Transcript
Page 1: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan i

Page 2: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan ii

Persamaan dan Ketidaksamaan

BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN

DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL

2004

Kode MAT. 03

-1 1 2 3 4 5 6

4

3

2

1

-1

-2

x + y = 4

x + y = 1

Page 3: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan iii

Persamaan dan Pertidaksamaan

Penyusun:

Drs. R. Sulaiman, MS.

Editor: Dr. Manuharawati, MSi.

Dra. Kusrini, M.Pd.

Kode MAT. 03

BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN

DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL

2004

Page 4: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan iv

Kata Pengantar

Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas

karunia dan hidayah-Nya, kami dapat menyusun bahan ajar modul manual

untuk SMK Bidang Adaptif, yakni mata pelajaran Fisika, Kimia dan

Matematika. Modul yang disusun ini menggunakan pendekatan pembelajaran

berdasarkan kompetensi, sebagai konsekuensi logis dari Kurikulum SMK Edisi

2004 yang menggunakan pendekatan kompetensi (CBT: Competency Based

Training).

Sumber dan bahan ajar pokok Kurikulum SMK Edisi 2004 adalah modul,

baik modul manual maupun interaktif dengan mengacu pada Standar

Kompetensi Nasional (SKN) atau standarisasi pada dunia kerja dan industri.

Dengan modul ini, diharapkan digunakann sebagai sumber belajar pokok oleh

peserta diklat untuk mencapai kompetensi kerja standar yang diharapkan

dunia kerja dan industri.

Modul ini disusun melalui beberapa tahapan proses, yakni mulai dari

penyiapan materi modul, penyusunan naskah secara tertulis, kemudian

disetting dengan bantuan alat-alat komputer, serta divalidasi dan diujicobakan

empirik secara terbatas. Validasi dilakukan dengan teknik telaah ahli (expert-

judgment), sementara ujicoba empirik dilakukan pada beberapa peserta

diklat SMK. Harapannya, modul yang telah disusun ini merupakan bahan dan

sumber belajar yang berbobot untuk membekali peserta diklat kompetensi

kerja yang diharapkan. Namun demikian, karena dinamika perubahan sain

dan teknologi di industri begitu cepat terjadi, maka modul ini masih akan

selalu dimintakan masukan untuk bahan perbaikan atau direvisi agar supaya

selalu relevan dengan kondisi lapangan.

Pekerjaan berat ini dapat terselesaikan, tentu dengan banyaknya

dukungan dan bantuan dari berbagai pihak yang perlu diberikan penghargaan

dan ucapan terima kasih. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini tidak

Page 5: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan v

berlebihan bilamana disampaikan rasa terima kasih dan penghargaan yang

sebesar-besarnya kepada berbagai pihak, terutama tim penyusun modul

(penulis, editor, tenaga komputerisasi modul, tenaga ahli desain grafis) atas

dedikasi, pengorbanan waktu, tenaga, dan pikiran untuk menyelesaikan

penyusunan modul ini.

Kami mengharapkan saran dan kritik dari para pakar di bidang

psikologi, praktisi dunia usaha dan industri, dan pakar akademik sebagai

bahan untuk melakukan peningkatan kualitas modul. Diharapkan para

pemakai berpegang pada azas keterlaksanaan, kesesuaian dan fleksibilitas,

dengan mengacu pada perkembangan IPTEK pada dunia usaha dan industri

dan potensi SMK dan dukungan dunia usaha industri dalam rangka membekali

kompetensi yang terstandar pada peserta diklat.

Demikian, semoga modul ini dapat bermanfaat bagi kita semua,

khususnya peserta diklat SMK Bidang Adaptif untuk mata pelajaran

Matematika, Fisika, Kimia, atau praktisi yang sedang mengembangkan modul

pembelajaran untuk SMK.

Jakarta, Desember 2004 a. n. Direktur Jenderal Pendidikan Dasar dan Menengah Direktur Pendidikan Menengah Kejuruan,

Dr. Ir. Gatot Hari Priowirjanto, M. Sc. NIP 130 675 814

Page 6: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan vi

DAFTAR ISI

? Halaman Sampul .......................................................................... i ? Halaman Francis .......................................................................... ii ? Kata Pengantar ............................................................................ iii ? Daftar Isi …… .............................................................................. v ? Peta Kedudukan Modul.................................................................. vii ? Daftar Judul Modul ...................................................................... viii ? Glosary ……................................................................................ ix

I. PENDAHULUAN

A. Deskripsi ............................................................................... 1 B. Prasyarat ............................................................................... 1 C. Petunjuk Penggunaan Modul..................................................... 1 D. Tujuan Akhir ........................................................................... 2 E. Kompetensi............................................................................. 3 F. Cek Kemampuan ..................................................................... 4

II. PEMBELAJARAN

A. Rencana Belajar Peserta Diklat .................................................. 6

B. Kegiatan Belajar ...................................................................... 7

1. Kegiatan Belajar 1............................................................... 8

a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran ........................................ 8 b. Uraian Materi................................................................. 8 c. Rangkuman .................................................................. 14 d. Tugas .......................................................................... 15 e. Tes Formatif.................................................................. 16 f. Kunci Jawaban Formatif .................................................. 17 2. Kegiatan Belajar 2 .............................................................. 19 a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran ........................................ 19 b. Uraian Materi................................................................. 19 c. Rangkuman................................................................... 32 d. Tugas ........................................................................... 33 e. Tes Formatif.................................................................. 33 f. Kunci Jawaban Formatif .................................................. 34

Page 7: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan vii

3. Kegiatan Belajar 3 .............................................................. 36 a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran ........................................ 36 b. Uraian Materi................................................................. 36 c. Rangkuman .................................................................. 40 d. Tugas .......................................................................... 41 e. Tes Formatif.................................................................. 41 f. Kunci Jawaban Tes Formatif ............................................ 42 4. Kegiatan Belajar 4 .............................................................. 44 a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran ........................................ 44 b. Uraian Materi................................................................. 44 c. Rangkuman .................................................................. 56 d. Tugas .......................................................................... 57 e. Tes Formatif.................................................................. 58 f. Kunci Jawaban Tes Formatif ............................................ 59 5. Kegiatan Belajar 5 .............................................................. 61 a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran ........................................ 61 b. Uraian Materi................................................................. 61 c. Rangkuman .................................................................. 70 d. Tugas .......................................................................... 72 e. Tes Formatif.................................................................. 72 f. Kunci Jawaban Tes Formatif ............................................ 73

III. EVALUASI ............................................................................... 74

KUNCI JAWABAN EVALUASI ....................................................... 75

IV. PENUTUP ............................................................................... 76

DAFTAR PUSTAKA ............................................................................. 77

Page 8: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan viii

PETA KEDUDUKAN MODUL

MAT.10

MAT.15

MAT.01

MAT.03

MAT.02

MAT.05

MAT.07 MAT.08

MAT.09

MAT.11

MAT.12

MAT.14

MAT.06

MAT.04

MAT.13

MAT.16

Page 9: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan ix

Daftar Judul Modul No. Kode Modul Judul Modul

1 MAT.01 Matrik

2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan

4 MAT.04 Geometri Dimensi Dua 5 MAT.05 Relasi Dan Fungsi

6 MAT.06 Geometri Dimensi Tiga 7 MAT.07 Peluang

8 MAT.08 Bilangan Real 9 MAT.09 Trigonometri

10 MAT.10 Irisan Kerucut 11 MAT.11 Statistika

12 MAT.12 Barisan 13 MAT.13 Aproksimasi Kesalahan

14 MAT.14 ProgramLinier

15 MAT.15 Vektor 16 MAT.16 Matematika Keuangan

Page 10: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan x

Glossary

ISTILAH KETERANGAN Persamaan Linier adalah persamaan yang hanya memuat

sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya adalah satu.

Menyelesaikan suatu persamaan

adalah mencari nilai pengganti dari peubah sehingga menjadi pernyataan yang benar.

Tiga Langkag menyelesaikan persamaan linier

Tiga langkah berikut dapat dilakukan dalam menyelesaikan persamaan linear dengan satu peubah, yakni: (i) Menambah kedua ruas dengan

bilangan yang sama. (ii) Mengurangi kedua ruas dengan

bilangan yang sama. (iii) Membagi atau mengalikan kedua ruas

dengan bilangan yang sama yang bukan nol.

Pertidaksamaan linier satu peubah

adalah pertidaksamaan yang hanya memuat sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya adalah satu.

Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam menyelesaikan pertidaksamaan linier satu peubah

? Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama, maka tanda pertidaksamaan tetap.

? Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama dan tidak nol, maka tanda pertidaksamaan tetap.

? Jika J Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama dan tidak nol, maka tanda pertidaksamaan menjadi sebaliknya

Tiga cara untuk meyelesaikan persamaan kuadrat

cara memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna dan menggunakan rumus

Bagaimana bentuk umum persamaan kuadrat

Bentuk umum persamaan kuadrat (dalam x ) adalah acbxax ;02 ??? ?0

Page 11: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 1

BAB I. PENDAHULUAN

A. Deskripsi

Modul ini berjudul “Persamaan dan Pertidaksamaan”. Modul ini berisi

tentang persamaan dan pertidaksamaan linier satu peubah, persamaan dan

pertidaksamaan kuadrat, sistem persaman linier dua peubah, dan sistem

persamaan dua peubah, satu linier dan satu kuadrat.

Materi persamaan linier satu peubah merupakan materi yang pernah

diperoleh pada saat di SMP, namun pada modul ini tingkat kesulitan soal dan

latihan lebih tinggi. Materi persamaan kuadrat menyangkut cara

menyelesaikan persamaan kuadrat. Ada tiga cara yang dibahas pada modul ini

yaitu, cara memfaktorkan, cara melengkakan kuadrat, dan cara menggunakan

rumus. Cara menyelesaikan sistem persamaan linier dua peubah yang dibahas

pada modul ini ada empat yaitu, cara grafik, cara eliminasi, cara substitusi,

cara kombinasi eliminasi dan substitusi, dan dengan cara menggunakan invers

dan determinan matriks.

Hasil belajar yang diharapkan setelah mempelajari modul ini adalah

Anda mampu:

1. Menyelesaikan persamaan linier satu peubah.

2. Menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat.

3. Menyelesaikan sistem persamaan linier dua peubah.

4. Menyelesaikan sistem persamaan dua peubah, satu linier dan satu

kuadrat.

B. Prasyarat

Untuk dapat memahami modul ini dengan baik, maka materi

prasyarat yang harus dimiliki adalah Matriks. Pemahaman tentang matriks

yang dimaksud adalah tentang kesamaan dua matriks, penjumlahan dan

Page 12: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 2

perkalian matriks, menentukan determinan suatu matriks dan menentukan

invers suatu matriks.

Kemampuan prasyarat itu digunakann khususnya dalam menyelesaikan

sistem persamaan linier dua peubah dengan cara menentukan determinan

dan invers matriks. Sedangkan untuk materi lain pada modul ini tidak

memerlukan prasyarat, dengan pengertian bahwa bekal awal yang telah

dimiliki siswa pada saat di SMP sudah cukup untuk dapat memahami materi

lain pada modul ini.

C. Petunjuk Penggunaan Modul

Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan adalah

sebagai berikut.

1. Pelajari daftar isi serta skema modul dengan cermat, karena daftar isi dan

skema akan menuntun Anda dalam mempelajari modul ini dan kaitannya

dengan modul-modul yang lain.

2. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang

mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya.

3. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal

latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal Anda menemui kesulitan,

kembalilah mempelajari materi yang terkait.

4. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Anda menemui kesulitan

dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang

terkait.

5. Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan, catatlah,

kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau

bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan

membaca referensi lain, Anda juga akan mendapatkan pengetahuan

tambahan.

Page 13: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 3

D. Tujuan Akhir

Setelah mempelajari modul ini diharapkan anda sapat:

1. Memahami pengertian dan penyelesaian persamaan linier satu peubah.

2. Memahami pengertian dan penyelesaian pertidaksamaan linier satu

peubah.

3. Memahami pengetian persamaan kuadrat.

4. Mampu menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan,

melengkapkan kuadrat sempurna, menggunakan rumus.

5. Memahami pengertian pertidaksamaan kuadrat.

6. Mampu menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat.

7. Menentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat.

8. Menentukan hasil kali dan jumlah akar-akar persamaan kuadrat.

9. Menyusun persamaan kuadrat jika akar-akarnya diketahui.

10. Memahami pengertian persamaan linier dua peubah.

11. Menyelesaikan sistem persamaan linier dua peubah dengan cara grafik,

eliminasi, substitusi, determinan.

12. Memahami pengertian persamaan linier tiga peubah.

13. Menyelesaikan sistem persamaan linier tiga peubah dengan cara eliminasi,

substitusi, determinan.

14. Menyelesaikan sistem persamaan dua peubah, satu linier dan satu

kuadrat.

Page 14: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 4

E. Kompetensi

KOMPETENSI : KESAMAAN DAN KETIDAKSAMAAN PROGRAM KEAHLIAN : program adaptif KODE : MATEMATIKA/MAT 03 DURASI PEMBELAJARAN : 45 Jam @ 45 menit

MATERI POKOK PEMBELAJARAN SUB KOMPETENSI KRITERIA KINERJA LINGKUP BELAJAR

SIKAP PENGETAHUAN KETERAMPILAN

1. Menentukan himpunan penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan linier

? Persamaan dan pertidaksamaan linier ditentukan penyelesaiannya.

? Persamaan dan pertidaksamaan linier serta penyelesaiannya.

? Teliti dan cermat dalam menyelesaikan dan menerapkan konsep persamaan dan pertidaksamaan linier.

? Pengertian persamaan dan pertidaksamaan linier. ? Penyelesaian

persamaan dan pertidaksamaan linier.

? Menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan linier dan kuadrat.

Page 15: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 5

MATERI POKOK PEMBELAJARAN SUB KOMPETENSI KRITERIA KINERJA LINGKUP BELAJAR

SIKAP PENGETAHUAN KETERAMPILAN

2. Menerapkan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat

? Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat ditentukan penyelesaiannya. ? Persamaan kuadrat

disusun berdasarkan akar-akar yang diketahui. ? Persamaan kuadrat

baru disusun berdasarkan akar-akar persamaan kudrat lain.

? Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat serta penyelesaiannya. ? Akar-akar persamaan

kuadrat dan sifat-sifatnya. ? Menyusun

persamaan kuadrat.

? Teliti dan cermat dalam menyelesaikan dan menerapkan konsep persamaan dan pertidaksamaan kuadrat.

? Pengertian persamaan dan pertidaksamaan kuadrat. ? Penyelesaian

persamaan dan pertidaksamaan kuadrat. ? Menyusun

persamaan kuadrat.

3. Menyelesaikan sistem persamaan

? Sistem persamaan ditentukan penyelesaiannya.

? Sistem persamaan linier dua dan tiga variabel. ? Sistem persamaan

dengan dua variabel, satu linier dan satu kuadrat.

? Teliti dan cermat dalam menyelesaikan dan menerapkan konsep sistem persamaan.

? Penyelesaian sistem persamaan linier dengan eliminasi, substitusi, atau keduanya

Page 16: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 6

F. Cek kemampuan

1. Ida dan Anis pergi ke perpustakaan sekolah. Mereka membaca

buku yang sama. Ida sudah membaca 12 halaman pertama.

Banyak halaman yang belum dibaca Anis sebanyak 49 halaman.

Ternyata banyak halaman yang belum dibaca Ida adalah dua kali

banyak halaman yang telah dibaca Anis. Berapakah banyak

halaman buku tersebut?

2. Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini!

a) 01522 ??? xx

b) mmmxxm ;0)1(2)1( 2 ????? ? -1.

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 22 253 xxxx ???

4. Tentukan nilai m agar persamaan kuadrat

01)2()2( 2 ?????? mxmxm mempunyai dua akar yang sama.

5. Jumlah akar -akar persamaan kuadrat 01222 2 ??? baxx adalah -5

sedangkan hasilkalinya adalah -24. Tentukan nilai 22 ba ? .

6. Selesaikan sistem persamaan??

??

?

??

??

??

??

12

13

12

25

323

2

bx

bx

7. Selesaikan sistem persamaan ??

??

?

??????

????

102423233

62

zyxzyx

zyx

8. Selesaikan sistem persamaan ???

??????

121122

yxyxyx

Page 17: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 7

BAB II. PEMBELAJARAN

Kompetensi : Mengaplikasikan konsep persamaan dan

pertidaksamaan Sub Kompetensi : - Menentukan himpunan penyelesaian persamaan

dan pertidaksamaan linier

- Menerapkan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat

- Menyelesaikan sistem persamaan

Tulislah semua jenis kegiatan yang anda lakukan di dalam tabel kegiatan di

bawah ini. Jika ada perubahan dari rencana semula, berilah alasannya

kemudian mintalah tanda tangan kepada guru atau instruktur anda.

Jenis

Kegiatan Tanggal Waktu Tempat

Belajar Alasan

perubahan Tandatangan

Guru

A. RENCANA BELAJAR SISWA

Page 18: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 8

1. Kegiatan Belajar 1

Persamaan dan Pertidaksamaan Linier Satu Peubah

a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran

Setelah mempelajari kegiatan belajar ini, diharapkan anda dapat:

? Memahami pengertian persamaan linier satu peubah.

? Mampu menyelesaikan persamaan linier satu peubah.

? Memahami pengertian pertidaksamaan linier satu peubah.

? Mampu menyelesaikan pertidaksamaan linier satu peubah.

b. Uraian Materi

Persamaan Linier Satu Peubah

Pada bagian ini kita akan mendalami cara mencari penyelesaian

dari persamaan linier satu peubah.

Pengertian

Persamaan linier satu peubah adalah persamaan yang hanya

memuat sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya adalah satu.

Contoh 1:

3672 ??? xx , merupakan persamaan linier satu peubah karena

peubahnya satu (yaitu x ) dan pangkatnya adalah 1.

Contoh 2:

yy 54 ?? , merupakan persamaan linier satu peubah karena peubahnya

satu (yaitu y ) dan pangkatnya adalah 1.

Contoh 3:

tt 2137 ??? , merupakan persamaan linier satu peubah karena

peubahnya satu (yaitu t ) dan pangkatnya adalah 1.

B. KEGIATAN BELAJAR

Page 19: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 9

Contoh 4:

863 ?? my , bukan persamaan linier satu peubah karena peubahnya ada

dua (yaitu y dan m ).

Contoh 5:

092 ??x , bukan persamaan linier satu peubah walaupun peubahnya

hanya satu tetapi pangkat dari peubahnya adalah dua.

Penyelesaian Suatu Persamaan

Menyelesaikan suatu persamaan artinya adalah mencari nilai

pengganti dari peubah sehingga menjadi pernyataan yang benar.

Contoh 6:

1165 ???t , adalah persamaan linier satu peubah.

1??t merupakan penyelesaian persamaan itu karena jika t diganti

dengan –1, maka pernyataan 116)1(5 ???? merupakan pernyataan yang

benar. Sedangkan 1?t bukan penyelesaian karena jika t diganti

dengan 1, maka pernyataan 116)1(5 ??? merupakan pernyataan yang

salah.

Contoh 7:

mm 273 ?? , adalah persamaan linier satu peubah.

7??m merupakan penyelesaian persamaan itu karena jika m diganti

dengan –7, maka pernyataan )7(27)7(3 ???? merupakan pernyataan

yang benar. Sedangkan 5?m bukan penyelesaian karena jika m diganti

dengan 5, maka pernyataan 1165 ???t merupakan pernyataan yang

salah.

Cara mencari penyelesaian persamaan linier satu peubah

Tiga langkah berikut dapat dilakukan dalam menyelesaikan

persamaan linier dengan satu peubah,

Page 20: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 10

? Menambah kedua ruas dengan bilangan yang sama.

? Mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama.

? Membagi atau mengalikan kedua ruas dengan bilangan yang sama

yang bukan nol.

Contoh 8:

Tentukan penyelesaian dari persamaan 7332 ???? xx dan tentukan

himpunan penyelesaiannya!

Penyelesaian:

7332 ???? xx

? 7)3(3323 ?????? xxxx ............ (kedua ruas ditambah dengan x3 )

? 735 ??x

? 37335 ????x .......................... (kedua ruas ditambah 3)

? 105 ?x

? x=2 ........................................ (kedua ruas dibagi dengan 5)

Himpunan penyelesaiannya adalah: {2}.

Contoh 9:

Tentukan penyelesaian dari persamaan 2275 ????? tt dan tentukan

himpunan penyelesaiannya!

Penyelesaian:

2275 ????? tt

? tttt 222275 ??????? ............... ( kedua ruas ditambah

dengan t2 )

? 273 ???? t

? 72773 ?????? t ...................... (kedua ruas dikurangi 7)

? 93 ??? t

? 3?t ...................................... (kedua ruas dibagi dengan -3)

Himpunan penyelesaiannya adalah: {3}.

Page 21: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 11

Contoh 10:

Tentukan penyelesaian dari persamaan 178134 ???? mm dan tentukan

himpunan penyelesaiannya!

Penyelesaian:

178134 ???? mm

? mmmm 81788134 ?????? .......... ( kedua ruas ditambah dengan

m8 )

? 171312 ???m

? 1317131312 ?????m ................ (kedua ruas ditambah 13)

? 124

??m ................................ (kedua ruas dibagi 12)

? 31

??m

Himpunan penyelesaiannya adalah: {31

? }.

Pertidaksamaan linier Satu Peubah

Pada bagian ini kita akan mendalami cara mencari penyelesaian

dari pertidaksamaan linier satu peubah.

Pengertian

Pertidaksamaan linier satu peubah adalah pertidaksamaan yang

hanya memuat sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya adalah

satu.

Contoh 11:

875 ??? ww , merupakan pertidaksamaan linier satu peubah karena

banyak peubahnya satu (yaitu w ) dan pangkatnya adalah 1.

Contoh 12:

2192 ??n , merupakan pertidaksamaan linier satu peubah karena

banyak peubahnya satu (yaitu n ) dan pangkatnya adalah 1.

Page 22: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 12

Contoh 13:

1275 ?? mt , bukan pertidaksamaan linier satu peubah karena

peubahnya dua (yaitu t dan m ).

Contoh 14:

334 2 ??? yy , bukan pertidaksamaan linier satu peubah walaupun

peubahnya hanya satu tetapi paubahnya ada yang berpangkat 2.

Cara mencari penyelesaian pertidaksamaan linier satu peubah

Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam menyelesaikan pertidaksamaan

linier satu peubah adalah,

a) Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan ditambah atau dikurangi

dengan bilangan yang sama, maka tanda pertidaksamaan tetap.

b) Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan

bilangan positif yang sama dan tidak nol, maka tanda

pertidaksamaan tetap.

c) Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan

bilangan negatif yang sama dan tidak nol, maka tanda

pertidaksamaan menjadi sebaliknya.

Contoh 15:

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan 874 ??? xx dan tentukan

himpunan penyelesaiannya!

Penyelesaian:

874 ??? xx

? xxxx ????? 874 ..................... (kedua ruas dikurangi x )

? 873 ???x

? 78773 ?????x ......................... (kedua ruas ditambah 7)

? 13 ??x

? 31

??x ................................... (kedua ruas dibagi 3)

Himpunan penyelesaiannya adalah: { Rx ? ?31

??x }.

Page 23: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 13

Contoh 16:

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan 172123 ???? tt dan

tentukan himpunan penyelesaiannya!

Penyelesaian:

172123 ???? tt

? tttt 21722123 ?????? ................ (kedua ruas dikurangi t2 )

? 17125 ??? t

? 121712125 ????? t .................... (kedua ruas dikurangi 12)

? 55 ?? t

? 1??t ...................................... (kedua ruas dibagi -5)

(perhatikan bahwa yang semula tanda pertidaksamaan ? karena dibagi

dengan bilangan negatif –5, maka tanda pertidaksamaan menjadi ? .)

Himpunan penyelesaiannya adalah: { Rt ? ? 1??t }.

Contoh 17:

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan 821631

???? xx dan

tentukan himpunan penyelesaiannya!

Penyelesaian:

821631

???? xx

? 24648 ???? xx ........................ (kedua ruas dikalikan 3)

? 482464848 ?????? xx ............. (kedua ruas dikurangi 48)

? 726 ??? xx

? 727 ??? x ............................... (kedua ruas dikurangi x6 )

? 7

72?x ..................................... (kedua ruas dibagi -7)

Himpunan penyelesaiannya adalah: { Rx ? ?7

72?x }.

Langkah pengerjaan tidak harus sama dengan di atas, anda dapat pula

menyelesaikan dengan langkah yang lain. Berikut ini diberikan cara

Page 24: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 14

penyelesaian dengan langkah yang berbeda. Silahkan anda mengamati

perbedaannya.

Cara 2

Penyelesaian:

821631

???? xx

? 24648 ???? xx .......................... ( kedua ruas dikalikan -3)

? 482464848 ?????? xx ............... (kedua ruas ditambah 48)

? 726 ??? xx

? 727 ?x .................................... (kedua ruas ditambah x6 )

? 7

72?x ..................................... (kedua ruas dibagi 7)

Himpunan penyelesaiannya adalah: { y ?7

72?x }.

c. Rangkuman 1

? Persamaan linier satu peubah adalah persamaan yang hanya memuat

sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya adalah satu.

? Menyelesaikan suatu persamaan artinya adalah mencari nilai

pengganti dari peubah sehingga menjadi pernyataan yang benar.

? Tiga langkah berikut dapat dilakukan dalam menyelesaikan

persamaan linier dengan satu peubah:

o Menambah kedua ruas dengan bilangan yang sama.

o Mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama.

o Membagi atau mengalikan kedua ruas dengan bilangan yang sama

yang bukan nol.

? Pertidaksamaan linier satu peubah adalah pertidaksamaan yang

hanya memuat sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya adalah

satu.

? Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam menyelesaikan

pertidaksamaan linier satu peubah adalah:

Page 25: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 15

? Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan ditambah atau dikurangi

dengan bilangan yang sama, maka tanda pertidaksamaan tetap.

? Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan atau dibagi

dengan bilangan positif yang sama dan tidak nol, maka tanda

pertidaksamaan tetap.

? Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan atau dibagi

dengan bilangan negatif yang sama dan tidak nol, maka tanda

pertidaksamaan menjadi sebaliknya.

d. Tugas 1

Kerjakan soal-soal berikut secara individu, jika ada kesulitan diskusikan

dengan teman anda!

1. Sebuah kelompok sirkus mempunyai 6 harimau, tiga jantan dan tiga

betina.

a) Jika setiap hari pemiliknya memberikan 39 kg daging untuk

makanan semua harimau itu dan tiap harimau mendapat bagian

yang sama, berapakah berat daging yang dimakan oleh setiap

harimau dalam sehari?

b) Jika tiap singa memakan n kg sehari, dan daging yang dimakan

oleh keenam singa itu 45 kg, tulis persamaan yang berkaitan

dengan berat daging yang dimakan oleh keenam singa tersebut

dalam sehari!

c) Jika seekor harimau jantan makan daging dua kali yang dimakan

seekor Harimau betina dan daging yang dimakan keenam

harimau itu 36 kg, berapa kilogram daging yang dimakan tiap

harimau jantan?

2. Ida dan Anis pergi ke perpustakaan sekolah. Mer eka membaca buku

yang sama. Ida sudah membaca 12 halaman pertama. Banyak

halaman yang belum dibaca Anis sebanyak 49 halaman. Ternyata

banyak halaman yang belum dibaca Ida adalah dua kali banyak

Page 26: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 16

halaman yang telah dibaca Anis. Berapakah banyak halaman buku

tersebut?

e. Tes Formatif 1

1. Selesaikan persamaan berikut ini :

a. 10x – 21 = 2x ? 1

b. 7x + 13 = -2x + 40

c. 4x + 2 = -2x + 5

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan berikut ini!

a. 5y = y – 40

b. 2q + 4 = 4 – 2q

c. 2r + 16 = r – 25

d. x + 2 = 21 (x + 1)

e. (x – 4) = 2x + 6

f. 43 x =

21 +

32 x

g. 31 (x – 7) = 5x

3. Ali dan Udin kakak beradik. Mereka bersepeda dari alun-alun ke

rumahnya melewati jalan yang sama. Ali bersepeda dengan

kecepatan 12 km/jam sedangkan Udin 8 km/jam. Ali tiba di

rumahnya 15 menit sebelum Udin tiba. Berapa lama Ali bersepeda

dari alun-alun ke rumahnya?

4. Jumlah tiga bilangan genap yang berurutan adalah 48. Tentukan

ketiga bilangan itu!

5. Sebuah mobil dan sepeda motor berjalan bersama dan menempuh

jarak yang sama. Kecepatan mobil 60 km/jam sedangkan sepeda

motor 45 km/jam. Jika sepeda motor tiba di tempat tujuan 2 jam

setelah mobil tiba, berapakah waktu yang diperlukan mobil dan

berapa waktu yang diperlukan sepeda motor?

Page 27: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 17

6. Sebuah pabrik roti menggaji semua karyawannya Rp 120.000,00 tiap

hari. Biaya lain untuk ti ap roti adalah Rp 600,00. Harga tiap roti Rp

1.200,00. Apa yang harus dilakukan agar pabrik itu tidak mengalami

kerugian?

f. Kunci jawaban formatif 1

1 a) 25

;208 ?? xx

b) 3;279 ?? xx

c) 21

;36 ?? xx

2 a) 10;404 ???? yy e) 10;1 ????? xx

HP = { -10 } HP = { -10 }

b) 0;04 ?? qq f) 6;21

121

?? xx

HP = { 0 } HP = { 6 }

c) HP = { -41 } g) 21

;714;37

314

?????? xxx

d) 3;142 ????? xxx HP = { -21

}

HP = {-3 }

3. s = V.t

UUAA tVtV .. ?

12. At = 8.( )41

?At

At = jam21

Page 28: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 18

4. 48)4()2( ????? xxx

14;423 ?? xx

Jadi ketiga bilangan tersebut adalah 14, 16 dan 18.

5. 60. Mt = 45.( )2( ?Mt

Mt.15 = 90

jamtM 6?

Jadi waktu waktu yang diperlukan mobil adalah 6 jam dan waktu

yang diperlukan sepeda motor adalah 8 jam.

6. Jawaban bisa bervariasi. Contoh jawaban adalah pabrik itu harus

memproduksi minimal 200 bij i dan laku terjual semuanya, karena

dengan jumlah itu pengeluaran sama dengan pemasukan.

Page 29: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 19

2. Kegiatan Belajar 2

Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran

Setelah mempelajari kegiatan belajar ini, diharapkan Anda dapat:

? Memahami pengertian persamaan kuadrat.

? Mampu menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara

memfaktorkan.

? Mampu menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan

kuadrat sempurna.

? Mampu menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan

rumus.

? Memahami pengertian pertidaksamaan kuadrat.

? Mampu menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat.

b. Uraian Materi

Persamaan Kuadrat

Pada bagian ini kita akan mendalami cara mencari penyelesaian

dari persamaan kuadrat.

Pengertian

Persamaan kuadrat (dalam x ) adalah persamaan dimana

pangkat dari x adalah bilangan asli dan pangkat tertingginya adalah 2.

Secara umum persamaan kuadrat (dalam x ) berbentuk:

acbxax ;02 ??? ? 0.

Contoh 1:

0632 2 ??? xx , adalah persamaan kuadrat dalam x karena pangkat dari

x adalah bilangan asli dan pangkat tertinggi dari x adalah 2.

Dalam persamaan di atas .63,2 ???? cdanba

Page 30: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 20

Contoh 2:

4883 2 ??? mm , adalah persamaan kuadrat dalam m karena pangkat

dari m adalah bilangan asli dan pangkat tertinggi dari m adalah 2.

Persamaan kuadrat di atas dapat ditulis sebagai 01283 2 ??? mm . Dalam

hal ini nilai 128,3 ????? cdanba .

Persamaan kuadrat 4883 2 ??? mm dapat pula ditulis sebagai

01283 2 ???? mm .

Contoh 3:

148 2 ?? t , adalah persamaan kuadrat dalam t karena pangkat dari t

adalah bilangan asli dan pangkat tertinggi dari t adalah 2.

Contoh 4:

xxx 252 23 ??? , bukan persamaan kuadrat karena pangkat tertinggi

dari x adalah 3.

Contoh 5:

0253 21

2 ??? tt , bukan persamaan kuadrat karena pangkat dari t ada

yang bukan bilangan asli, yaitu 21

.

Cara menyelesaikan persamaan kuadrat

Ada tiga cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yaitu cara

memfaktorkan, cara melengkapkan kuadrat sempurna dan

menggunakan rumus. Masing-masing cara di atas diuraikan berikut ini.

1. Cara Memfaktorkan

Cara ini didasari oleh sifat perkalian dua bilangan riel . Jika a

dan b adalah bilangan riel sehingga a.b=0, maka a=0 atau b=a.

Demikian pula sebaliknya, jika a atau b adalah nol maka a.b=0.

Cara memfaktorkan ini dilakukan dengan merubah persamaan

kuadrat sehingga salah satu ruas sama dengan nol. Kemudian

merubah ruas yang lain menjadi perkalian dari dua suku yang

Page 31: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 21

masing-masing adalah linier. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh

berikut ini.

Contoh 1:

Tentukan penyelesaian dari persamaan 22 ?? xx .

Penyelesaian:

22 ?? xx

? 022 ??? xx

? 0)1)(2( ??? xx

? 0)2( ??x atau 0)1( ??x

? 12 ??? xataux

Bagaimana cara me mfaktorkan? Berikut ini adalah langkah-

langkah yang dapat dilakukan untuk merubah suatu bentuk kuadrat

ke dalam perkalian dua suku yang masing-masing linier.

Perhatikan bentuk umum persamaan kuadrat acbxax ;02 ??? ? 0.

Langkah-langkah:

a) Persamaan kuadrat dinyatakan dalam bentuk acbxax ;02 ??? ?0.

b) Kedua ruas dibagi dengan a sehingga koefisien dari 2x adalah 1,

akhirnya persamaan kuadrat semula berbentuk 02 ??? cbxx .

c) Tentukan dua buah faktor c kalau dijumlahkan sama dengan b ,

misalkan dua faktor itu adalah q dan s , maka

0))((2 ?????? sxqxcbxx ,

sehingga 0)( ?? qx atau .0)( ?? sx

Jadi penyelesaiannya adalah qx ?? atau sx ?? .

Contoh 2:

Tentukan penyelesaian dari persamaan 01222 2 ??? xx .

bsq ??

csq ?.

Page 32: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 22

Penyelesaian:

01222 2 ??? xx

a) 01222 2 ??? xx ? 062 ??? xx (kedua ruas dibagi 2)

b) faktor-faktor -6 kalau dijumlahkan sama dengan 1 adalah 3 dan

-3.

Diperoleh,

01222 2 ??? xx ? 062 ??? xx

? 0)2(3(62 ?????? xxxx

Sehingga 0)3( ??x atau 3??x

? 3??x atau 2?x .

Contoh 3:

Tentukan penyelesaian dari persamaan 04321 2 ??? xx .

Penyelesaian:

04321 2 ??? xx

a) 04321 2 ??? xx ? 0862 ??? xx (kedua ruas dibagi

21

, atau

dikalikan 2)

b) faktor-faktor 8 kalau dijumlahkan sama dengan 6 adalah 2 dan 4.

Diperoleh,

0862 ??? xx ? 0)4)(2( ??? xx

Sehingga 0)2( ??x atau 0)4( ??x

? 2??x atau 4??x .

Contoh 4:

Tentukan penyelesaian dari persamaan 063123 2 ??? xx .

Penyelesaian:

063123 2 ??? xx

? 02142 ??? xx

? 0)3)(7( ??? xx

Page 33: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 23

? 0)7( ??x atau 0)3( ??x

? 7??x atau 3?x .

Jika koefisien 2x bukan 1, anda dapat langsung memfaktorkan tanpa

terlebih dahulu membagi kedua ruas dengan a. Cara memfaktorkan

adalah seperti berikut.

? Menyatakan cbxax ??2 sebagai hasil kali dua bentuk linier, yaitu

0))((2 ?????? srxqpxcbxax

? Selanjutnya 0)( ?? qpx atau 0)( ?? srx

? Penyelesaiannya adalah pq

x ?? atau ts

x ?? .

Contoh 5:

Tentukan penyelesaian dari persamaan 063123 2 ??? xx .

Penyelesaian:

0)71)(93(63123 2 ?????? xxxx

Contoh 6:

Tentukan penyelesaian dari persamaan 02444 2 ??? xx .

Penyelesaian:

02444 2 ??? xx ? 0)3()84( ??? xx

? 084 ??x atau 03 ??x

? 2??x atau 3?x

arp ?.

csq ?. brqsp ?? ..

?

? 3(7)+(-9)(1)=12

Page 34: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 24

2. Cara melengkapkan kuadrat sempurna

Bentuk kuadrat sempurna

Bentuk 122 ?? xx disebut bentuk kuadrat sempurna karena

122 ?? xx dapat dinyatakan sebagai kuadrat dari bentuk yang lain,

yakni 122 ?? xx = 2)1( ?x . Demikian pula 16164 2 ?? xx merupakan

bentuk kuadrat sempurna karena 16164 2 ?? xx = 2)42( ?x . Jadi

bentuk kuadrat sempurna adalah bentuk yang dapat dinyatakan

sebagai kuadrat dari bentuk yang lain.

Bagaimana cara mengetahui suatu bentuk merupakan

bentuk kuadrat sempurna atau bukan?

Perhatikan bahwa 222 2)( aaxxax ???? dan 222 2)( aaxxax ???? .

Dengan memperhatikan hal itu dapat disimpulkan bahwa bentuk

qpxx ??2 merupakan bentuk kuadrat sempurna jika dapat

dinyatakan dalam bentuk 22 2 aaxx ?? atau 22 2 aaxx ??

(konstantanya merupakan kuadrat dari setengah koefisien

x ).

Contoh 7:

Apakah 962 ?? xx merupakan bentuk kuadrat sempurna? Jika ya,

nyatakan dalam kuadrat dari bentuk yang lain!

Penyelesaian:

Perhatikan bentuk 962 ?? xx

Koefisien x adalah –6 dan konstantanya adalah 9. Berarti,

setengah dari koefisien x adalah –3. Ternyata 9 (konstanta) =. Jadi,

962 ?? xx merupakan bentuk kuadrat sempurna. 22 )3(96 ???? xxx .

Contoh 8:

Page 35: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 25

Apakah 21

22 2 ?? xx merupakan bentuk kuadrat sempurna? Jika ya,

nyatakan dalam kuadrat dari bentuk yang lain!

Penyelesaian:

)41

(221

22 22 ????? xxxx .

Koefisien x dari bentuk )41

( 2 ?? xx adalah 1 dan konstantanya adalah

41

. Berarti, setengah dari koefisien x adalah 21

. Ternyata 41

(konstanta) = (21

) 2 . Jadi, )41

( 2 ?? xx merupakan bentuk kuadrat

sempurna dan 2)21

( ?x .

Jadi, 2222 ))21

(2()21

(2)41

(221

22 ????????? xxxxxx .

Dengan demikian 21

22 2 ?? xx merupakan bentuk kuadrat sempurna.

Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan

kuadrat sempurna

Cara ini dilakukan dengan mengubah salah satu ruas

persamaan kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna. Dengam

menggunakan sifat ax ?2 ? ax ?? ( 0?a ), maka persamaan

kuadrat dapat ditentukan penyelesaiannya.

Contoh 9:

Selesaikan persam aan kuadrat 01582 ??? xx .

Penyelesaian:

Koefisien x pada bentuk 1582 ?? xx adalah 8, sehingga setengah

dari koefisien x adalah 4 dan 1642 ? . Dengan demikian, bentuk

1682 ?? xx merupakan bentuk kuadrat sempurna. Sehingga

persamaan kuadrat 01582 ??? xx dapat dirubah menjadi

011682 ???? xx .

Page 36: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 26

011682 ???? xx ? 11682 ??? xx

? 1)4( 2 ??x

? 1)4( ???x

? 14 ???x

? 3??x atau 5??x

Contoh 10:

Selesaikan persamaan kuadrat .0202 ??? xx

Penyelesaian:

Koefisien x pada bentuk 202 ?? xx adalah –1, sehingga setengah

dari koefisien x adalah -21

dan 41

)21

( 2 ?? . Dengan demikian, bentuk

412 ?? xx merupakan bentuk kuadrat sempurna. Sehingga

persamaan kuadrat 0202 ??? xx dapat dirubah menjadi

041

20412 ???? xx .

041

20412 ???? xx ?

41

20412 ??? xx

? 481

)21

( 2 ??x

? 481

)21

( ???x

? 481

21

??x

? 29

21

??x

? 29

21

??x atau 29

21

??x

? 5?x atau 4??x

Page 37: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 27

Contoh 11:

Selesaikan persamaan kuadrat 09642 ??? xx .

Penyelesaian:

09642 ??? xx ? 0100442 ???? xx

? 100442 ??? xx

? 100)2( 2 ??x

? 1002 ???x

? 102 ??x

? 12?x atau 8??x

Contoh 12:

Selesaikan persamaan kuadrat 072303 2 ??? xx .

Penyelesaian:

072303 2 ??? xx ? 024102 ??? xx

? 0125102 ???? xx

? 125102 ??? xx

? 1)5( 2 ??x

? 15 ???x

? 4??x atau 6??x

3. Dengan menggunakan rumus

Menyelesaikan persamaan kuadrat juga dapat dilakukan

dengan menggunakan rumus. Penurunan rumus dilakukan dengan

cara melengkapkan kuadrat sempurna. Berikut adalah uraian

penurunan rumus itu.

Perhatikan bentuk umum persamaan kuadrat

acbxax ;02 ??? ? 0.

Jika kedua ruas dibagi dengan a maka persamaan kuadrat di atas

ekuivalen dengan persamaan .02 ???ac

xab

x

Page 38: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 28

02 ??? cbxax ? 02 ???ac

xab

x ? 0)2

()2

( 222 ?????ac

ab

ab

xab

x

? ac

ab

ab

xab

x ???? 222 )2

()2

(

? 22

22

44

4)

2(

aac

ab

ab

x ???

? 2

22

44

)2

(a

acbab

x?

??

? acba

bxa 4)

2(4 222 ???

? acba

bxa 4])

2(2[ 22 ???

? a

acba

bx

24

2

2 ????

? a

acba

bx

24

2

2 ????

? a

acba

bx

24

2

2

1?

??? atau

aacb

ab

x2

42

2

2?

???

Secara singkat dapat ditulis a

acbbx

242

2,1???

? .

acb 42 ? seringkali ditulis dengan D (kependekan dari diskriminan).

Sehingga akar -akar persamaan tersebut ditulis a

Dbx

22,1??

? .

Jika D= 042 ?? acb , maka persamaan kuadrat acbxax ;02 ??? ? 0 tidak

mempunyai akar-akar bilangan riel .

Contoh 13:

Selesaikan persamaan kuadrat 028112 ??? xx .

Penyelesaian:

28;11;1 ??? cba

Page 39: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 29

)1(2)28)(1(4)11(11 2

2,1

????x

211212111

2,1???

?x

2911

2,1??

?x

2311

1??

?x , 2

3112

???x

41 ??x , 72 ??x .

Contoh 14:

Selesaikan persamaan kuadrat 1323222 ????? xxx .

Penyelesaian:

1323222 ????? xxx ? 04542 ??? xx

45;4;1 ???? cba

)1(2)45)(1(4)4(4 2

2,1

?????x

2180164

2,1???

?x

21964

2,1??

?x

2144

1??

?x , 2

1442

???x

51 ??x , 92 ??x .

Contoh 15:

Selesaikan persamaan kuadrat 03134 2 ??? xx .

Penyelesaian:

3;13;4 ???? cba

)4(2)3)(4(4)13()13( 2

2,1

??????x

Page 40: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 30

84816913

2,1??

?x

81113

2,1?

?x

31 ?x , 41

2 ?x .

Pertidaksamaan Kuadrat

Pada bagian ini kita akan mendalami cara mencari penyelesaian

dari per tidaksamaan kuadrat.

Pengertian

Pertidaksamaan kuadrat (dalam x ) adalah pertidaksamaan

dimana pangkat dari x adalah bilangan asli dan pangkat tertingginya

adalah 2.

Contoh 1:

01262 2 ??? xx , adalah pertidaksamaan kuadrat dalam x karena

pangkat dari x adalah bilangan asli dan pangkat tertinggi dari x adalah

2.

Contoh 2:

6853 2 ????? mm , adalah persamaan kuadrat dalam m karena pangkat

dari m adalah bilangan asli dan pangkat tertinggi dari m adalah 2.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat

Langkah-langkah untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat

adalah sebagai berikut:

a) Nyatakan pertidaksamaan kuadrat ke bentuk salah satu ruas sama

dengan nol dan ruas yang lain adalah bentuk kuadrat.

b) Tentukan pembuat nol dari bentuk kuadrat itu.

c) Letakkan pembuat nol dalam garis bilangan.

d) Tentukan tanda dari setiap daerah pada garis bilangan.

Page 41: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 31

e) Tentukan penyelesaiannya sesuai yang dikehendaki pada

pertidaksamaan.

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut ini.

Contoh 3:

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 652 ??? xx .

Penyelesaian:

652 ??? xx ? 0652 ??? xx

Pembuat nol dari 652 ?? xx adalah nilai -nilai x sehingga 0652 ??? xx .

0652 ??? xx ? 0)3)(2( ??? xx

? 2??x atau 3??x

Karena daerah yang diminta yang lebih kecil nol, maka x yang

memenuhi adalah diantara –3 dan –2. Jadi himpunan penyelesaiannya

adalah { x ? R? -3 < x <-2 }

Contoh 4:

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 01452 ???? xx .

Penyelesaian:

Pembuat nol dari 1452 ??? xx adalah nilai -nilai x sehingga

01452 ???? xx .

01452 ???? xx ? 0)2)(7( ???? xx

? 7??x atau 2?x

Karena daerah yang diminta yang lebih kecil atau sama dengan nol,

maka x yang memenuhi adalah lebih kecil atau sama dengan –7 atau

lebih besar atau sama dengan 2. Jadi himpunan penyelesaiannya

adalah { x ? R? 27 ??? xataux }.

-3 -2

+ + + + + + + + - - - -

-7 2

- - - - - - - - + + + + -

Page 42: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 32

c. Rangkuman 2

? Bentuk umum persamaan kuadrat (dalam x ) adalah

acbxax ;02 ??? ? 0.

? Ada tiga cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yaitu cara

memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna dan menggunakan

rumus.

? Langkah-langkah menyelesaikan persamaan kuadrat

acbxax ;02 ??? ? 0 dengan memfaktorkan:

? Menyatakan cbxax ??2 sebagai hasil kali dua bentuk linier, yaitu

0))((2 ?????? srxqpxcbxax

? Selanjutnya 0)( ?? qpx atau 0)( ?? srx

? Penyelesaiannya adalah pq

x ?? atau ts

x ?? .

? Jika 1?a , maka persamaan kuadrat 02 ??? cbxx diubah menjadi

0))((2 ?????? sxqxcbxx

sehingga penyelesaiannya adalah qx ?? atau sx ??

? Penyelesaian dari persamaan kuadrat acbxax ;02 ??? ? 0 adalah

aacbb

x2

42

2,1

????

untuk 042 ?? acb

arp ?.

csq ?. brqsp ?? ..

bsq ??

csq ?.

Page 43: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 33

d. Tugas 2

Kerjakan soal-soal berikut secara individu, jika ada kesulitan diskusikan

dengan teman anda!

Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini!

1. 022 ??? xx

2. 01522 ??? xx

3. 03592 2 ??? xx

4. mmmxxm ;0)1(2)1( 2 ????? ? -1.

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut!

5. 9124 2 ??? xx

6. 22 253 xxxx ???

e. Tes Formatif 2

Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini dengan cara memfaktorkan!

1. 0302 ??? xx

2. 02832 ??? xx

3. 0352 2 ??? xx

Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini dengan cara melengkapkan

kuadrat sempurna!

4. 1242 ?? xx

5. 08124 2 ??? xx

Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini dengan m enggunakan rumus!

6. 1222 ?? xx

7. 022 2 ??? xx

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut!

8. )2(2)5( 2 ??? xx

9. 3

14

3 22 ???

? xxx

Page 44: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 34

f. Kunci jawaban formatif 2

1. 0302 ??? xx ? 0)5()6( ??? xx

? 56 ??? xataux

2. 02832 ??? xx ? 0)4()7( ??? xx

? 47 ??? xataux

3. 0352 2 ??? xx ? 0)1()32( ??? xx

? 123

???? xataux

4. 1242 ?? xx ? 16442 ??? xx

? 4)2( 2 ??x

? 4)2( ???x

? 40 ??? xataux

5. 08124 2 ??? xx ? 19124 2 ??? xx 2

? 1)32( 2 ??x

? 132 ???x

? 12 ??? xataux

6. )1.(2

)1).(2.(4)22(22 2

2,1

???x

221 ?? xx

7. )2.(2

)2).(2.(4)1(1 2

2,1

?????x

2;221

21 ???? xx

8. )2(2)5( 2 ??? xx ? 012 2 ??? xx

? 0)1()12( ??? xx

1 -

21

+ + + + + + - - -

Page 45: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 35

HP = { Rx ? ? 121

??? xataux }.

9. 3

14

3 22 ???

? xxx ? 44493 22 ???? xxx

? 0542 ??? xx

? 0)1()5( ??? xx

HP = { Rx ? ? 15 ??? x }

1 5?

+ + + + + + - - -

Page 46: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 36

3. Kegiatan Belajar 3

Menyusun Persamaan Kuadrat yang diketahui Akar-akarnya

a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran

Setelah mempelajari kegiatan belajar ini, diharapkan Anda dapat:

? Menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat.

? Menentukan hasil kali akar-akar per samaan kuadrat.

? Menentukan jumlah akar-akar persamaan kuadrat.

? Menyusun persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya.

b. Uraian Materi

Jenis akar persamaan kuadrat

Telah diuraikan bahwa akar -akar dari persamaan kuadrat

acbxax ;02 ??? ? 0 adalah ,21 a

Dbx

???

aDb

x22??

? .

? Jika D>0, maka kedua akar persamaan kuadrat itu adalah bilangan

riel yang berbeda

? Jika D=0, maka kedua akar persamaan kuadrat itu adalah dua

bilangan riel yang sama yaitu ab

2?

.

? Jika D<0, maka persamaan kuadrat itu tidak mempunyai akar

bilangan riel.

Contoh 1:

Persamaan kuadrat 0352 ??? xx mempunyai dua akar riel yang

berbeda karena D= 37)3)(1(4)5( 2 ??? >0.

Page 47: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 37

Contoh 2:

Persamaan kuadrat 0622 ??? xx tidak mempunyai akar riel karena

D= 20)6)(1(4)2( 2 ??? <0.

Contoh 3:

Persamaan kuadrat 0962 ??? xx mempunyai dua akar riel yang sama

karena D= 0)9)(1(4)6( 2 ?? .

Contoh 4:

Tentukan nilai m agar persamaan kuadrat 033222 2 ????? mxmxx

mempunyai dua akar riel yang sama.

Penyelesaian:

033222 2 ????? mxmxx ? 0)33()22(2 2 ????? mxmx

Agar persamaan kuadrat itu mempunyai dua akar yang sama, maka

diskriminannya harus sama dengan nol.

D= )33)(2(4)22( 2 ???? mm =0.

? 02424484 2 ????? mmm

? 020164 2 ??? mm

? 0542 ??? mm

? 0)1()5( ??? mm

? 15 ??? mataum .

Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

Akar -akar dari persamaan kuadrat acbxax ;02 ??? ? 0 adalah

,21 a

Dbx

???

aDb

x22??

? .

Jika kedua akar tersebut dijumlahkan, maka diperoleh 21 xx ? =-ab

,

sedangkan jika kedua akar itu dikalikan maka diperoleh 21.xx =ac

.

Page 48: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 38

Contoh 5:

Jika akar -akar persamaan kuadrat 01272 ??? xx adalah ? dan ? , maka

tentukan:

a) ? +?

b) ? .?

c) 22 ?? ?

Penyelesaian:

a) ? +? = 717

?????ab

b) ? .? = 121

12??

ac

c) ?????? .2)( 222 ????

= 25)12(2)7( 2 ??? .

Contoh 6:

Jika akar -akar persamaan 018366 2 ???x adalah ? dan ? , tentukan:

a) ?11

??

b) ???

Penyelesaian:

a) 236

6186

36

.11

???

??

??

??

???

???

ac

ab

??

?

b) 2222)( ??? ???????

= ?? ???? 222

= ?? ???? 42)(

= )3(4)6( 2 ???

= 48

Jadi, 48???? ? .

Page 49: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 39

Menyusun persamaan kuadrat yang diketahui akar-akarnya

Dari uraian sebelumnya telah kita ketahui bahwa jumlah akar -

akar persamaan kuadrat acbxax ;02 ??? ? 0 adalah 21 xx ? =-ab

,

sedangkan jika kedua akar itu dikalikan maka diperoleh 21.xx =ac

. Dari

dua kesamaan itu diperoleh hubungan )( 21 xxab ??? dan ).( 21 xxac ? .

Jika niali b dan c ini disubstitusikan ke persamaan semua, yaitu

02 ??? cbxax , maka diperoleh 0).()( 21212 ???? xxaxxaax .Jika kedua

ruas dibagi dengan a diperoleh 02 ??? cbxax ?

0).()( 21212 ???? xxxxx . Dengan demikian persamaan kuadrat jika

diketahui akar -akarnya ? dan ? adalah 0).()(2 ???? ???? xx .

Contoh 7:

Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya -231

dan 54

.

Penyelesaian:

-231

+ 54

= 1523

151235

54

37 ?

???

???

(-231

). (54

) = 1528

54

37 ?

???

Jadi persamaan kuadratnya adalah 01528

15232 ??

?? xx atau dapat ditulis

0282315 2 ??? xx .

Contoh 8:

Susunlah persamaan kuadrat yang akar -akarnya 2 lebihnya dari akar -

akar persamaan 0652 ??? xx .

Penyelesaian:

Misalkan akar -akar persamaan 0652 ??? xx adalah ? dan ? dan

misalkan akar -akar persamaan yang diminta adalah ? dan ? . Maka

Page 50: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 40

diperoleh hubungan ? = ? +2 dan ? = ? +2. Persamaan yang diminta

adalah 0).()(2 ???? ???? xx .

? +? =(? +? )+4=5+4=9.

? .? =(? +2)(? +2) = ? .? + 2(? +? ) + 4

= 6+2(5) + 4 = 20.

Jadi, persamaan kuadrat yang diminta adalah 02092 ??? xx .

Contoh 9:

Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya enam kali akar-akar

persamaan 016 2 ??? xx .

Penyelesaian:

Misalkan akar -akar persamaan 016 2 ??? xx adalah ? dan ? dan

misalkan akar-akar persamaan yang diminta adalah ? dan ? . Maka

diperoleh hubungan ? = 2? dan ? = 2? . Persamaan yang diminta

adalah 0).()(2 ???? ???? xx .

? +? = (2? +2? ) = 2(? +? ) = 2( 61?) =

31?

? .? =(2? ) (2? ) = 4 ? .? = 4 (61?) =

32?

Jadi, persamaan kuadrat yang diminta adalah 032

312 ??? xx atau dapat

ditulis 023 2 ??? xx .

c. Rangkuman 3

? Jika diskriminan (D= acb 42 ? ) suatu persamaan kuadrat adalah

positif, maka kedua akar persamaan kuadrat itu adalah bilangan riel

yang berbeda

Page 51: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 41

? Jika diskriminan (D= acb 42 ? ) suatu persamaan kuadrat adalah nol,

maka kedua akar persamaan kuadrat itu adalah dua bilangan riel

yang sama yaitu ab

2?

.

? Jika diskriminan (D= acb 42 ? ) suatu persamaan kuadrat adalah

negatif, maka persamaan kuadrat itu tidak mempunyai akar

bilangan riel.

? Jumlah akar persamaan kuadrat acbxax ;02 ??? ? 0 adalah 21 xx ? =-

ab

, sedangkan hasil kalinya adalah 21.xx =ac

.

? Persamaan kuadrat yang akar -akarnya ? dan ? adalah

0).()(2 ???? ???? xx .

d. Tugas 3

Kerjakan soal-soal berikut secara individu, jika ada kesulitan diskusikan

dengan teman anda!

1. Tentukan nilai m agar persamaan kuadrat

0563)48(4 22 ?????? mmxmx mempunyai dua akar yang sama.

2. Tentukan nilai m agar persamaan kuadrat

01)2()2( 2 ?????? mxmxm mempunyai dua akar yang sama.

3. Jumlah akar-akar persamaan kuadrat 032 2 ??? baxx adalah 5

sedangkan hasil kalinya adalah 6. Tentukan nilai a dan b .

e. Tes Formatif 3

1. Tentukan jumlah dan hasil kali akar -akar dari setiap persamaan

kuadrat berikut ini!

a) 0362 2 ??? xx

b) 0472 2 ??? xx

c) 02 ??? rqxpx

Page 52: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 42

d) 021

31 2 ??? cbxax

2. Jika akar-akar persamaan 9186 2 ?? xx adalah p dan q , tentukan:

a) qp11

?

b) )2()2( ?? qp

c) pq

qp

?

3. Jika akar -akar persamaan 0192 ??? xx adalah u dan t , tentukan:

a) persamaan kuadrat yang akar -akarnya tu

dan ut

b) persamaan kuadrat yang akar -akarnya )32( ?u dan )32( ?t

c) persamaan kuadrat yang akar -akarnya ( 22 ?u ) dan ( 22 ?t )

f. Kunci jawaban formatif 3

Misalkan akar-akar persamaan 1a) – 1d) adalah ? dan ? , maka:

1. a) ? +? = 326

???

; ? .? = 23

b) ? +? = 27

; ? .? = -2

c) ? +? = pq

; ? .? = pr

d) ? +? = b23?

; ? .? = ac3

?

2. 23

.;3 ???? qpqp

a) qp11

? = 236

233

.??

??

??

?qppq

b) )2()2( ?? qp = 21

823

104)3(223

4)(2 ?????????? qppq

Page 53: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 43

c) pq

qp

? = 83

)2.(12

23

39

23

)23

(2)3(

.2)(

.

2222

???

??

??

?

??

???

??

qppqqp

qpqp

3. 1.;9 ???? tutu

Misalkan akar-akar persamaan yang baru adalah ? dan ? .

a) ? +? = 791

)1.(2)9(2)(.

2222

???

???

??

??ut

uttututu

ut

tu

? .? = 1. ?ut

tu

Persamaan kuadrat yang dimaksud adalah 01792 ??? xx

b) ? +? = 6)(2)32()32( ?????? tutu

= 2.(-9)+6 = -12

? .? = 449)9(6)1.(49)(64 ????????? tuut

Persamaan kuadrat yang dimaksud adalah 044122 ??? xx

c) ? +? = 42)(4 222 ?????? uttutu

= 754)1.(2)9( 2 ????

? .? = 4)(2 2222 ??? tutu

= 4]2)([2)( 22 ???? uttuut

= 1534])1.(2)9[(21 22 ??????

Persamaan kuadrat yang dimaksud adalah 0153752 ??? xx

Page 54: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 44

4. Kegiatan Belajar 4

Sistem Persamaan Linier (SPL) Dua Peubah

Tujuan Kegiatan Pembelajaran

Setelah mempelajari kegiatan belajar ini, diharapkan Anda dapat:

? Memahami pengertian persamaan linier dua peubah.

? Menyelesaikan sistem persamaan linier dua peubah dengan cara

grafik.

? Menyelesaikan sistem persamaan linier dua peubah dengan cara

eliminasi.

? Menyelesaikan sistem persamaan linier dua peubah dengan cara

substitusi.

? Menyelesaikan sistem persamaan linier dua peubah dengan

menggunakan determinan.

Uraian Materi

Persamaan linier dua peuba h

Pengertian

Persamaan yang memuat dua peubah, pangkat peubahnya

adalah satu dan tidak ada perkalian atau pembagian antar peubah itu

disebut persamaan linier dua peubah.

Contoh 1:

a) 953 ??? yx adalah persamaan linier dua peubah dalam x dan y .

b) 7337 ???? tts adalah persamaan linier dua peubah dalam s dan t .

c) vuvu 655342

???? adalah persamaan lnier dua peubah dalam u dan

v .

Page 55: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 45

d) 353 ?? xyx , bukan persamaan linier dua peubah, karena ada suku

perkalian antara x dan y .

e) yx

yx 53145 ???? , bukan persamaan linier dua peubah karena ada

suku pembagian antara x dan y .

f) 062 ??? qp bukan persamaan linier dua peubah karena pangkat

dari p adalah 2.

Sistem persamaan linier dua peubah

Pengertian

Dua atau lebih dari persamaan linier dua peubah yang berlaku secara

serentak disebut sistem persamaan linier dua peubah. Untuk menotasikan

persamaan-persamaan itu berlaku secara serentak digunakann notasi “ ? ”.

Berikut ini adalah contoh sistem persamaan linier dua peubah.

Contoh 2:

???

?????

3312

yxyx

Contoh 3:

???

???????

uvuuvu33574

6743

Menyelesaikan Sistem persamaan linier dua peubah

Pengertian

Menyelesaikan sistem persamaan linier dua peubah artinya

adalah mencari nilai pengganti dari setiap peubah sehingga jika

peubah pada setiap persamaan diganti dengan nilai yang dimaksud,

maka persamaan itu berubah menjadi kalimat yang bernilai benar.

Page 56: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 46

Contoh 4:

0?x ; 1?y adalah penyelesaian dari sistem persamaan linier

???

?????

3312

yxyx

, karena jika pada kedua persamaan di atas peubah x

diganti dengan 0 dan y diganti dengan 1, maka diperoleh dua

pernyataan:

a) 11)0(2 ??

b) 3)1(3)0( ??? , dan kedua pernyataan tersebut adalah benar.

Contoh 5:

5?u ; 1??v bukan penyelesaian dari sistem persamaan linier

???

???????

uvuuvu33574

6743, karena jika pada kedua persamaan di atas peubah

u diganti dengan 5 dan v diganti dengan -1, maka diperoleh dua

pernyataan:

a) )5(67)1(4)5(3 ????

b) )5(335)1(7)5(4 ?????

Pernyataan a) bernilai salah, karena ruas kiri sama dengan 19

sedangkan ruas kanan sama dengan 37. Pernyataan b) bernilai benar.

Karena ada pernyataan yang salah, maka 5?u ; 1??v bukan

penyelesaian sistem persamaan linier ???

???????

uvuuvu33574

6743.

Cara Menyelesaikan Sistem persamaan linier dua peubah

Empat cara berikut dapat dilakukan untuk menyelesaikan sistem

persamaan linier dua peubah, yaitu: cara grafik, cara eliminasi,

cara substitusi dan menggunakan determinan. Tiap cara tersebut

diuraikan berikut ini.

1. Cara Grafik

Penyelesaian dari suatu persamaan linier dua peubah dapat

dipandang sebagai pasangan bilangan riel. Pasangan bilangan riel dapat

Page 57: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 47

dipandang sebagai koordinat titik pada bidang datar. Persamaan linier dua

peubah dapat dipandang sebagai persamaan garis lurus. Himpunan

penyelesaian dari persamaan linier tersebut dapat dipandang sebagai

himpunan titik-titik pada bidang datar yang dilalui oleh garis tersebut.

Dengan demikian, penyelesaian dari sistem persamaan linier dua peubah

dapat dipandang sebagai titik-titik yang dilalui oleh kedua garis.

Untuk lebih jelasnya berikut diberikan langkah-langkah untuk

menyelesaikan sistem persamaan linier dua peubah dengan cara grafik.

a) Gambarlah (pada bidang koordinat) grafik garis lurus yang menyatakan

himpunan penyelesaian dari masing-masing persamaan.

b) Tentukan titik potong kedua garis tersebut (jika ada). Koordinat titik

potong itulah merupakan pasangan penyelesaian dari sistem

persamaan yang dimaksud.

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.

Contoh 5:

Tentukan penyelesaian sistem persamaan linier ???

????

000.802000.702

yxyx

dengan

cara grafik.

Penyelesaian:

a) Kita gambarkan grafik masing-masing persamaan dengan bantuan

tabel sebagai berikut.

x + 2y = 70.000 2x + y = 80.000

x 0 70.000 x 0 40.000

y 35.000 0 y 80.000 0

b) Dengan pertolongan titik-titik itu digambar grafik kedua persamaan

tersebut pada bidang koordinat Cartesius sebagai berikut.

Page 58: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 48

80.000- 2x + y = 80.000

70.000-

60.000-

50.000-

40.000-

30.000-

20.000- (30.000, 20.000)

10.000- x + 2y = 70.000

20.000 40.000 60.000 80.000

Pada gambar di atas, kedua garis berpotongan di titik (30.000, 20.000).

Jadi penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah 000.30?x ;

000.20?y .

Contoh 6:

Selesaikan sistem persamaan linier ???

?????

23632

yxyx

dengan cara grafik.

X

Y

Page 59: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 49

Y

X

Penyelesaian: Kedua garis tersebut berpotongan di titik (0,2).

Jadi (0,2) adalah satu-satunya penyelesaian dari sistem persamaan linier

tersebut. Jadi penyelesaiannya adalah 0?x ; 2?y .

Contoh 7:

Selesaikan sistem persamaan linier ???

????

41

yxyx

dengan cara grafik.

Penyelesaian:

2

1

-1

-2

-2 -1 1 2 3

3x - y = -2

2x + 3y = 6

-1 1 2 3 4 5 6

4

3

2

1

-1

-2

x + y = 4

x + y = 1

Y

X

Page 60: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 50

Y

X

Kedua garis tersebut sejajar (tidak ada titik potongnya). Oleh karena itu

tidak ada penyelesaian dari sistem persamaan linier tersebut.

Contoh 8:

Selesaikan sistem persamaan linier ???

????

84242

yxyx

dengan cara grafik.

Penyelesaian:

Grafik kedua garis tersebut berimpit. Oleh karena itu setiap titik pada garis

tersebut memenuhi kedua persamaan.

Jadi ada tak terhingga banyaknya penyelesaian dari sistem persamaan

linier dengan dua peubah tersebut.

Contoh 9:

Tentukan dua buah bilangan yang jumlahnya 6 dan selisihnya 4.

Penyelesaian:

Misalkan x: bilangan pertama

y: bilangan kedua

-1 1 2 3 4 5 6

1

-1

-2

-3

-4

-5

x - 2y = 4

2x - 4y = 8

Page 61: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 51

Y

X

Sistem persamaan linier yang sesuai dengan permasalahan di atas adalah:

???

????

46

yxyx

Grafik masing-masing persamaan tersebut adalah:

2. Cara Eliminasi

Mengeliminasi artinya adalah menghilangkan. Cara eliminasi

dilakukan dengan cara “menghilangkan” salah satu peubah. Dengan

demikian, persamaan yang semula terdiri dari dua peubah akhirnya

Kedua garis berpotongan di titik (5,1). Jadi kedua bilangan itu adalah 5 dan 1.

-1 1 2 3 4 5 6

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

x + y = 6

x - y = 4

(5, 1)

Page 62: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 52

menjadi satu peubah. Selanjutnya dapat ditentukan penyelesaiannya.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.

Contoh 10:

Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan ???

????

83213

yxyx

dengan cara

eliminasi.

Penyelesaian:

Untuk mengeliminir peubah x dapat dilakukan dengan mengalikan kedua

ruas persamaan pertama dengan 2 dan mengalikan kedua ruas persamaan

ke dua dengan 3 kemudian mencari selisihnya.

13 ?? yx ? 2 226 ?? yx

832 ?? yx ? 3 2496 ?? yx

maka 2??y .

Untuk mengeliminir peubah y dapat dilakukan dengan mengalikan kedua

ruas persamaan pertama dengan 3 dan mengalikan kedua ruas persamaan

ke dua dengan 1 (tetap) kemudian menjumlahkannya.

13 ?? yx ? 3 339 ?? yx

832 ?? yx ? 1 832 ?? yx

maka 1?x .

Penyelesaian sistem persamaan di atas adalah 1?x ; 2??y .

Contoh 11:

Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan ???

????

11322565

yxyx

dengan cara

eliminasi.

Penyelesaian:

Untuk mengeliminir peubah x dapat dilakukan dengan mengalikan kedua

ruas persamaan pertama dengan 2 dan mengalikan kedua ruas persamaan

ke dua dengan 5 kemudian mencari selisihnya.

-

2211 ??y

+

1111 ?x

Page 63: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 53

2565 ?? yx ? 2 501210 ?? yx

1132 ?? yx ? 5 551510 ?? yx

maka 35

?y .

Untuk mengeliminir peubah y dapat dilakukan dengan mengalikan kedua

ruas persamaan pertama dengan 1 (tetap) dan mengalikan kedua ruas

persamaan ke dua dengan 2 kemudian mencari selisihnya.

Penyelesaian sistem persamaan di atas adalah 1?x ; 2??y .

2565 ?? yx ? 1 2565 ?? yx

1132 ?? yx ? 2 2264 ?? yx

Penyelesaian sistem persamaan di atas adalah 3?x ; 35

?y .

3. Cara Substitusi

Mensubstitusi artinya adalah menggantikan. Cara substitusi

dilakukan dengan cara mencari nilai salah satu peubah pada suatu

persamaan kemudian menggantikan nilai itu pada persamaan yang lain.

Cara ini lebih efisien jika dilakukan untuk menyelesaikan sistem persamaan

linier yang peubahnya ada yang berkoefisien 1. Untuk lebih jelasnya,

perhatikan contoh berikut ini.

Contoh 11:

Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan ???

????

83213

yxyx

dengan cara

substitusi.

Penyelesaian:

Dari persamaan pertama diperoleh xy 31?? . Kemudian nilai y ini

digantikan pada y pada persamaan ke dua, sehingga diperoleh persamaan

8)31(32 ??? xx .

-

53 ??? y

3?x

-

Page 64: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 54

? 8311 ??x

? 1111 ?x

? 1?x . Nilai 1?x ini kita gantikan pada nilai x pada persamaan xy 31?? ,

sehingga diperoleh )1(31 ??y atau 2??y .

Contoh 12:

Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan ???

?????42123

yxyx

dengan cara

substitusi.

Penyelesaian:

Dari persamaan ke dua diperoleh xy 24 ?? . Kemudian nilai y ini

digantikan pada y pada persamaan pertama, sehingga diperoleh

persamaan 1)24(23 ???? xx .

? 187 ???x

? 77 ?x

? 1?x .

Nilai 1?x ini kita gantikan pada nilai x pada persamaan xy 24 ?? ,

sehingga diperoleh )1(24 ??y atau 2?y .

Catatan:

Sering kali dalam menyelesaikan suatu SPL digunakann cara

eliminasi dan substitusi sekaligus pada suatu soal. Cara yang

demikian dinamakan cara kombinasi eliminasi dan substitusi.

4. Menggunakan determinan

Cara ini didasari oleh konsep matriks, khususnya perkalian matriks

dan invers suatu matriks.

Bentuk umum sistem persamaan linier dua peubah (dalam x dan y )

adalah:

???

????

qdycxpbyax

Page 65: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 55

Sistem persamaan tersebut dapat ditulis dalam perkalian matriks

???

????

?dcba

. ???

????

?yx

= ???

????

?qp

Jika dimisalkan A= ???

????

?dcba

, X= ???

????

?yx

dan B= ???

????

?qp

, maka sistem

persamaan linier ???

????

qdycxpbyax

dapat ditulis dengan A.X = B. Menyelesaikan

sistem persamaan tersebut berarti kita mencari matriks X.

Jika matriks A punya invers ( bcad ? ?0) maka diperoleh BAXAA .).( 11 ?? ?

yang ekuivalen dengan BAX 1?? . Dengan demikian kita peroleh

penyelesaiannya. Untuk lebih memahami, perhatikan contoh berikut.

Perlu diingat kembali bahwa jika A= ???

????

?dcba

, maka ???

????

??

?

???

acbd

bcadA

11

jika bcad ? ?0.

Contoh 13:

Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan ???

????

83213

yxyx

dengan cara

menggunakan determinan.

Penyelesaian:

???

????

??

?32

13A , X= ??

?

????

?yx

, ???

????

??

81

B .

???

????

??

??????

?

????

??

??

????

3213

111

3213

2911A

Sehingga ???

????

??

????

????

??????

?

????

????

????

??

????

21

2211

111

81

3213

111

X

Dengan demikian penyelesaiannya adalah 2;1 ??? yx .

Contoh 14:

Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan ???

??????ys

ts42

0123 dengan cara

menggunakan determinan.

Page 66: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 56

Penyelesaian:

SPL ???

??????ys

ts42

0123 dapat ditulis dengan

???

?????42123

tsts

.

???

????

? ??

1223

A , X= ???

????

?ts

, ???

????

???

41

B .

???

????

??

????

????

???

??

3221

71

3221

4311A

Sehingga ???

????

????

?

????

????

?

????

?????

????

??

?21

147

71

41

3221

71

X

Dengan demikian penyelesaiannya adalah 2;1 ?? yx .

Rangkuman 4

? Persamaan yang memuat dua peubah, pangkat peubahnya adalah

satu dan tidak ada perkalian atau pembagian antar peubah itu

disebut persamaan linier dua peubah.

? Dua atau lebih dari persamaan linier dua peubah yang berlaku secara

serentak disebut sistem persamaan linier dua peubah. Untuk

menotasikan persamaan-persamaan itu berlaku secara serentak

digunakan notasi “ ? ”.

? Menyelesaikan sistem persamaan linier dua peubah dapat dilakukan

dengan cara grafik, eliminasi, substitusi, menggunakan determinan.

? Cara grafik dilakukan dengan menentukan titik-titik yang dilaui oleh

kedua garis.

? Cara eliminasi dilakukan dengan “menghilangkan” salah satu peubah.

Dengan demikian, persamaan yang semula terdiri dari dua peubah

akhirnya menjadi satu peubah.

Page 67: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 57

? Cara substitusi dilakukan dengan cara mencari nilai salah satu

peubah pada suatu persamaan kemudian menggantikan nilai itu pada

persamaan yang lain.

? Cara menggunakan determinan:

SPL ???

????

qdycxpbyax

dapat ditulis ???

????

?dcba

. ???

????

?yx

= ???

????

?qp

.

Jika dimisalkan A= ???

????

?dcba

, X= ???

????

?yx

dan B= ???

????

?qp

, maka sistem

persamaan linier ???

????

qdycxpbyax

dapat ditulis dengan A.X = B.

Jika matriks A punya invers ( bcad ? ? 0) maka diperoleh

BAXAA .).( 11 ?? ? yang ekuivalen dengan BAX 1?? .

? Cara menggunakan determinan hanya dapat digunakann jika

determinan matriks A tidak nol.

Tugas 4

Kerjakan soal-soal berikut secara individu, jika ada kesulitan diskusikan

dengan teman anda!

Selesaikan SPL berikut dengan cara yang menurut anda efisien.

1. ???

????

3321343

baba

2. ???

??????

074100525

nmnm

3. ??

??

?

??

??

??

??

12

13

12

25

323

2

bx

bx

Page 68: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 58

Tes Formatif 4

Periksa apakah pasangan bilangan berikut merupakan penyelesaian dari

sistem persamaan yang diberikan atau tidak! Kemukakan argumentasi

anda!

1. (3, -1); ???

????

03823

yxyx

2. (2, 1); ???

????

5202

yxyx

3. (2, -3); ???

?????????

353944372

baababa

Selesaikan SPL berikut dengan cara grafik (gunakan kertas berpetak!).

4. ???

??????

731

yxxy

5. ???

?????733

xyyx

Selesaikan SPL berikut dengan cara eliminasi dan substitusi

6. ???

????

2342

yxyx

7. ???

?????

yxyx

312322

8. ???

????????

465424

yxyx

Selesaikan SPL berikut dengan cara menggunakan determinan.

9. ???

?????

020232442

yxyx

10. ???

?????

0523154

baba

Page 69: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 59

Selesaikan SPL berikut.

11.

???

???

?

??

??

713

1232

yx

yx

12. ??

??

?

??

??

2327

2856

ba

ba

Kunci jawaban formatif 4

1. Tidak

2. Ya

3. Tidak

6. 0;2 ?? yx

7. 2;2 ?? yx

8. 104 ???? yx

9. ???

????

????

?

????

??

??

?

????

????

?20

202342

2342

1yx

= ???

????

?????

?

????

??

?72

11232

161

.

10. ???

????

????

?

????

??

??

?

????

????

?5

14352

2354

1yx

= ???

????

?????

?

????

??

?11

2323

231

Page 70: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 60

11. Misalkan qy

px

??1

;1

, maka diperoleh SPL ???

????

731232

qpqp

Penyelesaiannya adalah 2;3 ?? qp . Sehingga diperoleh

penyelesaian yang diminta adalah 21

;31

?? yx

12. Misalkan qb

pa

??1

;1

, maka diperoleh SPL ???

????

2372856

qpqp

Penyelesaiannya adalah 2;3 ??? qp . Sehingga diperoleh

penyelesaian yang diminta adalah 21

;31

??? yx

Page 71: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 61

5. Kegiatan Belajar 5

Sistem Persamaan Linier

a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran

Setelah mempelajari kegiatan belajar ini, diharapkan Anda dapat:

? Memahami pengertian persamaan linier tiga peubah.

? Menyelesaikan sistem persamaan linier tiga peubah dengan cara

eliminasi.

? Menyelesaikan sistem persamaan linier tiga peubah dengan cara

substitusi.

? Menyelesaikan sistem persamaan linier tiga peubah dengan

menggunakan determinan.

? Menyelesaikan sistem persamaan dua peubah, satu linier dan satu

kuadrat.

b. Uraian Materi

Persamaan linier tiga peubah

Pengertian

Persamaan yang memuat tiga peubah, pangkat peubahnya

adalah satu dan tidak ada perkalian atau pembagian antar peubah itu

disebut persamaan linier tiga peubah.

Contoh 1:

a) 0772 ???? zyx adalah persamaan linier tiga peubah dalam x , y

dan z .

b) 7337 ????? tuts adalah persamaan linier tiga peubah dalam s ,

t dan u .

c) 3655343

????? vuwvu adalah persamaan lnier tiga peubah dalam

u , v dan w .

Page 72: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 62

d) zxyx 435 ???? , bukan persamaan linier tiga peubah, karena ada

suku perkalian antara x dan y .

e) yx

zzyx 531745 ????? , bukan persamaan linier tiga peubah karena

ada suku pembagian antara x dan y .

f) qrqp 2632 ???? bukan persamaan linier tiga peubah karena

pangkat dari p adalah 2.

Sistem persamaan linier tiga peubah

Pengertian

Dua atau lebih dari persamaan linier tiga peubah yang berlaku secara

serentak disebut sistem persamaan linier tiga peubah. Untuk menotasikan

persamaan-persamaan itu berlaku secara serentak digunakan notasi “ ? ”.

Berikut ini adalah contoh sistem persamaan linier tiga peubah.

Contoh 2:

??

??

?

??????

???

9523

232

zyxzyx

zyx

Contoh 3:

??

??

?

???????

???

72332

22

wvuwvu

wvu

Menyelesaikan Sistem persamaan linier tiga peubah

Pengertian

Menyelesaikan sistem persamaan linier tiga peubah artinya

adalah mencari nilai pengganti dari setiap peubah sehingga jika

peubah pada setiap persamaan diganti dengan nilai yang dimaksud,

maka persamaan itu berubah menjadi kalimat yang bernilai benar.

Page 73: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 63

Contoh 4:

0?x ; 1?y ; 2??z adalah penyelesaian dari sistem persamaan linier

??

??

?

????????

???

173

7232

zyxzyx

zyx

, karena jika pada ketiga persamaan di atas peubah x

diganti dengan 0, y diganti dengan 1 dan z diganti –2, maka

diperoleh tiga pernyataan:

a) 7)2(2)1(3)0(2 ????

b) 7)2(310 ?????

c) 1)2(10 ????? , dan ketiga pernyataan tersebut adalah benar.

Contoh 5:

1?u ; 1??v ; 0?w bukan penyelesaian dari sistem persamaan linier

??

??

?

?????????

???

1243

232

wvuwvu

wvu

, karena jika pada kedua persamaan di atas peubah u

diganti dengan 5, v diganti dengan –1 dan w diganti dengan 0, maka

diperoleh tiga pernyataan:

a) 20)1(3)1(2 ????

b) 40)1()1(3 ??????

c) 1)0(2)1(1 ?????

Pernyataan a) dan c) bernilai salah. Pernyataan b) bernilai benar.

Karena ada pernyataan yang salah, maka 5?u ; 1??v ; 0?w bukan

penyelesaian sistem persamaan linier ??

??

?

?????????

???

1243

232

wvuwvu

wvu

.

Page 74: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 64

Cara Menyelesaikan Sistem persamaan linier tiga peubah

Tiga cara berikut dapat dilakukan untuk menyelesaikan sistem

persamaan linier tiga peubah, yaitu: cara eliminasi, cara substitusi

dan menggunakan determinan. Tiap cara tersebut diuraikan berikut

ini.

1. Cara Eliminasi

Cara eliminasi untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dua

peubah dapat dikembangkan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier

tiga peubah. Langkah-langkahnya juga sama seperti dalam menyelesaikan

sistem persamaan linier tiga peubah. Untuk lebih jelasnya, perhatikan

contoh berikut ini.

Contoh 6:

Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan ??

??

?

????????

???

173

7232

zyxzyx

zyx

dengan

cara eliminasi.

Penyelesaian:

Untuk mengeliminir peubah x dapat dilakukan dengan menjumlahkan

persamaan kedua dengan ketiga, sehingga diperoleh persamaan

622 ???? zy

Sedangkan jika persamaan pertama dikurangi dua kali persamaan ke dua,

diperoleh:

7232 ??? zyx

14622 ???? zyx

2185 ?? zy

Kita peroleh dua persamaan linier dua peubah 622 ???? zy dan

2185 ?? zy . Dengan menyelesaikan sistem persamaan linier dua peubah

tersebut, diperoleh 21 ??? zdany . Dengan mensubstitusikan nilai-nilai

itu pada salah satu persamaan semula, diperoleh nilai 0?x .

-

Page 75: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 65

Contoh 7:

Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan ??

??

?

?????

???

)3.......(..........266)2.........(0245

)1.......(12623

zxzyx

zyx

dengan cara eliminasi.

Penyelesaian:

(3) ? 2 52212 ?? zx

(2) 551510 ?? yx

(1) 12623 ??? zyx

(3) ? 6 156636 ?? zx

(4) 5247 ?? yx

(5) ? 2 336478 ?? yx

471

284?

??

?x

Substitusikan 4?x ke persamaan (4) diperoleh:

524)4.(7 ?? y

? 244 ?y

? 6?y

Substitusikan 4?x ke persamaan (3) diperoleh:

26)4.(6 ?? z

? 2624 ?? z

? 2?z

Jadi penyelesaiannya adalah 2;6;4 ??? zyx .

Himpunan penyelesaiannya adalah {(4, 6, 2)}.

-

)4.(..........5247 ?? yx

+

)5.(..........168239 ?? yx

-

28471 ??? x

Page 76: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 66

2. Cara Substitusi

Cara substitusi yang dilakukan untuk menyelesaikan sistem

persamaan linier dua peubah juga dapat dilakukan untuk menyelesaikan

sistem persamaan linier tiga peubah. Berikut diberikan contoh

menyelesaikan sistem persamaan linier tiga peubah.

Contoh 8:

Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan ??

??

?

?????

???

)3.......(..........266)2.........(0245

)1.......(12623

zxzyx

zyx

dengan cara substitusi.

Penyelesaian:

Dari persamaan (3) diperoleh:

)4..(..........626 xz ??

Substitusikan (4) ke persamaan (1), diperoleh:

12)626(623 ???? xyx

? 168239 ?? yx

? )5.....(..........391682 xy ??

Substitusikan (4) ke (2), diperoleh:

0)626(245 ???? xyx

? 0125245 ???? xyx

? )6..(..........5247 ???? yx

Substitusikan (5) ke (6), diperoleh:

52)39168.(27 ????? xx

? 52783367 ????? xx

? 28471 ?x

0)626(245 ???? xyx

? 0125245 ???? xyx

? )7(..............................4?x

Substitusikan (7) ke (5), diperoleh:

)4.(391682 ??y

Page 77: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 67

? 122 ?y

? )8.........(....................6?y

Substitusikan (7) ke (4), diperoleh:

)4.(626 ??z

? 2?z

Penyelesaiannya adalah 2;6;4 ??? zyx

Himpunan penyelesaiannya adalah {(4, 6, 2)}.

3. Menggunakan determinan

Bentuk umum sistem persamaan linier tiga peubah (tiga persamaan)

adalah:

??

??

?

??????

???

rizhygxqfzeydx

pczbyax

.

Sistem persamaan linier di atas dapat dinyatakan sebagai

???

?

?

???

?

?

ihgfed

cba

.???

?

?

???

?

?

zy

x

=???

?

?

???

?

?

rq

p

. Jika ???

?

?

???

?

??

ihgfed

cba

A , ???

?

?

???

?

??

zy

x

X dan ???

?

?

???

?

??

rq

p

B ,

maka sistem persamaan linier di atas dapat ditulis A.X=B.

Menyelesaikan sistem persamaan tersebut berarti kita mencari matriks X.

Jika matriks A punya invers (det(A)?0) maka diperoleh BAXAA .).( 11 ?? ?

yang ekuivalen dengan BAX 1?? . Dengan demikian kita peroleh

penyelesaiannya. Untuk lebih memahami, perhatikan contoh berikut.

Perlu diingat kembali:

? Jika ???

?

?

???

?

??

ihgfed

cba

A , maka ???

?

?

???

?

???

rq

p

AAdjA

A ...)det(

11 .

? Det(A) = hged

cigfd

bihfe

a ?? = gecdciahfdhcgbfaei ?????

Page 78: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 68

? fhieihfe

.. ?? .

? Adj.A=

edba

hgba

hged

fdca

igca

igfd

fecb

ihcb

ihfe

?

??

?

Contoh 9:

Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan ??

??

?

?????

???

2660245

12623

zxzyx

zyx

dengan

menggunakan determinan.

Penyelesaian:

??

??

?

?????

???

2660245

12623

zxzyx

zyx

? ???

?

?

???

?

??

?

106245

623

. ???

?

?

???

?

?

zy

x

= ???

?

?

???

?

?

260

12

.

Jika ???

?

?

???

?

??

?

?106245

623

A , X=???

?

?

???

?

?

zy

x

, B=???

?

?

???

?

?

260

12

, maka:

det (A) = 3.(-4).1 + 2.(2).6 + (-6).5.(0) - 6.(-4).-6 - 0.(2).3 – 1.(5).2 = -

142,

Adj.A =

4523

0623

0645

2563

1663

1625

2462

1062

1024

??

?

??

??

???

??

= ???

?

?

???

?

?

??

???

22122436397

2024

???

?

?

???

?

?

zy

x

= 142

1?

???

?

?

???

?

?

??

???

22122436397

2024

???

?

?

???

?

?

60

12

= 142

1?

???

?

?

???

?

?

??

?

284852

586

.

Page 79: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 69

Penyelesaiannya adalah 2;6;4 ??? zyx

Himpunan penyelesaiannya adalah {(4, 6, 2)}.

Sistem persamaan dua peubah, satu linier dan satu kuadrat

Anda telah mempelajari cara menyelesaikan persamaan kuadrat.

Cara itu dapat digunakann untuk menyelesaikan sistem persamaan dua

peubah, satu linier dan satu kuadrat dengan terlebih dahulu melakukan

substitusi salah satu peubahnya. Untuk lebih jelasnya perhatikan

beberapa contoh berikut.

Contoh 10:

Selesaikan sistem persamaan ? ?? ??

??

?????

2..............................11...................562

yxxxy

Penyelesaian:

Cara 1

Dengan mensubstitusikan persamaan (2) ke persamaan (1) diperoleh

persamaan 5)1(6)1( 2 ????? yyy . Persamaan itu ekuivalen dengan

persamaan

566122 ?????? yyyy

? 052 ?? yy

? 0)5( ??yy

? 50 ?? yatauy

Nilai 0?y jika disubstitusikan ke persamaan (2) diperoleh 1?x , dan jika nilai

5?y disubstitusikan ke persamaan (2) diperoleh .6?x

Jadi himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah {(1, 0), (6,

5)}.

Cara 2

Dari persamaan (2) diperoleh )3......(........................................1?? xy

Dengan mensubstitusikan persamaan (3) ke persamaan (1) diperoleh

persamaan 561 2 ???? xxx . Persamaan itu ukuivalen dengan persamaan

0672 ??? xx

Page 80: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 70

? 0)1()6( ??? xx

? 16 ?? xataux

Nilai 6?x jika disubstitusikan ke persamaan (2) atau persamaan (3)

diperoleh 5?y , dan jika nilai 1?x disubstitusikan ke persamaan (2) atau

persamaan (3) diperoleh .0?y

Jadi himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah {(1, 0), (6,

5)}.

Contoh 11:

Selesaikan sistem persamaan ? ?? ??

??

????

2..............................101..................................0

22 yxyx

Penyelesaian:

Dari persamaan (1) diperoleh )3......(........................................xy ?

Dengan mensubstitusikan persamaan (3) ke persamaan (2) diperoleh

persamaan 1022 ?? xx . Persamaan itu ekuivalen dengan persamaan

102 2 ?x

? 52 ?x

? 55 ??? xataux

Dari persamaan (3) untuk 5?x diperoleh nilai 5?y dan untuk 5??x

diperoleh nilai 5??y .

Jadi himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah

{( )5,5(),5,5( ?? }.

c. Rangkuman 5

? Persamaan yang memuat tiga peubah, pangkat peubahnya adalah

satu dan tidak ada perkalian atau pembagian antar peubah itu

disebut persamaan linier tiga peubah.

? Dua atau lebih dari persamaan linier tiga peubah yang berlaku secara

serentak disebut sistem persamaan linier tiga peubah. Untuk

Page 81: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 71

menotasikan persamaan-persamaan itu berlaku secara serentak

digunakan notasi “ ? ”.

? Menyelesaikan sistem persamaan linier tiga peubah artinya adalah

mencari nilai pengganti dari setiap peubah sehingga jika peubah

pada setiap persamaan diganti dengan nilai yang dimaksud, maka

persamaan itu berubah menjadi kalimat yang bernilai benar.

? Menyelesaikan sistem persamaan linier tiga peubah dapat dilakukan

dengan cara eliminasi, substitusi dan menggunakan determinan.

? Jika ???

?

?

???

?

??

ihgfed

cba

A , maka ???

?

?

???

?

???

rq

p

AAdjA

A ...)det(

11 .

? Det(A) = hged

cigfd

bihfe

a ?? = gecdciahfdhcgbfaei ?????

? fhieihfe

.. ?? .

? Adj.A=

edba

hgba

hged

fdca

igca

igfd

fecb

ihcb

ihfe

?

??

?

? Cara menyelesaikan sistem persamaan linier dengan tiga peubah:

Bentuk umum sistem persamaan linier tiga peubah (tiga persamaan) adalah

??

??

?

??????

???

rizhygxqfzeydx

pczbyax

.

Page 82: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 72

Sistem persamaan linier di atas dapat dinyatakan sebagai ???

?

?

???

?

?

ihgfed

cba

.???

?

?

???

?

?

zy

x

= ???

?

?

???

?

?

rq

p

. Jika ???

?

?

???

?

??

ihgfed

cba

A , ???

?

?

???

?

??

zy

x

X dan ???

?

?

???

?

??

rq

p

B , maka sistem

persamaan linier di atas dapat ditulis A.X=B.

Penyelesaian SPL diatas adalah BAX 1?? (jika matriks A punya invers atau

det(A)?0).

d. Tugas 5

Kerjakan soal-soal berikut secara individu, jika ada kesulitan diskusikan

dengan teman anda!

1. Selesaikan SPL berikut dengan cara eliminasi, substitusi dan

menggunakan determinan. Setelah itu, kemukakan pendapat anda

cara manakah yang lebih efisien.

??

??

?

??????

????

63282

532

zyxzyx

zyx

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari ???

????

0224.

yxyx

e. Tes Formatif 5

1. Selesaikan dengan cara eliminasi sistem persamaan

??

??

?

??????

????

102423233

62

zyxzyx

zyx

Page 83: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 73

2. Selesaikan dengan cara substitusi sistem persamaan ??

??

?

??????

????

02102

423

zyxzyx

zyx

3. Selesaikan dengan menggunakan determinan sistem persamaan

??

??

?

???????

???

1332

14342

yxzyx

zyx

4. Selesaikan sistem persamaan

???

?

???

?

?

??

???

???

5

222

14

cba

cbacba

5. Tentukan himpunan penyelesaian dari ???

???????

100606422

yxyxyx

f. Kunci jawaban formatif 5

1. 1;4;3 ??? zyx

2. 5;1;3 ???? zyx

3. 2;1;2 ????? zyx

4. 1;310;3

5 ?????? cba

5. HP = { (-10, -20), (0, -10) }

Page 84: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 74

BAB III. EVALUASI

A. Soal Tes Evaluasi

1. Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini!

a. 02542 2 ??? xx

b. mmmxxm );1(2)1( 2 ????? ? -1.

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 22 253 xxxx ???

3. Tentukan nilai m agar persamaan kuadrat

01)2()2( 2 ?????? mxmxm mempunyai dua akar yang sama.

4. Jumlah akar-akar persamaan kuadrat 01222 2 ??? baxx adalah -5

sedangkan hasilkalinya adalah -24. Tentukan nilai 22 ba ? .

5. Selesaikan sistem persamaan??

??

?

??

??

???

?

12

13

125

322

32

bx

bx

6. Selesaikan sistem persamaan ??

??

?

????????

????

102423233

12242

zyxzyx

zyx

7. Selesaikan sistem persamaan ???

??????

121122

yxyxyx

Page 85: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 75

B. Kunci Jawaban Tes Evaluasi

1. a) x 1= 5 + 6

x 2 = 5 - 6

b) x 1 = 1

1?

?m

m

x 2 = -1

2. x<0 atau x>38

3. m1= 6

1348 ?

m2= 6

1348 ?

4. 9

5. x=2; b=-31

6. x=3; y=4; z=1

7. x=-2atau x= 5

Page 86: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 76

BAB IV. PENUTUP

Setelah menyelesaikan modul ini, Anda berhak untuk mengikuti tes

praktek untuk menguji kompetensi yang telah Anda pelajari. Apabila Anda

dinyatakan memenuhi syarat kelulusan dari hasil evaluasi dalam modul ini,

maka Anda berhak untuk melanjutkan ke topik/modul berikutnya.

Mintalah pada guru untuk uji kompetensi dengan sistem penilaian yang

dilakukan langsung oleh pihak industri atau asosiasi yang berkompeten

apabila Anda telah menyelesaikan seluruh evaluasi dari setiap modul, maka

hasil yang berupa nilai dari guru atau berupa portofolio dapat dijadikan bahan

verifikasi oleh pihak industri atau asosiasi profesi. Kemudian selanjutnya hasil

tersebut dapat dijadikan sebagai penentu standar pemenuhan kompetensi

dan bila memenuhi syarat Anda berhak mendapatkan sertifikat kompetensi

yang dikeluarkan oleh dunia industri atau asosiasi profesi.

Page 87: MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan - Informasi Terdepan ... · 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan ... sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya ... Menambah

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan 77

DAFTAR PUSTAKA

Anton Howard, Elementary Linier Algebra, Fifth Edition (Terjemahan),

Erlangga, Jakarta, 1987 Sukahar, Aljabar, University Press IKIP Surabaya, Surabaya, 1994


Recommended