Curs nr. 1 Operatii cu matrice
)(,
21
22221
11211
RM
aaa
aaaaaa
A nm
mnmm
n
n
∈
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
M
MMMM
M
M
Multimea matricelor cu n coloane si m linii cu elemente din R Pentru a simplifica scrierea, A = (aij) 1
njmi≤≤≤≤
1
Matrice linie si coloana (a11 a12 ……. a1n)
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
1
21
11
.
.
na
aa
A
Matrice patratica Daca m=n atunci Ann este matrice patratica
( )RMA n∈
Particularitatile unei matrice patratica Diagonala principala este a11 ann, si pt suma elementelor avem notiunea de urma matricii Tr(A) Diagonala secundara este in celalalt sens
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
A
M
MMMM
M
M
21
22221
11211
Matricea unitate In
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
100
010001
L
MMMM
L
L
nI
O matrice A ∈ Mn R se numeste triunghiulara daca toate elementele de sub diagonala principala sau de deasupra diagonalei principale sunt egale cu 0. Printre operatiile cu matrice identificam :
1) Egalitatea a doua matrice A=B
2) Transpusa unei matrice
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
mnnn
m
m
t
aaa
aaaaaa
A
M
MMMM
M
M
21
22212
12111
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
300400151
A ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
341005001
At
3) O matrice se numeste simetrica daca
A = tA
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
563642321
;2331
: AAEx
(aij = aji)
4) O matrice patratica se numeste antisimetrica daca transpusa lui A = ‐A tA = ‐A (aij = ‐aji)
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−−
=031302120
: AEx
Toate elementele de pe diagonala principala sunt 0
5) Adunarea matricelor Putem aduna doar matrice de acelasi tip
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛213442
001121
212321
:Ex
6) Matricea 0
patratican
nm
→
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
0
0000
0;
000
000000
0 2,
M
MMMM
M
M
7) Inmultirea unei matrice cu scalari
Se inmulteste fiecare element cu scalarul respectiv
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⋅=⋅
nnnn
n
n
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
aaa
aaaaaa
A
λλλ
λλλλλλ
λλ
M
MMMM
M
M
M
MMMM
M
M
21
22221
11211
21
22221
11211
8) Inmultirea matricelor
Doua matrice de ordin diferit se pot inmulti daca nr de coloane de la A = nr de linii de la B Se inmulteste linie cu coloana Inmultirea matricelor nu este comutativa
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++++++
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛×⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=×
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
515410
023249022046
012413
213012
)2,2()2,3()3,2(012413
213012
B
A
Daca lucram cu patratice
Inmultirea cu matricea unitate AAIIARMA nnn =⋅=⋅⇒∈ )(
Exponent
1)(,101
1301
1101
1201
1201
1101
1101
?1101
2,
3
2
1
≥∀⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⇒
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
=⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
≥⋅= −
nn
A
A
A
AA
kAAAA
n
n
kk
2 ⋅= AA
Examenul : 10 intrebari grila cu 4 raspunsuri si 2 – 3 probleme de rezolvat Definitie
Mn( R ) se numeste inversabila daca exista o matrice B apartinand Mn( R ) astfel incat
se noteaza cu A‐1
A apartineAB =BA=I B
1
),()(),(
−=
=⋅=⋅→∈∃∈
AB
IABBARMBRMA
nn
n
Exemplu:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=
⎩⎨⎧
−==
⇒⎩⎨⎧
=+=−−
⇒−
⎩⎨⎧
=+=+
⎩⎨⎧
=−=
⇒⎩⎨⎧
=+−=−−
⇒−
⎩⎨⎧
=+=+
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+=+=+=+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
=
−
−
2/1 2/312
2/11
143042)2(
14302
2/32
043242)2(
04312
,
143043
0212
1001
434322
1001
4321
?432
1
1
A
ty
tyty
tyty
zx
zxzx
zxzx
tyzxtyzx
tyzxtyzx
tzyx
AA
⎛1
Determinanti
om asocia matricei patratice un nr real notat det A sau IAI
egula triunghiului pt calcularea determinantului
V R
),...1(,);( njiaA ij ∈=
( )
)(det
)(
232414321
:
)(det)(
det)(det
)(
122133112332132231231231133221332211
3
333231
232221
131211
2112221122221
1211
11111
aaaaaaaaaaaaaaaaaaA
RMaaaaaaaaa
A
Ex
aaaaARMaaaa
A
aARMaAAARMA n
⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
→∈⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
−=×−×=
⋅−⋅=→∈⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
=→∈=
=
∈
egula lui Sarrus R
5
102321112102321=
Fie
e numeste minor asociat elementului ai,j determinantul matricei obtinute din A prin eliminarea
cest minor se noteaza cu Mij
)(
)( ),...1(,
RMA
aA
n
njiij
∈
= ∈
Sliniei i si coloanei j
AExemplu :
31221
11110
112102321
23
11
−==
−==→
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
M
MA
e numeste complement algebric al elementului ai,j numarul Ai,j = (‐1)i+j Mi,j S
( )
( ) 01212
11
11110
1 11 −===⋅−= + MMA
121221
12
111111
=⋅−=−=⋅−= + MMA
9 complementi algebrici in acest caz. Calculul inversei unei matrice
1 23 4
1) Se calculeaza detA ≠ 0 deci are inversa: 1 23 4 2 0
2 4
3) Calculam matricea adjuncta :
·
2) Transpusa matricii : 1 3
1 · |4| 41 · |2| 21 · |3| 31 · 1|1|
4 23 1
4) gaseste inversa :
1Se
· 4 23 1
2 132
·12
12
bservatie (merge numai pentru matrici de ordinul ): O 2
≠−⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
= bcaddc
A 0,
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−
=⇒
⎞⎛
−
acbd
bcadA
ba
11
Inversam o matrice de ordinul 3
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−=
⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−−−
−=⋅=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−−−
=
=−−
−==−==−−
−=
−=−−
−=−=−=−=−−
−=
−=−−
−==−==−−
−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
=
∃⇒≠−=+−=−−−−−−−=−−−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−−=
−
−
−
110121111
110121111
11
det1)4
110121111
11211
)1(11211
)1(01111
)1(
12311
)1(21311
)1(11211
)1(
12312
)1(11312
)1(11211
)1(
)3
123112111
)2
)(0178)223(431111211
321det)1
111211
321
1
*1
*
633
532
431
523
422
321
413
312
211
333231
232221
131211*
1
A
AA
A
A
AAA
AAA
AAA
AAAAAAAAA
Aadjunctamatricea
Atranspusa
AA
A
τ
Sisteme de ecuatii algebrice Se considera sistemul urmator
BAXzyx
=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−−
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=
34
6
111211
321
3zyx-42z-y-x-6 = 3z +2y +x
Regula lui Cramer
( ){ }1,1,1
111
det
111
det
111
det
1646863311411
621
166121294131241
361
1812912126113214
326
01111211
321det
=
=−−
=⇒Δ
=
=−−
=⇒Δ
=
=−−
=⇒Δ
=
−=+++−−−=−−−=Δ
−=+++−−−=−−−=Δ
−=+++−−−=−−−=Δ
≠−=−−−=
S
zA
zz
yA
yy
xA
xx
z
y
x
A
Spunem in acest caz ca solutia este formata din tripletul 1. Sistemul se numeste compatibil determinat (are o singura solutie) Un sistem care nu are solutii e sistem incompatibil. Compatibil nedeterminat are mai multe solutii A doua solutie de rezolvare a sistemului Orice sistem se poate transforma intr‐o ecuatie matriciala X=A‐1 B
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+−++−
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−=⋅=
=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−−
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=
−
−
111
34386346
34
6
110121111
34
6
111211
321
3zyx-42z-y-x-6 = 3z +2y +x
1
1
BAX
ABAX
zyx
Rangul unei matrice Definitie : numim rangul unei matrice A de tipul mxn, (m≤n) un numar natural r cu proprietatile :
a) In orice matrice exista cel putin un minor de ordin r diferit de 0 b) Toti minorii de ordin r+1 sunt nuli
Exemplu :
1
06432
;06231
;04221
642321
=⇒
===
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
r
A
rang A = 1
Exemplu :
2
02463142
;0231642321
231642321
=
≠=−=
=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
rang
A
Transformari elementare Transformarile elementare care se fac asupra liniilor unei matrice sunt : T1 : schimbarea a doua linii intre ele T2 : inmultirea unei linii printr‐un numar real nenul T3 : inlocuirea unei linii prin suma dintre aceasta linie si o alta linie inmultita cu un numar real
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎯⎯⎯ →⎯
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎯→⎯
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎯⎯ →⎯
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
+−
↔
220211
642211
321211
211321
:.
21
2
21
23
22
1
LL
L
LL
Tr
Tr
Tr
AEx
Rezulta matrici echivalente Definitie : numim matrice elementara o matrice care se obtine din matricea unitate de ordinul m (Im) printr‐o singura transformare elementara. Exemplu :
elementaraestenu
L
LL
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎯→⎯⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎯⎯ →⎯⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ↔
2002
1001
1002
1001
0110
1
21
21
Teorema : transformarile elementare nu modifica rangul unei matrice Definitie : doua matrice A si B care se obtin una din alta prin transformari elementare se numesc echivalente in privinta rangului si scriem : A~ B Definitie : Matricea A mare se spune ca are forma Gauss ‐ Jordan daca ea contine r (r≤m) coloane ale
matrice I unitate de ordinul m. Teorema : Orice matrice nenula poate fi adusa la forma Gauss – Jordan printr‐un numar finit de transformari elementare. Aplicatie : Sa se aduca la forma Gauss – Jordan matricea urmatoare :
3
11000340100
350021
1
11000340100
350021
L
11000311100
350021
L2-
11000311100
1222131
1100013300
12221L2-
1344213300
12221L1
1344221121
12221
3
23122
3121
=⇒
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−⋅−
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−+
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−+⋅
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
+⋅
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
+⋅
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−−=
rangA
L
LLL
LLA
~
~~~
~~
Inversa unei matrice calculata cu ajutorul transformarilor elementare Pasul 1 : se formeaza matricea M = (A|I ) Pasul 2 : utilizand transformarile elementare se aduce la forma ( I |B ), daca este posibil Pasul 3 : A ‐1 = B Exemplu :
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
+−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−
21
23
12
21
23
12
1001
21
1312
2001
1301
20213
1001
4321
4321
1
21221
A
LLLLLM
A
~~~
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−⋅−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −−
−+
+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −−
−+−
+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−+−
+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−−=
−
110121111
110121111
1000100011
110121111
100010001
110011021
100110101
2101011001
210110321
100010001
111211
321
111211
321
1
3
23
13
12
32
31
21
A
L
LL
LL
LL
LL
LL
LL
M
A
~~~~
Rezolvarea unui sistem de ecuatii cu ajutorul transformarilor elementare
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++−=−−−
=++
342
632
zyxzyxzyx
Scriem matricea extinsa Ā
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+⋅−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+⋅−
+⋅−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⋅−
+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−+−
+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−−−=
111
111
1000100012
113
100010021
3
1
126
100110321
1326
210110321
34
6
111211
321_
12
13
23
3
32
31
21
zyx
LL
LL
LL
L
LL
LL
LL
A
~~~~
Daca o linie devine 0, una din necunoscute este secundara, exemplu : z = α
αα
α
−=−=
=⎩⎨⎧
=+=++
22
2632
xyz
zyzyx
Curs nr.2 Spatii vectoriale Definitie Fie 𝑉𝑉 ≠ 0,𝐾𝐾(𝑅𝑅) Se definesc doua operatii: Operatia interna notata prin +, unde + este definita pe 𝑉𝑉 × 𝑉𝑉 → 𝑉𝑉, (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) → 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 Operatia externa notata prin inmultire ∙ , unde 𝐾𝐾 × 𝑉𝑉 → 𝑉𝑉, (𝜆𝜆, 𝑥𝑥) → 𝜆𝜆 ∙ 𝑥𝑥
1) (V,+) grup abelian – patru proprietati 2) (V, ∙ )
a) (𝛼𝛼 + 𝛽𝛽)𝑥𝑥 = 𝛼𝛼𝑥𝑥 + 𝛽𝛽𝑥𝑥, (∀)𝛼𝛼,𝛽𝛽 ∈ 𝐾𝐾, (∀)𝑥𝑥 ∈ 𝑉𝑉 b) 𝛼𝛼 × (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) = 𝛼𝛼 × 𝑥𝑥 + 𝛼𝛼 × 𝑦𝑦, (∀)𝛼𝛼 ∈ 𝐾𝐾, (∀)𝑥𝑥,𝑦𝑦 ∈ 𝑉𝑉 c) 𝛼𝛼 ∙ (𝛽𝛽𝑥𝑥) = (𝛼𝛼 ∙ 𝛽𝛽)𝑥𝑥, (∀)𝛼𝛼,𝛽𝛽 ∈ 𝐾𝐾, (∀)𝑥𝑥 ∈ 𝑉𝑉 d) 1 ∙ 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥, (∀)𝑥𝑥 ∈ 𝑉𝑉
Atunci V se numeste spatiu vectorial (liniar) peste corpul K. Perechea (V,K) este un spatiu vectorial. Elementele lui K se numesc scalari iar elementele lui V se numesc vectori. Pentru K = R, spunem ca (V,R) este un spatiu vectorial real. Exemple: (R2,R), (R3,R)
∈
== Rxx
xx
XR 212
12 ,
),( 21 xxt=
∈
== Rxxx
xxx
XR 321
3
2
13 ,,
Subspatiul vectorial Fie spatiul vectorial VXXKV ⊂≠ ,0),,( X se numeste subspatiu vectorial a lui (V,K) daca :
1. Daca XyxXyx ∈+⇒∈∀ ,)( 2. Daca XxXxK ∈⋅⇒∈∀∈∀ αα )(,)(
Exemplu : R2 este subspatiu al lui R3 Combinatie liniara de vectori Fie KVxxxKV nn ∈∈ ααα ...,,,,....,),,( 2121 Expresia nn xxx ααα +++ ....2211 se numeste combinatie liniara a vectorilor nxx ,...1 cu scalarii nαα ,...1 : ∑ ∝i∙ xi
ni=1
Fie
=
=
=
45
,12
,21
21 vvv
Este v combinatie intre v1 si v2 ?
21
2
12
21
21
21
21
21
21
2
2
1
1
21
2211
21
21
6342
104224252
222
245
12
21
45
vvv
v
vvv
⋅+⋅=
==
→−=−→
=+−=−−
→−
=+=+
++
=
+
=
⇒
+
=
=
+=
αα
ααααα
αααα
αααα
αα
αα
αα
αα
Vectori liniari independenti, vectori liniari dependenti Fie (V,K) un spatiu vectorial Definitie: un sistem de vectori {x1, x2, ... xn} din V se numeste liniar independent daca :
=
=
====⇒=+++
000
0;00
0
0..0..
32
212211
RR
nvnn xxx αααααα
Exemplu :
==
⇒=−⇒
=+=−−
⇒−
=+=+
=
+
=
+
==⇒=+
=
=
00
0302
04220202
002
2
00
12
21
0012
;21
2
12
21
21
21
21
2
2
1
1
21
212211
21
2
αα
ααααα
αααα
αα
αα
αα
αααα Rxx
xx
Rezulta ca {x1, x2} este un sistem liniar independent. SCURTATURA !!! Determinantul format din componentele vectorilor
1) ⇒≠−=−= 03411221
sistem liniar independent
2) ⇒≠−=−−−++= 02110000
101011110101011
sistem liniar independent
Sistemul este liniar dependent cand nu este liniar independent. Ex.
012126342
64
;32
21 =−=⇒
=
= vv ; sistem liniar dependent
Sistem de generatori Definitie : Un sistem de vectori { } VxxxX n ⊂= ,..., 21
se numeste sistem de generatori pentru V daca orice vector din V este o combinatie liniara cu vectori din X. Exemplu :
( )
{ }
21
2
1
2
1
21
22112
221
21
2
00
10
01
)(
,
10
;01
,
ebeavba
ba
ba
v
eevscrieseRvRpentrugeneratoridesistemee
ee
RR
⋅+⋅=⇒==
+
=
+
=
=
+=∈∀
=
=
αα
αα
αα
αα
Exemplu:
( )
3
321
3
100
;010
;001
,
Rpentrugeneratoridesistem
eeeE
RR
=
=
==
Baza a unui spatiu vectorial Definitie: sistemul de vectori { } VxxxB n ⊂= ,..., 21
se numeste baza a spatiului vectorial V daca :
1. B este sistem liniar independent 2. B este sistem de generatori
O baza in care se tine seama de ordinea vectorilor se numeste reper.
Baza canonica din ( )
=
==
10
,01
, 212 eeEesteRR
=
=
== 0
1
0,
010
,001
21 eeeE este baza canonica din R3.
Definitie : se numeste dimensiunea din spatiul vectorial KVdim numarul de vectori din baza.
3dim
2dim3
2
=
=
RR
R
R
3
Scalarii unici nααα ,......, 21 din relatia nn xxxx ααα +++= ......2211 se numesc coordonatele lui x din baza B.
( )n
n
Bx ααα
α
αα
τ
212
1
=
=
Reprezentarea vectorilor Fie (V,K) un spatiu vectorial cu dimensiunea *dim NnVK ∈= si { }nbbbB ,...., 21= un reper al sau.
nn
n
B bbbxxincatastfelVxFie ααα
α
αα
+++=⇒
=∈ ....., 22112
1
Se considera un nou reper { }ndddD ,...., 21= al spatiului vectorial (V,K) si
nniiii
nn
n
D
bcbcbcd
dddxx
+++=
+++=⇒
=
....
....
2211
22112
1
βββ
β
ββ
nn
nnn
n
n
n
DB bcbcbcd
cccc
cccccccccccc
C 12211111
nn321
3333231
2232221
1131211
, ....+++=⇒
=
Matricea CB,D se numeste matricea de trecere de la reperul B la reperul D. Se scrie matricial BDBDBDDB XCXXXC ⋅=⇒=⋅ −1
,,
Se considera spatiul vectorial (R2,R), in care vom lua bazele B si D :
??,32
64
,107
43
,21
,
21
21
==⇒
=
=
==
=
==
DDBB XCX
ddD
bbB
=
−+−
=
−
−=
−
−=
−
−=→⋅=
=
==
⇒−=−⇒
=+−=−−
⇒
=+−=+
→
⋅+
⋅=⋅+⋅=
=
==
⇒−=−→
=+−=−−
=+−=+
→
++
=
⇒
⋅+
⋅=
⇒⋅+⋅=→
=
−−
11
3432
32
1211
1211
1211
1211
1
1211
11
22642
862642
243
43
21
64
21
421042
1462
1042273
423
107
43
21
107
1,
1,
,
22
1222
2212
2212
2212
2212
22122221122
21
1121
2111
2111
2111
2111
2111
2111
211122111112221
1211,
D
DBBDBD
DB
DB
X
CXCX
C
cc
ccccc
cccc
ccbcbcd
cc
ccccc
cccc
cccc
ccbcbcdcccc
C
Lema substitutiei Trecerea de la o baza B la o noua baza B’ se face printr-un procedeu care se numeste pivotaj, constand in: 1. Se imparte linia pivotului la pivot 2. In coloana pivotului elementele de deasupra si de dedesubtul pivotului se inlocuiesc cu 0 3. Elementele ramase se calculeaza cu regula dreptunghiului
nnn
iii
ni
b
b
bb
xvbbbbBaza
λα
λα
λαλα
1000
0100
00100001
222
111
21
Pivot (αi≠0)
i
ininn
i
i
i
i
ii
i
ii
ni
b
v
b
b
xvbbbbBaza
αλααλ
αλ
α
αλααλ
αλααλ
⋅−⋅
⋅−⋅
⋅−⋅
01000
10100
00010
00001
222
111
21
Exemplu :
Vectorul x scris in baza canonica este
=
322
x
{ } ?313
,212
,21
,, 321321 =→
=
=
=→= AxaaaaaaA
33202530
2321332021122321
3
2
1
3
2
1
321
eeaeee
xaaa
−−−
510090101001
35
3100
32
3510
32
3101
3
2
1
3
2
1
321
−
−
−
−
aaa
e
a
a
xaaa
−
−=⇒
591
AX
Calculul inversei unei matrice cu ajutorul lemei substitutiei
?310012521
1 =⇒
= −AA
3121001036010
513001
131
32
3100
031
32
31010
032
31
3501
1003100121030001521100310010012001521
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
321321
−−−
−−
−−
−
−−
−−−
A
A
A
A
A
A
IIIAAA
CCC
e
C
C
eeCeee
CCCCCC
−−−
−−=−
3121036
5131A
Rezolvarea unui sistem de ecuatii cu ajutorul lemei substitutiei
−−−
−−=
=−=+−−=+−+
003111121121
2332
12
21
4321
4321
A
xxxxxx
xxxx
0000051
51
5110
57
53
5301
111501115011121200313111211121
3
2
1
3
2
1
3
2
1
4321
e
C
C
eeCeee
bCCCC
A
A
A
AAAA
−−
−
−−−−
−−
−−−
−+=
+−=
→⇒
−=+−
=+−
51
51
51
57
53
53
sec,51
51
51
57
53
53
2
1
43
432
431
βα
βα
x
x
undareenecunoscutxx
xxx
xxx
∈
−++−= RS βαβαβαβα ,,,
51
51
51,
57
53
53
(solutia)
Sistemul este compatibil nedeterminat Operatori liniari Fie spatiile vectoriale de tip finit (X,K), (Y,K) Definitie : o functie U definita U: X →Y Se numeste operator linear sau morfism de spatii vectoriale daca :
1. U este aditiv - adica ( ) ( ) ( ) XyxyUxUyxU ∈∀+=+ ,)( , 2. U este omogen – adica ( ) ( ) XxKxUxU ∈∀∈∀= )()( ααα
Exemplu:
+−
−=
→
321
21
23
2)(
:
xxxxx
xU
RRU
−=
+−
−=
31
32221
321
U ( ) ( ) ( )
( ) ( )xUxU
yUxUyxU
αα =
+=+
( )
( ) ( )
( ) ( )xUxxx
xxxxx
xx
xxx
Uxxx
UxU
yUxUyyy
yyxxx
xxyyyxxx
yyxx
yxyxyxyxyx
yxyxyx
Uyyy
xxx
UyxU
ααααα
αα
ααα
αα =
+−
−=
+−
−=
=
=
+=
+−
−+
+−
−=
+−++−
−+−=
=
+++−+
+−+=
+++
=
+
=+
321
21
321
21
3
2
1
3
2
1
321
21
321
21
321321
2121
332211
2211
33
22
11
3
2
1
3
2
1
22
2222
)()(2)(
Inseamna ca U este operator liniar Exemplu: L(X,Y) = {U:X→Y | U este operator liniar} {multimea operatorilor U de X pe Y, unde U este operator liniar}
a) ),( YXLU ∈ - sa demonstram cele doua proprietati Password aplicatii on-line : mataplecon
Curs 3 Definitie Fie ( )YXLU ,∈ , se numeste „imaginea” lui U si se noteaza prin ImU multimea { ,)(| XxYy ∈∃∈ astfel incat }yxU =)( Se numeste nucleul lui U si se noteaza prin Ker U={ }0)(| =∈ xUXx Proprietate : ImU este un subspatiu vectorial al lui Y, iar KerU este un subspatiu vectorial al lui X Subspatiu vectorial R3 – spatiu - un subspatiu este R2
NxNyx
∈⋅∈+
λ
Definitie Fie ),( YXLU ∈ , U este un operator, Se numeste rangul lui U dimensiunea lui ImU, iar dimensiunea lui KerU se numeste defectul lui U. Teorema dimensiunii: Fie ),( YXLU ∈ , dimensiunea lui k *dim NnXk ∈= Are loc urmatoarea relatie :
UKerUX kkk Imdimdimdim += Fie U definit pe R3 cu valori in R3
,: 33 RRU →
=
++−+−
=
3
2
1
321
32
21
;32
)(xxx
xxxx
xxxx
xU
( )3213221 32,,)( xxxxxxxxU ++−+−=τ
Sa aflam KerU si ImU :
{ }
⇒
=++−=+=−
⇒
=
++−+−
⇔=
=∈=
03200
000
320)(
0)(|
321
32
21
321
32
21
3
3
3
xxxxxxx
xxxxxxx
xU
xURxKerU
R
R
N M
1dim1
11
00
,032
2
321
23
21
=⇒
∈
−=
∈
−=
=
∈=
⇒
=++−−==
KerURRKerU
Rxxxx
xxxx
Rαααααα
αα
( ){ }
( )
2Imdim110
2010
20
20
0
,2
Im
2,,
23232
32)(
)(,_,|Im
321
321
322212
223
121
3321
232
121
3
2
1
321
32
21
33
=⇒
+
−=
+
−=
+−++
∈
+−=
+−===
=+−⇒
=+−++−+−=+=
⇒=++−
=+=−
=
++−+−
⇔=
=∈∃∈=
U
RU
yyy
yyyyyxxyx
yxxyxx
yxxxyxxyxx
yyy
xxxxxxx
YxU
YxUincatastfelRxRyU
Rβαββ
α
α
βαβ
α
βαβα
βα
βαβα
Verificam teorema dimensiunii : 1+2=3 Vectori proprii si valori proprii Definitie: Fie XxXxYXLU 0,);,( ≠∈∈ Vectorul x se numeste vector propriu al operatorului liniar U daca R∈∃ λ)( a.i.
xxU λ=)( In acest caz λ se numeste valoare proprie a lui U si se spune ca x este vector propriu corespunzator valorii proprii λ. Multimea { }xxUXxX λλ =∈= )(| se numeste subspatiul propriu asociat lui λ.
Se considera spatiul vectorial (X,K) cu *dim NnXK ∈= Fie F o baza a spatiului X si ( )
njijiaA,1,, =
= matricea operatorului U corespunzatoare bazei F.
Ecuatia )det( nIA λτ − =0 este numita ecuatia caracteristica a operatorului U iar
)det()( nIAP λλ τ −= se numeste polimomul caracteristic al operatorului U. Determinarea valorilor proprii si a vectorilor proprii Solutiile ecuatiei caracteristice ne furnizeaza valorile proprii ale operatorului U Pentru o valoare proprie 0λ subspatiul vectorilor proprii corespunzatori lui 0λ se determina astfel :
0)det(
0)(
3 =−
=−
IAXIA Xn
λ
λτ
τ
( ) ( )
( ) 3;003030332331
001302010132
110011
000
0000
132110011
0100010001
132110011
321223
32
3
===⇒=−⇒=−
=+−+−+−
=−−−−++−⇒=−−
−−−
⇒=−
−
−⇒=−
−
−
λλλλλλλ
λλλλ
λλλ
λλ
λλ
λλ
Vectorii proprii :
30)( 3 RXIA =− λτ I. 0=λ
∈
−=
∈=→
++−−=
=⇒
=
++−+−
⇒
RX
Rxxxx
xxxx
xxxxxxx
αααα
αα
0
2
321
23
21
321
32
21
,320
00
32
II. 3=λ
30)( 3 RXIA =− λτ
=
−−−−−
⇒
=
−
−
−
000
232120012
000
300030003
132110011
3
2
1
3
2
1
xxx
xxx
β=
=⇔=+−−
⇒
−=−=
⇒=−+−
=+−=−−
1
11113
12
321
32
21
00086242
02320202
x
xxxxxxx
xxxxxxx
∈
−−= RX β
ββ
β
423 este subspatiul vectorilor proprii corespunzatori valorii proprii =3
Fie ,: 22 RRU →
++
=
21
21
2
1 2xxxx
xx
U
( )( )
( )
253;
253
253
2
511434;013
01220112011
120
1001
1112
0)det(
21
2,1
222
2
2
−=
+=
±=
∆±−=
=⋅⋅−−=−=∆=+−
=−+−−⇔=−−−⇔=−
−⇔=
−
=−
λλ
λ
λλ
λλλλλλ
λλ
λτ
ab
acb
IA
20)( 2 RXIA =− λτ ; se procedeaza in continuare ca si in exemplul precedent, pentru cele doua valori λ.
Cazul I : 2
53 +=λ
∈
−=⇒
−=
=⇒
=
−=
=−+
−
−=
⇔
=+
−
=+−
⇔
=
+−
−
⇔
=
+−
+−
⇔
=
+
+
−
+RX
x
xxx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
αα
α
α
α
215
215
002
15
02
152
152
15
02
51
02
51
00
2511
12
51
00
25311
12
532
00
2530
02
53
1112
253
2
112
11
12
21
21
2
1
2
1
2
1
Functionale liniare Fie spatiul vectorial (X,K) si (K,K) Definitie : O functie KXf →: se numeste functionala liniara sau forma liniara daca f este un operator liniar, adica :
- ( ) ( ) ( )yfxfyxf +=+ - ( ) ( )xfxf ⋅=⋅ αα
O functie KYXf →×: se numeste functionala biliniara daca :
a. f este liniara in primul argument cand cel de al doilea este fixat ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )yxfyxf
yxfyxfyxxfyxyxf,,
,',,',',αα =
+=+=+
b. f este liniara in al doilea argument cand primul este fixat Fie spatiile vectoriale (X,K) si (Y,K) cu mXk =dim , nYk =dim
{ } { }nm gggGfffF ,...,,,..., 2121 == Fie ( )jiji gffa ,, =
( )njmiji
nmnn
m
m
a
aaa
aaaaaa
A,1,1,
21
22221
11211
=
==
=
Se numeste matricea functionalei biliniare corespunzatoare bazelor F si G.
( )
nmnnn
m
i
n
jjiij
yxayxayxayxa
yxayxf
11121121111
1 1,
+⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅++
=∑∑= =
Functionale patratice Fie KXXf →×: , o functionala biliniara, atunci functionala KXV →: , definita V(x)=f(x,x) se numeste functionala patratica si
( ) ∑∑= =
=m
i
m
jjiij xxaxV
1 1
Exemplu : Fie RRV →3: ( ) 323121
23
22
21 86432 xxxxxxxxxxV −+−+−=
Sa se determine matricea functionalei in baza canonica
−−−−
−=
343412
322A
Observatie : matricea functionalei este simetrica Clasificarea functionalelor patratice Fie KXV →: o functionala patratica 1. V se numeste pozitiv definita daca pentru orice XxXx 0, ≠∈ , avem ( ) 0>xV 2. V se numeste negativ definita daca pentru orice XxXx 0, ≠∈ , avem ( ) 0<xV 3. V se numeste semipozitiv definita daca pentru orice Xx∈ , avem ( ) 0≥xV 4. V se numeste seminegativ definita daca pentru orice Xx∈ , avem ( ) 0≤xV 5. V se numeste nedefinita daca ,,)( yXxyx ≠∈∃ astfel incat ( ) 0<xV si ( ) 0>yV Pentru a determina natura unei functionale patratice aceasta trebuie adusa la forma canonica Se spune ca KXV →: (functionala V definita pe X cu valori in R) a fost adusa la forma canonica daca s-a determinat o baza G a lui X pentru care ( ) 22
22211 nn xxxxV λλλ +++=
Matricea A corespunzatoare bazei G este
=
n
A
λ
λλ
00
0000
2
1
Cu ajutorul formei canonice natura functionalei V se determina astfel : 1. daca nii ,1)(,0 =∀>λ rezulta ca functionala patratica este pozitiv definita
2. daca nii ,1)(,0 =∀<λ rezulta ca functionala este negativ definita 3. daca 0>iλ si 0)( =∃ jλ rezulta ca functionala este semipozitiv definita 4. daca 0<iλ si 0)( =∃ jλ rezulta ca functionala este seminegativ definita 5. daca 0>iλ si )(;0 jij ≠<λ rezulta ca functionala este nedefinita Metode pentru determinarea formei canonice 1. Metoda lui Jacobi ( )
−−−−
−=
−+−+−=
343412
32286432 323121
23
22
21
A
xxxxxxxxxxV
Se calculeaza indicatorii ∆
71232924246343412
322
61222
21
3
2
1
0
=−−+++−=−
−−−−
=∆
−=−−−
=∆
=∆=∆
Forma canonica a lui V este :
( ) 23
22
21
23
3
222
2
121
1
0
76
31
21 yyyyyyxV −−=
∆∆
+∆∆
+∆∆
=
⇒
−=
−=
=
7631
21
3
2
1
λ
λ
λ
Functionala este nedefinita
2. Metoda lui Gaus ( )
−−=
+−++=
320222
02234242 2
3322221
21
A
xxxxxxxxV
Se formeaza un patrat perfect ( )
( )
nedefinita
zzz
zyy
zyzy
yyyy
yyyyyyyyyyyyyyxVyxyx
yxxxxxxxxxxxxxxxV
⇒
=
−=
=
+−⇒
=−
==
−+−=
−
+−+=
−+=+−=
===+
+−+=+−++=
334
2
3342
32
323
342
34
94
3432
3432342;
34)(234)2(2
3
2
1
23
22
21
323
22
11
2
2322
21
22
2232
23
2132
23
21
2332
21
33
22
121
2332
221
2332
2221
21
λ
λ
λ
Note de curs 4
Doua tipuri de probleme care vor aparea la examen. 10 subiecte grila cu a,b,c,d cu un singur raspuns corect (grila perfecta = 5,00). 3 probleme de rezolvat 1. Algoritmul simplex primal 21 4030max xxxf functia scop
7
102
21
21
xx
xx restrictii
0, 21 xx conditii de nenegativitate
Rezolvare Pasul 1. Se aduce problema la forma standard. 21 4030max xxxf
7
102
421
321
xxx
xxx 43 , xx - variabile de compensare
0,,, 4321 xxxx
Matricea sistemului :
1011
0112; AAAA CCCC 4321 ; 2
11
2RC A
Pasul 2. Elaborarea tabelului simplex.
30 40 0 0 ←beneficiul CBvectorul coeficientilor
C1A C2
A C3A C4
A din functia obiectiv
0 C3A 10 2 1 1 0 10/1=10 C4
A
0 C4A 7 1 1 0 1 7/1=7 iese din baza
0 0 0 0 0 - se scade aceasta linie din prima
30 40 0 0 MAX = 40 →C2A intra in baza
0 C3A 3 1 0 1 -1
40 C2A 7 1 1 0 1
280 40 40 0 40 0*3+40*7=280
-10 0 0 -40
min=7→
algoritmul se opreste cand obtinem
valori 0 sau valori negative
CB Baza XB
Solutia este : [max]f=280 ;
0
3
7
0
X
RECAPITULARE : Se inmultesc cu vectorii din fata fiecare din vectorii cu doua componente si se insumeaza elementele rezultate. 1. LINIA PIVOTULUI SE IMPARTE LA PIVOT 2. DEASUPRA PIVOTULUI SI DEDESUBT PUNEM „0” 3. CELELALTE ELEMENTE LE CALCULAM CU REGULA DREPTUNGHIULUI Problema 2 Fie 3 produse P1, P2, P3 obtinute cu 3 materii prime M1, M2, M3 321 400600500max xxxxf
4003
1005,0
2002
21
321
31
xx
xxx
xx
restrictii
4003
1005,0
2002
621
5321
431
xxx
xxxx
xxx
0,, 321 xxx conditii de nenegativitate
Matricea sistemului :
100031
010115,0
001102
; (matricea sistemului)
500 600 400 0 0 0
C1A C2
A C3A C4
A C5A C6
A
0 C4A 200 2 0 1 1 0 0
0 C5A 100 1/2 1 1 0 1 0 100/1=100 min = 100 →C5
A iese din baza
0 C6A 400 1 3 0 0 0 1 400/3=133,3
0 0 0 0 0 0 0
500 600 400 0 0 0 MAX = 600 →C2A intra in baza
0 C4A
200 2 0 1 1 0 0 200/2=100
600 C2A
100 1/2 1 1 0 1 0 100/o,5=200 min = 100 →C4A
iese din baza
0 C6A 100 - 1/2 0 -3 0 -3 1 negativ
60000 300 600 600 0 600 0
200 0 -200 0 -600 0 MAX = 200 →C1A intra in baza
500 C1A
100 1 0 1/2 1/2 0 0 linia pivotului se imparte la pivot
600 C2A 50 0 1 3/4 - 1/4 1 0 se aplica regula dreptunghiului
0 C6A 150 0 0 -11/4 1/4 -3 1
80000 500 600 700 100 600 0 scadem din linia beneficiilor (sus)
0 0 -300 -100 -600 0 se opreste algortimul
XBCB Baza
Solutia este : [max]f=80 000 ;
150
0
0
0
50
100
X
Problema transporturilor
4 metode de lucru – Echilibram problema astfel incat necesarul sa fie egal cu disponibilul. 1. Metoda NORD-VEST BENEFICIARI Bj Di
B1 B2 B3 Disponibil
D1
40
0
0 40
D2
10
50
0 60 60 50
D3
0
10
20 30 30 30 20 D4
depozit fictiv
0
0
25 25 25 25 25 25
Necesar 50 60 45 155 155
10 60 45
60 45
10 45
45
25
2 4 1
1 5 7
3 2 10
0 0 0 DEP
OZI
TEW
Solutia posibila de baza este :
2500
20100
05010
0040
X ; m + n – 1 = 4 + 3 – 1 = 6 (nr. linii + nr. coloane – 1)
Solutia este nedegenerata (6 solutii nenule = nr. linii + nr. coloane – 1) Costul = 0251020210550110240 560 Metoda 2 : Metoda costului minim pe linie Cost minim pe linie Bj Di
B1 B2 B3 Disponibil
D1
0
0
40 40 D2
50
10
0 60 60 10
D3
0
30
0 30 30 30 D4
depozit fictiv
0
20
5 25 25 25 25 5
Necesar 50 60 45 155 155
50 60 5
60 5
50 5
20 5
Solutia posibila de baza este :
2 4 1
1 5 7
3 2 10
0 0 0 DEP
OZI
TEW
5200
0300
01050
4000
X ; m + n – 1 = 4 + 3 – 1 = 6 (nr. linii + nr. coloane – 1)
Solutia este nedegenerata (6 solutii nenule = nr. linii + nr. coloane – 1) Costul = 05020230510150140 200 Problema 2
Metoda 1 BENEFICIARI Bj Di
B1 B2 B3 Disponibil
D1
20
10
0 30 10 D2
0
5
15 20 20 20 15
Necesar 20 15 15 50 50
20 15 15
15 15
5 15
Solutia posibila de baza este :
1550
01020X ; m + n – 1 = 2 + 3 – 1 = 4 (nr. linii + nr. coloane – 1)
Solutia este nedegenerata (6 solutii nenule = nr. linii + nr. coloane – 1) Costul = 01545210120 60
1 2 0
3 4 0
DEP
OZI
TEW
Metoda 2. BENEFICIARI Bj Di
B1 B2 B3 Disponibil
D1
15
0
15 30 15 D2
5
15
0 20 20 20 15
Necesar 20 15 15 50 50
20 15
5 15
Solutia posibila de baza este :
0155
15015X ; m + n – 1 = 2 + 3 – 1 = 4 (nr. linii + nr. coloane – 1)
Solutia este nedegenerata (6 solutii nenule = nr. linii + nr. coloane – 1) Costul = 41535015115 90
1 2 0
3 4 0
DEP
OZI
TEW