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LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS
Física Básica Experimental I
Departamento de Física / UFPR
Processo de Linearização de Gráficos
� O que é linearização ?
– procedimento para tornar uma curva que não é uma reta em uma reta.
– É encontrar uma relação entre duas variáveis, que satisfaça a equação da reta, ou seja, determinar os coeficientes angular e linear da reta ( ).
� Por que linearizar ?
– A análise de uma reta é mais simples que a análise de uma curva.
– O processo de linearização facilita a determinação das leis físicas que governam o experimento que gerou os dados.
ax b y +=
2
Métodos de Linearização
tt ≡′
� 1) Troca de variáveis
– A equação que governa o comportamento dos dados deve ser conhecida.
– A troca de variáveis permite converter uma equação de uma curva numa equação de reta.
– Exemplo:
– onde
– Obs: Nem todas as equações podem ser convertidas de forma útil.
bax y 2+= ⇒ bxa y +′= xx 2
=′
Métodos de Linearização
� 2) Uso de papéis especiais: mono-log e di-log
� Quando um gráfico em papel milimetrado fornece uma curva, ainda assim é possível obter, em casos específicos, gráficos lineares usando papéis mono e di-log.
� Este método se aplica quando a equação que governa o comportamento dos dados não é conhecida.
� Funciona por tentativa e erro. Os “softwares” matemáticos permitem a troca das escalas linear para logarítmica facilitando o processo.
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Métodos de Linearização
� Tipos de Papéis:
milimetrado mono-log di-log
Es
cala
log
arí
tmic
a
Es
cala
log
arí
tmic
a
Escala logarítmica
� 1) Método das mudanças de variáveis: Exemplo 1
Gráfico das funções do tipo:
cbxax (x)y 2++=
2
2
2
2
x2 (x)y:)d(
20x2 (x)y:)c(
x10x2 (x)y:)b(
20x10x2 (x)y:)a(
=
+=
−=
+−=
linearização
⇒
⇒
⇒
Mudança de variável
2x x =′
x2 (x)y)d( ′=′
20x2 (x)y)c( +′=′
0 20 40 60 80 100
0
5 0
1 00
1 50
2 00
2 50
Y (
cm)
X' (cm2)
c' d'
0 2 4 6 8 10
-20
0
20
40
60
80
100
120
Y (
cm)
X (cm)
(a) (b) (c) (d)
´´´ (x´)´ bxay +=
4
� Mudança de variáveis: Exemplo 2
Gráfico das funções do tipo:
X/a (X)Y =
X/10 (X)Y =
linearização
⇒
Mudança de variável
X1
X =′
X10 )X(Y ′=′⇒
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00
2
4
6
8
10
Y (
cm)
X' (cm-1)
0 2 4 6 8 100
2
4
6
8
10
12
Y (c
m)
X (cm)
bXaY += ´´ (X )́´
?
� Mudança de variáveis: Exemplo 3
Gráfico da função: Gráfico linearizado
onde
Br
10X2 Y −= ⇒ 10X2 Y −′=
X X =′
Linearização
⇒
0 20 40 60 80 100-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
Y (
cm1
/2)
X (cm)
0 2 4 6 8 10-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
Y (
cm
1/2)
X' (cm1/2
)
bXaY += ´´ (X )́´
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� 2) Uso de Papéis especiais: Monolog e Dilog
� Os papéis com escala logarítmica são utilizados para linearizar funções exponenciais
� 2.1) Papel monolog
Ae Y BX=
e2 Y X8,0=
Papel milimetrado Papel monolog
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,00
5
10
15
20
25
Y (
cm)
X (cm)
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,01
10
100
(X1,Y
1)
(X2,Y2)
Y (c
m)
X (cm)
� No Papel monolog:
– O coef. Angular (A’) é obtido dos pontos (X1,Y1) e (X2,Y2) do gráfico
– O coef. Linear é lido diretamente no gráfico para X = 0:
12
12
XX
YY
X
YA
−
′−′=
∆
′∆=′
)0(YB =
)Yln(Y =′
6
� Papel monolog (cont.)
� Para linearizar em papel milimetrado
� Comparando com a equação da reta
Ae Y BX= ( ) ( ) BXBX elnAln Aeln Yln +==
( ) BXAln Yln +=
⇒
XAB Y ′+′=′
Y)(ln Y =′
linear coef.Aln B ==′
angular coef.B A ==′⇒
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,00,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
ln(Y
)
X (cm)
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,00
5
10
15
20
25
Y (
cm)
X (cm)
⇒
� Uso de papéis especiais:
� 2.2) Papel dilog
AX Y B=
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Y (
cm)
X (cm)
Papel milimetrado Papel dilog
0,01 0,1 11E-5
1E-4
1E-3
0,01
0,1
1(X
2,Y
2)
(X1,Y1)
Y (
cm)
X (cm)
X2 Y 4,2=
7
� No Papel dilog:
– O coef. Angular (A’) é obtido dos pontos (X1,Y1) e (X2,Y2) no gráfico
– O coef. Linear é obtido após a linearização da eq. exponencial:
Comparando com a equação da reta
Assim:
Para achar o coef. linear
12
12
XX
YY
X
YA
′−′
′−′
′∆
′∆=′
AX Y B=
( ) ( ) ( ) ( ) XlogAlogAXlog Ylog BB +==
( ) ( ) ( ) XlogBAlog Ylog +=
XAB Y ′′+′=′
( )YlogY =′
( ) Xlog X =′
( ) Alog B =′
B A =′ ( ) ( ) ( ) XlogBAlog Ylog 11 +=
)Yln(Y =′ )Xln(X =′
� Papel dilog (cont.)
� Para linearizar em papel milimetrado:
– Após a linearização:
( ) ( ) ( ) XlogBAlog Ylog +=
XAB Y ′′+′=′
( )YlogY =′
( ) Xlog X =′
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Y (
cm)
X (cm)
-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0-5
-4
-3
-2
-1
0
1
log
(Y
)
log (X)
( ) Alog B =′
B A =′
Papel milimetradoPapel milimetrado
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Exemplo de confecção de gráfico, linearização e ajuste de reta
� Dados obtidos:– Objetivo: Determinar a aceleração a partir das medidas de V e X.
�X (cm) 0 15 30 45 60 75 90V (m/s) 0,691 1,435 1,913 2,293 2,727 3,028 3,237
� 1) unificar as unidades para o mesmo sistema de unidades
– Por exemplo, no SI.
� 2) Fazer o gráfico: V versus X
X (m) 0 0,15 0,30 0,45 0,60 0,75 0,90V (m/s) 0,691 1,435 1,913 2,293 2,727 3,028 3,237
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
V (
m/s
)
X (m)
Não é reta!!!
9
� 3) Fazer a linearização:
– É necessário conhecer a equação que relaciona as variáveis V e X
– Análise:• Este problema é um problema típico de cinemática, que envolve
aceleração constante, ou seja, MRUV.
• As equações do MRUV são:
– A equação que relaciona V com X é:
– como
2
attVX X
2
00 ++=
atV V 0 +=
Xa2V V 20
2∆+= 0XX X −=∆
aX2V V 20
2 += 0X0 =
X X =∆
� 3) Fazer a linearização (cont):
– Comparar com a equação da reta e fazer a mudança de variável.
– Assim:
– coef. linear:
– coef. angular:
aX2V V 20
2+=
XAB Y ′+=
X X =′
20VB =
a2A =
⇒ BV0 =
⇒2A
a =
2V Y =
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� 4) Montar uma tabela com as variáveis linearizadas V2 e X.
� 5) Fazer o gráfico linearizado, isto é, o gráfico de V2 versus X
X' = X (m) 0 0,15 0,30 0,45 0,60 0,75 0,90Y=V2 (m/s) 0,47748 2,05923 3,65957 5,25785 7,43653 9,16878 10,47817
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0
2
4
6
8
10
12
Y (
m2 /s
2)
X (m)
2V Y =
� 6) Fazer o ajuste da melhor reta utilizando o MMQ
– Calculando o coeficiente angular:
X’ V2 Xi Yi Xi
2 XiYi
0 0,47748 0,00000 0,00000 0,15 2,05923 0,02250 0,30888 0,30 3,65957 0,09000 1,09787 0,45 5,25785 0,20250 2,36603 0,60 7,43653 0,36000 4,46192 0,75 9,16878 0,56250 6,87659 0,90 10,47817 0,81000 9,43035
Σ 3,15 38,53761 2,04750 24,54164
( )∑ ∑−
∑∑−∑=
2
i
2
i
iiii
XXN
Y.XY.XN A
22 m/s 42813,11
)15,3(04750,2753761,3815,354164,247
A =−×
×−×=
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� 6) Fazer o ajuste da melhor reta utilizando o MMQ (cont.)
– Calculando o coeficiente linear B:
– Comparar os coeficientes e
• calcular a aceleração:
• calcular a velocidade inicial V0:
XAB Y +=NY
Y i∑=
NX
X i∑=
7/)15,342813,1153761,38(XA YB ×−=−=
22 /sm 36271,0B =
2/42813,112/Aa == 2m/s 71407,5a =⇒
36271,0BV0 == ⇒ m/s 60225,0V0 =
� 7) Desenhar a melhor reta no gráfico
– Escolher dois pontos X1 e X2 e a partir da equação da melhor reta calcular Y1 e Y2
– Exemplo:
– pontos da melhor reta: Gráfico com a melhor reta
X42813,1136271,0 Y +=
20,0 X1 = ⇒
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0
2
4
6
8
10
12
Pontos da melhor reta
Y =0,36271+11,42813 X
Y (m
2 /s2 )
X (m)
64834,2)20,0(42813,1136271,0 Y1 =×+=
12
FIM