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MATEMÁTICAS 2º BACH. CC. SS. 4 de abril de 2006 Probabilidades 1) Sean A y B dos sucesos independientes tales que P(B) = 0.05 y P(A/ B) = 0.35.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que suceda al menos uno de ellos? (2 puntos) b) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra el suceso A pero no el B? (2 puntos)

2) En una agrupación musical el 60% de sus componentes son mujeres. El 20% de las mujeres y el 30% de los hombres de la citada agrupación están jubilados. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un componente de la agrupación, elegido al azar,

esté jubilado? (2 puntos) b) Sabiendo que un componente de la agrupación, elegido al azar, está jubilado

¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? (2 puntos) 3) En un hospital se han producido 200 nacimientos en un mes. De ellos, 105 son va-

rones y, de éstos, 21 tienen los ojos azules. Asimismo se ha observado que 38 de las niñas nacidas en ese mes tienen los ojos azules. Se elige, al azar, un recién nacido entre los 200 citados. a) Calcule la probabilidad de que tenga los ojos azules. (1 punto) b) Si el recién nacido que se elige tiene los ojos azules, ¿cuál es la probabilidad de

que sea un varón? (1 punto)

Examen 4/04/06 – Soluciones – Prof. R.Mohigefer Página 1

Soluciones Todos los problemas proceden del conjunto de exámenes propuestos para Selectividad de los años 2.003 a 2.005 1) Sean A y B dos sucesos independientes tales que P(B) = 0.05 y P(A/ B) = 0.35.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que suceda al menos uno de ellos? (2 puntos) El suceso “Al menos uno de ellos” es el suceso unión (su verificación requiere que suceda A ó B o ambos a la vez): A∪B. Sabemos que: P(A∪B) = P(A)+P(B)–P(A∩B)

• Como los sucesos son independientes, P(A/B)=P(A)=0,35. • También conocemos P(B)=0,05.

• Por la fórmula de la probabilidad condicionada, P(A/B) = )(

)(BP

BAP ∩ ⇒

P(A∩B) = P(A/B)·P(B) = 0,35·0,05 = 0,0175 Según todo lo anterior: P(A∪B) = 0,35+0,05–0,0175 = 0,3825 b) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra el suceso A pero no el B? (2 puntos) Nos piden la probabilidad de que suceda A y, a la vez (es decir, intersección), que no suceda B (es decir, que suceda BC): P(A∩BC). Si A y B son independientes, también lo son A y BC (discutiremos esto más abajo). Es decir, P(A/BC)= P(A). Por tanto, usando la definición de probabilidad condicio-nada: P(A∩BC) = P(A/BC)·P(BC) = P(A)·P(BC) = P(A)·(1–P(B)) = 0,35(1–0,05) = 0,3325 Retomamos la discusión aplazada. Si A y B son independientes, la verificación de B no influye en la de A. Por tanto, la no verificación de B tampoco. Luego A y BC son, igualmente, independientes. Pero podemos demostrarlo con rigor. El suceso BC/A consiste en, sabiendo con seguridad que A se ha verificado, que no se cumpla B. Su suceso contrario es, entonces, B/A porque, en nuestra situación, seguimos sabiendo con seguridad que A se ha verificado. Como la probabilidad de un suceso más la de su contrario suman 1: P(BC/A)+ P(B/A) = 1 ⇒ P(BC/A) = 1–P(B/A) = 1–P(B) = P(BC) porque sabemos que A y B son independientes, por lo que P(B/A)=P(B). Pues bien:

P(A/BC) =)(

)(C

C

BPBAP ∩ =

)()(

C

C

BPABP ∩ =

)()()·/(

C

C

BPApABP =

)()()·(

C

C

BPApBP = P(A)

Luego A y BC son, también, independientes, como queríamos demostrar.


esté jubilado? (2 puntos) Éste es un problema típico de probabilidad total. Hay dos experiencias aleatorias sucesivas: escoger un componente al azar y anotar su sexo (H=hombre ó M=mujer). A continuación, una vez conocido el sexo, anotar si está jubilado (J) o no lo está (JC). Construimos el correspondiente diagrama en árbol (adjunto). Tenemos en cuenta para ello que, en cada situación, todas las probabilidades de las distintas po-sibilidades deben sumar 1. Por ejemplo, en la situa-ción de partida, todas las probabilidades son H ó M.

0,4

0,6

H

M

0,3

0,7

J

JC

0,2

0,8

J

JC


Por tanto, si el 60% de los componentes son M, el resto (los H) constituyen el 40%. Igualmente, en la situación de tener escogida una persona que es H, como el 30% están jubilados, los no jubilados (JC) son el 70%. Etc. Entonces, la probabilidad de cada rama terminal del árbol es el producto de las pro-babilidades de las distintas ramas recorridas desde el punto origen (a la izquierda) hasta dicho punto terminal. Y eso es así por la definición de probabilidad condicio-nada. Por ejemplo, calculemos la probabilidad de la primera rama terminal (la pri-mera J). Cuando llegamos ahí es porque hemos escogido una persona que ha sido, en primer lugar, H y, además, J. O sea: P(J∩H) = P(J/H)·P(H) = 0,3·0,4 = 0,12 Pues bien, una vez explicado cómo se construye el árbol y cómo funciona, para ave-riguar la probabilidad de escoger a un jubilado, por el teorema de la probabilidad to-tal, sumamos las probabilidades de las distintas terminales donde aparece J: P(J) = P(J/H)·P(H) + P(J/M·P(M) = 0,3·0,4 + 0,2·0,6 = 0,24 b) Sabiendo que un componente de la agrupación, elegido al azar, está jubilado

¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? (2 puntos) Y éste es un problema típico de probabilidades a posteriori (Fórmula de Bayes):

P(M/J) = J)(

J)M(P

P ∩ = J)(

M)J(P

P ∩ = J)(

M)(J/M)(P

pP = 24,0

6,0·2,0 = 0,5

3) En un hospital se han producido 200 nacimientos en un mes. De ellos, 105 son va-

rones y, de éstos, 21 tienen los ojos azules. Asimismo se ha observado que 38 de las niñas nacidas en ese mes tienen los ojos azules. Se elige, al azar, un recién nacido entre los 200 citados. a) Calcule la probabilidad de que tenga los ojos azules. (1 punto) Este problema se puede enfocar igual que el anterior, aunque después lo haremos de otra forma. Construimos el correspondiente diagrama en árbol (V=varón; M=mujer;

A=tener los ojos azules; AC=no tener los ojos azules), teniendo en cuenta los datos del problema, la fórmula de probabilidad de Laplace y las indicaciones dadas en el problema anterior. Entonces, por el Teorema de la Probabilidad Total (suma de todas las ramas terminales en las que apare-ce A):

P(A) = P(A/V)·P(V) + P(A/M)·P(M) = 10521

200105 +

9538

20095 =

20059 = 0,295

De otra forma: El problema puede enfocarse mediante una tabla de contingencia. En primer lugar, ponemos los datos que nos da el problema (tabla de la izquierda) y, a continuación, considerando los totales, rellenamos los datos que nos faltan (tabla fi-nal, de la derecha):

200105

20095

V

M

10521

10584

A

AC

9538

9557

A

AC

A AC Total

V 21 105M 38

Total 200

A AC Total

V 21 84 105 M 38 57 95

Total 59 141 200


Según los datos de la tabla completa, por Laplace, obtenemos el mismo resultado que antes:

P(A) = 20059 = 0,295

b) Si el recién nacido que se elige tiene los ojos azules, ¿cuál es la probabilidad de

que sea un varón? (1 punto) Abordando el problema por la forma del esquema en árbol, por la Fórmula de Ba-yes:

P(V/A) = (A)

A)V(P

P ∩ = (A)

V)(A/V)·(P

PP =

20059

200105

10521

=

2005920021

= 5921 = 0,3559

Y por tablas de contingencia:

P(V/A) = 5921 = 0,3559

porque, de entre los 59 niños con ojos azules, 21 son varones, según vemos en la tabla de contingencia.

MATEMÁTICAS 2º BACH. CC. SS. 15 de mayo de 2002 Probabilidades 1) Una determinada enfermedad puede estar provocada por 3 causas, A, B o C, en las

proporciones 30%, 20% y 50% respectivamente. En cada enfermo sólo se presenta una de estas 3 causas. El tratamiento de esta enfermedad requiere hospitalización en el 20% de los casos si está provocada por A, en el 55% si la causa es B y en el 10% si la causa es C. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un enfermo cualquiera de la citada enfermedad

no necesite hospitalización? (1,5 puntos) b) Si un enfermo está hospitalizado, ¿cuál es la probabilidad de que la causa sea A? (1,5 puntos)

2) En una población normal con varianza conocida se ha tomado una muestra de tama-ño 49 y se ha calculado su media: x =4,2. Determine la varianza de la población sa-biendo que el intervalo de confianza al 95% para la media poblacional es (3.64, 4.76). (3 puntos)

3) Dado un espacio muestral E se consideran los sucesos A y B, cuyas probabilidades son P(A)= 2/3 y P(B)= ½. a) ¿Pueden ser los sucesos A y B incompatibles? ¿Por qué? (1,5 puntos) b) Suponiendo que los sucesos A y B son independientes, calcule P(A∪B) (1,5 p) c) Suponiendo que A∪B = E, calcule P(A∩B). (1 punto)


Soluciones 1) Una determinada enfermedad puede estar provocada por 3 causas, A, B o C, en las

proporciones 30%, 20% y 50% respectivamente. En cada enfermo sólo se presenta una de estas 3 causas. El tratamiento de esta enfermedad requiere hospitalización en el 20% de los casos si está provocada por A, en el 55% si la causa es B y en el 10% si la causa es C. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un enfermo cualquiera de la citada enfermedad

no necesite hospitalización? (1,5 puntos) Como en el problema 2 del examen anterior, construi-mos el árbol de probabilidades, teniendo en cuenta que la suma de las probabilidades de todas las posibilidades de cada situación deben sumar 1, resultando el esque-ma de la izquierda. Por el Teorema de la probabilidad total, sabemos que la probabilidad de H es la suma de las probabilidades de todas las terminales derechas del árbol en las que aparece H: P(H) = P(H/A)·P(A) + P(H/B)·P(B) + P(H/C)·P(C) = = 0,2 · 0,3 + 0,55 · 0,2 + 0,1 · 0,5 =

= 0,22 Por tanto, P(HC) = 1 – P(H) = 1 – 0,22 = 0,78 b) Si un enfermo está hospitalizado, ¿cuál es la probabilidad de que la causa sea A? (1,5 puntos) Por el Teorema de Bayes, que no es más que usar la fórmula de la probabilidad con-dicionada en el árbol anterior:

P(A/H) = )H(

)A()H/A(P

PP = 22,0

3,0·2,0 = 0,27

2) En una población normal con varianza conocida se ha tomado una muestra de tama-

ño 49 y se ha calculado su media: x =4,2. Determine la varianza de la población sa-biendo que el intervalo de confianza al 95% para la media poblacional es (3.64, 4.76). (3 puntos)

El intervalo de confianza al 100(1–α)% de la media poblacional si la población es nor-mal, o si la muestra es suficientemente grande (n≥30) es:

nzx

nzx σμσ

αα 22 +≤≤−

El centro de este intervalo es x , y el radio n

z σα 2 .

El centro de un intervalo se obtiene sumando los extremos y dividiendo entre 2. Por

tanto, el centro de (3.64, 4.76) es 2

76,464,3 + = 4,2. Este valor coincide con la media

muestral, luego el problema tiene sentido. El radio del intervalo es E = 4,76–4,2 = 0,56, que debe coincidir con el radio teórico

nz σα 2 . Como 1–α = 0,95, según nos dicen, entonces α=0,05 ⇒

2α =0,025 ⇒ 1–

2α =0,075 ⇒ 2αz =1,96 (mirando en las tablas de la N(0,1)). Como n=49:

A

B

C

H

HC

H

HC

H

HC

0,3 0,2

0,5

0,2

0,8 0,55

0,45 0,1

0,9


4996,1 σ =0,56 ⇒ σ=2 ⇒ σ2=4

3) Dado un espacio muestral E se consideran los sucesos A y B, cuyas probabilidades

son P(A)= 2/3 y P(B)= ½. a) ¿Pueden ser los sucesos A y B incompatibles? ¿Por qué? (1,5 puntos) Dos sucesos son incompatibles si no se pueden presentar a la vez, es decir, si P(A∩B)=0. Como P(A∪B) = P(A)+P(B)–P(A∩B), si conociésemos P(A∪B) po-dríamos calcular P(A∩B). Pero no es así. Pero es posible responder a la cuestión, recurriendo a una demostración por reduc-ción al absurdo. Supongamos que A y B son incompatibles ⇒ P(A∩B) = 0 ⇒

P(A∪B) = P(A)+P(B)–P(A∩B) = 32 +

21 – 0 =

67 . Pero esta probabilidad es mayor

que 1, lo que no es posible. Por tanto, suponer que A y B son incompatibles nos lle-va a una situación imposible (absurda), por lo que no es cierta la suposición. Por tanto, A y B no son incompatibles. b) Suponiendo que los sucesos A y B son independientes, calcule P(A∪B) (1,5 p) Por la fórmula anterior, para calcular dicha probabilidad seguimos necesitando co-nocer P(A∩B). La otra fórmula básica en la que aparece P(A∩B) es la de la probabi-lidad condicionada. Como los sucesos son independientes, P(A/B) = P(A). Por tanto:

P(A∩B) = P(A/B)·P(B) = P(A)·P(B) = 21·

32 =

31

Luego: P(A∪B) = P(A)+P(B)–P(A∪B) = −+21

32

31 =

65

c) Suponiendo que A∪B = E, calcule P(A∩B). (1 punto) Recurrimos a la misma fórmula, la única fórmula básica en la que interviene el su-ceso unión. Como sabemos que A∪B= E ⇒ P(A∪B) = P(E) = 1. Por tanto:

P(A∪B) = P(A)+P(B)–P(A∩B) ⇒ 1 = −+21

32 P(A∩B) ⇒

P(A∩B) = −+21

32 1 =

61

MATEMÁTICAS 2º BACH. CC. SS. 11 de mayo de 2006 Probabilidades y Estadística 1) En un determinado curso el 60% de los estudiantes aprueban Economía y el 45%

aprueban Matemáticas. Se sabe además que la probabilidad de aprobar Economía habiendo aprobado Matemáticas es 0.75. a) (1,2 puntos) Calcule el porcentaje de estudiantes que aprueban las dos asignatu-

ras. b) (1,3 puntos) Entre los que aprueban Economía ¿qué porcentaje aprueba Mate-

máticas? 2) Sean A y B dos sucesos independientes tales que P(A) = 0.4 y P(A ∩ B) = 0.05.

a) (0.5 puntos) Calcule P(B). b) (1 punto) Calcule P(A∩BC ). c) (1 punto) Sabiendo que no ha sucedido B, calcule la probabilidad de que suceda

A. 3) En una población, una variable aleatoria sigue una ley Normal de media desconoci-

da y desviación típica 3. a) (1,5 puntos) A partir de una muestra de tamaño 30 se ha obtenido una media

muestral igual a 7. Halle un intervalo de confianza, al 96%, para la media de la población.

b) (1,5 puntos) ¿Qué tamaño mínimo debe tener la muestra con la cual se estime la media, con un nivel de confianza del 99% y un error máximo admisible de 2?

4) Tomada una muestra aleatoria de 300 personas mayores de edad de una gran ciudad, se obtuvo que 105 habían votado a un determinado partido X. Halle, con un nivel de confianza del 90%, un intervalo de confianza que permita estimar la proporción de votantes del partido X en esa ciudad. (2 puntos)


Soluciones Los problemas proceden de las propuestas para Selectividad para el año 2.005 y de los problemas propuestos por la Coordinación sobre intervalos de confianza para propor-ciones. 1) En un determinado curso el 60% de los estudiantes aprueban Economía y el 45%

aprueban Matemáticas. Se sabe además que la probabilidad de aprobar Economía habiendo aprobado Matemáticas es 0.75. a) (1,2 puntos) Calcule el porcentaje de estudiantes que aprueban las dos asignatu-

ras. Los datos son: P(E) = 0.6, P(M) = 0.45, P(E/M) = 0.75 Nos piden P(E∩M). La intersección aparece únicamente en dos fórmulas: la de la unión y la de la probabilidad condicionada. Como en los datos no aparece nada de unión y sí de probabilidad condicionada, la solución debe ir por aquí. Entonces:

P(E∩M) = P(E/M) P(M) = 0.75·0.45 = 0.3375 b) (1,3 puntos) Entre los que aprueban Economía ¿qué porcentaje aprueba Mate-

máticas? Nos piden P(M/E). Usamos directamente la fórmula de la probabilidad condiciona-da:

P(E/M) = )(

)(EP

EMP ∩ = 6.0

3375.0 = 0.5625

2) Sean A y B dos sucesos independientes tales que P(A) = 0.4 y P(A ∩ B) = 0.05. a) (0.5 puntos) Calcule P(B). Datos: A y B son independientes, que significa que P(A/B) = P(A) y P(B/A) = P(B), P(A) = 0.4 y P(A∩B) = 0.05 Nos piden P(B). Intentamos relacionar los dos datos numéricos que tenemos con lo que nos piden a través de la fórmula de la probabilidad condicionada, ya que apare-ce una intersección y nos hablan de independencia:

P(A∩B) = P(A/B) P(B) = P(A) P(B) porque A y B son independientes

⇒ 0.05 = 0.4· P(B) ⇒ )(4.005.0 BP= ⇒ P(B) = 0.125

b) (1 punto) Calcule P(A∩BC ). Como no nos hablan, para nada, de unión, usaremos la fórmula de la probabilidad condicionada. Si A y B son independientes, también lo son A y BC, como ya discu-timos en el problema 1 del examen de 4/4/06, en este mismo documento. Entonces, P(A/BC) = P(A). Por tanto:

P(A∩BC) = P(A/BC) P(BC) = P(A) P(BC) = P(A) [1 – P(B)] = 0.4(1–0.125) = 0.35 c) (1 punto) Sabiendo que no ha sucedido B, calcule la probabilidad de que suceda

A. Por la misma razón que en el apartado anterior, P(A/BC) = P(A) = 0.4

3) En una población, una variable aleatoria sigue una ley Normal de media desconoci-da y desviación típica 3. a) (1,5 puntos) A partir de una muestra de tamaño 30 se ha obtenido una media

muestral igual a 7. Halle un intervalo de confianza, al 96%, para la media de la población.

Datos: X∈N(μ;3), es decir, σ = 3; además, n = 30, x = 7, 1–α = 0.96. Por tanto:


1–α = 0.96 ⇒ α = 1–0.96 = 0.04 ⇒ α/2 = 0.02 ⇒ 2

1 α− = 0.98

⇒ 2αz = 2.055 (buscando en las tablas) Sustituyendo en la fórmula conocida del intervalo de confianza de la media pobla-cional μ:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

nzx

nzx σσ

αα 22 ,

Queda:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

303055.27,

303055.27 = (5.87, 8.13)

b) (1,5 puntos) ¿Qué tamaño mínimo debe tener la muestra con la cual se estime la

media, con un nivel de confianza del 99% y un error máximo admisible de 2?

1–α = 0.99 ⇒ α = 1–0.99 = 0.01 ⇒ α/2 = 0.005 ⇒ 2

1 α− = 0.995

⇒ 2αz = 2.575 (buscando en las tablas)

El error máximo admisible es E = n

z σα 2 . Despejando:

E = n

z σα 2 ⇒ σα 2znE = ⇒ E

zn

σα 2= ⇒ 2

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

nz

nσα

O sea: 2

23·575.2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=n = 14.92. Cuanto mayor es n, menor es el error. Por tanto, para

garantizar que E es, como máximo, 2, debemos tomar, como mínimo n = 15.

4) Tomada una muestra aleatoria de 300 personas mayores de edad de una gran ciudad, se obtuvo que 105 habían votado a un determinado partido X. Halle, con un nivel de confianza del 90%, un intervalo de confianza que permita estimar la proporción de votantes del partido X en esa ciudad. (2 puntos)

Se trata de un intervalo de confianza para la proporción poblacional p. Nos dan la pro-

porción muestral 300105ˆ =p , el tamaño de la muestra n = 300 y el nivel de confianza 1–α

= 0.90 ⇒ α = 1–0.9 = 0.1 ⇒ α/2 = 0.05 ⇒ 2

1 α− = 0.95 ⇒ 2αz = 1.645. Susti-

tuyendo en la fórmula del intervalo de confianza para proporciones:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

−−

nppzp

nppzp )ˆ1(ˆˆ ,)ˆ1(ˆˆ 22 αα

Queda:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−300

3001051

300105

645.1300105 ,

3003001051

300105

645.1300105 = (0.305, 0.395)

MATEMÁTICAS 2º BACH. CC. SS. 19 de mayo de 2006 Probabilidades y Estadística 1) Un estudiante se presenta a un examen en el que debe responder a dos temas, elegi-

dos al azar, de un temario de 80, de los que se sabe 60. a) ¿Cuál es la probabilidad de que responda correctamente a los dos? (1 punto) b) ¿Cuál es la probabilidad de que responda correctamente al menos a uno de los

dos? (1,5 puntos) 2) En una agrupación musical el 60% de sus componentes son mujeres. El 20% de las

mujeres y el 30% de los hombres de la citada agrupación están jubilados. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un componente de la agrupación, elegido al azar,

esté jubilado? (1 punto) b) Sabiendo que un componente de la agrupación, elegido al azar, está jubilado

¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? (1,5 puntos) 3) Se supone que la puntuación obtenida por cada uno de los tiradores participantes en

la sede de Gádor de los “Juegos Mediterráneos Almería 2005”, es una variable alea-toria que sigue una distribución Normal con desviación típica 6 puntos. Se toma una muestra aleatoria de tamaño 36 que da una media de 35 puntos. a) Obtenga un intervalo, con un 95% de confianza, para la puntuación media del

total de tiradores. (1,5 puntos) b) Calcule el tamaño mínimo de la muestra que se ha de tomar para estimar la pun-

tuación media del total de tiradores, con un error inferior a 1 punto y con un ni-vel de confianza del 99%. (1,5 puntos)

4) Para estimar, por medio de un intervalo de confianza, la proporción p de individuos miopes de una población, se ha tomado una muestra de 80 individuos con la que se ha obtenido un porcentaje de individuos miopes del 35%. Determine, usando un ni-vel de confianza del 99%, el correspondiente intervalo de confianza para la propor-ción de miopes de toda la población. (2 puntos)


Soluciones Los problemas proceden de las propuestas para Selectividad para el año 2.005 y de los problemas propuestos por la Coordinación sobre intervalos de confianza para propor-ciones. 1) Un estudiante se presenta a un examen en el que debe responder a dos temas, elegi-

dos al azar, de un temario de 80, de los que se sabe 60. a) ¿Cuál es la probabilidad de que responda correctamente a los dos? (1 punto) Sean los sucesos A = Se ha estudiado el primer tema; B = idem el segundo. Los sucesos son dependientes, porque se escogen dos temas al azar para el examen. La probabilidad de B depende de que en la primera elección haya salido un tema de los que se sabe, o lo contrario. Podríamos esquematizar la situación en forma de ár-bol, pero no parece necesario, pues lo que nos preguntan es P(A∩B) y, para hallarla, podemos recurrir directamente a la fórmula de la probabilidad condicionada (la in-tersección sólo aparece en dos fórmulas; la otra es la del suceso unión, que no está entre los datos del problema). Entonces:

P(A∩B) = P(A)· P(B/A) = 7959

8060 =

316177 = 0.5601

Porque en la primera elección se ha estudiado 60 de un total de 80 y, en la segunda, quedan 79 temas, de los que se ha estudiado 59, puesto que ya ha salido uno que se sabe. b) ¿Cuál es la probabilidad de que responda correctamente al menos a uno de los

dos? (1,5 puntos) Realizaremos este problema de tres formas diferentes. Nos piden P(A∪B). Usamos la única fórmula en la que aparece: P(A∪B) = P(A)+P(B)–P(A∩B). Lo que sucede es que P(B) no la sabemos directamente, pues depende de que haya salido A ó AC. Por tanto, hay que recurrir al teorema de la pro-babilidad total:

P(B) = P(B/A)· P(A) + P(B/AC)· P(AC) = 8020

7960

8060

7959

+ = 43

Aquí sí que hubiera sido provechoso utilizar un ár-bol; la probabilidad que nos piden es la suma de las dos terminales en las que aparece B, por el Teorema de la Probabilidad Total.

Entonces:

P(A∪B) = 316177

43

8060

−+ = 316297 = 0.9399

La segunda forma, a nuestro entender más corta, es usar las Leyes de Morgan. Cal-cularemos la probabilidad del suceso contrario del que nos piden: (A∪B)C = AC∩BC, según Morgan.

P(AC∩BC) = P(BC/AC)· P(AC) = 8020

7919 =

31619

Luego: P(A∪B) = 1–P[(A∪B)C] = 316191− =

316297 = 0.9399

8060

8020

A

AC

7959

7920

B

BC

7960

7919

B

BC


Por último, la tercera, se basa en que saberse alguno de los dos temas consiste en: saberse el primero y el segundo, o saberse el primero pero no el segundo, o no sa-berse el primero pero sí el segundo. Es decir:

P(A∪B) = P(A∩B) + P(A∩BC) + P(AC∩B) =8020

7960

8060

7920

8060

7959

++ =316297 = 0.9399

probabilidades que se sacan directamente del árbol. Observar que siempre que hemos usado probabilidades condicionadas, ha sido de la segunda extracción (B ó BC) condicionado al resultado de la primera. Las probabili-dades al revés requieren la utilización de la fórmula de Bayes.


esté jubilado? (1 punto) Este problema ya se ha resuelto, en el examen de 4/4/06, por lo que nos remitimos al mismo, al princi-pio del documento: P(J) = 0,3·0,4 + 0,2·0,6 = 0,24 b) Sabiendo que un componente de la agrupación,

elegido al azar, está jubilado ¿cuál es la probabili-dad de que sea mujer? (1,5 puntos)

Por Bayes:

P(M/J) = J)(

J)M(P

P ∩ = J)(

M)J(P

P ∩ = J)(

M)(J/M)(P

PP =

24,06,0·2,0 = 0,5

3) Se supone que la puntuación obtenida por cada uno de los tiradores participantes en la sede de Gádor de los “Juegos Mediterráneos Almería 2005”, es una variable alea-toria que sigue una distribución Normal con desviación típica 6 puntos. Se toma una muestra aleatoria de tamaño 36 que da una media de 35 puntos. a) Obtenga un intervalo, con un 95% de confianza, para la puntuación media del

total de tiradores. (1,5 puntos) Nos dicen: X∈N(μ;6), es decir, σ = 6; además, n = 36, x = 35. Y también:

1–α = 0.95 ⇒ α = 1–0.95 = 0.05 ⇒ α/2 = 0.025 ⇒ 2

1 α− = 0.975

⇒ 2αz = 1.96 (por las tablas) Entonces, el intervalo de confianza de la media poblacional μ:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

nzx

nzx σσ

αα 22 ,

resulta:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

36696.135,

36696.135 = (33.04, 36.96)

b) Calcule el tamaño mínimo de la muestra que se ha de tomar para estimar la pun-

tuación media del total de tiradores, con un error inferior a 1 punto y con un ni-vel de confianza del 99%. (1,5 puntos)

0,4

0,6

H

M

0,3

0,7

J

JC

0,2

0,8

J

JC


1–α = 0.99 ⇒ α = 1–0.99 = 0.01 ⇒ α/2 = 0.005 ⇒ 2

1 α− = 0.995

⇒ 2αz = 2.575 (según las tablas)

El error máximo admisible es E = n

z σα 2 . Despejando:

E = n

z σα 2 ⇒ σα 2znE = ⇒ E

zn

σα 2= ⇒ 2

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Ez

nσα

O sea: 2

16·575.2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=n = 238.7025. Cuanto mayor es n, menor es el error. Por tanto,

para garantizar que E es, como máximo, 1, debemos tomar, como mínimo n = 239.

4) Para estimar, por medio de un intervalo de confianza, la proporción p de individuos miopes de una población, se ha tomado una muestra de 80 individuos con la que se ha obtenido un porcentaje de individuos miopes del 35%. Determine, usando un ni-vel de confianza del 99%, el correspondiente intervalo de confianza para la propor-ción de miopes de toda la población. (2 puntos)

Se trata de un intervalo de confianza para la proporción poblacional p. Nos dan la pro-porción muestral =p̂ 0.35, el tamaño de la muestra n = 80 y el nivel de confianza 1–α = 0.99 ⇒ 2αz = 2.575. Sustituyendo en la fórmula del intervalo de confianza para pro-porciones:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

−−

nppzp

nppzp )ˆ1(ˆˆ ,)ˆ1(ˆˆ 22 αα

Queda: ( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

−−

8035.0135.0575.235.0 ,

8035.0135.0575.235.0 = (0.213, 0.487)