LE FUNZIONI GONIOMETRICHE: SENO, COSENO E TANGENTE
Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio
DEFINIZIONE
Seno e cosenoConsideriamo la circonferenza goniometrica
LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE
1. LE FUNZIONI SENO E COSENO
e un angolo orientato α,
Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio
e sia B il punto della circonferenzaassociato ad α.
Definiamo coseno e seno di α, e indichiamo con cos αααα e sen αααα :
cos α = xB ,sen α = yB .
e un angolo orientato α,
Circonferenza di raggio unitario
LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE
1. LE FUNZIONI SENO E COSENO
Indichiamo con (x; y) le coordinate di B.
Circonferenza di centro O e raggio qualsiasi
x = cos α
Indichiamo con (x'; y') le coordinate di B'.
Scopriamo che:
e
e quindi sen αααα e cos ααααnon dipendono dalla
Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio
x = cos α
y = sen α
non dipendono dalla particolare circonferenza considerata,ma solo dall’angolo αααα.
Triangoli rettangoli
cos α = rapporto tra il cateto adiacenteall’angolo e l’ipotenusa .
Il triangolo OA'B' è un triangolo rettangolo.
LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE
1. LE FUNZIONI SENO E COSENO
sen α = rapporto tra il cateto oppostoall’angolo e l’ipotenusa .
Le proprietà del seno e del coseno si applicano a tutti i triangoli rettangoli.
Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio
LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE
2. LE VARIAZIONI E IL GRAFICO DELLE FUNZIONI SENO E COSENO
PROPRIETÀ
In particolare si verifica che:
–1 ≤ sen x ≤ 1 ;–1 ≤ cos x ≤ 1 ;
Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio
Costruiamo il grafico delle funzioniy = sen x e y = cos x in [0; 2ππππ] riportando sull’asse x i valori degli angoli e sull’asse y le coordinate dei punti della circonferenza goniometrica.
–1 ≤ cos x ≤ 1 ;
cos x = cos (–x) ;sen x = –sen (–x) .
LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE
sen (x + 2π) = sen x = sen (x + 4π) = ... ,cos (x + 2π) = cos x = cos (x + 4π) = … ,
3. SINUSOIDE E COSINUSOIDE
cioèsen (x + 2kπ) = sen x ,cos (x + 2kπ) = cos x .
periodiche 2ππππ
Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio
Il grafico completo della funzione seno si chiama sinusoide , quello della funzione coseno cosinusoide . I due grafici differiscono per una traslazione di π/2.
Le funzioni seno e coseno sono periodiche di periodo 2ππππ .
ππππ2
LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE
4. LA PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE
Prima relazione fondamentale della goniometria
cos2 α + sen2 α = 1
Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio
mentre, se è noto sen α ,
.
Da cui, se è noto cos α ,
,
DEFINIZIONE
TangenteConsideriamo un angolo orientato α,e sia B il punto della circonferenza associato ad α.
LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE
5. LA FUNZIONE TANGENTE
Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio
associato ad α.
Definiamo tangente di α il rapporto, quando esiste, tra l’ordinata e l’ascissa di B:
.
Un altro significato geometrico
Consideriamo il cerchio goniometrico e la sua tangente t.
Circonferenza di centro O e raggio qualsiasi
LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE
5. LA FUNZIONE TANGENTE
Indichiamo con (x'; y') le coordinate di B'.
Triangolo rettangolo
tg α = rapporto tra il cateto oppostoall’angolo e il
Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio
tangente t.all’angolo e il cateto adiacente . tg α = ordinata di T.
LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE
6. LE VARIAZIONI E IL GRAFICO DELLA FUNZIONE TANGENTE
PROPRIETÀ
In particolare si verifica che:
tg x tende a +∞ o –∞quando x si avvicina a π/2,
Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio
Costruiamo il grafico della funzione y = tg x in [0;ππππ] riportando sull’asse x i valori degli angoli e sull’asse yl’ordinata del punto T.
quando si avvicina a /2,
tg x = – tg (–x).
LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE
tg (α + π) = tg α = tg (α + 2π) = ...
7. LA TANGENTOIDE
cioètg (α + kπ) = tg α .
periodica ππππ
Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio
Il grafico completo della funzione tangente si
chiama tangentoide .
La funzione tangente è periodica di periodo ππππ .
LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE
8. LA SECONDA RELAZIONE FONDAMENTALE
Seconda relazione fondamentale della goniometria
,
Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio
yB = sen α , xB = cos α ,
.
LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE
9. ESERCIZI: SENO E COSENO
Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio