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Revista Conect@2 ISSN: 2007-6649 Encuentro Internacional EPEDIG de Educación Personalizada
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LOS REGISTROS SEMIÓTICOS EN MATEMÁTICAS COMO ELEMENTO DE PERSONALIZACIÓN EN EL APRENDIZAJE
Macías Sánchez, Jesús
Universidad Internacional de La Rioja (UNIR) [email protected]
Fecha recepción: 21 de mayo de 2014.
Fecha aceptación: 2 de julio de 2014
Resumen: Una característica propia de los conceptos matemáticos es la
necesidad de emplear diversas representaciones para asimilarlos y
aprehenderlos en toda su complejidad. El papel que juegan los símbolos en el
desarrollo del pensamiento matemático es determinante, lo que implica, desde
una perspectiva cognitiva, que para la total comprensión de las nociones
matemáticas sea preciso emplear y coordinar más de un sistema de
representación. Del mismo modo, juega un papel de importancia dentro de la
enseñanza personalizada en matemáticas. Por ello, la semiótica y todos
aquellos aspectos que forman parte de dicho campo, se han incorporado como
ámbito de estudio en el área de la educación matemática, suscitando un interés
creciente en los últimos años.
El objetivo general de este artículo es estudiar la importancia que se concede a
los registros de representación semiótica y a la coordinación entre ellos en la
enseñanza obligatoria a través del estudio de los currículos oficiales,
centrándonos, más concretamente, en el análisis de los contenidos y criterios
de evaluación del Decreto de Enseñanzas Mínimas de Educación Primaria
para el área de Matemáticas. Para ello, nos hemos apoyado en las
investigaciones realizadas por Raymond Duval, Bruno D’Amore y Luis Radford,
entre otros, en el campo de los registros de representación, y en resultados
provenientes del ámbito de la neurociencia.
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Entre los resultados más importantes del análisis podemos destacar que se
concede poca importancia a la pluralidad de registros de representación con
los que se puede trabajar, lo que se traduce, por un lado, en una pérdida de
posibles alternativas mediante las cuales los estudiantes puedan acceder a los
conocimientos en función de su propia singularidad en la tarea de aprender, y
por otro lado, en la consideración, de que todas las representaciones de un
objeto matemático determinado tienen el mismo contenido, privándose así al
estudiante de elementos esenciales y necesarios para la correcta
conceptualización de los conceptos matemáticos. Además, podemos subrayar
que la preparación que recibe el alumno durante la Educación Primaria en lo
que a coordinación entre representación se refiere, es prácticamente
inexistente según el estudio realizado.
Palabras clave: Registros de Representación Semiótica, Enseñanza de las
Matemáticas en Educación Primaria, cognición, curriculum, conversión de
representaciones, neurociencia.
Abstract: A characteristic of mathematical concepts is the need to use different
representations to assimilate them and apprehend them in all their complexity.
The role of symbols and signs in the development of mathematical thinking is
critical, which implies, from a cognitive perspective, which for a complete
understanding of mathematical concepts is necessary to use and coordinate
more than one system of representation. Thus, semiotics and all those aspects
that are part of the field, have been incorporated as an area of study in the area
of mathematics education, raising a growing interest in recent years.
The overall objective of this paper is to study and evaluate the importance
attached to the registers of semiotic representation and coordination between
them in compulsory education through the study of the official curriculum,
focusing more specifically on the content analysis and evaluation criteria of the
Decree of Minimal Educations of Primary Education Mathematics area. We
have relied on research conducted by Raymond Duval, Bruno D'Amore and
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Luis Radford, among others, in the field of representation registers, and results
from the field of neuroscience.
Among the most important results of the analysis, we emphasize that it attaches
little importance to the plurality and diversity of representation registers with
which to work, which means, therefore, into consideration, by the student, that
all representations of a given mathematical object have the same content, thus
depriving the student of the essential and necessary for the proper
conceptualization of mathematical concepts. In addition, we emphasize that the
preparation that the student receives during primary education as far as
coordination between the registers of representation is concerned, it would be
essential for proper cognitive functioning of the student for secondary education
is almost non-existent according to the study.
Keywords: semiotic registers, Primary Education, cognition, curriculum,
conversion of representations, neuroscience.
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Introducción
Durante mucho tiempo, hasta la década de los 70, la enseñanza de las
matemáticas se fundamentaba en principios generales derivados de la
investigación psicológica, cuyo foco de atención eran únicamente los
estudiantes y su perfil cognitivo, sin que se tomase en consideración la
naturaleza de las matemáticas o su contenido, que pasaban inadvertidos.
Debido a la generalidad de los objetos matemáticos, se podría catalogar la
actividad matemática como una actividad fundamentalmente simbólica
(D’Amore, 2003, 2004, 2006; Duval, 1993, 1995, 1996; Godino, 2002, 2003;
Kaput, 1987a, 1987b, 1998). El papel que juegan los símbolos y signos en el
desarrollo del pensamiento matemático es determinante, y por ello, la semiótica
y todos aquellos aspectos que forman parte de dicho campo, se han
incorporado como ámbito de estudio en el área de la educación matemática,
suscitando un interés creciente en los últimos años por considerarse que la
consecución de un conocimiento profundo y la presencia de continuas
dificultades que experimentan los estudiantes, guardan una estrecha relación
con las diferentes maneras de representar las ideas matemáticas. Destacan,
entre otros, los trabajos de autores como Janvier (1987a, 1987b), Goldin y
Janvier (1998), Hiebert y Carpenter (1992), Duval (1993, 1995, 2006a, 2006b,
2006c, 2006d), Radford (1998, 2004, 2006a, 2006b), Radford y André (2009).
El aprendizaje de las matemáticas introduce a los estudiantes en un mundo
nuevo, tanto conceptual como simbólico, pero sobre todo representativo:
enunciados dados en las lenguas vernáculas, organizaciones visuales,
gráficas, geométricas, icónicas, etc. son algunos de los medios más empleados
en la formación, comunicación y transferencia del conocimiento matemático.
El uso del concepto de representación para caracterizar y definir los estados
mentales y las actividades de los individuos es un factor destacable en el
desarrollo reciente de la psicología cognitiva, pues dicha noción y los
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conceptos ligados o vinculados a ella, parecen resultar claves para entender,
estudiar e interpretar el modo en que los sujetos conocen, aprenden y
comprenden.
En definitiva, las representaciones son parte esencial de la estructura
conceptual necesaria para poder realizar un análisis de los procesos de
comprensión, aprendizaje y asignación de significados que llevan a cabo los
estudiantes en el aprendizaje de las matemáticas, de ahí su interés didáctico
(Radford, 1998).
El objetivo general de este artículo es estudiar y evaluar la importancia y
relevancia que se concede a los registros de representación semiótica y a la
coordinación entre ellos en la enseñanza obligatoria a través del estudio de los
currículos oficiales, centrándonos, más concretamente, en la Educación
Primaria, por ser la etapa escolar que precede a aquella en la que los alumnos
van comenzar a manejar conceptos y nociones más complejas y abstractas, la
Educación Secundaria.
Nuestra hipótesis es que, una preparación adecuada en la utilización y manejo
de diferentes tipos de representaciones a lo largo de la Educación Primaria
favorecerá significativamente la coordinación de los diferentes registros
semióticos, y por tanto el aprendizaje, a lo largo de la Secundaria, donde se
hace más necesario e imprescindible que en etapas anteriores. Además, el
hecho de presentar los objetos matemáticos a través de sus múltiples
representaciones permite atender a las singularidades de aprendizaje de cada
alumno, optando por unas u otras y coordinándolas entre sí función de sus
estilos cognitivos.
Los sistemas de representación en matemáticas
Una característica propia y específica de las estructuras y conceptos
matemáticos es la necesidad de emplear diversas representaciones para
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asimilarlos y aprehenderlos en toda su complejidad, lo que implica, desde una
perspectiva cognitiva, que para la total comprensión de las nociones
matemáticas es preciso emplear y coordinar más de un sistema de
representación, como han puesto de manifiesto distintos investigadores
(D’Amore, 2003, 2004, 2006; Duval, 1993, 1995, 1996; Godino, 2002, 2003;
Janvier, 1987a; Kaput, 1987a, 1987b, 1998; Radford, 1998, 2004, 2006a).
Los signos y representaciones en matemáticas no tienen como función
primordial la de comunicar o evocar algún objeto ausente, sino que el papel
fundamental, y verdaderamente importante, lo constituyen las transformaciones
de unas representaciones en otras, ya que permiten obtener nuevas
informaciones, y propiedades, y extraer nuevos conocimientos de los objetos,
ideas y conceptos representados (Duval 2006a).
Los sistemas simbólicos y de representación en matemáticas son el
producto de siglos de selección y evolución a lo largo de la historia de las
matemáticas. Así, por ejemplo, el sistema decimal de numeración
(Chamorro, 2004), sistema de representación que evoca la noción de
número, es el resultado de una larga evolución histórica desde el uso de
palitos, cortes, guijarros, conchas, incisiones o muescas sobre un palo
(registro icónico) que empleaban nuestros antecesores prehistóricos, y que
aún siguen utilizando algunas tribus aisladas de la Amazonía.
Diversas investigaciones, como las llevadas a cabo por Pierre Pica en la tribu
Mundurukú del Amazonas, han sacado a la luz que existen ciertas facultades
matemáticas que se encuentran genéticamente ancladas en nuestro cerebro,
de modo que, y centrándonos en el tema que nos atañe, existen ciertos tipos
de representaciones “primitivas” que sirven de soporte y actúan como sustrato
en la aparición progresiva de la representación simbólica en el desarrollo del
niño (Pica, Dehaene, Izard y Spelke, 2008).
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En los últimos años se han obtenido sorprendentes resultados desde el campo
de la neurociencia cognitiva, relacionados con el modo en que el cerebro
procesa los conocimientos matemáticos. El interés que esta reciente corriente
de investigación ha generado en investigadores en didáctica de las
matemáticas viene justificada por la necesidad de esclarecer lo máximo posible
los problemas relacionados con la naturaleza del pensamiento matemático y
los procesos que tienen lugar en los estudiantes en la enseñanza-aprendizaje
de dicha disciplina, aspectos fundamentales en la personalización del
aprendizaje.
Stanislas Dehaene, matemático e investigador del Institut National de la Santé
et de la Recherche Medicale en París y miembro del Collège de France, ha
realizado diversas investigaciones en el campo de la cognición
neuropsicológica, centrándose en el estudio de los procesos que tienen lugar
en el cerebro humano en relación con las representaciones utilizadas en uno
de los conceptos elementales de la matemática, como son los números
(Dehaene, 2000, 2002a, 2002b, 2005).
Dehaene defiende la idea de que ciertas facultades numéricas son innatas en
el cerebro humano, de modo que existen ciertas representaciones mentales,
que denomina inconscientes, que actúan como punto de partida en la
construcción progresiva de los conceptos más abstractos. Formaría parte esta
idea de la singularidad de la persona, como elemento clave en su formación.
Este hecho tiene como consecuencia ciertas implicaciones pedagógicas
relacionadas de manera directa con el tipo de enseñanza matemática que
reciben los estudiantes, pues en muchas ocasiones ésta se encuentra muy
alejada de aquellas prácticas que permitirían tomar contacto con ese sustrato,
que se vería activado y potenciado si los conocimientos matemáticos se
acompañasen y fundamentasen con recursos gráficos, geométricos, figurales,
etc., ya que aunque inconscientemente se pueden activar un gran número de
tipos de representaciones, la mayor parte de las manipulaciones que se
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pueden efectuar con ellas parecen imposibles de realizar por el sujeto hasta
que es consciente de las mismas.
Cuando nos encontramos ante un concepto matemático, comienzan a activarse
en nuestro cerebro aquellas representaciones que Deheane cataloga de
inconscientes e inherentes al ser humano, de modo que empezamos a crear
una aproximación del mismo, es decir, una construcción interna, propia e
individual, diferente para cada persona, y que constituye el primer paso para la
construcción del concepto con la simbología correspondiente, dando lugar,
finalmente, a una representación que hará más tangible y manejable la idea
inicial.
Frecuentemente, en el trabajo matemático usamos unos objetos en
representación de otros, especialmente cuando se trata de nociones
abstractas, existiendo una correspondencia, a menudo implícita, entre el objeto
representante y el representado, pero esta correspondencia se da en un
sentido más amplio que la simple referencia, ya que podemos afirmar que los
sistemas de símbolos y los registros de representación permiten y ayudan a
generalizar ideas, a utilizar dichas ideas en múltiples y diferentes situaciones, y
abren la puerta a la transferencia del aprendizaje y la comprensión.
En este sentido, Duval remarca en su teoría de los Registros de
Representación Semiótica, la existencia de múltiples y diversos sistemas
semióticos que hacen referencia a un mismo concepto matemático, cada uno
de los cuales tiene sus dificultades y limitaciones. Entiende por representación
semiótica “la producción constituida por el empleo de signos que pertenecen a
un sistema de representación, el cual tiene sus propias limitaciones de
significado y de funcionamiento” (Duval, 1995: 175).
Puesto que cada representación es incompleta con respecto al concepto que
representa, pues hace referencia a unas determinadas propiedades del objeto,
y su contenido depende más del registro de representación que del objeto
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representado, se hace necesaria una interacción entre las diferentes
representaciones del objeto matemático que se pretende adquirir.
Así, por ejemplo, para referirnos al objeto circunferencia podemos utilizar los
siguientes registros representación:
• Registro de la Lengua Natural (RLN): El registro de la lengua natural
permite introducir definiciones, así como hacer descripciones o
designaciones:
Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano
equidistante de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina
radio.
• Registro Numérico (RN): Las representaciones de tipo numérico permite
apreciar algunas de las características y elementos identificados de los
objetos matemáticos a los que hace referencia, así cómo vincularlos y
relacionarlos con representaciones gráficas y geométricas:
Datos Circunferencia: C1 (2,1) y P2 (0,5)
Datos circunferencia: C (5,9) y r3=3
También permite realizar operaciones de cálculo y aplicar propiedades
como pueden ser la distributiva, conmutativa, etc. necesarias para la
resolución de diversas tareas.
• Registro Figural-Icónico (RFI): Engloba dibujos, esquemas, bosquejos,
líneas, marcas, etc., que intentan representar el objeto de conocimiento
sin dar cuenta de la cualidad de los elementos involucrados:
1 C: Centro de la circunferencia
2 P: Punto por el que pasa la circunferencia
3 r: Radio de la circunferencia
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• Registro Tabular (RT): Los datos se presentan a través de un conjunto
de filas y de columnas permitiendo visualizar la información de manera
global, establecer relaciones y comparaciones entre los diferentes datos
que en ella se recogen, así como descubrir propiedades y características
del objeto de conocimiento representado:
Centro Radio Ecuación
X Y
0 3 2
-4 0 2
• Registro Algebraico (RA): Permiten realizar generalizaciones,
modelizaciones y señalar características particulares del objeto que
representa, como puede ser longitud del radio, centro, posición en el
plano, etc., en el caso de la circunferencia:
(𝑥 − 𝑎)! + (𝑦 − 𝑏)! = 𝑟 ↔ (𝑥 − 𝑎)! + (𝑦 − 𝑏)! = 𝑟!
• Registro Geométrico (RGe): El registro geométrico admite operaciones
de reconfiguración y manipulación que facilitan la comprensión y el
establecimiento de conexiones entre diferentes objetos:
• Registro Gráfico (RGr): El registro gráfico posibilita inferir, con un simple
vistazo, el comportamiento que va seguir una determinada función, así
como efectuar tratamientos propios de su registro como son las
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traslaciones, reflexiones, simetrías, contracciones, dilataciones, etc; La
representación gráfica-cartesiana hace patentes diversos elementos
(puntos de corte con los ejes, ejes de simetría, posición en el plano,
curvatura, etc.) que permiten apreciar el papel de los parámetros:
¿Qué tienen de particular cada una de estas representaciones? pues cada una
de las representaciones que hacen referencia a la circunferencia, lo hacen
también a unas determinadas propiedades de la misma, es decir, cada registro
de representación resalta unas características y propiedades determinadas del
objeto matemático, obteniendo como resultado una configuración del concepto
en toda su extensión y profundidad. La combinación y coordinación de unas y
otras da lugar a que el alumno aprehenda las nociones que se quieren
transmitir a partir de aquellas que se adecuan más a su estilo de aprendizaje.
Según Duval, poder movilizar y coordinar varios registros en el desarrollo de
una misma tarea y en el aprendizaje de un concepto, o bien poder elegir un
registro en lugar de otro, es esencial en la actividad matemática.
Duval (1993, 1995, 1996, 2006a, 2006b, 2006c, 2006d,), llama semiosis a la
actividad ligada a la producción de representaciones, la cual depende de los
signos que forman parte del sistema utilizado para generarlas, y noesis a la
actividad ligada a la aprehensión conceptual de los objetos representados,
incluyendo las diferentes actividades y procesos cognitivos desarrollados por el
sujeto.
Para Duval, un sistema semiótico, es decir un sistema de signos, y un sistema
de representación son cosas diferentes, de modo que para que un sistema
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semiótico sea un sistema de representación, debe poder permitir las tres
acciones siguientes (Duval, 1993, 1995):
1. Identificación: consiste en el reconocimiento de las representaciones que
se presentan ante el sujeto, lo que implica una selección de rasgos en el
contenido a representar.
2. Tratamiento: consiste en la transformación de una representación en
otra del mismo sistema.
3. Conversión: consiste en la transformación de una representación en una
representación de otro sistema semiótico.
Toda actividad y proceso matemático lleva consigo la capacidad y necesidad
de cambiar de registro para poder obtener la comprensión. Es por ello que los
objetos matemáticos no deben ser confundidos nunca con su representación.
Esto da lugar a lo que Duval denomina la paradoja de la comprensión en
matemáticas 4 , y que es donde la mayoría de los alumnos encuentran
problemas.
Cuando un estudiante entra en contacto con un objeto matemático, en realidad
lo está haciendo con una de sus representaciones semióticas en particular, ya
que no puede tener acceso directo a él, y solamente a través de tales
representaciones es aprehensible un objeto matemático. Esto pone de
manifiesto el por qué el tratamiento y el avance del conocimiento matemático
conduce al estudio y desarrollo de los sistemas de representación.
Para que los objetos matemáticos no sean confundidos con sus
representaciones y se sea capaz de, primero, reconocer el mismo objeto de
conocimiento a través de representaciones cuyos contenidos no tienen relación
entre sí, y, segundo, reconocer y distinguir dos objetos a través de dos
representaciones cuyos contenidos parecen semejantes porque dependen del
4 Los objetos matemáticos no deben ser confundidos nunca con su representación, pero no podemos prescindir de tales representaciones pues es la única manera de acceder a los conceptos matemáticos. Para que no se produzca confusión entre el objeto y la representación se hace necesario trabajar con más de un registro semiótico.
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mismo sistema de representación, es esencial poder movilizar diferentes
registros de representación semiótica (lengua natural, lenguaje funcional,
lenguaje algebraico, gráfico, figuras, etc.) y desarrollar la coordinación entre
ellos. (Duval ,2006b).
Por este motivo, para Duval la transformación de registros y la capacidad de
pasar de un registro de representación a otro ocupa un lugar importante y
determinante en el aprendizaje de las matemáticas.
Lo verdaderamente importante en la enseñanza de las matemáticas no es la
elección del mejor sistema de representación, pues nunca nos permitirá
apreciar todas las propiedades del objeto. Lo importante es lograr que los
estudiantes sean capaces de relacionar muchas maneras de representar los
contenidos matemáticos, y de que empleen aquellas que les permitan entender
mejor los conocimientos puestos en juego, evitando así, el establecimiento y
creación de muchos de los obstáculos en el progreso de la comprensión y el
aprendizaje del alumno.
Estudio del curriculum de educación primaria
El currículum, como eje fundamental en torno al cual giran los procesos
educativos, ha dado lugar a que los elementos que los componen hayan sido
objeto y centro de atención de gran cantidad de investigaciones.
La elección de los contenidos que forman parte de un Diseño Curricular no
surge de la nada, y mucho menos en el caso de la enseñanza obligatoria, sino
que parte de una práctica pedagógica que anhela transformar, innovar y
mejorar el proceso de enseñanza-aprendizaje de una determinada materia.
El valor intrínseco de los currícula escolares en el mundo educativo viene dado
por el hecho de que en ellos se recogen los objetivos, las competencias
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básicas, los contenidos objeto de aprendizaje, los criterios de evaluación y
orientaciones metodológicas y pedagógicas para lograr que los estudiantes
adquieran unos elementos básicos de cultura (Rico, 1997). Así pues, son
inevitables y necesarios en el proceso educativo.
Uno de los hechos de mayor alcance en los últimos años dentro de la
Didáctica, y más concretamente de la Didáctica de las Matemáticas, ha sido la
incorporación del análisis de los currícula escolares, enmarcado en el estudio
de la transposición didáctica (Chevallard 1991), lo que ha permitido establecer
nuevas formas de plantear el proceso de enseñanza-aprendizaje, abordar
fenómenos didácticos y abrir nuevas vías de investigación con el fin de mejorar
el proceso de enseñanza-aprendizaje de una determinada materia o área de
conocimiento.
Por ello, y centrándonos en nuestro tema de estudio, se ha comenzado a tener
en cuenta, de manera explícita, en la investigación en Didáctica, la importancia
de las representaciones en las discusiones y elaboración del currículum de
matemáticas. Rico destaca la importancia de las representaciones como un
organizador del currículo, considerándolas como
… el modo en que los sujetos expresan sus
conocimientos con notaciones simbólicas o mediante algún
tipo de gráfico. Mediante las representaciones las personas
organizan su información sobre un concepto u operación
para poder pensar sobre ellos, expresar su comprensión y
utilizarla en situaciones y problemas prácticos o en
situaciones escolares convencionales (Rico, 1997: 53).
Como se ha indicado, nuestro estudio aborda la manera en que se consideran
y trabajan los registros de representación semiótica, la coordinación y
conversión entre ellos, a lo largo de la Educación Primaria, de modo que el
análisis del marco curricular se hace imprescindible con el fin de determinar si
dichos aspectos, que juegan un papel fundamental en la comprensión de las
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nociones matemáticas, son contemplados en los decretos de enseñanzas
mínimas de nuestra legislación educativa.
Con el propósito señalado en el párrafo anterior, se ha creído conveniente
analizar cuáles pueden ser los registros de representación que los alumnos
han podido comenzar a manejar durante la Educación Primaria, así como las
posibles conversiones entre registros que se podrían y deberían haber
introducido. Para ello vamos a analizar el Decreto de Enseñanzas Mínimas de
la Educación Primaria (MEC, 2006; MEC, 2007).
En dicho Decreto se dispone que la Educación Primaria comprenderá seis
cursos organizados en tres ciclos de dos cursos cada uno, debiéndose
incorporar los alumnos al primer curso el año natural en el que cumplan seis
años.
Los contenidos, en el área de Matemáticas, se han organizado en cuatro
bloques que responden al tipo de objetos matemáticos que se manejan en
cada uno de ellos: Números y Operaciones, La Medida: estimación y cálculo de
magnitudes, Geometría y Tratamiento de la información, azar y probabilidad.
Estos cuatro bloques de contenidos son los que van a desarrollarse a lo largo
de los tres ciclos que componen la Educación Primaria, con mayor o menor
grado de complejidad en función del ciclo y curso en el que el alumno se
encuentre.
A continuación, vamos a analizar por ciclos cuales son los registros de
representación que podrían utilizar los alumnos, las posibles conversiones que
podrían efectuar, así como los contenidos y criterios de evaluación que hacen
referencia a alguna de ellas, teniendo en cuenta las siguientes
consideraciones:
• Cada noción u objeto matemático puede venir representado por el RLN,
RN, RA, RGe, RGr, RFI o el RT.
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• Atendiendo a las principales ideas piagetianas, y siguiendo a Chamorro
(2005), las operaciones de simbolización constituyen un puente entre las
formas elementales de expresión y las formas más evolucionadas del
pensamiento matemático, de manera que existe una formalización
gradual que caracteriza el paso de un nivel a otro de evolución. El
comienzo de la simbolización se liga, al principio, a operaciones
concretas aunque acompañadas de ciertas formas del lenguaje (de 2 a 7
años); se da, a continuación, un cierto paso hacia la formalización con la
coordinación entre acciones y operaciones concretas y se va
abstrayendo un cierto tipo de simbolización relacionada con los objetos
dados (8 a 11 años); es a partir de los 12 años cuando esa simbolización
se libera de las interferencias de los objetos. El simbolismo se hace más
complejo y equilibrado con interdependencia de la formalización
señalada.
Esto nos conduce a limitar los registros de representación que el
estudiante podría utilizar en cada bloque de contenido en función de su
desarrollo.
• La conversión entre registros no se da de manera inmediata y
espontanea, y la congruencia entre representaciones genera
importantes dificultades a tener en cuenta. La mayor dificultad para la
coordinación de registros radica en los fenómenos de no congruencia
entre las representaciones en diferentes sistemas semióticos, es decir,
cuando no se da la condición de correspondencia semántica entre las
unidades significantes5 que constituyen cada registro.
Por este motivo, las conversiones que podrían efectuar los estudiantes
en cada bloque de contenidos de cada uno de los ciclos, vienen
determinadas por la dificultad que presente la congruencia entre las
mismas.
5 Conjunto de caracteres, rasgos, parámetros o signos propios de un sistema semiótico de acuerdo con las posibilidades de representación del registro, para que representen las características principales de un objeto.
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TABLA I. Conversión entre registros en el primer ciclo de primaria PRIMER CICLO
BLOQUE
REGISTROS DE REPRESENTACIÓN
QUE PODRÍAN UTILIZAR
CONVERSIONES QUE PODRÍAN
EFECTUAR
CONTENIDO QUE HACE REFERENCIA A ALGUNA DE LAS
CONVERSIONES
TIPOS Nº CONTENIDO Y TIPO DE CONVERSIÓN Nº
Números y operaciones
Registro de la Lengua Natural Registro Numérico Registro Figural-Icónico Registro Gráfico Registro Tabular
RLN ↔ RN RN ↔ RFI RFI→ RGr RN → RGr RLN ↔ RFI RFI→ RT
RLN ↔ RT RT ↔ RGr
13 Representación de cantidades en contextos familiares. (RN → RFI) 1
La medida: estimación y cálculo de magnitudes
Registro de la Lengua Natural Registro Numérico Registro Figural-Icónico Registro Gráfico Registro Tabular
RLN ↔ RN RN ↔ RFI
RLN ↔ RFI RLN ↔ RT RFI → RT RGr → RT RGr ↔ RN
12
Utilización del lenguaje adecuado para interpretar y describir mediciones espaciales sencillas. (RFI → RLN; RN → RLN)
2
Geometría
Registro de la Lengua Natural Registro Numérico Registro Geométrico Registro Figural-Icónico Registro Tabular
RLN ↔ RGe
RGe ↔ RFI RLN ↔ RFI RN ↔ RGe RN ↔ RFI RT ↔ RGe
12
Uso de vocabulario geométrico para describir itinerarios: puntos, líneas abiertas y cerradas; rectas y curvas. (RGe → RLN) Interpretación y descripción verbal de croquis de itinerarios y elaboración de los mismos. (RFI → RLN)
2
Tratamiento de la información, azar y probabilidad
Registro de la Lengua Natural Registro Numérico Registro Figural-Icónico Registro Gráfico Registro Tabular
RLN ↔ RGr
RLN ↔ RT RT → RGr RN → RT RN → RGr RFI → RT RFI → RN
RFI → RLN
10
Descripción verbal, obtención de información cualitativa e interpretación de elementos significativos de gráficos sencillos relativos a fenómenos cercanos. (RGr → RLN) La representación gráfica: diagramas de barras. (RN → RGr) Interpretar y producir información que utiliza una forma gráfica de representación. (RGr → RLN)
2
Fuente: elaboración propia
Del estudio anterior se desprenden algunas observaciones. Una primera
observación, que va a ser común al resto de ciclos, es el predominio de los
tratamientos de carácter algorítmico frente al trabajo y manejo de posibles
conversiones entre registros. Es importante resaltar que para lograr que los
alumnos adquieran conocimientos de manera significativa no podemos basar el
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proceso de enseñanza-aprendizaje en la transmisión de estrategias de cálculo
prefijadas ni en métodos mecánicos, esto es, algoritmizados, sino que se
precisa, entre otras condiciones, que el alumno establezca relaciones básicas
entre las distintas representaciones que hacen referencia a una misma noción.
Si comparamos las conversiones que, según los contenidos del ciclo marcados
en el currículo, el estudiante va a hacer, y entre las cuales predominan aquellas
en las que uno de los registros de representación es la lengua natural, con las
posibles conversiones que el estudiante podría trabajar durante este primer
ciclo, se observa que son escasas, por lo que podríamos destacar ya un
fenómeno didáctico: la actividad reductora del ejercicio de la representación.
Del mismo modo, si estudiamos los criterios de evaluación que hacen
referencia a alguna de las conversiones que se podrían efectuar, tenemos
exclusivamente:
• Criterio de Evaluación número 9: Realizar interpretaciones elementales
de los datos presentados en gráficos de barras. Formular y resolver
sencillos problemas en los que intervenga la lectura de gráficos (MEC,
2007). (RGr → RLN)
Luego, en este primer ciclo las conversiones entre registros de representación
quedan relegadas a un segundo plano, pasando inadvertidas al no
contemplarse suficientemente en la legislación.
TABLA II. Conversión entre registros en el segundo ciclo de primaria SEGUNDO CICLO
BLOQUE
REGISTROS DE REPRESENTACIÓN
QUE PODRÍAN UTILIZAR
CONVERSIONES QUE PODRÍAN
EFECTUAR
CONTENIDO QUE HACE REFERENCIA A ALGUNA DE LAS
CONVERSIONES
TIPO Nº CONTENIDO Y TIPO DE CONVERSIÓN Nº
Números y operaciones
Registro de la Lengua Natural Registro Numérico Registro Figural-Icónico Registro Gráfico
RLN ↔ RN RN ↔ RFI RFI→ RGr RN ↔ RGr RLN ↔ RFI RFI→ RT
14
Necesidad de los números para contar, ordenar, operar, medir y codificar información.( RLN→RN; RFI → RN) Comparación entre fracciones
3
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45
Registro Tabular RLN ↔ RT RT ↔ RGr
sencillas mediante ordenación y representación gráfica. (RN → RGr)
La medida: estimación y cálculo de magnitudes
Registro de la Lengua Natural Registro Numérico Registro Figural-Icónico Registro Gráfico Registro Tabular
RLN ↔ RN RN ↔ RFI
RLN ↔ RFI RLN ↔ RT RFI → RT RGr → RT RGr ↔ RN
12
Explicación oral y escrita del proceso seguido y de la estrategia utilizada en la medición. Utilización del vocabulario adecuado. (RFI → RLN; RN → RLN)
2
Geometría
Registro de la Lengua Natural Registro Numérico Registro Geométrico Registro Figural-Icónico Registro Tabular
RLN ↔ RGe RGe ↔ RFI RLN ↔ RFI RN ↔ RGe RN ↔ RFI RT ↔ RGe
12
Representación elemental planos y maquetas. (RLN → RFI) Descripción de posiciones y movimientos en un contexto topográfico. (RFI → RLN) Descripción de la forma de objetos utilizando el vocabulario geométrico básico. (RGe → RLN) Utilización de recursos informáticos para manipular, comprender, describir, crear y transformar formas planas y espaciales. (RGe → RLN; RFI → RLN) Construcción de figuras geométricas planas a partir de datos. (RLN → RGe; RN → RGe) Aproximación a la lectura e interpretación de mapas y planos sencillos. (RFI → RLN)
5
Tratamiento de la información, azar y probabilidad
Registro de la Lengua Natural Registro Numérico Registro Figural-Icónico Registro Gráfico Registro Tabular
RLN ↔ RGr RLN ↔ RT RT → RGr RN ↔ RT RN → RGr RFI → RT RFI → RN
RFI → RLN
11
Tablas de datos. Iniciación al uso de estrategias eficaces de recuento y análisis de datos. (RN→RT) Lectura e interpretación de tablas de doble entrada de uso habitual en la vida cotidiana. (RT → RLN) Interpretación y descripción verbal de elementos significativos de gráficos sencillos relativos a fenómenos familiares. (RGr → RLN) La representación gráfica: diagramas de barras y pictogramas. (RN → RGr)
4
Fuente: Elaboración propia
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En este ciclo aumentan tanto el número de conversiones que los alumnos
pueden realizar como el número de conversiones que se contemplan en los
contenidos en relación con el ciclo anterior. Aun así, el número de
transformaciones que la ley parece considerar para cada uno de los bloques de
contenidos sigue siendo reducido en comparación con las que realmente se
podrían trabajar con los estudiantes, existiendo un predominio de las
conversiones en las que interviene el registro discursivo de la lengua natural y
el registro numérico.
También cabe señalar cómo todas las conversiones a las que se hace
referencia en este ciclo van en un único sentido, no teniendo lugar, en ningún
caso, una conversión de representaciones en el sentido inverso, lo que
permitiría al alumno no solo adquirir un mejor manejo de las conversiones para
una determinada noción sino una comprensión mayor de dicho contenido,
interiorizándolo y aprendiéndolo de manera más significativa y completa al
asegurarse la reversibilidad.
Si analizamos qué conversiones se contemplan en los criterios de evaluación
de este segundo ciclo, tenemos:
• Criterio de Evaluación número 1: Utilizar en contextos cotidianos la
lectura y la escritura de números naturales, interpretando el valor
posicional de cada una de ellas y comparando y ordenando números por
el valor posicional y en la recta numérica (MEC, 2007). (RN→ RGr; RN
→RFI)
• Criterio de Evaluación número 2: Reconocer fracciones como partes de
la unidad o de colecciones, comparar fracciones sencillas y
representarlas mediante gráficos simples o en la recta numérica (MEC,
2007). (RN → RFI; RN → RGr)
• Criterio de Evaluación número 6: Obtener información puntual y describir
una representación espacial (croquis de un itinerario, plano de una
pista.), tomando como referencia objetos familiares y utilizar las
nociones básicas de movimientos geométricos, para describir y
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comprender situaciones de la vida cotidiana y para valorar expresiones
artísticas (MEC, 2007). (RFI → RLN; RGe → RLN)
• Criterio de Evaluación número 8: Recoger datos sobre hechos y objetos
de la vida cotidiana utilizando técnicas sencillas de recuento, ordenar
estos datos atendiendo a un criterio de clasificación y expresar el
resultado de forma de tabla o gráfica… Es asimismo motivo de
evaluación la capacidad para describir e interpretar gráficos sencillos
relativos a situaciones familiares (MEC, 2007). (RLN → RT; RT → RGr;
RGr → RLN; RLN → RN)
• Criterio de Evaluación número 9: Leer, interpretar y describir
verbalmente datos obtenidos directamente de tablas, pictogramas y
diagramas de barras de fenómenos o situaciones familiares (MEC,
2007). (RT → RLN; RGr → RLN; RFI → RLN)
Tal y como pasaba con los contenidos, existe un predominio de conversiones
en las que interviene el lenguaje natural.
Llama la atención cómo en los criterios que hacen referencia a los números
fraccionarios se tiene en cuenta la conversión del registro numérico al registro
figural pero en ningún momento se hace alusión a la conversión en el sentido
contrario, lo que permitiría al estudiante construir su conocimiento de manera
funcional y significativa.
Igualmente, en lo relativo al registro geométrico, únicamente se toman en
cuenta conversiones en las que las construcciones y representaciones propias
de este registro intervengan en la descripción de planos.
Finalmente, en el bloque de estadística es en el que más conversiones se
tienen en cuenta, lo que parece indicar que, basándonos en el Real Decreto de
Enseñanzas Mínimas, en dicho bloque parece llevarse a cabo un trabajo
adecuado en cuanto a conversión de registros semióticos se refiere.
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Por tanto, aunque en este ciclo aumentan las conversiones que los estudiantes
pueden manejar, únicamente parecen trabajarse aquellas que son
estrictamente necesarias para que los alumnos accedan a una determinada
noción o conocimiento, pasando por alto todas aquellas que favorecerían un
aprendizaje más significativo.
TABLA III. Conversión entre registros en el tercer ciclo de primaria
TERCER CICLO
BLOQUE REGISTROS DE
REPRESENTACIÓN QUE PODRÍAN
UTILIZAR
CONVERSIONES QUE PODRÍAN
EFECTUAR CONTENIDO QUE HACE REFERENCIA A
ALGUNA DE LAS CONVERSIONES
TIPO Nº
CONTENIDO Y TIPO DE CONVERSIÓN Nº
Números y operaciones
Registro de la Lengua Natural Registro Numérico Registro Figural-Icónico Registro Geométrico Registro Gráfico Registro Tabular
RLN ↔ RN RN ↔ RFI RFI→ RGr RN ↔ RGr RLN ↔ RFI RFI→ RT
RLN ↔ RT RT ↔ RGr
14
Ordenación de números enteros, de decimales y de fracciones por comparación y representación gráfica. (RN → RGr)
1
La medida: estimación y cálculo de magnitudes
Registro de la Lengua Natural Registro Numérico Registro Figural-Icónico Registro Gráfico Registro Tabular
RLN ↔ RN RN ↔ RFI
RLN ↔ RFI RLN ↔ RT RFI → RT RGr → RT RGr ↔ RN RGe → RN
13
Explicación oral y escrita del proceso seguido y de la estrategia utilizada en la medición. Utilización del vocabulario adecuado. (RFI → RLN; RN → RLN)
2
Geometría
Registro de la Lengua Natural Registro Numérico Registro Algebraico Registro Geométrico Registro Figural-Icónico Registro Tabular
RLN ↔ RGe
RGe ↔ RFI RLN ↔ RFI RN ↔ RGe RN ↔ RFI RT ↔ RGe RLN ↔ RA RN ↔ RA RT ↔ RA RA ↔ RFI
20
Sistema de coordenadas cartesianas: ejes y centro de coordenadas. Representación y lectura de puntos. (RGr → RLN; RN → R RGr; RGe → RLN; RLN → R. RGe) Descripción de posiciones y movimientos por medio de coordenadas, distancias, ángulos, giros. (RGr → RLN; RGe → RLN) La representación elemental del espacio, escalas y gráficas sencillas. (RLN → RFI; RLN → RGr; RGe → RLN) Representación de formas geométricas. (RLN → RGe; RFI → RGe) Resolución de problemas geométricos explicando oralmente y por escrito el
7
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significado de los datos, la situación planteada, el proceso seguido y las soluciones obtenidas. (R. RGe → RLN; RN → RLN)
Tratamiento de la información, azar y probabilidad
Registro de la Lengua Natural Registro Numérico Registro Algebraico Registro Figural-Icónico Registro Gráfico Registro Tabular
RLN ↔ RGr
RLN ↔ RT RT → RGr RN ↔ RT RN → RGr RFI → RT RFI → RN
RFI → RLN RN ↔ RA RA ↔ RT
15
Distintas formas de representar la información. Tipos de gráficos estadísticos: diagramas de barras, pictogramas, polígonos de frecuencias y diagramas de sectores. (RN → RGr) Valoración de la expresividad del lenguaje gráfico para la representación de datos. (RGr → RLN; R.FI → RLN) Elaboración y presentación de gráficos y tablas.(RN→ RGr; RN → RT)
4
Fuente: Elaboración propia
En este tercer ciclo, el número de registros que los alumnos podrían trabajar en
cada uno de los bloques de contenidos es mayor que en el ciclo anterior, por lo
que las conversiones que sería posible que llevasen a cabo también aumenta.
Sin embargo, a excepción del bloque correspondiente a geometría en el que,
debido a que en este ciclo se comienza a estudiar el sistema de coordenadas
cartesiano, se contemplan nuevas conversiones (RGr → RLN; RN → RGr;
RGe → RLN), el resto permanecen prácticamente igual que en el ciclo
anterior.
Por otro lado, los criterios de evaluación que hacen referencia a la valoración
de alguna conversión entre registros, disminuye considerablemente con
respecto al segundo ciclo:
• Criterio de Evaluación número 7: Interpretar una representación espacial
(croquis de un itinerario, plano de casas y maquetas) realizada a partir
de un sistema de referencia y de objetos o situaciones familiares (MEC,
2007). (RFI → RLN; RGe → RLN)
• Criterio de Evaluación número 8: Realizar, leer e interpretar
representaciones gráficas y tablas numéricas de un conjunto de datos
relativos a contextos familiares. También se valorará el grado de
comprensión de la información así expresada, mediante la comunicación
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oral y escrita del razonamiento seguido (MEC, 2007). (RT→ RLN; RGr
→RLN).
Conclusión
Una de las características más importantes de la actividad matemática es la
diversidad de registros de representación semiótica que es necesario movilizar
en la enseñanza y aprendizaje de un determinado concepto u objeto
matemático. Esto es debido a que, únicamente, a través de tales
representaciones, podemos tener acceso a los objetos de conocimiento en
matemáticas.
Duval (DUVAL, 1993, 2003, 2006a, 2006b, 2006c, 2006d) defiende que no
deben confundirse los objetos matemáticos con su representación, y define los
registros de representación como un medio de expresión que se caracterizan
por sus signos propios y la forma en que estos se organizan. La lengua natural,
una notación, un símbolo, un esquema o una gráfica representan a un objeto
matemático.
Restar importancia a la pluralidad y diversidad de registros de representación,
trae como consecuencia la consideración, por parte del alumno, de que todas
las representaciones de un objeto matemático determinado tienen el mismo
contenido.
Desde esta perspectiva, y particularizando en el tratamiento que hace el
curriculum escolar de primaria a este respecto, se ha llegado a las siguientes
conclusiones:
• Si bien, durante la Educación Primaria parece que existe cierta
introducción al uso y manipulación de más de un registro de
representación para un determinado concepto, podemos decir que es
limitado y bastante pobre con respecto a las posibilidades existentes en
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dicha etapa educativa. Las conversiones que se han localizado en el
estudio del Decreto de Enseñanzas Mínimas de Educación Primaria,
más que favorecer la comprensión de los objetos matemáticos y las
propiedades que los caracterizan, parecen perseguir que el alumno
resuelva las tareas planteadas con éxito, pasando por alto la
complejidad existente en la relación entre representaciones.
• La mayor parte de las nociones son introducidas y presentadas a los
estudiantes a través de un único registro de representación, lo que,
además de dar lugar a la confusión por la identificación del objeto de
conocimiento con la representación utilizada, supone una pérdida de
información significativa, pues para configurar un concepto en toda su
extensión y profundidad, de manera que se evidencien todas sus
propiedades y características, se hace imprescindible trabajar con varias
de las representaciones que hacen referencia al concepto objeto de
aprendizaje.
• Destaca cómo el registro de la lengua natural predomina de manera
absoluta, debido a que es considerado tradicionalmente como la fuente
universal de conocimiento, desempeñando dos funciones básicas que
se encuentran interrelacionadas: la de comunicar y la de representar.
Hay que tener en cuenta que una de las causas importantes que se
encuentra relacionada directamente con el deficiente rendimiento
académico de muchos de los estudiantes en la escolaridad obligatoria,
radica en el insuficiente desarrollo de su capacidad para la comprensión
lectora.
En los últimos años, investigaciones en neurociencia, cuyos propósitos
han sido los de aportar datos y resultados que permitan mejorar el
diagnóstico y la intervención educativa en la lectura, han señalado dos
posibles causas relacionadas con las dificultades en la comprensión
lectora: la falta de desarrollo y progreso de habilidades y técnicas
propias de la lectura y la comprensión, por un lado, y la posible
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desorganización, o déficit funcional, de los circuitos neuronales
vinculados en los procesos del lenguaje, por otro.
Cuando leemos un texto, no somos conscientes de la dificultad y
complejidad de las operaciones que se realizan en nuestro sistema
visual. En una fracción de segundo nuestro cerebro reconoce las
palabras y accede a su sentido. Esta operación es más compleja de lo
que parece, pues tiene lugar un proceso de reconocimiento y selección
de las características visuales que son relevantes para la lectura y las
que no lo son. Aprender a leer consiste en poner en conexión dos
sistemas cerebrales presentes en el niño: el sistema visual de
reconocimiento de las formas y las áreas del lenguaje (Dehaene, 2007).
El binomio formado por neurociencia y educación, persigue la
comprensión de los procesos mentales que suceden en nuestro cerebro,
con el fin de poder mejorar las estrategias, modelos, métodos y técnicas
de identificación e intervención educativa, de manera que el proceso de
enseñanza-aprendizaje esté acorde con el desarrollo de los sujetos. De
esta forma, a través del estímulo de determinadas regiones cerebrales
se puede llevar a cabo un aprendizaje de forma más natural, integrando
y procesando el conocimiento en el cerebro de manera tal, que dicha
información sea considerada relevante, utilizable y aplicable.
Así, estudios como los desarrollados por Dehaene (2003) en el campo
de la neuroimagen, han evidenciado que la región cerebral que parece
asumir la función de reconocer las palabras, antes de que se vea
estimulada y activada por estas, muestra, primeramente, una clara
preferencia por dibujos e imágenes.
No cabe duda que la lengua natural juega un papel importante en el
proceso de enseñanza-aprendizaje, pero en el caso concreto de la
enseñanza de las matemáticas, el empleo de símbolos, tablas, gráficas,
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figuras, construcciones geométricas, etc., favorece las operaciones
cognitivas, afianzando los conocimientos que se pretende que el
estudiante adquiera.
Todo esto nos lleva a afirmar que un empleo abusivo de dicho registro
puede no ser adecuado, pues la comprensión de un enunciado es
condición necesaria, aunque no suficiente, en la resolución de las
diversas tareas que se les plantea a los estudiantes.
• Los sistemas de representación están estrechamente ligados al proceso
de enseñanza-aprendizaje de las nociones matemáticas, y sin embargo
la manera en que parecen considerarse en el Decreto de Enseñanzas
Mínimas analizado, no parecen ayudar ni favorecer la adquisición y
enriquecimiento por parte del alumno de sus representaciones internas,
así como la conexión y coordinación entre ellas de modo que puedan
relacionar los significados y objetos matemáticos correspondientes de
manera significativa.
• El número limitado de registros utilizados y conversiones que se
contemplan en el currículum es indicativo de la escasa importancia
concedida a la personalización del aprendizaje en matemáticas. Para
lograr que nuestros estudiantes asimilen de manera significativa las
nociones matemáticas no podemos dar por hecho que todos
aprehenden de la misma forma ni podemos basar dicho proceso en un
simple mecanismo memorístico vacío de significancia, sino que es
preciso tener en cuenta las singularidades del aprendizaje de cada niño
y facilitarles todos aquellos medios que estén a nuestro alcance para
que logren alcanzar el concomimiento deseado. En ello, juega un papel
importante la utilización de los diversos registros de representación.
• La forma en que son contemplados los registros de representación
semiótica y sus posibles conversiones es escasa e insuficiente, lo que
puede dar lugar a futuras limitaciones por parte del alumno en el
aprendizaje de los sucesivos conocimientos.
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Por tanto, la preparación que recibe el alumno durante la Educación Primaria
en lo que a coordinación entre registros de representación se refiere, que sería
esencial para un adecuado funcionamiento cognitivo del estudiante durante la
Educación Secundaria, es prácticamente inexistente según el análisis
realizado.
El ejercitar la coordinación entre los diferentes sistemas de representación es
de vital importancia para que tenga lugar en el alumno un funcionamiento
cognitivo efectivo. Debido a que la formación y adquisición de conceptos en
matemáticas requiere una coordinación entre registros, su enseñanza y
aprendizaje no puede limitarse a la automatización de determinadas técnicas
operatorias, sino que deben ser trabajados, también, aspectos fundamentales y
necesarios para el aprendizaje, como son la visualización, el razonamiento y
sobre todo la conversión entre registros.
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