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512.8F543ns2 Grupo Fnix
Matemtica 10; Un Enfoque con base en laResolucin de Problemas-4. Ed.- San Jos, C.R.: Grupo Fnix., 2013. 150p.
ISBN: 9768-14-754-01. Matemticas Estudio y Enseanza.2. Matemticas Problemas, ejercicios, etc.
Copyright 2013
Grupo FnixProhibida la reproduccin total o parcial de esta obra,
por cualquier medio, sin autorizacin escrita del Grupo Fnix.
Pedidos al 2494-8133; 8301-8947 8855-1678
Correo electrnico: [email protected]
Diseo y armado
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INTRODUCCINPrimero, es conveniente hacer una breve aclaracin sobre nuestro nombre y smbolo (Ave Fnix Tribal),
se tiene como referente histrico-ideolgico el mito del Ave Fnix que aliment varias doctrinas y concepcionesreligiosas de supervivencia en el Plus Ultra, pues el Fnix muere para renacer con toda su gloria. Se trataba deun ave fabulosa que se consuma por accin del fuego cada 500 aos, para luego resurgir de sus cenizas. Esdecir, el GRUPO FNIX representa un nuevo comienzo, un resurgimiento, levantarse de las cenizas, espor esta razn que es nuestro emblema.
Segundo, el presente texto pretende ser un material de apoyo en el proceso de enseanza yaprendizaje de la matemtica, exponiendo de forma pragmtica y didctica todos los Conocimientos,Habilidades Especficas e Indicaciones Puntuales expuesta y vigentes en el Programa de Estudio enMatemticas (Transicin 2013), con base en los Programas de Estudio en Matemtica aprobados por elConsejo Superior de Educacin el 21 de mayo de 2012, considerando como referente metodolgico el enfoquecon base en la resolucin de problemas, propuesto en los Nuevos Programas de Estudio.
Despus de muchos aos de trabajo, un grupo de profesionales en la Enseanza de la Matemtica nospropusimos elaborar una propuesta pragmtica y didctica basada en la resolucin de problemas que propicieel desarrollo de competencias matemticas en el estudiante, y hemos querido tomar siempre en cuenta a losdocentes en servicio, es as que, agradecemos en las siguientes pginas las sugerencias, los aportes, loscomentarios y hasta las inquietudes presentadas por los profesores de matemtica de todo el pas, quienes deuna u otra forma han permitido que tengamos un mejor libro de texto cada ao.
Un problema que consideramos sustantivo, consiste en que algunos docentes guiados por otros textos,desconocen de forma fidedigna el Programa de Estudio con todos sus elementos que lo conforman, llmeseestos, Conocimientos, Habilidades Especficas e Indicaciones Puntuales, provocando que se trabaje en el aulacontenidos que no estn en las directrices curriculares del MEP, o en su defecto, alcanzando niveles deprofundizacin de temas que no se consideran importantes para las habilidades generales previstas para eleducando en cada ao de su respectivo ciclo. Es por este motivo, que hemos insertado textualmente dichoselementos (en algunos casos planteamos inclusive los mismos problemas que citan en las IndicacionesPuntuales, nunca con el afn de atribuirnos tales derechos de autor, por el contrario, respetamos y citamos quetales problemas pertenecen a los Programas de Estudio en Matemticas del Ministerio de Educacin de CostaRica), de modo que sean el verdadero referente para las actividades de mediacin que el docente proponga.
Tercero, esta nueva edicin 2013 contempla una situacin problema al inicio de cada tema, permitiendoal docente y al estudiante incursionar en la nueva temtica partiendo de un reto de la vida cotidiana, intentandoaprehender del estudiante los conocimientos previos y fomentar para la vida el principio filosfico queconsideramos eje transversal de la educacin en general los problemas son para resolverlos
Sin embargo, teniendo en cuenta la diversidad de capacidades que presentan los estudiantes en lasaulas, el deseo de los docentes por preparar a sus estudiantes con bases slidas en los principales contenidosde esta disciplina, hemos mejorado esta versin 2013 con una sugerencia de trabajo extraclase y ejercicios deprofundizacin para cada trabajo cotidiano propuesto.
El material est constituido por niveles de conocimiento, en el cual la teora, los ejemplos y los trabajoscotidianos mantienen una dificultad partiendo de lo ms elemental a lo ms complejo, adems toda la obra sedesarrolla en fichas didcticas para una mejor comprensin de los educandos.
Cuarto y ltimo, en una investigacin previa realizada por el Grupo Fnix con un grupo focal dedocentes de una Regin Educativa, nos dicta que en la mayora de los casos los estudiantes buscan primero lasrespuestas antes de resolver los ejercicios y problemas, incluso, algunos cuestionan y dudan de la capacidaddel docente cuando las respuestas de este ltimo no coinciden con las ofrecidas por el libro, a pesar que enmuchos casos son errores de los diagramadores a la hora de transcribir las respuestas en los formatos digitalesantes de ser impresos; por tanto, no se adjuntan las respuestas. Sin embargo, junto a nuestros librosofrecemos a cada docente un dispositivo de almacenamiento masivo con las respuesta en electrnico para quelas utilice segn considere mejor con sus estudiantes, e incluimos una serie de materiales de apoyo para eldocente de matemtica, que busca simplificar al menos un poco tanto trabajo que tiene sobre sus hombroscada docente en su ejemplar labor como formador de nuestros jvenes estudiantes que participan en suslecciones.
El estudio de la matemtica debe ser el comienzo del conocimiento depurado (Los autores, 2009)
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RECONOCIMIENTOS
Sr. Adolfo Mndez CorralesProfesor de MatemticaC.T.P. Santa Elena
Sra. Ana Cristina Herrera V.Profesora de MatemticaI.E.G.B. Andrs Bello
Sr. Benjamn RodrguezProfesor de MatemticaLiceo del Pacfico
Sra. Cindy Marn S.Profesora de MatemticaVirtual Marco Tulio Salazar
Sra. Adriana MarnProfesora de MatemticaI.E.G.B. Amrica Central
Sra. Ana Grace AriasProfesora de MatemticaLiceo Rural de CabecerasTilarn
Sr. Bernal LunaProfesor de MatemticaLiceo Salvador Umaa
Sra. Cindy Ovando G.Profesora de MatemticaI.P.E.C. Sindea Arabela Jimnezde Bolio
Sr. Alberto Rodrguez JirnProfesor de MatemticaParrita
Sra. Ana Grace CarranzaProfesora de MatemticaLiceo Purral de Cabeceras
Sr. Bryan Aguilar lvarezProfesor de MatemticaJorgue Bolio de la LuchaSabalito
Sr. Cristhian CaldernProfesor de MatemticaLiceo Julio Fonseca Gutirrez
Sr. Alex Canales BenavidesProfesor de MatemticaSindea 28 Millas
Sra. Ana Isabel Noguera E.Profesora de MatemticaLiceo Santa Cruz
Sr. Carlos Cordero CorderoProfesor de MatemticaC.T.P. Mansin de Nicoya
Sr. Cristian Barrientos Q.Profesor de MatemticaLiceo de Chomes
Sr. Alexander LpezProfesor de MatemticaItskatzu Educacin Integral
Sra. Ana Margarita Angulo C.Profesora de MatemticaC.T.P. 27 de Abril
Sr. Carlos Edo Gmez GarcaProfesor de MatemticaSindea Jcara
Sr. Cristian CaldernProfesor de MatemticaLiceo Julio Fonseca Gutirrez
Sr. Alexander Solano G.Profesor de MatemticaLiceo Unesco
Sra. Andrea AriasProfesora de MatemticaC.T.P. de Heredia
Sr. Carlos Gnzalez A.Profesor de MatemticaLiceo de Cervantes
Sr. Cristian Chvez Z.Profesor de MatemticaLiceo Alejandro Aguilar Machado
Sra. Alexandra Mata DelgadoProfesora de MatemticaC.T.P. General de PrezZeledn
Sra. Andrea Jimnez JimnezProfesora de MatemticaLiceo Sta. Ana
Sr. Carlos MoraProfesor de MatemticaColegio de los ngeles
Sr. Cristian Peralta CruzProfesor de MatemticaLiceo El Carmen de Nandayure
Sr. Alexis Torres OrtegaProfesor de MatemticaLiceo San Diego Tres Ros
Sra. Andrea MadrigalProfesora de MatemticaLiceo Len Cortez Castro
Sr. Carlos RetanaProfesor de MatemticaGreen Valley
Sr. Cristian Rojas CarrilloProfesor de MatemticasLiceo Experimental Bilinge Losngeles.
Sr. Alfonso Mora FallasProfesor de MatemticaJohn F. Kennedy High School
Sra. Andrea VenegasProfesora de MatemticaDeportivo Santo Domingo
Sra. Carmen Liley MonteroProfesora de MatemticaLiceo Experimental BilingeGrecia, Alajuela
Sra. Cristina Snchez LariosProfesora de MatemticaRincn Grande de Pavas
Sr. Alfonso RojasProfesor de MatemticaColegio Sta. Gertrudis
Sra. Andreina Vsquez RojasProfesora de MatemticaC.T.P. Bolvar
Sra. Carmen Quesada V.Profesora de MatemticaLiceo Escaz
Sr. Daniel CspedesProfesor de MatemticaLiceo Coronado
Sr. Allan Chanto ToleivaProfesor de MatemticaLiceo Nocturno San PedroPrez Zeledn
Sr. Andrs CubilloProfesor de MatemticaSan Enrique de Osso
Sra. Carmen RodrguezProfesora de MatemticaSan Paul College
Sr. Daniel LenProfesor de MatemticaC.T.P. Platanales
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Sr. Allan MairenaProfesor de MatemticaLiceo San Jos
Sr. Ariel GmezProfesor de MatemticaColegio Talamanca
Sra. Carolina FloresProfesora de MatemticaSaint Benedicto
Sr. Danny Gaitn RodrguezProfesor de MatemticaLiceo Francisco Amigutti
Sr. lvaro Barbosa SalasProfesor de MatemticaLiceo Pacto del Jocote
Sra. Beatriz MonteroProfesora de MatemticaEsc. Internacionales Cristianas
Sra. Cecilia Prez SalasProfesora de MatemticaLiceo Poasito
Sr. David Alexis Alfaro AlfaroProfesor de MatemticaLiceo Sta. Gertrudis Norte
Sr. David Alfaro VquezProfesor de MatemticaLiceo Nocturno NuevasOportunidades
Sr. Eliecer Madrigal DelgadoProfesor de MatemticaBilinge Naciones Unidas
Sr. Francisco Quesada S.Profesor de MatemticaInst. Pedaggico Caminante
Sra. Hannia Leiva FallasProfesora de MatemticaLiceo Sina Diurno
Sr. David SolanoProfesor de MatemticaEnrique Malavassi Vargas
Sr. Emanuel Alvarado R.Profesor de MatemticaColegio Telesecundaria MaraDrake
Sra. Gabriela BonillaProfesora de MatemticaInstituto CentroamericanoAdventista
Sr. Harold CamposProfesor de MatemticaCentro Educativo CatlicoSan Jos
Sra. Denia RodrguezProfesora de MatemticaBilinge del Caribe
Sr. Erick Araya UrtadoProfesor de MatemticaLiceo las Delicias
Sra. Gabriela ZigaProfesora de MatemticaLiceo Experimental Moravia
Hctor Castro CastilloProfesor de MatemticaColegio Marco Tulio Salazar
Sra. Denia Salas NuesProfesora de MatemticaColegio Patriarca San Jos
Sr. Erick Gmez U.Profesor de MatemticaC.T.P. Ambientalista Isaas Ret.Arias
Sr. Gerardo Arroyo BrenesProfesor de MatemticaLiceo Ambientalista
Sra. Heilyn Vargas C.Profesora de MatemticaC.T.P Platanales
Sr. Diego Gmez ChavarraProfesor de MatemticaLiceo Costa Rica
Sra. Erika Urea FallasProfesora de MatemticaC.T.P. Prez Zeledn San Isidro
Sr. Gerardo RamrezProfesor de MatemticaLiceo regional de Flores
Sr. Henrry VillarrealProfesor de MatemticaColegio Los Delfines
Sra. Dilsia Navarro DurnProfesora de MatemticaI.E.G.B. Limn
Sr. Ernesto Villareal BarrantesProfesor de MatemticaC.T.P. Cartagena
Sr. Gerardo Rodrguez BarriosProfesor de MatemticaLiceo Turrcares
Sra. Mariela SolanoProfesora de MatemticaColegio Los Delfines
Sra. Doriana Quirs AriasProfesora de MatemticaLiceo Coronado
Sra. Estefannie BarbosaProfesora de MatemticaColegio Nocturno Hernn LpezHernndez
Sr. Gilberto MonteroProfesor de MatemticaLiceo Samuel Senz Flores
Sr. Helbert Jimnez ChinchillaProfesor de MatemticaLiceo Costa Rica
Sr. Edgar CamposProfesor de MatemticaLiceo Diurno de Ciudad Coln
Sra. Estrella Len HernndezProfesora de MatemticaLiceo Santa Cruz
Sra. Gloria BadillaProfesora de MatemticaColegio Pacto del Jocote
Sr. Hubert MongeProfesor de MatemticaLiceo Nocturno MonseorRubn Odio
Sr. Eduardo Robles UreaProfesor de MatemticaSindea Upala
Sra. Ethilma Jimnez R.Profesora de MatemticaInstituto Guanacaste
Sra. Gloria BadillaProfesora de MatemticaLiceo Sabanilla
Sra. Ileana Cascante V.Profesora de MatemticaLiceo Nocturno Juan Santamara
Sr. Eduardo RodrguezProfesor de MatemticaLiceo Edgar Cervantes Villalta
Sra. Eva Arevalo PorrasProfesora de MatemticaI.P.E.C. de Barva de Heredia
Sra. Grettel Guitirrez RuizProfesora de MatemticaLiceo Utilio Ulate Blanco
Sra. Ileana Lescano R.Profesora de MatemticaC.T.P Talamanca Bribri Limn
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Sr. Edwin Alfaro ArceProfesor de MatemticaLiceo Sto. Domingo
Sra. Evelin Urbina GuzmnProfesora de MatemticaLiceo San Carlos
Sra. Grettel LenProfesora de MatemticaColegio Nacional Virtual
Sra. Isabel VsquezProfesora de MatemticaColegio Francis J. Orlich
Sr. Eitel Vega RodrguezProfesor de MatemticaRedentorista San Alfonso
Sr. Francisco CortezProfesor de MatemticaLiceo de Sta. Ana
Sra. Guisella TrejosProfesora de MatemticaColegio Vicente Laghner
Sr. Ivn Parra VenegasProfesor de MatemticaLiceo Platanillo Bar de Quepos
Sr. Elicer MadrigalProfesor de MatemticaAbelardo Bonilla
Sr. Francisco CortezProfesor de MatemticaU.P. Jos Rafael Araya
Sra. Hannia CecilianoProfesora de MatemticaLiceo de Cot Cartago
Sr. Javier Calvo CorderoProfesor de MatemticaLiceo Julio Fonseca
Sr. Jeffrey lvarez PrezProfesor de MatemticaColegio Nuevo Mundo
Sr. Jose Luis MassProfesor de MatemticaLiceo Jos Fidel Tristn
Sr. Kenneth MoreraProfesor de MatemticaEscuela Repblica de Nicaragua
Sr. Luis ngel RosProfesor de MatemticaC.T.P Valle de la Estrella
Sr. Jeremy Chacn CspedesProfesor de MatemticaColegio Talamanca Cahuita
Sr. Jose Rolando Cascante R.Profesor de MatemticaColegio Cindea Lomas deCocor
Sra. Kerlyn EsquivelProfesora de MatemticaColegio Puente de Piedra
Sr. Luis CastilloProfesor de MatemticaLiceo de Santa Ana
Sra. Jssica GmezProfesora de MatemticaColegio San Vicente
Sr. Juan Carlos GProfesor de MatemticaLiceo de Orosi
Sra. Laura Arroyo RojasProfesora de MatemticaLiceo Santo Domingo
Sr. Luis Diego ArayaProfesor de MatemticaCorporacin EducativaSagrado Corazn de Jess
Sra. Jssica Villalobos RojasProfesora de MatemticaTelesecundaria el Llano
Sr. Juan Carlos QuesadaProfesor de MatemticaLiceo Mauro Fernndez
Sra. Laura QuesadaProfesora de MatemticaColegio Claretiano
Sr. Luis Diego Salazar V.Profesor de MatemticaColegio Nuevas OportunidadesGrecia
Sr. Jess GutirrezProfesor de MatemticaLiceo de Nicoya
Sr. Juan Morgan MorenoProfesor de MatemticaColegio HumansticoCostarricense
Sra. Ligia Jimnez GmezProfesora de MatemticaC.T.P Nicoya
Sr. Luis Martnez GonzlezProfesor de MatemticaCindea Alberto Manuel Brenes
Sr. Jess HidalgoProfesor de MatemticaColegio Snta Josefina
Sr. Juan Pablo Rodrguez A.Profesor de MatemticaC.T.P. Ulloa
Sra. Lilliana VillalobosProfesora de MatemticaLiceo de San Carlos
Sr. Luis Rodrguez JhonsonProfesor de MatemticaC.T.P Nandayure Guanacaste
Sr. Jonathan GranadosProfesor de MatemticaLiceo Nocturno Prez Zeledn
Sra. Karen Camacho EspinozaProfesora de MatemticaCentro Educativo Pasos deJuventud
Sra. Lineth Quesada M.Profesora de MatemticaLiceo de Tucurrique
Sr. Luis Ruiz TorresProfesor de MatemticaC.T.P Carrillo
Sr. Jonathan RodrguezProfesor de MatemticaLiceo Jorge Volio
Sra. Karen Vindas MonestelProfesora de MatemticaColegio Cristiano Reformado
Sra. Lisbeth Allen DaileyProfesora de MatemticaCindea de Heredia Limn
Sr. Luis Salazar CastroProfesor de MatemticaLiceo Alfaro Ruiz
Sr. Jonny Fernndez S.Profesor de MatemticaLiceo Dulce Nombre
Sra. Karina BrenesProfesora de MatemticaColegio Agropecuario deSan Carlos
Sra. Lissette FallasProfesora de MatemticaLiceo de Curridabat
Sr. Maikel CarbajalProfesor de MatemticaColegio Santa Marta
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Sr. Jorge BrenesProfesor de MatemticaLiceo Braulio Carrillo
Sra. Karla Guevara VillegasProfesora de MatemticaLiceo de Colorado de Abangares
Sra. Lissette UlateProfesora de MatemticaLiceo Pacto del Jocote
Sr. Mainor Abarca CorderoProfesor de MatemticaLiceo de Curridabat
Sr. Jos ngel AmpieProfesor de MatemticaCristian Gnesis School
Sra. Karla Venegas ValverdeProfesora de MatemticaLiceo Experimental BilingeAugusto Briseo
Sra. Lorena Masis TorresProfesora de MatemticaLiceo Francisca Carrasco
Sr. Manrique Barrientos Q.Profesor de MatemticaLiceo de Miramar de Puntarenas
Sr. Jos ngel AmpieProfesor de MatemticaLiceo Nuevo de Hatillo
Sra. Katherine SandProfesora de MatemticaLiceo de Mata de Pltano
Sra. Lorena Rojas DonatoProfesora de MatemticaLiceo de Coronado
Sr. Manuel ArtaviaProfesor de MatemticaLiceo Tcnico de Purral
Sr. Jos Carlos CalvoProfesor de MatemticaLiceo Nocturno MonseorRubn Odio
Sr. Kenneth lvarezProfesor de MatemticaLiceo de Moravia
Sra. Lucia Mata VindasProfesora de MatemticaLiceo Hernn Zamora Elizondo
Sr. Manuel QuirsProfesor de MatemticaInstituto Educativo San Gerardo
Sr. Manuel VillegasProfesor de MatemticaLiceo de San Roque
Sra. Mara RojasProfesora de MatemticaLiceo Braulio Carrillo
Sr. Marvin MuozProfesor de MatemticaLiceo La Gucima
Sr. Norberto Oviedo UProfesor de MatemticaLiceo de Heredia
Sra. Marcela Arce SotoProfesora de MatemticaLiceo San Nicols
Sra. Maricela AlfaroProfesora de MatemticaLiceo de San Roque
Sra. Maureen Castro MesnProfesora de MatemticaColegio Laboratorio San Jos
Sra. Olga Segura AlfaroProfesora de MatemticaU.P. Jos Mara Zeledn
Sr. Marcial CorderoProfesor de MatemticaLiceo San Gabriel
Sra. Mariela JimnezProfesora de MatemticaLiceo de San Carlos
Sra. Maureen Mora BadillaProfesora de MatemticaLiceo Rincn Grande de Pavas
Sra. Olga Vargas CortezProfesora de MatemticaCentro Educativo Mi Patria
Sr. Marco GuevaraProfesor de MatemticaColegio Santa Ins
Sra Maril BallesterosProfesora de MatemticaColegio Valle del Sol
Sra. Maureen RojasProfesora de MatemticaLiceo de Santa Ana
Sra. Olga Vargas CortezProfesora de MatemticaColegio Rodrigo Hernndez
Sr. Marco SolsProfesor de MatemticaColegio Cientfico y Artstico delPacfico
Sr. Mario CartachoProfesor de MatemticaColegio Adventista Paso Canoas
Sr. Mauricio Muoz JimnezProfesor de MatemticaLiceo Brasilia de Upala
Sr. Omar Quesada GonzlezProfesor de MatemticaLiceo de Pos
Sr. Marcos Angulo CisnerosProfesor de MatemticaC.T.P. 27 de abril
Sra. Marisol Benel AlamaProfesora de MatemticaLiceo La Aurora
Sr. Mauricio Pearanda FallasProfesor de MatemticaLiceo San Gabriel
Sr. Oscar Cruz MontanoProfesor de MatemticaLiceo de Pavas
Sr. Marcos ChacnProfesor de MatemticaLiceo Bolvar de Grecia
Sra. Marisol Ramos FloresProfesora de MatemticaInstituto de Alajuel
Sra. Mayela Abarca CorderoProfesora de MatemticaLiceo de Curridabat
Sr. Oscar Marn GonzlezProfesor de MatemticaC.T.P. Carrisal de Alajuela
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Sra. Margel Valverde S.Profesora de MatemticaLiceo de Sabanilla
Sra. Marisol Ramos FloresProfesora de MatemticaLiceo del Carmen
Sr. Michael Chvez MadrigalProfesor de MatemticaC.T.P Cartagena Guanacaste
Sr. Oscar Mario CastilloProfesor de MatemticaC.T.P. Liberia
Sra. Margot Castro R.Profesora de MatemticaInstituto Educativo San Gerardo
Sra. Marjorie Navarro NezProfesora de MatemticaColegio de Turrialba
Sr. Miguel ngel SnchezProfesor de MatemticaColegio La Aurora
Sr. Oscar Reyes PeascoProfesor de MatemticaI.P.E.C.
Sra. Mara AmeliaProfesora de MatemticaI.P.F La Pradera
Sra. Marta MataProfesora de MatemticaColegio Mara Auxiliadora
Sra. Mirta BritoProfesora de MatemticaColegio Educativo Royal
Sr. Pablo Leandro JimnezProfesor de MatemticaColegio Nocturno de Siquirres
Sra. Mara Hernndez H.Profesora de MatemticaLiceo del Este
Sra. Martha E Ulate QuesadaProfesora de MatemticaLiceo San Marcos de Tarraz
Sra. Mnica BlancoProfesora de MatemticaColegio Ilpal
Sr. Pablo Leandro JimnezProfesor de MatemticaColegio San Judes
Sra. Mara Mayela Gonzlez G.Profesora de MatemticaLiceo Rural Coope-Silencio
Sr. Martn Martnez ChvezProfesor de MatemticaC.T.P. Tronadora
Sra. Nasly Giraldo G.Profesora de MatemticaLiceo de San Jos
Sr. Pedro MoreraProfesor de MatemticaLiceo de Atenas
Sra. Mara OviedoProfesora de MatemticaColegio Castella
Sr. Martn Martnez ChvezProfesor de MatemticaColegio Nocturno de Tilarn
Sr. Nestor CerdasProfesor de MatemticaColegio Ambientalista El Roble
Sr. Rafael Arce LpezProfesor de MatemticaC.T.P. Puntarenas
Sr. Randall VillalobosProfesor de MatemticaColegio Ambientalista El Roble
Sra. Ruth Bent CastroProfesora de MatemticaLiceo de Curridabat
Sra. Tania CrdobaProfesora de MatemticaColegio San Rafael
Sr. William GuillnProfesor de MatemticaColegio Virtual
Sr. Ral Badilla RamrezProfesor de MatemticaLiceo San Miguel
Sr. Samuel Arevalo VsquezProfesor de MatemticaC.T.P. Acosta
Sra. Tatiana Quesada C.Profesora de MatemticaLiceo de Tarraz
Sr. Willy TorresProfesor de MatemticaLiceo Sina Prez ZelednDiurno
Sra. Rebeca Monge MoraProfesora de MatemticaC.T.P. Acosta
Sra. Sandra Rodrguez HerreraProfesora de MatemticaC.T.P. Sabanilla
Sra. Thais Sandi MenaProfesora de MatemticaLiceo San Rafael Arriba
Sra. Xenia ParkerProfesora de MatemticaLiceo Centro EducativoAdventista de C.R.
Sr. Ricardo Chvez SnchezProfesor de MatemticaC.T.P. Corralillo
Sr. Santiago Bustos C.Profesor de MatemticaC.T.P. Cartagena Guanacaste
Sr. Vctor RetanaProfesor de MatemticaLiceo del Sur
Sra. Xinia AcuaProfesora de MatemticaLiceo Purral
Sr. Ricardo VenegasProfesor de MatemticaLiceo de Curridabat
Sr. Santiago Zamora CastilloProfesor de MatemticaC.T.P. Valle la Estrella
Sra. Victoria MatarritaProfesora de MatemticaColegio Virtual Alajuela
Sra. Xinia EspinosaProfesora de MatemticaLiceo San Francisco de Ass
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Sr. Ricardo ZigaProfesor de MatemticaInstituto de Educacin Integral
Sra. Seidy Parajeles GranadosProfesora de MatemticaC.T.P. Tronadora TilarnGuanacaste
Sra. Vivian Lizano ArroyoProfesora de MatemticaLiceo Luis Noble Segreda
Sra. Xinia RomnProfesora de MatemticaColegio Campestre
Sr. Roberto Rojas BadillaProfesor de MatemticaColegio Madre del Divino Pastor
Sr. Sergio Morales RosalesProfesor de MatemticaColegio Tcnico RegionalSanta Cruz
Sra. Viviana Guevara EsquivelProfesora de MatemticaC.T.P. Nicoya
Sra. Yajaira Rodrguez VillegasProfesora de MatemticaLiceo Rural de Manzanillo
Sr. Rodolfo Bustos MarchenaProfesor de MatemticaLiceo Maurilio Alvarado
Sra. Shirley Gonzlez A.Profesora de MatemticaC.T.P. Quepos
Sra. Viviana Guevara EsquivelProfesora de MatemticaLiceo de Nicoya
Sra. Yamileth ZumbadoProfesora de MatemticaLiceo de Heredia
Sr. Romn Ruiz C.Profesor de MatemticaLiceo Experimental BilingeSanta Cruz
Sra. Silvia FonsecaProfesora de MatemticaSaint Gabriel High School
Sra. Viviana SolsProfesora de MatemticaSaint Gregory School
Sra. Yanin Gutirrez SolsProfesora de MatemticaColegio Mara Inmaculada deSan Carlos
Sr. Ronald Ros RodrguezProfesor de MatemticaC.T.P. Cardinal de Carrillo
Sra. Silvia PaniaguaProfesora de MatemticaFormacin Integral Montecarlo
Sra. Wendy Herrera MoralesProfesora de MatemticaINA. Orotina
Sra. Yasmn Orozco SanchoProfesora de MatemticaC.T.P. La Mansin
Sra. Rosibell Castro RodrguezProfesora de MatemticaC.T.P. Liceo de Coronado
Sra. Sonia MirandaProfesora de MatemticaColegio San Lorenzo
Sra. Wendy TijerinoProfesora de MatemticaC.T.P. Ulloa
Sra. Yeini Barrantes NProfesora de MatemticaLiceo Manuel Benavides
Sra. Rosibell VallejosProfesora de MatemticaLiceo Mauro Fernndez
Sra. Susan JimnezProfesora de MatemticaC.T.P. Mercedes Norte
Sr. Werner JurezProfesor de MatemticaLiceo Anastasio
Sra. Yelba GutirrezProfesora de MatemticaLiceo Teodoro Picado
Sr. Roy Lauren SanabriaProfesor de MatemticaC.T.P. Humberto Melloni
Sra. Susan MoralesProfesora de MatemticaColegio Marista Alajuela
Sr. Wilbert VargasProfesor de MatemticaSamuel Senz Flores
Sra. Yendri Salas ValverdeProfesora de MatemticaLiceo Regional de Flores
Sra. Yendri SandovalProfesora de MatemticaLiceo San Diego
Sra. Yendri SotoProfesora de MatemticaUnidad Pedaggica San Diego
Sra. Yessenia RodrguezProfesora de MatemticaLiceo el Ambientalista El Roble
Sr. Yoahan Gmez GarroProfesor de MatemticaC.T.P. Jcara
Sra. Yolanda Elizondo G.Profesora de MatemticaUnidad PedaggicaCaldern Guardia
Sra. Yorleni GmezProfesora de MatemticaLiceo Sucre
Sra. Yuri Lobo HernndezProfesora de MatemticaColegio La Aurora
Sra. Yuri QuintanillaProfesora de MatemticaColegio Adventista Limn
Sra. Zeidy ChvezProfesora de MatemticaLiceo Castro Madriz
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NDICE
UNIDAD I: RELACIONES Y LGEBRA1. Ecuaciones cuadrticas con una incgnita. 13
2. Problemas que involucran, en su solucin, ecuaciones cuadrticas con una
incgnita.22
3. Factorizacin de polinomios en forma completa, mediante la combinacin de
mtodos.
30
4. Concepto de relacin. 48
5. Concepto de variable dependiente y de variable independiente en las
relaciones.
49
6. Relaciones que corresponden a funciones. 52
7. Relaciones que corresponden a funciones, cuyo criterio est modelado por
expresiones algebraicas sencillas.
59
8. Dominio, codominio, mbito, imagen y preimagen de funciones. 62
9. Dominio mximo de funciones 73
10.Representacin grfica de una funcin. 79
11.Rgimen de variacin de una funcin. 84
12.Magnitudes directamente proporcionales. 87
13.Concepto de funcin lineal. 88
14.Concepto de pendiente y de interseccin de funciones lineales. 90
15.Problemas relacionados con la ecuacin de la recta. 96
16.Ecuacin de una recta paralela o perpendicular a otra recta dada. 100
17.Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos variables. 105
18.Problemas con sistemas de ecuaciones de primer grado con dos variables. 110
19.Funcin cuadrtica. 113
20.Concepto de la funcin inversa. 124
21.Funcin exponencial. 133
22.Ecuaciones exponenciales. 136
23.Funcin logartmica. 138
24.Ecuaciones logartmicas. 141
25.Ecuaciones logartmicas y exponenciales aplicando las propiedades de los
logaritmos.
143
26.Ecuaciones exponenciales de la forma P x Q xa b 146
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UNIDAD IRELACIONES YLGEBRA
Conocimientos Habilidades especficasEcuaciones Ecuaciones de segundo grado con
una incgnita Races Discriminante Conjunto solucin
Expresiones algebraicas Polinomios Factorizacin
Funciones Cantidades constantes Cantidades variables Dependencia Independencia Elementos para el anlisis de una
funcin Dominio mbito Codominio Imagen Preimagen
Funcin lineal Representacin algebraica Representacin tabular Representacin grfica La recta Pendiente Interseccin Creciente Decreciente Sistema de ecuaciones
lineales
1. Analizar el nmero de races de una ecuacin de segundo grado con una incgnita a partirdel discriminante.
2. Resolver ecuaciones de segundo grado de la forma 2ax c , utilizando el mtodo deldespeje.
3. Resolver ecuaciones de segundo grado de la forma 2 0ax bx , utilizando factorizacin yel mtodo del despeje.
4. Resolver ecuaciones de segundo grado de la forma 2 0ax bx c , utilizando la frmulageneral.
5. Resolver ecuaciones que se reducen a ecuaciones de segundo grado con una incgnita.6. Plantear y resolver problemas utilizando ecuaciones de segundo grado con una incgnita.7. Factorizar trinomios de segundo grado con una variable mediante los siguientes mtodos:
inspeccin, frmula notable, frmula general.8. Factorizar en forma completa polinomios de tres o cuatro trminos con una o dos variables
mediante los siguientes mtodos: Factor comn y frmula notable, grupos y factor comn,grupos y diferencia de cuadrados.
9. Distinguir entre cantidades constantes y variables.10. Identificar y aplicar relaciones entre dos cantidades variables en una expresin matemtica.11. Identificar si una relacin dada en forma tabular, simblica o grfica corresponde a una
funcin.12. Evaluar el valor de una funcin dada en forma grfica o algebraica, en distintos puntos de su
dominio13. Interpretar hechos y fenmenos mediante relaciones que corresponden a funciones.14. Identificar el dominio, codominio, mbito, imgenes y preimgenes de una funcin a partir de
su representacin grfica.15. Determinar el dominio mximo de funciones con criterio dado por expresiones algebraicas
sencillas tales como: expresiones polinomiales de una variable; expresiones racionales condenominador de la forma ,ax b ,a b reales; expresiones radicales de ndice par consubradical de la forma ,ax b ,a b reales.
16. Identificar situaciones del entorno que pueden ser expresadas algebraicamente en la formay ax b .
17. Representar en forma tabular, algebraica y grfica una funcin lineal (incluidas la identidad yla constante).
18. Determinar la pendiente y las intersecciones con los ejes de coordenadas de una funcinlineal dada en forma grfica o algebraica.
19. Analizar la monotona de una funcin lineal dada en forma tabular, grfica o algebraica.20. Determinar la ecuacin de una recta a partir de su pendiente y un punto que pertenece a la
recta.
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12 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO FNIX
Conocimientos Habilidades especficas Funcin cuadrtica Representacin algebraica Representacin tabular Representacin grfica La parbola: Concavidad,
simetra, vrtice Interseccin Creciente Decreciente
La funcin inversa Inyectividad Sobreyectividad Grfica de la funcin inversa Inversa de una funcin lineal Inversa de una funcin
cuadrtica La funcin exponencial y la
ecuacin exponencial La funcin logartmica y la
ecuacin logartmica
21. Determinar la ecuacin de una recta a partir de dos puntos que pertenecen a la recta.22. Determinar la ecuacin de una recta paralela a otra recta dada.23. Determinar la ecuacin de una recta perpendicular a otra recta dada.24. Plantear y resolver problemas contextualizados que se modelan mediante funciones lineales.25. Identificar situaciones que se modelan por un sistema de ecuaciones lineales con dos
variables.26. Plantear y resolver problemas contextualizados que se modelan mediante un sistema de
ecuaciones lineales con dos variables.27. Identificar situaciones del entorno que pueden ser modeladas por una funcin cuadrtica.
28. Representar grficamente una funcin con criterio 2y ax bx c .29. Determinar el dominio, mbito, concavidad, simetras, vrtice y las intersecciones con los
ejes de coordenadas de una funcin cuadrtica dada en forma grfica o algebraica.30. Analizar la monotona de una funcin cuadrtica dada en forma tabular, grfica o algebraica.31. Plantear y resolver problemas contextualizados que se modelan mediante funciones
cuadrticas.32. Identificar situaciones del entorno que involucran funciones inversas.33. Identificar las condiciones para que una funcin tenga inversa.34. Relacionar la grfica de una funcin con la grfica de su inversa, considerando el concepto
de eje de simetra.35. Determinar intervalos en los cuales una funcin representada grficamente tiene inversa.36. Determinar el criterio de las funciones inversas correspondientes a funciones con criterio de
la forma:
, 0,f x mx b m 2 , 0g x ax c a h x x b c , , ,a b c m reales.37. Identificar situaciones del entorno que involucran funciones exponenciales.38. Caracterizar la funcin exponencial de acuerdo a su criterio, dominio, mbito.39. Representar en forma tabular, algebraica y grfica una funcin exponencial.40. Analizar la monotona de una funcin exponencial dada en forma tabular, grfica o
algebraica.41. Determinar el conjunto solucin de una ecuacin exponencial que se reduce a la forma
, ,P x Q xb b P x Q x polinomios de grado menor que 3.42. Plantear y resolver problemas contextualizados que se modelan mediante una funcin
exponencial.43. Identificar situaciones del entorno que involucran funciones logartmicas.44. Caracterizar la funcin logartmica de acuerdo a su criterio, dominio, mbito.45. Representar en forma tabular, algebraica y grfica una funcin logartmica.46. Analizar la monotona de una funcin logartmica dada en forma tabular, grfica o algebraica.47. Aplicar las propiedades de la funcin logartmica.48. Determinar el conjunto solucin de una ecuacin logartmica que se reduce a la forma
loga logaf x g x .49. Determinar el conjunto solucin de una ecuacin exponencial que se reduce a la forma
P x Q xa b , ,P x Q x polinomios de grado menor que 3.
50. Plantear y resolver problemas contextualizados que se modelan mediante una funcinlogartmica.
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RELACIONES Y LGEBRA 13
GRUPO FNIX
ECUACIONES CUADRTICAS CON UNA INCGNITA
Una ecuacin cuadrtica o de segundo grado en una variable con coeficientes reales es unaecuacin que puede escribirse como 2 0ax bx c donde a, b, c son constantesreales, con 0a .
I Caso: 2ax c
Las ecuaciones que se pueden expresar de la forma 2ax c con a, c constantes reales,se resuelven simplemente despejando la variable x y luego, calculando la raz cuadradaen ambos lados de la igualdad.
Ejemplo 1Resolver la ecuacin 28 512x
Ejemplo 2Resolver la ecuacin 26 246 0x
2
2
2
8 512
5128
64
64 8
: 8,8
x
x
x
x
S
2
2
2
2
6 246 0
6 246
2466
41
41
: 41, 41
x
x
x
x
x
S
Ejemplo 3Resolver la ecuacin 2 5 4 5x x x
Ejemplo 4Resolver la ecuacin 3 2 3 2 0x x
2
2
0
2
5 4 5
5 5 4
4
4
: 2,2
x x x
x x x
x
x
S
29 4
2
2
2
3 2 3 2 0
9 4 0
9 4
49
4 29 3
2 2: ,
3 3
x
x x
x
x
x
x
S
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n El
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14 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO FNIX
Trabajo cotidiano # 11. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadrticas
a) 22 8x
b) 23 27x
c) 24 64x
d) 25 125x
e) 26 216x
f) 22 8x
g) 23 27x
h) 24 64x
i) 25 125x
j) 26 216x
k) 2 49x
l) 2 64x
m) 2 81x
n) 2 100x
o) 2 121x
p) 22 8 0x
q) 23 27 0x
r) 24 64 0x
s) 25 125 0x
t) 26 216 0x
u) 2 64 0x
v) 2 81 0x
w) 2 100 0x
x) 2 121 0x
y) 22 10 8 10x x x
z) 23 7 27 7x x x
aa) 24 13 64 13x x x
bb) 25 42 125 42x x x
cc) 26 101 216 101x x x
dd) 2 3 9 40 3x x x
ee) 2 5 4 60 5x x x
ff) 2 3 10 91 3x x x
gg) 2 15 115x x x
hh) 2 11 14 135 11x x x
ii) 2 2 0x x jj) 2 3 2 3 0x x kk) 3 4 3 4 0x x ll) 5 6 5 6 0x x mm) 7 10 7 10 0x x nn) 2 2 5 5x x x x oo) 2 3 2 3 13 13x x x x pp) 3 4 3 4 11 11x x x x qq) 5 6 5 6 12 12x x x x rr) 7 10 7 10 2x x x
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RELACIONES Y LGEBRA 15
GRUPO FNIX
ECUACIONES CUADRTICAS CON UNA INCGNITA
II Caso: 2 0ax bx c Las ecuaciones que se pueden expresar de la forma 2 0ax bx c con a, b, c
constantes reales, se pueden resolver por Frmula General.
Procedimiento:
1. Se identifica el valor de a, b, c en el polinomio y se calcula el discriminante ( )
2 4b ac
2. Se realiza el estudio del discriminante:
Valor del Interpretacin
0 La ecuacin tiene dos soluciones
0 La ecuacin tiene una soluciones
0 La ecuacin NO tiene soluciones reales
3. Se calculan las soluciones con la Frmula General:
Frmula general para ecuacionescuadrticas
2b
xa
Forma alternativa
1 2b
xa
2 2
bx
a
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16 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO FNIX
ECUACIONES CUADRTICAS CON UNA INCGNITA
II Caso: 2 0ax bx c
Ejemplo 1Resolver la ecuacin 22 5 3 0x x
Ejemplo 2Resolver la ecuacin 2 16 63m m
1. Se calcula el discriminante ( )
2
2
4
5 4 2 3 49
b ac
2. El discriminante es positivo ( 0 ),
entonces la ecuacin tiene dos soluciones
3. Se calculan las soluciones:
Primera solucin Segunda solucin
1
1
25 7 3
2 2
bx
a
x
2
2
25 7 1
2 2 2
bx
a
x
1: 3,
2S
1. Se calcula el discriminante ( )
2
2
4
16 4 1 63 4
b ac
2. El discriminante es positivo ( 0 ),
entonces la ecuacin tiene dos soluciones
3. Se calculan las soluciones:
Primera solucin Segunda solucin
1
1
216 2 9
2 1
bm
a
m
2
2
216 2 7
2 1
bm
a
m
: 9,7S
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RELACIONES Y LGEBRA 17
GRUPO FNIX
ECUACIONES CUADRTICAS CON UNA INCGNITA
II Caso: 2 0ax bx c
Ejemplo 3Resolver la ecuacin 3 2 11 2x x x
Ejemplo 4
Resolver la ecuacin 2 32 42
x xx
1. Ordenamos la ecuacin de la forma
2
2
2
3 2 11 2
3 6 11 23 6 11 2 0
3 17 2 0
x x x
x x x
x x x
x x
2. Se calcula el discriminante ( )
23 , 17 , 2
17 4 3 2
265
a b c
3. El discriminante es positivo ( 0 ),entonces la ecuacin tiene dos soluciones
4. Se calculan las soluciones:
Primera solucin Segunda solucin
1
1
1
217 265
2 317 265
6
bx
a
x
x
2
2
2
217 265
2 317 265
6
bx
a
x
x
17 265 17 265: ,
6 6S
1. Ordenamos la ecuacin de la forma
2
2
2
2 2
2 2
2
3421 28 3
22
4 8 3
4 8 34 8 3 0
5 3 8 0
x xx
x xx
x x x
x x x
x x x
x x
2. Se calcula el discriminante ( )
25 , 3 , 8
3 4 5 8
169
a b c
3. El discriminante es positivo ( 0 ),
entonces la ecuacin tiene dos soluciones
4. Se calculan las soluciones:
Primera solucin Segunda solucin
1
1
1
23 132 5
10 110
bx
a
x
x
2
2
2
23 132 516 8
10 5
bx
a
x
x
8: 1 ,
5S
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18 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO FNIX
Trabajo cotidiano # 2
1. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadrticas
a) 22 3 1 0x x
b) 23 2 1 0x x
c) 22 5 2 0x x
d) 24 3 1 0x x
e) 22 7 3 0x x
f) 25 4 1 0x x
g) 22 9 4 0x x
h) 26 7 1 0x x
i) 22 11 5 0x x
j) 27 8 1 0x x
k) 22 1 0x x
l) 24 4 1 0x x
m) 22 3 2 0x x
n) 29 6 1 0x x
o) 22 5 3 0x x
p) 216 8 1 0x x
q) 22 7 4 0x x
r) 225 10 1 0x x
s) 22 9 5 0x x
t) 236 12 1 0x x
u) 2 3 2x x
v) 2 4 3x x
w) 2 5 4x x
x) 2 6 5x x
y) 2 7 6x x
z) 2 2x x
aa) 2 2 3x x
bb) 2 3 4x x
cc) 2 4 5x x
dd) 2 5 6x x
ee) 23 2 1x x
ff) 24 3 1x x
gg) 25 4 1x x
hh) 26 7 1x x
ii) 27 8 1x x
jj) 24 4 1x x
kk) 29 6 1x x
ll) 216 8 1x x
mm) 225 10 1x x
nn) 236 12 1x x oo) 3 2 3 3x x pp) 4 2 1x x
qq) 5 3 2 5x x rr) 6 2 5 12x x ss) 7 4 3 7x x tt) 8 2 7 24x x uu) 8 11 6 5x x x vv) 3 12 9 10 12x x x ww) 4 4 7 10 4x x x xx) 3 9 9 4 8x x x yy) 7 10 10 9 1x x x zz) 15 11 44 16 1x x x
aaa) 2 7 32
4x x
x
bbb) 2 7 314 28
2x x
x
ccc) 2 43 5
3x x
x
ddd) 2 54 6
4x x
x
eee) 2 3 15 2
5x x
x
fff) 2 3 11
2x x
x
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RELACIONES Y LGEBRA 19
GRUPO FNIX
ECUACIONES CUADRTICAS CON UNA INCGNITA
III Caso: 2 0ax bx
Las ecuaciones que se pueden expresar de la forma 2 0ax bx con a, b constantesreales, se pueden resolver por Frmula General. Es importante sealar que este es un caso
particular del II Caso porque 0c .
Ejemplo 1
Resolver la ecuacin 2 23 2 2 12x x x x
Ejemplo 2
Resolver la ecuacin 2 21 2 1 0x x 1. Ordenamos la ecuacin de la forma
2 2
2 2
2
3 2 2 123 2 2 12 0
5 10 0
x x x x
x x x x
x x
2. Se calcula el discriminante ( )
25 , 10, 0
10 4 5 0
100
a b c
3. El discriminante es positivo ( 0 ),entonces la ecuacin tiene dos soluciones
4. Se calculan las soluciones:
Primera solucin Segunda solucin
1
1
1
210 102 5
0 010
bx
a
x
x
2
2
2
210 102 5
20 210
bx
a
x
x
: 0, 2S
1. Ordenamos la ecuacin de la forma
2 2
2 2
2 2
2
1 2 1 0
2 1 4 4 1 0
2 1 4 4 1 0
3 6 0
x x
x x x x
x x x x
x x
2. Se calcula el discriminante ( )
23 , 6, 0
6 4 3 0
36
a b c
3. El discriminante es positivo ( 0 ),
entonces la ecuacin tiene dos soluciones
4. Se calculan las soluciones:
Primera solucin Segunda solucin
1
1
1
26 6
2 312 2
6
bx
a
x
x
2
2
2
26 6
2 30 06
bx
a
x
x
: 2,0S
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20 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO FNIX
Trabajo cotidiano # 3
1. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadrticas
a) 2 23 3 4x x x x
b) 2 22 4 3x x x x
c) 24 4 6x x
d) 23 6 1 1 2x x x
e) 22 5 3 3x x x
f) 22 10 8 8 11x x x
g) 23 6 27 27 7x x x
h) 2 24 13 64 13x x x x
i) 2 25 42 125 42x x x x
j) 2 26 111 216 101x x x x
k) 2 2 223 9 40 31x x x x x
l) 2 2 22 4 60 5x x x x x
m) 2 2 213 10 91 3x x x x x
n) 2 2 215 115x x x x x
o) 2 2 211 14 135 11x x x x x
p) 2 5 6 6x x
q) 2 4x x
r) 23 0x x
s) 26 0x x
t) 23 3 3 0x x
u) 25 2 2 2 3 4x x x x x
v) 2 22 2 1 3 1x x x
w) 24 4 4x x x
x) 7 2 4 1 2 8x x x x
y) 2 5 6 1 3 1 2 5x x x x
z) 4 1 2 3 5 2 3 2 7x x x x x
aa) 6 3 1 32
xx x
bb)21 2 1
2 3 6x x
cc)2 2
33 2
x x x xx
dd)2 1 3 52 4 4
x x
ee)2 1 11 13 3
xx
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RELACIONES Y LGEBRA 21
GRUPO FNIX
Ejercicios de profundizacin1. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadrticas
a) 21 (2 ) ( 1)x x x b) 2 1 3 3x x
c) 22 0x x
d) 23 2 2 2x x x
e)1 1 22 xx x
f)3 164
2 2x
x x
g) 21 2
1 1x x
h) 2 22 3 1
4x x x
i) 13 5 32 2x
x x
j) 4 3 6x x
k) 3 2 3 2 3x x x
l) 1 1 5x x
m) 21 2 3x x
n) 2 1 2x x
o) 2 26 5x a ax
p) 1 2 2 2 1x x
q)
8 26 142 3 2 3
x x
x x x x
r) 1 2 5x x
s) 2 2 3 2x x x x x x
t) 2 2 2 5 3x x x
u) 52 1 23
xx x x
x
v) 3 23 2 4 0x x x
w) 2 5 4x x
x) 232 333 2 1
x
x x x
y) 7 2 2 4 22
x k kx
z) 25 4 14 3
2 3 2 3 4 9x
x x x
aa) 4 24 13 9 0x x
bb) 21 2 1x x
cc)2
5 3 24 2 8x x x
dd)2
22 7 16 2
6 2 3x x x
x x x x
ee) 4 24 5 0x x
ff)2 13 33 4 4 0x x
gg)10 51 12 7 5
2 2x x
hh) 4 22 23 3 2 3 3 3x x x x
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22 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO FNIX
RESOLUCIN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES CUADRTICAS
En la solucin de problemas es importante considerar el mtodo que plante George Polya
(Matemtico Hngaro), sugiriendo cuatro pasos:
1. Entender el problema.
2. Configurar un plan de solucin.
3. Ejecutar el plan de solucin.
4. Mirar hacia atrs (la respuesta satisface lo establecido en el problema?)
Ejemplo 1
Celeste desea calcular la medida del ancho de un rectngulo que tiene las siguientes
caractersticas: La medida de la diagonal excede en 1 al largo y en 8 al ancho.
Plan de solucin:
Suponiendo un caso particular Caso general
Ejecucin del plan de solucin:
2 2 22 2 2
2
1 2
1 8
2 1 16 6418 65 0
13 5
x x x
x x x x x
x x
x x
Respuesta: Celeste calcul que la medidadel ancho del rectngulo mide 5, porque al
sustituir los valores en 8x se obtiene unnmero positivo, siendo ste la medida del
ancho.
100
99
92 8x
1x
x
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RELACIONES Y LGEBRA 23
GRUPO FNIX
RESOLUCIN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES CUADRTICAS
En la solucin de problemas es importante considerar el mtodo que plante George Polya
(Matemtico Hngaro), sugiriendo cuatro pasos:
1. Entender el problema.
2. Configurar un plan de solucin.
3. Ejecutar el plan de solucin.
4. Mirar hacia atrs (la respuesta satisface lo establecido en el problema?)
Ejemplo 2
Gustavo Adolfo desea calcular el permetro de un cuadrado que tiene las siguientes
caractersticas: Si la longitud de cada lado de un cuadrado se aumenta en 6, entonces el
rea del cuadrado que se forma es cuatro veces el rea del cuadrado original.
Plan de solucin:
Cuadrado original Cuadrado aumentado
Ejecucin del plan de solucin:
2 22 2
2
1 2
6 412 36 4
3 12 36 06 2
x x
x x x
x x
x x
Respuesta: Gustavo Adolfo calcul que elpermetro del cuadrado original mide 24.
xx
x
x
6x
6x
6x6x
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24 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO FNIX
Trabajo cotidiano # 41. Resuelva los siguientes problemas utilizando ecuaciones cuadrticas
a) La medida de la diagonal de un rectngulo excede en 1 al largo y en 2 al ancho. Cul es
la medida del ancho del rectngulo?
b) La medida de la diagonal de un rectngulo excede en 5 al largo y en 10 al ancho. Cul
es la medida del largo del rectngulo?
c) La medida del ancho de un rectngulo es 7cm menor que el largo y 14cm menor que la
diagonal. Cul es la medida de la diagonal del rectngulo?
d) La medida del ancho de un rectngulo es 8cm menor que el largo y 16cm menor que la
diagonal. Cul es la medida de la diagonal del rectngulo?
e) La medida del largo de un rectngulo es 9cm menor que la diagonal y 9cm mayor que el
ancho. Cul es la medida del largo del rectngulo?
f) La medida del largo de un rectngulo es 10cm menor que la diagonal y 10cm mayor que
el ancho. Cul es la medida del ancho del rectngulo?
g) Si la longitud de cada lado de un cuadrado se aumenta en 2, entonces el rea del
cuadrado que se forma es cuatro veces el rea del cuadrado original. Cul es el
permetro del cuadrado original?
h) Si la longitud de cada lado de un cuadrado se aumenta en 3, entonces el rea del
cuadrado que se forma es cuatro veces el rea del cuadrado original. Cul es el
permetro del cuadrado original?
i) Si la longitud de cada lado de un cuadrado se aumenta en 8, entonces el rea del
cuadrado que se forma es nueve veces el rea del cuadrado original. Cul es el rea
del cuadrado original?
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RELACIONES Y LGEBRA 25
GRUPO FNIX
j) Si la longitud de cada lado de un cuadrado se aumenta en 15, entonces el rea del
cuadrado que se forma es diecisis veces el rea del cuadrado original. Cul es el rea
del cuadrado aumentado?
k) Si el rea de un terreno rectangular mide 672m2 y el largo excede al ancho en 4m,
entonces determine la longitud del largo del rectngulo.
l) Si en un rectngulo, el permetro mide 34cm y el rea es de 72cm2, entonces determine
las dimensiones del rectngulo.
m) El rea de un rectngulo es 24. Si el largo es igual a 2 aumentado en el doble del ancho,
entonces determine la longitud del largo del rectngulo.
n) Si aumentamos el lado de un cuadrado en 9cm y disminuimos el otro lado tambin en
9cm, obtenemos con estas nuevas dimensiones un rectngulo de rea 144 cm2.
Determine los lados del rectngulo.
o) Si una sala de sesiones tiene 12m ancho y 14m de largo, y quieren alfombrarla, excepto
un borde de ancho uniforme, entonces determine las dimensiones que deber tener la
alfombra si su rea es de 80m2
p) Si la suma de dos nmeros es 36 y su producto 323, entonces determine cules son esos
nmeros.
q) La suma de dos nmeros es 42 y su producto es 432. Determine los dos nmeros.
r) La suma de dos nmeros es 16, la diferencia de sus cuadrados es 32. Hallar los
nmeros.
s) Considere dos nmeros pares consecutivos, tal que el cuadrado del mayor sumado al
menor equivale a 810. Determine cules son los nmeros.
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26 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO FNIX
Ejercicios de profundizacina) Los tres lados de un tringulo rectngulo son proporcionales a los nmeros 3, 4 y 5. Halla
la longitud de cada lado sabiendo que el rea del tringulo es 24 2m .
b) Un jardn rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho est rodeado por un camino de
arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su rea es 540 2m .
c) Calcula las dimensiones de un rectngulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que es
semejante a otro rectngulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente.
d) Halla un nmero entero sabiendo que la suma con su inverso es265
.
e) Dos cadas de agua, A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por s solo
en tres horas menos que B. Cuntas horas tarda a cada uno separadamente?
f) Los lados de un tringulo rectngulo tienen por medidas en centmetros tres nmeros
pares consecutivos. Halla los valores de dichos lados.
g) Una pieza rectangular es 4 cm ms larga que ancha. Con ella se construye una caja de
840 cm3 cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes.
Halla las dimensiones de la caja.
h) Un cao tarda dos horas ms que otro en llenar un depsito y abriendo los dos juntos se
llena en 1 hora y 20 minutos. Cunto tiempo tardar en llenarlo cada uno por separado?
i) La suma de las reas de dos crculos es 276 y la diferencia entre las medidas de susrespectivos radios es 8. Cul es la medida del radio del crculo menor?
j) Un trozo de alambre de 100 2cm de largo, se corta en dos y cada pedazo se dobla paraque tome la forma de un cuadrado. Si la suma de las reas formadas es 397 2cm ,
encuentre la longitud de cada pedazo de alambre.
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RELACIONES Y LGEBRA 27
GRUPO FNIX
k) Un hombre desea usar 6 3m de concreto para construir el piso de un patio rectangular. Si
la longitud del patio debe ser el doble de ancho y el grosor del piso debe ser de 8cm ,encuentre las dimensiones del patio.
l) Se quiere construir un barril de petrleo cilndrico y cerrado con una altura de 4 metros,
de manera que el rea superficial total sea de 210 m . Determine el dimetro del barril.
m) Cuando el precio de una marca popular de aparatos de videos es de $300 (dlares) por
unidad, una tienda vende 15 unidades a la semana. Cada vez que el precio se reduce en
$10, sin embargo, las ventas aumentan en 2 unidades a la semana. Qu precio de venta
debe ponerse para obtener ingresos mensuales de $7000(dlares)?
n) Dos muchachos con radio-transmisores salen del mismo lugar a las 9:00 a.m, uno de
ellos camina hacia el sur a 4km/h y el otro camina hacia el oeste a 3km/h. Cunto
tiempo pueden comunicarse si cada radio tiene un alcance de 2km?
Trabajo extraclase # 1
1. Considere las siguientes ecuaciones
I. 2 4 0x II. 2 2 1 0x x Cules de ellas no tienen soluciones reales?
A) AmbasB) Ninguna
C) Solo la ID) Solo la II
2. El conjunto solucin de 5 2 1 9x x x x esA) 6B) 5,5
C) 5, 5D) 1 6,1 6
3. El conjunto solucin de 222 2 20 2x x x esA) 8 , 2
B) 6 , 4
C) 6 , 4
D)82 ,
3
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28 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO FNIX
4. Una solucin de 21 43 2 5
4x
x x
es
A)32
B)76
C)1 2 2
2
D)1 73
12
5. El conjunto de la solucin de 222 3 1x x x es
A)1 5 1 5
,
2 2
B)3 5 3 5
,
2 2
C)3 21 3 21
,
6 6
D)5 13 5 13
,
6 6
6. El conjunto solucin de 223 9 3x x x esA) 3
B)32
C)3
, 32
D)3
, 32
7. Una solucin de 4 2 1x x es
A)14
B)3
2
C)31
2
D)51
2
8. Considere el siguiente enunciado: La diferencia de los cuadrados de dos nmerosnaturales consecutivos es 17. Hallar los nmeros. Si x representa el mayor de losnmeros, una ecuacin que permite resolver el problema anterior es
A) 2 2 1 17x x B) 2 2 1 17x x
C) 22 1 17x x D) 22 1 17x x
9. Si el rea de un terreno rectangular mide 896m2 y el largo excede al ancho en 4m,entonces cul es la longitud en metros del largo del rectngulo?
A) 28B) 30
C) 32D) 34
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RELACIONES Y LGEBRA 29
GRUPO FNIX
10.El producto de dos nmeros positivos es 2. Si el nmero mayor excede en1710
al menor,
entonces cul es el nmero mayor?
A) 52
B)45
C)25
D)3
1011.El rea de un rectngulo es 15. Si el largo es igual a 4 aumentado en el triple del ancho,
entonces cul es la longitud del largo del rectngulo?
A) 13
B)78
C)35
D) 912.La suma de dos nmeros es 23 y su producto 102. Cules son esos nmeros?
A) 17 y 6 B) 7 y 30
C) 11 y 12D) 6 y 17
13.Si el rea de un rombo es 6,4 y la longitud de una diagonal es un quinto del cudruplo dela longitud de la otra diagonal, entonces cul es la medida de la diagonal de mayorlongitud?
A)165
B)169
C) 4
D) 2
14.El producto de dos nmeros negativos es 90. El nmero mayor excede en siete a untercio del nmero menor. Cul es el nmero menor?
A) 3B) 9
C) 30D) 10
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30 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO FNIX
FACTORIZACIN DEL TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE
I Mtodo: Frmula General
La frmula general adems es til para la factorizacin de un polinomio de la forma
2ax bx c con a, b, c constantes reales y 0c
Procedimiento:
1. Se identifica el valor de a, b, c en el polinomio y se calcula el discriminante ( )
2 4b ac
2. Se realiza el estudio del discriminante:
Valor del Interpretacin
0 El polinomio es factorizable como el producto
de dos factores distintos
0 El polinomio es factorizable como el producto
de dos factores iguales
0 El polinomio NO es factorizable
3. Se calculan los valores de x con la Frmula General:
Frmula general
2b
xa
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RELACIONES Y LGEBRA 31
GRUPO FNIX
FACTORIZACIN DEL TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE
I Mtodo: Frmula General
Ejemplo 1Factorice el polinomio 24 12 9x x
Ejemplo 2Factorice el polinomio 25 2x x
1. Se calcula el discriminante ( )
2
2
4
12 4 4 9 0
b ac
2. El discriminante es cero ( 0 ),
entonces el polinomio es factorizable
como el producto de dos factores iguales.
3. Se calculan los valores de x :
Primer factor Segundo factor
1
1
212 0 3
2 4 2
bx
a
x
12 3x
2
2
212 0 3
2 4 2
bx
a
x
22 3x
2
22
/ : 4 12 9 2 3 2 3
4 12 9 2 3
R x x x x
x x x
1. Ordenamos el polinomio de la forma
22 5x x
2. Se calcula el discriminante ( )
2
2
4
1 4 2 5 39
b ac
3. El discriminante es negativo ( 0 ),
entonces el polinomio NO es factorizable.
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32 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO FNIX
FACTORIZACIN DEL TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE
I Mtodo: Frmula General
Ejemplo 3
Factorice el polinomio 22 5 3x x
Ejemplo 4
Factorice el polinomio 216 63y y
1. Se calcula el discriminante ( )
2
2
2 , 5, 3
4
5 4 2 3
49
a b c
b ac
2. El discriminante es positivo ( 0 ),entonces el polinomio es factorizable
como el producto de dos factores distintos
3. Se calculan los valores de x :
Primer factor Segundo factor
1
1
1
1
25 7
2 2124
3
bx
a
x
x
x
1 3x
2
2
2
2
25 7
2 22
41
2
bx
a
x
x
x
22 1x
2/ : 2 5 3 3 2 1R x x x x
1. Ordenamos el polinomio de la forma2 16 63y y
2. Se calcula el discriminante ( )
2
2
1 , 16, 63
4
16 4 1 63
4
a b c
b ac
3. El discriminante es positivo ( 0 ),entonces el polinomio es factorizable
como el producto de dos factores distintos
4. Se calculan los valores de y :
Primer factor Segundo factor
1
1
1
1
216 2
2 1182
9
bya
y
y
y
1 9y
2
2
2
2
216 2
2 1142
7
bya
y
y
y
1 7y
2/ : 16 63 9 7R y y y y
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RELACIONES Y LGEBRA 33
GRUPO FNIX
Trabajo cotidiano # 5
1. Factorice los siguientes trinomios de segundo grado utilizando la Frmula General.
a) 22 3 1x x
b) 23 2 1x x
c) 22 5 2x x
d) 24 3 1x x
e) 22 7 3x x
f) 25 4 1x x
g) 22 9 4x x
h) 26 7 1x x
i) 22 11 5x x
j) 27 8 1x x
k) 22 1x x
l) 24 4 1x x
m) 22 3 2x x
n) 29 6 1x x
o) 22 5 3x x
p) 216 8 1x x
q) 22 7 4x x
r) 225 10 1x x
s) 22 9 5x x
t) 236 12 1x x
u) 23 2x x
v) 24 3x x
w) 25 4x x
x) 26 5x x
y) 27 6x x
z) 2 2x x
aa) 22 3x x
bb) 23 4x x
cc) 24 5x x
dd) 25 6x x
ee) 23 18y y
ff) 22 15y y
gg) 22 1y y
hh) 2 7 60a a
ii) 210 3 11a a
jj) 29 25 30a a
kk) 240 100 4m m
ll) 29 4 12m m
mm) 2 169 26m m
nn) 224 144m m
oo) 210 15 20n n
pp) 213 90m m
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34 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO FNIX
FACTORIZACIN DEL TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE
II Mtodo: Inspeccin
Se utiliza para polinomios de la forma 2ax bx c , con , ,a b c y 0a . Lafactorizacin de dicho polinomio debe ser de la forma 2ax bx c Ax B Cx D ,donde , ,A B C son nmeros enteros con , ,A C a B D c y A D B C b .
Caso generalEjemplo 1
Factorice el polinomio 22 5 3x x
1. Se buscan los factores para 2ax y c
2. Se expresa la factorizacin 2ax bx c Ax B Cx D
1. Se buscan los factores para 2 3y
2. Se expresa la factorizacin 22 5 3 3 2 1x x x x
Ejemplo 2Factorice el polinomio 26 23 10x x
Ejemplo 3Factorice el polinomio 24 12 9x x
1. Se buscan los factores para6 10y
2. Se expresa la factorizacin 26 23 10 3 10 2 1x x x x
1. Se buscan los factores para 4 9y
2. Se expresa la factorizacin de
224 12 9 2 3 2 3 2 3x x x x x
3x
2 1x
22 5 3x x
1 2 3 5x x x
3 10x
2 1x
26 23 10x x
3 1 2 10 23x x x
2 3x
2 3x
24 12 9x x
2 3 2 3 12x x x
C x D
A D B C b
2ax bx c Ax B
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RELACIONES Y LGEBRA 35
GRUPO FNIX
Trabajo cotidiano # 6
1. Factorice los siguientes trinomios de segundo grado utilizando Inspeccin.
a) 22 3 1x x
b) 23 2 1x x
c) 22 5 2x x
d) 24 3 1x x
e) 22 7 3x x
f) 25 4 1x x
g) 22 9 4x x
h) 26 7 1x x
i) 22 11 5x x
j) 27 8 1x x
k) 22 1x x
l) 24 4 1x x
m) 22 3 2x x
n) 29 6 1x x
o) 22 5 3x x
p) 216 8 1x x
q) 22 7 4x x
r) 225 10 1x x
s) 22 9 5x x
t) 236 12 1x x
u) 23 2x x
v) 24 3x x
w) 25 4x x
x) 26 5x x
y) 27 6x x
z) 2 2x x
aa) 22 3x x
bb) 23 4x x
cc) 24 5x x
dd) 25 6x x
ee) 23 18y y
ff) 22 15y y
gg) 22 1y y
hh) 2 7 60a a
ii) 210 3 11a a
jj) 29 25 30a a
kk) 240 100 4m m
ll) 29 4 12m m
mm) 2 169 26m m
nn) 224 144m m
oo) 24 2 6x x
pp) 26 3 9x x
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36 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO FNIX
FACTORIZACIN DEL TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE
III Mtodo: Frmula Notable
Se utiliza para polinomios de la forma 2ax bx c , con , ,a b c y 0a .1. Se calcula 2ax y c
2. Se determina si 22 ax c bx
3. En caso de ser cierto el procedimiento # 2 se expresa 22 2ax bx c ax c Ejemplo 1
Factorice el polinomio 225 70 49x x Ejemplo 2
Factorice el polinomio 220 100y y 1. Se calcula
225 5x x y 49 72. Se determina si
2 5 7 70x x 3. El procedimiento # 2 es cierto, entonces
2225 70 49 5 7x x x
1. Se calcula2y y y 100 10
2. Se determina si
2 10 20y y 3. El procedimiento # 2 es cierto, entonces
22 220 100 20 100 10y y y y y
Trabajo cotidiano # 71. Factorice los siguientes trinomios de segundo grado utilizando Frmulas Notables.
a) 2 2 1x x b) 24 4 1x x c) 29 6 1x x d) 216 8 1x x e) 225 10 1x x f) 2 4 4x x g) 24 12 9x x h) 29 24 16x x i) 216 40 25x x j) 225 60 36x x k) 2 6 9x x l) 24 20 25x x m) 29 42 49x x n) 225 40 16x x o) 2 2 1x x
p) 24 4 1x x q) 29 6 1x x r) 216 8 1x x s) 225 10 1x x t) 2 4 4x x u) 24 12 9x x v) 29 24 16x x w) 216 40 25x x x) 225 60 36x x y) 2 6 9x x z) 24 20 25x x aa) 29 42 49x x bb) 236 60 25x x cc) 225 40 16x x dd) 236 60 25x x
ee) 249 28 4b b ff) 2 1 2w w gg) 225 9 30x x hh) 216 4 16x x
ii)2
14a
a
jj)2
14b b
kk)2
2 99n
n
ll)2 21
9 3b b
mm)24 1
9 3 16x x
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RELACIONES Y LGEBRA 37
GRUPO FNIX
FACTORIZACIN DEL TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE
IV Mtodo: Teorema del factor
Un polinomio f x tiene un factor x d si y slo si 0f d . En nuestro caso, unpolinomio de la forma 2ax bx c , con , ,a b c y 0a , tiene un factor x d si yslo si 0f d .Procedimiento:
1. Se determinan los divisores de c
1 2 3: , , ,... nDivisores d d d d2. Se determina uno de los divisores que cumpla que 0f d .3. Se realiza la divisin sinttica entre 2ax bx c y x d para determinar el
cociente, es decir el segundo factor del polinomio.
Ejemplo 1
Factorice el polinomio 22 5 3x x
Procedimiento:
1. Se determinan los divisores de 3
: 1, 3Divisores 2. Se determina uno de los divisores que cumpla que 0f d .
23 2 3 5 3 3 0f 3. Se realiza la divisin sinttica entre 22 5 3x x y 3x para determinar el cociente,
es decir el segundo factor del polinomio.
Cociente: 2 1x
4. La factorizacin del polinomio 22 5 3 3 2 1x x x x
2 5 3 3
261
3
0
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38 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO FNIX
Trabajo cotidiano # 81. Factorice los siguientes trinomios de segundo grado utilizando el teorema del factor.
a) 22 3 1x x
b) 23 2 1x x
c) 22 5 2x x
d) 24 3 1x x
e) 22 7 3x x
f) 25 4 1x x
g) 22 9 4x x
h) 26 7 1x x
i) 22 11 5x x
j) 27 8 1x x
k) 22 1x x
l) 24 4 1x x
m) 22 3 2x x
n) 29 6 1x x
o) 22 5 3x x
p) 22 7 4x x
q) 22 9 5x x
r) 23 2x x
s) 24 3x x
t) 25 4x x
u) 26 5x x
v) 27 6x x
w) 2 2x x
x) 22 3x x
y) 23 4x x
z) 24 5x x
aa) 25 6x x bb) 23 18y y
cc) 22 15y y
dd) 22 1y y
ee) 2 7 60a a ff) 2 169 26m m gg) 224 144m m
FACTORIZACIN DEL TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE
IV Mtodo: Teorema del factor
Ejemplo 2Factorice el polinomio 2 4 4x x
1. Se determinan los divisores de 4 : 1, 2, 4Divisores
2. Se determina uno de los divisores que cumpla que 0f d . 22 2 4 2 4 0f
3. Se realiza la divisin sinttica entre 2 4 4x x y 2x para determinar el cociente,es decir el segundo factor del polinomio.
Cociente: 2x 4. La factorizacin del polinomio 22 4 4 2 2 2x x x x x
1 4 4 2
122
4
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RELACIONES Y LGEBRA 39
GRUPO FNIX
FACTORIZACIN COMPLETA DE POLINOMIOS DE TRES Y CUATRO TRMINOS CONUNA O DOS VARIABLES
Factor Comn y Frmula Notable
Ejemplo 1Factorice de forma completa el polinomio
228 28 7x y xy y
Ejemplo 2Factorice de forma completa el polinomio
3 2 2 2 28 40 507 7 7
x y x y xy
1. Se determina el factor comn delpolinomio
2
2
28 28 77 4 4 1
x y xy y
y x x
2. Se factoriza el trinomio de segundo grado
2
2
7 4 4 1
7 2 1
y x x
y x
1. Se determina el factor comn delpolinomio
2 22 4 20 257 xy x x 2. Se factoriza el trinomio de segundo grado
2 2
22
2 4 20 2572 2 57
xy x x
xy x
Ejemplo 3Factorice de forma completa el polinomio 3 2 2 1x x x x
1. Se determina el factor comn del polinomio
3 2
2 2
2 1
2 1
x x x x
x x x x
2. Se factoriza el trinomio de segundo grado:
2 2
22
2 1
1
x x x x
x x x
3. Se factoriza la expresin que est dentro del parntesis cuadrado utilizando diferencia decuadrados:
22 1
1 1
x x x
x x x x x
4. Se simplifican los factores
1 1
1 12 1 1
2 1
x x x x x
x x x x x
x x
x x
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40 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO FNIX
Trabajo cotidiano # 91. Factorice de forma completa los siguientes polinomios.
a) 3 218 12 2x y x y xy
b) 4 3 248 24 3x y x y x y
c) 3 3 2 3 34 16 16x y x y xy
d) 4 2 3 2 2 245 120 80x y x y x y
e) 3 4 5 4 4 4150 54 180x y x y x y
f) 250 80 323 3 3
x y xy y
g) 3 264 64 165 5 5
x y x y xy
h) 2 2 2 3 284 147 1211 11 11
x y xy x y
i) 2 3 4 3 3 336 16 487 7 7
x y x y x y
j) 3 4 4 4 5 4125 120 45
3 3 3x y x y x y
k) 3 2 10 25x x x x
l) 3 2 4 4x x x x
m) 4 2 2 6 9x x x x
n) 5 3 24 4 1x x x x
o) 6 4 29 12 4x x x x
p) 5 2 72 9 24 16 8x x x x
q) 6 2 816 9 30 25 36x x x x
r) 7 2 9125 16 40 25 80x x x x
s) 2 38 1825 20 43 3x x x x
t) 3 2 54 925 30 95 80x x x x
u) 3 2 22xy xy x xy y
v) 4 2 2 24 4xy xy x xy y
w) 5 3 2 26 9xy xy x xy y
x) 2 3 2 2 24 4x y x y x xy y
y) 3 3 3 2 29 12 4x y x y x xy y
z) 3 4 3 2 2 29 24 16x y x y x xy y
aa) 2 2 216 40 25xy xy x xy y
bb) 4 2 4 4 2 225 20 4x y x y x xy y
cc) 4 2 225 30 9xy xy x xy y
dd) 3 5 2 29 30 25x y xy x xy y
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n El
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RELACIONES Y LGEBRA 41
GRUPO FNIX
FACTORIZACIN COMPLETA DE POLINOMIOS DE TRES Y CUATRO TRMINOS CONUNA O DOS VARIABLES
Grupos y Factor Comn
Ejemplo 1Factorice de forma completa el polinomio
23 8 6 4x y xy x
Ejemplo 2Factorice de forma completa el polinomio
23 4 6 2xy x y x
1. Se agrupan los trminos de dos en dos
tomando como criterio que cada
agrupacin tenga factor comn
2
2
3 8 6 43 6 8 4x y xy x
x xy y x
2. Se determina el factor comn de cada
agrupacin
23 6 8 4
3 2 4 2
x xy y x
x x y y x
3. Se determina el factor comn entre los
dos grupos
3 2 4 23 2 4 2
2 3 4
x x y y x
x x y x y
x y x
1. Se agrupan los trminos de dos en dos
tomando como criterio que cada
agrupacin tenga factor comn
2
2
3 4 6 23 6 4 2xy x y x
xy y x x
2. Se determina el factor comn de cada
agrupacin
23 6 4 2
3 2 2 2
xy y x x
y x x x
3. Se determina el factor comn entre los
dos grupos
3 2 2 23 2 2 2
2 3 22 2 3
y x x x
y x x x
x y x
x x y
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42 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO FNIX
Trabajo cotidiano # 10
1. Factorice de forma completa los siguientes polinomios.
a) 2 31x x x
b) 21 2 2x x x
c) 3 24 1 4x x x
d) 3 23 2 12 8x x x
e) 2 33 9 3x xy y y
f) 24 6 3 2x y xy x
g) 1 3 2 6x y xy
h) 24 3 6 2x xy y x
i) 2 28 4 5 10y x x y xy
j) n ym m yn
k) 2a a ax x
l) 3 1 3ab b a
m) 2yz z y y
n) 2 21by y b
o) 2 2 3 31ab a b a b
p) 4 43 2 3 2mx m x
q) 2 33 9 3a ab b b
r) 2 29 1 6n a an
s) 26 8 4 3mn n m m
t) 2 39 3 3ax x a x
u) 2 2 2 23 4 3 4x a x a
v) 2 22 6 3bx b x
w) 21 9 14 6x mx m
x) 2 22 2x z x z
y) 2 22 6 3b b a a
z) 4 3 4 3w m nw mn
aa) 2 2 2 33 12 4n mn nm m n
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RELACIONES Y LGEBRA 43
GRUPO FNIX
FACTORIZACIN COMPLETA DE POLINOMIOS DE TRES Y CUATRO TRMINOS CONUNA O DOS VARIABLES
Grupos y Diferencia de Cuadrados
Ejemplo 1Factorice de forma completa el polinomio
2 210 16 25x x y
Ejemplo 2Factorice de forma completa el polinomio
3 2x x y xy
1. Se agrupan los trminos tres a uno,
2 2
2 2
10 16 2510 25 16
x x y
x x y
2. Se factoriza el trinomio por Frmula
Notable
2 25 16x y
3. Se factoriza por diferencia de cuadrados
5 4 5 4x y x y
4. Se simplifican los factores
5 4 5 4x y x y
1. Se agrupan los trminos de dos en dos,
3 2
3 2
x x y xy
x xy x y
2. Se factoriza uno de los binomios por
factor comn
2 2x x y x y
3. Se factoriza uno de los binomios por
diferencia de cuadrados
x x y x y x y
4. Se factoriza toda la expresin por factor
comn y se simplifica
2
1
1
x y x x y
x y x xy
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44 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO FNIX
Trabajo cotidiano # 111. Factorice de forma completa los siguientes polinomios.
a) 2 2 22ab a b c
b) 2 26 9n n c
c) 2 2 22ac a c b
d) 2 2 22xz x z y
e) 2 22 1ax a x
f) 2 24 4 1x y xy
g) 2 2 22a ab b x
h) 2 22 1a a b
i) 2 22 1a a c
j) 2 225 1 2a m a
k) 225 10 9n n
l) 2 2 29 6a b c bc
m) 2 2 29 4 4x m am a
n) 2 224 9 1 16xy x y
o) 2 29 1 16 24x a ax
p) 2 2 29 4 6y x ay a
q) 2 2 4 2x y x x xy
r) 3 22 3 3 2x x y xy
s) 4 2 2 25 5xy x x y x
t) 4 2 24 1 4x x x
u) 3 212 4 27 9x x x
v) 3 28 12 18 27x x x
w) 2 336 4 9 16x x x
x) 2 390 8 40 18x x x
y) 2 318 4 8 9x x y x y
z) 2 236 4 9a ab b
aa) 2 216 36 4 9a ab b
bb) 2 24 1 4a b ab
cc) 3 2 2 3x x y xy y
dd) 4 3 2y y y y
ee) 4 3 22 3 2 3y y y y
ff) 3 3xy y x y y
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RELACIONES Y LGEBRA 45
GRUPO FNIX
Ejercicios de profundizacin1. Factorice de forma completa los siguientes polinomios.
a) 6 38x x
b) 2 35 32 2
x x x
c) 3 23 2 6y y y
d) 2 22 2
2
7 8 9x xb b
e) 2
2
3 16 1 xxa a
f) 2 2 3 4 3 2
12 18x x x
g) 2 24 9 10 15a b b a b
h) 2 2 24 12 4 9m ab a b
i)
2 2
2
15 122 2
m mp mp pm m
j)
22 3 2 2
21 1
b a ba b a ba a
k) 23 28 10 3q q p q q p q
l) 23 215 4 2 3 4 2 3y y x y y x y
m) 2 2 2 2q p q q p q p p q p p q
n) 4 2 3b ba a
o) 3 2 410 am m
p) 3 2 1z zs s
q) 22 3n nx x
r) 1 2 1 1a ax x
s) 2 2j x jm m
t) 45 a b a b nz z
u) 2 4 31 5 1mx x
v) 1 3 12 2a am m
w) 3 1 3 2x xa b a b
x) 2 1 22 2my y
y) 2 1 1 2 1 2 1 2m m mx x x
z) 2 3 2 3 2n nx y x y
aa) 2 2 415 2 5 2 mx x
bb) 1
24 8
n nb a b a ba a
cc) 2 1 3 2 1 1
4 8
x xk k
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46 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO FNIX
Trabajo extraclase # 21. Al factorizar 3 2 1a a a un factor es
A) 1aB) 2 1a
C) 2 1a D) 22 1a
2. Un factor del polinomio 249 2 3x corresponde aA) 5 3xB) 5 3x
C) 25 xD) 2 1 2 5x x
3. Al factorizar 2 26x ax a uno de los factores esA) 3x aB) 2x a
C) 6x aD) 2x a
4. Al factorizar 26 2x x uno de los factores esA) 2 2x B) 3 2x
C) 2 2x D) 3 2x
5. La factorizacin de 2 3
164x
es
A) 1 5 112
x x
B) 1 5 112
x x
C) 1 5 114
x x
D) 1 5 114
x x
6. Un factor de 2 1 2x y y esA) 1x B) 2 y
C) 1x y D) 1x y
7. Un factor de 24 1 1x x y esA) 1xB) 1y
C) 2 1x y D) 2 1x y
8. Un factor de 2 26 3 6 3y x x y esA) x yB) x y
C) 2x y D) 2x y
9. Al factorizar 2 2 4 4a b b uno de los factores esA) 1 bB) a b
C) 2a b D) 2a b
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RELACIONES Y LGEBRA 47
GRUPO FNIX
10.La expresin 2 22 1x y x factorizada corresponde aA) 1 1y x y x B) 1 1y x y x
C) 1 1y x y x D) 1 1y x y x
11.En la factorizacin completa de 21
2 2
xx uno de los factores es
A) 2 1x
B) 2 1x
C)12
x
D)12
x
12.En la factorizacin completa de 3 2 28 4 8 4x x y x xy uno de los factores esA) x yB) 1x
C) 2x yD) 2 1x
13.En la factorizacin completa de 6 38x x uno de los factores esA) 2x B) 32x
C) 2 4 4x x D) 2 2 4x x
14.En la factorizacin completa de 316 4x x uno de los factores esA) 2 1x B) 22 1x
C) 24 2 1x x D) 24 2 1x x
15.Una factorizacin de 4 2 2 44 12 9x x y y esA) 4 44 6x yB) 22 22 3x y
C) 22 22 3x yD) 2 2 2 22 3 2 3x y x y
16.Uno de los factores de 2 2 3 4 3 2x x x esA) 4x B) 2x
C) 3 2xD) 2 4x
17.Uno de los factores de 2 2 2k p k p esA) 2 pB) 22 p
C) 2 2k pD) 2k p
18.En la factorizacin completa de 2 24 4y x x uno de los factores esA) 4x B) 2y
C) 2y x D) 2y x
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48 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO FNIX
CONCEPTO DE RELACIN
El concepto de relacin implica la idea de correspondencia entre los elementos de dosconjuntos.
Ejemplo 1 Ejemplo 2Analicemos mediante un diagrama elsiguiente caso donde existe una relacinentre estudiantes y su edad.
Analicemos el siguiente caso donde existeuna relacin entre estudiantes y el nmerode miembros de su familia.
Ejemplo 3Analicemos el siguiente caso donde la relacin o correspondencia es comprar.Cuatro estudiantes, Carlos, Mara, Jos y Laura, ingresan a la librera, que entre otrascosas ofrece: lpices, lapiceros, plumas, cuadernos, reglas, borradores, hojas blancas,flder, clips, grapas, etc. Luego de observar lo que la librera les ofreca: Carlos compr lapiceros, un cuaderno y un borrador; Mara compr dos borradores y una regla; Jos compr un lpiz; Laura no compr.
Podemos decir que los estudiantes forman un conjunto A y los tiles que ofrece la librera unconjunto B para representarlo de la siguiente forma:
En este caso Laura fue a la librera pero no compr nada, por lo tanto en una relacinpueden sobrar elementos en ambos conjuntos.
Mary
Rosy
Celeste
Gustavo
5
3
4
6
RA B
Mary
Rosy
Celeste
Gustavo
13
17
15
14
RA B
16
Carlos
Mara
Jos
Laura
lpizplumascuadernosreglasborradoreshojasflderlapiceros
A B
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RELACIONES Y LGEBRA 49
GRUPO FNIX
VARIABLE DEPENDIENTE Y VARIABLE INDEPENDIENTE
Variables Variable independiente Variable dependienteEs todo aquello que puedeasumir diferentes valores.
Es aquella propiedad de unfenmeno a la que se le va aevaluar su capacidad parainfluir, incidir o afectar a otrasvariables.
Es la caracterstica queaparece o cambia cuando seaplica, suprime o modifica lavariable independiente.
Ejemplo 1Podemos decir que los estudiantes son la variable independiente (conjunto A) y los tilesque ofrece la librera son la variable dependiente (conjunto B):
Ejemplo 2Si se paga a 350 colones la hora. El salario de un trabajador depende de las horas quetrabaje. El salario ser igual a 350 por el nmero de horas trabajadas.Si S : salario y h : horas trabajadas entonces
Esto significa que el valor de la variable S depende del valor del variable h . Es decir,entre ms horas trabaje mayor es su salario.
Ejemplo 3Un ciclista viaja a una velocidad constante durante cierto tiempo, recorre una distancia igualal producto de la velocidad por el tiempo transcurrido, es decir, d v t Esto significa que si el cuerpo viaja a 5 /m s se puede determinar cul es la distanciarecorrida con solo saber el tiempo trascurrido.La distancia depende de la duracin (tiempo) del recorrido.Si d : distancia y t : tiempo de recorrido, entonces
Carlos
Mara
Jos
Laura
lpizplumascuadernosreglasborradoreshojasflderlapiceros
A B
350S harv iable independientevar iab le dependiente
5d tarv iable independientevar iab le dependiente
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50 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO FNIX
VARIABLE DEPENDIENTE Y VARIABLE INDEPENDIENTE
Ejemplos de variables
Variables independientes Variables dependientes
Nmero de fotocopias Precio total de las fotocopias
Tiempo Distancia
Velocidad Distancia
Medida del radio Longitud de la circunferencia
Medida del radio rea de la circunferencia
Medida del ancho de un rectngulo Permetro del rectngulo
Medida del largo de un rectngulo Permetro del rectngulo
Velocidad inicial de un objeto lanzado haciaarriba Altura
Tiempo Altura
Trabajo cotidiano # 11. A continuacin se presentan relaciones de variables que son comunes en nuestra vida.
Determine cul es variable dependiente y cual es independiente.
a) El salario de un constructor depende de la cantidad de horas trabajadas por semana.b) La produccin de azcar en un ingenio es proporcional a la cantidad de caa que se
produce.c) El salario de un pen en una finca depende de la cantidad de horas trabajadas por
semana.d) La cantidad de diputados por partido poltico es proporcional a la cantidad de votos que
obtenga en una eleccin.e) Que un equipo de ftbol quede campen depende de la cantidad de juegos que gane en
todo el torneo.f) La cantidad de vacunas contra la gripe AH1N1 es proporcional a la cantidad de personas
en riesgo.g) Que un estudiante apruebe el curso lectivo depende del promedio de sus notas en los
tres trimestres.h) La pobreza de un pas depende de la cantidad de impuestos que se cobran se destinen
para brindar nuevas oportunidades a los ciudadanos.i) La capacidad de procesar informacin de una computadora depende de la velocidad de
su procesador.j) La capacidad de una computadora para almacenar informacin depende de la capacidad
de almacenamiento de su disco duro.
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RELACIONES Y LGEBRA 51
GRUPO FNIX
CONTENIDOS DE PROFUNDIZACINDESPEJE DE VARIABLE
Consiste en resolver una ecuacin para una determinada variable, pero en trminos de las
otras variables. De una frmula original se puede derivar al menos otra ms.
Ejemplo 1 Ejemplo 2La frmula del movimiento lineal casi siempre
se escribe
Supongamos que un determinado problema
nos plantea como variable dependiente la
velocidad v, entonces simplemente
despejamos
dv
t
El rea de un tringulo es igual al producto
de la base por la altura dividido por 2.
2bhA
Si la variable dependiente fuese h, quedara
la frmula as:
Si la variable dependiente fuera b, quedara
la frmula as
2Abh
Trabajo cotidiano # 21. De las frmulas que se presentan a continuacin obtenga nuevas frmulas despejando
las variables indicadas.
a) despejarf i iV V
a Vt
b) despejarf iV V at t
c) despejarf i fV V
g Vt
d) 2 22 despejarf i igh V V V
e)2 despejarhtb hg
f)22 despejarhtv gg
g) 3 despejar
2n n
D n
h) despejar2
DdA d
222
2
bhA
A bhA h
bAh
b
arv iableindependiente
arv iabledependiente
d v t
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52 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO FNIX
CONCEPTO DE FUNCIN
En el primer objetivo de esta unidad hemos analizado el concepto de relacin o
correspondencia entre dos conjuntos, en los cuales basta con que exista una conexin o un
criterio que los relacione. Para entender mejor el concepto de funcin analicemos los
siguientes ejemplos.
Ejemplo 1
Tres estudiantes, Carlos, Mara y Jos, ingresan a la librera, que entre otras cosas ofrece:
lpices, lapiceros, plumas, cuadernos, reglas, borradores, hojas blancas, flder, clips,
grapas, etc. Luego de observar lo que la librera les ofreca:
Carlos compr un borrador; Mara compr dos borradores; Jos compr un lpiz.
Podemos decir que los estudiantes forman un conjunto A y los tiles que ofrece la librera un
conjunto B para representarlo de la siguiente forma:
Cules son las diferencias entre este ejemplo y el que se plante en el objetivo estudiado
anteriormente en la pgina 68?
Carlos
Maria
Jos
Lpiz
Plumas
Cuadernos
Reglas
Borradores
Hojas
A B
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RELACIONES Y LGEBRA 53
GRUPO FNIX
CONCEPTO DE FUNCIN
Ejemplo 2
Analicemos el siguiente caso donde existe una relacin entre estudiantes y su edad.
En este caso encontramos que cada uno de los elementos del Conjunto A se relaciona con
un nico elemento del Conjunto B. Es decir, cada estudiante se relaciona con un niconmero que representa su edad.
Mediante un diagrama podemos representar la informacin.
Podemos observar lo siguiente:
1) Todos los elementos del Conjunto A se relacionaron con algn elemento del Conjunto B,
o sea, no sobraron elementos en el Conjunto A (Conjunto de Salida).
2) Contrario al Conjunto A, notamos que existen elementos del Conjunto B que no fueron
seleccionados por elementos del Conjunto A. Es decir, sobraron elementos en el
Conjunto B (Conjunto de llegada).
MaryRosy
PedroJuan
13
1715
14
R
A B
16
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54 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO FNIX
CONCEPTO DE FUNCIN
Ejemplo 3
Analicemos el siguiente caso donde existe una relacin entre es
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