m Kgl
191 1.6*10eV J
2 17
19
4.8*10300
2 1.6*10
peV eV
m
Immagini LEED di una superficie di W(100) con elettroni da 45 eV (sinistra) and 145 eV (destra).
Moderne tecniche: LEED (low energy electron diffraction) RHEED (reflection high-energy electron diffraction)
Studiano la struttura delle superfici
(la superficie funge da reticolo, se la distanza fra atomi vicini e’ dell’ordine di l )
5
.
immagine LEED di una superficie di Si
6
cannone
lastra Schermo con fenditura
( )2
sinSiosserva la diffrazione con
kadI d
ka
Esperimenti fatti con fotoni, elettroni, neutroni,atomi,..
Oggi si possono fare con precisione esperimenti di interferenza e diffrazione che nel 1925 potevano solo essere pensati. Un cannone elettronico con particolari accorgimenti spara elettroni monocromatici.
7
cannone elettronico
Lastra fotografica
interferenza
Interferenza con elettroni (anche neutroni, atomi, molecole, etc)
Frange di interferenza
Frange evidenti se le dimensioni delle fenditure sono paragonabili alla lunghezza d’onda di De Broglie 34
2,
2
6,610
h hp k p
h Js
l l
Di dove passano gli elettroni?
Scelgono a caso?
No
8
cannone elettronico
lastra
fotografica
Di dove passano gli elettroni? Tappiamo una fenditura e l’interferenza sparisce
Di dove passano gli elettroni? da ambedue le parti insieme!
Non si puo’ sapere di dove e’ passato un elettrone quando c’e’ interferenza.
Lastra fotografica
Nel caso quantistico, l’osservazione modifica il sistema osservato
L’elettrone che passa da una fenditura ‘sa’ se l’altra e’ aperta o chiusa, anche se passa un elettrone alla volta!
9
cannone elettronico
interferenza
1 elettrone alla volta!
un elettrone interferisce con se’ medesimo!
Di dove passano gli elettroni? da ambedue le parti insieme!
Frange di interferenza
Lastra fotografica
Frange evidenti se le dimensioni delle fenditure sono paragonabili alla lunghezza d’onda di De Broglie
Campo magnetico
Solenoide
Si puo’ fare in modo che il campo magnetico sia intenso nel solenoide e molto piccolo fuori. Questo si puo’ schematizzare come un tubo di flusso
11
cannone elettronico
interferenza
modificata
dal potenziale
vettore
1 elettrone alla volta!
Effetto Bohm-Aharonov, predetto teoricamente nel 1959: le
frange modificate da un potenziale vettore!
Tubo di flusso:
solenoide con B
solo dentro
Lastra fotografica
Frange di interferenza
B=0 B=0
B=0
B=0 B=0
B=0
Niente forza di Lorentz
12
Sorgente di
particelle
A
B
50%
50%
Esperimento con lo specchio semitrasparente (come si fa’ con la luce)
L’intensita’ si divide in parti uguali
13
Sorgente di 1
particella
alla volta
A
B
50%
50%
Esperimento con lo specchio semitrasparente
1 particella alla volta
La particella viene rivelata in A o in B con la stessa frequenza statistica.
Sceglie a caso dove andare?
14
A
B
Sorgente di
1 particella
alla volta
Se la particella scegliesse a caso da che parte andare
Ma l’esperimento non va cosi’!
50% 50%
15
A
B
Regolando le lunghezze dei percorsi, si puo’ fare in modo che la particella vada con certezza
da una parte o dall’altra. La conclusione inevitabile e’ che la particella percorre ambedue le
strade e interferisce con se stessa su distanze macroscopiche!!
Esperimento realizzato ( Iannuzzi et al., prl 2006)
100% 0%
16
A
B
Sorgente di
1 particella
alla volta
Distruggiamo la interferenza
Se si blocca uno dei rami si divide in parti uguali
50% 50%
17
Dualismo onda-corpuscolo
E h
2. , , intensita' fascio2
ik r he p ky y
18
Fullereni
Sir Harold W. Kroto, University od Sussex,Nobel Prize for Chemistry in 1996
Scoperti il 4 Settembre 1985
Fullerenes consist of 20 hexagonal and 12 pentagonal rings as the basis of an icosohedral symmetry closed cage structure.
soccerene
20 esagoni 12 pentagoni 32
20 esagoni 12 pentagoni 20*6 12*5 180 2*Spigoli Spigoli 90
Euler : Facce-Spigoli+Vertici 2 Vertici 60
Facce
per produrre i fullereni: arco elettrico, a circa 5300°K, con una corrente elevata e bassa tensione, utilizzando elettrodi in grafite in atmosfera inerte (argon) a bassa pressione.
20
The art of hitting the goal with every shot
http://www.univie.ac.at/qfp/research/matterwave/c60/index.html
We have observed de Broglie wave interference of the buckminsterfullerene C60 with a wavelength of about 3 pm through diffraction at a SiNx absorption grating with 100 nm period. This molecule is the by far most complex object revealing wave behaviour so far. The buckyball is the most stable fullerene with a mass of 720 atomic units, composed of 60 tightly bound carbon atoms.
21
fenomeni in cui e’ importante c Relativita’
fenomeni in cui e’ importante h Teoria dei quanti
atomi, molecole, nuclei
solidi: coesione, magnetismo,fenomeni quantistici macroscopici superfluidita’ superconduttivita’........
stelle: nane bianche, stelle di neutroni
La teoria fondamentale in accordo con tutti i fenomeni noti e’ quantistica e relativistica (teoria di Dirac per l’elettrone)
che raggiunge precisioni di >10 decimali esatti
ma noi studieremo la Meccanica Quantistica non-relativistica
Confini della teoria classica
22
Meccanica Quantistica
Questa teoria ha molti aspetti contrari all’intuizione classica, ma forse il piu´strano di tutti e`che la descrizione della natura debba essere
fatta necessariamente in termini di numeri complessi, quelli che Euler chiamava numeri impossibili.
La teoria quantistica non fa un compromesso fra i punti di vista
corpuscolare ed ondulatorio. Non fa’ giochi di parole come quelli dei filosofi. Fa’ delle predizioni di estrema precisione che sono in
accordo con una miriade di fatti.
23
Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (Vienna, 1887 – Vienna, 1961). E’ famoso per il suo contributo alla meccanica quantistica, in particolar modo per l'Equazione di Schrödinger, per la quale vinse il Premio Nobel nel 1933. Propose l'esperimento mentale del Gatto di Schrödinger.
l’articolo "Quantisierung als Eigenwertproblem" (Quantizzazione
come problema agli autovalori) dove espone la sua equazione. Nel 1927, segue Max Planck a Berlino, all'Univerisita Humboldt. Nel 1933, divento’ Fellow del Magdalen College, all'Universita di Oxford, e ricevette il Premio Nobel per la fisica assieme a Paul Adrien Maurice Dirac
Nel 1921, divento’ "Ordentlicher Professor" (ovvero professore a pieno titolo), a Breslavia (l'attuale Wroclaw, in Polonia) Nel 1922, passo’ all'Universita di Zurigo. Nel 1926, Schrödinger pubblico’ negli Annalen der Physik
25
Intensita’ del fascio r(x,t) >0
analoga alle onde e.m. della luce
ma l’equazione delle onde non va bene per elettroni, che non vanno a c
analoga intensita’della luce
y complesso va bene:
( , )( , ) | ( , ) | i x tx t x t e y y
una “onda” y dotata di ampiezza e fase
Intensita’ = probabilita’ di trovare la particella
2| ( , ) |x ty
Come descrivere i fatti?
fase
ampiezza
Analogia: un’onda e.m. monocromatica con ,
h
E h pc
solo che qui l’onda e’ complessa e
2
2
pE
m
(fotoni che vanno tutti nella direzione di p)
l’onda e’ complessa : modulo e fase!
Analogia di De Broglie: Onda piana di momento p ed energia E
( )( ). ( )
, ,
i p x E p t
p E x t ey
con y al posto del potenziale vettore e |y|2 al posto della intensita’ della luce; p= impulso, E= energia.
26
I principi teorici non si possono dedurre!
27
Logaritmo? NO!! Deve valere il principio di sovrapposizione:
( )( ) ( )1 1 2 2. ( ) . ( )
1 2,
i p x E p t i p x E p t
x t Ae A ey
1 1
2 2
ampiezza di probabilita' che l'impulso sia
ampiezza di probabilita' che l'impulso sia
A p
A p
Una misura di p potra’ dare uno dei due valori
con probabilita’ proporzionali a 2 2
1 2| | , | |A A
( )( )
( )
( )
( )
,
,
,
Mettiamoci in 1d e scriviamo l'onda di De Broglie
di impulso p ed energia E :
L’informazione su p e su E deve essere in .
Come si possono estrarre p ed da , ?
, .
,
i px E p t
p E
p E
p E
x
E
t e
x t
x t
y
y
y
Occorre una operazione lineare.
( )( )
( )
( )
( )
,
,
,
, .
,
,
con una operazione lineare
L’info su p e su E deve essere in .
Come si puo’ estrarli da
?
p da’ la frequenza spaziale, cioe’ il vettore d’onda.
E=h da’ la frequenza tempo
i px E p t
p E
p E
p E
x t e
x t
x t
y
y
y
rale,.
( )( )
( )( )
( )
,
( )
,
,
,
i px E p t
p E
i px E p t
p E
ipx t e
x
iEx t e
t
y
y
Equazioni agli autovalori
( ) ( )
( )
, ,
,
, ,
eigenwert problem = problema agli autovalori
operatore impulso
, autofunzione
autovalore
p E p E
p E
i x t p x tx
ix
x t
p
y y
y
29
( ) ( )
( )
, ,
,
, ,
eigenwert problem = problema agli autovalori
operatore energia
, autofunzione
autovalore
p E p E
p E
i x t E x tt
it
x t
E
y y
y
In 3d, ( )( ). ( )
, ,
i p x E p t
p E x t ey
( )( )
( ) ( )
. ( )
, ,
, ,
, ,
i p x E p t
p E p
p E
E
ipx t e
i x t p x ty
y
y
= autovalore di i p
= operatore impulso i
Impulso uguale a p nello
stato di onda piana ( )( ). ( )
, ,
i p x E p t
p E x t ey
30
( ) ( )2 2
, ,ˆ , ,p E p Ep x t p x ty y
( ) ( ), ,ˆ , ,p E p Ep x t p x ty y
Energia cinetica
( ) ( )2 2
, ,
ˆ, ,
2 2p E p E
p px t x t
m my y
( )( ). ( )
,Onda con impulso p ,
i p x E p t
p E x t ey
Energia cinetica p2/2m
nello stato di onda piana ( )( ). ( )
, ,
i p x E p t
p E x t ey
31
operatore impulsop i
2
operatore energia cinetica autovalore2
pT E
m
( ) ( ), ,, ,p E p Ei x t E x tty y
Energia uguale a E nello
stato di onda piana ( )( ). ( )
, ,
i p x E p t
p E x t ey
ˆi Et
operatore energia
32
( )( ). ( )
, ,
i p x E p t
p E x t ey
Impulso uguale a p nello
stato di onda piana
variabili dinamiche operatori
2
( , ) ( , )2
pH p x V x t
m Hamiltoniana di un
punto materiale
Hamiltoniano di una particella
2 2 2ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ( , ) ( , )2 2
pH V x t V x t
m m
Energia E it
ˆ ˆH Ey y
( ) ( ) ( )2 2
ˆ ˆ, ( , ) , ,2
y y y
x t V x t x t i x tm t
33
Equazione di Schrödinger
ˆ ˆ vale anche se H=H(t)
ˆ ˆ vale anche per un sistema di molti corpi.
H E
H E
y y
y y
33
( ) ( ) ( )2 2
ˆ ˆ, ( , ) , ,2
x t V x t x t i x tm t
y y y
Equazione alle derivate parziali
Descrive l’evoluzione anche in problemi non stazionari (mentre classicamente H=E solo se l’energia e’ conservata)
34 Quella appena presentata non e’ una derivazione dell'equazione di Schrödinger; questa non puo in alcun modo essere dedotta dalla teoria classica.
non e’ realmente una equazione delle onde, se mai e imparentata con una equazione di diffusione nella quale si trasforma prendendo un tempo immaginario t it
( ) ( ) ( )2 2
Per 0
( ), , ammette , exp
2
(De Broglie)
V
i px Etx t i x t x t
m ty y y
34
( ) ( ) ( )
( )
2 2
ˆ ˆ, ( , ) , ,2
Non e' relativistica. E' in derivata prima rispetto al tempo
e in derivata seconda rispetto alle coordinate.
p.xPer V=0 e' risolta da , exp[i ]exp[ i ]
con E
x t V x t x t i x tm t
Etx t
y y y
y
2
= , che va bene per Galileo.2
p
m
35
Principio di sovrapposizione: combinazioni lineari di funzioni d’onda
danno altre funzioni d’onda (come nel caso elettromagnetico)
( )( ) ( )
( )
1 1 2 2. ( ) . ( )
1 2
Interpretazione:
ampiezza nello stato che la particella sia
in x al tempo t.
, .
,
i p x E p t i p x E p t
x t Ae A e
x t y
y
y
1 1
2 2
p non e' ben definito in questo stato. Non e' certo il risultato di una misura.
ampiezza nello stato che l'impulso sia
ampiezza nello stato che l'impulso sia
C'e' incertezza e si puo' assegnare u
A p
A p
y
y
1 2
na
probabilita' a p o p .
( )( ) ( )1 1 2 2. ( ) . ( )
1 2,
i p x E p t i p x E p t
x t Ae A ey
( )( ). ( )
, ampiezza di probabilita' che la particella nello stato
sia in x al tempo t, con E e p asseg i .
,
nat
i p x E p t
p E x t e yy
Una misura di p potra’ dare uno dei due valori con probabilita’ proporzionali a
2 2
1 2| | , | |A A
( )( )
( )( ).3
3, ( )
2
i p x E p td p
x t A p ey
pacchetto d’onde
( )( ) ( )1 1 2 2. ( ) . ( )
1 2generalizza , ;
i p x E p t i p x E p t
x t Ae A ey
( ) ( ) ( )2 2
E' un caso speciale di
ˆ ˆ, ( , ) , ,2
x t V x t x t i x tm t
y y y
Equazione di Schrödinger degli stati stazionari
Se H non dipende dal tempo
( ) ( ) ( )2 2
ˆ ˆ, ( ) ,2
,y yy
x t V x it
x t xm
t
( , ) ( )Et
i
x t x ey y
Soluzione particolare
Separazione delle variabili 38 38
𝑖ℏ𝜕
𝜕𝑡𝜓 𝑥 , 𝑡 = 𝐸𝜓 𝑥 , 𝑡 = 𝐸𝜓 𝑥 𝑒−
𝑖𝐸𝑡ℏ
⇒ 𝜓 𝑥 , 𝑡 = 𝜓 𝑥 𝑒−𝑖𝐸𝑡ℏ autostato di 𝐸 = 𝑖ℏ
𝜕
𝜕𝑡
Separazione delle variabili
( ) ( )poiche'iEt iEt
i x e E x ety y
( ) ( ) ( )2 2
ˆ ˆ( )2
iEt iEt iEt
x e V x x e E x em
y y y
( ) ( ) ( )2 2
ˆ ˆ( )2
iEt iEt iEt
x e V x x e E x em
y y y
( ) ( ) ( )2 2
ˆ ˆ, ( ) ,2
,y yy
x t V x it
x t xm
t
( , ) ( )Et
i
x t x ey y
sostituendo
( ) ( ) ( )2 2
ˆ ˆ( )2
x V x x E xm
y y y
equazione degli stati stazionari
39 39
Stati stazionari, cioe’ stati di energia definita E
( ) ( ) ( )2 2
ˆ ˆ( )2
n n n nx V x x E xm
y y y
L’equazione degli stati stazionari e’ una equazione agli autovalori da risolvere con certe condizioni al contorno e puo’ avere autovalori continui o discreti:
( , ) ( ) : situazione chenon evolven
n n
E ti
x t x ey y
La piu’ generale soluzione del’equazione di Schrödinger con H che non dipende dal tempo e’
( , ) ( , ), con costanti.nn n
n
x t a x t ay y
In particolare la condizione iniziale e’
( ,0) ( )nn
n
x a xy y
E determina passato, presente e futuro del sistema (equazione in d/dt).
Nel caso classico l’equazione e’ in derivata seconda.
40 40
Stati stazionari : particella libera (V=0)
)()(2 2
22
xExdx
d
myy
In 1d equazione differenziale ordinaria:
),(),( txt
itxH
( ) ( ) ( )( )( )..
,
i p x E p tip x
p px x e x t ey y y
ˆ ˆ ( ) ( ) ( )Et
i
E i Ef t Ef t f t et
E
Separiamo le variabili:
41
( , ) ( ) ( )x t x f ty
Sperimentalmente questo si realizza approssimativamente con un
cannone elettronico che genera un fascio monocromatico.
41
+
-
campo
+
+ -
-
fascio Fascio monocromatico e collimato
( )( )( ).
,
i p x E p t
p x t ey
Cannone elettronico
La soluzione generale dal principio di sovrapposizione:
( )( )
( )( ).3
3, ( )
2
i p x E p td p
x t g p ey
pacchetto d’onde
Il filamento metallico emette elettroni per effetto termoionico in una camera
a vuoto spinto con una opportuna ottica elettronica
42
Applicazione semplicissima in 1d: muro di potenziale.
Trovare gli stati stazionari di
energia E
, 0( )
0, 0
xV x
x
y=0 per x<0
( )( )( )
( )2
, , ,2
i px E p t
p
px t e E p p k
my
Senza il muro
( ) ( ), sin i t
E x t kx e
p k
E
y
Con il muro (sovrapposizione)
Impulsi -p e p (incidente e
riflesso)
( ) ( ) ( )2 2
ˆ ˆ, ( ) , ,2
x t V x x t i x tm t
y y y
43 sin( )
2
ix ixe ex
i
43
5 10 15 20x
0.2
0.4
0.6
0.8
1
^2 Sin x ^2
Applicazione semplicissima in 1d: muro di potenziale.
44
( ) ( ), sin con ,
Interferenza distruttiva per ; la particella dovrebbe
passare di li', ma non puo' mai esserci trovata!
i t
E
n
x t kx e p k E
kx n
y
Abbiamo separiato le variabili e scritto l’equazione degli stati stazionari non si descrive una evoluzione nel tempo, ma una distribuzione in x dell’ampiezza di trovare una particella, in un esperimento in cui c’e’ un flusso incidente verso il muro e un flusso riflesso. Classicamente sarebbe una costante per x>0.
44
Classicamente noi pensiamo a un punto materiale in x che viene lanciato
verso il muro con una certa velocita’ v , raggiunge il muro e rimbalza
con v -v.
Per descrivere una situazione del genere in meccanica quantistica uno deve
sovrapporre molte onde di De Broglie per fare un pacchetto che sia piu’ o
meno localizzato intorno a x. Questo si fa’ usando molti k
( ) ( )
( )
2( ) k
, sin ( ) , (k)=2m
0, 0.
i k tx t dk kx k e
x t
f
),(),( txt
itxH
L’andamento dipende dalla forma precisa del pacchetto.
45
( )( )
( )( ).3
3, ( )
2
i p x E p td p
x t A p ey
pacchetto d’onde
( ) contiene tutta l'informazione, ed e' una ampiezza.A p
ampiezza che l’elettrone abbia impulso p al tempo t
( ) ampiezza nello stato che la particella sia
in x al
,
tempo t
x ty y
Rappresentazione delle coordinate
Non possiamo rinunciare alla liberta’ di scelta che classicamente viene dalle trasformazioni canoniche. Ci sono infinite rappresentazioni o ‘pitture’ della realta’.
Trasformazioni canoniche e ‘pitture’
( )
i
i
Nel formalismo hamiltoniano classico, coordinate e momenti
si possono anche scambi
( , , ) ( , , ).
Non rinunceremo a questa liber
are:
Con F=
Vedremo che ,
ta'.
0
i i i i i i
i
i i
i
F Fp Q P q
q Q
H P Q t
x
H p t
q Q
q
l ll
y
( ) e' una trasformazione canonica.A p
Rappresentazione degli impulsi
( )( ) trasformata di ,0 e'
la funzioned' onda
nella rappresentazione p.
.
A p xy
Principio di sovrapposizione e valor medio:
2| ( ) |x dx x xy *( ) ( )x dx x x xy y
2| ( , ) |x ty= intensita’ del fascio di particelle= probabilita’ di trovare la particella in x,t
( )( )
( )( ).3
3, ( )
2
i p x E p td p
x t g p ey
pacchetto d’onde
Si puo’ formare uno stato localizzato in una regione
( )xy
x
mediox x
48 ( ),In particolare, ,0 ( ) particella in x=0 certamente.p E x xy
2| ( , ) |x ty= intensita’ del fascio di particelle= probabilita’ di trovare la particella in x,t
( )( )
( )( ).3
3, ( )
2
i p x E p td p
x t g p ey
pacchetto d’onde
x
( )g p ampiezza che l’elettrone abbia impulso p
( )g p funzione d’onda nella rappresentazione p 49
Rappresentazione degli impulsi
Rappresentazione delle coordinate
Werner Heisenberg (1901-1976)
50
)(),()( xtxKpg
y P indefinito e x definito
0 2
0( ) ( ) ( , ) | ( , ) | costanteip x
g p p p x t e x t y y
p definito e x indefinito
( )( )
( )( ).3
3, ( )
2
i p x E p td p
x t g p ey
pacchetto d’onde
51
Casi limite
Questa e' una situazione sperimentale in cui errore su x e' grande,
errore su p e' piccolo. Al contrario,
x
p
Situazione sperimentale in cui errore su p e' grande,
errore su x e' piccolo
p
x
In ogni caso vale il Principio di indeterminazione
di W. Heisenberg:
2
errore su x, errore su p
x p
x p
52
Einstein non lo ha mai accettato come principio fondamentale
della Fisica
Classicamente ogni cosa si puo’ misurare bene.
Pero’ e’ una proprieta’ matematicamente ineliminabile della
funzione d’onda.
( )( )
( )( ).3
3, ( , )
2
i p x E p td p
i x t i g p t ey
( )
( )( ).3
3( , )
2
i p x E p td p
pg p t e
( )( )
( )( )
( )
.3
3Dato il pacchetto , ( , )
2
ˆ ˆconsideriamo , , con .
i p x E p td p
x t g p t e
p x t p i
y
y
53
( )
( )
( ),0 ( ) e' una
( , ) t
tra
rasforma
sformazi
contien
one can
e la stessa inforta di ,
( , ) trasformata di , .
ˆNella rappresentazione degli impulsi
operatoreche moltipl
on
ic
m
a p
az
ic
i
e
a
r
.
oneg p t x t
g p t p i x
p
p
p
g
p
x
t
y
y
y
ˆOperatore p nella rappresentazione dei p
( )( )
( )( ).3
3, ( , )
2
i p x E p td p
x t g p t ey
*media di x sul pacchetto : ( ) ( )x dx x x xy y
Quale sara’ la media di p ? Ragioniamo per analogia
( ) ( )
( )
3 3* 2
3 3
Ma come si
( ) ( ) | ( ) |2
scrive direttamente in termin
2
i di x ?
d p d pp g p pg p g p p
y
54
Impulso medio di un pacchetto d’onde
Per un trattamento rigoroso e’ utile un teorema.
Teorema di Plancherel
55
( )
( )
* *
* ( ) *
* *
( ) ( ) ( )2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ).2
Scambiando le integrazioni,
( ) ( ) ( ) ( )
i x i t
i x t
d ddx x e dt t e
ddx x dt t e dx x dt t x t
dt t dx x x t dt t t
( )
( ) ( )
2
* *
Siano ( ), funzioni L
( ) ( )2
t t
ddt t t
La dimostrazione e’ facile se si usa la delta.
Il Teorema di Plancherel dice che:
56
( ) ( )* * ( ) ( )2
ddt t t
( )* *
i
i
NB ( ) somiglia a un prodotto scalare
dove al posto di i c'e' un indice continuo t.
Il teorema implica che e'un prodottoscalare
fra due vettori e che non cambia passando
dallecompo
idt t t
nenti t allecomponenti . Possiamo calcolarlo
nella rappresentazione x o p e viene uguale.
*
i
i
La definizione di prodotto scalare fra vettori complessi e e'
i
( )( )
3
3
* *( ) ( ) Primo membro: ( )2 2
d pg p p g p
d
( ) ( )
( )
* *
3
3
A tal fine, usiamo Plancharel : ( ) ( )2
con , ( ) ( ) ( )2 (2 )
ddt t t
d d ppg p g p
57
( ) ( )
( )
3 3* 2
3 3( ) ( )Nella rappresentazione ,
Vogliamo scrivere direttamente in termin
| ( ) | .2
i i
2
d x .
d p d pp g p pg p g pp p
p
y
( )( )
( )( ).3
3Data la funzione d'onda , ( , ) ,
2
i p x E p td p
x t g p t ey
ˆTrasformiamo p dalla rappresentazione p
ˆ alla rappresentazione x .
( ) ( )* *3 , [ ],doSecondo membro ( ) ( ve
[ ] e' la trasformata di Fourier di) )
)
( ( .
dt t t pg p
p
d x
g p p
x t F
F g p
y
( )
( )( )
( ).3
3Tale trasformata vale ( ) , .
2
i p x E p td p
p g p e i x ty
( ) ( ) ( )*3*secondo membro: ( ) , ,i d xdt x t xt tt y y
( )( )
3
3
* *( ) ( ) Primo membro: ( )2 2
d pg p p g p
d
( ) ( )* 3 *, , ( ) ( ).
Ritroviamo che nella rappresentazione x.
p i dx x t x t d p g p pg p
p i
y y
A partire da *( ) ( )x dx x x xy y
( )( )
( )( ).3
3, ( , )
2sostituendovi
i p x E p td p
x t g p t ey
( )
( )( )
( )
( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )
'. ' .3 3*
3 3
'. ' .3 3*
3 3
3 3*
3 3
'( ( ', ) ) ( , ) .
2 2
Scambiando le integrazioni,
'( ', ) ( , )
2 2
'( ', ) ( , )
2 2
i p x E p t i p x E p t
i p x E p t i p x E p t
i
d p d px dx g p t e x g p t e
d p d px g p t g p t dxe xe
d p d pg p t g p t e
( ) ( )( )' '. .
( )
E p E p t ip x ip x
pdxe i e
x nella rappresentazione dei p.
Analogamente possiamo scrivere
59
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )( )
' '. .3 3*
3 3
'3 3*
3 3
'( ', ) ( , ) ( )
2 2
Ora portiamo( ) fuori e introduciamo la delta di Dirac:
'( ', ) ( , ) ( )
2 2
i E p E p t ip x ip x
p
p
i E p E p t
p
d p d px g p t g p t e dxe i e
i dx
d p d px g p t g p t e i dxe
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
' .
'3 33*
3 3
'( ', ) ( , ) ( ) 2 ' .
2 2
Ricordando la derivata della delta,
i p p x
i E p E p t
p
d p d pg p t g p t e i p p
( )
3*
3( , ) ( )( ) ( , )
2p
d px g p t i g p t
ˆpx i
61
ˆ ˆRappresentazione p: p=p px i
ˆˆ ˆRappresentazione x: x=x p xi
Ma attenzione all’ordine dei fattori !
Medie Quantistiche
( ) ( )*3ˆ ˆA d x x A xy y
Ogni osservabile ha un operatore corrrispondente. Se conosciamo la funzione d’onda possiamo calcolare un valore medio come se si trattasse di un problema statistico.
Energia cinetica 2ˆˆ2
pT
m
Momento angolare ˆ ˆ ˆL r p
classicamente e’ vero anche , ma qui !L p r NO 62
Commutatori ˆ ˆ ˆ e non commutano, cioe' non si possono scambiare:
infatti ( ) funzione di prova, derivabil:
ˆ ˆ ˆ( )
e
( ) ( ) ( )
dp i x p
dx
d dpf x i f x xpf x i x f x
dx
f x
dx
ˆ ˆinvece, ( ) ( ( )) ( ) ( )d d
pxf x i xf x xi f x i f xdx dx
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , ( ) ( )
, 1
,px xp p x p x f x i f x p x i
dx
dx
Proprieta’ generali dei commutatori
_ _, ,A B AB BA B A
_, 0A A
_ _ _
_ _ _
, ( ) ( ) , ,
, , ,
A B C A B C B C A A B A C
A B C A C B C
dicesi commutatore fonˆ dameˆ, ntalep x i
64 64
_
_ _
_ _ _
, per definizione, ma aggiungendo e togliendo
, , , .
Analogamente,
, , ,
AB C ABC CAB ACB
AB C ABC ACB ACB CAB A B C A C B
A BC ABC BCA ABC BAC BAC BCA B A C A B C
Parentesi di Poisson classiche: lo stesso con […,…]{…,…}
( ) ( ) ( )
1
1
e iterando il procedimento [ , ]
ci si arriva anche direttamente :
n n
n n n
x p i nx
x p x px x i nx xf f f
[ , ] [ , ] [ , ]
Esempio:con , ,
AB C A B C A C B
A x B x C p
2[ , ] [ , ] [ , ] 2 x p x x p x p x i x
espedienti di calcolo
( )( )
( )( ).3
3, ( )
2
i p x E p td p
x t g p ey
pacchetto d’onde
( ) ( ).
3Qui, ( ) , 0 pacchetto ,
ampiezza che una misura di impulso sul pacchetto dia q.
autofunzione diiq x
g q d x xe t p x ty y
65
( )( )
( ).
( ) ampiezza dell'onda nel pacchetto ,
i p x E p t
g p e x ty
Spazio vettoriale di funzioni
( )
( )
( )( ).
autofunzione di pacchetto ,
pacchetto ,
autofunzione di
autofun ( ), dovzione autofunzione e
p
i p x E p t
p
x t
p
di p di
p
g p p e
x ty
y
Le funzioni d’onda sono vettori di uno spazio vettoriale, come le funzioni L2 nella teoria delle trasformate di Fourier.
( )*3
Bra-Ket dove Bra , Ket
( ) prodotto scalared x x x
l
l l
Notazione di Dirac
( ) ( ) ( )*3 ( ) 0 stati ortogonali:
se il sistema e' in nessuna misura lo trovera' in
x x d x x x l l
l
Significato fisico dell’ortogonalita’
( )y
y y
y
y y
2
Normalizzazione: , 1
significa 1.
Un insieme { } di vettori ortogonali e normalizzati
si chiama set ortonormale.
i
i j ij
dx x t
Set ortonormale
( ) 2| |x dx x x xy y y
( )2 2 2| |x dx x xy
( ) 2| | purche' converga.n n nx x dx x xy y y
( )
0
2
In tal modo data una funzione f(x)= si puo' definire
( ) ( ) | |
n
n
n
f x
f x dx f x xy
Valori medi o valori di aspettazione: per esempio prendiamo l’operatore x
67
( )xy
( ) ( )2 2
La media di una costanteC viene
( ) C | | =C | | =C
0
f x dx x dx x
x x
y y
Non e’ detto che sia il valore piu’ probabile, e’ solo la media dei valori: se testa=1 e croce=0 in media si ha ½ che pero’ non esce mai! Parlare di valori di aspettazione e’ improprio.
68
( )xy
Ma non solo la media e’ interessante; e’ importante anche sapere quanto i dati sono sparpagliati.
E’ una stima della larghezza della
distribuzione statistica
( ) ( )2 22 media di .
si chiama deviazione standard, come in statistica.
x x x x
0x x
( ) ( ) ( )22 22 2 2x x dx x x x x x y
22 2x x x x 22 2x x
Ovvero scarto quadratico dalla media
69
( )xy