M
A
T
E
M
A
T
I
K
A
S
M
A
Disusun oleh :
Markus Yuniarto, S.Si
Tahun Pelajaran 2016 – 2017 SMA Santa Angela
Jl. Merdeka No. 24 Bandung
LIMIT FUNGSI
TRIGONOMETRI
Matematika
Kelas XI MIA
Semester 2
h xtan
hx
tanlim0
h
--------------------------------------------------------------------------------------SMA Santa Angela
Limit Fungsi Trigonometri XI IPA ====================== 2
PENGANTAR :
Modul ini kami susun sebagai salah satu sumber belajar untuk siswa agar dapat dipelajari dengan lebih
mudah. Kami menyajikan materi dalam modul ini berusaha mengacu pada pendekatan kontekstual dengan
diharapkan matematika akan makin terasa kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari.
STANDAR KOMPETENSI :
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah.
KOMPETENSI DASAR :
Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di takhingga.
Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri.
Menentukan invers suatu fungsi
TUJUAN PEMBELAJARAN :
1. Menjelaskan arti limit fungsi di satu titik melalui perhitungan nilai-nilai disekitar titik tersebut 2. Menjelaskan arti limit fungsi di tak berhingga melalui grafik dan perhitungan. 3. Menghitung limit fungsi aljabar dan trigonometri di satu titik. 4. Menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan limit. 5. Menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi. 6. Menghitung limit fungsi aljabar dan trigonometri dengan menggunakan sifat-sifat limit
--------------------------------------------------------------------------------------SMA Santa Angela
Limit Fungsi Trigonometri XI IPA ====================== 3
RUMUS TRIGONOMETRI
I. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SUDUT (1) sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B (2) sin(A – B) = sin A cos B – cos A sin B (3) cos(A + B) = cos A cos B – sin A sin B (4) cos(A – B) = cos A cos B + sin A sin B
(5) tan(A + B) = BA
BA
tantan1
tantan
(6) tan(A – B) = BA
BA
tantan1
tantan
II. RUMUS SUDUT RANGKAP DAN SUDUT PERSETENGAHAN 1. RUMUS SUDUT RANGKAP.
(1) sin 2A = 2 sin A cos A (2) cos 2A = cos2A – sin2A = 1 – 2 sin2A = 2 cos2A – 1
(3) tan 2A = A
A2tan1
tan2
(4) sin 3A = 3 sin A – 4 sin3A (5) cos 3A = 4 cos3A – 3 cos A
(6) tan 3A = A
AA2
3
tan31
tantan3
2. RUMUS SUDUT PERSETENGAHAN.
(1) sin 2
1A =
2
cos1 A
(2) cos2
cos1
2
1 AA
(3) tanA
AA
cos1
cos1
2
1 =
A
A
cos1
sin
A
A
sin
cos1
--------------------------------------------------------------------------------------SMA Santa Angela
Limit Fungsi Trigonometri XI IPA ====================== 4
III. RUMUS HASIL KALI SINUS DAN KOSINUS (1) 2 sinA cos B = sin(A + B) + sin(A – B) (2) 2 cos A sin B = sin(A + B) – sin(A – B) (3) 2 cos A cos B = cos(A + B) + cos(A – B) (4) 2 sin A sin B = - cos(A + B) + cos(A – B)
IV. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SINUS DAN KOSINUS
(1) sin A + sin B = 2 sin 2
1(A + B) cos
2
1(A – B )
(2) sin A – sin B = 2 cos 2
1(A + B) sin
2
1(A – B)
(3) cos A + cos B = 2 cos 2
1(A + B) cos
2
1(A – B)
(4) cos A – cos B = -2 sin 2
1(A + B) sin
2
1(A – B)
V. BENTUK a cos x + b sin x a cos x + b sin x = k cos(x - )
i. k = 22 ba
ii. tan = a
b ( i ) a(+), b(+) kw ( I )
(ii ) a(-) , b (+) kw (II ) (180 – )
(iii) a(-) , b(-) kw (III) (180 + )
(iv) a(+), b(-) kw (IV) (360 – )
--------------------------------------------------------------------------------------SMA Santa Angela
Limit Fungsi Trigonometri XI IPA ====================== 5
Ex. 14. Hitunglah :
a. x
xx
x
x
xx sin
cossin2l im
sin
2sinl im
00
2
1.2
0cos.2
cos2l im0
xx
b. cossincossinlim xxx
= 0 – (-1)
= 1
c. 0cos1
0cos1
4cos1
2cos1lim
0 x
x
x
)(0
0
11
11gagal
4
1
cossin8
sin2l im
)cossin2(21(1
)sin21(1l im
)2sin22sin2(cos1
)sin2sin(cos1l im
)2sin2(cos1
)sin(cos1l im
4cos1
2cos1l im
22
2
0
2
2
0
222
222
0
22
22
00
xx
x
xx
x
xxx
xxx
xx
xx
x
x
x
x
x
xx
--------------------------------------------------------------------------------------SMA Santa Angela
Limit Fungsi Trigonometri XI IPA ====================== 6
Secara Umum :
Ex. 15. Selesaikan :
a. x
x
x
x
x
x
xx 5
7.
7
7tanlim
5
7tanlim
00
5
7
1. 1sin
lim0 x
x
x 7.
m
n
mx
nx
x tanlim
0
2. 1sin
l im0 x
x
x 8.
n
m
nx
mx
x
tanlim
0
3. 1tan
l im0 x
x
x 9.
n
m
nx
mx
x sin
sinl im
0
4. 1tan
lim0 x
x
x 10.
n
m
nx
mx
x tan
tanlim
0
5. n
m
nx
mx
x
sinlim
0 11.
n
m
nx
mx
x tan
sinl im
0
6. m
n
mx
nx
x sinl im
0 12.
n
m
nx
mx
x sin
tanlim
0
--------------------------------------------------------------------------------------SMA Santa Angela
Limit Fungsi Trigonometri XI IPA ====================== 7
b.
x
xx
xx
x
xx
2
1sin
5tan.
10
5tanl im
2
1sin.)10(
5tanl im
2
02
3
0
2
5
10.1.2
1
10.1.1.5
5tanl im.
2
1
2
1
5.
2
1sin
2
1
.5
5tanl im.
10
5.
5
5tanl im
2
2
0
0
2
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
c. x
x
x
x
x
x
xx
x
xx 3
2.
2
2sin
.
2
2sin
l im
)3(2
2sin
l im
2
2
2
02
3
0.1.1
Ex. 16. Hitunglah :
a. 11.2
5
2
3.11.2
2
5sin3tan4sinl im
0 x
xxx
x
b. p
p
p 10cot
5cotl im
0
c. 32
1sin13lim
21 xx
xx
x
--------------------------------------------------------------------------------------SMA Santa Angela
Limit Fungsi Trigonometri XI IPA ====================== 8
d. pp
pp
p cos
sintanlim
0
Ex. 17. Selesaikan :
a. p
ppx
p
xpx
pp
2
1sin2
2
1sin2
limcoscos
lim00
x
px
p
ppx
p
ppx
pp
p
sin
1).2(2
1sin
2
12
1sin
l im22
1sinl im
2
12
1sin
.22
1sinl im
00
0
b. h
xhx
h
tantanlim
0
c. px
px
px
sinsinl im
In Ingat :
1. BA
BABA
tan.tan1
tantantan
2. 2. BABABA2
1sin
2
1cos2sinsin
3. BABABA2
1cos
2
1cos2coscos
--------------------------------------------------------------------------------------SMA Santa Angela
Limit Fungsi Trigonometri XI IPA ====================== 9
d. 20
2coscos21lim
x
xx
x
Latihan
1. Tentukan nilai :
a. xxx
xxx
x sin3tan9tan
5sin3tan7sinlim
0
b. x
xx
x sin
2lim
2
0
c. xxx
xx
x 23
6sin1lim
23
2
0
2. Tentukan nilai P agar 24
2cos3tan3tanlim
2
30
P
x
xxx
x
3. Hitunglah :
a. xxx
2sec3tanl im0
Ingat :
1. 1cos22cos 2 xx 3. xn
nx2
sin2cos1 2
2. 2
2
20
2
1cos1
limn
m
nx
mx
x 4.
b
a
b
a
bx
ax
x 22
1cos1
lim2
2
20
3.
--------------------------------------------------------------------------------------SMA Santa Angela
Limit Fungsi Trigonometri XI IPA ====================== 10
b. xxecxecx
cot.coscosl im 2
2
4. Diketahui 2sintan
l im3
0A
xx
x
x, maka tentukan nilai dari A + 2.
5. Tentukan nilai a dan b yang memenuhi persamaan :
a. 2sin
cosl im
0 xbx
xa
x
b. 2
1
coslim
2x
bax
x
c. 11cos
sinl im
0 x
bxax
x
6. Tentukan nilai dari :
a. 20
cos1l im
x
x
x
b. x
xx
x
sin1sin1l im
0
c. x
x
x s in
1l im
2
1
d. p
p
p 20 sin
22cos1lim
--------------------------------------------------------------------------------------SMA Santa Angela
Limit Fungsi Trigonometri XI IPA ====================== 11
Latihan Soal
SOAL PENYELESAIAN
1. UN 2011 PAKET 12
Nilai xx
x
x 2sin2
2cos1l im
0= …
a. 81 d.
21
b. 61 e. 1
c. 41
Jawab : d
2. UN 2011 PAKET 46
Nilai x
x
x 4cos1
2cos1l im
0= …
a. 21 d.
161
b. 41 e.
41
c. 0
Jawab : e
3. UN 2010 PAKET A
Nilai dari x
xx
x 5
3sin4cosl im
0= ….
a. 35 d.
51
--------------------------------------------------------------------------------------SMA Santa Angela
Limit Fungsi Trigonometri XI IPA ====================== 12
b. 1 e. 0
c. 53
Jawab : c
4. UN 2010 PAKET B
Nilai dari x
xx
x 6
5sinsinl im
0= ….
a. 2 d. 31
b. 1 e. –1
c. 21
Jawab : b
5. UN 2009 PAKET A/B
Nilai dari )62cos(22
96lim
2
3 x
xx
x adalah ..
a. 3 b. 1
c. 21
d. 31
e. 41
Jawab : e
6. UN 2007 PAKET A
--------------------------------------------------------------------------------------SMA Santa Angela
Limit Fungsi Trigonometri XI IPA ====================== 13
Nilai x
xx
x 6cos1
3sin2lim
0= …
a. –1 d. 3
1
b. –3
1 e. 1
c. 0
Jawab : d
7. UN 2007 PAKET B
Nilai 23
)2sin(2
2lim
xx
x
x= …
a. –2
1
b. –3
1
c. 0
d. 2
1
e. 1
Jawab : e
8. UN 2006
Nilai
26
6sincos
lim
3
x
x
x
= …
a. –2
1 3 d. –2 3
b. –3
1 3 e. –3 3
--------------------------------------------------------------------------------------SMA Santa Angela
Limit Fungsi Trigonometri XI IPA ====================== 14
c. 3
Jawab : c
9. UN 2005
Nilai )32(2
12sin2
0lim
xxx
x
x= …
a. –4 b. –3 c. –2 d. 2 e. 6
Jawab : c
10. UN 2004
Nilai 2
0
4cos1lim
x
x
x= …
a. –8 b. –4 c. 2 d. 4 e. 8
Jawab : e
11. UAN 2003
Nilai dari xx
x
x sincos
2cosl im
4
= …
a. – 2
b. –21 2
c. 21 2
--------------------------------------------------------------------------------------SMA Santa Angela
Limit Fungsi Trigonometri XI IPA ====================== 15
d. 2
e. 2 2
Jawab: d
12. EBTANAS 2002
....
4
1
cos
1
sin
1
lim
4
1x
xx
x
a. –2 2 d. 2
b. – 2 e. 2 2
c. 0
Jawab : a
13. EBTANAS 2002
Nilai dari xx
xx
x 2tan
5coscoslim
0= …
a. –4 b. –2 c. 4 d. 6 e. 8
Jawab : d
14. Nilai ba
ba
ba
2cos2coslim adalah ....
a. – 4 sin 2b b. – 2 sin 2b c. sin 2b d. 2 sin 2b e. 4 sin 2b
--------------------------------------------------------------------------------------SMA Santa Angela
Limit Fungsi Trigonometri XI IPA ====================== 16
15. Jika diketahui
x
xxp
x 2
sin1sin1lim
0 dan
xxxxqx
22 44lim , maka
nilai p + q adalah .... a. 2 b. 1 c. 0
d. 2
1
e. 4
1
16. Nilai dari x
xx
x 5
3sin4cosl im
0= ….
a. 35
b. 1
c. 53
d. 51
e. 0
17. Nilai )32(2
12sinlim
20 xxx
x
x= …
a. –4
b. –3
c. – 2
d. 2
--------------------------------------------------------------------------------------SMA Santa Angela
Limit Fungsi Trigonometri XI IPA ====================== 17
e. 6
18. Nilai 23
)2sin(l im
22 xx
x
x= …
a. –2
1
b. 31
c. 0
d. 2
1
e. 1
19. Nilai 26
6
3
sincosl im
xx
x= …
a. 32
1
b. 33
1
c. 3
d. 32
e. 33
20. Nilai dari )62cos(22
96lim
2
3 x
xx
x adalah ....
a. 3
b. 1
--------------------------------------------------------------------------------------SMA Santa Angela
Limit Fungsi Trigonometri XI IPA ====================== 18
c. 2
1
d. 3
1
e. 4
1
--------------------------------------------------------------------------------------SMA Santa Angela
Limit Fungsi Trigonometri XI IPA ====================== 19
Daftar Pustaka
Nanang Priatna, Mathematics 2. Grafindo.
Sukino, Matematika XI IPA 2B. Penerbit Erlangga.
Sartono Wirodikromo, Matematika XI IPA. Penerbit Erlangga.
Sobirin, Fokus Matematika SMA. Penerbit Erlangga
--------------------------------------------------------------------------------------SMA Santa Angela
Limit Fungsi Trigonometri XI IPA ====================== 20