Logica ProposicionalEquivalencias Logicas
Profa. Sheila Morais de Almeida
DAINF-UTFPR-PG
junho - 2018
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Logica Proposicional junho - 2018 1 / 36
Este material e preparado usando como referencias os textos dos seguinteslivros.
GERSTING, Judith L.,Mathematical Structures For Computer Science:A Modern Approach to Discrete Mathematics, 6th ed., 2007.
ROSEN, Kenneth H., Discrete Mathematics and its applications, 6thed., 2007.
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Operador de Biimplicacao
Lembre-se: uma proposicao bicondicional P ↔ Q e verdade quando P e Qtem o mesmo valor verdade, e so neste caso.
Tabela verdade da biimplicacao
P Q P ↔ Q
V V VV F FF V FF F V
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Equivalencias Logicas
Se duas proposicoes compostas, P e Q, possuem o mesmo valor-verdadeem todos os casos, sao chamadas de logicamente equivalentes.
Exemplo: A→ B e logicamente equivalente a ¬B → ¬A.
A B A→ B ¬B ¬A ¬B → ¬AV V V F F VV F F V F FF V V F V VF F V V V V
Nestes casos, P ↔ Q e uma tautologia.
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Equivalencias Logicas
Se duas proposicoes compostas, P e Q, possuem o mesmo valor-verdadeem todos os casos, sao chamadas de logicamente equivalentes.
Exemplo: A→ B e logicamente equivalente a ¬B → ¬A.
A B A→ B ¬B ¬A ¬B → ¬AV V V F F VV F F V F FF V V F V VF F V V V V
Neste caso, (A→ B)↔ (¬B → ¬A) e uma tautologia.
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Equivalencias Logicas
Quando duas proposicoes logicas A e B sao equivalentes, indicamos poruma das seguintes formas:
• A ≡ B
• A⇔ B
Atencao!!
Os sımbolos ≡ e ⇔ nao sao operadores logicos!
Sao apenas sımbolos matematicos usados para dizer que as proposicoes Ae B tem os mesmos valores verdade em todos os casos.
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Equivalencias Logicas
Exemplos:
• A→ B ≡ ¬B → ¬A (Contrposicao)
• ¬(A ∨ B) ≡ (¬A ∧ ¬B) (Lei de De Morgan)
• ¬(A ∧ B) ≡ (¬A ∨ ¬B)
• (A ∧ B) ≡ (B ∧ A) (Propriedade Comutativa)
• (A ∨ B) ≡ (B ∨ A)
• (A ∧ B) ∧ C ≡ A ∧ (B ∧ C ) (Propriedade Associativa)
• (A ∨ B) ∨ C ≡ A ∨ (B ∨ C )
• A ∧ (B ∨ C ) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C ) (Propriedade Distributiva)
• A ∨ (B ∧ C ) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C )
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Equivalencias Logicas
Como saber se duas proposicoes logicas compostas sao logicamenteequivalentes?
Use tabelas verdade!
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Equivalencias Logicas
Como saber se duas proposicoes logicas compostas sao logicamenteequivalentes?
Use tabelas verdade!
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Equivalencia Logica
Exemplo: (A→ B)→ B e logicamente equivalente a (¬B → ¬A)→ B.
A B A→ B (A→ B) ¬A ¬B ¬B → ¬A (¬B → ¬A)→ B → B
V V V V F F V VV F F V F V F VF V V V V F V VF F V F V V V F
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Equivalencia Logica
Exemplo: (A→ B)→ B e logicamente equivalente a (¬B → ¬A)→ B.
A B A→ B (A→ B) ¬A ¬B ¬B → ¬A (¬B → ¬A)→ B → B
V V V V F F V VV F F V F V F VF V V V V F V VF F V F V V V F
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Logica Proposicional junho - 2018 11 / 36
Equivalencia Logica
Exemplo: (A→ B) ≡ ¬A ∨ B.
A B A→ B ¬A ¬A ∨ B
V V V F VV F F F FF V V V VF F V V V
Vamos chamar essa equivalencia logica de regra da implicacao.
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Equivalencia Logica
Exemplo: (A→ B) ≡ ¬A ∨ B.
A B A→ B ¬A ¬A ∨ B
V V V F VV F F F FF V V V VF F V V V
Vamos chamar essa equivalencia logica de regra da implicacao.
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Equivalencia Logica
Exemplo: A ≡ ¬(¬A).
A ¬A ¬(¬A)
V F VV F VF V FF V F
Essa equivalencia logica e a dupla negacao.
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Equivalencia Logica
Exemplo: A ≡ ¬(¬A).
A ¬A ¬(¬A)
V F VV F VF V FF V F
Essa equivalencia logica e a dupla negacao.
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Logica Proposicional junho - 2018 15 / 36
Equivalencias Logicas
Exemplo: Sera que e mesmo verdade que ¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B?
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Equivalencias Logicas
Exemplo: Sera que e mesmo verdade que ¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B?
A B A ∧ B ¬(A ∧ B) ¬A ¬B ¬A ∨ ¬BV V V F F F FV F F V F V VF V F V V F VF F F V V V V
Esta e uma das Leis de De Morgan!
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Logica Proposicional junho - 2018 17 / 36
Equivalencias Logicas
Exemplo: Sera que e mesmo verdade que ¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B?
A B A ∧ B ¬(A ∧ B) ¬A ¬B ¬A ∨ ¬BV V V F F F FV F F V F V VF V F V V F VF F F V V V V
Esta e uma das Leis de De Morgan!
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Logica Proposicional junho - 2018 18 / 36
Equivalencias Logicas
Augustus De Morgan (1806 - 1871)
• Foi um matematico indiano.
• Foi professor de Augusta Ada, Condessa de Lovelace.
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Equivalencias Logicas
Augustus De Morgan (1806 - 1871)
• Escreveu milhares de artigos para mais de 15 periodicos e muitoslivros teoricos.
• Formalizou conceitos como inducao matematica e limite.
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Equivalencias Logicas
Augustus De Morgan (1806 - 1871)
• Deu contribuicoes fundamentais para o desenvolvimento da logicasimbolica.
• Criou notacoes que ajudaram a provar equivalencias logicas e as Leisde De Morgan.
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Equivalencias Logicas
Leis de De Morgan:
• ¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B.
• ¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B.
Exercıcio: Use as Leis de De Morgan para negar:
“Miguel tem um celular e um laptop”.
Miguel nao tem um celular ou nao tem um laptop.
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Equivalencias Logicas
Leis de De Morgan:
• ¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B.
• ¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B.
Exercıcio: Use as Leis de De Morgan para negar
“Miguel tem um celular e um laptop”.
Miguel nao tem um celular ou nao tem um laptop.
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Logica Proposicional junho - 2018 23 / 36
Equivalencias Logicas
Leis de De Morgan:
• ¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B.
• ¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B.
Exercıcio: Use as Leis de De Morgan para negar
“Rodrigo ou Carlos vai ao concerto”.
Rodrigo e Carlos nao vao ao concerto.
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Equivalencias Logicas
Leis de De Morgan:
• ¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B.
• ¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B.
Exercıcio: Use as Leis de De Morgan para negar
“Rodrigo ou Carlos vai ao concerto”.
Rodrigo e Carlos nao vao ao concerto.
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Logica Proposicional junho - 2018 25 / 36
Provando Equivalencias Logicas
Mostre que ¬(A→ B) ≡ A ∧ ¬B.
¬(A→ B) ≡ ¬(¬A ∨ B) (Regra da implicacao.)
≡ ¬(¬A) ∧ ¬B (Lei de De Morgan.)
≡ A ∧ ¬B (Regra da dupla negacao.)
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Logica Proposicional junho - 2018 26 / 36
Provando Equivalencias Logicas
Mostre que ¬(A→ B) ≡ A ∧ ¬B.
¬(A→ B) ≡ ¬(¬A ∨ B) (Regra da implicacao.)
≡ ¬(¬A) ∧ ¬B (Lei de De Morgan.)
≡ A ∧ ¬B (Regra da dupla negacao.)
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Logica Proposicional junho - 2018 27 / 36
Provando Equivalencias Logicas
Mostre que ¬(A→ B) ≡ A ∧ ¬B.
¬(A→ B) ≡ ¬(¬A ∨ B) (Regra da implicacao.)
≡ ¬(¬A) ∧ ¬B (Lei de De Morgan.)
≡ A ∧ ¬B (Regra da dupla negacao.)
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Logica Proposicional junho - 2018 28 / 36
Provando Equivalencias Logicas
Mostre que ¬(A→ B) ≡ A ∧ ¬B.
¬(A→ B) ≡ ¬(¬A ∨ B) (Regra da implicacao.)
≡ ¬(¬A) ∧ ¬B (Lei de De Morgan.)
≡ A ∧ ¬B (Regra da dupla negacao.)
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Logica Proposicional junho - 2018 29 / 36
Provando Equivalencias Logicas
Mostre que ¬(A ∨ (¬A ∧ B)) ≡ ¬A ∧ ¬B.
¬(A ∨ (¬A ∧ B)) ≡ ¬A ∧ ¬(¬A ∧ B) (Lei de De Morgan.)
≡ ¬A ∧ (¬(¬A) ∨ ¬B) (Lei de Demorgan.)
≡ ¬A ∧ (A ∨ ¬B) (Regra da Dupla Negacao.)
≡ (¬A ∧ A) ∨ (¬A ∧ ¬B) (Propriedade distributiva.)
≡ F ∨ (¬A ∧ ¬B) (Pois A ∧ ¬A e falso.)
≡ ¬A ∧ ¬B (Regra do elemento neutro.)
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Logica Proposicional junho - 2018 30 / 36
Provando Equivalencias Logicas
Mostre que ¬(A ∨ (¬A ∧ B)) ≡ ¬A ∧ ¬B.
¬(A ∨ (¬A ∧ B)) ≡ ¬A ∧ ¬(¬A ∧ B) (Lei de De Morgan.)
≡ ¬A ∧ (¬(¬A) ∨ ¬B) (Lei de Demorgan.)
≡ ¬A ∧ (A ∨ ¬B) (Regra da Dupla Negacao.)
≡ (¬A ∧ A) ∨ (¬A ∧ ¬B) (Propriedade distributiva.)
≡ F ∨ (¬A ∧ ¬B) (Pois A ∧ ¬A e falso.)
≡ ¬A ∧ ¬B (Regra do elemento neutro.)
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Logica Proposicional junho - 2018 31 / 36
Provando Equivalencias Logicas
Mostre que ¬(A ∨ (¬A ∧ B)) ≡ ¬A ∧ ¬B.
¬(A ∨ (¬A ∧ B)) ≡ ¬A ∧ ¬(¬A ∧ B) (Lei de De Morgan.)
≡ ¬A ∧ (¬(¬A) ∨ ¬B) (Lei de Demorgan.)
≡ ¬A ∧ (A ∨ ¬B) (Regra da Dupla Negacao.)
≡ (¬A ∧ A) ∨ (¬A ∧ ¬B) (Propriedade distributiva.)
≡ F ∨ (¬A ∧ ¬B) (Pois A ∧ ¬A e falso.)
≡ ¬A ∧ ¬B (Regra do elemento neutro.)
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Logica Proposicional junho - 2018 32 / 36
Provando Equivalencias Logicas
Mostre que ¬(A ∨ (¬A ∧ B)) ≡ ¬A ∧ ¬B.
¬(A ∨ (¬A ∧ B)) ≡ ¬A ∧ ¬(¬A ∧ B) (Lei de De Morgan.)
≡ ¬A ∧ (¬(¬A) ∨ ¬B) (Lei de Demorgan.)
≡ ¬A ∧ (A ∨ ¬B) (Regra da Dupla Negacao.)
≡ (¬A ∧ A) ∨ (¬A ∧ ¬B) (Propriedade distributiva.)
≡ F ∨ (¬A ∧ ¬B) (Pois A ∧ ¬A e falso.)
≡ ¬A ∧ ¬B (Regra do elemento neutro.)
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Logica Proposicional junho - 2018 33 / 36
Provando Equivalencias Logicas
Mostre que ¬(A ∨ (¬A ∧ B)) ≡ ¬A ∧ ¬B.
¬(A ∨ (¬A ∧ B)) ≡ ¬A ∧ ¬(¬A ∧ B) (Lei de De Morgan.)
≡ ¬A ∧ (¬(¬A) ∨ ¬B) (Lei de Demorgan.)
≡ ¬A ∧ (A ∨ ¬B) (Regra da Dupla Negacao.)
≡ (¬A ∧ A) ∨ (¬A ∧ ¬B) (Propriedade distributiva.)
≡ F ∨ (¬A ∧ ¬B) (Pois A ∧ ¬A e falso.)
≡ ¬A ∧ ¬B (Regra do elemento neutro.)
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Logica Proposicional junho - 2018 34 / 36
Provando Equivalencias Logicas
Mostre que ¬(A ∨ (¬A ∧ B)) ≡ ¬A ∧ ¬B.
¬(A ∨ (¬A ∧ B)) ≡ ¬A ∧ ¬(¬A ∧ B) (Lei de De Morgan.)
≡ ¬A ∧ (¬(¬A) ∨ ¬B) (Lei de Demorgan.)
≡ ¬A ∧ (A ∨ ¬B) (Regra da Dupla Negacao.)
≡ (¬A ∧ A) ∨ (¬A ∧ ¬B) (Propriedade distributiva.)
≡ F ∨ (¬A ∧ ¬B) (Pois A ∧ ¬A e falso.)
≡ ¬A ∧ ¬B (Regra do elemento neutro.)
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Logica Proposicional junho - 2018 35 / 36
Provando Equivalencias Logicas
Mostre que ¬(A ∨ (¬A ∧ B)) ≡ ¬A ∧ ¬B.
¬(A ∨ (¬A ∧ B)) ≡ ¬A ∧ ¬(¬A ∧ B) (Lei de De Morgan.)
≡ ¬A ∧ (¬(¬A) ∨ ¬B) (Lei de Demorgan.)
≡ ¬A ∧ (A ∨ ¬B) (Regra da Dupla Negacao.)
≡ (¬A ∧ A) ∨ (¬A ∧ ¬B) (Propriedade distributiva.)
≡ F ∨ (¬A ∧ ¬B) (Pois A ∧ ¬A e falso.)
≡ ¬A ∧ ¬B (Regra do elemento neutro.)
Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Logica Proposicional junho - 2018 36 / 36