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UNIVERSITA DEGLI STUDI DI MILANO

Facolta di Scienze e TecnologieCorso di Laurea Triennale in Fisica

LE LEGGI DELLATERMODINAMICA DEI BUCHI NERI

Relatori:Dietmar KlemmAlberto Santambrogio

Elaborato finale di:Giuliano GiudiciMatricola n. 781424

Codice pacs: 04.70.-s

Anno Accademico 2012-2013

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Riassunto

Questo lavoro e un’analisi delle leggi della meccanica dei buchi neri e delle loro analogie con i principidella termodinamica classica. Dopo una breve introduzione storica, verranno formalizzati il concettodi buco nero e le nozioni topologiche e geometriche necessarie alla successiva esposizione, insieme conalcuni dei piu importanti risultati della Relativita Generale in questo campo. Sara poi introdottauna delle possibili definizioni di massa e momento angolare in uno spaziotempo curvo e sarannocalcolate queste quantita in due casi particolari. Verranno formulate e dimostrate le quattro leggidella meccanica e commentate le loro analogie con la termodinamica da un punto di vista puramenteformale. Saranno infine date le basi di teoria quantistica dei campi indispensabili nella comprensionedel processo di radiazione di un buco nero, di cui verranno analizzate alcune conseguenze, tra le qualila conciliazione di meccanica dei buchi neri e termodinamica.

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Indice

Introduzione iii

1 Parentesi matematica 11.1 Definizione di buco nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Ipersuperfici nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Orizzonti di Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Soluzioni esatte delle equazioni di campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Teoremi di unicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6 Gravita superficiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.7 Singolarita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.8 Teorema della divergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.9 Equazione di Raychaudhuri per geodetiche nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Energia e momento angolare 192.1 Carica elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Integrali di Komar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Massa del buco nero di Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4 Massa e momento angolare del buco nero di Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5 Condizioni sull’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 La meccanica dei buchi neri 273.1 Legge zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Prima legge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3 Seconda legge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4 Terza legge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.5 Il processo di Penrose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4 La termodinamica dei buchi neri 374.1 Teoria dei campi classica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2 Teoria dei campi quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3 Effetto Hawking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.4 L’evaporazione di un buco nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.5 Secondo principio della termodinamica generalizzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.6 Problemi aperti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

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Introduzione

Il concetto di buco nero nasce molto prima della Relativita Generale. Verso la fine dell’Ottocento,quando la gravita sembra perfettamente spiegata dalla meccanica newtoniana, l’astronomo ingleseJohn Michell, e pochi anni dopo di lui il famoso marchese Pierre-Simon Laplace nel suo libro Expositiondu Systeme du Monde1, si chiedono quale debba essere il raggio R di una stella di massa fissata Mla cui velocita di fuga sia pari a quella della luce c. La legge di gravitazione universale stabilisce chequesto raggio si trova imponendo

GM

R=

1

2c2 ⇒ R =

2GM

c2(1)

dove G e la costante di gravitazione universale. Queste stelle vengono chiamate dark star, ma illoro studio viene abbandonato praticamente subito2, in seguito al successivo sviluppo della teoriaondulatoria e corpuscolare della luce: i fotoni hanno massa nulla, quindi, in base alla teoria dellagravita di Newton, non risentono dall’attrazione di nessuna stella, dunque le dark star non possonoesistere nell’universo.

Nel 1915 Einstein da la sua interpretazione della gravita nella Relativita Generale: lo spaziotempoe una varieta Riemanniana dotata di una metrica Lorentziana gµν , la quale, data una distribuzionedi materia con tensore di energia-momento Tµν , soddisfa

Rµν −1

2Rgµν = 8π

G

c4Tµν (2)

dove Rµν e R sono rispettivamente il tensore e lo scalare di Ricci, costruiti a partire da derivate primee seconde della metrica. Secondo questa teoria il tensore metrico rappresenta il campo gravitazionale,e determinato dalla distribuzione di materia e dice alla materia come muoversi. Anche la luce deveseguire la traiettorie imposte da gµν . Poche settimane dopo la pubblicazione delle (2), il fisico tedescoKarl Schwarzschild le risolve nel caso molto particolare di perfetta simmetria sferica dello spaziotempoe trova una coincidenza molto interessante con la teoria di Newton: se una stella ha un raggio paria quello in (1), il tempo si ferma sulla sua superficie e la luce che parte da quest’ultima subisce unredshift infinito per cui non puo raggiungere nessun osservatore al di fuori della stella. Cosa succedase il raggio della stella e ancora piu piccolo rimane incompreso per diversi anni, poiche la teoria diEinstein prevede una singolarita3 in corrispondenza di questo valore critico; la comunita scientifica,Einstein incluso, accoglie con scetticismo queste previsioni della prima soluzione delle (2), a cui da ilnome di singolarita di Schwarzschild, e si convince del fatto che la natura abbia trovato un modo perevitare la loro esistenza.

Nel frattempo lo sviluppo di astrofisica e fisica nucleare conduce a una comprensione sempremaggiore dei processi fisici che avvengono all’interno delle stelle: queste sono illuminate da reazionidi fusione di atomi, che producono elementi sempre piu pesanti fino al ferro. Siccome la fusione didue atomi di ferro non e energeticamente favorevole, la stella si spegne, la pressione di radiazione che

1Si veda [1], appendice A, per una traduzione fedele degli scritti di Laplace2Laplace addirittura rimuove il suo saggio sulle stelle oscure nelle successive edizioni del suo libro3Il significato matematico di singolarita verra illustrato nel prossimo capitolo, per il momento puo essere considerata

un insieme di punti dello spaziotempo in cui gµν non e regolare

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Introduzione iv

la sostiene svanisce e inizia il collasso gravitazionale. Tra gli anni ’30 e ’50, molti astrofisici e fisiciteorici si impegnano nel comprendere quale sia lo stadio finale di tale collasso e scoprono che questodipende dalla massa M della stella al termine della sua vita:

• se M e inferiore a circa 1, 4 masse solari, a un certo punto del collasso interviene una pressione,esercitata dagli elettroni, dovuta al principio quantistico di esclusione di Pauli e detta pressionedi degenerazione, grazie alla quale l’equilibrio viene raggiunto quando il raggio della stella emaggiore di quello in (1). La stella cosı formata viene chiamata nana bianca e il limite di 1, 4masse solari limite di Chandrasekhar ;

• se M e superiore 1, 4 masse solari il collasso puo arrestarsi per via dello stesso tipo di pressionequantistica che sostiene le nane bianche, ma causata da altri fermioni, ovvero i neutroni. Stelleall’equilibrio grazie a questa pressione di degenerazione sono dette stelle a neutroni e il lororaggio e ancora una volta maggiore di R in (1). Esiste pero un limite anche per la massa di unastella a neutroni, oltre il quale la gravita vince qualsiasi tipo di pressione e il collasso non ha fine,cioe il limite di Oppenheimer-Volkoff. A tutt’oggi questo limite non e stimato con precisione4 esembra essere compreso tra 1, 5 e 3 masse solari;

• se M e abbastanza grande, ovvero superiore al limite massimo per una stella a neutroni, ilsuperamento del raggio critico di Schwarzschild e inevitabile e la natura non pone nessun divietoaffinche questo non accada.

Alla luce di queste scoperte diventa chiaro che bisogna fare i conti con le singolarita di Schwarzschilde, verso la fine degli anni ’50, viene fatto un passo in questa direzione: David Finkelstein scopre cheesistono delle coordinate, diverse da quelle utilizzate da Schwarzschild, in cui la metrica che risolvele (2) quando si ha completa simmetria sferica diventa regolare in corrispondenza del raggio critico(1). Dunque la Relativita Generale non ha nessun problema con eventuali distribuzioni di materiaconcentrate entro questo raggio, anzi, essa predice chiaramente cosa succede a cio che attraversa lasuperficie individuata dal raggio di Schwarzschild: materia e luce vengono intrappolate al suo internoe in nessun modo possono uscirne, si forma cosı una regione che non puo comunicare con il restodello spaziotempo; ad ogni instante fissato la superficie appare completamente nera ad un osservatoreesterno e, a differenza delle dark star di Michell e Laplace, i fotoni non possono allontanarsi affattoda essa.

Il termine “buco nero” viene coniato da Wheeler alla fine della anni ’60, quando l’importanza fisicadi questi oggetti e ormai chiara alla maggior parte dei fisici teorici e a gran parte degli astrofisici.In quegli anni vengono messi a punto diversi esperimenti per la ricerca di buchi neri5 e i telescopirilevano candidati sempre piu promettenti, sebbene ancora oggi l’osservazione certa di un buco neronon sia stata confermata. Il motivo di questo fatto e che sono oggetti talmente semplici6 da renderel’osservazione di “qualcosa che potrebbe essere un buco nero” spiegabile con fenomeni piu complessi.Nonostante cio, sono rimasti in pochi tra i fisici a dubitare della loro esistenza. Negli stessi anni siarriva all’apice della ricerca teorica sui buchi neri: gli strumenti matematici impiegati dalla RelativitaGenerale vengono notevolmente ampliati, si comprendono a fondo i limiti di questa teoria, le equazionidi Einstein (2) vengono risolte sotto ipotesi meno restrittive di quelle imposte da Schwarzschild e siottengono una serie di altri risultati che saranno brevemente illustrati nel prossimo capitolo. Inquesto contesto, grazie al contributo di svariati teorici della Relativita Generale, emergono quattroleggi fondamentali che regolano la meccanica dei buchi neri e presentano una straordinaria somiglianzaformale con i principi della termodinamica. Questa somiglianza viene inizialmente considerata una

4A causa del fatto che non si conoscono le equazioni di stato esatte per materia tanto densa5Ovviamente osservare un buco nero non e affatto banale da portare a termine, in quanto classicamente questo non

emette ne luce ne qualsiasi altro tipo di radiazione elettromagnetica. Gli esperimenti erano quindi basati sulla ricercadi radiazioni prodotte dall’interazione di buchi neri con altri oggetti celesti e gas interstellari

6Si veda il paragrafo sui teoremi di unicita nel prossimo capitolo e in modo particolare il teorema “no-hair”

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Introduzione v

mera coincidenza, a causa di evidenti incompatibilita tra le variabili che determinano la meccanicadi un buco nero e le variabili termodinamiche a cui queste dovrebbero corrispondere. Nel 1974,pero, Hawking scopre che un buco nero ha una temperatura finita, aprendo cosı la strada a unariformulazione della termodinamica classica che includa le quattro leggi scoperte pochi anni prima.

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Capitolo 1

Parentesi matematica

In questo capitolo verranno date le definizioni e saranno enunciati, con alcune dimostrazioni, i lemmie teoremi che serviranno alla successiva trattazione della meccanica dei buchi neri nel contesto dellaRelativita Generale. Sara anzitutto definito il concetto di buco nero, strettamente legato all’esistenzadi un orizzonte degli eventi, che e un sottoinsieme molto particolare dello spaziotempo, di cui sarannoanalizzate le principali caratteristiche. Verranno poi riportate le soluzioni delle equazioni di campo chedescrivono un buco nero e accennati alcuni dei piu importanti risultati riguardo la loro unicita e circale singolarita che esse possono contenere. Infine verranno esposte alcune conseguenze di fondamentaliteoremi di geometria differenziale che saranno piu volte impiegate nei prossimi capitoli.

Da qui in poi lo spaziotempo sara inteso come una varieta Lorentziana 4-dimensionale orientabilee orientabile nel tempo. Sara utilizzato il sistema di unita di misura di Planck in cui c = G = ~ =4πε0 = kB = 1, dove c e la velocita della luce nel vuoto, G la costante di gravitazione universale, ~ lacostante di Planck ridotta, ε0 la costante dielettrica del vuoto e kB la costante di Boltzmann.

1.1 Definizione di buco nero

In accordo con la definizione classica un buco nero deve essere una regione di spaziotempo dalla qualenessun segnale luminoso possa “scappare all’infinito”. Tuttavia la definizione relativistica non solorichiede che la velocita di fuga sia maggiore di quella della luce, ma anche che il buco nero sia unaregione collegata causalmente allo spaziotempo esterno “solo in un verso”: materia e luce possonoentrarci ma non uscirci. Per formalizzare questi concetti e necessario introdurre le nozioni di semplicitae piattezza asintotica di uno spaziotempo, che a loro volta necessitano di condizioni sulla causalita chequesto deve soddisfare; cosı si restringe la classe di varieta lorentziane prese in considerazione comespazitempi contenenti un buco nero.

Un postulato fondamentale della relativita generale e quello della causalita locale: esso affermache, presi due punti p e q dello spaziotempo, un segnale puo essere mandato da p a q se e solo seesiste una curva C tra p e q il cui vettore tangente C sia ovunque diverso da zero e non spacelike, cioeCµCνgµν ≤ 0. Detto questo si possono rafforzare le condizioni sulla causalita per evitare di doverfare i conti anche con la filosofia. Si impone quindi un ulteriore vincolo che esclude spazitempi in cuiesistono curve chiuse timelike, in modo da non intaccare il libero arbitrio di ogni individuo pensante.La condizione che verra adottata nel seguito e ancora piu forte e implica la non esistenza di questecurve chiuse.

Definizione 1.1. Uno spaziotempo (M, g) si dice fortemente causale se per ogni x ∈ M esiste unintorno U di x tale che nessuna curva causale (i.e. non spacelike) lo intersechi piu di una volta.

Definizione 1.2. Uno spaziotempo (M, g) si dice asintoticamente semplice se esiste uno spaziotempo

fortemente causale (M, g) con bordo ∂M e un diffeomorfismo f :M→ M tale che

(i) f(M) = M − ∂M

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1. Parentesi matematica 2

(ii) esiste una funzione liscia Ω definita su M che sia non nulla su f(M) e tale che f∗g = Ω2g,dove f∗g e il pullback di g tramite f definito da f∗g(v, w) = g(Df(v), Df(w)) con Df mappadifferenziale

(iii) Ω = 0 e d Ω 6= 0 su ∂M

(iv) ogni geodetica nulla in M ha due estremi su ∂M

La varieta M = f(M) ∪ ∂M e detta compattificazione conforme di M.

La trasformazione conforme f :M→ M lascia invariati gli angoli tra i vettori degli spazi tangenti diM e quindi, in particolare, restano gli stessi i coni di luce e la struttura causale.L’insieme dei punti all’infinito di M, che nella compattificazione conforme si ottiene per valori finitidelle coordinate ed e stato denotato con ∂M, e costituito dagli infiniti spaziale i0, futuro nulloF+, passato nullo F−, temporale futuro i+ e temporale passato i−; questi insiemi rappresentanoi punti raggiunti da geodetiche spacelike, lightlike e timelike per valori infiniti dei loro parametriaffini. Esistono pero spazitempi, tra cui quelli contenenti un buco nero, in cui i+ e i− non possonoessere aggiunti con una trasformazione conforme come quella appena definita in quanto singolari1,per questo in tali varieta M non e compatto e la condizione (iv) non e soddisfatta. Si indeboliscequindi la definizione precedente a dare

Definizione 1.3. Uno spaziotempo (M, g) si dice debolmente asintoticamente semplice se esiste un

intorno aperto U di ∂M e uno spaziotempo asintoticamente semplice (M′, g′), tali che U e isometrico

a un intorno aperto di ∂M′ con M′ compattificazione conforme di M′.

La varieta M′ nella precedente definizione non e propriamente la compattificazione conforme diM everra d’ora in poi chiamata spaziotempo non fisico associato aM. Inoltre ogni qualvolta sia necessarioconsiderare gli insiemi all’infinito F±,i± e i0 o nozioni topologiche che richiedano la chiusura di insiemiin uno spaziotempo debolmente asintoticamente piatto e sottinteso che questi sono da prendersi nellospaziotempo non fisico.

Definizione 1.4. Uno spaziotempo (M, g) si dice asintoticamente vuoto se Rµν = 0 in un intorno

aperto di ∂M.

Definizione 1.5. Uno spaziotempo (M, g) si dice asintoticamente piatto se e asintoticamente debol-mente semplice e vuoto.

Definizione 1.6. Sia Σ un sottoinsieme qualsiasi di uno spaziotempo (M, g), si dice futuro cronologicodi Σ l’insieme

I+(Σ) :=x ∈M | ∃C : [a, b]→M t.c. CµCνgµν < 0, C(a) ∈ Σ, C(b) = x

Analogamente si dice futuro causale di Σ l’insieme

J+(Σ) :=x ∈M | ∃C : [a, b]→M t.c. CµCνgµν ≤ 0, C(a) ∈ Σ, C(b) = x

Definizioni analoghe valgono per passato cronologico e causale, denotati rispettivamente con I−(Σ) eJ−(Σ).

Si puo provare2 che per ogni insieme Σ si ha che I± (Σ) e aperto, ma non vale in generale cheJ± (Σ) e chiuso.

1Come verra spiegato piu avanti cio significa che sono punti in cui il tensore metrico e mal definito e lo spaziotempocessa di essere una varieta Lorentziana

2Si veda [2], capitolo 8

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1. Parentesi matematica 3

Definizione 1.7 (Buco nero). Uno spaziotempo asintoticamente piatto (M, g) contiene un buconero se B :=M− I−(F+) 6= ∅, dove B e detta regione del buco nero.Essendo I−(F+) ⊂M questo insieme ha bordo inM, tale bordo viene chiamato orizzonte degli eventifuturo e denotato con H+ := ∂I−(F+) = ∂B. Poiche che I− (F+) e un insieme aperto, B e chiuso equindi H+ ⊂ B.

L’orizzonte degli eventi di un buco nero rappresenta fisicamente la “barriera causale” che divide laregione di buco nero, dalla quale non puo uscire nessun tipo di segnale, dallo spaziotempo esterno,ovvero il passato cronologico del futuro nullo.

1.2 Ipersuperfici nulle

L’orizzonte degli eventi appena definito e, in generale, un’ipersuperficie dello spaziotempo con dellecaratteristiche molto particolari: e un’ipersuperficie nulla.In uno spaziotempo (M, g) un’ipersuperficie Σ puo essere definita, data una funzione scalare S chemappa M in R, nel seguente modo

Σc := x ∈M | S(x) = c Il campo vettoriale normale a Σc per ogni c e dato da

nµ = N(x) gµν ∂νS = N(x) gµν ∇νS (1.1)

dove N(x) e una funzione scalare.

Definizione 1.8. Un’ipersuperficie Σ si dice ipersuperficie nulla se il suo vettore normale n e lightlike,cioe n2 = nµnνgµν = 0.

Si noti che la funzione N(x) normalmente viene fissata imponendo che n2 = ±1 a seconda che n siatimelike o spacelike, cosa che non e possibile fare quando n e lightlike.Le ipersuperfici nulle hanno quindi un vettore normale che e anche tangente, in quanto lo spazio tan-gente all’ipersuperficie e definito come il complemento ortogonale del vettore normale; questo significache, preso un punto dello spaziotempo che giace su un’ipersuperficie nulla N , lo spazio tangente aquesta unito a quello generato dal vettore normale n non e lo spazio tangente allo spaziotempo inquel punto e che esiste una curva C in N che ha come vettore tangente n, cioe

dCµ

dλ= nµ

Se si calcola nν∇νnµ con n dato dalla (1.1) si ottiene

∇n nµ = nρ∇ρ (Ngµν∂νS) = (nρ∇ρN) gµν∂νS +Ngµνnρ∇ρ∇νS = (nρ∇ρN)nµ

N+Nnρ∇µ∇ρS =

= (nρ∇ρ logN)nµ+Nnρ∇µnρN

= (nρ∇ρ logN)nµ− 1

Nn2∇µN+nρ∇µnρ = (nρ∇ρ logN)nµ+

1

2∇µn2

avendo usato che le derivate covarianti commutano su una funzione scalare3, la (1.1) e che n2 = 0 suN . Proprio perche n2 e costante su N , la sua derivata e normale a N , da cui ∇µn2 = fnµ con fscalare. Quindi dall’ultima uguaglianza si ha

∇n nµ =

(nρ∇ρ logN +

1

2f

)nµ = g (λ)nµ (1.2)

Cio significa che le curve C rappresentanti le linee di flusso del campo vettoriale n su N sono geo-detiche, le quali possono essere parametrizzate in modo affine, cioe in modo tale che la (1.2) abbiaultimo membro nullo, a patto di scegliere la giusta “normalizzazione” N che compare in (1.1).

Definizione 1.9. Sia N un’ipersuperficie nulla, le geodetiche, parametrizzate in modo affine, tangential campo vettoriale normale su N sono dette generatori di N .

3Grazie al fatto che la torsione e nulla

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1. Parentesi matematica 4

1.3 Orizzonti di Killing

L’orizzonte degli eventi non ha solo la peculiarita di avere un vettore normale tangente, ma esso eanche parte di un orizzonte di Killing, cioe

Definizione 1.10. Un’ipersuperficie nulla N si dice orizzonte di Killing se esiste un campo vettorialedi Killing ξ normale a N .

Su un orizzonte di Killing si deve quindi avere ξ = fn, dove con n sara d’ora in poi indicato il campovettoriale normale tale che ∇n n = 0, da cui segue

∇ξ ξ = f ∇n(fn) = n (ξ · ∂)f + f2∇nn =ξ

f(ξ · ∂)f = ((ξ · ∂) log |f |) ξ = κ ξ (1.3)

Definizione 1.11. Si dice gravita superficiale di un orizzonte di Killing N per un vettore di Killingξ la funzione κ tale che

∇ξξ|N = κ ξ|N (1.4)

Come sara illustrato piu avanti la gravita superficiale e una quantita strettamente legata alla tempe-ratura di un buco nero all’equilibrio.Dalla (1.3) si ottiene κ sapendo la relazione tra il parametro affine dei generatori dell’orizzonte e ilparametro delle curve a cui il vettore di Killing e tangente, cioe

ξ = ∂α =dλ

dα∂λ = fn ⇒ f =

dα(1.5)

dove sono state scelte coordinate per cui ξ = ∂α e n = ∂λ.Si puo ottenere una formula che lega direttamente ξ alla gravita superficiale sfruttando il fatto che

ξ e normale a N , da cui segue, per un noto teorema di geometria differenziale dovuto a Frobenius4,che vale la seguente relazione

ξ[µ∇ν ξρ]

∣∣N = 0 (1.6)

Riscrivendo la (1.6) e tenendo dell’equazione di Killing ∇µξν = −∇νξµ si ha su N

ξµ∇ν ξρ = − (ξν∇ρ ξµ − ξρ∇ν ξµ)

Moltiplicando per ∇νξρ e usando la (1.4)

(∇νξρ) ξµ∇ν ξρ = − (∇νξρ)(ξν∇ρ ξµ − ξ[ρ∇ν] ξµ

)= −2 (∇νξρ) ξν∇ρ ξµ = −2κ ξρ∇ρ ξµ = −2κ2ξµ

da cui, dividendo per ξµ

κ2 = −1

2(∇νξρ)∇ν ξρ|N (1.7)

valida ovunque sia ξ 6= 0. Ma poiche i punti in cui ξ si annulla, come verra mostrato, sono punti diaccumulazione di insiemi in cui ξ e non nullo, per continuita questa formula vale anche quando ξ = 0.

I vettori di Killing soddisfano anche un’altra fondamentale identita, ovvero

Lemma 1.1. Sia ξ un vettore di Killing e Rµνρσ il tensore di Riemann, ξ soddisfa l’identita di Killing

∇ν∇µξρ = Rσνµρξσ (1.8)

da cui segue contraendo ρ con ν∇ν∇µξν = Rµνξ

ν (1.9)

dove Rνµ = Rρνρµ e il tensore di Ricci.

4Si puo facilmente mostrare che per un vettore scritto come in (1.1) vale la (1.6); meno banale e l’implicazione inversa,che e garantita da questo teorema

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1. Parentesi matematica 5

Dimostrazione. Usando ∇µξν = −∇νξµ, la prima identita di Bianchi Rµ[νρσ] = 0, nonche definizionee simmetrie del Riemann, si ha

Rσνρµξσ = (−Rσµνρ −Rσρµν)ξσ = (∇ν∇ρ −∇ρ∇ν)ξµ + (∇µ∇ν −∇ν∇µ)ξρ =

= ∇ν∇ρξµ +∇ρ∇µξν +∇µ∇νξρ +∇ν∇ρξµ = 2∇ν∇ρξµ + (∇µ∇ρ + [∇ρ,∇µ])ξν +∇µ∇νξρ =

= 2∇ν∇ρξµ −∇µ∇νξρ −Rσνρµξσ +∇µ∇νξρ = 2∇ν∇ρξµ −RσνρµξσGrazie alla (1.8) si dimostra una prima importante proprieta della gravita superficiale:

Proposizione 1.1. SiaN un orizzonte di Killing del vettore ξ e κ la gravita superficiale dell’orizzonte,allora

(∂ · ξ)κ|N = 0

cioe κ e costante sulle orbite di ξ.

Dimostrazione. Anzitutto si ha (∂ · ξ)κ2 = 2κ (∂ · ξ)κ quindi a meno che κ non sia nulla su N esufficiente mostrare che κ2 e costante nella direzione puntata da ξ.Usando (1.7) e (1.8) si ha su N

(ξ · ∂)κ2 = (ξ · ∇)κ2 = −1

2ξρ∇ρ(∇µξν)(∇µξν) = ξρ (∇ρ∇µξν)(∇µξν) = ξρRνµρσ ξ

σ(∇µξν) = 0

dove l’ultima uguaglianza e dovuta all’antisimmetria del Riemann sotto scambio degli indici ρ e σ.Se κ fosse nulla su un punto di un’orbita di ξ e diversa da 0 su un altro punto si avrebbe (∂ ·ξ)κ2 6= 0,quindi deve essere nulla su tutta l’orbita.

Bisogna a questo punto distinguere gli orizzonti di Killing non degeneri su cui κ 6= 0 da quelli degenerisu cui κ = 0; nel seguito verra trattato solo il primo caso in quanto il secondo si presenta in condizioni“estreme” delle soluzioni delle equazioni di Einstein, di minor interesse fisico. Se κ 6= 0, scegliendo dinuovo coordinate per cui ξ = ∂α, la (1.3) si scrive come

∂α log |f | = κ ⇒ f = f0eκα

ma essendo la metrica, e quindi l’orizzonte N , indipendente da α, si puo traslare α in modo da avere

f = ±κeκα (1.10)

e quindi, usando la (1.5), ottenere

f =dλ

dα= ±κeκα ⇒ λ = ±eκα

Questa relazione lega il parametro λ dei generatori dell’orizzonte non degenere a quello delle orbite diξ. Risulta chiaro che presa un’orbita del vettore di Killing questa copre solo una parte del generatoresu cui giace. Il fatto che esista un punto di biforcazione, corrispondente a λ = 0 su un generatore cioeα→ −∞ su un’orbita di ξ, e la chiave nella dimostrazione della seguente

Proposizione 1.2. Se N e un orizzonte di Killing non degenere allora κ2 e costante su N .

Dimostrazione. Se N e non degenere esiste un punto di biforcazione p che corrisponde a α→ −∞per ogni orbita di ξ, sia B l’insieme di questi punti. Da (1.5) e (1.10) si ha che

ξ|B = limα→−∞

±κeκα∂λ = 0 (1.11)

Dal fatto che κ2 e costante su ogni orbita di ξ segue che e costante su N se lo e su B. Ma per qualsiasivettore t tangente a N si ha, come nella dimostrazione precedente,

(t · ∂)κ2∣∣B

= tρRνµρσ(∇µξν) ξσ∣∣B

= 0

avendo usato la (1.11).

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1. Parentesi matematica 6

Come anticipato l’orizzonte degli eventi e un orizzonte di Killing, ma questo e vero sotto una ulterioreipotesi che lo spaziotempo deve soddisfare

Definizione 1.12. Uno spaziotempo asintoticamente piatto (M, g) si dice stazionario se esiste unvettore di Killing che e timelike almeno vicino all’infinito spaziale i0, cioe al di fuori di un possibileorizzonte degli eventi.

Si puo a questo enunciare il seguente teorema dovuto a Hawking

Teorema 1.1. Sia (M, g) uno spaziotempo stazionario e asintoticamente piatto contenente un buconero. L’orizzonte degli eventi H+ e un orizzonte di Killing.

Si osservi che il campo vettoriale di Killing dell’orizzonte degli eventi non e necessariamente quellorichiesto dalla definizione di stazionarieta, come verra spiegato nel prossimo paragrafo, e che questorisultato vale anche in presenza di sorgenti, cioe quando Rµν 6= 0, ipotesi che e invece fondamentaleper i teoremi di unicita enunciati piu avanti.

1.4 Soluzioni esatte delle equazioni di campo

Tra le poche soluzioni esatte delle equazioni delle Relativita Generale per spazitempi con buchi neri,quelle che saranno utilizzate in questa trattazione possono essere riassunte nella metrica di Kerr-Newman, dipendente da tre parametri univocamente legati a massa, momento angolare e carica delbuco nero. Tale metrica e soluzione delle equazioni di Einstein-Maxwell nel vuoto

Gµν = Rµν −1

2Rgµν = 2

(F ρµ Fρν −

1

4gµνF

ρλFρλ

)∇µF νµ = 0 (1.12)

dove Gµν e il tensore di Einstein, R lo scalare di Ricci e Fµν il tensore elettromagnetico di Faraday.Risolvendo le equazioni accoppiate (1.12) nell’ipotesi di invarianza per rotazioni di un angolo φ siottiene

F = dA con A =Qr

r2 + a2 cos2 θ(dt− a sin2 θ dφ) (1.13)

ds2 = −(

1− 2Mr −Q2

ρ2(r, θ)

)dt2 − 2a sin2 θ

2Mar

ρ2(r, θ)dt dφ+

+ρ2(r, θ)

∆(r)dr2 + ρ2(r, θ) dθ2 + sin2 θ

(r2 + a2)2 −∆(r) a2 sin2 θ

ρ2(r, θ)dφ2 (1.14)

doveρ2(r, θ) = r2 + a2 cos2 θ ∆(r) = r2 − 2Mr + a2 +Q2 (1.15)

e il parametro M , che rappresenta la massa del buco nero, sara considerato positivo.La (1.14) si riduce a:

• soluzione di Schwarzschild con a = 0, Q = 0: buco nero non rotante e non carico

• soluzione di Reissner-Nordstrom con a = 0: buco nero carico non rotante

• soluzione di Kerr con Q = 0: buco nero rotante non carico

Si puo verificare che ognuno di questi spazitempi e asintoticamente piatto e stazionario nel senso delledefinizioni date nei paragrafi precedenti, ma solo i primi due sono invarianti per riflessioni temporalie a simmetria sferica, cioe soddisfano le seguenti definizioni:

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1. Parentesi matematica 7

Definizione 1.13. Uno spaziotempo stazionario e asintoticamente piatto (M, g) si dice statico se, incoordinate t, xi per cui il vettore di Killing ξ timelike vicino a i0 e ∂t, si ha gµν(−t) = gµν(t), chee equivalente a richiedere che esista una famiglia di ipersuperifici Σt tale che ξ e ortonormale a Σt

per ogni t e quindi ξ[µ∇ν ξρ] = 0.

Definizione 1.14. Uno spaziotempo (M, g) si dice sfericamente simmetrico se ammette il gruppoSO(3) come gruppo di isometrie5 e se le orbite di questo gruppo sono due-sfere.

La soluzione di Kerr perde entrambe queste simmetrie, ma mantiene l’invarianza per rotazioni attornoa un solo asse e viene quindi detta assisimmetrica, cioe

Definizione 1.15. Uno spaziotempo asintoticamente piatto (M, g) si dice assisimmetrico se esisteun vettore di Killing che e spacelike almeno vicino all’infinito spaziale i0 e le cui orbite sono semprechiuse.

Gli zeri non nulli della funzione ∆(r) in (1.15), se ce ne sono, sono delle ipersuperfici a r = cost cherappresentano orizzonti degli eventi, su cui e quindi possibile parlare di gravita superficiale. Questiorizzonti di Killing, come anticipato, sono degeneri in alcuni casi estremi, ovvero M2 = Q2 per ilReissner-Nordstrom, M2 = a2 per il Kerr, M2 = Q2 + a2 per il Kerr-Newman, mentre non esistonoproprio quando ∆(r) non si annulla; tutte queste situazioni non verranno affrontate.Sotto tutte queste ipotesi si ha che le suddette soluzioni delle equazioni di Einstein-Maxwell rappre-sentano spazitempi fortemente causali.

L’orizzonte degli eventi della soluzione di Schwarzschild e unico e si trova a r = 2M , gli altrispazitempi invece presentano due orizzonti, per due distinti valori r± = M2 +

√M2 − a2 −Q2; il

piu piccolo potra essere pensato come il limite della regione di interesse fisico dello spaziotempo inconsiderazione, mentre il piu grande sara pensato come l’orizzonte del buco nero, ovvero quello cheindividua su sezioni temporali dello spaziotempo la superficie del buco nero, di cui e facile calcolarel’area nel modo seguente:

AH = A(r+) =

∫H

√g(2) dA =

∫ 2π

0dφ

∫ π

0dθ√g(2)∣∣Σ

(1.16)

dove H e una qualsiasi superficie bidimensionale a t = cost e r = r+, mentre g(2) e il determinantedella restrizione della metrica a Σ. Ovviamente l’area di questa superficie non dipende dal tempopoiche lo spaziotempo e stazionario. Dalla (1.14) si ha

g(2) = sin2 θ[

(r2 + a2)2 −∆(r)a2 sin2 θ]

⇒√g(2)∣∣Σ

= sin θ(r2

+ + a2)

(1.17)

da cui

AH = 4π(r2

+ + a2)

= 8π

(M2 − Q2

2+M

√M2 −Q2 − a2

)(1.18)

L’area dell’orizzonte degli eventi e un’altra quantita profondamente legata alla termodinamica di unbuco nero, infatti e, a meno di un fattore di proporzionalita, la sua entropia.

1.5 Teoremi di unicita

Esistono diversi teoremi che, sotto opportune ipotesi di simmetria dello spaziotempo, assicurano chel’unica soluzione delle equazioni di Einstein, accoppiate o meno a quelle di Maxwell, e quella data da(1.14) nei vari casi particolari. Il primo ad essere provato storicamente e il seguente

Teorema 1.2 (di Birkhoff6). Ogni soluzione sfericamente simmetrica delle equazioni di Einsteinnel vuoto e statica.

5Cioe applicazioni f :M→M tali che f∗g = g6Si veda [4], capitolo 5, per una dimostrazione semplice e non troppo rigorosa

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1. Parentesi matematica 8

Questo teorema implica quindi che l’unica soluzione a simmetria sferica delle equazioni di campoe quella di Schwarzschild: infatti richiedendo staticita, e quindi stazionarieta, e simmetria sferica,si trova come soluzione una metrica asintoticamente piatta con un solo parametro libero, fissato dallimite classico all’infinito spaziale. Cio e in forte analogia con il fatto che il campo di Coulomb e l’unicasoluzione a simmetria sferica dell’equazione di Laplace nel vuoto. Un’altra importante conseguenzadel teorema di Birkhoff e che in un collasso gravitazionale sfericamente simmetrico non possono essereemesse onde gravitazionali. Infatti lo spaziotempo che descrive il collasso, se la stella si contraemantenendo una superficie perfettamente sferica, rimane sfericamente simmetrico ad ogni istante, main forza di questo teorema deve essere stazionario se la stella rimane circondata dal vuoto, cioe lametrica non puo dipendere dal tempo e in particolare deve essere quella in (1.14) con a = Q = 0.

Se il buco nero non e statico questo fatto non e piu vero, in quanto i teoremi di unicita richiedonoche lo spaziotempo sia stazionario e quindi permettono di considerare solo lo stadio finale del collasso,togliendo la possibilita di trarre conclusioni sull’intero fenomeno. Questi risultati sono comunquemolto importanti poiche caratterizzano completamente i buchi neri nel vuoto all’equilibrio.

Teorema 1.3 (di Carter-Robinson [8] [9]). L’unica soluzione delle equazioni di Einstein nel vuotocontenente un buco nero7 che sia stazionaria, assisimmetrica e non singolare al di fuori dell’orizzontedegli eventi e sopra di esso e quella di Kerr, caratterizzata dai due parametri M e a.

Questo enunciato puo essere semplificato, lasciando cadere l’ipotesi di simmetria assiale, grazie ad unrisultato di Hawking e Wald secondo cui una soluzione delle equazioni di Einstein nel vuoto stazionariae contenente un buco nero e necessariamente assisimmetrica.

Si possono generalizzare questi teoremi al caso in cui le equazioni di campo gravitazionale sianoaccoppiate a quelle di campo elettromagnetico. Il teorema “no-hair”, cosı chiamato da Wheeler aintendere che i buchi neri “non hanno peli” che spuntano dall’orizzonte, a permettere di individuarele caratterestiche della stella da cui si sono formati, recita

Teorema 1.4 (No-hair). L’unica soluzione stazionaria e contenente un buco nero delle equazioni diEinstein-Maxwell nel vuoto, che sia non singolare al di fuori dell’orizzonte degli eventi e su di esso equella di Kerr-Newman, caratterizzata dai tre parametri M , a e Q.

Si osservi che per quanto riguarda il collasso gravitazionale di una stella il teorema no-hair affermache se lo stadio finale di tale collasso e un buco nero tutte le informazioni che la riguardano, qualiforma, struttura e composizione, vengono inghiottite dall’orizzonte o irradiate all’infinito sotto formadi onde gravitazionali, lasciando posto a tre parametri soltanto.

1.6 Gravita superficiale

La gravita superficiale e stata introdotta formalmente senza fornirne un eventuale significato fisicoe in effetti l’equazione (1.3) resta soddisfatta moltiplicando sia κ sia ξ per una costante, quindi κ eunica e vi si puo associare una quantita fisica solo se ξ lo e; se lo spaziotempo e curvo ma stazionario easintoticamente piatto si puo fissare ξ richiedendo che il vettore di Killing timelike all’infinito spaziale,che verra d’ora in poi chiamato k, sia normalizzato in modo tale che k2

∣∣i0

= −1. Inoltre per spazitempistatici essa rappresenta l’accelerazione di una particella ferma che si trova in prossimita dell’orizzontedel buco nero percepita dall’infinito; tale accelerazione differisce da quella propria (o locale) dellaparticella.

Si prenda come esempio la geometria di Schwarzschild: la linea di mondo di una particella fermaa (r, θ, φ) = cost ha vettore tangente u = N∂t, dove N e scelta in modo tale che

uµuµ = −1 ⇒ u =

(1− 2M

r

)− 12

∂t

7E quindi, per quanto assunto nel primo paragrafo di questo capitolo, asintoticamente piatta

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1. Parentesi matematica 9

L’accelerazione che la particella avverte localmente e data da

a = ∇uu =

(1− 2M

r

)− 12

∇tu =

(1− 2M

r

)−1

Γµtt ∂µ =M

r2∂r

che in modulo vale

|a| = √grr arar =M

r2

(1− 2M

r

)− 12

e questo diverge per r → 2M , cioe una particella sull’orizzonte di un buco nero statico ha bisogno diun accelerazione infinita per rimanere ferma.Diversa e la situazione se si pensa che questa particella sia legata ad una corda di lunghezza infinitastretta da un osservatore che si trova all’infinito spaziale; a causa del fatto che particella e osservatorehanno tempi propri differenti in seguito alla presenza del campo gravitazionale, la tensione della cordamisurata all’infinito non coincide con quella che la particella esercita per rimanere ferma a r = cost8.L’accelerazione percepita all’infinito e

a∞ =dτ

dta =

√1− 2M

ra =

√1− 2M

r

M

r2∂r ⇒ |a∞| =

M

r2(1.19)

che e finita anche per una particella a cavallo dell’orizzonte.Per quanto riguarda la gravita superficiale, si osservi anzitutto che il teorema di Hawking, in questocaso, vale per il vettore di Killing richiesto dalla stazionarieta: r = 2M e un orizzonte di Killing diξ = ∂t, come puo essere verificato con un cambio di coordinate che renda la metrica non singolaresull’orizzonte9. Per un teorema di Carter questo fatto vale in generale per spazitempi statici.Nonostante il fallimento delle coordinate di Schwarzschild il calcolo della gravita superficiale puoessere portato avanti usando la formula (1.7); osservando che ∇µ ξν = Γνµt , le cui uniche componentinon nulle risultano essere

∇r ξt =M

r2

(1− 2M

r

)−1

∇t ξr =M

r2

(1− 2M

r

)(1.20)

la gravita superficiale si ottiene subito come

κ2 = −1

2

(gtt g

rr∇r ξt2 + grr gtt∇t ξt2

)∣∣∣∣r=2M

=M2

r4

∣∣∣∣r=2M

=1

16M2⇒ κ = ± 1

4M(1.21)

che coincide con la (1.19) calcolata in r = 2M . Dalla (1.21) e chiaro che la gravita superficialeaumenta al diminuire della massa, cioe le forze mareali in prossimita di un buco nero sono tanto piuintense quanto piu questo e piccolo.

Nel caso di buchi neri rotanti, che danno luogo a spazitempi non statici, la gravita superficiale perdequesto significato a causa del fatto che non e piu possibile considerare osservatori statici molto viciniall’orizzonte del buco nero: esiste infatti una regione detta ergoregione che si estende dall’orizzonte aldi fuori di questo, nella quale si e sottoposti ad un effetto di trascinamento gravitazionale per cui nonsi puo far altro che ruotare intorno al buco nero con una velocita angolare rispetto all’infinito data,per lo spaziotempo con tensore metrico in (1.14), da

Ω(r) =2 aMr

(r2 + a2)2 −∆ a2 sin2 θ(1.22)

8Grazie alla simmetria sferica l’accelerazione propria risulta essere solo radiale9Nelle coordinate (t, r, θ, φ) il vettore normale e mal definito, non e quindi possibile far vedere che ha norma nulla,

anche se e facile verificare che ξ2∣∣r=2M

= 0

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1. Parentesi matematica 10

Il vettore di Killing dell’orizzonte degli eventi non e piu k, generatore delle traslazioni temporaliall’infinito, ma e una combinazione lineare di questo e dell’unico altro esistente in generale, richiestodalla simmetria assiale, che sara denotato m. Questa combinazione lineare e

ξ = k + Ω(r+)m = ∂t +a

r2+ + a2

∂φ (1.23)

doveΩ(r+) =: ΩH =

a

2M(M +

√M2 − a2 −Q2

)−Q2

(1.24)

puo essere interpretata come la velocita di rotazione dell’orizzonte del buco nero. Infatti sulle orbitedei generatori dell’orizzonte si ha

ξµ∂µ (φ− ΩHt) = ΩH∂φφ− ΩH∂tt = 0 ⇒ φ = ΩHt+ cost

ma poiche φ e costante sulle orbite di osservatori statici all’infinito spaziale, una particella sull’oriz-zonte ruota con velocita angolare ΩH rispetto all’infinito.

La gravita superficiale si puo calcolare usando di nuovo la (1.7) e si ottiene

κ = ±√M2 − a2 −Q2

2M2 −Q2 + 2M√M2 −Q2 − a2

(1.25)

L’ambiguita sul segno che compare in questa equazione, cosı come in (1.21), e dovuta al fatto che suun orizzonte di Killing e κ2 ad essere costante. Ma un orizzonte non degenere si biforca in due parti ein effetti l’orizzonte di buco nero H+ e solo una di queste, che nelle coordinate in cui e scritta (1.14)coincide con r = r+, t = +∞. L’altra, data da r = r+, t = −∞, rappresenta il cosiddetto orizzonte dibuco bianco ed e di scarso interesse fisico. Se si calcola κ in coordinate non singolari su H+, si vedeche su di esso il segno giusto e quello positivo.

1.7 Singolarita

Si e visto che la presenza di un buco nero nello spaziotempo e associata all’esistenza di un orizzontedegli eventi; dalla (1.14) si vede che la metrica diventa singolare su tale orizzonte, cioe non e invertibilein quanto il suo determinante si annulla. Piu in generale si puo parlare di singolarita della metricaquando questa o la sua inversa sono mal definite. Nonostante cio, e spesso possibile trovare cambidi coordinate per cui queste singolarita spariscono; e questo il caso dell’orizzonte degli eventi dellasoluzione di Kerr-Newman.

Esistono pero singolarita della metrica non eliminabili con un cambio di coordinate che possonoessere associate al divergere della curvatura, ovvero di alcuni scalari costruiti a partire dal tensore diRiemann10. Per esempio nello spaziotempo di Schwarzschild si ha

RµνρσRµνρσ ∼48M2

r6per r → 0 (1.26)

Quindi r = 0 e un punto in cui la metrica rimane singolare per qualsiasi scelta delle coordinate, inquanto gli scalari non ne dipendono e quello in (1.26) puo essere espresso in funzione della metrica. Perquesti punti o insiemi di punti si parla di singolarita dello spaziotempo: sono regioni non appartenentiallo spaziotempo, avvicinandosi alle quali le forze di marea divergono. La Relativita Generale non da

10Non tutte le singolarita non eliminabili sono associate al divergere degli scalari di curvatura, per esempio avvicinan-dosi alla punta p di un cono si puo vedere che tutti gli invarianti di curvatura sono nulli nonostante in p il cono non siapiu una varieta riemanniana. In effetti e una conseguenza del teorema di Gauss-Bonnet che per lo scalare di Ricci delcono vale R(x) ∝ δ(x− p), dove la costante di proporzionalita dipende dal difetto conico.

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1. Parentesi matematica 11

informazioni su quanto succede alla materia quando raggiunge questi punti e per scoprirlo e necessarioutilizzare altre teorie fisiche.

L’esistenza di singolarita dello spaziotempo va di pari passo con la presenza di geodetiche chenon sono ben definite per ogni valore del parametro affine; spazitempi che contengongo tali curvevengono detti geodeticamente incompleti. Nello Schwarzschild l’equazione per una geodetica radialedi un particella di massa m in caduta libera verso H+ e(

dr

)2

=2M

r− 1 +

E2

m2⇒ dτ =

−dr√2Mr − 1 + E2

m2

(1.27)

essendo E l’energia della particella, che si conserva lungo la geodetica; il segno meno preso dopo averestratto la radice e dovuto al fatto che la particella cade verso l’orizzonte e quindi dr < 0 quandodτ > 0. La particella e ferma quando dr

dτ = 0 e cioe quando r = 2Mm2/(m2 − E2) =: r. Il tempoproprio che la particella impiega per raggiungere la singolarita in r = 0 e finito, si ha infatti

∆τ =

∫ 0

r

−dr√2Mr − 1 + E2

m2

=πMm3

(m2 − E2)3/2

quindi questo spaziotempo e geodeticamente incompleto.Il fatto che una singolarita ineliminabile in un punto spaziotemporale al finito porta sempre a

qualche geodetica che la intercetta, e quindi non e definita oltre, spinge ad adottare la seguente

Definizione 1.16. Uno spaziotempo e non singolare se e solo se geodeticamente completo.

Esistono molti teoremi, dovuti principalmente a Hawking e Penrose, che, sotto assunzioni che riguar-dano anche la distribuzone di materia, dimostrano che l’incompletezza geodetica, e quindi l’incorreredi singolarita dello spaziotempo, e una caratteristica generale dei buchi neri, anche in assenza di par-ticolari ipotesi di simmetria11.

Un’altra caratteristica delle singolarita dello spaziotempo e che sono spesso rinchiuse in un orizzon-te degli eventi, cosı da non poter essere “viste” dall’esterno. Nonostante questo e possibile consideraresoluzioni delle equazioni di Einstein in cui siano presenti singolarita nude, ne e un esempio lo Sch-warzschild con M < 0.Vi e pero una congettura secondo cui spazitempi “fisici” non possono contenere singolarita non protetteda un orizzonte; per darne un enunciato sono necessarie alcune definizioni.

Definizione 1.17. Sia (M, g) uno spaziotempo fortemente causale, un insieme Σ ⊂ M si diceacronale se I+(Σ) ∩ Σ = ∅.

Definizione 1.18. Sia (M, g) uno spaziotempo fortemente causale e Σ ⊂ M un insieme chiuso eacronale. Si dice superficie di Cauchy parziale se ogni curva causale interseca Σ al piu una volta.

Definizione 1.19. Sia C : [a, b] → M una curva in uno spaziotempo M. Un punto x ∈ M si diceestremo futuro di C se per ogni intorno U di x esiste λ1 ∈ [a, b] tale che per ogni λ2 ≥ λ1 si haC(λ2) ∈ U . Se C non ha estremo passato si dice inestendibile nel futuro.Analogamente si definisce una curva inestendibile nel passato.

Definizione 1.20. Sia Σ una superficie di Cauchy parziale in uno spaziotempo fortemente causale,si dice dominio delle dipendenze future di Σ la regione

D+(Σ) := x ∈M | ogni curva causale passante per x inestendibile nel passato interseca Σ

In modo analogo si definisce il dominio delle dipendenze passate D−(Σ).

11Inizialmente si pensava che le singolarita fossero frutto della simmetria sferica

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1. Parentesi matematica 12

L’insieme Σ puo essere pensato come un’ipersuperficie che rappresenti una sezione temporale dellospaziotempo. Il suo dominio delle dipendenze passate e future e la regione di spaziotempo comple-tamente determinata dalle condizioni iniziali fissate su Σ; in Relativita Generale, diversamente dallameccanica newtoniana, questa regione non coincide sempre con l’intero spaziotempo.

Definizione 1.21. Sia (M, g) uno spaziotempo fortemente causale, l’ipersuperficie Σ ⊂ M si dicesuperficie di Cauchy globale se e una superficie di Cauchy parziale e D+(Σ) ∪D−(Σ) =M.Se M contiene una superficie di Cauchy globale si dice globalmente iperbolico.

Definizione 1.22. Uno spaziotempo (M, g) fortemente causale e asintoticamente piatto si dice for-

temente asintoticamente predicibile se esiste una regione aperta U ⊂ M, con (M, g) spaziotempo nonfisico associato a (M, g), tale che

(i) I−(F+) ⊂ U

(ii) lo spaziotempo (U , g) e globalmente iperbolico

Se M contiene un buco nero I−(F+) = I−(F+) ∪ H+, quindi in tal caso questa definizione richiedeche esista una regione di M che sia uno spaziotempo globalmente iperbolico contenente l’orizzontedel buco nero.

Congettura (Censura cosmica). Gli spazitempi fisici sono fortemente asintoticamente predicibili.

In tutte le definizioni date in questo paragrafo si e assunto, come dall’inizio di questa sezione, chelo spaziotempo fosse fortemente causale. Tuttavia si puo provare che ogni spaziotempo globalmenteiperbolico e fortemente causale e quindi che la causalita forte e automaticamente soddisfatta nellaregione globalmente iperbolica richiesta da questa congettura.

D’ora in avanti sara assunto che la censura cosmica sia sempre verificata, in quanto fondamentalenella dimostrazione della seconda legge della termodinamica dei buchi neri; si osservi comunque che glispazitempi fisici richiesti da tale congettura, oltre a sottostare alle ipotesi di causalita e piattezza asin-totica date finora, devono avere un tensore di energia-momento che soddisfi la cosiddetta condizionedominante sull’energia, la quale verra enunciata matematicamente nel prossimo capitolo.

1.8 Teorema della divergenza

In questo paragrafo sara enunciato e brevemente illustrato il teorema di Stokes. A partire da quest’ul-timo verra poi dimostrata un’importante identita che sara piu volte utilizzata nel prossimo capitolo.Data una varieta pseudo-Riemanniana (Σ, g) con segnatura s, l’elemento di volume infinitesimo e uncampo tensoriale completamente antisimmetrico di rango n su Σ, chiamato forma di volume, che inun fissato sistema di coordinate xµ si scrive√

|g| dx1 ∧ dx2 ∧ · · · ∧ dxn =1

n!

√|g| εµ1µ2...µndxµ1 ∧ dxµ2 ∧ · · · ∧ dxµn =:

√|g| dnx

dove g e il determinante metrico, preso in modulo in quanto il suo segno e (−1)n−s2 , εµ1µ2...µn e il

simbolo di Levi-Civita e la prima uguaglianza e giustificata dal fatto che questo soddisfa

εµ1µ2...µnεν1ν2...νn = (−1)s n! δ[µ1

ν1δµ2ν2 . . . δµn]

νn (1.28)

εµ1µ2...µkµk+1...µn εµ1µ2...µkνk+1...νn = (−1)s k! (n− k)! δ[µk+1

νk+1 . . . δµn]νn (1.29)

In n dimensioni esiste una sola n-forma indipendente, ovvero tutti i tensori completamente antisim-metrici di rango n sono proporzionali alla forma di volume, cioe ognuno di questi si puo scrivere

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1. Parentesi matematica 13

f√|g| dnx con f funzione scalare. Si definisce quindi in modo naturale l’integrale di una n-forma ω,

o equivalentemente di una funzione f , su Σ come∫Σω =

∫Σf√|g|dx1 ∧ dx2 ∧ · · · ∧ dxn :=

∫Σf√|g| dx1dx2 . . . dxn

dove l’ultimo membro e l’integrale di Lebesgue di f sull’insieme coperto dalle coordinate locali scelteper Σ. Ovviamente questa definizione e indipendente dal sistema coordinate, cosı come il volume diΣ che si ottiene prendendo f = 1.

Se Σ e compatta il suo bordo ∂Σ e una varieta peuso-Riemanniana (n-1)-dimensionale che hametrica e (n-1)-forma di volume indotte da quelle di Σ. Su questa e possibile, con la definizione appenadata, integrare qualsiasi (n-1)-forma data, a meno di una funzione scalare, da quella di volume. Peruna siffatta varieta Σ il teorema di Stokes afferma che, se ω e una (n-1)-forma su ∂Σ e dω e la suaderivata esterna, si ha ∫

∂Σω =

∫Σ

Questa equazione rappresenta, in modo sintetico e indipendente dal sistema di coordinate, tutti iteoremi che mettono in relazione integrali su un insieme compatto con integrali sul bordo dell’insieme;e tuttavia conveniente a livello operativo esplicitare questa espressione prendendo particolari formedifferenziali che si presentano frequentemente in fisica.

Se si considera su Σ la (n-1)-forma

ω =1

(n− 1)!

√|g| εµ1µ2..µnvµ1dxµ2 ∧ dxµ3 ∧ · · · ∧ dxµn (1.30)

la sua derivata esterna, sfruttando le (1.28), (1.29) e che ∇ν(√|g|)

= 0, e

dω =1

(n− 1)!

√|g| εµ1[µ2..µn∇ν]v

µ1dxν ∧ dxµ2 ∧ dxµ3 ∧ · · · ∧ dxµn =

=1

(n− 1)!n!

√|g| (−1)s εµ2µ3...µnν ε

ρ1ρ2...ρnεµ1ρ1ρ2..ρn−1∇ρnvµ1dxν ∧ dxµ2 ∧ dxµ3 ∧ · · · ∧ dxµn =

=1

(n− 1)!n!

√|g| (−1)s+2n ενµ2µ3...µn ε

ρ1ρ2...ρnερ1ρ2..ρn−1µ1∇ρnvµ1dxν ∧ dxµ2 ∧ dxµ3 ∧ · · · ∧ dxµn =

=1

n!

√|g| (−1)2(s+n) ενµ2µ3...µn δ

ρnµ1∇ρnvµ1dxν ∧ dxµ2 ∧ dxµ3 ∧ · · · ∧ dxµn = ∇µvµ

√|g|dnx

Ma per utilizzare il teorema di Stokes la (1.30) va ristretta a ∂Σ e dovra essere proporzionale alla(n-1)-forma di volume di questa varieta. Per farlo si puo sfruttare il fatto che, se N e il vettorenormale normalizzato a ∂Σ, l’elemento di volume su questa varieta in coordinate yµ, µ = 0, 1, 2, sipuo scrivere

1

(n− 1)!

√|g|∣∣∣∂ΣNνενµ1...µn−1dyµ1 ∧ dyµ2 ∧ · · · ∧ dyµn−1 =:

√|g(n−1)|dn−1y

come si vede facilmente in coordinate normali di Gauss12. Inoltre da questa espressione, usando dinuovo (1.28) e (1.29), segue che

N[µ1εµ2µ3...µn] =1

n!Nν1N

ρερν2ν3...νnεν1ν2...νnεµ1µ2...µn =

1

nNν1N

ρδρν1εµ1µ2...µn =

1

nN2εµ1µ2...µn

(1.31)

12Ovvero quelle in cui N = (1, 0, . . . 0)

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1. Parentesi matematica 14

Inserendo questa equazione nella (1.30) e restringendo ω al bordo di Σ si ottiene

ω =n

(n− 1)!N2

√|g|N[µ1εµ2µ3...µn]v

µ1dxµ2 ∧ dxµ3 ∧ · · · ∧ dxµn =

=1

(n− 1)!N2

√|g(n−1)|Nµ1εµ2µ3...µnv

µ1dyµ2 ∧ dyµ3 ∧ · · · ∧ dyµn =1

N2Nµv

µ√|g(n−1)|dn−1y

Quindi per il teorema di Stokes si puo scrivere il teorema della divergenza∫∂ΣNµv

µ√|g(n−1)|dn−1y = ±

∫Σ∇µvµ

√|g| dnx

dove il segno positivo o negativo dipende da N , a patto che questo sia non lightlike13 e uscente da∂Σ.

Esiste un risultato analogo a quello appena trovato, spesso impiegato in Relativita Generale, in cuial posto del vettore v si considera un tensore t di rango 2. Per non appesantire troppo la notazioneverra dimostrato nel caso particolare in cui Σ e una “fetta” compatta di spaziotempo con versorenormale u timelike, il cui bordo ha versore normale n spacelike. In questo caso la (1.31) diventa

4u[µενρσ] = u2εµνρσ = −εµνρσ (1.32)

e in modo analogo, usando (1.29), (1.30) e che, come prima, ερσ = uαnβεαβρσ

12u[µnνερσ] =1

2uλ1nλ2u

αnβεµνρσ ελ1λ2λ3λ4εαβλ3λ4 = 2u[αnβ]u

αnβεµνρσ =[u2n2 − (uαn

α)2]εµνρσ

(1.33)quindi prendendo u e n ortogonali e tali che u2 = −1 e n2 = 1 si ha

εµνρσ = −12u[µnνερσ] (1.34)

Se ora si considera la 2-forma

ω =1

4

√|g| εµνρσtµνdxρ ∧ dxσ = −3

√|g|u[µnνερσ]t

µνdxρ ∧ dxσ

ristretta prima a Σ in coordinate yµ, µ = 0, 1, 2, e poi a ∂Σ in coordinate zµ, µ = 0, 1, questadiventa

ω = −3

4

√|g(3)|

(uµn[νερσ] − uνn[µερσ]

)tµνdyρ ∧ dyσ =

= −1

4

√|g(2)| (uµnν − uνnµ) ερσt

µνdzρ∧dzσ = −1

2

√|g(2)|u[µnν]ερσt

µνdzρ∧dzσ = −√|g(2)|u[µnν]t

µνd2z

Mentre la sua derivata esterna, usando la (1.32) e ristretta a Σ, risulta

dω =1

4

√|g| εµν[ρσ∇α]t

µνdxα ∧ dxρ ∧ dxσ =1

3! 4

√|g| εµνλ2λ3ελ1λ2λ3λ4ελ1ρσα∇λ4tµνdxα ∧ dxρ ∧ dxσ =

=4

3!

√|g| δ[µ

λ4δν]λ1u[λ1ερσα]∇λ4tµνdxα ∧ dxρ ∧ dxσ =

=1

3!

√|g(3)|u[ν∇µ]t

µνερσαdyα ∧ dyρ ∧ dyσ = −u[µ∇ν]tµν√|g(3)| d3y

Di nuovo per il teorema di Stokes si ottiene quindi∫∂Σ

√|g(2)|u[µnν]t

µνd2z =

∫Σu[µ∇ν]t

µν√|g(3)|d3y (1.35)

13Il risultato appena trovato si puo generalizzare al caso in cui il vettore normale al bordo di Σ sia lightlikesemplicemente scegliendo N in modo che valga nN[µ1

εµ2µ3...µn] = εµ1µ2µ3...µn

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1. Parentesi matematica 15

risultato che puo essere semplificato togliendo le antisimmetrizzazioni se tµν e antisimmetrico, e saraquesto il caso nel prossimo capitolo.

Si osservi poi che dalla (1.33) si vede che se una parte di ∂Σ e l’intersezione tra due ipersuperficidi cui una nulla con vettore normale n si puo scegliere u in modo tale che uµnµ = −1. Infatti inquesto caso la (1.34) rimane soddisfatta e quindi l’elemento di volume su ∂Σ e quello giusto. Unesempio di due-superficie di questo tipo e dato dall’intersezione dell’orizzonte degli eventi del buconero di Kerr-Newman con un’ipersuperficie Σ a t = cost dello spaziotempo, ovvero la superficie delbuco nero. Su questa si ha che il vettore normale ad H+ e n = fξ, con ξ dato in (1.23), per cui n2 = 0su H+. Questo fatto sara fondamentale nel dimostrare una importante formula nel terzo capitolo.

1.9 Equazione di Raychaudhuri per geodetiche nulle

Definizione 1.23. Una famiglia di curve in una regione U di uno spaziotempo si dice congruenza seper ogni punto di U passa una e una sola curva.

Uno dei modi per esprimere la curvatura intrinseca di uno spaziotempo e metterla in relazione alladeviazione geodetica di una congruenza a un parametro di geodetiche timelike; si trova un’equazioneche lega l’accelerazione relativa di geodetiche vicine al tensore di Riemann, dimostrando che le forzedi marea della gravita sono tutte contenute in esso.E possibile fare di meglio considerando una congruenza a tre parametri di geodetiche di tipo tempo,uno per ogni vettore spacelike ortogonale al campo vettoriale tangente alle geodetiche, e ottenere treequazioni che esprimono rispettivamente la velocita con cui varia l’elemento di volume individuatoda una fissata geodetica e da quelle infinitamente vicine al variare del parametro affine (expansion),la velocita con cui le geodetiche vengono stirate (shear) e la velocita con cui si attorcigliano (twist).Di queste tre equazioni quella di maggior interesse e la prima e prende il nome di equazione diRaychaudhuri.

Per geodetiche lightlike la situazione e complicata dal fatto che i vettori spacelike ortogonali alloro vettore tangente sono soltanto due, in quanto uno di questi e lo stesso vettore tangente, che none spacelike. Si puo pero scegliere ad hoc un vettore lightlike ausiliario e studiare la variazione delsottospazio bidimensionale ortogonale a questo e al vettore tangente, verificando a posteriori che ilrisultato e indipendente dalla scelta fatta.Detto t il campo vettoriale tangente alla congruenza di geodetiche nulle e l il vettore lightlike ausiliario,si prenda quest’ultimo in modo tale che sia trasportato parallelamente lungo t e che punti in direzionespaziale opposta a t, ovvero

∇t l = 0 tµlµ = −1 (1.36)

Il sottospazio ortogonale a questi due vettori sara denotato T⊥ e il proiettore su questo sottospazio e

Pµν = gµν + tµlν + tν lµ (1.37)

e puo essere pensato come la metrica in T⊥, in quanto puo essere usato per abbassare gli indici diqualsiasi tensore che vive in questo sottospazio. Per esempio per un vettore v in T⊥ si ha

Pµνvν = gµνv

ν + tµlνvν + tν lµv

ν = gµνvν (1.38)

essendo lνvν = tνv

ν = 0.In assenza di torsione per ogni v ∈ T⊥ si ha

∇t vµ = ∇v tµ = vν∇ν tµ =: Bµνvν (1.39)

quindi Bµν da informazioni su quanto i vettori del sottospazio T⊥ vengono deviati lungo le geodetiche,

cioe trasportati non parallelamente.Siccome il sottospazio che si vuole studiare e ortogonale sia a t sia a l e nella (1.39) non vi e tracciadi quest’ultimo, si puo proiettare Bµ

ν in T 2⊥ e ottenere esattamente le stesse informazioni; vale infatti

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1. Parentesi matematica 16

Proposizione 1.3. Per ogni v ∈ T⊥ si ha

∇t vµ = Bµνvν dove Bµ

ν := PµρPλνB

ρλ (1.40)

cioe i vettori di deviazione in T⊥ rimangono in questo sottospazio muovendosi lungo t.

Dimostrazione. Usando la (1.38) e osservando che dalle (1.36), (1.37) e dal fatto che t e tangente auna geodetica segue che

∇t Pµρ = 0 (1.41)

si ha∇t vµ = ∇t Pµρvρ = Pµρ∇t vρ = PµρB

ρνvν

dove l’ultima uguaglianza segue dalla (1.39). Di nuovo da (1.38) e (1.41) si ottiene poi

∇t vµ = PµρBρνP

νλv

λ = PµρPνλB

ρνvλ = Bµ

λvλ

A questo punto si decompone Bµν come

Bµν =1

2θPµν + σµν + ωµν

dove

θ = Bµµ = PµνBµν = gµνBµν σµν = B(µν) −

1

2θPµν ωµν = B[µν] (1.42)

Si osservi che θ non dipende dalla scelta di l, infatti essendo P un proiettore e idempotente; inoltreBµνt

µ = 0, in quanto t2 = 0 lungo le geodetiche, e Bνµtµ = 0, in quanto t e tangente a una geodetica

affine. Quindi

PµνBµν =(P 3)µν

Bµν = PµνBµν = (gµν + tµlν + tν lµ)Bµν = gµνBµν (1.43)

questo giustifica in parte l’arbitrarieta della scelta di l.Si puo dimostrare che σµν , cioe la parte simmetrica a traccia nulla14, e legata allo stiramento dellegeodetiche nella congruenza e che ωµν , cioe la parte antisimmetrica, e indice di quanto queste siattorcigliano fra di loro. Il significato di θ risulta chiaro da

Proposizione 1.4. L’area compresa tra i due generatori v(1), v(2) di T⊥ e

a =√|g(2)| εµνρσtµlνv(1)

ρ v(2)σ =: εµνρσtµlνv(1)

ρ v(2)σ

Per l’espansione θ vale

θ =d log a

dλ=

1

a

da

dλ(1.44)

dove λ e il parametro affine della congruenza di geodetiche, cioe t = ddλ .

Dimostrazione. Da (1.36) e ∇µ(√|g|)

= 0, dal fatto che t e tangente a una geodetica affine e da

(1.40) si hada

dλ= tµ∂µ a = tµ∇µ a = tµlν εµνρσ

(v(2)σ ∇t v(1)

ρ + v(1)ρ ∇t v(2)

σ

)=

= tµlν εµνρσ

(v(2)σ Bρ

αv(1)α + v(1)

ρ Bσαv(1)

α

)= 2 tµlν ε

µνρσBρ

αv(1)[α v

(2)σ] = 2 εµνρσBραtµlνv

(1)[α v

(2)σ]

14Il fattore 1/2 e necessario a rendere σµν a traccia nulla, in quanto Pµµ = dimT⊥ = 2

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1. Parentesi matematica 17

dove l’ultima uguaglianza segue dal fatto che εµνρσ e completamente antisimmetrico. Sfruttando poiBµ

νtν = 0 e Bµν lν = 0, che segue da (1.39) e (1.36), si trova che

2 εµνρσBραtµlνv

(1)[α v

(2)σ] = 4 εµνρσBρ

αt[µlνv(1)α v

(2)σ] = 4 εµνρσBρ

αδ[µβ δν

γ δαη δσ]

ζ tβ lγ v(1)η v

(2)ζ

Usando ora (1.28) e (1.29) si ottiene

da

dλ=

4

4!εµνρσBραεµνασ εβγηζ tβ lγ v(1)

η v(2)ζ =

3!

3!

√|g(2)| δραBρα εβγηζ tβ lγ v(1)

η v(2)ζ = Bρ

ρ a = θ a

Quindi θ e la velocita con cui varia il logaritmo dell’elemento di area della superficie due-dimensionaleS⊥ generata dalle linee di flusso dei vettori di deviazione15. L’area di questa superficie al variare delparametro delle geodetiche nulle e data da

AS⊥ =

∫S⊥

ad2x

dunque dalla (1.44) segue ched

dλAS⊥ =

∫S⊥

θ ad2x (1.45)

Per quanto riguarda la velocita con cui varia θ lungo la curva questa e

dλ= tµ∂µ θ = ∇t P νρBνρ = ∇t P νρBνρ = P νρ∇tBνρ = P νρ∇t∇ρ tν = P νρtµ (∇ρ∇µ + [∇µ,∇ρ]) tν

dove si sono usate la (1.43) e la (1.41). Sfruttando di nuovo ∇t tµ = Bµνtν = 0, Bµ

ν lν = 0 , la (1.37),le simmetrie del tensore di Riemann, nonche P 2 = P si ha

dλ= P νρ

[∇ρ (tµ∇µ tν)− (∇ρ tµ) (∇µ tν)−Rλνµρtµtλ

]=

= −P νρBµρBνµ − (gνρ + tν lρ + tρlν)Rλνµρt

µtλ = −P νρBαρ (Pµα − tµlα − tαlµ)Bνµ − gνρRνλρµtµtλ =

= −PµαBαρP

ρβ P

βν Bν

µ −Rλµtµtλ = −BµβP

βν Bν

γ

(P γµ − tγlµ − tµlγ

)−Rλµtµtλ =

= −BµβB

βµ −Rλµtµtλ

Infine poiche σ e ω sono a traccia nulla, e quindi Pµν σµν = Pµν ω

µν = 0 , e poiche il primo e simmetricoe il secondo antisimmetrico, e quindi nulla la loro contrazione, si ottiene

− BµβBβµ = −1

2θ2 − σµβσµβ + ωµβωµβ

da cui segue l’equazione di Raychaudhuri per una congruenza di geodetiche nulle

dλ= −1

2θ2 − σµν σµν + ωµν ωµν −Rµνtµtν (1.46)

che non dipende da l come si puo verificare scrivendo esplicitamente σµν σµν e ωµν ωµν .Questa equazione sara di importanza fondamentale nel derivare le leggi della meccanica dei buchi nerie verra utilizzata nel caso in cui il campo vettoriale t e quello dei generatori dell’orizzonte di Killingdi un buco nero, che e un’ipersuperficie nulla a cui tale campo e ortogonale. Questo fatto porta asemplificare la (1.46), si ha infatti

15Due campi vettoriali linearmente indipendenti non sempre generano una superficie due-dimensionale. Il teoremadi Frobenius assicura che questo succede se il loro commutatore puo essere scritto come combinazione dei due e talecondizione e soddisfatta in quanto [v(1), v(2)] = 0

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1. Parentesi matematica 18

Proposizione 1.5. Il vettore t e normale a una famiglia di ipersuperfici nulle se e solo se ω = 0.

Dimostrazione. Usando ∇t t = 0 , t2 = 0, la (1.39) ed esplicitando Bµν tramite la (1.37) si hat[µBνρ] = t[µBνρ], da cui segue

t[µωνρ] = t[µBνρ] = t[µBνρ] = t[µ∇ρtν] (1.47)

Per il teorema di Frobenius t e ortogonale a una famiglia di ipersuperfici se e solo se t[µ∇ρtν], quindida (1.47) segue immediatamente che se ω = 0 allora t e ortogonale a una famiglia di ipersuperficinulle. Del resto sfruttando l’antisimmetria di ω si ha

t[µωνρ] =1

3(tµωνρ + tν ωρµ + tρωµν)

moltiplicando per nµ e usando (1.39), (1.42) e (1.47) si giunge a

nµt[µ∇ρtν] =1

3nµ (tµωνρ + tν ωρµ + tρωµν) = −1

3ωνρ

quindi se e nullo il primo membro allora ω = 0.

E ora possibile dimostrare un’importante identita valida su un orizzonte di Killing, che verra piuvolte utilizzata nel seguito.

Proposizione 1.6. Sia N un orizzonte di Killing del vettore ξ, allora vale

Rµνξµξν |N = 0 (1.48)

Dimostrazione. Poiche t e normale a una famiglia di ipersuperfici nulle di cui N fa parte, e quindiω = 0 per la congruenza di geodetiche nulle in cui stanno le orbite di t, si ha

Bµν = B(µν) = P ρ(µB|ρλ|P

λν) = P ρ

µ B(ρλ)Pλν = P ρ

µ ∇(λtρ)Pλν

avendo usato il fatto che P e simmetrico. Siccome ξ = ft su N , con t vettore tangente all’orizzonte,la precedente equazione diventa

Bµν = P ρµ ∇(λf

−1ξρ)Pλν = P ρ

µ

(ξ(ρ∇λ)f

−1 + f−1∇(λξρ)

)P λν = ∇(λf

−1P |µ|ρξρ)P

λν = 0

avendo sfruttato l’equazione di Killing ∇(λξρ) = 0 e P ρµ ξρ = fP ρ

µ tρ = 0 in quanto P e un proiettoreortogonale a t.Si arriva quindi a θ = Bµ

µ = 0, ovvero θ e costante e in particolare nulla su N . In questo mododall’equazione di Raychaudhuri (1.46) segue

0 =dθ

∣∣∣∣N

=

(−1

2θ2 − σµν σµν −Rµνtµtν

)∣∣∣∣N

= − Rµνtµtν |N = − f−2Rµνξµξν∣∣N

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Capitolo 2

Energia e momento angolare

Il teorema no-hair afferma che, per un buco nero stazionario, cioe all’equilibrio, gli unici parametri ne-cessari a descriverne la meccanica sono massa, momento angolare e carica. Considerando un genericospaziotempo con buco nero carico e rotante, si puo usare una formulazione covariante dell’elettro-magnetismo classico, riadattata a spazitempi curvi, per definire in modo naturale, dato il tensore dienergia-momento del campo di Maxwell, la carica del buco nero. La difficolta nel compiere la stessaoperazione per quanto riguarda massa e momento angolare e data dal fatto che l’informazione chequeste due quantita portano non e contenuta soltanto nel tensore di energia-momento, ma anche nellacurvatura dello spaziotempo, ovvero nel tensore di Einstein. Esistono varie possibilita, alcune dellequali si adattano anche a spazitempi piu generali di quelli presi in considerazione in questa trattazione.

In questo capitolo, dopo aver brevemente introdotto l’integrale per la carica elettrica, definito apartire dalla formulazione covariante delle leggi di Maxwell, verra presentata una di queste possibilita,la quale e utilizzabile nel caso in cui lo spaziotempo possieda particolari simmetrie generate da vettoridi Killing, il che sara in pratica equivalente a richiedere che lo spaziotempo sia stazionario. Verrannopoi calcolati massa e momento angolare dei buchi neri di Schwarzschild e di Kerr e infine enunciatealcune possibili condizioni che deve soddisfare il tensore di energia-momento di uno spaziotempo fisico,di cui si e parlato nei precedenti paragrafi su singolarita e teoremi di unicita.

2.1 Carica elettrica

Come anticipato nella breve introduzione riguardo la metrica di Kerr-Newman, questa e soluzionedelle equazioni di Einstein accoppiate a quelle di Maxwell nel vuoto, cioe dove ∇µF νµ = 0 e doveil tensore di energia-momento contiene solo contributi elettromagnetici. Trascurando la possibilepresenza di sorgenti di campo magnetico, in una regione di spaziotempo in cui siano presenti caricheelettriche le equazioni di Maxwell disomogenee diventano

∇µF νµ = 4πJν (2.1)

dove Jµ e il quadrivettore delle sorgenti del campo elettromagnetico, ovvero densita di carica e correnteelettrica, che soddisfa l’equazione di continuita

∇µJµ = 0 (2.2)

e quindi rappresenta una corrente conservata.Presa un’ipersuperficie dello spaziotempo con bordo Σ che sia di tipo spazio, cioe con vettore

normale u timelike, si puo pensare di definire la carica elettrica come flusso della corrente attraversoΣ, ovvero

qe =

∫Σ

dSµJµ =

∫Σ

√g(3) d3xuµJ

µ (2.3)

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2. Energia e momento angolare 20

dove g(3) e il determinante della metrica indotta sull’ipersuperficie da quella dello spaziotempo.Inserendo la (2.1) in (2.3) e usando il teorema di Stokes per la divergenza (1.35) insieme con il fattoche F e antisimmetrico, si ha

qe =1

∫Σ

√g(3) d3xuµ∇νFµν =

1

∫∂Σ

√g(2) d2xuµnνF

µν (2.4)

dove n e il versore normale al bordo di Σ, g(2) e il determinante della metrica indotta su ∂Σ .Ogniqualvolta sia presente un’equazione come (2.2) e si sia definita una carica associata alla

corrente conservata come in (2.3), si puo vedere facilmente che questa e indipendente dal tempo sel’ipersuperficie spacelike si estende ovunque J 6= 0. Infatti considerando una regioneR di spaziotempoche abbia bordo costituito dall’infinito spaziale e da due ipersuperfici spacelike con versore normaleu, le quali possono essere pensate, in qualche sistema di coordinate, come sezioni temporali dellospaziotempo e verrano quindi denotate Σt1 e Σt2 , da (2.2), (2.3), dal teorema di Stokes e posto che Jsi annulli all’infinito spaziale si ottiene

0 =

∫R

d4x√−g∇µJµ =

∫∂R

d3x

√g(3) uµJ

µ =

∫Σt2

dSµJµ −

∫Σt1

dSµJµ = qe(t2)− qe(t1)

dove il segno meno serve a garantire che il versore u sia sempre uscente dalla regione R, per poterapplicare il teorema di Stokes.Quindi in presenza di una corrente conservata, se si definisce un integrale di carica che si estenda finoall’infinito spaziale, la carica e indipendente dal tempo.

Tramite (2.4) si puo calcolare la carica elettrica del buco nero di Reissner-Nordstrom, la cui metricae data in (1.14) con a = 0. Si consideri un’ipersuperficie Σ definita da t = cost che abbia bordo ∂Σdefinito da r = cost ; i vettori normali, opportunamente normalizzati1, si calcolano da (1.1) e risultanorispettivamente

u =

(1− 2M

r+Q2

r2

)− 12

∂t n =

√1− 2M

r+Q2

r2∂r (2.5)

Da (1.13) si ha poi

F = dA = d

(Q

rdt

)= −Q

r2dr ∧ dt

quindi le uniche componenti non nulle di F sono Ftr = −Frt = Q/r2.Usando ora (2.4) la carica del buco nero e data da

qe =1

∫∂Σ

√g(2) d2xuµnνF

µν =1

∫ 2π

0dφ

∫ π

0sin θ dθ r2utnrFtr = Q

Quindi il parametro Q in (1.14) e proprio la carica del buco nero. Si noti che i versori in (2.5) sonoben definiti per ogni r > r+ = M +

√M2 −Q2 e che nel calcolo non e stato necessario considerare

il bordo di Σ all’infinito spaziale, anzi il risultato e indipendente dalla scelta del bordo a patto chequesto sia fuori dall’orizzonte degli eventi del buco nero. Inoltre la carica elettrica sara certamenteconservata essendo la metrica indipendente dal tempo.

2.2 Integrali di Komar

Dal precedente paragrafo e chiaro che un ottimo punto di partenza per definire energia e momentoangolare in Relativita Generale e quello di trovare delle correnti Jµ che soddisfino un’equazione come

1Essendo Σ spacelike il suo versore normale u e tale che u2 = −1, mentre il versore normale n a r = cost e spacelikee quindi n1 = 1

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2. Energia e momento angolare 21

la (2.2) e che siano associate a queste due cariche conservate. In effetti una siffatta corrente puo esserecostruita a partire da un qualunque vettore di Killing ξ, in quanto questo soddisfa l’equazione

∇µ ξν +∇ν ξµ = 2∇(µ ξν) = 0 (2.6)

Definendo la corrente Jµ associata al vettore di Killing ξ come

Jµ(ξ) = Rµνξν (2.7)

si prova che questa ha divergenza nulla grazie al seguente

Lemma 2.1. La seconda identita di Bianchi per il tensore di Riemann

∇[λRρσ]µν = 0

implica che

∇µR =1

2∇νR ν

µ (2.8)

Dimostrazione. Sfruttuando l’antisimmetria del Riemann nei primi due indici si ha

0 = ∇[λRρσ]µν = ∇λR[ρσ]µν −∇ρR[λσ]µν −∇σR[ρλ]µν = ∇λRρσµν +∇ρRσλµν +∇σRλρµν

contraendo σ con µ e λ con ν e usando di nuovo le simmetrie del Riemann

0 = ∇νR µ νρ µ +∇ρRµνµν +∇µRν µ

ρ ν = −2∇νR νρ +∇ρR

Si osservi che la (2.8), o equivalentemente la seconda identita di Bianchi, e un fatto puramente geo-metrico; ciononostante fu proprio questa identita a guidare Einstein nello scrivere le giuste equazionidi campo che legano la curvatura dello spaziotempo alla distribuzione di materia, infatti e facile ve-dere che la (2.8) implica tramite le equazioni di Einstein che per il tensore di energia-momento vale∇µTµν = 0, equazione che esprime localmente la conservazione dell’energia e a cui ogni distribuzionedi materia ed energia ragionevole in senso fisico deve sottostare.

Proposizione 2.1. Sia ξ un vettore di Killing, allora la corrente Jµ(ξ) := Rµνξν soddisfa (2.2).

Dimostrazione. Usando la (2.8) insieme con Rµν = Rνµ si ha

∇µJµ(ξ) = ∇µRµνξν = ξν∇µRµν +Rµν∇µξν = ξν∇νR+Rµν∇µξν = (ξ · ∂)R+Rµν∇µξν

il secondo termine a ultimo membro si annulla grazie a (2.6) e alla simmetria del Ricci, mentre ilprimo e nullo in quanto la metrica, e quindi R, sono indipendenti dal parametro delle orbite di ξ,come si puo verificare moltiplicando (2.8) per ξµ e usando (2.6) e (1.9)

ξµ∇µR =1

2ξµ∇νRµν =

1

2(∇νξµRµν −Rµν∇νξµ) =

1

2∇ν∇µ∇νξµ = 0

E quindi naturale definire la carica conservata associata alla corrente Jµ(ξ) come

Qξ(Σ) = Cξ

∫Σ

dSµJµ(ξ) = Cξ

∫Σ

dSµRµνξν (2.9)

dove Σ e, come prima, una superficie spacelike nello spaziotempo che copra tutto lo spazio in cui J enon nulla e la costante Cξ puo essere fissata nel limite di gravita debole richiedendo che la Qξ coincidacon la carica conservata classicamente. Inoltre con un ragionamento identico al paragrafo precedentesi prova che Q e indipendente dal tempo se la corrente si annulla sul bordo di Σ.L’analogia con il caso elettromagnetico e rafforzata dal fatto che, come per la quadricorrente di

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2. Energia e momento angolare 22

Maxwell vale la (2.1), la corrente associata a una vettore di Killing puo essere scritta come divergenzadi un tensore antisimmetrico di rango 2, infatti grazie a (1.9) si ha

Jµ(ξ) = Rµνξν = ∇ν∇µξν

che sostituita in (2.9), sfruttando di nuovo il teorema di Stokes (1.35) e il fatto che ∇µξν e antisim-metrico, porta a

Qξ(Σ) = Cξ

∫Σ

dSµ∇ν∇µξν = Cξ

∫Σ

√g(3) d3xuµ∇ν∇µξν = Cξ

∫∂Σ

√g(2) d2xuµnν∇µξν (2.10)

L’ultimo membro di questa equazione prendere il nome di integrale di Komar del vettore di Killing ξ.Nel caso di buchi neri all’equilibrio i teoremi di unicita assicurano che esistono almeno i due vettori

di Killing k e m: il primo, timelike all’infinito spaziale, legato all’invarianza dello spaziotempo per tra-slazioni temporali, il secondo, spacelike all’infinito spaziale, legato all’invarianza per rotazioni attornoa una asse. E piuttosto spontaneo associare all’integrale di Komar di k l’energia dello spaziotempo ea quello di m il momento angolare rispetto all’asse di simmetria, in quanto classicamente sono questele quantita conservate in seguito alle invarianze suddette. Si avra quindi per l’energia E e il momentoangolare J di uno spaziotempo contenente un buco nero

E(Σ) = Ck

∫∂Σ

√g(2) d2xuµnν∇µkν J(Σ) = Cm

∫∂Σ

√g(2) d2xuµnν∇µmν (2.11)

Per fissare le costanti anzitutto si riscriva la corrente in (2.7), usando le equazioni di Einstein, come

Jµ(ξ) = 8π

(Tµν −

1

2Tδµν

)ξν (2.12)

si consideri poi il limite classico di spaziotempo piatto in cui gµν ∼ ηµν e si osservi che il vettorenormale a un ipersuperficie Σ spacelike e u = ∂t, quindi u0 = 1 e u0 = −1.Per l’energia si assuma un tensore di energia-momento di una distribuzione di polvere, nel sistema diriferimento in cui questa e a riposo, dato da Tµν = diag(ρ, 0, 0, 0), dove ρ e la densita di energia.La (2.12) diventa

Jµ(k) = 8π

(Tµ0 −

1

2Tδµ0

)= 8π

(Tµ0 +

1

2ρ δµ0

)e quindi la (2.9) si scrive come

E(Σ) = Ck 8π

∫Σ

√g(3) d3xuµ

(Tµ0 +

1

2ρ δµ0

)= −Ck 8π

∫Σ

dV

(T 0

0 +1

)= Ck 4π

∫Σ

dV ρ

da cui, estendendo l’integrale a tutto lo spazio, si ottiene

E = Ck 4π

∫ρdV ⇒ Ck =

1

Per il momento angolare la (2.12) e

Jµ(m) = 8π

(Tµφ −

1

2T δµφ

)⇒ Jµ(m)uµ = 8π uµT

µφ = 8π uµT

µνm

ν

da cui, scrivendo l’integrale in (2.9) in coordinate cartesiane e notando che m = ∂φ = x ∂y − y ∂x, siha

J(Σ) = Cm 8π

∫Σ

d3xu0T0νm

ν = −Cm 8π

∫Σ

dV(xT 0

2 − yT 01

)= −Cm 8π ε3ij

∫ΣxiT j0dV

e quindi

Cm = − 1

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2. Energia e momento angolare 23

2.3 Massa del buco nero di Schwarzschild

Per la geometria di Schwarzschild e molto semplice verificare che l’energia dello spaziotempo puoessere identificata con il parametro M in (1.14), ovvero la massa del buco nero. Infatti dalle (1.1) e(1.14) con a = Q = 0 si ha che, prendendo Σ a t costante con bordo a r costante, i vettori normali,rispettivamente a Σ e ∂Σ, normalizzati sono

u =

(1− 2M

r

)− 12

∂t n =

√1− 2M

r∂r (2.13)

Usando poi le componenti calcolate precedentemente di ∇µkν in (1.20), l’integrale di Komar (2.11)per l’energia e

E(Σ) =1

∫∂Σ

√g(2) d2xuµnρgρν∇µkν =

1

∫ 2π

0dφ

∫ π

0sin θ dθ r2utnrgrr∇t kr =

=1

∫ 2π

0dφ

∫ π

0sin θ dθ r2M

r2= M

Risultato che vale, con un ragionamento analogo a quello fatto nel calcolo della carica elettrica, perogni valore di r > 2M , a indicare che tutta l’energia dello spaziotempo e rinchiusa nell’orizzonte delbuco nero.

Si puo anche vedere che per un buco nero statico la (2.11) da un risultato nullo2, infatti

∇µmν = ∂µmν + Γνµρm

ρ = Γνµφ

e le uniche componenti non nulle di questo tensore sono

∇φmr = (2M − r) sin2 θ ∇φmθ = − cos θ sin θ ∇θmφ = cot θ

Quindi, prendendo la stessa ipersuperficie con bordo, i cui vettori normali sono quelli in (2.13), ilmomento angolare e

J(Σ) = − 1

∫∂Σ

√g(2) d2xutnrgrr∇tmr = 0

2.4 Massa e momento angolare del buco nero di Kerr

Il calcolo degli integrali di Komar nello spaziotempo di Kerr e molto piu complicato, in quanto lametrica (1.14) e non diagonale quando a 6= 0. Considerando la solita ipersuperficie Σ, convieneanzitutto calcolare i versori normali a ∂Σ tramite (1.1), prestando attenzione nell’invertire la metrica.Si ottiene

u =1

N(∂t + Ω ∂φ) n =

ρ√∆∂r (2.14)

dove ρ e ∆ sono dati in (1.15), Ω in (1.22), mentre

N =ρ√

∆√(r2 + a2)2 −∆a2 sin2 θ

La massa di Komar diventa quindi

E(Σ) =1

∫∂Σ

√g(2) d2xnrgrr

(ut∇tkr + uφ∇φ kr

)=

1

∫∂Σ

√g(2) d2x

ρ3

N ∆32

(∇tkr + Ω∇φ kr)(2.15)

2Piu in generale si dimostra che J e nullo in uno spaziotempo statico e assisimmetrico qualsiasi

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2. Energia e momento angolare 24

dove le componenti di ∇µkν = Γνµt necessarie al calcolo risultano

∇tkr =M∆

ρ4∇φ kr =

aM∆

ρ6sin2 θ

(a2 cos2 θ − r2

)A questo punto per arrivare “a mano” al risultato non si puo fare altro che prendere il bordo di Σall’infinito spaziale, cioe tale che r = cost =∞ . Per r →∞ si hanno i seguenti andamenti asintotici

ρ3

N ∆32

∼ 1 ∇tkr ∼M

r2Ω∇φ kr ∼ −

2a2M2 sin2 θ

r5

√g(2) ∼ r2 sin θ

avendo usato per√g(2) l’espressione in (1.17).

In questo modo (2.15) diventa

E = limr→∞

E(Σ) =1

∫ 2π

0dφ

∫ π

0r2 sin θ dθ

M

r2= M

Per il momento angolare, con passaggi analoghi a quelli in (2.15) e usando di nuovo (2.14) si ottiene

J(Σ) = − 1

∫∂Σ

√g(2) d2x

ρ3

N ∆32

(∇tmr + Ω∇φmr) (2.16)

Prendendo di nuovo ∂Σ con r →∞ si ha

∇tmr =aM∆

ρ6sin2 θ

(a2 cos2 θ − r2

)∼ −aM sin2

r2

∇φmr = −∆ sin2 θ

ρ2

[r − a2 sin2 θ

ρ4

(Mr2 + a2 cos2 θ (r −M)

)]∼ −r sin2 θ

Ω ∼ 2 aM

r3

e quindi

J = limr→∞

J(Σ) = − 1

∫ 2π

0dφ

∫ π

0r2 sin θ dθ

(−aM sin2 θ

r2− 2 aM

r3r sin2 θ

)=

=3

4aM

∫ π

0sin3 θ dθ = aM

Si trova quindi che il parametro a in (1.14) rappresenta il momento angolare per unita di massa delbuco nero.

Se non si fosse preso il limite r →∞ gli integrali di Komar del Kerr non sarebbero stati calcolabilianaliticamente, tuttavia si possono sviluppare, fino a un certo ordine, le integrande in (2.15) e (2.16)in serie di potenze di r in un intorno dell’infinito spaziale a ottenere

Qξ = Cξ 2π

∫ π

0dθ

N∑n=0

fn(θ)1

rn= Cξ 2π

N∑n=0

1

rn

∫ π

0dθ fn(θ)

e verificare che fino a ordini elevati le fn(θ) hanno integrale nullo su [0, π] per ogni n > 0, ovvero chel’unico termine a contribuire e quello per n = 0, a indicare che anche al di fuori di un buco nero diKerr non ci sono ne energia ne momento angolare.

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2. Energia e momento angolare 25

2.5 Condizioni sull’energia

Finora per quanto riguarda le distribuzioni di materia descritte dal tensore di energia-momento, sie detto che questo deve certamente soddisfare l’equazione di conservazione dell’energia ∇µTµν = 0,ovvero uno dei postulati della Relativita Generale che le stesse equazioni di Einstein non permettonodi violare. Proprio da questo fatto si capisce che necessariamente si dovranno imporre altre condizionisu Tµν per non incappare in situazioni fisicamente inaspettate.

Per un osservatore con quadrivelocita v che si muove in una distribuzione di materia Tµν , laquantita Tµνv

µvν ha il significato di densita di energia misurata nel sistema di riferimento di taleosservatore. Una prima ipotesi ragionevole su Tµν e richiedere che questa sia positiva in qualsiasisistema di riferimento, fatto garantito dalla

Weak energy condition (WEC). Tµν soddisfa la condizione debole sull’energia se

Tµνvµvν ≥ 0 per ogni v timelike

Si prenda come esempio un fluido perfetto, il cui tensore di energia-momento e dato da

Tµν = (ρ+ P )uµuν + Pgµν (2.17)

dove ρ e P sono rispettivamente la densita di energia e la pressione misurate nel sistema di riferimentoin cui il fluido e fermo e u il vettore tangente alle linee di flusso del fluido.La WEC implica, prendendo v = u, che ρ ≥ 0 e inoltre, dovendo valere per continuita anche pervettori lightlike, che ρ+ P ≥ 0. Infatti dalla (2.17) con v2 = 0 si ha

Tµνvµvν = (ρ+ P ) (uµv

µ)2 ≥ 0 ⇔ ρ+ P ≥ 0

cioe la pressione del fluido, se negativa, non puo diventare in valore assoluto piu grande della densitadi energia.

Un’importante conseguenza della WEC segue dall’equazione di Raychaudhuri per geodetiche nulle(1.46): infatti quest’ultima permette di dimostrare la seguente

Proposizione 2.2. SiaN un’ipersuperficie nulla in uno spaziotempo (M, g), soluzione delle equazionidi Einstein con Tµν soddisfacente la WEC, allora per la congruenza dei generatori di N la (1.46)implica

dλ≤ −1

2θ2 (2.18)

Dimostrazione. Detto t il vettore tangente ai generatori di N , dalle equazioni di Einstein combinatealla WEC e da t2 = 0 si ha

Rµνtµtν = 8π

(Tµνt

µtν − 1

2gµνt

µtν)

= 8πTµνtµtν ≥ 0

Essendo t normale a N , ω = 0; inoltre σµν ∈ T 2⊥ e la metrica e definita positiva in questo sottospazio,

quindi σµν σµν ≥ 0. Percio dalla (1.46) segue

dλ= −1

2θ2 − σµν σµν −Rµνtµtν ≤ −

1

2θ2

Questa proposizione puo essere usata per dare maggiore chiarezza al significato della WEC e perprovare un risultato che sara indispensabile nel prossimo capitolo.Si consideri un punto p su un generatore di un’ipersuperficie nulla per cui θ|p := θ0 < 0 e si scelga ilparametro affine λ in moto tale che λ = 0 in p. La (2.18) implica che

d

(θ−1)≥ 1

2⇒ 1

θ(λ)≥ 1

2λ+ C (2.19)

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2. Energia e momento angolare 26

dove C e una costante di integrazione che deve rispettare C ≤ θ−10 . Quindi dalla (2.19) si ha

1

θ(λ)≥ 1

2λ+ θ−1

0 ⇒ θ(λ) ≤ θ0

1 + 12θ0λ

Se θ0 < 0 questa equazione implica che θ → −∞ quando λ → 2/|θ0|, cioe, tramite la (1.44) etenendo conto che a > 0, l’area del sottospazio generato dai vettori di deviazione diventa nulla inun intervallo di lunghezza 2/|θ0| del parametro affine. Questo vuol dire che se le geodetiche nulledi una congruenza si stanno avvicinando, non possono fare altro che continuare ad avvicinarsi finoa convergere in un punto in un cui inevitabilmente si intersecano. Cio riflette, dal punto di vistafisico, la natura attrattiva della gravita: se le sorgenti del campo gravitazionale sono sempre positive,e quindi vale la WEC, la forza che si esercita tra due masse sara necessariamente tale da attrarle unaverso l’altra3.

La condizione debole sull’energia spesso non basta a rendere le soluzioni delle equazioni di campofisicamente sensate. Per esempio si potrebbe pretendere che, per un generico spaziotempo stazionariocon buco nero, la massa di Komar in (2.11) sia non negativa; un teorema dimostrato per la primavolta da Shoen e Yau lo prova, ma sotto un’assunzione piu forte sul tensore di energia-momento:

Dominant energy condition (DEC). Tµν soddisfa la condizione dominante sull’energia se soddisfala WEC e inoltre

TµνTµρvνvρ ≤ 0 per ogni v timelike

cioe se Tµνvν e non spacelike per ogni v timelike.

Per una distribuzione di materia della forma (2.17) questa condizione implica che la densita dienergia e sempre piu grande del valore assoluto della pressione, infatti prendendo v lightlike si ha

0 ≥ TµνTµρvνvρ = −[(ρ+ P )2 + 2P (ρ+ P )

](uµv

µ)2 + P 2v2 = (P + ρ) (P − ρ) (uµvµ)2

ma essendo ρ+ P ≥ 0 per la WEC, si deve avere P − ρ ≤ 0 e quindi ρ ≥ |P |.Si puo inoltre far vedere che la DEC puo essere interpretata fisicamente come la richiesta che lavelocita del flusso di energia, ovvero u in (2.17) nel caso di un fluido perfetto, sia sempre inferiore allavelocita della luce. Infine la DEC e utilizzata nella formulazione della congettura di censura cosmicaed un’ipotesi fondamentale nella dimostrazione della legge zero della termodinamica dei buchi neri.

I teoremi sulle singolarita necessitano di una condizione diversa dalle precedenti, che per un fluidoperfetto porta a ρ+ P ≥ 0 e ρ+ 3P ≥ 0, questa e

Strong energy condition (SEC). Tµν soddisfa la condizione forte sull’energia se

Tµνvµvν ≥ 1

2Tv2 per ogni v timelike

Si noti che, nonostante il nome, la SEC e matematicamente indipendente dalle altre due date in questoparagrafo e che esistono diverse teorie in cui non e soddisfatta.

3In realta per arrivare alla stessa conclusione dall’equazione di Raychaudhuri per geodetiche timelike e necessariauna condizione leggermente diversa dalla WEC che non garantisce la nonnegativita della densita di energia. Questacondizione viene detta strong EC e verra brevemente illustrata alla fine di questo paragrafo

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Capitolo 3

La meccanica dei buchi neri

Quando si descrive un sistema dal punto di vista termodinamico si cerca di ridurre il piu possibile ilnumero di variabili in gioco, in modo da poter trattare un problema macroscopico legato a un numeroimmenso di gradi di liberta microscopici. Decidere di descrivere completamente un gas reale conpressione, volume e temperatura, che sono un numero decisamente accettabile di variabili per poterfare i conti, e un’approssimazione. Invece, come si vedra in questa sezione, le proprieta di un buconero dipendono in modo esatto da un numero molto piccolo di variabili e le leggi che ne regolanola dinamica sono rigorosi teoremi di geometria differenziale. Ciononostante esiste una forte analogiaformale tra queste leggi e quelle della termodinamica, il che spinge a cercare un legame piu profondotra termodinamica e buchi neri.

In questo capitolo verranno presentate e in parte dimostrate le leggi della meccanica dei buchineri e le loro conseguenze. Verrano inoltre esposte le analogie formali tra queste e le leggi dellatermodinamica e le principali incongruenze in questa analogia che storicamente hanno fatto credere,per un breve periodo, che fosse soltanto una coincidenza.

3.1 Legge zero

Il principio zero delle termodinamica afferma che in un sistema all’equilibrio esiste una funzione distato detta temperatura che e costante su tutto il sistema. Un buco nero e all’equilibrio se vive inuno spaziotempo stazionario; se cio succede si trova una funzione che e costante su tutto l’orizzontee questa e la gravita superficiale.

Nel primo capitolo e stato dimostrato che κ2 e costante su un orizzonte di Killing. In questadimostrazione e cruciale che tale orizzonte si biforchi, ma cio non e vero in situazioni realistiche comeil collasso di una stella: lo spaziotempo che descrive questo fenomeno si ottiene incollando due regioni,una in cui l’orizzonte di buco nero non e presente perche la stella ha ancora un raggio superiore a quellodi Schwarzschild1, l’altra, che appartiene effettivamente a uno spaziotempo stazionario con buco nero,in cui l’orizzonte e presente ma non si biforca. Il teorema di Hawking garantisce che questo orizzontee di Killing e cio permette di provare la legge zero della meccanica dei buchi neri.

Legge zero. Sia (M, g) uno spaziotempo stazionario contenente un buco nero soluzione delle equa-zioni di Einstein con tensore di energia-momento Tµν che soddisfi la DEC. Allora la gravita superficialeκ e costante sull’orizzone degli eventi H+.

Dimostrazione. Tutte le equazioni che seguono si intendono scritte su H+, che per il teoremaenunciato nel primo capitolo e un orizzonte di Killing di un certo vettore ξ.Sfruttando l’equazione di Killing (2.6) e la (1.6) si ha

0 = ξµ∇ν ξρ − ξρ∇ν ξµ + ξν ∇ρ ξµ ⇒ ξµ∇ν ξρ = 2 ξ[ρ∇ν]ξµ (3.1)

1Nel caso in cui il collasso sia sfericamente simmetrico

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3. La meccanica dei buchi neri 28

da cui

(∇ν ξµ) ξ[ρ∇σ]ξν =

1

2(∇ν ξµ) ξν∇σξρ =

1

2κ ξµ∇σξρ = κ ξ[ρ∇σ]ξ

µ (3.2)

Applicando ξ[ρ∇σ] all’equazione (1.4) e usando la (1.8) si ottiene

ξµξ[ρ∇σ]κ+ κ ξ[ρ∇σ]ξµ = (∇ν ξµ) ξ[ρ∇σ]ξ

ν + ξνξ[ρ∇σ]∇ν ξµ = (∇ν ξµ) ξ[ρ∇σ]ξν + ξνξ[ρR

ασ]ν

µξα

Inserendo la (3.2) nell’ultimo membro di questa equazione e sfruttando le simmetrie del Riemann

ξµξ[ρ∇σ]κ = ξνξ[ρRασ]ν

µξα ⇒ ξµξ[ρ∇σ]κ = −ξνξαξ[ρRσ]ανµ (3.3)

Applicando ora ξ[α∇µ] alla (3.1) si ha

ξλξ[α∇µ]∇σξρ + (∇σξρ) ξ[α∇µ]ξλ = 2(ξ[α∇µ]∇[σξ|λ|

)ξρ] + 2

(ξ[α∇µ]ξ[ρ

)∇σ]ξλ (3.4)

ma il secondo termine a primo membro di questa equazione e uguale al secondo termine a secondomembro, infatti usando tre volte la (3.1)

2(ξ[α∇µ]ξ[ρ

)∇σ]ξλ =

(ξ[ρ∇|µξα|

)∇σ]ξλ = (∇µξα) ξ[ρ∇σ]ξλ =

1

2(∇µξα) ξλ∇σξρ =

(ξ[α∇µ]ξλ

)∇σξρ

Quindi la (3.4), sfruttando di nuovo la (1.8), diventa

ξλξ[αRβµ]σρξβ = ξλξ[α∇µ]∇σξρ = 2

(ξ[α∇µ]∇[σξ|λ|

)ξρ] = −2 ξβξ[αR

βµ]λ[σξρ] (3.5)

Contraendo α con λ il primo membro si annulla, infatti grazie a ξ2 = 0 e all’antisimmetria delRiemann nei primi due indici, si ha

ξαξ[αRβµ]σρξβ =

1

2

(ξ2Rβµσρξβ − ξµξαξβRβασρ

)= 0

Cosı dalla (3.5), usando di nuovo le proprieta del Riemann, si arriva a

0 = −ξβξαRβµα[σξρ] − ξβξµRαβα[σξρ] ⇒ ξβξαξ[ρRσ]αβµ = ξβξµRβ[σξρ]

che per confronto con la (3.3) fornisce

ξβξµRβ[σξρ] = −ξµξ[ρ∇σ]κ ⇒ ξβRβ[σξρ] = −ξ[ρ∇σ]κ (3.6)

Il primo membro di questa equazione puo essere riscritto usando le equazioni di Einstein come

ξβRβ[σξρ] = 8π

(ξβTβ[σξρ] −

1

2T ξ[σξρ]

)= 8πξβTβ[σξρ] (3.7)

Il vettore wµ := ξνTνµ e tangente a H+ in quanto ξ e proporzionale al versore normale all’orizzonte

e v e ortogonale a ξ, come si vede usando la (1.48) e ξ2 = 0

ξµwµ = ξµξ

νTνµ =

1

(ξµξνRνµ −

1

2Rξ2

)= 0

quindi puo essere scritto come combinazione lineare di tre generatori dello spazio tangente ad H+,ovvero ξ, essendo questo sia tangente che normale, e due vettori v(1) e v(2) necessariamente spacelikein quanto H+ e un’ipersuperficie nulla

w = ξµTµν∂ν = Aξ +B1v

(1) +B2v(2) (3.8)

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3. La meccanica dei buchi neri 29

Ma poiche ξ2 = 0 e, per quanto detto, v(i)µ ξµ = 0 si ha

TµνTµρvνvρ = w2 =

(B1v

(1) +B2v(2))2

Il primo membro di questa equazione deve essere negativo o nullo in forza della DEC, mentre l’ultimomembro e sempre positivo essendo il quadrato di un vettore spacelike. Si deve quindi avere B1 =B2 = 0, cioe, dalla (3.8)

wµ = ξνTνµ = Aξµ

che inserita nella (3.7) usando la (3.6) da

− ξ[ρ∇σ]κ = ξβRβ[σξρ] = 8πξβTβ[σξρ] = 8πA ξ[σξρ] = 0

Questa equazione non solo implica ∇ξ κ = 0, ma anche ∇σκ = f ξσ con f funzione scalare. Quindiper ogni vettore t tangente a H+ si ha

∇t κ = tµ∇µκ = f tµξµ = 0

Se fosse possibile identificare la gravita superficiale con la temperatura e quindi se il buco nerofosse un corpo caldo, classicamente questo dovrebbe irraggiare secondo la distribuzione di Planck.Tuttavia, per quanto detto finora, un buco nero assorbe radiazione e materia ma non emette niente,quindi la sua temperatura classica dovrebbe essere nulla e la stessa cosa non si puo dire di κ. In effetti,come si vedra nel prossimo capitolo, con l’introduzione delle meccanica quantistica sullo spaziotempoclassico, si puo dimostrare che anche un buco nero statico irraggia, ad una temperatura proporzionalealla gravita superficiale e quindi inversamente proporzionale alla sua massa.

3.2 Prima legge

La prima legge stabilisce una relazione tra le variazioni dei parametri che caratterizzano un buconero tra due stati di equilibrio infinitamente vicini. Per dimostrarla bisogna anzitutto ottenere unaformula che leghi la massa di un buco nero stazionario all’area del suo orizzonte, al suo momentoangolare e alla sua carica. Tale formula fu ricavata per la prima volta da Smarr [5], da cui prendeil nome, nel caso particolare di un buco nero nel vuoto, che grazie ai teoremi di unicita e dato dalla(1.14), semplicemente per inversione della (1.18). La dimostrazione che verra data di questa formulae piu generale, poiche vale anche per spazitempi in cui oltre a un buco nero siano presenti materia,eventualmente carica e con momento angolare non nullo, o radiazione e quindi in cui Tµν 6= 0.

Formula di Smarr. In uno spaziotempo stazionario (M, g) contenente un buco nero con orizzontedegli eventi H+, soluzione delle equazioni di Einstein con Tµν soddisfacente la DEC, per la massa diKomar definita in (2.11) vale

M =κ

4πAH + 2 ΩHJ + ΦH Q+ 2

∫Σ

dΣµ

(Tµν −

1

2Tδµν

)ξν (3.9)

dove Σ e un’ipersuperficie spacelike che si estende dall’orizzonte del buco nero all’infinito spaziale eH := Σ ∩ H+ e la superficie del buco nero, κ e la gravita superficiale definita da

∇ξ ξ |H+ = κ ξ |H+ con ξ = k + ΩHm (3.10)

AH e l’area dell’orizzonte del buco nero data da

AH :=

∫H

√g(2) d2x =:

∫H

dH (3.11)

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3. La meccanica dei buchi neri 30

J e il momento angolare di Komar definito in (2.11), ΩH la velocita angolare dell’orizzonte definitain (3.10), Q e la carica definita in (2.4) e

ΦH := ξµAµ|H (3.12)

e il potenziale elettrostatico dell’orizzonte.

Dimostrazione. Considerando l’ipersuperficie Σ con bordo interno H sull’orizzonte del buco neroe bordo esterno S una superficie bidimensionale all’infinito spaziale, da (1.35) e ∇µξν = −∇νξµ ,tenendo conto della giusta orientazione dei due bordi, si ha∫

ΣdΣµR

µνk

ν =

∫Σ

dΣµ∇ν∇µkν =

∫S

dS uµnν∇µkν −∫H

dH Nµξν∇µkν = 4πM −∫H

dH Nµξν∇µkν

(3.13)avendo usato la (1.9), che ξ e normale ad H+, e quindi ad H, la (2.11) per l’espressione di M e avendoscelto N in modo tale che2 Nµξµ = −1.L’integrale di bordo su H puo essere riscritto, usando la (3.10), ∇µξν = −∇νξµ e il fatto che ΩH euna costante, come∫H

dH Nµξν∇µkν =

∫H

dH Nµξν∇µ (ξν − ΩHmν) = −

∫H

dH Nµξν∇νξµ − ΩH

∫H

dH Nµξν∇µmν =

= −∫H

dH Nµξµκ− ΩH

∫H

dH Nµξν∇µmν =

∫H

dH κ− ΩH

∫H

dH Nµξν∇µmν

ma grazie alla legge zero κ e costante su H+ e in particolare su H, quindi puo essere portata fuoridall’integrale ad ottenere ∫

HdH κ = κ

∫H

dH = κAH

Sostituendo il tutto in (3.13) si ha

4πM =

∫Σ

dΣµRµνk

ν + κAH − ΩH

∫H

dH Nµξν∇µmν =

=

∫Σ

dΣµRµν (kν + ΩHm

ν) + κAH − ΩH

(∫Σ

dΣµRµνm

ν +

∫H

dH Nµξν∇µmν

)avendo sommato e sottratto un integrale su Σ all’ultimo membro.L’ultimo termine a ultimo membro diventa un integrale su S grazie al teorema di Stokes, si ha cosı

4πM =

∫Σ

dΣµRµνξν + κAH − ΩH

∫S

dS Nµξν∇µmν =

∫Σ

dΣµRµνξν + κAH + 8πΩHJ (3.14)

dove e stata usata la (2.11) per il momento angolare di Komar.Il primo termine a ultimo membro si riscrive usando le equazioni di Einstein come∫

ΣdΣµR

µνξν = 8π

∫Σ

dΣµ

(Tµν −

1

2Tδµν

)ξν (3.15)

Se il buco nero e carico ed eventualmente circondato da una distribuzione di carica, il tensore dienergia-momento e composto di una parte costruita a partire dal tensore di Faraday, cioe

(Tem)µν =1

(FµρF

ρν −

1

4gµνF

ρνFρν

)2Si veda il paragrafo sul teorema della divergenza nel primo capitolo

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3. La meccanica dei buchi neri 31

Poiche Tem ha traccia nulla, la (3.15) diventa

∫Σ

dΣµ (Tem)µν ξν = 2

∫Σ

dΣµ

(FµρF

ρν ξ

ν − 1

4ξµF ρνFρν

)Con la scelta di gauge sul potenziale A

LξAµ = ξν∇νAµ +Aν∇µξν = ξνFνµ +∇µ (ξνAν) = 0 ⇒ Fµνξν = ∇µΦ (3.16)

dove Lξ denota la derivata di Lie nella direzione puntata da ξ, si prova che Φ in (3.12) e costante suH+. Infatti dalla (3.17) segue immediatamente che

ξµ∂νΦ = ξµ∇νΦ = Fµνξνξµ = 0

poiche F e antisimmetrico. Inoltre usando la (1.48) unita alle equazioni di Einstein, che il tensore dienergia-impulso elettromagnetico ha traccia nulla e di nuovo la (3.16) si ha su H

0 = Rµνξµξν = 8π (Tem)µν ξ

µξν = 2FµρFνρξµξν = 2 (∇ρΦ)∇ρΦ

quindi ∇µΦ e un vettore nullo e ortogonale a ξ, ovvero ∇µΦ ∝ ξµ e quindi tµ∇µΦ = 0 per ogni vettoret tangente a H+.Sfruttando che Φ e costante su H e la scelta di gauge (3.16) si trova poi

2

∫Σ

dΣµ

(FµρF

ρν ξ

ν − 1

4ξµF ρνFρν

)= 4πΦHQ

Sostituendo ora (3.15) in (3.14) tenendo conto di questo contributo si arriva alla formula di Smarr.

Dalla (3.9) nel vuoto si puo ricavare la prima legge della meccanica dei buchi neri, ovvero un’e-spressione differenziale che lega le variazioni di M , A, J e Q quando un buco nero viene perturbatodall’equilibrio per tornarci con massa M + dM , area dell’orizzonte A+ dA, momento angolare J + dJe carica Q + dQ. Matematicamente cio significa variare la metrica dello spaziotempo da g a g + δge scrivere δM in funzione di δA, δJ e δQ3. Se il buco nero e circondato da materia, l’espressionedifferenziale che segue conterra altri termini che si ottengono variando l’ultimo addendo a secondomembro della (3.9).

Prima legge. Sia (M, g) uno spaziotempo stazionario contenente un buco nero, soluzione delleequazioni di Einstein nel vuoto con massa M , momento angolare J e carica Q. Sia κ la gravitasuperficiale, ΩH la velocita angolare, ΦH il potenziale elettrostatico dell’orizzonte degli eventi. Selo spaziotempo viene perturbato da una variazione g → g + δg a diventare di nuovo stazionario conmassa M + dM , momento angolare J + dJ e carica Q+ dQ, allora

dM =κ

8πdA+ ΩH dJ + ΦH dQ (3.17)

Dimostrazione. Una dimostrazione rigorosa di questo enunciato si porta avanti variando rispettoalla metrica l’espressione (3.9) con Tµν = 0 e cercando di semplificare il piu possibile i calcoli lunghie complicati che cio comporta. Si veda [7] per la derivazione originale.

Meno rigorosamente si puo procedere nel seguente modo. Essendo il buco nero nel vuoto si possonoapplicare i teoremi di unicita, da cui segue che l’area dell’orizzonte A dipende esclusivamente da M ,J e Q, ovvero M = M (A, J,Q). Ma poiche A e J hanno le dimensioni4 di M2 e Q ha le dimensionidi M si assume che M sia omogenea di grado 1/2 in A e J e di grado 1 in Q. Si ha cosı

M(λA, λJ,

√λQ)

=√λM (A, J,Q)

3Con la consapevolezza che si sta parlando di derivate funzionali, i differenziali verranno comunque denotati con dpiuttosto che con δ

4Nel sistema di unita di misura utilizzato si ha G = c = 4πε0 = 1 con G costante di gravitazione universale, c velocitadella luce e ε0 costante dielettrica del vuoto

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3. La meccanica dei buchi neri 32

da cui, derivando rispetto a λ e ponendo λ = 1,

∂M

∂AA+

∂M

∂JJ +

1

2

∂M

∂QQ =

1

2M

Inserendo la (3.9) scritta nel vuoto in questa equazione si ottiene

∂M

∂AA+

∂M

∂JJ +

1

2

∂M

∂QQ =

κ

8πA+ ΩHJ +

1

2ΦH Q

da cui, essendo A, J e Q indipendenti,

∂M

∂A=

κ

∂M

∂J= ΩH

∂M

∂Q= ΦH

che sostituite in

dM =∂M

∂AdA+

∂M

∂JdJ +

∂M

∂QdQ

portano alla (3.17).

La (3.17) e formalmente identica alla formulazione differenziale del primo principio della termo-dinamica, secondo cui esiste una funzione di stato, detta energia interna E, tale che, tra due stati diequilibrio di un sistema separati da un’entropia dS e da uno spostamento generalizzato5 dx, si ha

dE = TdS + fdx

dove T e la temperatura e f la variabile intensiva, o forza generalizzata, associata a x. Il termine fdxrappresenta il lavoro compiuto sul sistema e, in effetti, se si e in presenza di un corpo rotante aventemomento angolare J , questo termine e proprio della forma Ω dJ . Inoltre, paragonando il termine TdScon κ

8πdA nella (3.17), si puo pensare di identificare l’area dell’orizzonte degli eventi con l’entropia,oltre che, come gia suggerito dalla legge zero, la gravita superficiale con la temperatura. Il problema inquesto caso nasce dal fatto che l’entropia di un sistema termodinamico e una quantita adimensionale6.Sara quindi necessario trovare una costante di proporzionalita C, con le dimensioni di un’area, taleche S = A/C.

3.3 Seconda legge

Se l’entropia di un buco nero puo davvero essere identificata con l’area del suo orizzonte, ci si puoaspettare che, in virtu delle analogie con la termodinamica, questa debba aumentare con il tempoin uno spaziotempo non stazionario, in quanto, come dettato dal secondo principio, l’entropia di unsistema termodinamico si comporta in questo modo. In effetti cosı e, come stabilisce il cosiddettoteorema dell’area di Hawking, sebbene vi sia una leggera differenza che verra brevemente discussa altermine di questo paragrafo. La dimostrazione di questo teorema e molto tecnica e puo essere svoltasfruttando una serie di risultati che verrano ora enunciati.

Anzitutto sono necessarie due proprieta topologiche dell’orizzonte di un buco nero.

Proposizione 3.1. L’orizzonte degli eventi futuro H+ di uno spaziotempo contenente un buco neroe acronale, ovvero punti diversi su H+ non possono essere collegati da curve timelike.

Proposizione 3.2. I generatori di H+ non hanno estremi futuri.

5Il lavoro infinitesimo fatto su un sistema termodinamico si esprime in generale come prodotto tra una variabileintensiva e la variazione della corrispondente variabile estensiva, chiamata spostamento generalizzato nello spazio dellevariabili scelte per descrivere tale sistema. Un classico esempio e un gas perfetto a temperatura e pressione costante, incui lo spostamento avviene nel piano (S, V ) e il termine di lavoro e del tipo −pdV

6Posta la costante di Boltzmann kB = 1

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3. La meccanica dei buchi neri 33

E poi fondamentale un risultato7 che lega la presenza di punti coniugati tra i generatori di H+

all’esistenza di curve timelike sull’orizzonte.

Definizione 3.1. Sia γ una geodetica con vettore tangente t. Si dice campo di Jacobi su γ un vettorev soluzione dell’equazione della deviazione geodesica

tµ∇µtν∇νvρ = Rρµνσtµtνvσ

Definizione 3.2. Sia γ una geodetica nulla tale che il suo vettore tangente t e normale a una superficiebidimensionale S. Si dice che il punto p ∈ γ e coniugato a S se esiste un campo di Jacobi v su γ che,date delle condizioni iniziali su S, si annulla in p.

Proposizione 3.3. Sia γ una geodetica nulla normale a una superficie bidimensionale S e sia p ∈ γ,p /∈ S. Allora γ puo essere deformata in modo continuo a una curva timelike tra S e p se e solo seesiste un punto q ∈ γ tra S e p coniugato a S.

Infine serve un teorema di Geroch [10], detto teorema di splitting, che assicura la possibilita diconsiderare la superficie del buco nero “a tempi diversi”.

Teorema 3.1. Se (M, g) e uno spaziotempo globalmente iperbolico, allora esiste una famiglia Σλdi superfici di Cauchy globali tale che Σ(λ2) ⊂ D+ (Σ(λ1)) se λ2 > λ1 e

⋃λ Σ(λ) =M.

Seconda legge. Sia (M, g) uno spaziotempo stazionario contenente un buco nero, fortemente asin-toticamente predicibile e soluzione delle equazioni di Einstein con Tµν soddisfacente la WEC. Siano

Σ1 e Σ2 due superfici di Cauchy globali per la regione globalmente iperbolica U tali che Σ2 ⊂ D+ (Σ1)e siano H1 = Σ1 ∩ H+, H2 = Σ2 ∩ H+ le superfici due-dimensionali del buco nero su Σ1,Σ2. AlloraA(H2) ≥ A(H1), dove A(H) e definita in (3.11).

Dimostrazione (Traccia). Utilizzando il teorema di Geroch sulla regione globalmente iperbolica U , lacui esistenza e assicurata dall’ipotesi che lo spazio tempo sia fortemente asintoticamente predicibile,e prendendo come parametro della famiglia di superfici di Cauchy globali il tempo proprio λ deigeneratori di H+ (il che e possibile grazie al fatto che H+ ⊂ U) ci si puo ridurre a dimostrare che perla congruenza di generatori dell’orizzonte del buco nero si ha θ ≥ 0, in quanto dall’equazione (1.45)con S⊥ = H segue che questo implica A(Hλ) ≥ A(Hλ′) se λ > λ′.Si supponga quindi per assurdo che θ(λ) < 0 per un certo λ. Posto che valga la WEC si ha, comeosservato nel capitolo precedente, che i generatori devono convergere in un intervallo finito del tempoproprio λ. Siccome queste geodetiche non possono lasciare l’orizzonte al crescere di λ in forza dellaproposizione 3.2, il punto di intersezione p deve essere su H+. Inoltre se i generatori si intersecanoesiste un campo di Jacobi, dato da un vettore di deviazione spacelike della congruenza, che si annullain p. Si puo quindi usare la proposizione 3.3 con S = Σ(λ)∩H+ =: Hλ per concludere che esiste unacurva timelike tra Hλ e p, ovvero esistono due punti di H+ collegati da una curva di tipo tempo, cheper la proposizione 3.1 e impossibile. Si deve quindi avere θ (λ) ≥ 0 per ogni λ, con l’uguaglianza chevale solo nel caso in cui lo spaziotempo sia stazionario e quindi il buco nero all’equilibrio.

Si noti che, come e chiaro dalla traccia di dimostrazione appena data, la seconda legge richiede unacondizione piu debole sull’energia8 rispetto alle prime due.

Questa legge ha delle immediate conseguenze che si possono riscontrare nei piu semplici processi incui sia coinvolto piu di un buco nero in uno spaziotempo non stazionario, ovvero fusione e separazione.Si considerino due buchi neri all’equilibrio, privi di carica e non rotanti, di masse M1 e M2, che sifondono a dare un buco nero di massa M3, anch’esso statico una volta raggiunto l’equilibrio. Durante

7Si veda [1], capitolo 4, oppure [2], capitolo 9, per una dimostrazione8In realta nemmeno la WEC e neccesaria, in quanto e sufficiente richiedere che Tµνv

µvν ≥ 0 per ogni v lightlike,ovvero la null energy condition, per assicurarsi che un’espansione negativa implichi la convergenza dei generatori in untempo finito e arrivare alla contraddizione che conclude la dimostrazione

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3. La meccanica dei buchi neri 34

questo processo puo essere emessa energia sotto forma di onde gravitazionali, in quantita data dalladifferenza tra masse iniziali e finali dei buchi neri. L’efficienza di questa conversione di massa inenergia sara quindi

η =M1 +M2 −M3

M1 +M2= 1− M3

M1 +M2(3.18)

Nei due stati di equilibrio iniziale e finale si ha

Ai = A1 +A2 = 16π(M1

2 +M22)

Af = A3 = 16πM32

Per la seconda legge deve essere

Af ≥ Ai ⇒ M3 ≥√M1

2 +M22 (3.19)

che sostituita in (3.18) da

η ≤ 1− M3

M1 +M2= 1−

√M1

2 +M22

M1 +M2= 1− 1√

2≈ 0.29 (3.20)

cioe se due buchi neri si uniscono emettendo onde gravitazionali, la massima quantita di energiairradiata e circa il 29% della massa totale.Per quanto riguarda la separazione di un buco nero in altri due, il teorema dell’area stabilisce chequesto fenomeno non puo avvenire. Infatti, supponendo che le masse siano non negative e che ilprocesso di fusione appena considerato possa avvenire con la freccia del tempo invertita, la (3.19)deve valere, per la seconda legge, con stati iniziale e finale scambiati, ovvero si deve avere, sfruttandola disuguaglianza triangolare

M3 ≤√M1

2 +M22 ≤M1 +M2 se M1,M2 > 0

Ma la conservazione dell’energia richiede che M3 ≥ M1 + M2, con l’uguaglianza nel caso non siairradiata energia. Poiche e praticamente impossibile che non venga irradiata una minima quantitadi energia, questo due disequazioni non possono valere contemporaneamente, ovvero questo processonon puo verificarsi.

Il fatto che un buco nero non puo dividersi permette di osservare che il teorema dell’area e piurestrittivo del secondo principio della termodinamica. Infatti quest’ultimo richiede che l’entropiatotale di un sistema non puo diminuire, ma non vieta che una parte non isolata di questo sistemadiminuisca la propria entropia in favore di un aumento complessivo. Nel caso si abbiano piu buchi neriinvece la seconda legge implica, in seguito al fatto che ciascuno non puo dividersi, che singolarmentela loro area non puo diminuire.

3.4 Terza legge

Esistono diverse formulazioni del terzo principio della termodinamica. La piu adatta ad essere tradottain termini di meccanica dei buchi neri e quella di Nernst e afferma che la temperatura di un sistemanon puo essere portata allo zero assoluto con una serie finita di processi fisici. Una volta trovata lacorrispondenza tra gravita superficiale e temperatura, e abbastanza scontato che l’analogo di questoprincipio per i buchi neri sia che κ non puo essere portata a un valore nullo con una serie finita ditrasformazioni.

I buchi neri nel vuoto con gravita superficiale nulla si ottengono come casi estremi delle soluzionidi Reissner-Nordstrom, Kerr o Kerr-Newman in cui si abbia, rispettivamente, M2 = Q2, M4 = J2

o M4 = Q2M2 + J2, quindi provare a portare κ a zero significa fare in modo che carica e momentoangolare del buco nero aumentino senza che cio comporti un grande aumento della massa, in modo

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3. La meccanica dei buchi neri 35

da raggiungere la condizione estrema dettata dalle equazioni appena scritte. Per esempio si potrebbepensare di far cadere in un buco nero di Kerr, una alla volta, particelle di massa m e momento angolarel fissati, con l m in modo che il momento angolare del buco nero aumenti e la sua massa rimangacirca costante. Se si calcola la diminuzione di κ per ogni particella lanciata oltre l’orizzonte si vedeche questa diventa infinitesima quando κ→ 0. Processi analoghi in cui si aumenta la carica del buconero portano alla stessa conclusione.

Una formulazione rigorosa della terza legge e stata data, per esempio, da Israel [6]. Verra quiriportato un suo enunciato informale.

Terza legge. Sia (M, g) uno spaziotempo stazionario contenente un buco nero soluzione delle equa-zioni di Einstein con tensore di energia-momento Tµν che soddisfi la WEC. Allora la gravita superficialeκ non puo diventare nulla in un tempo finito e attraverso un processo continuo in cui Tµν rimangalimitato.

3.5 Il processo di Penrose

A livello teorico e possibile estrarre energia da un buco nero rotante mediante un procedimentoideato per la prima volta da Penrose [11]. Si consideri la (1.14) con Q = 0. Come gia accennatoesiste una regione al di fuori dell’orizzonte degli eventi, detta ergoregione, nella quale non e possibilerimanere fermi rispetto ad un osservatore all’infinito. Il motivo di questo fatto e che il vettore diKilling stazionario k diventa di tipo spazio prima di oltrepassare l’orizzonte di buco nero e quando ciosuccede tale vettore non puo piu essere quello tangente alla worldline di nessuna particella dotata dimassa, dovendo questa essere timelike. Quindi nessun oggetto fisico in questa regione puo rimanerefermo, cioe avere vettore tangente u = N∂t, in quanto la sua velocita deve avere componenti non nullenelle direzioni r, θ o φ per potersi mantenere timelike. L’ergoregione quindi e individuata da r > r+

e k2 = gtt > 0, ovvero

M +√M2 − a2 < r < M +

√M2 − a2 cos2 θ

Si prenda ora una particella di massa m con vettore tangente uµ e quadrimomento pµ = muµ chesi muove lungo una geodetica diretta all’interno dell’ergoregione. Le due cariche conservate su questacurva associate ai due vettori di Killing kµ ed mµ di uno spaziotempo stazionario e assisimetrico

E = −kµpµ L = mµpµ (3.21)

rappresentano l’energia e il momento angolare della particella. Si noti che E e positiva finche kµ etimelike e pµ diretto nel futuro9, fatto non piu garantito nell’ergoregione. Immaginando che questaparticella si scinda in due parti, una con momento p1

µ diretta verso l’esterno dell’ergoregione e l’altracon momento p2

µ diretta verso l’orizzonte di buco nero, per la conservazione del quadrimomento siha

pµ = p1µ + p2

µ ⇒ E = −pµkµ = −p1µkµ − p2

µkµ = E1 + E2

quindi E1 > E se E2 = −p2tgtt − p2

φgtφ < 0. Inoltre Penrose ha dimostrato che esistono geodeti-che timelike che la particella rimasta fuori dall’orizzonte puo percorrere per uscire dall’ergoregione,conservando la sua energia E1. Cio significa che l’energia −E2 = E1 − E puo essere effettivamenteestratta dal buco nero.

La richiesta che la particella che cade nel buco nero abbia velocita timelike e diretta nel futuro sitraduce in una disuguaglianza che limita l’efficienza di estrazione. Infatti il vettore di Killing tangenteai generatori dell’orizzonte e ξ = k+ ΩHm, con ΩH dato in (1.24), ed e lightlike sull’orizzonte, perciosi deve avere

p2µξµ = p2

µ (kµ + ΩHmµ) = −E2 + ΩHL2 ≤ 0 ⇒ dJ := L2 ≤E2

ΩH=:

dM

ΩH(3.22)

9Cioe avente componente temporale del vettore tangente positiva

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3. La meccanica dei buchi neri 36

dove dM e dJ sono le variazioni di energia e momento angolare totale del buco nero. Quindi laparticella che cade verso l’orizzonte deve avere momento angolare L2 negativo, ovvero l’energia estrattasi traduce in una diminuzione del momento angolare del buco nero, limitata dalla (3.22).

Questa disequazione puo essere ottenuta differenziando la formula per l’area dell’orizzonte (1.16),con Q = 0 e a = J/M , e imponendo che tale differenziale sia non negativo

dA =8πJ√M4 − J2

(2M√M4 − J2 + 2M3

JdM − dJ

)=

8πJ√M4 − J2

(dM

ΩH− dJ

)≥ 0 (3.23)

che e soddisfata se e solo se

dJ ≤ dM

ΩH

cioe nel processo di estrazione, in cui lo stato di equilibrio del buco nero passa da (M,J) a (M + dM,J + dJ),l’area dell’orizzonte non puo diminuire. Si ritrova quindi la seconda legge.

Riarrangiando i termini in (3.23) e usando la (1.25) con Q = 0 si ottiene

dM =1

√M4 − J2

2M(M2 +

√M4 − J2

)dA+ ΩHdJ =κ

8πdA+ ΩHdJ (3.24)

che e la (3.17) nel caso particolare del buco nero di Kerr. Quindi, come era prevedibile, nel processodi estrazione di energia da un buco nero le leggi della meccanica devono essere rispettate. Inoltredalla (3.24) e chiaro che, essendo dM e dJ negativi e dA positivo per la seconda legge, la massimaefficienza del processo si ottiene quando dM = dJ , cioe quando A rimane costante.

Poiche l’area dell’orizzonte di un buco nero rotante non puo diminuire nel processo di Penrose,si puo pensare di definire a partire da questa una quantita legata alla massa totale che rappresentil’energia che non puo essere estratta. Questa viene detta massa irriducibile del buco nero e vale

Mirr =

√A

16π=

1√2

(M2 +

√M4 − J2

) 12

(3.25)

dove il fattore 1/16π fa in modo che Mirr = M quando il buco nero e statico10. Nel caso di un buconero di Kerr in cui M2 = a2, cioe si ha il massimo momento angolare consentito11, dalla (3.25) segueche si puo estrarre al massimo circa il 29% dell’energia che questo contiene, infatti

Emax = M −Mirr =

(1− 1√

2

)M ≈ 0.29M

che e esattamente la stessa efficienza massima per la conversione di massa in energia che si trova nelprocesso di fusione di due buchi neri, come e chiaro dalla (3.20).

Si noti che un processo di estrazione analogo puo essere ottenuto “lanciando” in un buco nerocarico non rotante particelle di carica opposta rispetto a quella del buco nero e si ottiene anchein quel caso che l’efficienza massima nell’estrarre energia si ha quando l’area dell’orizzonte rimaneinvariata.

10Non si puo estrarre energia da un buco nero statico isolato11Come accennato nel primo capitolo i buchi neri di Kerr rappresentano spazitempi fisici solo quando M2 > a2

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Capitolo 4

La termodinamica dei buchi neri

Nel precedente capitolo sono state messe in luce le forti analogie formali tra leggi della meccanica deibuchi neri e principi della termodinamica e si e visto che queste portano a identificare gravita super-ficiale e area dell’orizzonte di un buco nero rispettivamente con temperatura ed entropia. Rimangonotuttavia alcune inconsistenze in questa identificazione, come ad esempio il fatto che la temperaturaclassica di un buco nero e nulla e che l’entropia dovrebbe essere una grandezza adimensionale.

In questo capitolo si vedra che queste inconsistenze sono risolte grazie all’introduzione delle mec-canica quantistica sul background classico della Relativita Generale, in quello che e un primo passoverso una teoria quantistica della gravita, e grazie ad una generalizzazione del secondo principio dellatermodinamica, mostrando cosı che meccanica e termodinamica dei buchi neri sono solo un mododiverso di dire la stessa cosa. Per affrontare questi argomenti saranno necessarie alcune nozioni diteoria quantistica dei campi, le quali saranno precedute da una breve introduzione alla teoria classicadei campi. Verra poi dimostrato il fenomeno di produzione di particelle in prossimita di buchi neristatici e provata in modo definitivo la corrispondenza tra grativita superficiale e temperatura. Aseguire alcune considerazioni termodinamiche e la generalizzazione del secondo principio della ter-modinamica che include nell’entropia dell’universo quella dovuta ai buchi neri. Da ultimo verrannoaccennati alcuni problemi che nascono dall’utilizzo di una teoria incompleta della gravita quantistica.

4.1 Teoria dei campi classica

Il passaggio da una teoria classica che tratta un numero finito di gradi di liberta, come ad esempioun sistema di N particelle, a una teoria che descrive un numero infinito di gradi di liberta e che siaanche relativisticamente invariante, avviene rimpiazziando il set di coordinate qi(t) con una fun-zione, ovvero il campo, definita su tutto lo spaziotempo Φ(xµ), a valori scalari, vettoriali, spinorialio tensoriali. Due esempi familiari sono il campo elettromagnetico, che e vettoriale, o il campo gravi-tazionale, che e un tensore di rango 2, cioe la metrica dello spaziotempo. Le equazioni del moto diqueste teorie di campo, ovvero, rispettivamente, equazioni di Maxwell e di Einstein nei due esempiprecedenti, possono essere ottenute imponendo una variazione nulla dell’azione

S[Φ] =

∫M

d4x√|g| L (Φ, ∂µΦ) (4.1)

dove M e lo spaziotempo, che sara d’ora in poi assunto globalmente iperbolico, g il determinantemetrico e L la densita lagrangiana, che nei due casi precendenti e data dalla lagrangiana di Maxwellper il campo elettromagnetico, ovvero

Lem = − 1

16πFµνF

µν +AµJµ = − 1

16πηρλFµνFρλ +AµJ

µ (4.2)

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4. La termodinamica dei buchi neri 38

con ηρλ la metrica di Minkowski, Fµν il tensore di Faraday, Aµ il quadripotenziale, Jµ la quadricor-rente, e dalla lagrangiana di Einstein-Hilbert per il campo gravitazionale, ovvero

Lg =

(1

16πR− Lm

)=

(1

16πgµνgρλRνλµν − Lm

)(4.3)

dove R e lo scalare di Ricci e Lm un termine di sorgente la cui variazione e definita come il tensoredi energia-momento. Vi e un’importante differenza tra queste due azioni, la prima descrive il campoelettromagnetico in uno spaziotempo piatto, per cui

√|g| = 1, mentre la seconda in un spaziotempo

curvo, o meglio descrive proprio il campo che curva lo spazio. A livello formale questa differenza risiedenei diversi tensori metrici usati per alzare gli indici, metrica piatta nella prima e curva nella seconda.Volendo trattare il campo elettromagnetico in un spaziotempo curvo e quindi naturale generalizzarela (4.2), sostituendo ηµν con gµν e rimpiazziando tutte le derivate ordinarie ∂µ con derivate covarianti∇µ, e usarla come termine di sorgente Lm in (4.3). In questo modo si ha una perfetta teoria di campoclassica in uno spaziotempo curvo. In effetti il buco nero di Reissner-Nordstrom e uno dei risultati diquesta teoria.

Le equazioni di Eulero-Lagrange che si ottengono dal funzionale in (4.1) sono

∂L∂Φ−∇µ

(∂L

∂ (∇µΦ)

)= 0 (4.4)

Nel resto del capitolo saranno considerati esclusivamente campi scalari reali, la cui densita lagrangianain uno spaziotempo curvo e

L (Φ, ∂µΦ) = −1

2gµν(∇µΦ)(∇νΦ)− V (Φ) con V (Φ) =

1

2m2Φ2

dove il parametro m e detto massa del campo. Usando questo termine come sorgente in (4.3) si otten-gono le equazioni di Einstein con tensore di energia-momento di un campo scalare, la cui equazionedel moto e quella di Klein-Gordon e si ricava facilmente da (4.4). Questa risulta

gµν∇µ∇νΦ = m2Φ (4.5)

Nel caso piatto la soluzione generale di questa equazione puo essere espressa come sovrapposizionedelle onde piane, detti modi del campo,

fk(xµ) = Nkeikµxµ = Nke

−iωt+ik·x ω2 = k2 +m2 (4.6)

dove xµ = (t,x) sono le coordinate del Minkowski in qualche sistema inerziale e Nk e una opportunacostante di normalizzazione che si ottiene imponendo che le fk siano ortonormali rispetto al prodottointerno1 di cui lo spazio delle soluzioni di (4.5) e naturalmente dotato, cioe(

f , g)

:= i

∫Σ

dΣµ

(f ∂µg − g ∂µf

)(4.7)

dove Σ e un’ipersuperficie di Cauchy spacelike dello spaziotempo, da cui questo prodotto interno eindipendente, in quanto, prendendo Σ1 e Σ2 tali da formare il bordo di una regione R di spaziotempo,si ha (

f , g)

Σ1−(f , g

)Σ2

= i

∫∂R

dΣµ

(f ∂µg − g ∂µf

)= i

∫R

d4x ∂µ(f ∂µg − g ∂µf

)=

i

∫R

d4x(f ∂µ∂

µg − g ∂µ∂µf)

= i

∫R

d4x(f m2g − gm2f

)= 0

1Si verifica facilmente che e sesquilineare e simmetrico sotto coniugazione complessa

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4. La termodinamica dei buchi neri 39

avendo usato il teorema di Stokes (1.35) e la (4.5) nel caso piatto, si osservi tuttavia che una dimo-strazione identica porta alla stessa conclusione in uno spaziotempo curvo.Ponendo Nk = (2π)−3/2(2ω)−1/2 si verifica facilmente che(

fk1 , fk2

)= δ(3)(k1 − k2)

(fk1 , fk2

)= 0

(fk1

, fk2

)= −δ(3)(k1 − k2) (4.8)

dove il segno negativo all’ultimo termine e dovuto al fatto che questo prodotto interno non e definitopositivo, in quanto

(f , f

)= −

(f , f

).

In questa base di onde piane il campo Φ, essendo reale, puo essere scritto come

Φ =

∫R3

d3k[(fk , Φ

)fk −

(fk , Φ

)fk]

=

∫R3

d3k(akfk + akfk

)(4.9)

Le fk e fk sono dette rispettivamente modi a frequenza positiva e negativa rispetto al tempo tdell’osservatore inerziale scelto, in quanto soddisfano

∂tfk = −iωfk ∂tfk = iωfk con ω > 0 (4.10)

4.2 Teoria dei campi quantistica

Dalla quantizzazione del campo di una teoria classica emergono le particelle, ovvero i quanti di talecampo. Ad esempio i fotoni sono i quanti del campo elettromagnetico, i bosoni a spin 0 quelli diun campo scalare che soddisfa la (4.5), i fermioni a spin 1/2 quelli di un campo spinoriale. Nel casopiatto questo processo di quantizzazione avviene promuovendo il campo Φ, che d’ora in poi sara quellosoluzione della (4.5), ad un operatore su uno spazio di Hilbert H, identificando i coefficienti ak e akin (4.9) con degli operatori che siano uno l’aggiunto dell’altro per ogni k, e imponendo le seguentirelazioni di commutazione tra Φ e il suo momento coniugato PΦ = ∂L/∂(∂tΦ) = ∂tΦ[

Φ(t,x) , Φ(t,x′)]

= 0[∂tΦ(t,x) , ∂tΦ(t,x′)

]= 0

[Φ(t,x) , ∂tΦ(t,x′)

]= i δ(3)(x− x′)

Usando l’espressione (4.6) per le fk si vede che queste relazioni implicano[ak , ak′

]= 0

[a†k , a

†k′]

= 0[ak , a

†k′]

= δ(3)(k− k′) (4.11)

e cio permette di identificare gli ak e a†k come operatori di creazione e distruzione, fissati i quali restadeterminata una base di H, costituita dagli autostati simultanei degli operatori numero

Nk|ϕ〉 := aka†k|ϕ〉 = nk|ϕ〉 (4.12)

In questa base gioca un fuolo fondamentale lo stato di vuoto, ovvero quello che soddisfa

Nk|0〉 = 0 ⇔ ak|0〉 = 0 per ogni k (4.13)

da esso infatti si costruisce la cosiddetta base di Fock utilizzando gli operatori di creazione|0〉, a†k1

|0〉, a†k2|0〉, . . . a†k1

a†k2|0〉, a†k1

a†k3|0〉 . . .

(4.14)

Gli stati di questa base sono autostati dell’energia, infatti si puo vedere che, usando la (4.6) e lerelazioni di commutazione (4.11), l’operatore Hamiltoniano risulta sovrapposizione degli Nk

H =

∫R3

d3x [PΦ∂tΦ− L (Φ, ∂µΦ)] =1

2

∫R3

d3x[(∂tΦ)2 + (∂iΦ)

(∂iΦ

)+m2Φ2

]=

=1

2

∫R3

d3k[a†kak + aka

†k

]ω =

∫R3

d3k

[Nk +

1

2δ(3)(0)

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4. La termodinamica dei buchi neri 40

In questa equazione il termine infinito sotto integrale rappresenta l’energia del vuoto e puo esseretrattato con tecniche di rinormalizzazione, che non saranno discusse in questa sede.

A questo punto si puo comprendere il modo in cui le particelle emergono da una teoria di campoquantistica: gli autostati dell’energia in (4.14) sono collezioni di particelle di definito impulso k,

che possono essere create o distrutte dagli operatori a†k e ak, e lo spazio di Fock attraverso cui sirappresenta H contiene stati con un numero variabile di particelle, che puo essere definito come

Nϕ = 〈ϕ|Ntot|ϕ〉 :=

∫R3

d3k 〈ϕ|Nk|ϕ〉 (4.15)

lo stato di vuoto e quello di energia minima e non contiene particelle. Il parametro m in (4.5) puocosı essere interpretato come la massa di un quanto di campo.Grazie all’invarianza per trasformazioni di Lorentz dello spaziotempo di Minkowski, diversi osservatoriinerziali misurano lo stesso numero di particelle, infatti le fk in (4.6) derivate rispetto al tempo t′ diun sistema inzerziale che si muove con velocita v rispetto a quello in cui e stata scritta la (4.9) sonotali che

∂t′fk = −iγ (ω − v · k)fk = −iω′fk dove γ =(1− v2

)− 12

poiche il boost e dato da

t = γ (t′ + v · x′) x = γ (x′ + vt) ⇒ ∂′t =∂t

∂t′∂t +

∂xi

∂t′∂i = γ ∂t + γ vi∂i

Quindi la (4.9) in questo sistema di riferimento portera a una diversa base di Fock in cui le parti-celle hanno un diverso momento nei vari stati della base diversi dal vuoto, ma rimarra invariata ladecomposizione in frequenze positive e negative poiche2

ω′ = γ (ω − v · k) ≥ ω(1− |v|) ⇒ ω′ > 0 se ω > 0

cosı come lo stato di vuoto, in quanto gli operatori di distruzione nella nuova base sono una combina-zione di soli operatori di distruzione nella vecchia base, e l’operatore Ntot che conta il numero totale diparticelle, giacche l’integrale in (4.15) si estende a tutti i k ∈ R3. Quindi diversi osservatori inerzialinel Minkowski saranno in disaccordo sul numero di particelle osservate con un fissato momento k, maconcorderanno sul loro numero totale e in particolare sulla loro assenza.

In uno spaziotempo curvo questo procedimento, portato avanti con le solite sostituzioni ∂µ → ∇µe ηµν → gµν , presenta il primo problema nel momento in cui si cerca un parametro di derivazionecon cui imporre le (4.10) su un insieme completo3 di soluzioni della (4.5). Infatti uno spaziotempogenerico non ammette un sistema di riferimento privilegiato il cui tempo proprio possa essere usato atale scopo e non e invariante per trasformazioni di Lorentz, quindi lo stato di vuoto di un osservatoreinerziale potrebbe essere differente da quello di un altro; questo fenomeno e interpretato fisicamentecome creazione di particelle. In spazitempi stazionari una scelta naturale per osservatori che seguonole orbite del vettore di Killing timelike k e quella di selezionare i modi a frequenza positiva, e quindila base su cui sviluppare il campo come in (4.9), come autovettori di k rispetto al prodotto interno(4.7). Infatti questo vettore di Killing, visto come operatore sullo spazio S delle soluzioni di (4.5), eun endomorfismo, poiche se ∇µ∇µf = m2f , usando ∇µkν = −∇νkµ e (1.9), si ha

∇µ∇µkν∂νf = ∇µ∇µkν∇νf = (∇µ∇µkν)∇νf + 2 (∇µkν)∇µ∇νf + kν∇µ∇µ∇νf =

= −Rνµkµ∇νf + kν∇ν∇µ∇µf + kνRµρµν∇ρf = kν∇ν∇µ∇µf = m2kν∇νf = m2kν∂νf

ed e antihermitiano, ovvero(f , kg

)= −

(kf , g

), come si puo vedere usando ∇µkν = −∇νkµ e

il teorema di Stokes trascurando il termine di bordo. Quindi puo essere diagonalizzato su S con

2Si ricordi che nelle unita di misura utilizzate |v| < c = 1, dove c e la velocita della luce3Le funzioni di questo insieme verranno temporaneamente etichettate da un indice i rispetto al vettore d’onda k del

caso piatto. Si tenga presente che questo indice puo essere continuo e vettoriale

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4. La termodinamica dei buchi neri 41

autolavori puramente immaginari e gli autovettori fi relativi ad autovalori diversi saranno ortogonali.Scegliendo questi, normalizzati come in (4.8), in modo tale che

kµ∂µfi = −iωifi con ωi > 0

si fissa una base di modi a frequenza positiva, e quindi uno stato di vuoto, per gli osservatori cheseguono le orbite di k. In tale base ognuno di questi osservatori vedra lo stesso numero di particellein un fissato stato. Cio non impedisce che osservatori che non seguono queste orbite possano vedereparticelle nello stato di vuoto di questa base. E chiaro quindi che nella quantizzazione di un campo suuno spazio tempo curvo bisogna rinunciare al concetto di particella, che assume un significato relativoall’osservatore e alla conseguente scelta della base di frequenze positive su cui sviluppare il campo. Siconsiderino ad esempio due diverse scomposizioni del campo Φ relative a basi diverse fi e gj diS, le cui componenti sono etichettate rispettivamente dalle variabili (discrete o continue) i e j, ovvero

Φ =

∫di(aifi + a†if i

)=

∫dj(bjgj + b†jgj

)(4.16)

dove di e dj sono due opportune misure di integrazione. Entrambe le basi soddisfano la condizionedi normalizzazione (4.8) e gli operatori di creazione e distruzione le relazioni di commutazione (4.11)con i e j al posto di k. Il cambio di base e detto trasformazione di Bogoliubov e si puo scrivere come

gj =

∫di(Ajifi +Bjif i

)(4.17)

I coefficienti Aji e Bji devono soddisfare delle precise relazioni affinche la condizione di normalizzazionesulle gj sia rispettata. Dalla ortonormalita delle fi si ha infatti

(gj , gj′

)=

∫di

∫di′(AjiAj′i′ −BjiBj′i′

)δ(i− i′) =

∫di(AjiAj′i −BjiBj′i

)= δ(j − j′) (4.18)

e allo stesso modo si ottiene(gj , gj′

)=

∫di(AjiBj′i −BjiAj′i

)= 0 ⇔

∫di(AjiBj′i −BjiAj′i

)= 0

quindi questo cambio di base e una trasformazione unitaria solo se B = 0. Le stesse condizioni suicoefficienti di Bogoliubov si trovano imponendo che bj e b†j commutino nel modo giusto partendo dai

commutatori di ai e a†i . Da (4.16) e (4.17) si trovano le relazioni che legano operatori di creazione edistruzione nelle due basi, si ha

Φ =

∫di

∫dj[(Ajibj +Bjib

†j

)fi +

(Bjibj +Ajib

†j

)f i

]=

∫di(aifi + a†if i

)da cui

ai =

∫dj(Ajibj +Bjib

†j

)a†i =

∫dj(Bjibj +Ajib

†j

)Come si puo verificare dalla (4.17) i coefficienti di Bogoliubov della trasformazione inversa sono(

A−1)ij

= Aji(B−1

)ij

= −Bji (4.19)

quindi bj e b†j si scrivono in termini di ai e a†i come

bj =

∫di(Ajiai −Bjia

†i

)b†j =

∫di(−Bjiai +Ajia

†i

)

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4. La termodinamica dei buchi neri 42

Da questa relazione si puo calcolare il numero di particelle di modo j misurate da un osservatore conmodi gj nel vuoto |0f 〉 di un osservatore con modi fi, ovvero lo stato che soddisfa (4.13). Questo e

〈0f |Nj |0f 〉 = 〈0f |b†jbj |0f 〉 =

∫di

∫di′ 〈0f |

(−Bjiai +Ajia

†i

)(Aji′ai′ −Bji′a

†i′

)|0f 〉 =

=

∫di

∫di′BjiBji′〈0f |aia†i′ |0f 〉 =

∫di

∫di′BjiBji′δ(i− i′) =

∫di |Bji|2 (4.20)

Quindi i due osservatori vedono un diverso stato di vuoto se B 6= 0, cioe se i modi a frequenza positivadi uno contengono modi a frequenza negativa dell’altro, come si vede dalla (4.17). Inoltre dall’ultimaequazione e dalla (4.19) e chiaro che il fenomeno di produzione e perfettamente speculare: nel vuoto|0g〉 un osservatore con frequenze positive date dalle f vede lo stesso spettro di particelle in (4.20).

Si osservi infine che in uno spaziotempo non stazionario non e scontato che esistano delle soluzionidi (4.5) con frequenza definita, ovvero che abbiano una dipendenza dal tempo proprio fattorizzata inqualche sistema di coordinate: puo quindi non avere senso parlare di particelle nemmeno una voltache si sia fissato il sistema di riferimento.

Con queste premesse la teoria semiclassica appena delineata puo essere portata avanti fino a darerisultati sorprendenti, alcuni dei quali mettono in luce l’equivalenza tra meccanica e termodinamicadei buchi neri. Vale la pena notare che questa teoria della gravita quantistica e un’approssimazionevalida entro gli stessi limiti di validita della Relativita Generale, ovvero quando il raggio di curvaturadelle regioni di spaziotempo considerate e molto maggiore della lunghezza di Planck4.

4.3 Effetto Hawking

In questo paragrafo verra dimostrato che un buco nero statico di Schwarzschild, derivante dal collassogravitazionale sfericamente simmetrico di una stella, emette radiazione che si propaga all’infinitospaziale, non solo durante il collasso, ma anche quando l’equilibrio e raggiunto. Questa radiazionerisulta avere spettro continuo, la cui distribuzione e quella di Planck per un corpo nero all’equilibriotermico con l’ambiente.

Nel paragrafo precedente si e visto che, preso un campo scalare quantistico Φ in uno spaziotempocurvo, lo stato di vuoto dipende dalla scelta della base di soluzioni della (4.5) su cui si decompone ilcampo e che tale scelta puo essere fatta imponendo che i modi del campo siano a frequenza positivarispetto al tempo proprio di un osservatore privilegiato, che in uno spaziotempo stazionario e fornitodal vettore timelike all’infinito spaziale. Si consideri dunque uno spaziotempo composto di tre regioniM = M− ∪M0 ∪M+ tali che M− e M+ siano stazionarie, asintoticamente piatte e si estendanorispettivamente fino all’infinito temporale passato e futuro, mentreM0 sia non stazionaria e limitatanel tempo. Un siffatto spaziotempo potrebbe essere quello che descrive un collasso gravitazionale.Per i modi del campo a frequenza positiva in M− si potrebbe avere una decomposizione in terminidi quelli di M+ del tipo (4.17) in cui B 6= 0 e quindi osservare un flusso non nullo di particellein M+ partendo da uno stato di vuoto in M−. Ci si potrebbe aspettare che, anche se presente,questo fenomeno di produzione di particelle sia temporaneo, dipenda dalle caratteristiche del collassoe svanisca all’equilibrio. Tuttavia, se il risultato del collasso e un buco nero, il tempo proprio diosservatori statici in prossimita dell’orizzonte degli eventi e infinitamente dilatato rispetto a quellodi osservatori all’infinito spaziale5, quindi eventuali particelle prodotte in prossimita del buco neropotrebbero impiegare un tempo arbitrariamente grande per raggiungere l’infinito, dove si potrebbeavere un flusso indipendente dalle caratteristiche del collasso.

Si consideri ora un campo scalare soluzione di (4.5) com m = 0 nella geometria di Schwarzschild.

4Definita come√

~G/c3 = 1, 62 · 10−35 m5Per esempio dalla (1.14) con a = Q = 0 si ha che il tempo proprio di osservatori statici a r =∞ e dt, mentre a una

distanza r e dτ =√−ds2 =

√1− 2M/r dt→∞ per r → 2M

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4. La termodinamica dei buchi neri 43

In questo caso M− rappresenta la regione in cui la stella e all’equilibrio prima del collasso e in cuinon e presente un orizzonte di buco nero, M0 la regione di spaziotempo in cui avviene il collasso eM+ quella in cui il collasso e terminato e il buco nero formatosi e all’equilibrio. La (4.5) con m = 0per una metrica della forma (1.14) con a = Q = 0 risulta

∇µ∇µΦ =

[−(

1− 2M

r

)−1 ∂2

∂t2+

(1− 2M

r

)∂2

∂r2+

2(r −M)

r2

∂r+L2

r2

]Φ(t, r, θ, φ) = 0 (4.21)

dove L2 e l’operatore differenziale del modulo al quadrato del momento angolare, le cui autofunzionisono le armoniche sferiche Yl,m

L2Ylm =

(∂2

∂θ2+ cot θ

∂θ+

∂2

∂φ2

)Ylm(θ, φ) = −l(l + 1)Ylm(θ, φ)

Poiche nella (4.21) non sono presenti derivate miste una soluzione particolare e fattorizzabile, comeera prevedibile dall’invarianza per traslazioni temporali e dalla simmetria sferica dello spaziotempo

Φωlm(t, r, θ, φ) = e−iωtRωl(r)Ylm(θ, φ) (4.22)

Sostituendo questa espressione in (4.21) si ottiene l’equazione per la parte radiale Rωl, che con ilcambio di variabile

r∗ = r + 2M log

∣∣∣∣ r2M− 1

∣∣∣∣e ponendo Rωl(r

∗) = r(r∗)Rωl (r(r∗)), dove r(r∗) definito implicitamente dalla precedente equazione,

diventa∂2Rωl∂r∗2

+

[ω2 −

(1− 2M

r

)(l(l + 1)

r2+

2M

r3

)]Rωl = 0

Da questa equazione si vede l’andamento asintotico della parte radiale, infatti per r →∞ si ha(∂2

∂r∗2+ ω2

)Rωl = 0 ⇒ Rωl ∼ C1e

−iωr∗ + C2eiωr∗

Prendendo C1 = 0 e C2 = 0 si ottengono le due soluzioni asintotiche indipendenti di (4.21)

fωlm(v, θ, φ) =Nω

re−iωvYlm(θ, φ) gωlm(u, θ, φ) =

re−iωuYlm(θ, φ) (4.23)

avendo definito le coordinate nulle entranti e uscenti rispettivamente v := t+ r∗ e u := t− r∗. Questenon sono altro che i tempi propri di geodetiche nulle che vanno dall’infinito passato nullo F− alcentro della stella in collasso o alla singolarita al centro del buco nero (se questo si e formato) e dalcentro della stella, prima della formazione dell’orizzonte, all’infinito futuro nullo F+. Infatti in questecoordinate la metrica di Schwarzschild ha la forma

ds2 = −(

1− 2M

r

)dudv + r2

(dθ2 + sin2 θ dφ2

)quindi su curve radiali che seguono v o u si ha ds = 0. Inoltre le ipersuperifici v = cost e u = cost,rispettivamente con vettori normali ∂u e ∂v, sono famiglie di ipersuperfici nulle, come si puo facilmenteverificare usando la (1.1). Di queste famiglie fanno parte F−, che si ottiene quando u = −∞, e F+,che si ottiene quando v = ∞. Da cio si vede che le soluzioni f e g in (4.23) sono i modi a frequenzapositiva per i generatori nulli6 ∂v e ∂u di F− e F+, nonche per gli osservatori all’infinito spaziale che

6Si puo facilmente verificare che u e v sono parametri affini sulle geodetiche agli infiniti nulli

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4. La termodinamica dei buchi neri 44

seguono le orbite di ∂t. Per calcolare la costante di normalizzazione Nω bisogna quindi imporre lecondizioni di ortonormalita(

fωlm , fω′l′m′)∣∣F− = δ(ω − ω′)δll′δmm′

(gωlm , gω′l′m′

)∣∣F+ = δ(ω − ω′)δll′δmm′

da cui si ottiene, sfruttando il fatto che le armoniche sferiche sono ortonormali, Nω = (4πω)−1/2.Poiche F− e una superficie di Cauchy per lo spaziotempo del collasso, la seconda delle relazioni appenascritte assicura che le fωlm sono un insieme completo di soluzioni di (4.21) all’infinito passato nullo equindi si puo sviluppare il campo Φ come

Φ =∑lm

∫ ∞0

dω(aωlmfωlm + a†ωlmfωlm

)su F−

Le gωlm invece non sono un insieme completo, in quanto per avere una superficie di Cauchy all’infinitofuturo bisogna prendere l’insieme H+ ∪ F+, e dunque lo sviluppo del campo in questo caso si scrive

Φ =∑lm

∫ ∞0

dω(bωlmgωlm + b†ωlmgωlm + cωlmhωlm + c†ωlmhωlm

)su F+ ∪H+

dove le hωlm sono un insieme completo di soluzioni ortonormali su H+. In realta, siccome l’interessedi questa analisi e il flusso di particelle all’infinito, si puo mostrare7 che la scelta di queste funzioninon influisce sul risultato finale. Inoltre, in forza della simmetria sferica dello spaziotempo durantel’intero collasso, le componenti l e m dei modi che si propagano da F− a F+ rimangono invariate.Sara pertanto necessario trovare soltanto i coefficienti di Bogoliubov Aωω′ e Bωω′ che soddisfano

gω =

∫ ∞0

dω′(Aωω′fω′ +Bωω′fω′

)(4.24)

per poter calcolare, tramite la (4.20), il valor medio del numero di particelle di modo ω su F+

partendo da uno stato di vuoto su F−. Le componenti angolari verranno d’ora in poi omesse. Sipresti attenzione al fatto che in questa equazione le espressioni in (4.23) per le fω e gω sono validesu F− e F+ separatamente, nel senso che una soluzione della forma e−iωu su F+ non e detto chesia della forma e−iωv su F−. Per conoscere l’espressione delle fω sull’intero spaziotempo si dovrebberisolvere la (4.21) ovunque. Tuttavia, poiche si vuole arrivare soltanto all’espressione asintotica deicoefficienti Bωω′ per t → ∞ (cioe quando il buco nero ha raggiunto l’equilibrio) ci si puo ridurre aconsiderare il raccordo delle fω con le gω solo su una regione di spaziotempo che copra le vicinanzedell’orizzonte del buco nero quando questo si e formato, poiche un eventuale flusso non nullo diradiazione all’infinito quando il collasso e terminato deve derivare da particelle prodotte vicino adH+ per quanto detto all’inizio del paragrafo. Questi modi possono essere trattati come raggi che sipropagano lungo geodetiche nulle uscenti da F− con v = v fino al centro della stella e lungo geodetichenulle u = h(v) dal centro della stella a F+. Tale approssimazione e giustificata dal fatto che, come sivedra fra poco, la fase delle gω oscilla molto rapidamente vicino ad H+. Si avra allora

gω|F+ =1√4πω

e−iωu gω|F− =1√4πω

e−iωh(v)

Per determinare la relazione tra v e u si consideri quindi un raggio γ con u = u fissato che propagaall’indietro nel tempo da F+, parallelamente all’orizzonte del buco nero. La sua distanza da H+ puoessere espressa in termini di un intervallo di lunghezza ε del parametro affine di una geodetica nullaentrante nel buco nero individuata da v = cost e con vettore tangente n normalizzato in modo taleche lµn

µ = −1, dove l e un generatore di H+. Come si puo trovare imponendo che per n = (∂u/∂λ)∂u

7Si veda [12]

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4. La termodinamica dei buchi neri 45

si abbia ∇n n = 0, un parametro affine per questa geodetica vicino a H+, scelto in modo tale chevalga 0 su H+, dove u =∞, e che sia negativo sul punto in cui passa γ, risulta essere

λ = −Ce−κu

dove C e una costante fissata dalla normalizzazione che non influisce sul risultato finale per lo spettrodi emissione e sara quindi posta uguale a 1, e κ = 1/4M la gravita superficiale del buco nero diSchwarzschild. Per quanto detto il vettore −εn punta radialmente da H+ a γ e dalla precedenteequazione si legge la relazione tra ε e u = h(v), ovvero

λ = −ε = −e−κu ⇒ u = −1

κlog ε (4.25)

quindi le gω vicino ad H+ si possono scrivere come

gω = exp

(iω

κlog ε

)e queste funzioni oscillano molto rapidamente per ε→ 0, come si era anticipato. A questo punto si puotrasportare parallelamente n lungo l fi-no al centro dello stella e dal centro del-la stella a F− lungo la geodetica nullav = v0, la quale rappresenta l’ultimo rag-gio che partendo dall’infinito passato nul-lo raggiunge F+; per v > v0 i modi pro-paganti da F− finiscono nella regione dibuco nero e quindi gω(v) = 0 se v > v0

su F−. Per maggiore chiarezza si veda ilgrafico a lato: questo rappresenta il dia-gramma conforme dello spaziotempo nonfisico, ovvero quello in cui i punti all’in-finito vengono portati al finito con unatrasformazione conforme. Le coordinateangolari sono soppresse e ogni punto delgrafico e un 2-sfera il cui raggio crescemuovendosi verso l’infinito spaziale. Laregione colorata in grigio e coperta dal-la materia stellare e il buco nero si formaquando la worldline della superficie del-la stella oltrepassa il raggio di Schwarz-schild. L’orizzonte degli eventi e la lineache parte dal punto p e arriva a i+. Neltrasporto parallelo lungo v = v0 il vettore−εn continua a puntare la curva γ che,propagando verso F−, e ora individuatada v = v. Poiche non c’e nessun orizzon-te degli eventi nel passato, il vettore n esemplicemente ∂v e la distanza affine dav0 a γ, usando la (4.25), sara

i0

i−

i+

v=∞

F+

u=−∞

v=v0

F−

H+

u=∞U

=0

r = 0

r = 0

l

−εn

l

−εn

worldline della superficie della stella

γ

v

u

p

v

u

v − v0 = −ε = −e−κu ⇒ u = h(v) = −1

κlog(v0 − v)

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4. La termodinamica dei buchi neri 46

In conclusione l’andamento dei modi positivi dell’infinito futuro nullo su F− e

gω|F− =

1√4πω

exp

(iω

κlog(v0 − v)

)v < v0

0 v > v0

A questo punto si puo facilmente arrivare ai coefficienti di Bogoliubov scrivendo le gω nella precendenteequazione come in (4.24). Sfruttando la forma (4.23) delle fω su F−, si ha infatti

gω(v) =

∫ +∞

−∞dω′

e−ivω′

√2π

Fgω(ω′) =

∫ ∞0

dω′

(e−ivω

√2π

Fgω(ω′) +eivω

√2π

Fgω(−ω′))

=

=

∫ ∞0

dω′√

2ω′(fω′(v) Fgω(ω′) + fω′(v) Fgω(−ω′)

)=

∫ ∞0

dω′(Aωω′fω′(v) +Bωω′ fω′(v)

)dove Fgω e la trasformata di Fourier di gω. Per confronto si ottiene quindi

Aωω′ =√

2ω′Fgω(ω′) =

√ω′

ω

1

∫ v0

−∞dv exp

(iω′v +

κlog(v0 − v)

)(4.26)

Bωω′ =√

2ω′Fgω(−ω′) =

√ω′

ω

1

∫ v0

−∞dv exp

(−iω′v +

κlog(v0 − v)

)(4.27)

Si trova poi una relazione tra Aωω′ e Bωω′ grazie alla seguente

Proposizione 4.1. Sia

G(ω′) =

∫ 0

−∞dv exp

(iω′v +

κlog(−v)

)allora se per ogni ω′ > 0 si ha

G(−ω′) = −e−πω/κG(ω′) (4.28)

Dimostrazione. Si consideri la funzione di variabile complessa

F (z) = exp

(−ω′z +

κlog z

)Scegliendo il taglio di log z sul semiasse reale negativo (−∞, 0), la funzione f e olomorfa sul semipiano

D = z ∈ C | Re z ≥ 0

Si prenda quindi il cammino chiuso CR = C1R ∪ C2

R ⊂ D, con C1R e C2

R parametrizzati da

C1R(x) = −ix , x ∈ [−R,R ] C2

R(θ) = Reiθ , θ ∈[−π

2,π

2

]Poiche f e olomorfa su D e CR ⊂ D per ogni R si ha∮

CR

dz F (z) =

∫C1R

dz F (z) +

∫C2R

dz F (z) = 0

Del resto si puo facilmente verificare8 che, se ω′ > 0, quando R → ∞ il secondo termine nellaprecedente equazione si annulla. Si ha quindi

0 = limR→∞

∫C1R

dz F (z) = −i∫ +∞

−∞dx exp

(iω′x+

κlog(−ix)

)=

8Per esempio applicando il teorema della convergenza dominata che consente il passaggio al limite sotto il segno diintegrale dopo aver trovato una maggiorante sommabile su [−π/2, π/2] dell’integranda

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4. La termodinamica dei buchi neri 47

= −i[ ∫ 0

−∞dx exp

(iω′x+

κlog(−ix)

)+

∫ 0

−∞dy exp

(i(−ω′)y +

κlog(iy)

)]=

= −i[

exp(−πω

)∫ 0

−∞dx exp

(iω′x+

κlog(−x)

)+ exp

(πω2κ

)∫ 0

−∞dy exp

(i(−ω′)y +

κlog(−y)

)]=

= −i exp(πω

) [exp

(−πωκ

)G(ω′) +G(−ω′)

]avendo spezzato l’integrale su C1

∞ e operato il cambio di variabile y = −x sul semiasse immaginariosuperiore. Dall’ultima equazione segue la tesi.

Usando (4.28) insieme a (4.26), (4.27) e a un cambio di variabile di integrazione si ha cosı

Bωω′ =

√ω′

ω

1

2πe−iω

′v0G(−ω′) = − exp(−πωκ− iω′v0

)√ω′

ω

1

2πG(ω′) = − exp

(−πωκ− i2ω′v0

)Aωω′

da cui si ottiene|Aωω′ | = eπω/κ|Bωω′ | (4.29)

Da questa relazione e possibile calcolare il valore di aspettazione del numero di particelle con frequenzaω osservato a F+ in uno stato di vuoto per F−. Questo valore e dato dalla (4.20) e puo essere ricavatosostituendo la (4.29) nella (4.18) con j = j′, ovvero ω′ = ω′′. Si ha∫ ∞

0dω′

(|Aωω′ |2 − |Bωω′ |2

)=(e2πω/κ − 1

)∫ ∞0

dω′|Bωω′ |2 =(e2πω/κ − 1

)N(ω) = δ(0) (4.30)

Il risultato infinito che si ottiene e dovuto al fatto che le gω sono normalizzate in senso improprio,essendo onde di ampiezza non nulla per ogni valore di u su F+. Fisicamente questo significa cheil numero di particelle calcolato rappresenta un’emissione che si protrae per un intervallo di tempoinfinito. Per ottenere un valore finito per N(ω) e necessario considerare dei pacchetti d’onda pω piccatiintorno ad un determinato u e normalizzati in senso proprio, cioe(

pω , pω′)

= δωω′

Si puo vedere che la (4.30) continua a valere per i pacchetti pω con la differenza che la δ(0) vienesostituita da una δωω = 1 e in questo caso tale equazione fornisce il tasso di emissione di particellead un tempo fissato. Inoltre poiche occorre considerare che parte del pacchetto che si propaga daF− viene riflesso dalla superficie della stella senza raggiungere la retta verticale r = 0 sul grafico eraggiunge F+ con la stessa frequenza, non contribuendo quindi al fenomeno di produzione, la (4.30)diventa (

e2πω/κ − 1)N(ω) = Γ(ω) ⇒ N(ω) =

Γ(ω)

e2πω/κ − 1(4.31)

dove Γ(ω) e la frazione di pacchetto9 che non subisce la riflessione, ovvero il coefficiente di assorbimentodella stella durante il collasso. Si veda [12] per i dettagli. La (4.31) rappresenta il numero di particellecon frequenza ω viste da un osservatore all’infinito. Un’espressione esplicita per Γ(ω) e difficile daderivare. Tuttavia per Mω 1 si trova che Γ(ω) ≈ 1 e in questo caso la (4.31) coincide conla distribuzione di Planck per il numero di particelle emesse da un corpo nero alla temperatura diHawking

TH =κ

2π=

1

8πM(4.32)

Si osservi che per arrivare alla (4.31) si e supposto che la metrica dello spaziotempo rimangainvariata durante tutto il processo di emissione. Questa approssimazione e valida finche il tasso divariazione di massa del buco nero, dovuto all’emissione di particelle, si mantiene piccolo rispetto allamassa stessa. Come si vedra nel prossimo paragrafo questo e vero per buchi neri dell’ordine dellamassa del sole.

9Matematicamente e la frazione di norma quadra del modo con frequenza ω, ovvero(gω , gω

)

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4. La termodinamica dei buchi neri 48

4.4 L’evaporazione di un buco nero

Nel precedente paragrafo si e seguita la derivazione originale della (4.31) data da Hawking in [12].Questa vale per bosoni a spin 0 e di massa nulla nella geometria di Schwarzschild. Tuttavia nellostesso articolo egli argomenta come tale equazione descriva correttamente anche l’emissione di bosoninon scalari, come fotoni e gravitoni. Inoltre dimostra che questa continua a valere, con piccole modi-fiche, lasciando cadere l’ipotesi di simmetria sferica e nel caso di un collasso di stelle rotanti o caricheche formino un buco nero di Kerr-Newman, e con la stessa relazione tra temperatura di equilibrio egravita superficiale data in (4.32). In particolare si scopre che un buco nero rotante tende a emettereparticelle che ruotano nella stessa direzione, cosı come un buco nero carico emette un maggior nu-mero di particelle con carica dello stesso segno. In altre parole questa radiazione porta un buco nerogenerico ad essere statico.

Il lavoro di Hawking e stato poi esteso a buchi neri circondati da materia e radiazione e la naturatermica del processo di emissione, ovvero l’assenza di correlazione tra le particelle emesse, e stata am-piamente confermata a livello teorico. Degna di nota e una derivazione della temperatura di equilibriopartendo da una formulazione della teoria di campo quantistica in spazitempi curvi completamentediversa da quella introdotta precedentemente, basata sull’integrale di cammino euclideo10. Sperimen-talmente l’osservazione dell’effetto Hawking ha scarse speranze di successo in quanto, come si vededalla (4.32), la temperatura di equilibrio di un buco nero e inversamente proporzionale alla sua massa.Per un buco nero di una massa solare questa temperatura risulta essere circa 6 · 10−8 K, quindi il suospettro di Planck sarebbe completamente coperto da quello della radiazione cosmica di fondo, che sitrova a 2, 73 K. Un’altra conseguenza della (4.32) e che il calore specifico di un buco nero e negativo,infatti se si aumenta la massa di un buco nero questo si raffredda.

Emettendo particelle, un buco nero irraggia parte della sua massa in un processo che viene dettoevaporazione. Una conseguenza importante della (4.31) e che rende possibile stimare il tempo di vitadi un buco nero di massa fissata. Infatti questa implica, tramite la legge di Stefan-Boltzmann, che lapotenza emessa dalla superfecie di un buco nero statico e

− dM

dt= σTH

4AH =σ

32π3M2(4.33)

dove σ non e esattamente la costante che compare nel caso dell’emissione di fotoni da un corpo neroclassico, in quanto dipende dal numero di gradi di liberta della particella emessa e dal fatto che ilcoefficiente di assorbimento Γ(ω), presente in (4.31), non e pari a 1 per ogni ω. Dalla (4.33) si ricavail tempo di vita come

τ =

∫ 0

MdM

dt

dM= σ32π3M3

Per un buco nero di una massa solare, utilizzando un valore per σ dello stesso ordine della costanteclassica, si ottiene un tempo di circa 1071 secondi, cioe circa 53 ordini di grandezza maggiore dell’etadell’universo. Questo porta a concludere che e impossibile osservare la completa evaporazione di unbuco nero. Alla stessa conclusione si puo giungere dalla precedente stima della sua temperatura diequilibrio: essendo infatti la temperatura della CMBR molto maggiore di quella di un buco nero,questo assorbira complessivamente piu radiazione di quanta ne emetta, aumentando la propria massainvece di evaporare. Tuttavia potrebbero esistere buchi neri di massa molto piu piccola del sole, nonrappresentanti lo stadio finale di un collasso gravitazionale ma formatisi nell’universo primordiale,che potrebbero avere una temperatura maggiore di 2, 73 K. La loro massa si ridurrebbe nel temposcaldandoli sempre piu, come segue dalla (4.32), aumentando quindi l’energia della radiazione emessafino a farli evaporare completamente in un enorme esplosione. Pero se il buco nero riduce la sua massaanche la sua area deve diminuire, in apparente violazione della seconda legge. Questa incongruenza

10La temperatura di Hawking emerge in questo caso imponendo che lo spaziotempo euclideo, ottenuto con latrasformazione t→ iτ , non contenga singolarita coniche

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4. La termodinamica dei buchi neri 49

puo essere risolta se si pensa al processo di produzione come a un flusso negativo di energia attraverso lasuperficie del buco nero: un coppia di particelle con masse uguali in valore assoluto e di segno oppostoviene prodotta al di fuori dell’orizzonte degli eventi, quella con massa negativa viene risucchiata pereffetto tunnel dal buco nero, mentre l’altra fugge all’infinito. In questo caso il tensore di energia-momento non soddisfa la WEC ed e quindi permessa una violazione del teorema dell’area.

Si noti infine che vi e una affascinante differenza tra lo spettro di emissione in (4.31) e quello di uncorpo nero classico. Il primo e stato derivato in modo esatto, mentre il secondo e il risultato di unamedia statistica su tutti i possibili stati di una sistema termodinamico. Il problema di quali siano imicrostati di un buco nero e aperto a tuttoggi e verra brevemente discusso nell’ultimo paragrafo diquesto capitolo.

4.5 Secondo principio della termodinamica generalizzato

Alla luce della (4.32), la prima legge (3.17) si puo riscrivere come

dM = T d

(A

4

)+ ΩH dJ + ΦH dQ

Si trova cosı che il coefficiente di proporzionalita tra entropia e area dell’orizzonte di un buco nero,di cui si era accennato nel precedente capitolo, e pari a 1/4. Ripristinando le costanti del sistema dimisura tradizionale si ha (per un buco nero statico)

T =~c3

8πGMkB=

~κ2πkBc

S =kB c

3A

4G~=kBA

4 lP2 (4.34)

dove lP e la lunghezza di Planck, che rappresenta la costante che rende l’entropia adimensionale11.Che l’entropia di un buco nero fosse proporzionale all’area del suo orizzonte era gia intuibile sulla

base delle leggi delle meccanica dei buchi neri ed in effetti fu postulato da Bekenstein qualche annoprima che si scoprisse che un buco nero irraggia ad una certa temperatura. L’osservazione che spinseBekenstein a formulare il cosiddetto secondo principio della termodinamica generalizzato e moltosemplice: se un buco nero ha entropia nulla e si fa cadere in esso della materia l’entropia dell’universodiminuisce e il secondo principio della termodinamica e violato. Un buco nero deve quindi possedereun’entropia diversa da zero e il secondo principio va riformulato come

dStot = dSH + dSext ≥ 0

dove SH e l’entropia dei buchi neri e Sext quella dello spaziotempo esterno a questi. Al momento dellastesura del suo articolo [13], egli non dubitava del fatto che un buco nero, essendo un oggetto classico,avesse temperatura nulla, e la scoperta dell’effetto Hawking era stata anticipata soltanto dalle ideedi alcuni fisici russi12, che sostenevano l’emissione di particelle da parte di un buco nero rotante13,spinti da un’analogia con l’elettrodinamica. Bekenstein, dopo aver riconosciuto l’area di Planck comeil fattore che rende SH adimensionale, propose la relazione S = (log 2/8π)A, che si rivelo errata.

Dalla (4.34) si calcola che l’entropia di un buco nero di una massa solare e pari a circa 1078 kB.Questo numero e estremamente grande se si considera che l’entropia dell’universo visibile vale circail numero di particelle relativistiche che esso contiene, ovvero 1088 kB. Un buco nero di 106 massesolari, come quelli che si suppone esistano al centro di una galassia, avrebbe da solo un’entropia

11A meno di kB12Tra cui Zel’dovich e Starobinsky13L’emissione di radiazione da parte di un buco nero rotante non era del tutto inaspettata. Infatti si dimostra

classicamente un fenomeno chiamato superradianza, tramite il quale della radiazione incidente sul buco nero vieneamplificata in un certo range di frequenze. Paragonando la superradianza all’emissione stimolata in fisica atomica ci siaspetta quindi che esista un analogo per i buchi neri dell’emissione spontanea.

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4. La termodinamica dei buchi neri 50

maggiore di quella dell’intero universo. Questo fatto non costituisce un vero problema e puo esserespiegato sulla base di modelli cosmologici classici. Il vero problema e che classicamente l’entropia eassociata al numero di gradi di liberta di un sistema; per esempio l’entropia di un sistema che puotrovarsi in modo equiprobabile in N microstati e S = kB logN . Sorge quindi spontaneo chiedersiquali dovrebbero essere gli N = e1078 microstati di un buco nero (con la stessa massa del sole) sequesto e completamente caratterizzato da soli tre parametri.

4.6 Problemi aperti

La teoria semiclassica utilizzata nella derivazione del processo di radiazione di Hawking porta a con-cludere che un buco nero puo evaporare, ma la completa scomparsa del buco nero dallo spaziotempoe una previsione che non puo essere fatta sulla base di questa teoria. Infatti, quando il buco nero haridotto sufficientemente la propria massa, le forze mareali sono tanto intense14 e il raggio di curvaturadello spaziotempo tanto piccolo da superare i limiti di applicabilita della teoria dei campi quantisticain spazitempi curvi e da rendere necessario l’utilizzo di una teoria quantistica completa della gravita.

In effetti la totale evaporazione di un buco nero porterebbe al cosiddetto paradosso della perditadi informazione. Si supponga di avere due stelle cariche e rotanti, con caratteristiche molto diverse,che diventano, a seguito di un collasso gravitazionale, due buchi neri identici di massa M , momentoangolare J e carica Q. Se classicamente non vi e alcuna distinzione tra questi due buchi neri in forzadel teorema no-hair, si potrebbe comunque pensare che, in una teoria della gravita che completi quelladi Einstein, l’informazione riguardante le stelle prima del collasso sia rinchiusa oltre l’orizzonte deglieventi, magari localizzata vicino alla singolarita al centro della regione di buco nero, proprio dove laRelativita Generale fallisce. Se pero i due buchi neri evaporano completamente in due “nuvole” indi-stinguibili di radiazione, l’informazione sulle stelle sembra davvero essersi persa. Per questo si parladi perdita di unitarieta dell’evoluzione temporale: la quantita di informazione necessaria a descrive-re completamente il sistema prima dell’evaporazione e maggiore di quella necessaria a evaporazioneavvenuta. L’unitarieta dell’evoluzione temporale, principio basilare della meccanica quantistica chesi traduce nella conservazione della probabilita totale, potrebbe dunque essere violata dalla completaevaporazione di un buco nero.Esistono diversi approcci alla soluzione di questo paradosso che non contemplano l’assenza di unita-rieta: l’informazione potrebbe uscire dal buco nero gradualmente durante l’evaporazione o repentina-mente in un suo stadio finale (in questo caso quindi si avrebbe una evaporazione completa), potrebbeessere immagazzinata in un residuo stabile dell’evaporazione (che non sarebbe dunque completa) oin un altro universo oltre la singolarita. Ognuno di questi scenari, che sono solo alcuni tra quelliproposti, presenta difficolta nella realizzazione teorica per cui non si puo, a tutt’oggi, escludere concertezza una effettiva perdita di informazione nella realta fisica.

Un altro problema che emerge dalla natura termodinamica di un buco nero, gia accennato neiprecedenti paragrafi, e associare alla sua enorme entropia un numero adeguato di gradi di liberta. Perfarlo e necessario capire dove sono localizzati tali gradi di liberta, se all’interno, al di fuori oppuresopra l’orizzonte degli eventi. In alternativa si puo scegliere di rinunciare ad un’altra caratteristicafondante della meccanica quantistica, cioe la localita, secondo cui l’informazione puo essere pensatalocalizzata in qualche regione dello spazio. Un passo in questa direzione e stato fatto grazie al prin-cipio olografico, il quale afferma che il numero di gradi di liberta di una certa regione di spazio epoporzionale all’area del bordo della regione, e non al suo volume, come ci si aspetta in una teorialocale. Sebbene questo principio abbia riscontrato un certo successo, il problema dell’entropia di unbuco nero, cosı come quello della perdita di informazione, puo essere risolto solo da una teoria comple-ta della gravita quantistica, di cui non unitarieta e non localita potrebbero essere una caratteristicachiave.

14Si pensi al fatto che κ = 1/4M per un buco nero statico, quindi κ→∞ quando M → 0

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