LE NOMBRE : de la manipulation à la représentation du nombreM2 altUE7UPEC 2011 - 2012
Les premiers apprentissages numériques
•travail des deux aspects du nombre :
- apprentissage de la chaîne numérique (ordinal) pour dénombrer (cardinal)
- pour savoir dénombrer, il faut avoir assimilé la chaîne numérique, mais aussi le terme à terme, l'énumération, et comprendre le lien entre mot-nombre et quantité.
Les premiers apprentissages numériques :lien entre mot-nombre et quantité
Un enfant capable de compter jusqu'à 12 n'est pas pour autant forcément capable de dénombrer une collection de 12 objets
Pour cela il faut faire le lien entre le mot douze et la quantité 12, entre le geste (montrer chaque objet un par un) et la parole (un , deux, trois, … douze)
Un élève capable de compter jusqu'à 12 et de dénombrer une collection de 12 objets n'est pas pour autant forcément capable de comprendre l'écriture de 12 (dix et deux, 1 dizaine et 2 unités) et de la relier au mot douze…
Premiers apprentissages numériqueslien entre quantité, mot-nombre et écriture chiffrée
Apprendre à écrire le nombre
lier douze et 12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12
13
14
15
Apprendre à écrire le nombre
lier douze et 12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12
13
14
15
un
Apprendre à écrire le nombre
lier douze et 12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12
13
14
15
deux
Apprendre à écrire le nombre
lier douze et 12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12
13
14
15
trois
Apprendre à écrire le nombre
lier douze et 12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12
13
14
15
douze
Apprendre à écrire le nombre
lier douze et 12
12
?
Apprendre à écrire le nombre
lier douze et 12
?
douze
Les différentes représentations du nombre
• la représentation chiffrée n'est pas la première abordée par les élèves : en effet, elle ne repose pas sur la visualisation d'une quantité
- objets désordonnés- constellations- doigts- quantités organisées- chiffres- lettres
• on trouve aussi différentes représentations de l'aspect ordinal du nombre
Représentations et aspect cardinal
Groupement par 10
•il est à la base de notre numération décimale actuelle ainsi que de nombreuses numérations plus anciennes (l'homme a toujours eu 10 doigts !)
• il est nécessaire pour passer du dénombrement 1 par 1 à une procédure plus efficace pour les grandes quantités
• il donne du sens à l'écriture chiffrée des nombres au cycle 2
•groupement par 10, par 100
•Réseaux de points
Représentations et aspect cardinal
matériel pour grouper par 10
•Montessori
matériel pour grouper par 10
•boîte picbille
mise en évidence de propriétés du nombre
mise en évidence de propriétés du nombre
Représentations et aspect ordinal
1 2 3 4 5 6 7 8 9
file numérique
piste de jeu
Représentations et aspect ordinal
thermomètre
axe gradué
règle
•Le tableau des nombres :
Représentations et aspect ordinal
représentations du nombre
•la diversité des représentations rencontrées va donner du sens au nombre
•la représentation des quantités est de plus en plus organisée pour emmener les élèves vers la numération décimale qui repose sur le groupement par 10
•progressivement, on ne représente plus les quantités, mais les nombres : il faut donc apprendre la signification de l'écriture chiffrée
le passage à l'écriture du nombre•l'exemple de l'activité "bûchettes"dans une classe de CP/CE1, avec les CP
le nombre : oral/écrit
•Les élèves apprennent d'abord les mots pour dire les nombres, avant d'apprendre à les écrire : ils les connaissent donc "à l'oreille" sans pouvoir forcément les écrire
•le passage de l'oral à l'écrit n'est pas trivial et doit donc être travaillé
la numération décimale écrite
•elle repose sur 10 symboles, les chiffres de 0 à 9
•leur position dans le nombre joue un rôle•chaque rang représente 10 fois le rang
précédent•plus le nombre a de chiffres, plus il est
grand•la notation est régulière (il n'y a pas
d'exception)• le zéro : il sert à marquer l'absence d'un
rang
le nombre : oral/écrit
différences entre oral et écrit :•combien de mots pour dire les nombres
(jusqu'au milliard) ?quelles autres différences entre l'oral et
l'écrit ?- des exceptions (de 11 à 16, de 70 à 99)- taille d'un nombre : ne dépend pas du
nombre de mots- le zéro ne s'entend pas=> ces différences vont poser problème
aux élèves
travail du passage oral/écrit
Travail des régularitésTrouver le plus grand nombre ou le plus petit nombre possible à partir des 4 étiquettes
cent(s) trois vingt(s) quatre
Travail des exceptions
En lisant 235 523 150 312 combien de fois entend-on : cinq ? deux ? un ? cent ?
travail du passage oral/écrit
Tableau de numérationAbaque
travail du passage oral/écrit
travail du passage oral/écrit
des activités pour apprendre le nombre
des puzzlesquels critères utilise-t-on pour réussir les puzzles suivants ?
d'autres exemples de jeuxquels objectifs ?
dominos
pour analyser des activités
•déterminer la notion travaillée•déterminer le type de problème•déterminer les procédures possibles
afin de connaître le ou les objectifs d'apprentissage précis
- associer une quantité non organisée à la représentation chiffrée du nombre- il faut savoir dénombrer (ou reconnaître la quantité) et reconnaître la représentation chiffrée
- associer une quantité non organisée à la représentation chiffrée du nombre-il faut savoir dénombrer (ou reconnaître la quantité) et écrire la représentation chiffrée=> c'est donc plus difficile que l'activité précédente
- construire une collection équipotente à une collection donnée-on peut utiliser le terme à terme, ou reconnaître la quantité, ou dénombrer
- construire une collection à partir du mot-nombre- il faut savoir dénombrer (ou reconnaître la quantité et l'associer au mot-nombre)
- construire une collection à partir du nombre en chiffres- il faut savoir dénombrer et reconnaître l'écriture chiffrée
- comparer deux collections-on peut utiliser le terme à terme ou dénombrer
- dénombrer puis comparer
- on peut quand même utiliser le terme à terme, mais la consigne suggère un dénombrement
progressions
suite numérique dénombrement écriture et représentation
PS 5 3 objets
MS 10 à 15 6 constellations
GS 30 à 50 10 constellations, chiffres
CP 100 groupement par 10
chiffres
CE1 1 000 - chiffres
CE2 100 000 - chiffres
CM1 1 000 000 000 - chiffres
CM2 - chiffres
pour construire une séquence• si le type de problème est donné dans le sujet
(par exemple : comparer deux nombres ou quantités), la progression entre les séances se fera sur les procédures induites par les consignes et les contraintes de la situations (procédures de plus en plus expertes)
• si le sujet ne comporte pas de type de problème (par exemple : apprendre les nombres de 1000 à 10 000) alors la progression se fera en listant tous les types de problèmes à faire rencontrer aux élèves sur la notion visée
de la numération au calcul
appui sur la numération pour apprendre à calculer•le calcul s'appuie en partie sur les
propriétés des nombres, voire, dans un premier temps, sur des stratégies de dénombrement
•le travail du calcul suppose donc une connaissance préalable des nombres, mais renforce aussi cette connaissance
Un exemple de comptage pour ajouter
Julie a sept billes avant la partie. Durant la partie, elle gagne deux billes. Combien a t elle de billes après la partie ?
Dénombrement et calcul
Un exemple de comptage pour soustraire
Aline possède huit billes, elle en donne une à chacun de ses cinq amis. Combien de billes lui reste t il ?
7654321 8
54321
321
Dénombrement et calcul
Le surcomptage : procédure qui consiste à compter depuis un nombre N pour ajouter à N ou pour retrancher N.
Un exemple de surcomptage pour ajouter
Julie a sept billes avant la partie. Durant la partie, elle gagne deux billes. Combien a t elle de billes après la partie ?
99
8 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ou 7
8
Dénombrement et calcul
Le décomptage : procédure qui consiste à compter « à rebours » depuis un nombre N pour retrancher à N.
Un exemple de décomptage pour soustraire
Aline possède huit billes, elle en donne une à chacun de ses cinq amis. Combien de billes lui reste t il ?
6 45
8 73
Dénombrement et calcul
matériel de numération et calcul
•Réseaux de points : calcul du complément
Représentations et calcul
•Le tableau des nombres : un outil pour les calculs additifs
Représentations et calcul
•Addition ou soustraction avec l'axe gradué
Représentations et calcul
les techniques des opérations posées reposent, elles aussi, sur la numération