Dimensionamento de Estruturas 2020/2021José Oliveira Pedro
• Lajes – Casos Particulares
• Bordos simplesmente
apoiados – armadura de
canto
• Painéis com bordos livres
• Painéis com cargas
concentradas
• Painéis com cargas
triangulares – muros de
suporte e reservatórios
retangulares
Aula T05 1/14DIMENSIONAMENTO DE LAJES DE BETÃO ARMADO
Painéis simplesmente apoiados – momentos flectores principais
� � �
--- momentos flectores negativos
__ Momentos flectores positivos
� � 1.5 �
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Aula T05 2/14DIMENSIONAMENTO DE LAJES DE BETÃO ARMADO
Impossível – não pode levantar nos apoios
Bordos simplesmente apoiados
armadura de canto
Ref. - Appleton, J. (2013). Estruturas de betão. Edições Orion
Dimensionamento de Estruturas 2020/2021José Oliveira Pedro
Aula T05 3/14DIMENSIONAMENTO DE LAJES DE BETÃO ARMADO
Bordos simplesmente apoiados
armadura de canto
Verifica-se � � � ; � 1/2�ã� donde a regra
prática normalmente adotada consiste em:
1) Armadura inferior – estender a armadura de
vão até aos apoios
2) Armadura superior – colocar armadura de
canto igual à de ½ vão nas duas direcções em
0.25� e 0.25�
Armadura a 45º não é fácil de montar
Ref. - Appleton, J. (2013). Estruturas de betão. Edições Orion
Dimensionamento de Estruturas 2020/2021José Oliveira Pedro
Aula T05 4/14DIMENSIONAMENTO DE LAJES DE BETÃO ARMADO
Painéis com um bordo livre
�� ℓ � ℓ
� � ��
��
ℓ�
ℓ�
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ℓ�
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� 3.0
∴ & �'
�('� 0.75
ℓy
ℓx
y
qx= xq
qy=
yq
0.75ℓx
x
� �"., -·ℓ�
/
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,
� �".# -·ℓ�
/
�� 0.094 1 · ℓ
,
Dimensionamento de Estruturas 2020/2021José Oliveira Pedro
Aula T05 5/14DIMENSIONAMENTO DE LAJES DE BETÃO ARMADO
Ref. - Bares, R. (1981) Tablas para el cálculo de
placas y vigas pared, Editorial Gustavo Gili.
�456 � 00.1182 1 · ℓ,
�86 � 0.0536 1 · ℓ, ; �8:6 � 0.0955 1 · ℓ
,;<78%�86>
Painéis com um bordo livre
Dimensionamento de Estruturas 2020/2021José Oliveira Pedro
y
P
x
my
mymax
my
(t2/t1=2)
(t2/t1=1)
t1
t2
=0.557P
mymax
=0.465P
Aula T05 6/14DIMENSIONAMENTO DE LAJES DE BETÃO ARMADO
Painéis com cargas concentradas
Dimensionamento de Estruturas 2020/2021José Oliveira Pedro
�?@@
�?@@
�
A. �
��BC�çã� E� �
��Fçã� ��GHIE� � �CJ� K
��Fçã� ��GHIE� � �CJ� J
A
A
Aula T05 7/14DIMENSIONAMENTO DE LAJES DE BETÃO ARMADO
Painéis com cargas concentradas
� =L
L=
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Aula T05 8/14DIMENSIONAMENTO DE LAJES DE BETÃO ARMADO
Utilizando a superfície de
influência de momentos
fletores a ½ vão de uma laje
simplesmente apoiada,
obtém-se, para A = 150 kN
distribuído numa área
quadrada de 0.40 m de lado:
� � 47.8 kNm/m
Como: L � 0.25 · A · �
Têm-se: �?@@ �P�
Q�� 0.80 �
i.e. deve colocar-se a
armadura de reforço para a
ação da carga concentrada na
largura �?@@ = 0.80 �
y
x
8
3
2
4567
8
6
7
a’ = 0.40+0.25 = 0.65 m
a’
Gauss points: 0.29 a’= 0.19 m
1.5
1
0.70.5
0.2
1.2
0.2
9a
’
0.29a’
0.2
9a
’
a’
a’
ξ11=8.0 ξ12=8.0
ξ13=8.0 ξ14=8.0
Gauss integration: ξ1=(ξ11+ξ12+ξ13+ξ14)/4 = 8.0
mymid span = 8 x 150/8 = 47.8 kNm/m
Central wheel integration using 4 Gauss integration points
0.29a’
ξ1=8.00
Painéis com cargas concentradas
Dimensionamento de Estruturas 2020/2021José Oliveira Pedro
Aula T05 9/14DIMENSIONAMENTO DE LAJES DE BETÃO ARMADO
R S 6 �
T
,S U S
,T
!
RVWXY �T
�" > 0.5m
Muro em consola
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Aula T05 10/14DIMENSIONAMENTO DE LAJES DE BETÃO ARMADO
R S 6 m
Muro em consola
T
,S U S
,T
!
RVWXY �T
�" > 0.5m
Dimensionamento de Estruturas 2020/2021José Oliveira Pedro
Aula T05 11/14DIMENSIONAMENTO DE LAJES DE BETÃO ARMADO
5 m S R S 10 m
T
,S U S
,T
!
RVWXY �T
�" > 0.5m
@\]X^. � 4 a 6m
`\]X^. � 0.4 a 0.5m
Muro com contrafortes
Dimensionamento de Estruturas 2020/2021José Oliveira Pedro
Aula T05 12/14DIMENSIONAMENTO DE LAJES DE BETÃO ARMADO
Muro com contrafortes
Ref. - Bares, R. (1981) Tablas para el cálculo de
placas y vigas pared, Editorial Gustavo Gili.
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Aula T05 13/14DIMENSIONAMENTO DE LAJES DE BETÃO ARMADO
��
a �ℓ � � � 7.5
ℓ � � � 5.0� 1.5
�
1 � 7.5 · 10 � 75 kN/m2
��`ê� 0 ��
a�ℓy
q
Bordo livre
b�ℓx
12
33
5 66
4
�� � <0.0169 1 · ℓ, � <31.7 kNm/m
�, � <0.0030 1 · ℓ, � <12.7 kNm/m
�! � 00.0382 1 · ℓ, � 071.6 kNm/m
�� � 00.0182 1 · ℓ, � 076.8 kNm/m
� � <0.0063 1 · ℓ, � <11.8 kNm/m
�k � 00.0074 1 · ℓ, � 013.9 kNm/m
Muro com contrafortes
I�`�B 1H� �� � �HB� l���� �� F�I��m�
�� � 01/6 1 · ℓ, � 0703.1 kNm/m ;9 x maior>
Dimensionamento de Estruturas 2020/2021José Oliveira Pedro
Aula T05 14/14DIMENSIONAMENTO DE LAJES DE BETÃO ARMADO
��
a �ℓ � � � 3.0
ℓ � � � 10.0� 0.3
�
1 � 3.0 · 10 � 30 kN/m2
�� � <0.0007 1 · ℓ, � <2.10 kNm/m
�, � 00.0089 1 · ℓ, � 02.40 kNm/m
�! � 00.0048 1 · ℓ, � 014.4 kNm/m
�� � 00.1369 1 · ℓ, � 040.0 kNm/m
� � <0.0024 1 · ℓ, � <7.20 kNm/m
�k � 00.0083 1 · ℓ, � 024.9 kNm/m
Tanque de 10x10x3m3
��`ê� 0 ��
I�`�B 1H� �� � m�n� l���� �� F�I��m�
�� � 01/6 1 · ℓ, � 045.0 kNm/m ;quase igual !>