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Mohamed Yassine Haouam
ALGEBRE DE BOOLE
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2.1 Algèbre de Boole
Définition Système algébrique constitué de l'ensemble
{ 0, 1 } Variable booléenne : variable qui prend une
valeur 0 ou 1 Trois opérateurs de base:
Somme (+): a + b Produit (. ): a.b / ab Inverse/complémentation ( ¯ ) :
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Somme logique (+)
Propriétés: Elément neutre (0): a+0 = a Complémentation: a+ā = 1 Commutativité: a+b = b+a Associativité: (a+b)+c = a+(b+c) Distributivité: a+(b.c) = (a+b).(a+c)
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Produit logique (.)
Propriétés: Elément neutre (1): a.1 = a Complémentation: a.ā = 0 Commutativité: a.b = b.a Associativité: (a.b).c = a.(b.c) Distributivité: a.(b+c) = (a.b)+(a.c)
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Inverse/complémentation ( ¯ )
Propriétés Complémentation: a+ā =1 et a.ā=0 Involution :
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Théorèmes
Idempotence a + a = a et a.a = a
Elément absorbant a + 1 = 1 et a.0 = 0
Absorption a + a.b = a et a.(a + b) = a
Lois de De Morgan
Simplification et
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2.2 Fonctions Booléennes
Définition 1 On appelle fonction booléenne de n variables, toute
combinaison de ces variables au moyen des trois opérations booléennes (+, . , ¯ ).
Exemple: fonction booléenne de 3 variables a, b et c
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Mintermes et Maxtermes
Minterme On appelle "minterme" de n variables, l'un des produits
booléens de ces variables ou de leurs complémentaires. Exemple: Si on considère 4 variables a, b, c et d,
m= est un minterme,
m= n’est pas un minterme.
Il existe 2n Mintermes distincts pour n variables. Le symbole ‘mj’‘ est utilisé pour représenter un Minterme
particulier j est égale au décimal équivalent au code binaire associé
en posant 1 si une variable est présente, 0 si son complémentaire est présent.
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Mintermes et Maxtermes
Maxterme On appelle «Maxterme » de n variables, l’une des sommes
booléennes de ces variables ou de leurs complémentaires. Exemple: Si on considère 4 variables a, b, c et d,
est un Maxterme,
n’est pas un Maxterme.
Il existe 2n Maxtermes distincts pour n variables. Le symbole ‘Mj’‘ est utilisé pour représenter un Maxterme
particulier. j est égale au décimal équivalent au code binaire associé
en posant 0 si une variable est présente, 1 si son complémentaire est présent.
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Mintermes et Maxtermes
Propriétés Le complémentaire d’un Minterme est un Maxterme,
le complémentaire d’un Maxterme est un Minterme.
Exemple:
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Mintermes et Maxtermes
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Mintermes et Maxtermes
Soit f une expression booléenne écrite sous la forme d’une somme de Mintermes (respectivement d’un produit de Maxterme) alors son complémentaire est la somme de tous les Mintermes (respectivement le produit de tous les Maxtermes) qui ne figurent pas dans l’écriture de f.
Exemple: Si
Alors
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Formes canoniques d’une fonction
Première forme: Ecrire f sous forme canonique disjonctive (ou première
forme canonique) revient à l’écrire comme la somme de mintermes des n variables.
Exemple:
Deuxième forme: Ecrire f sous forme canonique conjonctive (ou deuxième
forme canonique) revient à l’écrire comme le produit de maxtermes des n variables.
Exemple:
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Formes canoniques d’une fonction
Détermination des formes canoniques Utiliser le calcul booléen pour avoir une forme développée, Dans chaque monôme (terme), faire apparaitre les
«variables » manquantes. On s'appuie sur les propriétés de l'algèbre de Boole, et
notamment les règles: a+ā =1 et a.ā=0 Exemple 1: Pour 3 variables a, b et c
Exemple 2: Pour 4 variables a, b, c et d
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Formes canoniques d’une fonction
Passage d’une forme canonique à une autre
On utilise la règle
Exemple:
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Passage de la fonction logique à la table de vérité Pour chaque combinaison de valeurs possibles pour les
variables, on détermine la valeur booléenne de f. Exemple:
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Passage de la table de vérité à la fonction logique (1ère forme canonique)
Pour chaque valeur de f égale à 1, On définit un minterme de toutes les variables tel que:
Si une variable a = 1 on note a, sinon on note ā La première forme canonique de f(X) est la somme de ces
mintermes. Exemple: A partir de la table de vérité de l'exemple
précédent, f(a,b,c)= 1 quand :
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Passage de la table de vérité à la fonction logique (2ème forme canonique)
Pour chaque valeur de f égale à 0, On définit un minterme de toutes les variables tel que:
Si une variable a = 1 on note a, sinon on note ā la somme de ces mintermes est (X). Après calcul de on obtient 2ème forme canonique Exemple: A partir de la table de vérité de l'exemple
précédent, f(a,b,c)= 0 quand :
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2.3 Simplification des fonctions Booléennes
Les formes canoniques d'une fonction logique sont une définition correcte de la fonction, mais elles peuvent être simplifiées
Pour écrire la même fonction avec le moins de termes et les plus simples possibles
Pour réaliser la fonction avec moins d'éléments électroniques (portes logiques)
Trois méthodes pour simplifier l'écriture d'une fonction logique
Utiliser les propriétés de l'algèbre de Boole Utiliser la méthode des tableaux de Karnaugh Utiliser la méthode de Quine-Mc Cluskey
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Simplification des fonctions Booléennes
Simplification via algèbre de Boole A partir des propriétés de l'algèbre de Boole,
transformer la fonction pour la simplifier Simplifier la fonction initiale à l'aide des propriétés de
l'algèbre de Boole Essayer de déduire d'autres simplifications après
chaque simplification
Exemple:
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En factorisant, on obtient:
car ( )
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On distribue et calcule le complément
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Simplification des fonctions Booléennes
Simplification par la méthode des tableaux de Karnaugh
Représentation sous une forme particulière de la table de vérité d'une fonction logique
Détermination des blocs rectangulaires de taille 2n (1, 2, 4, 8...) bits adjacents à 1
On en déduit la fonction simplifiée associée à la table de vérité
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Méthode des tableaux de Karnaugh
On représente un tableau à 2 dimensions Chaque dimension concerne une ou 2 variables Le passage d'une colonne à une colonne
adjacente ou d'une ligne à une ligne adjacente modifie la valeur d'une seule variable
Le tableau se referme sur lui-même : la colonne la plus à gauche est voisine de la colonne la plus à droite, (même chose pour les lignes du haut et du bas)
Une case du tableau contient une valeur booléenne, déterminée à partir de la table de vérité et des valeurs des variables
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Méthode des tableaux de Karnaugh
Regroupement en blocs rectangulaires des bits à 1 adjacents
Tous les bits à 1 du tableau doivent être englobés dans au moins un bloc (un bloc à une taille de 1, 2, 4, 8 ... bits)
Un bit à 1 peut appartenir à plusieurs blocs On doit créer les blocs les plus gros possibles
chaque bloc correspond un terme formé comme suit:
Pour le bloc, si une variable prend les valeurs 0 et 1, on ne la prend pas en compte
On ne conserve que les variables qui ne varient pas. Si une variable a reste à 1 : on note a, si reste à 0 : on note ā
Le terme logique du bloc correspond au produit de ces variables qui ne changent pas
La fonction logique simplifiée est la somme de tous les termes des blocs trouvés
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Méthode des tableaux de Karnaugh
tableau de Karnaugh pour 2 variables:
2 groupes de 2 bits adjacents : Le groupe vertical: on a toujours b = 1 donc cela donne le
terme b Pour l’horizontal: on a toujours a = 1 donc cela donne le
terme a
f(a, b) = a+b
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Méthode des tableaux de Karnaugh
tableau de Karnaugh pour 3 variables:
Un groupe de 4 bits adjacents Le terme : a
Un groupe de 2 bits adjacents Le terme:
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Méthode des tableaux de Karnaugh
tableau de Karnaugh pour 4 variables:
Un groupe de 8 bits adjacents Le terme: b
Un groupe de 4 bits adjacents Le terme:
Un groupe de 2 bits adjacents Le terme:
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Méthode des tableaux de Karnaugh
tableau de Karnaugh pour 5 variables:
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Simplification des fonctions Booléennes
Méthode de Quine-Mc Cluskey La méthode consiste:
Ecrire la fonction sous la 1ère forme canonique Utiliser la formule de simplification :
Exemple: Soit la fonction logique suivante :
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Méthode de Quine-Mc Cluskey
1ère forme canonique
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Méthode de Quine-Mc Cluskey
Etape 0: On classe les mintermes selon le nombre de ”1” de leur écriture : classe sans ”1”, classe avec un seul ”1”, etc... On obtient le tableau suivant :
Classes Etape 0 Repère
0 0000
1 00101000
2 0011011010011100
3 011111011110
4 1111
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Méthode de Quine-Mc Cluskey
Etape 1: On additionne chaque minterme de la classe
j avec chaque minterme de la classe j+1. Lorsqu’il est possible d’utiliser la formule de
simplification et d’éliminer ainsi une variable, on écrit le résultat dans la colonne Etape 1. Le symbole ”x” remplace la variable éliminée.
On repère à l’aide du symbole ”1” dans la colonne repère les deux mintermes concernés afin de montrer qu’ils disparaissent de la formule
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Méthode de Quine-Mc Cluskey
Classes Etape 0 Repère Etape 1 Repère
0 0000 1 00X0X000
1 00101000
11
001X0X10100X1X00
2 0011011010011100
1111
0X11011XX1101X01110X11X0
3 011111011110
111
X11111X1111X
4 1111 1
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Méthode de Quine-Mc Cluskey
Etape 2:
On procède comme à l’étape précédente avec les termes des classes 0, 1, 2, etc... On inscrit dans la colonne Etape 2, les nouveaux termes obtenus.
Si un terme a déjà été obtenu, on ne le réinscrit pas, par contre on marque avec des ”1”, les termes dont il est issu.
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Méthode de Quine-Mc Cluskey
Classes Etape 0 Repère Etape 1 Repère Etape 2 Repère
0 0000 1 00X0X000
00
1 00101000
11
001X0X10100X1X00
1111
0X1X0X1X1X0X1X0X
2 0011011010011100
1111
0X11011XX1101X01110X11X0
111111
X11XX11X11XX
3 011111011110
111
X11111X1111X
111
4 1111 1
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Méthode de Quine-Mc Cluskey
Etape 3,4…:
On réitère le processus jusqu’à ce qu’il n’y ait plus de simplifications.
Dans l’exemple, il n’y a pas d’étape 4 et on obtient :
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Méthode de Quine-Mc Cluskey
Classes Etape 0 Repère Etape 1 Repère Etape 2 Repère Etape3
0 0000 1 00X0X000
00
1 00101000
11
001X0X10100X1X00
1 0X1X1X0X
00
2 0011011010011100
1111
0X11011XX1101X01110X11X0
111111
X11X11XX
00
3 011111011110
111
X11111X1111X
111
4 1111 1
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Méthode de Quine-Mc Cluskey
Les termes qui ont pour repère 0 sont les implicants premiers de f.
Dans notre exemple, les implicants premiers sont: 00X0 X000 0X1X 1X0X X11X 11XX
La forme simplifiée de f n’est pas optimale
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Méthode de Quine-Mc Cluskey
On construit la grille de Mc Cluskey
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Méthode de Quine-Mc Cluskey
Les barres verticales représentent les mintermes de la fonction f et les barres horizontales ses implicants premiers.
Les mintermes construits à partir des implicants premiers sont marqués d’une croix.
Lorsqu’il n’y a qu’une croix sur une ligne verticale, elle est entourée. Cela signifie que les implicants premiers correspondants doivent figurer impérativement dans l’expression simplifiée de f.
On a donc:
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Méthode de Quine-Mc Cluskey
On remarque ensuite qu’avec et on peut construire tous les mintermes de f sauf :
Pour les couvrir on a le choix entre:
ce qui donne les quatre formes simplifiées minimales de f:
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Les circuits logiques
Portes logiques Une porte logique est un circuit électronique
élémentaire qui Permet de réaliser la fonction d’un opérateur logique de base .
Porte NOT (NON)
Porte AND (ET)
Porte OR (OU)
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Les circuits logiques
Porte NAND
Porte NOR
Porte XOR (OU exclusif)
A B A ⊕ B
0011
0101
0110
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Les circuits logiques
Schéma d’un circuit logique ( Logigramme) C’est la traduction de la fonction logique en un schéma
électronique. Le principe consiste à remplacer chaque opérateur logique
par la porte logique qui lui correspond. Exemple 1:
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Les circuits logiques
Exemple 2:
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Définition textuelle d’une fonction logique
Généralement la définition du fonctionnement d’un système est donnée sous un format textuelle .
Pour faire l’étude et la réalisation d’un tel système on doit avoir son modèle mathématique (fonction logique).
Donc il faut tirer ( déduire ) la fonction logique a partir de la description textuelle.
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Étapes de conception et de réalisation d’un circuit logique
Pour faire l’étude et la réalisation d’un circuit il faut suivre le étapes suivantes :
Il faut bien comprendre le fonctionnement du système. Il faut définir les variables d’entrée. Il faut définir les variables de sortie. Etablir la table de vérité. Ecrire les équations algébriques des sorties ( à partir de
la table de vérité ). Effectuer des simplifications ( algébrique , par
Karnaugh, ou par Quine-Mc Cluskey). Faire le schéma avec un minimum de portes logiques.
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Exemple : définition textuelle du fonctionnement d’un système
Une serrure de sécurité s’ouvre en fonction de trois clés.
Le fonctionnement de la serrure est définie comme suit : La serrure est ouverte si au moins deux clés sont
utilisées. La serrure reste fermée dans les autres cas .
Donner la schéma du circuit qui permet de contrôler l’ouverture de la serrure ?
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Le système possède trois entrées : chaque entrée représente une clé.
On va correspondre à chaque clé une variable logique: clé 1 A , la clé 2 B , la clé 3 C
Si la clé 1 est utilisée alors la variable A=1 sinon A =0 Si la clé 2 est utilisée alors la variable B=1 sinon B =0 Si la clé 3 est utilisée alors la variable C=1 sinon C =0
Le système possède une seule sortie qui correspond à l’état de la serrure ( ouverte ou fermé ).
On va correspondre une variable S pour designer la sortie : S=1 si la serrure est ouverte , S=0 si elle est fermée