2018.12018.1
F u n
d a m e n
t o s
D E
C I Ê N C I A S
E X A T A S
Maricélia SoaresMaricélia SoaresUAM – Universidade AnhembiUAM – Universidade Anhembi
MorumbiMorumbi
Raimundo AlmeidaRaimundo AlmeidaUNIFACS – Universidade SalvadorUNIFACS – Universidade Salvador
1
Material referencial para uso na Material referencial para uso na disciplina Fundamentos de Ciências Exatas.disciplina Fundamentos de Ciências Exatas.
Contribuições:Contribuições:
Danilo Sande
Hugo Vasconcelos
Ivana Barreto Matos
João Tiago Assunção
Julianna Pinele Porto
Ricardo Noburo Igarashi
2
SUMÁRIOSUMÁRIO
Fundamentos ..................................................................................................... 0
1 ARITMÉTICA .............................................................................................. 6
Números Fracionários ........................................................................... 6
1.1.1 Operações com Frações ................................................................ 7
Potenciação em Z ............................................................................... 11
1.2.1 Propriedades da Potenciação em Z .............................................. 12
Radiciação em Z ................................................................................. 13
1.3.1 Propriedades da Radiciação em Z ................................................ 14
1.3.2 Simplificação de Radicais ............................................................. 15
1.3.3 Operações com Radicais .............................................................. 16
2 EXPRESSÕES ALGÉBRICAS E POLINÔMIOS ....................................... 24
Definição: Expressões Algébricas e Polinômios ................................. 24
2.1.1 Divisão de Polinômios .................................................................. 24
3 GRANDEZAS, PADRÕES E UNIDADES .................................................. 31
Introdução ........................................................................................... 31
O Sistema Internacional de Unidades (SI) .......................................... 31
Algarismos Significativos ..................................................................... 34
3.3.1 Determinando os algarismos significativos de um número ........... 36
Arredondamento de Números ............................................................. 37
Potências de Base 10 ......................................................................... 38
3.5.1 Prefixos das Potências de Base 10 .............................................. 39
Notação Científica ............................................................................... 40
Ordem de Grandeza............................................................................ 41
D07. Cálculo da quantidade de soja exportada pelo Brasil. ...................... 52
D08. Cálculo do volume do reservatório que atenderá às necessidades deuma família. ............................................................................................... 53
4 FUNÇÕES: NOÇÕES GERAIS ................................................................. 55
Conceito .............................................................................................. 55
4.1.1 Intervalos numéricos ..................................................................... 55
Noção intuitiva de função .................................................................... 56
Definição de função............................................................................. 56
4.3.1 Definição .......................................................................................... 57
4.3.2 Domínio, Contradomínio e Imagem .................................................. 58
3
A aplicação apresentada pode ser classificada como uma função? Nessecaso, através do diagrama de Venn (figura 3) é possível determinar o seudomínio, contradomínio e imagem? .............................................................. 58
Plano Cartesiano e esboço de gráfico de funções .............................. 59
Construção Gráfica ............................................................................. 60
Toda curva esboçada num plano representa o gráfico de uma função? ...... 61
Análise do gráfico de uma função ....................................................... 62
Movimentação gráfica ......................................................................... 64
4.7.1 Movimentos de Translações: ........................................................... 64
4.7.2 Movimentos de Reflexões: ............................................................... 64
Gráficos de funções elementares ........................................................ 66
5 FUNÇÕES AFINS E QUADRÁTICAS ....................................................... 81
Função Afim ........................................................................................ 81
5.1.1 Raiz de uma função afim .............................................................. 81
5.1.2 Gráfico de uma função afim .......................................................... 82
5.1.3 Crescimento e Decrescimento de uma função afim ..................... 83
Função Quadrática .............................................................................. 84
5.2.1 Raízes de uma Função Quadrática .............................................. 84
5.2.2 Gráfico de uma função quadrática ................................................ 85
6 CINEMÁTICA: NOÇÕES GERAIS ............................................................ 93 Introdução ........................................................................................... 93
Conceitos Fundamentais ..................................................................... 93
7 MOVIMENTOS RETILÍNEOS ................................................................. 106
Movimento Uniforme ......................................................................... 106
7.1.1 Funções Horárias ....................................................................... 106
Movimento Uniformemente Variado .................................................. 114
7.2.1 Funções Horárias ....................................................................... 114
8 EXPONENCIAIS E LOGARITMOS ......................................................... 121
Funções Exponenciais ...................................................................... 121
Gráfico de uma função exponencial .................................................. 121
Logaritmos ........................................................................................ 123
Propriedades dos Logaritmos ........................................................... 125
Funções Logarítmicas ....................................................................... 126
O Número de Nepper ........................................................................ 128
9 TRIGONOMETRIA .................................................................................. 134
Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo .......................... 134
Relações entre Seno, Cosseno e Tangente (propriedades) ............. 135
Seno, Cosseno e Tangente dos Ângulos Notáveis ........................... 135
4
Estudo da Circunferência Trigonométrica ......................................... 144
9.4.1 Introdução ................................................................................... 144
9.4.2 Conceitos Trigonométricos Básicos ............................................ 144
9.4.3 Circunferência Trigonométrica .................................................... 150
9.4.4 Arcos Côngruos ou Congruentes................................................ 151
Funções Trigonométricas .................................................................. 155
9.5.1 Função seno ............................................................................... 155
9.5.2 Função cosseno ......................................................................... 156 9.5.3 Função tangente ......................................................................... 157
9.5.4 Outras funções Trigonométricas ................................................. 158
10 GEOMETRIA ....................................................................................... 163
Formas Geométricas Bidimensionais ............................................ 163
10.1.1 Triângulo ................................................................................. 163
10.1.2 Paralelogramo ......................................................................... 164
10.1.3 Trapézio .................................................................................. 165
10.1.4 Polígonos ................................................................................ 165
10.1.5 Círculo ..................................................................................... 167
Formas Geométricas Tridimensionais............................................ 170
10.2.1 Prisma ..................................................................................... 170
10.2.2 Pirâmide .................................................................................. 172
10.2.3 Cilindro .................................................................................... 174
10.2.4 Cone ........................................................................................ 174
10.2.5 Esfera ...................................................................................... 175
Resumo .......................................................................................... 179
11 VETORES ........................................................................................... 180
Noção Intuitiva ............................................................................... 180
12 LEIS DE NEWTON .............................................................................. 187
Introdução ...................................................................................... 187
Força .............................................................................................. 187
12.2.1 Força Resultante ..................................................................... 188
Equilíbrio ........................................................................................ 188 Princípio da Inércia ou 1ª Lei de Newton ....................................... 189
Massa de um Corpo ....................................................................... 190
Princípio Fundamental da Dinâmica ou 2ª Lei de Newton ............. 191
Medida de uma Força .................................................................... 192
Princípio da Ação e Reação ou 3ª Lei de Newton ......................... 192
Forças Especiais ............................................................................ 194
5
12.9.1 A Força Peso ........................................................................... 194
12.9.2 Força de Atrito ......................................................................... 195
12.9.3 Força de atrito estático ............................................................ 195
12.9.4 Força de atrito cinético ............................................................ 196
13 APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON .............................................. 203
Introdução ...................................................................................... 203
Equilíbrio ........................................................................................ 203
Equilíbrio Estático .......................................................................... 204 Equilíbrio Dinâmico ........................................................................ 207
Dinâmica ........................................................................................ 209
13.5.1 Plano Horizontal ...................................................................... 209
13.5.2 Plano Inclinado ........................................................................ 211
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................... 219
6
11 ARITMÉTICAARITMÉTICA
Números FracionáriosNúmeros Fracionários
Números fracionários são números que representam uma
ou mais partes de uma unidade que foi dividida em partes iguais.
Os números fracionários são representados por dois
números inteiros (termos da fraçãotermos da fração) separados por um traço
horizontal (traço de fraçãotraço de fração).
O número de cima (numeradornumerador) pode ser qualquer
número inteiro e o número de baixo (denominadordenominador) deverá ser
diferente de zero.
Exemplos de alguns tipos de fração:
• Fração Própria: o numerador é menor que o denominador. Exemplo:43
.
• Fração Imprópria: o numerador é maior que o denominador. Exemplo:29
.
• Fração Mista ou Numeral Misto: constituída por uma parte inteira e uma fracionária.Exemplo:
31
2 .
• Frações Equivalentes: frações que mantêm a mesma proporção de outra fração. Exemplo:
25
e4
10.
• Fração Irredutível: não pode ser simplificada. Exemplo:34
.
• Fração Decimal: o denominador é uma potência de base 10. Exemplo:100
8.
Qualquer número escrito na forma de fração Qualquer número escrito na forma de fração é um númeroé um númerofracionário?fracionário?
Pode parecer estranho, mas a resposta é nãonão!
Primeiro porque a definição diz que números fracionários são números querepresentam uma ou mais partes de um todo.
Por exemplo, o número2
10, que está escrito na forma de fração não é um
número fracionário, porque representa o número 5 e este não é parte de um todo.
Também o número32 está escrito na forma de fração, mas não é um número
fracionário, porque o numerador não é um número inteiro.
7
1.1.11.1.1 Operações com FraçõesOperações com Frações
AdiçãoAdição
A soma ou adição de frações requer que todas as frações envolvidas possuam o mesmo
denominador. Se inicialmente todas as frações já possuírem um denominador comum, basta que
realizemos a soma de todos os numeradores e mantenhamos este denominador comum.
Exemplos:a) Adição de frações com os mesmos denominadores:a) Adição de frações com os mesmos denominadores: ?
73
72
71
=++
Podemos observar que todas elas possuem o denominador 7.
Neste caso a fração final terá como numerador a soma dos números 1, 2 e 3, assim como
terá o mesmo denominador 7.
Portanto:76
7321
73
72
71
=++
=++
b) Adição de frações com denominadores distintosb) Adição de frações com denominadores distintos
Através de Frações Equivalentes:Através de Frações Equivalentes: ?
5
4
3
2=+
O uso das frações equivalentes para somar ou subtrair frações é um recurso muito bom.
Vamos analisar passo a passo o procedimento.
1º Passo1º Passo: As frações não possuem o mesmo denominador. Então precisamos encontrar um
denominador igual (comum) que é um múltiplo de 3 e 5 ao mesmo tempo.
Múltiplos de 3 e 5 (sem considerar o zero): 15, 30, 45,...
Logo um desses múltiplos pode ser o denominador das frações equivalentes. Vamos escolher o
número 1515.
2º Passo2º Passo: Nessa etapa vamos descobrir o termo que falta para tornar as frações equivalentes.
32 =
15?
(33 5 = 15. Logo o numerador da fração equivalente deve ser multiplicado por 5 = 15. Logo o numerador da fração equivalente deve ser multiplicado por
55).
É o número 1010. Então32 será substituída por
1510
.
54 =
15?
(5(5 3 = 15 3 = 15. Logo o numerador da fração equivalente deve ser multiplicado por Logo o numerador da fração equivalente deve ser multiplicado por 33).
É o número 1212. Então54 será substituída por
1512
.
8
Deste modo, a soma54
32
+ será substituída por1522
1512
1510
=+ .
Através do MMC (Mínimo Múltiplo Através do MMC (Mínimo Múltiplo Comum):Comum): ?133
52
31
=++
Neste caso não podemos simplesmente realizar a soma dos numeradores.
Primeiramente devemos converter todas as frações ao mesmo denominador.
O denominador escolhido será o mínimo múltiplo comum dos denominadores.
Deste modo o MMC(3, 5, 13) = 195 e todas as frações terão este denominador comum.
O novo numerador de cada uma delas será apurado, dividindo-se 195 pelo seu denominador
atual e em seguida multiplicando-se o produto encontrado pelo numerador srcinal.
• Para31temos que: 195 ÷ 3 × 1 = 65, logo:
19565
31
= .
• Para52
temos que: 195 ÷ 5 × 2 = 78, logo:
19578
52
= .
• Para133 temos que: 195 ÷ 13 × 3 = 45, logo:
19545
133
= .
Obtemos assim, três frações equivalentes às frações srcinais sendo que todas contendo o
denominador 195. Agora resta-nos proceder como no primeiro exemplo:
195188
195457865
19545
19578
19565
=++
=++
No caso de adição de frações mistas devemos colocar a parte fracionária toda com o
mesmo denominador e depois realizarmos separadamente a soma das partes inteiras e das partes
fracionárias:
2419
9243
52416
481
532
4 =+=+
Podemos também transformar as frações mistas em impróprias antes de realizarmos a operação
de soma:
24235
24123112
841
314
81
840
32
312
81
532
4 =+
=+=
++
+=+
3, 5, 13
1, 5, 13
1, 1, 13
1, 1, 13
3
5
13
3·5·13 =3·5·13 = 195195
=
9
SubtraçãoSubtração
A diferença ou subtração de frações, assim como a adição, também requer que todas as
frações contenham um denominador comum.
Quando as frações possuírem um mesmo denominador, temos apenas que subtrair um
numerador do outro, mantendo-se este denominador comum.
Exemplos:a) Subtração de frações a) Subtração de frações com os mesmos denominadores:com os mesmos denominadores: ?
92
91
98
=−−
Observamos que todas as frações possuem o denominador 9.
Neste caso a fração final terá como numerador a diferença dos numeradores, assim como
irá manter o denominador 9.
Portanto:95
9218
92
91
98
=−−
=−−
b) Subtração de frações b) Subtração de frações com denominadores distintos:com denominadores distintos: ?72
31
98
=−−
Como as frações não possuem todas o mesmo denominador, primeiramente devemos
apurar o MMC(9, 3, 7) para utilizá-lo como denominador comum.Sabemos que o MMC(9, 3, 7) = 63. Logo utilizaremos 63 como o denominador comum.
Como já visto, para encontrarmos as frações equivalentes às do exemplo, que possuam o
denominador igual a 63, para cada uma delas iremos dividir 63 pelo seu denominador e em
seguida multiplicaremos o resultado pelo seu numerador.
• Para98temos que: 63 ÷ 9 × 8 = 56, logo:
6356
98
= .
• Para31
temos que: 63 ÷ 3 × 1 = 21, logo:
6321
31
= .
• Para72temos que: 63 ÷ 7 × 2 = 18, logo:
63
18
7
2= .
Finalmente podemos realizar a subtração:
6317
63182156
6318
6321
6356
72
31
98
=−−
=−−=−−
Assim como na adição, no caso da subtração de frações mistas também devemos colocar a
parte fracionária toda com o mesmo denominador e depois realizarmos separadamente a subtração
das partes inteiras e das partes fracionárias:
10
203
4205
3208
741
352
7 =−=−
Alternativamente podemos transformar as frações mistas em impróprias antes de
realizarmos a operação de subtração:
2083
2065148
413
537
41
412
52
535
41
352
7 =−
=−=
+−
+==−
MultiplicaçãoMultiplicação
Ao menos conceitualmente, a multiplicação ou produto de frações, talvez seja a mais
simples das operações aritméticas que as envolvem.
Diferentemente da adição e da subtração, a multiplicação não requer que tenhamos um
denominador comum. Para realizarmos o produto de frações, basta que multipliquemos os seus
numerados entre si, fazendo-se o mesmo em relação aos seus denominadores.
Exemplos:
a)a)105
8753421
74
52
31
=⋅⋅
⋅⋅=⋅⋅
b)b)
27
40
333
425
3
4
3
2
3
5=
⋅⋅
⋅⋅=⋅⋅
c)c)
3211
2032651
842131
821
431
85
243
7 ==⋅
⋅=⋅=⋅
DivisãoDivisão
A divisão de frações resume-se a inversão das frações divisoras, trocando-se o seu
numerador pelo seu denominador e realizando-se então a multiplicação das novas frações.
Exemplos:
a)a)154
65
7
13
2
5
11
1
13
7:
5
2:
11
1=⋅⋅=
b)b)2740
333425
34
32
35
=⋅⋅
⋅⋅=⋅⋅
c)c)3211
2032651
842131
821
431
85
243
7 ==⋅
⋅=⋅=⋅
=
A multiplicação de fraçõesmistas deve ser precedida daconversão das mesmas em
frações impróprias.
A divisão de frações mistassegue o mesmo princípio, noentanto devemos primeiramente
convertê-las em fraçõesimpróprias.
11
Múltiplas OperaçõesMúltiplas Operações
Assim como nas operações aritméticas com números naturais também nas operações
aritméticas com frações a multiplicação e a divisão têm precedência sobre a adição e a subtração.
Por isto, em expressões compostas que envolvam múltiplas operações, devemos primeiro realizar
as operações de multiplicação e de divisão e por último as operações de soma e subtração.
Exemplo:
1155454
1155195264385
7713
358
31
1113
71
358
31
1311
:71
358
31
1311
:71
7542
31
1311
:71
74
52
31
=−+
=−+
=⋅−+
=−+
=−⋅
⋅+
=−⋅+
Potenciação em ZPotenciação em Z
Potenciação é uma operação unária1 usada em Aritmética para indicar a multiplicação de
uma dada basebase por ela mesma tantas vezes quanto indicar o expoenteexpoente. O uso desta operação é
muito costumeiro, tendo em vista que as potências estão envolvidas em grande variedade de
problemas de cálculo e técnicas estatísticas.
Dados dois números naturais aa e nn, chama-se potência nn de aa, e representa-se por aann, ao
número obtido efetuando o produto de nn fatores iguais a aa.
aann = = aa a a a a ... ... a a
1 Em Matemática, denominamos de unária à operação que possui apenas um operador, ou seja, trata-se de uma função com somenteuma variável de entrada.
Primeiramente executamos a multiplicação.
Em seguida, executamos a divisão.
Agora podemos utilizar o MMC(3, 35, 77) = 1155 como o
denominador comum das frações e realizarmos a soma e a subtração.
n parcelas iguaisn parcelas iguais
12
Chamamos aa de base, nn de expoente e ao resultado da operação aann denominamos potência.
Decorrentes da definição e das propriedades da multiplicação têm-se que:
• 1n = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ ... ⋅ 1 = 1
• 0n = 0
1.2.11.2.1 Propriedades da Potenciação em ZPropriedades da Potenciação em Z
Das propriedades básicas da potenciação de números inteiros, destacamos as seguintes:
Produto de potências de mesma base: Produto de potências de mesma base: ∀a, m, n ∈ Z, temos que:
aamm a ann = a = am + nm + n
Exemplos: a)a) 23 ⋅ 24 = 23+4 = 27 b)b) 3-3 ⋅ 34 = 3-3+4 = 31 = 3 c)c) 105 ⋅ 103 = 108
Quociente de potências de mesma base: Quociente de potências de mesma base: ∀a, m, n ∈ Z, temos que:
nnmmnn
mm
aaaaaa
−=
Exemplos: a)a) 2
12
2
2 14
3
== − b)b) 33333
3 143)4(34
==== +−−−−
−
−33
c)c) 100101010
10 2353
5
=== −
Distributiva em relação ao produto e divisão: Distributiva em relação ao produto e divisão: ∀a, b, m ∈ Z, temos que:
(a(a b) b)mm = a = amm b bmm emm
mmmm
bb
aabbaa
=
Exemplos: a)a) (2 ⋅ 3)3 = 23 ⋅ 33 = 8 ⋅ 27 = 216b)b)
33751
1251
271
5
1
3
153)53(
33333 =⋅=⋅=⋅=⋅ −−−
c)c)925
3
535
2
22
==
d)d)278
3
232
3
33
==
13
Potência de potência: Potência de potência: ∀a, m, n ∈ Z, temos que:
(a(amm))nn = a = amm n n
Exemplos: a)a) (23)2 = 26 = 64 b)b)729
1
3
13)3(
6623 === −− c)c) (102)3 = 106 = 1.000.000
Atenção:Atenção:
• Observe a diferença entre as expressões nm )a( e nma .
Por exemplo: 6422)2( 62323 === ⋅ , enquanto que
512222 93332
=== ⋅ .
• Se n = 1, então: a1 = a. Por exemplo43
43
1
−=
− .
• Se n = 0 e a ≠ 0, então: a0 = 1. Por exemplo 143
0
=
− .
• Se n = -1 e a ≠ 0, então:a1
a 1 =− .
Exemplos: a)a)31
3 1 =− b)b)35
5 / 31
53
1
==
−
c)c)23
3 / 21
32
1
−=−
=
−
−
Radiciação em ZRadiciação em Z
O termo radiciação pode ser entendido como uma operação que, se fornecida uma potência
de um número e o seu grau, pode-se determinar esse número, ou seja, uma operação recíproca à
potenciação.
Dados três números naturais a, b, n tais que a = b
n
. O número b é dito raiz de índice n de ae representa-se pelo símbolo nn aa .
Assim, a = ba = bnn implica que bbaann = ,
onde aa é dito radicando e nn índice do radical, a bb chamamos de raiz enésima.
14
1.3.11.3.1 Propriedades da Radiciação em ZPropriedades da Radiciação em Z
Das propriedades básicas da radiciação, destacamos as seguintes:
Distributiva em relação ao produto e à Distributiva em relação ao produto e à divisão:divisão: ∀a, b, m ∈ Z, temos que:
nnnnnn bbaabbaa ⋅=⋅
e
nn
nnnn
bb
aabbaa
=
Exemplos: a)a) 333 1025 =⋅ b)b)
32
27
8278
3
33 ==
∀a, m, n ∈ Z, temos que:
( ) nn mmnn aaaa =m
Exemplos: a)a) ( ) 222 3 333 ==
b)b) ( ) 32288 5533 5 ===
c)c) ( ) 2555555555 3 33 33 333 663 =⋅=⋅=⋅==
∀a, m, n ∈ Z, temos que:
nn
mmnn mm aaaa =
Exemplos: a)a) ( ) 2222 13
333 === b)b) 8222 33
93 9 ===
∀a, m, n ∈ Z, temos que:
15
nnmmmm nn aaaa ⋅=
Exemplos: a)a) 22646464 6 66233 ==== ⋅
b)b) 10000.10000.10 4 ==
c)c) 63 2525 =
As propriedades são válidas apenas para as divisões e radiciações possíveis.
1.3.21.3.2 Simplificação de RadicaisSimplificação de Radicais
Para viabilizar o trabalho com radicais é conveniente transformá-los, colocando-os na
forma mais simples possível. Essa forma simplificada é obtida através das propriedades dos
radicais.
Vejamos alguns exemplos:
a)a) 10410252252252160 2445 =⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=
160
80
40
20
10
5
1
2
2
2
2
2
5
160 = 2160 = 255 · · 55
16
b)b) 333 33 33 43 222222216 =⋅=⋅==
1.3.31.3.3 Operações com RadicaisOperações com Radicais
Para operar com radicais, usamos suas propriedades e as propriedades operatórias da adição
e multiplicação de números reais (comutativa, associativa e distributiva).
Vejamos alguns exemplos:
a)a) 575)236(525356 =−+=−+
Lembre-se que só é possível adicionar radicais com mesmo índice e mesmo radicando.
b)b) 2182621222323483184 =+=⋅+⋅=+
Observe que neste exemplo, fez-se necessário, inicialmente, o processo de simplificação de
radicais, tendo em vista que só é possível adicionar radicais com mesmo índice e mesmo
radicando.
c)c) ( ) 33333 61532)53(3523 =⋅⋅⋅=⋅
Lembre-se que só é possível o produto de radicais com mesmo índice.
d)d) 2236
24
32
6432:64 ===
De igual modo ao produto, só é possível o quociente de radicais com mesmo índice.
16
8
4
2
1
2
2
2
2
16 = 216 = 244
17
Atividades de AprendizagemAtividades de Aprendizagem
Exercícios TeóricosExercícios Teóricos
E01.E01. Calcule as expressões numéricas e apresente a resposta na forma de fração irredutível:
a)a)
=+− 2
3
1
7
3
b)b) =−83
85
c)c)
=−+
3
2
4
1
6
3
d)d) =+75
43
e)e) =−+91
93
92
f)f) =−125
2 g)g) =+−107
32
154
1h)h)
=+53
251
3
i)i)
=−+109
221
1
j) j)
=−+−43
65
31
21
E02.E02. Efetue as multiplicações e apresente a resposta na forma de fração irredutível:
a)a) =21
.43 b)b) =
43
.79 c)c) =
87
.58 d)d) =
174
.7
17 e)e) =58
.41
.32
f)f) =6
49.
7
2.
5
14 g)g) =16
45.
3
1.
15
8 h)h) =3
14.
9
4.
7
3 i)i) =2
9.
3
25.
5
6 j)j) =8
5.
14
7.
15
16
E03.E03. Efetue as divisões e apresente a resposta na forma de fração irredutível:
a)a) =32:
54 b)b) =
314:
97 c)c) =
83:
43 d)d) =
1512:
524
e)e) =726
f)f) =2:54 g)g) =
95
:3
10 h)h) =54
:2 i)i) =1725
:34
100
j) j) =
83
2412
E04.E04. Calcule:
a)a) =
2
21
b)b) =
4
31
c)c) =
0
32
d)d) =
5
32
e)e) =
2
23
f)f) =
3
21
1 g)g) =
2
34
h)h) =
0
911
i)i) =
3
21
j)j) =
2
47
2
k)k) =
3
313 l)l) =
2
65 m)m) =
3
87 n)n) =
4
52 o)o) =
1
72
18
E05.E05. Calcule o valor das expressões numéricas:
a)a) =
−+
−
32
45
52
23
b)b) =
−+
−
97
98
65
87
c)c) =
−−
−+
45
47
51
21
1
d)d) =
+−+
+
61
21
241
31
e)e)
−+
−−−
43
131
123
67
=
f)f)
=+
−−+
+
32
85
141
31
21
g)g) =
−−
+
32
45
52
23
h)h)
411
153
:2
13.
16912
22
−
+
=
i)i) =
−
+ 8
778
.34
43
j) j)37
.23
52
.31
53
.21
+− =
k)k)
+−−
51
21
.4
13211
7 =
l)l)
+−
+
51
.21
61
.51
31
.21
51
.21
=
m)m)
+
+
++
41
3.31
12.21
123
=
n)n) 45.
25
7
10
3.
3
2
2.143
74
.23
+
+
−
=
o)o)
=
−
+
43
.21
2:57
.7
1053
.31
p)p) =
61
:2527
:53
2
E06.E06. Observe o gráfico ao lado e responda:
a)a) Qual é a fração que representa o todo-referência?
b)b) Qual é a fração que está faltando?
E07.E07. Em uma caixa foram colocadas 120 bolinhas coloridas. Dessas bolas:
• 61
é azul; • 52
são vermelhas; • 103
são verdes;
• O restante é amarela.Com as informações acima, determine a quantidade de bolinhas de cada cor:
a)a) azuis; b)b) vermelhas; c)c) verdes;
d)d) amarelas.
19
E08.E08. Uma prova para selecionar candidatos para trabalhar em um banco era formada por
questões de Português, Matemática e Sistema Bancário. Nessa prova,52
do total das questões
eram de Matemática e31
de Português.
a)a) Qual é a fração que representa a parte das questões de Português e Matemática?
b)b) Qual é a fração que representa a parte das questões sobre o Sistema Bancário?
E09.E09. Considere os seguintes números:
Escreva as frações em ordem crescente.
E10.E10. Num quintal há 60 árvores. As mangueiras representam52
das árvores, as jaqueiras,41
e o
restante das árvores são goiabeiras.
a)a) Que fração representa a soma das mangueiras e das jaqueiras? _____________
b)b) Que fração representa as goiabeiras? ____________
c)c) Quantas mangueiras há? ________________
d)d) Quantas jaqueiras há? __________________
E11.E11. Classifique como VV (verdadeiro) ou FF (falso) as afirmativas abaixo:
________ Em duas frações de mesmo denominador, a maior é a que possui maior numerador.
________ Em duas frações de mesmo numerador, a maior é a que possui menor denominador.
________ Em duas frações de mesmo numerador, a maior é a que possui maior denominador.
________73
52
21
=+ .
________ 200de%60 tem o mesmo valor que o triplo da quinta parte de 200.
________ Na malha ao lado estão pintados
4
1
16
3+ do total de quadradinhos.
E12.E12. Classifique as seguintes frações como próprias, impróprias ou aparentes:
45
1012
1003
47 2
1 54
53
20
E13.E13. Passe para a forma mista as seguintes frações impróprias:
a)a) 526
b)b) 13
147 c)c)
8125
d)d) 259
e)e) 647
f)f) 25
1313
E14.E14. Transforme as frações mistas em frações impróprias.
a)a) 31
2 b)b) 31
1 c)c) 72
1
d)d) 53
2 e)e) 72
4 f)f) 115
3
E15.E15. Coloque um dos sinais de ordem (<, >, =) entre as frações, tornando a relação verdadeira:
a)a) 7
1 ____14
2 b)b) 6
32 ____
8
52 c)c)
2
3 ____3
4 d)d) 4
11 ____3
4
e)e) 52 ____
73 f)f)
47 ____
58 g)g)
410 ____
615 h)h)
41
3 ____41
2
E16.E16. Usando a equivalência de frações, descubra o número que deve ser colocado no lugar da
letra x para que se tenha:
a)a) x
1497 = b)b)
28x
74 = c)c)
12x
27 = d)d)
2x
3015 =
e)e) x
9
11
3= f)f)
40
x
8
1= g)g)
x
1
18
6= h)h)
x
10
12
40=
E17.E17. Reduza as frações ao mesmo denominador comum:
a)a) 8
1,
4
1,
2
1 b)b) 9
1,
3
1,
6
1 c)c) 5
9,
2
3,
4
5 d)d) 5
2,
6
5,
15
4,
10
7
Respostas dos Exercícios Teóricos:Respostas dos Exercícios Teóricos:
E01.E01.
a)a) 2144
b)b) 41
c)c) 121
d)d) 2841
e)e)94
f)f) 1219
g)g) 65
h)h) 529
i)i)5
13 j)j)
41
21
E02.E02.
a)a) 83
b)b) 2827
c)c) 57
d)d) 74
e)e)154
f)f) 1598
g)g) 21
h)h) 98
i)i) 45 j) j)31
E03.E03.
a)a) 56
b)b) 61
c)c) 2 d)d) 6
e)e) 73
f)f) 52
g)g) 6
h)h) 25
i)i) 2
j) j)34
E04.E04.
a)a) 41
b)b) 811
c)c) 1
d)d) 24332
e)e)49
f)f) 827
g)g) 9
16
h)h) 1i)i)
81
j)j)16225
k)k) 27
1000 l)l)
3625
m)m) 512343
n)n)62516
o)o)72
E05.E05.
a)a) 60
101
b)b) 7211
c)c) 54
d)d) 49
e)e) 121
f)f) 8
11
g)g) 6079
h)h) 4
133
i)i) 224125
j) j)3
11
k)k) 40
151
l)l) 100
13
m)m) 471
n)n) 56239
o)o) 6588
p)p) 2
E06.E06. a)a)1212
b)b)
61
E07.E07. a)a) 20 b)b) 48 c)c) 36 d)d) 16
22
E08.E08. a)a) 1511
b)b)
154
E09.E09.47
45
1012
54
53
21
1003
<<<<<<
E10.E10. a)a) 2013
b)b)
207
c)c) 24 d)d) 15
E11.E11. V – V – F – F – V – V
E12.E12. Própria – Aparente – Própria – Imprópria – Aparente – Própria – Aparente.
E13.E13.
a)a) 51
5 b)b) 134
11 c)c) 85
15
d)d) 21
29 e)e) 65
7 f)f) 2513
52
E14.E14.
a)a) 3
7
b)b) 3
4
c)c) 7
9
d)d) 5
13 e)e)
730
f)f) 1138
E15.E15.
a)a) 71 =
142 b)b)
63
2 <85
2 c)c) 23 >
34 d)d)
411 >
34
e)e) 52 <
73 f)f)
47 >
58 g)g)
410 =
615 h)h)
41
3 >41
2
E16.E16.
a)a)
18
14
9
7= b)b)
28
16
7
4= c)c)
12
42
2
7= d)d)
2
1
30
15=
e)e) 339
113
= f)f) 405
81
= g)g) 31
186
= h)h) 3
101240
=
E17.E17.
a)a) 81
,82
,84
b)b) 182
,186
,183
c)c) 2036
,2030
,2025
d)d) 3012
,3025
,308
,3021
23
E18.E18. Assinale V (verdadeiro) ou F (falso), considerando as propriedades da potenciação:
a) ______a) ______ 60203 222 =⋅
d) ______d) ______449
72
2
=
−
b) ______b) ______ 333 32)32( +=+
e) ______e) ______ ( ) 1642 55 =
c) ______c) ______ ( ) 632 33 =
f) ______f) ______ 72
5
33
3=
−
E19.E19. Efetue, observando as definições e propriedades:
a)a) ( ) =−32 _______
b)b) =201 _________
c)c) =1500 ________
d)d) =0100 ________
e)e) =30 _________
f)f) =
−1
34
______
g)g) =− 15 ________
h)h) =−32 ________
i)i) ( ) =−43 ________
j) j) ( ) =35,0 ________
k)k) =− 215 ________
l)l) =090 ________
m)m) =200 ________
n)n) =
−1
21
________
o)o) =
−2
32
________
p)p) =
3
54
________
E20.E20. Calcule o valor da expressão
323
52
23
)2(−
+
−+− .
E21.E21. Efetue as adições algébricas com radicais, observando as propriedades estudadas:
a)a) =−+ 56553 b)b) =+−+ 5555 3323235
c)c) =+−+ 39223624 d)d) =−++− 45254 33
e)e) =++− 55 33333232 f)f) =−++ 25723
E22.E22. Reduza os radicais a uma expressão na forma ba , com a e b inteiros, fazendo uso de
simplificação de radicais:
a)a) =+ 4520 b)b) =−+ 81850
c)c) =− 125272 d)d) =− 7634
e)e) =−+ 729850 f)f) =++ 1087512
E23.E23. O valor da expressão 2112 )2()2()2()2( −+−+−+− −− é igual a:
a)a) -1 b)b) -3 c)c) 49
− d)d) 47
e)e) 0
24
22 EXPRESSÕES ALGÉBRICAS E PLI!"MISEXPRESSÕES ALGÉBRICAS E PLI!"MIS
Definição: Expressões Algébricas e PolinômiosDefinição: Expressões Algébricas e Polinômios
Chama-se expressão algébricaexpressão algébrica qualquer agrupamento de letras e números ligados por
sinais de operações. O elemento fundamental da expressão algébrica é o termotermo, ou seja, um
conjunto de letras e números ligados por operações quaisquer, exceto a adição e a subtração.
Exemplo:Exemplo: Expressão Algébrica:Expressão Algébrica: ab2
xy3
yx2ba
222
−+ . Termos:Termos: ba
2
; yx22
;
ab2xy3 2
−
Chama-se polinômio de grau npolinômio de grau n (n inteiro e positivo) na variável x, a expressão algébrica
do tipo:
P( x) = a0( x)n + a1( x)n−1 + a2( x)n−2 + ... + an−1( x) + an, onde a0, a1, a2, ..., na são números quaisquer
e a0 ≠ 0.
2.1.12.1.1 Divisão de PolinômiosDivisão de Polinômios
A divisão de polinômios estrutura-se em um algoritmo, podemos enunciá-lo como sendo a
divisão de um polinômio D(x) por um polinômio não nulo E(x), de modo a obter os polinômios
Q(x) e R(x). Esse algoritmo da divisão pode ser expresso pelo Método de Descartes também
conhecido como Método dos coeficientes determinantes, da seguinte forma: E(x) × Q(x) + R(x)
= D(x), ou seja: Quociente × Divisor + Resto = Dividendo.
♦ Método da Chave:Método da Chave: neste método, realizamos a divisão entre os coeficientes numéricos e a
divisão de potências de mesma base, conservando a base e subtraindo os expoentes. Quando
trabalhamos com divisão, utilizamos também a multiplicação no processo.
Observe o seguinte esquema:
Quociente × Divisor + Resto = Dividendo
Vamos dividir um polinômio por um monômio, com o intuito de entendermos o processo
operatório.
25
Exemplo 01:Exemplo 01: Dividir o polinômio 12x3 + 4x2 – 8x por 4x.
Resolução:Resolução:
Caso queira verificar se a divisão está correta, basta multiplicar o quociente pelo divisor, comvistas a obter o dividendo como resultado.
Verificando: QuocienteVerificando: Quociente Divisor + Resto = Dividendo Divisor + Resto = Dividendo
4x × (3x² + x – 2) + 0 =
= 12x³ + 4x² – 8x12x³ + 4x² – 8x
Caso isso ocorra, a divisão está correta.
Exemplo 02:Exemplo 02: Dividir o polinômio 10x2 – 43x + 40 por 2x – 5.
Resolução:Resolução:
Verificando: QuocienteVerificando: Quociente Divisor + Resto = Dividendo Divisor + Resto = Dividendo
(2x – 5) × (5x – 9) + (–5) =
= 10x² – 18x – 25x + 45 + (–5) =
= 10x² – 43x + 45 – 5 =
= 10x² – 43x + 4010x² – 43x + 40
Exemplo 03:Exemplo 03: Dividir o polinômio 6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5 por 2x2 – 4x + 5.
Resolução:Resolução:
26
Verificando: QuocienteVerificando: Quociente Divisor + Resto = Dividendo Divisor + Resto = Dividendo
(3x² + x – 1) × (2x² – 4x + 5) + 0 =
= 6x4 – 12x³ + 15x² + 2x³ – 4x² + 5x – 2x² + 4x – 5 =
= 6x6x44 – 10x³ + 9x² + 9x – 5 – 10x³ + 9x² + 9x – 5
Exemplo 04:Exemplo 04: Dividir o polinômio 12x3 – 19x2 + 15x – 3 por 3x2 – x + 2.
Resolução:Resolução:
Verificando: QuocienteVerificando: Quociente Divisor + Resto = Dividendo Divisor + Resto = Dividendo
(4x – 5) × (3x² – x + 2) + (2x + 7) =
= 12x³ – 4x² + 8x – 15x² + 5x – 10 + (2x + 7) =
= 12x³ – 19x² + 13x – 10 + 2x + 7 =
= 12x³ – 19x² + 15x – 3= 12x³ – 19x² + 15x – 3
♦ Dispositivo de Briot-Ruffini:Dispositivo de Briot-Ruffini: a divisão de um polinômio P(x) por um binômio da forma (x –
a) também pode ser feita utilizando-se o dispositivo de Briot-Ruffinidispositivo de Briot-Ruffini. Este algoritmo secaracteriza pela sua agilidade na divisão de polinômios por binômios do 1º grau do tipo (x – a).
Vamos analisar o exemplo detalhado, apresentado em Barroso (2008, p.178):
Exemplo:Exemplo: Vamos determinar o quociente e o resto da divisão de P(x) = 2x 3 – 4x + 1 por D(x) =
x – 4, utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini.
Resolução:Resolução: Inicialmente, colocamos os coeficientes de P(x) em ordem decrescente segundo o
grau do termo e completamos com zero, caso necessário. Assim, temos P(x) = 2x3 + 0x2 – 4x +
1.
Dispomos os valores que participam do
cálculo para montar o dispositivo.
27
Repetimos o coefiente dominante do
dividendo P(x) na linha de baixo.
Multiplicamos o valor de a por esse
coeficiente e somamos o produto obtido
com o próximo coeficiente de P(x),
colocando o resultado abaixo dele.
Multiplicamos o valor de a pelo resultado
que acabamos de obter, somamos o
produto com o próximo coeficiente de
P(x) e colocamos esse novo resultado
abaixo desse coeficiente.
Repetimos o processo até o último
coefiente de P(x), que está separado, à
direita.
Fonte: Barroso et al, 2008, p.174.
O último resultado é o resto da divisão, e os demais números obtidos são os coeficientes
do quociente, dispostos ordenadamente segundo as potências decrescentes de x.
Dessa forma, no exemplo apresentado no quadro acima, temos que Q(x) = 2xQ(x) = 2x22 + 8x + 28 + 8x + 28 e
R(x) = 113R(x) = 113.
2.1.1.12.1.1.1 FatoraçãoFatoração
Fatorar uma expressão algébrica é transformá-la num produto utilizando, em geral, a lei
distributiva.
Exemplo:Exemplo: A3B + A2C – A2D = A2⋅(AB + C – D) → neste caso, o fator comum A2 foi colocado
em evidência.
28
1º Caso:1º Caso: Fator ComumFator Comum
2ax3 + 6bx2 = 2⋅a⋅x⋅x2 + 2⋅3⋅b⋅x2 = 2x2⋅(ax + 3b)
2º Caso:2º Caso: AgrupamentoAgrupamento
ax + bx + ay + by = x⋅(a + b) + y⋅(a + b) = (a + b)⋅(x + y)
3º Caso:3º Caso: Diferença de QuadradosDiferença de Quadrados
a2 – b2 = (a + b)⋅(a – b)
4º Caso:4º Caso: Quadrado PerfeitoQuadrado Perfeitoa2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2
5º Caso:5º Caso: Cubo PerfeitoCubo Perfeito
a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 = (a ± b)3
6º Caso:6º Caso: Soma e Diferença de CubosSoma e Diferença de Cubos
a3 + b3 = (a + b)⋅(a2 – ab + b2)
a3 − b3 = (a − b)⋅(a2 + ab + b2)
7º Caso:7º Caso: Trinômio do 2º GrauTrinômio do 2º Grau
ax2 + bx + c = a⋅(x – x1)⋅(x – x2), onde x1, x2 são raízes da equação ax2 + bx + c = 0.
2.1.1.22.1.1.2 Frações AlgébricasFrações Algébricas
São frações que contém expressões algébricas no numerador e no denominador. Se for
possível fatorar o numerador e o denominador e a fatoração apresentar fatores iguais, então
podemos cancelar os fatores comuns.
Exemplo:Exemplo: 1x2x3
)1x2(x3x3
x3x6 2
−=−⋅
=− CORRETOCORRETO
1x6x3
x3x6 22
−=− INCORRETOINCORRETO
29
Atividades de AprendizagemAtividades de Aprendizagem
Exercícios TeóricosExercícios Teóricos
E01.E01. Efetue as operações:
a)a) (2x2 – 3x + 1) + (2x – 3) + (4x2 + 5)
b)b) (2x2 – 6x – 5) − (x2 – 3x – 5)
c)c) (2x – 1)(x2
– 3x + 5)d)d) (x – 3y)(x2 – 3xy + y2)
e)e) (3x – 1)(x + 2) – (x – 2)2
f)f) 2(x – 2)3 – (x – 2)2 – 3(x – 2)
g)g) (x + 2y)3
h)h) (s + 7)(s – 2)
i)i) (u – 3)(u + 3) j) j) (c – 9)(c – 6)
k)k) (a + b)(a – b)
l)l) (3y + 2)(3y – 2)
E02.E02. Efetue as divisões:
a)a) 6x2 – x + 2 por 3x – 2
b)b) 4x4 – 10x – 9x2 – 10 por 2x + 3
c)c) 16x – 5x3 – 4 + 6x4 – 8x2 por 2x – 4 + 3x2
d)d) x3 – 8 por x – 2
E03.E03. Fatore:
a)a) 2x2 – 10x
b)b) 2x2y – 12xy2
c)c) a(x + y) – b(x + y)
d)d) 2x2y – 12xy2
e)e) x3 – x2 + x – 1
f)f) a2 – 1
g)g) a4 – 1
h)h) x2 – 2xy + y2
i)i) x2 + 2x + 1
j) j) 4a2 + 20ab + 25b2
k)k) 16x2 – 56x + 49
l)l) 4
yxy3x9
22 ++
E04.E04. Simplifique as frações:
a)a)2)3x(
3x
+
+
b)b))5y(2
)5y(8 2
−
−
c)c)3
2
)7x(x6
)7x(x2
+
+
d)d)4x2x2x2
−
−
e)e)y3
y3y9 2+
f)f)9x6x
9x2
2
++
−
g)g)22
22
xy6yx4
y9x4
+
−
h)h)y3xy
y3x3xyx 2
+
−+−
i)i)23
23
x4x12
x10x28x6
−
−+
j) j)4x
8x2
3
−
−
k)k))3x(x4
6x2)3x(x4
12x4−
−−
−
−
l)l) 2)1x(9
2)1x(6
5
−+
−
30
Respostas dos Exercícios Teóricos:Respostas dos Exercícios Teóricos:
E01.E01.
a)a) 6x2 – x + 3
b)b) x2 – 3x
c)c) 2x3 – 7x2 + 13x – 5
d)d) x3 – 6x2y + 10xy2 – 3y3
e)e) 2x
2
+ 9x – 6f)f) 2x3 – 13x2 + 25x – 18
g)g) x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3
h)h) s2 + 5s – 14
i)i) u2 – 9
j) j) c2 + 5c + 54
k)k) a2 – b2
l)l) 9y2 – 4
E02.E02.
a)a) Q(x) = 2x + 1 R = 4
b)b) Q(x) = 2x3 – 3x2 – 5 R = 5
c)c) Q(x) = 2x2 – 3x + 2 R = 4
d)d) Q(x) = x2 + 2x + 4 R = 0
E03.E03.
a)a) 2x(x – 5)
b)b) 2xy(x – 6y)
c)c) (x + y)(a – b)
d)d) (x + y)(a + b)
e)e) (x – 1)(x2 + 1)
f)f) (a + 1)(a – 1)
g)g) (a2 + 1)(a + 1)(a – 1)
h)h) (x – y)2 i)i) (x + 1)2
j) j) (2ª + 5b)2
E04.E04.
a)a)3x
1+
b)b) 4(y – 5)
c)c)2)7x(3
x
+
d)d)2x
e)e) 3 + y
f)f)3x3x
+
−
g)g)xy2
y3x2 −
h)h)y
yx −
i)i)x25x+
j) j)2x
4x2x 2
+
++
k)k)x21
l)l)2)1x(18
11x15
−
−
31
## GRA!$E%AS& PA$RÕES E '!I$A$ESGRA!$E%AS& PA$RÕES E '!I$A$ES
IntroduçãoIntrodução
Quando falamos em ciências, sempre nos vêm à mente os métodos científicos que lançam
mão de medidas para interpretar, analisar e compreender os fenômenos que são pertinentes a cada
ciência.
Especificamente no caso da Física, faz-se necessário:
1.1. determinar qual fenômeno físico pretende observar, dentro do “rol” (conjunto) de
fenômenos físicos possíveis de serem medidos (esses fenômenos físicos serão
denominados de variáveis);
2.2. nomear o fenômeno físico, isto é, dar um nome para esta variável e
3.3. encontrar uma unidade para este fenômeno físico (variável), para que possamos medi-
lo.
Grandeza física é alguma coisa que pode ser medida, isto é, que pode ser representada por
um número e uma unidade. Veja alguns exemplos:
• A distância da bola à barreira deve ser de 10 jardas ou 9,15 metros.
• A bola deve ter entre 400 gramas e 500 gramas.
• O tempo de uma partida é de 90 minutos.
Nesses exemplos estão três grandezas fundamentais: comprimento, massa e tempo. A partir
dessas grandezas fundamentais, pode-se definir outras que, por isso, chamam-se grandezas
derivadas. São exemplos de grandezas derivadas a área de uma superfície, o volume e a densidade
de um corpo, a velocidade e aceleração de um automóvel, a força exercida por um motor e muitas
outras.
Até há algum tempo, não havia ainda um conjunto de unidades fundamentais que fosse
reconhecido e adotado em todo mundo. A partir de 1948, esse conjunto começou a ser
estabelecido e, em 1960, recebeu o nome de Sistema Internacional de Unidades (SI). Atualmente,
só os Estados Unidos ainda não adotam o SI, mas passarão a utilizá-lo em breve.
O Sistema Internacional de Unidades (SI)O Sistema Internacional de Unidades (SI)
O SI estabelece 7 grandezas físicas fundamentais das quais são derivadas todas as outras.
32
COMPRIMENTO COMPRIMENTO MASSA MASSA TEMPOTEMPOCORRENTECORRENTEELTRICAELTRICA
TEMPERAT!RATEMPERAT!RA"!ANTI#A#E"!ANTI#A#E#E MATRIA#E MATRIA
INTENSI#A#EINTENSI#A#EL!MINOSAL!MINOSA
Os padrões de comprimento, o metro e, de tempo, o segundo, têm definições muito
complicadas devido às exigências da Ciência e da Tecnologia modernas. O padrão de massa é o
mais antigo, criado em 1889, e também o mais simples (Quadro 01).
"!A#RO 01 $ TR%S !NI#A#ES &!N#AMENTAIS #O SI"!A#RO 01 $ TR%S !NI#A#ES &!N#AMENTAIS #O SI
'RAN#E(A 'RAN#E(A NOME NOME S)M*OLO S)M*OLO #E&INI+,O#E&INI+,O
Comprimento Metro mm Distância percorrida pela luz, no vácuo, numintervalo de tempo de 1/299792458 s.
Massa Quilograma kgkgMassa de um cilindro padrão de platina-irídioconservada no Bureau Internacional de Pesos eMedidas em Sèvres, na França.
Tempo Segundo ssDuração de 9.192.631.770 períodos da radiação detransição de dois níveis do estado fundamental doátomo do Césio 133.
Observação: Note que os símbolos não são abreviaturas, por isso não têm ponto final.
Cada país deve ter laboratórios capazes de reproduzir os padrões ou cópias devidamente
aferidas e cuidadosamente guardadas. No Brasil essa tarefa é desempenhada pelo Inmetro –
Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial, do Ministério da Indústria
e do Comércio.
Não é necessário saber essas definições, entretanto é importante saber que existem os
padrões, as unidades fundamentais e derivadas e formas corretas de expressá-las (Quadro 02).
"!A#RO 02 $ AL'!MAS !NI#A#ES #ERI-A#AS #O SI"!A#RO 02 $ AL'!MAS !NI#A#ES #ERI-A#AS #O SI
'RAN#E(A 'RAN#E(A NOME NOME S)M*OLOS)M*OLO
Área Metro quadrado mm22
Volume Metro cúbico mm33
Velocidade Metro por segundo mm ss
Aceleração Metro por segundo ao quadrado mm ss22
Densidade Quilograma por metro cúbico kgkg mm33
Existem inúmeras unidades práticas ainda em uso devido ao costume ou às suas aplicações
tecnológicas. Muitas dessas unidades, principalmente as de srcem inglesa, tendem a desaparecercom o tempo e serem substituídas por unidades do SI. Por enquanto elas ainda são muito usadas
e é interessante conhecê-las (Quadro 03).
"!A#RO 0 $ AL'!MAS !NI#A#ES PR/TICAS MAIS !SA#AS"!A#RO 0 $ AL'!MAS !NI#A#ES PR/TICAS MAIS !SA#AS
'RAN#E(A 'RAN#E(A NOME NOME S)M*OLOS)M*OLORELA+,O COM A !NI#A#ERELA+,O COM A !NI#A#ECORRESPON#ENTE #O SICORRESPON#ENTE #O SI
Comprimento Milímetro mmmm 0,001 m
33
Centímetro Quilômetro Polegada Pé Jarda Milha
cmcmkmkmininftftydydmimi
0,01 m1.000 m
0,0254 m ou 2,54 cm0,3048 m ou 30,48 cm0,9144 m ou 91,44 cm1.609 m ou 1,609 km
Massa
Grama Tonelada Quilate Libra
Arroba
ggtt
lblb
0,001 kg1.000 kg
0,0002 kg ou 0,2 g0,454 kg ou 454 g
14,688 kg
TempoMinuto Hora Dia
minminhhdd
60 s60 min ou 3.600 s24 h ou 86.400 s
ÁreaHectare Alqueire (SP) Alqueire (MG, RJ e GO)
haha 10.000 m2 2,42 ha4,84 há
Volume Litro ll 0,001 m3 ou 1.000 cm3
VelocidadeQuilômetro por hora Milha por hora Nó
kmkm hhminmin hh
(1/3,6) m/s1,609 km/h1,852 km/h
Legenda: Submúltiplos do SI Múltiplos do SI Unidades não pertencentes ao SI
Curiosidade:Curiosidade: O Quilate é tanto uma medida de massa quanto uma medida de composição
em ligas de ouro. A palavra vem do grego keratio, significando uma semente que era usada como
unidade de peso na antiga Grécia. Em função das disparidades de valores do quilate como unidade
de massa, em 1907 foi adotada a correspondência de 200 miligramas (0,2 gramas) para cada
quilate, que passou a ser desde então, o valor usado em joalherias. Desta forma a seguinte frase
está correta: "20 quilates de ouro 14", significando o mesmo que "4 gramas de ouro cuja liga é 14
quilates".
Apesar de alguns autores indicarem ct (do inglês carat ) como sendo símbolo de quilate
métrico, esta forma não existe na língua portuguesa, portanto indicamos que se use o termo por
extenso, ou a abreviação ql, tal como citado no site da Academia Brasileira de Letras.
Observe, no Quadro 03, que algumas unidades têm símbolos
diferentes, como a polegada, o pé e a jarda.
Essas unidades foram adaptadas do inglês: polegada éinches, daí o símbolo in; pé é feet, por isso seu símbolo é ft
e a jarda é yard , por isso seu símbolo yd.
Atualmente é comum utilizar o símbolo polpol para indicar
polegada.
34
Algarismos SignificativosAlgarismos Significativos
Quando se trabalha com medidas quase sempre aparece uma dúvida: com quantos
algarismos se escreve uma medida?
Tente medir o diâmetro do seu lápis. Que resultado você obteve?
7 mm? 7,1 mm ? 7,15 mm ?
Essa pergunta tem inúmeras respostas, e todas podem estar certas!
Se você mediu com uma régua comum, provavelmente achou 7 mm, ou talvez 7,5 mm ou
ainda 0,7 cm. Se você dispõe de um instrumento mais preciso, como um micrômetro ou um
paquímetro, pode ter achado 7,34 mm ou 7,4082 mm. Se você repetir a medida várias vezes pode
ser que em cada uma ache um valor diferente!
Como saber qual é o valor correto? Como escrever esse valor?
Na verdade, nem sempre existe um valor correto nem uma só forma de escrevê-lo. O valor
de uma medida depende do instrumento utilizado, da escala em que ele está graduado e, às vezes,
do próprio objeto a ser medido e da pessoa que faz a medida. Por exemplo, a medida do diâmetro
do lápis com uma régua comum será feita na escala em que ela é graduada (centímetros ou
milímetros) e dificilmente alguém conseguirá expressá-la com mais de dois algarismos. Nesse
caso, certamente o segundo algarismo é avaliadoavaliado ou duvidosoduvidoso. Se for utilizado um instrumento
mais preciso, é possível fazer uma medida com um número maior de algarismos e, ainda,
acrescentar mais um, o duvidoso.Todos os algarismos que se obtêm ao fazer uma medida, incluindo o duvidoso, são
algarismos significativosalgarismos significativos. Se outra pessoa fizer a mesma medida, talvez encontre um valor um
pouco diferente, mas, ao escrevê-lo, deverá utilizar o número correto de algarismos significativos.
Figura 01: Paquímetro Digital – Instrumento de Precisão
35
Uma régua comum não permite medidas muito precisas porque não há como subdividir oespaço de 1 mm: a distância entre os traços é muito pequena. O paquímetro e o micrômetro são
instrumentos que utilizam duas escalas, uma fixa, semelhante à escala de uma régua comum e
uma escala móvel que, de maneira muito engenhosa, permite dividir a menor divisão da escala
fixa. No paquímetro, essa escala corre junto à escala fixa, enquanto que no micrômetro ela está
gravada numa espécie de cilindro móvel que gira à medida que se ajusta ao instrumento para
efetuar a medida.
Imaginemos agora, a seguinte situação: ao medir o diâmetro de um lápis com um
paquímetro, um aluno encontre o valor 7,34 mm enquanto que outro aluno, efetuando a mesma
medição, encontre 7,37 mm. Pelo resultado, percebe-se que eles têm certeza do 7 e do 3, mas o
último algarismo é incerto. Imagine agora que eles resolvam entrar num acordo e considerar,
como melhor medida, um valor que seja igual à média aritmética dos seus resultados, obtendo,assim 355,7
2
37,734,7=
+. Estaria correto expressar o diâmetro do lápis acrescentando ainda um
terceiro algarismo oriundo da média? É certo que não! Se cada um só tinha certeza de dois
algarismos e avaliaram, discordando quanto à segunda casa após a vírgula, não tem sentido dar
uma resposta com três casas após a vírgula!
Nesse caso, para manter a coerência e expressar a medida com o número correto de
algarismos significativos, deve-se desprezar o último algarismo obtido no cálculo da média
aritmética.
É comum utilizar a seguinte regra: quando esse algarismo (o que deve ser desprezado) for
maior ou igual a 5 acrescenta-se 1 ao último algarismo que restou.
Teremos então 7,355 mm ≅ 7,36 mm, que é a melhor forma de expressar a média aritmética
das medidas de ambos os alunos: mantêm-se os mesmos dois algarismos dos quais têm certeza, o
7 e o 3, mas o algarismo duvidoso passa a ser o 6. É provável que esse valor seja, provisoriamente,
o melhor valor dessa medida. Se outras pessoas participarem e fizerem outras medidas, a média
aritmética terá um número muito maior de parcelas e o seu valor representará melhor o diâmetro
do lápis.
Figura 02: Micrômetro Digital – Instrumento de Precisão
36
3.3.13.3.1 Determinando os algarismos significativos de um númeroDeterminando os algarismos significativos de um número
No item anterior verificamos que, para entender o conceito de números significativos de
uma medida física, é necessário compreender que os resultados físicos que utilizamos são obtidos
através de medições que os cientistas realizam. Logo, para efetuar essas medições os cientistas
utilizam aparelhos que possuem incertezas, isto é, uma medida física nunca é exata e, sim, tem
um erro do próprio instrumento de medida, que é determinado pela metade da menor medida do
instrumento.Vejamos agora um exemplo de como determinar os algarismos significativos de um
número.
Quando medimos o tamanho do lápis com a régua escolar e verificamos que este tem 15,1
cm, o valor que se deve expressar é: 15,1015,10 0,05cm 0,05cm.
Observe que temos um valor de 0,05 cm (metade da menor medida indicada na régua) para
mais ou para menos em relação ao tamanho do lápis, isto é, o tamanho do lápis está com certeza
entre 15,05cm e 15,15cm, por causa do instrumento utilizado na medição, que neste caso, é a
régua.
Pelo fato de uma medida física possuir incerteza, a utilização do conceito de algarismos
significativos se torna importante, pois quando efetuamos operações com números decorrentes de
medições precisamos escrever o resultado de forma que este expresse o valor mais coerente com
as certezas dos instrumentos utilizados para a determinação dos valores utilizados nas operações.
Portanto, para determinar a quantidade de números significativos de uma medida física é
necessário que:
• Inicialmente apresente o valor da medida física em notação científica (veja o item 4.3, na
página 12).
• Verifique quantos números aparecem no primeiro fator (mantissa) da notação científica
(desconsiderando a vírgula).
• A quantidade de algarismos significativos é exatamente igual ao resultado obtido no item
anterior, ou seja, na mantissa da expressa numérica em notação científica.
Vejamos alguns exemplos:
a)a) 230.000.00030.000.000 = 22,3 × 1088, portanto o número de algarismos significativo nesse valor é de
2.
b)b) 0,000 000 000 000 1000 000 000 000 148 = 11,48 × 10 -13-13, portanto o número de algarismos significativo
nesse valor é de 3.
c)c) 0,0606289 = 66,289 × 10-2-2, portanto o número de algarismos significativo nesse valor é de
4.
37
d)d) 795.000.000.000.000 = 77,95 × 101414, portanto o número de algarismos significativo nesse
valor é de 3.
Observação:Observação: Quando fazendo operações com números (multiplicação, divisão adição e
subtração) a resposta final deve ter o mesmo número de algarismos significativos que o valor de
menor algarismo significativo, isto é, o resultado não pode ser mais preciso que a pior precisão
que temos.
Arredondamento de NúmerosArredondamento de Números
As regras de arredondamento estão estabelecidas pela Resolução 886 de 06.10.66 do IBGE
que corroboram com a Norma ABNT NBR 5891, de 1977.
Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conversado for
inferior a 5, superior a 5 ou igual a 5, estabeleceremos as regras de arredondamento que seguem
na tabela abaixo.
CON#I+,O PROCE#IMENTOCON#I+,O PROCE#IMENTOEEMPLOEEMPLO
ARRE#ON#AMENTO PORARRE#ON#AMENTO PORCENTSIMOCENTSIMO
3 43 4 O último algarismo a permanecer fica inalterado. 567567 201201 567 567
9 49 4 Aumenta-se de uma unidade o algarismo a permanecer. 677677 2020 678 678
: 4: 4
(ii) Se ao 5 seguir em qualquer casa um algarismodiferente de zero, aumenta-se uma unidade noalgarismo a permanecer.
46744674 405405 467 467
(iiii) Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só seguiremzeros, o último algarismo a ser conservado só seráaumentado de uma unidade se for ímpar.
26152615 400400 2615 2615
26112611 400400 2612 2612
As grandezas e as medidas povoam nosso dia-a-dia, tornando-se cada vez
mais variadas e complexas, porém, toda medida resulta de um esforço do
homem para compreender e interpretar a natureza.
Fomos nós, seres humanos, que criamos as grandezas, os padrões, as unidades
e os instrumentos de medida.
Portanto, nenhuma medida é a expressão da verdade, independentemente do
número de algarismos significativos que possua.
Há, certamente, medidas e instrumentos mais confiáveis, processos de medição
mais adequados a determinados fins; é importante distinguir uns dos outros.
38
Gostaria de mais informações sobre o conteúdo estudado? Seguem dicas de vídeo-aulas
sobre o tema.
Potências de Base 10Potências de Base 10
Observe, na tabela abaixo, algumas potências de base 10, seus expoentes inteiros positivos
e a quantidade de zeros da potência.
EPOENTE INTEIROEPOENTE INTEIROPOSITI-O nPOSITI-O n
IN#ICA+,O #E 10IN#ICA+,O #E 10nn POT%NCIA RES!LTA#OPOT%NCIA RES!LTA#ON;MERO #E (EROS #AN;MERO #E (EROS #A
POT%NCIAPOT%NCIA
1 101 10 1
2 102 100 2
3 103 1.000 3
4 104 10.000 4⋮ ⋮ ⋮ ⋮ N 10n 100...0
n
Agora observe, nesta outra tabela, algumas potências de base 10, seus expoentes inteiros
negativos e a quantidade de algarismos à direita da vírgula.
EPOENTE INTEIROEPOENTE INTEIRONE'ATI-O nNE'ATI-O n
IN#ICA+,O #E 10IN#ICA+,O #E 10nn POT%NCIA RES!LTA#OPOT%NCIA RES!LTA#ON;MERO #E AL'ARISMOSN;MERO #E AL'ARISMOS
< #IREITA #A -)R'!LA< #IREITA #A -)R'!LA
-1 10-1 0,1 1
-2 10-2
0,01 2-3 10-3 0,001 3
-4 10-4 0,0001 4⋮ ⋮ ⋮ ⋮ n 10n 0,00...1
N
Dicas de vídeos sobre o assunto desta aula:
Grandezas Físicas e Unidades de Medidas:
https://www.youtube.com/watch?v=LZPiq8RK9j0
Múltiplos e Submúltiplos das Unidades de Medidas:
https://www.youtube.com/watch?v=lQfZ_aSJ7xU
n zeros
n algarismos
39
A observação feita a partir dessas tabelas vai auxiliá-lo a escrever potências de base 10 na
representação decimal e vice-versa.
Por exemplo:
a)a) 1.000.000.000.000 = 1012 b)b) 10-8 = 0,00000001
O uso das potências de base 10 é tão difundido nas Ciências Exatas, que alguns múltiplose submúltiplos decimais recebem denominações especiais, conforme apresentamos no item
abaixo.
3.5.13.5.1 Prefixos das Potências de Base 10Prefixos das Potências de Base 10
É comum utilizar prefixos para expressar números escritos em potência de 10, como, por
exemplo, uma massa de 3.000 g, que pode ser expresso em potência de 10 como 3 × 103 g ou
utilizando prefixo como 3 kg, em que o prefixo quiloquilo (k) equivale a 103.
Abaixo é apresentada uma tabela com a relação dos principais prefixos.
NOME S)M*OLONOME S)M*OLO POT%NCIA #E *ASE #E(POT%NCIA #E *ASE #E(
exaexa E 1018
petapeta P 1015
teratera T 1012
gigagiga G 109
megamega M 106
quiloquilo k 103
hectohecto h 102
decadeca da 101
100
decideci d 10-1
centicenti c 10-2
milimili m 10-3
micromicro μ 10-6
nanonano n 10-9
picopico p 10-12
femtofemto f 10-15
attoatto a 10-18
12 zeros12 zeros 8 algarismos8 algarismos
40
Notação CientíficaNotação Científica
Se nos disserem que o raio do átomo de hidrogênio é igual a 0,000.000.005 cm ou que uma
dada célula tem cerca de 2.000.000.000.000 de átomos dificilmente assimilaremos essas ideias,
pois nossos sentidos não estão acostumados a perceber esses números. Eles estão fora do nosso
quadro de referências.
Dada a abrangência da Física atual micro-macro cosmo, é importante compreender
números nessas ordens. A notação científica, ou seja, a escrita de um número com o auxílio dea escrita de um número com o auxílio depotências de base 10potências de base 10, é um recurso comum para a representação simplificada de números muito
grandes ou muito pequenos, tendo em vista a facilidade de operar com esses números ante a seus
equivalentes numéricos. Na utilização dos computadores ou máquinas de calcular, por exemplo,
a notação científica tem uso regular, tornando os cálculos mais rápidos devido às propriedades da
potenciação.
Um número escrito em notação científica segue a seguinte configuração:
m · 10m · 10 ee
Onde:
• mm é denominado mantissa e corresponde a um valor numérico 1 ≤ mm < 10.
• ee, dado sob a forma de expoente, é denominado ordem de grandeza.
Vejamos alguns exemplos e sua resolução:
a)a) 230.000.00030.000.000 = 22,3 × 1088
A vírgula se “deslocou” em 8 casas para a esquerda; o expoente da base 10 indica o deslocamento
da vírgula e seu sinal é positivo.
b)b) 0,000 000 000 000 1000 000 000 000 148 = 11,48 × 10-13-13
A vírgula se “deslocou” em 13 casas para a direita; o expoente da base 10 é igual ao deslocamento
da vírgula e seu sinal é negativo.
c)c) 0,0606289 = 66,289 × 10-2-2
A vírgula se “deslocou” em 2 casas para a direita; o expoente da base 10 é igual ao deslocamento
da vírgula e seu sinal é negativo.
41
d)d) 795.000.000.000.00095.000.000.000.000 = 77,95 × 101414
A vírgula se “deslocou” em 14 casas para esquerda; o expoente da base 10 é igual ao deslocamento
da vírgula e seu sinal é positivo.
Observe outros exemplos de números grandes e pequenos, expressos em notação científica:
• 600.000 = 6 · 10 5
• 30.000.000 = 3 · 10 7
• 500.000.000.000.000 = 5 · 1014
• 7.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 = 7 · 1033
• 0,0004 = 4 · 10 -4
• 0,00000001 = 1 · 10 -8
• 0,0000000000000006 = 6 · 10 -16
Para valores como esses, a notação científica é mais adequada, pois apresenta a vantagem
de representar adequadamente a quantidade de algarismos significativos, em detrimento de seus
equivalentes numéricos que trazem pouco significado prático.
Pode-se até pensar que esses valores são pouco relevantes e de uso quase inexistente na
vida cotidiana. Porém, em áreas como Física, Química e Engenharias de um modo geral, esses
valores são frequentes. Também na área de Economia, ao se fazer referência a um valormonetário, em bilhões de dólares, por exemplo, é comum o uso da notação científica.
Ordem de GrandezaOrdem de Grandeza
Muitas vezes, ao trabalharmos com grandezas físicas, apenas algumas casas decimais são
relevantes, devido a imprecisões nos aparelhos de medida.
Nesses casos é suficiente conhecer a potência de 10 que mais se aproxima do seu valorconhecer a potência de 10 que mais se aproxima do seu valor.
Essa potência é denominada ordem de grandeza da medida.
Ordem de grandeza de um número é Ordem de grandeza de um número é uma estimativauma estimativa
de potência de base 10 mais próxima deste número.de potência de base 10 mais próxima deste número.
Para determinação da ordem de grandeza de um número usaremos a fronteira numérica de
16,310 ≅ . Observe os exemplos.
Qual a ordem de grandeza das seguintes medidas?
42
• 3 × 10-3 m → 3 < 3,16 , logo a ordem de grandeza é 10 -3.
• 4 × 102 m → 4 > 3,16 , logo a ordem de grandeza é 10 3.
• 7 × 10-6 m → 7 > 3,16 , logo a ordem de grandeza é 10 -5.
• 0,00022 = 2,2 × 10-4 → 2,2 < 3,16, logo a ordem de grandeza é 10 -4.
• 174.500.000 = 1,745 × 108 → 1,745 < 3,16, logo a ordem de grandeza é 10 8.
Não devemos nos preocupar em estabelecer critérios rigorosos para
determinar a potência de base 10 mais próxima do número, pois o conceito deordem de grandezaordem de grandeza, por sua própria natureza, é uma avaliação aproximadaavaliação aproximada,
na qual não cabe nenhuma preocupação com rigor matemático.
Por essa mesma razão, quando o número estiver aproximadamente no
meio, entre duas potências de 10, será indiferente escolher uma ou outra para
representar a ordem de grandeza daquele número.
(MÁXIMO; ALVARENGA, 1992, p. 11.)
43
Atividades de AprendizagemAtividades de Aprendizagem
Exercícios TeóricosExercícios Teóricos
E01.E01. Calcule quantos metros estão contidos em:
a)a) 108 km b)b) 103 cm c)c) 10-2 mm
E02.E02. Transforme em quilômetros:a)a) 3600 m b)b) 2.160.000 cm c)c) 0,03 m
d)d) 5.780 dm e)e) 27.600 m f)f) 5.800 mm
E03.E03. A espessura de uma folha de papel é de 0,05 mm. Seiscentas mil folhas iguais a essa foram
empilhadas até atingirem uma altura h. Determine o valor de h em metros.
E04.E04. Sabendo que a distância entre a Terra e a Lua é de 384.000 km, aproximadamente, e que
entre a Terra e o Sol é de 150.000.000 km, aproximadamente, quantas vezes a primeira distância
está contida na segunda?
E05.E05. Calcule quantos gramas estão contidos em:
a)a) 75 kg b)b) 0,8 mg c)c) 10-5
kg
E06.E06. Sabendo que 1 tonelada (1 t) equivale a 1.000 quilogramas (103 kg), determine o número de
pessoas de 50 kg e o de 80 kg que podem viajar juntas em um bondinho do tipo teleférico, que
transporta no máximo 60 pessoas ou 4,2 t.
E07.E07. Calcule o número de segundos de:
a)a) 1 minuto b)b) 1 hora c)c) 1 dia d)d) 1 mês de 30 dias
E08.E08. Qual é a duração de um espetáculo teatral que se inicia às 19h20min10s e termina às
22h12min15s?
E09.E09. Podemos considerar o átomo de hidrogênio como uma esfera com diâmetro de 10 -10 m.
Admitindo que pudéssemos enfileirar esses átomos, quantos seriam necessários para cobrir a
distância de 1 mm?
E10.E10. No século III a.C., Erastótenes, astrônomo egípcio, determinou o valor do raio da Terra com
grande precisão: 6.370 km. Escreva esse número em metros, fazendo uso de notação científica.
44
E11.E11. Um fumante consome por dia vinte cigarros de 100 mm. Imagine que fosse possível
enfileirar os cigarros que esse fumante consome num período de dez anos. Qual seria, em metros,
o comprimento dessa fila?
E12.E12. Uma dona de casa curiosa teve a ideia de descobrir a massa de um grão de feijão. Utilizando
uma balança descobriu que a massa de 1.000 grãos era de 0,57 kg. Determine a massa, aproximada,
de um único grão, em miligramas.
E13.E13. Um analgésico deve ser ingerido na quantidade de 3 mg/kg de massa corporal, mas a dose
administrada não pode exceder 200 mg. Cada gota contém 5 mg do remédio. Quantas gotas devem
ser prescritas a um paciente de 80 kg?
E14.E14. No estádio do Morumbi 120.000 torcedores assistem a um jogo. Através de cada uma das 6
saídas disponíveis podem passar 1.000 pessoas por minuto. Qual o tempo mínimo necessário para
esvaziar o estádio?
---------
E18.E18. Escreva os expoentes das potências de 10 conforme a indicação abaixo:
a)a) 23.856 = 23,856 × 10__________ b)b) 23.856 = 2385,6 × 10__________
c)c) 23.856 = 238,56 × 10__________ d)d) 23.856 = 2,3856 × 10__________
E19.E19. Coloque a vírgula nos números abaixo conforme a indicação das potências de 10, para que
a igualdade seja válida:
a)a) 7,82 × 103 = 78200 × 102 b)b) 7,82 × 103 = 78200 × 101
c)c) 7,82 × 103 = 78200 ×104 d)d) 7,82 × 103 = 78200 × 10-1
E20.E20. Escreva os números abaixo em notação científica:
a)a) 529 = __________________
b)b) 7.843 = _________________
c)c) 5.971.432 = ______________
d)d) 73 = ______________
e)e) 0,7 = ______________
f)f) 0,52 = ______________
g)g) 0,278 = _________________
h)h) 0,05697 = _______________
i)i) 749 × 107 = ______________
j) j) 59,47 × 10-9 = ____________
k)k) 0,38 × 104 = ____________
l)l) 0,7159 × 10-12 = _________
E21.E21. Descubra a potência de base 10 que deve ser colocada no lugar de para que se tenha:
a)a) 56,754 · = 567.540 c)c) · 23 = 0,000023
b)b) 0,003 · = 30 d)d) · 4,5 = 0,00045
45
E22.E22. Resolva as expressões, apresentando os resultados em notação científica:
a)a) =⋅
⋅− 2,110
106,32
4
b)b) =⋅
⋅−
−
7,010
101,23
2
E23.E23. Diga, em cada caso, a quantidade de algarismos significativos:
a)a) 1,324 × 104 b)b) 0,324 × 105
c)c) 1200 × 10-2
d)d) 0,000424 × 105
E24.E24. Efetue as operações abaixo e responda utilizando os algarismos significativos na resposta:
Lembre-se de que a resposta não pode ter mais algarismos significativos do que a menor quantidade de algarismos
significativos dos números envolvidos nas operações.
a)a) (0,07⋅10-3) × (7⋅10-5) = b)b) =⋅
⋅− 5
3
1003,0
109
c)c) (0,6⋅10-3) + (4⋅10-5) = d)d) (1,09⋅10-3) − (87⋅10-5) =
E25.E25. Indique a ordem de grandeza em cada um dos itens abaixo:
a)a) 1,324 × 104 b)b) 0,324 × 105
c)c) 1200 × 10-2 d)d) 0,000424 × 105
E26.E26. Uma partida normal de futebol é disputada em 90 min. O estádio do Morumbi, em São
Paulo, já recebeu cerca de 30 milhões de torcedores desde sua abertura, em 1960. A média de
torcedores por partida é de aproximadamente 28 mil. Então, qual é a ordem de grandeza do total
de minutos de futebol já jogados no Morumbi?
E27.E27. Em um hotel com 200 apartamentos, o consumo médio de água por apartamento é de 100
litros por dia. Qual a ordem de grandeza do volume que deve ter o reservatório do hotel, em
metros cúbicos, para abastecer todos os apartamentos durante um dia?
------
Respostas dos Exercícios Teóricos:Respostas dos Exercícios Teóricos:
E01. a)E01. a) 108.000 m b)b) 10 m c)c) 10-5 m
E02. a)E02. a) 3,6 km b)b) 21,6 km c)c) 3,0 ⋅ 10-5 km
d)d) 0,578 km e)e) 27,6 km f)f) 5,8 ⋅ 10-3 km
E03.E03. 30 m
E04.E04. 390,625 vezes
46
E05. a)E05. a) 7,5 ⋅ 104 g b)b) 8,0 ⋅ 10-4 g c)c) 10-2 g
E06.E06. 40 pessoas de 80 kg e 20 pessoas de 50 kg.
E07. a)E07. a) 60 s b)b) 3.600 s c)c) 8,64 ⋅ 104 s d)d) 2,592 ⋅ 106 s
E08.E08. 2h 52min 5s
E09.E09. 107 átomos
E10.E10. 6,37 ⋅ 106 m
E11.E11. 7.300 m
E12.E12. 570 mgE13.E13. 40 gotas
E14.E14. 20 min
E15. a)E15. a) F b)b) F c)c) V d)d) V e)e) F f)f) V
E16. a)E16. a) -8 b)b) 1 c)c) 500 d)d) 1 e)e) 0 f)f) 3/4
g)g) 1/5 h)h) 1/8 i)i) 81 j) j) 1/8 k)k) 1/225 l)l) 1
m)m) 0 n)n) 2 o)o) 9/4 p)p) 64/125
E17.E17. 79/8
E18. a)E18. a) 3 b)b) 1 c)c) 2 d)d) 4
E19. a)E19. a) 78,2 × 102 b)b) 782,0 × 101 c)c) 0,782 × 104 d)d) 78200, × 10-1
E20. a)E20. a) 5,29 × 102
b)b) 7,843 × 103 c)c) 5,971432 × 106
d)d) 7,3 × 10
e)e) 7 × 10-1
f)f) 5,2 × 10-1
g)g) 2,78 × 10-1
h)h) 5,697 × 10-2 i)i) 7,49 × 109
j) j) 5,947 × 10-8
k)k) 3,8 × 103
l)l) 7,159 × 10-13
E21. a)E21. a) 104 b)b) 104 c)c) 10-6 d)d) 10-4
E22. a)E22. a) 3 × 106 b)b) 3 × 10
E23. a)E23. a) 4 b)b) 3 c)c) 2 d)d) 3
E24. a)E24. a) 5 × 10-9 b)b) 3 × 1010 c)c) 6 × 10-4 d)d) 2,2 × 10-4
E25. a)E25. a) 104 b)b) 105 c)c) 10-1 d)d) 102
E26.E26. 105
E27.E27. 101
E28. a)E28. a) 52−
b)b) 5 36
c)c) 22315 +
d)d) 3 538 +−
e)e) 335 5 +
47
f)f) 2410 −
E29. a)E29. a) 55
b)b) 26
c)c) 34−
d)d) 711
e)e) 26
f)f) 313
Testes:Testes:
T01.T01. Um caminhão consegue transportar 3,9 toneladas de carga. Sabendo que uma laranja pesa
130 gramas, quantas laranjas o caminhão pode carregar?
a)a) 30 b)b) 300 c)c) 3.000 d)d) 30.000 e)e) 300.000
T02.T02. Em uma área disponível em formato retangular, de 3 metros por 4 metros, eu pretendo cavaruma cisterna para guardar 15.000 litros de água. A qual profundidade, em centímetros, eu devo
cavar?
a)a) 1,25 cm b)b) 12,5 cm c)c) 125 cm d)d) 1.250 cm e)e) 12.500 cm
T03.T03. Um aquário tem o formato de um paralelepípedo retangular, de largura 50 cm, comprimento
32 cm e altura 25 cm. Para encher 3/4 dele com água, quantos litros de água serão usados?
a)a) 0,03 b)b) 0,3 c)c) 3 d)d) 30 e)e) 300
T04.T04. Em uma enchente, um jornalista viu uma menina com uma lata de refrigerante de 350 ml.
Perguntando à menina o que ela estava fazendo, ela respondeu que estava tirando a água para
secar a enchente. Sabendo que o volume da enchente era de 70.000 m3
, quantas viagens a meninateria que fazer para secar toda a água?
a)a) 2⋅102 b)b) 2⋅104 c)c) 2⋅106 d)d) 2⋅108 e)e) 2⋅1010
T05.T05. Muitos remédios são tomados em doses menores que o mg. Um comprimido de certo
remédio tem 0,025 mg de uma certa substância. Com 1 kg desta substância, quantos comprimidos
podem ser feitos?
48
a)a) < 1 b)b) 40 c)c) 40.000 d)d) 40.000.000 e)e) 400
T06.T06. Uma sala tem o formato aproximado de dois paralelepípedos grudados. Um destes tem
largura de 4 metros e comprimento de 3 metros, e o outro tem largura e comprimento iguais, de
2 metros. A altura da sala é de 2,5 metros. Eu quero comprar um ar condicionado para resfriar
esta sala, e cada ar condicionado indica o volume, em litros, que ele consegue refrigerar. Então,
é preciso comprar o menor ar condicionado, dentre aqueles que tem capacidade de resfriar esta
sala. Das opções abaixo, qual é a mais indicada?
a)a) 10.000 l b)b) 20.000 l c)c) 50.000 l d)d) 70.000 l e)e) 100.000 l
T07.T07. Fui colocar gasolina no meu carro, que estava com o tanque pela metade. Coloquei 35 litros
e enchi o tanque. Qual é a capacidade do tanque em m3?
a)a) 0,07 m3 b)b) 17,5 m3 c)c) 70 m3 d)d) 17.500 m 3 e)e) 175.000 m 3
T08.T08. Um avião decolou às 15 horas e 30 minutos, e a viagem durou 17.358 segundos.
Determine o horário em que o avião chegou.
a)a) 18 horas, 17 minutos, 16 segundos
b)b) 19 horas, 20 minutos, 19 segundos
c)c) 20 horas, 19 minutos, 18 segundos
d)d) 20 horas, 21 minutos, 22 segundos
e)e) 20 horas, 22 minutos, 24 segundos
T09.T09. O produto 0,000015 · 0,000000002 é igual a:
a)a) 3⋅10-40 b)b) 3⋅10-14 c)c) 30⋅10-14 d)d) 30⋅10-13 e)e) 3⋅10-4
--------
T11.T11. (UFPE) Em um hotel com 500 apartamentos, o consumo médio de água por apartamento é
de cerca de 170 litros por dia. Qual a ordem de grandeza do volume que deve ter o reservatório
do hotel, em metros cúbicos, para abastecer todos os apartamentos durante um dia de falta de
água?
a)a) 101 b)b) 102 c)c) 103 d)d) 104 e)e) 105
T12.T12. Qual é a ordem de grandeza do número de voltas dadas pela roda de um automóvel, com
diâmetro de 80 cm, ao percorrer uma estrada de 200 km?
49
a)a) 102 b)b) 103 c)c) 105 d)d) 1010 e)e) 109
T13.T13. Um recipiente cúbico tem 3,000 m de aresta, n é o número máximo de cubos, de 3,01 mm
de aresta, que cabem no recipiente. A ordem de grandeza de n é:
a)a) 106 b)b) 107 c)c) 108 d)d) 109 e)e) 1010
T14.T14. A ordem de grandeza em segundos, em um período correspondente a um mês, é:
a)a) 10 b)b) 103 c)c) 106 d)d) 109 e)e) 1012
T15.T15. Supondo-se que um grão de feijão ocupe o espaço equivalente a um paralelepípedo de
arestas 0,5 cm × 0,5 cm × 1,0 cm, qual das alternativas abaixo melhor estima a ordem de
grandeza do número de feijões contido no volume de um litro?
a)a) 10 b)b) 102 c)c) 103 d)d) 104 e)e) 105
T16.T16. O fumo é comprovadamente um vício prejudicial à saúde. Segundo dados da Organização
Mundial da Saúde, um fumante médio, ou seja, aquele que consome cerca de 10 cigarros por dia,
ao chegar à meia-idade terá problemas cardiovasculares. A ordem de grandeza do número de
cigarros consumidos por este fumante durante 30 anos é de:
a)a) 102 b)b) 103 c)c) 104 d)d) 105 e)e) 106
T17.T17. O censo populacional realizado em 1970 constatou que a população do Brasil era de 90
milhões de habitantes. Hoje, o censo estima uma população de 150 milhões de habitantes. A
ordem de grandeza que melhor expressa o aumento populacional é:
a)a) 106 b)b) 107 c)c) 108 d)d) 109 e)e) 1010
50
Questões DesafiosQuestões Desafios
D01.D01. Relação entre volumes de Relação entre volumes de reservatórios.reservatórios.
Técnicos concluem mapeamento do aquífero
Guarani: O aquífero Guarani localiza-se nosubterrâneo dos territórios da Argentina, Brasil,
Paraguai e Uruguai, com extensão total de
1.200.000 quilômetros quadrados, dos quais
840.000 quilômetros quadrados estão no Brasil.
O aquífero armazena cerca de 30 mil quilômetros
cúbicos de água e é considerado um dos maiores
do mundo. Na maioria das vezes em que são feitas
referências à água, são usadas as unidades metro
cúbico e litro, e não as unidades já descritas. A
Companhia de Saneamento Básico do Estado
de São Paulo (SABESP) divulgou, por exemplo,
um novo reservatório cuja capacidade de
armazenagem é de 20 milhões de litros.
Respostas dasRespostas das
Questões Desafios:Questões Desafios:
01. E01. E
02. B02. B
03. E03. E
04. E04. E
05. B05. B
06. B06. B
07. C07. C
08. A08. A
Respostas dos Testes:Respostas dos Testes:
01. D01. D
02. 02. C C 11. 11. BB
03. 03. D D 12. 12. CC
04. 04. D D 13. 13. DD
05. 05. D D 14. 14. CC
06. 06. C C 15. 15. DD
07. 07. A A 16. 16. DD
08. 08. C C 17. 17. CC
09. B09. B
51
Comparando as capacidades do aquífero Guarani e desse novo reservatório da SABESP, a
capacidade do aquífero Guarani é:
a)a) 1,5 × 102 vezes a capacidade do reservatório novo.
b)b) 1,5 × 103 vezes a capacidade do reservatório novo.
c)c) 1,5 × 106 vezes a capacidade do reservatório novo.
d)d) 1,5 × 108 vezes a capacidade do reservatório novo.
e)e) 1,5 × 109 vezes a capacidade do reservatório novo.
D02. CáD02. Cállculo do peso mínimo de um carro de fórmula 1 culo do peso mínimo de um carro de fórmula 1 para percorrer um certo número depara percorrer um certo número de
volta.volta.
Segundo as regras da Fórmula 1, o peso mínimo do carro, de tanque vazio, com o piloto, é de
605 kg, e a gasolina deve ter densidade entre 725 e 780 gramas por litro. Entre os circuitos nos
quais ocorrem competições dessa categoria, o mais longo é Spa-Francorchamps, na Bélgica, cujo
traçado tem 7 km de extensão. O consumo médio de um carro da Fórmula 1 é de 75 litros para
cada 100 km.
Suponha que um piloto de uma equipe específica, que utiliza um tipo de gasolina com densidade
de 750 g / l , esteja
no circuito de Spa-Francorchamps, parado no box para reabastecimento. Caso ele pretenda dar
mais 16 voltas, aoser liberado para retornar à pista, seu carro deverá pesar, no mínimo:
a)a) 617 kg b)b) 668 kg c)c) 680 kg d)d) 689 kg e)e) 717 kg
D03.D03. CáCállculo de elementos indicadores de peso e gordura corporal dado o IMC de umaculo de elementos indicadores de peso e gordura corporal dado o IMC de uma
pessoa.pessoa.
Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja amplamente utilizado, existem ainda inúmeras
restrições
teóricas ao uso e às faixas de normalidade preconizadas. O Recíproco do Índice Ponderal (RIP),
de acordo com o
modelo alométrico, possui uma melhor fundamentação matemática, já que a massa é uma variável
de dimensõescúbicas e a altura, uma variável de dimensões lineares. As fórmulas que determinam esses índices
são:
52
Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kg/m2, então ela possui RIP igual
a:
a)a) 3 / 1kg
cm4,0 b)b)
3 / 1kg
cm5,2 c)c)
3 / 1kg
cm8 d)d)
3 / 1kg
cm20 e)e)
3 / 1kg
cm40
D04. CáD04. Cállculo da escala de um culo da escala de um mapa.mapa.
Sabe-se que a distância real, em linha reta, de uma cidade AA, localizada no estado de São Paulo,
a uma cidade BB, localizada no estado de Alagoas, é igual a 2.000 km. Um estudante, ao analisar
um mapa, verificou com sua régua que a distância entre essas duas cidades, AA e BB, era 8 cm. Os
dados nos indicam que o mapa observado pelo estudante está na escala de:
a)a) 1 : 250
b)b) 1 : 2.500 c)c) 1 : 25.000
d)d) 1 :
250.000
e)e) 1 :
25.000.000
D05. Conversão de unidades de medidas de posição dada por um GPS.D05. Conversão de unidades de medidas de posição dada por um GPS.
PAVARIN, G. Galileu, fev. 2012 (adaptado).
Em 20 de fevereiro de 2011 ocorreu a grande erupção do vulcão Bulusan nas Filipinas. A sua
localização geográfica no globo terrestre é dada pelo GPS (sigla em inglês para Sistema de
Posicionamento Global) com longitude de 124o3’0’’ a leste do Meridiano de Greenwich. A
representação angular da localização do vulcão com relação a sua longitude da forma decimal é:
Dado: 1o equivale a 60’ e 1’ equivale a 60’’.
a)a) 124,02o b)b) 124,05o c)c) 124,220 o d)d) 124,30o e)e) 124,50o
D06. Cálculo do tempo mínimo para todos os espectadores de um show entrarem numD06. Cálculo do tempo mínimo para todos os espectadores de um show entrarem num
estádio.estádio.
Um show especial de Natal teve 45000 ingressos vendidos. Esse evento ocorrerá em um estádio
de futebol que disponibilizará 5 portões de entrada, com 4 catracas eletrônicas por portão. Em
cada uma dessas catracas, passará uma única pessoa a cada 2 segundos. O público foi igualmente
dividido pela quantidade de portões e catracas, indicados no ingresso para o show, para a efetiva
entrada no estádio. Suponha que todos aqueles que compraram ingressos irão ao show e que
todos passarão pelos portões e catracas eletrônicas indicadas. Qual é o tempo mínimo para que
todos passem pelas catracas?a)a) 1h b)b) 1h15min c)c) 5h d)d) 6h e)e) 6h15min
D07. Cálculo da quantidade de soja exportada pelo Brasil.D07. Cálculo da quantidade de soja exportada pelo Brasil.
As exportações de soja do Brasil totalizaram 4,129 milhões de toneladas no mês de julho de
2012, e registraram um aumento em relação ao mês de julho de 2011, embora tenha havido uma
baixa em relação ao mês de maio de 2012.
53
(Disponível em: www.noticiasagricolas.com.br. Acesso em: 2 ago. 2012.)
A quantidade, em quilogramas, de soja exportada pelo Brasil no mês de julho de 2012 foi de:
a)a) 4,129 ×
103
b)b) 4,129 ×
106
c)c) 4,129 ×
109
d)d) 4,129 ×
1012
e)e) 4,129 ×
1015
D08. Cálculo do volume do reservatório que atenderá às necessidades de uma família.D08. Cálculo do volume do reservatório que atenderá às necessidades de uma família.
Para economizar em suas contas mensais de água, uma família de 10 pessoas deseja construir um
reservatório para armazenar a água captada das chuvas, que tenha capacidade suficiente para
abastecer a família por 20 dias. Cada pessoa da família consome, diariamente, 0,08 m3 de água.
Para que os objetivos da família sejam atingidos, a capacidade mínima, em litros, do reservatório
a ser construído deve ser:
a)a) 16.000 b)b) 8.000 c)c) 1.600 d)d) 800 e)e) 16
54
ANEXO AANEXO A
Medidas de Medidas de ComprimentoComprimento
Unidade Símbolo Equivalência
Gigametro Gm 1 Gm = 109 m
Megametro Mm 1 Mm = 106 m
Quilômetro km 1 km = 103 m
Hectômetro hm 1 hm = 102 m
Decâmetro dam 1 dam = 101 m
Metro Metro m m 1 1 m m = = 101000 m m
Decímetro dm 1 dm = 10-1 m
Centímetro cm 1 cm = 10-2 m
Milímetro mm 1 mm = 10-3 m
Micrômetro µm 1 µm = 10-6 m
Nanômetro nm 1 nm = 10-9 m
Ångströn Å 1 Å = 10-10 m
Picômetro pm 1 pm = 10-12 m
Medidas de MassaMedidas de Massa
Unidade Símbolo Equivalência
Tonelada t 1 t = 103 kg
Quilograma kg
Grama g 1 g = 10-3 kg
Miligrama mg 1 mg = 10-6 kg
Medidas de Intervalo de TempoMedidas de Intervalo de Tempo
Unidade Símbolo Equivalência
Segundo s
Minuto min 1 min = 60 s
Hora h 1 h = 3.600 s
55
(( )'!*ÕES+ !*ÕES GERAIS)'!*ÕES+ !*ÕES GERAIS
O conceito de função é um dos mais importantes para a Matemática e Ciências Aplicadas.
Ele está presente na maioria das vezes que queremos relacionar grandezas. Neste capítulo
apresentaremos o conceito de função e seus elementos principais e, além disso, você aprenderá
duas formas de representar e estudar funções: Através da sua lei (expressão algébrica) e, também,
pela interpretação gráfica.
ConceitoConceito
Antes de iniciarmos o estudo de funções, vamos entender o conceito de intervalo e suas
notações. Isto será fundamental para a compreensão das próximas definições.
4.1.14.1.1 Intervalos numéricosIntervalos numéricos
Os intervalos reais são conjuntos numéricos que obedecem alguma relação de
desigualdade. Para as definições a seguir, considere os números e reais e com .
Intervalo aberto:Intervalo aberto: Conjunto de números reais entre e , excluindo estes dois extremos.
Notação: , ∈ |
As “bolinhas” abertas indicam que os pontos não pertencem ao intervalo.
Intervalo fechado:Intervalo fechado: Conjunto de números reais entre e , incluindo estes dois extremos.
Notação:Notação: , ∈ |
As “bolinhas” fechadas indicam que os pontos pertencem ao intervalo.
Intervalo semi-aberto:Intervalo semi-aberto: Conjunto de números reais entre e , incluindo apenas um dosextremos.
Notação:Notação: , ∈ | Notação:Notação: , ∈ |
56
Intervalos infinitos:
Notação:Notação: , ∞ ∈ |
Notação:Notação:
, ∞ ∈ |
Notação:Notação: ∞, ∈ |
Notação:Notação:
∞, ∈ |
Noção intuitiva de funçãoNoção intuitiva de função
Vejamos um exemplo ilustrativo: O valor a ser pago pela corrida de taxi é dada por uma
tarifa inicial fixa de R$ 4,00 e acrescido de um valor variável por km rodado, num valor de R$
0,40 por km. Com essa informação podemos construir uma tabela que relaciona o número de km
rodados num taxi com o valor a ser pago pela corrida:
Distância percorrida (km) 1 2 3 4 ... x
Preço a ser pago (R$) 3,40 3,80 4,20 4,60 ... 3,00 + 0,40 x
Observe que o preço a ser pago pela corrida é dado em função da distância percorrida:
Preço a ser pago (R$) = 3,00 + 0,40 x.
Dessa forma, a lei da funçãolei da função é dada por y(x)= 3,00 + 0,40 x, em que y representa o valor a ser
pago e x representa a distância percorrida.
Definição de funçãoDefinição de função
Consideremos os exemplos a seguir.
ExemploExemplo
Considere a relação que associa, a cada elemento do conjunto A = {-2,-1,0,1,2}A = {-2,-1,0,1,2}, o seu dobro,
localizado no conjunto B = {-4,-2,-1,0,1,2,3,4}B = {-4,-2,-1,0,1,2,3,4}, ou seja, queremos uma função entre os conjuntos
AA e BB cuja lei é dada pela fórmula 2.
Observação:Observação: Existem outras formas de denotarmos intervalos abertos e semi-abertos,usando-se parênteses em vez de colchetes. Por exemplo:, , , , , ,
57
∈ A ∈ B
-2 -4
-1 -2
0 0
1 2
2 4
Figura 1: Diagrama de VennFigura 1: Diagrama de Venn
Exemplo:Exemplo:
Sejam A = {0,1,2}A = {0,1,2} e B = {-1,2,5}B = {-1,2,5} dois conjuntos que se relacionam através do diagrama de Venn,
a seguir.
Figura 2: Diagrama de VennFigura 2: Diagrama de Venn
4.3.1 Definição4.3.1 Definição
Dados dois conjuntos não-vazios AA e BB, uma função de AA em BB é uma relação que associa
a cada elemento ∈ AA, um e somente um ∈ BB. Usamos a notação a seguir:
Observação:Observação: Verificamos, através do diagrama de Venn, que:• Todos os elementos de A têmtêm algum correspondente em B.
• A cada elemento de A estamos associando apenas umapenas um elemento de B.
Nesse caso, temos uma função de A em Bfunção de A em B, expressa pela lei 2 , apesar de algunselementos estarem sem correspondente no conjunto A.
Observação:Observação: Nesse caso não temos uma função de AA em BB, pois o elemento 0 não se
relaciona com nenhum elemento de BB e o elemento 1 se relaciona com mais de umelemento em BB.
58
: A A → B,B,
em que lê-se: é uma função de A em B.
Para cada elemento ∈ A, identificamos por o elemento ∈ B associado a . Por
exemplo, no Exemplo 1, mostrado anteriormente, podemos afirmar que: 2 !, " 2, # #, " 2 e 2 !.
4.3.2 Domínio, Contradomínio e Imagem4.3.2 Domínio, Contradomínio e Imagem
Dada uma função : AA → BB, o conjunto A chama-se domínio da função, $, e oconjunto B chama-se contradomíniocontradomínio da função, %$. Para cada elemento ∈ A, o elemento
∈ B é chamado de imagem deimagem de pela função pela função . O conjunto de todos os valores de B que
possuem relação com algum elemento de A é chamado de conjunto imagem de de , &' . Exemplo:Exemplo:
Considere a relação entre os conjuntos A e B descritos pelo diagrama de Venn a seguir, cuja lei é
dada por 2 .
Figura 3: Diagrama de VennFigura 3: Diagrama de Venn
A aplicação apresentada pode ser classificada como uma função? Nesse caso,A aplicação apresentada pode ser classificada como uma função? Nesse caso,através do diagrama de Venn (figura 3) é possível determinar o seu domínio,através do diagrama de Venn (figura 3) é possível determinar o seu domínio,contradomínio e imagem?contradomínio e imagem?Nesse caso, é uma função de A em B, pois cada elemento de A está associado a um, esomente um, elemento de B.Sim, é possível verificar através do diagrama de Venn que:
• ( ), 2,",*, que são todos elementos do conjunto A.• O contradomínio são todos os elementos do conjunto B, dado por: +( ,2,",#,",,*,-
• E finalmente, obtemos a imagem verificando todos os elementos do conjunto B, que
se relacionam com os elementos do conjunto A. Portanto, a imagem da função é dada
por: / ,#,,-.
59
Exemplo:Exemplo:
Seja a lei da função dada por 013 . Verifique, que o único número que não pode ser
substituído na expressão é o número 2, pois teríamos o denominador igual a zero, que não éconsiderado um número real. Nesse caso, consideraremos o domínio da função todos os números
reais exceto o 2, ou seja, ( ∈ 4 | 5 2 .
Plano Cartesiano e esboço de gráfico de funçõesPlano Cartesiano e esboço de gráfico de funções
O sistema cartesiano ortogonal é um sistema de referência formado por um par de eixos
perpendiculares, O (eixo das abscissas) e O (eixo das ordenadas), que se encontram no ponto
chamado de Origem O.O. Tais eixos são orientados e medidos em unidades. O plano que contém
tais eixos é chamado de plano cartesiano.
Usamos o sistema cartesiano para localizar pontos no plano. Dado um ponto PP (como mostra a
figura abaixo), dizemos que os números aa (abscissa) e bb (ordenada) são as coordenadas do ponto
PP e denotamos por P(a,b)P(a,b).
Observação:Observação: Quando não temos de modo explícito o domínio de uma função , devemosconsiderar este como o maior conjunto possível que contém valores aos quais podemosassociar uma imagem.em BB.
Observação:Observação: Há outras situações, que resulta em um número não pertencentes ao conjuntodos números reais, tais como:
• Raízes com o índice par, cujo radical é negativo, 6 789 .
• Nos números representados por logaritmo, ;<=> , para # , o número não
pertence ao conjunto dos números reais. Portanto, o logaritmando, , só pode ser
maior do que zero.
Exemplo:Exemplo:
Vamos localizar num plano cartesiano os
pontos A(1,2)A(1,2), B(-1,3) B(-1,3), C(0,5)C(0,5), D(-4,0) D(-4,0),
E(0,0)E(0,0) e F(-3,-4) F(-3,-4). Verifique na figura 5 a
marcação de cada um desses pontos.
Observe que o ponto A possui abscissaigual a 1 e ordenada igual a 2, portanto,
com coordenadas iguais a (1,2).
Construção GráficaConstrução Gráfica
O gráficográfico de uma função : X → Y é o conjunto dos pares ordenados , para ∈ X. Para traçar o gráfico de uma função dada por , devemos construir uma tabela com
alguns valores de e suas respectivas imagens e associar cada par ordenado a um ponto do
plano cartesiano e, por fim, esboçar o gráfico.
Exemplo:Exemplo:
Considere a função : 4 → 4 dada por 2 .
Observação:Observação: Os eixos O e O dividem o plano em quatro quadrantes, a saber:
• No 1º quadrante: # e #.
• No 2º quadrante: # e #.
• No 3º quadrante: # e #.
• No 4º quadrante: # e #.
PASSO 1: Vamos construir uma tabela com alguns valores de (escolhidos aleatoriamente) e
suas respectivas imagens:
-1 ? @ A ? B )
0 C @ A C B 2 1 ? @ A ? B "
2 B @ A B B !
PASSO 2: Vamos marcar os 4 pontos, no plano cartesiano.
PASSO 3: Traçar o gráfico, ligando os
pontos, que nesse caso estão contidos em
uma reta.
Toda curva esboçada num plano representa o gráfico de uma função?Toda curva esboçada num plano representa o gráfico de uma função?Nem toda curva esboçada num plano cartesiano representa gráfico de uma função.Já vimos que, para uma relação entre dois conjuntos seja considerada uma função,é necessário que para cada valor de associemos um e apenas um valor de .Sendo assim, para que uma curva no plano represente o gráfico de uma função,qualquer reta perpendicular ao eixo O deve intersectar o gráfico em um único ponto.
ExemploExemplo:
O gráfico acima não é de uma função, pois
existem retas perpendiculares ao eixo O
que intersectam o gráfico em mais de um
ponto.
O gráfico acima é de função, pois toda reta
perpendicular ao eixo O que intersecta o
gráfico, intersecta apenas em um ponto. Ou
seja, para cada valor de , temos associado
um, e somente um, valor de .
Análise do gráfico de uma funçãoAnálise do gráfico de uma função
Através do gráfico de uma função podemos analisar o seu crescimento, ou seja,
determinar o conjunto de valores de para os quais a função é crescente (se 0 3, então
0 3), os valores de para os quais a função é decrescente (se 0 3, então 0
3) e os valores para os quais
é constante (
0 3, D 0, 3 ∈ ( .
Exemplo:Exemplo:
Observe que no gráfico da função (figura 10), considerando os pontos E"," F G, ,verifica-se que:
Se 0 " 3 , então 0 " 3 . Nesse caso, a função é crescentecrescente, por
definição.
Observação:Observação: Algumas vezes não é possível construir o gráfico de uma funçãoatravés da marcação de pontos tomados aleatoriamente no plano. Muitas vezes, adepender do tipo de função é necessário tomar pontos de forma estratégica, paraconseguir o esboço do seu gráfico. Tais funções: linear, quadrática, logarítmica,exponencial, trigonométricas etc., serão estudadas posteriormente, e você terácondições de compreender melhor a construção gráfica de cada uma delas.
Exemplo:Exemplo:
Observe que no gráfico da função (figura11), considerando os pontos:
E"," F G, , verifica-se que: se 0 " 3 , então
0 " 3 .Nesse caso, a função é decrescentedecrescente, por definição.
De modo análogo, a partir do gráfico de uma função podemos estudar o sinal da função, ou seja,
determinar o conjunto de valores de para os quais a função é positiva ( #, negativa
( # e nula ( #).
Exemplo:Exemplo:
Verifique no gráfico da função 3 2 figura 12), que representa uma parábola. Para
qualquer valor de x menor -2, e maior que 2, o valor da f(x) será maior do zero, portanto a função
é positiva. Similarmente, se tomarmos qualquer valor para x entre -2 e 2, a f(x) será negativa.
Movimentação gráficaMovimentação gráfica
Dado uma função e, considerando H ∈ F H # , podemos construir gráfico por
movimentação do gráfico de funções elementares, apenas modificando ligeiramente a sua lei.
Veja os movimentos, que podemos obter a seguir:
4.7.1 Movimentos de Translações:4.7.1 Movimentos de Translações:
Translação para cima: H
Translação para baixo: H
Translação para a direita: H Translação para a esquerda: H
4.7.2 Movimentos de Reflexões:4.7.2 Movimentos de Reflexões:
Em relação ao eixo OX:
Em relação ao eixo OY:
Parcial: ||
Observação:Observação: Os valores de para os quais # são chamados de raízes ouzeros da função. Graficamente, as raízes das funções podem ser encontradasobservado as interseções do gráfico da função com o eixo O. No exemplo 10,acima, as raízes da função são 2 e 2, que podem ser identificadasgraficamente através da interseção do gráfico com o eixo Ox.
Exemplo:Exemplo:
Vamos tomar como exemplo a Função Modular, definida da seguinte forma: : → , || , cujo domínio ( I JKL=IK / M. O módulo ou valor
absoluto de um número é definido por:
|| N , OF #, OF # P
Observe, que ao associarmos alguns pontos, podemos obter o gráfico elementar dessa função.
Verifique nos gráficos abaixo, como as modificações na lei da função modular resulta na
movimentação do seu gráfico do plano cartesiano.
Translação Translação para para cima cima Translação Translação para para baixobaixo
Translação Translação para para a a direita direita Translação Translação para para a a esquerdaesquerda
∈ Q ∈ Q
-3-3 3
-2-2 2
-1-1 1
00 0
11 1
22 2
33 3
Reflexão Reflexão em em relação relação ao ao eixo eixo OX OX Reflexão Reflexão em em relação relação ao ao eixo eixo OYOY
Gráficos de funções elementaresGráficos de funções elementares
A seguir apresentaremos os gráficos de mais algumas funções elementares, e vale ressaltar
que a movimentação gráfica vale para todos os tipos de funções. Posteriormente, nos próximos
capítulos, você estudará as particularidades de cada função elementar.
Função Potência:Função Potência: R, S TUVOWVWF.Se p é um inteiro positivo par, S 2,! ,XY As funções são pares e simétricas em relação a #Z
e sempre passa pelos pontos "," e ",".
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1
1
2
3
4
5
6
y = x^2y = x^2
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1
1
2
3
4
5
6
7
y = x^4y = x^4
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−1
1
2
3
4
5
6
7
y = x^6y = x^6
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1
1
2
3
4
5
6
y = x^2y = x^2
y = x^4y = x^4y = x^6y = x^6
Observação:Observação: Na figura 19, a reflexão em relação ao eixo OY, não ocasiona efeito demovimentação do gráfico na função modular. O gráfico permanece o mesmo dafunção elementar, pois || | |, para todo x pertencente a .Similarmente, acontece com o movimento de reflexão parcial: | | ||||.
Se p é um inteiro positivo ímpar, S ",,)... As funções são ímpares, simétricas em relação a
srcem e sempre passa pelos pontos "," e ",".
Se p é um inteiro negativo par, S 2,!,XY As funções são pares, simétricas em relação
a OY, sempre passa pelos pontos (1,1) e (-1,1) e é interrompido na srcem.
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
y = x^3y = x^3
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
y = xy = x
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−3
−2
−1
1
2
3
4
y = x^5y = x^5
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−3
−2
−1
1
2
3
4
y = xy = x
y = x^3y = x^3
y = x^5y = x^5
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1
1
2
3
4
5
6
y = x^-4y = x^-4
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−1
1
2
3
4
5
6
y = x^-2y = x^-2
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
7
y = x^-2y = x^-2
y = x^-4y = x^-4
y = x^-6y = x^-6
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1
1
2
3
4
5
6
y = x^-6y = x^-6
Se p é um inteiro negativo ímpar, S ",,)Y . As funções são ímpares, simétricas em
relação a srcem, sempre passa pelos pontos (1,1) e (-1,-1) e é interrompido na srcem. O gráfico "[ é chamado hipérbole equilátera.
Se S "[V, V ",2,,. . ., \] 6 ]
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
y = x^-1y = x^-1
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
y = x^-3y = x^-3
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
y = x^-5y = x^-5
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
y = x^-1y = x^-1
y = x^-3y = x^-3
y = x^-5y = x^-5
y = x^-3y = x^-3
−1 1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−3
−2
−1
1
2
3
4
y = root(3,x)y = root(3,x)
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−2
−1
1
2
3
4y = -root(3,x)y = -root(3,x)
−1 1 2 3 4 5 6 7 8
−4
−3
−2
−1
1
2
y = -sqr(x)y = -sqr(x)
Função Exponencial:Função Exponencial: : Q → Q, ^, # L 5 "
Função Crescente: " Função Decrescente: # "
Função LogarítmicaFunção Logarítmica: : QM_ → Q, `ab ^ , # L 5 "
Função Crescente: " Função Decrescente: # "
Exemplos:Exemplos: Verifique os gráficos abaixo e as movimentações gráficas
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
7
y = (1/2)^xy = (1/2)^x
−6 − 5 − 4 − 3 − 2 − 1 1 2 3
−1
1
2
3
4
5
6
y = 2^xy = 2^x
−1 1 2 3 4 5 6 7 8
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
y = log(1/2,x)y = log(1/2,x)
−1 1 2 3 4 5 6 7 8
−2
−1
1
2
3
4
5
y = ln(x)y = ln(x)
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
y = (x+2)^3+1y = (x+2)^3+1
y = x^3y = x^3
y = x^3y = x^3
(x,y) = (-2,1)(x,y) = (-2,1)
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
y = 1/(x-1)+2y = 1/(x-1)+2
y = 1/xy = 1/x
Atividades de AprendizagemAtividades de Aprendizagem
Exercícios TeóricosExercícios Teóricos
E01.E01. Preencha cada espaço sinalizado na tabela a seguir (tarjas cinzas), com o intervalo sinalizado
em cada linha de acordo com o tipo de notação indicada nas colunas.
Notação Tipo 1 Notação Tipo 2 Representação Gráfica" 2,!
2 ∈ |2 !
"
," 2
T" T2 ∈ | " !
T
c" c2 c
F"
∞,#
F2 F
" 2
E02.E02. Uma empresa que realiza serviços de manutenção de edifícios organizou a tabela abaixo que
indica o número de funcionários necessários para a realização do serviço em função do número
de andares do prédio a ser construído.
Nº de andares Nº de funcionáriosNº de funcionários
11 6
22 12
33 18
44 2455 30
66 36
...... ...
Sendo nn o número de andares do edifício e NN o número de funcionários a ser disponibilizado para
a obra, qual a variável independente? Qual a variável dependente?
2
-8 2
-3
(a) Qual é a fórmula (lei da função) que associa NN a nn?
(b) Quantos funcionários seriam necessários para realizar o serviço em um prédio de 17 andares?
(Resolva esse exercício utilizando a expressão da letra a.)
(c) Sendo enviados 126 funcionários para a manutenção de um edifício, quantos andares, no
máximo, seriam possível realizar o serviço? (Resolva esse exercício utilizando a expressão da
letra a.)
E03.E03. Dados os conjuntos A = {a,b,c} e B = {d,e,f,g}, considere a relação descrita através dastabelas abaixo. Esboce, usando diagrama de Venn, cada relação dada e, por fim, avalie se a relação
é ou não de função.
(a) Relação 1
A B
b f
c g
(b) Relação 2
A B
a d
b f
b g
c e
(c) Relação 3
A B
a e
b f
c g
(d) Relação 4
A B
a e
c f
E04.E04. Identifique se cada relação dada abaixo, através dos diagramas de Venn, se a aplicação é ou
não uma relação de função. Em caso positivo, indique o domínio, contradomínio e a imagem da
função. Caso não seja função, justifique a sua resposta.
(a) (b)
(c) (d)
E05.E05. Explicite o domínio de cada função abaixo:
d131e (b) f 6 ) (c) g 6 2 *h
E06.E06. Identifique os pares ordenados de cada um dos pontos representados no plano cartesiano
abaixo.
E07.E07. Represente os pares ordenados abaixo por pontos no plano cartesiano.
A(1, 3)
B(-3, 5)
C(3, -2)
D(-4, -1)
E(0,1)
F(-3,0)
G(-3,5 ; 1)
H(-2,3 ; 0,5)
I(0, π)
J(π,π)
E08.E08. Esboce o gráfico da função 3 ".
Através do gráfico de uma função podemos, em alguns casos, determinar o domínio e a imagem
da função projetando o gráfico nos eixos coordenados, portanto:
( iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii / iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii E09.E09. Identifique se cada gráfico abaixo é ou não gráfico de função. Em caso positivo,
Identifique o domínio e a imagem.
(a)
É função?
Não ( ) Sim ( )( /
(b)
-2
-1
0
1
2
É função?
Não ( ) Sim ( )( /
E10.E10. Considere o gráfico a seguir. Estude o sinal da função, determine os intervalos em que a
função é crescente e os intervalos em que a função é decrescente. A função tem raiz(es)? Qual(is)?
Estudo do sinal da função:
(a1) Se _______________ , então #.
(a2) Se _______________ , então #.
(a3) A função tem raízes? ( ) Sim, se ______________, então # ( ) Não.
(a4) Raízes: ___________________ ____________________________________ __
Estudo do crescimento da função:
(b1) Se _______________ , então
#.
(b2) Se _______________ , então #.
(b3) A função tem raízes? ( ) Sim. Se ______________, então # ( ) Não.
(b4) Raízes: __________________________________ _____________________ __
Respostas dos Exercícios Teóricos:Respostas dos Exercícios Teóricos:
E01.E01.
Notação Tipo 1 Notação Tipo 2 Representação Gráfica
" 2,!
2 ∈ |2 !
"
," 2 ∈ | "
T" " ,! T2 ∈ | " ! T
c"
j , 2
c2 ∈ | j 2
c
F" ∞,#
F2 ∈ | #
F " ∞,
2 ∈ |
E02.E02. (a)
k X A V (expressão)
(b) k X A V X A "* "#2 funcionários
(c) k X A V l "2X X A V l V 03mm 2" LnoLpIq
E03.E03.
(a) (b)
(c) (d)
42
0
-8 2
-3
-1 4
-3 1
E04.E04.
(a)(a) Representa uma função: ( , , +( T,,f , / , f
(b)(b) Não representa uma função, pois o elemento b possui duas imagens.
(c)(c) Representa uma função: ( ,,T , +( T,,f , / T,,f
(d)(d) Não representa uma função, pois o d pertencente ao conjunto A não se relaciona com nenhum
elemento de B.
E05.E05.r ( ∈ | 5 [2
s ( ∈ | )
t (
E06.E06.
A(-4; 3)
B(4; 0)
C(0; -2)
D(5; -3)
E(0;0)
F(0;3,5)
G(1 ; -2,5)
H(-3 ; -1)
I(-2,5; 5)
J(-5;0)
E07.E07.
E08.E08.
( /
-2 5-1 2
0 1
1 2
2 5
E09.E09.
(a) É gráfico de uma função. ( e /
(b) Não é gráfico de uma função.
E10.E10.
(a1) Se # , então #.
(a2) Se 2 , então #.
(a3) A função tem raízes? ( x ) Não.
(b1) Se X , então #.
(b2) Se 2 , então #.
(b3) A função tem raízes? ( x ) Sim.
Se " F " , então #.(b4) Raízes: " F ".
TestesTestes
T01.T01. O serviço de água e esgoto de uma cidade cobra R$ 1,50 pelos primeiros 10 m3 de água
consumida e mais R$ 0,25 por metro cúbico que exceder essa quantia. Verifique qual é a função
do 1o grau abaixo que define a quantia a serem pagos por um consumo de x metros cúbicos acima
dos 10 m 3.
(a) y = – 1,50 + 0,25 x
(b) y = 1,50 + 0,25 x
(c) y = 10 + 0,25 x
(d) y = 1,50 – 0,25 x
(e) y = – 10 + 0,25 x
T02.T02. Um comerciante contratou um novo funcionário para cuidar das vendas. Combinou pagar a
essa pessoa R$ 250,00 por semana, e, como um estímulo, também propôs que ele pagaria 1,4 real
por cada produto vendido. Ao término da primeira semana, esse novo funcionário conseguiu ficar
com um salário de R$ 390,00. Quantos produtos esse funcionário vendeu?
(a) R$ 60,00.
(b) R$ 180,00.
(c) R$ 172,00.(d) R$ 100,00.
(e) R$ 120,00.
T03.T03. As frutas que antes se compravam por dúzias, hoje em dia, podem ser compradas por quilogramas, existindo
também a variação dos preços de acordo com a época de produção. Considere que, independente da época ou variação
de preço, certa fruta custa R$ 1,75 o quilograma. Dos gráficos a seguir, o que representa o preço m pago em reais
pela compra de n quilogramas desse produto é:
(a) (b) (c) (d) (e)
T04.T04. Através dos dois esquemas de flechas a seguir, em que {3,1,5,2} A = e { 2,5,0 ,1,6,3 } B = − , avalie os
seguintes itens:
Esquema de flexa (1)
Esquema de flexa (2)
I. O esquema de flexa (1) não define uma função porque o elemento 1 do conjunto B não corresponde com
nenhum elemento do conjunto A.
II. O esquema de flexa (1) não representa uma função devido ao fato do elemento 5 do conjunto A estar
relacionado com mais de um elemento do conjunto B.
III. O esquema de flechas (2) representa uma função mesmo que elementos do conjunto B não se corresponda
com nenhum elemento do conjunto A.
Está (ão) correta (s) apenas a (s) alternativa(s):
(a) I e III (b) I (c) II e III (d) II (e) I, II e III
T05.T05. Através dos dois esquemas de flechas a seguir, em que { 1,0, 1, 2} A = − e { 2, 1,0 ,1,2 ,3} B = − − , avalie os
seguintes itens:
Esquema de flexa (1) Esquema de flexa (2)
- 7979 -
I. O esquema de flexa (1) não define uma função porque o elemento 1 do conjunto A possui duas imagens.
II. O esquema de flexa (1) não representa uma função devido ao fato do elemento 3 do conjunto B estar
relacionado com o elemento 1 e 2 ambos pertencentes ao conjunto A.III. O esquema de flechas (2) não representa uma função, pois todos os elementos do conjunto A possuem uma
mesma imagem (elemento 1 pertencente ao conjunto B).
Está (ão) correta (s) apenas a (s) alternativa(s):
(a) I e III (b) I (c) II e III (d) II (e) I, II e III
T06.T06. Quais dos intervalos abaixo, representam o domínio da função2 2
( )1
x f x
x
+=
−?
(a) ]",∞ (b) #," (c) ",∞ (d) ∞," (e) ∞,∞
T07.T07. (Unicap-PE) Um estudo das condições ambientais de um município indica que a taxa média de monóxido de
carbono no ar será de () 0,5 1C p p= − ppm (partes por milhão) quando a população for de p milhares de habitantes.
Sabendo que daqui a t anos, a população será de 2() 10 0,1 p t t = + , calcule qual é a taxa de monóxido de carbono no
ar, atualmente. O valor encontrado é:
(a) ) SS/ (b) SS/ (c) 4 ppm (d) 1 ppm (e) 2 ppm
- 8080 -
T08. (Adaptada ENADE 2008)T08. (Adaptada ENADE 2008) Apesar do progresso
verificado nos últimos anos, o Brasil continua sendo um
país em que há uma grande desigualdade de renda entre
os cidadãos. Uma forma de se constatar este fato é por
meio da curva de Lorenz, que fornece, para cada valor de
x entre 0 e 100, o percentual da renda total do país
auferido pelos x % de brasileiros de menor renda. Por
exemplo, na Curva de Lorenz para 2004, apresentada ao
lado, constata-se que a renda total dos 60 % de menor
renda representou apenas 20 % da renda total.
De acordo com o mesmo gráfico, o percentual da renda
total correspondente aos 40 % de maiormaior renda foi,
aproximadamente, igual a:
(a) 2# u (b) !# u (c) 50 % (d) 60 % (e) 80 %
Respostas dos Testes:Respostas dos Testes:
T01. bT01. b
T02. dT02. dT03. eT03. e
T04. cT04. c
T05. bT05. b
T06. aT06. a
T07. cT07. c
T08. eT08. e
- 8181 -
,, )'!*ÕES A)I!S E -'A$R.TICAS)'!*ÕES A)I!S E -'A$R.TICAS
Função AfimFunção Afim
O salário de um funcionário é composto de uma parte fixa no valor de R$ 2300,00, e uma parte que varia em
função do número de clientes atendidos pelo funcionário. Para cada cliente atendido, é adicionado ao salário do
cliente um valor de R$ 20,00, ou seja:
SALÁRIO = R$ 2300,00 + (nº de clientes atendidos)
vR$ 20,00.
Nesse sentido, o salário mensal do funcionário é descrito pela função 2# 2##, em que representa o salário do funcionário num mês em que foram atendidos clientes.
A relação acima é chamada de função afim.
Uma função : 4 → 4 é dita uma função afim se existirem dois números e tais que . Neste
caso, a constante é chamada de coeficiente angular e a constante é chamada de coeficiente linear.
No exemplo do salário do funcionário, a função afim possui coeficiente angular igual a 20 e coeficiente linearigual a 2300.
5.1.15.1.1 Raiz de uma função afimRaiz de uma função afim
Como já foi definida anteriormente, uma raiz de uma função é um valor ∈ ( para o qual a função se
anula, ou seja, #. De modo geral, para encontrar o conjunto de raízes de uma função, igualamos a sua lei a 0
(zero) e resolvemos a equação obtida.
Por exemplo, se e3 ", podemos calcular a raiz da função da seguinte forma:
# →2 " →
2 " → " A
2 →
2.
Logo, possui uma única raiz: 3e.
- 8282 -
5.1.25.1.2 Gráfico de uma função afimGráfico de uma função afim
O gráfico de uma função afim é uma reta cuja posição no plano w depende dos seus coeficientes angular e
linear.
Por exemplo, para esboçar o gráfico da função 2 2 , determine alguns pontos que pertencem ao
gráfico da função, marque esses pontos no plano cartesiano e, por fim, trace a reta que representa o gráfico procurado:
B B
? " 2" 2 !
C # 2A # 2 2
? " 2 A " 2 #
B 2 2 A 2 2 2
Observe que a reta acima intersecta o eixo w no valor da raiz de e intersecta o eixo w no valor para o qual
#, ou seja, no ponto #, . Sendo assim, para esboçar o gráfico de uma função afim, podemos, no primeiromomento, identificar os pontos de interseção do gráfico com os eixos coordenados e tentar traçar o gráfico da função.
Exercício Resolvido:Exercício Resolvido:
Considere a função afim , com , ∈ 4 . Sabendo que " X e 2, determine a
lei de .
Solução:
Como " X, então:
" → X l X A " .
De modo análogo, como 2, então:
→ 2 l 2 A .
Com isso, obtemos o sistema
N X 2 .
Resolvendo-se o sistema acima, obtemos que 2 e !. Desse
modo, a lei da função é 2 ! .
- 8383 -
5.1.35.1.3 Crescimento e Decrescimento de uma função afimCrescimento e Decrescimento de uma função afim
Já vimos que o gráfico de uma função afim, , é uma reta. A partir do valor do coeficiente angular
podemos determinar o comportamento da reta quanto ao seu crescimento:
^ C
A reta não possui inclinação. Neste caso, sua representação
no plano cartesiano será uma reta horizontal (paralela ao eixow) e que passa no eixo w no valor .
^ C A reta é crescente.
^ C A reta é decrescente.
- 8484 -
Função QuadráticaFunção Quadrática
Uma função : 4 → 4 é chamada de função quadrática se 3 T, em que ,,T ∈ 4 , com 5 #.
O gráfico de uma função quadrática é uma curva denominada de parábola.
Para exemplificar, considere a função quadrática 3 j "2 ( " , j e T "2 . Vamos
atribuir valores para a variável e obter os respectivos valores para a variável . Identificando os pontos ,
encontrados e ligando-os de modo a formar a curva, obtemos um esboço do gráfico de
:
B x ?B
C # #3 j A # "2 "2
B 2 23 j A 2 "2 #
y ! !3 j A ! "2 !
z X X3 j A X "2 #
x j j3 j A j "2 "2
5.2.15.2.1 Raízes de uma Função QuadráticaRaízes de uma Função Quadrática
Para calcular as raízes de uma função quadrática, 3 T, usamos a Fórmula de Bháskara:
{ 6 2 , em que 3 !T, chamado de discriminante.
Exemplo:Exemplo:
Vamos usar a Fórmula de Bháskara para calcular as raízes da função
3 ) !.
Note que os coeficientes da função são ", ) e T !. Dessa forma, )3 ! A" A! - . Substituindo na
fórmula, encontramos:
) { 6 -2 A " ){2
}
" ou ! .
- 8585 -
Sendo assim, concluímos que a parábola que representa o gráfico de , intersectará o eixo w nos pontos ",# e
!,#.
Encontradas as raízes de 3 T, a saber 0 e 3, podemos decompor (fatorar) a função com:
A 0 A 3. Por exemplo, a função anterior, 3 ) !, pode ser decomposta como
" A ~ "• A ~ !•
" A !.5.2.25.2.2 Gráfico de uma função quadráticaGráfico de uma função quadrática
Para auxiliar na construção do gráfico de uma função quadrática, vamos pontuar quatro fatos:
1. O sinal do coeficiente indica a concavidade (abertura) da parábola:
^ C
(concavidade voltada para cima)(concavidade voltada para cima)
^ C
(concavidade voltada para baixo)(concavidade voltada para baixo)
- 8686 -
2. O sinal de indica o número de raízes (interseções com o eixo w):
^ C ^ C
C
duas raízes reais e distintas
C
duas raízes reais e iguais
C
a função não possui raiz
real
3. O gráfico de sempre intersecta o eixo w no
ponto de coordenadas #,T :
4. O vértice (ponto € , em que a função
atinge seu valor máximo ou mínimo) pode ser
calculado através das fórmulas a seguir:
2
!
- 8787 -
Observação: O vértice de uma função quadrática é o ponto no qual a parábola muda
de comportamento quanto ao seu crescimento:
# → N a função é crescente no intervalo , ∞a função é decrescente no intervalo ∞ ,
# → N a função é crescente no intervalo ∞ , a função é decrescente no intervalo
, ∞
O vértice de uma função quadrática também é chamado de ponto mínimo ( #)
ou ponto máximo ( #). Dizemos que é o valor mínimo ( #) ou valor máximo
( #) de .
- 8888 -
Atividades de AprendizagemAtividades de Aprendizagem
Exercícios TeóricosExercícios Teóricos
E01.E01. Responda os itens a seguir:
a)a) dada a função 2 , determine ".
b)b) dada a função ! ) , determine o valor de tal que *.
E02.E02. Escreva a função afim,
, sabendo que :
a)a) " ) e
*
b)b) " * e
2 "
c)c) " ) e
2 !
E03.E03. Para cada função a seguir, calcule a raiz (se existir), determine as interseções com os eixos coordenados e
esboce o gráfico.
a)a) 2 ) b)b) † c)c) ) d)d) 13 " e)e) f 3e 0‡
E04.E04. A reta, gráfico de uma função afim, passa pelos pontos 2,X e ),# . Determine essa função e calcule
"X.
E05.E05. Um comerciante teve uma despesa de $ 230,00 na compra de certa mercadoria. Como vai vender cadaunidade por $ 5,00, o lucro final ˆ será dado em função das unidades vendidas. Responda:a)a) Qual a lei dessa função ;
b)b) Para que valores de têm #? Como podemos interpretar esse caso?c)c) Para que valores de haverá um lucro de $ 315,00?d)d) Para que valores de o lucro será maior que $ 280,00?
E06.E06. Dadas às funções e ‰, descubra o ponto de intersecção dos respectivos gráficos.a)a) 2 )
e f 2 )
b)b) e
f 2 X
c)c) ! e
f
E07.E07. Seja a função afim definida por ! " e cujo gráfico é a reta Š. Determinar a função afim f cuja reta correspondente passa por ", " e é paralela à reta Š.
E08.E08. Assinale as alternativas cujas funções correspondam a funções quadráticas, em caso positivo, indique oscoeficientes , e T.
a)a) b)b) 3 c)c) 21 d)d) 3 "2 e)e) 3
E9.E9. Quais dos pontos pertencem à parábola 3 2 ?
a)a) # , b)b) " , ! c)c) ‹ 3e ,2Œ d)d) ,# e)e) ! ,
- 8989 -
E10.E10. Determine o vértice da parábola que representa a função definida por:
a)a) 322 −−= x x y b)b) 1582 −+−= x x y c)c) 962 +−= x x y d)d) 652 +−= x x y e)e) 243 x x y −=
E11.E11. Para cada função a seguir, calcule a raiz (se existir), determine as interseções com os eixos coordenados e
esboce o gráfico.
a)a) 122 +−= x x y b)b) x x y 22 −−= c)c) 243 2 +−= x x y
Respostas dos Exercícios Teóricos:Respostas dos Exercícios Teóricos:
E01.E01.
a)a) 1 b)b) 1/2
E02.E02.
a)a)
2 b)b)
2 ) c)c)
2
E03.E03.
a)a)
Raiz: )[2
Interseções com os eixos: ‹d3 , #Œ e # ,)
b)
Raiz: †
Interseções com os eixos: † , # e # , †
- 9090 -
c)c)
Raiz: )[
Interseções com os eixos: ‹ de ,#Œ e # ,)
d)
Raiz: 2
Interseções com os eixos: 2 , # e # , "
e)e)
Raiz: [j
Interseções com os eixos: ‹e ,#Œ e ‹# , 0‡Œ
E04.E04.
a)a) - !) e "X --
E05.E05.
a)a) ) 2# b)b) Para !X c)c) Para "#- d)d) Para "#2
E06.E06. a)a) # , ) b)b) 2 , "# c)c) #,X Ž 2,!
E07.E07.
a)a) !
- 9191 -
E08.E08.
a)a) Não b)b) Sim; " , #
e T #
c)c) Não d)d) Sim; ,
# e T "2
e)e) Sim; " , "
e T #
E09.E09.
a), b) e d)
E10.E10.
a)a) " ,! b)b) ! , " c)c) , # d)d) ‹d3 , 0‡Œ e)e) ‹e , 0mŒ
E11.E11.
a)a) b)b) c)c)
Testes:Testes:
T01. (PUC)T01. (PUC) Considere um terreno retangular que pode ser cercado com 50m de corda. A área desse terreno expressa
como função do comprimento de um dos lados é:
a)a) A(x) = -x2 + 25x para x ≥ 0 d)d) A(x) = -3x2 + 50x para 0 < x < 50/3
b)b) A(x) = -3x2 + 50x para x ≥ 0 e)e) A(x) = 3x2 + 50x para 0 < x < 50/3
c)c) A(x) = -x2 + 25x para 0 < x < 25
T02. ( FUVEST)T02. ( FUVEST) O gráfico de B ‘ , onde e ‘ são constantes, passa pelos pontos (0,0) e (1,2).
Então 2[ vale:
a)a) -2/9 b)b) 2/9 c)c) -1/4 d)d) 1/4 e)e) 4
- 9292 -
T03.T03. (VUNESP)(VUNESP) O gráfico ao lado mostra o resultado
de uma experiência relativa à absorção de potássio
pelo tecido da folha de certo vegetal, em função do
tempo e em diferentes condições de luminosidade.
Nos dois casos, a função linear, , ajustou-se
razoavelmente bem aos dados, daí a referência de
como taxa de absorção (geralmente medida em
micromols por unidade de peso por hora). Com base
no gráfico, se
0 é a taxa de absorção no claro e
3 é a
taxa de absorção no escuro, a relação entre essas duas
taxas é:
a)a) 0 3 b)b) 3 20 c)c) 0 A 3 " d)d) 0 A 3 " e)e) 0 23
T04.T04. (UFRRJ)(UFRRJ) O custo de produção de um determinado artigo é dado por C(x) = 3xC(x) = 3x22 – 15x + 21 – 15x + 21. Se a venda de xx unidades é dada por V(x) = 2xV(x) = 2x22 + x + x, para que o lucro L(x) = V(x) – C(x)L(x) = V(x) – C(x) seja máximo, devem ser vendidas:
a)a) 20 unidades b)b) 16 unidades c)c) 12 unidades d)d) 8 unidades e)e) 4 unidades
T05.T05. Uma barra de ferro foi aquecida até uma temperatura de 30ºC e a seguir foi resfriada até a temperatura de –6ºC.Depois de quanto tempo, em minutos, após o início do resfriamento, a temperatura da barra atingiu 0ºC?
a)a)
1 b)b)
2 c)c)
3 d)d)
4 e)e)
5
T06.T06. (UNESP)(UNESP) A expressão que define a função quadrática f(x), cujo gráfico está esboçado, é:
a)a) 23 2 !
b)b) 3 2 !
c)c) 3 2
d)d) 23 2 !
e)e) 23 2 2
Respostas dos Testes:Respostas dos Testes:
01. C01. C
02. A02. A
03. E03. E
04. D04. D
05. E05. E
06. D06. D
- 9393 -
// CI!EM.TICA+ !*ÕES GERAISCI!EM.TICA+ !*ÕES GERAIS
IntroduçãoIntrodução
Nessa disciplina, nosso objetivo será estudar um dos vários ramos da Física: a Mecânica, que em termos muito
simples, estudará os movimentos e as condições em que eles se realizam, sempre relacionando três grandezas físicas
fundamentais: o comprimento, a massa e o tempo.
Didaticamente dividimos a Mecânica em três partes:
Nesta Unidade estudaremos a CinemáticaCinemática, porém, inicialmente existe a necessidade de conhecermos alguns
conceitos que serão utilizados neste estudo.
Conceitos FundamentaisConceitos Fundamentais
Ponto Material:Ponto Material: Suponha um carro percorrendo uma estrada muito extensa. Se compararmos as dimensões do
carro com o comprimento total da estrada veremos que uma medida é muito menor que a outra. Nessa situação,
podemos desprezar as dimensões do carro e denominá-lo ponto materialponto material ou partículapartícula.
Suponha agora o mesmo carro estacionado numa garagem. Nesse caso as dimensões do carro não podem ser
desprezadas, pois elas não são muito menores que as dimensões da garagem. Nessa situação, o carro é chamado de
corpo extensocorpo extenso.
Referencial:Referencial: Para determinar se um corpo se encontra ou não em movimento, é necessário ver a posição desse
corpo em relação a outros corpos que o rodeiam. Pense na seguinte situação: um homem sentado na poltrona de um
trem, que anda para a direita, acena para uma mulher na estação. Quando tomamos o trem em movimento como
referência, a posição do homem sentado na poltrona, em relação ao trem, não varia. Dizemos que o homem está em
repousorepouso em relação ao trem. Se tomarmos como referência a mulher na estação, verificamos que a posição do homem
está em movimentomovimento em relação à mulher.
CINEMÁTICA:CINEMÁTICA:estuda o movimento sem considerarsuas causas, isto é, sem se preocupar
como o que o produziu.
ESTÁTICA:ESTÁTICA:
estuda os corpos em equilíbrio.
DINÂMICA:DINÂMICA:estuda os movimentos dos corpose as causas que os srcinam, isto
é, as forças.
Ponto material é todo corpo cujasPonto material é todo corpo cujas
dimensões não interferem no estudodimensões não interferem no estudo
de um determinado fenômeno.de um determinado fenômeno.
- 9494 -
O corpo que tomamos como referência para dizer se um outro corpo está em movimento ou em repouso é
denominado referencialreferencial.
Note que, no exemplo dado, um mesmo corpo pode estar em repouso ou em movimento, dependendo do
referencial adotado. Portanto, os conceitos de repouso e de movimento são relativos.
A escolha do referencial é arbitrária, e só depois que ele for escolhido é que podemos dizer se um corpo está
em repouso ou em movimento.
Trajetória:Trajetória: Imagine um ciclista andando sobre a areia e deixando nela a marca do pneu de sua bicicleta. Esta
marca sobre a areia representa o caminho percorrido por ele em relação a uma pessoa parada no solo. Essa marca é
denominada trajetóriatrajetória.
A trajetória depende do referencial adotado. Suponha, por exemplo, um avião voando com velocidade
constante. Se num certo instante ele abandonar uma carga, ela cairá segunda uma trajetória vertical em relação às
pessoas do avião.
De acordo com a trajetória, os movimentos recebem as seguintes denominações:
Movimento retilíneo: Movimento retilíneo: a trajetória é uma reta;
Movimento curvilíneo: Movimento curvilíneo: a trajetória é uma curva.
Para um observador parado no solo, que observa o avião de lado, a trajetória
da carga será parabólica.
Um corpo está emUm corpo está em repousorepouso quando a posição desse corpo quando a posição desse corpo
em relação ao referencial não varia com o tempo.em relação ao referencial não varia com o tempo.
Um corpo está emUm corpo está em movimentomovimento quando a posição desse quando a posição desse
corpo em relação ao referencial varia com o tempo.corpo em relação ao referencial varia com o tempo.
Trajetória é a linha determinadaTrajetória é a linha determinada
pelas diversas posições que um corpopelas diversas posições que um corpo
ocupa no decorrer do tempo.ocupa no decorrer do tempo.
- 9595 -
Na Cinemática Escalar, estudamos o movimento de um ponto material ao longo de sua trajetória considerando
a posição do ponto material, sua velocidade e aceleração como grandezas escalares.
Posição Escalar:Posição Escalar: Quando conhecemos a forma da trajetória de um corpo, podemos determinar sua posição no
decorrer do tempo por meio de um único número.
Como exemplo, vamos considerar um corpo movimentando-se sobre a trajetória da figura.
Para localizarmos esse corpo num determinado instante, adotamos arbitrariamente um ponto O sobre a
trajetória, ao qual chamamos srcem das posiçõessrcem das posições , e orientamos a trajetória – nesse ponto, positivamente para a
direta – a partir de O.
Para conhecer a posição do corpo, num certo instante, precisamos conhecer sua distância em relação ao ponto
O. Essa posição será positiva se o corpo estiver à direita da srcem, e negativa se estiver à esquerda. Costumamos
representar a posição de um corpo num dado instante pela letra s.
Na trajetória a seguir, temos:
• a posição do corpo no instante t = 1h é s = -4 km;
• a posição do corpo no instante t = 2h é s = 3 km.
Função Horária:Função Horária: No estudo da Cinemática não existe preocupação em explicar o movimento, mas somente em
descrevê-lo no sentido estritamente geométrico. Esse estudo se restringe à escolha de um referencial e ao registro, em
termos matemáticos, das sucessivas posições ocupadas por um corpo no decorrer do tempo.
Assim, partindo da posição atual do corpo, num certo referencial, pode-se determinar a sua posição futura no
mesmo referencial.
A partir do aqui e do agora do corpo – posição e instante iniciais – para um dado observador, podemos prever
o ali e o depois – posição e instante finais – do corpo em relação ao mesmo observador.
Para prevermos o ali e o depois usamos a função horária, que relaciona a posição s ocupada pelo corpo com o
tempo t. Toda função horária é do tipo s = f(t).
Como exemplo, vamos considerar um móvel percorrendo a trajetória retilínea indicada na figura, seguindo a
função horária s = 2 + 3t (no SI).
- 9696 -
• Quando t = 0 → s0 = 2 m. • Quando t = 4s → s4 = 14 m.
Portanto, s0 é a posição do móvel no instante zero e s 4 a posição no instante 4s.
Deslocamento Escalar e Distância Percorrida:Deslocamento Escalar e Distância Percorrida: Consideremos um móvel percorrendo uma pista circular com
srcem no ponto O e orientada em sentido anti-horário.
Suponha que o móvel tenha partido do ponto A,
deslocando-se 10 metros ( l 1) para o ponto B e, em seguida, 7
metros ( l 2) para o ponto C.
Chamamos de distância percorridadistância percorrida (d) pelo móvel, no
movimento de A a C, a soma dos arcos l 1 + l 2 (10m + 7m =
17m). O arco l 3, cuja medida é 3m (10m – 7m) representa o
deslocamento escalardeslocamento escalar (∆s) do móvel de A a C.
O deslocamento escalar é dado pela diferença entre a posição final sf e a posição inicial s i: s = ss = sf f - s - sii.
O sinal algébrico do deslocamento escalar indica em que sentido ocorreu o deslocamento: se no mesmo sentido
da trajetória (movimento progressivomovimento progressivo) ou em sentido contrário (movimento retrógradomovimento retrógrado).
• Se o movimento for no sentido positivo da trajetória (sf > si), ∆s será positivo:
∆s = sf – si ∆s = 40 – 10 = +30 km (O móvel deslocou-se no sentido positivo).
• Se o movimento for contrário ao sentido positivo da trajetória (sf < si), ∆s será negativo:
Observe que deslocamento escalardeslocamento escalar e
distância percorridadistância percorrida são conceitos
físicos diferentes.
- 9797 -
∆s = sf – si ∆s = 30 – 50 = -20 km (O móvel deslocou-se no sentido negativo)
Se o móvel mudar de sentido, teremos deslocamentos escalares positivos e negativos. Nesse caso, a distânciatotal percorrida (espaço percorrido) é igual à soma dos módulos de cada um dos deslocamentos.
Velocidade Escalar:Velocidade Escalar:
Velocidade Escalar Média:Velocidade Escalar Média: Suponha um carro percorrendo um trecho de estrada entre duas cidades. Sabemos que
o carro não mantém sempre a mesma velocidade durante o trajeto, isto é, sua velocidade varia com o tempo.
Na prática, para estudar o movimento do carro é interessante conhecer e tratar o movimento de uma forma
global e não detalhar esse estudo em cada ponto da estrada.
A velocidade escalar média (vm) é uma informação sobre o movimento global. Para obtê-la, dividimos o
deslocamento escalar pelo tempo gasto na viagem.
Como exemplo, imagine que numa viagem de São Paulo a São José dos Campos um carro se deslocasse 100
km em 2 h.
50km/h2h
100km v
percursonogastotempotodeslocamen
v mm ==→=
É óbvio que, durante o trajeto, a velocidade do carro, em cada instante, às vezes foi maior e outras vezes menor
do que 50km/h. A velocidade escalar média representa a velocidade constante que o carro deveria manter para,
partindo da mesma posição inicial, chegar à mesma posição final gastando o mesmo tempo.
A velocidade escalar média também pode ser definida num intervalo de tempo. Como por exemplo, vamos
considerar um carro percorrendo a trajetória indicada na figura.
Suponhamos que, para percorrer a variação de espaço ∆s = s2 – s1, o carro leve o tempo ∆t = t2 – t1.
- 9898 -
• Observe que, se o carro se movimentar no sentido positivo da trajetória, teremos:
• Se o carro se movimentar no sentido contrário ao sentido positiva da trajetória, teremos:
Velocidade Escalar Instantânea:Velocidade Escalar Instantânea: Imagine-se dirigindo um carro numa viagem. A partir de certo instante, você olha
para o velocímetro, consulta o relógio e começa a anotar as velocidades indicadas no decorrer do tempo.
Suponha que os valores anotados sejam os da tabela ao lado.
Observe que para cada instante podemos associar um valor para a velocidadedo carro. A cada valor indicado pelo velocímetro num dado instante denominamos
velocidade instantâneavelocidade instantânea.
Dependendo do sinal da velocidade escalar instantânea, podemos ter dois
tipos de movimento: movimento progressivo e movimento retrógrado.
• Movimento Progressivo:Movimento Progressivo: quando o móvel caminha no mesmo sentido da orientação da trajetória, isto é, as posições
crescem algebricamente no decorrer do tempo. Neste caso, dizemos que a velocidade do móvel é positiva.
• Movimento Retrógrado:Movimento Retrógrado: quando o móvel caminha no sentido contrário da orientação da trajetória, isto é, as
posições decrescem algebricamente no decorrer do tempo. Neste caso, dizemos que a velocidade do móvel é negativa.
Tempo Velocidade(km/h)(km/h)
8h 80
8h 10min 60
8h 25min 90
8h 30min 100
8h 40min 40
Movimento Progressivo: v > 0Movimento Progressivo: v > 0
Movimento Retrógrado: v < 0Movimento Retrógrado: v < 0
ss22 > s > s11 s > 0s > 0 v vmm > 0 > 0
ss22 < s < s11 s < 0s < 0 v vmm < 0 < 0
Define-se como velocidade escalar médiavelocidade escalar média do carro, entre os
instantes t1 e t2, a grandeza vm dada por:
12
12m tt
ssΔtΔs
v−
−==
A unidade de velocidade no SI é o metro por segundo (m/s).
Podemos, também, utilizar o quilômetro por hora (km/h).
- 9999 -
Aceleração Escalar:Aceleração Escalar:
Aceleração Escalar Média:Aceleração Escalar Média: Consideremos um carro cujo velocímetro indica, num certo instante, uma velocidade
de 10 km/h. Se, por exemplo, 1 s após pisar no acelerador o velocímetro indicar 30 km/h, podemos afirmar que a
velocidade do carro aumentou de 20 km/h em 1 s. Assim, dizemos que o carro recebeu uma aceleração.
A aceleração é relacionada com uma variação de velocidade. Para definirmos a aceleração escalar média,
vamos considerar um móvel percorrendo a trajetória da figura:
Observando a velocidade escalar de um móvel em movimento, podemos afirmar:
• se a velocidade for constante, isto é, for sempre a mesma, o movimento será uniformeuniforme;
• se a velocidade variar, isto é, não for sempre a mesma, o movimento será variadovariado.
Num certo intervalo de tempo de um movimento variado pode ocorrer aumento ou diminuição da velocidade,
com maior ou menor rapidez.
A aceleração escalar média mede a rapidez dessa variação da velocidade.
A aceleração escalar média é A aceleração escalar média é numericamente igual ànumericamente igual à
variação de velocidade na unidade de tempo.variação de velocidade na unidade de tempo.
Aceleração Escalar Instantânea:Aceleração Escalar Instantânea: A aceleração escalar média indica o que ocorre com a velocidade num intervalo
de tempo. Para o conhecimento mais preciso do comportamento da velocidade dentro desse intervalo de tempo, ou
seja, em cada instante, é necessário reduzi-lo cada vez mais, aproximando-o do zero.
Assim, chega-se ao valor da aceleração instantânea, cuja definição é:
v1: velocidade no instante t1.
v2: velocidade no instante t2.
∆v = v2 – v1: variação de velocidade.∆t = t2 – t1: intervalo de tempo na variação ∆v.
Define-se como aceleração escalar média, entre os
instantes t1 e t2, a grandeza am, dada por:
12
12m tt
vvΔtΔv
a−
−==
A unidade de aceleração no SI é o
metro por segundo ao quadrado (m/s2).
A aceleração escalar instantânea é o limite
para o qual tende a aceleração escalar média
quando ∆t tende a zero.
m0Δt0Δtalim
ΔtΔv
lima→→
==
- 100100 -
De acordo com os sinais da velocidade e da aceleração, podemos ter dois tipos de movimento: movimentomovimento
aceleradoacelerado e movimento retardadomovimento retardado.
• Movimento Acelerado:Movimento Acelerado: quando o módulo da velocidade aumenta no decorrer do tempo. Isso ocorre quando a
velocidade e a aceleração têm o mesmo sinal.
Movimento Acelerado: vMovimento Acelerado: v a > 0 a > 0
Por exemplo, um carro percorrendo a trajetória no sentido indicado na figura e o motorista pisando no
acelerador.
• Movimento Retardado:Movimento Retardado: quando o módulo da velocidade diminui no decorrer do tempo. Isso ocorre quando a
velocidade e a aceleração têm sinais contrários.
Movimento Retardado: vMovimento Retardado: v a < 0 a < 0
Por exemplo, um carro freando ao se aproximar de uma pessoa.
t (h)t (h) 0 1 2 3 4 5
v (km/h)v (km/h) 20 40 60 80 100 120
v > 0
a > 0v ⋅ a > 0
t (h)t (h)0 1 2 3 4 5
v (km/h)v (km/h) 80 70 60 50 40 30
v > 0
a < 0v ⋅ a < 0
- 101101 -
Atividades de AprendizagemAtividades de Aprendizagem
Exercícios TeóricosExercícios Teóricos
E01.E01. Uma pessoa movimenta-se do ponto A para o ponto C e depois para D, descrevendo a trajetória da figura.
a)a) Qual a posição inicial da pessoa? E a posição final?b)b) Qual o módulo do deslocamento efetuado pela pessoa?
c)c) Quantos metros ela percorreu no total?
E02.E02. Dizemos que os conceitos de movimento e repouso são relativos, pois dependem do sistema de referência
estabelecido. Com base nisso é correto afirmar que:
I)I) um corpo parado em relação a um referencial pode estar em movimento em relação a outro referencial.
II)II) um livro colocado sobre uma mesa está em repouso absoluto, pois, para qualquer referencial adotado, sua
posição não varia com o tempo.
III)III) em relação a um edifício, o elevador estacionado no terceiro andar está em repouso. Porém, em relação ao
Sol, o mesmo elevador encontra-se em movimento.
E03.E03. Observe as figuras abaixo e, em cada caso, classifique o movimento em progressivo ou retrógrado e em
acelerado ou retardado.
- 102102 -
E04.E04. A tabela indica a posição de um móvel, no decorrer do tempo, sobre uma trajetória retilínea. Determine o
deslocamento efetuado pelo móvel entre os instantes:
E05.E05. A tabela mostra os valores dos instantes t, em segundos, e das posições s, em metros, referentes ao movimento
de um ponto material sobre uma trajetória retilínea.
a)a) Verifique se houve mudança de sentido do movimento.
b)b) Qual o espaço percorrido de 0 a 6 s?
c)c) Qual o módulo do deslocamento de 0 a 6 s?
E06.E06. Um ônibus sai de São Paulo às 8 horas e chega a Jabuticabal, que dista 350 km da capital, às 11h 30min. No
trecho de Jundiaí a Campinas, de aproximadamente 45 km, a sua velocidade foi constante e igual a 90 km/h.
a)a) Qual a velocidade média, em km/h, no trajeto São Paulo — Jabuticabal?b)b) Em quanto tempo o ônibus cumpre o trecho Jundiaí — Campinas?
E07.E07. Um dos fatos mais significativos nas corridas de automóveis é a tomada de tempos, isto é, a medida do intervalo
de tempo gasto para dar uma volta completa no circuito. O melhor tempo obtido no circuito de Susuka, no Japão,
pertenceu ao austríaco Gerard Berger, piloto da equipe McLaren, que percorreu os 5.874 m da pista em cerca de 1min
42s. Com base nesses dados, responda:
a)a) 0 e 2 s
b)b) 4 s e 9 s
- 103103 -
a)a) qual o deslocamento do automóvel de Gerard Berger no intervalo de tempo correspondente a uma volta completa
no circuito?
b)b) qual a velocidade escalar média desenvolvida pelo carro do piloto austríaco, em sua melhor volta no circuito?
E08.E08. Se um ônibus durante uma viagem entre duas cidades, distantes 400 km, gasta exatamente 5 horas, qual valor
de sua velocidade média?
E09.E09. Durante uma viagem de carro, você observa que passou pelo km 20, às 7h e pelo km 170, às 10h. No km 100,
uma pequena parada de 10 minutos foi feita para descanso. Determine a velocidade escalar média no intervalo de
tempo das 7h às 10h.
E10.E10. Um motociclista percorre 54 km em 30 minutos. Determine sua velocidade escalar média, expressando-a em
km/h e m/s.
E11.E11. Em uma corrida, um atleta percorre 3600 m em 12 minutos. Determine sua velocidade escalar média em m /s e
km/h.
E12.E12. Um ciclista profissional, em treinamento, pedalou 5000 m, mantendo uma velocidade constante de 36 km/h.
Calcule o intervalo de tempo, em segundos, gasto para percorrer essa distância.
E13.E13. Um fabricante de veículos anuncia que seu carro faz do repouso até atingir 108 km/h em apenas 10 segundos.
Determine, em unidades do SI, a aceleração escalar média deste carro.
E14.E14. Um carro com velocidade constante de 90 km/h, trafega por uma avenida, quando, em um certo instante, o
motorista percebe o sinal vermelho à sua frente. Imediatamente aciona os freios, parando em 5 segundos. Determine
a aceleração adquirida pelo carro em m/s2 e diga o significado do sinal negativo encontrado.
E15.E15. Um estudante de Física foi aferido por seu professor da seguinte forma: “A Terra está em movimento ou em
repouso?”. Obteve como resposta: “Depende do referencial adotado”.
A esse respeito, julgue os itens a seguir:
I)I) Um passageiro que viaja sentado numa poltrona em um trem em movimento está em repouso quando o
sistema de referência é o próprio trem.
II)II) Um cachorro que acabou de fazer xixi num poste se afasta dele. O posto está em repouso em relação ao
cachorro, pois não pode segui-lo.
III)III) Um ponto material qualquer está em movimento em relação a um determinado referencial quando sua
posição nesse referencial varia no decurso do tempo.
Respostas dos Exercícios Teóricos:Respostas dos Exercícios Teóricos:
E01. a)E01. a) si = -40 m e sf = -120 m b)b) 80 m c)c) 320 m
- 104104 -
E02.E02. I e III
E03. a)E03. a) Movimento Progressivo e Retardado b)b) Movimento Retrógrado e Acelerado
c)c) Movimento Retrógrado e Acelerado d)d) Movimento Progressivo e Retardado
E04. a)E04. a) 12 m b)b) 30 m
E05. a)E05. a) Não, movimento retrógrado. b)b) 110 m c)c) 110 m
E06. a)E06. a) 100 km/h b)b) 30 min
E07. a)E07. a) 5874 m b)b) 207,36 km /h
E08.E08. 80 km/h
E09.E09. 50 km/hE10.E10. 30 m/s
E11.E11. 18 km/h
E12.E12. 500 s
E13.E13. 3 m/s2
E14.E14. -5 m/s2, o que significa que o módulo da velocidade está diminuindo no decorrer do tempo.
E15.E15. V – F – V
TestesTestes
T01.T01. (UFMS) Um corredor percorre 0,2 km em linha reta, em um intervalo de tempo de 6,0 minutos. Qual é a sua
velocidade média em km/h?
a)a) 1 b)b) 2 c)c) 3 d)d) 4 e)e) 5
T02.T02. (ESPM-SP) A distância da faculdade até a zona leste da cidade é de 24 km. Considerando a velocidade máxima
permitida de 80 km/h, quantos minutos, no mínimo, uma pessoa deve gastar no percurso em trânsito completamente
livre?
a)a) 10 b)b) 12 c)c) 14 d)d) 16 e)e) 18
T03.T03. (Cesgranrio-RJ) Uma pessoa, correndo, percorre 4,0 km com velocidade escalar média de 12 km/h. O tempo do
percurso é de:
a)a) 3,0 min b)b) 8,0 min c)c) 20 min d)d) 30 min e)e) 33 min
T04.T04. (PUC-MG) Num passeio promovido pelo Jeep Clube de Minas Gerais, o navegador recebe uma planilha em que
se diz que um trecho de 10 km deve ser percorrido a velocidade média de 30 km/h. Se o veículo iniciar o trajeto às
11h00min, ele deverá chegar ao final do referido trecho às:
a)a) 11h30min b)b) 11h10min c)c) 12h40min d)d) 11h20min e)e) 14h00min
- 105105 -
T05.T05. (FEI-SP) Um carro faz uma viagem de 200 km a uma velocidade média de 40 km/h. Um segundo carro, partindo
uma hora mais tarde, chega ao ponto de destino no mesmo instante que o primeiro. Qual é a velocidade média do
segundo carro?
a)a) 45 km/h b)b) 50 km/h c)c) 55 km/h d)d) 60 km/h e)e) 80 km/h
T06.T06. Um objeto percorre 250 m de um trajeto com uma velocidade média de 25 m/s e os 50 m restantes com uma
velocidade média de 10 m/s. Determine a velocidade média no percurso total.
a)a) 12,5 m/s b)b) 15 m/s c)c) 17,5 m/s d)d) 20 m/s e)e) 22,5 m/s
T07.T07. Quando um motorista aumenta a velocidade escalar de seu automóvel de 60 km/h para 78 km/h em 10 s, ele
está comunicando ao carro uma aceleração escalar média, em m/s2, de:
a)a) 18 b)b) 0,2 c)c) 5 d)d) 1,8 e)e) 0,5
T08.T08. (FGV-SP) Um avião parte do repouso e depois de 20 s decola com velocidade de 360 km/h. Admitindo-se
constante a aceleração, qual o seu valor, em m/s2?
a)a) 2 b)b) 5 c)c) 10 d)d) 18 e)e) 72
T09.T09. (UFPE) Durante o teste de desempenho de um novo modelo de automóvel, o piloto percorreu a primeira metade
da pista na velocidade média de 60 km/h e a segunda metade a 90 km/h. Qual a velocidade média desenvolvida
durante o teste completo, em km/h?
a)a) 50 b)b) 65 c)c) 72 d)d) 80 e)e) 92
Respostas dos Testes:Respostas dos Testes:
01. B01. B
02. E02. E
03. C03. C
04. D04. D
05. B05. B
06. D06. D
07. E07. E
08. B08. B
09. C09. C
- 106106 -
00 MIME!TS RETIL!ESMIME!TS RETIL!ES
Movimento UniformeMovimento Uniforme
No nosso cotidiano, é muito comum exemplos de vários tipos de movimento. Basta olharmos para qualquer
lugar e sempre observaremos alguém ou algo se deslocando. Neste momento, interessa-nos um destes movimentos
em especial, o Movimento Uniforme.
Para entendermos um pouco melhor, imagine alguns exemplos:
• Um ônibus que em um trecho curto da viagem consegue manter a velocidade constante de 80 km /h.
• Um avião, no meio do caminho entre Porto Alegre e Recife, onde o piloto automático é ligado e a velocidade
se mantêm constante em 350 km/h.
• Um metrô em movimento entre duas estações, após adquirir sua velocidade máxima, a mantém constante
durante certo tempo em 36 km/h, até se aproximar da próxima estação onde precisará diminuir essa velocidade
até parar por completo.
Poderíamos citar vários outros exemplos, mas já podemos observar que em todos eles, sempre citamos que
durante um certo tempo (para nós é mais correto dizer: intervalo de tempo), a velocidade do objeto se manteve
constante, isto é, não mudou. Todos esses movimentos são, portanto, exemplos de Movimento Uniforme.
No movimento uniforme, o móvel percorre distâncias iguais em intervalos de tempo iguais.
O movimento da Terra em torno do seu eixo, o movimento dos ponteiros de um relógio também são exemplos
bem próximos de movimento uniforme. Na prática, os movimentos não são perfeitamente uniformes.
Se a trajetória for retilínea, o movimento será chamado movimento retilíneo e uniforme (MRU).
7.1.17.1.1 Funções HoráriasFunções Horárias
Conhecidas as características do movimento, vamos agora estabelecer as leis que regem o movimento
uniforme. Se a forma da trajetória for conhecida, essas leis permitirão determinar, em cada instante, a posição, a
velocidade e a aceleração de um corpo em movimento.
Posição em função do tempo [s = f(t)]Posição em função do tempo [s = f(t)]
Seja um móvel percorrendo com movimento uniforme (velocidade escalar constante igual a v) a trajetória dafigura.
- 107107 -
• s0: a posição do móvel no instante t0 = 0.
• s: a posição do móvel no instante t.
A velocidade escalar média do móvel no intervalo de tempo ∆t = t - t0 = t é:
0
0m tt
ssΔtΔsv
−−== , em que vm = v = constante.
s = ss = s00 + v + v tt
A função horária das posições de um móvel em movimento uniforme em relação ao tempo é função do 1º grau.
Essa função permite obter a posição de um móvel em movimento em qualquer instante.
Velocidade em função do tempo [v = f(t)]Velocidade em função do tempo [v = f(t)]
v = f(t) = constante ≠ 0 (o móvel tem, em toda trajetória, a velocidade do início do movimento).
Aceleração em função do tempo [v = f(t)]Aceleração em função do tempo [v = f(t)]
a = f(t) = 0 (não existe variação de velocidade durante o movimento)
Conclusões sobre o Movimento Uniforme:Conclusões sobre o Movimento Uniforme:
• Em intervalo de tempos iguais, o móvel realiza deslocamentos iguais.
• Para qualquer instante de tempo, a velocidade instantânea é sempre
igual à velocidade média do móvel.
• A aceleração de um móvel em Movimento Uniforme é nula, pois não
houve variação na velocidade.
• Se a trajetória for uma linha reta, o movimento é chamado de
Movimento Retilíneo e Uniforme (MRU).
- 108108 -
Atividades de AprendizagemAtividades de Aprendizagem
Exercícios TeóricosExercícios Teóricos
E01.E01. Um caminhão movimenta-se sobre uma trajetória retilínea segundo a função horária s = 10 + 2t (no SI).
Determine:
a)a) a posição inicial;
b)b) a velocidade;
c)c) a posição no instante t = 3s;d)d) o espaço percorrido após 6s;
e)e) o instante em que o ponto material passa pela posição 36 m;
E02.E02. Um móvel desloca-se com movimento retilíneo segundo à lei horária s = 20 + 8t (no SI). Determine:
a)a) a posição inicial do móvel;
b)b) a posição do móvel quando t = 5 s;
c)c) o instante em que o móvel passa pela posição 100 m;
d)d) a distância percorrida pelo móvel durante o 10º segundo;
e)e) o módulo do deslocamento e do espaço percorrido pelo móvel no intervalo de 5 s a 20 s.
E03.E03. Um ciclista A está com velocidade constante vA = 36 km/h, um outro ciclista B o persegue com velocidadeconstante vB = 38 km/h. Num certo instante, a distância que os separa é 80 m.
a)a) A partir desse instante, quanto tempo o ciclista B levará para alcançar o A?
b)b) Determine a posição dos ciclistas quando se encontrarem.
c)c) Calcule a distância que cada ciclista percorreu até o encontro.
E04.E04. Dois motociclistas A e B percorrem uma mesma pista retilínea representada pelo eixo orientado.
No início da contagem dos tempos suas posições são A = 10 m e B = 80 m. Ambos percorrem a pista no sentido
positivo do eixo com velocidades constantes, sendo vA = 30 m/s e vB = 20 m/s. Pedem-se:
a)a) o instante em que A alcança B;
b)b) a posição do encontro em relação ao marco zero da pista.
- 109109 -
E05.E05. Quanto tempo gasta um trem com 400 m de comprimento e velocidade de 20 m/s, para atravessar um túnel de
1.800 m de comprimento?
E06.E06. Um trem viaja por estrada retilínea com velocidade constante de 36 km/h. Calcule o comprimento do trem,
sabendo que ele leva 15 s para atravessar uma ponte de 60 m de comprimento.
E07.E07. Os móveis A, B e C partem de um mesmo ponto, com movimento retilíneo uniforme, em momentos diferentes.
B parte 2 minutos após A, e ambos desenvolvem a mesma velocidade. C parte por último, gastando 10 minutos para
alcançar B e mais 5 minutos para alcançar A. Determine, em minutos, o tempo decorrido entre a partida de A e a de
C.
E08.E08. No instante t0 = 0, a distância entre dois carros A e B é de 375 km. Eles se movem um ao encontro do outro
com velocidades constantes e de módulos respectivamente iguais a 60 km/h e 90 km/h, descrevendo uma mesma
trajetória retilínea.
Com a trajetória orientada conforme indica a figura e adotando como srcem dos espaços a posição inicial de A,
pedem-se:
a)a) as funções horárias dos espaços que descrevem os movimentos dos carros A e B;b)b) o instante em que os carros se encontram;
c)c) a posição do ponto de encontro.
E09.E09. Dois trens, A e B, de comprimentos iguais a 40 m e 50 m, respectivamente, percorrem linhas retilíneas e
paralelas com movimentos uniformes e velocidades constantes: vA = 90 km/h e v B = 72 km/h. Determine o tempo
gasto durante a ultrapassagem, sabendo que eles se movem em sentidos contrários.
E10.E10. Um móvel realiza um movimento uniforme num determinado referencial. Seus espaços variam com o tempo
segundo os dados da tabela:
t(s)t(s) 0 1 2 3 4 5
s(m)s(m) 160 120 80 40 0 -40
a)a) Determine o espaço inicial s0 e a velocidade escalar v do movimento.
b)b) O movimento é progressivo ou retrógrado?
c)c) Qual é a função horária do movimento?
- 110110 -
E11.E11. É dada a função horária do movimento de um móvel s = 100 + 80 t, onde s é medido em metros e t em segundos.
Determine:
a)a) o espaço inicial e a velocidade escalar;
b)b) o espaço quando t = 2s;
c)c) o instante em que o móvel se encontra a 500 m da srcem dos espaços;
d)d) se o movimento é progressivo ou retrógrado.
E12.E12. É dada a função horária do movimento de um móvel S = 60 – 12t, na qual s é medido em quilômetros e t em
horas. Determine:a)a) o espaço inicial e a velocidade escalar;
b)b) o espaço quando t = 3 h.
c)c) o instante em que o móvel passa pela srcem dos espaços;
d)d) se o movimento é progressivo ou retrógrado.
E13.E13. Dois móveis percorrem a mesma trajetória e seus espaços estão medidos a partir do marco escolhido na
trajetória. Suas funções horárias são:
SA = 30 – 80t e S B = 10 + 20t
Nestas funções, t é o tempo em horas e SA e SB são os espaços em quilômetros.
Determine o instante e a posição de encontro.
E14.E14. Duas pessoas partem simultaneamente de um mesmo ponto, seguindo trajetórias perpendiculares entre si, com
velocidades escalares constantes de 1,2 m/s e 0,9 m/s, respectivamente. Determine a distância que as separa após 10s.
E15.E15. Duas pequenas esferas A e B percorrem uma mesma trajetória retilínea com movimentos uniformes e
velocidades escalares 8,0 m/s e 6,0 m/s, respectivamente. No instante t = 0s, as esferas estão posicionadas conforme
a figura abaixo.
Determine em que instantes a distância entre as esferas é de 4,0 m
E16.E16. Um atirador aponta para um alvo e dispara um projétil, que sai da arma com velocidade de 300 m/s. O impacto
do projétil no alvo é ouvido pelo atirador 3,2 s após o disparo. Sendo de 340 m/s a velocidade de propagação do som
no ar, calcule a distância do atirador ao alvo.
E17.E17. Durante um nevoeiro, um navegador recebe dois sinais expedidos simultaneamente por um posto na costa, um
deles através do ar e outro através da água. Entre as recepções dos dois sons, decorre o intervalo de tempo ∆t = 4 s.
- 111111 -
Nas condições de experiência, a velocidade do som tem as grandezas 300 m/s no ar e 1.500 m/s na água. Determine
a distância entre o barco e o posto emissor dos sinais, conforme os dados acima.
Respostas dos Exercícios Teóricos:Respostas dos Exercícios Teóricos:
E01. a)E01. a) 10 m b)b) 2 m/s c)c) 16 m d)d) 12 m e)e) 13 s
E02. a)E02. a) 20 m b)b) 60 m c)c) 10 s d)d) 80 m e)e) 120 m
E03. a)E03. a) 144 s b)b) 1520 m c)c) A: 1440 m e B: 120 m
E04. a)E04. a) 7 s b)b) 220 mE05.E05. 1min 50s
E06.E06. 90 m
E07.E07. 12,14 min
E08. a)E08. a) sA = 60t; sB = 375 – 90t b)b) 2,5 h c)c) 150 km
E09.E09. 2 s
E10. a)E10. a) 160 m; -40 m/s b)b) Retrógrado c)c) s = 160 – 40t
E11.E11. a)a) 100 m e 80 m/s b)b) 260 m c)c) 6,25 s d)d) Progressivo
E12. a)E12. a) 60 km e -12 km/h b)b) 24 km c)c) 5 h d)d) Retrógrado
E13.E13. 0,2 h e 14 km
E14.E14. 15 m
E15.E15. 3,0 s; 7,0 s
E16.E16. 510 m
E17.E17. 1.500 m
- 112112 -
TestesTestes
T01.T01. Dois móveis partem simultaneamente de dois pontos, A e B, e deslocam-se em movimento uniforme sobre a
mesma reta, de A para B, com velocidades escalares de 20 m/s e 15 m/s. Se o encontro ocorre 50 s após a partida,
podemos afirmar que a distância inicial entre os mesmos era de:
a)a) 250 m b)b) 500 m c)c) 750 m d)d) 900 m e)e) 1025 m
T02.T02. Dois móveis, ambos com movimento uniforme, percorrem uma trajetória retilínea conforme mostra a figura.
Em t = 0, eles se encontram, respectivamente, nos pontos A e B na trajetória. As velocidades escalares dos móveis
são VA = 50 m/s e VB = 30 m/s no mesmo sentido.
Em qual ponto da trajetória ocorrerá o encontro dos móveis?
a)a) 200 m b)b) 225 m c)c) 250 m d)d) 300 m e)e) 150 m
T03.T03. Um movimento uniforme é descrito por s = 20 + 5t, onde s está em metros e t em segundos. O espaço inicial,a velocidade e o tipo de movimento serão, respectivamente:
a)a) 20 m, 5 m/s, movimento progressivo;
b)b) 5 m, 20 m/s, movimento progressivo;
c)c) 20 m, 5 m/s, movimento retrógrado;
d)d) 5 m, 20 m/s, movimento retrógrado;
e)e) 20 m, 5t m /s, movimento progressivo.
T04.T04. A tabela fornece, em vários instantes, a posição s de um automóvel em relação ao km zero da estrada em que
se movimenta.
t(h)t(h) 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0
s(km)s(km) 200 170 140 110 80 50
A função horária que nos indica a posição do automóvel, com as unidades fornecidas, é:
a)a) s = 200 + 30t b)b) s = 200 – 30t c)c) s = 200 + 15t d)d) s = 200 – 15t e)e) s = 200 – 15t 2
- 113113 -
T05.T05. (UFPA) O gráfico representa os deslocamentos de duas partículas, A e
B. Pela interpretação do gráfico, podemos garantir que:
a)a) as partículas partem de pontos diferentes com velocidades diferentes;
b)b) as partículas partem de pontos diferentes com a mesma velocidade;
c)c) as partículas partem do mesmo ponto com velocidades diferentes;
d)d) as partículas partem do mesmo ponto com a mesma velocidade;
e)e) as partículas partem de pontos diferentes com velocidades distintas e conservam suas velocidades.
T06.T06. (Fuvest-SP) Um automóvel faz uma viagem em 6,0 h e sua velocidadeescalar varia em função do tempo aproximadamente como mostra o gráfico.
A velocidade escalar média do automóvel na viagem é de:
a)a) 35 km/h b)b) 40 km/h c)c) 45 km/h d)d) 48 km/h e)e) 50 km/h
T07.T07. Qual é o tempo gasto para que uma composição de metrô de 200 m, a uma velocidade de 180 km/h, atravesse
um túnel de 150 m, expressando sua resposta em segundos?
a)a) 5 b)b) 6 c)c) 7 d)d) 8 e)e) 9
T08.T08. Dois móveis A e B percorrem uma mesma trajetória e suas posições são dadas, a partir da mesma srcem dos
espaços, por SA = -30 + 10t e SB = -10 – 10t (com S em metros e t em segundos). O instante e a posição de encontrosão iguais, respectivamente, a:
a)a) 1s; -20 m b)b) 2s; -10 m c)c) 3s; -40 m d)d) 4s; 20 m e)e) 5s; -60 m
T09.T09. (UFRN) Um trem parte de Natal com destino a Recife às 6h, com velocidade constante de 60 km/h.
Uma hora depois, parte de Natal, numa linha paralela, um segundo trem,
mantendo uma velocidade constante de 75 km/h. Sabendo que a distância Natal-
Recife é de 300 km, podemos afirmar que:
a)a) o segundo trem ultrapassará o primeiro a 70 km de Recife;
b)b) o segundo trem ultrapassará o primeiro a 80 km de Recife;
c)c) o segundo trem ultrapassará o primeiro a 100 km de Recife;
d)d) o segundo trem ultrapassará o primeiro a 120 km de Recife;
e)e) os dois trens chegarão a Recife ao mesmo tempo.
Respostas dos Testes:Respostas dos Testes:
01. A01. A
02. D02. D
03. A03. A
04. D04. D
05. A05. A06. B06. B
07. C07. C
08. A08. A
09. E09. E
60
30
- 114114 -
Movimento Uniformemente VariadoMovimento Uniformemente Variado
Nos movimentos que observamos diariamente, as velocidades em geral não permanecem constantes, variando,
portanto, no decorrer do tempo. São os chamados movimentos variadosmovimentos variados.
Por outro lado, se num movimento a velocidade variar uniformemente no decorrer do tempo, isto é, se
ocorrerem variações de velocidade sempre iguais em intervalos de tempo iguais, o movimento será denominado
movimento uniformemente variadomovimento uniformemente variado (MUV).
Para que isso ocorra em qualquer intervalo de tempo, a aceleração escalar média deve ser constante, diferente
de zero e igual à aceleração escalar instantânea.
aamm = a = constante = a = constante 0 0
Observe a tabela, ao lado, que registra a velocidade indicada pelo velocímetro de um
automóvel no decorrer do tempo.
Note que a partir da velocidade inicial v0 = 8 km/h, a velocidade varia de 4 km/h a cada
segundo decorrido. Portanto, a aceleração escalar média é igual à aceleração escalar
instantânea.
s4km/h
a 01812
a ΔtΔv
aa m =→−
−=→==
Então, esse automóvel executa um movimento uniformemente variado.
No caso de a trajetória ser retilínea, o movimento será denominado movimento retilíneo uniformementemovimento retilíneo uniformemente
variadovariado (MRUV).
7.2.17.2.1 Funções HoráriasFunções Horárias
Vamos estudar agora as funções que permitem a descrição matemática de um movimento uniformemente
variado.
Velocidade em função do tempo [v = f(t)]Velocidade em função do tempo [v = f(t)]
Seja um móvel percorrendo, com movimento uniformemente variado, a trajetória da figura.
tt (s) vv
(km/h) 0 8
1 12
2 16
3 20
4 24
5 28
6 32
No movimento uniformementeNo movimento uniformementevariado a velocidade escalarvariado a velocidade escalar
é variável e a aceleração escalar éé variável e a aceleração escalar é
constante e não-nula.constante e não-nula.
- 115115 -
• v0: a velocidade do móvel no instante t0 = 0.
• v: a velocidade do móvel no instante t.
A aceleração média do móvel no intervalo de tempo ∆t = t – t 0 = t é:
0
0m tt
vvΔtΔv
a−
−== , em que am = a = constante.
atvvtvv
a 00 +=→
−= v = vv = v00 + a + a tt
Observe que essa é uma função polinomial do 1º grau em relação à t.
Posição em função do tempo [s = f(t)]Posição em função do tempo [s = f(t)]
Seja um móvel percorrendo, com MUV, a trajetória da figura.
• s0: posição do móvel no instante t0 = 0.
• v0: velocidade do móvel no instante t0 = 0.
• s: posição do móvel no instante t.
• v: a velocidade do móvel no instante t.
• a: aceleração.
O gráfico da função v = v0 + at, representado por uma reta, é uma
função polinomial do 1º grau.
A área do trapézio fornece o espaço percorrido ∆s no intervalo de tempo ∆t = t – t 0.
ss
tt
vv
vv00
0
vv
tt
- 116116 -
t2
vvs 0 ⋅
+=∆ ()
Como v = v0 + at e ∆s = s – s 0, substituindo em (), temos:
t2
vatvss 00
0 ⋅++
=− → 2
attv2ss
20
0
+=− → 22
0000 atat2211
ttvvssss ++=
Observe que esta é uma função polinomial do 2º grau em relação a t.
Aceleração em função do tempo [a = f(t)]Aceleração em função do tempo [a = f(t)]
a = f(t) = constante ≠ 0
Portanto, a aceleração (variação da velocidade) em todo o percurso é a mesma do início dele.
Lei de Torricelli:Lei de Torricelli:
Temos até agora duas funções que nos permitem saber a posição do móvel e a sua velocidade em relação ao
tempo. Torna-se útil encontrar uma fórmula que possibilite conhecer a velocidade de um móvel sem saber o tempo.
A fórmula de Torricelli relaciona a velocidade com o espaço percorrido pelo móvel. É obtida eliminando-se o
tempo entre as funções horárias da posição e da velocidade.
200 at
21
tvss ++= (11) atvv 0 += (22)
Isolando-se o tempo t em (22):a
v-vt 0=
Substituindo-se t em (11):
Δsa2vv
)s(sa2vv
vv)s(sa2
vvv2vv2v-v2)s(sa2
a2
vvv2v
a
vv-vss
a
vvv2v
2a
a
vv-vss
a
vv-a
21
a
vv-vss
20
2
02
02
2200
200
22000
200
2200
0
2
200
2200
0
200
00
⋅+=
−⋅+=
+−=−⋅
+−+=−⋅
+−+=−
+−⋅+=−
⋅+⋅+=
Δss2a2avvvv 22
0022 ⋅+=
- 117117 -
Atividades de AprendizagemAtividades de Aprendizagem
Exercícios TeóricosExercícios Teóricos
E01.E01. Um ciclista desloca-se numa trajetória retilínea segundo a função horária s = −24 – 5t + t 2 (no SI).
a)a) Qual o tipo de movimento executado pelo ciclista: MU ou MUV?
b)b) Qual a posição inicial, a velocidade inicial e a aceleração do ciclista?
c)c) Determine a função horária da velocidade do ciclista.
d)d) Dê o instante em que o ciclista passa pela srcem das posições da trajetória.
E02.E02. Um automóvel está parado diante de um semáforo. Imediatamente após o sinal ter aberto, um caminhão o
ultrapassa com velocidade constante de 20 m/s. Nesse exato instante, o motorista do automóvel arranca com uma
aceleração de 4 m/s2 em perseguição ao caminhão.
a)a) Após quanto tempo o automóvel alcançará o caminhão?
b)b) Quantos metros terá percorrido o automóvel?
E03.E03. Um móvel desloca-se sobre uma reta, obedecendo à função horária s = 6 – 5t + t 2 (no SI). Determine:
a)a) a função v = f(t);
b)b) o instante em que o móvel inverte o sentido do seu movimento;
c)c) o espaço percorrido entre os instantes 4s e 9s.
E04.E04. Com a vigência do novo Código Brasileiro de Trânsito, atravessar um sinal vermelho constitui infração
gravíssima. Ao perceber um semáforo fechado à frente, o motorista de um carro, movendo-se a 20 m/s, aplica a este
uma desaceleração de 5 m/s2. Determine:
a)a) o tempo gasto durante a freada;
b)b) a distância mínima do carro ao semáforo para não ocorrer a infração.
E05.E05. Um motorista está dirigindo um automóvel a uma velocidade de 54 km/h. Ao ver o semáforo fechado, pisa no
freio. A aceleração máxima para que o automóvel não derrape tem módulo igual a 5 m/s 2. Qual a menor distância
que o automóvel irá percorrer, sem derrapar e até parar, a partir do instante em que o motorista aciona o freio?
E06.E06. Ao iniciar a travessia de um túnel retilíneo de 200 m de comprimento, um automóvel de dimensões desprezíveis
movimenta-se com velocidade de 25 m/s. Durante a travessia, desacelera uniformemente, saindo do túnel com
velocidade de 5 m/s. Qual o módulo de sua aceleração escalar nesse percurso?
E07.E07. Um veículo parte de um ponto A para um ponto B e gasta 40 s nesse percurso, com uma aceleração de 3 m/s 2
e velocidade inicial de 4 m/s. Qual a distância entre os pontos A e B?
- 118118 -
E08.E08. Uma bala, que se move a uma velocidade escalar de 200 m/s, ao penetrar em um bloco de madeira fixo sobre
um muro, é desacelerada uniformemente até parar. Qual o tempo que a bala levou em movimento dentro do bloco,
se a distância total percorrida em seu interior foi igual a 10 cm?
E09.E09. Uma norma de segurança sugerida pela concessionária de uma auto-estrada recomenda que os motoristas que
nela trafegam mantenham seus veículos separados por uma “distância” de 2 s.
a)a) Qual é essa distância, expressa adequadamente em metros, para veículos que percorram a estrada com a velocidade
constante de 90 km/h?
b)b) Suponha que, nessas condições, um motorista freie bruscamente seu veículo até parar, com aceleração constante
de módulo 5 m/s2, e o motorista de trás só reaja, freando seu veículo, depois de 0,5 s. Qual deve ser a aceleração
mínima do veículo de trás para não colidir com o da frente?
E10.E10. A velocidade de um móvel em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado, obedece à função horária v = 2
+ 3t, com as unidades no SI. Para este móvel, determine:
a)a) a velocidade escalar inicial e a aceleração escalar;
b)b) a velocidade 10 segundos após o início do movimento;
c)c) se o movimento é acelerado ou retardado no instante 10 s.
E11.E11. O espaço de um móvel em MRUV obedece à função horária s = 4 + 3t + 2t 2, com unidades no SI. Para este
móvel, determine:
a)a) o espaço inicial;
b)b) a velocidade escalar inicial;
c)c) a aceleração escalar;
d)d) o espaço ocupado após 2 segundos de movimento.
Respostas dos Exercícios Teóricos:Respostas dos Exercícios Teóricos:
E01. a)E01. a) MUV b)b) −24m, −5 m/s, 2 m/s2 c)c) v = -5 + 2t d)d) 8s
E02. a)E02. a) 10 s b)b) 200 m
E03. a)E03. a) v = −5 + 2t b)b) 2,5 s c)c) 40 m
E04. a)E04. a) 4s b)b) 40 m
E05.E05. 22,5 m
E06.E06. 1,5 m/s2 E07.E07. 2560 m
E08.E08. 10-3 s
E09. a)E09. a) 50 m b)b) 3,125 m/s2
E10. a)E10. a) 2 m/s, 3 m/s2 b)b) 32 m/s c)c) Acelerado
E11. a)E11. a) 4 m b)b) 3 m/s c)c) 4 m/s2 d)d) 18 m
- 119119 -
TestesTestes
T01.T01. A equação horária do m ovimento de um móvel é dada por s = 12 – 2t + 4t 2. A equação da velocidade escalar
desse móvel será:
a)a) v = 12 – 2t b)b) v = 8t – 2 c)c) v = 2 + 4t d)d) v = -2 + 2t e)e) v = 12 – 4t
T02.T02. Um móvel efetua um movimento retilíneo uniformemente variado obedecendo à função horária s = 10 + 10t –
5t2, onde o espaço s é medido em metros e o instante t em segundos. A velocidade do móvel no instante t = 4 s, em
m/s, vale:a)a) 50 b)b) 20 c)c) 0 d)d) -20 e)e) -30
T03.T03. Um veículo parte do repouso em movimento retilíneo e acelera a 2 m/s2. Pode-se dizer que sua velocidade e a
distância percorrida, após 3 s, valem, respectivamente:
a)a) 6m/s; 9m b)b) 6m/s; 18m c)c) 3m/s; 12m d)d) 12m/s; 36m e)e) 2m/s; 12m
T04.T04. (PUC-PR) Um móvel parte do repouso e desloca-se em
movimento retilíneo sobre um plano horizontal. O gráfico representa
a aceleração (a) em função do tempo (t).
Sabendo-se que no instante t = 0 a velocidade do móvel é nula,
calcular a velocidade no instante t = 5s.
a)a) 36 m/s b)b) 6 m/s c)c) 24 m/s d)d) 15 m/s e)e) 30 m/s
T05.T05. Um móvel tem movimento com velocidade descrita pelo gráfico
abaixo.
Após 10 s, qual será sua distância do ponto de partida?
a)a) 500 m b)b) 20 m c)c) 75 m d)d) 25 m e)e) 100 m
T06.T06. (UFRGS) Um automóvel que anda com velocidade escalar de 72 km/h é freado de tal forma que, 6,0 s após oinício da freada, sua velocidade escalar é de 8,0 m/s. O tempo gasto pelo móvel até parar e a distância percorrida até
então valem, respectivamente:
a)a) 10s; 100m b)b) 10s; 200m c)c) 20s; 100m d)d) 20s; 200m e)e) 5s; 150m
aa (m/s2)
tt (s) 0 5
vv (m/s)
tt (s) 0 5
10 •
6
- 120120 -
T07.T07. (UFSC) Um carro está a 20 m de um sinal de tráfego quando este passa de verde a amarelo. Supondo que o
motorista acione o freio imediatamente, aplicando ao carro uma desaceleração de 10 m/s2, calcule, em km/h, a
velocidade máxima que o carro pode ter, antes de frear, para que ele pare antes de cruzar o sinal.
a)a) 36 b)b) 54 c)c) 72 d)d) 90 e)e) 108
T08.T08. (UEPB) Dois automóveis, A e B, deslocam-se um em direção ao outro numa competição. O automóvel A
desloca-se a uma velocidade de 162 km/h; o automóvel B, a 108 km/h. Considere que os freios dos dois automóveis
são acionados ao mesmo tempo e que a velocidade diminui a uma razão de 7,5 m/s, em cada segundo. Qual é a menor
distância entre os carros A e B para que eles não se choquem ?
a)a) 135 m b)b) 60 m c)c) 210 m d)d) 195 m e)e) 75 m
T09.T09. (UEL-PR) Um corpo é abandonado a partir do repouso e atinge o chão com velocidade de 20 m /s. Considerando
g = 10 m /s2, o corpo caiu da altura de:
a)a) 200 m b)b) 100 m c)c) 50 m d)d) 20 m e)e) 10 m
T10.T10. (UECE) Uma pedra, partindo do repouso, cai de uma altura de 20 m. Despreza-se a resistência do ar e adota-se
g = 10 m /s2. A velocidade da pedra ao atingir o solo e o tempo gasto na queda, respectivamente, valem:
a)a) 20m/s; 2s b)b) 20m/s; 4s c)c) 10m/s; 2s d)d) 10m/s; 4s e)e) 15m/s; 2s
Respostas dos Testes:Respostas dos Testes:
01. B01. B
02. E02. E
03. A03. A
04. E04. E
05. E05. E
06. A06. A
07. C07. C
08. D08. D
09. D09. D
10. A10. A
- 121121 -
33 EXP!E!CIAIS E LGARITMSEXP!E!CIAIS E LGARITMS
Funções ExponenciaisFunções Exponenciais
Diversas situações do nosso cotidiano são descritas matematicamente por funções do tipo potência que
possuem expoente variável, são as chamadas funções exponenciais, as quais serão definidas a seguir.
Fixado um número real , com " 5 # , definimos a função exponencial de base como 1, ou
seja:
: ’ → ’ 1 Ž com ∈ ’M_ e 5 ".
Exemplos:Exemplos:
21 (função exponencial de base 2)
‹edŒ1 (função exponencial de base )“ )
#,22 1 (função exponencial de base 0,22)
† 1 (função exponencial de base †)
Gráfico de uma função exponencialGráfico de uma função exponencial
Considere a função exponencial 21. Vamos atribuir alguns valores para a variável independente e
calcular suas respectivas imagens ou .
@ 2e ”"2e ?x
B 2 23 ”"23 ?y
? " 20 ?B
C # 2– ?
? " 20 B
B 2 23 y
@ 2e x
Identificando os pontos no plano cartesiano e ligando-os, obtemos a representação gráfica da função.
- 122122 -
De modo geral, o gráfico de uma função exponencial, 1 , pode ter dois comportamentos distintos a
partir do valor da base :
1º CASO: " (função crescente) 2º CASO: # " (função decrescente)
A partir dos gráficos ilustrados acima, podemos verificar algumas propriedades
da função exponencial.
1. ( ’ 2. / ’M_
3. # " #," ∈ fŠ
- 123123 -
LogaritmosLogaritmos
Considere e dois números reais positivos, com 5 " (ou seja: # e " 5 # ). Definimos o logaritmo
de na base como o expoente real ao qual se eleva para obter :
—Uf˜ ™ 1 , com # e " 5 # .
Neste caso, é chamado de logaritmando, de base e de logaritmo. As condições # e " 5 # são
chamadas de condições de existência dos logaritmos.
—Uf d 2) 2
Exemplos:Exemplos:
—Uf32 ) (pois 2d 2)
—Uf32 " (pois 20 2)
—Ufe 0 2 (pois 3 " -“ )
Observação:Observação:
Por convenção, quando estivermos trabalhando com logaritmos de base 10, omitimos a indicação da base na
escrita do logaritmo. Por exemplo: —Uf indica —Uf0– .
Exercício Resolvido:Exercício Resolvido:
Determine os possíveis valores de para que exista cada logaritmo a seguir.
a) —Uf 2 b) —Uf1d c) —Uf31*
Solução:Solução:
Para resolver, devemos identificar os valores de para os quais as condições de existência dos logaritmossejam satisfeitas.
a) Utilizando a condição de existência do logaritmando, obtemos:
2 # l 2 l 2 . Logo, 3e .
base logaritmo
logaritmando
- 124124 -
b) Utilizando a condição de existência da base de um logaritmo, obtemos:
(I) ) # l ) (II) ) 5 " l 5 ) "
l 5 X
Como ambas as equações precisam ser satisfeitas simultaneamente, obtemos que X 5 ) .
c) Neste exemplo, observe que a variável se encontra no logaritmando e na base do logaritmo, então as duas
condições de existência precisam ser analisadas.
(I) 2 # l –3
l #
(II) 2 5 " l 5 03 (III) * # l *
l *Logo, # * e 5 03.
A partir da definição de logaritmo, podemos concluir algumas verdades imediatas:
1) —Uf˜ " # 2) —Uf˜ " 3) š›œ>
Exercício Resolvido:Exercício Resolvido:
Calcule, aplicando a definição de logaritmo:
a) —Uf "### b) —Uf3#,"2) c) 3Mš›œžŸ
Solução:Solução:
a) —Uf "### l "# 1 "### l "# 1 "#e l .
b) —Uf3 #,"2) l 2 1 #,"2) l 2 1 03d0––– l 21 0 l 21 2e l .
c) 3Mš›œžŸ 3 A š›œžŸ - A * X .
- 125125 -
Propriedades dos LogaritmosPropriedades dos Logaritmos
Todas as propriedades listadas no quadro a seguir são consequências da definição de logaritmo.
Propriedades dos logaritmos
P1Logaritmo do produto
—Uf> A T —Uf > —Uf>T
P2
Logaritmo do quociente
—Uf> ”T —Uf > —Uf>T
P3Logaritmo da potência
—Uf> T A —Uf>
P4
Mudança de base
—Uf˜ —Uf—Uf
Exercícios Resolvidos:Exercícios Resolvidos:
1. Sabendo que
—Uf> ",
—Uf> 2 e
—Uf>¡ ", calcule o valor de
—Uf> A e¡3 . Solução:Solução:
—Uf> A e¡3 —Uf > A e —Uf >¡3 —Uf > —Uf>e —Uf >¡3
—Uf> —Uf>2—Uf >¡ " A 2 2 A " @.2. Se —Uf e —Uf ) , calcule
—Ufe""2#. Solução:Solução:
Como as bases dos logaritmos fornecidas no enunciado é 10, vamos utilizar a propriedade P4 para escrever ologaritmo na referida base.
—Ufe""2# —Uf ""2#—Uf . Fatorando o número 1120, obtemos:
—Ufe""2# —Uf ""2#—Uf —Uf 3 A )e—Uf 2—Uf —Uf )—Uf B^@^ .
(P2) (P1) (PTal
- 126126 -
Funções LogarítmicasFunções Logarítmicas
Chamamos de função logarítmica de base " 5 # a função que associa a cada elemento # o
seu logaritmo de base : : ’ → ’ —Uf > Ž com ∈ ’M_ e 5 ".
Exemplos:Exemplos:
—Uf 3 (função exponencial de base 2)
—Uf (função exponencial de base "#)
—Uf ¢ (função exponencial de base †)
Gráfico de uma função logarítmicaGráfico de uma função logarítmica
Considere a função logarítmica —Uf 3. Vamos atribuir alguns valores para a variável independente
e calcular suas respectivas imagens ou (lembre-se que a variável só poderá assumir valores maiores
ou iguais que zero).
C,B£ #,2) ”"!
23 —Uf323 2 A — Uf 32 2 A " B
C, £ #,) ”"2 20 —Uf320 " A — Uf 32 "A " ?
? " —Uf 3" C
B 2 —Uf 32 "
y ! —Uf3! —Uf 323 2A —Uf 32 2 A " B
x j —Uf3j —Uf 32e A —Uf 32 A " @
Identificando os pontos no plano cartesiano e ligando-os, obtemos a representação gráfica da função.
- 127127 -
De modo geral, o gráfico de uma função exponencial, —Uf >, pode ter dois comportamentos distintos
a partir do valor da base :
1º CASO: " (função crescente)
2º CASO: # " (função decrescente)
- 128128 -
A partir dos gráficos ilustrados acima, podemos verificar algumas propriedades
da função logarítmica.
1. ( ’M_
2. / ’
3. # " #," ∈ fŠ
O Número de NepperO Número de Nepper
Assim como o número †, um outro número de igual importância aparece diversas vezes quando tentamos
resolver problemas que envolvem cálculo: o número F (número de Nepper ou número Nepperiano). A atenção ao
número Nepperiano surgiu da tentativa de se calcular a área entre a curva " “ e o eixo das abscissas, na qual se
observou que o resultado de tal área já aparecia em estudos de matemática financeira como resultado do limite
;JK1→M¤ ”" "1 2,*"j2jY F.
Utilizando o número F, podemos definir duas das principais funções utilizadas em problemas de ciências
exatas:
• a função exponencial natural: F1
• e a função logaritmo natural: ;n —Uf ¥.
Observe que, como F " , as funções exponencial e logaritmo naturais são funções crescentes, cujos gráficos
são os dados a seguir:
F1 ; n
- 129129 -
Atividades de AprendizagemAtividades de Aprendizagem
Exercícios TeóricosExercícios Teóricos
E01.E01. Resolva, em ’, as seguintes equações exponenciais:
a)a) !1 "2j b)b) 2*e1 00¦ c)c) )310 0d d)d) ‹edŒ31 " e)e) "###1 #,#"
f)f) 2110 ! g)g) 21e 21‡ 213 210 "! h)h) ) )1 )1M0 )13 2# A )10
E02.E02. Esboce o gráfico de cada função a seguir. Por fim, indique o conjunto domínio e o conjunto imagem.
a)a) ‹e3Œ1 b)b) † 1 c)c) f )1 d)d)f ‹3eŒ1 " e)e) g F1 2
E03.E03. O número de bactérias em um determinado meio de cultura cresce aproximadamente segundo a função VW 2###A –,–‡§ , sendo W o número de dias após o início do experimento. Calcule:
a)a) o número V de bactérias no início do experimento;
b)b) em quantos dias o número inicial de bactérias irá triplicar.
E04.E04. Calcule o valor dos logaritmos a seguir:
a)a) =36log6 b)b) =22log4
1 c)c) =32 64log d)d) =000064,0log 5 e)e) =3
49 7log
f)f) =25,0log 2 g)g) —Ufd) h)h) —Uf0Ÿ" i)i) ;n " j)j) —Uf "
E05.E05. Resolva as equações a seguir.
a)a) 113
log3 =−
+
x
x
b)b) 2)1(log3
1 −=− x c)c) 2
91
log = x d)d) 216log −= x
e)e) 1)(log 212 =− x x
E06.E06. Determine os possíveis valores de para que exista cada logaritmo a seguir.
a)a) —Uf31) b)b) —Uf1M3 c)c) —Ufe)
E07.E07. Sabendo-se que: ,8log =a x 2log =b x e 1log =c x , calcule:
a)a) 42
3
logcb
a x
⋅ b)b)
c
ab x
3
log
E08.E08. Esboce o gráfico de cada função a seguir. Por fim, indique o conjunto domínio e o conjunto imagem.
a)a) —Uf e b)b) —Uf–,e c)c) ; n d)d) —Uf3 2 e)e) —V "
E9.E9. Determine o valor de cada expressão a seguir.
a)a) 6427
log1log64log3
483
2 +−= E b)b) ( )81loglog3001,0log 3433log
103 −−= E
c)c) ( ) 274
4log410 7log16log31000log 3 +−−= E
- 130130 -
E10.E10. Um capital de R$12.000,00 é aplicado a uma taxa anual de 8%, com juros capitalizados anualmente.
Considerando que não foram feitas novas aplicações ou retiradas, encontre:
a)a) o capital acumulado após 2 anos;
b)b) O número inteiro mínimo de anos necessários para que o capital acumulado seja maior que o dobro do capital
inicial.
(Se necessário, use log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477).
. 1100
t i
M C
= +
¨: Montante=Capital Acuula!o" ©:ta#a !e $uros" +: Capital" W: tepo
Respostas dos Exercícios Teóricos:Respostas dos Exercícios Teóricos:
E01.E01.
a)a) * 2“ b)b) - c)c) # d)d) - 2“ e)e) "
f)f) " ou 2 g)g) ) h)h)
E02.E02.
a)a) b)
c)c) d)
- 131131 -
e)e)
E03.E03.
a)a) 2000 bactérias
b)b) W 2)
E04.E04.
a)a) 2b)b)
43
− c)c) 2 d)d) - 6
e)e)61
f)f) - 2 g)g) " h)h) # i)i) # j)j) #
E05.E05.
a)a) ª b)b) ª "# c)c) ª "[ d)d) ª "[! e)e) ª Ž !
E06.E06.
a)a) ª ∈ ’ | # e 5 " b)b) ª ∈ ’ |# 2 e 5 " c)c) ª « ∈ ’| )“ ¬
E07.E07.
a)a) 16 b)b) 7/3
E08.E08.
a)a) b)
- 132132 -
c)c) d)
e)e)
E09.E09.
a)a)
" b)b)
® £ @ 6 @ c)c)
" !“
E10.E10.
a)a) R$ 13.996,80
b)b) 10 anos
Testes:Testes:
T01T01. !EL. !EL O valor da O valor da exress!oexress!o
8log.641
log
01,0log1log
42
3 + " #" #
a)a) 0 b)b) " “ c)c) ! -“ d)d) 2 “ e)e) 1
T02. ( MACK)T02. ( MACK) O valor da expressão x x ee + , para x = ln 2 é igual a:
a)a) 0 b)b) 2 c)c) 4 d)d) 6 e)e) 8
T03.T03. (GV-03)(GV-03) A equação log(x + 2) + log(x – 2) = 1:
a)a) tem duas raízes opostas
b)b) tem uma única raiz irracional
- 133133 -
c)c) tem uma única raiz menor que 3
d)d) tem uma única raiz maior que 7
e)e) tem conjunto solução vazio
T04T04.. (MACK-01)(MACK-01) Se log α = 6 e log β = 4, então 4 2 . β α é igual a :
a)a) β b)b) 24 c)c) 10 d)d) 42
β α + e)e) 6
T05T05. (PUC). (PUC) log 50 + log 40 + log 20 + log 2,5 é igual a :a)a) 1 b)b) 3 c)c) 5 d)d) 10 e)e) 1000
T06.T06. (ITA-98)(ITA-98) Assinale a alternativa que corresponde ao valor de y ∈ R que satisfaz a igualdade
7log7log49log 22 y y y += .
a)a) 1/2 b)b) 1/3 c)c) 3 d)d) 1/8 e)e) 7
Respostas dosRespostas dos
Testes:Testes:
01. C01. C
02. C02. C03. A03. A
04. A04. A
05. C05. C
06. D06. D
- 134134 -
44 TRIG!METRIATRIG!METRIA
Relações Trigonométricas no Triângulo RetânguloRelações Trigonométricas no Triângulo Retângulo
Vamos definir seno, cosseno e tangente por meio de semelhança de triângulos. Se ABC é um triângulo
retângulo em A, temos:
•• a é a medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto);
•• b e c são as medidas dos catetos (lados que formam o ângulo reto);
•• Be Csão ângulos agudos;
•• AC é o cateto oposto ao ângulo B;
•• AB é o cateto adjacente ao ângulo B.
Consideremos agora um ângulo θ=COA , com 0o < θ < 90º, e tracemos, a partir dos pontos C, E, G, etc. da
semirreta OA, as perpendiculares CD, EF, GH, etc., à semirreta OB.
Essa relação depende apenas do ângulo θ (e não do tamanho do triângulo retângulo do qual θ é um dos ângulos
agudos). Ela é chamada seno deseno de e escrevemos:
oo 900 com,hipotenusadamedida
ânguloaoopostocatetodomedida
OC
CD)(sen <θ<
θ==θ
De modo análogoanálogo, da semelhança de triângulos obtemos as relações:
)(constante ...
OG
OH
OE
OF
OC
OD===
)(constante ...OH
GH
OF
EF
OD
CD===
que também dependem apenas do ângulo θ e que definimos, respectivamente, como cosseno do ângulocosseno do ângulo e tangentetangente
do ângulodo ângulo :
Os triângulos OCD, OEF, OGH, etc. são semelhantes por terem os
mesmos ângulos. Podemos, portanto, escrever:
)(constante ...OGGH
OEEF
OCCD ===
- 135135 -
oo 900 com,hipotenusadamedida
ânguloaoadjacentecatetodomedida
OC
OD)cos( <θ<
θ==θ
oo 900 com, ânguloaoadjacentecatetodomedida
ânguloaoopostocatetodomedida
OD
CD)(tg <θ<
θ
θ==θ
Relações entre Seno, Cosseno e Tangente (propriedades)Relações entre Seno, Cosseno e Tangente (propriedades)
As razões trigonométricas seno, cosseno e tangente se relacionam de várias formas, como veremos a seguir:
Relação fundamental do triângulo retângulo: sen2 α + cos2 α = 1, (0o < α < 90º).
α
α=α
cossen
tg , (0o < α < 90º).
Se dois ângulos, α e β, são complementares (α + β = 90°), então sen α = cos β (o seno
de um ângulo é igual ao cosseno do ângulo complementar, e vice-versa). Dessa propriedade
surgiu o nome cossenocosseno: seno do complemento.
Seno, Cosseno e Tangente dos Ângulos NotáveisSeno, Cosseno e Tangente dos Ângulos Notáveis
Os ângulos de 30º, 45º e 60º são chamados ângulosângulos
notáveisnotáveis, ou seja, ângulos que merecem atenção especial. Para os
estudos de Trigonometria, é essencial que tais valores sejammemorizados. A tabela ao lado resume esses valores.
Observe na tabela que a sequência de valores da linha do
seno aparece invertida na linha do cosseno. Isso não é
coincidência. Ocorre porque 30º e 60º são complementares, e 45º
é complementar a si mesmo.
Assim:
As razõesOC
CD)(sen =θ , OC
OD)cos( =θ e
OD
CD)(tg =θ
são chamadas razões trigonométricasrazões trigonométricas com relação ao ângulo θ.
- 136136 -
•• sen 30º = cos 60º (30º + 60º = 90º)
•• sen 45º = cos 45º (45º + 45º = 90º)
•• sen 60º = cos 30º (60º + 30º = 90º)
Além disso, os valores da linha da tangente equivalem à razão dos valores do seno e do cosseno, pois
)xcos()x(sen
)x(tg = .
Por exemplo, na coluna do 45º, temos:
•• sen 45º =22
•• cos 45º =22
•• tg 45º = 12
222
22
22
=⋅=
Dessa forma, nos exercícios que envolvem ângulos notáveis, você deve usar os valores memorizados e, nos
demais exercícios, usar uma calculadora científica (lembre -se de que muitos modelos de celulares possuem esse tipo
de calculadora).
De onde vem o nomeDe onde vem o nome seno
“Quando estudei Trigonometria no colégio, meu professor ensinou que seno vem
do latim sinus, que significa seio, volta, curva, cavidade (como nas palavras enseada,
sinuosidade). E usou o gráfico da função, que é realmente bastante sinuosos, para
justificar o nome.Mais tarde vim a aprender que não é bem assim. Sinus é a tradução latina da palavra
árabe jaib, que significa dobra, bolso ou prega de uma vestimenta. Isso não tem nada a
ver com o conceito matemático de seno. Trata-se de uma tradução defeituosa, que
infelizmente, durou até hoje. A palavra árabe adequada, a que deveria ser traduzida, seria
jiba, em vez de jaib. Jiba significa a corda de um arco (de caça ou de guerra). Uma
explicação para esse erro é proposta po A. Aaboe (Episódios da história antiga da
Matemática, p.139): em árabe, como em hebraico, é frequente escreverem-se apenas as
consoantes das palavras; o leitor se encarrega de completar as vogais. Além de jiba e jaib
terem as mesmas consoantes, a primeira dessas palavras era pouco comum, pois tinha
sido trazida da Índia e pertencia ao idioma sânscrito.
Evidentemente, quando se buscam as srcens das palavras, é quase inevitável que
se considerem várias hipóteses e dificilmente se pode ter certeza absoluta sobre a
conclusão. Há outras explicações possíveis para a palavra seno. Uma delas é de que se
teria srcinado da abreviatura s. ins. (semicorda inscrita).”
LIMA, Elon Lages. Meu Professor de Matemática. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada
(IMPA) e Vitae – Apoio à Cultura, Educação e Promoção Social, 1991, p.187.
- 137137 -
Atividades de AprendizagemAtividades de Aprendizagem
Exercícios TeóricosExercícios Teóricos Exercícios 01 a 14 extraídos da obra:
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicaçõesMatemática: contexto & aplicações. Vol. 1. 2ª Ed. São Paulo: Ática, 2013.
E01.E01. Uma rampa lisa de 10 m de comprimento faz
ângulo de 30º com o plano horizontal. Uma pessoa que
sobe essa rampa inteira eleva-se quantos metros
verticalmente?
E02.E02. Um navio está situado exatamente 10 milhas a
leste de um ponto A. Um observador, situado
exatamente ao sul do navio, vê o ponto A sob um ângulo
de 40º. Calcule a distância entre o observador e o navio.
E03.E03. Em um exercício de tiro esportivo, o alvo se
encontra em uma parede e sua base está situada a 20 m
do atirador. Sabendo que o atirador vê o alvo sob um
ângulo de 10º em relação à horizontal, calcule a que
distância o centro do alvo se encontra do chão.
E04.E04. Para determinar a altura de uma torre, um
topógrafo coloca o teodolito a 100 m da base e obtém
um ângulo de 30º, conforme mostra a figura.
Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,70 m do solo,
qual é aproximadamente a altura da torre?
E05.E05. Na figura abaixo, qual é a altura do avião em
relação ao chão?
E06.E06. Observe a figura a seguir e responda às questões:
a)a) Qual é o comprimento da escada?
b)b) Qual é o ângulo formado pela escada e o chão?
E07.E07. Queremos saber a largura l de um rio sem
atravessá-lo. Para isso, adotamos o seguinte processo:
• marcamos dois pontos, A (uma estaca) e B (uma
árvore), um em cada margem;
• marcamos um ponto C,
distante 8 m de A, onde
fixamos o aparelho para
medir ângulos (teodolito), de
- 138138 -
• obtemos uma medida de
70º para o ângulo ACB.
Nessas condições, qual é a largura l do rio?
E08.E08. Em Física muitas grandezas são representadas por
vetores, que são segmentos de reta orientados que
possuem um tamanho (módulo), uma direção e um
sentido (indicado pela flecha na ponta do vetor).
Quando a direção desses vetores não é nem horizontal
nem vertical, eles podem ser decompostos em outrosdois vetores, sendo um horizontal e outro vertical. Na
figura a seguir, observa-se um vetor V, de módulo
(tamanho) 10, cuja direção está inclinada 30° em
relação à horizontal. Usem seus conhecimentos de
Trigonometria para calcular qual é o módulo (tamanho)
do vetor V x na horizontal e do vetor Vy na vertical.
E09.E09. As ruas Canário e Tico-Tico são perpendiculares.
A distância entre os pontos A e B é de 50 m. As ruas
Canário e Sabiá cruzam -se em B formando um ângulo
de 60º. Qual é o perímetro do triângulo ABC
determinado pelos cruzamentos dessas três ruas?
(Use 7,13 ≅ )
E10.E10. Na construção de um telhado foram usadas telhas
francesas e o “caimento” do telhado é de 20º em relação
ao plano horizontal. Sabendo que, em cada lado da casa,
foram construídos 6 m de telhado e que, até a laje do
teto, a casa tem 3 m de altura, determine a que altura se
encontra o ponto mais alto do telhado dessa casa.
tal modo que o ângulo no
ponto A seja reto;
E11.E11. Um avião levanta voo em A e sobe fazendo um
ângulo constante de 15º com a horizontal. A que altura
estará e qual a distância percorrida quando sobrevoar
uma torre situada a 2 km do ponto de partida?
E12.E12. Calcule a medida x indicada na figura abaixo:
E13.E13. Um segmento AB de 10 cm faz um ângulo agudo
a com a horizontal. Sua projeção A’B’ na horizontal
mede 35 cm. Qual é o valor do ângulo α?
E14.E14. Um arame de 120 m de comprimento é esticado do
topo de um prédio até o solo. Calcule a altura do prédio
sabendo que o arame forma com o solo um ângulo de
25º.
- 139139 -
Respostas dos Exercícios Teóricos:Respostas dos Exercícios Teóricos:
E01.E01. 5 m
E02.E02. 12,05 milhas
E03.E03. 3,6 m
E04.E04. 59,7 m
E05.E05. 2500 m
E06. a)E06. a) 8m b)b) 30º
E07.E07. 22 m
E08.E08. Vx = 35 e Vy = 5
E09.E09. 235 m
E10.E10. 5,04 m
E11.E11. h = 540 m e d = 2.062 m
E12.E12. 350
E13.E13. α = 30º
E14.E14. 50,4 m
- 140140 -
TestesTestes
T01.T01. Acredita-se que a necessidade de avaliar distâncias
inacessíveis tenha colaborado para o surgimento do cálculo
trigonométrico, já que essas medidas podem ser estimadas com
o auxílio da Trigonometria no triângulo retângulo. Atualmente,
um instrumento óptico bastante usado para esse tipo de trabalho
é o teodolitoteodolito, que permite medir ângulos verticais e horizontais.
a)a) 10 m b)b) 8 m c)c) 8,65 m d)d) 5,78 m e)e) 6,56 m
T02.T02. Um avião decola de um ponto B sob inclinação constante
de 15º com a horizontal. A 2 km de B se encontra a projeção
vertical C do ponto mais alto D de uma serra de 600 m de altura,
conforme figura. Considerando cos 15º ≅ 0,97; sen 15º ≅ 0,26;
tg 15º ≅ 0,27, é correto afirmar que:
a)a) não haverá colisão do avião com a serra;
b)b) haverá colisão do avião com a serra antes de alcançar 540 m de altura;
c)c) haverá colisão do avião com a serra em D;
d)d) se o avião decolar 220 m antes de B, mantendo a mesma inclinação, não haverá colisão do avião com a serra.
T03.T03. Em uma aula prática de seu curso de Engenharia Civil, Edmílson teve de determinar a altura de um prédio
situado em terreno plano. Instalado o teodolito em um ponto do terreno, o estudante conseguiu ver o topo do prédiosob ângulo de 60°. Afastando-se o aparelho mais 5 m do edifício, seu topo passou a ser visto sob ângulo de 45°.
Considerando que o teodolito tem uma altura de 1,17 m e tomando 1,732 como aproximação para 3 , a altura do
edifício é:
a)a) 9 m b)b) 6,82 m c)c) 11,83 m d)d) 13 m e)e) 11 m
Usando um teodolito a partir do segmento AB
apresentado na fotografia ao lado, foi possível
medir dois ângulos: o90CAB = e o30ACB = .
Como foi obtida a distância AB = 5 m, e
tomando 1,73 como aproximação para 3 , a
distância entre os pontos A e C é:
- 141141 -
T04.T04. (Enem-2010) Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a noroeste de São Paulo), na noite do
último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando
agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina,
Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento
do tempo previsto de medição.
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma
estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob
um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da posição vertical
do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido,
conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30°.
Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?
a)a) 1,8 km b)b) 1,9 km c)c) 3,1 km d)d) 3,7 km e)e) 5,5 km
T05.T05. De um ponto A no solo, vistam-se a base B e o topo C de um bastão
colocado verticalmente no alto de uma colina, sob ângulos de 30º e 45º,
respectivamente. Se o bastão mede 4 m de comprimento, a altura da colina,
em metros, é igual a:
a)a) 3
b)b) 2
c)c) 32
d)d) )13(2 +
e)e) )33(2 +
T06.T06. (Enem-2011) Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte
procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual α fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo
o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no
entanto sob um ângulo visual 2 α. A figura ilustra essa situação:
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α = 30° e,
ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido
a distância =AB 2000 m. Com base nesses dados e
mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até
o ponto fixo P será:
a)a) 1000 m b)b) 31000 m c)c) 33
2000 m d)d) 2000 m e)e) 32000 m
- 142142 -
T07.T07. Topografia é área do conhecimento que trabalha com levantamento de dados para a representação gráfica
detalhada de uma região da superfície terrestre (distâncias, relevo, formas, etc.). Esse nome vem do idioma grego,
em que topos significa ‘lugar’ e graphein significa ‘descrever’: “descrição de um lugar”. Desde as civilizações mais
antigas, os povos já demarcavam a posição e limitavam a extensão de suas terras aplicando técnicas rudimentares de
Topografia.
Imagine que Thaís, estudante do curso de Engenharia Civil, cursando a disciplina de Topografia, caminha em uma
pequena estrada retilínea paralela a uma praia, quando vê, da estrada, um grande barco parado no mar. Curiosa, quer
saber a distância do barco à estrada. Pega seu teodolito no carro e verifica que a reta que une o barco ao ponto onde
ela está forma 45° com a estrada. Após percorrer mais 1.350 m na estrada, Thaís verifica que a reta que une o barco
ao novo ponto onde ela está forma com a estrada um ângulo de 30°; com essas informações, calcula a distância
desejada. Se ela usou 1,7 como aproximação para 3 e acertou todos os cálculos, a distância que encontrou foi:
a)a) 5 km b)b) 2,5 km c)c) 0,5 km d)d) 0,25 km e)e) 0,05 km
T08.T08. (Enem-2009) Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou
como herança um terreno retangular de 3 km × 2 km que contém
uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo
de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado
o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em
repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte
da área de extração, conforme mostra a figura.
Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João corresponde,
aproximadamente, a:
≅ 58,0
33
Considere
a)a) 50% b)b) 43% c)c) 37% d)d) 33% e)e) 19%
T09.T09. Um observador, no ponto B da figura ao lado, vê um prédio de modo que o
ângulo ABC é de 105°. Se esse observador está situado a uma distância de 8 m do
prédio e a uma altura de 8 m, qual é a altura do prédio? (Use 7,13 ≅ )
a)a) 21,6 m
b)b) 17 m
c)c) 18,6 m
d)d) 25,5 m
e)e) 30,6 m
- 143143 -
T10.T10. Uma pessoa de 1,65 m de altura observa o topo de um edifício
conforme o esquema abaixo. Para sabermos a altura do prédio, devemos
somar 1,65m a:
a)a) b⋅cos(α)
b)b) a⋅cos(α)
c)c) a⋅sen(α)
d)d) b⋅tg(α)
e)e) b⋅sen(α)
Respostas dos Testes:Respostas dos Testes:
01. C01. C
02. B02. B
03. D03. D
04. C04. C
05. D05. D
06. B06. B
07. C07. C
08. E08. E
09. A09. A
10. E10. E
- 144144 -
Estudo da Circunferência TrigonométricaEstudo da Circunferência Trigonométrica
9.4.19.4.1 IntroduçãoIntrodução
Os ângulos aparecem nos registros da Grécia antiga associados ao estudo dos elementos de um círculo,
relacionados com arcos e cordas. As propriedades dos ângulos centrais de uma circunferência eram conhecidas desde
o tempo de Eudoxo — astrônomo, matemático e filósofo grego que viveu no século IV a.C. —, que teria usado
medidas de ângulos em diversos cálculos, como a determinação das dimensões da Terra e da distância relativa entre
o Sol e a Terra.
Acredita-se que os sumérios e os acadianos, antigos povos habitantes da Mesopotâmia (3500 a.C.), já sabiam
medir ângulos — é atribuída aos sumérios a criação da escrita cuneiforme, a mais antiga de que se tem notícia. Feita
com o auxílio de uma cunha, a escrita cuneiforme era composta de traços verticais, horizontais e oblíquos.
A divisão do círculo em partes iguais, obtida por meio de ângulos centrais congruentes, aparece bem mais
tarde. Hipsicles (século III a.C.) foi um dos primeiros astrônomos gregos a dividir o círculo em 360 partes iguais,
mas não há evidência científica da escolha desse número. O que pode tê-la influenciado é o fato de já se saber que o
movimento de translação da Terra em torno do Sol se realizava em um período de aproximadamente 360 dias. Mas
a hipótese mais provável é ter havido a influência do sistema de numeração de base sexagesimal (base 60), utilizado
na Babilônia, justificando também as subdivisões das medidas dos ângulos, que seguem essa base.
A Trigonometria, como seu nome sugere, é o estudo das medidas envolvidas no triângulo. Seu propósito inicial
é, portanto, a resolução de problemas relacionados a triângulos.
Já estudamos as relações entre os ângulos e os lados de um triângulo retângulo, as razões trigonométricas.Agora, vamos estender esses conceitos a ângulos maiores do que 180°, e para isso contaremos com o apoio de uma
circunferência, chamada circunferência trigonométrica, na qual serão considerados os ângulos centrais.
9.4.29.4.2 Conceitos Trigonométricos BásicosConceitos Trigonométricos Básicos
Neste tópico vamos fazer um estudo mais abrangente de seno, cosseno e tangente, uma necessidade mais
recente da Matemática. Nesse novo contexto, o triângulo retângulo é insuficiente para as definições necessárias e
precisamos estabelecer um novo “ambiente” para a Trigonometria: a circunferência trigonométricacircunferência trigonométrica.
Para isso, vamos relembrar alguns conceitos necessários:
Arco geométricoArco geométrico: é uma das partes da circunferência delimitada por dois pontos, incluindo-os. Se os dois pontoscoincidirem, teremos arco nulo ou arco de uma volta.
- 145145 -
Medida e comprimento de um arco:Medida e comprimento de um arco: considere um
ponto A sobre uma circunferência de raio r e centro O.
Deslocando-se o ponto A sobre a circunferência, ele
percorre uma distância l ao mesmo tempo em que gira um
ângulo α em torno do centro O.
Esse movimento do ponto A descreve um arcoarco de circunferência de medidamedida α e comprimentocomprimento l .
Para a medida α usam-se geralmente unidades como o grau e o radiano.
Para o comprimento l usam-se em geral unidades como metro, centímetro, quilômetro, etc.
•• Medida de uma circunferência em grausMedida de uma circunferência em graus: 360°. •• Comprimento de uma circunferência de raio rComprimento de uma circunferência de raio r: C = 2πr .
Arco e ângulo central:Arco e ângulo central: todo arco de circunferência tem a mesma medida do ângulo central que o subtende.
Unidades para medir arcos de circunferência (ou ângulos):Unidades para medir arcos de circunferência (ou ângulos): As unidades mais usadas para medir arcos de
circunferência (ou ângulos) são o graugrau e o radianoradiano.
GrauGrau: quando dividimos uma circunferência em 360 partes congruentes, cada uma dessas partes é um arco de um
grau (1°). Considere o arco AB, que vai de A para B no sentido anti-horário:
O comprimentocomprimento l depende
do raio da circunferência,mas a medidamedida α não.
Arco:Arco:
Medida de AB = α
Ângulo Central:Ângulo Central:
Medida de = α
Considere cinco circunferências
concêntricas de raios diferentes
e um mesmo ângulo central
subtendendo arcos em todas elas.
Os cinco arcos terão a Os cinco arcos terão a mesma medida?mesma medida?E terE terão o ão o mesmesmo como comm rimrimentento?o?
arco AB de 270ºarco AB de 270º(três quartos de volta)
arco AB de 90ºarco AB de 90º(um quarto de volta)
arco AB de 180ºarco AB de 180º(meia volta)
arco AB de 360º ou 0arco AB de 360º ou 0oo (uma volta ou nulo)
O grau foi dividido em 60 partes
menores denominadas minutominuto.
O minuto foi dividido também em 60
partes menores denominadas segundosegundo.
Assim, um arco de dois graus, trinta e
cinco minutos e quarenta segundos é
re resentado or: 2°35’40’’.
- 146146 -
RadianoRadiano: um arco de um radiano (1 rad) é um arco cujo comprimento retificado é igual ao raio da circunferência.
Isso deve ser interpretado da seguinte forma:
Se temos um ângulo central de medida 1 radiano, então ele subtende um
arco de medida 1 radiano (lembre que a medida do arco é igual à medida do
ângulo central) e comprimento de 1 raio.
Se temos um ângulo central de medida 2 radianos, então ele subtende um
arco de medida 2 radianos e comprimento de 2 raios.
Se temos um ângulo central de medida α radianos, então ele subtende umarco de medida α radianos e comprimento de α raios. Assim, se a medida α
do arco for dada em radianos, teremos l = α⋅r.
Relação entre as unidades para medir arcos (ou ângulos):Relação entre as unidades para medir arcos (ou ângulos): Lembre-se de que o comprimento C da
circunferência de raio r é igual a C = 2πr, em que π = 3,141592... Como cada raio r corresponde a 1 rad, podemos
afirmar que o arco correspondente à circunferência mede: 2πr = 2π⋅1 rad = 2 π rad.
Sabendo que um arco de 180º mede π rad , podemos fazer a conversão de unidades usando uma regra de três
simples. Porém, recomendamos que você se acostume a fazer as principais conversões entre grau e radiano
mentalmente, sem recorrer à regra de três.
Existem outras unidades para medirarcos, por exemplo, o gradogrado, que é um
arco obtido a partir da divisão dacircunferência em 400 partes iguais.
Porém, as unidades mais usadas são ograugrau e o radianoradiano.
- 147147 -
Esse procedimento é muito simples se observarmos que:
90º é21
de 180º; logo, é21
de π rad → 90º =2π
rad.
30º é61
de 180º; logo, é61
de π rad → 30º =6π
rad.
60º é31
de 180º; logo, é31
de π rad → 60º =3π
rad.
45º é41
de 180º; logo, é41
de π rad → 45º =4π
rad.
Você pode (e deve!)memorizar estas relações para
agilizar as conversõesconversões.Veja outro exemplo:
120º é o dobro de 60º, então:
120º =3
23
2 π=
π⋅ rad.
- 148148 -
Atividades de AprendizagemAtividades de Aprendizagem
Exercícios TeóricosExercícios Teóricos Exercícios 01 a 14 extraídos da obra:
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicaçõesMatemática: contexto & aplicações. Vol. 2. 2ª Ed. São Paulo: Ática, 2013.
E01.E01. Se o comprimento de uma circunferência é 2π cm, qual seria o comprimento de um arco de:
a) a) b) b) c) d)c) d)
e) e) f) f) g)g)
E02.E02. Converta em radianos:
a)a) 210º b)b) 300º c)c) 120º d)d) 115º e)e) 270º f)f) 135º g)g) 150º
E03.E03. Expresse em graus:
a)a) 6π
b)b) 65π
c)c) 4π
d)d) 45π
e)e) 34π
f)f) 56π
g)g) 72π
E04.E04. Determine a medida, em radianos, de um arco de 20 cm de comprimento contido em uma circunferência de raio8 cm.
E05.E05. Qual e o comprimento de um arco correspondente a um ângulo central de 45° contido em uma circunferência
de raio 2 cm?
E06.E06. Calcule, em radianos, a medida do ângulo central correspondente a um arco de comprimento 15 cm contido
numa circunferência de raio 3 cm.
E07.E07. Determine o ângulo, em radianos, em cada item:
a) b)a) b)
- 149149 -
E08.E08. Um pêndulo tem 15 cm de comprimento e, no seu movimento, suas posições extremas formam um ângulo de
60°. Qual é o comprimento do arco que a extremidade do pêndulo descreve?
Respostas dos Exercícios Teóricos:Respostas dos Exercícios Teóricos:
E01.E01.
a)a) cmπ
b)b) cm2π
c)c) cm3π
d)d) cm6π
e)e) cm3
2π
f)f) cm3
4π
g)g) cm23π
E02.E02.
a)a) rad6
7π
b)b) rad3
5π
c)c) rad3
2π
d)d) rad3623π
e)e) rad2
3π
f)f) rad4
3π
g)g) rad6
5π
E03.E03.
a)a) 30º
b)b) 150º
c)c) 45º
d)d) 225º e)e) 240º
f)f) 216º
g)g) 34317
360 o ′=
E04.E04. rad2
5π
E05.E05. cm2π
E06.E06. rad5
E07.E07.
a)a) rad,21
b)b) rad
3
2π
E08.E08. cm7,15
- 150150 -
9.4.39.4.3 Circunferência TrigonométricaCircunferência Trigonométrica
À circunferência trigonométrica de centro O, vamos associar um sistema
de coordenadas cartesianas ortogonais, fixando o ponto A de coordenadas (1,
0) como srcem dos arcos (conforme figura ao lado).Os eixos x e y dividem a circunferência trigonométrica em quatro partes
congruentes chamadas quadrantesquadrantes, numeradas de 1 a 4 e contadas a partir de
A, no sentido positivo.
Os pontos A, B, A’ e B’ são pontos dos eixos e por isso não são considerados pontos dos quadrantes.
Para todo ponto (x, y) pertencente à circunferência trigonométrica, temos -1≤ x ≤ 1 e -1≤ y ≤ 1.
Denomina-se circunferência trigonométricacircunferência trigonométrica à circunferência
orientada, de centro na srcem do sistema de coordenadas
cartesianas ortogonais, cujo raio tem 1 unidade de comprimento e
na qual o sentido positivo é o anti-horário.
- 151151 -
9.4.49.4.4 Arcos Côngruos ou Arcos Côngruos ou CongruentesCongruentes
Toda vez que o ponto da circunferência, final do arco iniciado em (1, 0), é o mesmo para dois arcos diferentes
(por exemplo, 0 e 2 π), chamamos esses arcos de arcos côngruosarcos côngruos ou congruentescongruentes.
É conveniente notar que todos os arcos côngruos diferem entre si de um múltiplo de 2π, que é o comprimento
de cada volta.
Imaginando o ponto como um móvel que se desloca sobre a circunferência no sentido anti-horário, teríamos o
seguinte:
na primeira figura, o ponto deslocou-se3π
ou 60° de A até B;
na segunda figura, o ponto deslocou-se uma volta inteira (2π ou 360°) e mais
3
πou 60°; ou seja, deslocou-se
3
7πou 420°;
na terceira figura, o ponto deslocou-se duas voltas inteiras (2 ⋅2π ou 2 ⋅ 360°)
e mais3π
ou 60°; ou seja,3
13π ou 780°.
Supondo que o ponto se deslocasse k voltas inteiras, o número associado à extremidade B do arco AB seria
escrito assim:
Zkcom ,360k60ou2k3
oo ∈⋅+π⋅+π
Podemos então definir:
Dois arcos são cDois arcos são côngruos ouôngruos ou
congruentes quando suas medidascongruentes quando suas medidas
diferem em um múltiplo dediferem em um múltiplo de
22 rad ou 360°. rad ou 360°.
- 152152 -
Atividades de AprendizagemAtividades de Aprendizagem
Exercícios TeóricosExercícios Teóricos
E01.E01. Escreve a expressão geral dos arcos congruentes a:
a)a) 60º b)b) 120º c)c) 45π
rad d)d) 6
11πrad
E02.E02. Dê a expressão geral, em radianos, dos arcos de extremidades nos pontos indicados, considerando a srcem em A:
a) b) c)a) b) c)
d) e) f)d) e) f)
E03.E03. Encontre a 1ª determinação, ou seja, o menor valor não negativo côngruo ao arco de:
a)a) 780º b)b) 1140º c)c) -400º d)d) 2
15π rad e)e)
310π
rad f)f) 2
9πrad
E04.E04. “Em 1792, durante a Revolução Francesa, houve na França uma reforma de pesos e medidas que culminou na
adoção de uma nova unidade de medida de ângulos. Essa unidade dividia o ângulo reto em 100 partes iguais,
chamadas gradosgrados. Um grado (1 gr) é, então, a unidade que divide o ângulo reto em 100 partes iguais, e o minuto
divide o grado em 100 partes, bem como o segundo divide o minuto também em 100 partes. Tudo isso para que a
unidade de medição de ângulos ficasse em conformidade com o sistema métrico decimal. A ideia não foi muito bem-
sucedida, mas até hoje encontramos na maioria das calculadoras científicas as três unidades: grau, radiano e grado.”
(DANTE, 2013, p.34)
Com base no texto acima, responda:
a)a) A quantos grados equivale meia volta de circunferência? E uma volta inteira?
- 153153 -
b)b) Em qual quadrante termina o arco trigonométrico de 250 gr?
c)c) A quantos grados equivale 1 rad?
d)d) A quantos graus equivale 1 gr?
Respostas dos Exercícios Teóricos:Respostas dos Exercícios Teóricos:
E01.E01.
a)a) π+π k23 ou 60º + 360ºk; com k ∈ Z.
b)b) π+π
k23
2
ou 120º + 360ºk; com k ∈ Z.
c)c) π+π
k24
5
ou 225º + 360ºk; com k ∈ Z.
d)d) π+π
k26
11
ou 330º + 360ºk; com k ∈ Z.
E02.E02.
a)a) Z.kcom,k26
6
30o ∈π+π
→π
=
b)b) Z.kcom,k24
4
54 )P( o1 ∈π+
π→
π=
Z.kcom,k24
5 4
5252 )P( o2 ∈π+π→π=
c)c) Z.kcom,k24
4
54 )P( o1 ∈π+
π→
π=
Z.kcom,k24
7
47
153 )P( o2 ∈π+
π→
π=
d)d) Z.kcom,k23
2
32
120o ∈π+π
→π
=
e)e) Z.kcom,k23
5
35
30060 oo ∈π+π
→π
==−
f)f) Z.kcom,k26
6
03 )P( o1 ∈π+
π→
π=
Z.kcom,k26
5 6
5150 )P( o2 ∈π+
π→
π=
Z.kcom,k26
7
67
102 )P( o3 ∈π+
π→
π=
Z.kcom,k25
11
511
303 )P( o4 ∈π+
π→
π=
E03.E03.
a)a) 60º
b)b) 60º
c)c) 320º
d)d) rad23π
e)e) rad34π
f)f) rad2π
E04.E04.
a)a) 200 gr e 400 gr
b)b) 3º quadrante
c)c) 63,7 gr
d)d) 0,9º
- 154154 -
TestesTestes
T01.T01. (PUC-MG) Ao projetar prédios muito altos, os engenheiros devem ter em mente o movimento de oscilação, que
é típico de estruturas de arranha-céus. Se o ponto mais alto de um edifício de 400 m descreve um arco de
o
21
, a
medida do arco descrito por esse ponto, em metros, é:
a)a) π b)b) 43π
c)c) 34π
d)d) 9
10π e)e) 10
11π
T02.T02. (Enem-2004) Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado
“Mineirinho”, conseguiu realizar a manobra denominada “900”, na modalidade skate vertical, tornando-se o segundo
atleta no mundo a conseguir esse feito. A denominação “900” refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar
em torno de seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a:
a)a) uma volta completa.
b)b) uma volta e meia.
c)c) duas voltas completas.
d)d) duas voltas e meia.
e)e) cinco voltas completas.
- 155155 -
Funções TrigonométricasFunções Trigonométricas
Nesta seção vamos estender os conceitos de OFV¯, TUO¯ e Wf¯ para todos os valores reais do
número ¯. Dessa forma, vamos definir o seno, cosseno e tangente como funções reais ais quais chamamos de
funções trigonométricas.
9.5.19.5.1 Função senoFunção seno
Dado um número real x, podemos associar a ele o valor do seno de um ângulo (ou arco) de x radianos:
Definimos a função trigonométrica senofunção trigonométrica seno como a função que associa a cada número real x o valor real de sen(x),
ou seja : ’ → ’ → OFV
GráficoGráfico
Calculando os valores do seno de x para alguns valores de x, vemos que o gráfico da função OFV tem o seguinte aspecto:
.
PeriodicidadePeriodicidadeObservando o gráfico da função seno, vemos que a função repete periodicamente seus valores nos
intervalos Y , 2†,# , #,2† ,2†,!†,Y Daí dizemos que a função seno é periódica. Observemos que
OFV OFV 2† OFV !† ° , SŠ WUcU ∈ ’
dessa forma, dizemos que o período da função seno é 2† e indicamos por S 2† .
A curva acima é chamada de senoidesenoide.
- 156156 -
SinalSinal
Para analisar o sinal da função seno recorremos ao ciclo trigonométrico, vemos que a função seno épositiva para os valores do 1º e 2º quadrantes e negativa para valores do 3º e 4º quadrantes.
Observações Observações
1) O domínio da função seno é o conjunto dos números reais e a imagem é o intervalo ",".2) OFV #, para H† , com H ∈ ±.
OFV #, para no 1º e 2º quadrantes e para ¢3 2H†, com H ∈ ±.
OFV #, para no 3º e 4º quadrantes e para e¢3 2H† , com H ∈ ±.
9.5.29.5.2 Função cossenoFunção cosseno
Dado um número real x, também podemos associar a ele o valor do cosseno de um ângulo (ou arco) de x
radianos. Definimos a função trigonométrica cossenofunção trigonométrica cosseno como a função que associa a cada número real x o valor
real de cos(x), ou seja : ’ → ’ → TUO
GráficoGráfico
Calculando os valores do cosseno de x, para alguns valores de x, vemos que o gráfico da função TUO tem o seguinte aspecto:
Observe que o gráfico da função cosseno é simétrico em relação ao eixo y. Além disso, a curva definida pela
função TUO é a curva senoide transladada¢3 unidades para a direita.
- 157157 -
SinalSinal
Analisando o sinal da função cosseno, vemos que a função cosseno é positiva para os valores do 1º e 4º
quadrantes e negativa para valores do 2º e 3º quadrantes.
Observações Observações
1) O domínio da função cosseno é o conjunto dos números reais e a imagem é o intervalo ",".2) A função cosseno é periódica de período S 2†
3) TUO #, para H ¢3 ,com H ∈ ±.
9.5.39.5.3 Função tangenteFunção tangente
Definimos a função trigonométrica tangentefunção trigonométrica tangente como a função que associa a cada número real
o valor real de
Wf, ou seja
Wf OFV²<q
para 5 ¢3 H†, ∈ ±.
GráficoGráfico
Calculando os valores do seno de x, para
alguns valores de x, vemos que o gráfico da função Wf tem o seguinte aspecto:
Observe que o gráfico da função tangente é simétrico em relação à srcem.
- 158158 -
SinalSinal
Pela definição da função Wf , vemos que a função tangente é positiva para os valores do 1º e 3º
quadrantes e negativa para valores do 2º e 4º quadrantes.
Observações Observações
1) O domínio da função tangente é o conjunto ∈ ’Ž 5 ¢3 H†,∈ ± e a imagem é o conjunto dos
números.
2) A função tangente é periódica de período S †
9.5.49.5.4 Outras funções TrigonométricasOutras funções Trigonométricas
Funções Funções Recíprocas Recíprocas GráficoGráfico
1.1. Função cossecanteFunção cossecante
TUOOFT "OFV
• (U/ ∈ ’Ž 5 H†,H ∈ ±
• / ’ ","
2.2. Função secanteFunção secante
OFT "TUO
• (U/ « ∈ ’Ž 5 ¢3 H†,H ∈ ± ¬
• / ’ ","
- 159159 -
3.3. Função cotangenteFunção cotangente
TUWf "Wf
• (U/ ∈ ’Ž 5 H†,H ∈ ±
• / ’
Funções Funções Inversas Inversas GráficoGráfico
1.1. Função arcosenoFunção arcoseno
ŠTOFV OFV 0
• (U/ ","
• / †[2,†[2
2.2. Função arcocossenoFunção arcocosseno
ŠTTUO TUO 0
• (U/ ","
• / # , †
3.3. Função arcotangenteFunção arcotangente
ŠTWf Wf0
• (U/ ’
• / †[2,†[2
- 160160 -
Atividades de AprendizagemAtividades de Aprendizagem
Exercícios TeóricosExercícios Teóricos
E01.E01. Determine os valores reais de / para os quais as seguintes equações tenham solução:
a) OFV 2 / *
b) OFV / 2
c) OFV /3 "
d) !/ OFV "
E02.E02. Determine os valores reais de
/ para que exista um número real
que satisfaça as seguintes igualdades:
a) TUO 2 / )
b) TUO / !
c) TUO " /3
d) TUO )/ X
E03.E03. Considerando e f funções de ℝ em ℝ tal que OFV e f TUO :
L Calcule †, f†, ‹¢eŒf‹ ¢‡Œ , ³‹ µŒœ‹µŒ ,‹ e¢‡ Œ F f ‹ e¢‡ Œ;
¶ Determine ∈ #,2† tal que fŽ ² Determine se existe ∈ ’ tal que
¢3 † e f (justifique sua resposta).
E04.E04. Considere as funções e f definidas por OFV ! e f " TUO. Determine:
a) ‹¢3Œ
b) f† c) ‹¢mŒ
d) (U/f
e)
/f
f) ∈ #,2† tal que "
E05.E05. Construa o gráfico (um período completo) e dê o domínio, a imagem e o períoso de cada função. (Sugestão:
para construí-lo, reveja os gráficos de seno e cosseno.)
a) ²<q b) f |qIn| c) 2OFV
E06.E06. Qual o domínio das seguintes funções reais?
a) Wf
b) f Wf ‹2 ¢eŒ
E07.E07. Para que valores de ¯ existe tal que Wf 6 3 )¯ !?
E08.E08. Em cada caso, determine o conjunto ao qual / deve pertecencer de modo que exista satisfazendo a
igualdade .
a) TUWf 6 2 / b) OFT / 2 c) TUOOFT 3·00e·
- 161161 -
TestesTestes
T01.T01. (UFRGS-RS) Se OFV tem como gráfico:
Então:
a) 2 F "
b) " F 2
c) " F "
d) " F 2
e) 2 F "
T02.T02. Uma bomba de água aspira e expira água a cada três segundos. O volume de água da bomba varia entre um
mínimo de 2 litros e um máximo de 4 litros. Dentre as alternativas a seguir, assinale a expressão algébrica para o
volume (y) de água na bomba em função do tempo (t).
a) 2 2OFV ¹‹¢eŒ ¸ Wº b)
2 2OFV ¹‹3¢e Œ ¸ Wº
c) OFV ¹‹¢eŒ ¸ Wº
d) OFV ¹‹3¢e Œ ¸ Wº
e) 2OFV ¹‹¢eŒ ¸ Wº
T03.T03. (Vunesp-SP) Uma máquina produz diariamente dezenas de certo tipo de peça. Sabendo-se que o custo de
produção + e o valor de venda € são dados, + 2 TUO‹ 1¢m Œ e € 6 2OFV‹ 1¢03Œ, # X . O
lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas de peças é:
a) 500
b) 750
c) 1000
d) 2000
e) 3000
- 162162 -
Respostas dos Exercícios Teóricos:Respostas dos Exercícios Teóricos:
E01.E01.
a)a) / ∈ ’ [ / !
b)b) / ∈ ’ [ "[ / "
c)c) #
d)d) »/ ∈ ’ [ 6 2 / 6 2¼
E02.E02.
a)a)
/ ∈ ’ [ / 2
b)b) / ∈ ’ [)[ / "
c)c) »/ ∈ ’ [ 6 2 / 6 2¼
d)d) / ∈ ’ [ " / *[)
E03.E03.
a)a) #,", 6 e6 33 , 6 ee , 6 33 , 6 33
b)b) ¢‡ ou d¢‡
c)c) Não existe.
E04.E04.
a)a) 0
b)b) 2
c)c) 6 [2
d)d) ℝ
e)e) #,2 f)f) ¢ ou d¢ ou ¢ ou 0e¢
E06.E06.
a)a) (U/ « ∈ ’Ž 5 ¢m ½¢e , H ∈ ± ¬
b)b) (U/ « ∈ ’Ž 5 d¢03 ½¢03 , H ∈ ± ¬
E07.E07. ¯ " ou ¯ !
E08.E08.
a)a) / 2
b)b) / 0d ou / "
c)c) # / 0e ou0e / 3d
Respostas dos Testes:Respostas dos Testes:
T01.T01. d)
T02.T02. d)
T03.T03. c)
- 163163 -
1515 GEMETRIAGEMETRIA
Neste capítulo, estudaremos as principais figuras geométricas planas (bidimensionais) e espaciais
(tridimensionais), com o intuito de listar as principais relações envolvendo seus elementos. Para isto realizar,
dividiremos as formas geométricas em duas classes dependendo de seu caráter dimensional. Ao final do capítulo,
você encontrará duas tabelas com as fórmulas de área e de volume mais utilizadas.
Formas Geométricas BidimensionaisFormas Geométricas Bidimensionais
Inicialmente, analisaremos as figuras que podem ser desenhadas em um plano. Apresentamos
individualmente certas propriedades associadas a cada forma geométricas como, por exemplo, relações entre ângulos,
perímetros, áreas, etc. Além disso, exibimos os casos particulares de maior destaque.
10.1.110.1.1 TriânguloTriângulo
Figura geométrica composta de 3 (três) lados e 3 (três) vértices.
Exemplos: Esquadro, placas de transito, metade de um sanduíche, etc.
Relações envolvendo ângulos:Relações envolvendo ângulos:
Soma dos ângulos internos: ¾ ¿ À "j# Á
Lei dos cossenos: ²3 L3 ¶3 2L ¶ ²<qÀ
Lei dos senos:Â¥ÃÄ> Â¥ÃŘ Â¥ÃÆ
Perímetro:Perímetro: (Soma dos lados) T
Área:Área:03 x (Base) x (Altura) ˜Ç3
Vale registrar outras identidades para encontrar a área:
- 164164 -
Fórmula de Heron:Fórmula de Heron: ÈÉÊË Ì ÍÍLͶͲ , em que Í ÎMÏMÐ3
Fórmula dos Lados:Fórmula dos Lados: ÁÉÊË ÎÏ ÑÒÓÔ3
Classificação:
Equilátero:Equilátero: Triângulo cujos lados têm mesmo comprimento ou em que todos os ângulos são iguais;
Isósceles:Isósceles: Triângulo com 2 (dois) lados iguais ou 2 (dois) ângulos iguais;
Escaleno:Escaleno: Triângulo onde todos os lados possuem tamanhos distintos;
Retângulo:Retângulo: Triângulo com 1 (um) ângulo de 90o graus. Em particular, os lados de um triângulo retângulo verificam
uma importante identidade:
Teorema de PitágorasTeorema de Pitágoras 3 3 T3.
10.1.210.1.2 ParalelogramoParalelogramo
Lugar geométrico composto de 4 (quatro) lados e 4 (quatro) vértices, cujos lados opostos devem ser paralelos ou
possuir tamanhos iguais.
Exemplos: Quadro, mesa, televisão, etc.
- 165165 -
Ângulos:Ângulos: ¯ Õ Ö × X# ›
Perímetro:Perímetro: (Soma dos lados) 2 2
Área:Área: E g
Abaixo destacamos os casos particulares importantes:
Retângulo:Retângulo: Paralelogramo com todos os ângulos de 90º graus ou¢3 radianos.
Losango:Losango: Paralelogramo com todos os lados de mesmo comprimento.
Quadrado:Quadrado: Paralelogramo cujos lados têm mesmo comprimento e em que todos os ângulos são de 90º graus ou¢3
radianos.
10.1.310.1.3 TrapézioTrapézioFigura formada por 4 (quatro) lados e 4 (quatro) vértices, onde somente dois lados opostos são paralelos.
Exemplos: Bolsa, telha, etc.
Perímetro:Perímetro: (Soma dos lados) T c
Área:Área: 03 [(Base Maior) + (Base Menor)] x (Altura) >M˜3 g
10.1.410.1.4 PolígonosPolígonos
Região planar composta por V lados e V vértices.
- 166166 -
As formas mais comuns são dadas quando os lados e os ângulos são todos iguais, também denominados de
polígonos regulares. Na realidade, conectando cada vértice ao centro de um polígono regular concluímos que este é
formado pela união de triângulos isósceles, cuja altura é denominada de apótema.
A partir disto, valem:
Ângulos:Ângulos: (Soma dos ângulos internos) V 2 "j#›
Perímetro:Perímetro: (Número de Lados) x (Lado) V— Área:Área: (Número de Lados) x
03 x (Lado) x (Apótema) V š>3
Exemplos:
Pentágono Regular:Pentágono Regular: polígono de 5 (cinco) lados e 5 (cinco) vértices.
Hexágono Regular:Hexágono Regular: Polígono de 6 (seis) lados e 6 (seis) vértices.
- 167167 -
10.1.510.1.5 CírculoCírculo
Lugar geométrico dos pontos que tem a mesma distância Š a partir de um centro +. Em particular, não possui
lados nem vértices.
Exemplos: Anel, prato, relógio, etc.
Perímetro:Perímetro: 2† x (Raio) 2†Š
Área:Área: † x (Raio) 2 †Š3
Tal figura pode ser seccionada em sub-regiões, a saber:
Setor Circular:Setor Circular: Região de um círculo situada entre dois raios com ângulo Ø entre estes.
Exemplo: Fatia de pizza.
Comprimento de Arco:Comprimento de Arco: (Ângulo do Setor) x (Raio) ØŠ
Área:Área:03 x (Raio)2 x (Ângulo do Setor) 03 Š3Ø
ou 03 x (Raio) x (Comprimento de Arco) ÙÚ3 .
- 168168 -
Atividades de AprendizagemAtividades de Aprendizagem
Exercícios TeóricosExercícios Teóricos Exercícios extraídos da obra:
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicaçõesMatemática: contexto & aplicações. Vol. 2. 2ª Ed. São Paulo: Ática, 2013.
E01.E01. Feito o levantamento de um terreno, foram determinados os dados indicados na figura abaixo. Nessas condições
qual é a área do terreno?
E02.E02. Na figura abaixo, (¨Û ¨kÛ k+Û . Calcule a área da região colorida dessa figura.
E03.E03. Um terreno tem forma de um trapézio de bases 20m e 14 m e altura 11m. Nesse terreno , construiu-se uma
piscina retangular de 8m por 5m. No restante do terreno foram colocadas pedras mineiras. Qual foi a área onde se
colocou pedra?
E04.E04. De uma placa de alumínio foi recortada uma região triangular equilátera de lado 20 cm. Qual a área dessa região
que foi recortada?
E05.E05. Qual á a área do material usado para fazer as quatro bandeirinhas abaixo?
E06.E06. Determine a área da região triangular abaixo:
- 169169 -
E07.E07. Qual é a área da região limitada por um paralelogramo cujos lados medem 10 cm e 16 cm, sabendo que formam
um ângulo de 30º?
E08.E08. As diagonais de um paralelogramo medem 10 cm e 8 cm e formam um ângulo de 60º. Determine a área dessaregião limitada pelo paralelogramo.
E09.E09. Um piso de cerâmica tem a forma hexagonal regular. O lado do piso mede 8 cm. Qual a área desse piso?
E10.E10. Um bloco retangular é um sólido formado por 6 retângulos. Determine a área total da superfície do bloco
retangular da figura abaixo.
E11.E11. Qual é a área de toda a parte colorida da figura ao lado? Qual é a área da região não colorida?
E12.E12. Um terreno tem formato triangular e as medidas dos seus lados são 17 m, 15 m, 8 m. Qual a área desse terreno?
E13.E13. Calcule a área de um círculo que tenha 10 decímetros de diâmetro.
- 170170 -
Respostas dos Exercícios Teóricos:Respostas dos Exercícios Teóricos:
E01.E01. 22# /3
E02E02. !# T/ 3
E03E03. "!* /3
E04E04. "##6 T/3
E05E05. !6 T/3
E06E06. )6 T/3
E07E07. j# T/3
E08E08. 2#6 T/3
E09E09. -X6 T/3
E10E10. -! T/3
E11E11. j T/3
E12E12. X# /3
E13E13. 2)† c/3
Formas Geométricas TridimensionaisFormas Geométricas Tridimensionais
Nesta segunda parte, estudaremos as figuras que não conseguem “viver” dentro de um plano, são as chamadas
figuras tridimensionais. Mais uma vez, focaremos nossa atenção nos objetos geométricos que mais aparecem em
nosso cotidiano.
10.2.110.2.1 PrismaPrisma
Estrutura composta por 2 (duas) faces poligonais paralelas e V (número de lados do polígono) faces
retangulares.
Em particular, são V arestas e 2V vértices.
Área:Área:
2 (Área do Polígono Base) + n x (Área da Face Retangular)
Volume:Volume: (Área do Polígono Base) x (Altura).
Tais estruturas podem ser classificadas de duas formas:
- 171171 -
Prisma Reto:Prisma Reto: Faces laterais perpendiculares (ângulo
de -#›) com a base.
Prisma Oblíquo:Prisma Oblíquo: Faces laterais possuem ângulo
diferente de -#› com relação à base.
Exibimos abaixo alguns tipos específicos de primas retos.
Prisma Triangular:Prisma Triangular: Estrutura composta por 2 (duas) faces triangulares e 3 (três) faces retangulares, ou seja, 9 (nove)
arestas e 6 (seis) vértices.
Exemplos: Lentes de telescópio, prima de refração da luz, etc.
Paralelepípedo:Paralelepípedo: Prisma reto composto somente por faces retangulares. Em particular, as faces opostas sempre sãoparalelas. Em particular, possui 6 (seis) faces, 12 (doze) arestas e 8 (oito) vértices.
Exemplos: Caixa de sapato, estojos, etc.
Área Total:Área Total:
2 (Área da Face Retangular 01) x 2 (Área da Face Retangular 02) x
x 2 (Área da Face Retangular 03)
Volume:Volume: (Lado 01) x (Lado 02) x (Lado 03)
Cubo:Cubo: Um paralelepípedo onde as faces são quadrados idênticos ou cujas arestas possuem o mesmo tamanho —. Exemplos: Dado, Cubo de Rubrik, etc.
- 172172 -
Área Total:Área Total: 6 x (Lado) 3 X—3
Volume:Volume: (Lado) e —e
10.2.210.2.2 PirâmidePirâmide
Figura geométrica formada por 1 (uma) face poligonal e n (número de lados do polígono) faces triangulares.
Uma pirâmide sempre possui 2V arestas e V " vértices.
Área Total:Área Total: (Área do Polígono Base) + n (Área da Face Triangular)
Volume:Volume:0e (Área do Polígono Base) x (Altura)
Destacamos alguns casos particulares de pirâmides.
Tetraedro:Tetraedro: Pirâmide de base triangular, cujas 6 (seis) arestas tem mesmo tamanho —. Exemplos: Molécula de metano, etc.
- 173173 -
Altura:Altura: 6 me (Lado) 6 me —3
Área da Base:Área da Base: 6 e‡ x (Lado)2 6 e‡ —3
Área Total:Área Total: ! (Área da Base) 6 —3
Volume:Volume: 0e x (Área da Base) x (Altura) 6 303 —e
Pirâmide Retangular:Pirâmide Retangular: Pirâmide cuja base é um quadrado de lado —. Exemplos: Necrópole de Gizé, etc.
Ao considerar secções da pirâmide, obtemos novas regiões espaciais, chamadas de tronco de pirâmide.tronco de pirâmide.
Troco de Pirâmide:Troco de Pirâmide: Forma geométrica obtida ao dividir uma pirâmide por um plano paralelo a base, eliminando a
pirâmide menor formada por este divisão.
Exemplos: Cajon, embalagem de comida chinesa, etc.
Área:Área: (Área da Base Maior) + (Área da Base Menor) + (Área Lateral)
Volume:Volume: 0e x (Altura) x [(Área da Base Maior) + Ì ÈpIL oL ÜLqI ÝLJ<p x
x Ì ÈpIL oL ÜLqI ÝIn<p + (Área da Base Menor)] =
" g~ EÞ Ì EÞ E˜ E˜•
- 174174 -
10.2.310.2.3 CilindroCilindro
Forma geométrica gerada pela rotação de um quadrado em torno de um eixo central.
Exemplos: Cano, Mangueira, etc.
Área da Lateral:Área da Lateral: 2† x (Raio da Base) x (Altura) 2†Šg
Área Total:Área Total: 2 (Área da Base) + (Área Lateral) 2†Šg Š
Volume:Volume: (Área da Base) x (Altura) †Š3g10.2.410.2.4 ConeCone
Estrutura geométrica gerada pela rotação de um triângulo isóscele em torno de uma bissetriz.
Exemplos: Funil, Casquinha de sorvete, etc.
Área da Lateral:Área da Lateral: † x (Raio da Base) x ‹Ì 4©U c GOF 3 E—Wߊ3Œ =
†Š ‹Ì Š3 g3Œ
Área Total:Área Total: (Área da Base) + (Área Lateral) †Š~6 Š3 g3 Š•
Volume:Volume:0e † x (Raio da Base)2 x (Altura) 0e †Š3g
Tronco de Cone:Tronco de Cone: Região espacial obtida após descartar um cone menor formado pela intersecção de um cone srcinal
por um plano paralelo a base.
Exemplo: Abajur.
- 175175 -
Área da Lateral:Área da Lateral: † x (Lado) x [(Raio Maior) + (Raio Menor)] †f4 Š
Volume:Volume:0e †
x (Altura) x [(Raio Maior)2 + (Raio Maior) x (Raio Menor) +
+ (Raio Menor)2] =
" †g43 4Š Š 3
10.2.510.2.5 EsferaEsfera
Objeto geométrico formado por todos os pontos que possuem a mesma distância Š com respeito a um ponto
fixo +, chamado de centro.
Exemplos: Bola de futebol, globo terrestre, etc.
Área Total:Área Total: !† x (Raio)2 !†Š 3
Volume:Volume:‡e † x (Raio da Base)3 ‡e †Še
- 176176 -
Atividades de AprendizagemAtividades de Aprendizagem
Exercícios TeóricosExercícios Teóricos Exercícios 01 a 18 extraídos da obra:
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicaçõesMatemática: contexto & aplicações. Vol. 2. 2ª Ed. São Paulo: Ática, 2013.
E01.E01. Quanto mede a diagonal de um paralelepípedo reto retangular no qual as dimensões são 10 cm, 6 cm e 8 cm?
E02E02. Um cubo tem "#6 cm de aresta. Calcule a medida da sua diagonal.
E03E03. Quantos centímetros quadrados de papelão são gastos para fazer uma caixa de sapatos do tipo e tamanhos a
seguir?
E04E04. Quantos centímetros quadrados de papel adesivos são gastos para cobrir a superfície total de uma peça sextavada
cuja forma e medidas estão na figura abaixo?
E05E05. Qual o volume do cubo de aresta )6 T/?
E06E06. Quantos litros de água são necessários para encher uma caixa-d’água cujas dimensões são: 1,20 m por 0.90 m
por 1 m? (Lembre-se que 1000 litros = " /e).
E07E07. Qual é o volume de um sólido cuja forma e medidas estão na figura baixo?
- 177177 -
E08E08. Calcule o volume de uma peça de metal cuja forma e medidas estão na figura abaixo.
E09E09. A lateral de um prisma triangular regular é de X T/3. A altura do prisma é o triplo da aresta da base. Calcule
o volume do prisma.
E10E10. Uma pirâmide quadrangular regular tem todas as arestas iguais e a área da base é igual a 16 T/3. Qual é a área
total da pirâmide?
E11E11. Uma pedra preciosa tem a forma da figura abaixo. Sabendo que a pedra tem 6 mm em todas as arestas, calcule
o volume da pedra.
E12E12. Uma peça de cristal tem a forma e as medidas da figura abaixo. Qual o volume do cristal empregado para
fazer essa peça se a sua altura é de 15 cm?
E13E13. Sabe-se que a área lateral de um cilindro é de 2#† T/ 3. Se o raio da base é de 5 cm, calcule a medida h da
altura e a área total do cilindro.
E14E14. Uma ponte de concreto tem a forma da figura a seguir. Suas dimensões estão assinaladas na figura. Qual o
volume de concreto utilizado para construir a ponte? Use † .
- 178178 -
E15E15. Quantos centímetros quadrados de cartolina serão gastos para fazer o chapéu de palhaço cujas medidas estão
na figura abaixo?
E16E16. Um reservatório cônico tem água até metade de sua altura, conforme a figura. Qual é o volume de água?
E17E17. O diâmetro de uma esfera de ferro fundido mede 6 cm. Qual o volume dessa esfera?
E18E18. O volume de uma esfera éd30e T/e. Calcule o raio e a área da superfície esférica.
Respostas dos Exercícios Teóricos:Respostas dos Exercícios Teóricos:
E01.E01. "#6 2 T/
E02E02. # T/
E03E03. 22X! T/ 3
E04E04.
#,2! "j# 6 T/e
E05E05. *)6 T/e
E06E06. "#j# —
E07E07. ")# T/e
E08E08. "2X##6 T/e
E09E09. !j# T/3
E10E10. "X" 6 T/3
E11E11. "##,j //e
E12E12. "j)## T/ e
E13E13.
g 2 T/ F E *#† T/3
E14E14. "##j /e
E15E15. 2X#† T/ 3
E16E16. 2X,2)† / e
E17E17. """,#! T/ e
E18E18.g ! 6 2ž T/ F E X!† 6 !ž T/3
- 179179 -
ResumoResumo
Nomes Nomes Figuras Figuras FórmulasFórmulas
Triângulo E g2 Ì SS S S T
Paralelogramo E g
Trapézio E 2 g
Polígono E V —2
Círculo E †Š3
Prisma € E˜g
Pirâmide € " E˜g
Tronco de pirâmide" g~ EÞ Ì EÞ E˜ E˜•
Cilindro € †Š 3g
Cone € " †Š3g
Tronco de cone € " †g43 4Š Š 3
Esfera € ! †Še
- 180180 -
1111 ETRESETRES
Noção IntuitivaNoção Intuitiva
Existem dois tipos de grandezas: as escalares e as vetoriais. As escalares são aquelas que ficam completamente
definidas por apenas um número real (acompanhado de uma unidade adequada). Comprimento, área, volume, massa,
temperatura, densidade, são exemplos de grandezas escalares. Assim, quando dizemos que uma mesa tem 3m de
comprimento, que o volume de uma caixa é de 10 dm 3 ou que a temperatura ambiente é de 30º C, estamos
determinando perfeitamente estas grandezas.
Existem, no entanto, grandezas que não ficam completamente definidas apenas pelo seu módulo, ou seja, pelo
número com sua unidade correspondente. Falamos das grandezas vetoriais, que para serem perfeitamente
caracterizadas necessitamos conhecer seu módulo (ou comprimento ou intensidade), sua direção e seu sentido. Força,
velocidade, aceleração, são exemplos de grandezas vetoriais.
Antes de apresentar um exemplo mais palpável de grandeza vetorial, precisamos ter bem presente as ideias de
direção e de sentido.
A figura ao lado apresenta três retas. A reta r1 determina, ou define, uma
direção. A reta r2 determina outra direção, diferente da direção de r1. Já a
reta r3, por ser paralela a r1, possui a mesma direção de r1. Assim a noção
de direção é dada por uma reta e por todas as que lhe são paralelas. Quer
dizer, retas paralelas têm a mesma direção.
Nesta outra figura, apresentada abaixo, a direção é definida pela
reta que passa pelos pontos A e B. O deslocamento de uma pessoa nessa
mesma direção pode ser feito de duas maneiras: no sentido de A para B
ou no sentido contrário, de B para A. Portanto, a cada direção podemos
associar dois sentidos. Fica claro então que só podemos falar em
“sentidos iguais” ou em “sentidos contrários” caso estejamos diante da
mesma direção.
Alguns exemplos:
Situação 01:Situação 01: Consideremos um avião com uma velocidade constante de 400 km/h, deslocando-se para nordeste, sob
um ângulo de 40º (na navegação aérea, as direções são dadas pelo ângulo considerado a partir do norte (N), emsentido horário). Esta grandeza (velocidade) seria representada por um segmento orientado (uma flecha – figura
abaixo), sendo o seu módulo dado pelo comprimento do segmento (no caso, 4 cm, e cada 1 cm corresponde a 100
km/h), com a direção e o sentido definidos pelo ângulo de 40º. O sentido será indicado por uma seta na extremidade
superior do segmento.
r2
r1
r3
A B
- 181181 -
Observemos que no caso de o ângulo ser 220º (40º + 180º), a direção continua sendo a mesma, porém, o sentido
é o oposto. Este exemplo de grandeza vetorial sugere a noção de vetor.
Situação 02:Situação 02: Analisando o deslocamento de um carro de um ponto ao outro em uma estrada, podemos representar
esse movimento por um segmento de reta orientado, terminado em ponta de flecha, conforme mostra a figura abaixo.
O segmento de reta orientado aponta no sentido em que o carro se desloca e possui um comprimento que meça a
velocidade real dentro de uma escala conveniente, assim como no exemplo anterior.
Esse segmento de reta representa o vetor-velocidade do carro.
O vetor-velocidade é um dos vários exemplos de vetores desse tipo que podem ser encontrados dentro da
Física.
Os vetores nos permitem raciocinar sobre problemas no espaço sem a ajuda de eixos de coordenadas. Dado
que as leis fundamentais da física não dependem de uma posição particular no espaço dos eixos de coordenadas, os
vetores são instrumentos adaptados à formulação dessas leis.
Abstendo-se da ideia de grandezas vetoriais, diríamos que o vetor é representado por um segmento orientado
(um segmento está orientado quando nele se escolhe um sentido de percurso, considerado positivo).
Dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento, mesma
direção (são paralelos ou colineares) e mesmo sentido são representantes de um
mesmo vetor. Na figura ao lado, todos os segmentos orientados paralelos, de
mesmo sentido e mesmo comprimento de EG, representam o mesmo vetor, que
será indicado por EGà ou G â E, onde E é a srcem e G a extremidade do
segmento. O vetor também costuma ser indicado por uma letra minúscula
encimada por uma flecha, tal como ãá.
N
40º
N
S
LO
A
B
- 182182 -
Quando escrevemos ãá EGà , estamos afirmando que o vetor ãá é determinado pelo segmento orientado AB.
Porém, qualquer outro segmento de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido de EG representa também
o vetor ãá.
Assim sendo, cada ponto do espaço pode ser considerado como srcem de um
segmento orientado que é representante do vetor ãá. Esta é a razão de o vetor também ser
chamado de vetor livre, no sentido de que o representante pode ter sua srcem colocada em
qualquer ponto.
O módulo, a direção e o sentido de um vetor ãá é o módulo, a direção e o sentido de qualquer um dos seus
representantes. Indica-se o módulo de ãá por ãá ou ãá .
♦ Dois vetores ßà e ãá são paralelos, e indica-se por ßà // ãá, se os seus representantes tiverem a mesma direção.
♦ Dois vetores ßà e ãá são ditos iguais, e indica-se por ßà = ãá, se tiverem iguais o módulo, a direção e o sentido.
A
B
- 183183 -
Atividades de AprendizagemAtividades de Aprendizagem
Exercícios TeóricosExercícios Teóricos
E01.E01. A figura é constituída de nove quadrados congruentes. Associe V (verdadeiro) ou F (falso) a cada uma das
seguintes afirmações:
a)a) ( ) OFAB = b)b) ( ) PHAM = c)c) ( ) OPBC =
d)d) ( ) MCBL −= e)e) ( ) EDDE −= f)f) ( ) MGAO =
g)g) ( ) FIKN = h)h) ( ) HI // AC i)i) ( ) LD // JO
j) j) ( ) FG // AJ k)k) ( ) EGAB ⊥ l)l) ( ) BLAM ⊥
m)m) ( ) ECPE ⊥ n)n) ( ) NBPN ⊥ o)o) ( ) AMPN ⊥
p)p) ( ) FPAC = q)q) ( ) MFIF = r)r) ( ) ACAJ =
s)s) ( ) NP2AO = t)t) ( ) BLAM =
10.5.2. Operações com vetores10.5.2. Operações com vetores
Adição de VetoresAdição de Vetores
Consideremos os vetores ßà e ãá, cuja soma ßà + ãá pretendemos encontrar.
Tomemos um ponto E qualquer e, com srcem nele, tracemos um segmento
orientado EG representante do vetor ßà .
Utilizemos a extremidade G para traçar o segmento orientado G+
representante do vetor ãá. O vetor representado pelo segmento orientado de
srcem E e extremidade + é, por definição, o vetor soma de ßà e ãá, isto é, ßà ãá E+à ou EGà G+à E+à .
Sendo ßà // ãá, a maneira de se obter o vetor ßà + ãá é a mesma e está ilustrada abaixo:
A B C D
L M N E
K P O F
J I H G
A
ßßàà
ããáá
ßßà à ããáá
B
C
ßßà à ããáá
ßßàà ããáá
ßßàà e ããáá de mesmo sentido
ßßàà
ããáá
ßßà à ããáá
ßßàà e ããáá de sentidos contrários
- 184184 -
No caso de os vetores ßà e ãá não serem paralelos, há uma outra
maneira de se encontrar o vetor soma ßà ãá. Representam-se ßà EGà e
ãá E(à por segmentos orientados de mesma srcem E. Completa-se o
paralelogramo EG+( e o segmento orientado de srcem E, que
corresponde à diagonal do paralelogramo, é o vetor ßà ãá, isto é, ßà ãá E+à , ou EGà E(à E+à .
Para o caso de se determinar a soma de três vetores ou mais, o procedimento é análogo e, em particular, se a
extremidade do representante do último vetor coincidir com a srcem do representante do primeiro, a soma deles será
o vetor zero.
Multiplicação de um vetor por um escalarMultiplicação de um vetor por um escalar
Dado um vetor ãá 5 # e um número real H 5 #, chama-se produto do numero real H pelo vetor ãá, o vetor Hãá, tal que:
a)a) módulo: Hãá = Hãá, isto é, o comprimento de Hãá é igual ao comprimento de ãá multiplicado por H;
b)b) direção: Hãá é paralelo a ãá;c)c) sentido: Hãá e ãá têm o mesmo sentido se H #, e contrário se H #. Se H # ou ãá #à , então Hãá #à .
A figura apresenta o vetor ãá e alguns de seus
múltiplos:
Ângulo de dois vetoresÂngulo de dois vetores
O ângulo entre os vetores não-nulos
ßà e
ãá é o ângulo
Ø formado por duas
semi-retas Ew e wG de mesma srcem w, onde ßà wEà , ãá wGà e
# ( em radianos) ou #ä "j#ä.
Se ßà [[ãá e ßà e ãá têm o mesmo sentido, então #. É o que ocorre, por exemplo, com os vetores ßà e 2ßà que têm o
mesmo sentido. Se ßà [[ãá e ßà e ãá têm sentidos contrários, então "j#ä. É o caso de ßà e ßà.
A
B
C
D
ßßàà
ããáá
ßßàà + ããáá
ßßàà
ããáá
ßßàà + ããáá ååàà
ßßàà + ããáá + ååàà
ßßàà
ããáá
ååàà
WWáá ßà + ãá + åà + Wá = #à
O
B
A
θ
ßßàà
ããáá
- 185185 -
Atividades de AprendizagemAtividades de Aprendizagem
Exercícios TeóricosExercícios Teóricos
E01.E01. Com base na figura ao lado, determinar os vetores abaixo, expressando-os com srcem no ponto A:
a) CNAC + b) BDAB + c) DCAC +
d) AKAC + e) EOAC + f) BLAM +
g) ANAK + h) OEAO − i) NPMO −
j) CBBC − k) NFPNLP ++ l) PBBNBL ++
E02.E02. Com base na figura ao lado, determinar os vetores abaixo,
expressando-os com srcem no ponto A:
a) CGAB + b) DEBC + c) EHBF +
d) BCEG − e) EHCG + f) FBEF −
g) AEADAB ++ h) FHDAEG ++
E03.E03. Dados dois vetores
ßà e
ãá não-paralelos, construir no mesmo gráfico os vetores
ßà ãá,
ßà ãá,
ãá ßà,
ßà ãá
todos com srcem em um mesmo ponto.
E04.E04. A figura ao lado apresenta o losango EFGH inscrito no retângulo
ABCD, sendo O o ponto de intersecção das diagonais desse losango.
Associe V para verdadeiro e F para falso a cada uma das seguintes
afirmações:
a) ( ) OGEO = b) ( ) CHAF =
c) ( ) HGDO = d) ( ) BOOC −=− e) ( ) DHOH −=−
f) ( ) COEH −=− g) ( ) BDAC = h) ( ) DB21
OA =
i) ( ) CD // AF j) ( ) HG // GF k) ( ) OC // AO
l) ( ) OHAB ⊥ m) ( ) CBEO ⊥ n) ( ) HFAO ⊥
o) ( ) FEOB −=
E05.E05. Associe V ou F a cada uma das afirmações:
a) ( ) Se uρ
= vρ
, então uρ
= vρ
.
b) ( ) Se uρ
= vρ
, então uρ
= vρ
.
A B C D
L M N E
K P O F
J I H G
A B
CD
EF
GH
A F B
D H C
E O G
- 186186 -
c) ( ) Se uρ
// vρ
, então uρ
= vρ
.
d) ( ) Se uρ
= vρ
, então uρ
// vρ
.
e) ( ) Se wρ
= uρ
+ vρ
, então wρ
= uρ
+ vρ
.
f) ( ) Se wρ
= uρ
+ vρ
, então uρ
, vρ
e wρ
são paralelos.
g) ( ) Se DCAB = , então ABCD (vértices nesta ordem) é paralelogramo.
h) ( ) v5ρ
= v5ρ
− = 5 vρ
.
i) ( ) Os vetores v3ρ
e v4ρ
− são paralelos e de mesmo sentido.
j) ( ) Se uρ
// vρ
, uρ
= 2 e vρ
= 4, então vρ
= u2ρ
ou vρ
= u2ρ
− .
E06.E06. Com base na figura da questão 01, determinar os vetores abaixo, expressando-os com srcem no ponto A:
a) CHOC + b) FGEH + c) AF2AE2 + d) EFEH + e) BGEO +
f) OC2OE2 + g) EHBC21
+ h) FGFE + i) HOOG − j) AOFOAF ++
E07.E07. O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores AB e AD , sendo M e N pontos médios dos lados DC e
AB, respectivamente. Determinar:
a)a) ABAD + b)b) DABA + c)c) BCAC −
d)d) BCAN + e)e) MBMD + f)f) DC21
BM −
E08.E08. Apresentar, graficamente, um representante do vetor ßà − ãá nos casos:
(aa) (bb) (cc) (dd)
E09.E09. Determinar o vetor á nas figuras:
(aa) (bb) (cc) (dd)
E10.E10. Sabendo que o ângulo entre os vetores ßà e ãá é de 60º, determinar o ângulo formado pelos vetores:
a)a) ßà e ãá b)b) ßà e 2ãá c)c) ßà e ãá d)d) ßà e )ãá
A B
CD
•
N
M
•
ßßàà
ããáá ããáá
ßßàà
ããáá
ßßàà
ßßàà ããáá
á
á á
á
ßà
ßà
ßà
ßà
ãá ãá
ãá ãá
- 187187 -
1212 LEIS $E !E6T!LEIS $E !E6T!
IntroduçãoIntrodução
Quando empurramos um carro, arrastamos uma caixa, saltamos
ou pulamos algum obstáculo, estamos exercendo forças nesses
corpos. Em todos esses casos, há relação entre as forças que estão
agindo e as alterações que sofre o estado de movimento do corpo em
questão.Nessa Unidade, nosso objetivo é tentar explicar as causas dos
movimentos estudando o conceito de força e as Leis de Newton.
A preocupação do homem em tentar explicar as causas dos movimentos dos corpos terrestres e celestes
remonta há pelo menos 2000 anos. Mas foi Isaac Newton, que nasceu na Inglaterra no dia do Natal do ano de 1642,
quem primeiro apresentou uma teoria que realmente explicava as causas do movimento. Publicou no ano de 1686
seu principal trabalho: Princípios Matemáticos da Filosofia Natural. Sua contribuição foi de enorme importância
para o desenvolvimento da Física, a tal ponto de receber uma homenagem da tripulação da Apolo XI: “Queremos
agradecer à pessoa que tornou possível essa viagem: Isaac Newton”.
A Mecânica Clássica ou Newtoniana continua válida até hoje para explicar as causas dos movimentos.
Estudaremos as três Leis de Newton, mas antes é necessário conhecermos o conceito de força.
ForçaForça
Chutar, amassar, puxar, empurrar, deformar, arremessar, segurar, bater: são ações muito comuns em nossas
vidas e que estão associadas à grandeza física força. Até hoje, não temos uma definição exata desta grandeza, mas,
com facilidade, podemos observar suas causas e seus efeitos. O físico francês Henry Poincaré (1854 – 1912), fez sua
tentativa: “A ideia de força é uma noção primitiva, irredutível e indefinível. Ela deriva de uma noção de esforço, que
nos é familiar desde a infância”.
Já Isaac Newton escreveu: “Uma força imprimida é uma ação exercida sobre um corpo a fim de alterar seu
estado, seja de repouso, ou de movimento”.
Atualmente, vários cientistas, afirmam que:
Em Dinâmica vamos tratar de forças cujo efeito principal é causar variações na velocidade de um corpo, isto
é, aceleração.
ForçaForça é um agente físico que surge da interação
entre no mínimo dois corpos, capaz de produzir
alterações em seu estado de movimento (variações
de velocidade) ou deformação.
- 188188 -
Tal qual a aceleração, a força é uma grandeza vetorialgrandeza vetorial, exigindo, portanto, para ser caracterizada, uma
intensidade, uma direção e um sentido.
A unidade de força no Sistema Internacional
(SI) é o Newton (N): uma força de 1 N é a força que
aplicada a um corpo de 1 kg, provoca uma aceleração
de 1 m/s2. Abordaremos novamente este assunto mais
adiante.
12.2.112.2.1 Força ResultanteForça Resultante
Seja uma partícula na qual estão aplicadas várias forças. Esse sistema de forças pode ser substituído por uma
única força, a força resultanteforça resultante, que é capaz de produzir na partícula o mesmo efeito que todas as forças aplicadas.
EquilíbrioEquilíbrio
Um ponto material está em equilíbrio quando a resultante das forças que nele atuam é nula. Podemos distinguir
dois casos:
Equilíbrio Estático: Equilíbrio Estático: um ponto material está em equilíbrio
estático quando se encontra em repouso, isto é, sua velocidade
vetorial é nula no decorrer do tempo.
Equilíbrio Dinâmico:Equilíbrio Dinâmico: o equilíbrio é dito dinâmico quando o
ponto material está em movimento retilíneo e uniforme, isto é,sua velocidade vetorial é constante e diferente de zero.
O conceito científico para grandeza étudo o que pode ser medido.
Grandeza escalarGrandeza escalar é aquela que ficaperfeitamente caracterizada quando
conhecemos um número e uma unidade.Grandeza vetorialGrandeza vetorial é aquela que somentefica caracterizada quando conhecemos,
pelo menos, uma direção, um sentido, um
número e uma unidade.
REPOUSOREPOUSO
MRUMRU
- 189189 -
Princípio da Inércia ou 1ª Lei de NewtonPrincípio da Inércia ou 1ª Lei de Newton
Considere um corpo não submetido à ação de força alguma. Nessa condição esse corpo não sofre variação de
velocidade. Isso significa que, se ele está parado, permanece parado e, se está em movimento, permanece em
movimento e sua velocidade se mantém constante.
Podemos interpretar seu enunciado da seguinte maneira: todos os corpos são “preguiçosos” e não desejam
modificar seu estado de movimento: se estão em movimento, querem continuar em movimento; se estão parados,
não desejam mover-se.
Os físicos chamam essa “preguiça” de inérciainércia, característica de todos os corpos dotados de massa.
O princípio da inércia pode ser observado no movimento de um ônibus. Quando o ônibus “arranca” a partir do
repouso, os passageiros tendem a deslocar-se para trás, resistindo ao movimento. Da mesma forma, quando o ônibus
já em movimento freia, os passageiros deslocam-se para frente, tendendo a continuar com a velocidade que possuíam.
Para Galileu, o natural era o movimento – e não o repouso, como afirmava Aristóteles. Ao observar o
movimento de um corpo, sua questão era “por que para” e não “por que se move”.
A afirmação de que “um corpo parado permanece parado se não agir sobre ele alguma força” pode facilmente
ser compreendida em nossa vida prática (um corpo não se move por si só, é necessário aplicar-lhe uma força).
Tal princípio, formulado pela primeira vez por Galileu e depois
confirmado por Newton, é conhecido como primeiro princípio da
Dinâmica (1ª Lei de Newton) ou Princípio da InérciaPrincípio da Inércia.
G a r f i e l d –
J i m D a v i s ®
- 190190 -
Já a afirmação de que um corpo em movimento mantém velocidade constante se não atuarem forças sobre ele
é menos intuitiva. Com efeito, um corpo em movimento não permanece sempre em movimento: depois de certo
tempo – mais ou menos longo – o corpo para. Uma bolinha jogada sobre um plano horizontal para depois de percorrer
poucos metros, mesmo que aparentemente não aja força alguma sobre ela.
Na realidade existe uma força de freamento, indicada genericamente com o nome de atritoatrito. Porém, no caso
de essas forças não existirem ou serem reduzidas ao mínimo, o princípio da inércia é verificado plenamente.
Por exemplo, uma nave espacial que se move no espaço interplanetário, por exemplo, não encontra atrito; por
isso não tem necessidade de motor e, pelo princípio da inércia, continua a mover-se em linha reta com a velocidade
com a qual foi lançada inicialmente.
Os referenciais em que o princípio da inércia se verifica são chamados referenciais inerciais. Tais referenciais
são fixos em relação às estrelas distantes ou se movem com velocidade constante em relação a elas, isto é, possuem
aceleração vetorial nula.
Para movimentos de pequena duração (menor que 24h), podemos desprezar os efeitos de rotação da Terra econsiderar sua velocidade como constante durante o movimento de translação. Nessas condições a Terra pode ser
considerada um referencial inercial.
Massa de um CorpoMassa de um Corpo
Sabemos que os corpos que apresentam maior inércia são aqueles de maior massa. Por exemplo, é mais fácil
empurrar um carrinho vazio do que um carrinho cheio de compras.
O carrinho com compras oferece maior resistência para sair do repouso.
Podemos, então, associar a massa de um corpo à sua inércia, dizendo que a massa de um corpo é a medida
numérica de sua inércia.
No Sistema Internacional de unidades (SI), a massa tem como padrão o quilograma.
G a r f i e l d –
J i m D a v i s ®
- 191191 -
O submúltiplo e o múltiplo usuais do quilograma são, respectivamente, o grama (g) e a tonelada (t), sendo que
1 g = 10 -3 kg e 1 t = 103 kg.
Princípio Fundamental da Dinâmica ou 2ª Lei de NewtonPrincípio Fundamental da Dinâmica ou 2ª Lei de Newton
A experiência nos mostra que uma mesma força produzirá diferentes acelerações sobre diferentes corpos. Uma
mesma força provoca uma aceleração maior numa bola de tênis do que num automóvel, isto é, quanto maior a massa
de um corpo mais força será necessária para produzir uma dada aceleração. Esse princípio estabelece uma
proporcionalidade entre causa (força) e efeito (aceleração).
Isaac Newton estabeleceu esta lei básica que analisa as causas gerais dos movimentos, relacionando as forças
aplicadas a um ponto material de massa m constante e as acelerações que a provocam. Considerando comoRF a soma
vetorial (resultante) de todas as forças aplicadas e a a aceleração adquirida, a segunda Lei de Newton estabelece:
No Sistema Internacional de unidades (SI) a unidade de massa é o quilograma (kg) e a unidade de aceleração
é o metro por segundo ao quadrado (m/s2).
Aplicando o princípio fundamental da Dinâmica, temos a unidade de força newton (N).
amFR
ρ⋅=
1 N = 2s
m
kg⋅
Um newton (N) é a intensidade da força que, aplicada à massa de 1 kg, produz na sua direção e no seu sentido
um movimento de aceleração de 1 m/s2.
No sistema CGS a unidade de massa é grama (g), a unidade de aceleração e o centímetro por segundo ao
quadrado (cm/s2) e a unidade de força e o dina (dyn).
A resultante das forças aplicadas a um ponto material é igual ao
produto de sua massa pela aceleração adquirida.
Isso significa que a força resultanteRF produz uma aceleração a com a
mesma direção e mesmo sentido da força resultante e suas intensidades
são proporcionais.
- 192192 -
2s
cmgdyn ⋅=
A relação entre o newton e o dina é: 1 N = 10 5 dyn.
Medida de uma ForçaMedida de uma Força
Podemos medir a intensidade de uma força pela deformação que ela produz
num corpo elástico.
O dispositivo utilizado é o dinamômetrodinamômetro, que consiste numa mola helicoidal
de aço envolvida por um protetor. Na extremidade livre da mola há um ponteiro
que se desloca ao longo de uma escala.
A medida de uma força é feita por comparação da deformação causada por
essa força com a de forças padrão.
Princípio da Ação e Reação ou 3ª Lei de NewtonPrincípio da Ação e Reação ou 3ª Lei de Newton
Quando dois corpos interagem aparece um par de forças como resultado da ação que um corpo exerce sobre o
outro. Essas forças são comumente chamadas de ação e reação.
O princípio da ação e reação estabelece as seguintes propriedades das forças decorrentes de uma interação
entre os corpos:
A toda ação corresponde uma reação, comA toda ação corresponde uma reação, com
a mesma intensidade, mesma direção ea mesma intensidade, mesma direção e
sentido contrário.sentido contrário.
- 193193 -
Imagine dois patinadores, de massas inerciais iguais, parados um em
frente ao outro numa superfície horizontal de gelo.
Se um empurrar o outro, os dois adquirirão movimento na mesma
direção e em sentidos opostos, e os deslocamentos serão efetuados no
mesmo intervalo de tempo, sugerindo que as forças aplicadas são opostas.
Essa situação ilustra a Terceira lei de Newton, chamada Lei da ação e reação. Sempre que dois corpos quaisquer
A e B interagem, as forças exercidas são mútuas. Tanto A exerce força em B, como B exerce força em A. A interação
entre corpos é regida pelo princípio da ação e reação.
Toda vez que um corpo A exerce uma força æáç num corpo B, este
também exerce em A uma força æáÞ tal que essas forças:
• Tem a mesma intensidade èæáçè èæáÞè æ;
• Tem a mesma direção;
• Tem sentidos opostos;
• Tem a mesma natureza, sendo ambas de campo ou ambas de contato.
ObservaçãoObservação: As chamadas forças de ação e reação não se equilibram, pois estão aplicadas em corpos diferentes.
Vamos analisar duas situações identificando as forças de reação aplicadas num determinado corpo:
- 194194 -
Força Normal Força Normal ~éà •:: Toda força trocada entre superfícies sólidas que se
comprimem. Sua direção é perpendicular à linha que tangencia as superfícies no
ponto de apoio:
Força de tração Força de tração ~êà •:: Força que um fio aplica em um corpo preso a ele. A essa força corresponde uma reação ëà ,
aplicada no fio.
Forças EspeciaisForças Especiais
Formalizando o conceito de força, é o resultado da interação entre corpos, podendo ela produzir uma variação
de velocidade, equilíbrio e deformação. Força é uma grandeza vetorial.
12.9.112.9.1 A Força PesoA Força Peso
A força peso ~ìà • é uma força de campo, pois ocorre pela ação a distância entre os corpos. Imagine a seguinte
situação, duas bolas de massas m1 e m2, foram abandonadas do repouso no mesmo nível e estão em queda livre
vertical próximo à superfície da Terra.
Nesta situação, a única força que atua sobre cada bola é a força gravitacional ìà . A intensidade de ìà pode ser
calculada multiplicando a massa mm pela intensidade da aceleração da gravidade ‰à :: ì /. f
De acordo com a Lei Fundamental da Dinâmica, a força ìà é resultante e tem a mesma direção e sentido da
aceleração fá.
O peso de um corpo não deve ser confundido com sua massa: enquanto a massa é uma propriedade da matériae seu valor é constante em qualquer lugar, o peso é uma força e sua intensidade varia dependendo do local onde o
corpo se encontra.
No SI, a unidade de massa é o quilograma (kg) e a unidade de peso é o newton (N).
- 195195 -
12.9.212.9.2 Força de AtritoForça de Atrito
A força de atrito pode ser encontrada frequentemente em nosso cotidiano: quando caminhamos, acendemosum palito de fósforo, escovamos os dentes, escrevemos, etc.
Mas, o que são forças de atrito?
São forças tangenciais que aparecem quando há escorregamento (ou tendência) entre superfícies sólidas que
comprimem. A ocorrência desse fenômeno depende, entre outras coisas, do estado de polimento e da natureza das
superfícies.
12.9.312.9.3 Força de atrito estáticoForça de atrito estático
A força de atrito estático ocorre quando existe uma tendência a um deslizamento relativo entre duas superfícies
que se comprimem.
Na figura a seguir temos um bloco apoiado numa superfície horizontal, nele é aplicada uma força solicitadora
de movimento ~æá• também horizontal.
Enquanto o bloco permanece em repouso temos æç æ .
Aumentando gradativamente a intensidade da força æá, o bloco continua
em repouso até que æá atinja o valor limite entre o repouso e o
movimento iminente. Nesse momento, o bloco se encontra na
iminênciaiminência de movimento.
Experimentalmente, podemos estabelecer as seguintes leis para o atrito:
força de atrito estático varia de zero até o valor máximo de æáç • A intensidade da
• A intensidade da força de atrito máxima é diretamente proporcional à intensidade da
força normal ~kà • que a superfície aplica sobre o bloco: æç í¥ . k, sendo í¥ o
coeficiente coeficiente de de atrito atrito estáticoestático.• O coeficiente de atrito estático depende do estado de polimento e da natureza das duas
superfícies em contato.
• A intensidade da força de atrito estático é independente da área de contato entre as
superfícies sólidas que se comprimem.
Uma unidade de força muito utilizada na engenharia é o
quilograma-forçaquilograma-força (kgf), definido com a intensidade da força peso
de um corpo de 1 kg de massa, próximo à superfície terrestre:
1 kgf = 9,8 N1 kgf = 9,8 N
As faces de contato do bloco e da superfície são comprimidas, trocando forças
normais. A compressão dessas faces é devida ao peso do bloco, que representa a
atração que a Terra exerce sobre ele.
- 196196 -
12.9.412.9.4 Força de atrito cinéticoForça de atrito cinético
Quando a força solicitadora do movimento ~æá• atinge o valor da força de atrito máxima, o bloco fica na
iminência de deslizamento. A partir daí, um pequeno acréscimo na intensidade da força solicitadora produz o
movimento do bloco, ocorrendo, então, a força de atrito cinético ~ æáçî•. Experimentalmente, verifica-se que, quando
o bloco está em movimento, a força de atrito é constante e não depende da velocidade de escorregamento das
superfícies, desde que essa velocidade não atinja valores muitos elevados.
O gráfico seguinte mostra de que maneira variam os atritos estático e cinético entre as superfícies.
Para a força de atrito cinético, temos: æçî íî . k, em que í é o coeficiente decoeficiente de atrito cinéticoatrito cinético. Comparando
os coeficientes estático e cinético, temos: í¥ íî
- 197197 -
- 198198 -
Atividades de AprendizagemAtividades de Aprendizagem
Exercícios TeóricosExercícios Teóricos
E01E01. Nas figuras abaixo, representamos as forças que agem nos blocos de massa igual a 2,0 kg. Determine, em cada
caso, o módulo da aceleração que esses blocos adquirem.
E02E02. Um ponto material de massa igual a 2 kg parte do repouso sob a ação de uma força constante de intensidade
6N, que atua durante 10 s, após os quais deixa de existir. Determine:
a)a) a aceleração nos 10 s iniciais;
b)b) a velocidade ao fim de 10 s.
E03E03. Uma partícula de massa 0,50 kg realiza um movimento retilíneo uniformemente variado. Num percurso de 4,0
m sua velocidade varia de 3,0 m/s a 5,0 m/s. Qual o módulo da força resultante que age sobre a partícula?
E04E04. Determine a aceleração de um bloco de massa 2 kg e que desliza, num plano horizontal sem atrito, nas situaçõesindicadas abaixo:
E05E05. Uma partícula de massa 0,20 kg é submetida à ação das forças 1F,
2F , 3F e4F , conforme indica a figura. Determine a aceleração da
partícula.
E06E06. Submete-se um corpo de massa igual a 5.000 kg à ação de uma força constante que, a partir do repouso, lhe
imprime a velocidade de 72 km/h, ao fim de 40 s. Determine:
a)a) a intensidade da força;
b)b) o espaço percorrido.
- 199199 -
E07E07. Qual o valor, em newtons, da força média necessária para fazer parar, um percurso de 20 m, um automóvel de
1,5⋅103 kg a uma velocidade de 72 km/h?
E08E08. Duas forças, 1F e 2F , aplicadas a um mesmo ponto, são perpendiculares entre si. Sabendo que suas intensidades
são respectivamente iguais a 12 N e 16 N, determine:
a)a) a intensidade resultante das forças;
b)b) a aceleração da partícula, que tem 4 kg de massa.
Respostas dos Exercícios Teóricos:Respostas dos Exercícios Teóricos:E01.E01. a)a) 2 m/s2 b)b) 3,5 m/s2 c)c) 0,50 m/s2 d)d) 2,5 m/s2
E02. a)E02. a) 3 m/s2 b)b) v = 30 m/s
E03.E03. æÙ ",# k
E04. a)E04. a) 5 m/s2 b)b) 3 m/s2
E05.E05. 10 m/s2 E06.E06. a)a) 2500 N b)b) 400 m
E07.E07. 1,5⋅104 N
E08. a)E08. a) =RF 20 N b)b) 5 m/s2
- 200200 -
TestesTestes
T01T01. Um corpo de massa m = 0,5 kg está sob a ação das duas forças colineares,
æ0à 2# k F æ3à ") k, indicadas na figura. De acordo com a segunda lei de
Newton, a aceleração resultante, em m/s2, é de:
a)a) 0 b)b) 10 c)c) 30 d)d) 40 e)e) 70
T02T02. (UEL–PR) Sob a ação exclusiva de duas forças, æ0à F æ3à , de mesma direção, um corpo de 6,0 kg de massa adquireaceleração de módulo igual a 4 m/s2. Se o módulo de æ0à vale 20 N, o módulo de æ3à , em newtons, só pode valer:
a)a) 0 b)b) 4,0 c)c) 44 d)d) 40 e)e) 4,0 ou 44
T03T03. Um corpo de massa igual a 2 kg encontra-se inicialmente em repouso
sobre uma superfície horizontal sem atrito. Aplica-se uma força horizontal
sobre o corpo (conforme o gráfico). A velocidade do corpo, após percorrer
4 m, será de:
a)a) 3 m/s
b)b) 4 m/s
c)c) 5 m/s d)d) 6 m/s
e)e) 2 m/s
T04T04. (UFAL) Um carrinho de massa m = 25 kg é puxado por uma força resultante horizontal F = 50 N. De acordo
com a Segunda lei de Newton, a aceleração resultante no carrinho será, em m/s2, igual a:
a)a) 1250 b)b) 50 c)c) 25 d)d) 2 e)e) 0,5
T05T05. (Fatec-SP) Uma motocicleta sofre aumento de velocidade de 10 m/s para 30 m/s enquanto percorre, em
movimento retilíneo uniformemente variado, a distância de 100 m. Se a massa do conjunto piloto + moto é de 500
kg, pode-se concluir que o módulo da força resultante sobre o conjunto é:
a)a) 200 N b)b) 400 N c)c) 800 N d)d) 2000 N e)e) 4000 N
T06T06. (UFPE) Um objeto de 2,0 kg descreve uma trajetória retilínea, que obedece à equação horária s = 7t2 + 3 t + 5,
na qual s é medido em metros e t em segundos. O módulo da força resultante que está atuando sobre o objeto é:
a)a) 10 N b)b) 17 N c)c) 19 N d)d) 28 N e)e) 35 N
ææ33àà
ææ00àà
- 201201 -
T07.T07. Abaixo, apresentamos três situações do seu dia-a-dia que devem ser associados com as três leis de Newton.
I)I) Ao pisar no acelerador do seu carro, o velocímetropode indicar variações de velocidade.
A)A) Primeira Lei de Newton ou Lei da Inércia.
II)II) João machucou o pé ao chutar uma pedra.B)B) Segunda Lei de Newton ou Princípio Fundamentalda Dinâmica.
III)III) Ao fazer uma curva ou frear, os passageiros deum ônibus que viajam em pé devem se segurar.
C)C) Terceira Lei de Newton ou Lei da Ação e Reação.
A opção que apresenta a sequência de associação correta é:
a)a) A-I, B-II, C-III
b)b) A-II, B-I, C-III
c)c) A-II, B-III, C-I
d)d) A-III, B-I, C-II
e)e) A-III, B-II, C-I
T08.T08. Dadas as afirmações:
I.I. Um corpo pode permanecer em repouso quando solicitado por forças externa.
II.II. As forças de ação e reação têm resultante nula, provocando sempre o equilíbrio do
corpo em que atuam.III.III. A força resultante aplicada sobre um corpo, pela Segunda Lei de Newton, é o
produto de sua massa pela aceleração que o corpo possui.
Podemos afirmar que é(são) correta(s):
a)a) I e II b)b) I e III c)c) II e III d)d) I e)e) I, II e III
T09T09.. (UFMG) Todas as alternativas contêm um par de forças ação e reação, exceto:
a)a) A força com que a Terra atrai um tijolo e a força com que o tijolo atrai a Terra.
b)b) A força com que uma pessoa, andando, empurra o chão para trás e a força com que o chão empurra a pessoa
para a frente.
c)c)
A força com que um avião empurra o ar para trás e a força com que o ar empurra o avião para a frente. d)d) A força com que um cavalo puxa uma carroça e a força com que a carroça puxa o cavalo.
e)e) O peso de um corpo colocado sobre uma mesa horizontal e a força normal da mesa sobre ele.
- 202202 -
T10.T10. (UFAL 96) Um corpo de massa 250 g parte do repouso e adquire a velocidade de 20 m/s após percorrer 20 m em
movimento retilíneo uniformemente variado. A intensidade da força resultante que age no corpo, em Newtons, vale:
a)a) 2,5 b)b) 5,0 c)c) 10,0 d)d) 20,0 e)e) 25,0
T11.T11. Um corpo de massa M = 4 kg está apoiado sobre uma superfície horizontal. O coeficiente de atrito estático entre
o corpo e o plano é de 0,30, e o coeficiente de atrito dinâmico é 0,20. Se empurrarmos o corpo com uma força F
horizontal de intensidade F = 16 N, podemos afirmar que: (g = 10 m/s2)
a)a) a aceleração do corpo é 0,5 m/s2.
b)b) a força de atrito vale 20 N.
c)c) a aceleração do corpo será 2 m/s2.
d)d) o corpo fica em repouso.
e)e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.
T12.T12. Um bloco de madeira pesa 2,00 × 103 N. Para deslocá-lo sobre uma mesa horizontal com velocidade constante,
é necessário aplicar uma força horizontal de intensidade 1,0 × 102 N. O coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco
e a mesa vale:
a)a) 5,0 ×10-2 b)b) 1,0 ×10-1 c)c) 2,0 ×10-1 d)d) 2,5 ×10-1 e)e) 5,0 ×10-1
T13.T13. Um corpo desliza sobre um plano horizontal, solicitado por uma força de intensidade 100 N. Um observador
determina o módulo da aceleração do corpo: a = 1,0 m/s2. Sabendo-se que o coeficiente atrito dinâmico entre o bloco
e o plano de apoio é 0,10, podemos dizer que a massa do corpo é: (g = 10 m/s2)
a)a) 10 kg b)b) 50 kg c)c) 100 kg d)d) 150 kg e)e) 200 kg
T14.T14. Dois corpos A e B (mA = 3 kg e mB = 6 kg) estão ligados por um fio
ideal que passa por uma polia sem atrito, conforme a figura. Entre o corpo
A e o apoio, há atrito cujo coeficiente é 0,5. Considerando-se g = 10 m/s2, a
aceleração dos corpos e a força de tração no fio valem:
a)a) 5 m/s2 e 30 N.
b)b) 3 m/s2 e 30 N.
c)c) 8 m/s2 e 80 N.
d)d) 2 m/s2 e 100 N.
e)e) 6 m/s2 e 60 N.
- 203203 -
T15.T15. (EFU-MG) O bloco da figura abaixo está em repouso e tem massa igual
a 2 kg. Suponha que a força F = 4 N, representada na figura, seja horizontal
e que o coeficiente de atrito estático das superfícies em contato vale 0,3. O
valor da força de atrito é: (g = 10 m/s2.)
a)a) 4 N b)b) 6 N c)c) 2 N d)d) 10 N e)e) 20 N
T16.T16. Dois blocos idênticos, ambos com massa m, são ligados por um fio
leve, flexível. Adotar g = 10 m/s2. A polia é leve e o coeficiente de atrito
do bloco com a superfície é m = 0,2. A aceleração dos blocos é:
a)a) 10 m/s2
b)b) 6 m/s2
c)c) 5 m/s2
d)d) 4 m/s2
e)e) Nula
T17.T17. No esquema ao lado, considere desprezíveis a massa da roldana, a massa
dos fios e o atrito. Considere a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2 e t o
instante em que os blocos A e B passam pela posição esquematizada. De
acordo com todas as informações, inclusive as do esquema, a tração no fio F,em newtons, no instante t, é igual a:
a)a) 40
b)b) 48
c)c) 60
d)d) 96
e)e) 100
Resposta dos Testes:Resposta dos Testes:
T01. T01. B B T10. T10. AA
T02. T02. E E T11. T11. CC
T03. T03. B B T12. T12. AAT04. T04. D D T13. T13. BB
T05. T05. D D T14. T14. AA
T06. T06. D D T15. T15. AA
T07. T07. D D T16. T16. DD
T08. T08. B B T17. T17. BB
T09. ET09. E
- 204204 -
1#1# APLICA*ÕES $AS LEIS $E !E6T!APLICA*ÕES $AS LEIS $E !E6T!
IntroduçãoIntrodução
No capítulo anterior verificamos que a segunda lei de Newton nos fornece que a força resultante que atua em
um corpo é igual a massa do corpo vezes a aceleração adquirida. Assim, neste capítulo iremos estudar algumas
aplicações das leis de Newton. Primeiramente vamos apresentar as condições segundo as quais os corpos, na natureza,
podem ser mantidos continuamente em repouso ou em movimento uniforme. Depois, estudaremos os casos onde uma
força resultante em um corpo fornece uma aceleração constante diferente de zero neste corpo.
EquilíbrioEquilíbrio
Vamos considerar na figura o caso onde um homem tenta empurrar
uma caixa, sendo que a caixa não sai do lugar. Primeiramente, devemos
saber quais são as forças que atuam na caixa. Para isso usamos o diagrama
de força na figura 2. Na vertical existem a força normal e peso. Enquanto
na horizontal um homem aplica uma força para a direita, contudo existe uma
força de atrito entre a caixa e o chão.
Nesta situação notamos que a força normal para cima deve ser igual a força peso para baixo na direção vertical.
Na direção horizontal a força do homem (FH) para direita deve ser igual a força de atrito (f at) para a esquerda.
Lembrando que a força por ser uma grandeza vetorial, podemos garantir para que um corpo não tenha movimento
translacional a soma vetorial de todas as forças deve ser nula.
0FR
ρρ= . (1)(1)
A equação (1)(1) pode ser colocada em cada direção, neste caso, teremos FRx = 0 e FRy = 0, isto é, a somatória de
todas as forças que atuam no eixo x deve ser zero (o mesmo acontecendo em y).
Nas próximas seções apresentaremos os dois tipos de equilíbrio que podem surgir através da condição dada
na equação (1)(1).
Estar em equilíbrio significa dizer que a fEstar em equilíbrio significa dizer que a força resultante que age em um corpo é orça resultante que age em um corpo é nula.nula.
Figura 1: O homem empurra a caixa para direitasendo que a caixa fica parada.
- 205205 -
Equilíbrio EstáticoEquilíbrio Estático
A condição de equilíbrio mostrado na Figura 1, onde
não existe movimento, será chamado de equilíbrio estático.
Esta situação é de muita importância na área de Engenharia,
onde muitas vezes você está interessando em estudar os
efeitos de forças externas em estruturas que não possuem
movimento como mostrado na Figura 2.
Primeiramente para analisarmos sistemas em equilíbrio
estático devemos considerar que a dimensão do corpo será
desconsiderada, isto é, podemos representar este corpo como
sendo um ponto com uma massa m. Para analisar os efeitos de
força externa frequentemente desenhamos um diagrama de corpo
isolado. Neste diagrama, o corpo é representado por um ponto e
cada força externa que atua no corpo é representado por um vetor
com srcem nesse ponto. Para ilustrar o diagrama de corpo
isolado levamos em conta o exemplo do homem empurrando
uma caixa mostrada na Figura 1.
Vamos a seguir ilustrar o conceito de equilíbrio em alguns exemplos:
Exemplo 01:Exemplo 01: Considere um móbile preso a um teto, com duas peças metálicas
presas por uma corda de massa desprezível, conforme a figura ao lado. Calcule a
tensão na corda inferior e na corda superior. Levar em conta que g = 10m/s2.
Resolução:Resolução: Para resolvermos esse problema vamos rotular m1 = 3,5 kg e m2 = 4,5
kg, assim, P1 = 3,5 ⋅ 10 = 35N e P2 = 4,5 ⋅ 10 = 45N.
Agora devemos desenhar o diagrama de forças para cada uma dessas massas. Na
figura abaixo a tensão na corda inferior será chamado de T2 e na corda inferior T1.
Figura 3: Diagrama de forças atuando sobre a caixa.
Figura 2: A grua quando parada mantém o pesoiçado em equilíbrio estático.
- 206206 -
Como o sistema está em equilíbrio estático devemos usar o somatório de forças igual à zero.
• Começando com a massa m2 temos: .N45TPT0PT0F 22222Ry =→=→=−→=
• Fazendo a análise de forças para a massa 1: .N804535TTPT0PTT0F 1211121Ry =+=→+=→=−−→=
Exemplo 02:Exemplo 02: Determine as trações nas cordas 1 e 2 da figura abaixo.
O peso do bloco será de 600 N.
Resolução:Resolução: O primeiro passo seria desenhar o diagrama de forças para esse
sistema. Em problemas que envolvem fios devemos escolher o ponto onde os fios
se encontram; na figura do problema seria o ponto A.
As forças ficam da seguinte forma:
Usando o conhecimento adquirido no capítulo anterior, sobre Trigonometria do Triângulo Retângulo, temos:
110
1y1
110
1x1
T71,071,0T45senTT
T71,071,0T45cosTT
===
===
Devemos fazer o mesmo para T2:
220
2y2
220
2x2
T71,071,0T45senTT
T71,071,0T45cosTT
===
===
Agora podemos fazer a soma de todas as forças em x e y:
.600T71,0T71,00600T71,0T71,00F
0T71,0T71,00F
2121Ry
21Rx
=+→=−+→=
=−→=
Obtivemos um conjunto de equações lineares. Na literatura existem várias maneiras de resolver sistemas de equações,
aqui usaremos a mais tradicional.
Veja que temos que fazer a somatória das forças em x e y, contudo, devemos
calcular as componentes das forças em x e y.
Devemos reparar que a força peso já está colocada no eixo y (lembre-se que
a força peso sempre aponta para baixo).
- 207207 -
Usando a equação em x:2212121Rx TT
71,071,0
TT71,0T71,00T71,0T71,00F ==→=→=−→= .
Vamos substituir a relação acima na resultante em y:
( )
.N5,42242,1
600T600T42,1
600T71,0T71,0600T71,0T71,060T71,0T71,0
22
222221
==→=
=+→=+→=+
Para calcular a tração T1 devemos usar a relação: N5,422TT 21 == .
Exemplo 03:Exemplo 03: Um corpo de peso 80 N é mantido por fios ideias,
conforme indica a figura ao lado. Determine as intensidades das
trações suportadas pelos fios AB e AC.
Resolução:Resolução: O primeiro passo seria desenhar o diagrama de forças
para esse sistema. Em problemas que envolvem fios devemos
escolher o ponto onde os fios se encontram. Na figura do problema
seria o ponto A.
As forças ficam da seguinte forma: Construindo o diagrama de força teremos:
Veja que temos que fazer a somatória das forças em x e y, contudo, devemos calcular as componentes das forças
em x e y. Usando a mesma metodologia do exemplo anterior:
110
1y1
110
1x1
T5,05,0T30senTT
T87,087,0T30cosTT
===
===
Devemos fazer o mesmo para T2:
220
2y2
220
2x2
T87,087,0T60senTT
T5,05,0T60cosTT
===
===
Agora podemos fazer a soma de todas as forças em x e y:
.80T87,0T5,0080T87,0T5,00F
0T5,0T87,00F
2121Ry
21Rx
=+→=−+→=
=−→=
Usando a equação em x:2212121Rx T57,0T
87,05,0
TT5,0T87,00T5,0T87,00F ==→=→=−→= .
Vamos substituir a relação acima na resultante em y:
- 208208 -
( )
.N7,73085,180
T80T085,1
80T87,0T285,080T87,0T57,05,080T87,0T5,0
22
222221
==→=
=+→=+→=+
Para calcular a tração T1 devemos usar a relação:
( ) N85,367,7357,0T57,0T 21 =⋅==
Equilíbrio DinâmicoEquilíbrio Dinâmico
A condição de equilíbrio colocado na equação (1)(1) mostra que a força resultante é igual à zero. Contudo,
voltando ao exemplo do homem empurrando a caixa, mostrado na Figura 1, vamos supor agora que o homem apliqueuma força de tal forma que a caixa se movimente em linha reta com velocidade constante. Lembrando que quando a
velocidade é constante a aceleração será nula. Deste modo, novamente chegamos no resultado da equação (1)(1), pois
0FamF RR
ρρρρ=→= .
O sistema acima também está em equilíbrio,
contudo, chamamos de equilíbrio dinâmico. No
equilíbrio dinâmico necessariamente há movimento. Por
exemplo, uma bicicleta sem condutor e parada não se
mantém em equilíbrio na posição vertical, mas quando
está em movimento dado pelo condutor esse equilíbrio é
possível. Cabe observar que o movimento da bicicleta
envolve muitas variáveis. Por essa razão, ao citá-lo como
exemplo de equilíbrio dinâmico, é preciso deixar claro
que se está referindo a uma situação particular: a
bicicleta está em linha reta e velocidade constante. Nessa
situação, a força resultante é nula.
Agora faremos alguns exemplos referentes ao equilíbrio dinâmico.
Exemplo 04:Exemplo 04: Um homem empurra uma caixa de 50 kg com velocidade
constante uma caixa com velocidade constante. Supondo que o coeficiente de
atrito dinâmico entre a superfície é a caixa seja de 0,2. Calcule a força
necessária que o homem deve aplicar a caixa. Considere que g = 10m/s2.
Resolução:Resolução: O diagrama de forças é mostrado logo abaixo:
Figura 4: Para que a ciclista esteja em equilíbrio dinâmico énecessário que ela pedale em MRU.
- 209209 -
Podemos verificar pelas equações acima que se calcularmos a força de atrito encontraremos a força do homem (FH).
.N10010502,0Ff Ndat =⋅⋅=⋅µ=
Aqui usamos o fato que a força normal é igual ao peso (P = 500N).
Assim FH = 100N.
Exemplo 5:Exemplo 5: Um helicóptero da força área brasileira transporta uma carga de
2000 kg içando-a de um local ao outro, como ilustra a figura abaixo.
Considerando que o helicóptero mantém altitude e velocidade constantes,
determine a tensão que a corda deverá suportar nestas condições (considere
g = 10 m/s2).
Resolução:Resolução: Novamente devemos fazer o diagrama de forças para esse
sistema. Colocando a caixa na srcem do diagrama de forças encontraremos:
Assim, verificamos que a tração será igual ao peso: T = m ⋅ g = 2000 ⋅ 10 = 20.000 N ou T = 20 kN.
Observação:Observação: Lembre-se da tabela que apresenta o prefixo da notação cientifica, pois k = 1000.
Exemplo 06:Exemplo 06: Um garoto puxa um treno com um peso de 40 N
por uma superfície horizontal, com velocidade constante. A
tração na corda será de 25 N. Calcule:
a)a) A força de atrito.
b)b) A força normal.
Usando as condições de equilíbrio devemos ter:
PF0PF0F
f F0f F0F
NNRy
atHatHRx
=→=−→=
=→=−→=
- 210210 -
Resolução:Resolução: Novamente devemos fazer o diagrama de forças para esse sistema. Escolhendo o trenó para colocar na
srcem do diagrama de forças teremos:
Na figura acima já apresentamos as componentes Tx e Ty. Os valores de Tx e Ty serão dados por:
N5,1230sen25T
N7,2130cos25T0
y
0x
=⋅=
=⋅=
Nesta situação a velocidade é constante, assim podemos usar as equações de equilíbrio para resolver esse problema.
a)a) A soma das forças em x fornece: N7,21f 0f T0F atatxRx =→=−→= .
b)b) Para calcular a força normal devemos levar em conta T y. Assim, a soma das forças no eixo y fornece:
N5,275,1240TPF0PTF0F yNyNRy =−=−=→=−+→=
DinâmicaDinâmicaConsideraremos agora o caso onde exista uma força resultante constante (não nula) atuando no ponto material.
Nesta situação, onde a força resultante é constante a aceleração vai ser constante. Assim, poderemos usar as equações
do MRUV.
Sa2VV
atVV
at21
tVSS
20
2
o
2o0
∆+=
+=
++=
(2)(2)
Deste modo, usaremos o conjunto de equações acima junto com a segunda lei de Newton. Nossa ênfase aqui
será em aplicações onde o ponto material está em um plano horizontal e depois em um plano inclinado.
13.5.113.5.1 Plano HorizontalPlano Horizontal
Exemplo 07:Exemplo 07: Seja um corpo de massa 2 kg, em repouso, apoiado
sobre um plano horizontal sob a ação das forças horizontais F1 e F2
de intensidades 10N e 4N, respectivamente, conforme indica a
figura.
- 211211 -
a)a) Calcule a aceleração adquirida pelo corpo.
b)b) Calcule a velocidade e o espaço percorrido pelo corpo 10s após o início do movimento.
Resolução:Resolução: Nesta situação veja que a força peso será igual a força normal, deste modo, essas forças não
influenciam no movimento do ponto material na direção horizontal. Na direção horizontal a força resultante será
.N6410FFF 21Rx =−=−=
Através destas informações conseguimos calcular a aceleração:
a)a) .s / m326
aa26amF 2Rx ==→=→⋅=
b)b) Para calcular a velocidade podemos usar a função horária da velocidade: s / m301030atVV 0 =⋅+=+=
o espaço percorrido será dado pela função horária da posição .m150)10(321
Sat21
tVSS 2200 ==→++=
Exemplo 08:Exemplo 08: Um foguete experimental pode partir do repouso e alcançar a velocidade de 1600 km/h em 1,8 s, com
aceleração constante. Calcule a intensidade da força necessária, se a massa do veículo é 500 kg.
Resolução:Resolução: Neste caso diferentemente do caso anterior devemos calcular a aceleração. Depois podemos usar a
segunda lei de Newton para calcular a força resultante.
2s / m9,2468,144,444
tV
a ==∆
∆=
.kN5,123N450.1239,246500FamF RR ==⋅=→⋅=
No cálculo da aceleração transformamos a velocidade de km/h para m/s.Outra observação que faremos seria que o movimento no plano se refere aqui a movimento em uma
dimensão, pois neste caso o foguete teria movimento na direção horizontal.
Exemplo 09:Exemplo 09: Se as rodas de um carro ficam “travadas” (impedidas de girar) durante uma frenagem de emergência, o
carro desliza na pista. Pedaços de borracha arrancados dos pneus e pequenos trechos de asfalto fundido formam as
“marcas da derrapagem” que revelam a ocorrência de soldagem a frio. O recorde de marcas de derrapagem em via
pública foi estabelecido em 1960 pelo motorista de um Jaguar na rodovia M1, na Inglaterra: as marcas tinham 290 m
de comprimento. Supondo que o coeficiente de atrito cinético seja igual a 0,60 e que a aceleração do carro se manteve
constante durante a frenagem, calcule a velocidade do carro quando as rodas travaram.
Resolução:Resolução: Se fizermos o diagrama de forças para este sistema iremos encontrar:
- 212212 -
Desta forma, com as informações obtidas do enunciado V = 0, ΔS = 290m poderemos calcular V0 usando a equação
Sa2VV 202 ∆+= devemos calcular a aceleração do carro, neste caso pelo diagrama de forças verificamos que aforça resultante atuando no carro será Fr= −f at.
A força de atrito pode ser calculada através de 10m6,0gm6,0Ff Nat ⋅⋅=⋅⋅=⋅µ= , veja que usamos que a força
normal deve ser igual a força peso nesta situação.
Usando a segunda lei de Newton: .s / m6aam10m6,0amF 2R −=→⋅=⋅⋅−→⋅=
A aceleração neste caso fica negativa, pois o veículo tem velocidade final igual à zero. Além disso, veja que este
resultado independe da massa do carro.
Por fim, podemos calcular a velocidade inicial:
.h / km216s / m6029062V)290()6(2V0Sa2VV 02
022
02 ≈=⋅⋅=→⋅−⋅+=→∆+=
13.5.213.5.2 Plano InclinadoPlano Inclinado
Diariamente temos oportunidades de observar objetos em movimento ou em repouso sobre uma superfície
inclinada.
Figura 5: Objetos em planos inclinados.Como exemplo, na figura à esquerda, usamos o plano inclinado para facilitar as nossas tarefas.
Vejamos agora alguns exemplos de aplicação da segunda lei de Newton no caso do plano inclinado.
- 213213 -
Exemplo 10:Exemplo 10: Um corpo de massa 8 kg é abandonado sobre um
plano inclinado cujo ângulo de elevação é 30º. O atrito entre o
corpo e o plano é desprezível. Admitindo que g = 10m/s2, calcule:
a)a) a aceleração do corpo.
b)b) a força normal.
Resolução:Resolução: Por conveniência, desenhamos o sistema de coordenadas (diagrama de corpo livre) também inclinado.
Como o objeto está escorregando ao longo do plano vamos considerar que neste sentido a força será positiva. Assim,
veja que o peso tem uma inclinação igual ao do plano inclinado em relação ao eixo y. Desta forma, devemos
decompor a força peso nas direções x e y.
N3,6930cos108cosgmP
N4030sen108sengmP0
y
0x
=⋅⋅=θ⋅⋅=
=⋅⋅=θ⋅⋅=
Se você ficou com a dúvida da decomposição identifique quem são os catetos do triângulo retângulo.
Por fim, faremos as resultantes nas forças em x e y.
a)a) 2Rx s / m5aa840amF =→=→⋅=
b)b) N3,69F03,69F0F NNRy =→=−→=
Veja que a força resultante em y será igual a zero, pois o movimento do ponto é ao longo do plano.
Exemplo 11:Exemplo 11: Considere o mesmo plano inclinado do exemplo
anterior (θ = 300; m = 8 kg) preso a uma corda.
Calcule a tensão nesta corda e a força normal.
Resolução:Resolução: Neste caso temos o equilíbrio estático, assim a força
normal fica com o mesmo valor do exemplo anterior. Enquanto
na direção x teremos .N40TT400FRx =→−→=
O ponto importante que queremos mostrar, é que no plano inclinado devemos sempre fazer a decomposição da força
peso na direção x e y. A partir destas componentes devemos sempre utilizar a segunda lei de Newton para cada eixo
separadamente.
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Atividades de AprendizagemAtividades de Aprendizagem
E01.E01. Na figura o corpo suspenso tem massa igual a 2 kg. Os fios têm
pesos desprezíveis e o sistema está em equilíbrio estático (repouso).
Determine as trações nos fios AB e BC. (Considere: g = 10 m/s²)
E02.E02. No sistema em equilíbrio esquematizado, o fio BC deve
permanecer horizontal. Os fios e a polia são ideais.
Sendo M 1 = 3 kg e g = 10 m/s2, determine:
a)a) A tração no fio AB.
b)b) O peso do bloco 2.
E03.E03. Uma corda AB tem sua extremidade A fixa, enquanto a outra B
está ligada ao bloco M em forma de paralelepípedo de peso 120 N.
Esse bloco repousa sobre um plano horizontal. O coeficiente de atrito
entre o plano e o bloco é de 0,30. Em um ponto C da corda é
dependurado um peso Q tal que o ângulo formado pelo trecho AC com
a horizontal seja 60º; o trecho CB é horizontal.
Adotar g = 10 m/s².
a)a) Qual a força de atrito exercida pelo plano sobre o bloco quando ele estiver na iminência de movimento?
b)b) Qual o peso máximo que se pode pendurar em C?
E04.E04. Dez segundos após a partida, um veículo alcança a velocidade de 18 km/h.
a)a) Calcule, em m/s2, sua aceleração média nesse intervalo de tempo.
b)b) Calcule o valor médio da força resultante que imprimiu essa aceleração ao veículo, sabendo que sua massa é de
1,2⋅103 kg.
E05.E05. Você está à deriva no espaço, afastando de sua nave espacial. Por sorte, você tem uma unidade de propulsão
que fornece uma força resultante F por 3,0 segundos. Após 3,0 s, você se moveu 2,25 m. Se sua massa é 68 kg,
encontre F. Considere a velocidade inicial como sendo nula.
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E06.E06. Durante as férias de inverno, você participa de uma corrida de trenós. Calçando botas de neve, com travas que
permitem uma boa tração, você começa a corrida puxando uma corda atada ao trenó com uma força de 150 N a 25º
acima da horizontal. O trenó tem uma massa de 80 kg e não existe atrito entre as lâminas do trenó e o gelo.
Calcule:
a)a) a aceleração do trenó e
b)b) o valor da força normal exercida pela superfície sobre o trenó.
E07.E07. Consideremos um corpo de massa igual a 2 kg inicialmente em
repouso sobre um plano horizontal perfeitamente liso. Sobre o corpo passa
a atuar uma força FF de intensidade 16 N, conforme indica a figura.
Determine:
a)a) a aceleração do corpo.
b)b) a reação normal do plano de apoio (força normal).
E08.E08. Um carro de 900 kg, andando a 72 km/h, freia bruscamente e para em 4s.
a)a) Calcule o módulo da aceleração do carro.
b)b) Calcule o módulo da força de atrito que atua sobre o carro.
E09.E09. A figura ilustra uma jovem arrastando um caixote com uma corda, ao longo de uma superfície horizontal, com
velocidade constante. A tração que ela exerce no fio é de 20 N. Determine a força de atrito que atua na caixa.
E10.E10. Um corpo de massa 5 kg desce um plano inclinado que faz
um ângulo α com a horizontal. O coeficiente de atrito entre as
superfície s é 0,4. Considerando g = 10m/s2 e sendo sen α = 0,8
e cos α = 0,6, calcule:
a)a) a reação normal do apoio;
b)b) a aceleração do corpo.
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Respostas dos Exercícios Teóricos:Respostas dos Exercícios Teóricos:
E01.E01. TAB = 40 N TBC = 34,64N
E02. a)E02. a) 60 N b)b) 51,96 N
E03. a)E03. a) 36 N b)b) 62,3 N
E04. a)E04. a) 0,5 m/s2 b)b) 600 N
E05.E05. 34 N
E06. a)E06. a) 1,7 m/s2 b)b) 736,61 N
E07. a)E07. a) 4 m/s2 b)b) 6,14 N
E08. a)E08. a) 5 m/s2 b)b) 4500 N
E09.E09. 15,97 N
E10. a)E10. a) 30 N b)b) 5,6 m/s2
- 217217 -
TestesTestes
T01.T01. O sistema da figura encontra-se em equilíbrio estático.
Determine as trações T1 e T2, nos fios AB e AC, respectivamente. O
peso do corpo é 200N.
a)a) T1 = 200N e T 2 = 120N
b)b) T1 = 185N e T2 = 283N
c)c) T1 = 215N e T 2 = 325N
d)d) T1 = 283N e T2 = 200N
e)e) T1 = 300N e T 2 = 200N
T02.T02. Para tirar um carro de um atoleiro é necessário aplicar-lhe uma
força de módulo 6000N. Utilizando uma corda, como
esquematizado na figura, um motorista deverá puxá-la com uma
força FF, cujo módulo, no mínimo, é igual a:
a)a) 400 N
b)b) 800 N
c)c) 3.200 N
d)d) 11.980 N
e)e) 90.000 N
T03.T03. Dois blocos na posição vertical são ligados por uma corda. Outra corda é
amarrada ao bloco superior. A força FF (em kgf) necessária para manter o sistema
em repouso vale:
a)a) 2
b)b) 3
c)c) 4
d)d) 6
e)e) 4,5
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T04.T04. O corpo M representado na figura pesa 80 N e é mantido em equilíbrio por
meio da corda AB e pela ação da força horizontal FF de módulo 60 N.
Considerando g = 10m/s2, a intensidade da tração na corda AB, suposta ideal,
em N, é:
a)a) 60
b)b) 80
c)c) 100
d)d) 140
e)e) 200
T05.T05. Os blocos A e B da figura pesam, respectivamente, 980 N e 196 N.
O sistema está em repouso.
Considere os seguintes dados cos 45º = sen 45º = 0,707 e µ=0,3.
É correto afirmar que:
a)a) A força normal do plano sobre A, vale 196N.
b)b) A força de atrito estático entre A e a superfície horizontal vale 196N.
c)c) Há uma força de 294 N puxando o bloco A para a direita.
d)d) O bloco A não pode se mover porque não há força puxando-o para a direita.
e)e) O bloco B não pode se mover porque não há força puxando-o para baixo.
T06.T06. Uma força F de 70N, paralela à superfície de um plano inclinado
conforme mostra a figura, empurra para cima um bloco de 50 N com
velocidade constante. A força que empurra esse bloco para baixo, com
velocidade constante, no mesmo plano inclinado, tem intensidade de:
(Use cos 37º = 0,8; sen 37º = 0,6)
a)a) 40 N b)b) 30 N c)c) 20 N d)d) 15 N e)e) 10 N
T07.T07. Na figura m 1 = 100 kg, m2 = 76 kg, a roldana é ideal e o coeficiente
de atrito entre o bloco de massa m1 e o plano inclinado é µ=0,3.
Considerando que sen 30º = 0,5 e cos 30º = 0,86, o bloco de massa m 1 se
moverá:
a)a) para baixo, acelerado.
b)b) para cima, com velocidade constante.
c)c) para cima, acelerado.
d)d) para baixo, com velocidade constante.
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T08.T08. Um bloco de madeira de massa 400 g é arrastado sobre uma superfície horizontal, a partir do repouso, por uma
força constante de 2,0 N, também horizontal. Sabendo que a aceleração do corpo é 1,0 m/s2, a força de atrito entre o
corpo e a superfície horizontal, em newtons, vale:
a)a) 0 b)b) 0,4 c)c) 0,8 d)d) 1,6 e)e) 2,4
T09.T09. Um bloco de massa 5,0 kg é lançado horizontalmente, com uma velocidade inicial de 72 km/h, sobre uma
superfície horizontal, parando após percorrer 80m. Considerando que a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2, o
coeficiente de atrito entre o bloco e a superfície vale:
a)a) 0,10 b)b) 0,25 c)c) 0,40 d)d) 0,50 e)e) 0,75
T10.T10. Considerando o exercício anterior, marque a opção referente ao tempo que o bloco chegou a v = 0.
a)a) 8s b)b) 10s c)c) 14s d)d) 20s e)e) 23s
Respostas dos Testes:Respostas dos Testes:
01. D01. D
02. B02. B
03. D03. D
04. C04. C
05. C05. C
06. E06. E
07. C07. C
08. D08. D
09. B09. B
10. A10. A
- 220220 -
RE)ER7!CIAS BIBLIGR.)ICASRE)ER7!CIAS BIBLIGR.)ICAS
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