L’Ingénierie didactique des mathématiques

L’Ingénierie didactique des mathématiques Rationnels et des décimaux dans la scolarité obligatoire Nadine et Guy Brousseau

DAEST Janvier-février 2006

Université Victor Segalen Bordeaux 2

Programme du cycle

Une introduction à l’ingénierie didactique L’ingénierie du schéma général du curriculum et

des processus L’ingénierie des situations a-didactiques, en

particulier les situations fondamentales L’ingénierie des situations didactiques en

particulier «intermédiaires» L’ingénierie de la conduite des situations

d’enseignement

I. Une introduction à l’ingénierie didactique

Essai de « définition »

« L’ingénierie didactique est l’étude d’un projet d’enseignement sous ses aspects didactiques, techniques, économiques, financiers et sociaux…

et qui nécessite un travail de synthèse coordonnant des travaux de diverses équipes de spécialistes ».

The concept of didactic engineering entered the didactics of mathematics in the early 1980s. The aim was to use this term to label a form of didactic work: we may compare the work of an engineer who, in order to carry out a particular project, draws support from scientific knowledge in the domain, accepts scientific verification, but at the same time, has to work on objects which are far more complex than the simplified objects of the science. Engineers must therefore treat in a practical way, with ail the means at their disposal, problems which science does not wish to or is not able to tackle

Michèle Artigue 1992

L’ingénierie didactique consiste au sens strict … en la conception et en la réalisation de tout

ou partie de curriculums : une suite de leçons, une leçon, un assortiment d’exercices, un manuel, un programme informatique etc.

cette conception est accompagnée de l’étude des diverses possibilités entre lesquelles il est fait un choix, et de l’explicitation des raisons de ces choix (techniques, scientifiques, et autres).

Mais en un sens plus large, on peut y admettre la simple production d’un curriculum – sans ses justifications précises –

et, par conséquent aussi sa conduite,

… dans la mesure ou tout curriculum laisse nécessairement un certain champ de décisions didactiques à l’enseignant qui l’utilise

Et en un sens plus large…

Les techniques spécifiques à ce genre de travaux sont adaptées de nombreuses disciplines dont la psychologie, l’épistémologie, la sociologie, la pédagogie etc. sous le contrôle de la didactique des mathématiques

Dans le cas des mathématiques les plus importants moyens sont de nature mathématique

On peut y intégrer les recherches technologiques : des problèmes techniques, identifiés précisément, font l’objet d’études théoriques ou expérimentales, directement liées aux conditions de projets d’enseignement déterminés.

Certaines de ces recherches ont conduit à résoudre des questions scientifiques plus générales, par exemple l’analyse implicative des données statistiques

On peut distinguer l’ingénierie de production et de

développement qui vise uniquement à réaliser un enseignement … et

L’ingénierie phénoménotechnique qui a pour objet de permettre l’étude empirique de phénomènes didactiques, dans des circonstances compatibles avec l’éthique de l’enseignement

Exemple : les rationnels et les décimaux tels qu’ils ont été enseignés pendant près de 20 ans à l’école Michelet de Talence n’étaient pas destinés au développement

L’ingénierie didactique est :

l’indispensable instrument de confrontation de la science didactique avec la contingence

L’instrument et l’objet des observations le moyen de mise en œuvre et de diffusion de

ses résultats vers les enseignants et le public

Par là elle est le cœur de la didactique

II. L’ingénierie du schéma général du curriculum et des processus

Continuité et ruptures

…de la didactique actuelle avec la didactique classique 0. Coménius et la méthodologie classique 1. Interrogation première de la discipline 2. Réexamen de tout apport « extérieur » 3. La méthode : modélisation 4. Exigences scientifiques 5. Acceptation d’un saut de complexité et

de moyens

Principes et méthodes de la théorie des situations didactiques

Définition des connaissances par les situations, (« les cognitrons »)

Méthodes inductives et constructives Universalité des principes ; le COREM, « didactotron »

Les étapes de l’ingénierie didactique: Les niveaux

Étude mathématique, situations fondamentales, canevas du processus, l’institutionnalisation situations intermédiaires, et la familiarisation.

Les réajustements des niveaux

Les techniques d’ordonnancement

Principes : Décomposer, regrouper, économiser

ordonner Le labyrinthe des connaissances, et des savoirs de leurs formes et de leurs dépendances logiques et temporelles

Les formes de connaissances

Connaissances implicites La connaissance implicite d’un milieu. La connaissance implicite d’une situation

caractéristique d’une connaissance La connaissance, même implicite mais

régulière, d’une solution dans une situation donnée : modèle implicite d’action, théorème en acte, schème.

Exemple : la connaissance des trajets dans une grande ville.

Connaissances explicites

reconnaissance explicite d’une situation-solution. possibilité de formuler et de décrire tous les éléments de la connaissance de type 3 ci-dessus. algorithmes

La connaissance « raisonnée » d’une connaissance solution appuyée sur un répertoire de justifications,

Le savoir « scolaire officiel » répertoire de référence

Les dépendances ente éléments

Entre connaissances Entre connaissances et situations Entre situations

L’analyse et la combinaison de ces dépendances, a priori et a posteriori est l’instrument de l’ingénierie et de l’observation scientifique de la didactique

Une partie de la matrice des dépendances statistiques entre les résultats des leçons d’un curriculum pour le C.P.

Exemple : III. l’expérience sur les rationnels et les décimaux

65 leçons :

6 a-didactiques fondamentales,

59, mixtes intermédiaires

Le canevas d’ensemble

Fractions et rationnels Trois fonctions de ces nombres

Mesures Fonctions Rapport

Grandes parties: Construction mathématique, utilisations,

institutionnalisation, algèbre

a. Commensuration

L’épaisseur des feuilles de papier, situation fondamentale des mesures

Ces choses sont-elles des nombres? Comparaisons, Opérations différentes grandeurs Unités secondaires

b. Rationnels décimaux

Rationnels et décimaux Localiser des nombres, 2ième situation

fondamentale La dialectique des rationnels et des

décimaux L’écriture et la division (rationnels non décimaux)

c. Applications linéaires

3ième Situation fondamentale: l’agrandissement du puzzle

La multiplication et la dénomination des fonctions

L’identification avec les décimaux

d. applications

formes et fonctions des R&D dans leurs applications :

pourcentages, échelles, taux…

e. Les rationnels unifiés

La composition des applications rationnels mathématiques

f. L’algébrisation des rationnels

Structure et propriétés Proportions et équations

IV. Quelques observations

Les procédés didactiques classiques multiplient les situations d’apprentissage et remplissent tout le temps disponible avec n’importe quel programme de connaissances, aussi petit soit-il

L’ingénierie didactique a pour objet de limiter cette prolifération sans diminuer les résultats… donc

Les curriculums doivent être comparées d’après le temps qu’ils nécessitent, à taux de réussite constant.

Très peu d’apprentissages « naturels » suivent des voies conformes aux méthodes « basiques » traditionnelle.

C’est un argument insuffisant pour les rejeter tant qu’on n’en connaît pas de meilleures

En fait la construction d’un curriculum ressemble plus à la composition d’une fugue ou d’une sonate qu’à celle d’un logiciel d’ordinateur

Les mêmes principes d’ingénierie peuvent aboutir à des curriculums de structures très différentes suivant le sujet mathématiques:

Les conceptions de « R&D » (très axiomatique) et de l’enseignement des statistiques et des probabilités (très épistémologique) sont contemporaines : 1973-74

V. Exemple d’une situation a-didactique

L’agrandissement du Puzzle

Une situation Une situation mathématiquemathématique

Proportionnalité ou Proportionnalité ou agrandissement linéaire?agrandissement linéaire?

(élèves de 9 à 11 ans)(élèves de 9 à 11 ans)

SSituation ituation mathématiquemathématique

milieu S. actant

S. apprentimilieu

L’apprentissage est une réorganisation, consciente ou non, des moyens d’action du sujet

Activité Mathématique

Connaissance Mathématique

L’agrandissement du puzzleL’agrandissement du puzzleL’enseignant :« Vous devez découper un puzzle pour l’école

maternelle. Il doit être semblable à celui-là mais plus grand

Le côté de cette pièce du modèle mesure 4 centimètres

Il doit mesurer 7 centimètres sur la reproduction”Chaque groupe n’agrandit qu’une seule pièce ».Vous les assemblerez après

6 5

6

5

2

7

2

7

9

4 2 5

7

Figure 1

A

Première idéePremière idée

• 2 2 + 3 = 5• 4 4 + 3 = 7• 6 6 + 3 = 9

• Et ce qui en résulte…

D

E

C

B

F

A

Figure 2

Résultat

Autres idées Autres idées • 4 --> 7, donc 8 -->14 et aussi 12 --> 21(la proportionnalité, comme unique modèlefamilier, mais empirique, sans justification)

• 4 --> 2 x 4 – 1 = 7• 6 --> 2 x 6 – 1 = 11• 2 --> 2 x 2 – 1 = 3 Qui parait satisfaisantComme aussi des découpages « à l’œil »

a

b

c

Figure 3a

a

A

Figure 3b

bB

Figure 3c

cC

Figure 3d

a

b

c

Figure 3e

A

B

C

Figure 3f

Pourquoi ? Pourquoi ?

• 2 2 + 3 = 5• + 4 4 + 3 = 7 +• 6 6 + 3 = 9

• 2 + 4 = 6 mais 5 + 7 9 !!

Modèle

Figure 4

Image

La somme des images doit être

l’imagede la somme !

•Le calcul final

•4 7•1 7/4•7/4 = 7x25/100 = 175/100 =

1.75

VI. Conception et analyse d’une situation didactique

Topologie des fractions décimales

(Séance 23)

Eh bien non ! C’est fini !

Pour aujourd’hui en tout cas

… Merci de votre attention