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1ère partieConnaissance des sols

M.S. 2 M.S. 2

Les contraintes dans le solLes contraintes dans le sol

M.S. 2Plan

I – Notion de contrainte.I – Notion de contrainte.

II – Expression des contraintes dans un sol.II – Expression des contraintes dans un sol. Sol indéfini à surface horizontale ;Sol indéfini à surface horizontale ; Sol horizontal avec surcharge ;Sol horizontal avec surcharge ; Sol indéfini à surface inclinée ;Sol indéfini à surface inclinée ;

III – Définition des contraintes dans un sol.III – Définition des contraintes dans un sol. Contrainte totale ;Contrainte totale ; Contrainte effective ou intergranulaire ; Contrainte effective ou intergranulaire ; Pression interstitielle ;Pression interstitielle ; Contraintes dans un massif de sol saturé ;Contraintes dans un massif de sol saturé ;

IV – Accroissement de contrainte IV – Accroissement de contrainte zz dû à l’application dû à l’application de charges superficilles.de charges superficilles. Formule de Boussinesq ;Formule de Boussinesq ; Contrainte due à une surcharge circulaire ; Contrainte due à une surcharge circulaire ; Contrainte due à une surcharge rectangulaire;Contrainte due à une surcharge rectangulaire; Contraintes due à un remblai ;Contraintes due à un remblai ; Distribution simplifiée des contraintes.Distribution simplifiée des contraintes.

I – Notion de contrainte

La notion de contraintes La notion de contraintes pour un matériau est une pour un matériau est une notion fictive analogue à la notion fictive analogue à la notion bien connue de notion bien connue de tension d'un filtension d'un fil


δs

δFf


Cette contrainte se décompose Cette contrainte se décompose suivant la normale Mn à la suivant la normale Mn à la facette et suivant le plan de la facette et suivant le plan de la facette en :facette en :

: contrainte normale: contrainte normale

: contrainte tangentielle: contrainte tangentielle

x ; y ; z

xy = yx

yz = zy

zx = xz


Pour déterminer les contraintes qui s'exercent sur toutes les différentes facettes autour d'un point M, il suffit de connaître en ce point les valeurs

c'est-à-dire les composantes des contraintes s'exerçant sur les faces d'un cube centré au point M et dont les arêtes sont parallèles aux axes Ox, Oy, Oz.

ffxx = = x.x. + + yxyx.. + + zxzx..ffYY = = xy.xy. + + yy.. + + zyzy..ffZZ = = xzxz.. + + yzyz.. + + z.z.


Sur une facette dont le vecteur normal unitaire a pour composantes ( ; ; ) ,la contrainte a pour composantes ;


Il existe en tout point trois plans privilégiés pour lesquels la contrainte est uniquement normale ( = 0). Ils sont appelés plans principaux, leurs directions normales, directions principales, et les contraintes correspondantes, contraintes principales. On les note :

11 ; ; 22 ; ; 33

Les plans principaux sont deux à deux perpendiculaires et les directions principales forment un trièdre trirectangle.

II – Expression des contraintes dans un sol

1 - Sol indéfini à surface horizontale1 - Sol indéfini à surface horizontale

La contrainte La contrainte zz s’exerçant sur un plan horizontal, s’exerçant sur un plan horizontal,

à la profondeur z est verticale et a pour valeur :à la profondeur z est verticale et a pour valeur :

zz == .z.z


1 (suite) - Sol multicouches indéfini à surface horizontale1 (suite) - Sol multicouches indéfini à surface horizontale

La contrainte La contrainte vv s’exerçant sur un s’exerçant sur un

plan horizontal, à la profondeur z plan horizontal, à la profondeur z est verticale et a pour valeur :est verticale et a pour valeur :

i

n

1i

iz .dγσ


2- Sol indéfini à surface horizontale et uniformément 2- Sol indéfini à surface horizontale et uniformément chargé par une charge surfaciquechargé par une charge surfacique

La contrainte La contrainte zz s’exerçant à la profondeur H est s’exerçant à la profondeur H est

principale et a pour valeur :principale et a pour valeur :

zz == .H + q.H + q


3 - Sol indéfini à surface inclinée3 - Sol indéfini à surface inclinée

La contrainte verticale s’exerçant sur un plan parallèle à La contrainte verticale s’exerçant sur un plan parallèle à la surface libre d’un sol indéfini incliné, formant un angle la surface libre d’un sol indéfini incliné, formant un angle avec l’horizontale vaut : avec l’horizontale vaut :

f f == .h.cos .h.cos

III – Définitions des contraintes dans un sol

Contrainte totale ;Contrainte totale ;

Contrainte effective ou intergranulaire ;Contrainte effective ou intergranulaire ;

Pression interstitielle ;Pression interstitielle ;

Contraintes dans un massif de sol saturé ;Contraintes dans un massif de sol saturé ;


1 - Contrainte 1 - Contrainte totaletotale : :

Soit une section SS’ dans un massif de sol.Soit une section SS’ dans un massif de sol.

On appelle On appelle contrainte totalecontrainte totale, la résultante des forces , la résultante des forces qui s’exercent sur la section SS’ sous l’action des forces qui s’exercent sur la section SS’ sous l’action des forces extérieures et du poids propre. On peut la décomposer extérieures et du poids propre. On peut la décomposer en :en :

- une contrainte - une contrainte normalenormale : :

- une contrainte - une contrainte tangentielletangentielle : :


2 - Contrainte 2 - Contrainte effectiveeffective ou « intergranulaire » : ou « intergranulaire » :

On appelle On appelle contrainte effective contrainte effective ou « ou « intergranulaire intergranulaire » » , , la contrainte transmise au « squelette » constitué des la contrainte transmise au « squelette » constitué des grains solides du sol. Les symboles correspondants sont grains solides du sol. Les symboles correspondants sont affectés du signe « prime : ‘ ».affectés du signe « prime : ‘ ».

- contrainte - contrainte effectiveeffective normale : normale : ’’

- contrainte - contrainte effectiveeffective tangentielle : tangentielle : ’’


3 – Pression interstitielle :3 – Pression interstitielle :

On appelle On appelle pression interstitiellepression interstitielle, la pression existant , la pression existant dans l’eau interstitielle. Il s’agît d’une contrainte du type dans l’eau interstitielle. Il s’agît d’une contrainte du type hydrostatique, c’est à dire normale à la section hydrostatique, c’est à dire normale à la section considérée.considérée.

La pression interstitielle est désignée par le symbole : La pression interstitielle est désignée par le symbole : uu


4 – Contraintes dans un massif de sol saturé :4 – Contraintes dans un massif de sol saturé :

Dans un massif de sol saturé, la contrainte normale Dans un massif de sol saturé, la contrainte normale totale est égale à la somme de la contrainte normale totale est égale à la somme de la contrainte normale effective et de la pression interstitielle.effective et de la pression interstitielle.

= = ’ + u’ + u

Comme dans un liquide, les contraintes sont uniquement Comme dans un liquide, les contraintes sont uniquement normales, s’il existe une contrainte tangentielle normales, s’il existe une contrainte tangentielle ; elle ; elle est entièrement reprise par les grains solidesest entièrement reprise par les grains solides

= = ’’


5 – Applications simples :5 – Applications simples :


+ =

hsat

u

zw.h

'vσ

z’.h

11erer cas : sol saturé cas : sol saturé

vσ

z sat.h


u

z

'vσ

z

'vσ

z

vσ

z

+ + =

h1

h2sat

w.h2

.h1

.h1 ’.h2

22èmeème cas : sol en partie saturé cas : sol en partie saturé


+ =

h1

h2sat

u

z w.(h1+h2)

'vσ

z ’.h2

33èmeème cas : sol submergé cas : sol submergé

vσ

z w.h1 + sat.h2

IV – Accroissement de contrainte z dû à l ’application de charges superficielles

Formule de Boussinesq ;Formule de Boussinesq ;

zz dû à une surcharge circulaire ; dû à une surcharge circulaire ;

zz dû à une surcharge rectangulaire de dû à une surcharge rectangulaire de

dimension finie ;dimension finie ;

zz dû à une surcharge rectangulaire dû à une surcharge rectangulaire

uniforme q ;uniforme q ;

zz dû à une charge trapézoïdale en forme dû à une charge trapézoïdale en forme

de remblaide remblai


Principe de superpositionPrincipe de superposition


Formule de Boussinesq (Formule de Boussinesq (zz dû à une charge dû à une charge

verticale concentrée Q )verticale concentrée Q )

2

522

3

z

zr

z

2π

3QΔσ

2

52

z

r1

1

2π

3N

En posant :

On obtient :

Q

z

z

r

Nz

QΔσ

2z

Formule de Boussinesq :Abaque n° 1 du chapitre 2Formule de Boussinesq :Abaque n° 1 du chapitre 2


zz dû à une surcharge circulaire q dû à une surcharge circulaire q

2

32

z

r1

11Jsoit

on obtient : JqΔσz

z

z

rq

2

32

z

z

r1

11qΔσ

J = f(z/r) ;J = f(z/r) ;

abaque n° 2abaque n° 2

du chapitre 2du chapitre 2

zz dû à une dû à une

surcharge surcharge circulaire Qcirculaire Q


zz dû à une charge rectangulaire de dimension finie dû à une charge rectangulaire de dimension finie

qKΔσz L

B

z

z

K est un facteur (sans dimension) que l ’abaque n° 3 donne en fonction de paramètres :

z

bnet

z

am

zz dû à une charge dû à une charge

rectangulaire de rectangulaire de dimension finiedimension finie

Abaque n° 3

du

chapitre 2


M

I II

III IV

zz à la verticale d ’un point quelconque sous la charge à la verticale d ’un point quelconque sous la charge

z = z1 + z2 + z3 + z4


I

zz à la verticale d ’un point quelconque en à la verticale d ’un point quelconque en

dehors de la chargedehors de la charge

M

z = z1 - z2 - z3 + z4

II

III

IV


zz à la verticale du centre d ’une semelle (cas général) à la verticale du centre d ’une semelle (cas général)

z = 4 zi

M

zz sous semelle sous semelle

Cf. abaque n° 4

du

chapitre 2


zz dû à une surcharge trapézoïdale dû à une surcharge trapézoïdale

Contrainte à la base du remblai :

Le coefficient d ’influence I = f(a/z ; b/z) est donné par l ’abaque d ’Osterberg :

q = r.hr

z a pour expression

z = I.q

z = z1 + z2

Pour un remblai ::

zz dû à une charge dû à une charge

rectangulaire de rectangulaire de dimension finiedimension finie

Abaque n° 5

du

chapitre 2

Calcul simplifié de z (A.P.S.)

q

H

B

B+H