Transcript
Page 1: Logica matematica y algebra

1

Programa 1 Lógica

1.1 Introducción a la lógica. Proposiciones. Principio de no contradicción.

Principio del tercer excluido.

1.2 Conectivos Lógicos. Tablas de valores de verdad.

1.3 Proposiciones compuestas. Tautologías y contradicciones.

1.4 Predicados y Cuantificadores.

1.5 Métodos de demostración.7

2 Conjuntos

2.1 Definiciones Básicas. Representación de conjuntos.

2.2 Clasificación de conjuntos. Conjuntos numéricos. Intervalos.

2.3 Diagramas de Venn. Relaciones entre conjuntos. Intersecancia,

disyunción, inclusión, e igualdad.

2.4 Conjunto de partes de un conjunto. Operaciones con conjuntos. Unión,

intersección, complemento, diferencia y diferencia simétrica.

2.5 Producto Cartesiano.

3 Los Números Reales

3.1 Los números reales. Axiomas de la suma y de la multiplicación.

3.2 Recta Real. Valor Absoluto. Distancia entre dos puntos.

3.3 Operaciones básicas con expresiones algebraicas.

3.4 Productos notables.

3.5 Factorización. Principales métodos de factorización.

3.6 Fracciones. Operaciones con fracciones.

3.7 Potenciación. Exponente natural, 0 (cero), negativo, fraccionario.

3.8 Leyes de la potenciación.

3.9 Radicación. Leyes de los radicales. Operaciones con radicales.

3.10 Racionalización de radicales.

3.11 Ecuaciones lineales. Solución analítica y representación gráfica.

3.12 Ecuaciones cuadráticas. Solución analítica y propiedades de las raíces.

Representación gráfica.

3.13 Problemas de aplicación de ecuaciones lineales.

3.14 Métodos de resolución de sistemas de 2 ecuaciones lineales con 2

incógnitas.

3.15 Axiomas de orden y propiedades de las desigualdades.

3.16 Resolución de inecuaciones con factores lineales y cuadráticos.

3.17 Problemas de aplicación de ecuaciones.

3.18 Resolución de inecuaciones con valor absoluto.

4 Números complejos

4.1 Números imaginarios curvos. Números complejos. Representación en el

plano.

4.2 Operaciones: Suma, diferencia, producto y división. Valor absoluto, forma

polar, teorema de Moiure.

5 Matrices-Determinantes

Page 2: Logica matematica y algebra

2

5.1 Matrices definición. Operaciones y propiedades. Transpuesta. Tipos de

matrices.

5.2 Determinantes de matrices de orden 2, orden 3, y de orden n términos de

sus cofactores. Propiedades de los determinantes. Cálculo de

determinantes usando las propiedades.

5.3 Sistemas de ecuaciones lineales. Resolución por los métodos Gauss,

Gauss Jordan, regla de Kramer, inversa de una matriz (de F método de

Gauss Jordan, método de la matricidad adjunta).

Bibliografía Básica

1. Castillo-Toro (1998). Conjuntos, estructuras reales y complejas, Quito,

FEPON.

2. Swokowski-COLE (1992). Álgebra y trigonometría con geometría

analítica. México grupo editorial Iberoamérica.

3. Demindovich (1980). Problemas y ejercicios de análisis matemáticos,

Moscú editorial MIR.

4. Álgebra y análisis de funciones elementales. Potapor-Alexandro-

Pasichenco, Mir (1986).

5. Algebra Lineal. Fondo educativo interamericano. Bogotá 1981.

6. Matrices Frank Ayres. Colección Shauns México (1983).

7. Smith Karl, introducción a la lógica editorial Iberoamérica. México 1991.

Page 3: Logica matematica y algebra

3

LÓGICA MATEMÁTICA

Introducción

La lógica matemática es el estudio de métodos y principios para distinguir

cuando un razonamiento matemático es correcto o incorrecto.

Se puede considerar a la matemática como una disciplina constituida por una

cadena de afirmaciones sistemáticamente estructuradas. Estas pueden ser de

tres tipos: unas que se aceptan sin demostraciones llamadas axiomas, otras

cuya verdad debe ser demostrada llamada teorema y un tercer tipo al que

pertenecen las denominadas definiciones que no se demuestran y simplemente

asignan un significado a una palabra, a una expresión o introducen nueva

simbología o abreviaciones convenientes.

Cálculo Proposicional:

Proposición Simple:

Llamamos proposición simple a aquella de la cual puede decirse se es

verdadera o es falsa.

La proposición simple también se denomina enunciado u oración cerrada.

Las proposiciones simples las representamos o simbolizamos por las letras

minúsculas p, q, r, s, t. u. v…

Para toda proposición son válidos los siguientes principios.

Principio de no contradicción: Según este principio no puede ser verdadera y

falsa al mismo tiempo.

Principio del tercer excluido: Según este principio una proposición es verdadera

o es falsa, siempre se verifica uno de estos casos, no hay un tercero.

Ejemplo:

Proposiciones simples.

p: Juan Montalvo fue un escritor ecuatoriano.

q: 430

r: 222 2)( bababa

s: xb

a abx loglog

t: 73

u: en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de a la hipotenusa es

igual a la diferencia de los cuadrados de las longitudes de los catetos

ejercicio: construir 10 proposiciones simples (5V y 5 F)

1) 5+5=10

2) 3-2=4

3) el perro maulla

4) 4÷2=3

5) Eugenio Espejo fue militar

6) la tierra gira alrededor de la luna

7) 8x8=64

Page 4: Logica matematica y algebra

4

8) Manuela Sáenz nació en Ecuador.

9) Los aviones vuelan

10) La moneda actual del Ecuador es el dólar.

Valor de verdad de una proposición:

Se llama valor de verdad de una proposición a la verdad (V) o a la falsedad (F)

de su contenido.

Representamos el valor de verdad por el símbolo V(p) que se lee “v de p“ así el

valor de verdad de p es verdadero entonces este valor de verdad se escribiría

como: V(p)=V. Si en cambio el valor de verdad de p es falso este se escribirá

como V(p)=F.

ejemplo:

p: Juan Montalvo fue ecuatoriano V(p)=V

q: 3°=4 V(q)= F

r: 222 2)( bababa V®= V

s: xb

a abx loglog V(s)=V

t: 73 V(t)=F

u: en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de a la hipotenusa es

igual a la diferencia de los cuadrados de las longitudes de los catetos. V(u)=F

otras afirmaciones tales como por ejemplo:

x es un real; 2x+1=1; x²+x-1=0; 2x-1<2; 1xe ; tanx=0,5; logx=)1.1; etc.

Constituyen afirmaciones que no son verdaderas ni falsas ya que para saber su

valor de verdad deberíamos en vez de x dar un valor numérico, en

consecuencia este tipo de afirmaciones no son proposiciones simples más bien

se llaman este tipo de afirmaciones como enunciados u oraciones abiertas.

ejemplo: construir 10 enunciados abiertos

1) 5x+10=4

2) 8y≤3

3) 10x+2=7

4) 2

3Seny

5) 7y-8=3

6) Y es un número imaginario

7) Juan es un niño

8) 2

8cot 1 z

9) 5x≥-8

10) 4x

11)x+y+z=1

Page 5: Logica matematica y algebra

5

otro tipo de expresiones tales como:

x

2x+1

12 xx

2x-4 xe

tanx

logx

azul

Estas no son proposiciones simples ya que no son verdaderas o falsas.

Además este tipo de proposiciones no son enunciados abiertos en

consecuencia este tipo de expresiones más bien las llamaremos expresiones

indeterminadas.

ejercicio: Construir 10 expresiones indeterminadas.

1) x

2) y+1

3) tanx

4) logy

5) z/5

6) 20/y

7) xe

8) Colombia

9) Amarillo

10)Perro

Conectivos Lógicos

Los conectivos lógicos son símbolos de relación entre “proposiciones

simples”, para formar proposiciones compuestas.

Los conectivos lógicos también se llaman operadores lógicos.

Los conectivos lógicos utilizados son los siguientes.

1) “no” llamado negación

2) “y” llamado conjunción

3) “o” llamado disyunción. Nota: ese conectivo lógico puede hacer que se

o lo uno o lo otro que estamos relacionando al mismo tiempo.

4) “ó” llamado bidisyunción. Nota: ese conectivo lógico puede hacer que se

cumpla o lo uno o lo otro que estamos relacionando y nunca los dos al

mismo tiempo.

Page 6: Logica matematica y algebra

6

5) “si…entonces…” llamado condicional.

6)”…si solo si…”;”…ssi…” llamado bicondicional.

Ejercicio: construir 6 proposiciones compuestas utilizando diferentes

lógicos.

1) Pablo no es buen estudiante.

2) Alberto está en mi casa y estudia.

3) Pedro estudia o escucha música.

4) El sol es amarillo ó blanco.

5) Si mi casa está cerca de la tuya entonces somos vecinos.

6) 2+3=5 si solo si 3=5-2.

Estudio del Conectivo Lógico “no”

Dada una proposición simple p, se puede formar otra proposición que se llama

negación a p, escribiendo “es falso que”, “no ocurre que”, “no es verdad que”.

Antes de p o, cuando es posible insertarlo en p la palabra “no”.

La negación de la proposición p que se denota por ~p=

p = p cambia el valor

de verdad de p, y se lee “no p”. A si:

Si V(p)=V, V(~p)=F

o Si V(p)=F, V(~p)=V

Estos resultados se resumen en la siguiente tabla denominada tabla de valores

de verdad de la proposición compuesta ~p:

p ~p

V

F

F

V

Ejercicio: Construir 2 proposiciones del tipo ~p una verdadera y otra falsa. Y

escriba cada una de ellas bajo 4 deferentes formas de lenguaje.

1) p: Juan es buen estudiante. V(p)= V

~p: Juan no es buen estudiante. V(~p)= F

~p: Es falso que Juan es buen estudiante.

~p: No es verdad que Juan es buen estudiante.

~p: No es cierto que Juan es buen estudiante.

2) p: Pablo no tiene todos los exámenes. V(p)= F

~p: Pablo tiene todos los exámenes. V(~p)= V

Page 7: Logica matematica y algebra

7

~p: Es falso que Pablo tiene todos los exámenes.

~p: No es verdad que Pablo tiene todos los exámenes.

~p: No es cierto que Pablo tiene todos los exámenes.

Ejercicio: Realizar el ejercicio anterior utilizando desigualdades.

1) p: 8≥0 V(p)= V

~p: 8<0 V(p) V(~p)= F

~p: es falso que 8<0

~p: no es verdad que 8<0

~p: no es cierto que 8<0.

2) p: 5+4<2 V(p)= F

~p: 5+4≥2 V(p)= V

~p: es falso que 5+4<2

~p: no es verdad que 5+4<2

~p: no es cierto que 5+4<2

Estudio del conectivo Lógico “y”

Sean p.q 2 proposiciones simples lógicamente relacionables con este conectivo

lógico. La proposición compuesta resultante de relacionar esas proposiciones

simples con ese conectivo es “p y q”. La misma que se simboliza como

p^q=p.q.

Esa proposición compuesta es verdadera solo sí p y q son verdaderas. Siendo en consecuencia esa proposición compuesta falsa en los demás casos. Esto se resume en la siguiente tabla de valores de verdad para esta

proposición compuesta.

p q p^q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

Page 8: Logica matematica y algebra

8

La proposición compuesta p^q se lee de las siguientes formas: p y q, p pero q,

p sin embargo q, p.q

Ejercicio: Construir 2 proposiciones compuestas del tipo p^q una verdadera y

otra falsa y expresar cada uno de estas bajo 4 diferentes formas de lenguaje.

1)

p: Loja pertenece a Ecuador. V(p)= V

q: Lima pertenece a Perú. V(q)= V

(p^q): Loja pertenece a Ecuador y Lima pertenece a Perú. V(p^q)=V

(p^q): Loja pertenece a Ecuador pero Lima pertenece a Perú.

(p^q): Loja pertenece a Ecuador sin embargo Lima pertenece a Perú.

(p^q): Loja pertenece a Ecuador. Lima pertenece a Perú.

2)

p: 2+2=4 V(p)= V

q: 2+5<3 V(q)= F

p^q: 2+2=4 y 2+5<3 V(p^q)=F

p^q: 2+2=4 pero 2+5<3

p^q: 2+2=4 sin embargo 2+5<3

p^q: 2+2=4.2+5<3

Estudio del conectivo lógico “o”:

Sean p.q 2 proposiciones simples lógicamente comparables con este conectivo

lógico. La proposición compuesta resultante de esta comparación es “p o q” la

misma que se simboliza o se nota o se forma de la siguiente manera:

“poq”=pvq= p+q.

Esta proposición compuesta es verdadera si al menos una de las proposiciones

simples p,q es verdadera. Luego esta proposición compuesta será falsa si las

proposiciones simples p,q son falsas.

Esto implica la siguiente tabla de valores de verdad para esta proposición

compuesta.

p q pvq

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F

Page 9: Logica matematica y algebra

9

Ejercicio: Construir 2 proposiciones compuestas del tipo pvq una verdadera y

otra falsa.

1)

p: 2º=1 V(p)= V

q:Log1=0 V(q)=V

pvq: 2º=1 o log1=0 V(pvq)= V

2)

p: 20 es un número primo V(p)= F

q: 3 es múltiplo de 5 V(q)= F

pvq: 20 es un número primo o 3 es múltiplo de 5. V(pvq)= F

Estudio del conectivo lógico “ó”:

Así mismo sean p,q 2 proposiciones simples lógicamente comparables con este conectivo. La proposición compuesta resultante de esta comparación es “p

o q”. La misma que se denota o simboliza como qvp

= pwq.

Esta proposición compuesta es verdadera únicamente cuando una de las 2 proposiciones simples p,q es verdadera en los demás casos esta proposición compuesta es falsa. Esto implica la siguiente tabla de verdad para esta proposición compuesta.

Esta proposición compuesta se lee p ó q= o p o q= (p o q) y no (p y q)

Ejercicio: Construir 2 proposiciones compuestas del tipo qvp

una verdadera

otra falsa y expresar cada una de estas bajo 3 tipos diferentes de lenguaje. 1) p:2+2=5 V(p)= F

q: 3

63 V(q)= F

qvp

: 2+2=5 ó 3

63 V( qvp

)= F

qvp

:o 2+2=5 o 3

63

qvp

: (2+2=5 o 3

63 ) y no (2+2=5 y

3

63 )

2) p: 2+2=5 V(p)= F q: 3+3=3x2 V(q)= V

qvp

: 2+2=5 ó 3+3=3x2 V( qvp

)=V

p q p v q

V V F F

V F V F

F V V F

Page 10: Logica matematica y algebra

10

qvp

: o 2+2=5 o 3+2=3x2

qvp

: (2+2=5 o 3+3=3x2) y no (2+2=5 y 3+3=3x2)

Estudio del conectivo lógico “si…entonces…” Sean p,q 2 proposiciones simples lógicamente enlazables con este conectivo lógico, la proposición compuesta resultante de este enlazamiento es “si p entonces q” la misma que se simboliza como p→q. esta proposición compuesta es falsa solamente cuando q es falsa siendo p verdadera, esto implica que esta proposición compuesta es verdadera en los demás casos. En consecuencia la tabla de valores de verdad de esta proposición compuesta es la siguiente.

p q p→q

V V F F

V F V F

V F V V

Esta proposición compuesta se lee de las siguientes maneras. p→q: “si p entonces q”; “p es suficiente para q”; “q es necesaria para p”; “si p, q”; “p implica q”; “q si p”; “q siempre que p”; “p solo si q”; “ es falso que p y no q” ejercicio: Construir 2 proposiciones compuestas del tipo p→q. una verdadera y otra falsa. Y expresar cada una en 9 diferentes formas de lenguaje. 1) p: 2+5=7 V(p)= V q: 7-2=5 V(q)= V p→q: Si 2+5=7 entonces7-2=5 V(p→q)= V p→q: 2+5=7 es suficiente para7-2=5 p→q: 7-2=5 es necesario para 2+5=7 p→q: SI 2+5=7, 7-2=5 p→q: 2+5=7 implica 7-2=5 p→q: 7-2=5 si 2+5=7 p→q: 2+5=7 solo si 7-2=5 p→q: es falso que 2+5=7 y no 7-2=5 2)

p: 39 V(p)= V

q: 32=6 V(q)= F

p→q: Si 39 entonces 32=6 V(p→q)= V

p→q: 39 es suficiente para 32=6

p→q: 32=6 es necesario para 39

Page 11: Logica matematica y algebra

11

p→q: SI 39 , 32=6

p→q: 39 implica 32=6

p→q: 32=6 si, 39

p→q: 39 solo si 32=6

p→q: es falso que 39 y no 32=6

Estudio del conectivo lógico …”si solo si…” Sean p,q 2 proposiciones simples lógicamente enlazables, con este conectivo lógico. La proposición compuesta resultante de este enlazamiento es “p si solo si q”. La misma que se simboliza como p↔q y a su vez significa igual a (p→q) (q→p). Está proposición compuesta por el hecho de utilizar 2 condicionales se llama también condicional doble de 2 proposiciones simples, esta proposición compuesta es verdadera en 2 casos. Caso: Cuando p y q son verdaderas Caso 2: Cuando p y q son falsas Esto implica que en los demás casos esa proposición es falsa. En consecuencia la tabla de valores de verdad para esa proposición compuesta es la siguiente:

La proposición compuesta p↔q se lee:”p si solo si q”; “p es necesario y suficiente para q”, “q es suficiente y necesario para p”; “p siempre y cuando q”; “p si q”; “p en caso de q”. Ejercicio: construir dos proposiciones compuestas del tipo p↔q. Una verdadera y una falsa. Y escribir cada una de estas en 6 diferentes formas de lenguaje.

39: p V(p)= V

93: 2 q V(q)= V

p↔q: 39 si solo si 932 V(p↔q): V

p↔q: 39 es necesario y suficiente para 932

p↔q: 932 es suficiente y necesario para 39

p↔q: 39 siempre y cuando 932

p↔q: 39 si 932

p↔q: 39 siempre y cuando 932

p: Log1= 0 V(p)= V q: 10º=2 V(q) F

p q p↔q

V V F F

V F V F

V F F V

Page 12: Logica matematica y algebra

12

p↔q: Log1= 0 si solo si 10º=2 V(p↔q): F p↔q: Log1= 0 es necesario y suficiente para 10º=2 p↔q: 10º=2 es suficiente y necesario para Log1= 0 p↔q: Log1= 0 siempre y cuando 10º=2 p↔q: Log1= 0 si 10º=2 p↔q: Log1= 0 siempre y cuando 10º=2 Nota: A continuación vamos a estudiar otros conectivos lógicos también de gran importancia en el lenguaje matemático 1) Estudio del conectivo lógico “ni…ni…” Así mismo sean p,q 2 proposiciones simples lógicamente enlazables con este conectivo lógico la proposición compuesta resultante de este enlazamiento es “ni p, ni q” la misma que simboliza o formaliza como “p↓q” esta proposición compuesta representa la operación contraria a la disyunción y se llama indisuyunción. En efecto esta proposición compuesta es verdadera solamente cuando p y q son falsas. Siendo en consecuencia esta proposición compuesta falsa en los demás casos. Esto implica la siguiente tabla de valores de verdad para esta proposición compuesta.

p q p↓q

V V F F

V F V F

F F F V

Ejercicio: construir 2 proposiciones compuestas del tipo p↓q. Una verdadera y otra falsa. 1)

p: 39 V(p)= V

q: 32=8 V(q)=F

p↓q: ni 39 , ni 32=8 V(p↓q )=F

2)

p: 49 V(p)= F

q: 22=9 V(q)=F

p↓q: ni 49 , ni 22=9 V(p↓q )=V

2) Estudio del conectivo lógico:”…es incompatible con…” Así mismo sean p, q 2 proposiciones simples lógicamente enlazables con este conectivo lógico. La proposición compuesta resultante de este enlazamiento es:

Page 13: Logica matematica y algebra

13

“p es incompatible con q”. La misma que se simboliza o nota por “p↑q” o como “p│q” esta proposición representa la operación contraria a la conjunción motivo por el cual se lo llama inconjunción En efecto esta proposición compuesta será falsa solamente cuando p y q son verdaderas. Esto implica la elaboración de la siguiente tabla de valores de verdad para esta proposición compuesta.

p q p↑q

V V F F

V F V F

F V V V

Ejercicio: construir 2 proposiciones compuestas del tipo “p↑q”. una verdadera y la otra falsa. 1) p: 2x3=6 V(p)=V q: 6÷2=3 V(q)=V p↑q: 2x3=6 es incompatible con 6÷2=3 V(p)=F 2)

532: xp V(p)= F

2

53: q V(q)=F

p↑q: 532 x es incompatible con 2

53 V(p↑q)=V

Observación: Hemos visto que las proposiciones simples pueden ser enlazables mediante las palabras: y, o, si…entonces, etc. Y así formar de esta manera otras proposiciones denominadas “compuestas”. Las proposiciones compuestas también se las representan mediante las letras P, Q, R, S, T… acompañadas de un paréntesis en el cual queda indicado entre comas los símbolos de las proposiciones simples componentes. Ejemplo: La proposición compuesta )( rqp : P (p, q, r).

Ejercicio: determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. Valor de verdad de proposiciones compuestas 1) P: Quito está en el Ecuador y en América del sur. p: Quito está en el Ecuador V(p)= V q: Quito está en América del sur. V(q)= V

qp

VVV

Page 14: Logica matematica y algebra

14

2) Q: El hierro es gas o el oxígeno es metal.

p: El hierro es gas V(p)= F

q: El oxígeno es metal V(q): F

qp

FVF

3)R: o el sodio es un elemento químico o el hierro es metal

p: el sodio es un elemento químico V(p)= V

q: el helio es metal V(q)= F

qp

VVF

4) S: el hierro es metal, el oxígeno es gas

p: el hierro es metal V(p)= V

q: el oxígeno es gas V(q)= V

qp

VVV 5) T: ni el sodio es un elemento químico, ni el oxígeno es metal p: el sodio es un elemento químico V(p)= V q: el oxígeno es metal V(q): V

qp

VVV

6) U: Es falso que 4+3= 7

p: 4+3=7 V(p)= V

~ p

F V

Page 15: Logica matematica y algebra

15

7) V: Einstein desarrolló la teoría de la relatividad siempre y cuando el hierro es

magnético.

p: Einstein desarrolló la teoría de la relatividad V(p)= V

q: El hierro es magnético V(q)= V

qp

VVV

8) W: 5=5 implica 2+3=5

p: 5=5 V(p)= V

q: 2+3=5 V(q)= V

qp

VVV

Tablas de Verdad

Ejercicio: hallar el valor de verdad de las siguientes fórmulas

1) q~p~q~p~

p q (~p ~ q) → ( ~ p ↓ ~ q)

V V F F F V F V F

V F F F V V F F V

F V V F F V V F F

F F V V V F V F V

Page 16: Logica matematica y algebra

16

2) p~qp~

p q (~p q) ~p

V V F F V V F

V F F F F V F

F V V V V V V

F F V F F V V

3) pqqp ~~

(p ↓ ~ q) → ( ~ q p

V F F V V F V F V

V F V F V V F V V

F V F V F F V F F

F F V F V V F F F

Page 17: Logica matematica y algebra

17

4) q~~q~~ p

~ [ ~ (q ~ p) → ~ q]

V V V F F V F F V

F V F F F V V V F

F F V V V F V F V

F V F F V F V V F

Observaciones:

1) Las tablas de verdad es una forma concisa de determinar el valor de verdad de una fórmula; en función de las variables p, q, r, s… y de los operadores. El número de posibilidades de valores de verdad de una fórmula es 2n, donde n es el número de variables. 2) Es necesario conocer el orden en que se desarrolla la tabla de verdad. Se recomienda utilizar las siguientes reglas: a) Si las proposiciones unidas por operadores están cerradas por paréntesis, hay que desarrollar el valor de verdad de los paréntesis internos, como el álgebra) b) Si una fórmula está unida por comas, se debe desarrollar primero lo que está antes y después de la coma, “antes de una de las proposiciones” con el operador principal que se indica. c) Si no hay paréntesis, se debe desarrollar la tabla de verdad en orden de acuerdo a la jerarquía de los operadores, esto es, ~, v, , →, ↔, ↓, ↑. Puesto que la conjunción y la disyunción tiene igual jerarquía, se deberá establecer cuál va a predominar. d) Si no hay comas, ni paréntesis se debe especificar el operador que va a predominar.

Page 18: Logica matematica y algebra

18

Ejemplo: Calcular el valor de verdad de las siguientes fórmulas. (p q) r

V V V V V V V V F F V F F F V V F F F F F F V F V F F V F F F F F F V F F F F F

2) q~~ pr

(r v ~ p) ~ q

V V F V F F V

F F F V F F V

V V F V V V F

F F F V F V F

V V V F F F V

F V V F F F V

V V V F V V F

F V V F V V F

Page 19: Logica matematica y algebra

19

3) Encontrar el valor de verdad de la disyunción

pqqp

4) Desarrollar la tabla de verdad de la siguiente conjunción

pqqp ~

(p v q) ~ (q → p)

V V V F F V V V

V V F F F F V V

F V V V V V F F

F F F F F F V F

(p q) v (q → p)

V V V V V V V

V F F V F V V

F F V F V F F

F F F V F V F

Page 20: Logica matematica y algebra

20

5) Hallar el valor de verdad del siguiente condicional

p~rp~ q

[q ( ~ p v r)] → ~ p

V V F V V V F F V

V F F V F F V F V

F F F V V V V F V

F F F V F F V F V

V V V F V V V V F

V V V F V F V V F

F F V F V V V V F

F F V F V F V V F

6) Determinar la tabla de verdad del siguiente bicondicional:

q~p~p~q~

( ~ q ↓ ~ p) ↔ ( ~ p ↑ ~ q)

F V V F V V F V V F V

V F F F V F F V V V F

F V F V F F V F V F V

V F F V F V V F F V F

Page 21: Logica matematica y algebra

21

7) Normalizar las siguientes proposiciones compuestas:

No es verdad que los números reales son naturales y que los naturales

son reales.

p: Los números reales son naturales

q: Los naturales son reales

~ qp

Si un número natural es real y no racional entonces es irracional

p: número natural

q: número racional

r: número irracional

rp q~

8) Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas.

Si se sabe que

p: Log21=0 V (p)= V

q: e0=2 V (q)= F

V®= V(~q) V®=V

a) r~pq~p~

~ [p (~ q v p)] → ~ r

F V V V F V V V F V

b) q~r~ vp

(p v ~ r) → (~ q)

V V F V V V F

Page 22: Logica matematica y algebra

22

TAUTOLOGÍAS

Definición: Las Tautologías son aquellas fórmulas cuyo valor de verdad solo

contiene valores V.

Si una fórmula es una tautología, a esta se la representa con el símbolo V/

Ejercicio:

Determinar si las siguientes fórmulas son o no tautologías

1) p~pq~

~ (q p) → ~ p

F V V V V F V

V F F V F F V

V V F F V V F

V F F F V V F

2) .(qp~~ qp =V/

~ [~ [(p q) → (p v q] ]

V F V V V V V V V

V F V F F V V V F

V F F F V V F V V

V F F F F V F F F

Contradicciones

Definición: Las contradicciones son aquellas fórmulas cuyo valor de verdad

contiene solo valores F.

Si una fórmula es una contradicción, entonces esta se simboliza como │F. o como

Ejercicio

Page 23: Logica matematica y algebra

23

1) Determinar si la siguiente fórmula es una contradicción ~ [p (q r)] ↔ [(p q) (p r)] =│F

F V V V V V F V V V V V V V F V V V V F F V V V V V F F F V V F V V F V F F V V V V V V F F F F F V F F F V F F V F F V V V F F F V F F F V V F F V V F F F F V F F F F V F F F V V F F F F F F F V V F F F F F F F F F F F F F

2) Determinar cuál de las siguientes fórmulas constituyen una tautología o

una contradicción.

Fórmulas Indeterminadas

Definición: Llámese fórmulas indeterminadas a aquellas fórmulas cuyo valor

de verdad contiene valores V y valores F.

Si una fórmula es una indeterminada esta se representa por F.I

p ~ p = │F

V F F V

F F V F

p ~ p = V/

V V F V

F V V F

Page 24: Logica matematica y algebra

24

Ejercicio:

Determinar se la siguiente fórmula es indeterminada o no.

~ (q r) → (~ p) = F.I

F V V V V F V

V V F F F F V

V F F V F F V

V F F F F F V

F V V V V V F

V V F F V V F

V F F V V V F

V F F F V V F

Implicación Lógica:

Definición: Sean P y Q 2 fórmulas. Si la tabla de verdad de P→Q representa

una tautología diremos entonces que P implica lógicamente a Q y lo

representaremos como PQ, lo que a su vez significa que Q es consecuencia

de P.

Page 25: Logica matematica y algebra

25

Ejercicio:

1) Sean P: rqqp

Q: rp

Demostrar PQ

(p → q) (q → r) ↔ p → r, PQ LQQD

V V V V V V V V V V V

V V V F V F F V V F F

V F F F F V V V V V V

V F F F F V F V V F F

F V V V V V V V F V V

F V V F V F F V F V F

F V F V F V V V F V V

F V F V F V F V F V F

2) Demostrar si p q es consecuencia de p q

p q → p q LQQD

V V V V V V V

V F F V V V F

F F V V F V V

F F F V F F F

Page 26: Logica matematica y algebra

26

Equivalencia Lógica:

Definición: Sean P, Q 2 fórmulas. Si la tabla de valores de verdad P↔Q

Representa una tautología decimos entonces que P es lógicamente equivalente

con Q, o que P es equivalente con Q y lo representamos por PQ o por PQ.

Con lo que diremos que P y Q representan lo mismo o que tienen el mismo

valor de verdad o que cada uno se reduce de la otra.

Ejercicio:

Sean P: p→q

Q: ~p q

Demostrar que PQ

p → q ↔ ~ p q, PQ LQQD

V V V V F V V V

V F F V F V F F

F V V V F F V V

F V F V V F V F

Leyes del álgebra proposicional

Las leyes del álgebra proposicional, constituyen las siguientes equivalencias

lógicas y también se llaman leyes lógicas. Y constituyen las siguientes.

1) Leyes de absorción

pqpp

pqpp

Ejercicio: Demostrar las leyes

p (p q) ↔ p, LQQD

V V V V V V V

V V V F F V V

F F F F V F F

F F F F F F F

p (p q) ↔ p, LQQD

V V V V V V V

V V V V F V V

F F F V V F F

F F F F F F F

Page 27: Logica matematica y algebra

27

2) Idempotencia

p pp

ppp

Ejercicio: Demostrar las leyes

3) Asociativas

(p q) r p (q r) p q r

(pq) r p (q r) pq r

(p↔q) ↔ rp ↔ (q↔r) p↔q↔r

Ejercicio: Demostrar las leyes

(p q) r p (q r) LQQD

V V V V V V V V V V

V V V V F V V V V F

V V F V V V V F V V

V V F V F V V F V F

F V V V V F V V V V

F V V V F F V V V F

F F F V V F V F V V

F F F F F F F F F F

p p ↔ p LQQD

V V V V V

F F F V F

p p ↔ p LQQD

V V V V V

F F F V F

Page 28: Logica matematica y algebra

28

(p q) r p (q r) LQQD

V V V V V V V V V V

V V V F F V F V F F

V F F F V V F F F V

V F F F F V F F F F

F F V F V F F V V V

F F V F F F F V F F

F F F F V F F F F V

F F F F F F F F F F

(p ↔ q) ↔ r p ↔ (q ↔ r) LQQD

V V V V V V V V V V

V V V F F V F V F F

V F F F V V F F F V

V F F V F V F F V F

F F V F V F F V V V

F F V V F F V V F F

F V F V V F V F V V

F V F F F F F F V F

Page 29: Logica matematica y algebra

29

4) Leyes Conmutativas

pqqp

p qq p

p↔qq↔p

Ejercicio: Demostrar las leyes.

p q q p LQQD

V V V V V V

V F F F F V

F F V V F F

F F F F F F

p ↔ q q ↔ p LQQD

V V V V V V

V F F F F V

F F V V F F

F V F F V F

5) Distributivas

p (q r) (pq) (p r)

p (p r) (p q) (p r)

p→ (q r) (p→q) (p→r)

p→ (q r) (p→q) (p→r)

Ejercicio: Demostrar las leyes

p q q p LQQD

V V V V V V

V V F F V V

F V V V V F

F F F F F F

Page 30: Logica matematica y algebra

30

p (q r) (p q) (p r) LQQD

V V V V V V V V V V V V

V V V V F V V V V V F F

V V F V V V F F V V V V

V F F F F V F F F V F F

F F V V V F F V F F F V

F F V V F F F V F F F F

F F F V V F F F F F F V

F F F F F F F F F F F F

p (q r) (p q) (p r) LQQD

V V V V V V V V V V V V

V V V F F V V V V V V F

V V F F V V V F V V V V

V V F F F V V F V V V F

F V V V V F V V V F V V

F F V F F F V V F F F F

F F F F V F F F F F V V

F F F F F F F F F F F F

Page 31: Logica matematica y algebra

31

p → (q r) (p → q) (p → r) LQQD

V V V V V V V V V V V V

V F V F F V V V F V F F

V F F F V V F F F V V V

V F F F F V F F F V F F

F V V V V F V V V F V V

F F V F F F V V F F V F

F F F F V F V F F F V V

F F F F F F V F F F V F

p → (q r) (p → q) (p → r) LQQD

V V V V V V V V V V V V

V V V V F V V V V V F F

V V F V V V F F V V V V

V F F F F V F F F V F F

F V V V V F V V V F V V

F V V V F F V V V F V F

F V F V V F V F V F V V

F V F F F F V F V F V F

6) De Morgan

q~p~qp~

q~p~qp~

Page 32: Logica matematica y algebra

32

Ejercicio: Demostrar las leyes

~ (p q) ~ p ~ q LQQD

F V V V F V F F V

V V F F F V V V F

V F F V V F V F V

V F F F V F V V F

7) De Complementación:

p~p │F

p~p V/

Ejercicio: Demostrar las leyes

p ~ p │F

V F F V F

F F V F F

~ (p q) ~ p ~ q LQQD

F V V V F V F F V

V V F F F V V V F

V F F V V F V F V

V F F F V F V V F

p ~ p V/

V V F V V

F V V F V

Page 33: Logica matematica y algebra

33

8) De Identidad:

pV/p

pV/V/

p│F│F

p│F p

Ejercicio: demostrar las leyes

p V/ p

V V V V

F F V F

9) Otras leyes:

~~pp

p→q~p q

p↔q (p→q) (q→p)

pv q (p q) ~ (pq)

p↓q~p~q

p↑q~p~q

p V/ V/

V V V V

F V V V

p │F │F

V F F F

F F F F

p │F p

V V F V

F F F F

Page 34: Logica matematica y algebra

34

Ejercicio: Demostrar las leyes

~ ~ p p

V F V V

F V F F

p ↔ q (p → q) (q → p)

V V V V V V V V V V

V F F V F F F F V V

F F V F V V F V F F

F V F F V F V F V F

p v q (p q) ~ (p q)

V F V V V V F F V V V

V V F V V F V V V F F

F V V F V V V V F F V

F F F F F F F V F F F

p → q ~ p q

V V V F V V V

V F F F V F F

F V V V F V V

F V F V F V F

Page 35: Logica matematica y algebra

35

p ↓ q ~ p ~ q

V F V F V F F V

V F F F V F V F

F F V V F F F V

F V F V F V V F

Observaciones:

1) Si en estas leyes también llamadas leyes lógicas reemplazamos las

proposiciones p, q, r por P, Q, R respectivamente siendo P, Q, R fórmulas

cualesquiera, entonces las equivalencias se siguen cumpliendo. Este

principio de substitución llámese simplemente principio de substitución de las

leyes lógicas.

Ejemplo:

Sea la ley lógica: p→q~p q ya demostrada esto implica: P→Q~PQ

Si para

P: ~pv q

Q: ~qp

Entonces tenemos:

(~pv q) → (~qp) ~ (~p

v q) (~qp)

De acuerdo a este principio tenemos que la última equivalencia también se

cumple:

(~ p v q) → (~ q p) ~ (~ p

v q) (~ q p)

F V V V F F V F V F F V V V F F V F V

F V F F V V F V V V F V F F V V F V V

V F F V V F V F F V V F F V V F V F F

V F V F F V F F F F V F V F F V F F F

p ↑ q ~ p ~ q

V F V F V F F V

V V F F V V V F

F V V V F V F V

F V F V F V V F

Page 36: Logica matematica y algebra

36

2) Las leyes lógicas conjuntamente con su intrínseco principio de substitución,

son aplicables para demostrar otras equivalencias lógicas.

Nota: Si se tiene la equivalencia genérica AB para demostrar esta

equivalencia lógica mediante leyes lógicas partimos de A y llegamos a B

usando leyes lógicas.

También podemos partir de B y llegar a A usando las leyes lógicas.

También lo podemos hacer de la siguiente manera. Cogemos A y

simplificamos y cogemos B y simplificamos y llegamos a una igualdad que

también queda demostrada.

Ejemplo: Utilizando leyes lógicas y sus intrínsecas principios de substitución

demostrar la siguiente equivalencia lógica.

p→q~q→~p

~p q~(~q) ~p Otras Leyes

~p qq~p Otras Leyes

~p q~p q Ley Conmutativa

Ejercicio: De mostrar la siguiente equivalencia lógica, sin utilizar tablas de

verdad.

(q p)↓p~(~p→q)

~(q p) ~p~[~(~p) q] Otras Leyes

(~q~p)~p~(p q) Ley de Morgan, Otras Leyes

(~p~p) ~q~p~q Ley asociativa, Ley de Morgan

~p~q~p~q LQQD Ley de Idempotencia

Demostrar la siguiente equivalencia lógica utilizando leyes lógicas

~p [~p (p→~q)] p↓p

~p [~ p (~p~q)] ~p~p Otras Leyes

~p [ (~p~p) ~q] ~p Ley asociativa, Ley de Idempotencia

~p (~p~q) ~p Ley de Idempotencia

~p~p Ley de Absorción

Page 37: Logica matematica y algebra

37

p~[~q (~q (p↓~q))] (p↓p) ↓ (q↓q)

p~[~q (~q (~p~(~q)))] (~p~p)↓( ~q~q) Otras Leyes

p~[~q (~q (~pq))]~p↓~q Otras Leyes, Ley de Idempotencia

p~[~q ((~qq) p)] ~(~p) ~(~q) Ley Asociativa, Otras Leyes

p~[~q ( │Fp)] pq Ley de complementación, Otras Leyes

p~(~q│F) pq Ley de Identidad

p~(~q) pq Ley de Identidad

pq LQQD Otras Leyes

(~p q) (~q~p) ~p

(~p q) (~p~q) ~p Ley Conmutativa

~p (q~q) ~p Ley Distributiva

~p│F~p Ley de complementación

~p~p Ley de Identidad

3) Las leyes lógicas junto con el principio de substitución también sirven para

simplificar “fórmulas”.

Ejemplo: Simplificar las siguientes fórmulas mediante leyes lógicas

1) ~[~(p q) (~qp)] p

~[(~p~q) (~qp)] p Ley de Morgan

~[(~q~p) (~qp)] p Ley Conmutativa

~[~q (~pp)] p Ley distributiva

~[~qV/]p Ley de complementación

~(~q) p Ley de identidad

qp Otras Leyes

pq Ley Conmutativa

Page 38: Logica matematica y algebra

38

2) ~(p q) [(p↓q) ↓(p↓q)]

~(p q) [(~p~q) ↓(~p~q)] Otras Leyes

~(p q) [~(~p~q) ~(~p~q)] Otras Leyes

~(p q) [(~(~p) ~(~q)) (~(~p) ~(~q))] Ley de Morgan

~(p q) [(p q) (p q)] Otras Leyes

~(p q) (p q) Ley de Idempotencia

│F Ley de Complementación

Simplificar las siguientes proposiciones compuestas

1) No es verdad que los números reales son naturales implica que los números

naturales son reales.

p: Los números reales son naturales

q: Los números naturales son reales

~(p→q)

~(~p q) Otras leyes

~(~p) ~q Ley de Morgan

p~q Otras Leyes; Los números reales son naturales y no es verdad que los

números naturales son reales.

2) No hace frío y está lloviendo

p: Hace Frío

q: Está lloviendo

~(pq)

~p~q Ley de Morgan; No hace frío o no está lloviendo

3) No es verdad que 2 es un número neutro o irracional

p: 2 es un número neutro

q: 2 es un número irracional

~(p q)

~p~q Ley de Morgan; 2 no es un número neutro y no es irracional

4)No es verdad que no hace frío o que esté lloviendo

p: Hace frío

q: Está lloviendo.

~(~p q)

Page 39: Logica matematica y algebra

39

~(~p) ~q Ley de Morgan

p ~q Otras Leyes; Hace frío y no está lloviendo

5) No es verdad que si Juan Montalvo fue escritor ambateño entonces es

colombiano

p: Juan Montalvo fue escritor ambateño

q: Juan Montalvo es colombiano

~(p→q)

~(~p q) Otras Leyes

~(~p)~q Ley de Morgan

p~q Otras Leyes; Juan Montalvo fue escritor ambateño y no es colombiano

6) No es verdad que los números reales son racionales si solo si los reales no

son racionales

p: Los números reales son racionales

~(p↔~p)

~[(p→~p) (~p→p)] Otras Leyes

~[(~p~p) (~(~p) p)] Otras Leyes

~[~p (p p)] Otras Leyes

~(~pp) Ley de Idempotencia

~│F Ley de Complementación

V/ Negación de Falsedad

Ejercicio: Sin ejercer tablas de verdad demostrar las siguientes equivalencias

1) ~(p↔q) pv q

~(p↔q) (p q) ~(pq) Otras Leyes

~(p↔q) (p q) (~p~q) Ley de Morgan

~(p↔q) [(p q) ~p] [(p q)~q] Ley distributiva

~(p↔q) [(~pp) (~pq)] [(~qp) (~qq)] Ley Distributiva

~(p↔q) [│F (~pq)] [(~qp) │F] Ley de complementación

~(p↔q) (~pq) (~qp) Leyes de Identidad

~(p↔q) ~(p~q)~(q~p) Ley de Morgan

Page 40: Logica matematica y algebra

40

~(p↔q) ~(~q p) ~(~p q) Ley Conmutativa

~(p↔q) ~[(q→p) (p→q)] Ley de Morgan

~(p↔q) ~[(p→q) (q→p)] Ley Conmutativa

~(p↔q) ~(p↔q)LQQD. Otras Leyes.

2) ~(p↔q) p↔(~q)

pv q (p→~q) (~q→p) Otras Leyes

pv q (~p~q) [~(~q) p] Otras Leyes

pv q ~(pq) (q p) Ley de Morgan, Otras Leyes

pv q ~(pq) (p q) Ley Conmutativa

pv q (p q) ~(pq) Ley Conmutativa

pv q p

v q LQQD Otras Leyes.

3) 2耀~q~p↔q

(p→~q) (~q→p) (~p→q) (q→~p) Otras Leyes

(~p~q) (q p) (p q) (~q~p) Ley De Morgan, Otras Leyes

(p q) (~p~q) (p q) (~p~q) Otras Leyes

Predicados

Los predicados también se llaman “Funciones proposicionales” o “esquemas

proposicionales” o “formas proposicionales”. Y consta en lo siguiente.

Las expresiones

a) x+10=12

b) x es un número impar

Recordaremos que no son proposiciones simples, si no oraciones abiertas

puesto que, no se puede determinar su valor de verdad.

Page 41: Logica matematica y algebra

41

Sin embargo si substituimos “la variable x” por un número entero por ejemplo,

entonces obtenemos proposiciones simples así:

X=3→ a)3+10=12b) 3 es un número impar

X=5→ a)5+10=12b) 5 es un número impar

I I I

Las expresiones como I y I I. . con “la x definida” para determinar todos los

valores los cuales convierten a esta oración abierta en proposiciones simples,

son llamadas predicados

Notación:

Los predicados I y I I. . Se denotan o se representan de la siguiente manera

I : p(x): x+10=12, A= 5,3

I I: q(x): x es un número impar, A= 5,3

Donde en vez de utilizar y(x) o q(x) se puede utilizar cualquier letra del alfabeto

acompañado de la variable x.

Además el conjunto A se reconoce como “dominio de interpretación del

predicado “.

Para el caso I se dice que p(x) es una función proposicional sobre A.

Ejemplo:

Sea las siguientes funciones proposicionales definida para 2 variables x e y

siguientes

q(x, y): y es divisible para x: Ax= 5,2 Ay= 5,8

Aquí se dice que p(x, y) es una función proposicional sobre x en y su puede

deducir todos las proposiciones simples que surgen de este predicado.

q (x. y)= y es divisible para x: Ax= 3,2 Ay= 5,8

q(2,8): 8 es divisible para 2.

q(2,5): 5 es divisible para 2.

q(3,8): 8 es divisible para 3.

q(3,5): 5 es divisible para 3.

Dado el siguiente predicado Q(x,y) y=x2, Ax= 2,1 Ay= 4,3 . Deducir

todas las proposiciones simples que puedan ser posibles.

Q(1,3): 3=12

Page 42: Logica matematica y algebra

42

Q(1,4): 4=12

Q(2,3): 3=22

Q(2,4): 4=22

Definición: Sea p(x) una función proposicional sobre A. Al concepto de todos

los elementos de A para los cuales P(x) se transforma en una proposición

verdadera, se denomina conjunto solución de la función.

Notación: El conjunto solución de la función p(x) se representa como Vp.

Ejercicio: Calcular el conjunto solución de cada una de las siguientes

funciones proposicionales

1) p(x): 2x+3= 7; A= 1,0

p(0): 2(0)+3= 7; 3=7

p(1): 2(1)+3= 7; 5=7

Vp=

2) q(x): x2-1=0; A= 1,0,1

q(-1): (-1)2-1=0; 0=0

q(0): (0)2-1=0; 0=1

q(1): (1)2-1=0; 0=0

Vq: 1,1

3) t(x): x3-1=0; A= 2,1

t(1): (1)3-1=0; 1=1

t(x): (2)3-1=0; 8=1

Vt= 1

4) s(x): x2+2x+1=0; A= 1 s(-1): (-1)2+2(-1)+1=0; 0=0 Vs= 1

Cuantificadores

Sea Z= ...3,2,1,0,1,2,3...

p(x):x+1=2; A=Z. Una función proposicional sobre A p(x): no es una

proposición simple, pero las siguientes afirmaciones sí lo son.

p: para todo número entero, x+1=2

q: existe un número entero tal que, x+1=2

r: existe un único número entero, x+1=2

s: para ningún número entero, x+1=2

Page 43: Logica matematica y algebra

43

Donde el² € or de verdad de estas proposiciones simples son los

siguientes

V(p)= F

V(q)= V

V®= V

V(s)= F

Definición: Las expresiones para todo, existe un, existe un único, y para

ningún. Transforman el predicado p(x) en proposiciones simples. A estas

expresiones de transformación se les conoce con el nombre de cuantificadores.

Notación:

1) El cuantificador “para todo” se simboliza y se lee de las siguientes

maneras: “para todo”, “para todos”, “cada”, “ningún”, para cada”,

“todos”

Este cuantificador es llamado cuantificador universal

La proposición simple a se simboliza de la siguiente manera:

21, Xx

2) El cuantificador “existe un” se denomina cuantificador extencial y se

simboliza como el cual se lee: “existe un”, “existe al menos un”, “para

algún”, “para al menos un”, “existe algún”, “existen algunos”

De esta forma la proposición simple b se simboliza de la siguiente

manera: 21, xx

3) El cuantificador “existe un único” se denomina cuantificador particular y

se los simboliza como: !

De esta forma la proposición simple c se simboliza de la siguiente manera:

21,! x

4) El cuantificador “para ningún” se denomina cuantificador nulo y se

simboliza como ││

De esta forma la proposición simple d se simboliza de la siguiente

manera:

││ 2, xx

Page 44: Logica matematica y algebra

44

Observación: A fin de poder formalizar correctamente proposiciones simples

con cuantificadores, revisaremos brevemente algunos subconjuntos entre los

números │R y su notación.

Z+= ...4,3,2,1 Conjunto de los números enteros positivos

N= ....3,2,1,0 Conjunto de los números naturales

Z-= 1,2,3,4... Conjunto de los números enteros negativos

Z= ...3,2,1,0,1,2,3... Conjunto de los números enteros

Q= 0: bbab

a Conjunto de los números racionales

D= 9,8,7,6,5,4,3,2,1,0 Conjunto de los números dígitos decimales

Ejercicio: Formalizar las siguientes proposiciones simples y encontrar su valor

de verdad.

1) existe un único entero para todo entero tal que su suma da cero

0,!: yxyxp V(p)= V

2) cada número natural es mayor que cero

0;: xNxq V(q)= F

3) existen números reales menores que cero

0x,R: xr V®=V

4) existe un único x para que x+1=-3

31,!: xxs V(s)= V

5) Para algunos x (x es entero), x+0=0

00,: Xxt V(t)= F

Nota: Existen otras formas de proposiciones simples cuantificables

frecuentes en las matemáticas que se estructuran de acuerdo al

siguiente ejemplo:

Sean los predicados: T(x): x es tiburón

F(x): x es feroz

1) xx FTxp : . Se lee todos los tiburones son feroces

2) xF~: xTxq Se lee ningún tiburón es feroz

3) xx FTxr : Algunos tiburones son feroces

4) xx FTxs ~!: Algunos tiburones no son feroces

Page 45: Logica matematica y algebra

45

Ejercicio: Formalizar las siguientes proposiciones simples y por simple

inspección calcular su valor de verdad

R(x): x es número real

N(x): x es número natural

1) Todos los números reales son naturales

xx NRxp : V(q)= F

2) Ningún número natural es real

xx RNxq ~: V(q)= F

3) Algunos números naturales son reales

xx RNxr : V(r)=V

4) Algunos números naturales no son reales

XR~: XNxs V(s)= F

Ejercicio:

Formalizar las siguientes proposiciones utilizando cuantificadores y encuentre

en cada uno sus valores de verdad

1) Todo hombre es mortal

xP x es hombre

xQ x es mortal

xx MPxp : V(p)= V

2) El cuadrado de un número par es también par

CX: x es un número par

Px: x2 es un número par

xx PCxq : b V(q): V

3) Ningún número puede dividirse por cero

CX: x es un número

Dx: x puede dividirse por cero

xP~: xCxr

Page 46: Logica matematica y algebra

46

Teorema de Morgan

Los cuantificadores y pueden negarse de la siguiente manera

1) p: xpAx , ~p: xp~,Ax

2) p: xpAx , ~p: xp~,Ax

Ejercicio: Hallar el valor de verdad de cada una de las siguientes

proposiciones compuestas cuantificadas y luego niéguelas

1) 1,1, xZxxNx

p: 1, xNx V(p)= F

q: 1, xZx V(q)= F

~(p→q)

~(~p q) Otras Leyes

p~q Ley de Morgan

1,1, xZxxNx

2) 3,v3,-

xxxx

p: 3, xx V(p)=V

q: 3, xx V(q)= F

~(p-v q)

p↔q Equivalencia lógica

3,3, xxxx

p → q

F V F

p -v q

V V F

Page 47: Logica matematica y algebra

47

3) 0,1, 2 xxxx

p: 1, 2 xx V(p)=F

q: 0, xx V(q)= V

~(pq)

~p~q Otras Leyes

0,1, 2 xxxx

4) xxxxx 2,0,

p: 0, xx V(p)=F

q: xxx 2, V(p)=V

~(p↔q)

pv q Equivalencia Lógica

xxxvxx

2,0,

5) 4 xpositivo, esx,!~ 2 p: 4 xpositivo, esx,!~ 2 V(p)= V

4 xpositivo, esx,!~ 2

6) ( x , x es entero,x2=4) 3=4

p: x , x es entero,x2=4 V(p)= F

q:3=4 V(q)= F

~(p~q)

~pq Ley de Morgan, Otras Leyes

x , x es entero,x2=4 3=4

p q

F F V

p ↔ q

F F V

~ P

F V

p ~ q

F V V F

Page 48: Logica matematica y algebra

48

Teorema de Morgan ampliado

Si p: ),(, yxpBAyx ~p: y)p(x,~,BAyx

Ejercicio: negar las siguientes proposiciones simples

1) p: 0, yxZyZx

~p: 0, yxZyZx

2) q: ),,(, zyxpzxy

~q: ),,(~, zyxpzxy

3)r: (q(z))~)(; ypzy

~r: (q(z)))~)((; ypzy

~r: (q(z)))(~; ypzy

Métodos de Demostración de Teoremas

Las proposiciones de las demostraciones de una teoría matemática se

clasifican en dos tipos: Las aceptadas sin demostración que son los axiomas y

las que se demuestran llamadas teoremas.

La demostración de un teorema es un procedimiento en el que se enlaza o

combinan 2 o más proposiciones utilizando ciertas reglas lógicas.

La valides de la demostración de un teorema resulta de la valides de las

proposiciones y reglas que en ella interfieren

Por lo general en el enunciado de un teorema incluye explícitamente las

proposiciones de partida, a estas las denominaremos H “hipótesis del teorema”.

Si partiendo de la Hipótesis se puede “deducir” otra proposición esta es

llamada T “tesis”; en otros términos debemos verificar si H→T es verdadera:

Los siguientes métodos de demostración son los más usuales:

Método Directo:

De acuerdo a la tabla de verdad del condicional, para demostrar que la

proposición H→T es verdadera, es suficiente demostrar que se la proposición

H es verdadera, entonces T es verdadera.

Así

Ejercicio: por el método directo demostrar el siguiente teorema

H → T

V

H → T

V V V

Page 49: Logica matematica y algebra

49

1) Si n es un número entero impar entonces n2 es impar H: n es un

número entero impar V(H)= V T: n2 es un número impar

ZyyxxxxxZxx ,12122214412,12 222

Método de deducción al absurdo

De acuerdo a la tabla de verdad del condicional, para demostrar que la

proposición H→T es verdadera es suficiente deducir de la hipótesis: H es

verdadera y T es falsa un resultado imposible, es decir 2 contradicciones.

Ejercicio: Demostrar que 0

1 no es un número real

Supongamos que 0

1 es un número Real a, es decir que

0

1=a se sigue

entonces que 1=0 ; 1=0 lo cual es un absurdo puesto que 01 . Este absurdo

se obtiene por haber supuesto que 0

1 es un número real luego lo correcto es

que 0

1 no es un número real. LQQD

Método Indirecto:

Este método de demostración también se llama método contra recíproco o

método de contradicción de la tautología (p→q)↔(~q→~p) o lo que es lo

mismo que la equivalencia lógica p)~q(~q)(p se sigue que para

demostrar que q es verdadera sabiendo que p’ es verdadera basta con

demostrar que ~q→~p es verdadera.

p → q ~ q → ~ p

V V V V

Ejercicio: por el método indirecto demostrar que: a2 es impar→ a es impar

1) a2 es impar→ a es impar

a2 no es impar→ a es par

→ *,2 kka

→ a2=(2k)2

→ a2=4k2

→ a2=2(2k2)

→ a2=2t; *Zt → a2 es par

Page 50: Logica matematica y algebra

50

→ a2 no es impar LQQD 2) a2 es par→ a es par a2 no es par→ a es impar

→ a=2k+1, *Zk

→a2= (2k+1)2 →a2= 4k2+4k+1 →a2= 2(2k2+2k)+1

→a2=2t+1, kkTZt 22 2 →a2 es impar →a2 no es impar LQQD Método de inducción:

Este método de demostración de teoremas no se ve en el presente programa.

Contraejemplos:

Este método de demostración consiste en dar un ejemplo que no cumple la

tesis, demostrando así que la tesis es falsa.

Ejercicio: demostrar si es verdad o falso o que 115, xRx F

Si x=1→1+5=11 F

6 11

CONJUNTOS

Intuitivamente se dice que conjunto es una reunión o colección de objetos a los

que se les denomina elementos.

Se representan los conjuntos por las letras A, B, C… y a sus elementos se los

representa por a, b, c…

La relación de pertenencia de un elemento a un conjunto se nota con el

símbolo "" y se lee pertenece a, o es elemento de

Ejemplo:

Aa

La no pertenencia de un elemento a un conjunto se denota con: “”, y se

lee no pertenece a, o no es elemento de.

Ejemplo:

Ab

Page 51: Logica matematica y algebra

51

Numerosidad de un conjunto:

Se define como el número de elementos de un conjunto se lo representa como

“n(A)” se lee “numerosidad del conjunto A” o “número de elementos del

conjunto A”.

Ejemplo: Sea A= 4,2,1 ; n(A)= 3

B= dcba ,,, ; n(B)= 4

Formas de Expresar un conjunto:

Existen 2 formas de expresar en conjunto.

1) Por Extensión, enumeración o tabulación: E sta forma de expresar en

conjunto se manifiesta si están escritos o indicados todos los elementos que

forman al conjunto.

Ejemplo: Sea A={al conjunto de las vocales}, a quedaría expresado por

extensión: A={a, e, i, o, u}

Sea P={al conjunto de los números dígitos} exprese P por extensión

P={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

2) Por comprensión:

Esta forma de expresar un conjunto se manifiesta si se menciona la

propiedad común que satisface los elementos que forman el conjunto.

Ejemplo: Sea A={a, e, i, o, u} este conjunto quedaría expresado por

comprensión de la siguiente manera A= {x letras, x es vocal}

Ejercicio: expresar los siguientes conjuntos por comprensión

A={1, 2, 3} A={xZ+, 31 x }

B={-3, -2, -1} B={x Z-, 13 x }

C={0, 1, 2, 3, 4, 5} C={xN, 50 x }

D={-1, 0, 1} D={xZ, 11 x }

Page 52: Logica matematica y algebra

52

Clases de Conjuntos:

1) Conjunto Universo: Es el conjunto formado por la totalidad de los elementos

de una discusión o presentación matemática particular al conjunto universo

se lo representa con la letra U o E

Ejemplo: Sean las siguientes presentaciones matemáticas particulares

determinar su conjunto universo:

31, xZxA →U=Z+

13, xZxB → U= Z-

50, xZxC → U= Z

11, xZxD → U=Z

Observación: En una presentación de conjuntos siempre se supone definido

un conjunto universo pese a que no conste el universo en la representación del

conjunto

Ejemplo:

A={x letras; x es vocal}

→A={x; x es vocal}, U= Letras

2) Conjunto Vació o Nulo: 1 conjunto es vacío si no tiene elementos. El

conjunto vacío se simboliza o nota como “ ” o como “{ }”

Ejercicio: En forma comprensiva escriba 5 ejemplos de conjuntos vacíos:

1) xxZx ,

2) 13; xNx

3) 12; xNx

4) 023; 2 XxZx =(X+2)(X+1)=0;x=-2 x=1

5) 2; xZx

3) Conjunto Unitario: Es aquel que tiene 1solo elemento Ejercicio: Construir en

forma comprensiva 3 conjuntos unitarios:

453; xNx

5; xRx

4; 2 xZx

4) Conjunto Finito: Son aquellos que tienen un número determinado de

elementos es decir sus elementos se pueden contar.

Page 53: Logica matematica y algebra

53

U= Letras

A F

BB H

K

L D…..

Ejemplo:

9; xNxA

1,2,33; xZxB

12);1)(2(;23;23; 22 xxxxxxxxRxC

5) Conjunto Infinito: Son aquellos conjuntos en los que no es posible acabar de

contar sus elementos.

Ejemplo:

0; xRxA

9; xNxB

43; xRxP

Diagrama de Venn

Son representaciones de conjuntos mediante áreas planas, cerradas de forma

arbitraria, dentro de las cuales se disponen con elementos del conjunto que se

representa.

Observación: Si un conjunto se representa por diagrama de Venn entonces

este siempre vendrá referido al universo.

Ejercicio: Representar en un diagrama de Venn los siguientes conjuntos

U={x; x es número dígito decimal}

A={1, 5, 7, 9}

B={3, 5, 6, 8, 9}

C={2, 4, 5}

D={6, 8}

a e

i o

u

uuuuu

Page 54: Logica matematica y algebra

54

Ejercicio: Representar en un diagrama de Venn los siguientes enunciados

123; xNxU

A={2, 3, 4}

B={4, 5, 6}

C={6, 7, 8}

100; xZxD

5; xRxF

Relación de Conjuntos

Sean A y B 2 conjuntos cualesquiera de un universo cualesquiera:

1) Equivalencia:

Se dice que A y B son conjuntos equivalentes si solo si n(A)=n(B)

Si A y B son “equivalentes” esto se simboliza como A=B o AB

Ejemplo:

Sea:

A={x; x es vocal}

6; xZxB

n(A)=5=n(B) → A B

1) Equivalencia:

1.1) Subconjunto:

Se dice que A es subconjunto de B si solo si todo elemento de A es también

elemento de B

Si A es subconjunto de B esto se simboliza como “AB”

En términos más rígidos: BxAxUxBA ;

Ejemplo:

Sea

A={1, 2, 3} AB

B={2, 3, 1} AC

C={1, 2, 3} AD

D= AE

E={2}

Page 55: Logica matematica y algebra

55

1.2) Subconjunto Propio: Se dice que A es subconjunto propio de B si solo si

BA y BA

A es subconjunto propio de B se simboliza como BA

en otros términos. Definición: BABABA

ejemplo:

A={1, 2, 3} AB

B={2, 3, 1} AC

C={1, 2, 3} AD D= AE

E={2} 2.3) Súper conjunto: Si BA , también se dice que B contiene a A y esto

significa que B es súper conjunto de A y esto se simboliza como AB .

En otros términos. Definición: ABBA

Observaciones Generales:

1) Todo conjunto es subconjunto de si mismo 2) El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto 3) El conjunto Universo es súper conjunto de todo conjunto

4) xxxx qpBAqxBpxA ::

Ejemplo:

Si xEETxA ,

EEEPNxB :

Aquí se ve claramente que BA →”x EETEEEPN” 3) Disyunción o Desigualdad Se dice que 2 conjuntos A y B son “disjuntos” si no tienen elementos comunes. Ejemplo: Sean A={1, 2, 3} B={4, 5, 6} C={3, 4, 5} Se tiene que A y B son disjuntos A y B no son disjuntos C y B no son disjuntos 4) Igualdad o Identidad 2 conjuntos A y B son iguales si solo si BA y AB

A igual B se simboliza como A=B, en otros términos significa: Definición: ABBABA

En términos más rigurosos tenemos la siguiente definición: BxAxUxBA ,

Ejemplo: Sea A={1, 2, 3}

Page 56: Logica matematica y algebra

56

B={2, 3, 1} BAABBA

Observación: Si xxxx qpBAqxBpXA ;;

Ejemplo: Si A={x: x es vocal} B={x: x es una vocal de la palabra murciélago } Aquí evidentemente A=B → “x es una vocal” es lógicamente equivalente a x es una vocal de la palabra murciélago

Operaciones entre Conjuntos

Sean los conjuntos A y B definidos en un Universo (U) 1) Complemento: El complemento de un conjunto A con respecto a U es el conjunto formado por todos los elementos de U que no pertenecen a A.

El complemento de A con respecto de U se simboliza como cAAA ,,'

En términos más rigurosos

Definición: AxxAxUxxAc ::

En un diagrama de Venn Ac quedaría representado por:

Ejercicio: Determinar el complemento de los siguientes conjuntos

1) 4: xNxA 4: xNxAc

2) 4: xNxB 4: xNxBc

3) xpxC : xp ~:xC c

2) Unión o disyunción: La unión de dos conjuntos A, B es el conjunto cuyos elementos pertenecen a A o B. A unión B se simboliza como BA En otros términos:

BxAxUxBA :

Ejercicio:

Representar mediante un diagrama de Venn BA y cBA para los casos A

y B disjuntos. A y B no disjuntos A y B disjuntos

BA cBA

A y B no disjuntos

Page 57: Logica matematica y algebra

57

BA cBA

A B

BA cBA

Ejercicio: Dados los conjuntos U=Z+ A={1, 2, 3, 4} B={4, 5, 6} C=

D={5, 6, 7}

Calcular: CDCBA

AUB={1, 2, 3, 4, 5, 6}

CUD={5, 6, 7}; CDC = {8, 9, 10…}

CDCBA ={1, 2, 3,4 ,5 ,6 ,7 ,8, 9, 10…}

Definición: Si A={x; p(x)} B={x; q(x)}→AUB={x; p(x)U q(x)} 3) INTERSECIÓN O PRODUCTO: La intersección o producto de los conjuntos A y B es el conjunto cuyos elementos pertenecen a A y también a B. A intersección B se simboliza como

BA y en otras palabras: BxAxUxBA ;

Ejercicio: en un diagrama de Venn representar BA y BA c para los

siguientes casos: 1) A y B son disjuntos 2) A y B no son disjuntos 3) A subconjunto de B. A y B disjuntos

BA = { } CBA = U

A y B no disjuntos

Page 58: Logica matematica y algebra

58

BA CBA

A B

BA =A cBA = { }

Dados los conjuntos

A={1, 2, 3, 4} B={4, 5, 6} C=

D={5, 6, 7}

Calcular: cc DCBA

Bc={1, 2, 3, 7, 8…}

cBA = {1, 2, 3}

DC = { }; DC c=U

{1, 2, 3}U U= U

Def: Si A={x; p(x)} B={x; q(x)}→ BA = {x; p(x) p(x)}

Ejercicio: Calcular los elementos de los siguientes conjuntos:

55, xxZx

={5, 6, 7, 8…} {4, 3, 2, 1…}={ } 4) Diferencia: La diferencia entre A y B es el conjunto de los elementos de U que pertenecen a A pero no a B. A diferencia de B o A menos B se simboliza como A y en otras palabras: A-B={ Ux │ BxAx }

Ejemplo: En un diagrama de Venn raye (A-B), (A-Bc) para los siguientes casos: 1) A y B disjuntos 2)A y B no disjuntos 3) BA

Page 59: Logica matematica y algebra

59

A y B disjuntos

A-B (A-B)c

A y B no disjuntos

A-B (A-B)c

A B

A-B ( A-B)c

Ejercicio: Dados los conjuntos calcular: ccCBCDBA

U=N A={1, 2, 3, 4} B={4, 5, 6} C=

D={5, 6, 7}

(A-B)={1, 2, 3} (D-C)={5, 6, 7}, (D-C)c={1, 2, 3, 4, 8…}

CB ={4, 5, 6}; cCB ={0, 1, 2, 3, 7, 8…}

ccCBCDBA =

[{1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 8…}] {0, 1, 2, 3, 7, 8…}

{1, 2, 3} {0, 1, 2, 3, 7, 8…}

{0, 1, 2, 3, 7, 8…}

Page 60: Logica matematica y algebra

60

5) Diferencia Simétrica: La diferencia Simétrica entre A y B es el conjunto formado por los elementos de la unión de A y B con excepción de los elementos de la intersección de A y B. A diferencia simétrica se simboliza como: BA y en otras palabras:

BAxBAxUxBA ;

BABABA

En un diagrama de Venn se puede comprobar que BABABA

Ejercicio: En un diagrama de Venn rayar BA para los siguientes casos: 1) A y B son disjuntos 2)A y B no disjuntos 3) A B

BA CBA

No Disjuntos

BA A B

BA CBA

Ejercicio: Dados los conjuntos: A={1, 2, 3, 4} B={4, 5, 6} C=

D={5, 6, 7}

CBA

Page 61: Logica matematica y algebra

61

ABCDBAc

BA ={1, 2, 3, 4, 5, 6}

CD = { }; cCD = U

(B-A)={5, 6}

ABCDBAc

=

=[{1, 2, 3, 4, 5, 6}-U]U{5, 6} ={1, 2, 3, 4, 5, 6}U{5, 6} ={1, 2, 3, 4, 5, 6}

Definición: A={x; p(x)} B{x; q(x)}→ xxxx qpqpxBA ~;

= xx qvpx

;

Esa definición implica una definición diferente:

Def: BxvAxUxBA

;

Ejercicio: Calcular en forma extensiva los siguientes conjuntos.

3044;

xvxZx

= 2,13,2,1

={3}

Comparación de Conjuntos

Definición: 2 conjuntos son comparables si cualquiera de ellos es subconjunto del otro, esto es:

BAABBA son comparables

Conjunto de Partes de un conjunto: Un conjunto puede ser elemento del otro conjunto Ej: Sea A={5, {6, 7}, 8, 9} {6, 7} se llama elemento conjunto Definición: El conjunto de partes de un conjunto A está formado por todos los subconjuntos que pueden formarse a partir del conjunto A. se lo nota por p(A) y se lo llama también conjunto potencia de A el conjunto vacío forma parte de p(A). Ejercicio: A={1, 2, 3} calcular p(A): ={{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2,3}, {1, 2, 3}}

Intervalos

Sabemos que Z=Z-U{0}UZ+ Conjunto de los números reales

0; bZbab

aQ = Conjunto de los números racionales

Ejemplos de números racionales:

666666,13

5 …

Page 62: Logica matematica y algebra

62

4,05

2

0,51

55

Un número racional se caracteriza porque su representación decimal o bien termina o es periódica. A parte de los números racionales existe otro tipo de números los irracionales. Que son cuya representación racional no es periódica ni termina. Ej:

...4142,12

...14159,3

...718,2e

El conjunto de los irracionales se los representa con Q’ o con I y precisa que QUQ’=R El conjunto de los números reales se lo puede asimilar a una línea recta porque en ella se pueden representar todos estos números. Ya que existe una correspondencia biunívoca. Los puntos de la recta y los números reales. Es decir a cada punto de la recta le corresponde de un único número real y viceversa. Los Intervalos: Precisamente son subconjuntos de los números reales, expresables en la recta numérica como segmentos. Los intervalos se clasifican en finitos e infinitos. Intervalos Finitos: Son aquellos en que están identificados sus extremos o límites. Y se clasifican en los siguientes: 1) Abiertos A: Son conjuntos que no incluyen a los extremos: Ejemplo: Rxx : a b

bxaRxA ;

=(a, b)=]a, b[ 2) Cerrados C: Son los conjuntos que se incluyen en los extremos. Rxx : a b

bxaRxA ;

= [a, b] 3) Semiabiertos o Semicerrados S: Son conjuntos que incluyen uno de los dos extremos. Rxx :

a b

bxaRxA ;

=[a, b)= [a, b[

Rxx : a b

bxaRxA ;

=(a, b]=]a, b]

Page 63: Logica matematica y algebra

63

Intervalos Infinitos: Son aquellos cuando al menos uno de sus límites va o tiende al infinito. Y constituyen los siguientes. 1) Abiertos A:

Rxx : a

axRxA ;

a, ( ,a[

Rxx : a

axRxA ;

=( ,a] =] ,a] 2) Cerrados C:

Rxx :

a

axRxA ;

=[a, )= [a, [ Rxx :

a

axRxA ;

=[a, )=[a, [ 3) Infinito Total: Este intervalo constituye todos los números reales Rxx :

RxxA ;

=( , )=] , [ Nota: Un intervalo cualesquiera también se lo expresa en la recta numérica por encima o por debajo de la recta numérica.

A A Rxx : -3 4 Ejercicio: Determinar los elementos de los siguientes conjuntos:

1) 43; xRx = (-3, 4]

Rxx : -3 4

2) 14; xRx = [-4, 1)

Page 64: Logica matematica y algebra

64

Rxx : -4 1

3) 43; xRx = [-3, 4]

Rxx : -4 1

4) 5112; xxRx =[-2, 1]U(-1, 5]=[-2, 5]

Rxx : -2 -1 1 5

5) 5112; xxRx = 5,11,2 =(-1, 1]

Rxx : -2 -1 1 5

6) 5112;

xvxRx =[-2, -1) [1, 5]

Rxx :

-2 -1 1 5

7) 5112;

xvxRx =(-2, -1) [1, 5]

Rxx : -2 -1 1 5

8) 1,13,3; xRx = [-1,1]

Page 65: Logica matematica y algebra

65

Rxx : -3 -1 1 3

9) 5112;

xvxRx =(-2,1) [-1,5)

Rxx : -2 -1 1 5

Leyes del Álgebra de conjuntos

Estas leyes constituyen las siguientes igualdades notables entre conjuntos.

1) Leyes de Idempotencia 2) Leyes Conmutativas AAA ABBA

AAA ABBA

3) Leyes Asociativas 4) Leyes Distributivas

CBACBA CABACBA

CBACBA CABACBA

5) Leyes de Complemento: 6) Ley Involutiva

UAA ' AA ''

'AA

'U

U'

7) Leyes de Morgan 8) Ley de Identidad

''' BABA UUA

''' BABA AUA

AA

A

9) Leyes de Absorción 10) Otras Leyes

ABAA 'BABA

ABAA

Observaciones: 1) Estas Leyes se “comprueban” utilizando diagramas de Venn

Page 66: Logica matematica y algebra

66

Ejercicio: Comprobar mediante diagramas de Venn las leyes del álgebra de conjuntos. 1) Leyes de Idempotencia

AAA AAA

2) Leyes Conmutativas

ABBA

3) Leyes Asociativas

CBACBA CBACBA

4) Leyes Distributivas

CABACBA CABACBA

5) Leyes de Complemento

ABBA

Page 67: Logica matematica y algebra

67

UAA ' 'AA

'U U'

6) Ley Involutiva

AA ''

7) Ley De Morgan

''' BABA ''' BABA

8) Leyes de Identidad

AUA UUA

Page 68: Logica matematica y algebra

68

A

9) Leyes de Absorción:

ABAA ABAA

10= Otras Leyes

'BABA

2) Estas Leyes se demuestran utilizando métodos de demostración de

teoremas.

Ejemplo: Demostrar la siguiente ley:

''' BABA ↔ ''', BAxBAxUx desigualdad de conjuntos

Demostración del teorema 1 por el método directo:

'BAx

BAx Complemento de un conjunto

BAx~ Cambio De Notación

BxAx~ Definición de Unión de Conjuntos

AA

21

''',''',

teoremateorema

BAxBAxUxBAxBAxUx

Page 69: Logica matematica y algebra

69

BxAx Ley de Morgan

'' BxAx Complemento de un conjunto

'' BAx Intersección de Conjuntos L.Q.Q.D

Demostración del teorema 1 por el método directo:

'' BAx

'' BxAx Definición de Intersección de conjuntos

BxAx Complemento de un conjunto

BxAx~ Ley de Morgan

BAx~ Definición de unión de conjuntos

BAx Cambio de Notación

'BAx Complemento de un conjunto

3) En las leyes de conjuntos en lugar de A, B ponemos otros conjuntos compuestos respectivamente la igualdad original precede. Ejemplo: Dada la ley de conjuntos

AA '' BABA ''

Ejercicio: Comprobar la ley utilizando diagramas de Venn

BABA ''

Este principio llámese principio de substitución de las leyes de conjuntos. 4) Las leyes de conjuntos con su principio de sustitución sirven para demostrar. “otras igualdades entre conjuntos” Ejercicio: Utilizando leyes y principios de sustitución demostrar la siguiente igualdad.

cBAAAABBA '''

cBAAAABABA '''' Ley conmutativa. Otras leyes y

Morgan

cBAUABBA ''' Ley distributiva. Ley de Complemento

cBAAUA '' Ley de Complemento. Ley de Identidad

''AA Ley de identidad. Ley de absorción

A=A Complemento de un conjunto Ejercicio: Demostrar las siguientes las siguientes igualdades por el principio de substitución. “Estas igualdades son llamadas igualdades notables complementarias y constituyen las siguientes. 1) BABA ''

ABBAABBA )('')''( Def. Diferencia simétrica

Page 70: Logica matematica y algebra

70

'''' ABBAABBA Otras Leyes. Ley involutiva

BAABABBA '''' Ley Conmutativa

ABBAABBA '''' Ley Conmutativa

2) ABBA

BAABABBA Def. Diferencia Simétrica

'''' BAABABBA Otras Leyes

'''' ABBAABBA Ley Conmutativa.

3) AA

AAA Def. Diferencia Simétrica

AAA '' Def. Otras Leyes.

AUA Def. Ley de Complemento. Ley de Identidad

AA Ley de Identidad

A=A Ley de Identidad 4) AA

AAAA Def. Diferencia Simétrica

Diferencia de Conjuntos iguales

Ley de Idempotencia

5) ABBA ''

'' ABBA Otras Leyes. Ley involutiva

BABA '' Ley Conmutativa

4) Las Leyes de conjuntos con su principio de substitución sirven para simplificar otros conjuntos. Ejercicio: Simplificar el siguiente conjunto

1) c

BBA

c

BBA ' Otras Leyes

c

ABB ' Ley Asociativa

c

A Ley de Complemento

' Ley de Identidad

U Complemento del vacío

'U Otras Leyes

UU Complemento del Vacío

U Ley de Idempotencia

2) ccCBACBA

ccCBACBA '' Otras Leyes

ccCBACBA '''' Morgan. Otras Leyes

ccACBCBA '''' Ley Asociativa

Page 71: Logica matematica y algebra

71

ccCBACBA '''' Ley Conmutativa

'' DD Principio de Substitución ''' DD Otras Leyes

DD' Ley Involutiva

Ley de Complemento

3) CBACCBAc

'CBACCBAc

Ley Asociativa Otras Leyes

'' CBACCBAc

Otras Leyes

''' CBACCCBAc

Ley Distributiva

'' CBACBAc

Ley de Complemento

''' CBACBA Unión de Conjuntos

x’-x Principio de substitución '' xx Otras Leyes

'CBA Principio de Substitución

4) BACBAC

'' BACBAC Otras Leyes

Ley Distributiva Ley de Morgan

5) BABA son comparables

Si BABABABA

BABA

• Existe una similitud entre las leyes de las proposiciones y las leyes del álgebra de conjuntos pudiendo cada proposición estar constituida por conjuntos los operadores se pueden reemplazar por una operación de conjuntos. Así:

c~

Ejercicio: Transformar la siguiente equivalencia lógica en un ejercicio de conjuntos y demostrar la igualdad.

'' BABAC

cBABAC

Page 72: Logica matematica y algebra

72

rq~pr~q~ pp

crqpprqp '' Sustitución de operadores lógicos por operadores

de conjuntos.

cCBAACBA '' Cambio de Variables

'''' CBAACBA Ley de Morgan

ACBAACBA '''' Ley Distributiva

Page 73: Logica matematica y algebra

73

EJERCICIOS DE APLICACIÓN: 1) Una fábrica produce 100 artículos por hora de los cuales pasan el control de calidad . las fallas en el resto fueron fallas del tipo A, tipo B y tipo C, y se representan del modo siguiente. Artículos con fallas del tipo A y del tipo B: 8. artículos con solo fallas del tipo A: 12. Artículos con fallas de los 3 tipos: 3. Artículos del tipo A y C: 5. Y artículos con solo fallas del tipo B: 2. El número de artículos que tuvieron una sola falla del tipo C o de tipo B fue el mismo. Cuántos artículos tuvieron fallas del tipo B y cuántos artículos tuvieron 1 sola falla.

100U

40CBA

60c

CBA

8BA

12 CBA

3CBA

5CA

xCABBAC

12+5+x+3+2+2+x=40 2x+24=40 x=8

xCABBAC

B=5+3+2+8 B=18

: BACCABCBA

12 + 8 + 8 =28 • Determine los elementos de los conjuntos A, B y C, sabiendo que estos cumplen al mismo tiempo las siguientes condiciones 1) A y B disjuntos 2) B y C no son disjuntos

3) 10,5,4': AxBxx

4) CCxAxx :

5) 8,6,3,2,1' BACBA

6) 10,9,8,6,5,4,3,2,1CB

7) 10,8,6,5,3,2,1 ACBBC

1+2+4 1+2+3+4

5) 'BACBA

Page 74: Logica matematica y algebra

74

BAC

8,6,3,2,1 BAC

1+2+3+4+5+8

BC ACB

ACBBC 1+2+3+4+5+6+7

A={9} B={4, 5, 10} C={1, 2, 3, 4, 6, 8, 9} U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Page 75: Logica matematica y algebra

75

-1 1

2/

2/

2/

PRODUCTO CARTESIANO

Definición: El producto cartesiano de 2 conjuntos A y B, es el conjunto de elementos de la forma (a,b), tales que BbAa . A x B se lee “Producto

Cartesiano de A y B” o simplemente “A cruz B”. Es decir:

BbAabaAxB :),(

Los elementos de la forma (a,b) se llaman pares ordenados o parejas ordenada. Ejercicio: Dados los conjuntos: A={1, 2} B={2, 3, 6} C={1} Hallar: AxB, BxA, AxA=A2, BxB=B2, AxC, CxA, BxC, CxB, CxC=C2. AxB={(1,2), (1,3), (1,6), (2,2), (2,3), (2,6)} BxA={(2,1), (2,2), (3,1), (3,2), (6,1), (6,2)} AxA=A2={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)} BxB=B2= {(2,2), (2,3), (2,6), (3,2), (3,3), (3,6), (6,2), (6,3), (6,6)} AxC={(1,1), (2,1)} CxA={(1,1), (1,2)} BxC={(2,1), (3,1), (6,1)} CxB={(1,2), (1,3), (1,6)} CxC=C2={(1,1)}

Gráfica del producto Cartesiano

El producto cartesiano AxB se representa en el plano cartesiano, de la siguiente manera. Procedimiento. Paso 1: En el eje horizontal del plano se marcan los elementos de A. Paso 2: En el eje vertical del plano se marcan los elementos de B. Paso 3: Se proyectan al plano los elementos marcados en los pasos anteriores. “Nota”: Estos elementos se proyectan utilizando líneas de proyección (líneas perpendiculares a los ejes entrecortados. Paso 4: Se localizan y se marcan en el plano los puntos de intersección de las líneas de proyección trazadas en el paso anterior. Estos puntos de intersección constituyen la gráfica del producto cartesiano AxB. Ejercicio: Dados los conjuntos: A={-1, 0, 1}

B= 2/,2/

C={1} Hallar AxB, BxA, A2, B2, AxC, BxC, AxC, CxA, C2

AxB

Rxx :

Ryy :

Page 76: Logica matematica y algebra

76

-1

1

2/ 2/

-1

1

1 -1

-1

-1

2/

2/

2/

2/

BxA

A2

B2

Rxx :

Ryy :

Rxx :

Ryy :

Rxx :

Ryy :

Page 77: Logica matematica y algebra

77

-1

1

1 -1

-1

1

1 2/ 2/

-1

1

1

-1

AxC

BxC

CxA

Rxx :

Ryy :

Rxx :

Ryy :

Rxx :

Ryy :

Page 78: Logica matematica y algebra

78

2/

2/

1

-1

1

1

-1

b

a

P(a,b)

CxB

C2

Conclusión: Si baAxBbBaA ,;

Rxx :

Ryy :

Rxx :

Ryy :

Rxx :

Ryy :

Page 79: Logica matematica y algebra

79

-1

2

3

2

1

1

-1

-2

-3

-4

1 3 4 -1 -2 -3 -4

4

-1

2

3

2

1

1

-1

-2

-3

-4

1 3 4 -1 -2 -3 -4

4

Ejercicio: Dados los conjuntos

4,143; xNxA

4,343; xRxB

1C

AxB

BxA

Rxx :

Ryy :

Rxx :

Ryy :

Page 80: Logica matematica y algebra

80

-1

2

1

1

-4

1 3 4 -4

-1

3

2

1

1

-4

1 -4

4

2

3

2

1

1 1 3 4 -1 -2 -3 -4

4

AxC={(0,1)1 (1,1), (2,1), (3,1), (4,1)}

CxA

BxC

Rxx :

Ryy :

Rxx :

Ryy :

Rxx :

Ryy :

Page 81: Logica matematica y algebra

81

-1

2

3

2

1

1

-1

-2

-3

-4

1 3 4 -1 -2 -3 -4

4

-1

2

3

2

1

1

-1

-2

-3

-4

1 3 4 -1 -2 -3 -4

4

CxB

4,4,3,4,2,4,1,4,0,4,4,3,3,3,2,3,1,3,0,3

,4,2,3,2,2,2,1,2,0,2,4,1,3,1,2,1,1,1,0,1,4,0,3,0,2,0,1,0,0,02 AxAA

Rxx :

Ryy :

Rxx :

Ryy :

Page 82: Logica matematica y algebra

82

-1 -4

-1

2

3

2

1

1

-1

-2

-3

-4

1 3 4 -1 -2 -3 -4

4

1

1

B2=BxB

AxC

C2=CxC

Ejercicio: Dados los conjuntos

RxxA :

4,3B

4225:

xvxRxC

Realizar los gráficos AxB, BxA, AxC, CxA, BxC, CxB, BxC’, C’xB, A2, B2, C2

,A

4,3B

4,22,54,22,5 C

Rxx :

Ryy :

Rxx :

Ryy :

Page 83: Logica matematica y algebra

83

-1

3

1

-4

-4

4

-1

1

-4

3 4 -4

AxB

BxA

Rxx :

Ryy :

Rxx :

Ryy :

Page 84: Logica matematica y algebra

84

4

2

2

-2

-5

4 2

2 -2

-5

-5

4

2

2

-2

-5

3

2

4

2

AxC

CxA

BxC

Rxx :

Ryy :

Rxx :

Ryy :

Rxx :

Ryy :

Page 85: Logica matematica y algebra

85

4

3

2

-5

2

2

-2 -5 4

2

4

2

2

-2

-5

3

2

4

2

CxB

BxC’

Rxx :

Ryy :

Rxx :

Ryy :

Page 86: Logica matematica y algebra

86

4

3

2

-5

2

2

-2 -5 4

2

-5

4

3

2

3 4

2

C’xB

C’xB

B2

Rxx :

Ryy :

Rxx :

Ryy :

Rxx :

Ryy :

Page 87: Logica matematica y algebra

87

4

2

2

-2

-5

2

2

4

2

3 2

2

2

3

2

BxC2

55; xxZxA

B=[-3, 3] C=]-1,1[ D={2, 3} Realizar el gráfico de DxA, AxD, BxB-CxC BxD

AxD

Rxx :

Ryy :

Rxx :

Ryy :

Rxx :

Ryy :

Page 88: Logica matematica y algebra

88

-3

3

2

3

-3

-1

1

2

1

-1

-3

3

2

3

-3

B2

CxC=C2

BxB-CxC=B2-C2

Rxx :

Ryy :

Rxx :

Ryy :

Rxx :

Ryy :

Page 89: Logica matematica y algebra

89

Observaciones:

1) dbacdcba ,,

2) dbba ,, excepto si a=b

3) mnAxBBA nn ·

4) Si uno de los conjuntos es vacío entonces AxB será vacío. 5) Si uno de los conjuntos es infinito y el otro no es vacío entonces AxB será infinito 6) En general BxAAxB a menos que A=B o que uno de ellos sea vacío.

7) Si R es la recta real entonces RxR=R2= RyRxyx ;, , R2 forma el

plano cartesiano o plano real.

8) CcBbAacbaAxBxC );,,( de donde RxRxR=R3 forma el espacio

cartesiano o espacio real.

NÚMEROS REALES

Al fin de vincular al lector, lo antes posible con el conocimiento de los números reales, se presentará el sistema de los números reales, denotado por R, como un conjunto en el cual se cumplen ciertas leyes, esto es, de una forma axiomática. Se tratará los números naturales, enteros, racionales, e irracionales como subconjuntos del sistema de los números reales. Entre los conjuntos de los números indicados anteriormente se tiene la siguiente relación: RIRQN Z

El sistema de los números reales constituye el conjunto “dotado” de 2 operaciones binarias. La adición, y la multiplicación, en el cual satisfacen los axiomas de identidad, de campo, de orden, y el axioma de completes los elementos de R se notarán con las letras minúsculas: a, b, c,…, x, y, z. la suma de los números reales x e y se designa por x + y. el producto de los números

reales x e y se designa por xyyxyx ·

Axiomas de Identidad: Rzyx ,, , se tiene

T1: Reflexivo: x=x T2: Simétrico: xyyx

T3: Transitivo: zxzyyx

Ejercicio: Comprobar los axiomas de Identidad Reflexivo: Si x=3→3=3

Simétrico: 33333

3

y

x

Transitivo: 333333

3

3

3

z

y

x

Page 90: Logica matematica y algebra

90

Axiomas de Campo:

DE LA SUMA

S1: Clausurativa:

RyxRyx ;,

S2: Asociativa:

zyxzyxRzyx ;,,

S3: Conmutativo:

xyyxRyx ;,

S4: Existencia del neutro aditivo: xxeexRxRe ,

S5: Existencia del inverso aditivo: exyyxRyRx ;

Observaciones: • El número de S5 es el mismo que de S4, esto es e=0 • El inverso de x se denota como y; y=-x Ejercicio: Componer los axiomas del campo de la suma

S1: RRRyx 1385;, V

S2: 10105528235235;,, Rzyx V

S3: 553223;, Ryx V

S4: 555005, RxRe V

S5: 005555; RyRx V

DEL PRODUCTO:

P1: Clausurativo: RyxRyx ·;,

P2: Asociativo: )··()··(;,, zyxzyxRzyx

P3: Conmutativa: xyyxRyx ··;,

P4: Existencia del “Neutro Multiplicativo”: xxeexRxRe ··;

P5: Existencia del inverso multiplicativo: exxyyxRyRx ;··;

Observaciones: • El número e de P5 es el mismo que el de P4, esto es: e=1

-El inverso multiplicativo de 0, xx si 1, xyy

• R+ es igual a los reales menos el cero: R-{0} Ejercicio: Comprobar los axiomas del producto

P1: RRRyx 63·2;, V

P2: 2424)4·3·(24)·3·2(;,, Rzyx V

P3: 662·33·2;, Ryx V

P4: 222·11·2; RxRe

P5: 112·2

1

2

1·2; RyRx

Page 91: Logica matematica y algebra

91

Relaciones entre la suma y producto: Rzyx ,,

Sp1: Distributiva por la Izquierda: x(y+z)=xy+xz Sp2: Distributiva por la derecha: (x+y)z=xz+yz Ejercicio: Comprobar las relaciones entre la suma y el producto Sp1: 4(3+2)=4·3+4·2;4(6)=12+12;24=24 Sp2: (5+1)3=5·3+1·3;6·3=15+3;18=18 Propiedades de Campo: 1) El elemento cero, neutro aditivo, es único 2) El elemento –x, inverso aditivo de cada número real x es único Corolario Para todo número real -x el inverso aditivo de –x es x

xxRx ,

3) Ley Cancelativa de la Suma: Sean x, y, z números Reales tal que x+y=x+z→y=z Comprobación: 1+2=1+2→2=2 V 3=3 V 4) el elemento 1, neutro multiplicativo es único. 5) el elemento x-1 inverso multiplicativo de cada número real x, 0x es único

6) Ley Cancelativa del producto: Sean x. y, z números Reales, 0x Si

x·y=x·z→y=z Comprobación: x·y=x·z→y=z 2·3=2·3→3=3 V 6=6 V 7) En x un número cualesquiera →0x=0

00, xRx

Definición: )(;, yxyxRyx

Definición: 1·;0,, yxy

xyRyx

Definición: xxZnRx 1;

nnn xxxxx ·11

8) Sean x,y números reales Ryx ,

i) (-x)y=x(-y)=-(xy)→(-3)(2)=3(-2)=-(3·2)→6=6 ii) –x(-y)=xy;(-3)(-4)=3·4→12=12

9) 000;, yxxyRyx

Axiomas de Orden: Seguramente el lector podrá distinguir con facilidad si un número es positivo o negativo. Sin embargo es posible que le resulte complicado definir con exactitud. Existe un subconjunto de Reales en los Reales, entre los reales positivos. R+, en el que se satisface los siguientes axiomas conocidos como axiomas de orden:

O1: RyxRyxRyx ·,;,

Page 92: Logica matematica y algebra

92

O2: Rx satisface 1 solo 1 de las 3 condiciones siguientes:

a) Rx

b) Rx c= x=0 Ejercicio: Comprobar estos axiomas de orden

O1: RRRR 653·232

O2: Rxx 2;2

En los axiomas de orden se permitirá determinar si un número dado es “mayor” que otro o “menor” que otro

Ryx , El número real x es menor que y se notará como x<y

Un número y mayor que x se denota por y>x si xzy Son muy usuales las notaciones siguientes: < se lee “menor que”, > se lee “mayor que“. : se lee “menor o igual que”, se lee: “mayor o igual que TEOREMA: Sea x un número real:

1) Rxx 0 x es positivo

2) x<0↔x es negativo 3) x>0↔-x<0 4) x<0↔-x>0 Ejercicio: Comprobar este teorema 1) 4>0↔4 es positivo V 2) -3<0↔-3 es negativo

V 3) 2>0↔-2<0 V 4) -5<0↔5>0

V TEOREMA: Rwzyx ,,,

1) zxzyyx

2) zyzxyx

3) wyzxwzyx

4) zyzxzyx ··0

5) yzxzzyx 0

6) ywxzwzyx 000

Ejercicio: Comprobar este teorema R 5,4,3,2

1) 424332 V

2) 76434232 V

3) 8653425432 V

4) 1284·34·20432

5) 128)4(3)4(20432 V

6) 15805·34·20540320 V

• Las siguientes propiedades son similares a las anteriores excepto que la dirección de la desigualdad se invierta

Rwzyx ,,,

1) zxzyyx

Page 93: Logica matematica y algebra

93

2) zyzxyx

3) wyzxwzyx

4) zyzxzyx ··0

5) zyzxzyx ··0

6) ywxzwzyx 000

Ejercicio: Comprobar este teorema 1) 242334 V

2) 56232434 V

3) 4613241234 V

4) 682·32·40234 V

5) 682·3)2·(40234 V

6) 03801·32·4012034 V

OTRAS PROPIEDADES

1) 0·00 yxyx

2) 0·00 yxyx

3) 00 2 xx

4) 00 1 xx

5) 1100 xyyx

6) 00 11 xyyx

7) nnnnnn yxyxyxZnyxRyx 11,,,

8) Se cumple 1 y solamente 1 de las siguientes relaciones:

yxvyxvyx

9) yzxRzyxRyx ,;,

Ejercicio: Comprobar las propiedades anteriores: R 5,4,3,2

1) 0120)4)·(3(0403 V

2) 01204)·3(0403 V

3) 090303 2 V

4) 03

10303

1

V

5) 3

1

4

10340430

11

V

6) 04

1

3

1043034

11

7)9

1

16

173,1294163434342,34,3,4 22212122 ZR V

8) 4343434,3

vvR V

V F V 9) 543,453;5,3 RR V

Page 94: Logica matematica y algebra

94

Axiomas de Identidad: Rzyx ,, , se tiene

I4) x=y→x+z=y+z I5) x=y→x·z=y·z Comprobando esas propiedades x=1 x+z=y+z x·z=y·z y=1 1+2=1+2 1·2=1·2 z=2 3=3 V 2=2 V

Leyes de Exponentes

Teorema: QrsRrx ;,

1) xs·xr=xs+r 2) (xr)s=xr·s=(xs)r

3)(x·y)r=xr·yr

4) r

rr

y

x

y

x

5) sr

s

r

xx

x “siempre y cuando las expresiones representen

números reales” Ejercicio: demostrar este teorema 1) xs·xr=xs+r x=2 23·21=23+1

8·2=24 16=16 2) (xr)s=xr·s=(xs)r

x=2 (21)2=21·2=(21)2

22=22=22 4=4=4 3) (x·y)r=xr·yr x=2; y=3 (2·3)2=22·32

36=36

4) r

rr

y

x

y

x

x=2, y=1

2

22

1

2

1

2

4=4

5) sr

s

r

xx

x

x=2

Page 95: Logica matematica y algebra

95

23

2

3

2

2 x

2=21 2=2 Valor Absoluto: El valor absoluto de un número real. Rx , se define como:

0

0,

xsix

sixxx

Ejercicio: Calcular los siguientes valores absolutos

1010

33

2121

00

313131

TEOREMA: Rx , se cumple que:

1) 0x

2) 00 xx

3) 22xx

4) xx 2

5) xxx

6) xx

Ejercicio: Comprobar este teorema:

1) 03;333

2) 00

99

)3(3

33

33)3

22

22

22

4) 442

416

44

5) 333

333

333

Page 96: Logica matematica y algebra

96

3333

33333333 vv

3 < 3 v 3 = 3 3 < 3

v 3 = 3

F V V V F V V

TEOREMA: 0,,, bRbax , se cumple que

1) bxbbx

2) bxbbx

3) baxbbax

4) baxbbax

5) bxbxbx

6) bxbxbx

7) bxbxbx

TEOREMA 1) La desigualdad triangular:

babaRba ;,

babaRba ··;,

b

a

b

aRba ;,

COROLARIOS AL ÚLTIMO TEOREMA

1) babaRb,a

2) babaRba ,

3) 0;, bbabaRba

Ejercicio: Comprobar el teorema y sus corolarios.

1) 2121

213

33 3 < 3

v 3 = 3

F V V

2) 2·12·1

2=1·2 2=2 V

Page 97: Logica matematica y algebra

97

3)2

1

2

1

2

1

2

1 V

Corolario:

1) 1212

121

31 1 < 3

v 1 = 3

F V V

2) 1212

112

11 1 < 1

v 1 = 1

F V V

3) 1212

121

11 1 > 1

v 1 = 1

F V V

Observación: Geométricamente el valor absoluto de un número representa una distancia: en efecto, cuando los números reales se representan geométricamente sobre el

eje real x se llama distancia de x a cero (0).

En general ba es la distancia entre a y b.

En la figura siguiente se representa tal ejemplo:

Page 98: Logica matematica y algebra

98

Sabemos: 10)10(10155

10=distancia Rxx : 5 15

Expresión Algebraica

Definición: Expresión algebraica es toda combinación de números y letras mediante las operaciones fundamentales de la aritmética (suma, resta, multiplicación, división, y elevación a potencia)

Ej: 12

322

xyx

yxa

Definición: Cuando una expresión algebraica se involucra solo operaciones de multiplicación o división entonces dicha expresión adquiere el nombre de términos.

Ej: 9

1132 2 xa

las expresiones: 9

1,1,3,2 2 xa son términos:

Definición: En consecuencia una expresión algebraica puede estar constituida de – o + cuando esta viene constituida de un solo término se denomina monomio y cuando esta viene constituida de uno o más términos se denomina polinomio. Al polinomio constituido de 2 o más términos se denomina binomio y al polinomio constituido de 3 términos se denomina trinomio. Ej:

012... 21

1 axaxaxananx nn

→ n+1 términos

Polinomio de n+1 términos

Definición: Sea la expresión algebraica 2r ; si r= radio de la circunferencia

entonces la expresión 2r calcula el área del círculo respectivo y esto se

denota por: 2rA

Esta fórmula establece una relación entre los símbolos, A, r, . En esta

relación conserva su valor numérico específico= 3,1416. Sea cual sea el

tamaño del radio del círculo. Símbolos como este que representan una cantidad fija se llaman constantes de relación o simplemente constante de la expresión algebraica A. Definición: Con respecto a la definición anterior los valores numéricos de A y V variarán el uno en dependencia del otro según el tamaño que adopte el círculo. A símbolos como estos que pueden adoptar diferentes valores en una relación se llaman variables de la relación o variables de la expresión A. el hecho que en esta relación el valor numérico del símbolo “A” varía en función del valor numérico atribuido al símbolo de r. en términos algebraicos en vez de f(r) se utiliza cualquier letra del alfabeto acompañado de (r).

Page 99: Logica matematica y algebra

99

En P(r) y P(r) representa la representación de la expresión 2r en una expresión

algebraica representada siempre existe una variable independiente y una variable dependiente. Ejemplo: Dada la expresión algebraica:

A= P(r)= 2r R es la variables independiente y A es la variable dependiente. Definición: En una expresión las constantes representan por números o por las letras del alfabeto. Tanto que las variables se representan por las últimas letras del alfabeto.

Ej: 012... 21

1 axaxaxananx nn

La constante a que aparece en el polinomio P(x) se denomina a su vez constante independiente y representa el término independiente que no tiene ninguna variable. Observación: La variable independiente puede ser una letra o una

combinación de letras: XPXx 11212

= 1xP

Ejercicio: Dado el polinomio: X4+x2+1 se puede representar como P(x)= P(x

2)=(x2)2+(x2)1+1 Definición: Se denomina coeficiente a la expresión que acompaña a otra como factor. Cuando el coeficiente está representado por números o por las letras del alfabeto se llaman coeficientes numéricos.

Ejemplo: En el polinomio anterior 012... 21

1 axaxaxananxP nn

x

an= coeficiente de xn

xn= coeficiente de an an= coeficiente numérico de xn Definición: Denomínese de un monomio al resultado de la suma de las expresiones de las variables que intervienen en todo el monomio. El grado de un monomio siempre es mayor o igual que cero ( )0 Zx

Ejemplo: Dado el monomio:

-3x2y4 2

5

w

x

2+4=6→ grado el monomio 5-2=3→ grado del monomio Definición: Denomínese al grado de un polinomio al grado de términos de mayor grado de ese polinomio siempre y cuando dicho polinomio esté representado en función de una sola variable.

Ejemplo: el grado del polinomio: 012... 21

1 axaxaxanxa nnn

es igual a

an. Definición: Se denomina el valor numérico de una expresión al valor numérico que adquiere esta al representar las letras por números asignados como datos. Ejercicio: Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones.

Page 100: Logica matematica y algebra

100

1) x3+x2+x+1 si x=-1 P1(1)=(-1)3+(-1)2+(-1)+1 P1(1)=-1+1-1+1 P1(1)=0 2) x3+y3+z3 si x=y=z=2 P2(2,2,2)= x3+y3+z3 ** caso especial P2(2,2,2)= (2)3+(2)3+(2)3

P2(2,2,2)=8+8+7 P2(2,2,2)=24 3)(x+1)2-(x+1)+1 si x=

P3( )=(x+1)2-(x+1)+1

P3( )=(3,1416+1)2-(3,1416+1)+1

P3( )=(4,1416)2-(4,1416)+1

P3( )=13,99

2 polinomios son iguales si los coeficientes de cada uno de sus respectivos términos son iguales. Ejercicio: Para qué valores de a,b,c esos polinomios son iguales P1(x)=ax2+b(x-1)+c P2(x)=-x2+4x-4+1=-x2+4(x-1)+1 Términos:

xx PP

cx

bx

ax

21

1)(

4)1(

1

0

2

Observación: El ejercicio anterior también puede resolverse de la siguiente manera P1(x)= ax2+b(x-1)+c= ax2+bx-b+c= ax2+bx+(c-b)x0 P2(x)= -x2+4x-4+1=-x2+4x-3=-x2+4x-3x0

xx PP

ccbcenx

benx

aenx

21

1343:

4

1:

0

1

2

Un polinomio se podrá ordenar y completar en función de una sola variable de la que depende el polinomio ya sea en forma ascendente o descendente, el tipo de variable de la que depende el polinomio se denomina variable de operación o letra directiva del polinomio. Ejercicio: Ordenar y completar en forma ascendente y descendente los siguientes polinomios: P1(x)=x4+x5-1 Ascendente: Descendente: -1x0+0x1+0x2+0x3+x4+2x5 2x5+x4+0x3+0x2+0x1-1x0 P2(x)=x3+y3+z3-3xyz P2(x)=x3+0x2-3yzx1+(y3+z3) x0

Page 101: Logica matematica y algebra

101

Todo polinomio para ser operable con otro deberá representarse y completarse al igual del otro en función de una misma variable y en un mismo sentido. -Operaciones en y con Polinomios: 1) Reducción de Términos semejantes en un polinomio: Para el efecto entiéndase por términos semejantes a los términos constituidos por los mismos factores y/o divisores elevados a los mismos exponentes. Ejercicio: Reducir términos semejantes en las siguientes expresiones 1) P1(x)= 2xy+3xz-x= x(2y+3z-1) 2) P2(x)=a2x+ax2+a=a(ax+x2+1)

3) P3(x)=xxxxx

24321

4) P4(b)= (x+b)2-(x+b)=(x+b)[(x+b)-1]

5) P5(y)= 2222

12

3

21

yyyy

6) P6(a)=a2b+ab2-a2=a(ab+b2-a) 7) P7(x)=1+2+3-4+5=7 Es decir al reducir términos semejantes en un polinomio es sacar factor común de dichos términos del polinomio. 2) Suma de Polinomios: Sumar varios polinomios es formar un nuevo polinomio cuyos términos son todos los términos de los polinomios sumados. Ejercicio: Dados los polinomios: 1) P1(x)=x2-2x3+1 P2(x)=x3-x+1 P3(x)=4x4-1 Calcular: 2 P1(x)+ P2(x)- 3P3(x) -4x3 +2x2 +2 X3 -x +1 -12x4 +3

-12x4 -3x3 +2x2 -x +6 2) P1(y)=y2+y-1 P2(y)=y5 P3(y)=x3+y3+z2-xyz+1=y3+0y2-xzy1+(x3+z2+1)x0 Calcular P1(y)- P2(y)+3[P3(y)+1] 0 y5 0 y4 0 y3 +y2 +y -1 -y5 -0 y4 +0 y3 0 y2 0 y 0 0 y5 +0 y4 +3y3 +0y2 -3xzy 3x3+3z2+3+1

-y5 +0 y4 +3y3 +y2 +(1-3xz)y +3x3+3z2+3

Page 102: Logica matematica y algebra

102

3) Resta: La resta es una operación de adición en que a uno de los polinomios se lo cambia de signo según como se enuncie en el ejercicio en efecto se enuncia: 1) De P1(x), Restar P2(x)=P1(x)-P2(x)

2) Restar P1(x) de P2(x)=-P1(X)+P2(x)=P2(x)-P(1)(x) Ejercicio: 1) Restar P(a)=a4-a2+1 de Q(a)=2a2+4 P(x)= 2a2 +4a0

Q(x)= -a4 +0a3 +a2 -1 a0

-a4 +0a3 +3a2 3 2) De P(b)=a3+b3 restar Q(b)=a+b P(b)= b3 +0b2 +0b +a3b0 Q(b)= -b -ab0

b3 +0b2 -b +(a3 –a)b0 4) Multiplicación de Polinomios: La multiplicación de un polinomio por otro se fundamenta en la aplicación del axioma a(b+c)=ab+ac v (a+b)c=ac+bx Nota: Para multiplicar un monomio por otro, primero se multiplican los signos, luego se multiplican sus constantes y por último se multiplican las variables, conforme a los axiomas y leyes dados anteriormente. Ejercicio: Multiplicar 1) P1(x)=x2-x3+1 P2(x)=x2+2 P1(x)= -x3 +x2 +0x1 +1x0 P2(x)= +x2 +2x0

-x6 +x4 +x3 +x2 -2x3 +2x2 +0x1 +3

-x6 x4 -2x3 +3x2 +0x1 +3 2)P1(x)=x3+y3+z3-2xyz P2(x)=x+y+z P1(x)= x3 +0x2 -2yzx +(y3+z3)x0

P2(x)= x (y+z)x0

x4 +0x3 -2yzx2 (y3+z3)x (y+z)x3 +0x2 -2yz(y+z)x +(y3+z3)(y+z)

X4 +(y+z)x3 -2yzx2 [(y3+z3)-2yz(y+z)]x +(y3+z3)(y+z) 3) P1(x)=a3+ba+b3 P2(x)=a-b P1(x)= a3 +0a2 +ba1 +b3a0 P2(x)= +a1 -ba0

a4 +0a3 +ba2 +b3a1 -ba3 -0ba2 -b2a1 -b4a0

a4 -ba3 +ba2 +(b3-b2)a1 -b4

Page 103: Logica matematica y algebra

103

5) Descomposición Factorial: Descomponer en factores o factorar una expresión es encontrar todas las expresiones cuyos productos nos conducen a la expresión original. Las reglas de la suma de la resta y la multiplicación conducen a los siguientes resultados conocidos como productos notables que permiten la descomposición en factores en diversas expresiones algebraicas.

1) 2222 bababa

2) 2222 bababa

3) 22 bababa

4) 3223333 babbaaba

5) 3223333 babbaaba

6) 3322 babababa

7) 3322 babababa

8) abxbaabxax 2

9) nnnnnnn bababbabaaba 122321 ..... n= impar

10) nnnnnnn bababbabaaba 122321 ..... n= par

11) nnnnnnn bababbabaaba 122321 ..... n= cualquier número

Observación: Los productos notables 9 y 10 son una generalización del producto notable 6. El producto notable 11 es una generalización del producto notable 7. Ejercicio: Comprobar los productos notables del 1 al 8.

1) 2222 bababa

22 2 babababa 2222 2 bababababa

2222 22 babababa

2) 2222 bababa

22 2 babababa 2222 2 bababababa

2222 22 babababa

3) 22 bababa 2222 babababa

2222 baba

4) 3223333 babbaaba

3223 33 babbaabababa

322322 33 babbaababababa

322322 332 babbaabababa

3223322223 3322 babbaabababbabaa

Page 104: Logica matematica y algebra

104

32233223 3333 babbaababbaa

5) 3223333 babbaaba

3223 33 babbaabababa

322322 33 babbaababababa

322322 332 babbaabababa

3223322223 3322 babbaabababbabaa 32233223 3333 babbaababbaa

6) 3322 babababa 33322223 bababbaabbaa

3333 baba

7) 3322 babababa 33322223 bababbaabbaa

3333 baba

8) abxbaabxax 2

abxbaaabaxbxx 22

abxbaaabxbaa 22

Ejercicio: Factorar los siguientes polinomios

1) 22 12144 xxyx

2) 2222111121 xxxx

3) 1111111111 222 xxyxyyyxyyx

4) 323 1133 xxxx

5) 332311113131 xxxxx

6)

1374139641331313 2223 xxxxxxxxxxx

7)

12111221111111 22223 xxxxxxxxxxx

8) 341272 xxxx

9) 261282 xxxx

10) 121

2

1222

2

22212

2

212

2

22

xxxxxx

xxxx

11) 131

3

1333

3

3323123

3

3123

2

22

xxxxxx

xxxx

Page 105: Logica matematica y algebra

105

Ejercicio: Factorar los siguientes polinomios

1) 141

4

1444

4

454454

4

4154

2

22

xxxxxx

xxxx

2) 11111111 2344322345 aaaaaaaaaaa

3) 111111 2224 aaaaaa

4) 12423816248 223 xxxxxxxxx

5) cbacbacbacbabaabcba 22222222 22

Ejercicio: Factorar

1) bayxyxbyxaxybyxa 323232

2) 55252525625 2224 xxxxxx

3) 24244822 mnnmnnmnn xyxxyxxyx

4) zyxyzxyzxyxx 22223 22

yxyx

yxzyxx

yxyxzyxyxx

zyxyzzxxyyxx

2

22

2222

22223

22

22

Ejercicio: Factorar las siguientes expresiones

1) 22223 22 yzxzyzxzxyxx

yxzx

zxyzxx

zzxxyzzxxx

yzyzxyxxzzxx

2

22

2222

22223

22

22

2)3

12

9

1322

3

x

xxyxy

2

3

2

33

2

333

2

323

1

2

3

1

2

1

3

1

3

1

2

12

2

1

33

1

3

1

2

12

2

1

3

1

3

122

2

1

x

xx

xxx

xx

xy

xyxy

xyxy

xy

xy

6) División de Polinomios: El polinomio que “se divide” para otro se llama polinomio dividendo el polinomio que divide a otro se llama polinomio divisor (divide) el polinomio dividendo. Se lo representa usualmente con la letra P y el polinomio divisor con

Page 106: Logica matematica y algebra

106

la letra D para ejercer la división de un polinomio por otro, el polinomio dividendo debe ser de grado mayor o igual que el grado del polinomio divisor. Para dividir un polinomio por otro se procede de la siguiente manera. Paso1: Representar, ordenar y completar los polinomios dividendo y divisor en “orden descendente” y en función de la misma variable.- OBSERVACIÓN: Si se ordenan los polinomios dividendo y divisor en forma ascendente y en función de la misma variable, la división se transforma en división infinita. Paso2: Dividimos el primer término del polinomio dividendo por el primer término divisor, para lo cual primero se dividen signos luego constantes y por último variables. Paso3: El resultado del paso 2 constituye el primer término del polinomio resultante de la división llamado polinomio cociente y usualmente se lo representa con la letra Q. Paso 4: Multiplicamos el primer término del polinomio cociente por cada uno de los términos del polinomio divisor y cambiamos signos a estos productos y reducimos términos semejantes con los términos del polinomio dividendo. Este resultado constituye el polinomio residuo obtenido luego de un primer ciclo de división. Si este polinomio residuo es de grado menor “por lo menos en una unidad” al grado del polinomio divisor. Entonces este residuo constituye el polinomio residuo de la división y usualmente se lo representa por la letra R. Al haber encontrado el polinomio residuo de la división el proceso de la división concluye. Pero si en caso contrario el polinomio residuo obtenido luego del primer ciclo de la división este grado mayor o igual que el grado del polinomio divisor, se repetirá el proceso, para lo cual, este residuo constituye el nuevo dividendo. Los ciclos de división se repetirán tantas cuantas veces sea necesario para llegar a obtener el polinomio residuo de la división R .

Ejercicio: Dividir 12 34 xxP x por xxD x 22

x4 -2x3 +0x2 +0x1 +0x0 x2 -2x

- x4 +2x3 x2

0 0

Dividir 15 xP x por 1 xD x

x5 +0x4 +0x3 +0x2 +0x1 -1 x-1

-x5 +x4 x4+x3+x2+x+1

x4 +0x3 -x4 x3

x3 +0x2 -x3 +x2

x2 +0x -x2 +x -1

x -1

Page 107: Logica matematica y algebra

107

Dividir xyzzyxP x 3333 por zyxD x

x3 +0x2 -3yzx +(y3+z3)x0 x+(y+z)x0

-x3 -(y+z)x2 x2-(y+z)x+( y2+z2-yz)x0

- (y+z)x2 -3yzx + (y+z)x2 +(y+z)2x

+(y2+z2-yz)x +(y3+z3)x0 -(y2+z2-yz)x -(y+z)( y2+z2-yz)

y3+z3-y3-yz2+yz2-zy2-z3+yz2

0 Observaciones de la división P(x) D(x)

R(x) Q(x) Esta división jerárquica puede expresarse mediante la siguiente igualdad:

xxXX RQDP I

Donde I se llama algoritmo de la división -Si R(x) = 0 decimos que la división de P(x) para D(x) es exacta. -Si R(x) = 0 entonces D(x) es factor de P(x) o lo que es lo mismo decir P(x) es divisible para D(x)

-El grado de D(x) es igual al grado de P(x) menos el grado dado. -el grado de R(x) es igual al grado de D(x) disminuido por lo menos en una unidad. Ejercicio: Dado el polinomio x3+3x2-3x+k determinar para que valor de la k la división es exacta. Para que valor de k x+1 es factor de x3+3x2-3x+k x3 +3x2 -3x +k x+1 -x3 -x2 x2+2x+1

2x2 +3x -2x2 -2x

x +k -x -1

k=1 Definición: Dado el producto notable Factor1·factor 2= producto notable

2factor

notable producto =Factor1

1factor

notable producto =Factor2

Los factores 1 y 2 calculados se denominan COCIENTES NOTABLES Ejercicio: calcular por simple inspección los siguientes cocientes notables

1)

baba

ba

ba

baba

222 2

Page 108: Logica matematica y algebra

108

2)

baba

ba

ba

baba

222 2

3)

baba

baba

ba

ba

22

4)

233223 33

baba

ba

ba

babbaa

5)

ba

ba

ba

baba

babbaa

2

3

22

3223

2

33

6)

bababa

bababa

baba

ba

22

22

22

33

7) 22

2233

bababa

bababa

ba

ba

8)

ba

ba nn

, n es impar;= 1121 ... nnnn babbaaba

9)

ba

ba nn

, n es par;= 1121 ... nnnn babbaaba

10)

ba

ba nn

, para cualquier exponente

= 1121

1121

......

nnnnnnnn

babbaaba

babbaaba

Expresiones Racionales:

Con expresiones del tipo x

x

q

p )(, donde )(xp y xq son polinomios. Por ejemplo:

;1

2

x

x :

2

12

x

x

12

12 xx

Para resolver problemas, constantemente se deben combinar expresiones racionales o fracciones y luego “simplificar”. Con fracciones se pueden hacer operaciones de suma, resta, multiplicación, y división. A continuación se presentan propiedades que se usan con mayor frecuencia.

Rdcba ,,, , se cumple que

1) Cancelación”: ocb

a

cb

ca ;

·

·

Simplificación de expresiones por factoreo

Page 109: Logica matematica y algebra

109

2) “Suma o Resta”: b

ca

b

c

b

a

db

ca

d

c

b

a

·

, b·d= mcm de qp

3) “Multiplicación”: bd

ac

d

c

b

4) “División”: bc

ad

c

d

b

a

d

c

b

a ·

CADA DENOMINADOR DEBE SER DIFERENTE DE CERO Ejercicio: 1) Simplificar:

1

12

11

112

1

112

1

122

1

122

1

1222

2

2

2

2

2

x

x

xx

xx

x

xxx

x

xxx

x

xxx

x

xx

2) efectuar:

22

23

22

22

222

22

2

1

2244

1

4 3

2

3

2

2222

xx

xx

xx

xxx

xxx

xxx

xxx

x

xxx

x

3) efectuar:

1

2

52

1

1

252

52

1

1

2522

52

3

31

10542

3

52

34

1092 2

2

2

x

x

xx

xx

xx

xxx

x

x

xx

xxx

x

x

xx

xx

Ejercicio: simplificar:

1) 22223

22223

22

22

bcacbcacabaa

cbabcabcabaa

ca

ba

caba

baca

cabcaa

bacbaa

cacabccaaa

babacababa

bcbcabaaccaa

cbabccaabaab

2

2

22

22

2222

2222

22223

22322

22

22

22

22

2) simplificar: 114

44222

642

xxx

xxx

=

114

41

114

141

114

44

114

4442

24

222

442

222

426

222

426

xx

xx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

Page 110: Logica matematica y algebra

110

3) Efectuar: 1256

1

1

1

13

1

12

123

xxxxxx

* 1256 23 xxx = 161 2 xxx =

1312112123112()361 2 xxxxxxxxxxx

= 13121

1

1

1

13

1

12

1

xxxxxx

=

13121·

11312

1312112131

xxx

xxx

xxxxxx

= 1271612143 2222 xxxxxxxx

Máximo Común Divisor

Definición: Llámese máximo común divisor (M.C.D) de varios polinomios al polinomio de “mayor grado” que divide exactamente a los polinomios dados. Para calcular el máximo común divisor entre polinomios existen los siguientes procesos. Procedimiento 1: Llamado cálculo del máximo común divisor entre polinomios por factoreo y consiste en lo siguiente: -Paso1: Factorar los polinomios dados. -Pasos 2: Encontrar el M.C.D de los polinomios dados factorados. Ejercicio: Calcular el M.C.D en todos los siguientes polinomios:

23 xx , 122 xx , 13 x

12 xx , 21x , 11 2 xxx

MCD= 1x

Ejercicio: calcular el M.C.D entre los siguientes polinomios:

32222 22 xyxzxxyxyzzy , 32222 22 xyxzxyzxxzyz

22223 22 zxxyzzyxyyxx , 22223 22 yzyzxyxxzzxx

2222 22 xxyyzyyxxx , 2222 22 zzxxyzzxxx

22xyzyxx , 22

zxyzxx

zxyx 2

, yxzx 2

M.C.D: zxyx

x3 x2 x x0 -1

6 5 -2 -1 161 2 xxx

-6 +1 +1

6 -1 -1 0

Page 111: Logica matematica y algebra

111

Ejercicio: calcular el M.C.D entre las siguientes expresiones 5432 ,,,, xxxxx

M.C.D= x Procedimiento 2: Llamado “cálculo del M.C.D” entre 2 polinomios por divisiones sucesivas y consiste en lo siguiente. -Paso 1: Representar, ordenar y completar los polinomios dados, en “sentido descendente” y en función de una misma variable. -Paso 2: Dividir el polinomio dado por el polinomio de mayor grado. NOTA: Si los polinomios dados son del mismo grado cualquiera puede ser dividendo o divisor. -Paso 3: Si el residuo de la división es igual a cero, entonces el divisor asumido es el M.C.D, entre los 2 polinomios dados. OBSERVACIÓN: Si el residuo de la división no es igual a cero, el divisor asumido se tomará como nuevo dividendo y el residuo como nuevo divisor de esta manera se procederá a realizar una nueva división. Si le residuo obtenido de esta nueva división es igual a cero, entonces el divisor asumido en esta nueva división constituye el M.C.D buscado. Caso contrario se deberá repetir este proceso tantas cuantas veces sea necesario hasta obtener el MCD buscado. Este proceso por el hecho de depender de divisiones sucesivas se llama cálculo del M.C.D entre 2 polinomios por divisiones sucesivas. NOTA: Este proceso también se llama algoritmo de Euclides en vista a la generación de una gran cantidad de divisiones sucesivas en este proceso, se recomienda aplicar las siguientes normas, que solo serán útiles en este procedimiento, dado que estas normas alteran la división (la acorta” pero no altera en el M.C.D. estas normas son las siguientes. Norma 1: Cualquier polinomio dividendo, divisor o residuo puede multiplicarse por un factor que no sea factor común de los polinomios dados. Norma 2: Cualquier polinomio, dividendo, divisor o residuo puede multiplicarse por -1 Ejercicio: Calcular el M.C.D entre los siguientes polinomios:

23 xx , 122 xx x3 +0x2 +0x -1x0 x2-2x+1x0

-x3 +2x2 -x x+2

2x2 -x -1 -2x2 +4x -2

3x -3

: 133333 xxx

x2 -2x +1 x-1

-x2 +x x-1

-x +1 x -1

0

Page 112: Logica matematica y algebra

112

M.C.D = x-1 Ejercicio: Por divisiones sucesivas encontrar el M.C.D entre

1) 32222 22 xyxzxxyxyzzy

2) 32222 22 xyxzxyzxxzyz

1) zyxyyzxyzx 2223 22

2) 2223 22 yxxzyzxzyx

x3 +(z+2y)x2 +(2yz+y2)x +y2z 2223 22 yzxzyzxzyx

- x3 - 22 xzy - 22 zyz x -yx2 1

(y-z)x2 +(y2-z2)x +y2z-yz2 : (y-z)x2+(y2-z2)x+ y2z-yz2= [(y-z)x2+(y+z)(y-z)x+yz(y-z)]= x2+(y+z)x+yz x3 +(y+2z)x2 +(2yz+z2)x +yz2 x2+(y+z)x+yz

- x3 -(y+z)x2 -(yz)x x+z

+zx2 +(yz+z2)x +yz2 - zx2 -z(y+z) -yz2

0 M.C.D: x2+(y+z)x+yz=(x+y)(x+z) OBSERVACIÓN: Este procedimiento del cálculo del M.C.D entre 2 polinomios es aplicable cuando los polinomios dados son difícilmente factorables. Procedimiento 3: Llamado cálculo del M.C.D entre dos polinomios por combinación de los mismos y consiste en lo siguiente:

Sean xx PP 21 los polinomios dados

-Paso1: Establecer una combinación del tipo xxx PPbPa 321 tal que

xP3 sea fácilmente factorable siendo a y b R .

-Paso 2: Factorar xP3 y analizar cuál de los factores de xP3 son también

factores de xx PP 21 todos los factores de xP3 que son también factores de

xx PP 21 constituyen el subproducto del M.C.D de xx PP 21 .

Observación: Este procedimiento de cálculo del M.C.D entre 2 polinomios es aplicable cuando los polinomios dados son difícilmente factorables y cuando también las divisiones sucesivas son complicadas.

Page 113: Logica matematica y algebra

113

Ejercicio: Por el tercer procedimiento calcular el M.C.D de los siguientes polinomios:

13 x , 122 xx

= 12111 23 xxx

= xxx 223

= 22 xxx

x+2 no es factor

= 12 xxx

x no es factor

Si es factor

M.C.D=x-1 Ejercicio: Por el tercer método calcular el M.C.D de los siguientes polinomios

1) 32222 22 xyxzxxyxyzzy

2) 32222 22 xyxzxyzxxzyz

1) zyxyzyxyzx 2223 22

2) 2223 22 yzxyzzxzyx

22232223 22221 yzxyzzxzyxzyxyzyxyzx

= 22232223 2222 yzxyzzxzyxzyxyzyxyzx

= zyyzxyzxyz 22222

= yzyzxyzyzxyz 2

= yzyzxyzyzxyz 2

= yzxyzxyz 2

= zxyxyz

x2 -2x +1 x+2

-x2 +2x x

1

x3 -1 x

-x3 x2

x -1

x3 +0x2 +0x -1 x-1

-x3 -x2 x2-x-1

-x2 +0x +x2 -x

-x -1 +x +1

0

x2 -2x +1 x-1

-x2 +x x-1

-x +1 +x -1

0

Si es factor

Page 114: Logica matematica y algebra

114

z-y no es factor

x+y si es factor

x+z si es factor

M.C.D=(x+y)(x+z)

Mínimo Común Múltiplo de Polinomios

Definición: Llámese m.c.m (mínimo común múltiplo) de polinomios al polinomio de menor grado que es divisible para los polinomios dados. Para calcular el m.c.m de polinomios existen los siguientes procedimientos. Procedimiento 1: Llamado cálculo del m.c.m entre polinomios por factoreo y consiste en lo siguiente -Paso 1: Factorar los polinomios dados.

x3 +(z+2y)x2 +(y2+2yz)x +y2z z-y

x3 +(z+2y)x2 +(y2+2yz)x +y2z x+y

-x3 -yx2 x2+(z+y)x+yz

+(z+y)x2 +(y2+2yz)x -(z+y)x2 -(z+y)yx

+yzx +y2z -yzx -y2z

0

x3 +(y+2z)x2 +(z2+2yz)x +z2y x+y

-x3 -yx2 x2+2zx+z2

+2zx2 +(z2+2yz)x -2zx2 -2yzx

+z2x +z2y -z2x -z2y

0

x3 +(z+2y)x2 +(y2+2yz)x +y2z x+z

-x3 -zx2 x2+2yx+y2

+2yx2 +(y2+2yz)x -2yx2 -2yzx

+y2x +y2z -y2x -y2z

0

x3 +(y+2z)x2 +(z2+2yz)x +z2y x+z

-x3 -zx2 x2+(y+z)x+yz

+(y+z)x2 +(z2+2yz)x -(y+z)x2 -(y+z)xz

+yzx +z2y -yzx -z2y

0

Page 115: Logica matematica y algebra

115

-Paso 2: Calcular el m.c.m de los polinomios dados factorados aplicando la definición. Ejercicio: Calcular el m.c.m entre los siguientes polinomios

,1x 21x , ,12

3x 4

13 x

m.c.m= 416 x

Ejercicio: Calcular el m.c.m en los siguientes polinomios

,242 2 xx 133 23 xxx , 13 x

,122 2 xx xxx 331 23 , 11 2 xxx

212 x 1311 2 xxxxx

131 2 xxxx

121 2 xxx

211 xx

31x

m.c.m= 112 23 xxx

Ejercicio: Calcular el m.c.m de los siguientes polinomios 1) 2, 6, 4. m.c.m=12

2) 65432 2,,,,, xxxxxx m.c.m= 62x

Procedimiento 2: Llamado “Método general para hallar el m.c.m entre 2 polinomios” y consiste en lo siguiente.

Sean xx PP 21 los polinomios dados

21..

2121..

)()(

PdPcm

PPPmPcm

xx

(1)

Esta fórmula también puede expresarse de la siguiente manera. Por definición se sabemos que

P1(x)= M.C.D xxx QPP 121 (2) P2(x)= M.C.D xxx QPP 221 (3)

(2) y (3) en (1)

21..

221..121..21..

)(

PDPCM

QPDPCMQPDPCMPmPcm

xx

)(2121..21.. xx QQPDPCMPmPcm

P1(x) M.C.D xx PP 21

0 Q1(x)

P2(x) M.C.D xx PP 21

0 Q2(x)

Page 116: Logica matematica y algebra

116

Este método del cálculo del m.c.m entre 2 polinomios es aplicable cuando los polinomios dados son difícilmente factorables. En consecuencia el M.C.D de estos polinomios se puede calcular por divisiones sucesivas o por combinación de los mismos.

xx PP 21 se calcularán utilizando las divisiones (2) y (3).

Ejercicio: Calcular el m.c.m entre los siguientes polinomios utilizando el segundo procedimiento.

133 23 xxx , 13 x x3 -3x2 +3x -1 x3-1

-x3 +1 1

-3x2 +3x

1333 2 xxxx

x3 +0x2 +0x -1 x-1

-x3 +x2 x2+x+1Q2(x)

x2 -1 -x2 +x -1

x -1 -x +1

0

121.. xPDPCM

)(2121..21.. xx QQPDPCMPmPcm

112121.. 22 xxxxxPmPcm

Ejercicio: Calcular el m.c.m entre los siguientes polinomios:

abccba 3333 , cba

a3 +0a2 -3bca +(b3+c3) a+(b+c)a0

-a3 -(b+c)a2 a2-a(b+c)+(b2-bc+c2)

-(b+c)a2 -3bca (b+c)a2 +a(b+c) 2

+a(b2-bc+c2) +(b3+c3) -a(b2-bc+c2) -(b+c)(b2-bc+c2)

0 M.C.D= a+b+c Q1(a)= a2-a(b+c)+(b2-bc+c2) Q2(a)=1 m.c.m= [ a+(b+c) ] [ a2-a(b+c)+(b2-bc+c2)] (1)

= abccba 3333

x3 -3x2 +3x -1 x-1

-x3 +x2 x2-2x+1Q1(x)

-2x2 +3x -1 2x2 -2x -1

x -1 -x +1

0

Page 117: Logica matematica y algebra

117

Simplificación de Fracciones

Para simplificar una fracción existen los procedimientos siguientes: Método 1: Llamado “Simplificación de una fracción por factoreo” y consiste en lo siguiente. Paso 1: Factorar los polinomios numerador y denominador de la fracción dada. Paso 2: Simplificar la fracción con el numerador y denominador factorados. Este procedimiento ya fue establecido al principio en el estudio de fracciones. Nos resta por estudiar otros procedimientos o procedimiento que permitan simplificar una fracción. Método 2: Llamado “Simplificación de una fracción por divisiones sucesivas o por suma o resta” y consiste en lo siguiente: Paso 1: Calcular el M.C.D entre el numerador y denominador de la fracción dada. Nota: Para calcular este M.C.D se aplicará los procedimientos de divisiones sucesivas o de combinación de polinomios. Ya que los polinomios numerador y denominador son difícilmente factorables.

Cálculo de

DCM

xDQp

DCM

NQnQpQn x

x

xxx....

:

Cómo la fracción

x

x

x

x

x

x

xQD

QN

DQDCM

QNDCM

D

Nf

..

.. “Fracción Simplificada”

Ejercicio: Simplificar la siguiente Fracción:

1543

142132523456

23456

xxxxxx

xxxxxx

x6 +5x5 +2x4 -13x3 -2x2 +4x +1 x6 +3x5 +x4 +4x3 -5x2 -x +1

-x6 -3x5 -x4 -4x3 +5x2 +x -1 1

2x5 +x4 -17x3 +3x2 +5x

2210826221543 2345623456 xxxxxxxxxxxx

5317253172 2342345 xxxxxxxxxx

2x6 +6x5 +2x4 +8x3 -10x2 -2x +2 2x4+x3-17x2+3x+5

-2x6 -x5 +17x4 x2+5x+33

+5x5 +19x4 +5x3 -15x2 -2x +2 x2 +10x5 +38x4 +10x3 -30x2 -4x +4 -10x5 -5x4 +85x3 -15x2 -25x

+33x4 +95x3 -45x2 -29x +4 x2 +66x4 +190x3 -90x2 -58x +8 -66x4 -33x3 +561x2 -99x -165

+157x3 +471x2 -157x -157

Page 118: Logica matematica y algebra

118

1-x-3x+x157157-157x-471x2+157x3 23

2x4 +x3 -17x2 +3x +5 x3+3x2-x-1

-2x4 -6x3 +2x2 +2x 2x+1

-5x3 -15x2 +5x +5

5

x3 +3x2 -x -1 -x3 -3x2 +x +1

0 M.CD=x3+3x2-x-1 x6 +5x5 +2x4 -13x3 -2x2 +4x +1 x3+3x2-x-1

-x6 -3x5 +x4 +x3 x3+2x2-3x-1

2x5 +3x4 -12x3 -2x2 +4x +1 -2x5 -6x4 +2x3 +2x2

-3x4 -10x3 +4x +1 +3x4 +9x3 -3x2 -3x

-x3 -3x2 +x +1

+x3 +3x2 -x -1

0

QN(x)= x3+2x2-3x-1 x6 +3x5 +x4 +4x3 -5x2 -x +1 x3+3x2-x-1

-x6 -3x5 +x4 +x3 x3+2x-1

+2x4 +5x3 -5x2 -x +1 -2x4 -6x3 +2x2 +2x

-x3 -3x2 +x +1 +x3 +3x2 -x -1

0

QD(x)= x3+2x-1

12

132

1543

14213253

23

23456

23456

xx

xxx

QD

QN

xxxxxx

xxxxxx

x

x

-OBSERVACIÓN: La manera de reducir un grupo de fracciones ligadas por los signos de adición y sustracción, a una sola fracción, cuyo denominador es el m.cm de los denominadores de las fracciones sumandos, se ha convenido en llamarla “Suma algebraica de fracciones”. Esto ya habíamos tratado al comienzo del estudio de fracciones. Sin embargo también puede presentarse la operación inversa correspondiente, es decir aquella operación de descomponer una fracción en suma algebraica de fracciones más simples o parciales. Tal tipo de operación inversa se llama “descomposición de una fracción en fracciones parciales”

Page 119: Logica matematica y algebra

119

Una fracción podrán descomponerse en suma algebraica de fracciones parciales si solo si es una fracción propia. Denomínese fracción propia aquella fracción en la que el grado del numerador es menor al grado del denominador si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador en una fracción, esta fracción es ó representa una simple división y a partir de esta división habrá que descomponer la fracción propia a descomponerse en fracciones parciales.

Sea la división

x

x

D

P; grado de P(x) mayor o igual que el grado de D(x).

Por algoritmo de la división P(x)=D(x)·Q(x)+R(x) 1

x

x

x

xx

x

x

xD

R

D

RQ

D

PD1 Fracción Propia

Descomposición en fracción propia en suma algebraica de fracciones parciales. -Paso 1: Factorar el denominador de esa fracción. -Paso2: Con el denominador factorado de esta fracción se procede. paso 2.a: A cualquier factor lineal (factor de primer grado tipo ax+b). Presente en el denominador de una fracción propia, le corresponde la siguiente fracción

parcial: bax

A

. Si el factor lineal ax+b ocurre n veces en el denominador de la

fracción propia (ax+b)n, a este factor le corresponde la siguiente suma algebraica de fracciones parciales.

ni

n

bax

An

bax

Ai

bax

A

bax

Abax

.......

212

donde Ai es una constante real a calcularse paso 2.b: A cualquier factor cuadrático (factor de segundo grado tipo: x2+ax+b y factorable). Presente en el denominador de la fracción propia, le corresponde

una fracción parcial del tipo baxx

bax

2

si este factor cuadrático ocurre n veces

en el denominador de una fracción propia (x2+ax+b)n, le corresponderá la siguiente suma algebraica de fracciones parciales.

ni baxx

BnAn

baxx

BiAi

baxx

BxA

baxx

BxA

22222

......2211

donde Ai y Bi son

constantes reales a calcularse. Paso 2.c: etc

P(x) D(x)

Q(x)

R(x)

Page 120: Logica matematica y algebra

120

Ejercicio: Descomponer en fracciones parciales la siguiente fracción.

2

32

341

53

xx

xx

-5x3 +3x2 +0x +0 3x2-4x+1

+5x3 -20/3x2 +5/3x -5/3x-11/9

-11/3x2 +5/3x +11/3x2 -44/9x +11/9

-29/9x +11/9

3341

9

11

9

29

xx

x

143

9

11

9

29

9

11

3

5

341

5322

32

xx

x

xxx

xx F.P

131131

9

11

9

29

143

9

11

9

29

2

x

B

x

A

xx

x

xx

x

131

3

131

113

xx

BAxBA

xx

xBxA

BAxBAx 39

11

9

29

BAenx

BAenx

9

11:

39

29:'

9

2

39

29

1

22

29

18

B

B

A

A

A

Page 121: Logica matematica y algebra

121

13

2

19

11

3

5

x

A

x

Ax

= 139

2

1

1

9

11

3

5

xxx

Ejercicio: Descomponer en fracciones parciales la siguiente fracción

1

1

2

12 xx

x

1212

122

x

C

x

BAx

xx

x

12

21

12

12

2

2

xx

xBAxx

xx

x

12

2

12

12

22

2

xx

CxBBxAxAx

xx

x

12

2

12

12

2

2

xx

BxABxCA

xx

x

BxABxCAx 221

Bx

ABx

CAx

1

1

20

0

2

1=-1-A 0=A+2C

2

AC

C=1

1

1

2

12

12

122

xx

x

xx

x

Ejercicio: Descomponer en fracciones parciales la siguiente fracción:

12

124

xx

x

22222 111

1

x

DCx

x

BAx

x

x

22

2

22 1

1

1

1

x

DCxxBAx

x

x

B=-1

A=-2

Page 122: Logica matematica y algebra

122

DCxxBAxx 11 2

DCxBBxAxAxx 231

DBxCABxAxx 231

DBx

CAx

Bx

Ax

1

1

0

0

0

2

3

1

1

0

0

D

C

B

A

Ejercicio: Descomponer en fracciones parciales la siguiente fracción.

21

1

xx

x

22111

1

x

C

x

B

x

A

xx

x

2

2

21

11

1

1

xx

xCBxxxA

xx

x

xCBxxxAx 1112

xCBxBxAAxAxx 22 21

AxCBAxBAx 21 2

Ax

CBAx

BAx

1

21

0

0

2

2

1

1

C

B

A

221

2

1

11

1

1

xxxxx

x

Page 123: Logica matematica y algebra

123

Ejercicio: Descomponer en fracciones parciales la siguiente fracción

11

122

2

xx

xx

11111

1

11

12

2

2

2

22

2

xx

x

xxx

xx

xx

xx

1111 22

2

x

C

x

BAx

xx

x

11

11

11 2

2

2

2

xx

xCxBAx

xx

x

11 22 xCxBAxx

CCxBBxAxAxx 222

CBxBAxCAx 22

CAx 12 1

BAx 0 2

CBx 00 3 (1-3)+2

A

BA

BA

CB

CA

21

0

1

0

1

2

1A ;

2

1;

2

1 CB

1

2

1

1

2

1

2

1

11 22

2

xx

x

xx

x

Ejercicio: Descomponer en fracciones la siguiente fracción

1133

1123

22

xxxx

xxx

12

1

1

1

11

111

1133

112

2

2

2

3

2

23

22

xx

xx

x

xx

xx

xxxx

xxxx

xxx

x2 +x +1 x2-2x+1

-x2 +2x -1 1

3x

xPxx

x

12

31

2

Page 124: Logica matematica y algebra

124

221

3

12

3

x

x

xx

x

22111

3

x

B

x

A

x

x

2211

1

1

3

xx

BxA

x

x

BxAx 13

BAAxx 3

ABAxx 3

ABx

Ax

0

3

0

3A

3B

221

3

1

31

1

3

xxx

x

Radicales

Las raíces r de los números reales x se define por el enunciado

xrxr nn la expresión n xr se llama radical, el número n es el índice

del radical y x se llama radicando. El símbolo se llama signo radical si n=2,

se omite el índice del radical, si n es impar, para cualquier valor de x hay una

raíz enésima de x. ejemplo: 2325 Si n es par y positivo, hay 2 raíces

enésimas de x. Sin embargo, el símbolo n x se reserva para la raíz positiva.

Ejemplo: 24 Leyes de los Radicales: Las siguientes propiedades se pueden usar para simplificar expresiones que contengan radicales y se llaman leyes de los radicales. Sean ZnmRyx ,, .

Entonces:

1) xxn

n

2)

0,

0,;

,

,

xsix

xsixx

parnsix

imparnsixxn n

3)

n

n

n

yxy

x

4) nmm n xx ·

Page 125: Logica matematica y algebra

125

5) Znxx nn 1

6) nmZnxxmnnm //1/ mínima expresión

Ejercicio: Simplificar las siguientes expresiones

1) aaba

ba442

4 1610

8

1

2

32

aaba

baa

44 242

4 164 24 844 4

22

2

···2·2

aaba

baa44

424

22

2

··2·2

22

2

2

2

a

a

12

2

2) 424 2

4 1610

2

2

32

baa

ba

=42

42

1610

2

2

32

baa

ba

42

4 168

2

16

ba

ba

42

4 164 84 4

2

··2

ba

ba

12

242

42

ba

ba

Racionalización de Radicales:

Cuando se quitan los radicales del numerador o del denominador de una fracción, se dirá que se ha racionalizado. En general normalmente se racionaliza el denominador, pero en cálculo diferencial a veces es importante racionalizar el numerador. El procedimiento implica la multiplicación de la fracción por 1 tal, que 1= factor racionalizante del denominador (factor racionalizante del denominador).

Page 126: Logica matematica y algebra

126

Ejercicio: racionalizar las siguientes fracciones.

1) 3

1

3

3

1

3

3

3

32

2) yx

yx

yx

yx

Yx

yx

yxyx

22

·11

3) 1

1

1

1

1

1

1

1

12

x

x

x

x

x

x

xx

4)

y

y

y

y

y

y

yy 49

232

23

232

23

23·

23

2

23

2222

5)

yxx

yx

yx

yx

yx

yx

yxyx 412

21

21

21

21

21·

21

1

12

12222

222

241

24121

241

241·

241

21

412

21

xyx

xyxyx

xyx

xyx

xyx

yx

yxx

yx

xyx

xyxyx

441

241212

Ejercicio: Racionalizar

1)

4

23 4

33 4

23 4

23 4

23 4

3 43 4·

11

x

x

x

x

x

x

xx

2)

3

3 311

2

3 311

2

3 311

2

3 311

3 3113 311

·11

xxx

xxx

xxx

xxx

xxxxxx

x

x

xxx

xxx

xxxxx

xxx

xxxxx

xxx

·1···

5

2

3 311

5

2

3 311

210

2

3 311

xxx

xxxx

xxx

xxxx

5

2

3 311

52

2

3 311

1

·

1

·

3) 1

1

1

1

1

1

1

1

1 33 2

33

33 2

33 2

33 2

33

x

xx

x

xx

xx

xx

xx

Page 127: Logica matematica y algebra

127

4)

y

yy

y

yy

yy

yy

yy

1

1

1

1

1

1

1

1

12

332

333

233

2332

2332

33

Ejercicio: Racionalizar: 1)

ba

ba

ba

ba

ba

ba

bbaabbaa

33

33

33

33

33

33

2333

23

2333

23

·11

2) 1

1

1

1

1

1

1

1

1 3

33

3

3

3

32

332

3

a

a

a

a

a

a

aaaa

Ecuaciones

Ecuaciones Lineales: Una ecuación lineal es una expresión de la forma ax+b=0. Tal que

Rbaa 0 , “fijos” x representa un número real a determinarse. Resolverla es hallar el número real x tal que al reemplazarlo e la misma la reduce a una identidad. Ejercicio: Resolver la siguiente ecuación: 7x+12=5x-8 20=-20 x=-10 En otras palabras se denomina ecuación a una igualdad que contiene una o varias letras, bajo las cuales se sobreentienden los números desconocidos. Las letras que representan los números desconocidos se denominan incógnitas y a los números o letras que acompañan a las incógnitas se los llama coeficientes. Los valores de las incógnitas que satisfacen o verifican una ecuación reciben el nombre de soluciones o raíces de la ecuación. Resolver una ecuación o un sistema de ecuaciones es encontrar todos los valores de las incógnitas que satisfacen la ecuación o el sistema de ecuaciones, o asegurarse que no existen tales valores de las incógnitas. Si consideramos las ecuaciones en las cuales las incógnitas. Aparecen elevadas a un exponente entero positivo, el mayor exponente al cual está elevada la incógnita se llama grado de la ecuación Ejercicio: Resolver la siguiente ecuación.

1) 2

3

4

4

2

32

xx

x

x *

202

22022042

xx

xxxxx

2

3

22

4

2

3

xxx

x

x

23423 xxx

Page 128: Logica matematica y algebra

128

63463 xxx

x412

3x

2) 32102

4

x

x

x

x *

2

332032

102020202

xxx

xxx

32202

4

x

x

x

x

203324 xxxx

xxxxx 20212832 22

1231 x

31

12x

3) Hallar 2 números cuya suma sea 20 y cuya diferencia sea 6:

x: primer número y: segundo número x +y =20 x -y =6

2x =26 x =13 x+y=20→ 13+y=20→ y=7 -Observación: En este ejercicio tenemos 1 sistema de 2 ecuaciones lineales con dos incógnitas. Este sistema también puede resolverse por la vía gráfica graficando en el plano cartesiano las dos rectas que estas ecuaciones lineales representan. Las coordenadas del punto de intersección de estas 2 líneas rectas constituyen la solución del sistema lineal 2x2.

Page 129: Logica matematica y algebra

129

y

15 5

5

15

1

-7

P (5,15)

P (15,5)

P (1,-7)

6 13

7 S (13, 7)

x

x-y=6

Ejercicio: resolver el sistema anterior por el método gráfico. x+y=20 x-y=6 OBSERVACIÓN: Un sistema lineal se resuelve por los métodos tradicionales del álgebra convencional los mismos que constituyen: 1) Método de suma y resta 2) Método de Sustitución 3) Método de igualación Ejercicio: Resolver el siguiente sistema 3x3 por el método de suma y resta 1) x+y+z=1 2) x-2y=0 3) x-z=-1

4)

[2)x2]-4)

2x -4y =0 -2x -y =0

y=0

2)+[4)x2] x -2y =0

4x +2y =0

x=0 5)

5) - 3) x =0 -x +z =1

z=1

1)+3) x +y +z =1 x -z =-1

2x +y =0

x+y=20

Page 130: Logica matematica y algebra

130

Ejercicio: Resolver el siguiente sistema por el método de sustitución: 1) x+y+z=1

2) x-2y=0→2

xy

3) x-z=-1 1 xz

2) y 3) en 1) x=0 en 3) x=0 en 2) 0-z=-1 0-2y=0

112

xx

x

Ejercicio: Resolver el siguiente sistema 3x3 por el método de igualación 1) x+y+z=1→z=1-y-x

2) x-2y=0→2

xy

3) x-z=-1→z=x+1

1) = 3) 4) = 2) 1) = 3) 6) = 5)

1-y-x=x+1 xx

22

1-y-x=x+1 2

0y

y=-2x 4) 5) 2

yx 6)

en 3) 7) = 5) x-z=-1→x=z-1 7) 0=z-1

Ecuaciones Cuadráticas

Una ecuación polinómica de grado n es una ecuación de la forma:

0;012... 021 anaxaxaanxanx nn donde n es un número entero no

negativo y a constituyen números reales. Para una ecuación lineal el grado n n=1 (n es igual a 1). La solución de una ecuación polinómica se ll ama raíz de la ecuación. La ecuación cuadrática de segundo grado es una expresión de la forma: ax2+bx+c=0. Sus raíces pueden hallarse por factores usando la forma:

a

acbbx

2

42 .

Ejercicio: Demostrar que 2) constituye las raíces de 1).

x=0

z=1 y=0

x=0 y=0

z=1

Page 131: Logica matematica y algebra

131

ax2+bx+c=0 1)

a

acbbx

2

42 2)

a 0=c+bx+ax2

02 a

cx

a

bx

2

22

2

42 a

b

a

c

a

bx

a

bx

2

22

4

4

2 a

bac

a

bx

a

acb

a

bx

2

4

2

2

a

acbbx

2

42 L.Q.Q.D

La naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado está determinada por el radicando b2-4ac, al cual se lo llama discriminante. Los 3 casos posibles, se sintetizan a continuación.

discriminante raíces

b2-4ac>0 Raíces diferentes,. R1 R2

b2-4ac=0 R1=R2

b2-4ac<0 No existen R1.R2

Ejercicio: Resolver las siguientes ecuaciones:

1) 0652 xx

)1(2

)6)(1(4255 x

2

15x

2

15

2

1521

xx

32 21 xx

2) 0484 23 xxx

0124 2 xxx

004 1 xx

2

)1)(1(442 x

2

222 x

Page 132: Logica matematica y algebra

132

21x

2121 32 xx

Ejercicio: Resolver la siguiente ecuación por factoreo.

0652 xx

023 xx

0203 21 xx

23 21 xx

Ejercicio: Resolver la siguiente ecuación:

01911819 222 xxxx

01121 222 xxxx

0121 22 xxx

012 x 0122 xx

12 x

12

11442 x

1x 2

82 x

11 21 xx 2

222 x

2222 43 xx

Ecuaciones Misceláneas: Muchas ecuaciones que no son polinómicas pueden convertirse a esa forma por medio de operaciones algebraicas. Ejercicio: Resolver las siguientes ecuaciones

1) xx

x

x

x

1

21

1

52

1

21

1

52 2

x

xxx

x

x

152 2 xxx

0432 xx

14 xx

0104 21 xx

14 21 xx

Page 133: Logica matematica y algebra

133

2) 02143 2 x

33

3 2 214 x

814 2 x

94 2 x

4

9x

2

3

2

321 xx

Problemas de aplicación: -Repartir $4000 entre 2 personas, de manera que la primera reciba $540 más que la segunda. x+y=4000 1) x+540=y 2) 2) en 1) 3) en 2) x+x+540=4000 1730+540=y 2x=3460 y=2270 x=1730 3) Solución: La primera persona recibe $2270 y la segunda recibe $1730 -Con 950 ladrillos se ha hecho 3 tabiques, en el primero entra una tercera parte de los que entran el tercero, y en el segundo la cuarta parte de los que entran en el tercero. ¿Cuántos ladrillos se emplearán en cada tabique?

1) z3

1x

2) z4

1y

3) 950zyx

1) y 2) en 3) 4) en 2) 4) en 1)

950zz4

1z

3

1 600

4

1y 600

3

1x

950z12

19 150y 200x

600z 4)

Page 134: Logica matematica y algebra

134

Solución: Para el primer tabique se usan 200 ladrillos. Para el segundo tabique se usan 150 ladrillos. Para el tercer ladrillo se usan 600 ladrillos. -Los 2 factores de una multiplicación suman 91 si se aumenta 5 unidades al multiplicando y se disminuyen 2 al multiplicador. El producto aumenta en 67. ¿Cuáles son los factores? 1) x+y=91→y=91-x 2) x·y=m (x+5)(y-2)=m+67 (x+5)(y-2)=xy+67 (x+5)(91-x-2)=x(91-x)+67 (x+5)(89-x)=x(91-x)+67 89x-x2+445-5x=91x-x2+67 -7x=-378 x=54 y=91-54→y=37 -Aumentando un número en sus 3 centésimas partes se obtiene más que la quinta parte que la suma. ¿Cuál es el número?

x

100

3x

5

1103x

100

3x

x500

3x

5

1103

100

x3x100

500

x3

500

x100

500

51500

100

x3x100

x3x10051500x15x500 51500x412

125x Solución: El número es 125 Ejercicio: Repartir $2900 en 4 individuos, de manera que al primero le corresponda $400 más que el segundo, a este, dos tercios de lo que le corresponde al tercero y a este $500 menos que el cuarto x= cuarto x-500= tercero

500x3

2Segundo

400500x3

2 Primero

2900500x3

4x2

87002000x4x6

Page 135: Logica matematica y algebra

135

10700x10

x=1070 x= cuarto=1070 x-500= tercero=570

500x3

2Segundo=380

400500x3

2 Primero=780

INECUACIONES

Definición: Una inecuación es una “desigualdad” que solo es verdadera para determinados valores de la incógnita. Resolver una inecuación significa. Hallar los valores para los cuales la desigualdad es verdadera. Ejercicio: Resolver las siguientes inecuaciones. 1) 71x3

71x3 8x3

3

8x

Sol:

3

8,

2) 2x2

31x2

3x2

1

6x

Sol: ,6

3) 3x2x

1x0

Sol:

4) 3x31x3

4x0

Sol: R

Page 136: Logica matematica y algebra

136

-2 1

5) 1xx3

a) 0x1xx3 b) 0x1xx3

0x4

1x 0x

4

1x

,0

4

1, 0,

4

1,

Sol a:

4

1,0 Sol b:

4

1,0

Sol: Sol a Sol b

Sol:

4

1,0

4

1,0 =

4

1,0

Ejercicio: Resolver las siguientes inecuaciones

1) 12x1x

a) 01x 02x 12x1x

3x1x 1x 2x 4x0

,1 ,2 R

Sol a: ,1 ,2 R

Sol a: ,1

b) 01x 02x 12x1x

1x1x 1x 2x 2x0

1, 2,

Sol b: 1, 2, =

Page 137: Logica matematica y algebra

137

-2 1 0

-2 1 -1

c) 01x 02x 12x1x

1x 2x 12x1x

,1 2, 0x

0,

Sol c: 0,2,,1

d) 01x 02x 12x1x

1x 2x 12x1x

1, ,2 1x

,1

Sol d: 1,1,1,21,

Sol: Sol a U Sol b U Sol c U Sol d= ,11,1,1

2) 41x2

41x24 14x214

5x23

2

5x

2

3

Sol=

2

5,

2

3

3) 21x3

21x321x3

1x321x3 1x33x3

3

1x1x

Page 138: Logica matematica y algebra

138

4 5

3

3

5

Sol=

,

3

11,

4) 73x4

73x473x4

4x473x4

1x2

5x

Sol=

1,

2

5

5) 5x33x5

225x33x5

25x30x99x30x25 22

016x60x16 2

04x15x4 2

8

44422515x

8

28915x

8

1715x

8

2x

8

32x

2

1x4x

Sol=

2

1,4

Otra forma: a) 5x33x5 03x5 05x3 8x2 3x5 5x3

4x 5

3x

3

5x

Page 139: Logica matematica y algebra

139

4 5

3

3

5

5

3 4

1

3

5

5

3 4

1

3

5

Sol a= {4}

b) 05x303x55x33x5

-5x+3=-3x-5 3x5 5x3

2x=8 5

3x

3

5x

x=4

Sol=

c) 05x303x55x33x5

5x-3=-3x-5 3x5 5x3

4

1x

5

3x

3

5x

d) 05x303x55x33x5

-5x+3=3x+5 3x5 5x3

4

1x

5

3x

3

5x

Page 140: Logica matematica y algebra

140

Sol d=

4

1

Sol= 4

14

Sol=

4,

4

1

Ejercicio: Resolver las siguientes inecuaciones

1) 02x53

2x53

2x532 2x532

1x55

5

1x1

1x5

1

Sol=

1,

5

1

2) 034x6

34x6

34x6 34x6

34x6 7x6

6

1x

6

7x

Sol1=

,

6

1

Sol2=

,

6

7

Sol= Sol1 U Sol2 =

,

6

1

3) 2

1x3410

2

7x314

2

7x314

Page 141: Logica matematica y algebra

141

14x32

7

3

14x

6

7

Sol=

3

14,

2

7

4) 02x

5x2

; 02x02x02x

a) 05x2 02x b) 05x2 02x 5x2 2x 5x2 2x

2

5x 2x

2

5x 2x

2

5, ,2

,

2

5 ,2

Sol a=

2

5,2 Sol b=

Sol= Sol a U Sol b

Sol=

2

5,2 U

Sol=

2

5,2

5) 0x

1

0x

Sol= 0,

7) 02x 2

2x 2

2x

2x2x

2x2x

,22,

Sol= ,22,

Page 142: Logica matematica y algebra

142

8) 025x2

25x2

15x

15x1

6x4

Sol= 6,4

9) 216x3

76x

76x76x

1x76x 1x13x

,113,

Sol= ,113,

10) 7827x5

Como Rx , 027x5 Sol=

11) 7945x

245x

Como ,Rx 045x Sol= R

12) 24x5

24x5

Como 04x5,Rx Sol=

13) 57x37x32

57x37x32 ; se ha usado el axioma: xx

57x3

57x35 12x32

4x3

2

Sol=

4,

3

2

127x5

Page 143: Logica matematica y algebra

143

5

6

2

3

0

2

3

14) 3

1

3x2

1x

3

1

3x2

1x

3

1

3x2

1x

3

1

3x2

1x

3

1

3x2

1x

3

1

3x2

1x

03x23x23

11x 03x23x2

3

11x

3x23x23x3 3x23x23x3

2

3x

5

6x

2

3x0x

Sol= Sola U Solb=

2

3,0 =

2

3,0

Propiedad:

1) Si 0b0a0b0a0ba

2) Si 0b0a0b0a0ba

3) Si 0b0a0b0a0ba

4) Si 0b0a0b0a0ba

Ejercicio: Resolver las siguientes inecuaciones

1) 02x1x

02x01x02x01x

2x1x2x1x

2,1,,2,1

1,,2

SOL= 1,,2

SOLb=

2

3,0

SOLa=

Page 144: Logica matematica y algebra

144

- -1 2 +

2) 02x1x

02x01x02x01x

2x1x2x1x

2,1,,2,1

1,,2

Sol= 1,,2

3) 02x1x

02x01x02x01x

2x1x2x1x

,21,2,,1

2,1

Sol= 2,1

4) 02x1x

02x01x02x01x

2x1x2x1x

,21,2,,1

2,1

Sol= 2,1

OBSERVACIÓN: Una inecuación con su segundo miembro igual a cero y su primer miembro factorado puede resolverse por tablas de la siguiente manera: -Representamos en la recta numérica los valores críticos de x para lo cual igualamos a cero cada uno de los factores y/o divisores definidos en función de x y despejamos de estas igualdades la x correspondiente. Con estos valores críticos armamos los diversos intervalos que surgen en la recta numérica. A continuación encontramos los signos de las inecuaciones antes establecidas y deducimos en que intervalo la inecuación está definida y este intervalo constituye la solución de la inecuación. Ejercicio: Resolver por tablas las siguientes inecuaciones.

1) 02x1x

1x

01x

2x

02x

x+1 - + +

x-2 - - +

(x+1)(x-2) + - +

Sol= ,21,

Page 145: Logica matematica y algebra

145

- -2 2

1

3

2 +

- -2 2

1

3

2 +

2) 0x2x212x3

3

2x

02x3

2

1x

0x21

2x

0x2

3x-2 - - - +

1-2x + + - -

2+x - + + +

(3x-2)(1-2x)(2+x) + - + -

3) 0x2x212x3

3

2x

02x3

2

1x

0x21

2x

0x2

3x-2 - - - +

1-2x + + - -

2+x - + + +

(3x-2)(1-2x)(2+x) + - + -

4) 1x

31x

01x

31x

0

1x

31x1x

01x

4x 2

Sol=

,

3

2

2

1,2

Sol=

3

2,

2

12,

Page 146: Logica matematica y algebra

146

- -2 -1 2 +

- + 0

- -1 +1 +

0

1x

2x2x

2x

02x

2x

02x

1x

01x

x+2 - + + +

x-2 - - - +

x+1 - - + +

1x

2x2x

- + - +

5) 0x

1

0x

6) 01x

1x

1x

01x

1x

01x

1x

01x

Ejercicio: Resolver por tablas las siguientes inecuaciones:

1x

5x

3x

2x

x - +

x

1

+ -

x+1 - + +

x-1 - - +

1x

1x

+ - +

Sol= ,21,2

Sol= ,0

Sol= 1,1

Page 147: Logica matematica y algebra

147

- -3 7

17

1 +

01x

5x

3x

2x

01x3x

3x5x2x1x

0

1x3x

15x8x2xx 22

0

1x3x

17x7

0

1x3x

17x7

0

1x3x

17x7

7

17x

017x7

3x

03x

1x

01x

Problemas de Aplicación: 1) Una compañía que fabrica y vende tiene gastos semanales de $3400 incluyendo salarios y costos de planta. Es costo de los materiales por cada gabinete es de $40 y se vende en $200. ¿Cuántos gabinetes deberán construirse y venderse cada semana para que la compañía garantice utilidades? Solución Sea x= # gabinetes construidos y vendidos semanalmente. Para que exista ganancia el ingreso deberá ser mayor que el costo:

7x+17 - - + +

x+3 - + + +

x-1 - - - +

1x3x

17x7

- + - +

Sol=

,1

7

17,3

Page 148: Logica matematica y algebra

148

Ingreso>Costo -Cálculo del ingreso por gabinete

1

200x? ?;x

$2001

Ingreso= 1

x200

-Cálculo del costo 1 gabinete cuesta en materiales $40; x gabinetes ¿cuánto costarán?

1

40x? ?;x

$401

Costo= 40x+3400 200>40x+3400 160x>3400 x>21.25 #gabinetes= 21.25 Conclusión: La compañía deberá construir y vender al menos 22 gabinetes cada semana para garantizar ganancias. 2) Si la temperatura en la escala Fahrenheit es F grados y utilizando la escala

Celsius es C grados entonces 32F9

5C dado por la física. ¿Cuál es el

conjunto de valores de F si C está entre 10 y 20?

10<C<20 32F9

5C

2032F9

510

432F9

12

3632F18 68F50

Conclusión: F se encuentra entre 50 y 68 3) Un arquitecto diseña y vende adornos de pared y puede comerciar cada uno de los adornos producidos a un precio de $75. Si x adornos son manufacturados diariamente, entonces el costo total diario de producción es $x2+25x+96 (dados por un economista). ¿Cuántos adornos deberán producirse diariamente para que el arquitecto garantice una utilidad? Solución:

ingreso>costo

-Cálculo del ingreso

75x? ?;x

751

Ingreso=$75 Costo= x2+25x+96

Page 149: Logica matematica y algebra

149

- 2 48 +

75x> x2+25x+96 0> x2-50x+96 x2-50x+96<0 (x-48)(x-2)<0

48x

048x

2x

02x

Sol: (2,48) 2<x<48 -Conclusión: Para que el arquitecto registre una ganancia el número de adornos producidos y vendidos deberá ser más de 2 y menos de 48.

NÚMEROS COMPLEJOS

Todas las cantidades consideradas hasta ahora son números reales en diferentes ámbitos de las ciencias, pueden aplicarse también los números complejos, lo que da un nuevo significado a ciertos conceptos y explica otros. A continuación su definición. Definición: El conjunto C de los números complejos es el de los números de la

forma ibaZ donde Rba , 1i . El número a se denomina parte real y el número b·i se denomina parte imaginaria, e i se llama cantidad imaginaria La expresión a+bi recibe el nombre de forma rectangular o forma normal o

forma ordinaria de un número complejo. El símbolo i tiene la propiedad: 1i2

entonces: i1iii 23 111iii 224 ii1iii 45 etc. -IGUALDAD: 2 números complejos a+bi c+di son iguales si solo si a=c b=d. dbcadicbia

La adición y multiplicación de complejos se define como el siguiente teorema:

Si i2b1b212Z1Zi2b22Zbi11Z

i2a1b2b1a2b1b2a1a2Z1Z

Ejercicio: Demostrar el teorema Z1=a1+b1i Z2=a2+b2i

1) ibibaaZZ 212121

ibbaaZZ 212121

x-48 - - +

x-2 - + +

(x-48)(x-2) + - +

Page 150: Logica matematica y algebra

150

2) ibaibaZZ 221121

2

2112212121 ibbibaibaaaZZ

2112212121 bbibaibaaaZZ

ibaibabbaaZZ 1221212121

ibababbaaZZ 1221212121

-EL CAMPO COMPLEJO: En el capítulo anterior se enunció las propiedades básicas del sistema de los números reales. Utilizando la definición de adición y multiplicación de complejos puede demostrarse que estas propiedades básicas también se aplican al sistema de los números complejos. Axiomas de Campo: -De la SUMA:

1) CZ,Z 21 ; CZZ 21 Axioma Clausurativo

2) CZ.Z,Z 321 ; 321321 ZZZZZZ Ax Asociativo

3) CZ,Z 21 ; 1221 ZZZZ Ax Conmutativo

4) Zz,Ce ; i00ezzeez Ax del neutro Aditivo

5) Cz,Cy ; zyi00eezyyz Ax. Del inverso aditivo

Propiedades del producto de Números Complejos

1) CZ·Z 21 ; CZ·Z 21 Ax. Clausurativo

2) CZ·Z·Z 321 ; 321321 Z·Z·ZZ·Z·Z Ax Distributivo

3) CZ·Z 21 ; 1221 Z·ZZ·Z Ax. Conmutativo

4) CZCe ; i01eZ·ee·Z Ax. Del neutro aditivo

5) ,CZCy * i00Z ; eyzzy 1Zyi01e Ax del inverso

i00CC* multiplicativo

Relación entre la suma y el producto

CZ,Z,Z 221

1) 3121321 Z·ZZ·ZZZ·Z Distributiva por la izquierda

2) 3231321 Z·ZZ·ZZ·ZZ Distributiva por la derecha

-De lo anterior se puede afirmar que el sistema matemático constituido por el conjunto de los números complejos con las operaciones de adición y multiplicación (C,+) constituye un campo.

Page 151: Logica matematica y algebra

151

Observaciones: 1) El inverso aditivo de un número complejo Z=a+bi es –Z=-a-bi

2) Si Z=a+bi es un número complejo, entonces biaZ , se llama subconjugado. 3) Si en Z=a+bi, b=0 se obtiene un número real. Así el conjunto de los números reales es un subconjunto de los conjunto de los números complejos. Ejercicio: Efectuar las operaciones indicadas, simplificar y expresar los resultados a forma normal.

1) i322i43i21

= i64i312i21

= i1115

2)i23

1

i23

i23·

i23

1

22 i23

i23

49

i23

i13

2

13

3

13

i23

i1i

1

i

1

i

1)3

53

i1i·i·i

1

i·i

1

i

1222

= i1i

1

i

1

i

1

= i1i

1

i

i

i1

2

2

i

i1

1

11

0

Page 152: Logica matematica y algebra

152

a

b )b,a(P

bia

x

y

0

Ejercicio: Resolver las siguientes ecuaciones

1) 025x8x 2

2

251488x

2

2

368x

2

i68x

2

i68x 21

i34xi34x 21

2) 01x1x16x1x1x 2

01x16x1x 222

016x1x 22

016x01x 22

16x1x 22

1x

1x

2

1

i4x

i4x

4

3

-Representación en el plano cartesiano Todo número complejo de la forma a+bi se puede asociar a un par ordenado único (a,b), en el sistema cartesiano. Donde el eje horizontal se llama eje real y el eje vertical se llama eje imaginario. De modo que cada complejo puede asociarse a un punto único en un sistema de coordenadas cartesianas. Recíprocamente a cada punto se asocia un número complejo único. En este caso el plano cartesiano recibe el nombre de plano complejo o diagrama de ARGOND. Gráficamente: Distancia entre 2 puntos:

La distancia entre dos puntos ibaZ 111 y ibaZ 222 en el plano cartesiano

está dada por la fórmula: 2

21

2

2121 )bb(aaZZ

*A veces también es necesario colocar el vector P para que el complejo a+bi quede mejor identificado

Page 153: Logica matematica y algebra

153

x

b )y,x(P

yix

x

y

y

r

0

Notación Adicional: Dado el complejo Z=a+bi, sabemos que a parte de Z y se nota como a=ReZ

El número b se simboliza como b=ImZ Dado el punto de la vista lógica es conveniente definir un número complejo Z=a+bi como el par ordenado de números reales (a,b) sometido a definiciones y operaciones equivalentes a los anteriores, esas definiciones se dan a continuación.

1) Igualdad I: dbcad,cb,a

2) Suma S: db,cad,cb,a

3) Producto: bcad,bdacd,c·b,a

De aquí:

1,0b0,1ab,a se asocia a bia donde 1,0i con la propiedad que

0,11,01,0i2

Se pueden considerar los pares (-1,0), (1,0), (0,0) equivalentes a los números reales -1, 1, 0 respectivamente. Valor Absoluto:

El valor absoluto de un complejo a+bi está definido como bia donde

22 babia

Ejercicio: Resolver los siguientes valores absolutos de números complejos.

1) 52543i4322

2) 23.2521i21 22

3) 110i0ii11i·i·ii 22225

4) 16.316.331i3122

Forma Polar o Trigonométrica de un complejo

Sea el número complejo x+yi representado por el vector op de la figura siguiente

Real

Complejo Imaginario

Complejo Z

Page 154: Logica matematica y algebra

154

0 0 0

1

b

)1,1(P

x

y

y

r

0

x

y

r

1

0

Este vector y por lo tanto el número complejo pueden escribirse en términos de la longitud de r del vector y por cualquier ángulo positivo que forma el vector

con el eje positivo de las x (eje real positivo +).

Al número r= yixyx 22 se lo llama módulo o valor absoluto de número

complejo. El ángulo llamado amplitud o argumento del número complejo.

De la figura anterior se desprende:

rsenyr

ySen

cosrxr

xCos

irsencosryix ”Forma polar o trigonométrica”

rcisisencosr

-Forma exponencial de un complejo: El número complejo x+yi se expresa en forma exponencial de la siguiente

manera: ie·r de donde r y tienen el mismo significado que la forma polar o

trigonométrica ( se puede medir en radianes o grados) orden e=2.718…(base

del logaritmo natural). Ejercicio: Escribir los siguientes números complejos a forma polar y exponencial. ADVERTENCIA: Es más que necesario previamente graficar el número complejo. 1) i1

451tan11

1

x

ytan 1 211r 22

45·ie245cis2i1

2) i

r

r

1

r= 110 2 ; 90

90·ie190cis1i

Page 155: Logica matematica y algebra

155

x r

1 0

y

x 0

3) 1 i011

4) 0 Ejercicio: exprese en forma rectangular los siguientes números complejos:

1) 30cis2

i71.022.1i30sin30cos2

2)4·ie2

= i41.141.1i4sen4cos24cis2

Teorema:

222111 cisrZcisrZ

1) 212121 cisr·rZ·Z

2) 21

2

1

2

1 cisr

r

Z

Z

3) 1

n

1

n

1 cisnrZ ; Qn → Teorema

NOTA: Para la demostración de este teorema lleve a los números complejos a la forma exponencial. Ejercicio: Calcular el valor de la siguiente expresión

10

3i

2i4i

e3

e3·e2·

45cis·60cis·30cis3

45cis3·60cis·30cis2E

10

3i2i4

ie2·

456030cis

456030cis2E

r= 1012 ; 0

0·ie10cis11

r= 000 22 ; 0

0·ie00cis00

Page 156: Logica matematica y algebra

156

y

x 4

-4

10

3i2i4ie2·135cis

135cis2E

10127ie2·135135cis2E

10127ie2·270cis2E

10105ie2·270cis2E

10)105(cis2·270cis2E

10105270cis2·2E

10165cis4E

16510cis4E 10

1650cis4E 10

i1650sen41650cos4E 10

i1650sen41650cos4E 10

i52428845.908093E -Raíces de los números complejos: Un número complejo rcisbiaZ tiene exactamente n distintas raíces n-ésimas. El procedimiento para encontrar estas raíces se da en el ejemplo siguiente: Ejemplo: Encuentre las raíces quintas de 4-4i -Paso 1: Expresamos en forma polar el complejo 4-4i

14

4tan

1tan 1 31545

65.5r

32r

44r22

315cis65.5i44

Page 157: Logica matematica y algebra

157

63cis41.1Z1 135cis41.1Z2

207cis41.1Z3

279cis41.1Z4

351cis41.1Z5

x

y

-Paso 2: Este número complejo expresado en forma polar la expresamos en forma más general polar de la siguiente manera.

315cis65.5

315sen65.5315cos65.5

360·k315sen65.5360·k315cos65.5

Zk,360·k315cis65.5

-Paso 3: Como tenemos que calcular 51

360·k315cis65.5 ,

aplicamos el teorema de Mourie para calcular estas raíces quintas.

5

360·k315cis65.5 5

1

72·k63cis41.1

-Paso 4: Calculamos las 5 raíces quintas vamos a llamar

;72063cis41.1Z1 k=0 63cis41.1Z1

;72163cis41.1Z2 k=1 135cis41.1Z2

;72263cis41.1Z3 k=2 207cis41.1Z3

;72363cis41.1Z4 k=3 279cis41.1Z4

;72463cis41.1Z5 k=4 351cis41.1Z5

1Z ; k=5

2Z ; k=6

“Se va repitiendo” Estas raíces calculadas pueden graficarse en un mismo plano complejo de la siguiente manera.

Page 158: Logica matematica y algebra

158

0cis1Z1

120cis1Z2

240cis1Z3

Ejercicio: Resolver la siguiente ecuación

03

cisxe 33i

03

cisx3

cis 3

3cisx

3cis 3

1x3 3 1x 3 i01x

1r

0

1

0tan

360·k0sen1360·k0cos1i01

360·k0cis1i01

31

3 360·k0cis1i01

3

360·k0cis1i01

31

3

120·00cis1Z1 ; k=0 0cis1Z1

120·10cis1Z2 ; k=1 120cis1Z2

120·20cis1Z3 ; k=2 240cis1Z3

x

y

Page 159: Logica matematica y algebra

159

3a

4a

1a

1a

13

23

21

11

MATRICES

Def: Una matriz es una tabla de números dispuestos en filas y columnas.

Una matriz A de m filas y n columnas se nota como nmA y se le escribe en

forma general de la siguiente manera.

mnmj2mmi

inij2iii

n2j22221

n1j11211

nm

a...........a...........aa

a...........a............a

:

:

:

a

:

:

:

a..........a............aa

a...........a............aa

A

Donde ija designa el “coeficiente” situado en la i-ésima fila y j-ésima columna.

Ejercicio: Dada la matriz

401

321 calcular:

-Igualdad de Matrices:

Nota: La matriz nmA también se puede notar por la forma: nmijaA

Def: Dos matrices nmijaA

y

qpijbB

son iguales si solo si:

1) m=p 2) n=q

3) ijijij ba:

Ejercicio: Dada la igualdad matricial:

6c

47

b1

65

4a

21

calcular los valores

de a, b y c.

Fila

i-ésima fila

j-ésima columna columna

Page 160: Logica matematica y algebra

160

a=7 b=-2 c=5

ijijij ba:

-Matrices filas y matrices columnas: Def: Llámese matriz columna a la matriz e tiene una sola columna. Ejemplo:

1)

3

2

1

2) 1

Def: Llámese matriz fila a la matriz que tiene una sola fila. Ejemplo:

1) cba

2) b

-Tipos de Matrices: MATRIZ TRANSPUESTA:

Def: La “transpuesta” de la matriz nmijaA

es la matriz

mnijbA

tal que

jiij ab .

Ejercicio: Calcular la transpuesta de las siguientes matrices

43

21A

42

31A

khi

fed

cba

B

kfc

heb

ida

B

2C 2C

-Matriz Cuadrada:

Def: Una matriz A se dice “cuadrada de orden n” si nnijaA

Ejemplo:

654

321

cba

A 33

La diagonal principal de una matriz cuadrada está formada por todos los

elementos ija tales que ji

Ejemplo:

Page 161: Logica matematica y algebra

161

654

321

cba

A 33

-Matriz Simétrica:

Def: Una matriz cuadrada A se dice “simétrica” si solo si AA Ejercicio: Construir dos matrices simétricas una de orden 3 y otra de orden 4

121

212

121

A 33

121

212

121

A 33

abab

baba

abab

baba

B 44

abab

baba

abab

baba

B 44

-Matriz Diagonal:

Def: Una matriz nmijaA

se llama “diagonal” si 0a ij cuando ji

Ejercicio: Construir 3 matrices diagonales de orden 2, 3 y 4

1)

30

2A

2)

c00

0b0

00a

B ; Rc,b,a

3)

d000

0c00

00b0

000a

C ; Cd,c,b,a

-Matriz Escalar: Def: Una matriz cuadrada A se llama “escalar” si es diagonal y además todos los coeficientes de la diagonal principal son iguales. Ejercicio: Construir 3 matrices escalares de orden 1. 2 y 3

1) aA

2)

a0

0aB

Page 162: Logica matematica y algebra

162

3)

a00

0a0

00a

C

-Matriz triangular superior:

Def: Una matriz cuadrada nnijaA

se llama triangular superior si 0a ij ,

ji

Ejercicio: Construir dos matrices triangulares superiores de orden 2, 3 y 1

1)

30

21A 3) 2C

2)

500

740

831

B

-Matriz triangular inferior

Def: Una matriz cuadrada nnijaA

se llama triangular inferior si 0a ij ,

ij

Ejercicio: Construir 3 matrices triangulares de orden 1, 2, y 3

1)

cb

0aA

2)

853

042

001

B

3) 8C

-Operaciones con Matrices: 1) Suma y Resta:

Def: Sean las matrices nmijnmnmijnm bBaA

se dice que

ijBAC ijijij baC

OBSERCACIÓN: Solo se pueden sumar o restar matrices de igual dimensión. Ejercicio: calcular

1)

01

23

1110

98

76

54

43

21

2) 0321

Page 163: Logica matematica y algebra

163

3)

kc2hg

feb2d

cba3

c200

0b20

00a2

khg

fed

cba

Def: Denominase matriz cero aquella matriz donde todos sus coeficientes son iguales a cero. 1) Teorema: Sean a, b, c matrices de orden nm entonces:

1.1) CBACBACBA

1.2) ABBA 1.3) AA00A 2) Multiplicación de una matriz por un escalar:

Def: Sea ijnm aA y sea B R (B se llama escalar) .

Sea nmijnm bB

se dice

B=B·A ijb:j,i B ija

Ejercicio: Calcular 1)

149

1611

63

124

86

42

2·31·3

4·33·3

4·22·2

3·21·2

21

433

42

312

2)

12

a5

4

a

3

a

2

aa

4

1a

3

1a

2

1

-Teorema: nm21 B,A.RB,B se tiene:

1) B1·A=A·B1

2) B1·(A+B)=B1·A+ B1·B

3) (B1+ B2)·A= B1·A+ B2·A

4) (B1· B2)·A= B1( B2·A)

3) Multiplicación de Matrices: 3.1) Multiplicación de una matriz fila por una matriz columna

Def: Sea A= n21 a..........aa

n

:::::2

1

b

b

b

B

Entonces: nn2211 ba........babaB·A

Page 164: Logica matematica y algebra

164

OBSERVACIÓN: A Y B deben tener el mismo número de componentes es decir el número de columnas de A debe ser igual al número de columnas de B Ejercicio: Calcular

1) i333i2ii3i2i

i

i

i

321 25

2

5

2) 2aaa

3.2) Multiplicación de 2 matrices en general:

Sea npijnppmijpm bBaA

:

B·ACBACCnmijnm

si solo si pjipj22ij11iij b·a...b·ab·aCj,i

OBSERVACIÓN:

El término ijC de C se obtiene multiplicando la fila i-ésima de A por la columna j-

ésima de B. Nota: Una condición necesaria y suficiente para multiplicar 2 matrices A y B es que el número de columnas de A debe ser igual al número de Filas de B. Caso contrario no podrá ejercerse tal multiplicación. Ejercicio: Calcular

1)

d4c2d3c

b4a2b3a

4·d2·c3·d1·c

4·b2·a3·b1·a

43

21

dc

ba

2)

987

654

321

1·90·80·70·91·80·70·90·81·7

1·60·50·40·61·50·40·60·51·4

1·30·20·10·31·20·10·30·21·1

100

010

001

987

654

321

3) 2222 a3aaa

a

a

a

aaa

OBSERVACIÓN: El producto de matrices no es conmutativo es decir:

A·BB·A Def: Llámese matriz identidad a una matriz escalar tal que

0a:0I1a:I ijij la matriz identidad mn se nota como mnI .

Ejemplo:

Page 165: Logica matematica y algebra

165

mn

mn

1........00

0........1

00........01

I

Propiedad: Para toda matriz cuadrada de orden n: AA·IIA nnnn

-Propiedades del producto de matrices: Para toda matriz A, B, C de orden nn y B R se tiene:

1) C·B·AC·BA

2) C·AB·ACBA

3) A·CA·BACB

4) (A B )B· = B B·A

5) ( B B)A· B B·A·

Teorema: Sean las matrices RBBA nm se tiene:

1) AAtt (t es transpuesta)

2) ( B t)A· B tA·

3) tttBABA

4) tttA·BB·A si solo si número de columnas de A= número de filas de B

(propiedad) y si A y B son matrices cuadradas de orden n. Def: Matriz Inversa. Sea A una matriz cuadrada de orden n, se dice que A es invertible si solo si

existe otra matriz cuadrada de orden n tal que nnn IIA·BB·A entonces

B se llama la inversa de A. Si existe B inversa de A, B es única. -Cálculo de la matriz inversa por el método estrictamente algebraico. Ejercicio: Calcular la matriz inversa de la siguiente matriz por el método algebraico:

43

21

PROCEDIMIENTO:

Sabemos que si B·AxBx·A 1 donde 1A es la inversa de A en este

caso tenemos

43

21A esto implica:

2

1

2

1

b

b

x

x

43

21

43

21A Sería una ecuación material genérica

tal que:

2

1

1

2

1

b

b

43

21

x

x

Page 166: Logica matematica y algebra

166

3)

entonces el principio radica en la ecuación matricial genérica, calcular el sistema de ecuaciones y empaquetarlos matricialmente a estas soluciones.

2

1

1

2

1

b

b

43

21

x

x

Tenemos:

2

1

2

1

b

b

x

x

43

21

221

121

bx4x3

bx2x

221

121

bx4x3

b3x6x3

3) en 1

2

bb3x

bb3x2

212

212

211

121

1

bb2x

b2

bb32x

2

bb3x

bb2x

212

211

2

1

2

1

b

b

212

3

11

x

x

43

21A ,

212

3

11A 1

TEOREMA: Si A, B son matrices cuadradas de orden n y son invertibles:

1) AA11

2) 111A·BB·A

-Determinantes: Def: Dada una matriz cuadrada A de orden n, el determinante de A es un “número” asociado a A Notación Sea

n2n1n

n222

:::::21

n11211

a.......aa

a.......aa

a........aa

A

Entonces el determinante de A se nota como detA o como A y es igual a:

Page 167: Logica matematica y algebra

167

n2n1n

n222

:::::21

n11211

a.......aa

a.......aa

a........aa

A

Definiciones:

1) Si 11aA RaaAdet 1111

2) Si Raa·aa·aAdetaa

aaA ij12212211

2221

1211

Ejercicio: Calcular los siguientes determinantes

1) 44

2) 22·31·412

34

Nota: Para el cálculo de un determinante de orden 3 en adelante es necesario conocer los siguientes antecedentes matemáticos. -Desarrollo por cofactores Def: Submatriz de A es una parte de la matriz A, ejemplo:

987

654

321

A →

Def: Definición de menor

Sea nnijaA

una matriz cuadrada de orden n. Sea ijA una Submatriz de A

de orden 1n que se obtiene eliminando la “i-ésima fila de A” y la “j-ésima

columna de A”. El determinante de ijAdet se denomina menor de ija en A.

La matriz 321A1 es una Submatriz de A

La matriz

8

5

2

A 2 es una Submatriz de A

La matriz 9A3 es una Submatriz de A

La matriz

97

64A 4 es una Submatriz de A

etc…

Page 168: Logica matematica y algebra

168

Ejercicio: Dada la matriz

987

654

321

A determine:

a) el menor de 12A en A= 64236)6·7()9·4(97

64

b) el menor de 23A en A= 6148)2·7()8·1(87

21

-Definición de Cofactor: Dada una matriz nnijaA

el Cofactor de una

componente de ija se nota como ijacot y es igual a ij

jiA·det1

Ejercicio: Dada la matriz

654

321

987

A se pide calcular el Cofactor de:

1) 61263·46·164

31AdetA·det1a 1212

21

12

2) 636424·96·764

97AdetA·det1a 2222

22

22

TEOREMA: Sea nnijaA

una matriz cuadrada de orden n, entonces el

determinante de A= n1n112121111 a·cota...a·cotaa·cotaAdet .

Esta expresión se denomina “Desarrollo del determinante de A por menores con respecto a la primera fila” Nota: Se pueden encontrar desarrollos del determinante de A por menores con respecto de cualquier fila o cualquier columna y en cada caso este desarrollo es igual al determinante de A.

Ejercicio: Calcular el determinante de:

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

131312121111 acotaacotaacotaAdet

13

31

1312

21

1211

11

11 Adet1·aAdet1·aA·det1·aAdet

131312121111 AdetaAdetaAdetaAdet

3231

2221

13

3331

2321

12

3332

2322

11aa

aaa

aa

aaa

aa

aaaAdet

Fila 1

Columna 2

Page 169: Logica matematica y algebra

169

312213322113312312332112322311332211 a·aaa·aaa·aaa·aaa·aaa·aaAdet

Ejercicio: Calcular el determinante de

100

101

212

-respecto a la primera fila: 102110200

012

10

111

10

102

-respecto a la primera columna: 110110210

210

10

211

10

102

OBSERVACIÓN: Para el cálculo de un determinante por esta vía es necesario observar a simple inspección o investigar con respecto a que fila y columna es conveniente aplicar el determinante con el fin de acortar el procedimiento.

Propiedades del determinante

-Propiedades del determinante de A: Sea A una matriz cuadrada de orden n (An) y sea R .

Sea jA la j-ésima columna de A -Propiedad:

1) nj21nj21 A,...A,...A,A·detA,...A,...A,Adet

Ejercicio: Calcular por simple inspección

18633331·31·3333

113

303

332

101

303

212

101

3

Page 170: Logica matematica y algebra

170

2) n4j1nj41 A,...A,...A,...AdetA,....A,...A,...Adet

Ejercicio: Calcular el siguiente determinante aplicando la segunda propiedad.

303

212

101

= 03333

11

33

111

330

221

110

3) njj1 A...,AC,...Adet

nj1nj1 A,...A,...,AdetA,...C,...Adet

4) Si todos los componentes de una fila o columna de una matriz son cero entonces el determinante de la matriz es cero 5) Si una matriz cuadrada tiene 2 filas o columnas iguales o proporcionales, su determinante es cero. NOTA: Las propiedades indicadas anteriormente 1 a 3 son válidas tanta si s habla de columnas como de filas de A. Ejercicio: Resolver el siguiente determinante utilizando propiedades anteriores.

033

122

311

013

112

311

0313

1212

3111

012

313

12

3130

12

311

11

313

3·21·133·21·133·21·113·11·13

613613611313

056

1

6) Sean A y B matrices cuadradas de orden n entonces BdetAdetBAdet

-Cálculo de la matriz inversa mediante la matriz adjunta:

Def: nnijaA

una matriz cuadrada de orden n

nnijcCA

la matriz cuadrada de orden n tal que

ij

ji

ijij A·det1acotC

Page 171: Logica matematica y algebra

171

ACA se denomina matriz de cofactores de A. El siguiente teorema nos proporciona un método práctico para el cálculo de A-1 TEOREMA: “Una matriz cuadrada A es invertible si y solo si 0Adet ”

En tal caso: CAdet

CA

t

A1 donde CA es matriz de cofactores de A.

Ejercicio: Dada la matriz

322

654

132

A calcular A-1 mediante el método

que se está tratando.

322

654

132

54

32

64

12

65

13

22

32

32

12

32

13

22

54

32

64

32

65

A 1

36

1210412518

642629

10812121215

A 1

36

22823

247

18021

A 1

22823

247

18021

36

1A 1

61.005.05.0

22.011.00

63.019.075.0

A 1

Page 172: Logica matematica y algebra

172

Observación: Si el determinante de A no existiera es decir detA=0 entonces la matriz A no tiene inversa.

-SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Un conjunto de ecuaciones con incógnitas se denomina sistema de ecuaciones lineales con m incógnitas.

Notación:

mnmm22m11m

:::::

2nn2222121

1nn121211

bxa...xaxa

bxa...xaxa

bxa...xaxa

Sistema lineal nm

Donde mn1211 a,...a,a y n21 b,...b,b son constantes.

El conjunto solución del sistema es el conjunto de valores de n21 x,...x,x que

satisfacen simultáneamente el sistema. Este sistema lineal puede escribirse matricialmente de la siguiente manera:

B

n

:::::

2

1

X

n

:::::

2

1

A

mnmm22m11m

:::::

2nn2222121

1nn121211

b

b

b

x

x

x

bxa...xaxa

bxa...xaxa

bxa...xaxa

Donde A= matriz de los coeficientes del sistema lineal, X= matriz columna de incógnitas del sistema lineal nm , B= matriz columna de términos independientes del sistema lineal nm . El siguiente proceso nos proporciona un mecanismo sencillo llamado: Método Gauss-Jhordan para la resolución de un sistema lineal de ecuaciones. Ese método es esencialmente el método de suma y resta con el como en el álgebra elemental. Este método consiste en la aplicación de 3 operaciones fundamentales a las ecuaciones lineales del sistema. 1) Intercambio de 2 ecuaciones 2) Multiplicación de todos los términos de una ecuación por un número diferente de cero o constante diferente de cero 3) Suma de una ecuación a otra multiplicada por un número o constante diferentes de cero. Cada vez que efectuamos una de estas operaciones en el sistema obtenemos un nuevo sistema con las mismas soluciones. Dos sistemas con las mismas soluciones se llaman equivalentes. Efectuando estas operaciones una tras otra

Page 173: Logica matematica y algebra

173

de modo sistemático llegamos por fin a un sistema que puede resolverse a simple vista. Explicamos este método con un ejemplo particular para ver como se aplica el método en general. Ejercicio: Resolver el siguiente sistema lineal por el método Gauss-Jhordan

10zy4x

5zy2x

3z4y5x2

En primer lugar escribimos en forma matricial el sistema lineal:

10

5

3

z

y

x

642

121

452

Queremos llegar a la forma matricial del tipo:

c

b

a

z

y

x

100

010

001

Para ello ejercemos el siguiente procedimiento.

Paso 1:

10

3

5

z

y

x

641

452

121

3F:3Fila

2F:2Fila

1F1Fila

Paso 2: *

*

3F3F1F

2F2F1F2

1F

5

13

5

z

y

x

520

210

121

Paso 3: *

***

3F

2F2F

1F

5

13

5

z

y

x

520

210

121

Diagonal principal de la

matriz de coeficientes

Obtenemos en el lado izquierdo

la matriz A para lo cual

intercambiamos la primera fila y

la segunda fila

Convertimos en ceros los

restantes elementos den la

primera columna de A1 haciendo

las operaciones que se indican

Obtenemos 1 en el elemento

a22 de A, haciendo la

operación que se indica.

Page 174: Logica matematica y algebra

174

Paso 4: ******

*****

***

3F3F2F

2F2F

1F1F

31

13

5

z

y

x

100

210

121

Al llegar aquí el correspondiente sistema de ecuaciones lineales viene formado por:

31z

13z2y

5zy2x

El sistema lineal al que hemos llegado es un sistema lineal equivalente al inicial o sea que este sistema lineal equivalente tiene las mismas soluciones que el sistema original. Resolviendo el sistema lineal equivalente tenemos:

124x531752x

75y13312y

31z

Y de esta forma hemos resuelto el sistema lineal original al método empleado e esta solución llámese Método Gauss A continuación vamos a aplicar el proceso Gauss-Jhordan. Convirtiendo en ceros los elementos por encima de la diagonal principal de A.

Paso 5: ***

***

**********

3F

2F

1F1F2F2

31

1

31

z

y

x

100

210

301

Paso 6: ***

******

*******

3F

2F3F2

1F3F3

31

75

124

z

y

x

100

010

001

Y de esta manera hemos llegado al siguiente sistema lineal equivalente al original:

31z

75y

124x

Precisamente este sistema lineal encontrado representa las soluciones del sistema el método utilizado para encontrar este sistema lineal llámese método “Gauss-Jhordan” TEOREMA “Regla de Kramer”

Si A es una matriz cuadrada tal que 0Adet entonces lado nnijaA

D.P

Page 175: Logica matematica y algebra

175

n

1

:::::

x

x

X

n

::::1

b

b

B

A·X=B La i-ésima componente de (xi) de la solución del sistema en consideración es el determinante de la matriz que se obtiene reemplazando la i-ésima columna de A por la matriz de B, sobre el detA es decir:

Adet

aaba

aabaa

x

n11i1nn1i1n

n11i1

::::::1

::::::

1i1...............1

i

Ejercicio: Por la regla de Kramer resolver el siguiente sistema lineal de ecuaciones de orden 3:

2zyx

0zx2

1zyx

2

0

1

B

z

y

x

X

111

102

111

A

-Primero calculamos el detA:

6241·11·111·11·1211

1110

11

112Adet

Si detA=0 el sistema no tiene solución

Page 176: Logica matematica y algebra

176

2

1

6

3

6

112

100

111

x

2

1

6

12

6

1·12·111·21·12

6

21

1110

12

112

6

121

102

111

y

16

6

6

1·12·12

6

0021

112

6

211

002

111

z

-Resolución de sistema de ecuaciones por el cálculo de la matriz inversa

Si A es una matriz cuadrada. 0Adet , B·AXBX·A 1

Observación: A-1 se calcula por el método de la matriz adjunta o por el método de la matriz ampliada. Ejercicio: Resolver el siguiente sistema lineal de ecuaciones por el método de la matriz inversa.

0z3y2x2

0z6y5x4

1zy3x2

Se reemplaza la

1 columna por

la columna de B

Se reemplaza la

2 columna por

la columna de B

Se reemplaza la

3 columna por

la columna de B

Page 177: Logica matematica y algebra

177

0

0

1

B

z

y

x

X

322

654

132

A

Nota: En un ejercicio anterior tenemos calculado este determinante. detA=36 036Adet

61.065.05.0

22.011.00

64.019.075.0

A 1

B·AX 1 #columnas=#filas

0

0

1

61.065.05.0

22.011.00

64.019.075.0

z

y

x

5.061.00065.015.0z

0022.0011010y

75.0064.0019.0175.0x

-Cálculo de la matriz inversa por Gauss-Jhordan (método de la matriz ampliada) Ejercicio: Por este método calcular la matriz inversa de

231

112

221

A

100

010

001

II 333

Procedimiento: 1) Calculamos la matriz ampliada:

3IA

)3

)2

)1

100

010

001

231

112

221

El procedimiento consiste en transformar por Gauss-Jhordan 3IA a 3I

1A

Si solo si 0Adet

Page 178: Logica matematica y algebra

178

34452·11·212·32·221·32·1111

221

23

222

23

111Adet

como 03Adet existe detA

)3

)2

)1

100

010

001

231

112

221

*

*

)3)3)1

)2)2)1·2

)1

101

012

001

010

350

221

****

*

)3)3·5)2

)2

)1

517

012

001

300

350

221

c)3·1

b)2·1

a)1

517

012

001

300

350

221

**

*

c

bcb

aa·3c·2

517

505

10211

300

050

063*

*

Y siguiendo este procedimiento se llegará a la siguiente matriz ampliada:

3

5

3

1

3

7

101

3

4

3

2

3

5

100

010

001

3

5

3

1

3

7

101

3

4

3

2

3

5

A 1

Page 179: Logica matematica y algebra

179