SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Forma General: ax + by =c
dx + ey = f
Puede ocurrir que tengan, dependiendo de la relación relativa de las rectas en el plano cartesiano:
8) Una solución
9) Ninguna solución
10)Infinitas soluciones
• Una solución o sistema compatible
Pendiente 1 diferente a pendiente 2.
Existe intersección.
Ej: L1 : 2x + y = 5
L2 : 3x – y = 5
L1 : y = 5 – 2x m = -2 ; n = 5
L2 : y = 3x – 5 m = 3 ; n = -5
2) No hay solución o sistema incompatible
m1 = m2
n1 diferente a n2
Rectas paralelas.
Ej: L1 : 2x + y = 5
L2 : 2x + y = 3
L1 : y = 5 – 2x m = -2 ; n = 5
L2 : y = 3 – 2x m = -2 ; n = 3
3) Infinitas soluciones o sistema compatible indeterminado
m1 = m2
n1 = n2
Rectas coincidentes
Ej: L1 : 2x + y = 5
L2 : 4x + 2y = 10
L1 : y = 5 – 2x m = -2 ; n = 5
L2 : 2y = 10 – 4x
y = 5 – 2x m = -2 ; n = 5
RESOLUCIÓN ALGEBRAICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES
• Método de igualación: Se despeja la misma variable en las dos ecuaciones y luego se igualan.
Ej: x + y = 30 x = 30 – y
4x + 2y = 80 4x = 80 – 2y x = 20 – ½y
30 – y = 20 - ½y / x2
60 – 2y = 40 – y
60 – 40 = - y + 2y
20 = y
Luego se reemplaza :
x + 20 = 30
X = 30 – 20
X = 10
2) Método de sustitución:
Se despeja un variable en una ecuación y se sustituye en la otra ecuación.
Ej: a. x + y = 30
b. 4x + 2y = 80
• X = 30 – y
• 4(30 – y) + 2y = 80
120 – 4y + 2y = 80
120 – 80 = 4 y – 2y
40 = 2y
20 = y
Se despeja x :
X + 20 = 30
X = 30 – 20
X = 10
3) Método de reducción
Consiste en reducir las dos ecuaciones a una sola. Para eso debemos multiplicar una o ambas ecuaciones de modo que las incógnitas del mismo tipo queden con signos opuestos para poder eliminarlos.
Ej : x + y = 30
4x + 2y = 80
/ x -4 -4x – 4y = -120
4 + 2y = 80+ -2y = - 40
y = 20
X + 20 = 30
X = 10
Reemplazamos:
4) Método de Cramer:
Ej: 2x + 3y = 1
5y - x = 2
1º. Se ordenan las variables 2x + 3y = 1
-x + 5y = 2
2º. Se ordenan por discriminantes= 2 3
-1 5Sólo las variables
X = 1 3
2 5
Se “tapan” las variables x y se reemplaza por los nº que sobran (en este caso 1 y 2)
= (2 x 5) – [3 x (-1)]
= 10 + 3 = 13
= (1 x 5) – (3 x 2)
= 5 – 6 = -1
Se multiplica cruzado y se restan los resultados.
En este caso :
Es el que menos se entiende :B sorry $:
4) Método de sustitución de variable
Ej: 2/x + 5/y = 1
1/x – 2/y = -1
2 x 1/x + 5 x 1/y = 1
1/x – 2 x 1/y = -1
1º. Remplazar :
1/x = u
1/y = v
2º. Sustituir:
2 x u + 5 x v = 1
u – 2 x v = -1
2u + 5v = 1
u - 2v = -1 /x-2
= 2u + 5v = 1
-2u + 4v = 2
9 v = 3
v = 1/3