Equao do Primeiro Grau - Parte I

Introduo s Igualdades

Sentenas Matemticas Falsas ou Verdadeiras

Princpios da Igualdade

Exerccios Propostos

Respostas dos Exerccios

Equao do Primeiro Grau - Parte II

Equaes e Identidades

Respostas dos Exerccios - Equao do Primeiro Grau

Equao do Primeiro Grau - Parte III

Equaes Fracionrias do 1 Grau

Uma equao do primeiro grau fracionria quando apresentar varivel ( incgnita ) em um ou mais termos do denominador.

Exemplo 1 : A equao presente nos denominadores x e 3x.

uma equao fracionria do primeiro grau, j que a varivel x est

Exemplo 2 : A equao est presente nos denominadores 2x + 1 e 4x +1.

uma equao fracionria do primeiro grau, j que a varivel x

Limitaes no Universo das Equaes Fracionrias do 1 Grau

Sabemos que um denominador nunca pode ser zero. Com isso, os valores que anulam o denominador precisam ser retirados do Conjunto Universo dessa equao. Para resolvermos a equao de nosso exemplo 1, no Universo dos Reais, precisamos retirar o nmero real zero que anula ambos os denominadores x e 3x. Se o valor x = 0 for raiz da equao ele no dever ser considerado e a equao ser impossvel, j que ela no ter soluo.

Para resolvermos a equao de nosso exemplo 2, no Universo dos Racionais, precisamos retirar os nmeros racionais - 1/2 e - 1/4 que anulam os denominadores 2x + 1 e 4x + 1. Se um desses valores for a raiz, ele no ser considerado e a equao ser impossvel, j que ela no ter soluo.

Resoluo de uma Equao Fracionria do 1 Grau

Vamos resolver a equao Igualando os denominadores, teremos : O M.M.C. entre x - 1 e x + 1 ser : x2 - 1, ento :

Como os valores - 1 e + 1 que anulam os denominadores no so raizes da equao, a raiz x = 7 a soluo da equao, ou o conjunto soluo da equao.

Vamos resolver a equao Pelo apresentado, j percebemos que os valores x = - 3 e x = 3 no servem como soluo da equao, pois anulam cada um deles, um dos denominadores. Igualando os denominadores, teremos : O M.M.C. entre x - 3 e x + 3 ser : x - 9, ento :2

Como o valor x = 3 anula o denominador x - 3 , ele no serve como soluo, e com isso, a equao ser impossvel.

Equaes Literais do 1 Grau

Uma equao do primeiro grau literria quando apresentar letra diferente da incgnita em um ou mais de seus termos. As letras diferentes da varivel x podem ser chamadas de parmetros. Exemplo 3 : A equao esto presentes os parmetros a e b. uma equao literria do primeiro grau, j que alm da varivel x

Exemplo 4 :A equao presente o parmetro m.

uma equao literria do primeiro grau, , j que alm da varivel x est

Resoluo de uma Equao Literal do 1 Grau

A resoluo de uma equao literal acontece da mesma maneira que as demais equaes. Os parmetros so tratados como nmeros. Vamos resolver a equao

Como o denominador literal, e um denominador no pode ser nulo, precisamos limitar o valor do parmetro b, por isso, b precisa ser diferente de zero

Vamos resolver a equao

Discusso das Razes de uma Equao do 1 Grau

Forma Geral de uma Equao do 1 Grau

Toda equao do 1 grau a uma incgnita, aps efetuarmos todas as operaes possveis, se reduz igualdade : ax = b. Essa a forma geral de uma equao do 1 grau. Para discutirmos uma equao do 1 grau precisamos analis-la na sua forma geral ax = b 1 Caso: Se a e b so diferentes de zero a equao ser possvel e determinada.

Ao resolvermos a equao 9x - 8 = 28, chegaremos raiz x = 4, que nica. Nesse caso diremos que a equao possvel e determinada. 2 Caso: Se a e b so iguais a zero a equao ser possvel e indeterminada.

Ao resolvermos a equao 5x - 10 = 5( x - 2 ) 5x - 10 = 5x - 10 5x - 5x = 10 - 10 0x = 0 Nesse caso chegaremos, na verdade, a uma infinidade de razes, pois qualquer nmero multiplicado por zero d zero. Nesse caso diremos que a equao indeterminada.

E podemos afirmar que a igualdade uma identidade e a representamos dessa forma: ( Sinal de Identidade ) 3 Caso: Se a igual a zero e b diferente de zero a equao ser impossvel. Ao resolvermos a equao 4x - 8 = 4( x + 4 ) 4x - 8 = 4x + 16 4x - 4x = 16 + 8 0x = 24. No chegaremos a nenhuma raiz, j que no existe nmero que multiplicado por zero d 24. Nesse caso diremos que a equao impossvel ou O conjunto verdade vazio. Vamos resolver alguns exerccios de discusso das razes de uma Equao do 1 Grau

Exemplo 1 : Discutir as razes da equao : Reduzindo-a sua forma geral, teremos :

I - Se II - Se III - Se

a equao ser possvel e determinada. a equao ser impossvel. a equao ser possvel e indeterminada.

Exemplo 2 : Para que valores de m e p, a equao : Reduzindo-a sua forma geral, teremos :

ser indeterminada ?

A equao ser indeterminada se :

Resoluo de alguns Problemas do 1 Grau

Para resolvermos um problema do 1 grau precisamos transformar da linguagem escrita para a linguagem matemtica. Faamos alguns problemas : Exemplo 1 - Determine o nmero que adicionado a quatro d 19. Chamando esse nmero de x , teremos : x + 4 = 19 O nmero que adicionado a quatro d 19 quinze. Exemplo 2 - Determine o nmero cujo triplo quando diminudo de 6 d 18. x = 19 - 4 x = 15

Chamando esse nmero de x , teremos : Seu triplo ser : 3x, e com isso : 3x - 6 = 18 x=8 O nmero cujo triplo quando diminudo de 6 d 18 8

3x = 18 + 6

3x = 24

Exemplo 3 - A soma de dois nmeros 57. Determine cada um deles sabendo que um 11 unidades maior que o outro. Se chamarmos esse nmero de m , teremos : O menor dos nmeros ser m, e o maior ser m + 11 Assim : m + ( m + 11) = 57 2m = 57 - 11 2m = 46 m = 23 e verificando:

O menor dos nmeros ser m = 23 e o maior ser 23 + 11 = 34 e realmente 23 + 34 = 57 Exemplo 4 - Determine o nmero que diminudo da metade se seu antecedente igual a 3. Se chamarmos esse nmero de p , teremos que seu antecedente ser representado por p - 1 e passando para a linguagem matemtica, teremos :

O nmero ser : p = 5 , seu antecedente ser p - 1 = 5 - 1 = 4, cuja metade 2 e a diferena entre eles ser 5 2=3

Exerccios Propostos - Equao do Primeiro Grau - Parte III

Resolver as Questes de Concursos - Equao do Primeiro Grau - Parte III