L'intégrale de cheminsselon

Richard Feynman

Il y a trois sortes d'hommes : les vivants, les morts, et ceux qui vont sur la mer

Aristote

Optique géométrique : La lumière prend toujours le

plus court chemin

L'optique géométrique n'explique pas tout

Intensité lumineuse = probabilité d'arrivée d'un photon

capteursource

« clic ...... clic..clic ....clic »

La lumière est faite de particules !?

La lumière prend les virages

« clic ...... clic .. clic .... »

Probabilité p

1 + 1 = 4

« clic..clic..clic..clic »

probabilité 4p

1 + 1 = 0

« ......... »

Intensité 0

1 + 1 = oscillation

4p0

On pense à des ondes qui interfèrent

Particule ou onde selon les jours

Onde

Huygens (milieu XVII)

Maxwell, Faraday... (milieu XIX)

Onde

Huygens (milieu XVII)

Maxwell, Faraday... (milieu XIX)

Particule

Atomiste Grec

Newton (milieu XVII)

Einstein (début XX)

Particule

Atomiste Grec

Newton (milieu XVII)

Einstein (début XX)

Intégrale de chemin

Feynman (milieu XX)

Intégrale de chemin

Feynman (milieu XX)

A chaque trajectoire on associeUne ''flèche'' tournante et décroissante

ei

Appelée « vecteur amplitude »

c.à.d. un complexe

Probabilité =

(longueur du vecteur amplitude)2

=

module(ρei θ)2=ρ2

Les vecteurs amplitudes tournent très vite.ex : 15 000 tours par centimètre

pour la lumière rouge

Je négligerais souvent la diminution de la longueur

« clic..clic..clic..clic »

2 trajectoires possibles ⇒ on additionne les vecteurs amplitudes

Interaction négative

« ......... »

Plus court chemin = une simplification

+ +

+

≃

+

=

Σn∈ℤ (−1)n

∣n∣

écran

Angle d'incidence = angle de réflection

Un petit miroir diffracte

miroir

Gros trou ⇒ virages peu probable

+

+

+

+

=

petit trou

+

+

+

+

=

Réseau de petit trous

On bouge un peu le détecteur

On bouge un peu le détecteuret on change de couleur

Réflexion partielle

eiei e i 2...e i 8=ei −ei 9

1−ei

⇔

+ + + + + + +-=

+ ++In

tens

ité r

éflé

chie

épaisseurNewton 34 000 cyclesaujourd'hui 100 millions de cycles = 50 mètres de verre

L'eau savonneuse s'épaissiten allant vers le bas

- --

??

?

1 % 8 %7 %

⇔

+ + + + + + + + + + ... +

etc.

+

++ +

OU = + +

ET = *

* * * * * * *

+ )* (

et ∗ =

Plusieurs photons

et

+

∗ =

ou

Effet Hanbury-Brown-Twist. Détection des étoiles doubles

Décomposer chaque trajectoire en trajectoire élémentaire.

Décomposer chaque trajectoire en trajectoire élémentaire.Sommer (intégrer) sur toutes les trajectoires possibles.

3

1

2

Discrétisation de l'espace et des trajectoires

Trajets de 1 à 3 :

1 ⇢ 3

1 ⇢ 1 ⇢ 31 ⇢ 2 ⇢ 31 ⇢ 3 ⇢ 3

1 ⇢ 1 ⇢ 1 ⇢ 3 1 ⇢ 1 ⇢ 2 ⇢ 3 1 ⇢ 1 ⇢ 3 ⇢ 31 ⇢ 2 ⇢ 1 ⇢ 3 1 ⇢ 2 ⇢ 2 ⇢ 3 1 ⇢ 2 ⇢ 3 ⇢ 3 etc

Vecteur amplitude associée

A(1,3) (amplitude élémentaire)

A(1,1) A(1,3) +A(1,2) A(2,3) +A(1,3) A(3,3)

Trajets de 1 à 3 :

1 ⇢ 3

1 ⇢ 1 ⇢ 31 ⇢ 2 ⇢ 31 ⇢ 3 ⇢ 3

1 ⇢ 1 ⇢ 1 ⇢ 3 1 ⇢ 1 ⇢ 2 ⇢ 3 1 ⇢ 1 ⇢ 3 ⇢ 31 ⇢ 2 ⇢ 1 ⇢ 3 1 ⇢ 2 ⇢ 2 ⇢ 3 1 ⇢ 2 ⇢ 3 ⇢ 3 etc

∑y1, y2

A1, y1 A y1, y2 A y2 ,3

12

9

10

11

8

5

6

7

4

1

2

3

Vecteur amplitude pour un trajet de x à z en n étapes

∣An∣2 x , z=An x , z An x , z

∑y1 ... yn−1

A x , y1 A y1, y2 ... A yn−1 , z

=

Probabilité que le photon issu de x soit en z en n étapes

A A ... A x , z =An x , z

Matrice très creuse

AT=A−1Ou encore

Au bout de n étapes, le photon est forcément quelque part :

∑z

An x , z An x , z =A...A AT ... AT x , x= I x , x =1

∑z

A x , z A x ' , z = I x , x '

Pour que ça marche on prend A qui vérifie :

A AT=I

∑z

An x , z An x , z =1

On aura alors

Ou bien

Z2

On prend comme discrétisation :

{ }

A(↓ x , ↓ y )=a

A(→ x ,← y)=bei θ

y

x

a cei3b ei

x y

x y

A(→ x , ↓ y)=c eiϕ

x

y

Amplitudes élémentaires :

Exemple

A(→ x ,→ y)=a

Théorème :

acosbcos−=0

A AT=I

a2b22c2=1

abcosc2=0⇔

ddt t=i t

t1 y=∑x

t x A x , y

t x

Ce qui peut-être vu comme une discrétisation de

Si à l' étape t, le vecteur amplitude en chaque x est donné par :

t1= t AOu bien :

A l' étape t+1, le vecteur amplitude est donc :

Autre écriture

t1− t= t A− I

x

y

P x , y= 14

Parallèle avec la marche aléatoire :

x

y

P x , y= 14

xy

P x , y= 14

x y

P x , y= 14

ddt t= t

t1 y=∑x

t xP x , y

t x

Ce qui peut-être vu comme une discrétisation de

Si à l' étape t, la probabilité en chaque x est donné par :

t1= t POu bien :

A l' étape t+1, la proba est donc :

Autre écriture

t1− t= t P−I

Avec

ddt t= t

Intégrale de chemin

∑y

P x , y =1

t=0Pt

Equation de la chaleur

DISCRÉTISATION

ddt t=i t t=0 A

t

Equation de Schroninger

A AT=I

Avec

Marche aléatoire

Bibliographie

Discrete quantum mechanics, Stanley P. Gudder, J. Math. Phys. 27 (7), July 1986