mate
matik
11matematik
vizli Sokak No:16 D:6 tanbul
t/ +90 212 424 00 [email protected]
www.tammatyayincilik.com
Dikkat! Kit sek düzeyde görsel, sanatsal ve ak .
Tammat Ya t ’ye ait .
en tamamen y opya etmeyiniz.
Kopya ediyor .
O halde sa enilerinin y esile olun.
11.
genel yayın yönetmenieditörredaksiyon
ISBNbaskıbaskı tarihiyayıncı ser�fika no
: Süleyman TOZLU: Yunus SEVİNDİK: Semra YAVUZ, İbrahim LEBLEBİCİ Cafer KARADAŞ: 978-605-68509-8-1: Aykut Basım Yayın Matbaacılık San.Tic.Ltd.Ş�.: 2019: 44353
usta
Ünite 1 TRİGONOMETRİ
Açı Ölçü Birimleri ve Esas Ölçü............................................... 8 Trigonometrik Fonksiyonlar ................................................. 14 Geniş Açıların Dar Açılara İndirgenmesi ............................... 28 Kosinüs ve Sinüs Teoremleri ................................................ 42 Periyot ve Grafik .................................................................. 52 Ters Trigonometrik Fonksiyonlar ......................................... 60
Ünite 2 ANALİTİK GEOMETRİ
Noktanın Anali�ği ................................................................ 78 Doğrunun Anali�ği ............................................................... 90
Ünite 3 FONKSİYONLARDA UYGULAMALAR
Fonksiyonlarla İlgili Uygulamalar ....................................... 114 Parabol............................................................................... 120 Fonksiyonların Dönüşümleri .............................................. 142
Ünite 4 DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER
Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri ..... 166 İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri ....... 170 İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri ....... 174
Ünite 5 ÇEMBER ve DAİRE
Çember ve Çemberin Yardımcı Elemanları ........................ 194 Çemberde Açı..................................................................... 200 Çemberde Uzunluk ............................................................ 214 Dairene Alan ...................................................................... 224
Ünite 6 UZAY GEOMETRİ
Dik Dairesel Silindir ............................................................ 246 Dik Dairesel Koni ................................................................ 247 Küre.................................................................................... 249
Ünite 7 OLASILIK
Koşullu Olasılık ................................................................... 256 Ağaç Diyagramı .................................................................. 258 Deneysel ve Teorik Olasılık ................................................ 259
Hamle-3 Cevaplar............................................................... 269
murat şahin
Bütün büyük işler küçük başlangıçlarla olur. Bu kitaptaki her bir bölüm küçük parçalardan oluşmaktadır. Bu parçaları birleş�rerek büyük işlere imza atabilirsiniz. Bu matema�ğin ruhunda var.
ramazan örsal
Yap�ğımız her işin en iyisi olması için çalışmalıyız. Ancak bu şekilde daha güzel işler yapabiliriz.
1. üNİTE
TRİGONOMETRİ
AÇI ÖLÇÜ BİRİMLERİ - ESAS ÖLÇÜ
İNDİRGEME
PERİYOT VE GRAFİK
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR
TEOREMLER
TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYON
Analitik Geometri
hamle Soruları 1 hamleler
1 2kuralı Öğren! örneği incele!
3 bir de sen dene!
8
Bölüm-1 : Açı Ölçü Birimleri Ve Esas Ölçü
Ünite-1 : Trigonometri
1.
A
B
O
Yukarıda verilen açı modellemesi için aşağıdaki öner-melerin hangileri doğrudur?
I. Açınınbaşlangıçkenarı[OB
II. Açınınbitimkenarı[OA
III. Açınegatifyönlüdür.
IV. VerilenaçıBéAOşeklindegösterilir.
2.
AB
O
Yukarıda verilen açı modellemesi için aşağıdaki boş-lukları doldurunuz.
Yön :.........................Başlangıçkenarı:..........................Bitimkenarı:..........................Gösterimi:...........................
Örnek :
AO
B
Yukarıda verilen açı modelinin, başlangıç kenarı, bitim ke-
narı, yönünü ve isimlendirilmesi belirtiniz.
Çözüm :
Başlangıçkenarı:[OB
Bitimkenarı:[OA
Yönü:Pozitifyönlüdür.
BéOAolarakisimlendirilir.
Yönlü Açılar
B
Bitimkenarı
Başlangıçkenarı
A
O
[OAbaşlangıçkenarı[OBbitimkenarıdır.
Saatindönmeyönlüilezıtyönlüaçıyapozitifyönlüaçıdenir.BuaçıAéOBşeklindegösterilir.
B
Başlangıç
kenarı
BitimkenarıA
O
[OBbaşlangıçkenarı
[OAbitimkenarı
BéOAaçısı,saatindönmeyönüileaynıolanaçıdır.Buaçıyanegatifyönlüaçıdenir.
hamleler
1 2kuralı Öğren! örneği incele!
9
hamle Soruları 2
Bölüm-1 : Açı Ölçü Birimleri Ve Esas Ölçü
Ünite-1 : Trigonometri
1. 240° +5p
18
işleminin sonucu kaç derecedir?
2.
A BF
E D
C
EACaçısınınaçıortayı[ADışınıdır.
m(FëAE) = 60° ve m(CëAB) = 2p
5 olduğuna göre, m(EëAD)
kaç derecedir?
3. 11p
12 –
3p
5
işleminin sonucu kaç derecedir?
4. 11p
18 +
5p
3
işleminin sonucu kaç derecedir?
3 bir de sen dene!
Örnek:4p
5 radyan kaç derecedir?
Çözüm:
D180°
=
4p
5
p
D=4
5 . 180° = 4 . 36° = 144°
Cevap: 144°
Örnek:7p
12 radyan kaç derecedir?
Çözüm:pyerine180°yaz. 7p
12 =
7 . 180°
12 = 7 . 15° = 105°
Cevap: 105°
Açı Ölçü Birimleri
1. Derece:
Birçemberin1
360°likyayınıgörenmerkezaçınınölçüsüne1°de-
recedenir.
2. Radyan:
Birçemberdeyarıçapuzunluğundakibiryayıgörenmerkezaçınınölçüsünebirradyandenir.
Dereceyiradyana,radyanıdereceyeçevirmekiçinaşağıdakiformülkullanılır.
D180°
= R
p
hamle Soruları hamleler
1 2kuralı Öğren! örneği incele!
10
Bölüm-1 : Açı Ölçü Birimleri Ve Esas Ölçü
Ünite-1 : Trigonometri
1. a = 49° 36ı
b = 28° 45ı
olduğuna göre, a – b kaç derece kaç dakikadır?
2. a = 40° 48ı
b = 12° 36ı
olduğuna göre, 2a – b kaç derece kaç dakikadır?
3. a = 48° 23ı 12ıı
b = 36° 45ı 28ıı
olduğuna göre, 2a + 3b toplamı kaçtır?
4. a = 16ı 24ıı
b = 19ı 12ıı
olduğuna göre, a
3 +
b
2 toplamı kaçtır?
5. x = 48° 32ı 20ıı
olduğuna göre, x
5 işleminin sonucu kaçtır?
3 bir de sen dene!
Örnek:
a = 36° 18ı 23ıı
b = 42° 55ı 49ıı
olduğuna göre, a + b kaç derece, dakika, saniyedir?
Çözüm: 36° 18ı 23ıı
42° 55ı 49ıı+ 79° 14ı 12ıı
23ıı
49ıı+ 72ıı
72ıı = 60ıı + 12ıı
= 1ı + 12ıı
18ı 36° 42°
1°+ 79°
55ı
1ı
+ 74ı
74ı = 60ı + 14ı
= 1° + 14ı
Cevap: 79° 14ı 12ıı
Derece - Dakika - Saniye1°=60'(dakika)1'=60''(saniye)
Yer ekseni
Yörüngedüzlemi
Ekvator
23°27 ı
66°33ı
Yerekseniveyörüngedüzlemibirbirinedikdeğildir.Yörüngedüzlemiileyerekseniarasında66°33'likaçıvar-dır.Yerekseniveekvatorbirbirinediktir.Bunagöreyörüngedüzlemiileekvatorarasındakiaçı90° - 66° 33ı = 23° 27ıolur.
3
hamleler
1 2kuralı Öğren! örneği incele!
3 bir de sen dene!
11
hamle Soruları
Bölüm-1 : Açı Ölçü Birimleri Ve Esas Ölçü
Ünite-1 : Trigonometri
1. 153p
7
radyanlık açının esas ölçüsü kaç radyandır?
2. –49p
9
radyanlık açının esas ölçüsü kaç radyandır?
3. 7238° açının esas ölçüsü kaç derecedir?
4. –8536° lik açının esas ölçüsü kaç derecedir?
Örnek:1050° lik açının esas ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm:1050 720– 330°
360
2
Esasölçü330°dir.Cevap: 330°
Örnek:17p
3 radyanlık açının esas ölçüsü kaç radyandır?
Çözüm:2pnintamkatınıçıkartacağız.
17p
3– 4p =
17p – 12p
3 =
5p
3radyandır.
Cevap: 5p
3Örnek:–49p
4 radyanlık açının esas ölçüsü kaç radyandır?
Çözüm:–49p
4+ 14p =
–49p + 56p
4 =
7p
4radyandır.
Cevap: 7p
4
Esas Ölçü
q = a+360.k,k∈ Z
q = a+2kp,k∈ Z
q’ninesasölçüsüa’dır.
Esasölçü:0≤ a < 360°
0 ≤ a < 2p aralığındadır.
4
12
Ara Test -
1. 12484ı dakikalık açı kaç derece kaç dakikadır?
A) 208° 04ı B) 208°14ı
C) 207°04ı D) 207°14ı
E) 208°34ı
2. 2845ı dakikalık açının tümleyeni kaç derece kaç dakikadır?
A) 47° 25ı B) 42°35ı
C) 45°25ı D) 45°35ı
E) 46°15ı
3. ABC üçgeninde,
m(ëA)=42°14ı 26ıı
m(ëB)=78°37ı 45ıı
olduğuna göre, m(ëC) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 49°08ı 39ıı B) 49°07ı 49ıı
C) 59°08ı 38ıı D) 60°07ı 59ıı
E) 59°07ı 49ıı
4. a = 124° 36ı 45ıı
olduğuna göre, a
5 aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 24°55ı 36ıı B) 24°55ı 36ıı
C) 24°46ı 21ıı D) 24°55ı 21ıı
E) 24°56ı 36ıı
5. a = 36° 23ı 42ıı
b = 48° 47ı 46ıı
olduğuna göre, 3a + 2b aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 200°52ı 36ıı B) 204°46ı 26ıı
C) 206°46ı 38ıı D) 206°52ı 45ıı
E) 205°46ı 38ıı
6. a = 48° 23ı
olduğuna göre, a
5 aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 9°40ı 36ıı B) 9°41ı
C) 9°40ı 23ıı D) 9°41ı 36ıı
E) 9°40ı 26ıı
7.
B
y
x
C
D
EA
CAEaçısınınaçıortayı,[ADışınıdır.
m(BëAD)=48°20ı
m(DëAE)=30°40ı
yukarıdaki verilere göre, m(BëAC) kaç derecedir?
A) 17° 30ı B) 17°40ı C) 18°40ı
D) 18°30ı E) 16°40ı
8. D C
A B
E
m(DëAB) açıortayı,
|AE|
m(CëBA) açıortayı,
|BE|
m(AëDC)=102°40ı
m(BëCD)=146°20ı
yukarıdaki verilere göre, m(AëEB) kaç derecedir?
A) 124° 50ı B) 124°40ı C) 124°30ı
D) 125°20ı E) 125°40ı
1
1-A 2-B 3-E 4-D 5-C 6-A 7-B 8-C
13
Ara Test -
1. a = 60° 32ı
b = 40° 46ı
olduğuna göre, 2a + 3b kaç derece ve kaç dakikadır?
A) 243°22ı B) 242°36ı
C) 241°22ı D) 241°36ı
E) 242°22ı
2. a = 70° 48ı açısının ölçüsü kaç dakikadır?
A) 4136ı B) 4178ı
C) 4188ı D) 4248ı
E) 4308ı
3. A
I
B C
Iüçgenininiçteğetçem-berininmerkezidir.m(ëA)=85°36ı
olduğuna göre, m(Bë I C) açısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 133°48ı B) 128°48ı
C) 130°48ı D) 131°48ı
E) 132°48ı
4. A
B C
D76º 34ı
[BD]ve[CD]açıortay
m(CëAD)=76°34ı
olduğuna göre, m(BëDC) açısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 13°26ı B) 12°36ı
C) 18°46ı D) 14°26ı
E) 14°22ı
5. 13578° lik açının esas ölçüsü kaç derecedir?
A) 78° B) 178° C) 262° D) 246° E) 258°
6. –1317° lik açının esas ölçüsü kaç derecedir?
A) 23° B) 93° C) 123° D) 133° E) 143°
7. –79p
6 radyanlık açının esas ölçüsü kaç derecedir?
A) 330° B) 240° C) 210° D) 150° E) 30°
8. 112p
5 radyanlık açının esas ölçüs kaç derecedir?
A) 72° B) 108° C) 136° D) 144° E) 288°
2
1-A 2-B 3-E 4-D 5-C 6-A 7-B 8-C 1-A 2-D 3-E 4-A 5-E 6-C 7-D 8-A
hamle Soruları hamleler
1 2kuralı Öğren! örneği incele!
14
Ünite-1 : Trigonometri
3 bir de sen dene!
1. I. 2x2+y2 = 2
II. x2=1–y2
III. 3x2+3y2 = 9
Yukarıda verilenlerden hangileri birim çember denklemidir?
2. Adñ2
2, an noktası birim çember üzerinde olduğuna göre, a
nın alabileceği değerler nelerdir?
3. Orjinden geçen 240° lik pozitif yönlü açı birmi çemberihangi noktada keser?
4. Orjinden geçen 210° lik negatif yönlü açı birim çemberihangi noktadan keser?
5.
a
A
13
5
B C
ABCüçgen
[AB]⊥[BC]
|AB|=5cm
|BC|=13cm
m(AéBC)=a
Yukarıdaki verilere göre, sina – cosa kaçtır?
Örnek:Orjinden geçen 30°lik pozitif yönlü açı birim çemberi hangi noktada keser?
Çözüm:
1
y
x–1 1
30°O
–1
,Añ32
12
ñ32
12
Cevap: dñ3
2,
1
2n
Birim çember:Orjinebirbirimuzaklıktakinoktalarkümesinebirimçemberdenir.
1
y
x–1 1
A(x,y)
xO θ
y
–1
Birimçemberindenklemi:
x2+y2=1dir.
Trigonometrik Oranlar
a
A
karşıdikkenar
komşudikkenar
hipotenüs
BC
sina = karşıdikkenaruzunluğuhipotenüsuzunluğu
= |AC|
|AB|
cosa = komşudikkenaruzunluğu
hipotenüsuzunluğu = |BC||AB|
tana = karşıdikkenaruzunluğukomşudikkenaruzunluğu
= |AC|
|BC|
cota = komşudikkenaruzunluğukarşıdikkenaruzunluğu
= |BC||AC|
5
Bölüm-2 : Trigonometrik Fonksiyonlar
hamleler
1 2kuralı Öğren! örneği incele!
15
hamle Soruları 6
1.
O
A
40°
x
y
birim çemberi üzerinde verilen A noktasının koordinat-ları nedir?
2.
O
30°A
x
y
Birim çember üzerinde verilen A noktasının koordinat-ları nedir?
3.
O
70°
A
x
y
Birim çember üzerinde verilen A noktasının koordinat-ları nedir?
4. sin180°+cos270°cos90°+sin270°
ifadesinin değeri kaçtır?
3 bir de sen dene!
Örnek:
sin450°–cos180°cos1080°
İfadesinin eşiti kaçtır?
Çözüm:
sin450°=sin90°=1
cos180°=–1
cos1080°=cos0°=1
1–(–1)1
= 2
Cevap: 2
Birim Çemberde Sinüs ve Cosinüs Fonksiyonları:y(sinüsekseni)
x(cosinüsekseni)
A(x,y)
x
y1
a
sina = y1
cosa = x
1
A(x,y)=A(cosa,sina)
0º - 90º - 180º - 270º açılarının trigonometrik değerleri
0° 90° 180° 270°
sin 0 1 0 –1
cos 1 0 –1 0
Bölüm-2 : Trigonometrik Fonksiyonlar
Ünite-1 : Trigonometri
hamle Soruları hamleler
1 2kuralı Öğren! örneği incele!
16
Ünite-1 : Trigonometri
3 bir de sen dene!
1.
O
A B
50°
x
y = 1
y
Yukarıda verilen birim çemberde, A noktasının koordi-natları nedir?
2. cot
p
2– sin
3p
2tan2p+cosp
işleminin sonucu kaçtır?
3. tan1080°+cos450°cot810°+sin1710°
işleminin sonucu kaçtır?
Örnek :tan0°+cos360°
cot(–90°)+sin270°
İfadesinin eşiti kaçtır?
Çözüm :
tan0°=0
cos360°=cos0°=1
cot(–90°)=cot270°=0
sin270°=–1
0 + 1
0 – 1 = –1
Cevap: –1
Birim Çemberde Tanjant ve Cotanjant Fonksiyonları:
Ox
y
y = 1
x = 1
α
b
a
cotanjantekseni
tanjantekseni
tana = a1
cota = b1
0° 90° 180° 270°
tan 0 tanımsız 0 tanımsızcot tanımsız 0 tanımsız 0
Birim Çemberde Secant ve Cosecant Fonksiyonları
y
xO
B
x
y(0, 1)
A(Secx, 0)
C (0, Cosecx)
|AO|=secx|OC|=cosecx
7
Bölüm-2 : Trigonometrik Fonksiyonlar
hamleler
1 2kuralı Öğren! örneği incele!
17
hamle Soruları 8
Bölüm-2 : Trigonometrik Fonksiyonlar
Ünite-1 : Trigonometri
1. a=cos240°b=cos310°c=cot140°
olduğuna göre, a, b ve c nin işaretlerini sırasıyla yazınız.
2. a=tan300°b=cot230°c=sec260°
olduğuna göre, a, b ve c nin işaretlerini sırasıyla yazınız.
3. a=cos5p
6,b=sin
2p
3, c=tan
11p
6
olduğuna göre, a, b ve c nin işaretlerini sırasıyla yazınız.
4. a=sin140°b=cos280°c=cot260°
olduğuna göre, a, b ve c nin işaretlerini sırasıyla yazınız.
5. 0 < x < p
2olmaküzere,
a=cos(p2 + x),b=cos(3p
2– x),c=cos(3p
2+ x)
olduğuna göre, a, b ve c nin işaretlerini sırasıyla yazınız.
6. 0 < x < p
2olmaküzere,
a=sin(p2 + x),b=sin(3p
2– x),c=sin(3p
2+ x)
olduğuna göre, a, b ve c nin işaretlerini sırasıyla yazınız.
3 bir de sen dene!
Örnek:a=sin170°,b=cos200°,c=tan230°
olduğuna göre a, b, c nin işaretleri sırasıyla nedir?
Çözüm:a=sin170° 2. bölgedepozitifişaretlidir.
b=cos200° 3. bölgedenegatifişaretlidir.
c=tan230° 3. bölgedepozitifişaretlidir.
Cevap: (+, –, +)
İşaret incelemesi:
x ve y eksenleri analitik düzlemi 4 bölgeye ayırır. Sinüs vecosinüs'ünbubölgelerdekiişaretleriaşağıdakigibidir.
y
c s
2. bölge(–, +)
c s
1. bölge(+, +)
c s
3. bölge(–, –)
c s
4. bölge(+, –)
x
hamle Soruları hamleler
1 2kuralı Öğren! örneği incele!
18
Ünite-1 : Trigonometri
1. tanp
6+ cot
p
3
sinp
3
işleminin sonucu kaçtır?
2. sin750°+cos1125°tan(–660°)
işleminin sonucu kaçtır?
3. tan15° değerini dik üçgen yardımıyla hesaplayınız.
4.
30°
Zehra'nınboyu150cmdir.Zehra'nın ağaca uzaklığı 346,4 cm olduğuna göre, ağacın boyu kaç cm dir?(ñ3 ≅1,732alınız.)
5.
45°30°Ali Hasan
Mehmet
Ali ile Mehmet arasındaki uzaklık 300 cm olduğuna göre, Mehmet ile Hasan arasındaki uzaklık kaç cm dir?(ñ2 ≅1,414alınız.)
3 bir de sen dene!
Örnek:cot15° değeri kaçtır?
Çözüm:
A
B C D
a2a
2a30°
añ315°
60°
cot15=añ3+2a
acot15=2+ñ3
Cevap: 2 + ñ3
Özel Trigonometrik Açılar:
A
a
B
2a
añ3 C30°
60°
sin30°=cos60°=a2a
= 1
2
sin60°=cos30°=añ3
2a =
ñ3
2
tan30°=cot60°=aañ3
= 1
ñ3
tan60°=cot30°=añ3
a = ñ3
añ2
a
a
A
CB45°
45° sin45°=cos45°=aañ2
= 1
ñ2
tan45°=cot45°=aa
= 1
Birbirini 90° ye tamamlayan açıların sinüs'ü cosinüs'üne,tanjant'ıcotanjantı'naeşittir.
9
Bölüm-2 : Trigonometrik Fonksiyonlar
hamleler
1 2kuralı Öğren! örneği incele!
19
hamle Soruları
1. x ∈ R olmak üzere,
sina = 3x – 1
5
olduğuna göre, x hangi aralıkta değer alır?
2. A=sinx+cosy
olduğuna göre, A nın değer aralığını bulunuz.
3. sinx+cosx=1
3
olduğuna göre, sinx.cosx çarpımı kaçtır?
4. sin2x
1–cosx +
cos2x
1+sinxişleminin sonucu kaçtır?
5. sin4x–cos4x
sin2x–cos2x
işleminin sonucu kaçtır?
6. x ∈ (0,p2) olmaküzere, 1+2sinx.cosx
işleminin sonucu nedir?
3 bir de sen dene!
Örnek:
A = 3sinx + 4 olduğuna göre, A nın değer aralığı nedir?
Çözüm:
–1 ≤sinx≤ 1
–3 ≤3sinx≤ 3
–3 + 4 ≤3sinx+4≤ 3 + 4
1 ≤3sinx+4≤ 7
Cevap: [1, 7]
Sinüs ve Cosinüs Fonksiyonlarının Özellikleri:
(0,1)
(–1,0) (1,0)x
y
xcosx
sinx
(0,–1)
• –1 ≤cosx≤ 1
–1 ≤sinx≤ 1
• sin2x+cos2x = 1
10
Bölüm-2 : Trigonometrik Fonksiyonlar
Ünite-1 : Trigonometri
hamle Soruları hamleler
1 2kuralı Öğren! örneği incele!
20
Ünite-1 : Trigonometri
1. 3cosx+2sinxcosx+4sinx
= 3
5
olduğuna göre, tanx değeri kaçtır?
2. tanx+cotx=4
olduğuna göre, tan2x + cot2x ifadesinin değeri kaçtır?
3. tanx–cotx=1
2
olduğuna göre, tan2x + cot2x ifadesinin değeri kaçtır?
4. 1+cot2x–cosec2x
ifadesinin eşiti nedir?
5. tan2x–sec2x
ifadesinin eşiti nedir?
6. tanx>cotxolmaküzere,
sec2x
cosec2x +
cosec2x
sec2x = 27
olduğuna göre, tanx – cotx değeri kaçtır?
3 bir de sen dene!
Örnek:3sinx+4cosx=0
olduğuna göre, tanx kaçtır?
Çözüm:3.sinx=–4cosx
sinxcosx
= – 4
3tanx=–
4
3
Cevap: – 4
3
Tanjant ve Cotanjant Fonksiyonlarının Özellikleri:
• tanx=sinxcosx
• cotx=cosxsinx
• secx=1
cosx• cosecx=
1
sinx
• tanx.cotx=1
Bölüm-2 : Trigonometrik Fonksiyonlar
11
21
7. sinx1+cosx
+ 1+cosxsinx
ifadesinin eşiti nedir?
8. sinx1+sinx
– sinx
1–sinxifadesinin eşiti nedir
9. cos4x–sin4x
2cos2x – 1
ifadesinin eşiti nedir?
10. sinx+tanx1+cosx
ifadesinin eşiti nedir
11. sin2x
1–sec2x +
cos2x
1–cosec2x
ifadesinin eşiti nedir
12. sin2a
1–cosa– cosa
ifadesinin eşiti nedir
13. sin4x–cos4x+4sin2x+6cos2x
ifadesinin eşiti nedir
14. cos6x+sin6x+3sin2x.cos2x
ifadesinin eşiti nedir
hamle Soruları hamleler
1 2kuralı Öğren! örneği incele!
22
Ünite-1 : Trigonometri
12
Bölüm-2 : Trigonometrik Fonksiyonlar
3 bir de sen dene!
1.
O
70° 1
B
A
x
x = 1
y
y = 1
Yukarıda verilen birim çemberde |AB| uzunluğu nedir?
2.
O
A
B
y
x
α
Yukarıda verilen birim çemberde m(AéOB) = a olduğuna göre, B noktasının koordinatlarını yazınız.
Örnek :
O
B E
D
A(0, 1)
C
20° x
x=1
y
y=1
Yukarıdaki O merkezli birim çemberde verilenlere göre, E¿DC üçgeninin alanı kaç br2 dir?
Çözüm :|AD|=tan20° |EA|=1
|ED|=1–tan20°
|BC|=cot20° |EC|=cot20°–1
Alan(EDC)=(1–tan20°).(cot20°–1)
2dir.
Birim Çember Uygulamaları:
cota
cosa
sina
tana
y
y=1
x = 1
x
–1
–1
1
1a
23
3.
O
20ºB
A
x
x = 1
y
Yukarıda verilen birim çemberde |AB| uzunluğu kaçtır?
4.
O H C
B
A
x
y = –1
y
Birimçemberde|OH|=|HC|[AH]⊥[OC]dir. [OA] ışınının y = –1 doğrusunu kestiği nokta B olduğu-
na göre, |AB| kaç birimdir?
5.
O
A
B
40°
x
y
1
1
–1
–1
Yukarıda verilen birim çemberde |AB| uzunluğu kaç bi-rimdir?
6.
O
A
B
Dθ
C
x
x = 1
y
Birimçemberdem(BéOD)=q olmaküzere, A¿BC üçgeninin alanının q cinsinden eşiti nedir?
7.
O
A B
x
x = 1
y
140°
Yukarıda verilen birim çemberde ABO üçgeninin alanı kaçtır?
8.
O
A B
x
x = –1
y
250°
Birim çemberde ABO üçgeninin alanı kaçtır?
24
Ara Test -
1.
O
A
B
C
30°
x
x = 1y
Yukarıda verilen birim çemberde |AB|.|AC| değeri kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
2.
O
AB
DHx
y
Yukarıda verilen birim çemberde |BA| uzunluğu kaçtır?
A) 13
B)1ñ3 C) 1
2D)ñ3
2E) 1–ñ3
2
3.
O
A
BD
C
E60° x
y
x = 1
y = 1
Yukarıda verilen birim çemberde |AO||CO|
oranı kaçtır?
A) ñ2 B) ñ3 C) ñ32
D) 2ñ3 E) 3ñ3
4.
O
A
Dx
y
α
Yukarıda verilen birim çemberde A noktasının koordi-natları nedir?
A) (cosa,sina) B) (sina,cosa)C) (–sina,cosa) D) (–cosa,–sina)
E) (–cosa,sina)
5.
OA
B
H
y
x
|OH|=|AH|
Buna göre, birim çemberde B noktasının koordinatları nedir?
A) (cos210º,sin210º) B) (cos225º,sin225º)C) (cos240º,sin240º) D) (cos260º,sin260º)
E) (cos300º,sin300º)
2.
x
y
O
C
AB
D
x = 1
y = –1
25°
Yukarıda verilen birim çemberde |AD| . |BC| çarpımı kaçtır?
A) 12
B)1 C) 32
D)2 E) 52
3
1-A 2-E 3-B 4-E 5-C 6-B
25
Ara Test -
1. sin3x+cos3x
1–sinx.cosx +
sin3x–cos3x
1+sinx.cosx
ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2sinx B) 2cosx C) cosx+sinx
D) 2sinx–2cosx E) 1
2. cos4x–sin4x
cosx+sinx
ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
A) cosx+sinx B) cosx–sinx C) sinx–cosx
D) 2sin2x–1 E) 1
3. tanx–cotx=3
olduğuna göre, tan2x + cot2x değeri kaçtır?
A) 7 B) 9 C) 10 D) 11 E) 13
4. cos50°.cos51°.cos52°...cos169°
işleminin sonucu kaçtır?
A) –1 B) –1
2C) 0 D)
1
2E) 1
5. sinx1+cosx
+ cotx
ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
A)1
sinxB)
1
cosxC) sinx D) cosx E) tanx
6. 1
1–sinx –
1
1+sinx
ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
A) sinx B) 2tanx C) 2cotx
D) 2tanx.secx E) 2cotx.secx
7. tanx+cotxsec2x+cosec2x
ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
A) secx.cosecx B) sinx.cosx C) 2tanx
D) 3.tanx E) 1
8. 3.cosx+4sinx2cosx+sinx
= 3
eşitliğini sağlayan x dar açısı için sinx değeri kaçtır?
A)1
3B)
3
5C)
4
5D)
1
ò10 E)
3
ò10
4
1-A 2-E 3-B 4-E 5-C 6-B 1-A 2-B 3-D 4-C 5-A 6-D 7-B 8-E
64
Ünite testi -
1. 2sinfπ
3 + xp = 2m + 1
eşitliği veriliyor.
Buna göre, m hangi aralıktadır?
A) [– 12
, 12 ] B) [0, 1] C) [–1, 1]
D) [– 3
2 ,
12 ] E) [ 3
2 , –
12 ]
2. sinxcotx
– 1
cosx
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) cosx B) sinx C) 1 D) –sinx E) –cosx
3. a = sin(–160°) b = cos(–70°) c = tan(–100°) d = cot(–70°)
a, b, c, d sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?
A) d < b < a < c B) d < a < b < cC) a < d < b < c D) a < b < d < c E) b < a < c < d
4.
A(x,y)
y
xB(m,n)
Birim çember üzerinde A(x, y) ve B(m, n) noktaları veriliyor.
Buna göre, m + nx2 + y2
oranı kaçtır?
A) 12
B) 1 C) –1 D) 2 E) 0
5. π < x < 3π
2 olmak üzere,
cosx = 1a
olduğuna göre, tanx değeri kaçtır?
A) óa2 õ+ 1 B) –óa2 õ– 1 C) 1a
D) 1
óa2 õ– 1 E) óa2 õ– 1
6.
xA B
C D1
3
[AB] ⊥ [BC] [BC] ⊥ [CD] |CD| = 1 br |AB| = 3 br |BC| = 3 br m(DéAB) = x
Yukarıdaki verilere göre, sinx değeri kaçtır?
A) 13
B) 12
C) 3
5 D)
45
E) 5
6
1
1-E 2-E 3-B 4-C 5-E 6-C
65
Ünite testi -
1.
4mYer
α
Yukarıda verilen şekilde projeksiyon perdesinden 4 m uzak-
lıktaki bir projeksiyon cihazının görüntüsü perdeyi tam olarak doldurmaktadır.sina = 0,8olduğuna göre, görüntünün oluştuğu ekranın boyu kaç metredir?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 10
2. tanx – cotx = 3olduğuna göre, tan3x – cot3x toplamı kaçtır?
A) 36 B) 32 C) 27 D) 16 E) 5
3.
D
B
A
60º
Cx
ABC dik üçgenAB ⊥ BC|AD| = |BD|m(BéAC) = 60°m(BéCD) = x
olduğuna göre, tanx değeri kaçtır?
A) 1ñ3
B) 1
2ñ3C) ñ3 D)
12
E) 2ñ3
4.
A
y
xO H B
60º
m(AéOH) = 60°
Yukarıda verilen birim çembere göre, |HB| kaç br dir?
A) 12
B) 1ñ3
C) ñ3 D) 1 – ñ3 E)13
5. Aşağıdakilerden hangisi cot40° değerine eşittir?
A) tan130° B) cot140° C) cot320°D) tan210° E) tan230°
6. a = sin93°b = cos176c = tan183°a, b, c değerlerinin işaretleri aşağıdakilerden hangisindesırasıyla verilmiştir?
A) +, –, – B) +, –, + C) –, +, +D) +, +, + E) –, –, –
2
1-C 2-A 3-B 4-A 5-E 6-B1-E 2-E 3-B 4-C 5-E 6-C
66
Ünite testi -
1. sin(π + x) + cosf3π
2 – xp + sin(–x)
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3sinx B) sinx C) –3sinxD) –2sinx E) –sinx
2. π < x < 3π
2 olmak üzere,
3cosx + 12sinx2sinx + cosx
= 4
olduğuna göre, sinx değeri kaçtır?
A) –1
ò17B) –
4ò17
C) –14
D) 4
ò17 E)
1ò17
3. a = cos70°b = cos320°c = cos(–20°)
a, b, c sıralama aşağıdakilerden hangisidir?
A) b < a < c B) a < c < bC) a < b < c D) c < a < b
E) c < b < a
4. cos345° + sin345° ifadesinin eşiti kaçtır?
A) –1 B) –1ñ2
C) 0 D) 1ñ2
E) 1
5. D C
E
A
x
B
F
ABCD kare
A¿DE eşkenar üçgen
D, E ve F noktaları doğrusal-
dır.
Buna göre, tanx değeri kaçtır?
A) ñ3 B) ñ3 – 1 C) ñ3 + 1 D) 1 E) 1ñ3
6.
BA 8
3
55
CD ABCD yamuk[AB] // [CD]|AB| = 8 cm|AD| = |BC| = 5 cm|CD| = 3 cm
olduğuna göre |BD| kaç cm dir?
A) 7 B) 3ñ3 C) 4ñ3 D) 6 E) 9
3
1-C 2-A 3-C 4-D 5-D 6-A
67
Ünite testi -
1. a ve b tamsayı olmak üzere,
a . cosx + b . sinx = óa2 õ+ b2 eşitliğinde,
cosx = a
òa2õ + b2, sinx =
b
òa2õ + b2 dir.
Buna göre, 3cosx + 4sinx = 5 ise tanx aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 1 B) 3
5 C)
45
D) 3
4E)
43
2. 0 < a < b < c olmak üzere,cos(ax + b), cos(bx + c), cos(cx + a) fonksiyonların periyotlarısırasıyla T1, T2, T3 dür.Buna göre, T1, T2, T3 sıralamaların hangisi doğrudur?
A) T1 > T2 > T3 B) T1 > T3 > T2 C) T2 > T1 > T3
D) T3 > T1 > T2 E) T3 > T2 > T1
3.
A
COHB
125º
y
x
m(CéOA) = 125°
Yukarıda verilen birim çembere göre, |BH| kaç br dir?
A) 1 – cos125° B) 1 + cos125° C) 1 – sin125°D) 1 + sin125° E) cos125°
4. sinx – cosx = 12
olduğuna göre, sin3x – cos3x değeri kaçtır?
A) 1516
B) 1116
C) 9
16D)
12
E) 716
5. a = cos160°b = cos200°c = cos250°d = cos340°
a, b, c ve d yi küçükten büyüğe doğru sıralanması aşağı-dakilerden hangisidir?
A) b < d < a < c B) a < b < d < cC) a < b < c < d D) a = b < c < d
E) a = b < d < c
6.
4
B D 53
A
x
C
ABC dik üçgenAB ⊥ BC|AB| = 4|BD| = 3|DC| = 5
m(DéAC) = x
yukarıdaki verilere göre, tanx değeri kaçtır?
A) 3 B) 2 C) ñ5 D) 13
E) 12
4
1-E 2-A 3-B 4-B 5-D 6-E1-C 2-A 3-C 4-D 5-D 6-A
68
Ünite testi -
1. cos2a + 3cosa + 5ifadesi kaç farklı tamsayı değeri alır?
A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3
2.
1m
18m
17m1m
1m
1m
1m
xcm
1m
α
α
Şekilde bir rampa sistemi verilmiştir.Rampa sisteminin düzlemde oluşturduğu eğim açısı a = 10° dir. Bu rampa sisteminde çıkılabilecek maksimum yükseklik
x kaç cm dir?(tan10° = 0,1763 olarak alınız.)
A) 5,6416 B) 5,4653 C) 5,6480 D) 5,6416 E) 5,4653
3. π
2 < x < π olmak üzere,
12 – cosx
+ 1
2 + cosx =
1615
olduğuna göre, tanx değeri kaçtır?
A) 1ñ3
B) ñ3 C) –ñ3 D) –1ñ3
E) –12
4. π
2< a < q < π olmak üzere,
I. cosa < cosqII. sina < sinqIII. tana < tanqIV. cota < cotq
Yukarıda verilenlerden hangileri doğrudur?
A) Yalnız II B) Yalnız III C) I ve IIID) II, III ve IV E) I, III ve IV
5. A
α
B C
D
E
24
ABC eşkenar üçgen
|AE| = 2
|AD| = 4
m(AéDE) = a
yukarıdaki verilere göre, tana kaçtır?
A) 12
B) 2 C) 1 D) 1ñ3
E) ñ3
6. x + y = π
4
olduğuna göre, sin(2x + y) değeri aşağıdakilerden hangisi-ne eşittir?
A) siny B) cosy C) sinxD) cosx E) sin(x + y)
5
1-A 2-A 3-C 4-B 5-D 6-B
69
Ünite testi -
1. A
10
c b
B C
ABC üçgen|AB| = c|AC| = b|BC| = 10
Yukarıdaki verilere göre, c.cosëB + b . cosëC kaçtır?
A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25
2. cos20° + cos21° + cos22° + ... + cos290°
işleminin sonucu kaçtır?
A) 44 B) 492
C) 45 D) 912
E) 146
3.
O
A
y
xB
Cα
Birim çemberde|OA| ⊥ |AC|
tana = 3
4
olduğuna göre, IBCI değeri kaçtır?
A) 12
B) 13
C) 14
D) 16
E) 1
12
4. a = 1 + 2 tanxb = 2 – cotx
olduğuna göre, arasındaki bağıntı nedir?
A) ab – 2a – b + 4 = 0 B) ab + 2a – b + 4 = 0C) ab – 2a + b + 4 = 0 D) ab – 2a – b – 4 = 0
E) ab + 2a + b – 4 = 0
5. Aşağıda Murat'ın bir kovayı sabit makara yardımıyla belirli biryüksekliğe kaldırmasıyla elde edilen üç konum verilmiştir.
I. Konum
120
cm
II. Konum
10 cmx cm
α
III. Konum
30 cmy cm
θ
● I. Konumda ipin Murat'ın tuttuğu kısmının makaraya uzak-
lığı 120 cm dir.● II. Konumda yataya doğru x cm hareket ettiğinde kova yer-
den 10 cm yükseliyor. a açısı ipin zeminle paralel doğru ileyaptığı açıdır.
● III. Konumda yataya doğru y cm hareket ettiğinde kovayerden 30 cm yükseliyor. q açısı ipin zemine paralel doğruile yaptığı açıdır.
Buna göre, tana . tanq . (y–x) değeri kaçtır?
A) 64 B) 72 C) 96 D) 128 E) 144
6.
D
E
34
A
9
α
C
B
ABC dik üçgen|CA| ⊥ |AB||DE| ⊥ |CB|m(DéAB) = a
Yukarıdaki verilere göre, tana kaçtır?
A) 3
11 B)
95
C) 113
D) 43
E) 3
4
6
1-B 2-D 3-C 4-A 5-D 6-A1-A 2-A 3-C 4-B 5-D 6-B
70
Ünite testi -
1. İkizkenar üçgen olmayan bir ABC üçgenin kenar uzunluk-
ları arasında b3 – a2b + a2c – c3 = 0 bağıntısı varsa, A açısıkaç derecedir?
A) 30° B) 45° C) 60° D) 90° E) 120°
2.
O
30º
y = 1CA
B
x
y Birim çemberde
m(AéOC) = 30°
Yukarıdaki verilere göre, |AB| kaçtır?
A) 2ñ3
– 1 B) 2ñ3
C) ñ3
2
D) ñ3
2– 1 E)
1ñ3
3. cotxtanx + cotx
= 4sinx – 3
olduğuna göre, sinx kaçtır?
A) 1ñ2
B) 1ñ3
C) 2ñ2 – 2
D) ñ23
E) 2 – ñ2
4. A
D6
10
yx
B C
ABC dik üçgen|BD| = |DC||AD| = 6 cm|DC| = 10 cmm(AéBD) = xm(AéCB) = y
Yukarıdaki verilere göre, tanx.coty çarpımı kaçtır?
A) 13
B) 12
C) 23
D) 1 E) 3
2
5. Aşağıda f(x) = 2.sin(3x + π2 ) + 1 fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
x
y
3
–1 32π
38π
314π
f(x)
Buna göre,
I. f(x) fonksiyonunun periyodu 2π3
dır.
II. f(x) çift fonksiyondur.
III. f(x) fonksiyonunun görüntü kümesi [–1, 3] aralığındadır.
ifadelerinden hangileri doğrudur?
A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve IIID) II ve III E) I, II ve III
6. sin(6π + x) . tanf7π
2– xp . cos(–x)
cos(11π + x) . sin(π + x) . cot(–9π + x)
ifadesinin eşiti nedir?
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
7
1-E 2-A 3-C 4-E 5-E 6-D