Les expressions algébriques
Les termes semblables
4 xUn nombre, accompagné d’une lettre, le multiplie.
Il faut lire 4 X x
Cette expression algébrique est appelée un terme.
Ce terme est composé de 2 facteurs :
4 . x
le facteur 4 le facteur x
Le nombre est appelé coefficient.
La lettre est appelée la partie littérale; elle peut porter le nom de variable ou d’inconnue.
Une expression algébrique qui ne contient aucune indication d’addition ou de soustraction est appelé un monôme.
x2 = x . x
x2
Le coefficient de ce terme est 1. 1
1 1
Ce terme est aussi un monôme.
Quelle distinction y a-t-il entre 3a et a3 ?
3a est le produit de 3 par a :
a3 est la troisième puissance de a :
Calcule mentalement les expressions 4b2 et 2b4, si b = 5.
a X a X a
4b2 = 4 X (5 X 5) = 100 2b3 = 2 X (5 X 5 X 5) = 250
Remarque : On doit toujours calculer l’exposant avant le coefficient.
L’exposant de ce terme signifie que la lettre s’est multipliée par elle-même, 2 fois.
3 X a
Polynômes
Un polynôme est une expression algébrique composée de plusieurs monômes réunis par les signes d’addition ou de soustraction.
7a4 + 6a2b – 4a5b3 + 10b4 est un polynôme.
Deux polynômes portent des noms particuliers :
Le binôme composé de 2 termes : 2x2 + 2y est un binôme.
Le trinôme composé de 3 termes : 2x2 + 2y + 5 est un trinôme.
Remarque : 5 est aussi un terme algébrique.
Il est égal à 5x0.
Une loi sur les exposants dit que tout nombre ou lettre affecté(e) de l’exposant 0 est égal(e) à 1.
5x0 = 5 X 1 = 5
Dans cette présentation, nous avons vu ce qu’étaient des expressions algébriques.
On peut effectuer des manipulations algébriques avec ces expressions, mais les quantités restent inconnues.
x2 + 5x + 6
x2 + 5x + 6 = 20
est une expression algébrique.
est une équation algébrique.
Lorsqu’on introduit le signe l’expression algébrique devient une équation algébrique.
= ,
Sachant à quoi l’équation est égale, on peut déterminer la ou les valeur(s) des inconnues.
Les expressions algébriques
Manipulations de base
Voyons maintenant les règles officielles.
Addition et soustraction de termes :
- additionner ou soustraire les coefficients des termes semblables;
- ne pas modifier la partie littérale.
Exemples : 3x2 + x2 =
Vérifions pour x = 2 : 3(2)2 + 22 = 4(2)2
12 + 4 = 16 Égalité vraie.
3x2 + x =
4x2
3x2 + x On ne peut pas additionner ces deux quantités, car elles représentent des quantités différentes.
Remarque : Se vérifier en donnant aux expressions des valeurs numériques est un bon moyen de savoir si l’opération a été effectuée correctement.
Un - en avant d’une parenthèse modifie les signes des termes si on enlève les parenthèses.
C’est additionner par l’opposé des termes.
3a2 + 5b + a2 - 2b =Ou plus simplement
4a2 + 3b
3a2 + 5b - (- a2 + 2b) = 3a2 + 5b + a2 - 2b = 4a2 + 3b
3a2 + 5b - (- a2 + 2b) =
3a2 + 5b + + a2 - 2b =
Multiplication de termes
- Multiplier les coefficients entre eux;
- multiplier les lettres semblables en additionnant leurs exposants;
- inclure les lettres différentes dans le terme final.
Exemples : 4x2 X 2x1 = 8x3
Cette expression est un monôme, car il n’y a pas de signe d’addition ou de soustraction.
On pourrait lire : 4 . x . x . 2 . x , donc 8x3.
4x2 X 2xy = 8x3y
7x X xy X 2y = 14x2y2
2x2 X y X 3x X 2y X 3z = 36x3y2z
Inclure les lettres différentes dans le terme final,
car 36x3y2z signifie 36 X x3 X y2 X z.
Monôme par polynôme
−4𝑏𝑑 (6𝑏8𝑛+𝑏𝑤3 )=−24𝑏9𝑑𝑛−4𝑏2𝑑𝑤3
Binôme par binôme
Ou
2 . 2 . 2 . x . x . x2 . x . x
Division de termes
- Diviser les coefficients entre eux;
- diviser les lettres semblables en soustrayant leurs exposants;
- inclure les lettres différentes dans le terme final.
Exemples :
En posant la division sous la forme d’une fraction, on pourrait simplifier les facteurs communs au numérateur et au dénominateur.
8x3
2x2
= = 4x
On peut aussi effectuer la division des coefficients : 8 ÷ 2 = 4
Soustraire les exposants de la variable : x3 ÷ x2 =x3-2 =
8x3 ÷ 2x2
1
1.
. 1
1.
. 1
1.
x
Réponse : 4x
Division par binôme
Division par binôme avec reste
(3 𝑥2+4 𝑥+8 )÷ (3 𝑥+1 )
Factorisation
• La factorisation permet de simplifier les expressions algébriques, les fractions et les opérations. Il existe 5 étapes pour factoriser une expression algébrique:
1) Mise en évidence simple2) Double mise en évidence3) Différences de carrés4) Trinôme carré parfait5) Trinôme produit\somme
Mise en évidence simple
• Conditions sont d’avoir un facteur en communEXEMPLE : 1)
2)
3) On est bloqué