Funciones:
Manual de teoría:
FuncionesMatemática Bachillerato
Realizado por José Pablo Flores Zúñiga
José Pablo Flores Zúñiga
Manual de teoría:Funciones Matemática Bachillerato
Realizado por José Pablo Flores Zúñiga
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Manual de teoría:
Matemática Bachillerato
Realizado por José Pablo Flores Zúñiga
Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 2
Contenido: 2) Funciones
� 2.1 Conceptos Básicos de Funciones � 2.2 Función Lineal � 2.3 Rectas � 2.4 Función Cuadrática � 2.5 Función Exponencial � 2.6 Función Logarítmica
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Funciones 2.1 Conceptos básicos: Función: Dados dos conjuntos no vacíos, A y B, se llama función de A en B, a la correspondencia que asocia a todo elemento del conjunto A con un único elemento del conjunto B. Preimagen: Si BAff →:, es una función, los elementos del conjunto A se llaman preimágenes. Imagen: Si BAff →:, es una función, los elementos del conjunto B a quienes se les ha hecho corresponder al menos algún elemento del conjunto A se les llaman imágenes. Si “y” es el correspondiente de “x” por f se expresa como: )(xfy = Dominio: Si BAff →:, es una función. Al conjunto A se llama dominio o conjunto de partida de la función. Codominio: Si BAff →:, es una función. El conjunto B se llama codominio o conjunto de llegada de la función. Ámbito o Rango: Si BAff →:, es una función. Se llama rango o ámbito de f al conjunto de imágenes de la función. Criterio: Si BAff →:, es una función y la correspondencia obedece a alguna ley general para cada uno de los elementos del dominio, se expresa por )(xfy = Y se llama criterio de asociación de la función.
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-10 10
-10
10
x
y
Gráfico: Si BAff →:, es una función, el conjunto de pares ordenados ),( yx en donde Ax∈ y By∈ , se llama gráfico de la función. Gráfica: Si BAff →:, es una función, A y B son subconjuntos de los números reales, la representación de los elementos del gráfico en un sistema coordenado cartesiano XY, se le llama gráfica de la función. Variables dependientes y variables independientes: Si
BAff →:, es una función con )(xfy = . “x” recibe el nombre de variable independiente. “y” recibe el nombre de variable dependiente. Estas variables se localizan en la gráfica de la función. Ejemplo: Sea IRIRff →:, tal que 3)( += xxf El dominio es IR El codominio es IR Imagen de 2: se sustituye en la x: 532)2( =+=f Preimagen de -1: se iguala a la función: 431 −=⇒+=− xx Criterio: 3+= xy Rango: IR Ejemplo Gráfico x -4 -1 0 3 y -1 2 3 6 Gráfica: Observe a la derecha:
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Dominio Máximo de una función Real Se analizarán cuatro casos: Caso 1: Funciones Fraccionarias: En este caso el denominador nunca podrá ser cero. Analizamos que valores hacen que el denominador se haga cero o sea donde se indefine la función. Ejemplos:
a) 12
6)(
−
−=x
xxf
Entonces el denominador lo igualamos a cero:
2
1
012
=
=−
x
x
El dominio máximo es:
−2
1IR
b) 1
1)(
2+−
−=
xx
xxg
012=+− xx
Puesto que { }=S no hay indefiniciones: el dominio máximo es: IR Caso 2: Funciones Radicales en el numerador: Analizaremos raíces de índice par, las de índice impar el dominio es IR . Recuerde que el subradical debe ser positivo o cero. Ejemplos: a) 3)( += xxf Entonces el subradical debe ser positivo o cero 03 ≥+x
3−≥x El dominio máximo es: [ [+∞− ,3
Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 6
b) xxg 25)( −=
2
5
52
025
≤
−≥−
≥−
x
x
x
El dominio máximo es:
∞−2
5,
Caso 3: Funciones Radicales en el denominador: Recuerde que si el denominador es cero se indefine la función. Se trabaja como el método anterior pero el subradical debe ser mayor que cero, o sea sólo positivo. Ejemplos:
a) 4 35
5)(
+
+=
x
xxf
5
3
35
035
−>
−>
>+
x
x
x
El dominio máximo es:
∞+
−,
5
3
b) x
xxg
−=1
)(
1
1
01
<
−>−
>−
x
x
x
El dominio máximo es: ] [1,∞−
Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 7
Caso 4: Radicales en el numerador y fraccionarias Se analizan los dos casos por aparte Ejemplos:
a) 152
2)(
2−+
+=
xx
xxf
Analizamos el radical
2
02
−≥
≥+
x
x
[ [+∞− ,2 Analizamos el denominador:
01522=−+ xx Quedando una ecuación cuadrática
3
5
2
1
=
−=
x
x
Ahora analizamos: [ [+∞−∈− ,25 ? Como no pertenece se descarta
[ [+∞−∈ ,23 ? En este caso si pertenece y como 3 indefine al denominador. El dominio máximo es: [ [ { }3,2 −+∞− Observe que queda el intervalo del radical que no indefine menos las indefiniciones del denominador.
b) 652
)(+−
=xx
xxg
[ [+∞
≥
,0
0x
Como [ [ [ [+∞∈+∞∈ ,03,02 y El dominio máximo es: [ [ { }3,2,0 −+∞
2
3
065
2
1
2
=
=
=+−
x
x
xx
Funciones:
Función creciente y decreciente Si x < y además fSi x > y además fAdemás existen funciones que tienen intervalos donde crecen o decrecen, además también puede mantenerse constante, en otras palabras no crece ni decrece.Se analiza en el dominio, si es Ejemplos: a)
Decrece: ] [2,−∞− Se mantiene constante en: Crece: ] [+∞,5 Ámbito: [ [+∞,3 b) xxf =)( es creciente:
-10
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Función creciente y decreciente
)()( yfxf < es creciente )()( yfx > es decreciente
Además existen funciones que tienen intervalos donde crecen o decrecen, además también puede mantenerse constante, en otras palabras no crece ni decrece.Se analiza en el dominio, si es gráfica, en las x.
Se mantiene constante en: ] [5,2−
es creciente:
-10 10
-10
10
x
y
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Además existen funciones que tienen intervalos donde crecen o decrecen, además también puede mantenerse constante, en otras palabras no crece ni decrece.
Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 9
-10 10
2
10
x
y
c) 2)( xxf =
Decrece: ] [0,∞− Crece: ] [+∞,0
Función Sobreyectiva: Es aquella función en la cual el ámbito coincide con el codominio. Función Inyectiva: Es aquella función tal que cada segmento del codominio que es imagen de al menos un elemento del dominio, la es de una única preimagen. Función Biyectiva: Es aquella función que es inyectiva y sobreyectiva a la vez. De estos últimos tres conceptos lo más importante es que una función biyectiva tiene inversa, en las funciones estudiadas por bachillerato, las funciones biyectivas son las lineales, exponencial y logarítmica y recuerde que tienen su función inversa. La función cuadrática no es biyectiva. Función Inversa: Si BAff →:, es una función biyectiva. Entonces existe
una función inversa denotada por 1−f tal que:
ABff →−− :, 11
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Observemos el siguiente gráfico:
3)( += xxf x -4 -1 0 3 y -1 2 3 6
)(1 xf − x -1 2 3 6 y -4 -1 0 3 Note que los puntos en la inversa se alternaron con respecto a la función. Ahora veamos la gráfica:
La que esta más arriba es )(xf y la de abajo )(1 xf − note la simetría de ambas funciones. Siempre xy = va a ser el eje se simetría de una función y su inversa.
Ahora observamos la gráfica de xxf 3)( = y su inversa xy3
log=
-10 10
-10
10
x
y
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Observa la simetría de ambas funciones y el eje de simetría y = x Determinación de la función inversa: Si se tiene el criterio de una función. Se despeja de ella la variable x en términos de y. Ejemplos: a) 32 += xy Entonces despejamos x:
xy
xy
xy
=−
=−
+=
2
3
23
32
Ahora cambiamos y por x
La función inversa es: 2
3−=x
y
-10 10
-10
10
x
y
Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 12
b) xy −= 5
xy
xy
xy
=−
−=−
−=
5
5
5
Entonces la inversa es: xy −= 5
c) xy 2= más adelante en este capítulo sabrá que es una función exponencial y la inversa es la logarítmica
La inversa es: xy2
log=
d) xy ln=
La inversa es: xey =
e) si 62 += xy calcule )0(1−f Lo que piden es la imagen en la inversa de 0. Entonces si 0 es preimagen, en la función inversa 0 es imagen. Note que igualamos a 0 la función:
x
x
x
=−
=−
+=
3
26
620
3)0(1 −=−f
f) si 13 −= xy Cuánto es la preimagen de 5 en la inversa. Entonces sustituimos el 5 en la función:
14153 =−•=y En la función inversa: la preimagen de 5 es 14
Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 13
Ejercicios: Determine el dominio máximo de:
1) 67
2)(
2++
=xx
xxf
2) 8 25)( xxf −=
3) 12
62)(
+
+=
x
xxf
4) 1432
8911)(
2
6
−−
−=
xx
xxf
Determine el criterio de la función inversa:
1) 465
1+= xy
2) xy 10=
3) x
2
1log
Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de:
-10 10
-10
10
x
y
62+−= xy
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2.2 Función Lineal La función lineal estándar viene dada de la forma: Donde m se llama pendiente y b intersección Análisis de la función lineal Es una función biyectiva y por lo tanto tiene inversa Si 0>m es estrictamente creciente Si 0=m es constante Si 0<m es estrictamente decreciente. Si 01 == bym o sea: xxf =)( se llama función identidad Interseca al eje y en (0, b)
Interseca al eje x en
−0,
m
b
Dominio: IR Rango: IR Si se tienen dos puntos: ( ) ( )2211 ,, yxyyx
Entonces la pendiente es: 12
12
xx
yym
−
−= y la intersección
viene dada por: mxyb −= Ejemplo: Si se tienen: ( ) ( )3,11,2 −y entonces:
3
2
3
2
21
13−=
−=
−−
−=m
12313
23 =−=−•−−=b
El criterio de la función es: 13
2+−= xy
Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 15
-10 10
-10
10
x
y
-10 10
2
10
x
y-10 10
-10
10
x
y
1) Analicemos la función: 511)( −= xxf Como 011>=m Es estrictamente creciente Interseca al eje y en ( ) ( )5,0,0 −=b
Interseca al eje x en
=
−0,
11
50,
m
b
Dominio: IR y Rango: IR Gráfica: Ver a la derecha: 2) Analicemos: xxh −=)(
0)( +−= xxh 01<−=m Es estrictamente decreciente
Interseca al eje y en ( )0,0 Interseca al eje x en )0,0( Dominio: IR y Rango: IR Gráfica: Ver a la derecha: 3) Analicemos: 3)( =xg
0=m Es constante Interseca al eje y en ( )3,0 No interseca al eje x Dominio: IR y Rango: IR Gráfica: Ver a la derecha: Ejercicios: Analice las funciones y realice un gráfico y gráfica de: a) 62)( += xxf b) 34)( +−= xxd c) 3)( −=xj
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2.3 Rectas: En una gráfica pueden venir varias funciones lineales y recuerden que son rectas, por lo tanto vienen dadas por la forma de bmxy += . En caso de que vengan de la forma:
dcbyax =++ , hay que transformarlas a la forma estándar de bmxy += despejando y. Rectas paralelas: Son funciones lineales que tienen la misma pendiente. Ejemplo: 13:53: 21 −=+= xyyxy ll tienen la misma pendiente por lo que las rectas son paralelas 1l ║ 2l Rectas perpendiculares: Son funciones lineales que las pendientes son recíprocas y de signos contrarios. Quiere decir que si multiplica las pendientes da menos uno.
Ejemplo: 13
1:53: 21 −
−=+= xyyxy ll Las pendientes son
recíprocas y opuestas, quiere decir que: 13
13 −=
−•
Entonces 21 ll ⊥ Rectas oblicuas: Son funciones lineales que no son paralelas ni perpendiculares. Rectas concurrentes: Son dos rectas que se intersecan en un punto. Entonces son rectas concurrentes las perpendiculares o oblicuas.
Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 17
Ejemplos a) 13:53: 21 −=+= xyyxy ll rectas paralelas
b) 13
1:53: 21 −
−=+= xyyxy ll rectas perpendiculares
c) 12:53: 21 −−=+= xyyxy ll rectas oblicuas
-10 10
-10
10
x
y
-10 10
-10
10
x
y
-10 10
-10
10
x
y
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Ejercicios resueltos:
a) Si los puntos: )1,2()2,3( y− pertenecen a una recta 1l y es paralela a una recta 2l que tiene el punto: ( )1,5 −− Determine los criterios de la rectas.
Podemos comenzar con encontrar el criterio de la recta 1l
5
7
5
212
5
11
5
1
32
21
=+=•−
−=
−=
−−
−=
b
m
El criterio de 1l es 5
7
5+
−=
xy
Puesto que 2l es paralela a 1l entonces las pendientes son la misma:
5
1−=m
Entonces calculamos la intersección con el punto dado:
21155
11 −=−−=−•
−−−=b
El criterio de la recta 2l es 25
−−
=x
y
b) Si se tienen que los puntos: )1,1()3,1( y− pertenecen a
una recta 1l y es perpendicular a una recta 2l que tiene el punto: ( )5,3 Calcular los criterios de las rectas:
Comencemos por encontrar el criterio de 1l
12
2
11
31−=
−=
−−
−=m El criterio de 1l es: 2+−= xy
213113 =−=−•−−=b Puesto que las rectas son perpendiculares, las pendientes son opuestas y recíprocas. Podemos calcular la pendiente de la otra recta 2l
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-10 10
-10
10
x
y
-10 10
-10
10
x
y
1
11
2
2
=
−=•−
m
mLa pendiente de la recta 2l es 1
Ahora calculamos la intersección:
235315 =−=•−=b El criterio de 2l es 2+= xy
c) si el criterio de la recta 1l es 62 += xy y el criterio de la recta 2l es: 3+−= xy Calcular el punto de intersección de ambas rectas:
Como es el punto de intersección es donde la preimagen e imagen son comunes en las rectas. En donde se igualan: Si 62 += xy además 3+−= xy para encontrar el punto igualamos:
1
33
632
362
−=
−=
−=+
+−=+
x
x
xx
xx
Y calculamos el valor de la imagen de -1 en cualquiera de las dos funciones:
4
431)1(
=
=+−−=−
y
f
El punto de intersección es: ( )4,1− recuerde ( )yx,
Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 20
Ejercicios: a) Determine el punto de intersección de las siguientes rectas: 1) 52 += xy y 411 +−= xy 2) 43 −= xy y 2−= xy
3) 4
5
3
1−= xy y 4
3
2+
−= xy
4) 2132 =−+ yx y 7421 =−+− yx b) Calcule los criterios de las rectas si las rectas son paralelas 1) ( ) ( ) ( ) 21 8,46,23,1 ll ∈−∈− y 2) ( ) ( ) ( ) 21 7,26,43,5 ll ∈∈− y 3) ( ) ( ) ( ) 21 1,03,25,0 ll ∈∈−y c) Calcule los criterios de las rectas si las rectas son perpendiculares 1) ( ) ( ) ( ) 21 8,46,23,1 ll ∈−∈− y 2) ( ) ( ) ( ) 21 8,10,23,0 ll ∈∈y 3) ( ) ( ) ( ) 21 6,25,12,4 ll ∈∈−−y
Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 21
2.4 Función Cuadrática La función cuadrática es de la forma general:
cbxaxxf ++=2)(
Análisis de la función Si 0>a es cóncava hacia arriba Si 0<a es cóncava hacia abajo Interseca al eje y en ( )c,0
Interseca al eje x si 0≥∆ en
∆±−0,
2a
b Entonces puede
tener una o dos intersecciones con el eje x. Tiene dominio: IR
Ámbito:
Vértice:
∆−−
aa
b
4,
2
si 0>a es punto mínimo y si 0<a es un punto máximo
Eje simetría: a
bx
2
−=
Crece:
−∞−<
+∞
−>
a
bcreceasi
a
bcreceasi
2,:0
,2
:0
Decrece:
+∞
−<
−∞−>
,2
:0
2,:0
a
bdecreceasi
a
bdecreceasi
∆−∞−<
+∞
∆−>
aesasi
aesasi
4,:0
,4
:0
Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 22
-10 10
-10
10
x
y
Ejemplos:
a) Analicemos la parábola: 6)( 2−+= xxxf
Puesto que 01>=a es cóncava hacia arriba
25)6)(1(412 =−−=∆
Vértice:
−−
4
25,
2
1 y es punto mínimo
Interseca al eje y en ( )6,0 − Intersecciones con eje x:
2
3
06
2
1
2
=
−=
=−+
x
x
xx
Interseca al eje x en ( )0,3− y ( )0,2
Dominio: IR
Rango:
+∞
−,
4
25
Eje de simetría en 2
1−=x
Crece en:
+∞
−,
2
1
Decrece en:
−∞−2
1,
Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 23
-4 4
-10
2
x
yb) analizar la función: 1)( 2+−= xxf
Como 01<−=a es cóncava hacia abajo 4)1)(1(40 =−−=∆
Vértice: ( )1,0 y es un punto máximo Interseca al eje y en ( )1,0 Interseca al eje x en: ( )0,1− y ( )0,1 Dominio: IR Rango: ] ]1,∞− Eje de simetría: 0=x o sea el eje y Crece: ] [0,∞− Decrece: ] [+∞,0 Ejercicios: Analice las siguientes funciones, construya un gráfico y su gráfica: 1) 642)( 2
++= xxxf 2) 2)( xxf =
3) 622)( 2−+−= xxxf
4) 2)( xxf −=
Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 24
-4 4
2
10
x
y
10y
2.5 Función Exponencial
La función exponencial posee la forma: xaxf =)( Recuerde que es biyectiva y por lo tanto tiene función inversa que es la logarítmica. Análisis de la función: Dominio: IR Codominio: +
IR Si 1>a es estrictamente creciente Si ] [1,0∈a es estrictamente decreciente Interseca el eje y en ( )1,0 No interseca al eje x Tiene asíntota al eje x Ejemplos:
a) Analizar la función: xxf −= 3)(
Debemos llevarla a la forma estándar: x
xxf
==
−
3
13)(
Dominio: IR Codominio: +
IR
] [1,03
1∈=a
Es estrictamente decreciente Interseca al eje y en ( )1,0 Tiene asíntota al eje x
b) Analizar la función: xxh π=)(
Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 25
Dominio: IR Codominio: +
IR 1>= πa
Es estrictamente creciente Interseca al eje y en ( )1,0 Tiene asíntota al eje x
c) Si ] ] +→∞− IRff 0,:, para xexf =)( ¿Cuál es el rango?
Para este tipo de ejercicios, sugiero hacerse una gráfica sabiendo si es creciente o decreciente, en este caso es creciente. No importa si no corresponde a la gráfica correcta, solo si es creciente o decreciente. Nos puede servir la gráfica del ejercicio anterior porque es creciente. Observe que para dominio ] ]0,∞− el rango va de: ] ]1,0
d) Si ] ] +→+∞ IRff ,0:, para xexf =)( ¿Cuál es el rango?
Como en el ejercicio anterior, observe que si el dominio es: ] ]+∞,0 El rango es: [ [+∞,1
Ejercicios: Analice las funciones, realice un gráfico y gráfica.
1) xexf =)(
2) ( )xxf 2ln)( =
Note que 2ln es un número y no una función.
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2 10
-4
4
x
y
2.6 Función Logarítmica La función logarítmica tiene la forma: x
axf log)( = Recuerde que es una función biyectiva y por lo tanto tiene inversa a la función exponencial. Análisis de la función: Dominio: +
IR Codominio: IR Si 1>a es estrictamente creciente Si ] [1,0∈a es estrictamente decreciente Interseca el eje x en ( )0,1 No interseca al eje y Tiene asíntota al eje y Ejemplos:
a) Analizar la función: xxf 5log)( =
Dominio: +IR
Codominio: IR 15 >=a
Es estrictamente creciente Interseca el eje x en ( )0,1 Tiene asíntota al eje y
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2 10
-4
4
x
y
b) Analizar la función: xxj ln)( −= Debemos llevarla a la forma estándar:
x
e
xxj1
logln)( =−=
Dominio: +IR
Codominio: IR
] [1,01
∈=e
a
Es estrictamente decreciente Interseca el eje x en ( )0,1 Tiene asíntota al eje y
c) Si ++→ IRIRff :, para xxf ln)( −=
¿Cuál es el dominio? Observando la gráfica en el ejercicio anterior, observe que
si el rango es: +IR el dominio es: ] [1,0
d) d) Si −+→ IRIRff :, para xxf ln)( −=
¿Cuál es el dominio? Observando la gráfica en el ejercicio anterior, observe que si el rango es: −IR el dominio es: ] [∞+,1
Ejercicios: Analizar las funciones, realizar un gráfico y una gráfica 1) xxf log)( =
2) xxf
6
5log)( =