Laplace laplace 1/30
Sistemas Contınuos
Sao sistemas cujas entradas e saıdas sao funcoes escalares (sinais reais ou complexos) contınuasno tempo.
Notacao: y(t) = G[x(t)], sendo x(t) a entrada e y(t) a saıda.
Sistemas Lineares
Um sistema e linear se satisfaz o princıpio da superposicao, isto e,
G[a1x1(t) + a2x2(t)] = a1G[x1(t)] + a2G[x2(t)]
Exemplo 1
Considere o circuito mostrado na Figura 1 cujas equacoes sao
y1 = Cy +y
R; x = Ly1 + y
R
++
−− C
L
x y
y1
Figura 1: Circuito RLC.
Definindo o operador derivada no tempo p
p =d
dt⇒ p2 =
d2
dt2
tem-se
[
p2 +1
RCp +
1
LC
]
y =1
LCx
Para condicoes iniciais nulas, o sistema e linear e invariante no tempo.
A solucao para a entrada nula (sistema autonomo) depende das condicoes iniciais. Observeque, para parametros R, L e C positivos, a energia armazenada no circuito (magnetica eeletrica) decresce assintoticamente.
E =1
2Ly2
1 +1
2Cy2 ⇒ E = Ly1y1 + Cyy
substituindo as derivadas, obtem-se
E = −y2
R< 0 para y 6= 0
Laplace laplace 2/30
indicando que o sistema e estavel (tende ao ponto de equilıbrio y1 = y = 0). Observe quea derivada da energia e a potencia dissipada no resistor.
Os pontos de equilıbrio podem ser obtidos das equacoes de estado impondo-se que asderivadas das variaveis de estado sao nulas. Para a entrada x = 0, tem-se como ponto deequilıbrio y = 0, y1 = 0.
Exemplo 2
Considere um pendulo composto por uma haste rıgida sem peso, de comprimento ℓ, os-cilando em um plano vertical, sujeito ao atrito de friccao no engate e sustentando naextremidade livre uma massa m. Denotando por y o angulo com a vertical (em repouso,y = 0), tem-se a equacao
mℓy = −mgsen(y) − mby
sendo g a aceleracao da gravidade e b o coeficiente de atrito. A forca longitudinal na barrae dada por mg cos(y).
Trata-se de um sistema nao-linear estavel em relacao ao ponto de equilıbrio (y = 0), poisa energia (potencial mais cinetica), dada por
E = mg(ℓ − ℓ cos(y)) +1
2m(ℓy)2
possui derivada negativa para todo y e y 6= 0, dada por
E = −mbℓy2
Para pequenas variacoes em torno do ponto de equilıbrio y = 0, y = 0 tem-se sen(y) ≈ y,resultando na equacao linear
mℓy = −mgy − mby
Exemplo 3
Lorenz
Em 1963, Lorenz1 publicou o artigo “Deterministic nonperiodic flow”, no Journal of the
Atmospheric Sciences, mostrando que equacoes simples podem apresentar comportamen-tos imprevisıveis, denominados posteriormente de caoticos.
y1 = σ(y2 − y1)
y2 = ρy1 − y2 − y1y3
y3 = y1y2 − βy3
As equacoes representam comportamentos atmosfericos, sendo y1 ligado a velocidade dascorrentes de ar e y2, y3 associados as temperaturas. As contantes positivas sao o numerode Rayleigh ρ, o numero de Prandtl σ e uma razao β.
1Edward N. Lorenz, meteorologista do MIT (Massachusetts Institute of Technology).
Laplace laplace 3/30
Invariante no tempo
Um sistema e invariante no tempo se um deslocamento da entrada produzir igual deslocamentona saıda, isto e,
y(t − a) = G[x(t − a)]
para qualquer a real.
Definicao: Convolucao
Convolucao e a operacao
x1(t) ∗ x2(t) =
∫∞
−∞
x1(β)x2(t − β)dβ
Propriedade 1Comutativa
x1(t) ∗ x2(t) = x2(t) ∗ x1(t)
Prova:
x1(t) ∗ x2(t) =
∫ +∞
−∞
x1(t − β)x2(β)dβ =
∫ +∞
−∞
x1(α)x2(t − α)dα = x2(t) ∗ x1(t)
⋄
Propriedade 2Associativa
x1(t) ∗ (x2(t) ∗ x3(t)) = (x1(t) ∗ x2(t)) ∗ x3(t)
Prova:
x1(t) ∗ (x2(t) ∗ x3(t)) = x1(t) ∗(∫ +∞
−∞
x2(t − β)x3(β)dβ
)
=
=
∫ +∞
−∞
x1(t − α)
(∫ +∞
−∞
x2(α − β)x3(β)dβ
)
dα
integrando primeiro em α e depois em β, e trocando α − β por γ, tem-se
x1(t) ∗ (x2(t) ∗ x3(t)) =
∫ +∞
−∞
x3(β)
(∫ +∞
−∞
x1 ((t − β) − γ) x2(γ)dγ
)
︸ ︷︷ ︸
x1(t) ∗ x2(t)
∣∣∣∣∣t−β
dβ = x3(t) ∗ (x1(t) ∗ x2(t))
⋄
Laplace laplace 4/30
Propriedade 3Distributiva em relacao a soma
x1(t) ∗ [x2(t) + x3(t)] = x1(t) ∗ x2(t) + x1(t) ∗ x3(t)
Prova:
x1(t) ∗ [x2(t) + x3(t)] =
∫ +∞
−∞
x1(t − β)[x2(β) + x3(β)]dβ = x1(t) ∗ x2(t) + x1(t) ∗ x3(t)
⋄
Definicao: Funcao Degrau Unitario
u∆(t) =
0 , t ≤ 0
(1/∆)t , 0 < t ≤ ∆
1 , t > ∆
⇒ u(t) = lim∆→0+
u∆(t) =
u(t) = 0, t ≤ 0
u(t) = 1, t > 0
Definicao: Funcao Impulso Unitario
δ∆(t) =d
dtu∆(t) =
0 , t < 0
1/∆ , 0 < t < ∆
0 , t > ∆
=⇒ δ(t) = lim∆→0+
δ∆(t) =⇒ δ(t) =d
dtu(t)
Note que o impulso ocorre em 0+
u(0) = 0 ; u(0+) = limt→0+
u(t) = 1 ; δ(0) = 0
Propriedade 4
∫ +∞
−∞
f(t)δ(t)dt = f(0) , ∀ f(t) contınua em t = 0
Prova:
I =
∫ +∞
−∞
f(t)δ(t)dt = lim∆→0+
∫ +∞
−∞
f(t)δ∆(t)dt = lim∆→0+
∫ ∆
0
1
∆f(t)dt
Pelo teorema do valor medio, tem-se
∫ b
a
f(t)dt = f(c)(b − a) , c ∈ (a, b)
e, portanto,
Laplace laplace 5/30
I = lim∆→0+
1
∆f(y)(∆ − 0) , y ∈ (0, ∆)
I = lim∆ → 0+
y ∈ (0, ∆)
f(y) = f(0)
⋄
Associa-se a funcao impulso o valor de sua integral. Assim, o valor de f(t)δ(t) e igual a f(0).
A rigor, a “funcao” impulso nao pode ser calculada pontualmente. Apenas integrais envolvendoδ(t) podem ser avaliadas. Como consequencia
f(t) δ(t) = f(0) δ(t)
pois ambas tem o mesmo valor da integral.
Propriedade 5O impulso e o elemento neutro da convolucao.
Prova:
x(t) ∗ δ(t) =
∫∞
−∞
x(β)δ(t − β)dβ =
∫∞
−∞
x(t − α)δ(α)dα = x(t)
⋄Propriedade 6Deslocamento no tempo
x(t) ∗ δ(t − a) = x(t − a)
Prova:
∫∞
−∞
x(β)δ(t − a − β)dβ = x(t − a)
⋄Propriedade 7Convoluir com degrau e integrar
x(t) ∗ u(t) = Ix(t) =
∫ t
−∞
x(β)dβ
Prova:
x(t) ∗ u(t) =
∫ +∞
−∞
u(t − β)x(β)dβ =
∫ t
−∞
u(t − β)x(β)dβ +
∫ +∞
t
u(t − β)x(β)dβ
︸ ︷︷ ︸
= 0
=
∫ t
−∞
x(β)dβ
⋄
Laplace laplace 6/30
Propriedade 8
x(t) ∗∑
k
aku(t − bk) =∑
k
akIx(t − bk)
⋄
Exemplo 4
Considere x1(t) = u(t)− u(t− 1) e x2(t) = u(t + 1)− u(t− 1). A convolucao x1(t) ∗ x2(t)e dada por
x1(t) ∗ x2(t) = Ix1(t + 1) − Ix1
(t − 1) = Ix2(t) − Ix2
(t − 1)
Exemplo 5
A resposta impulsiva h(t) = G[δ(t)] do sistema
y(t) = G[x(t)] = exp(−t)
∫ t
−∞
x(β) exp(β)dβ =
∫ +∞
−∞
x(β) exp[−(t − β)]u(t − β)dβ
e dada por
h(t) = exp(−t)u(t)
Teorema: a saıda de um sistema linear invariante no tempo e a convolucao da respostaimpulsiva com a entrada, isto e
y(t) = G[x(t)] = h(t) ∗ x(t)
sendo h(t) = G[δ(t)] a resposta impulsiva do sistema.
Prova:
G[x(t)] = G[x(t) ∗ δ(t)] = G[∫ +∞
−∞
x(β)δ(t − β)dβ
]
=
∫ +∞
−∞
x(β)G [δ(t − β)]︸ ︷︷ ︸
h(t − β)
dβ =
=
∫ +∞
−∞
x(β)h(t − β)dβ = x(t) ∗ h(t) ¤
Definicao: Auto-funcao
Um sinal de entrada e denominado auto-funcao de um sistema se a saıda correspondente forigual ao sinal de entrada multiplicado por uma constante (em geral complexa).
Laplace laplace 7/30
Propriedade 9O sinal exp(st), s complexo pertencente ao domınio Ωh, e uma auto-funcao para sistemaslineares contınuos e invariantes no tempo.
Prova:
y(t) = exp(st) ∗ h(t) =
∫ +∞
−∞
h(β) exp[s(t − β)]dβ = H(s) exp(st)
com
H(s) =
∫ +∞
−∞
h(β) exp(−sβ)dβ
H(s) = L[h(t)] e a transformada bilateral de Laplace da funcao h(t). O domınio Ωh e o conjuntodos valores de s complexos para os quais a integral existe e e finita.
⋄
Propriedade 10Deslocamento em t
L[y(t) = x(t − τ)] = X(s) exp(−sτ) , Ωy = Ωx
Prova:
L[x(t − τ)] =
∫ +∞
−∞
x(t − τ) exp(−st)dt =
=
∫ +∞
−∞
x(β) exp[−s(β + τ)]dβ = exp(−sτ)
∫ +∞
−∞
x(β) exp(−sβ)dβ = L[x(t)] exp(−sτ)
⋄
Propriedade 11
L[x(t) = x1(t) ∗ x2(t)] = L[x1(t)]L[x2(t)] , Ωx = Ωx1∩ Ωx2
Prova:
L[x1(t) ∗ x2(t)] = L[∫ +∞
−∞
x1(t − β)x2(β)dβ]
=
∫ +∞
−∞
x2(β)[∫ +∞
−∞
x1(t − β) exp(−st)dt]
︸ ︷︷ ︸
X1(s) exp(−sβ)
dβ
= X1(s)
∫ +∞
−∞
x2(β) exp(−sβ)dβ = X1(s)X2(s)
⋄
Laplace laplace 8/30
Propriedade 12
L[exp(−at)u(t)] =1
s + a, s ∈
s ∈ C, Re(s + a) > 0
pois
H(s) =
∫ +∞
−∞
exp(−at)u(t) exp(−st)dt =1
s + a
∫ +∞
0
exp[−(s + a)t](s + a)dt =
=1
s + apara Re(s + a) > 0
⋄
Definicao: Funcao de transferencia
A relacao (temporal) entre saıda e entrada em um sistema linear invariante no tempo e dadapelo “ganho complexo” H(s) quando x(t) = exp(st)
y(t) = h(t) ∗ x(t) ; H(s) =
∫ +∞
−∞
h(t) exp(−st)dt s ∈ Ωh
H(s), tambem denominada funcao de transferencia do sistema, e a relacao entre as transfor-madas de Laplace da saıda Y (s) e da entrada X(s) para qualquer x(t)
Y (s) = H(s)X(s)
Exemplo 6
Circuito RC
Considere o circuito RC descrito na Figura 2.
x(t)
R+
+
−− C y(t)
Figura 2: Circuito RC.
A entrada e a fonte de tensao x(t) e a saıda y(t) e a tensao no capacitor. O circuito edescrito pela equacao
y +1
τy =
1
τx ; τ = RC
ou, usando o operador p =d
dt,
(
p +1
τ
)
y =1
τx
Laplace laplace 9/30
A funcao de transferencia e dada por
H(s) =1
τs + 1=
1
τ
1
s + 1/τ
Note que esta funcao de transferencia e a transformada de Laplace de
h(t) =1
τexp(−t/τ)u(t)
Exemplo 7
Considere o circuito da Figura 3, com τ1 = R1C1 = 1 e τ2 = R2C2 = 0.01.
N
I
x(t)
R1 R2+
+
−− C1 C2
y(t)
Figura 3: Circuito RC em cascata.
A funcao de transferencia e dada por
H(s) =Y (s)
X(s)= H1(s)H2(s) =
(1/τ1
s + 1/τ1
) (1/τ2
s + 1/τ2
)
=100
s2 + 101s + 100
Exemplo 8
Considere o circuito da Figura 4
x(t)
R1 R2+ +
+
− −− C1 C2 y(t)y1(t)
Figura 4: Circuito RC duplo.
x = R1(C1y1 + C2y) + y1 ; y1 = R2C2y + y
A funcao de transferencia e dada por
Laplace laplace 10/30
H(s) =Y (s)
X(s)=
1
R1C1R2C2s2 + (R1C1 + R2C2 + R1C2)s + 1
Para R1 = C1 = 1, R2 = 1, C2 = 0.01, tem-se
H(s) =Y (s)
X(s)=
100
s2 + 102s + 100
Definicao: Resposta em frequencia
Se s = jω pertence ao domınio da funcao de transferencia do sistema linear invariante no tempoH(s), a resposta em frequencia do sistema e o valor de H(s) computado para s = jω.
A resposta em frequencia escreve-se como
M(ω) exp(jφ(ω)) = H(jω)
sendo M(ω) o modulo e φ(ω) a fase de H(jω)
Em geral, e desenhada na forma de modulo e fase (diagrama de Bode2) ou na forma polar, paraω ∈ [0, +∞). Representa a resposta em regime permanente de sistemas lineares invariantes notempo estaveis para entradas senoidais.
Propriedade 13Se h(t) e real, entao H∗(jω) = H(−jω), isto e M(ω) e uma funcao par e φ(ω) e uma funcaoımpar.
Prova:
H∗(jω) =
∫ +∞
−∞
h(t) exp(jωt)dt = H(−jω)
H(jω) = M(ω) exp(jφ(ω)) ⇒ H∗(jω) = M(ω) exp(−jφ(ω))
H(−jω) = M(−ω) exp(jφ(−ω))
Portanto, M(ω) = M(−ω) e −φ(ω) = φ(−ω).
⋄
Propriedade 14A resposta em regime de um sistema linear invariante no tempo com funcao de transferenciaH(s), com h(t) real e jω ∈ Ωh, para a entrada x(t) = cos(ωt), e
y(t) = M(ω) cos(ωt + φ(ω))
Prova:
2Hendrik Wade Bode, engenheiro eletricista americano do seculo XX.
Laplace laplace 11/30
y(t) = G[cos(ωt)] =1
2G[exp(jωt)] +
1
2G[exp(−jωt)] =
=1
2H(jω) exp(jωt) +
1
2H(−jω) exp(−jωt) =
=1
2M(ω) exp(jωt + jφ(ω)) +
1
2M(ω) exp(−jωt − jφ(ω)) = M(ω) cos(ωt + φ(ω))
⋄
Exemplo 9
Considere a linha de transmissao bifilar sem perdas descrita por
y(t) = x(t − T )
tambem conhecida como linha de atraso. A funcao de transferencia e dada por
H(s) = exp(−sT )
O modulo da resposta em frequencia H(jω) e M(ω) = 1 e a fase e φ(ω) = −ωT .
Propriedade 15A equacao diferencial
D(p)y(t) = N(p)x(t) , D(p) =m∑
k=0
αkpk ; N(p) =
ℓ∑
k=0
βkpk
com αm = 1, αk e βk coeficientes constantes e condicoes iniciais nulas descreve um sistemalinear invariante no tempo, cuja funcao de transferencia e
H(s) =N(s)
D(s)
pois, para a entrada x(t) = exp(st) tem-se a saıda y(t) = H(s) exp(st), e portanto
D(p)H(s) exp(st) = N(p) exp(st) ⇒ H(s)D(s) = N(s)
H(s) e uma funcao racional, ou seja, e dada pela razao de dois polinomios em s.
⋄
Definicao: zeros
Os zeros de uma funcao H(s), s complexo, sao os valores de s para os quais H(s) = 0. Amultiplicidade da raiz s e denominada de ordem do zero.
Definicao: polos
Laplace laplace 12/30
Os polos de uma funcao H(s), s complexo, sao os valores de s para os quais 1/H(s) = 0. Amultiplicidade da raiz e denominada de ordem do polo.
Em funcoes racionais, os polos sao as raızes do denominador e os zeros sao as raızes do nume-rador.
Exemplo 10
Circuito RC
O circuito RC do exemplo 6 e descrito pela funcao de transferencia
H(s) =1/τ
s + 1/τ
A resposta em frequencia e dada por
M(ω) =1
√
1 + (τω)2; φ(ω) = − arctan(τω)
Note que trata-se de um filtro passa-baixas, com a fase variando de 0 a −90 graus quandoa frequencia varia de zero a infinito e φ(1/τ) = −45 graus. O filtro RC possui um poloem s = −1/τ .
Transformada bilateral de Laplace
A transformada bilateral de Laplace da funcao x(t) e dada por
X(s) = L[x(t)] =
∫ +∞
−∞
x(t) exp(−st)dt
Propriedade 16Transformada do impulso
L[δ(t)] = 1 , para s ∈ C
pois
L[δ(t)] =
∫ +∞
−∞
δ(t) exp(−st)dt = 1
⋄
Propriedade 17Transformada do degrau
L[u(t)] =1
s, s ∈
s ∈ C, Re(s) > 0
pois
Laplace laplace 13/30
L[u(t)] =
∫ +∞
−∞
u(t) exp(−st)dt =
∫ +∞
0
exp(−st)dt = −1
sexp(−st)
∣∣∣
t=+∞
t=0=
1
s, para Re(s) > 0
⋄
Propriedade 18Transformada da exponencial
L[exp(λt)u(t)] =1
s − λ, s ∈
s ∈ C, Re(s − λ) > 0
pois
L[exp(λt)u(t)] =
∫ +∞
−∞
u(t) exp[(λ − s)t]dt =
∫ +∞
0
exp[(λ − s)t]dt =
=1
λ − sexp[(λ − s)t]
∣∣∣
t=+∞
t=0=
1
s − λ, para Re(s − λ) > 0
⋄
Exemplo 11
L[exp(jωt)u(t)] =1
s − jω, Re(s) > 0
L[exp(−jωt)u(t)] =1
s + jω, Re(s) > 0
Exemplo 12
L[cos(ωt)u(t)] =1
2L[exp(jωt)u(t)] +
1
2L[exp(−jωt)u(t)] =
=1
2
(1
s − jω+
1
s + jω
)
=s
s2 + ω2, Re(s) > 0
Exemplo 13
L[sen(ωt)u(t)] =1
2jL[exp(jωt)u(t)] − 1
2jL[exp(−jωt)u(t)] =
=1
2j
(1
s − jω− 1
s + jω
)
=ω
s2 + ω2, Re(s) > 0
Laplace laplace 14/30
Propriedade 19Transformada da integral
L[
y(t) =
∫ t
−∞
x(β)u(β)dβ = x(t) ∗ u(t)]
=1
sL[x(t)] , Ωy = Ωx ∩ s ∈ C : Re(s) > 0
Observe que a funcao y(t) vale zero para t < 0.
⋄
Exemplo 14
L[δ(t)] = 1
L[u(t)] =1
spois u(t) = Iδ(t) =
∫ t
−∞
δ(β)dβ , Re(s) > 0
L[tu(t)] =1
s2pois tu(t) = Iu(t) , Re(s) > 0
L[ t2
2u(t)
]
=1
s3, Re(s) > 0
L[ tn
n!u(t)
]
=1
sn+1, Re(s) > 0
Propriedade 20Deslocamento em s
L[y(t) = exp(−at)x(t)] = X(s + a) ; Ωy = Ωx deslocado para a esquerda de Re(a)
pois
L[exp(−at)x(t)] =
∫ +∞
−∞
exp(−at)x(t) exp(−st)dt =
∫ +∞
−∞
x(t) exp[−(s + a)t]dt
⋄
Exemplo 15
L[ tn
n!exp(−at)u(t)
]
=1
(s + a)n+1, Re(s + a) > 0
Laplace laplace 15/30
Exemplo 16
L[cos(ωt) exp(−at)u(t)] =s + a
(s + a)2 + ω2, Re(s + a) > 0
Exemplo 17
L[sen(ωt) exp(−at)u(t)] =ω
(s + a)2 + ω2, Re(s + a) > 0
Propriedade 21Derivada em s
L[y(t) = tnx(t)] = (−1)n dnX(s)
dsn; Ωy = Ωx
pois
X(s) = L[x(t)] =
∫ +∞
−∞
x(t) exp(−st)dt =⇒ dnX(s)
dsn= (−1)n
∫ +∞
−∞
tnx(t) exp(−st)dt
⋄
Exemplo 18
A integral de uma funcao x(t) pode ser computada atraves da transformada de LaplaceX(s) se s = 0 ∈ Ωx.
∫ +∞
−∞
x(t)dt = X(s)∣∣∣s=0
Para
x(t) = t2 exp(−3t)u(t)
tem-se
L[exp(−3t)u(t)] =1
s + 3⇒ L[t2 exp(−3t)u(t)] =
d2
ds2(s + 3)−1 = 2(s + 3)−3
Portanto,
∫ +∞
−∞
t2 exp(−3t)u(t)dt = 2(s + 3)−3∣∣∣s=0
=2
27
Laplace laplace 16/30
Esse mesmo resultado pode ser obtido de
L[t2u(t)] =2
s3
∣∣∣s=3
=2
27
Exemplo 19
Considere a equacao diferencial
y + y = 0 , y(0) = 1
Portanto
dy
y= −dt ⇒ y(t) = y(0) exp(−t) = exp(−t)
Note que a transformada de Laplace de y(t) nao e finita para nenhum s e, portanto,a transformada de Laplace nao seria um instrumento util para a resolucao de equacoesdiferenciais, mesmo as muito simples.
Essa dificuldade pode ser superada considerando-se que apenas os valores de y(t) parat ≥ 0 sao de interesse, uma vez que a condicao inicial e conhecida.
A funcao
y(t) = exp(−t)u(t)
tem transformada de Laplace e coincide com a solucao para t ≥ 0.
Transformada unilateral de Laplace
Considere a classe de sinais x(t) tais que x(t) = 0, t < 0 e x(0) e qualquer.
x(0) representa o limite a esquerda de 0, chamado de 0− na maioria dos livros. Para evitarambiguidade, o limite a direita sera chamado de 0+.
Portanto, para funcoes contınuas tem-se x(0−) = x(0) = x(0+) e, para funcoes descontınuas,x(0−) = x(0) 6= x(0+).
Exemplo 20
x1(t) = exp(−t)u(t) , x1(0) = 0
Em t = 0, x1(t) tem descontinuidade finita, pois x1(0+) = 1.
A funcao
y1(t) =
∫ t
−∞
x1(β)dβ = [1 − exp(−t)]u(t)
Laplace laplace 17/30
e contınua e pertence a mesma classe de funcoes.
y1(t) = exp(−t)u(t) + [1 − exp(−t)]δ(t) = exp(−t)u(t) = x1(t)
Exemplo 21
x2(t) = exp(−t)u(t) + 3δ(t) , x2(0) = 0
Em t = 0, x2(t) tem descontinuidade infinita.
A funcao
y2(t) =
∫ t
−∞
x2(β)dβ = [4 − exp(−t)]u(t)
nao e contınua, pois y2(0) = 0 e y2(0+) = 3 (descontinuidade finita). Tambem pertence a
mesma classe de funcoes.
y2(t) = exp(−t)u(t) + [4 − exp(−t)]δ(t) = exp(−t)u(t) + 3δ(t) = x2(t)
Para essa classe de funcoes, a transformada de Laplace e dada por
L[x(t)] =
∫ +∞
−∞
x(t) exp(−st)dt =
∫ +∞
0
x(t) exp(−st)dt
e e denominada transformada unilateral de Laplace.
Propriedade 22Transformada da derivada
L[x(t)] = sL[x(t)] − x(0)
Prova:
L[x(t)] =
∫ +∞
0
dx
dtexp(−st)dt =
∫ +∞
0
exp(−st)dx
Integrando por partes:
L[dx
dt
]
= x(t) exp(−st)∣∣∣
+∞
0−
∫ +∞
0
x(t)(−s) exp(−st)dt
Como s ∈ Ωx, tem-se limt→∞
x(t) exp(−st) = 0
Laplace laplace 18/30
L[x(t)] = s
∫ +∞
0
x(t) exp(−st)dt
︸ ︷︷ ︸
X(s)
−x(0) = sX(s) − x(0)
⋄
Exemplo 22
L[ d
dtu(t) = δ(t)
]
= 1
pois
sL[u(t)] − u(0) = s1
s− 0 = 1
Assim,
L[δ(t) =d
dtδ(t)] = s1 − δ(0) = s
L[
dn
dtnδ(t)
]
= sn
Propriedade 23Transformada da derivada segunda
L[x(t)] = s2L[x(t)] − sx(0) − x(0)
pois
L[x(t)] = L[y(t)] = sL[y(t)] − y(0) = sL[x(t)] − x(0) = s2L[x(t)] − sx(0) − x(0)
Genericamente:
L[
x(n)(t) =dnx
dtn
]
= snL[x(t)] −n−1∑
k=0
sn−k−1x(k)(0)
⋄
Transformada inversa de Laplace
A transformada bilateral de Laplace e dada por
X(s) =
∫ +∞
−∞
x(t) exp(−st)dt ; s ∈ Ωx
X(s) =
∫ +∞
−∞
[x(t) exp(−σt)] exp(−jωt)dt = F [x(t) exp(−σt)]
Laplace laplace 19/30
sendo F [x(t)] a transformada de Fourier de x(t). Portanto,
x(t) exp(−σt) =1
2π
∫ +∞
−∞
X(s) exp(jωt)dω
x(t) =1
2πj
∫ +∞
−∞
X(s) exp(st)jdω =1
2πj
∫ σ+j∞
σ−j∞
X(s) exp(st)ds
No caso unilateral,
X(s) =
∫ +∞
0
x(t) exp(−st)dt ; s ∈ Ωx
e a tranformada inversa e unica se x(t) = 0, t < 0.
A transformada inversa e uma integral complexa que pode ser calculada usando-se tecnicas deresıduo. Entretanto, no caso de funcoes X(s) racionais, o computo pode ser feito por inspecao.
Resolucao de equacoes diferenciais por transformada de Laplace
Exemplo 23
Considere a equacao diferencial
y + ay = 0 , y(0)
Aplicando Laplace, tem-se
sY (s) − y(0) + aY (s) = 0 ⇒ Y (s) =y(0)
s + a
cuja transformada inversa e
y(t) = y(0) exp(−at)u(t)
Exemplo 24
Resposta impulsiva3 do circuito RC
Considere o circuito RC descrito na Figura 5, com τ = RC.
cuja funcao de transferencia (transformada de Laplace da resposta impulsiva) e respostaimpulsiva sao dadas por
H(s) =1/τ
s + 1/τ⇒ h(t) =
1
τexp(−t/τ)u(t)
3Resposta impulsiva pressupoe condicoes iniciais nulas.
Laplace laplace 20/30
x(t)
R+
+
−− C y(t)
Figura 5: Circuito RC.
Note que, neste caso, a resposta impulsiva corresponde a solucao do circuito autonomocom a condicao inicial y(0) = 1/τ .
A funcao de transferencia da tensao medida no resistor e a correspondente resposta im-pulsiva sao dadas por
HR(s) =s
s + 1/τ= 1 − 1/τ
s + 1/τ⇒ h(t) = δ(t) − 1
τexp(−t/τ)u(t)
Observe que a resposta impulsiva pode conter impulsos.
Exemplo 25
Resposta ao degrau4 do circuito RC
Considere o circuito RC descrito na Figura 2, com τ = RC e funcao de transferencia dadapor
H(s) =1/τ
s + 1/τ
Para entrada a x(t) = u(t),
Y (s) = H(s)1
s=
1/τ
s(s + 1/τ)
Expandindo em fracoes parciais, tem-se
Y (s) =1/τ
s(s + 1/τ)=
1
s− 1
s + 1/τ
resultando na resposta ao degrau dada por
y(t) = [1 − exp(−t/τ)]u(t)
Observe que y(t) atinge aproximadamente 63% do valor final decorrido t = τ e 95% parat = 3τ , sendo τ denominado constante de tempo do sistema.
4Resposta ao degrau pressupoe condicoes iniciais nulas.
Laplace laplace 21/30
Para t ∈ [0, τ ] tem-se
y(t) ≈ t
τ
e essa aproximacao e usada experimentalmente para a medida da constante de tempo desistemas de primeira ordem.
A solucao de regime e dada por
limt→+∞
y(t) = 1
pois o ganho DC e unitario. Note que, pelo teorema do valor inicial (Propriedade 24),tem-se
limt→+∞
y(t) = lims→0
sY (s) = H(0)
A resposta ao degrau para a funcao de transferencia da tensao medida no resistor e dadapor
yR(s) =1
s + 1/τ⇒ yR(t) = exp(−t/τ)u(t)
e, em regime, yR(t) → 0.
Exemplo 26
Considere o circuito RC da Figura 2 com τ = RC = 1, excitado pela entrada x(t) =exp(−t)u(t) e condicao inicial nula.
Y (s) =1
s + 1
1
s + 1
Portanto,
y(t) = t exp(−t)u(t)
Propriedade 24Valor inicial
Para X(s) tal que Ωx = s ∈ C : Re(s) > a com a real, e x(0+) − x(0) finito:
x(0+) = limt→0+
x(t) = lims→+∞
sX(s)
Obs.: s → +∞ deve ser entendido como s = σ + jω, com ω qualquer e σ → +∞.
pois
Laplace laplace 22/30
sX(s) − x(0) = L[dx
dt
]
=
∫ +∞
0
dx
dtexp(−st)dt =
∫ 0+
0
dx
dtexp(−st)dt +
∫ +∞
0+
dx
dtexp(−st)dt
sX(s) − x(0) =
∫ 0+
0
dx
dtdt +
∫ +∞
0+
dx
dtexp(−st)dt = x(0+) − x(0) +
∫ +∞
0+
dx
dtexp(−st)dt
Para s → +∞, a integral
∫ +∞
0+
dx
dtexp(−st)dt vai a zero devido a existencia da transformada
da derivada. Portanto,
lims→+∞
sX(s) − x(0) = x(0+) − x(0) =⇒ lims→+∞
sX(s) = limt→0+
x(t)
⋄
Propriedade 25Valor final
Considere x(t) tal que limt→+∞ x(t) existe (ou seja, e finito), o que implica que X(s) possui nomaximo um polo em s = 0 e todos os demais com parte real negativa. Entao
limt→+∞
x(t) = lims→0
sX(s)
pois
sX(s)−x(0) = L[dx
dt
]
=
∫ +∞
0
dx
dtexp(−st)dt =⇒ lim
s→0sX(s)−x(0) =
∫ +∞
0
dx
dtdt = lim
t→+∞
x(t)−x(0)
⋄Exemplo 27
No exemplo 25 da resposta ao degrau do circuito RC,
sY (s) =1/τ
s + 1/τ=
0 inicial s → +∞1 final s → 0
sYR(s) =s
s + 1/τ=
1 inicial s → +∞0 final s → 0
Expansao em Fracoes Parciais
Seja a funcao racional em s descrita porN(s)
D(s)
Laplace laplace 23/30
Caso 1: Grau de N(s) < Grau de D(s)
a) D(s) nao tem raızes multiplas.
s + 1
s3 + s2 − 6s=
s + 1
s(s − 2)(s + 3)=
a
s+
b
s − 2+
c
s + 3
a = sN(s)
D(s)
∣∣∣∣s = 0
= −1
6; b = (s − 2)
N(s)
D(s)
∣∣∣∣s = 2
=3
10; c = (s + 3)
N(s)
D(s)
∣∣∣∣s = −3
= − 2
15
Alternativamente, e possıvel usar identidade polinomial para o calculo das constantes a deter-minar.
b) D(s) com raızes multiplas.
s + 1
s(s − 2)3=
a
s+
b
(s − 2)+
c
(s − 2)2+
d
(s − 2)3
a = sN(s)
D(s)
∣∣∣∣s = 0
= −1
8; d = (s − 2)3 N(s)
D(s)
∣∣∣∣s = 2
=3
2
c =d
ds
[
(s − 2)3N(s)
D(s)
]∣∣∣∣s = 2
=d
ds
[s + 1
s
]∣∣∣∣s = 2
= − 1
s2
∣∣∣∣s = 2
= −1
4
pois
d
ds
[a(s − 2)3
s+ b(s − 2)2 + c(s − 2) + d
]∣∣∣∣s = 2
= c
2b =d2
ds2
[
(s − 2)3N(s)
D(s)
]∣∣∣∣s = 2
=2
s3
∣∣∣∣s = 2
=1
4
pois
d2
ds2
[a(s − 2)3
s+ b(s − 2)2 + c(s − 2) + d
]∣∣∣∣s = 2
= 2b
Caso 2: Grau de N(s) ≥ Grau D(s)
Reduz-se ao caso anterior atraves de divisao de polinomios.
(s + 2)3
(s + 1)=
s3 + 6s2 + 12s + 8
s + 1
s3 + 6s2 + 12s + 8 / s + 1
s3 + s2 s2 + 5s + 7
5s2 + 12s + 85s2 + 5s
7s + 87s + 7
+ 1
Laplace laplace 24/30
(s + 2)3
s + 1= s2 + 5s + 7 +
1
s + 1
Exemplo 28
A transformada de Laplace da resposta impulsiva do sistema descrito pela equacao dife-rencial
y − 1y − 2y = −2x(t)
H(s) =−3
(s + 1)(s − 2)=
1
s + 1− 1
s − 2
Portanto,
h(t) = [exp(−t) − exp(2t)]u(t)
Note que lims→0 sH(s) = 0 nao corresponde ao valor h(+∞) pois uma das raızes daequacao caracterıstica e positiva. No entanto, o valor inicial h(0+) pode ser calculado porlims→+∞ sH(s) = 0.
Exemplo 29
Resposta a rampa5 do circuito RC
Considere o circuito RC descrito na Figura 2, com τ = RC e funcao de transferencia dadapor
H(s) =1/τ
s + 1/τ
Para entrada a x(t) = tu(t),
Y (s) = H(s)1
s2=
1/τ
s2(s + 1/τ)
Expandindo em fracoes parciais, tem-se
Y (s) =1/τ
s2(s + 1/τ)=
1
s2− τ
s− τ
s + 1/τ
resultando na resposta a rampa dada por
y(t) = [t − τ − τ exp(−t/τ)]u(t)
5Resposta a rampa pressupoe condicoes iniciais nulas.
Laplace laplace 25/30
Para t suficientemente grande (resposta em regime) tem-se
y(t) ≈ t − τ
indicando que o sistema de primeira ordem apresenta um erro de regime em relacao aentrada. Note que para sistemas com ganho DC diferente de 1, a inclinacao da rampa desaıda e distinta da inclinacao da rampa de entrada.
Exemplo 30
Sistema autonomo de segunda ordem
Considere o sistema dado por
(p2 + 2ξωnp + ω2n)y(t) = 0 , y(0) = a > 0 , y(0) = 0
com ωn > 0 e 0 < ξ < 1 (raızes complexas conjugadas). A transformada de LaplaceL[y(t)] = Y (s) e dada por
Y (s) =2aξωn + as
s2 + 2ξωns + ω2n
Completando o quadrado e colocando na forma padrao para transformada inversa de senoe cosseno, tem-se
Y (s) = αs + ξωn
(s + ξωn)2 + ω2d
+ βωd
(s + ξωn)2 + ω2d
com
α = a , β = aξ
√
1 − ξ2, ωd = ωn
√
1 − ξ2
resultando em
y(t) = a exp(−ξωnt)
[
cos(ωdt) +ξ
√
1 − ξ2sen(ωdt)
]
u(t)
Note que, para ξ = 0 (sistema sem amortecimento), a resposta e dada por y(t) =a cos(ωdt). Note tambem que a envoltoria da solucao comporta-se como um sistema deprimeira ordem cuja constante de tempo e
τ =1
ξωn
Laplace laplace 26/30
Exemplo 31
Pendulo linearizado
A equacao diferencial linear que descreve o movimento do pendulo em torno de y(t) = 0e dada por
mℓy = −mgseny − mby
resultando em
(
p2 +b
ℓp +
g
ℓ
)
y(t) = 0
Portanto,
ωn =
√g
ℓ, 2ξωn =
b
ℓ⇒ ξ =
b
2√
ℓg
Observe que, se b = 0 (pendulo nao amortecido), o perıodo de oscilacao e dado por
T = 2π
√
ℓ
g
Essa expressao foi obtida experimentalmente por Galileo Galilei6.
Exemplo 32
Circuito RLC
Considere o circuito RLC da Figura 6 para x(t) = 0 (circuito autonomo). A equacaodiferencial e dada por
[
p2 +1
RCp +
1
LC
]
y(t) = 0
Portanto,
ωn =1√LC
, 2ξωn =1
RC⇒ ξ =
1
2R
√
L
C
Observe que, para R → ∞ (circuito sem perdas), tem-se
T = 2π√
LC
Note tambem que a constante de tempo da envoltoria e τ = 2RC.
6Galileo Galilei, matematico italiano do seculo XVI.
Laplace laplace 27/30
R
++
−− C
L
x y
y1
Figura 6: Circuito RLC.
Exemplo 33
Resposta impulsiva de sistema de segunda ordem subamortecido
Considere o sistema dado por
H(s) =ω2
n
s2 + 2ξωns + ω2n
com 0 < ξ < 1. Completando-se o quadrado no denominador, tem-se
H(s) =
(
ωn√
1 − ξ2
)
ωd
(s + ξωn)2 + ω2d
com a frequencia de oscilacao ωd dada por
ωd = ωn
√
1 − ξ2
resultando em
h(t) =
(
ωn√
1 − ξ2
)
exp(−ξωnt)sen(ωdt)u(t)
Esse resultado pode ser tambem obtido a partir da expansao em fracoes parciais de H(s),ou seja,
H(s) =a1
(s − λ1)+
a2
(s − λ2)
h(t) = [a1 exp(λ1t) + a2 exp(λ2t)]u(t)
com
λ∗
2 = λ1 = −ξωn + jωd , a∗2 = a1 = −jω2
n
2ωd
resultando em
h(t) =
(ω2
n
ωd
)
exp(−ξωnt)sen(ωdt)u(t)
A identificacao dos parametros de um sistema de segunda ordem subamortecido pode serfeita a partir da resposta impulsiva.
Laplace laplace 28/30
O perıodo T = 2π/ωd da senoide e obtido pelo computo do intervalo de tempo entre doiscruzamentos consecutivos com zero.
O parametro ξ e obtido da relacao entre dois picos consecutivos da senoide, chamada dedecremento logarıtmico, pois
exp[−ξωnkT ]
exp[−ξωn(k + 1)T ]= exp(ξωnT )
Observe que
ξωnT =2πξ
√
1 − ξ2
Exemplo 34
Resposta ao degrau de sistema de segunda ordem subamortecido
Considere o sistema dado por
H(s) =ω2
n
s2 + 2ξωns + ω2n
com 0 < ξ < 1.
Para x(t) = u(t), tem-se
Y (s) =( ω2
n
s2 + 2ξωns + ω2n
)1
s=
1
s− s + 2ξωn
s2 + 2ξωns + ω2n
Completando-se os quadrados, tem-se
Y (s) =1
s− s + ξωn
(s + ξωn)2 + ω2d
− ξωn
ωd
ωd
(s + ξωn)2 + ω2d
resultando em
y(t) =
(
1 − exp(−ξωnt)
[
cos(ωdt) +ξ
√
1 − ξ2sen(ωdt)
])
u(t)
A resposta ao degrau passa por um primeiro pico (sobre-elevacao) que pode ser determi-nado da equacao y(t) = 0, resultando em
tpico = π/ωd , ypico = 1 + exp(−ξωnπ/ωd)
Esses parametros podem ser utilizados para a identificacao de sistemas de segunda ordem.
Note que o valor de regime (t → ∞) e igual ao valor da amplitude do degrau de entradapois o ganho DC do sistema e unitario (H(0) = 1).
Laplace laplace 29/30
Propriedade 26A resposta de um sistema linear invariante no tempo pode ser decomposta em resposta a entradanula e resposta as condicoes iniciais nulas.
pois
D(p)y(t) = N(p)x(t) ; y(0), y(0), . . . , y(n−1)(0)
resulta em
Y (s) = H(s)X(s) + CI(s)
⋄
Exemplo 35
Considere o circuito RC da Figura 2 com τ = RC = 1, excitado pela entrada x(t) =cos(−t)u(t) e condicao inicial y(0).
Y (s) =1
s + 1X(s) +
1
s + 1y(0)
Portanto,
Y (s) =s
(s + 1)(s2 + 1)+
y(0)
s + 1=
y(0) − 1/2
s + 1+
1
2
s + 1
s2 + 1
y(t) =
[
(y(0) − 1/2) exp(−t) +1
2cos(t) +
1
2sen(t)
]
u(t)
Note que a resposta y(t) contem termos transitorios devido a entrada e devido a condicaoinicial y(0).
Note ainda que, no exemplo, a condicao inicial y(0) = 1/2 anula o transitorio.
Propriedade 27A resposta ao impulso de um sistema linear invariante no tempo racional estritamente proprio(grau do numerador menor que o do denominador) com polos de parte real negativa e funcaode transferencia
H(s) =N(s)
D(s)
e transitoria, ou seja, esvanece com o tempo
limt→+∞
h(t) = 0
Como s = 0 pertence a Ωh (polos de parte real negativa), tem-se
limt→+∞
h(t) = lims→0
sH(s) = 0
Laplace laplace 30/30
o que qualifica o comportamento de h(t) como assintoticamente estavel.
⋄
Propriedade 28A resposta persistente (ou em regime) de um sistema linear invariante no tempo racional es-tritamente proprio com polos de parte real negativa excitado por uma rampa com funcao detransferencia
H(s) =N(s)
D(s)
e dada por
yr(t) = H(0)tu(t) + H(0)u(t)
A propriedade pode ser verificada notando-se que
Y (s) =H(s)
s2=
a
s2+
b
s+
N1(s)
D(s)
com
a = H(0) , b =d
dsH(s)
∣∣∣s=0
resultando em
y(t) = H(0)tu(t) + H(0)u(t) + transitorio
Note que o erro de regime e nulo se H(0) = 1 e H(0) = 0.⋄
Exemplo 36
Um sistema de primeira ordem dado por
H(s) =a
s + a
com a > 0 nao segue a entrada x(t) = tu(t) em regime com erro nulo, pois H(0) = 1 masH(0) = −1/a 6= 0.
Um sistema de segunda ordem dado por
H(s) =as + b
s2 + as + b
com a > 0 e b > 0 segue a entrada rampa com erro de regime nulo.