LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS
Física Básica Experimental I
Departamento de Física / UFPR
Processo de Linearização de Gráficos
O que é linearização ?– procedimento para tornar uma curva que não é uma reta em um
reta.
– É encontrar uma relação entre duas variáveis, que satisfaça a equação da reta, ou seja, determinar os coeficientes angular e linear da reta ( ).
Por que linearizar ?– A análise de uma reta é mais simples que a análise de uma curva.
– O processo de linearização facilita a determinação das leis físicas que governam o experimento que gerou os dados.
ax b y
Métodos de Linearização
tt
1) Troca de variáveis– A equação que governa o comportamento dos dados deve ser
conhecida.
– A troca de variáveis permite converter uma equação de uma curva numa equação de reta.
– Exemplo:
– onde
– Obs: Nem todas as equações podem ser convertidas de forma útil.
bax y 2 bxa y xx 2
y = ax2
–
Diferenças entre as retas: Os coef. e sua interpretação são diferentes (1) não passa pela origem (2) passa pela origem
Qual o melhor? => quando se conhece o expoente, é melhor a mudança de variável.
ln y = ln a + 2 ln x y’ = ln a + 2 x’
x’ = x2 (mudança de variável)y = ax’
y = ax
ln y = ln a + ln x y’ = ln a + x’ é o coeficiente angular
mudança de variável => NÃO
y = ax2 + c
ln y = ln (ax2 + c ) NÃO
x’ = x2 (mudança de variável)
y = ax’ + c
y = ax2 + bx + c
ln y = ln (ax2 + bx + c ) NÃO
x’ = x2 (mudança de variável)
y = ax’ + bx 0.5 + c
Não é linear => polinômio completo não lineariza
Métodos de Linearização
2) Uso de papéis especiais: mono-log e di-log Quando um gráfico em papel milimetrado fornece uma curva, ainda
assim é possível obter, em casos específicos, gráficos lineares usando papéis mono e di-log.
Este método se aplica quando a equação que governa o comportamento dos dados não é conhecida.
Funciona por tentativa e erro. Os “softwares” matemáticos permitem a troca das escalas linear para logarítmica facilitando o processo.
Métodos de Linearização
Tipos de Papéis:
milimetrado mono-log di-log
Esc
ala
lo
ga
rítm
ica
Esc
ala
lo
ga
rítm
ica
Escala logarítmica
1) Método das mudanças de variáveis: Exemplo 1
Gráfico das funções do tipo:
cbxax (x)y 2
2
2
2
2
x2 (x)y:)d(
20x2 (x)y:)c(
x10x2 (x)y:)b(
20x10x2 (x)y:)a(
linearização
Mudança de variável
2x x
x2 (x)y)d(
20x2 (x)y)c(
0 20 40 60 80 100
0
50
100
150
200
250
Y (
cm)
X' (cm2)
c' d'
0 2 4 6 8 10
-20
0
20
40
60
80
100
120
Y (
cm)
X (cm)
(a) (b) (c) (d)
Mudança de variáveis: Exemplo 2
Gráfico das funções do tipo:
X/a (X)Y
X/10 (X)Y
linearização
Mudança de variável
X
1 X
X10 )X(Y
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00
2
4
6
8
10
Y (
cm)
X' (cm-1)
0 2 4 6 8 100
2
4
6
8
10
12
Y (
cm)
X (cm)
Independentes da forma que foram geradas:
1) Os campos elétrico ( ) e magnético( ) são perpendiculares a direção de propagação. (onda transversal)
2) O campo elétrico é perpendicular ao magnético. 3) O produto vetorial aponta no sentido da propagação
da onda. 4) Os campos variam senoidalmente com a mesma freqüência e
estão em fase.– Para uma onda que se propaga na direção x, os campos elétricos e
magnéticos são funções senoidais da posição x e do tempo t :
PROPRIEDADES IMPORTANTES DAS ONDAS ELETROMAGNÉTICAS
E
B
BE
)tkx(senE E m )tkx(senB B m
Mudança de variáveis: Exemplo 3
Gráfico da função: Gráfico linearizado
onde
10X2 Y 10X2 Y
X X Linearização
0 20 40 60 80 100-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
Y (
cm1/
2 )
X (cm)
0 2 4 6 8 10-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
Y (
cm1/
2 )
X' (cm1/2)
2) Uso de Papéis especiais: Monolog e Dilog Os papéis com escala logarítmica são utilizados para linearizar
funções exponenciais
2.1) Papel monolog
Ae Y BX
e2 Y X8,0
Papel milimetrado Papel monolog
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,00
5
10
15
20
25
Y (
cm)
X (cm)
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,01
10
100
(X1,Y
1)
(X2,Y
2)
Y (
cm)
X (cm)
Papel monolog (cont.) Para linearizar em papel milimetrado
Comparando com a equação da reta
Ae Y BX BXBX elnAln Aeln Yln
BXAln Yln
XAB Y
Y)(ln Y
linear coef.Aln B angular coef.B A
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,00,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
ln(Y
)
X (cm)
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,00
5
10
15
20
25
Y (
cm)
X (cm)
Uso de papéis especiais: 2.2) Papel dilog
AX Y B
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Y (
cm)
X (cm)
Papel milimetrado Papel dilog
0,01 0,1 11E-5
1E-4
1E-3
0,01
0,1
1(X
2,Y
2)
(X1,Y
1)
Y (
cm)
X (cm)
X2 Y 4,2
No Papel dilog:
Assim:
AX Y B
XlogAlogAXlog Ylog BB
XlogBAlog Ylog
XAB Y
YlogY
Xlog X
Alog B
B A
Papel dilog (cont.) Para linearizar em papel milimetrado:
– Após a linearização:
XlogBAlog Ylog
XAB Y
YlogY Xlog X
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Y (
cm)
X (cm)
-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0-5
-4
-3
-2
-1
0
1
log
(Y)
log (X)
Alog B B A
Papel milimetradoPapel milimetrado
Exemplo de confecção de gráfico, linearização e ajuste de reta
Dados obtidos:– Objetivo: Determinar a aceleração a partir das medidas de V e X.
X (cm) 0 15 30 45 60 75 90V (m/s) 0,691 1,435 1,913 2,293 2,727 3,028 3,237
1) unificar as unidades para o mesmo sistema de unidades
– Por exemplo, no SI.
2) Fazer o gráfico: V versus X
X (m) 0 0,15 0,30 0,45 0,60 0,75 0,90V (m/s) 0,691 1,435 1,913 2,293 2,727 3,028 3,237
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
V (
m/s
)
X (m)
Não é reta!!!
3) Fazer a linearização:
– É necessário conhecer a equação que relaciona as variáveis V e X
– Análise:• Este problema é um problema típico de cinemática, que envolve
aceleração constante, ou seja, MRUV.
• As equações do MRUV são:
– A equação que relaciona V com X é:
– como
2
attVX X
2
00
atV V 0
Xa2V V 20
2 0XX X
aX2V V 20
2 0X0
X X
3) Fazer a linearização (cont):
– Comparar com a equação da reta e fazer a mudança de variável.
– Assim:
– coef. linear:
– coef. angular:
aX2V V 20
2
XAB Y
X X
20VB
a2A
BV0
2
Aa
2V Y
4) Montar uma tabela com as variáveis linearizadas V2 e X.
5) Fazer o gráfico linearizado, isto é, o gráfico de V2 versus X
X' = X (m) 0 0,15 0,30 0,45 0,60 0,75 0,90Y=V2 (m/s) 0,47748 2,05923 3,65957 5,25785 7,43653 9,16878 10,47817
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0
2
4
6
8
10
12
Y (
m2 /s
2 )
X (m)
2V Y
6) Fazer o ajuste da melhor reta utilizando o MMQ
– Calculando o coeficiente angular:
X’ V2 Xi Yi Xi
2 XiYi
0 0,47748 0,00000 0,00000 0,15 2,05923 0,02250 0,30888 0,30 3,65957 0,09000 1,09787 0,45 5,25785 0,20250 2,36603 0,60 7,43653 0,36000 4,46192 0,75 9,16878 0,56250 6,87659 0,90 10,47817 0,81000 9,43035 3,15 38,53761 2,04750 24,54164
2
i
2
i
iiii
XXN
Y.XY.XN A
22 m/s 42813,11
)15,3(04750,27
53761,3815,354164,247 A
6) Fazer o ajuste da melhor reta utilizando o MMQ (cont.)
– Calculando o coeficiente linear B:
– Comparar os coeficientes e
• calcular a aceleração:
• calcular a velocidade inicial V0:
XAB Y NY
Y iNX
X i
7/)15,353761,38(42813,11XA YB
22/sm 36271,0B
2/42813,112/Aa 2m/s 71407,5a
36271,0BV0 m/s 60225,0V0
7) Desenhar a melhor reta no gráfico
– Escolher dois pontos X1 e X2 e a partir da equação da melhor reta calcular Y1 e Y2
– Exemplo:
– pontos da melhor reta: Gráfico com a melhor reta
X42813,1136271,0 Y
20,0 X1
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0
2
4
6
8
10
12
Pontos da melhor reta
Y =0,36271+11,42813 X
Y (
m2 /s
2 )
X (m)
64834,2)20,0(42813,1136271,0 Y1
FIM