Download pdf - Matematik Origo 2b

Transcript
Page 1: Matematik Origo 2b

m a t e n i H i

Attita Szabo Niclas Larson

Gunilla Viklund Daniel Dufå

Mikael Markl

Page 2: Matematik Origo 2b

T i l l L ä s a r e n

M A T E M A T I K O R I C O 2 B är skriven för dig som ska läsa matematik kurs 2b på Samhällsvetenskapsprogrammet, Ekonomiprogrammet, Humanistiska programmet eller Estetiska programmet. Boken är helt anpassad för Gy 2011 och följer ämnesplanens centrala innehåll och syfte. För oss som har skrivit den här boken är matematik så mycket mer än att bara räkna. Därför har vi valt att i Matematik Origo lyfta fram problemlösning, förståelse och det matematiska samtalet. Vår förhoppning är att Matematik Origo ska förmedla samma nyfikenhet och glädje som vi känner inför matematikämnet.

• Matematik Origo 2b är indelad i fem kapitel. Varje kapitel inleds med att ange de Förkunskaper som du behöver, det Centrala innehåll som kapitlet tar upp och vad du ska kunna när du har arbetat färdigt med kapitlet. Det gör det lättare för dig att själv ta ansvar för dina studier. I början av varje kapitel finner du också ett eller flera matematiska problem.

• Teorigenomgång följs av lösta Exempel som belyser teorin och förklarar viktiga matematiska färdigheter. I samband med exemplen finns kortfattade instruktioner t i l l hur du kan använda din grafritande räknare.

• Till varje avsnitt finns uppgifter på tre olika nivåer och av olika karaktär. På varje nivå finns uppgifter som tränar din förmåga t i l l problemlösning. Öppna uppgifter, markerade med ö , är uppgifter som inte har ett givet svar och som många gånger kräver en matematisk diskussion.

• Efter varje delkapitel kommer Resonemang och begrepp. Där kan du tillsammans med dina kamrater och din lärare utveckla förmågan att förstå och använda matematiska begrepp, att föra matematiska resonemang och att kommunicera matematik.

• Ti l l varje kapitel finns en större uppgift av tematisk karaktär, som vi har valt att kalla n-uppgift. Här finns möjlighet för dig att utveckla de matematiska förmågor och kunskaper som behövs för ett högre betyg.

• I slutet av varje kapitel finns ett avsnitt om Historia som beskriver matematikens utveckling ur ett idéhistoriskt och kulturellt perspektiv.

• I Problem och undersökningar får du tillfälle att träna problemlösning och ett undersökande arbetssätt. Här finner du lite mer omfattande och utmanande uppgifter.

• Tankekartan visar hur de olika matematiska begreppen hänger ihop. Tankekartan kan ses som en sammanfattning av kapitlet och är en bra utgångspunkt för ett muntligt test.

• I Blandade uppgifter finns uppgifter på tre nivåer. Här får du möjlighet att befästa dina kunskaper från hela kapitlet.

• Sist i varje kapitel finns ett Test. Där har du möjlighet att själv kontrollera dina kunskaper. Testet är uppdelat i två delar, en del som ska lösas utan räknare och en del där du får använda räknare.

Lycka t i l l med dina matematikstudier! Författarna

Page 3: Matematik Origo 2b

I n n e h å l l

1 Algebra e 1.1 ALgebraiska uttryck 8

Att förenkla algebraiska uttryck 8 Multiplikation av uttryck inom parenteser 11

1.2 Kvadrerings- och konjugatreglerna 14 Kvadreringsreglerna 14 Konjugatregeln 16 Att faktorisera uttryck 18

1.3 Andragradsfunktioner 20 Rita grafen t i l l en andragradsfunktion 20 Grafisk lösning av en andragradsfunktion 23

n-uppgift: Profit i solsken 28 P r o b l e m o c h undersökningar 29

H i s t o r i a : Räknehjälpmedel 30

T a n k e k a r t a 32

B l a n d a d e uppgifter 33

K a p i t e l t e s t 36

2 Andragradsekvationer 3» 2.1 Enkla andragradsekvationer 40

Ekvationer av typen x3 - a 40 Andragradsekvationer och komplexa tal 42 Faktorisering som lösningsmetod 44 Andragradsekvationer och kvadreringsreglerna 46 Kvadratkomplettering 48

2.2 Fullständiga andragradsekvationer 51 pq-formeln 51 Antal lösningar t i l l en andragradsekvation 55 Andragradsfunktionen och grafen 57

n-uppgift: Tvärnit 63 H i s t o r i a : Ekvationer av högre grad 64 P r o b l e m o c h undersökningar 65

T a n k e k a r t a 66

B l a n d a d e uppgifter 67

K a p i t e l t e s t 70

3 Ekvationer och ekvationssystem 72

3.1 Räta linjens ekvation 74 Från graf t i l l ekvation 74 Riktningskoefficienten för en rä t linje 78 Räta linjens ekvation i k-form 80 Parallella och vinkelräta linjer 83

3.2 Ekvationssystem 87 Grafisk lösning av ett ekvationssystem 87 Substitutionsmetoden 91 Additionsmetoden 94

3.3 Analytisk geometri 97 Avståndsformeln 97 Problemlösning med hjälp av analytisk geometri 99

O-uppgift: Att tillverka och sälja mobiler 102 H i s t o r i a : Att lösa ekvationssystem 103 P r o b l e m o c h undersökningar 104

T a n k e k a r t a 105

B l a n d a d e uppgifter 106

K a p i t e l t e s t 110

Page 4: Matematik Origo 2b

4 Potenser, logaritmer och budgetering 112

4.1 Ränteberäkningar och budgetering 114 Ränteberäkningar 114 Budget för privatekonomi 117 Företagsekonomi och budgetering 120

4.2 Potenser och potensekvationer 124 Potenser med heltalsexponenter 124 Potenser med rationella exponenter 126 Potensekvationer 128

4.3 ExponentiaLekvationer och logaritmer 132 Grafisk lösning av exponentialekvationer 132 Tiologaritmer 136 Exponentialekvationer och tiologaritmer 139 Räkneregler för logaritmer 143 Tillämpningar 146

n-uppgift: Konserten 150 P r o b l e m o c h undersökningar 151

H i s t o r i a : Från logaritmtabell till räknesticka 152 T a n k e k a r t a 154

B l a n d a d e uppgifter 155

Kapiteltest 158

5 Geometri v

5.1 Satser om vinklar i cirklar 162 Olika slags vinklar 162 Randvinkelsatsen 165

5.2 Likformighet och kongruens 170 Likformiga månghörningar 170 Likformiga trianglar 172 Topptriangelsatsen, transversalsatsen och bisektrissatsen 176 Kongruens 180

n-uppgift: Pappersformat i A-serien 185 H i s t o r i a : Geometri och mätmetoder 186 P r o b l e m o c h undersökningar 187

T a n k e k a r t a 188

B l a n d a d e uppgifter 189

K a p i t e l t e s t 192

Statistik 194 6.1 Läges- och spridningsmått 196

Lägesmåt t 196 Spridning kring medianen 200 Spridning kring medelvärdet 205 Normalfördelning 208

6.2 Statistiska samband 213 Korrelation och kausalitet 213 Regressionsanalys 219

n-uppgift: Orkidéer och samband 221 H i s t o r i a : Normalfördelning som modell 222 P r o b l e m o c h undersökningar 223

T a n k e k a r t a 224

B l a n d a d e uppgifter 225

K a p i t e l t e s t 228

Facit v

Register

Page 5: Matematik Origo 2b

1 A l g e b r a

| | D E L K A P I T E L

1.1 Algebraiska uttryck

1.2 Kvadrerings- och konjugat-reglerna

1.3 Andragradsfunktioner

F O R K U N S K A P E

• Algebraiska förenklingar

• Potenser

• Förstagradsekvationer

• Koordinatsystem, funktioner och grafer

C E N T R A L T I N N E H A L L

Hantering av kvadrerings- och konjugatregeln i samband med ekvationslösning.

Egenskaper hos andragradsfunktioner.

Konstruktion av grafer till funktioner samt bestämning av funktionsvärde och nollställe, med och utan digitala verktyg.

Page 6: Matematik Origo 2b

Igebra är ett av matematikens mest centrala områden. Tillsammans med

aritmetiken (räknelära) utgör den en bas för i stort sett all matematik. Att utveckla och förenkla algebraiska uttryck är därför en viktig och grundläggande kunskap för att förstå andra delar av matematiken. Vi använder algebra till exempel när vi skapar matematiska modeller av verkligheten med hjälp av ekvationer och funktioner. Det gör algebra till ett viktigt inslag i många samhällsvetenskapliga och ekonomiska sammanhang, där man behöver modeller för till exempel hur antalet invånare i ett land utvecklas eller hur värdet av en pensionsfond förändras.

När du är klar med kapitlet ska du kunna

• multiplicera algebraiska uttryck

• förenkla uttryck med kvadrerings- och konjugatreglema

• faktorisera algebraiska uttryck

• rita grafen till en andragradsfunktion

• lösa andragradsekvationer grafiskt

Funktionen och grafen Här har v i ritat grafen t i l l andragradsfunktionen y = x2 - 4

• Lös andragradsekvationen x2 - 4 = 0. Hur många lösningar har ekvationen? Hur kan du bestämma lösningarna med hjälp av grafen?

• De punkter där funktionsvärdet är noll kallas funktionens nollställen. Skissa grafen t i l l en andragradsfunktion som saknar nollställen.

• Skissa grafen t i l l en andragradsfunktion som har precis ett nollställe.

Samband mellan produkter • Du vet att 8 • 8 = 64. Beräkna produkterna

9-7 10-6 11-5 12-4 och jämför dem med produkten 8 • 8. Vilken slutsats kan du dra?

• Stämmer din slutsats även för 13-3 14-2 15-1 16-0

• Testa med att utgå från en annan produkt n • n och se om sambandet gäller även här.

• Vilken slutsats kan dras?

Page 7: Matematik Origo 2b

1 . 1 A l g e b r a i s k a u t t r y c k

Att förenkla algebraiska uttryck I kurs 1 förenklade vi algebraiska uttryck genom att ta bort parentesen och lägga ihop likadana termer.

I2x - [8x + 5) = I2x - 8x - 5 = Ax - 5 Vi ändrar tecken i parentesen och räknar x-termer för sig och konstanttermer för sig. i \

Eftersom det är subtraktionstecken framför parentesen, byter vi tecken

Multiplicera Vi utförde också multiplikationer av typen

2x(3 - 6x) = 2x • 3 - 2x • 6x = 6x - 12*2

Det kallade vi att multiplicera in 2x i uttrycket inom parentes.

Vi lärde oss dessutom att bryta ut en faktor ur ett uttryck, t.ex.

x2 -7x = x(x— 7)

Faktorisera Då har vi faktoriserat uttrycket x2 - Ix genom att bryta ut den gemensamma faktorn x.

Hur man vil l att ett utryck ska skrivas varierar beroende på sammanhang. Därför är det viktigt att kunna multiplicera in i och bryta ut ur parenteser.

E x e m p e l :

Lösning:

Förenkla uttrycket så långt som möjligt

5a + (3b-2a)-(3a + 7b)

5a+ (3b-2a)-{3a + 7b)

= 5a + 3b -2a- 3a — 7b =

Ta bort parenteserna

Lägg ihop termer av samma slag

-Ab Ändra tecken i parentesen när det är subtraktionstecken framför parentesen

E x e m p e l : Multiplicera ihop

a) 3(5a-7b)

b) 5a(3a2 + 6b-9)

lösning: a) 3{5a - 7b) - 3 • 5a - 3 • 7b - 15a - 21b

b) 5a{3a2 + 6b-9) = 15a3 + 30ab-A5a Gör på samma sätt som när det är två termer i parentesen

A L G E B R A O 1 . 1 A L G E B R A I S K A U T T R Y C K

Page 8: Matematik Origo 2b

E x e m p e l : a) Bryt ut faktorn 3x ur uttrycket öx 3 + 9x

b) Faktorisera uttrycket Ix2 + 8x genom att bryta ut största möjliga faktor.

lösning: a) öx 3 + 9x - 3x(2x2 + 3)

b) 2x2 + 8x = 2x(x + 4)

Du kan kontrollera att du har gjort ratt genom att multiplicera in 3x i parentesen

2x är den största gemensamma faktorn i 2x2 och 8x

I

NI VA 1 1107 Multiplicera ihop

a) 5a(5b-5a) 1101 Förenkla uttrycken

a) 2a + la

b) 5b-4b

c) 10a + 8b + 6a 1108 Lös ekvationerna

1102 Förenkla uttrycken

b) l l x ( 2 x - 7 )

c) 0,5y(9x + 20y)

a) 4 ( x - 4 ) =42

b) 6 ( 2 x - 1) = lOx a) 7x + 4 - 3 x + 12

b) x + 7y- 16x+ 3y

c) 3xy + 7x - 5

1103 Emeric och Lovisa pluggar algebra. Lovisa undrar hur det kommer sig att 3a + 2a = 5a. Hjälp Emeric att förklara så utförligt som möjligt för Lovisa.

1104 Förenkla uttrycken

a) 7 x - ( 4 x + 8 )

b) (8y+3) + ( 5 - 7 y )

c) Av-(3x+ 2vl + (5v + x

1109 Multiplicera ihop

a) 8(6b + 5a - 4 )

b) 2 x ( 7 x + 3 + y )

c) 0 , l ( 1 4 0 m - 4 7 « - 6 )

1110 Fyll i de tomma rutorna, så att likheterna stämmer.

a) 4 ( D + 3 ) = 4 a + 1 2

b) 5 ( 2 - • ) = 1 0 - 15b

c) 7a(0 + • ) = 14a + 7a3

1105 Multiplicera ihop

a) 6{8b-2a)

b) 7(3x + 6)

c) 8(2x-5y)

1106 a) Förenkla uttrycket 6 (12-4x) .

b) Beräkna värdet av uttrycket för x - 3.

1111 Faktorisera uttrycken genom att bryta ut största möjliga faktor.

a) 3a+ 6 b) 4 y 2 - 1 2 y

c) Ua-2lab d) 28xy-5Axy2

1112 Skriv ett uttryck för rektanglarnas areor.

b)

2x + 3 3x + 8

4x

A L G E B R A O 1 . 1 A L G E B R A I S K A U T T R Y C K 9

Page 9: Matematik Origo 2b

1113 Ställ upp utryck för figurernas areor.

a) Triangel med basen 9 och höjden 2x + y

b) Rätvinklig triangel med kateterna x + 7 och 10

1114 Lös ekvationerna

a) 7(x + 3) = 3 ( x - l )

b) 2(4 + 3x) = 5 ( 8 - 2 x )

1115 Ställ upp ett uttryck för figurens area och förenkla det så långt som möjligt.

2x

NIVA 2

1116 a) Förenkla uttrycket 10(2a + 7) - 3(4a + 8).

b) Beräkna värdet av uttrycket för a = 7.

1117 Ställ upp ett uttryck för figurens area och förenkla det så långt som möjligt.

x + 3 x + 4

1118 Lös ekvationerna

a) 3(2x + 4 ) - 4 ( 3 - 4 x ) = 2 ( x + 7 )

b) 2 ,5 (3x-9) -3(0 ,5x + 4,5) = 0

1119 Förenkla

a) 7(2b + 5a) + 5(4a + b)

b) 9 ( 5 - 3 x ) - 6 ( 8 x - 4 )

c) 2a(3-8a-7b)-7b(4-2a)

1120 Marta och Lotta ska förenkla 2a(5a + 3) genom att multiplicera in 2a i parentesen. Lotta vet att svaret är 10a2 + 6a, men förstår inte riktigt varför. Hjälp Marta att förklara detta för Lotta.

1121 a) Förenkla uttrycket 9 y ( 3 y - 5 z ) - ( 14/ -z).

b) Beräkna värdet av uttrycket då y — - 1 och z = -2 .

1122 Faktorisera täljarna och förkorta så långt som möjligt.

a) 4a - a

b) 3X2 + 6x

x + 2

1123 Ett uttryck för en viss rektangels area är (2a 2 - 18a) cm 2 . Ange längden av den andra sidan, om den ena sidan är

a) a cm b) 2a cm

NIVÅ 3

1124 Fyll i de tomma rutorna så att likheten stämmer.

a) • ( 2 x + 3 ) - 4 ( x - 9 ) = D + 45

b) 3 (Dx - 9 y ) - 4 ( 2 x + Dy) = 5,5x-13y

1125 I en rätvinklig triangel är den ena kateten 7 cm längre än den andra. Längden av var och en av kateterna är givna i hela centimeter. Triangelns area är 30 cm 2 . Hur långa är kateterna?

l O A L G E B R A O 1.1 A L G E B R A I S K A U T T R Y C K

Page 10: Matematik Origo 2b

Multiplikation av uttryck inom parenteser Nu ska vi gå vidare med att multiplicera ihop två uttryck med varandra. V i utför multiplikationen (2 + x)(3x + 4) och jämför med figuren här int i l l för att hitta en metod.

6x 3 x 2 3x

3x + 4

2 +x

Rektangelns area A kan skrivas som en produkt av basen och höjden

A = (2 + x)(3x + 4)

Arean kan också skrivas som en summa av de fyra mindre rektanglarnas area

A = 6x + 3x2 + 8 + Ax

Alltså är (2 + x)(3x + 4) = 6x + 3x2 + 8 + 4x

V i får samma resultat om vi först multiplicerar varje term för sig i den andra parentesen med uttrycket i den första parentesen och sedan fortsätter förenklingen

/ " A ^ 7 > (2 + x)(3x + 4) = (2 + x) • 3x + (2 + x) • 4 = 6x + 3x2 + 8 + 4x

Det motiverar följande metod att utföra multiplikation av två uttryck inom parentes:

(2 + x){3x + 4) = 2 - 3 x + 2 - 4 + x - 3 x + x- 4

= 6x + 8 + 3x 2 + 4x = 3x 2 + lOx + 8

Varje term i första parentesen multipliceras med varje term

i andra parentesen

E x e m p e l : Multiplicera och förenkla uttrycken så långt som möjligt

a) (x + 3)(5 + x)

b) ( 4 f l - 3 ) ( 5 - 3 a )

c) (3x-y)(2y + 2x) - (6x 2 + 4xy)

lösning: a) (x + 3)(5 + x ) = x - 5 + x- x + 3- 5 + 3- x :

5x + x 2 + 15 + 3x^ Lägg ihop termer av samma slag

= X2 + 8 x + 15 (-3) • (-30) = 3 • 3o

b) (4a - 3)(5 - 3a) = 4a • 5 - 4a • 3a - 3 • 5 + 3 • 3a =

= 20a - 12a2 - 15 + 9a = 29a - 12a2 - 15

c) (3x -y ) (2y + 2x) - (öx 2 + 4xy) = Multiplicera ihop parenteserna

= 6xy + öx 2 - ly2 - 2xy - 6x 2 - 4xy = Lägg ihop termer av samma slag

= -2f

A L G E B R A O 1 . 1 A L G E B R A I S K A U T T R Y C K 1 1

Page 11: Matematik Origo 2b

E x e m p e l :

lösning:

I

Teckna ett uttryck för triangelns area och förenkla det så långt som möjligt.

bh

X - 1

2x + 4

Triangelns area A = — Sätt in uttrycket för basen respektive höjden

(2x + 4 ) ( x - 1)

2X2 - 2x + 4x - 4

2X2 + 2x - 4

2(x 2 + x - 2 )

Multiplicera ihop parenteserna

Förenkla täljaren

Bryt ut 2 ur täljaren

Förkorta med 2

= x 2 + x - 2

Svar: Arean är (x 2 + x - 2) a.e.

NIVÅ 1 1130 Förenkla uttrycken

a) 7fl+ ( 3 f l - 4 ) ( 6 - 2 f l ) Mu tiplicera och förenkla uttrycken

a) 7fl+ ( 3 f l - 4 ) ( 6 - 2 f l ) tiplicera och förenkla uttrycken

b) 2 & ( 3 - 2 f c ) - ( 5 b - 5 ) ( b + 6) 1126 a) (x + 3)(2x + 7)

b) ( 3 x - l ) ( 9 - x ) 1131 Lös ekvationerna

c) (a + 2 ) ( a - 5 ) a) 3x(2x + 4) = åix2 + 1)

b) ( 3 y - l ) ( 2 + y ) = y ( 2 + 3 r ) 1127 a) (2a + 3)(4 + 6a)

b) ( 3 y - l ) ( 2 + y ) = y ( 2 + 3 r )

b) ( 3 m - 8 ) ( m + 5) 1132 Ole har utfört multiplikationen ( x - 3 ) ( x - 5)

c) (12x+ 2 ) (9 -5x ) och fått x 2 - 8x - 15. Anna säger att Ole har

c) (12x+ 2 ) (9 -5x ) gjort fel. Har Anna rätt och vilket fel har Ole i

1128 a) (a + b)(2a-3b) så fall gjort?

b) ( 3 x - 4 y ) ( 2 x + 8) NIVÅ 2 c) (7 f l -4b) (3f l -5b)

1133 Skriv ett uttryck för arean av triangeln. 1129 Teckna ett uttryck för rektangelns area och Förenkla så långt som möjligt.

förenkla det så långt som möjligt.

2 x - i

x + 4

2x + 4

1 2 A L G E B R A O 1 . 1 A L G E B R A I S K A U T T R Y C K

Page 12: Matematik Origo 2b

1134 Fyll i de tomma rutorna, så att likheterna stämmer.

a) ( x + 3 ) ( x + [ - j ) = x 2 + 4 x + 3

b) (x + 8)(x-D) = x 2 - 2 x - D

c) (• + D ) (2x-3 ) = 6 x 2 - 5 x - 6

1135 Lös ekvationerna

a) ( 3 x + l ) ( 4 x - 2 ) = 2 + (2x + 4 ) ( 6 x - 3 )

b) ( 0 , 5 x + 3 ) ( 8 x - 2 ) - ( 2 x - 6 ) ( 4 + 2x) = 12(x + 4)

NIVA 3

1136 Skriv ett uttryck för arean av det skuggade området. Förenkla så långt som möjligt.

3 x x+ 2

x - 1

4 x

4x

1137 Fyll i de tomma rutorna, så att likheterna stämmer.

a) ( x+7 ) (4 + D ) = n - 1 0 x + n

b) (x + D)(2x + D ) = n - x - 3 6

c) ( x - n ) ( n + n ) = - 3 x 2 + n - i 2

1138 Förenkla så långt som möjligt

( 2 x - l , 5 ) ( 4 x + 8 ) (4 -5x) (3x + 9)

1139 Lös ekvationen

(0,5x + 4)(2x + 6) - 17 = 39 - ( x - 1)(8 - x )

1140 a) Ett uttryck för en viss rektangels area är (a1 + 3a + 2) cm 2 .

Ena sidan är (a + 1) cm. Ett sätt att beräkna den andra sidan är att göra som i uppgift 1134. Alltså bestämma vad som ska stå i rutorna: (a + 1)(Q + • ) = a2 + 3a + 2.

Hur lång är rektangelns andra sida?

b) Ena sidan i en rektangel med arean (2a 2 6) cm 2 är (a - 2) cm. Ange ett uttryck för längden av den andra sidan.

Resonemang och begrepp

© Hur kan du kontrollera att du har gjort rätt när du brutit ut en faktor ur ett uttryck?

6 När kan man förkorta ett bråk?

© Vad fordras för att man ska kunna bryta ut en faktor ur ett uttryck med flera termer?

© Förklara skillnaden mellan ett uttryck och en ekvation.

Q Förklara hur multiplikation mellan två parenteser kan utföras.

A L G E B R A O 1 . 1 A L G E B R A I S K A U T T R Y C K 1 3

Page 13: Matematik Origo 2b

K v a d r e r i n g s - o c h k o n j u g a t r e g l e r n a

Kvadreringsreglerna Produkten (9a + 2){9a + 2) innehåller två identiska uttryck inom parentes. Det finns minnesregler för att snabbt kunna beräkna den här typen av produkter. De kallas första och andra kvadreringsregeln. Vi visar reglerna genom att utföra multiplikation av två uttryck inom parentes på vanligt sätt.

Första kvadreringsregeln Första kvadreringsregeln används när man ska kvadrera en parentes med två termer som har additionstecken mellan sig. Jämför med figuren här intill .

a a2 ab a + b <

b ab b2

a + b

Andra kvadreringsregeln

(9 + 2a)2 = (9 + 2a)(9 + 2a) = 81 + 18a + 18a + 4a2 = 81 + 36a + 4a 2

Jämför med figuren här int i l l .

(a + b)2 - (a + b){a + b) - a2 + ab + ab + b2 - a2 + 2ab + b2 Plus andra termen i kvadrat

Första termen i kvadrat

Plus dubbla produkten

Andra kvadreringsregeln används när man ska kvadrera ett uttryck med två termer som har subtraktionstecken mellan sig.

(3 - x ) 2 = ( 3 - x ) ( 3 - x ) = 9 - 3 x - 3 x + x 2 = 9 - 6 x + x 2

(a - b)2 = ( a - b)(a -b) = a2 - ab - ab + b2 = a2 - 2ab + b2 Plus andra termen i kvadrat

Kvadreringsreglerna

Första kvadreringsregeln

Första termen Minus dubbla i kvadrat produkten

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Andra kvadreringsregeln (a - b)2 — a2 - 2ab + b2

Exempel: Utveckla med hjälp av kvadreringsreglerna.

a) (x + 5) 2 b) ( 3 x - 4 ) 2

Lösning: a) (x + 5) 2 = x 2 + 2 • x • 5 + 5 2 = x 2 + lOx + 25 Använd första kvadreringsregeln

((o7b)2) (o 2 ) [iab] (b 2 )

b) ( 3 x - 4) 2 = (3x) 2 - 2 • 3x • 4 + 4 2 = 9X2 - 24x + 16 Använd andra ' " ' kvadreringsregeln

((o-b) 2) Q (lob] Q

1 4 A L G E B R A O 1 .2 K V A D R E R I N G S - OCH K O N J U G A T R E G L E R N A

Page 14: Matematik Origo 2b

Exempel:

Lösning:

Utveckla med hjälp av kvadreringsreglerna (2a + 6) 2 - (4a - l ) 2

(2a + 6 ) 2 - ( 4 a - l ) 2 =

= (4a2 + 24a+ 3 6 ) - ( 1 6 a 2 - 8 a + 1) =

= 4a 2 + 24a + 36 - 16a2 + 8a - 1 =

=-12a 2 + 32a+ 35

Använd kvadreringsreglerna

Ta bort parenteserna

N I V Å 1

Utveckla med hjälp av kvadreringsreglerna.

1208 Fyll i de tomma rutorna så att likheten stämmer.

a) (x + D) 2 = x2 + 6 x + 9 1201 a) (* + 3) 2 b) (6 + x ) 2 b) x 2 + 8x + 16 = (x + D) 2

c) (x + 5) 2 d) (3x + 2) 2

c) z 2 - 10z+ 25 = ( z -D ) 2

1202 a) ( x - 5 ) 2 b) ( x - 1 ) 2

N I V Å 2 c) ( 1 0 - x ) 2 d) ( 2 x - 3 ) 2

1209 Visaatt(a + fr)2-4afr=(a-fr)2

1203 a) ( 4 x - 2 ) 2 b) ( 3 + 12x)2

c) (5x + 5y)2 d) (2* + 0,5y)2 1210 Fyll i de tomma rutorna, så att likheten stäm-

]

1204 Sacha har utvecklat uttrycket (4x + 3) 2 med hjälp av första kvadreringsregeln. Han fick resultatet löx 2 + 9. Ilija menar att Sacha har gjort fel. Har Ilija rätt? Vilket fel har i så fall Sacha gjort och vilken är den riktiga lösningen?

1205 Utveckla med hjälp av kvadreringsreglerna.

1 \ 2

a) x - -

c) ( 9 a - 3 x ) 2

b) (7 -8b)2

d) ( 1 0 b - 0 , l a ) 2

1206 Teckna ett uttryck för kvadraternas area och förenkla så långt som möjligt.

b) 2x + 3

3 y - 5

3 y - B

2x + 3

1207 Sandra har utvecklat uttrycket (2y - 5) 2 med hjälp av andra kvadreringsregeln. Hon fick resultatet Ay2 - 20y - 25. Ina menar att Sandra har gjort fel. Har Ina rätt? Vilket fel har i så fall Sandra gjort och vilken är den riktiga lösningen?

mer.

a) ( • + 5) 2 = 4 y 2 + Q + 25

b) 4 a 2 - 12a + 9 = ( D - 3 ) 2

1211 Beräkna värdet av uttrycken utan räknare och med hjälp av första kvadreringsregeln. Använd a)-uppgiffen för att lista ut ett bra sätt att beräkna de övriga uppgifterna.

a) (50+ 2) 2 b) 63 2 c) 36 2

1212 Visa att ( a - fr)2 = (b-a)2.

1213 Förenkla uttrycken så långt som möjligt a) (a + 2fc) 2-(2fa + 3a) 2

b) (2m - n)2 - (m - 2n)2

NIVÅ 3

1214 Den blå kvadraten har arean (a - b)2. Förklara hur man med hjälp av figuren kan visa andra kvadrerinsgs-regeln.

A L G E B R A O 1 . 2 K V A D R E R I N G S - OCH K O N J U G A T R E G L E R N A

Page 15: Matematik Origo 2b

Konjugatregeln Polynom I uttrycken bx2 + 3 och 4X3 + x 2 - 2x + 3 har variablerna endast positiva

heltalsexponenter. Sådana uttryck kallas med ett gemensamt namn polynom. Polynomet 5x 2 + 3 innehåller två termer och kallas därför ett binom.

konjugat kommer av det latin ska ordet conjugare, som betyder sammanbinda.

Konjugatregeln Skillnaden mellan binomen 3 + y och 3 - y är tecknet mellan termerna. Sådana binom kallas konjugerande binom eller konjugatbinom. Konjugatregeln hjälper oss att utveckla produkten av två konjugatbinom.

( 3 + y ) ( 3 - y ) = 9 - 3y + 3y-y2 = 9-y2

(a + b) {a -b) = a2-ab + ab-b2 = a2-b2

Andra termen

Första termen

Minus andra termen i kvadrat

nen i kvadrat

Räkneregler för binom

Första kvadrerinj ;sregeln (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Andra kvadrerinj ;sregeln (a-b)2 = a2 - 2ab + b2

Konjugatregeln (a + b)(a -b) = a2-b2

De tre reglerna hjälper oss att snabbare utföra en multiplikation. En kanske ännu viktigare anledning t i l l att behärska reglerna är att de kan användas till att faktorisera uttryck. I nästa kapitel kommer vi att använda dem för att lösa andragradsekvationer.

E x e m p e l : Utveckla med hjälp av konjugatregeln.

a) (10 + o) (10- f l )

b) ( 7 x - 2 y ) ( 2 y + 7 x )

c) (5x -8 ) (5x + 8) + 64

Första termen i kvadrat Minus andra termen i kvadrat

lösning: a) (10 + fl)(10 - a) — 102 - a2 = 100 - a2 Använd konjugatregeln

b) (7x-2y)(2y+ Ix) = Skriv om uttrycket sä att det blir av

formen (o + ö)(o - b)

= (7x+ 2y){7x-2y) = Använd konjugatregeln

= (7x) 2 - (2y) 2 = 4 9 X 2 - 4f

c) (5x-8 ) (5x + 8) + 64 = 25X2 - 64 + 64 = 25X2

l 6 A L G E B R A O 1 .2 K V A D R E R I N G S - OCH K O N J U G A T R E G L E R N A

Page 16: Matematik Origo 2b

E x e m p e l : Lös ekvationen (x - 4) 2 = (x + 2){x-2)

lösning: (x — 4 ) 2 = (x + 2){x — 2) Använd kvadrerings-och konjugatregeln

x 2 - 8 x + 16 = x 2 - 4 Subtraherax 2 f rån båda leden

—8x + 16 = — 4 Lös ekvationen på vanligt sätt

-8x = -20 Dividera båda led med -8

x = 2,5

N I V Å 1

1215 Utveckla med hjälp av konjugatregeln

a) ( x + 5 ) ( x - 5 )

b) (7a + 9) (7f l -9)

c) (6x-3y)(6x + 3y)

d) (2z-5)(5 + 2z)

1216 Teckna uttryck för rektanglarnas area.

a ) . 2 y - 8

2y + 8

b) 3a-b

3a + b

1217 Lös ekvationerna

a) ( x + 5 ) 2 = x 2 - 1 5

b) ( 2 x - 3 ) 2 = ( 2 x + 2 ) 2

c) ( x - l ) 2 = ( x - 7 ) ( x + 7 )

1218 Fyll i de tomma rutorna, så att likheten stämmer.

a) (a + • ) ( « - • ) = • - 3 6

b) ( • + D)(3b-D) = 9fo 2 -1

1219 Förenkla uttrycken så långt som möjligt

a) (a + 4) 2 + ( a - 4 ) 2

b) (b-2)2-(b + 2)(b-2)

N I V A 2

1220 Förenkla uttrycken så långt som möjligt

a) (3x + 2 y ) ( 3 x - 2 y ) - ( 2 y - 6 x ) ( 2 y + 6 x )

b) ( 6 x - 5 ) 2 + ( 4 x + 8 ) ( 8 - 4 x )

1221 Beräkna värdet av uttrycken endast med hjälp av konjugatregeln. Använd a)-uppgiften för att lista ut ett bra sätt att beräkna de övriga uppgifterna.

a) (80 + 3 ) (80 -3 )

b) 41 • 39

c) 17-23

NIVÅ 3 ^ ^ ^ ^

1222 Ett knep för att utföra multiplikationen 45 2

är att i stället beräkna 40 • 50 + 25.

a) Visa att 40 • 50 = 45 2 - 25

b) Beräkna 85 2 med samma knep.

c) Förklara varför knepet alltid fungerar.

1223 Med hjälp av en figur kan man visa konjugatregeln. Utgå från figuren t i l l höger. Fördela om ytorna och visa konjugatregeln.

I b

b

A L G E B R A O 1 . 2 K V A D R E R I N G S - OCH K O N J U G A T R E G L E R N A 1 7

Page 17: Matematik Origo 2b

Att faktorisera uttryck Uttrycket 3x + 6 kan faktoriseras genom att man bryter ut faktorn 3. Man får

3x + 6 = 3(x + 2)

Uttrycket är nu skrivet som en produkt av de två faktorerna 3 och (x + 2). Att faktorisera ett uttryck innebär att man skriver om uttrycket så att det blir en produkt av två eller flera faktorer.

Faktorisering görs på olika sätt beroende på uttryckets utseende. För att faktorisera vissa uttryck kan man använda någon av kvadreringsreglerna eller konjugatregeln.

x2+ 16x + 64 = ( x + 8 ) 2 och a2 - 36 = (a + 6)(a - 6)

Faktorisering används ofta vid förkortning, men det är också ett viktigt hjälpmedel vid lösning av andragradsekvationer.

E x e m p e l : Faktorisera uttrycket med hjälp av kvadreringsreglerna eller konjugatregeln.

a) x 2 - 6 x + 9

b) 16x2-25

lösning: a) Jämför vi uttrycket med andra kvadreringsregeln, ser vi att det är av formen "första termen i kvadrat, minus dubbla produkten, plus andra termen i kvadrat". Uttrycket kan därför faktoriseras med andra kvadreringsregeln.

x 2 - 6x + 9 = x 2 - 2 • x • 3 + 3 2 = (x - 3) 2

b) Jämför vi uttrycket med konjugatregeln, ser vi att det är av formen "första termen i kvadrat, minus andra termen i kvadrat" och kan faktoriseras med hjälp av konjugatregeln.

16X2 - 25 = (4x) 2 - 5 2 = (4x + 5 ) (4x - 5)

E x e m p e l :

lösning:

Förenkla uttrycket

x 2 + 2x + 1

x 2 + 2x + 1 x + 1

x + 1 ( x + 1 ) 2 ( x + l ) ( x + 1 )

X + l ( X + 1 )

= x + 1

Svar: x + 1

Faktorisera täljaren med första kvadreringsregeln

Förkorta med x + 1

Uttrycket är förenklat så långt som möjligt

l 8 A L G E B R A O 1 . 2 K V A D R E R I N G S - OCH K O N J U G A T R E G L E R N A

Page 18: Matematik Origo 2b

NIVA 1 1230 Faktorisera uttrycket 0,25a2 - 0,5ab + 0,25b2.

1224 Faktorisera uttrycken med hjälp av första kvadreringsregeln.

a) a2 + 4a + 4

b) x2 + 6x + 9

c) s2 + 6sf + 9f2

d) y 2 + 14y+ 49

1225 Faktorisera uttrycken med hjälp av konjugatregeln.

a) t 2 - 1 6 b) 4x2-\ c) a2-9b2

1226 Faktorisera uttrycken

a) a2- 18a+ 81 b) 9c2-49

1227 Faktorisera täljarna och förkorta så långt som möjligt.

1231 Förenkla

a) a 2 - 3 6 a - 6

b) x2- 10x + 25

x-5

NIVA 2

1228 Om man vill faktorisera uttrycket 2x2 + 8x + 8, så kan man inleda med att bryta ut den gemensamma faktorn 2. Uttrycket skrivs då 2{x2 + 4x + 4), men kan faktoriseras ytterligare. Slutför faktoriseringen av uttrycket.

1229 Faktorisera uttrycken

a) 2x2 + 48x + 288

b) 4/ + 16

c) - z 2 + 6 z - 9

q 2 + 2ab + b2 \2x2 - 36xy + 27f 3 ) a2-b2 b ) " 6 x - 9 y

1232 Ett uttryck för arean av en kvadrat är (x 2 - 22x +121) dm 2 . Ange ett uttryck för kvadratens sida.

1233 En triangel har arean (16x - 4xy2) cm 2 . Bestäm basen om höjden är 4x cm.

NIVÅ 3

1234 Visa att (a + b)2 - 4ab > 0 för alla värden på a och b. ]

Resonemang och begrepp

O Vilken nytta kan man ha av att faktorisera ett uttryck?

O Nämn några olika metoder man kan använda för att faktorisera ett uttryck.

O Vad är skillnaden mellan ett polynom och ett binom?

O Ge exempel på hur konjugat- och kvadreringsreglerna kan användas för att förenkla huvudräkning.

O Namnet på kvadreringsreglerna är ju lätt att förstå. Men varför heter det konjugatregeln?

A L G E B R A O 1 . 2 K V A D R E R I N G S - OCH K O N J U G A T R E G L E R N A 1 9

Page 19: Matematik Origo 2b

A n d r a g r a d s f u n k t i o n e r

Rita grafen t i l l en andragradsfunktion Funktionen g{x) = 2x - 5 är en funktion av första graden, medan /(x) — x2 - 4x + 3 är ett exempel på en andragradsfunktion. En andragradsfunktion kan allmänt skrivas f(x) - ax2 + bx + c, där a, b och c är konstanter och a * 0.

En andragradsfunktion innehåller alltså en andragradsterm, men kan också innehålla förstagradsterm och konstantterm. Däremot förekommer inte termer av högre grad än 2, som t.ex. x 3 - eller x4-termer.

f(x) = ax2 + bx+ c

L k Konstantterm

Andragradsterm Förstagradsterm

Symmetri

Minsta och största värde

Den enklaste andragradsfunktionen är / (x) = x2, vars graf y = / (x) syns här inti l l . Vi ser att grafen är symmetrisk, det vil l säga den högra halvan är en spegelbild av den vänstra halvan.

V i ser också att funktionen har ett minsta värde y-0. Det betyder att y > 0 för alla värden på x. Kvadraten av ett tal kan j u aldrig vara negativ. Därför gäller x2 > 0 och funktionens minsta värde är 0.

En andragradsfunktion har antingen ett bestämt minsta- eller största värde. När man ska rita grafen t i l l en andragradsfunktion, vill man oftast att det värdet framgår.

Exempel:

Lösning:

Rita grafen t i l l / (x ) för hand.

-0,5x2 - x + 2

Börja med att göra en värdetabell. Välj lämpliga värden på x och beräkna funktionsvärdet y med hjälp av formeln.

X y

-4 - 2

-3 0,5

- 2 2

-1 2,5

0 2

1 0,5

2 - 2

Pricka in punkterna i ett koordinatsystem och rita grafen.

Vi har valt att rita grafen i området kring det största värdet

y = -0 .5(-2) 2 - (-2) + 2 = 2

2 0 A L G E B R A O 1 . 3 A N D R A G R A D S F U N K T I O N E R

Page 20: Matematik Origo 2b

E x e m p e l : Funktionen / bestäms av uttrycket f(x) = -2X2 - 44x - 236.

a) Rita grafen y = f(x) med hjälp av din grafritande räknare.

b) Bestäm det största värdet t i l l funktionen/.

Lösning: Tryck ( -Ix2

b) Om man har en

funktion med en minimipunkt väljer

man i stället 3 : m l n i m u m .

44x-j och skriv in 236 efter Y t = . Använd

^ i stället för x. Avsluta med att trycka ( ). Förmodligen syns nu bara en liten del av grafen. Om vi vil l att funktionens största värde ska synas, så måste vi ändra fönsterinställningarna. Tryck och skriv in de värden som syns t i l l höger. Rita sedan grafen genom att trycka ( ).

Tryck JJ^BSJB o c n v a l j ^ : m a x ' • " m u m. Räknaren frågar L e f t Bound? Markera en punkt t i l l vänster om maxpunkten och tryck [ ). Räknaren frågar R l g h t Bound? Markera en punkt t i l l höger om maxpunkten och tryck [ ). Räknaren frågar G u e s s ? . Markera en punkt så nära maximipunkten som möjligt och tryck [ ]. Räknaren visar

•11 Y = 6,ochdet

1 1

WINDOW X n i n = - 1 5 Xnax= "5 X s c l = l Vn in= "3 Yr*iax=7 V s c l = l X r e s = l

j inmiT u

Vill du sedan återgå till fönstrets standardinställningar, tryck EZ1

och välj 6 : Z S t a n d a r d

Maximum X = -är y-värdet som är funktionens största värde.

Svar: Funktionens största värde är 6.

NIVÅ 1 1302 Rita först ett koordinatsystem med lämplig gradering. Rita därefter graferna t i l l andra-

1301 Rita först ett koordnatsystem där -5 < x < 5 gradsfunktionerna som ges av värdetabeller-och -5 < y < 5. Pricka sedan in punkterna i na. koordinatsystemet och rita graferna. a) x y b) x y a) x y b ) x y -3 7 -3 -6

-3 4,5 -3 5 - 2 - 3 - 2 -1

- 2 2 - 2 0 -1 - 9 -1 1

-1 0,5 -1 -3 0 -11 0 3

0 0 0 - 4 1 - 9 1 1

1 0,5 1 - 3 2 -3 2 -1

2 2 2 0 3 7 3 -6

3 4,5 3 5

A L G E B R A O 1 . 3 A N D R A G R A D S F U N K T I O N E R 2 1

Page 21: Matematik Origo 2b

1303 Skriv av värdetabellen och fyll i funktionsvärdena.

a) y = x2 + 3

X V

b) y = x2 - Ax + A

x y

1304 Graferna tillhör två andragradsfunktioner. Bestäm funktionernas minsta värde.

V f

\ i b / \

ä) v 1 X

\ — /

— - — — — — 1—

1305 Graferna tillhör två andragradsfunktioner. Bestäm funktionernas största eller minsta värde.

1306 Vilket funktionsuttryck hör ihop med vilken graf?

1 f{x) = x2 - 3

2 f{x) = x 2 + 3

3 fix) = 2 * 2 -3

4 fix)=-x2-3

5 / (x) = 0,5x2 - 3

\ t

\ 1--+-J-

A—h*r — >

B\ M

i X

_; L / ?

1307 Rita graferna t i l l funktionerna/med hjälp av din grafritande räknare och bestäm deras största eller minsta värde.

a) fix) = -x2 + 6x - 2

b) fix) =-0 ,5x2 _ 5 x _ 1 7

c) fix) = x 2 + 3 x - 1

1308 Rita graferna t i l l funktionerna/för hand

a) / ( x ) = x 2 - 6

b) fix) = x 2 + 2x + 1

1309 Funktionen y = -x2 - 4x + 1 är symmetrisk kring en lodrät linje, som skär x-axeln för x = -2 .

a) Gör en värdetabell med lämpliga punkter.

b) Rita grafen.

N I V A 2

1310 Punkterna tillhör grafen ti l l en andragradsfunktion som är symmetrisk kring den streckade linjen. Pricka in punkternas spegelbilder och rita den tillhörande grafen.

a) b)

x 2

1311 Funk t ionen /dä r / (x ) = — - 6x + 10 är symmetrisk kring linjen x = 6. Rita grafen ti l l funktionen för hand.

1312 Omar hoppar studsmatta. Hans höjd över mattan beskrivs för varje hopp med hit) - - 5 ^ + 5,5f, där h(t) meter är höjden t sekunder efter att han har lämnat mattan i varje hopp. Hur högt över mattan når Omar som högst?

2 2 A L G E B R A O 1.3 A N D R A G R A D S F U N K T I O N E R

Page 22: Matematik Origo 2b

Andragradsekvation

Nollställe

Grafisk lösning av

andragradsekvationer

Kontrollera gärna med prövning att ekvationen -x 2 - 4x + 3 = 0 har rötterna x, « 0,6 och x , = -4,6

Antal lösningar

Grafisk lösning av en andragradsekvation En andragradsfunktion är en funktion som kan skrivas/(x) = ox 2 + bx + c, där a * 0. Ekvationen/(x) = 0, d ä r / ä r en andragradsfunktion, kallas en andragradsekvation. Ett exempel på en andragradsekvation är x 2 - 2x - 3 = 0.

Ritar vi grafen t i l l funktionen f(x) = x2 - 2x - 3 ser vi att den skär x-axeln i två punkter, nämligen i x = - 1 och x = 3.1 de punkterna är funktionsvärdet noll. De värden på x för vilka/(x) = 0 kallas nollställen t i l l funktionen.

Med hjälp av grafen här inti l l kan vi se att funkt ionen/ har nollställena x = - 1 och x = 3.

Om vi vill lösa ekvationen - x 2 - 4x + 3 = 0 grafiskt, så börjar vi med att rita grafen t i l l / (x) = - x 2 - 4x + 3. Sedan bestämmer vi lösningarna t i l l ekvationen genom att avläsa nollställena t i l l funktionen/.

Med hjälp av grafen kan vi uppskatta att nollställena t i l l / ä r x = 0,6 och x = -4,6. Ekvationen - x 2 - 4x + 3 = 0 har alltså de ungefärliga lösningarna xx ~ 0,6 och x 2 = -4,6. Lösningarna t i l l en ekvation kallas också rötter.

Eftersom en grafisk lösning bygger på en avläsning, så är det inte säkert att den är exakt. Genom att sätta in lösningen i den ursprungliga ekvationen, kan man se om den är exakt eller inte.

M v 3

\ / \ i / \ X X

s i _ 1 ? Nollställen Nollställen )

\ /

1 M

r N v 4x + 3 1 \ \ i V

1 T \ X X

N | ?

För att lösa ekvationerna x 2 - 4 = 0, x 2

t i l l funktionerna/, g och h nedan. 0 och x 2 + 2 = 0, så ritar vi graferna

fl x) = x 2 - 4 g(x) = x2

\ i > i

\ 1 v <2

/ \ \ l - \ / \ l -

i Å \

t

X \

\ -I / >

1 ? x 2 - 4 = 0

har tvä lösningar

S i i r

7 x 2 - 4 = 0 har tvä

lösningar S i i r

/ y = X 2 - i x 2 = 0 har en lösning x = 0

M I M I '

x 2 - 4 = 0 har tvä

lösningar S i i r

x 2 = 0 har en lösning x = 0

M I M I '

x 2 - 4 = 0 har tvä

lösningar S i i r M

x 2 = 0 har en lösning x = 0

M I M I '

Av graferna framgår att funktionen / har de två nollställena x = -2 och x- 2, att funktionen g har ett enda nollställe x = 0 och att funktionen h helt saknar nollställen. Det betyder att ekvationen x 2 - 4 = 0 har två lösningar, att ekvationen x 2 — 0 har en lösning och att ekvationen x2 + 2-0 saknar reella lösningar.

A L G E B R A O 1.3 A N D R A G R A D S F U N K T I O N E R 23

Page 23: Matematik Origo 2b

E x e m p e l :

Lösning:

Här intill har vi ritat grafen ti l l en andragradsfunktion. Bestäm med hjälp av grafen

a) f(2)

b) funktionens nollställen

c) lösningarna ti l l ekvationen/(x) = 2,5

a) Vi avläser funktionsvärdet f(2) efter y-axeln.

Svar: f(2) = 4

b) Funktionens nollställen är de värden på x för vilka/(x) = 0. Det betyder att vi kan avläsa funktionens nollställen där grafen skär x-axeln.

Svar: Funktionen/har nollställen för x :

y = f ( x)

1 1 X

\ ?

/ M 1

f ( 2 ) - 4 j \ 1

( 2 ) - 4 j

fl-U • 2.5 '-- ... . . . -\ «3) = 2,5 1 i i \ X

s

/ IMUIIbLdllfciri

-2 och x = 4

Lösningen t i l l ekvationen/(x) = 2,5 är de värden på x, för vilka funktionsvärdet y = 2,5.

Svar: x = - 1 och x = 3

E x e m p e l :

Lösning:

Lös ekvationen O^x 2 - 2x - 3 = 0 med hjälp av den grafritande räknaren.

Lösningarna t i l l ekvationen är nollställena t i l l / (x

Först ritar vi grafen på den grafritande räknaren. Vi trycker ( ) och skriver in 0,3x2 - 2x - 3 efter Y = . V i trycker sedan ( ]. För att bestämma funktionens nollställen trycker vi ^ ^ ^ B , väljer 2: z e r o. Räknaren frågar L e f t Bound? Markera först en punkt t i l l vänster om första nollstället och tryck

3> sedan en punkt t i l l höger och t i l l sist en punktså nära nollstället som möjligt. Räknaren visar Z e r o X = - l .26135 Y = 0 som är ett av funktionens nollställen. För att bestämma det andra nollstället gör vi på samma sätt.

Svar: x ; ~ -1,3 och x 2 = 7,9

0 , 3 x 2 - 2 x - 3 .

24 A L G E B R A O 1 . 3 A N D R A G R A D S F U N K T I O N E R

Page 24: Matematik Origo 2b

E x e m p e l : Lös ekvationen 2x 2 + 5 = 4x grafiskt.

lösning: Vi skriver först om ekvationen 2x2 + 5 = 4x t i l l 2x2 + 5 - 4x = 0. Sedan ritar vi grafen t i l l /(x) = 2x 2 + 5 - 4x på räknaren. Man ser direkt att grafen inte skär x-axeln. Det betyder att funktionen saknar nollställen och därmed saknar ekvationen reella lösningar.

Svar: Ekvationen saknar reella lösningar.

\ u

i

NIVA 1

1313 Figuren visar grafen t i l l en andragradsfunktion. Bestäm med hjälp av grafen

a) ffl b) funktionens nollställen

c) lösningarna t i l l ekvationen/(x) = -2

— r

= r i i X

s ; 1 /

h

1314 Hur många reella nollställen har funktionerna f, g respektive h?.

—h-\ J

i y = -fW

/ / i / <>

/ >

\ v (x

— — —

1315 Andragradfunktionen f(x) — x2 - 5x - 6 har nollställena x = - 1 och x = 6. Lös andragrads-ekvationen x 2 - 5x - 6 = 0.

1316 Camilla löser ska lösa ekvationen x 2 - lOx + 16 = 0 med hjälp av grafräknaren. Hon ritar grafen t i l l / (x ) = x 2 - lOx + 16 på räknaren. Därefter använder hon Z e r O i menyn under | 2Z9 o c r i f a r då upp bilden som visas här.

\ /. V •A-Z

a) Utnyttja Camillas bild t i l l att bestämma en rot t i l l ekvationen x 2 - lOx + 16 = 0.

b) Bestäm ekvationens andra rot.

1317 Ange lösningarna t i l l ekvationerna.

a) / (x) = 0 b) g(x) = 0 c) h(x) = 0

1318 Lös ekvationerna grafiskt.

a) x 2 + 2 x - 8 = 0

b) -2X2 + \2x- 18 = 0

c) x 2 - 8 x = 0

A L G E B R A O 1 . 3 A N D R A G R A D S F U N K T I O N E R 25

Page 25: Matematik Origo 2b

1319 Bilden visar grafen t i l l funktionen fix) =-x2 + 6x + 9

" T J y - t(> )

/ \ / / \ i > i

/ \ / \ / T / i. \ X

s •

/>

/ \

a) Vilket är funktionens största värde?

b) Lös ekvationen/(x) = 0.

c) Hur många lösningar har ekvationen fix) = 0?

1320 Bilden visar grafen t i l l funktionen /(x) = x 2 - 6,25

~3 h) M "

/ V <(x

i 1

\

: L / /

/

a) Vilket är funktionens minsta värde?

b) Lös ekvationen/(x) = 0.

c) Hur många lösningar har ekvationen f(x) = 0?

1321 Bilden visar grafen t i l l / (x ) = x 2 - 6x + 5.

y

,v = f(x)

1 -1 - X N >

/ 1

a) Ange funktionens nollställen.

b) Lös ekvationen x 2 - 6x + 5 = 0.

c) Lös ekvationen x 2 - 6x + 5 = 5.

1322 Lös ekvationerna grafiskt. Pröva därefter om lösningen är exakt.

a) x 2 + 2 x - 3 = 0

b) x 2 - 10x -9 = 0

c) x 2 - 7x + 11 = 0

1323 Lös ekvationen x 2 + 4x = -3 grafiskt.

1324 Skissa grafen t i l l funktionen/om funktionens minsta värde är y = 0, nollställena är x = - 1 och x = -5 och lösningen ti l l ekvationen/(x) = 2,5 är X[ = -6 och x 2 = -0.

N I V Å 1

Lös uppgifterna här nedanför med hjälp av din grafritande räknare.

1325 Triangelns area är 54 cm 2 . Bestäm höjden x.

x + 3

1326 En rektangel har arean 126 cm 2 . Bestäm rektangelns omkrets, när den ena sidan är 5 cm kortare än den andra.

1327 En kulstötare får iväg en stöt där kulan befinner sig h(s) meter över marken, då den flugit s meter horisontellt. Kulans bana beskrivs av h(s) = -0,0452 + 0,64s + 1,94.

a) Hur lång blev stöten?

b) Hur långt har den kommit när kulan når

sin högsta höjd?

1328 För en andragradsfunktion /gäller att ekvationen/(x) = 0 har lösningarna x, = -7 och x 2 = - l .

a) Du vet at t /(-2) = -5 . Hur kan du bestämma värdet av/(-6) utan att utföra någon beräkning?

b) För vilket x-värde har/sitt minsta värde?

26 A L G E B R A O 1 . 3 A N D R A G R A D S F U N K T I O N E R

Page 26: Matematik Origo 2b

1329 En bils bensinförbrukning y liter/mil, beror på hastigheten v km/h enligt

v 3V2

y = 0,7 + + för 70 < v < 180 7 1 000 200 000

Vid vilken hastighet drar bilen 1,0 liter/mil?

NIVÅ 3

1330 Omar gillar att hoppa studsmatta och gör det ibland flera gånger om dagen. Hans höjd över mattan beskrivs för varje hopp med h(t) - -5f + 5,5f, där h(t) meter är höjden t sekunder efter att han har lämnat mattan i varje hopp. Hur länge är Omar i luften under varje hopp?

1331 I en park sprutar en staty en vattenstråle över en promenadväg. Strålen har formen av en parabel som beskrivs av funktionsuttrycket

h(x) = -0,38x2 + l,67x + 1,21

där h(x) är strålens höjd i meter över marken x meter horisontellt från där den lämnar statyn. Knut undrar över hur bred promenadvägen kan vara, för att en 2 meter lång person ska kunna gå under vattenstrålen och ha 1 dm marginal t i l l vattnet. Hjälp Knut att lösa uppgiften.

Resonemang och begrepp

© Hur kan man med hjälp av räknaren se om en andragradsekvation f[x) = o har två, en eller ingen lösning?

© Vad menas med att grafen till en andragradsfunktion är symmetrisk?

© Varför har en andragradsfunktion alltid antingen ett bestämt största eller ett minsta värde?

© Vad är skillnaden mellan att lösa en ekvation grafiskt och att lösa den algebraiskt?

© Vad är det för skillnad på nollställena till en funktion f och lösningen till ekvationen/(x) = o?

Q Du har löst en andragradsekvation genom att läsa av nollställena till motsvarande andragradsekvation, och ska genomföra en prövning. Varför gör du det? Hur går du till väga?

A L G E B R A O 1 . 3 A N D R A G R A D S F U N K T I O N E R X]

Page 27: Matematik Origo 2b

a. o.

? P r o f i t i s o l s k e n

Anders och Berith gör ett projektarbete i företagsekonomi, där de undersöker vinsten hos två företag. Företagen Laerol och Sevy tillverkar lyxig solkräm och säljer den vidare t i l l olika butiker. Tillverkningskostnaden per liter solkräm under ett kvartal är olika för de båda företagen och beskrivs av två andragradsfunktioner.

Kostnad per liter vid tillverkning av x liter solkräm är

Laerol: K{x) = 0,000 00125x2 - 0,045x + 420

Sevy: K{x) = 0,000 002X2 - 0,092x + 1 070

Vid försäljning t i l l butikerna är intäkten per liter solkräm densamma för de båda företagen. Intäkterna är 45 kr/1.

• Hur stor är tillverkningskostnaden per liter för företagen, om de tillverkar 20 000 liter under ett kvartal?

• Hur många liter solkräm ska respektive företag t i l l verka för att tillverkningskostnaden per liter ska bli så låg som möjligt? Vilket blir då literpriet?

• Hur många liter solkräm ska företagen tillverka och sälja, för att intäkterna precis ska motsvara kostnaderna?

• Hur stor är vinsten per liter för Laerol, om de t i l l verkar och säljer 20 000 liter under ett kvartal?

• Teckna ett förenklat uttryck för de båda företagens vinst per liter solkräm.

28 A L C E B R A O n - U P P G I F T

Page 28: Matematik Origo 2b

UDDA TAL

Förklara varför 2n - 1 är ett udda tal, givet att n är ett heltal.

Ange det udda tal som följer närmast efter 2n - 1.

Visa att summan av kvadraterna på talet 2n - 1 och de två udda tal som följer därefter är 12n2 + I2n + 11.

FAKTORISERA MED KONJUGATREGELN

För att faktorisera stora tal kan man ta hjälp av konjugatregeln.

Faktorisera 51 genom att skriva det som differensen mellan 102 och 7 2.

Faktorisera 231 och 9 975 på samma sätt.

©Faktorisera 9 991.

Hitta på en egen liknande uppgift och låt en kompis lösa den.

TO O DO I -

m " 2 o n z c z o m 33 m O: 7s z z n > 33

FRITT FALL

Den sträcka s(f) m, som ett föremål faller kan beskrivas med funktionen s(f) = 5I2, där t är tiden i sekunder. Rita en graf t i l l denna funktion för 0 < t < 5 och besvara med hjälp av grafen

Hur långt har ett föremål fallit efter 2,5 sekunder?

Hur lång tid tar det för föremålet att falla 100 meter?

Hur långt faller föremålet under den fjärde sekunden? (Tänk på att tiden mellan t = 0 och t = 1 är första sekunden.)

Vilken är föremålets hastighet under den fjärde sekunden?

Försök att med hjälp av grafen ta reda på en ungefärlig hastighet hos föremålet efter 3 sekunder.

TRE I FÖLJD Sven försöker multiplicera de tre på varandra följande heltalen 19-20-21 utan att använda räknare. Emma säger att man får rätt svar genom att först beräkna kuben på talet i mitten och sedan dra ifrån talet i mitten.

Visa att Emmas regel gäller för multiplikationen 19-20-21 .

Undersök Emmas regel på fler produkter av tre på varandra följande heltal. Verkar regeln stämma?

Kalla heltalet i mitten för x och visa att regeln gäller allmänt.

A L C E B R A O P R O B L E M OCH U N D E R S Ö K N I N G A R

Page 29: Matematik Origo 2b

H 1/1

X

Soroban

Räknehjälpmedel Abakus

Kulramen, eller abakus som den också kallas, är det äldsta kända räkne-hjälpmedlet. I dag använder vi kulramen endast i de lägre klasserna i skolan för att öka förståelsen för beräkningar. Men i många andra delar av världen är den fortfarande ett effektivt hjälpmedel för att utföra beräkningar.

En abakus kan vara uppbyggd på många olika sätt. Den japanska modellen, som du ser här intill, kallas soroban. På varje rad finns det två uppsättningar av kulor, där den ena uppsättningen har fyra kulor och den andra har en. På det viset kan man på varje rad skriva talen 0—9. Den ensamma kulan används för att markera ett femtal och de fyra kulorna ental.

Här beskriver en soroban talet 45 810. De röda kulorna markerar ental och de blå ett femtal.

Skickliga användare av abakus sägs kunna utföra beräkningar med de fyra räknesätten snabbare än vad en van användare av digital räknare klarar av att göra.

Räknesnurra

Räknesnurran

En räknesnurra är en mekanisk räknemaskin. Den utvecklades under 1800-talet och användes långt in på 1900-talet. Vil l man ti l l exempel utföra multiplikationen 6 • 7, så ställer man in talet 7 på snurran och vevar därefter 6 varv. Varje varv hoppar då värdet fram 7 steg och man landar på produkten 42.

Produkten 9-31 kan på samma sätt beräknas genom att man ställer in 31 och vevar 9 varv. Det är förstås också möjligt att ställa in 9 och veva 31 varv, men det tar längre tid. Men det finns genvägar att gå. En sådan genväg är att man först ställer in 9 och vevar 1 varv. Sedan ställer man in 90 och vevar 3 varv. Man har då beräknat 1-9 + 3-90 = 31-9 som var vad vi ville beräkna. På detta sätt räcker alltså fyra varv för att utföra beräkningen.

Ytterligare ett sätt att genomföra beräkningen är att först ställa in 310 och veva 1 varv, därefter ställer man in 31 och vevar ett varv bakåt. Då har man också beräknat produkten 31-9.

30 A L G E B R A O H I S T O R I A

Page 30: Matematik Origo 2b

Tidig räknare med LED-display

Miniräknaren

Miniräknaren har funnits sedan omkring år 1970. De tidiga miniräknarna hade displayer med lysdioder, så kallad LED-display. De var energikrä-vande och det var därför inte ovanligt att man använde elnätet i stället för batterier. Det gjorde miniräknaren mindre flexibel.

Med tiden blev miniräknarna mer energisnåla och det blev möjligt att enbart använda batterier. Samtidigt som storleken på räknarna blev mindre, så blev också priset lägre och de blev allt vanligare som hjälpmedel i skolor, på arbetsplatser och i hemmen.

19 B O B D Q B B O B B B B B B B B

Q

B B B BJ B B B I I B

c a c a i E J L j i L j

. Eö! || || I || || i

_ J _ J L J L J f I ' L J É y

? Vilket tal visar abakusen?

O ? Hur många varv måste man minst veva för att utföra multiplikationen 43 • 21 på en räknesnurra?

Förklara varför multiplikationen 31 • 9 kan utföras på räknesnurra genom att veva talet 310 ett varv framåt och därefter talet 31 ett varv bakåt.

Grafritande räknare och CAS-räknare

Den första grafritande räknaren tillverkades i mitten av 1980-talet. Grafritande räknare erbjuder stora möjligheter t i l l att snabbt lösa problem men även som stöd för att förstå matematiken. En vanlig grafritande räknare kan t.ex. hitta numeriska lösningar t i l l ekvationer och finna största eller minsta värden t i l l en funktion.

En grafritande räknare kan däremot inte förenkla algebraiska uttryck. Det kan en symbolhanterande räknare. En sådan klarar av att både förenkla algebraiska uttryck och att hitta exakta lösningar t i l l många ekvationer. Den här typen av räknare kallas också CAS-räknare, där CAS står för Computer Algebra System.

Matematikprogram och. webbsidor

Om man har tillgång t i l l en dator, så finns det i dag flera olika program som kan hjälpa oss med matematiken. Några exempel är Excel, Maple, Mathematica och GeoGebra. Många matematikprogram går att ladda ner gratis från internet. På internet finns också webbsidor där man direkt kan få hjälp för att lösa problem. Ett sådant exempel är Wolfram Alpha, som du finner på www.wolframalpha.com.

Vi har alltså väldigt goda möjligheter t i l l stöd för att förstå matematiken och för att genomföra beräkningar, men vi får inte glömma bort att den viktigaste kunskapen och uppfinningsrikedomen finns hos oss själva.

A L G E B R A O H I S T O R I A 31

Page 31: Matematik Origo 2b

I A l g e b r a

Algebraiska uttryck • parenteser

• förenkl ing

• kvadrer ingsreglerna

• konjugatregeln

• faktor iser ing

Andragradsekvationer • ax2 + bx + c = 0 , där a * 0

• t v å , en eller ingen lösning

• graf isk lösning

1

Faktorisering • bryta ut

• kvadrer ings- och konjugatregeln

Grafisk lösning • av läsning i grafen

• eventuel la nol lstäl len ger ekvat ionens rötter

• • k

Andragradsfunktioner • f(x) = ax2 + bx + c, där a * 0

• grafen t i l l funkt ionen f har ant ingen ett m ins ta värde eller ett största värde

• grafen t i l l funkt ionen f är s ymmet r i sk

• funkt ionen f har nol ls tä l len för f(x) = 0

nol ls tä l lena t i l l funkt ionen fär rötterna t i l l ekvat ionen ax2 + bx + c = 0

Nollställen

* Minsta värde y I I l I I I

A L G E B R A O T A N K E K A R T A

Page 32: Matematik Origo 2b

N I V A l

1 Förenkla uttrycken

a) 3a + 7 - 2a + 3

b) 6x + 2 + 5 - 2x

c) (3a + 5b)-(4a-2b)

2 Utför multiplikationen

a) 3(5*+ 2)

b) Aa(3a-2b)

c) 2x(3,5x + 4y)

3 Bryt ut största möjliga faktor

a) 5x + 10

b) 20a + a 2

4 Utveckla uttrycken

a) (9 + 3x) 2

b) (5z- l l ) 2

c) (46+ l l a ) ( 4 6 - l l a )

5 Faktorisera uttrycken

a) 56a3 + 42a

b) y2-22y + 121

c) 9 a 2 - 3 6

6 Lös ekvationerna

a) 4 (3*-5) = 16

b) 2(l,5x + 7) = lOx

c) 2,5(8 + 2x) = 8 + 7x

7 Utför multiplikationen

a) i ( 5 a - 4 b + 7)

b) 3x(x + 2xy-3y)

8 Förenkla uttrycken

a) ( 2 x - 5 ) - ( 3 x + 1 ) ( 9 - 1)

b) 3 x ( x - 4 ) - ( 3 x + 2 ) ( x - 1)

, Ax2 + 12* C ) ^ + 3 ~

9 Förkorta uttrycken

lOx - 14 a)

b)

c)

6x

2Qx2-\2x \2x2

9a2 - 6ab \%ab- \2b2

DO r -> Z a > D m C "O T3 n

m u

10 Skriv ett förenklat uttryck för rektanglarnas area.

b)

3x+ 3

2o + 3b

11 Fyll i värdetabellen och rita graferna

a) y = x2 - 2 b) y = -x2 + Ax + 3

x y x y

-2

12 a) Hur många nollställen har grafen t i l l funktionen/som ges av/(x) = 3X2 + 5x - 9?

b) Hur många lösningar har ekvationen 3x 2 + 5 x - 9 = 0?

13 Mie har utvecklat uttrycket (2x + 5) 2 och fått resultatet Ax2 + 25. Pär-Anders säger att Mie har gjort fel. Har Pär-Anders rätt och vilket fel har Mie i så fall gjort?

A L C E B R A O B L A N D A D E U P P G I F T E R 33

Page 33: Matematik Origo 2b

14 Figuren visar grafen t i l l funktionen /(x) = x2 - 2x - 3

a) I vilken punkt skär funktionen y-axeln?

b) Vilket är funktionens minsta värde?

c) Vilka nollställen har funktionen?

d) Lös med hjälp av grafen ekvationen

x2-2x-3 = 0.

15 Fyll i de tomma rutorna, så att likheterna stämmer.

a) \JOx-D) = 9 x - 15

b) (a + D) 2 = a2 + 4a + •

c) ( • + • ) ( • - • ) = 9m2 -25n2

16 Utveckla och förenkla

a) (2a + b)2-4ab

b) (5a-3b)2 + (5a - 3b)(5ö + 3fe)

c) ( 3 x + 2 y ) 2 - ( 3 x + 2 y ) ( 2 y - 3 x )

17 Andrew ska beräkna 81 2 och tänker använda si£ av kvadreringsregeln på uttrycket (80 + l ) 2 .

a) Beräkna 81 2 med Andrews metod.

b) Beräkna 92 2 på samma sätt.

18 Skriv ett förenklat uttryck för figurernas area.

a) y-x

3x + 8 2y

2x

d)

,10o + 4b

o + b

19 Frida fick i uppgift att rita grafen t i l l y = x2 + 1 Ox - 3 på sin grafritande räknare. Hei nes resultat ser du här nedanför.

\ i

Ge Frida några förslag på vad hon kan göra för att förbättra bilden av grafen på räknaren.

20 Lös ekvationerna grafiskt

a) x 2 - x - 6 = 0

b) 4 x - x 2 = 1

NIVÅ 2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

21 Faktorisera täljare och nämnare och förkorta si långt som möjligt

9x + 6x 2

6x

x2-4y2

x+2y

b)

d)

2a2 - 4ab 3a -6b

4a2 - 12a + 9 4 a - 6

22 Torbjörn och Christian pluggar matte tillsammans. Christian säger att han inte riktigt förstå den andra kvadreringsregeln och ber att Torbjörn ska förklara den. Hjälp Torbjörn med vad han ska säga, skriva eller rita.

23 Förenkla

a) 2 , 5 ( 4 x - 2 ) - 0 , 5 ( 6 x - 1 0 )

b) - ( 4 a - 1 2 b + 4 ) - - ( 1 2 - 9 a + 3fo) 4 3

24 Förkorta uttrycken så långt som möjligt.

x 2 + 6x + 9 a)

b)

9 - x 2

^ - 4 9 f-\4y + 49

2a - b

Sab

3 4 A L G E B R A O B L A N D A D E U P P G I F T E R

Page 34: Matematik Origo 2b

03

25 En kula skjuts rakt uppåt. Dess höjd över marken kan beskrivas med funktionen h som ges av h(t) = 50f - 5?, där t är tiden i sekunder efter uppskjutningen.

a) Hur högt är kulan efter 1,5 sekunder?

b) Hur högt når kulan som högst?

c) Hur länge är kulan i luften?

d) När är kulan 80 meter över marken?

26 Vilma har ett rektangulärt trädgårdsland, där längden är 3 meter längre än bredden. Hon utökar både längd och bredd med 2 meter och får på detta sätt ett land, som är 20 m 2 större än det tidigare. Hur stor area har trädgårdslandet efter utökningen?

27 Maria och Jocke har fått i uppgift att bestämma det minsta värdet t i l l en andragradsfunktion.

- Då behöver vi hitta den lodräta linjen som kurvan är symmetrisk kring, säger Jocke.

- Det gör vi genom att först bestämma funktionens nollställen, inflikar Maria.

a) Ge en förklaring t i l l varför Jocke tycker att man behöver finna den linjen.

b) Varför säger Maria att man först måste bestämma funktionens nollställen?

c) När fungerar inte Marias metod?

28 Förkorta uttrycken så långt som möjligt

. (a + 2b)2

b)

3a + 6b

4m2 - 4mn + n2

12m2 - 3n2

29 I en rätvinklig triangel är den ena kateten 7 cm längre än den andra. Teckna ett förenklat uttryck för

a) triangelns area

b) hypotenusans längd

> Z D > •

C TJ 13 n T I Hl m

N I V A 3

30 Lös ekvationerna

a) 2x (3x -4 ) = 6{x2-4x-3)

b) (3a + 6 ) (3a -6 ) = 3 ( 3 f l 2 - 4 a - 2 )

c) ( 2 x + 6 ) 2 - 5 ( x + 3 ) ( x - 3 ) = 3 6 - ( x - 5 ) 2

31 Fyll i de tomma rutorna, så att likheterna stämmer

a) ( • + 7 ) ( 2 a - D ) = 6 a 2 - a - D

b) • ( • + • ) ( • - • ) = 3 x 2 - 1 2 /

c) (4m + 5 n ) ( D - • ) = • + 14mn-8m2

32 Beräkna genom att använda dig av konjugat- och kvadreringsreglerna.

a) 21 • 19 b) 22 2 c) 89 2

A L G E B R A O B L A N D A D E U P P G I F T E R 35

Page 35: Matematik Origo 2b

I/» 111 t : Ui H a < *

7 DEL 1 Utan räknare

1 Multiplicera ihop

a) 2x(3 + 8x)

b) (a + 7)(3a + 2b)

c) ( 2 y - 6 ) 2

2 Vilket av uttrycken passar bäst att förenkla med hjälp av konjugatregeln?

A (2 + a)(2 + b)

B ( 3 - 7 x ) ( 7 x + 3 )

C (4-2y)2

3 Gör en tabell och rita grafen t i l l funktionen y = x2 - 2x - 1 för -2 < x < 4

4 Faktorisera

a) 4a + \2ab b) a 2 - 6 a + 9

5 Bestäm med hjälp av grafen t i l l funktionen/(x)

1 / s y i 1 1 h ) \ \ 1 ! \ 1" Å

\

\ i ?

\ r 1

v /

a) funktionens minsta värde

b) f(-2)

c) funktionens nollställen

d) lösningarna t i l l ekvationen/(x) = 5

6 Lös ekvationen (2x - 3) 2 - (3X2 - 2) = (x + 5)(x - 5)

7 Förkorta uttrycken

6 x 2 - 2 x a) 2x

b) 1 6 - x 2

x 2 + 8 x + 16

8 En kvadrat och en rektangel har lika stor omkrets. Den ena sidan i rektangeln är 2 cm längre än den andra sidan. Vilken figur har störst area och hur mycket skiljer det?

3 6 A L G E B R A O K A P I T E L T E S T

Page 36: Matematik Origo 2b

DEL 2 Med räknare

9 Bilden visar grafen t i l l funktionen/med f(x) = x2 - 2x - 3 och funktionen j med g(x) — 5 - x1 - 2x.

i — —

/ B

/ i / /

i \ 1-\ 1- l\ / A

fl Aj — i —

10

a) Vilken av graferna visar/?

b) Lös ekvationen x2 - 2x - 3 = 0

c) Lös ekvationen 5 - x2 - 2x — 0

d) Lös ekvationen 5 - x2 - 2x = -3

Figuren består av två rektanglar. Teckna ett förenklat uttryck som beskriver figurens

a) omkrets

b) area

> 2 H m q m V)

x-2

x - 3

2 x - 4

11 Låt/(x) = -x2 + 5x+ 1. Rita grafen t i l l / på räknaren och bestäm

a) a-D b) största eller minsta värdet f ö r / c) nollställen t i l l /

12 När vissa förhållanden råder kan stoppsträckan för Aziz bil beskrivas med funktionsuttrycket s(v) = 0.005V2 + 0,15v, där s(v) är stoppsträckan i meter och v den ursprungliga hastigheten i km/h.

• Beräkna Aziz stoppsträcka när han håller hastigheten 70 km/h

• Vilken fråga besvaras av ekvationen 0,005^ + 0,15v = 0?

• Hur många nollställen har funktionen s?

När Aziz kommer över ett backkrön, ser han ett omkullfallet träd över vägen 50 meter bort. Vilken är den högsta fart Aziz kan ha över backkrönet för att undvika en kollision med trädet?

• Vilken ekvation ska du lösa för att kunna besvara frågan?

Lös ekvationen med hjälp av räknaren och tolka din lösning.

A L G E B R A O K A P I T E L T E S T 37

Page 37: Matematik Origo 2b

2 A n d r a g r a d s e k v a t i o n e r

I D E L K A P I T E L

2.1 Enkla andragradsekvationer

2.2 Fullständiga andragradekvationer

F O R K U N S K A P

• Algebraiska förenklingar

• Konjugat- och kvadreringsreglerna

• Faktorisering av uttryck

• Grafen till en andragradsfunktion

• Grafisk lösning till andragradsekvationer

C E N T R A L T I N N E H A L L

Hantering av kvadrerings- och konjugatregeln i samband med ekvationslösning.

• Utvidgning avtalområdet genom introduktion av begreppet komplext tal i samband med lösning av andragradsekvationer.

• Algebraiska och grafiska metoder för att lösa andragradsekvationer.

• Egenskaper hos andragradsfunktioner.

• Konstruktion av grafer till funktioner samt bestämning av funktionsvärde och nollställe, med och utan digitala verktyg.

3 «

Page 38: Matematik Origo 2b

Kastar du iväg en boll, kan bollens rörelse beskrivas med grafen till en

andragradsfunktion. Om du frågar efter kastets högsta höjd, så är det funktionens största värde du ska söka efter. Och om du undrar över hur långt kastet var, så kan svaret vara lösningen till en andragradsekvation. En andragradsfunktion kan också hjälpa oss att beskriva rörelsen hos himlakroppar eller att skapa en ekonomisk vinstmodell till ett företag som tillverkar och säljer en vara. Ett viktigt verktyg inom matematiken är att kunna lösa andragradsekvationer grafiskt och algebraiskt.

När du är klar med kapitlet ska du kunna

• lösa andragradsekvationer med hjälp av

faktorisering

• lösa andragradsekvationer med hjälp av

kvadreringsreglerna

• lösa andragradsekvationer med hjälp av

pq-formeln

• bestämma icke-reella rötter till enkla andragradse kvati oner

• bestämma symmetri linje, extrempunkt

och nollställen till en andragradsfunk

tion

Maximera arean Arean av en rektangel med given omkrets varierar beroende på rektangelns form. För en viss omkrets gäller sambandet A = b{20 - b) cm 2 , där A cm 2 är rektangelns area när basen är b cm.

• Ange ett uttryck för basen respektive höjden.

• Vilken omkrets har rektangeln?

• För vilka värden på b är A = 0?

• Vilken är den största arean som rektangeln kan ha?

• Vilket värde på b ger den maximala arean?

Nollställen Andragradsfunkt ionen/där / (x) = x2 - 4 har nollställena xt = -2 och x2 = 2.

• Visa att andragradsfunktionen g(x) = 2X2 - i har samma nollställen.

• Ange ytterligare en funktion h med samma nollställen.

Page 39: Matematik Origo 2b

2 . 1 E n k l a a n d r a g r a d s e k v a t i o n e r

Ekvationer av typen x 2 = a I förra kapitlet använde vi en grafisk metod för att lösa andragradsekvationer. V i såg att en andragradsekvation som mest kan ha två reella lösningar. I det här avsnittet och de som följer, kommer vi att arbeta fram metoder för att lösa andragradsekvationer med hjälp av algebraiska metoder.

Redan i kurs l b löste vi enklare andragradsekvationer med hjälp av kvadratrötter. Lösningen t i l l en andragradsekvation av typen

x2 = 6

skrev vi

x= ±Vö

där vi utnyttjade att kvadratroten ur 6 är det positiva tal vars kvadrat är 6. Vi repeterar detta och inleder med definitionen av kvadratrot.

Kvadratrot

Med kvadratroten ur ett positivt tal a, menas det positiva tal vars kvadrat är a. Kvadratroten ur a skrivs Va och kallas ofta bara "roten ur a". Definitionen gäller också för a = 0.

E x e m p e l : Lös andragradsekvationen

a) x2 = 64 b) 6 x 2 - 5 4 = 0

lösning: a) x2 = 64

x= ±V64 = ±8

xx = 8 och x2 = -8

Svar: xx = 8; x2 = -8

b) 6 x 2 - 5 4 = 0

6X2 - 54 + 54 = 0 + 54 6X2 54 6 ~ 6

x? = 9

x= ±V9 = ±3

Vi söker ett tal vars kvadrat är 64

Det gäller att 8 2 = 64 och att (-8) 2 = 64

Vi adderar 54 till båda led för att få 6x 2 ensamt

Vi delar båda led med 6 för att få x 2 ensamt

Både3 2 och (-3) 2 är 9

Svar: x, = 3; x2 = -3

40 A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R O 2 . 1 E N K L A A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R

Page 40: Matematik Origo 2b

E x e m p e l : Lös ekvationen x(x + 3) = 3x + 14 exakt. Ange även ett närmevärde t i l l lösningen med en decimals noggrannhet.

lösning: x{x + 3) = 3x + 14 Förenkla VL

x2 + 3x = 3x + 14

x2 + 3x - 3x = 3x + 14 - 3x Subtrahera 3xfrån båda leden

x2 = 14

x = ±VT? Exakt lösning

X = ±VT? ~ ±3,7 Använd räknaren, tryck j ) [ ] 14 [ )

och avrunda till en decimal

Svar: x, = VT? - 3,7; x 2 = -VT? = -3,7

N I V Å 1

Lös andragradsekvationerna utan att använda räknare.

2101 a) ^ = 81 b) x2=\2\ c) 2 X 2 = 200

2102 a) x2 = 0,25 b) x 2 = 0,04 c) x2 = -^-16

2103 Bestäm sidan t i l l en kvadrat med arean

a) 64 cm 2 b) 0,09 dm 2 c) 6,25 cm 2

2104 Lös andragradsekvationerna utan att använda räknare.

a)9 = x 2 - 1 6 b ) 4 - x 2 = 3

2105 Lös andragradsekvationerna och avrunda lösningarna ti l l två decimaler.

a) 4y2 = 80 b) 3-m2 = -7

c) nr2= 10 d) 0 . 2 X 2 - 1 = 0

2106 En kvadrat har arean 144 cm 2 . Bestäm kvadratens omkrets.

2107 Lös andragradsekvationerna och svara exakt.

a) 6 ^ 3 5 - f 2

b) 14-9a 2 = - 1 6 - 4 a 2

c) 7x2 + 4 = 3 x 2 - 1 2

NIVÅ 2

2108 Lös andragradsekvationerna

a) x(x + 5) = 49 + 5x

b) x(4 + 2x) = (x + 35) - 3(x2 - x)

2109 Bilden visar grafen till funktionerna f{x) = x2 - 4 och g{x) = Ix2 - 8.

a) Vilken graf hör t i l l vilken funktion?

b) Förklara hur grafen t i l l / (x ) = x 2 - 4 kan användas för att lösa ekvationen x 2 - 4 = 0.

c) Varför har funktionerna samma nollställen?

2110 Bestäm längden av kateterna i triangeln.

Ax

A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R O 2.1 E N K L A A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R 41

Page 41: Matematik Origo 2b

Imaginära tal

•>> /

= > 2 n -4

1- X s ]

Ekvatione saknar reel

i x 2 + 4 = 0 a lösningar.

Ordboken Imaginär kommer av latinets

imaginarius, som betyder overklig eller skenbar.

K o m p l e x a tal

Andragradsekvationer och komplexa tal I uppgift 2107 c) stötte du på en ekvation av typen x2 + 4 - 0 som kan skrivas x2 = -A. Fram ti l l nu har vi sagt att den ekvationen saknar lösning, med motiveringen att kvadraten av ett tal alltid är positiv eller 0. Vad vi då mena är att kvadraten av ett reellt tal inte kan vara negativ. Men om vi inför ett tal i som har egenskapen i2 = - 1 , så kan vi även lösa ekvationen x2 = -4. Vi löse ekvationen genom att först skriva om högerledet:

_4 = 4 - ( - l ) = 2 2 '

V i får ekvationen

x2 = (2i)2 •

x = ±2i

;2 - ( 2 0

som ger

Eftersom i2

Dvs. x, = 2/ och x 7

2i och x2 = -2i är Talet i kallas den imaginära enheten och rötterna xx

exempel på imaginära tal.

Imaginära enheten

Den imaginära enheten är ett tal som betecknas i och vars kvadrat är - 1 , det vi l l säga i2 = - 1 .

Ett komplext tal kan bestå av både en reell del och en imaginär del. Några exempel på komplexa tal är 1 + 3/, A/3 - 2i och 5i. Talet 5i är ett exempel på vad som ofta kallas ett rent imaginärt tal. Allmänt kan ett komplext tal skrivas a + bi, där a och b är reella tal. Både a och bi a + bi kan vara 0. Det inne bär att t.ex. talet 15 är både ett reellt och ett komplext tal.

Komplexa ta l

Mängden av komplexa tal betecknas C och består av alla tal som kan skrivas a + bi, där a och b är reella tal och i är den imaginära enheten.

Talmängder

Ett naturligt tal är alltså också ett reellt tal och alla tal är komplexa tal

I kurs 1 beskrev vi de olika talmängderna. Til l de naturliga talen räknas de positiva heltalen och talet noll. Stegvis kan man utvidga de naturliga talen och slutligen med hjälp av den imaginära enheten i kan man införa de komplexa talen.

• mängden av naturliga tal N = {0,1,2, 3, . . .}

• mängden av hela tal Z = {. . . , -3 , -2 , -1,0, 1,2,...}

• mängden av rationella tal Q = {alla tal som kan skrivas — d ä r p och q är hela tal och q * 0}

• mängden av reella tal R = {alla tal på tallinjen)

• mängden av komplexa tal C = {alla tal av formen a + bi där a och b är reella tal)

42 A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R O 2 . 1 E N K L A A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R

Page 42: Matematik Origo 2b

E x e m p e l :

Lösning:

Lös ekvationerna

a) x2 = -25 b) 3x 2 + 243 = 0

^ = -25

x2 = 25i2

x = ±5i

Eftersom i2 = -1, så är -25 = 25/ 2

Vilka tal i kvadrat är 25/2?

Svar: x, = - 5 i och x 2 = 5i

b) 3x2 + 243 - 0

3 X 2 = -243

x 2 = -81

x 2 = 81i'2

x = ±9J

Dividera båda led med 3

Eftersom -81 = 81 • (-1) = 81 • i2

Svar: xx - -9i och x 2 = 9i

NIVA 1

2111 Ange vilka av talen här nedanför som är

a) reella b) rent imaginära

A 45 B 14i C V6

D 4 - 4 i E

Lös ekvationerna

2112 a) x2 = -49

c) x2+ 16 = 0

2113 a) Sx2=-72

c) r2 + 17 = 0

F -V5

b) x2 = -\2\

d) y2 = -25

b) 2y2 + 72 = 0

d) 3 5 2 + 81 = 0

2114 Annalisa och Nina ska lösa andragradsekva-tionen x 2 + 10 = 0. Annalisa säger att ekvationen saknar lösning, medan Nina säger att det visst går att lösa den. Man kan säga att båda har rätt. Ge en förklaring på hur Annalisa och Nina kan ha resonerat.

2115 Ange ett tal som är ett 0 a) rationellt tal, men inte ett heltal

b) reellt tal, men inte ett rationellt tal

c) komplext tal, men inte ett reellt tal

N I V A 2

2116 Ingrid har löst en andragradsekvation och ö fått fram rötterna xx = 10/ och x 2 = — lOi.

Hon berättar detta för Torun och undrar om hon kan lista ut hur ekvationen såg ut. Hjälp Torun att föreslå en ekvation.

2117 Förklara varför man inte kan lösa ekvationen x2 + 1 = 0 grafiskt genom att rita grafen t i l l funktionen/(x) = x 2 + 1?

2118 Här visas tre grafer som man kan beskriva med ett uttryck av formen y — x2 + c. Värdet av konstanten c är olika för de tre uttrycken som beskriver graferna. Ange lösningarna t i l l ekvationerna

a) / (x) = 0 b) g(x) = 0 c) h(x) = 0

\\ \ ' A V / /;

W V hfk) 1

Ml

i H X \ >

y = \

4 -

Tänk på att lösningarna

kan vara antingen

reella eller imaginära.

A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R O 2.1 E N K L A A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R 43

Page 43: Matematik Origo 2b

Faktorisering som lösningsmetod I ekvationerna x(x - 10) = 0 och (x - 3)(x + 8) = 0 är vänstra ledet si i faktorform. Med det menas att vänstra ledet är skrivet som en produkl två eller flera faktorer. För x(x - 10) = 0 består vänstra ledet av faktorer och (x - 10), medan vänstra ledet i ekvationen ( x - 3)(x + 8) = 0 har de faktorerna ( x - 3) och (x + 8).

När ena ledet står i faktorform och det andra ledet är 0, så kan man oft; direkt finna ekvationens lösningar. För att produkten ska vara 0, så krä^ att minst en av faktorerna är 0. För ekvationen x(x - 10) = 0 gäller allts; antingen är x = 0 eller x - 10 = 0. Det ger att lösningarna ti l l ekvationer x, = 0 och x 2 = 10.

E x e m p e l : Lös andragradsekvationerna

a) (x + 2 4 ) ( x - 2 ) = 0 b ) x 2 + l l x = 0 c) 9x 2 = -15x

Lösning: a) (x + 24)(x - 2) = 0

Minst en av faktorerna x + 24 eller x - 2 måste vara 0, för att produ ten ska bli 0.

x, + 24 = 0

X! = -24

Svar: xx = -24; x 2 = 2

b) x 2 + l l x = 0

x ( x + 11) = 0

x, = 0

2 = 0

Skriv VL i faktorform genom att bryta ut x.

Minst en av faktorerna i VL måste vara 0, för att produkten ska bli 0.

x 2 + 11 = 0

x 2 = -11

Svar: x t = 0; x 2 = -11

9x 2 = -15x

9 x 2 + 1 5 x = 0 Samla termerna i VL.

x(9x + 15) = 0 Faktorisera VL genom att bryta utx .

Minst en av faktorerna x eller 9x + 15 måste vara 0.

9x 2 +15 = 0

9x 2 = -15

x,

X! = 0

v 2 L5 9

Svar: X! = 0; x 2 = •

44 A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R O 2.1 E N K L A A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R

Page 44: Matematik Origo 2b

E x e m p e l : Ange en andragradsekvation med rötterna x, = 5 och x 2 — 2.

lösning: Vi skriver vänstra ledet i faktorform och låter HL = 0. Den ena faktorn ska vara 0 när x — 5. Det villkoret s tämmer för faktorn x - 5. Den andra faktorn ska vara 0 när x = 2 och det gäller för x - 2. Vi bildar en produkt av faktorerna i vänstra ledet och sätter HL = 0.

(x — 5)(x — 2) = 0 Ekvationen uppfyller kraven. Om man vill kan man utveckla VL, men även denna form duger bra.

Som kan skrivas

x2 - 7x + 10 = 0 Ekvationen kan förstås förlängas med ett tal och fortfarande ge samma rötter, t.ex. 3x 2 - 21x + 30 = 0.

Svar: T.ex. ( x - 5 ) ( x - 2 ) = 0 eller x2 - 7x + 10 = 0.

N I V Å 1

Lös ekvationerna

2119 a) x ( x - 8 ) = 0

b) x{x+ 13) = 0

c) 2x(x-36) = 0

2120 a) ( x - 1 2 ) ( x - 4 ) = 0

b) ( x -10 ) (x + 6) = 0

c) ( 3 x - 9 ) ( 5 - 2 x ) = 0

2121 a) x2 + 8x = 0

b) x 2 - 2 1 x = 0

c) x 2 + x = 0

2122 Vilken graf ger lösningen t i l l vilken ekvation?

„ \ \A 1 C \ \ /

\ / \ A x

\ l /

y

a) T - 4 = 0 4

b) x 2 + 4x = 0

c) x 2 - 4 x = 0

2123 Lös ekvationerna

a) 3X2 - 1 2 * = 0 b) Ax2 = 2x

c) 12x2 + 4x = 0

NIVÅ 2

2124 Ange en andragradsekvation med rötterna

a) x, = 0 och x 2 = 9

b) X ] = 0 och x 2 = -5

c) X , = 2 och x 2 = -3

2125 Efter att ha seglat på grund skickar Eva och Svante upp en nödraket. Raketens bana beskrivs av h(t) - 25^-5^ , där h(t) är höjden i meter över vattnet och t är tiden i sekunder efter det att de skickat iväg raketen. Efter hur lång t id slår raketen ner i vattnet?

212G Förklara varför ekvationen x 2 - 6x = 0 enkelt går att lösa genom att faktorisera vänstra ledet, medan det är svårare att lösa ekvationen x 2 - 6x = 1 på samma sätt.

2127 Vilka tal a och b gör att ekvationen {ax + 2)(bx - 5) = 0 har lösningarna x, = 1 och x 2 = 5?

2128 Konstruera en andragradsekvation med

rötterna xl = 0 och x 2 = - —, som är skriven i

formen ax2 + bx = 0, där a och b är heltal.

A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R O 2 . 1 E N K L A A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R 45

Page 45: Matematik Origo 2b

Andragradsekvationer och kvadreringsreglerna Ekvationen ( x - 6) 2 = 16 kan vi lösa ungefär på samma sätt som ekvationer x 2 = 16. VL är ett uttryck i kvadrat. Vi söker de tal vars kvadrat är lika med 16. V i vet att 4 2 = 16 och ( -4) 2 =16. Först drar vi därför slutsatsen att om (x - 6) 2 = 16, så måste antingen x - 6 = 4 eller x - 6 = -4. Vi får då att x - 6 = 4 ger att den ena roten är x = 10 och x - 6 = -4 ger att den andra roten är x = 2.

Anledningen t i l l att vi kunde lösa ekvationen (x - 6) 2 = 16 på detta sätt var att VL var skrivet som en kvadrat. Om vi vil l lösa ekvationen x 2 - lOx + 25 = 9 algebraiskt, så kan vi göra på ett liknande sätt om vi först skriver om VL med hjälp av andra kvadreringregeln. Eftersom

x 2 - lOx + 25 = (x - 5) 2 Andra kvadreringsregeln

kan vi skriva om x 2 - lOx + 25 = 9, så att ekvationen får formen

( x - 5 ) 2 = 9

Den här är en ekvation av samma typ som vi löste här ovanför.

x - 5 = ±3

x, = 5 - 3 = 2 och x 2 — 5 + 3 = 7

E x e m p e l : Lös andragradsekvationerna

a) ( x - 5 ) 2 = 1 0 0 b) x 2 + 1 8 x + 8 1 =64

Lösning a) ( x - 5 ) 2 = 100 Sök tal vars kvadrat är 100

x - 5 = ±10 Både 10 och -10 uppfyller kravet

x = 5 ± 10

V i får två lösningar

xx = 5 + 10 = 15 och x 2 = 5 - 10 = -5

Svar: xx = 15; x 2 = -5

b) x 2 + 18x + 81 =64 VL går att faktorisera med hjälp av 1:a kvadreringsregeln

(x + 9) 2 = 64 Nu är ekvationen av samma form som i förra exemplet

x + 9 = ±8

x = —9 ± 8 Vi får två lösningar

x, = -9 + 8 = - 1 och x 2 = - 9 - 8 = -17

Svar: X j = —1; x^ = —17

A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R © 2 . 1 E N K L A A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R

Page 46: Matematik Origo 2b

E x e m p e l :

Lösning:

Lös andragradsekvationen Ix1 + Ax + 2 = 0

Ix2 + Ax + 2 = 0

2(x 2 + 2x+ 1) = 0

x 2 + 2x + 1 = 0

( x + 1) 2 = 0

x + 1 = 0

x = - l

Svar: x = - 1

Bryt ut 2 och dela sedan båda led med 2

Faktorisera med hjälp av första kvadreringsregeln

Ekvationen har endast en lösning

NIVÅ 1 r

Lös andragradsekvationerna

2129 a) ( x - 3 ) 2 = 1 6 b) (x + 2) 2 = 49

c) ( x - 2 ) 2 = l

2130 a) ( x - 2 ) 2 + 3 = 12 b) (x + 3 ) 2 - 3 0 = 6

c) (6 - 2x) 2 - 144 = 0

2131 a) ( x - l ) 2 = 0 b) (2x + 3) 2 = 0

c) ( x - 4 ) 2 - 1 2 = 13

2132 Miranda och Jennica diskuterar andragradsekvationer. Miranda säger att hon tycker att man kan lösa ekvationen (x - 3) 2 = 36 ungefär på samma sätt som man löser x 2 = 36. Jennica blir nyfiken och undrar hur Miranda tänker. Hur kan Miranda ha tänkt när hon sa på det viset?

2133 Augin och Ferit arbetar med andragradsekvationer. Augin säger att han tycker att ekvationen x 2 + 14x + 49 = 25 egentligen är samma ekvation som (x + 7) 2 = 25. Ferit undrar hur det kan komma sig. Hjälp Augin att förklara detta för Ferit.

NIVÅ 2

2134 Vilket tal ska adderas t i l l båda leden för att vänstra ledet ska gå att faktorisera med hjälp av kvadreringsreglerna?

a) x 2 + 4x = 12 b) x 2 - 18x = 19

c) x 2 - 2 x = -4 d ) x 2 + x = 2

2135 Lös ekvationerna genom att faktorisera vänstra ledet med hjälp av kvadreringsreglerna.

a ) x 2 - 2 x + l = 0 b) x 2 + 8 x + 16 = 1

c) x 2 - 6x + 9 = 25

2136 En del andragradsekvationer kan lösas genom faktorisering med hjälp av konjugatregeln.

a) Faktorisera ekvationen x 2 - 16 = 0 med hjälp av konjugatregeln.

b) Vilka är ekvationens rötter?

c) Visa hur man kan lösa ekvationen (x + 1 ) 2 - 9 = 0 med hjälp av konjugatregeln.

A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R O 2 . 1 E N K L A A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R 47

Page 47: Matematik Origo 2b

Kvadratkomplettering

1. Vi vill lösa ekvationen x 2 + Gx = 352

2. Vi omfördelar figurens yta.

3. Om vi lägger till en liten kvadrat med arean 9 m 2 , så bildas en stor kvadrat med sidan (x + 3) m.

Kvadratkomplettering Ett exempel på en fullständig andragradsekvation är x 2 - 6x + 8 = 0. En fullständig andragradsekvation innehåller alltså en x 2-term, en x-term och en konstantterm. I förra avsnittet arbetade vi med andragradsekvationer där ena ledet kunde skrivas som en kvadrat med hjälp av kvadreringsreglerna.1

ska nu se hur man kan skriva om och lösa ekvationer, som til l exempel x 2 - 6x + 8 = 0, där ett av leden inte omedelbart kan skrivas som en kvadrai

Lekparkens fotbollsplan har en längd som är 6 meter större än bredden. Planens area är 352 m 2 . Vilka mått har fotbollsplanen?

Vi antar att bredden är x m. Längden blir då (x + 6) m. Vi får ekvationen för arean x(x + 6) = 352, som kan skrivas x 2 + 6x = 352.

För att lösa ekvationen x 2 + 6x = 352 behöver vi skriva om ekvationen så att vänstra ledet blir ett uttryck i kvadrat. Det kallas kvadratkomplettering.

(x + 3) 2 = x 2 + Bx + 9

x + 6

Uttrycket x 2 + 6x + 9 kan skrivas om ti l l (x + 3) 2 med l:a kvadreringsregeln Därför adderar vi 9 t i l l båda led i ekvationen x 2 + 6x = 352 och får

Förenkla HL

Utnyttja att (x + 3) 2 •• x 2 + 6x + 9

Nu har ekvationen formen (x • med kända metoder.

b och vi kan lösa den

x 2 + 6x + 9 = 352 + 9

x 2 + 6x + 9 = 361

( x + 3 ) 2 = 361

x + 3 = ±V36T

x + 3 = ±19

Vi får två lösningar

x = —3 + 19 = 16 och x = — 3 — 19 = — 22 Den negativa lösningen är inte intressant eftersom en sträcka alltid är positiv

Bredden är 16 m och längden 16 m + 6 m = 22 m. Planens mått är alltså 22 x 16 m.

Det här sättet att skriva om vänsterledet t i l l en kvadrat, kan man visa med hjälp av figurerna här nedanför. Namnet kvadratkomplettering kommer av at man kompletterar ekvationens båda led med en kvadrat. I vårt fall en kvadrat med arean 3 2 m 2 , som motsvarar additionen med 9 i lösningen här ovanför.

3 3 x 3

2. 3.

x + 3 • 3 x x 2 6 x X X 2 3 x 3 x X X 2 3 x

x + 3

48 A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R O 2.1 E N K L A A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R

Page 48: Matematik Origo 2b

Exempel:

lösning:

Lös andragradsekvationerna

a) x2 + 12x = 13

a) x2 + I2x= 13

b) x2 - 8x + 10 = 0

Om VL skrivs x 2 + 12x + 36, så kan det skrivas som en kvadrat.

Adderar 36 till båda leden

x 2 + 12x + 36 = (x + 6 ) 2

- 6 - 7

x2+ 12x+36 = 13 + 36

(x + 6) 2 = 49

x + 6 = ±V49

x + 6 = ±7

x = - 6 ± 7

x, = -6 + 7 = 1 och x 2

Svar: X ! = 1; x 2 = -13

b) x 2 - 8 x + 10 = 0

x 2 - 8 x = -10

x 2 - 8 x + 16 = - 1 0 + 16

(x-4)2 = 6

x - 4 = +V6

x = 4 ± VfJ

x, = 4 + VfJ och x 2 = 4 - V6

Svar: X[ = 4 + Vö; x 2 = 4 — Vö Svaren är i exakt form

-13

Vi subtraherar 10 från båda led

Addera 16 till båda led

x 2 - 8x + 16 kan skrivas om till (x - 4 ) 2

\/6 är i exakt form

2137 Vilket tal ska stå i rutan för att uttrycket ska gå att faktorisera med hjälp av kvadreringsreglerna?

a) x 2 + 14x + •

b) x 2 - 18x + G c) x 2 - x + D

2138 Ingo löser en andragradsekvation och använder sig av kvadratkomplettering. Han har kommit fram t i l l att (x - 11)2 = 144. Hjälp Ingo att fullfölja lösningen.

2139 Ekvationslösningarna med kvadratkomplettering är påbörjade. Fyll i talen som saknas i rutorna och slutför sedan lösningarna.

a) x2 + 4 x = 12

x2 + 4x + D = 1 2 + D ( x + 2 ) 2 = n x + 2 = ± n

b) x2 - 6x + 5 = 0 x2 - 6x = -5 x 2 - 6 x + D = -5 + D (x-D) 2 = D x - D = ±D

A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R O 2 . 1 E N K L A A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R 49

Page 49: Matematik Origo 2b

2140 Lös ekvationerna

a) x 2 + 8 x - 9 = 0 b) x 2 - l O x - 11 = 0

c) 72 + 5y + 4 = 0 d) 72 -77+ 12 = 0

2141 Arean av det gula området i figuren är 2 704 m 2 . Ekvationen x 2 + 24x = 2 704 kan användas för att bestämma det okända värdet x i figuren.

12 (m)

x 12

a) Vilken area har den vita kvadraten som passar i det övre högra hörnet?

b) Vilken blir den nya ekvationen, när man adderat den vita kvadraten t i l l den gula figuren?

c) Hur kan VL i den nya ekvationen skrivas om med hjälp av kvadreringsregeln?

d) Lös ekvationen.

NIVÅ 2

2142 Två på varandra följande jämna positiva heltal har produkten k(k + 2). Vilka är heltalen om produkten är 168?

2143 Lös ekvationerna. Svara exakt.

a) x 2 - 12x + 8 = 0

b) 2 X 2 - 8x + 10 = 0

c) 5 X 2 - 10x= 15

2144 Lös ekvationen

2 X 2 + 7x + 5 = x(x + 3) + 17

2145 Bestäm triangelns sidor. (cm)

2146 Ett papper av formatet A5 har formen av en rektangel där ena sidan är 62 mm längre än den andra. Arean är 31 250 mm 2 . Vilka måt har ett A5?

2147 Bosse och Helena löser ekvationen x 2 + 12x+3 = 0 med hjälp av kvadratkomplettering. Bosse inleder med att subtrahera från båda led, medan Helena inleder med al addera 33 t i l l båda led. Förklara hur Bosse och Helena kan ha tänkt när de inleder sina lösningar på dessa olika sätt.

N I V Å 3

2148 Låt x - 1, x och x + 1 vara tre positiva heltal Produkten av dem är fem gånger så stor sor, deras summa. Vilka är de tre talen?

2149 Bestäm triangelns area. (cm)

y + 1 0 / W + 12

Resonemang och begrepp

O Är 4i ett imaginärt eller ett komplext tal?

Q Vad är skillnaden mellan ett reellt tal och ett komplext tal och vad som är skillnaden mellan ett rent imaginärt tal och ett komplext tal.

O Varför kan uttrycket x2 + ix + 1 faktoriseras med kvadreringsregeln, men inte uttrycket x2 - 2 X - 1?

O Förklara bakgrunden till namnet på metoden kvadratkomplettering.

O Ekvationen x 2 + 8x = 153 går bra att lösa med hjälp av modellen med kvadrater på sidan 48. Varför är x2 - 8x = 153 svårare att lösa med samma modell?

50 A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R 8 2 . 1 E N K L A A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R

Page 50: Matematik Origo 2b

2 . 2 F u l l s t ä n d i g a a n d r a g r a d s e k v a t i o n e r

Halva koefficienten framför x med ombytt tecken

Roten ur halva koefficienten framför x i kvadrat minus

konstanttermen _ J

pq-formeln En vanlig metod för att lösa andragradsekvationer är att använda den så kallade pq-formeln. Med hjälp av formeln kan vi lösa alla andragradsekvationer. Men pq-formeln är bara en av flera metoder för att lösa andragradsekvationer. Det är viktigt att man skapar en förståelse för olika lösningsmetoder, så att man kan välja den metod som passar bäst för uppgiften.

pq-formeln

En andragradsekvation av formen x2 + px + q - 0 har lösningarna

| j 2 - g och * 2 = ~ ^ - -q

Ekvationen x2 + lOx - 11 = 0 har alltså lösningarna

irj l / i o \ 2

+ 11 = - 5 ± V52+ 11 = -5 ± V36 = -5 ± 6 11. Rötterna är därmed x, = -5 + 6 = 1 och x2 = -5 - 6

Härledning av pq-formeln V i härleder formeln med hjälp av kvadratkomplettering. Som jämförelse löser vi även ekvationen x2 + 3x + 1 = 0 med kvadratkomplettering.

x2 + 3x + 1 = 0

x2 + 3x = - 1

(3 \ 2 / 3 \ 2

x2 + 3x + - 1

* + r ±

2l

x2 + px + q = 0

x2 + px = -q

x2+px+ j | £ \ 2

2

± 2

P^2

p\2 2

Subtrahera med konstant-termen i båda leden

Addera med | J2 så

att VL blir en kvadrat

•q Skriv om VL med kvadreringsregeln

Lös ut x ur uttrycket

Vi har visat att pq-formeln gäller

För att pq-formeln ska kunna användas, måste ekvationen ha formen x2 + px + q — 0. Koefficienten framför x2 ska alltså vara 1 och HL = 0. Ekvationer som inte är av den formen måste först skrivas om innan man kan använda pq-formeln. Till exempel går formeln att använda direkt på ekvationen x2 - 6,5x- 75 - 0. Ekvationen 2x 2 = 3x + 6 måste däremot skrivas om.

A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R O 2 . 2 F U L L S T Ä N D I G A A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R 51

Page 51: Matematik Origo 2b

E x e m p e l :

lösning:

Lös ekvationerna

a) x 2 - 8 x + 7 = 0 b) x2 + 3x + 2 = 0

Vi löser ekvationerna med pq-formeln

a) x2 - 8x + 7 = 0 Jämför med x 2 + px + q = 0

Halva koefficienten framför Roten ur halva koefficienten framför x med ombytt tecken x i kvadrat minus konstanttermen

x = 4 ± V42 - 7

x = 4 ± V9

x = 4 ± 3

Svar: Xj = 7; x 2 = 1

b) x2 + 3x + 2 = 0

V4 2 - 7 = V I L W = V9

Vi får två rötter

4 + 3 = 7 och x 2 = 4 - 3 = 1

i i Halva koefficienten framför Roten ur halva koefficienten framför

x med ombytt tecken x i kvadrat minus konstanttermen

2 U

3 + 1

2 2 3 1

4 4 4 4

= - 1 och Xo= — — — — = —2 2 2

Svar: x. - l ; x 2

E x e m p e l :

Lösning.-

Lös ekvationen 2x 2 + 40x :

2 X 2 + 40x = 88

2 X 2 + 40x - 88 = 0

x 2 + 20x-44 = 0

x = - 1 0 ± V l 0 2 + 44

x = -10 ± A[144

Subtrahera båda led med 88

Dividera båda leden med 2 så att pq-formeln kan användas

Använd pq-formeln

20 ,f/20\2 T f y + 4 4

X ! = -10 +12 = 2 och x 2

144 = 12

10-12 -22

Svar: xx = 2; x 2 = -22

52 A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R O 2 . 2 F U L L S T Ä N D I G A A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R

Page 52: Matematik Origo 2b

E x e m p e l : Fatima tävlar i spjutkastning. Kastets höjd beskrivs av h(t) = -3f2 + 9r + 1,8 där h(t) är höjden i meter och t är tiden i sekunder från utkastet. Hur länge befinner sig spjutet i luffen?

lösning: När spjutet landar är h = 0. V i behöver alltså lösa ekvationen h(t) - 0.

— 3 r + 9t+ 1,8 = 0 Dividera båda leden med -3, så att pq-formeln kan användas

-3t2 + 9t+ 1,8 _ 0 - 3 ~ - 3

f 2 - 3 f - 0 , 6 = 0

t = 1,5 ± Vl ,5 2 + 0,6 pq-formeln

Lösningen t»1,5 - 1,7 är negativ, den förkastas

r = 1,5 ± VZ85

r = 1,5 ± 1,7

f=3,2

Svar: Spjutet är i luften i ungefär 3,2 sekunder. Å

NIVÅ 1

2201 Olle löser ekvationen x2 - 8x - 9 = 0 med pö-formeln och kommer fram t i l l uttrycket x - 4 ± A/25 . Vilka är ekvationens rötter?

Lös ekvationerna

2202 a) x2 + 4x-21 = 0

b) x 2 - 6 x - 5 5 = 0

c) x2- \4x+ 13 = 0

2203 a) f2 + 7 r + 6 = 0

b) s2 + s - 1 2 = 0

c) v 2 + 3 v - 4 = 0

Lös ekvationerna. Svara exakt.

2204 a) x2 = 8x + 20

b) 2x2 + 24x - 266 = 0

c) 3 x 2 - 1 2 x - 2 4 = 0

2205 a) y 2 - lOy + 23 = 0

b) 2 I 2 - lOt-t- 10 = 0

c) 3s + 4 = s2

2206 Vilka ekvationer hör ihop?

A x 2 + 8 x - 9 = 0 1 ( x - 9 ) ( x + l ) = 0

B x 2 - 14x + 49 = 0 2 ( x + 9 ) ( x - l ) = 0

C x 2 - 8 x - 9 = 0 3 ( x - 7 ) 2 = 0

2207 En boll kastas nedåt från ett torn. Höjden h{t) meter över marken t sekunder efter kastet gesavh(r) = 155- \5t-5t2.

a) Från vilken höjd kastades bollen?

b) Vilket är värdet på h när bollen slår i marken?

c) Hur lång t id tar det för bollen att nå marken?

NIVÅ 2

2208 Två positiva tal med differensen 4, har produkten 96. Vilka är talen?

2209 Lös ekvationerna

a) ( x - 2 ) ( x - 1) = 12

b) — = 4 x - 9 3

c) 4x 2 + 15 = x 2 + 18x

A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R O 2 , 2 F U L L S T Ä N D I G A A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R 53

Page 53: Matematik Origo 2b

2210 I en rektangel är höjden 7 cm kortare än basen. Bestäm rektangelns omkrets, om dess area är 40 cm 2 .

2211 Ekvationen y = 1,7 + x - 0, l x 2 beskriver Annas stöt med kula, där y är kulans höjd i meter då den har färdats x meter horisontellt.

a) Hur högt håller Anna kulan när hon stöter iväg den?

b) Hur långt stöter hon?

2212 Begränsningsarean av en rak cirkulär cylinder beräknas med formeln A = Inr1 + 2nrh. Bestäm r, om A = 300 cm 2 och h = 10 cm.

NIVÅ 3

2213 Lös ekvationen x4 - 20X2 + 19 = 0. Börja med att sätta x2 = t.

2214 Ammar ska lägga klinker kring sin 4 x 8 meter stora pool. Han har 58 m 2 klinker och klinkergången ska vara lika bred överallt. Beräkna bredden på klinkergången om allt klinker går åt.

2215 Det finns två samband mellan rötterna t i l l ei andragradsekvation och koefficienterna ti l l ekvationen.

Om X ) och x 2 är lösningar t i l l ekvationen x 2 + px + q = 0, så är x{ + x 2 = —p och x, • x 2 = q

Visa att

a) x, + x 2 = -p

b) x, • x 2 = q

I många länder används den så kallade abc-formeln i stället för pq-formeln, när man löser andragradsekvationer. Den formeln säger att ekvationen ox 2 + bx + c = 0 har

2216

lösningarna x : -b±<b2 4ac

2a

2217

Bevisa att formeln ger ekvationens lösningar.

Max har upptäckt att om q är negativt i ekvationen x 2 + px + q = 0, så är alltid den ena roten positiv och den andra negativ. Han kan inte riktigt förstå varför det blir så, men Mol-lie säger att det är enkelt. Hjälp Mollie att för klara för Max varför hans upptäckt stämmer.

54 A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R O 2 . 2 F U L L S T Ä N D I G A A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R

Page 54: Matematik Origo 2b

Ekvationens rötter

Antal lösningar t i l l en andragradsekvation Vi har sett att en andragradsekvation x2 + px + q = 0 har lösningarna

• H s r - « «* * - s

Diskriminant Uttrycket q under rottecknet i pq-formeln kallas ekvationens

diskriminant. Med hjälp av diskriminantens värde kan man se om ekvationen har två reella lösningar, en reell lösning eller om reella lösningar saknas.

Två lösningar Ekvationen x2 - 6x + 5 = 0 har lösningarna

6 6 x, = —+

2

' 6 \ 2

, 2 / ' 5 = 5 och x, - 5 = 1

Ekvationen har alltså två reella rötter.

6\ 2

Diskriminanten är här — \2

5 = 4 > 0 .

Det gäller alltid att om diskriminanten är positiv,

dvs. | ^ J - q > 0, så har ekvationen två reella g lösningar.

En lösning Ekvationen x 2 - 6x + 9 = 0 har lösningen

x = ^ ± ^ | | ) 2 - 9 = 3 ± V 3 2 - 9 = 3 ± 0 = 3

Alltså endast en lösning, en så kallad dubbelrot. I6\2

Diskriminanten t i l l ekvationen är — - 9 = 0. 1 2 /

Om diskriminanten är 0, så har ekvationen en enda reell rot.

A \ j i |—)

r 1 y = * 6 < + bl

i . A 1 \ X

\ /

\

Ekvatio har tve

ie r

I X 2 -;ella

6x+ 5 ösning;

= C r

/ l _ Y~ X s~

i _ 1 X

\ : s

Ekvationen x 2 - Bx + 9 = D har endast en reell lösning

Ingen reell lösning Försöker vi lösa ekvationen x 2 - 4x + 5 = 0 med

pq-formeln, så får vi

4 ,21

5=2±4-[

Eftersom vi får ett negativt tal under rottecknet, så saknar ekvationen reella rötter.

-1 < 0.

"T 1 X 2 l + 5

\

1- X \

1 7 t

r i Ekvationen x 2 - 4x + 5 = 0

saknar reella lösningar Diskriminanten är I — ] - 5

En ekvation med negativ diskriminant saknar reella rötter.

Man kan ändå ange rötter t i l l ekvationen genom att använda komplexa tal. Ekvationen x 2 - 4x + 5 = 0 har de två imaginära rötterna x = 2 + i och x = 2 - i.

A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R O 2 . 2 F U L L S T Ä N D I G A A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R 55

Page 55: Matematik Origo 2b

E x e m p e l : Utgå från andragradsekvationen x2 - 6x + 8 = 0

a) Bestäm diskriminanten och avgör hur många lösningar ekvationen har.

b) Rita grafen till fix) = x2 - 6x + 8. Hur många nollställen har funktionen/?

Lösning: a) Jämför ekvationen x2 - 6x + 8 = 0 med x2 + px + q = 0. Här motsvarar p = -6 och q = 8. V i beräknar diskriminanten

p\2 l-6\2

- ' -<?= — - 8 = 9 - 8 = 1 > 0

Diskriminantens värde är positivt. Ekvationen har därför två lösningar.

b) Vi ritar grafen på räknaren och ser att funktionen/har två nollställen.

i 1

NIVÅ 1

2218 Bestäm ekvationernas rötter. Avgör också om diskriminanterna t i l l ekvationerna är större eller mindre än noll.

a ) x 2 - 9 = 0 b ) x 2 + 1 6 = 0

2219 Beräkna diskriminanten och avgör hur många lösningar ekvationerna har. Du behöver inte lösa ekvationen.

a) x2-^ 18x + 40 = 0 b) x2 + 2x + 1 = 0

2220 För vilka värden på a har ekvationen x2 + 6x + a = 0

a) två reella rötter

b) en reell dubbelrot

c) inga reella rötter

2221 Ange en andragradsekvation som 0 a) har två reella lösningar

b) saknar reell lösning

c) Rita grafen till motsvarande andragradsfunktioner och jämför antalet nollställen med antalet reella lösningar t i l l ekvationen.

NIVÅ 2

2222 Gina löser ekvationen -x2 + Ax + 5 = 0 och ser att ekvationen har två rötter. Men när hon försöker beräkna värdet av diskriminanten så får hon

som är negativt. Det tyder på att ekvationen saknar reella lösningar. Hon ber Tommy om hjälp för att upptäcka vad som är fel.

a) Bestäm ekvationens rötter.

b) Hjälp Gina och Tommy att upptäcka felet vid beräkningen av diskriminanten.

2223 Ange värdet på a så att ekvationen x2 + ax + 18 = 0 får lösningarna xx = 3 och x2 = 6.

2224 För vilka värden på den reella koefficienten a har ekvationen x2 + ax + 10 = 0

a) två reella rötter

b) en reell, så kallad dubbelrot

c) inga reella rötter

5 6 A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R O 2 . 2 F U L L S T Ä N D I G A A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R

Page 56: Matematik Origo 2b

Parabel

Minimipunkt

Symmetri

Symmetrilinje

Extrempunkter

Största/minsta värde

Andragradsfunktioner! och grafen I förra kapitlet löste du andragradsekvationer grafiskt. Det gjorde du genom att först rita grafen t i l l en andragradsfunktion och sedan läsa av lösningarna som nollställen t i l l funktionen. I det här avsnittet ska vi undersöka några andra egenskaper hos andragradsfunktioner.

Den enklaste andragradsfunktionen/ges av f(x) = x2. Grafen y = f(x) syns här bredvid. Formen på grafen kallas parabel.

Vi ser att grafen har en minimipunkt i origo. Funktionen har alltså ett minsta värde då x = 0. Funktionsvärdet för/(x) = x2 blir aldrig negativt. Det beror på att x2 > 0 för alla x.

> }— / =

i

/ /

/ X N

/ 1 7

Mir

11 imip inst;

unkt = värde

(0,0) = 0

Grafen t i l l / (x ) = x2 är symmetrisk kring y-axeln, det vi l l säga grafens högra halva är en spegelbild av den vänstra. Eftersom t i l l exempel/(2) = 2 2 — 4 och f{-2) = ( -2 ) 2 = 4, så blir funktionsvärdet detsamma för x = a och x = -a oavsett värdet på a.

En graf t i l l en andragradsfunktion är alltid symmetrisk kring en lodrät linje parallell med y-axeln. Den linjen kallas symmetrilinje. Grafens minimi- eller maximipunkt ligger på symmetri-linjen.

fl-3) =; • i 1 «3) = 9 fl-3) =; 1 / n> «3) = 9 \y X7

fl-2) = 4 f(2) = 4 fl-2) = 4 f(2) = 4 /

M N

1 /

Symmetrilinje

Maximipunkt

Nollställen

Ett samlingsnamn för minimi- och maximipunkter är extrempunkter. I extrempunkten antar andragradsfunktionen antingen sitt största eller sitt minsta värde.

Koefficienten framför jr-termen avgör om grafen har en minimi- eller en maximipunkt. Om koefficienten är positiv, som i y - x2 - 3, så har funktionen ett minsta värde. Om den är negativ, som i y = -Ix2 - 1, så har den ett största värde.

Ny 1- 1 1-

-V t K

Maximipunkt Största värde = -1 / K

Maximipunkt Största värde = -1

/ -*

/ I / y 1 j —

\ / \ Minimipunkt

Minsta värde = -3

ANDRAGRADSEKVATIONER O 2.2 FULLSTÄNDIGA ANDRAGRADSEKVATIONER 57

Page 57: Matematik Origo 2b

At t b e s t ä m m a s y m m e t r i h n j e n

Även om funktionen <2 + px + q saknar nollställen, fix)-

har den symmetrilinjen x = - ^.

T.ex. har grafen till alla funktioner f[x) = x 2 - Gx + q symmetrilinjen

x = 3. Värdet på q förskjuter bara grafen vertikalt och påverkar

därmed inte symmetrilinjen.

Eftersom grafen t i l l en andragradsfunktion är symmetrisk kring en linje parallell med y-axeln, så kommer symmetrilinjen att ligga mitt emellan eventuella nollställen t i l l funktionen. Säg att vi vi l l bestämma symmetrilinjen t i l l andragradsfunktionen/(x) = x2 + 2x - 3. Lösningen ti l l ekvationen x2 + 2x - 3 = 0 ger funktionens nollställen:

t ) ' / i 1

\ 1 i ' r m n j e

\ bymmer r m n j e

\ 1 _ _ / 1 /

X s

/ )

y = X 2 + 2> 3 /

x = - l ± Vi2 + 3 = - 1 ± 2

x, = -3 och x 2 = 1

Mit t emellan nollställena xx och x 2 hittar v i symmetrilinjen x s y m m e t r i

x, + x, -3 + 1 v s y m m e t n - 1

Sammanfaller med värdet av - ^

Andragradsfunktion

En funktion/av formen/(x) = ax2 + bx+ c, där a * 0, kallas andragradsfunktion.

Funktionen har ett minsta värde om a > 0 och ett största värde om a < 0.

De värden på x för vilka/(x) = 0 är funktionens nollställen.

Symmetrilinjen t i l l en andragradsfunktion ligger mitt emellan funktionens nollställen.

En andragradsfunktion antar sitt största eller minsta värde på symmetrilinjen.

E x e m p e l :

lösning:

Figuren visar grafen t i l l en andragradsfunktion. Bestäm

a) funktionens nollställen

b) grafens minimipunkt

c) grafens symmetrilinje

/ \ )

\y = / (x

u . / i /

X \

Å ?

a) Funktionens nollställen ges av lösningarna t i l l ekvationen/(x) = 0, det vil l säga av grafens skärningspunkter med x-axeln. Avläsning ger nollställena x = -5 och x = 1.

b) Avläsning ger att grafens minimipunkt har koordinaterna (—2, —5).

c) Symmetrilinjen är en lodrät linje genom andragradsfunktionens extrempunkt. Alltså den lodräta linjen genom x = -2 .

5 8 A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R O 2 . 2 F U L L S T Ä N D I G A A N D R A G R A D S E k V A T I O N E R

Page 58: Matematik Origo 2b

Exempel: a) Bestäm symmetr i l in je och extrempunktens karaktär t i l l f u n k t i o n e n

som ges av/[x) = - 0 , 5 x 2 - x + 2

b) Rita grafen t i l l / ( x ) = -0 .5X 2 - x + 2 för hand.

lösning: a) Eftersom koefficienten framför x^-termen är negativ, har f u n k t i o n e n

en m a x i m i p u n k t .

V i bestämmer först funkt ionens nollställen. Symmetr i l in jen ligger

m i t t emellan nollställena.

-0,5x2 - x + 2 = 0

x 2 + 2x - 4 = 0

x = - l ± V i 2 + 4 = - 1 ± V5

Delar båda led med -0,5

Löser ekvationen med pq-formeln

Symmetr i l in jen ligger m i t t emellan xx = - 1 + V5 och x 2 = - 1 - V5.

Det innebär att s y m m e t r i l i n j e n är x s y m m e t r i = - 1 .

b ) V i r i tar grafen m e d hjälp av värdetabell och väljer fem punkter r u n t

x = - 1 , som är grafens symmetr i l in je .

X y -3 0,5

-2 2

- 1 2,5

0 2

1 0.5

Maximipunkten ligger på symmetrilinjen

-M etrilinje

I

1 X N ; ?

Exempel: Bestäm minsta värdet t i l l f u n k t i o n e n som ges av/(x) = x 2 + 6x + 5.

Lösning: V i väljer att lösa uppgif ten m e d grafritande räknare. För att r i ta grafen

trycker v i [ ] och skriver därefter x 2 + 6x + 5. Avsluta med ( ).

Sedan trycker v i och väljer 3 : (Ti i. n i. m u m . Räknaren fråga r

"Left bound?"Markera m e d hjälp av piltangenterna en p u n k t t i l l vänster o m

m i n i m i p u n k t e n och tryck [ ). Räknaren frågar "Right bound?" Markera

med hjälp av piltangenterna en p u n k t t i l l höger o m m i n i m i p u n k t e n och

tryck [ j igen. Räknaren frågar "Guess?"

Markera m e d hjälp av piltangenterna en

p u n k t så nära m i n i m i p u n k t e n som möjligt

och tryck [ ), se räknarfönstret. Räkna

ren visar Mtntrnurri!*I = - 3 Y = --4 , som

är funktionens m i n i m i p u n k t .

Svar: M i n s t a värde är - 4 .

i

v

Minimum

ANDRAGRADSEKVATIONER O 2.2 FULLSTÄNDIGA ANDRAGRADSEKVATIONER 59

Page 59: Matematik Origo 2b

Exempel: Bestäm symmetrilinjen t i l l funktionen som ges av/(x) = x2 -4x+ 13

Lösning: Symmetrilinjen ligger mitt emellan funktionens nollställen. Vi bestämmer nollställena genom att lösa andragradsekvationen

~2 - 4 x + 13 = 0

Med pq-formeln X= 2 ± V4 - 13

x = 2 ± \ ^ 9

Som vi ser saknar funktionen nollställen. Men funktionen f(x) — x2 - Ax + 13 kommer att ha samma symmetrilinje som t.ex. g{x) - x2 -Ax. Konstanttermen förskjuter ju endast grafen i y-led. Funktionen g(x) = x2 - Ax = x(x - 4 ) har nollställena x - 0 och x - A. Symmetrilinjen x s m m e t r i är därför

0 + 4 „ o ^symmetri = = 2 Jämför med - |

Svar: Funktionen/(x) = x 2 - 4 x + 13 har symmetrilinjen x = 2.

NIVA 1

2225 En andragradsfunktion ges av f[x) = 2x2-3x+7. Bestäm

a) f{5)

b) f{-3)

2226 Figuren visar grafen t i l l en andragradsfunktion.

Bestäm

a) f(2)

b) koordinaterna för grafens extrempunkt

c) funktionens nollställen

d) lösningarna t i l l ekvationen/(x) = 3

2227 Avgör om grafens extrempunkt är en minimi - eller en maximipunkt.

a) f[x) = 3x2 + 8

b) f{x) = 7-^

c) fix) =-2-3x2

2228 Vilken funktion hör ihop med vilken graf?

1 / ( x ) = x 2 - 3

2 / ( x ) = x 2 + 3

3 fix) = 2 x 2 - 3

4 f{x)=-x2-3

v

\ j r | 1 X

\ 1 X \ /

, /

/ \ \ / \ / \

6 0 A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R O 2 . 2 F U L L S T Ä N D I G A A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R

Page 60: Matematik Origo 2b

2229 Grafen t i l l en andragradsfunktion har maximipunkt i (2,4) och nollställen för x = - 1 och x = 5. Skissa grafen.

2230 Avgör om funktionerna /, g och h har ett största eller minsta värde och ange det.

a) fix) = x 2 - 4

b) gix) = 2 X 2

c) h(x) = 3-x2

2231 Bestäm symmetrilinjen ti l l funktionerna

a) f(x) = 2x2 + 7x+l

b) fix) = - x 2 - 6x + 5

c) f[x) = x2 - 3x + 4

2232 Ange koordinaterna för grafens extrempunkt, och avgör om det är en minimi- eller maximipunkt.

a) fix) = 7x2+\2

b) / (*) = = y - + 5

c) fix) = -5 + 0.3X2

2233 För en andragradsfunktion gäller att • funktionens graf skär x-axeln för x = —2

och x = 4 • x 2-termen är negativ

a) Rita ett koordinatsystem och markera de punkter där grafen skär x-axeln.

b) För vilket x-värde har funktionen sitt största eller minsta värde?

c) Skissa i koordinatsystemet hur funktionens graf kan se ut.

(Np MaB vt 1998)

2234 Bestäm extrempunkten och dess karaktär t i l l funktionerna

a) /(x) = x 2 - 20x + 125

b) gix) = - x 2 - 2x + 6

c) hix) =-3x2 + 18x-27

NIVÅ 2

2235 För en andragradsfunktion /gäl ler att /(2) =/(4) = 4 och att det minsta värdet är 3. Skissa grafen.

2236 Ge exempel på en andragradsfunktion där ö grafen har en maximipunkt i

a) (0,4) b) (0,-0,5) c) origo

2237 En nyårsraket har en rörelsebana som beskrivs av funktionsuttrycket hit) = -Ar1 + 2At + 1, där hit) är höjden i meter efter t sekunder. Vilken blir raketens högsta höjd?

2238 Åsa vill göra ett inhägnat trädgårdsland mot en tegelmur. Hur stor kan arean maximalt bl i , om landet ska vara rektangulärt och Åsa har ett 16 meter långt staket att sätta upp

• • • • • k

2239 Martin ska tillverka och sälja fågelholkar. Han vet att priset påverkar hur många holkar han kan sälja och därmed också vinsten. För att kunna sätta ett rimligt pris använder han vinstfunktionen V med

V(x) = 7 0 x - 0 , 2 5 x 2 - 3 150

där x är priset per holk och V(x) är den vinst han kan beräknas göra om han kan sälja alla holkar han tillverkar.

a) Vad ska han sätta för pris på holkarna för att få maximal vinst?

b) Hur stor blir den maximala vinsten?

A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R O 2 . 2 F U L L S T Ä N D I G A A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R 6 l

Page 61: Matematik Origo 2b

2240 Bestäm en formel för andragradsfunktioner-na som anges av värdetabellerna.

a) X y b ) x y

-2 9 -10 -10

-1 6 - 5 -2,5

0 5 0 0

1 6 5 -2,5

2 9 10 -10

2241 Rita grafen t i l l y = x2 - 3 för hand eller på räknaren.

a) Undersök hur grafen förändras om man ersätter x med x - 1.

b) Undersök hur grafen förändras om man ersätter x med x + 1.

NIVÅ 3

2242 Vid ett växtodlingsförsök undersökte man avkastningen av korn som funktion av mängden kväve som tillfördes på en försöksyta. Den produktionsfunktion/man fann kunde skrivas/(x) = 3 270 + 18,9x- 0,058x2, där /(x) är avkastningen av korn i tusentals kg och x är tillsatsen av kväve i kg.

a) Rita grafen t i l l produktionsfunktionen.

b) Hur stor var den maximala avkastningen?

2243 Ett företags vinst, y miljoner kronor, varierai med hur många enheter de säljer av sin produkt. Om företaget säljer x tusen enheter ges vinsten av y = -O.OSx2 + 0,55x - 0,5 för 0 < x < 11. Hur stor är företagets maximala vinst?

2244 Ragnar ska kasta in en fil t i l l Sickan, som är på andra sidan av ett 5 meter högt staket. Ragnars bästa kast beskrivs av modellen h(s) = 2,0 + 3,3s - 0,75s2 där h(s) meter är kastets höjd efter s meter horisontell rörelse. Hur långt från staketet ska Ragnar stå för att lyckas kasta över filen t i l l Sickan?

2245 Kristrun ska sälja glass vid stranden en sommar. Inköpspriset är 3 kr per glass. Hon räknar med att sälja x stycken glassar per dag, där x beror av försäljningspriset a kr enligt formeln x = 300 - 15a. Vilket pris ska Kristrun sätta på glassarna för att maximera sin vinst?

2246 Visa att funktionen/(x) = x2 + px + q har

minsta värdet - — + q.

2247 Vilken är extrempunkten t i l l funktionen son ges av/(x) = ax2 + bx+ c och vilken typ av extrempunkt är det?

Resonemang och begrepp

O Vad är skillnaden mellan en andragradsekvation och en andragradsfunktion?

O Vilken är pq-formelns främsta fördel? Jämför betydelsen av att kunna lösa andragradsekvationer med hjälp av pq-formeln i dag jämfört med för t.ex. 30 år sedan.

O Varför har andragradsfunktioner av formeny = ax2 + c alltid en extrempunkt i (0, c)?

O Hur påverkar värdet av koefficienten a grafen t i l l funktioneny = ax2?

O Förklara hur man utifrån diskriminanten kan avgöra antalet rötter t i l l en andragradsekvation.

O Ge en förklaring t i l l varför grafen t i l l en andragradsfunktion alltid är symmetrisk.

O Hur kan man veta a t t y = x 2 - 6x + 10 och y = x 2 - 6x - 7 har samma symmetrilinje?

62 A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R O 2 . 2 F U L L S T Ä N D I G A A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R

Page 62: Matematik Origo 2b

En oväntad situation inträffar i trafiken och tvingar en bilförare att stanna på så kort t id som möjligt. Stoppsträckan kan delas in i två delar:

stoppsträcka = reaktionssträcka + bromssträcka

Reaktionssträckan är den sträcka som bilen färdas innan föraren börjar bromsa, dvs. den tid det tar att uppfatta faran, fatta beslutet att bromsa och flytta foten ti l l bromspedalen. Bromssträckan är den sträcka som bilen färdas under själva inbromsningen. Summan av de två sträckorna kallas stoppsträckan.

Reaktionssträckan är direkt proportionell mot bilens hastighet, medan bromssträckan är proportionell mot kvadraten av hastigheten. Martin kör med hastigheten v km/h och under vissa förutsättningar kan en modell för att beräkna stoppsträckan s meter vara s = 0,3v + 0,01v2.

• Beräkna stoppsträckan om Martin färdas i 30 km/h, 50 km/h respektive 70 km/h.

• När Martin är ute och kör på en landsväg kommer en älgko med två kalvar upp på vägen ca 150 meter framför bilen. Med vilken hastighet kan Martin högst färdas, om han ska hinna stanna framför älgarna?

• Martins granne är en eftermiddag ute och kör bil. En modell för stoppsträckan är då s = 0,7v + 0,01 v 2 . Nämn några tänkbara skäl t i l l skillnaden mellan modellerna.

• Martin räknar med att om det börjar regna, så kommer stoppsträckan att fördubblas när han färdas i 70 km/h, jämfört med stoppsträckan som ges av s = 0,3v + 0,01 v 2. Bestäm en modell på formen s = av + bv1, som kan användas för att beräkna Martins stoppsträcka om det börjar regna. Reaktionssträckan är oförändrad.

• Martin har hört sägas att om väglaget är torrt och om hastigheten ökar med 10 km/h, så ökar stoppsträckan med motsvarande ungefär 20 % av talet som anger hastigheten i kilometer i timmen. Undersök om det stämmer.

A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R O n - U P P G I F T 63

Page 63: Matematik Origo 2b

Ekvationer av högre grad Matematisk duell I början av 1500-talet arbetade flera italienska matematiker med att finna fullständiga lösningar t i l l den allmänna tredjegradsekvationen, det vill säga t i l l en ekvation av formen ax 3 + bx2 + cx + d = 0. Några av dem var Cardano, Ferro och Tartaglia. I olika omgångar lyckades de. Arbetet var inte problemfritt. De samarbetade absolut inte och blev ofta oense om vem som upptäckt vad. På den tiden var det viktigt att hålla sina resultat hemliga, för att sedan kunna trumfa med dem i rätt ögonblick. Ferro var den förste att lösa en ekvation av typen x 3 + px - q omkring år 1515. Han gav lösningen t i l l sina elever vid universitetet i Bologna under tystnads-löfte. Så var nämligen den pytagoreiska traditionen.

Samtidigt arbetade Tartaglia med lösningen på en ekvation av typen x 3 + px 2 = q och långt senare, år 1535, annonserade han att han hade hittat lösningen. En av Ferros elever, Fiore, som hade fått lösningsmetoden av Ferro, antog att det bara var tomt skryt från Tartaglias sida och utmanade honom på en matematisk duell. Deltagarna skulle ge varandra 30 problem att lösa på kortast tid. Duellen ägde rum i Venedig samma år. Under de 50 dagar som duellen pågick lyckades Tartaglia lösa ekvationer av Ferros typ. Fiore kunde däremot inte hitta lösningen till de problem som krävde Tartaglias lösning. Det hela blev mycket förnedrande för Fiore.

Då blev Cardano intresserad. Han hade nämligen bestämt sig för att skriva ett matematiskt verk och fick, mot tystnadslöfte, reda på lösningen från Tartaglia. Cardano svek Tartaglia och offentliggjorde lösningsmetoden år 1545 i sin bok Ars Magna. I den utvecklar Cardano lösningarna och inför även imaginära tal. Där nämns också Ferro som den förste att lösa tredjegradsekvationer av formen ox 3 + bx2 + cx + d = 0.

Ekvationer av grad 4 och högre Ferrari, som var Cardanos elev, visade sedan fjärdegradsekvationens lösning när han var endast 23 år gammal. Han omvandlade fjärdegrads-ekvationer t i l l tredjegradsekvationer, vars lösning ju redan var känd. Även lösningsmetoden för fjärdegradsekvationer presenterades i Ars Magna.

Dessa upptäcker var betydelsefulla och banade väg för nya upptäckter inom matematiken. Emellertid lyckades man inte hitta någon lösning ti l l den allmänna femtegradsekvationen. År 1824 bevisade norrmannen Abel att det inte finns någon allmän lösning t i l l femtegradsekvationer. Det beviset får även tillskrivas fransmannen Galois. Både Abel och Galois dog unga, men hann ändå presentera en rad viktiga resultat. Abel dog i tuberkulos vid 26 års ålder i april 1829. Galois dödades i en framprovoce-rad duell om en flicka i maj 1832, endast 20 år gammal. Natten innan duellen tecknade han ner flera av sina matematiska resultat.

Page 64: Matematik Origo 2b

GRAFEN T I L L EN ANDRAGRADSFUNKTION

Din uppgift är ett ta reda på hur grafen t i l l en andragradsfunktion/påverkas av värdet av faktorn b i funktionsuttrycket f[x) = x2 + bx.

Rita graferna y = x2,y-x2+x och y = x2-xpå räknaren.

Gissa hur grafen y = x2 + 2x ser ut. Rita därefter grafen på räknaren.

Rita grafen t i l l y = x2 + bx för några olika värden på b. Fundera varje gång på hur grafen kommer att se ut innan du ritar grafen. Vilken betydelse har faktorn b för grafens utseende?

SYMMETRILINJE OCH E X T R E M P U N K T

Rita graferna t i l l

y = ( x - l ) 2 + 2 y = ( x + l ) 2 + 2

y = ( x - 3 ) 2 + 2 - å r -

Bestäm symmetrilinjen och minimivärdet för var och en av graferna

Rita sedan grafen ti l l y - (x - a)2 + b för ytterligare några värden på a och b.

Vad kan du säga om symmetrilinjen och minimivärdet? Förklara.

Förklara hur man kan gå t i l l väga för att snabbt hitta en funktion med maximipunkten i (2, 3)?

DAGENS LÄNGD

I en almanacka finns tider för hur länge solen är uppe. Tabellen här nedanför visar dagens längd i Stockholm under sommarhalvåret. Med hjälp av en andragradsfunktion kan man skapa en modell för hur dagens längd beror av tiden i dagar efter nyår.

Datum 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9

Dag nr 91 121 152 182 213 244

Tid uppe (h) 13,2 15,8 18,0 18,4 16,6 14,1

Sätt dagens nummer t i l l x, dagens längd t i l l y och anpassa med hjälp av räknaren en andragradsfunktion till dina värden. Tryck och välj 1: E d i t. Lägg in x-värdena under lista L! och y-värdena under lista L 2 . Anpassa funktionen genom att trycka STAT , gå t i l l CALC-menyn och

välja 5 :QuadReg. Tryck sedan [ ] Ll L2

Hur länge är solen uppe på valborgsmässoafton enligt denna modell?

Vilken är årets längsta dag enligt modellen?

Diskutera hur pass väl modellen beskriver dagens längd. Gäller den andra orter i Sverige? Kan den anpassas t i l l att också beskriva dagens längd under vinterhalvåret?

A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R O P R O B L E M OCH U N D E R S Ö K N I N G A R 65

Page 65: Matematik Origo 2b

I Algebra

Algebraiska uttryck • uttryck i parenteser

• kvadreringsreglerna

• konjugatregeln

• faktorisering av uttryck

Andragrad sfunkti oner • f{x) = ax2 + bx + c, där a * 0

• om o > 0 har funktionen ett minsta värde

• om o < 0 har funktionen ett största värde

• grafen är en parabel

• grafen har extrempunkt: maximi- eller minimipunkt

• grafen har symmetrilinje

• extrempunkten ligger på symmetrilinjen

• funktionen har nollställen för f(x) = 0

• nollställena till funktionen far rötterna till ekvationen ax2 + bx + c = 0

t Syr

/ i Syr nmetrilinje i Syr nmetrilinje

i _ i d N

V 7

j r Nollställen

T V Minimipunkt

i i i i i i Minimipunkt

i i i i i i

Andragradsekvationer • ax2 + bx + c = 0, där o * 0

• faktorisering

• pq-formeln

• kvadratkomplettering

• grafisk lösning

• 2,1 eller 0 reella rötter

• icke-reella rötter

Komplexa tal • imaginära enheten

• /'2 = -1

• alla reella tal är också komplexa tal

• lösning till alla andragradsekvationer

66 A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R © T A N K E K A R T A

Page 66: Matematik Origo 2b

NIVÅ 1

Lös andragradsekvationerna utan räknare.

1 a) x2 = 121

b) 14 + 872 = 46

c) 10s 2-10 = 0

2 a) x2 = -U4

b) y2 = -225

c) a 2 + 900 = 0

d) 2b2 + 75 = 25

3 Ange symmetrilinjen samt extrempunktens karaktär och koordinater.

\

I \

/ / i " \ X

\

/ \ /

/

Lös ekvationerna

4 a) x2 + 2x - 35 = 0

b) x(x + 3) = 0

5 a) x2 + 18x = 0

b) ( x - 3 ) ( x + 17) = 0

b) 6x-3x2 = 0

d) (x + 8 ) ( 2 x - 1 0 ) = 0

6 Slobodans vedstapel har formen av ett rätblock. Stapelns längd är lika lång som dess bredd och höjden är 2,1 meter. Bestäm stapelns mått, om den innehåller 17,4 m 3 ved.

7 Bestäm symmetrilinjen t i l l andragrads-funktionen/(x) = Ax2 - 5.

8 Bestäm symmetrilinjen till funktionerna som ges av

a) /(x) = x 2 - 4x + 3

b) /(x) = x 2 + 6 x - 5

c) / ( x ) = x 2 - 1 0 x + 2

9 Lös ekvationerna. Svara exakt.

a) x 2 + 4x + 8 = 0

b) x 2 - 6 x - 7 = 0

c) 3 x 2 - 6 x + 12 = 0

10 Hans och Greta ska ordna en kurs. De räknar med 20 deltagare och sätter priset t i l l 375 kr per person. För varje deltagare som ger ett antal över 20, kan de sänka priset med 10 kronor. De kan då beräkna sina intäkter med hjälp av funktionsuttrycket 7(x) = 375x- lOx 2, där x är antalet deltagare. Hur många personer kan de ta emot utan att göra en förlust?

11 Vilka nollställen har andragradsfunktionen g(x) = 2X2 + 8x - 8? Svara exakt.

12 Lös ekvationerna

a) ( x - 6 ) 2 = 4

b) ( 2 x - 6 ) 2 = 4

c) ( 3 x - 2 ) 2 = 25

d) ( 5 x - 3 ) 2 + 5 = 14

13 Funktionerna/och g är båda av formen y = x 2 + px + q. Avgör med hjälp av graferna t i l l funktionerna om diskriminanten t i l l ekvationerna f(x) - 0 och g(x) = 0 är positiv eller negativ.

—J—. V \ r \ \ 1

\ y \ 1 \

1 I

f x) / \ I u L" • /

\i \ \ 1

14 När Tina multiplicerar två på varandra följande positiva heltal med varandra får hon produkten 992. Vilka tal har hon multiplicerat?

A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R O B L A N D A D E U P P G I F T E R 67

Page 67: Matematik Origo 2b

15 Vilken operation ska utföras i båda leden för att vänstra ledet ska gå att faktorisera med någon av kvadreringsreglerna?

a) x 2 + 8x + 10 = 3

b) 3 x 2 + 18x + 27 = 48

c) x 2 - 3 x + 8 , 2 5 = 18,5

16 Faktorisera VL med hjälp av kvadreringsreglerna och lös ekvationerna.

a) x2- 12*+ 36 = 25

b) y2 + 26y + 169 = 49

17 En rektangel har arean 1 802 cm 2 . Bestäm rektangelns omkrets, när den ena sidan är 19 cm kortare än den andra.

22 Figuren t i l l vänster visar ett rektangulärt område.

18 Lös ekvationerna

a) (2x- 10)2 = 400 b) (7 + 3x) 2 = 1

NIVA 2

19 Lös ekvationen

( 2 x - 6 ) ( 8 x - 3 ) - ( 3 + 4x ) (4x -7 ) = 0

20 Hanna åker skateboard i en halfpipe. Hon startar från stillastående uppe på ena kanten och rullar ner. Hennes lodräta avstånd, d meter från kanten är en funktion av hastigheten v m/s enligt d = 0,05^.

a) Rita grafen t i l l funktionen.

b) Vilken är Hannas högsta hastighet?

21 Lös andragradsekvationerna. Svara exakt.

a) (3n + 3 ) ( 3 « - 3 ) = 6 ( « 2 - 2 )

b) (6 + x ) 2 = - 2 ( x + 3 )

c) x2 = x

10

20

A = 629 m 2

10

a) Teckna en ekvation för att bestämma x utifrån figuren.

b) I den andra figuren har arean omfördelats, så att området nästan är kvadratiskt. Vilket format har den lilla kvadrat som måste läggas t i l l i övre högra hörnet, för att hela figuren ska bli en stor kvadrat?

c) Hur förändras ekvationen efter att man kompletterat figuren med den mindre kvadraten?

d) Lös ekvationen och bestäm x.

23 Ange extrempunktens läge och karaktär för grafen t i l l funktionerna.

a) y = 5-3x2

b) y = -x2 + 4x + 4

c) y = x

2 + 12x+ 30

68 A N D R A C R A D S E K V A T I O N E R O B L A N D A D E U P P G I F T E R

Page 68: Matematik Origo 2b

24 Mauri kastar iväg en gummiboll, så att bollens bana beskrivs av h(x) = -0,020x2 + 0,55x + 1,65 där h{x) m är bollens höjd över marken då den rört sig x m horisontellt.

a) På vilken höjd befinner sig bollen i kastögonblicket?

b) Vilken höjd har bollen då den har rört sig 5,0 m i horisontalled?

c) Vilken är bollens högsta höjd och efter hur lång sträcka når den sin högsta höjd?

25 I en kvadrat är diagonalen 10 cm. Bestäm kvadratens area.

26 Lös ekvationerna. Tips: Bryt ut x.

a) x 3 + 24X2 + 44x = 0

b) 2 X 3 + 6X2 - 8x = 0

27 Figuren visar graferna t i l l två andragradsfunktioner av formen f(x) = x2 + px + q. Bestäm funktionsuttrycken.

\ \\\ \ a) v \ \ i

\ X

?

\ \ \

28 Ange en andragradsekvation med lösningarna

a) x = ±5i b) x = ±18i

c) x = ±*Vl3 d) x = ±2bl5

29 En portal har en form som beskrivs av

h(x) =-0 ,59x2 + 3,1

där h(x) är portens höjd i meter x meter längs underlaget mätt från mitten av porten. Hur bred är porten längs underlaget?

30 Vid ett simhopp från tremeterssvikten beskrevs hoppet med funktionsuttrycket

fc(r) = 3 + 5 t - 4 , 5 f 2

där Greg var h(t) meter över vattenytan efter t sekunder. Efter hur lång tid når Greg vattenytan?

31 En andragradskurva har symmetrilinjen x = 3. Punkterna (0, 7) och (5, 2) ligger på kurvan. Ange koordinaterna för ytterligare två punkter på kurvan.

32 Pelle står på en klippa invid en sjö och kastar en sten ut över sjön. Efter t sekunder är stenens höjd över vattenytan h(t) meter där h(t) = 8,5 + 9 , 8 r - 4 , 9 f 2 .

a) När befinner sig stenen på höjden 10 m ovanför vattenytan?

b) Bestäm stenens högsta höjd över vattenytan.

(NpMaB vt 2002)

NIVÅ 3

33 Lös ekvationerna

a) x ( x + l ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) = 0

b) (x 2 + 2 x ) ( x - 4 x 2 ) = 0

34 När sidan på en kub minskas med 1 cm, minskar volymen med 91 cm 3 . Hur stor är volymen av den mindre kuben?

35 Bestäm de imaginära rötterna t i l l andragradsek-vationen/(x) = 0.

/ ^y

y •/ x)

/

1 1 X

N _; / _

1— -36 För vilka värden på det reella talet a har ekvatio

nen x 2 + ax + a = 0

a) två reella rötter

b) en reell dubbelrot

c) ingen reell rot

37 Klara cyklar 40 km på en viss tid, om hon håller en viss medelhastighet. Om medelhastigheten sjunker med 2 km/h, tar färden 1 timme längre. Vilken fart håller Klara, när hon cyklar den snabbare varianten.

A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R 8 B L A N D A D E U P P G I F T E R 69

Page 69: Matematik Origo 2b

DEL 1 Utan räknare

Lös ekvationerna. Svara exakt.

1 a) x2 = 26

b) x2 = -64

2 a) x 2 + 16x = 0

b) ( 2 x - 1 0 ) ( 3 x + 1) = 0

3 a) x 2 - 22x + 40 = 0

b) x 2 + 6 x - 4 = 0

4 Figuren visar grafen t i l l en andragradsfunktion.

Bestäm

a) symmetrilinjen

b) /(O)

c) funktionens nollställen

/

\

\ \ ) 1 _ 1 X

\ 1 />

5 Zoran ska lösa ekvationen x 2 + 12x + 36 = 81 och börjar med att faktorisera vänstra ledet med hjälp av kvadreringsregeln.

a) Skriv om ekvationen genom att faktorisera VL.

b) Fullfölj lösningen.

6 I Hodas mattebok står det

Lös andragradsekvationen x 2 + 18x + = 0

Som du ser så har det blivit en fläck i boken precis där konstanttermen står. Hoda börjar då fundera över hur värdet på termen har betydelse för om ekvationen har några reella rötter.

a) Ange ett värde på konstanttermen som gör att ekvationen saknar reella rötter.

b) Ange ett värde på konstanttermen som gör att ekvationen har två reella rötter samt ange de två rötterna.

7 Arean av ett rektangulärt område beror på sidornas längd och ges av A(x) = 80x - Ix2. Vilken är den största area som området kan ha?

7 0 A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R O K A P I T E L T E S T

Page 70: Matematik Origo 2b

DEL 2 Med räknare 8 Figuren visar ett område med arean 950 m 2 .

(m)

A = 950 m 2

x 8

a) Teckna en ekvation som kan användas för att beräkna x.

b) Lös ekvationen.

c) Vilka mått har området?

9 Andragradsfunktionen/(x) - x2 + bx+ 7

a) Vilket värde på b gör att grafens symmetrilinje blir x - -4?

b) Vilka nollställen har funktionen med detta värde på b?

c) Vilket är grafens minimipunkt?

10 En bils bromssträcka kan beskrivas med s(v) = 0,006^ + 0,3v där s(v) är bromssträckan i meter och v är hastigheten i km/h.

a) Hur lång är bromssträckan om hastigheten är 50 km/h?

b) Hur fort kan man högst köra, om bromssträckan ska bli maximalt 50 meter?

11 Ange extremvärde och symmetrilinje t i l l s = t2 - lOf + 35.

12 Ange de två komplexa rötterna t i l l andragradsekvationen f(x) = 0

13 Candia ska sälja karamellstrutar och har fått tipset att antalet sålda strutar n st är en funktion av priset p kr/st enligt n{p) = 98 - 2,lp.

Gäller funktionen för alla värden på p? Motivera.

• Ange ett funktionsuttryck k som beskriver kostnaden att tillverka n strutar om tillverkningskostnaden är 9,70 kr/strut och hon har fasta kostnader på 45 kr.

• Vilket pris ska Candia sätta på strutarna för att göra sin vinst så stor som möjligt?

A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R O K A P I T E L T E S T ^ 1

Page 71: Matematik Origo 2b

3 Ekvationer och

DELKAPITEL

3.1 Räta linjens ekvation

3.2 Ekvationssystem

3.3 Analytisk geometri

FORKUNSKAPER

• Grundläggande kunskaperom linjära samband

• algebraisk lösning av första-och andragradsekvationer

• grafisk lösning av ekvationer

CENTRALT INNEHA

• Räta linjens ekvation samt hur analytisk geometri binder ihop geometriska och algebraiska begrepp.

• Begreppet linjärt ekvationssystem.

Page 72: Matematik Origo 2b

e kvati onssy s t em

Kostnaden för att hyra en personbil i ett

dygn består ibland av en rörlig

kostnad för varje körd m i l och en fast

kostnad, dygnsavgiften. För olika biluthy-

rare varierar dessa kostnader. Ekvationerna

y = I O X + 300 och y = 7,sx + 400 är matema

tiska modeller som beskriver kostnaden att

hyra bil ett dygn hos två olika biluthyrare.

Den totala kostnaden y kr beror i båda

fallen av x, antalet körda m i l . Ett sätt att

jämföra kostnaden för de två modellerna är

att rita graferna t i l l ekvationerna i samma

koordinatsystem. Ett annat sätt at t

jämföra modellerna är att med hjälp av en

algebraisk metod bestämma den lösning

som är gemensam för båda ekvationerna.

När man bestämmer en gemensam lösning

t i l l två ekvationer, säger man att man löser

ett ekvationssystem.

När du är klar med kapitlet ska du kunna

• använda och förstå begreppet riktnings

koefficient

• bestämma en rät linjes ekvation i k-form

och i allmän form

• lösa ekvationssystem med två obekanta

med grafiska och algebraiska metoder

• lösa problem med hjälp av ekvations

system

• lösa enkla geometriska problem med

hjälp av analytisk geometri

Att hyra bil Ekvationerna y = lOx + 300 och y = 7,5x + 400 beskriver kostnaden att hyra en bil i ett dygn hos biluthyrarna Alfa respektive Beta. Den totala kostnaden y kr beror i båda fallen av antalet körda mil x.

• Vilken av biluthyrarna Alfa eller Beta bör man välja om man ska köra ca 30 mi l på ett dygn?

• Vilken av bilutyrarna Alfa eller Beta bör man välja om man ska köra ca 50 mil på ett dygn?

• Försök att reda ut för vilka körsträckor per dygn som de olika biluthyrarna är billigast.

Nog med information? Avgör vilket eller vilka påståenden du måste känna t i l l för att kunna lösa uppgiften. Fler än ett svar kan vara rätt.

• Syskonen Miriam, Lovisa och Samuel är t i l l sammans 33 år. För att kunna beräkna hur gamla vart och ett av syskonen är, så behöver du som minst veta att - Miriam är 2 år äldre än Lovisa

- Samuel är 7 år

- Miriam är dubbelt så gammal som Samuel

- Lovisa är 2 år yngre än Miriam

Page 73: Matematik Origo 2b

3.1 Räta linjens ekvation

R ä t a linjens ekvation

m-värde

Observera att y = 3x - 2 är samma ekvation som y = 3x + (-2). Båda är i

formen y = kx + m, med m = -2.

Riktningskoefficient

Från graf t i l l ekvation I gymnasiets första matematikkurs använde vi ekvationen y - lOx + 300 som matematisk modell för att beskriva kostnaden att hyra bil under ett dygn. Den totala kostnaden består av en fast avgift på 300 kr och en rörlig kostnad på 10 kr /mil . Ekvationen är i formen y=kx+m där k och m är konstanter. Grafen t i l l en sådan ekvation beskriver en rät linje. Ekvationen kallas räta linjens ekvation.

Till höger har vi ritat linjerna t i l l ekvationerna y = 3x - 2 och y = -0,5x + 3. Linjerna i figuren skär y-axeln för y — —2 respektive 7 = 3 , alltså för värdet av konstanten m i ekvationen y-kx+m.

En rät linjes lutning i förhållande t i l l x-axeln bestäms av linjens riktningskoefficient.

. r r . förändring i y-led Ay Riktningskoefhcient = . . . ,—- = ——

förändring i x-led Ax

Vi kallar linjen t i l l ekvationen y - 3x - 2 för L l .

Vi utgår från en punkt på linjen I , . Om vi går ett steg åt höger i x-led, så måste vi gå tre steg uppåt i 7-led för nå linjen.

Riktningskoefficient = — = — = 3 8 Ax 1

kr s )

BO BO u v = 1 Ox + 30 0

60 n . 60 U J

a n n -HL u 20 0-20 0-

1 X \ 1

20 1 1

fin 1 1

sn i

— — — — —

v X - 2

/ -c .5 x * 3 -c .5 x * 3

i

/ s / s

,_

/

V = 2 t ]

Ay

1 _ J / Ax

X N /

Vi kallar linjen t i l l ekvationen y = -0,5x + 3 för L 2 .

Vi gör på samma sätt med linje L 2 och utgår från någon punkt på linjen. Om vi går två steg åt höger i figuren, så måste vi gå ett steg nedåt för att nå linjen.

Riktningskoefficient = — = — = — — = -0,5 Ax 2 2

r

t kX A

/

1- - y = -0 X + 3 •2

X \

)

I båda fallen ser vi att linjernas riktningskoefficienter motsvarar respektive värde av konstanten k i ekvationen y = kx + m. En linjes lutning i förhållande t i l l x-axeln anges alltså av ekvationens riktningskoefficient.

74 E K V A T I O N E R OCH E K V A T I O N S S Y S T E M O 3 . 1 R Ä T A L I N J E N S E K V A T I O N

Page 74: Matematik Origo 2b

R ä t a linjens ekvation • Ekvationen y = kx+m, där k och m är konstanter, kallas räta linjens

ekvation och beskriver en rät linje i ett koordinatsystem.

• Riktningskoefficienten k anger linjens lutning i förhållande t i l l x-axeln. Värdet av m anger y-koordinaten för linjens skärningspunkt med y-axeln.

Exempel: Bestäm linjernas ekvationer. A M 1 e

\ A \

>

i

lösning:

Vi letar efter hela steg i både

x- och y-led.

Linje A Linjen skär y-axeln för y = 4. Det ger att m — 4 i ekvationen y = kx + m.

Vi bestämmer riktningskoefficienten k genom att först välja en punkt på linjen, t.ex. skärningspunkten med y-axeln.

Om vi tar 2 steg åt höger i koordinatsystemet, så måste vi ta 3 steg nedåt för att nå linjen:

k - f - ~ i - ^

Ax 2

Vi få ry = - l , 5 x + 4 Svar: Ekvationen för linje A är y = - l , 5 x + 4.

Linje S V i gör på samma sätt som här ovanför. Eftersom linjen skär y-axeln för y = 1, är m = 1 i ekvationen y=kx+m.

Om vi tar 5 steg åt höger, så måste vi ta 4 steg uppåt för att nå linjen:

Ax 5

V i f å ry = 0,8x+ 1

Svar: Ekvationen för linje B är y = 0,8x + 1.

/ M 1

l y

\ ' A < \

; l ?

E K V A T I O N E R OCH E K V A T I O N S S Y S T E M O 3 . 1 R Ä T A L I N J E N S E K V A T I O N 75

Page 75: Matematik Origo 2b

E x e m p e l : Rita linjen y = - — x + 4 utan att göra en värdetabell.

Lösning.- Av ekvationen ser vi att m = 4. Alltså skär linjen y-axeln för y = 4, dvs. i punkten med koordinaterna (0,4). Punkten med koordina-terna (0,4) kan sättas ut. Den punkten kan man sedan utgå från.

Det räcker med 2

punkter för att rita en rät linje

/ Det räcker

med 2 punkter

för att rita en rät linje

Det räcker med 2

punkter för att rita en rät linje

Det räcker med 2

punkter för att rita en rät linje r

Det räcker med 2

punkter för att rita en rät linje

Det räcker med 2

punkter för att rita en rät linje

i 1 "Xt"

\ ?

Ur- M

Riktningskoefficienten k = — kan skrivas k = — 5 2 2

Det innebär att om man tar två steg åt höger, så behöver man ta tre steg nedåt i koordinatsystemet för att få en ny punkt på linjen. Där sätter vi ut den nya punkten. Nu kan vi rita den räta linjen med hjälp av de två punkterna.

N I V A 1

3101 Figuren visar två linjer med ekvationen y=2x+m. Bestäm värdet av m för de två l injerna.

1 / / t >)

!

X N 7

a ) /

/ / / 3102 Ekvationen y = -2x + 7 motsvaras av en rät

linje i ett koordinatsystem.

a) Var skär linjen y-axeln?

b) Vilken riktningskoefficient har linjen?

3103 Rita först av koordinatsystemet. Rita sedan följande linjer utan att göra en värdetabell:

a) y= - 2 x + 3

b) y =

c) 5

c) y = —x-4 2

/Ny

3104 Rita den linje som har riktningskoefficienten k = 2 och som skär y-axeln i punkten med koordinaterna (0, -2) .

3105 I figuren är två linjer ritade. Bestäm

a) linjernas riktningskoefficienter

b) koordinaterna för den punkt där respektive linje skär y-axeln

c) linjernas ekvationer

^ y

3106 Ange ekvationerna för de linjer som är ritade i koordinatsystemet.

Ny

i B

i / f

A

76 E K V A T I O N E R OCH E K V A T I O N S S Y S T E M O 3 . 1 R Ä T A L I N J E N S E K V A T I O N

Page 76: Matematik Origo 2b

3107 Kostnaden y kr för ett telefonsamtal som varar x minuter kan beskrivas med ekvationen y = 0,59x + 0,69

a) Tolka betydelsen av riktningskoefficienten 0,59 och termen 0,69.

b) En lösning t i l l ekvationen är x = 2; y = 1,87. Tolka betydelsen av den lösningen.

c) Ange ytterligare en lösning ti l l ekvationen.

3108 Ge ett exempel på en ekvation t i l l en rät linje 0 a) som går genom punkten med koordina

terna (0, 3)

b) vars riktningskoefficient är noll

3109 Lösningarna t i l l ekvationen y = -2x + 7 ö består av par av tal. En lösning är x = 1, y = 5.

Bestäm ytterligare en lösning t i l l ekvationen.

3110 I figuren är linjen som beskriver en ekvation ö y = kx+m ritad. Lösningen x = l,y = 2 är

markerad. Ange ytterligare en lösning t i l l ekvationen.

Å 3111 Ange koordinaterna för en punkt på linjen

Ö y = -3x + 2.

NIVÅ a .

3112 Ligger punkten med koordinaterna (-10,22) på linjen y = -2x + 3?

3113 Följande värdetabell hör t i l l en ekvation av formen y=kx+m. Bestäm ekvationen.

3114 En rät linje med riktningskoefficienten k = -3 går genom punkten med koordinaterna (2, -3 ) . Rita linjen och bestäm koordinaterna för ytterligare en punkt på samma linje.

3115 I figuren syns den räta linjen y = -2x + 6. Tyvärr har graderingen av axlarna i koordinatsystemet fallit bort. Bestäm de tal a och b som ska stå vid skalstrecken.

3116

3117

3118

3119

För vilket värde på a gäller att punkten med koordinaterna (a, 4) är en punkt på linjen y = 4 x - 2.

Ange ekvationen för den räta linje som går genom punkten med koordinaterna (1,2) och har riktningskoefficienten -2 .

En rät linje med riktningskoefficienten 3 går genom punkten med koordinaterna (-2, -4 ) . Ange koordinaterna för linjens skärningspunkt med y-axeln.

En rät linje med riktningskoefficienten - 1 går genom punkten med koordinaterna (1, 4). Ange koordinaterna för linjens skärningspunkt med x-axeln.

N I V A 3

3120 Ge exempel på två ekvationer av formen ö y=kx+m som har den gemensamma lös

ningen x = 1 och y-2.

3121 En rät linje går genom punkterna med koordinaterna (0,0) och (a, b) där a # 0 och b * 0. För vilka värden på a och b har linjen genom punkterna ett negativt värde på riktningskoefficienten?

E K V A T I O N E R OCH E K V A T I O N S S Y S T E M O 3 . 1 R Ä T A L I N J E N S E K V A T I O N 77

Page 77: Matematik Origo 2b

Riktningskoefficienten för en rä t linje Om vi vet att en linje går genom två punkter med koordinaterna (1,2) och (3,6), så kan vi bestämma riktningskoefficienten utan att först behöva rita linjen. I förra avsnittet såg vi att riktningskoefficienten för en linje bestäms av förändringen i y-led dividerat med förändringen i x-led

, _ förändringen i y-led _ Ay förändringen i x-led Ax

Förändringen i y-led respektive förändringen i x-led kan vi bestämma genom att beräkna skillnaden mellan motsvarande koordinater för respektive punkt. Se figuren här int i l l .

Riktningskoefficienten för linjen blir alltså

A M ' (1

A] / = 4 -; = ?

— U

1- Ax - i - 1 = i i 1-1-

X \

• t

Ax 4 - 2 5 - 1

0,5

En formel för riktningskoefficienten

Riktningskoefficienten för den räta linje som går genom punkterna med koordinaterna ( x ^ y ^ respektive (x 2 , y 2 ) blir med samma resonemang som här ovanför

Ax x 7 - x .

V i har nu kommit fram t i l l en allmän formel som vi kan använda för att bestämma riktningskoefficienten t i l l vilken rät linje som helst utifrån koordinaterna för två punkter på linjen.

Riktningskoefficient Riktningskoefficienten k för en linje genom två olika punkter med koordinaterna ( x ^ y , ) och ( x 2 , y 2 ) är

t _ ^ y _ Yi ~ Yl _Y\~Yl Det spelar ingen roll vilken av punkterna Ax x 2 - x, x, - X 2 man väljer som (x„ y,) eller (x2, y 2)

78 E K V A T I O N E R OCH E K V A T I O N S S Y S T E M O 3 . 1 R Ä T A L I N J E N S E K V A T I O N

Page 78: Matematik Origo 2b

E x e m p e l : Bestäm riktningskoefficienten k för den linje som går genom punkterna

a) (-4, 5) och (-2,9) b) (2,1) och ( - 1 , 5)

lösning: a) k = = r~~~y~jr = ~ ~ ~ r = ~ = 2 (x„ y,) = (-4, 5) och (x 2 , y 2 ) = (-2, 9) x2 -xx -2 - (-4) -2 + 4 2

Svar: Riktningskoefficienten k = 2

b ) ^ I L Z i , i i i = l = . l x2 - X[ - 1 - 2 -3 3

4 Svar: Riktningskoefficienten k = — —

NIVÅ 1

3122 Beräkna riktningskoefficienten A: för den linje som går genom punkterna med koordinaterna

a) (8,6) och (2, 3) b) (-2, 3) och (0, 5)

c) (5,-3) och (3,-1) d) (7,-1) och (2,1)

3123 Bestäm riktningskoefficienterna t i l l de räta linjer som är ritade i figuren. Tag hjälp av koordinaterna för de markerade punkterna.

— i )

1 _ i X

s ) t

/ >

s

/ h 1 / K /

3124 Beräkna riktningskoefficienten k för den räta linje som går genom punkterna. Svara exakt.

a) (-5,-3) och (2,5) b) (2,-7) och (-8,-4)

NIVÅ 2

3125 Avgör om punkterna med koordinaterna (1,3), (2, 5) och (15, 30) ligger på samma linje. Motivera ditt svar.

3126 En rät linje går genom punkterna med koordinaterna (1,2) och (3,10). En annan rät linje går genom punkterna med koordinaterna (2,10) och (4,18). Avgör om linjerna är parallella.

3127 Ebba ska koka te, men glömmer kastrullen med vatten på spisen. Diagrammet visar hur vattenmängden i kastrullen minskar.

- d / >. r

n *• U

n n u t t

1 0 /

min

-- 4 --a) Bestäm linjens riktningskoefficient.

b) Vad står linjens riktningskoefficient för i detta fall?

3128 Bestäm talet a så att linjen genom punkterna med koordinaterna (1 , a) och (2,2a) får lutningen 3.

3129 För att beräkna riktningskoefficienten t i l l en linje kan man använda formeln k = h z l l

x2 — xx

Visa att man får samma resultat om man i stället byter plats på koordinaterna i formeln och använder

NIVÅ 3

3130 Genom tre av punkterna med koordinaterna (2, -7 ) , (8, 35), (12, 61) och (17, 98) kan man dra en rät linje. Vilka?

E K V A T I O N E R OCH E K V A T I O N S S Y S T E M O 3 . 1 R Ä T A L I N J E N S E K V A T I O N 79

Page 79: Matematik Origo 2b

Räta linjens ekvation i fe-form Om vi känner t i l l koordinaterna för två punkter på en rät linje så kan vi bestämma linjens ekvation i formen y - kx + m. Då måste vi känna ti l l l injens riktningskoefficient k och värdet av m.

Vi l l v i bestämma ekvationen för den räta linje som går genom punkterna med koordinaterna (xl,y1) — (-2,-4)och (x2,y2) = (1,5) börjar vi med att beräkna riktningskoefficienten k

t = r 2 - r i = s - M ) = 5 + 4 = 9 x2-xx l - ( - 2 ) 1 + 2 3

För att bestämma värdet avmiy=kx+m sätter v i in k = 2 och koordinaterna för en av de givna punkterna på linjen i ekvationen:

y-kx+m 5 = 3 . 1 + JTJ Vi väljer punkten med koordinaterna (1, 5).

Sätt in k = 3, x = 1 och y = S i y = kx + m

5 = 3 +m

m = 2 Då vet vi både k och m

Ekvationen för den räta linje som går genom punkterna med koordinaterna ( - 1 , 5 ) och (2, -1) är alltså y = -2x+ 3.

R ä t a linjens ekvation i k-form

Linjen som beskrivs av ekvationen y—kx+m har riktningskoefficienten k och skär y-axeln i punkten med koordinaterna (0, m).

Riktningskoefficienten för en linje genom punkterna med koordina

terna (x i .y j ) och (x2,y2) är

k = Ay ^y2-yx = yx-y2

Ax x2-xx Xj — x2

y = kx + m kallas räta linjens ekvation i fc-form. •

Exempel: En rät linje med riktningskoefficienten k = 0,5 går genom punkten med koordinaterna (2, 4). Bestäm linjens ekvation.

lösning: Med hjälp av riktningskoefficienten k = 0,5 och koordinaterna (2, 4), kan

vi bestämma värdet av m i räta linjens ekvation y = kx+m.

y-kx+m

4 = 0,5 -2 + m Lös ut m

4 = 1 + m

m = 3

k = 0,5 och m - 3 ger y = 0,5x + 3

Svar: Linjens ekvation är y = 0,5x + 3

y = 4 x = 2

k = 0,5 |

80 E K V A T I O N E R OCH E K V A T I O N S S Y S T E M O 3 . 1 R Ä T A L I N J E N S E K V A T I O N

Page 80: Matematik Origo 2b

Exempel: Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna med koordinaterna (2, -4) och ( - 1 , 2).

lösning: Vi börjar med att beräkna riktningskoefficienten k med hjälp av koordinaterna för punkterna.

fc = ft-ri = 2 - M ) = 2 + 4 = 6 = 2

Xj — X] - 1 - 2 - 1 - 2 -3

Med hjälp av koordinaterna för en av punkterna, t i l l exempel ( - 1 , 2), och riktningskoefficienten k = -2 , kan vi bestämma värdet av m i räta linjens ekvation y=kx+m.

y = kx+m

2 = (-2)• (-1) + m

2 = 2 + m

m - 0

k = -2 och m = 0 ger y = -2x

Svar: Linjens ekvation är y = —2x

NIVÅ 1

3131 De tre linjerna i figuren har samma värde på riktningskoefficienten. Bestäm ekvationerna för linjerna L x och L 2 .

M L i

_ y = 0 Bx X

— _ _ -2

3132 Ange ekvationen för den räta linje som går genom punkten med koordinaterna (4,2) och har riktningskoefficienten 3.

3133 Bestäm ekvationen för den räta linje som har riktningskoefficienten -2 och som går genom punkten med koordinaterna ( - 1 , 3).

3134 Bestäm ekvationen för den räta linje som har riktningskoefficienten 5 och går genom punkten med koordinaterna

a) (-1,3) b) (5,3)

3135 Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkten med koordinaterna (3, -2) och har riktningskoefficienten

a) * = 7 b) k = -5

3136 En rät linje y=kx+m går genom punkterna med koordinaterna (3, -5) och (0, -3 ) .

a) Bestäm riktningskoefficienten k.

b) Bestäm m-värdet.

c) Ange linjens ekvation på /c-form.

3137 Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna med koordinaterna

a) (5, 3) och (3, 5) b) (4, 1) och (9, 2)

c) (3, 6) och (0,-3) d) (-4,-6) och (4,-2)

E K V A T I O N E R OCH E K V A T I O N S S Y S T E M G 3 . 1 R Ä T A L I N J E N S E K V A T I O N 8 l

Page 81: Matematik Origo 2b

NIVA 2

3138 Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkten (1,4) och som skär x-axeln för x = 3.

3139 En kvadrat har ett hörn i punkten (0, 0) och det motstående hörnet i punkten (3, 3). Sidorna i kvadraten är parallella med koordi-nataxlarna. Bestäm ekvationerna för kvadratens diagonaler.

3140 Bestäm koordinaterna för ytterligare en ö punkt på den linje som går genom punkterna

med koordinaterna (-2, -1) och (-4, 3).

3141 Figuren visar hur elförbrukningen beror av den genomsnittliga utomhustemperaturen.

kWh E Ilfört ru <n /måna

-M 30 _ -M 30 J

1 in 1 JU

m nu m L to m nu m 3erat L m nu m 3erat

- ID i IQ

i 2fl

i 1— |—1 — 1— 1— _

-— — -a) Bestäm rktningskoefficienten k. Ange

även enhet.

b) Bestäm en ekvation y=kx+m som beskriver hur elförbrukningen beror av utomhustemperaturen.

c) Kommer ekvationen att gälla för alla utomhustemperaturer?

3142 En rät linje som går genom punkterna med koordinaterna (1 , a) och (a, 4) har riktningskoefficienten 2. Bestäm värdet av a.

3143 En ekvation i formen y=kx+m har lösningarna x = 2, y = 3 och x = -2 , y = -3.

a) Bestäm ekvationen.

b) Ange ytterligare en lösning t i l l ekvationen.

3144 Jennie har ett mobilabonnemang där det kostar 5,64 kr för ett samtal på 5 minuter och 10,59 kr för ett samtal på 10 minuter. Bestäm en ekvation av formen y=kx+m som kan användas för att beräkna kostnaden för ett samtal.

NIVÅ 3 f

3145 Bestäm talet a så att en linje genom punkterna med koordinaterna {a + 3, a - 1) och (3, -2) får lutningen 0,5.

314G En del av en rät linje som går genom (2,2) bildar basen i en likbent triangel, där de båda lika vinkelbenen utgörs av positiva x- och y-axeln. Vilken är linjens ekvation?

3147 Bestäm ekvationen t i l l linjen som går genom punkterna med koordinaterna (1,2) och (a, 2a).

3148 Ange ekvationen för den linje där koordinaterna för alla punkter på linjen kan uttryckas (x , -2x) .

Page 82: Matematik Origo 2b

Parallella och vinkelräta linjer Parallella linjer Om två räta linjer är parallella, så har de samma

lutning och därför också samma värde på riktningskoefficienten.

Vinkelräta linjer Finns det något samband mellan riktningskoefficienterna för två linjer som är vinkelräta mot varandra?

Vi utgår från en rät linje L x som går genom origo och genom en punkt med koordinaterna (fl, fe). En annan linje L 2 , som är vriden 90° medurs i förhållande t i l l L, , kommer att gå genom punkten med koordinaterna (b, - a ) . Riktningskoefficienterna för de två linjerna blir

, fe-O fe fl - 0 fl - f l - 0 - f l

Linjen genom (0, 0) och (o, b)

a = --r Linjen genom (0, 0) och (ö ,-o)

Produkten av de båda riktningskoefficienterna blir

fe / a\_ ab

fl l fe/ ab kx • k2 -1

Om linjerna L x och L 2 är vinkelräta mot varandra, så är kx- k2 = - 1

Paral le l la och vinkelräta linjer

För två räta linjer med riktningskoefficienterna kx och k2 gäller att

• linjerna är parallella om kx = k2

• linjerna är vinkelräta mot varandra om kx • k2 = - 1

Ver t i ka l a linjer För det mesta använder man sig av /c-form, det vi l l säga en ekvation av formen y = kx + m, för att beskriva en rät linje i ett koordinatsystem. Men vertikala linjer, som linjerna i grafen bredvid, kan inte beskrivas med ekvationer av den formen.

Vertikala linjer i koordinatsystemet anges med hjälp av koordinaten på den horisontella axeln, dvs. x-koordinaten. Linjernas ekvation är x = 2 respektive x = -3 .

E K V A T I O N E R OCH E K V A T I O N S S Y S T E M O 3 . 1 R Ä T A L I N J E N S E K V A T I O N 83

Page 83: Matematik Origo 2b

Allmän form Vi kan skriva ekvationen för räta linjen i olika former. Vi har redan arbetat med ekvationer i fc-form. En annan form är allmän form:

ax + by + c = 0

Til l exempel kan ekvationen y=4x+5 skrivas i allmän form som

y - 4x - 5 = 0 Här är o = 1, b = -4 och c = -5 J

R ä t a linjens ekvation i allmän form

Räta linjens ekvation skrivs i allmän form enligt

ax + by + c — 0, där a, b och c är konstanter.

En rät linje går genom punkten med koordinaterna (3,1) och är parallell med linjen y = 4x — 2.

a) Vilken riktningskoefficient har linjen som går genom punkten med koordinaterna (3, 1)?

b) Ange ekvationen för linjen genom punkten med koordinaterna (3,1).

lösning: a) Två parallella linjer har samma värde på riktningskoefficienten. Linjen y = 4x - 2 har k = 4. Riktningskoefficienten k för linjen genom punkten (3,1) blir därför k = 4.

b) Koordinaterna (3,1) och riktningskoefficienten k-4 sätts in i y = kx + m

1 = 4 - 3 + m

1 = 12 + m

m = -11

Vi får ekvationen y = 4x - 11 för linjen genom (3,1) som är parallell med linjen y = 4x - 2.

Svar: Linjen har ekvationen y = 4x - 11.

Exempel:

Exempel: Bestäm ekvationen för en linje som är vinkelrät mot linjen y = — + 3.

x 1

lösning: Riktningskoefficienten för linjen y = — + 3 är —. Eftersom linjerna ska

vara vinkelräta mot varandra, så måste riktningskoefficienterna uppfylla

fcj • k2 — — 1 fc| • — och vi söker k2

2 2 Alla linjer med riktningskoefficienten k - -2 ^ _ 2 ^ a r vinkelräta mot linjen y = jj + 3

Svar: Til l exempel y = -2x + 8

E K V A T I O N E R OCH E K V A T I O N S S Y S T E M O 3 . 1 R Ä T A L I N J E N S E K V A T I O N

Page 84: Matematik Origo 2b

Exempel: Två räta linjer beskrivs av ekvationerna 2y —

a) Skriv ekvationerna i fc-form

b) Avgör om linjerna är parallella.

3x = 12 och 4,5x = 3y + 9.

Lösning.- a) V i löser ut y ur respektive ekvation.

2 y - 3 x = 1 2 4,5x = 3 y + 9

2 y = 3 x + 1 2 3 y = 4 , 5 x - 9

3x+12 4 ,5x -9

y = l , 5 x + 6 y = l , 5 x - 3

Svar:y = l,5x + 6 och y = l , 5 x - 3

b) Om linjerna är parallella, så har de samma riktningskoefficient. I fc-form har ekvationerna formen y = l,5x + 6 och y = l,5x - 3.

Svar: Riktningskoefficienterna är lika (k = 1,5) och därmed är linjerna parallella.

NIVÅ 1

3149 En rät linje har ekvationen y = 4x - 3. Bestäm k så att en annan rät linje y = kx + 2 blir

a) parallell med linjen

b) vinkelrät mot linjen

3150 Bestäm linjernas ekvationer

a) Ny 3)

_ 1 X

\ ;

}

0 .... —i -

3151 Ligger punkten på linjen 2x - 2y + 3 = 0?

a) (2,5; 2) b) ( - 1 ; 0,5) c) (2; 2,5)

3152 Skriv ekvationerna i formen y = kx + m.

a) 2 y - 4 x + 6 = 0

b) 5 x - 2 y = 3

3153 Ekvationerna beskriver två räta linjer. Avgör om linjerna är parallella.

a) 2y - 4x = 16 och y = 2x + 1

b) 3 y - 2 x = 3 och 3 x - 5 y - 3 = 0

3154 Ge exempel på en rät linje som är 0 a) parallell med 3y - 9x + 12 = 0

b) vinkelrät mot 3y - 9x + 12 = 0

3155 Viggo och Malte har fått uppgiften att skriva 2

ekvationen y = —x - 1 i allmän form. Viggo 2

skrev - —x + y + l = 0 medan Malte skrev 3 7

2x - 3y - 3 = 0. Båda hävdar att just deras svar är rätt. Stämmer det? Motivera.

3156 Ekvationerna beskriver två räta linjer. Avgör

om linjerna är vinkelräta mot varandra.

a) y = 3x - 2 och 6x + 2y - 2 = 0

b) y - 2x = 5 och x + 2y - 3 = 0

E K V A T I O N E R OCH E K V A T I O N S S Y S T E M S 3 . 1 R Ä T A L I N J E N S E K V A T I O N 85

Page 85: Matematik Origo 2b

NIVA 2

3157 En rät linje har riktningskoefficienten -2,5. En annan rät linje går genom punkterna med koordinaterna (1,2) och (21,10). Är linjerna vinkelräta mot varandra?

3158 Koordinatsystemet visar l i n j e n p x - y + q Bestäm konstanterna p och q.

0.

3159 Bestäm linjernas skärningspunkter med koordinataxlarna.

a) - 3 x + 2 y - 2 = 0 b) 3 x + 5 y + 5 = 0

3160 En triangel har hörnen i punkterna med koordinaterna (2, 6), (8, 5) och (9,10).

a) Bestäm riktningskoefficienterna kx, k2

och /c3 för de tre linjer som utgör triangelns sidor.

b) Avgör om triangeln är rätvinklig.

3161 Två linjer som är vinkelräta mot varandra skär varandra i punkten med koordinaterna (-2, 4). Riktningskoefficienten för den ena linjen är 3. Bestäm ekvationen för den andra linjen.

3162 En kvadrat har hörnen i (0,0), (3, -1) , (4,2) och (1,3). Visa att kvadratens diagonaler är vinkelräta mot varandra.

3163 Bestäm talet b så att linjerna med ekvationerna 2x - Ay + 3 = 0 och 3x + by - 8 = 0 blir

a) parallella med varandra

b) vinkelräta mot varandra

3164 Den räta linjen y = 6x - 2 är vinkelrät mot en linje genom punkterna med koordinaterna (2, 3) och (4, a). Bestäm a.

NIVÅ 3 t

3165 Linjernax = —2,y= - 1 ,x = 4,y = 6 - xoch y = x + 4 avgränsar ett område. Beräkna områdets area.

3166 En rät linje skär x-axeln i punkten med koordinaterna (2,0). Vinkeln mellan x-axeln och linjen är 45°. Bestäm ekvationen för en annan linje som går genom origo och är vinkelrät mot den första linjen.

3167 Ange ekvationen för en rät linje som är vinkelrät mot linjen ax + by + c = 0.

3168 Martin har ett koordinatsystem med punkterna A(2, 2) och B(5, 8) inritade. Han ska rita en rätvinklig likbent triangel ABC, där sträckan AB är en av de lika långa sidorna i triangeln och vinkeln A är rät. Bestäm de möjliga koordinaterna för hörnet C.

Resonemang och. begrepp

G Förklara varför värdet av riktningskoefficienten för en linje parallell med x-axeln är 0.

O Förklara hur man bes tämmer ekvationen för en rä t linje om man känner koordinaterna för två punkter på linjen.

Q Förklara hur man bes t ämmer ekvationen för en rä t linje om man känner linjens riktningskoefficient och en punkt på linjen.

O Varför kan man inte ange ekvationen för en rä t linje parallell med y-axeln i k-form?

O Kan alla ekvationer av formen ax + by + c = 0 skrivas i k-form?

86 E K V A T I O N E R OCH E K V A T I O N S S Y S T E M O 3 . 1 R Ä T A L I N J E N S E K V A T I O N

Page 86: Matematik Origo 2b

3.2 Ekvati onssystem

lösningar till ekvationen

Grafisk lösning av ett ekvationssystem Ekvationen y = x - 1 innehåller två obekanta tal, x och y. Om vi t i l l exempel väljer x — 4, så ger ekvationen y = 4 - 1 = 3 . Med andra ord är talparet x = 4 och y = 3 en lösning t i l l ekvationen.

Även talparen x = 2, y = 1 och x = 1, y = 0 är lösningar t i l l ekvationen. Vi ser att till varje värde på x finns det ett bestämt värde på y som löser ekvationen y = x - 1. Det gör att alla lösningar t i l l ekvationen är par av tal, x och y.

Lösningarna bildar tillsammans en linje i ett koordinatsystem där koordinaterna t i l l varje punkt på linjen representerar ett talpar, x och y, som är en lösning t i l l ekvationen.

På samma sätt kan vi beskriva lösningarna t i l l ekvationen y = —2x + 5 genom att rita motsvarande linje i ett koordinatsystem.

Talparet x = 4, y = 3 är en lösning till

ekvationen y = x -1.

y ' Linjen visar

alla lösningar till y = -2x + 5.

5 Linjen visar alla lösningar till y = -2x + 5.

t = -2 x -- b Linjen visar

alla lösningar till y = -2x + 5.

Linjen visar alla lösningar till y = -2x + 5.

-

i \ X s >

4 -

Skärningspunkt Om vi ritar linjerna t i l l ekvationerna y — X— 1 och y = -2x + 5 i samma koordinatsystem, så ser vi att linjerna skär varandra i punkten med koordinaterna (2,1). Det innebär att talparet x = 2, y — 1 är en lösning t i l l båda ekvationerna.

V \ y

\ x = 2,y = 1är en lösning til

f x = 2,y = 1är en lösning til v = x - 1 och y = -2x + 5

X \ y = -2x + 5 i }

Ekvationssystem Ett ekvationssystem består av två eller flera ekvationer som ska gälla samtidigt. För att visa att ekvationerna y = x - 1 och y = -2x + 5 är ett ekvationssystem sammanfogar man dem med en klämmer:

y — x— 1 y = -2x + 1

Lösningarna t i l l ekvationssystemet har vi redan bestämt t i l l x = 2 och y= 1. De brukar också markeras med klämmer:

f x = 2 \ y = l

E K V A T I O N E R OCH E K V A T I O N S S Y S T E M O 3 . 2 E K V A T I O N S S Y S T E M 87

Page 87: Matematik Origo 2b

Grafisk lösning Som vi har sett så kan man lösa ett ekvationssystem med två obekanta genom att rita linjerna t i l l motsvarande ekvationer i samma koordinatsystem. Koordinaterna för linjernas skärningspunkt ger den lösning som är gemensam för båda ekvationerna. Det kallas en grafisk lösning och den kan man göra för hand eller med hjälp av en grafritande räknare.

Antal lösningar Ritar man två linjer i ett koordinatsystem, så kommer linjerna antingen att skära varandra i en punkt, vara parallella eller ha alla punkter gemensamma. I figurerna här nedanför visar vi att ett ekvationssystem med två obekanta antingen har en lösning, saknar lösning eller har oändligt många lösningar.

Exempel:

lösning:

Det går förstås också att rita linjerna med

hjälp av värdetabeller.

Lös ekvationssystemet grafiskt, utan att använda räknare.

y — x + 1 y = -3x + 5

Tidigare har vi lärt oss att rita ekvationerna direkt i koordinatsystemet utan att göra en värdetabell.

Ekvationen y = x + 1 har m = 1 och skär alltså y-axeln i punkten med koordinaterna (0,1). Sätt en punkt där.

Linjen har riktningskoefficienten k Ax

1.

Utgå från punkten (0,1). Gå sedan 1 steg åt höger och 1 steg uppåt. Sätt en ny punkt där. Dra en linje genom punkterna. Nu har vi ritat linjen med ekvationen y = x + 1.

Gör på samma sätt med ekvationen y = -3x + 5. Sätt ut punkten (0, 5). Utgå från den punkten och gå 1 steg åt höger och 3 steg nedåt. Sätt ut en ny punkt där. Dra en linje genom punkterna.

Nu kan vi avläsa skärningspunkten t i l l x = 1 och y = 2.

Kontrollera lösningen.

y = x + l VL = 2 o c h H L = 1 + 1 = 2,VL = HL y = - 3 x + 5 VL = 2 o c h H L = - 3 - 1 + 5 = 2, VL = HL

Alltså är x = 1 och y = 2 en lösning t i l l ekvationssystemet.

Svar: Ekvationssystemet har lösningen j x = 1 y = 2

88 E K V A T I O N E R OCH E K V A T I O N S S Y S T E M O 3 . 2 E K V A T I O N S S Y S T E M

Page 88: Matematik Origo 2b

Exempel: Lös ekvationssystemet med hjälp av din grafritande räknare.

f 2x + 2 y = 1 (1) 1 4 x - 3 y = 2 1 (2)

lösning: För att vi ska kunna lösa uppgiften med hjälp av en grafritande räknare, så måste vi börja med att lösa ut y ur de två ekvationerna som ingår i ekvationssystemet.

Ekvation (1) Ekvation (2)

2 x + 2 y = l 4 x - 3 y = 2 1

2 y = l - 2 x 4 x - 2 1 = 3 y

3 y = 4 x - 2 1 y l

- x

y--x + -1

4x y = T - 7

Ekvationssystemet kan nu skrivas om t i l l

1

2

7

Vi ritar linjerna t i l l ekvationerna med den grafritande räknaren.

Tryck [ ) och skriv in ekvationerna. För att bestämma skärningspunkten trycker du

I - Välj först C 9 o c n sedan 2ND [ CALC

5 : i n t e r s e c t , tryck ENTER tre

Inttrst K=3.2iH

:tion \ 1B5? V=-i.7iH2BS-

Skärningspunkten har koordinaterna x = 3,2 och y ~ -2,7.

Svar: Ekvationssystemet har lösningen f x ~ 3,2 y - -2,7

NIVA 1

3201 Lös följande ekvationssystem med hjälp av figuren.

a) f y = - x + 3 {y=x+5

b) f y = x - l y = - x + 3

3202 Lös ekvationssystemen grafiskt.

^ > y v + 5

1 y - X 1

1 X /

- -x + 3

a)

b)

c)

y = 2x y = - x + 3

x + 1 : 3 x - 5

x-4 •5x + 4

E K V A T I O N E R OCH E K V A T I O N S S Y S T E M O 3 . 2 E K V A T I O N S S Y S T E M 89

Page 89: Matematik Origo 2b

3203 Bestäm med hjälp av figuren antalet lösningar t i l l ekvationssystemen

a) J y = - l , 5 x + 1 { y = 0 ,5x-2

b) J y = 0 ,5x-2 { 2y = x + 6

/

1 i 1 >

1 \ \ \

\

3204 Lös följande ekvationssystem grafiskt.

a) J 2x - y = 4 1 4x + 3y = 3

b) | 5x + 2y = 8 j x - 6 y = 8

3205 Avgör om ekvationssystemet

y = 2x + 3 y = x

har noll, en eller oändligt antal lösningar.

3206 Med hjälp av en figur kan man grafiskt bestämma lösningen ti l l ett ekvationssystem.

a) Vilken lösning har ekvationssystemet?

b) Vilket är ekvationssystemet?

3207 Rita i ett koordinatsystem två räta linjer vars ö ekvationer tillsammans utgör ett ekvations

system med lösningen

| x = 2 j y = 5

3208 Bestäm antalet lösningar t i l l följande ekvationssystem.

a) J 2 y - 4 x - 6 = 0 1 3y - 6x + 3 = 0

b) | 3 x - 3 y - 3 = 0 I 2 x - y - 3 = 0

NIVÅ 2 f

3209 Bestäm konstanten k så att ekvationssystemet

J y = kx + 7

{ 2y - 3x + 2 = 0

a) har en lösning

b) saknar lösning

3210 Patrik ska handla lösviktsgodis t i l l sin mamma Ellen. Hon säger t i l l Patrik att hon vil l ha 5 hg godis och skickar med honom 30 kronor att handla för. I godisaffären finns två olika priser på lösviktsgodis. Det dyrare godiset kostar 7,90 kr/hg och det billigare 4,90 kr/hg. Patrik frågar sig: Är det möjligt att handla precis 5 hg godis för 30 kronor? Efter en stunds funderande kommer han på ett sätt att räkna ut det och ställer upp ekvationssystemet:

x + y= 5 4,90x + 7,90y = 30

a) Förklara vad x och y betyder i ekvationssystemet.

b) Välj en av ekvationerna i ekvationssystemet och förklara vad ekvationen beskriver.

c) Lös ekvationssystemet och besvara sedan Patriks fråga ovan.

(NpMaB vt 2005)

3211 Ange värden på konstanterna a och b så att ekvationssystemet

3y = ax + 3 2y = 3x + b

får oändligt antal lösningar.

9 0 E K V A T I O N E R OCH E K V A T I O N S S Y S T E M O 3 . 2 E K V A T I O N S S Y S T E M

Page 90: Matematik Origo 2b

Substitutionsmetoden Algebraisk lösning I förra avsnittet presenterade vi en grafisk metod för att lösa ekvationssys

tem med två obekanta. Metoden byggde på avläsning och gav lösningar som ibland var närmevärden. Om vi i stället vi l l lösa ett ekvationssystem exakt, så bör v i använda oss av en algebraisk lösningsmetod.

Substitutionsmetoden I det här avsnittet kommer vi att beskriva substitutionsmetoden och i nästa avsnitt tar vi upp additionsmetoden. Om man använder substitutionsmetoden, så löser man först ut en av de obekanta ur någon av ekvationerna och sätter sedan in det i den andra ekvationen. På så sätt erhåller man en ekvation med endast en obekant.

Exempel:

lösning:

Eftersom x = 4; y = 2 är en

lösning till båda ekvationerna, så är det också en lösning till

ekvationssystemet.

Lös ekvationssystemet algebraiskt

x = 2y y = Ax - 14

2y Ax- 14

(1) (2)

Det är ofta praktiskt att numrera ekvationerna 1

Eftersom v i i ekvation (1) har att x = 2y, så kan vi ersätta x i ekvation (2) med 2y:

y = A • 2y - 14 Vi löser ekvationen

y = 8y- 14

14 = 8y-y

7y = 14 Byt plats på leden

y = 2

Nu har vi bestämt att y = 2. För att bestämma x sätter v i in y = 2 i någon av ekvationerna. V i väljer här ekvation (1) x = 2y.

x = 2 • 2 = A Sätter in y = 2 i x = 2y

Ekvationssystemet har alltså lösningen x = A och y=2.

Prövning: V i sätter in lösningen i båda ekvationerna i ekvationssystemet och kontrollerar att den är korrekt.

2y = 2 • 2 = 4, VL = HL och x = 4; y = 2 är Ekvation ( l ) : V L = x = 4, H L : en lösning t i l l ekvation (1).

Ekvation (2): VL = y = 2, HL = Ax - 14 = 4 • 4 x = 4; y = 2 är en lösning t i l l ekvation (2).

14 = 2,VL = HL och

Svar:

E K V A T I O N E R OCH E K V A T I O N S S Y S T E M O 3 . 2 E K V A T I O N S S Y S T E M 9 1

Page 91: Matematik Origo 2b

Exempel: Lös ekvationssystemet

2x + y = 9 3x - 2y = 3

Lösning.- V i börjar med att lösa ut y ur den första ekvationen.

j y = 9 - 2 x (1) [ 3 x - 2 y = 3 (2)

Uttrycket 9 - 2x ersätter y i ekvation (2). På så sätt kan vi bestämma x.

Vi sätter in y = 9 - 2x i ekvation 2

Vi har multiplicerat in 2 i parentesen

3 x - 2 ( 9 - 2 x ) = 3

3 x - ( 1 8 - 4 x ) = 3

3 x - 1 8 + 4 x = 3

7x = 21

x = 3 Nu har vi x-värdet

Sätt in x = 3 i någon av ekvationerna, t i l l exempel ekvation (1)

y = 9 — 2-3 = 3 Och nu har vi även y-värdet

Svar: x = 3 y = 3

Exempel: En dag såldes det 350 biljetter t i l l en cirkus. Biljetterna kostade 300 kr för vuxna och 175 kr för barn. Biljettkassan var den dagen 76 250 kr. Hur många biljetter av varje slag hade sålts?

lösning: Om vi kallar antalet biljetter t i l l vuxna för x och antalet biljetter t i l l barn för y, så får vi ekvationssystemet:

J x + y = 350 (1) Totala antalet sålda biljetter är 350

[ 300x + 175y = 76 250 (2) Summan av intäkterna från vuxen-och barnbiljetterna

Vi använder substitutionsmetoden och löser ut x ur ekvation (1).

Det ger x = 350 - y som vi sätter in i ekvation (2).

300(350-y) + 175y= 76 250 Lös ekvationen

105 000 - 300y + 175y = 76 250

28 750 = 125y

y = 230 Det har sålts 230 barnbiljetter.

Nu sätter vi in y = 230 i ekvation (1).

x-t-230 = 350

x = 120 Det har sålts 120 vuxenbiljetter.

Svar: Det hade sålts 230 barnbiljetter och 120 vuxenbiljetter.

E K V A T I O N E R OCH E K V A T I O N S S Y S T E M O 3 . 2 E K V A T I O N S S Y S T E M

Page 92: Matematik Origo 2b

NIVA 1

Lös ekvationssystemen algebraiskt.

3212 a)

b)

3213 a)

b)

••-4 -2x-5

x = 3y y = bx + 28

y = 2x + 7 y = Ix - 8

3 y - 4 x = 0 y = 2x - 2

3214 En burk innehåller 50 glaskulor av två olika storlekar. Den mindre sorten väger 2,5 g och den större 3,5 g. Tillsammans väger kulorna 155 g. Klara har fått i uppgift att bestämma hur många kulor det finns av varje slag i burken. Hon ställer upp ekvationssystemet

J x + y = 50 { 2,5x+ 3,5y = 155 a) Förklara med ord vad de två ekvationerna

i ekvationssystemet betyder.

b) Lös ekvationssystemet och tolka resultatet.

Lös ekvationssystemen algebraiskt.

3215 a)

b)

3216 a)

b)

2 x - y = 7 y = bx- 19

x + y = 8 2x + 3y= 19

2a + bb = 6 4a - b = 1

6x + y = 3 2x-0,5y = - 0 , l

3217 Summan av två tal är 131 och differensen av talen är 15.

a) Ställ upp ett ekvationssystem som kan användas för att lösa uppgiften.

b) Lös ekvationssystemet och bestäm vilka talen är.

3218 Biljetten t i l l en fotbollsmatch kostar 120 kr för vuxna och 30 kr för barn. Totalt såldes 340 biljetter och man fick in totalt 40 800 kr i biljettintäkter. Hur många barn- och vuxenbiljetter har salts?

NIVÅ 2

3219 Lös ekvationssystemen algebraiskt

s + 2 ( f - 6 ) = 0

0

. 3s + 2 r= 30

b) | 5u-w- 11 = 4w + 3w = 2

3220 Linjerna y + x - — = 0 och y - 2x + 7 = 0

begränsar tillsammans med x-axeln en t r i

angel. Beräkna triangelns area.

3221 Om accelerationen är konstant, så kan man

bestämma farten med hjälp av formeln

v = v0 + at

där v är farten t sekunder efter startögonblicket, a är accelerationen och v 0 är utgångsfarten. Bestäm utgångsfarten och accelerationen, givet att farten efter 3,0 s är 10 m/s och att den efter ytterligare 2,0 s är den 22 m/s.

3222 Lös ekvationssystemet

2 x + 3 y - 3 ( x + 5) +y = 1 x - 6 + ( y - 1) = - 3

NIVÅ 3

3223 Bestäm p och q så att ekvationssystemet får lösningen x = 1 och y = 3

y = px + q py = b-qx

3224 Nils simmar i den närbelägna älven. Han simmar 100 m på 2 minuter och 5 sekunder när han simmar mot s t römmen. När han simmar åt andra hållet tar samma sträcka bara 40 sekunder. Beräkna hur fort han simmar utan hjälp av strömmen.

E K V A T I O N E R OCH E K V A T I O N S S Y S T E M O 3 . 2 E K V A T I O N S S Y S T E M 93

Page 93: Matematik Origo 2b

Additionsmetoden På liknande sätt som med substitutionsmetoden, kan man med hjälp av additionsmetoden skriva om ett ekvationssystem ti l l en ekvation med endast en obekant. Titta på ekvationssystemet

x-2y=\ (1) x + 2y=5 (2)

Om vi adderar de två ekvationerna ledvis, det vill säga om vi adderar höger led med höger led och vänster led med vänster led, så kommer y-termerna att ta ut varandra.

( x _ 2y _ 1 I X—2y + X + 2 y = l + 5 y-termerna tar ut varandra

+ x + 2^-5 2x = 6 2x + 0 = 6

x = 3

Om vi sedan sätter in x = 3 i t i l l exempel ekvation (2), så kan vi bestämma y.

3 + 2y = 5 ger 2y = 2 och slutligen y = 1.

Exempel: Lös ekvationssystemet

7y -23x = 44 (1) 13y+23x=16 (2)

Lösning.- V i löser ekvationssystemet med additionsmetoden och adderar ekvatio

nerna ledvis

7y - 23x = 44

+ 13y+23x = 16 [ 7y + l3y = 20y 1 -23x + 23x=0

20y + 0 = 60 ^ J 4 + 1 G = BO

20y = 60 Lös ut y

60 Y 20

y = 3

V i bestämmer värdet av x genom att sätta in y = 3 i någon av ekvationerna, t i l l exempel i ekvation (2).

13 • 3 + 23x= 16 Lös ut x

39 + 23x = 16

23x = -23 Kontrollera genom prövning att lösningen är korrekt.

X = —1 w

Svar: Ekvationssystemet har lösningen f x = - 1 y = 3

9 4 E K V A T I O N E R OCH E k V A T I O N S S Y S T E M O 3 . 2 E K V A T I O N S S Y S T E M

Page 94: Matematik Origo 2b

10x + O = 20

Exempel: Lös ekvationssystemen

2x + y = 1 0 (1)

4jc-3y = -10 (2)

lösning: Vi löser ekvationssystemet med additionsmetoden. För att y-termerna ska ta ut varandra multiplicerar vi båda led i ekvation (1) med 3.

3(2*+ y) = 3- 10 4 x - 3 y = -10

6x + 3y = 30 4 x - 3 y = -10

V i adderar ekvationerna ledvis:

6x + 3y = 30 6x + 3y + 4x - 3y = 30 + (-10) y-termerna tar ut varandra + 4 x - 3 V = - 1 0 lOx = 20

x = 2

Vi sätter in x = 2 i någon av ekvationerna, t i l l exempel (1): 2x + y = 10 2 - 2 + y = 10 4 + y = 10 y = 6

Svar: f x = 2 y = 6

3

3225 Lös ekvationerna med hjälp av additionsmetoden.

a) | 2x + y = 11 1 3 x - y = 4

b) [ - l , l x + 3y = 4 l , l x + y = 16

| 3x + 2y - 5 = 0 2 y - 3 x + 7 = 0

3226 Du har följande ekvationssystem

y + 2x = 5 -2y + 5x = 8

a) Vilket tal ska man multiplicera den övre ekvationen med för att y-termerna ska försvinna direkt när vi adderar ekvationerna?

b) Lös ekvationssystemet med hjälp av additionsmetoden.

E K V A T I O N E R OCH E K V A T I O N S S Y S T E M O 3 . 2 E K V A T I O N S S Y S T E M 95

Page 95: Matematik Origo 2b

Lös ekvationssystemen algebraiskt.

3227 a) | 3 x - y = 4 \ 2y-3x = 1

b) f 2x + 3y = 1 x-y= 8

3228 a)

b)

2x + y-5 = 0 3x + 2y - 8 = 0

3x-2y + 12 = 0 6x + 5y - 3 = 0

3229 Johanna och Michael köper cd-skivor i London. Cd-skivorna har färgmarkeringar som kod för priset. Johanna betalar 32 pund för två röda och en blå skiva. Michael betalar 36 pund för en röd och tre blå skivor. Johannas köp kan beskrivas med ekvationen 2x + y = 32.

a) Beskriv Michaels köp med en liknande ekvation.

b) Använd ekvationerna för att beräkna priset på en röd respektive en blå skiva.

(Np MaB vt 2002)

3230 Lös ekvationssystemen med additionsmetoden.

a) t 3x-7y= 11

1 3x + 5y = -13 b) J 10x + 8y = 44

lbc + 7y = 61

NIVA 2

3231 Emil säljer hamburgare och läsk vid en orienteringstävling. Hamburgarna kostar 30 kr och läsken 10 kr. När tävlingen är slut har han 5 900 kr i kassan. Han tjänar 15 kr på varje hamburgare och 4 kr på varje läsk. Hans totala vinst blir 2 780 kr. Hur många hamburgare och hur många läsk har han sålt?

3232 Summan av två tal är två. Summan av det dubbla värdet av det ena talet och halva värdet av det andra talet är en fjärdedel. Vilka är talen?

3233 Åsa och Torbjörn arbetar på en sommarkoloni. Barnen på kolonin serveras mellanmjölk (fett-halt 1,5 %) till måltiderna. En dag får de en felaktig leverans som bara innehåller lättmjölk (fetthalt 0,5 %) och standardmjölk (fetthalt 3 % ) . De beslutar sig därför att blanda dessa båda sorter. Åsa skriver följande på en lapp:

a liter lättmjölk och b liter standardmjölk a + ö = 10 (1)

0,005o + 0,030 = 0,015 • 10 (2)

a) Förklara vad ekvation (1) beskriver.

b) Förklara vad ekvation (2) beskriver.

c) Hur mycket mjölk av varje sort ska de blanda?

(Np MaB ht 1998)

Resonemang och begrepp

6 Vad menas med att b e s t ä m m a samtliga lösningar t i l l en ekvation i formeny = fcx + m?

Q Vad menas med att b e s t ä m m a en gemensam lösning t i l l två ekvationer i formeny = kx + m?

Q Vilka skillnader finns det mellan att lösa ett ekvationssystem grafiskt jämfört med att lösa det algebraiskt?

6 När man löser ett ekvationssystem med additionssystemet adderar man två ekvationer ledvis. Förklara varför den additionen inte ändrar ekvationssystemets lösning.

O I vilka fall är substitutionsmetoden att föredra framför additonsmetoden?

96 E K V A T I O N E R OCH E K V A T I O N S S Y S T E M O 3 . 2 E K V A T I O N S S Y S T E M

Page 96: Matematik Origo 2b

Med /\(7, -3) menas punkten A med

koordinaterna (7, -3)

3.3 Analytisk geometri Avståndsformeln Med hjälp av Pythagoras sats kan man beräkna avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem. Här har vi satt ut punkterna A(7, -3) och B(-2,2). Om man drar två hjälplinjer parallellt med koordinat-axlarna, så bildas den rätvinkliga triangeln ABC.

Kateternas längder AC och BC är skillnaden mellan punkternas x- respektive y-koordinater.

5 C = ( 2 - ( - 3 ) ) l . e . = 5l.e.

AC= ( 7 - ( - 2 ) ) l . e . = 9l.e.

Avståndet mellan A och B, dvs. längden av sträckan AB, kan beräknas med Pythagoras sats

(AB) 2 = 5 2 + 9 2

AB = V52 + 9 2 Le. = VT06 Le. = 10,3 Le.

Avståndet mellan punkterna A och B är ca 10,3 Le.

Om punkterna A och B i stället har koordinaterna (xA, yA) respektive (xB,yB), så kan resonemanget här ovanför sammanfattas i avståndsformeln.

Avståndsformeln

Avståndet d mellan två punkter A och B med koordinaterna (xA, yA) respektive (xB, yB) är

d = \ l ( x A - x B ) 2 + ( y A - y B ) 2 eller d = \ f ( x B - x A ) 2 + (yB-yA)2

Skillnaden i x-led Skillnaden i y-led mellan punkter mellan punkter

na A och B na A och 6

ti E K V A T I O N E R OCH E K V A T I O N S S Y S T E M O 3 . 3 A N A L Y T I S K G E O M E T R I 97

Page 97: Matematik Origo 2b

Exempel: Beräkna det exakta avståndet mellan punkterna med koordinaterna (6, 9) och (1,5).

lösning: Avståndet mellan två punkter beräknas enklast med avståndsformeln.

d = ^{xA-xB)2 + iyA-yB)2 (xA, yA) = (G, 9) och (x B , yB) = (1, 5)

d = \ / ( 6 - l ) 2 + ( 9 - 5 ) 2 = V52 + 4 2 = V25~Tl6 = V4T

Svar: Avståndet är ViT Le. V T är ett exakt värde )

t NIVA 1

3301 Triangeln ABC är placerad i ett rätvinkligt koordinatsystem. Beräkna sträckan

a) AC b) BC c) AB

- — — y h r „ .a

3 3 C 1 X

s • ?

,

3302 Bestäm längden av sträckan mellan punkterna A och B.

F 1-1 1-

\

)

3303 Bestäm avståndet mellan följande punkter

a) (5,-1) och (8,5)

b) (2,-3) och ( -3 , -6)

3304 Läget för en ort A kan anges med punkten (0,4) och för en annan ort B med (6, 7). Hur långt är det fågelvägen mellan orterna om 1 längdenhet i koordinatsystemet motsvarar 1 kilometer i verkligheten?

3305 En triangel har hörnen i punkterna (3,1), (6,1) och (2,4). Är triangeln likbent?

3306 Två träd på en ritning har koordinaterna (3,1) och (7,4). Beräkna avståndet mellan träden i verkligheten om 1 längdenhet på ritningen motsvarar 4 m.

N I V Å 2

3307 Visa att en fyrhörning med hörnen i (2,2), (3, -1 ) , (-1,1) och (0, -2) är en romb, dvs. att alla sidor är lika långa.

3308 Använd ömvändningen av Pythagoras sats för att avgöra om tringeln med hörnen i punkterna (2,2), (-1,2) och (0,4) är rätvinklig.

3309 Punkten (3, a) ligger lika långt från origo som från punkten (1,5). Bestäm talet a.

3310 En likbent triangel har hörnen i punkterna A(5,7),B(9, 16) och C(14, 11). Sträckan AD är höjden från A t i l l sidan BC. Beräkna längden av AD.

N I V Å 3

3311 Punkten (5, 5) är mittpunkt på en sida i en kvadrat med sidorna parallella med koordi-nataxlarna. Til l ett av hörnen i kvadraten är avståndet från origo V41 l.e.

a) Ange hörnets koordinater.

b) Hur många olika kvadrater är möjliga att skapa med de förutsättningarna, om hörnens koordinater är heltal?

98 E K V A T I O N E R OCH E K V A T I O N S S Y S T E M O 3 . 3 A N A L Y T I S K G E O M E T R I

Page 98: Matematik Origo 2b

Analytisk geometri -koordinatgeometri

analys kommer från grekiskans analysis som betyder "upplösning, sönderdelning"

Grafisk metod

Algebraisk metod

Problemlösning med hjälp av analytisk geometri I förra avsnittet bestämde v i avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem genom att utföra algebraiska beräkningar med hjälp av avståndsformeln. När vi utförde dessa beräkningar kan man säga att v i löste geometriska problem med hjälp av algebraiska metoder. Det område som på det sättet förenar algebra och geometri kallas analytisk geometri eller koordinatgeometri.

Ekvationerna y = 125 + 7 (be och y = 95x kan användas som modell för att beskriva kostnaden för att hyra en cykel hos två olika firmor, där y är kostnaden och x är antalet dagar som man hyr cykeln.

Genom att lösa ekvationssystemet

y= 125 + 70x

y 95x

kan man bestämma hur många dagar man måste hyra cykeln för att kostnaden ska bli lika stor oavsett vilken uthyrningsfirma man väljer.

Ett sätt att lösa ekvationssystemet är att använda en grafisk metod. V i ser då de två ekvationerna som räta linjer och använder sedan geometriska metoder för att rita linjerna i ett koordinatsystem och avläsa deras skärningspunkt (5,475).

K, M i

1 ; o ' °

T

40 ] Lösningen till ekvationssystemet | v = i + 70x

Lösningen till ekvationssystemet | Lösningen till ekvationssystemet |

[ i l l n T

J u J

i n - i

. u J 'v _ 35 X

LO

X

— ] l

-— c

— agar - 4 - — — - -—

c —

agar - 4 - —

Ett annat sätt att ta reda på linjernas skärningspunkt är att använda en algebraisk metod (substitutions-eller additionsmetoden) för att bestämma talparet x = 5 och y = 475 som är ekvationssystemets lösning.

Vid dessa lösningsmetoder använder v i oss av analytisk geometri. Oavsett metod, så får vi samma lösning på problemet. Det blir samma kostnad för båda firmorna om man hyr cykeln i 5 dagar. Hyreskostnaden blir alltså i båda fall 475 kr om man hyr en cykel i 5 dagar.

Med hjälp av analytisk geometri kan man med relativt enkla algebraiska metoder utföra svårare geometriska konstruktioner, som t.ex. att flytta linjer i ett koordinatsystem. Hur det kan gå t i l l visar vi i det andra exemplet.

E K V A T I O N E R OCH E K V A T I O N S S Y S T E M O 3 . 3 A N A L Y T I S K G E O M E T R I 99

Page 99: Matematik Origo 2b

E x e m p e l : Bestäm skärningspunkterna mellan parabeln y = 2x2 — 5x + 1 och den räta linjen y = 3x - 5

lösning: Metod 1 Vi ritar graferna i ett koordinatsystem och avläser skärningspunkternas koordinater.

Parabeln y = Ix2 — 5x + 1 och den räta linjen y = 3x - 5 skär varandra i två punkter, punkternas koordinater är (1,-2) respektive (3,4).

Metod 2 Vi skriver ekvationerna i ett ekvationssystem och söker ekvationssystemets lösning med en algebraisk metod. Här väljer vi att använda substitutionsmetoden.

y = Ix2 - 5x + 1 y = 3x - 5

Uttrycket y = 3x - 5 ersätter y i den första ekvationen

2 x 2 - 5 x + 1 = 3 x - 5

Ix2 — 8x + 6 = 0 Vi delar båda led med 2, så att vi sedan kan använda lösningsformeln för andragradsekvationer.

x 2 - 4x + 3 = 0

x = 2 ± V 2 2 - 3

x = 2 ± 1 Ekvationen har två lösningar vilket innebär att det finns två skärningspunkter.

x, = 3 g e r y ! = 4 x 2 = l g e r y 2 = -2

Svar: De två skärningspunkterna är (1,-2) och (3,4).

Exempel: Linjen y = 2x - 4 parallellförflyttas i koordinatsystemet så att linjens skärningspunkt med x-axeln hamnar i (-1,0). Bestäm den förflyttade linjens ekvation.

lösning: Vi ritar först y = 2x - 4 och flyttar sedan linjen i x-led så att den skär x-axeln i punkten (-1,0).

Varje punkt på linjen har nu flyttats 3 längdenheter åt vänster, dvs. linjen är 3 längdenheter "före" i x-led. Därför ersätts variabeln x i ekvationen y = 2x - 4 med (x + 3).

y = 2(x + 3 ) - 4 = 2 x + 6 - 4 = 2x + 2 Vi ersätter x med (x + 3) i ekvationen

Svar: Den förflyttade linjens ekvation är y = 2x + 2.

l O O E K V A T I O N E R OCH E K V A T I O N S S Y S T E M O 3 . 3 A N A L Y T I S K G E O M E T R I

Page 100: Matematik Origo 2b

NIVA 1 f

3312 Använd figuren för att bestämma eventuella lösningar t i l l ekvationssystemen.

b)

c)

y = 2x - 6

y = X2- -4x + 2

y = 2- X

y = 3x

y = 2- X

y = X2- -4x + 2

y <• -t \x t 2 X - 6

i - \ /

/

/ y 2 -X v X - > i / /

3313 Bestäm skärningspunkterna mellan parabeln y = x2 och den räta linjen y = 2x + 8.

3314 Linjen y = 5x - 20 förflyttas i koordinatsystemet så att linjens skärningspunkt med x-axeln hamnar i (8,0). Bestäm den förflyttade linjens ekvation.

3315 Hur många skärningspunkter har den räta 3x 2

linjen y — 15x - 24 och parabeln y = —-. Vilka är de eventuella skärningspunkternas koordinater?

NIVA 2 }

3316 I koordinatsystemet har vi markerat punkterna P och Q.

/

t ) ( 11 TI n) 3 ( ( \ ) i \ • 't

v 1 X \ 1 X \

) 1

) 1

x in a) Gäller olikheten - < — ?

y n

b) Bestäm avståndet mellan punkterna P och Q.

3317 Linjen y • 9 flyttas 2 längdenheter t i l l

vänster och 5 längdenheter uppåt i koordinatsystemet. Bestäm den förflyttade linjens ekvation.

3 NIVA 3

3318 Bestäm värdet av m så att linjen y = x + m x2

tangerar kurvan y = — i en enda punkt.

3319 Du har fått i uppgift att rita några räta linjer y=kx+m och parabeln

x2

y = Y i samma koordinatsystem. Visa att för alla k och ni där k2 > -2m, så skär dessa räta linjer parabeln i två punkter.

Resonemang och begrepp Q Förklara varför (xA - xB)2 ger samma resultat som (xB - xA)2.

O Man kan säga att avståndsformeln och Pythagoras sats egentligen är samma sak. Förklara vad man menar med det.

O Kan man använda avståndsformlen för att beräkna längden av sträckor som är parallella med någon av koordinataxlarna?

O För vilka värden på konstanten a skär linjeny = a parabelny = (x - a)2?

E K V A T I O N E R OCH E K V A T I O N S S Y S T E M O 3 . 3 A N A L Y T I S K G E O M E T R I l O l

Page 101: Matematik Origo 2b

Ett företag tillverkar och säljer mobiltelefonerna Achronya (modell A) och Bestado (modell B). De två modellerna tillverkas vid samma fabrik. Naturligtvis vil l företaget producera det antal av varje telefonmodell som ger den största vinsten totalt. Hur stor vinsten är beror på flera olika saker.

Modell A är mer avancerad och har ett högre pris. Vinsten per såld mobil är 1 500 kr för modell A och 1 000 kr för modell B.

Företaget vill vara säkert på att mobiltelefonerna håller hög kvalitet, så kontrollenheten genomför rutinmässiga kontroller av mobilerna. Detta tar i genomsnitt 4 minuter per mobil för modell A och 3 minuter per mobil för modell B. Den totala arbetstiden för kontrollenheten uppgår t i l l 750 timmar per månad.

• Teckna ett uttryck för företagets vinst.

• Hur stor blir vinsten för företaget om man tillverkar och säljer 20 000 st av modell A och 10 000 av modell B på en månad?

• Hur lång tid behöver kontrollenheten för att hinna kontrollera 20 000 st av modell A och 10 000 st av modell B på en månad? Hinner kontrollenheten med att kontrollera alla telefonerna?

• Ge två olika exempel på hur många av respektive modell som företaget ska tillverka för att vinsten ska bli 10 miljoner kr. Hinner kontrollenheten med att kontrollera alla mobiler?

• Hur många telefoner måste man tillverka och sälja av varje modell för att vinsten ska bli 16 miljoner kronor. Företaget har som krav att kontrollenheten utnyttjas maximalt.

• Hur stor kan vinsten bli maximalt?

• På grund av problem med underleverantörer kan de avdelningar som tillverkar mobiltelefonerna endast göra 10 000 st av varje modell per månad. Bestäm den maximala vinsten under dessa nya förutsättningar.

1 0 2 E K V A T I O N E R OCH E K V A T I O N S S Y S T E M O n - U P P G I F T

Page 102: Matematik Origo 2b

Att lösa ekvationssystem

Litchi

— *

n + —

Två tal skrivna med kinesiska taltecken på traditionellt, lodrätt, sätt. Till vänster står talet 161 och till höger talet 345.

f o ? Lös e k v a t i o n s s y s t e

met om apels iner och l itchi

som är beskr ivet i t e x ten

och to lka resu l ta te t .

Lös ekva t ions sy s te

met

|

x + y - 2 z = -5

3x - 2y + z = 9

2x + 2y - z = -4 med gausse l iminer ing .

Nio k a p i t e l o m matematikens konst "Säg att Wang köper två apelsiner och tio litchi och betalar 22 pengar, medan Qing köper tre apelsiner och sju litchi och betalar 25 pengar. Vad kostar apelsiner och litchi per styck?"

Exemplet är hämtat ur boken Nio kapitel om matematikens konst (på kinesiska Jiuzhang Suanshu) från ca 100 e.Kr. Där presenterades ett stort antal matematiska problem, däribland ekvationssystem. Problemen presenterades i boken tillsammans med metoder för att lösa dem. Man beskrev endast metoderna för att lösa ett problem. Några förklaringar t i l l varför de fungerade gav man inte.

I boken Nio kapitel om matematikens konst publicerades även metoder för att lösa ekvationssystem med tre och fyra obekanta. Mer avancerade metoder för att lösa ekvationssystem än vad vi har presenterat i det här kapitlet, var alltså kända av kinesiska matematiker för 2 000 år sedan.

Gausseliminering För att lösa ekvationssystem med tre eller fyra obekanta används i dag en liknande metod som den kineserna använde. Det innebär att man stegvis eliminerar en obekant åt gången för att i den sista ekvationen endast ha en obekant kvar. Nu för tiden kallar vi det för gausseliminering. Vi visar principen med ett exempel:

@ f 2 x + 3 y - z = 7 (1) I x + y + z = 8 (2) l x + y - z = 0 (3)

@ C 2x + 3y - z = 7 0 - y + 3z = 9

l 0 - y - z = -7

Multiplicera © ( (2) och (3)

med 2 | © I © I

Subtrahera © I

(3) med (2) 1

2x + 3y - z = 7 2x+2y + 2z= 16 2 x + 2 y - 2 z = 0

2x + 3y - z = 7 0 - y + 3z = 9 0 + 0 - 4 z = -16

Subtrahera (2) med (1) och (3)

med (1)

Med hjälp av gausseliminering har vi fått ekvationssystemet

f 2x + 3y - z = 7 \ - y + 3 z = 9 i 4z= 16

som vi kan lösa på ungefär samma sätt som vi gjort tidigare i kapitlet. Ekvationssystemets lösning blir

r x= 1 7 = 3

{ z = 4

Metoden är döpt efter den tyske matematikern Karl Friedrich Gauss (1777-1855). Gauss återupptäckte denna metod för att lösa ekvationssystem när han höll på med det som han själv uppfattade som en av de viktigaste uppgifterna för vetenskapsmän, nämligen att beräkna jordens form.

E K V A T I O N E R OCH E K V A T I O N S S Y S T E M © H I S T O R I A 103

Page 103: Matematik Origo 2b

E K V A T I O N S S Y S T E M MED T R E OBEKANTA

Utgå från en verklig situation och omvandla den t i l l ett matematisk problem som kan lösas med ett ekvationssystem med tre obekanta.

Låt en kamrat lösa ditt ekvationssystem. Kan han/hon lista ut vilken situation du avser att lösa med problemet? Du kan ge ledtrådar under vägen.

/Ky

2:a kvadranten

3:e kvadranten

l : a kvadranten

X

> 4:e kvadranten

LINJER OCH T R I A N G L A R

Linjerna y = kx + 13 och y = x + 1 skär varandra i en punkt som ligger i 1 :a kvadranten om k väljs på lämpligt sätt. Då är skärningspunktens koordinater positiva.

Låt k = 0 och rita upp de båda linjerna.

Bestäm skärningspunkten mellan linjerna.

Linjerna y = kx+ 13,y = x + 1 samt y-axeln bildar en triangel då k = 0.

Linjerna y = f c x + 1 3 , y = x + l samt y-axeln bildar en annan triangel då k = - 1 .

Beräkna och jämför trianglarnas areor.

Arean av den triangel som begränsas av linjerna y = kx+ 13,y = x + 1 samt y-axeln är beroende av värdet på k. Undersök och beskriv hur arean beror av k, under förutsättningen att linjerna skär varandra i första kvadranten.

(Np MaB vt 2002)

E K V A T I O N S S Y S T E M OCH ANTAL LÖSNINGAR

Du har ekvationssystemet

J 3x + 2y = u { vx - y = 6

a) Sätt u = v = 2 och lös ekvationssystemet.

b) Välj talen u och v så att ekvationssystemet saknar lösningar.

Visa att om koefficienterna au a2, bx och b2 t i l l ekvationssystemet

ayx + bxy = C[ a2x + b-y = c2

a) uppfyller villkoret axb2- a2b{ = 0, så har ekvationssystemet noll eller oändligt antal lösningar

b) uppfyller villkoret alb2 - a2bx t- 0, så har ekvationssystemet precis en lösning

104 E K V A T I O N E R OCH E K V A T I O N S S Y S T E M O P R O B L E M OCH U N D E R S Ö K N I N G A R

Page 104: Matematik Origo 2b

Ekvationer och ekvationssystem

Räta linjens ekvation • y = kx + m

riktningskoefficient k

skär y-axeln för (0, m)

Linjära ekvationssystem

Att bes tämma linjens ekvation • rät linje genom en punkt och med

känd riktningskoefficient

• linje genom två punkter

grafisk lösning

algebraisk lösning

antal lösningar

Algebraisk lösning av ekvationssystem • substitutionsmetoden

• additionsmetoden

Analytisk geometri • avståndsformeln

• förflyttning av grafer

• grafers skärningspunkt

E K V A T I O N E R OCH E K V A T I O N S S Y S T E M O T A N K E K A R T A I O 5

Page 105: Matematik Origo 2b

B NIVA 1

8 Bestäm linjernas ekvationer.

1 Rita i ett koordinatsystem linjerna som bestäms av ekvationerna y = x och y = -0,5x +1,5. Ange därefter lösningarna t i l l ekvationssystemet

| y = x 1 y= -0,5x+ 1,5

2 Bestäm ekvationen för den räta linje som har

a) riktningskoefficienten 3 och går genom punkten med koordinaterna (2,1).

b) riktningskoefficienten -2 och går genom punkten med koordinaterna ( - 1 , -4)

3 Bestäm lösningen t i l l ekvationssystemet

J y = Ix2 - 5x + 1 1 y = 3x - 5

4 Bestäm riktningskoefficienten för linjen som går genom punkterna med koordinaterna

a) (2, 1) och (4,5)

b) (-2,7) och (3,-8)

5 Du har ekvationen y = 2x + 3.

a) Ange en lösning t i l l ekvationen

b) Hur många lösningar finns t i l l ekvationen?

6 Bestäm längden av sträckan mellan följande punkter

a) (-2,3) och (5,1)

b) (3,-5) och (4,-2)

7 Lös ekvationssystemet grafiskt.

f y=3x—l { y = 5 x - 5

/ h)

,1

"t" X s /

/

9 Var skär grafen t i l l funktionen y = 3x - 7

a) y-axeln

b) x-axeln

10 Lös ekvationssystemen

a) f x = 3 1 y = 3 x - 2

b) f y - x = 3 y + x = 11

11 Niclas vill pröva att träna på Svennes gym en månad och undersöker gymmets olika kostnadsalternativ.

Alternat iv 1: Månadskort 4 0 0 kr + 25 kr per träningsti l l fäl le

Alternat iv 2: 80 kr per träningsti l l fäl le

a) Beskriv kostnaden för de olika alternativen med hjälp av ekvationer. Låt y vara kostnaden och x antal träningstillfällen.

b) Hur många gånger ska Niclas träna för att han ska tjäna på att köpa månadskort?

1 0 6 E K V A T I O N E R OCH E K V A T I O N S S Y S T E M O B L A N D A D E U P P G I F T E R

Page 106: Matematik Origo 2b

12 Vilka av linjerna är parallella?

A 4x - 3y + 1 = O

B 3x + 2 y - 2 = 0

C y = 2x + 1

D y = -l,5x- 1

13 Vilken riktningskoefficient har en linje som är vinkelrät mot linjen y = 2x + 3?

14 Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna med koordinaterna (-20,-10) och (20, 10).

15 Två räta linjer beskrivs av ekvationerna 2y - 4x = 3 och 2y + 5x = 1. Avgör om linjerna är vinkelräta mot varandra. Motivera.

16 Lös ekvationssystemen algebraiskt

a) J y = x - 2 [ 2x + y = -3

b) j x + 2y = 8

1 2x+ 3y= 14

17 Ange ekvationen för den linje som går genom punkten med koordinaterna (2,4) och är

a) parallell med x-axeln.

b) parallell med y-axeln.

18 Lös ekvationssystemen algebraiskt

a) J 3x + 2y = 1 { x - 2 y = 3

b) | 7 x - 5 y = 2 9 { 5y + 7x = -11

19 Bestäm ekvationen för linjen genom

a) (2, 2) och (-1,8)

b) (3,1) och (-3,-1)

20 Ge exempel på ekvationen för en rät linje som 0 a) är parallell med linjen y = 5x - 12.

b) beskriver en linje som är parallell med y-axeln.

21 Bestäm k så att linjen y = kx - 4 blir vinkelrät mot

y = - f * + 3.

4 22 Den räta linjen y = —x - 3 är skriven i fc-form.

Skriv den i allmän form ay+bx + c=0 och

ange talen a, b och c.

23 Vilket värde ska t ha om punkten med koordina-ten (2,3) ska ligga på linjen 3 x - ry + 7 = 0?

24 Ge ett exempel på ett ekvationssystem som har ö lösningen

25 Rebecca ska teckna ett teleabonnemang. Hon har bestämt sig för Telel och jämför deras "Knock-ut" med "Polare".

Knock-ut Månadsavgif t 0 kr Minutavgift dygnet runt: Fas ta nätet inom Sverige 49 öre Mobiltelefoner inom Sverige 49 öre Öppningsavgi f t/samtal G9 öre

Polare Månadsavgi f t 49 kr Minutavgift dygnet runt: Fas ta nätet inom Sverige 0 kr Mobiltelefoner inom Sverige 0 kr Öppningsavgi f t/samtal G9 öre

Hon räknar med att hon ringer 50 samtal per månad och att det nästan alltid är t i l l mobiltelefoner. Därför sätter hon upp två ekvationer som beskriver hur månadskostnaden y kr beror av samtalstiden x minuter hon pratar:

Knock-ut y = 50 • 0,69 + 0,49x Polare y = 49 + 50 • 0,69

a) Lös ekvationssystemet.

b) Vad får du reda på genom att lösa det?

E K V A T I O N E R OCH E K V A T I O N S S Y S T E M O B L A N D A D E U P P G I F T E R I O 7

Page 107: Matematik Origo 2b

Q: UJ H UL

a n a D UJ a < a z < - i m

26 Den räta linjen med ekvationen y = 3x — 2 är parallell med en annan rät linje som går genom punkten med koordinaterna (1,4). Bestäm ekvationen för linjen genom (1,4).

27 Figuren nedan kan användas för att grafiskt lösa ett linjärt ekvationssystem.

A \ ^ j

\ \ 1 \ V

/ 1 / Å

1\ )

/ — —

a) Ange lösningen t i l l ekvationssystemet.

b) Vilket är ekvationssystemet?

(Np MaB vt 2002)

28 Bestäm skärningspunkterna mellan parabeln y = 2X2 och den räta linjen y = Ax + 6.

29 Genom tre av punkterna med koordinaterna (2,-7) , (8, 35), (12, 61) och (17,98) kan man dra en linje. Vilka?

N I V Å 1

30 Bestäm talet b så att linjen genom punkterna med koordinaterna (l, b) och (3, 3b) har riktningskoefficienten 5.

31 En rät linje med riktningskoefficienten - 1 går genom punkten med koordinaterna (1,4). Ange koordinaterna för linjens skärningspunkt med x-axeln.

32 Ange ett värde på konstanten a så att ekvationssystemet

f y = -3x + 1 [ 2y - ax = 4

saknar lösning.

33 En rät linje går genom punkterna med koordinaterna (6, 7) och (-1,2). En annan rät linje går genom punkterna med koordinaterna (9,4) och (4,11). Är linjerna vinkelräta mot varandra?

34 Lös ekvationssystemen

a) j 3x - 6y = 5 1 6 x - 9 y = 8

b) | 5x + 3y = 23 j 2x + 4 y = 12

35 Skriv linjernas ekvationer i fc-form.

a) ^ = x

b) 3 ( 2 x - 7 )

y-4

y+1

c) 2 (3x+2) = 2

36 Ralf påstår att ekvationerna y - x2 = 0 och x 2 - y = 0 beskriver samma kurva. Har han rätt eller fel? Motivera ditt svar.

37 I ett koordinatsystem finns de tre punkter som markerats i figuren. Wilma anser, att dessa tre punkter ligger på en rät linje. Madeleine menar, att punkterna inte alls ligger på en rät linje utan att det bara ser ut så. Undersök vem som har rätt.

(10,8)

(-6,-1)

• (3,4)

(Np MaB vt 2002)

38 Bestäm arean av det område som begränsas av linjerna y = x + 3, y = —2x + 6 och de båda positiva koordinataxlarna.

39 Kostnaden för att hyra en bil består av en fast avgift och en kilometerkostnad. Hos en firma kostar det 300 kr att hyra bilen och köra 50 km. Samma firma tar 350 kr för 75 km. Beräkna den fasta avgiften och kilometerkostnaden.

108 E K V A T I O N E R OCH E K V A T I O N S S Y S G T E M O B L A N D A D E U P P G I F T E R

Page 108: Matematik Origo 2b

00

40 Bestäm konstanterna a och b så att ekvationssystemet

[ ay+bx = 0 \ „ bx

2ay + — =11 l 6

har lösningen

f x = l

p i v Å l

41 Punkten (a, 5) ligger lika långt från punkten (4,2) som från (2,3). Bestäm talet a.

42 På linjen y = 2x finns en punkt P vars avstånd t i l l origo är 24 längdenheter. Beräkna punkten P:s x-koordinat, x > 0.

43 Bestäm koordinaterna för de punkter på linjen med ekvationen y = x vars avstånd t i l l origo är exakt V32 längdenheter.

44 En familj vi l l hyra bil en dag för att göra en rundresa i Småland. Hos Småbil kostar hyrbilen 456 kr per dag inklusive 100 km och därefter 2,3 kr för varje extra km. Den andra firman, Miljöfordon, tar 345 kr per dag för hyrbilen och 1,5 kr för varje körd km.

a) Efter hur många körda km blir bilen billigare att hyra hos Småbil?

b) För vilka körsträckor är bilen billigare att hyra hos Småbil?

45 En handlare vil l sälja 100 kg biandfärs för 50 kr/kg. Han blandar den av nötfärs som kostar 62,50 kr/kg och fläskfärs som kostar 48,10 kr/kg. Hur mycket av vardera sorten ska han välja?

2x 46 Linjerna y = — och x = a avgränsar

a tillsammans med x-axeln ett område. Bestäm värdet på konstanten a så att områdets area blir 3 areaenheter. (Np MaB ht 1998)

> Z O > a m c •o T3 n

m 73

3

E K V A T I O N E R OCH E K V A T I O N S S Y S T E M O B L A N D A D E U P P G I F T E R 1 0 9

Page 109: Matematik Origo 2b

in

UJ

UJ

<

DEL 1 Utan räknare

1 Bestäm linjernas ekvationer. a

1- X s

b)

r-' r - H

2 Bestäm ekvationen för den räta linje som

a) har riktningskoefficienten - 2 och går genom punkten med koordinaterna ( - 2 , 4).

b) går genom punkterna med koordinaterna (1, - 2 ) och ( 2 , 2 ) .

3 Bestäm avståndet mellan punkterna med koordinaterna ( - 1 , - 2 ) och ( 2 , 2 ) .

4 Figuren t i l l höger kan användas för att lösa ett ekvationssystem.

a) Beräkna lösningen t i l l ekvationssystemet med hjälp av figuren.

b) Vilket är ekvationssystemet?

5 Ekvationen 4y + 2x = 8 bestämmer en rät linje.

a) Bestäm linjens riktningskoefficient.

b) Ge exempel på en linje som är parallell med 4y + 2x = 8

c) Avgör om linjen som bestäms av ekvationen 4y + 2x — 8 är vinkelrät mot

linjen y - Motivera ditt svar.

6 För två tal gäller att:

- summan av talen är 6

- differensen mellan talen är -14

a) Ställ upp ett ekvationssystem som man kan bestämma talen med.

b) Lös ekvationssystemet och bestäm talen.

7 Lös ekvationssystemen

a) f 4x + y= 14 b) x+ 5y = 13

3a + 2b •• 2a-3b--

8 En rät linje som går genom punkterna med koordinaterna ( 2 , a) och (b, 4) har riktningskoefficienten 3. Bestäm a och b så att punkten med koordinaterna (4, 7) ligger på linjen.

I M E K V A T I O N E R OCH E K V A T I O N S S Y S T E M O K A P I T E L T E S T

Page 110: Matematik Origo 2b

DEL 2 Med räknare

9 Lös ekvationssystemet grafiskt

3y+ l,5x= 12

2 y - 5 x + 2 = 0

10 En rät linje har riktningskoefficienten -2 och går genom punkten med

koordinaterna (1,8).

a) Bestäm linjens ekvation

b) Ange koordinaterna för ytterligare en punkt på linjen.

11 Ange ekvationen för en linje som går genom punkten P och som är parallell med linjen i figuren.

M r

, i i

1 A \

12 På nöjesfältet Gröna Lund kan man köpa ett åkband för att fritt kunna åka alla attraktionerna. Man kan välja mellan att köpa ett åkband för en hel dag eller att köpa ett åkband som gäller endast för en kväll. Den totala kostnaden för två åkband som gäller en heldag, samt ett åkband som endast gäller för kvällen är 817 kr. Den totala kostnaden för ett åkband som gäller för en hel dag samt två åkband som endast gäller för kvällen är 737 kr.

a) Ställ upp ett ekvationssystem som hjälper dig att bestämma priset för de olika typerna av åkband.

b) Lös ekvationssystemet.

c) Hur mycket kostar ett åkband för en hel dag respektive ett åkband för endast en kväll?

13 Avgör om triangeln med hörn i (-1,0), (2,1) och (1, -3) är liksidig.

14 Ett ekvationssystem kan ha noll, en eller oändligt många lösningar.

Ge exempel på ett ekvationssystem som har en enda lösning och ett exempel på ett ekvationssystem som saknar lösningar. Motivera dina val av exempel.

Bestäm talet t så att ekvationssystemet

6x + 3y= 12 4x-ty= 26

saknar lösningar.

Kan man välja t så att ekvationssystemet får oändligt antal lösningar? Motivera.

T J

H m

m i n

E K V A T I O N E R OCH E K V A T I O N S S Y S T E M O K A P I T E L T E S T 1 1 1

Page 111: Matematik Origo 2b

4 Potenser, logaritmer

DELKAPITEL

4.1 R ä n t e b e r ä k n i n g a r och

b u d g e t e r i n g

4.2 P o t e n s e r och p o t e n s e k v a t i o n e r

4.3 E x p o n e n t i a l e k v a t i o n e r och

l o g a r i t m e r

• P rocen t och f ö r ä n d r i n g s f a k t o r

• E x p o n e n t i a l f u n k t i o n e r

• P o t e n s e r

• A lgebra och e k v a t i o n e r

CENTRALT INNEHALL

• M e t o d e r för be räkn inga r m e d

p o t e n s e r m e d ra t ione l l a

e x p o n e n t e r .

• Beg reppe t loga r i tm i s a m b a n d

m e d lösn ing av e x p o n e n t i a l

ekva t ione r .

• M e t o d e r för be räkn inga r v id

budge te r i ng .

• A l g e b r a i s k a och g r a f i s k a m e t o d e r

för a t t lösa e x p o n e n t i a l

ekva t ione r .

1 1 2

Page 112: Matematik Origo 2b

och budgetering

Det är viktigt för alla människor at t

kunna planera sin ekonomi. Ett bra

sätt att få överblick över inkomster och

utgifter är att ställa upp en budget.

För många privatpersoner och företag är

räntekostnader en stor utgiftspost. I det

här kapitlet inleder vi med att repetera

ränteberäkningar och potenser. I samband

med potensräkning inför vi potenser med

rationella exponenter. Med hjälp av dem

kan man lösa så kallade potensekvationer,

alltså ekvationer av typen 7 500 = 5 000 • x 9.

Ekvationen 12 000 = 7 000 • 1,042* är ett

exempel på en exponentialekvation. Här är

den obekanta x i exponenten. För att lösa en

sådan ekvation är logaritmer t i l l stor hjälp.

När du är klar med kapitlet ska du kunna

• beräkna ränta på ränta

• ställa upp olika typer .av budgetar och

utföra beräkningar i en budget

• lösa potensekvationer med hjälp av

rationella exponenter

• definiera tiologaritmen för ett positivt ta l

• skriva ett positivt ta l som en potens med

basen tio

• lösa exponentialekvationer grafiskt och

med hjälp av logaritmer

• använda logaritmlagarna vid förenkling

ar och vid ekvationslösning

• använda dina kunskaper om logaritmer

vid olika tillämpningar

Ränta på r än t a När Lars-Erik fyllde 15 år fick han 10 000 kr av sin farmor. Han satte in pengarna på ett konto med den fasta räntesatsen 3,2 %. Utgå från att räntan sätts in på kontot varje år.

• Beräkna Lars-Eriks behållning på kontot efter 1, 2 och 5 år.

• Uppskatta hur lång tid det tar innan beloppet på kontot har fördubblats.

• Undersök vilken den minsta räntesats är som fördubblar beloppet på 10 år.

Multiplikationstabell Tabellen här nedanför kan man använda för att utföra multiplikationer.

Vi l l du t i l l exempel beräkna produkten 4 • 32 gör du så här:

Leta reda på talen 4 och 32 i den undre raden. Addera talen som står direkt ovanför. Du får 2 + 5 = 7. Rakt under talet 7 står i den undre raden talet 128, som också är produkten av 4 och 32.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 8 16 32 64 128 ! 256 512

• Använd metoden för att beräkna produkterna 8- 16 och 2-64.

• Hur hänger de två raderna ihop? Förklara hur tabellen skulle kunna utvidgas med fler tal om man vi l l utföra ytterligare multiplikationer.

• Förklara varför metoden fungerar.

113

Page 113: Matematik Origo 2b

4.1 Ränteberäkningar och budgetering Många har svårt att betala sina räkningar. Det kan för både privatpersoner och företagare leda t i l l betalningsanmärkningar och samtal från inkassobo-lag. För att undvika detta är ett vanligt råd att upprätta en budget. Där ställer man samman alla sina förväntade inkomster och utgifter under en viss tid, t i l l exempel ett år. I en budget utgör ofta räntekostnader en stor utgiftspost. Vi börjar därför med att repetera ränteberäkningar.

Månadsränta

Det finns inga lagar eller regler som bestämmer hur bankerna ska

beräkna ränta. Olika banker kan därför beräkna räntan på något

olika sätt. Vi beskriver här ett enkelt sätt att beräkna, som ger en god

uppskattning av dina räntekostnader. Kontakta din bank för att ta reda pä hur de beräknar ränta.

Ränteberäkningar Familjen Husman har ett huslån på 1 200 000 kr. Deras räntesats är 3,75 % per år. Det betyder att de varje år ska betala 3,75 % av lånebeloppet i avgift t i l l banken. Om inget annat sägs, så avser räntesatsen alltid räntan per år.

För att räkna ut räntan i kronor kan man använda formeln r = k- p • t, där r är räntan i kronor, k kapitalet i kronor, p räntesatsen i decimalform och t är tiden angiven som andel av ett år. Deras månadskostnad för lånet blir alltså

r = k • p • t = 1 200 000 • 0,0375 ~ kr = 3 750 kr

Räntekostnaden för ett år

Ränta på ränta Felix har ett sparkonto där han har satt in en tipsvinst på 95 000 kr. För att få högre ränta binder han pengarna på kontot i 3 år. Hans räntesats blir 2,95 %. Räntan sätts in på kontot varje år och efter 3 år har hans kapital vuxit med ränta på ränta t i l l

95 000 • 1,0295 • 1,0295 • 1,0295 kr = 95 000 • 1,02953 kr = 103 658 kr

Räntesatsen 2,95 % ger förändringsfaktorn 1,0295

Exempel: Hur stort är det lånade kapitalet om räntesatsen är 2,0 % och man får betala 3 600 kr i ränta efter fyra månader?

lösning: För att bestämma kapitalet k använder vi formeln r = k- p • t och sätter in 4

r = 3 600,p = 0,02 ochr = 12 4 månader av 12

3 600 = k • 0,02 12

Lös ut k

fc=3J50_i2 0,02 • 4

Svar: Det lånade kapitalet är 540 000 kr.

114 P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O 4 . 1 R Ä N T E B E R Ä K N I N G A R OCH B U D G E T E R I N G

Page 114: Matematik Origo 2b

Exempel: I början av år 2005 satte Jens in 42 000 kr på ett konto med räntesatsen 2,1 %. Två år senare satte han in ytterligare 27 000 kr och i början av år 2009 ytterligare 13 500 kr. Hur mycket pengar fanns på hans konto i början av år 2012, om han inte har tagit ut något från kontot och om räntesatsen hela tiden varit densamma?

lösning: År 2007 har beloppet 42 000 kr funnits på kontot i 2 år. Kapitalet med ränta på ränta var

42 000 • 1.0212 kr - 43 783 kr 2,1 % ger förändringsfaktorn 1,021

Samma år satte fens in ytterligare 27 000 kr. Kapitalet var då

43 783 kr + 27 000 kr = 70 783 kr

År 2009 har beloppet 70 782 kr funnits 2 år på kontot. Kapitalet med ränta på ränta var då

70 783- l ,021 2 kr = 73 787 kr

Samma år gör Jens en ny insättning på 13 500 kr. På kontot fanns

73 787 kr + 13 500 kr - 87 287 kr

I början av år 2012 har det gått tre år sedan den senaste insättningen. På kontot fanns

87 287- l ,021 3 kr = 92 902 kr

Svar: Det fanns 92 902 kr på kontot i början av år 2012.

NIVÅ 1

4101 Jesper har tagit ett banklån på 40 000 för att köpa en bil. Räntesatsen är 8,1 %. Beräkna årsräntan i kronor.

4102 Nina har tagit ett sms-lån på 2 000 kr för att kunna betala sina räkningar. Lånet kostar 450 kr och ska betalas tillbaka inom 30 dagar. Beräkna hur många procent av lånebeloppet som kostnaden utgör.

4103 Sara ska renovera sitt kök. Hon lånar därför 95 000 kr, som ska betalas tillbaka med 8 350 kr per månad i ett år.

a) Hur mycket betalar hon sammanlagt t i l l baka?

b) Hur stor årsränta i procent motsvarar detta?

4104 Rarii har vunnit på tips. Han sätter in 150 000 kr av vinsten på ett sparkonto där räntesatsen är 1,05 %.

a) Hur stor ränta i kronor får han det första året?

b) Hur mycket pengar finns på kontot efter 5 år, om han inte tar ut några pengar under tiden?

4105 När Markus flyttar hemifrån far han låna 30 000 kr av sina föräldrar. Räntesatsen är 5 % och han ska betala av lånet med 5 000 kr/år.

a) Hur mycket ska han betala i ränta och avbetalningar det första året?

b) Hur mycket ska han betala i ränta och avbetalningar det femte året?

P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O 4 . 1 R Ä N T E B E R Ä K N I N G A R OCH B U D G E T E R I N G 1 1 5

Page 115: Matematik Origo 2b

4106 Elina har lånat 140 000 kr. Räntesatsen är 5,75 %. Hon behöver inte amortera de första tre åren och räntan läggs t i l l lånet. Hur mycket är hon skyldig efter tre år?

4107 Martina har lånat 1 080 000 kr t i l l ett hus. Räntesatsen är 6,05 %. Efter ett år höjs räntesatsen med 0,25 procentenheter. Med hur stort belopp höjs Martinas årliga räntekostnad?

4108 Amanda har ett lån på 150 000 kr. Räntesatsen är 7,5 % och hon ska betala ränta varje kvartal.

a) Hon får ett räntebesked efter tre månader där det står att hon ska betala 2 812,50 kr. Stämmer räntebeskedet?

b) Efter ett år amorterar hon 25 000 kr. Vad bör det stå på nästa räntebesked om räntesatsen är densamma?

4109 Ester har tagit ett bostadslån på 900 000 kr där räntesatsen är 6,5 %. Hon betalar ränta på lånet varje kvartal. Efter ett år amorterar hon 300 000 kr. Hur mycket lägre belopp per kvartal blir hennes räntekostnader det andra året?

NIVÅ 2

4110 För ett år sedan satte Alicia in 50 000 kr på ett konto. Nu har det beloppet vuxit till 52 020 kr. Hur mycket kommer det att finnas på kontot om ytterligare 5 år om hon inte gör några uttag och om räntesatsen är oförändrad hela tiden?

4111 Alarik, Bo och Jens ska åka på en utlandsresa om tre år. För att vara säker på att ha pengar binder Alarik 35 000 kr på ett konto med räntesatsen 5,2 %.

a) Bo ska först jobba ihop pengar ett år. Han får en låg räntesats, 2 %, när han sätter in pengar två år före avresan. Hur mycket pengar måste han sätta in för att ha lika mycket som Alarik vid avresan?

b) Jens sätter in 39 000 kr ett år före avresan. Hur stor måste räntesatsen på hans konto vara för att han ska ha lika mycket som de båda andra vid avresan?

4112 Emrik och Lisa tänker låna 1 200 000 kr t i l l ett hus. Räntesatsen är 4,75 % och de ska betala tillbaka lånet på 25 år med lika stora amorteringar varje månad. De räknar med att kunna avsätta 10 000 kr/månad t i l l bostadslånet.

a) Räcker det? Visa med beräkningar att de har råd att betala både ränta och amorteringar.

b) Efter en tid går räntesatsen upp med 0,5 procentenheter. Undersök om de fortfarande har råd att betala lånet.

4113 Anna sätter in 10 000 kr på ett bankkonto. Efter två år med ränta på ränta har hon 10 733 kr. Vilken var den genomsnittliga räntesatsen?

NIVÅ 3

4114 Ett företag ska göra en investering. De erbjuds två betalningsvillkor.

Alternativ I: Företaget betalar 1 350 000 kr ett år efter köpet.

Alternativ II: Vid köpet betalar företaget 350 000 kr, efter 2 år betalar de 500 000 kr och 4 år efter köpet betalar de 500 000 kr.

Vilket av alternativen är mest fördelaktigt för företaget om man räknar med pengarnas värde vid tidpunkten för köpet och en årsränta på 5 %?

I l 6 P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G © 4 . 1 R Ä N T E B E R Ä K N I N G A R OCH B U D G E T E R I N G

Page 116: Matematik Origo 2b

m a t e n M ( - v

Budget för privatekonomi När Anna gått ut gymnasiet ska hon studera vidare vid ett universitet. Hon tänker leva på studiemedel som är 9 000 kr/mån. Anna har svårt att få överblick över sina utgifter. Hon vet inte om studiemedlet kommer att räcka eller om hon också måste skaffa sig ett jobb vid sidan av. Anna bestämmer sig därför för att göra en budget. Hon försöker uppskatta alla sina utgifter under en månad. Hennes hyra är 4 000 kr. Försäkring, kåravgift och telefon inklusive bredband uppgår t i l l 600 kr. Mat och hygienartiklar beräknas kosta 2 600 kr, kläder och skor 300 kr, nöjen och träning 600 kr. Hon bor på cykelavstånd från universitetet och räknar därför inte med några resekostnader, men hon har köpt en dator som hon under ett år ska betala av med 450 kr/ månad. Kurslitteraturen beräknas kosta ungefär 400 kr/månad.

Budge t Hennes budget för en månad blir

Inkomster

Studiemedel 9 000 kr

Utgifter

Hyra 4 000 kr

Telefon m m . 600 kr

Mat, hygienartiklar 2 600 kr

Kläder/skor 300 kr

Nöjen/träning 600 kr

Dator 450 kr

Kursl i t teratur 400 kr

Summa utgifter 8 950 kr

Med hjälp av sin budget kan Anna se att hennes förväntade utgifter är ungefär lika stora som hennes inkomster. Hon bör klara sig utan något extrajobb.

Exempel: Här ovanför presenterade vi Annas månadsbudget. När Anna har betalat av datorn bestämmer hon sig för att köpa en skrivare. Skrivaren kostar 270 kr/mån. Samtidigt som hon köper skrivaren höjs hyran med 2 %. Kommer Anna att få mer eller mindre pengar över varje månad efter ändringarna?

lösning: Hyran ökar med 2 %. Det motsvarar en ökning av utgifterna med 0,02 • 4 000 kr = 80 kr.

Kostnaden för skrivaren är mindre än kostnaden för datorn. Utgiften minskar därför med 450 kr - 270 kr = 180 kr.

Utgifterna minskar totalt med 180 kr - 80 kr = 100 kr, medan inkomsten är oförändrad.

Svar: Anna får mer pengar över.

P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O 4 . 1 R Ä N T E B E R Ä K N I N G A R OCH B U D G E T E R I N G XXJ

Page 117: Matematik Origo 2b

Exempel: Morgan tjänar 23 500 kr/mån. Han betalar 28 % av lönen i skatt och betalar 4 672 kr/mån i hyra. Han vill köpa en bil och blir erbjuden att låna 60 000 kr. För att se om han klarar av att betala lånet gör han en månadsbudget.

Utgifter

Hyra 4 G72 kr

L ivsmedel utom lunch 1 700 kr

Lunch ute 5 dagar/vecka 1 500 kr

Kläder/skor 600 kr

Fritid 1 000 kr

Mobiltelefon och bredband 400 kr

Personlig hygien inkl . tandvård 450 kr

Försäkring 200 kr

Summa utgifter 10S22

Billånet ska betalas tillbaka på 24 månader. Lånet är räntefritt, men han måste betala en aviavgift på 60 kr varje månad. Ta hjälp av Morgans budget och avgör om han han råd att betala billånet.

lösning: Morgans lön efter skatt är

0,72-23 500 kr • 16 920 kr 28 % skatt innebär att han får behålla 72 % av lönen

Han borde få 16 920 kr - 10 522 kr = 6 398 kr över per månad om han följer sin budget. Lånet ska betalas med

/ 60 000 \ . , „ „ r ^ , , , 1- 60 kr/man = 2 560 kr/man

l 24 I Svar: Hans inkomster är större än hans utgifter. Han borde därför ha råd att betala billånet.

NIVÅ 1

4115 Sara går andra året i gymnasiet. Hennes utgifter för en månad ser ut så här:

Personlig hygien 290 kr

Kläder och skor 530 kr

Fritid (träning och nöjen) 630 kr

Mobiltelefon 180 kr

a) Beräkna Saras totala utgifter.

b) Hur kommer Saras budget att förändras om hon halverar utgiften för skor och kläder och samtidigt minskar utgiften för personlig hygien med 100 kr?

4116 Alma har varje månad kostnader på cirka 3 500 kronor för mat, förbrukningsvaror, hygienartiklar, kläder/skor, fritid och resor. Alma väljer att äta lunch ute fem dagar i veckan. Det blir en kostnad på 1 500 kr/mån. Hennes hyra är 3 400 kr/mån. Telefon, bredband och elförbrukning kostar 1 800 kr/kvartal. Almas lön före skatt är 25 400 kr.

a) Alma betalar 27 % av sin lön i skatt. Beräkna Almas lön efter skatt.

b) Sammanfatta Almas inkomster och utgifter i en budget.

I l 8 P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O 4 . 1 R Ä N T E B E R Ä K N I N G A R OCH B U D G E T E R I N G

Page 118: Matematik Origo 2b

4117 Jesper går i gymnasiet och får studiebidrag på 1 050 kr/mån. Han betalar 300 kr /mån t i l l familjens hushållskassa. Jesper har ett mobilabonnemang som kostar 149 kr/mån och han är med i en filmklubb som kostar 588 kr/år. Han köper kläder för i genomsnitt 150 kr/mån och han brukar även gå ut och roa sig med sina kompisar för 200 kr/mån.

a) Sammanfatta Jespers inkomster och utgifter under en månad i en budget.

b) Jesper skulle vilja köpa en ny dator. Har han råd med det om han ska betala 300 kr/mån för den?

4118 Mikael ska börja studera på en högskola. Han tänker ta fullt studiemedel. Det betyder att han kommer att ha 9 000 kr i månaden att leva för. Han gör en budget för att få en överblick över sin ekonomi. Han vet att hyran för studentrummet är 3 170 kr/mån. Övriga månadskostnader försöker han uppskatta: Mat 2 500 kr, telefon och tv 1 000 kr, försäkring 100 kr, tvätt och hygienartiklar 100 kr, kläder 250 kr och kurslitteratur 200 kr. Hur mycket pengar borde han få över t i l l fritidsaktiviteter?

4119 Uppskatta din familjs utgifter under en ö månad.

NIVÅ 2 f

4120 Stina ska börja studera vid universitetet i Uppsala. Hon får 2 800 kr/mån i studiebidrag och kan sedan låna upp t i l l totalt 9 000 kr/mån under terminstid. Hon vil l undvika att låna mer än nödvändigt. Därför gör hon en budget för att se hur mycket hon måste låna. Hyran för studentrummet är 3 030 kr/mån. Övriga utgifter försöker hon uppskatta. Mat 2 500 kr, telefon, tv och internet 1 000 kr. Försäkring 100 kr, tvätt och hygienartiklar 150 kr. Dessutom ska hon betala av 400 kr/mån på sin nyinköpta dator. Hur mycket måste hon minst låna för att ha 500 kr/mån t i l l kläder och nöjen under terminstid.

4121 Sima är 18 år och går sista året på gymnasiet. Hennes studiebidrag är 1 050 kr, hon jobbar extra på helgerna och tjänar efter skatt 3 800 kr/mån. Eftersom hon jobbar tycker hennes föräldrar att hon kan betala för maten. För att uppskatta vad som är rimligt att betala tittar hon på konsumentverkets budgetförslag.

Hushållskostnader kvinnor 18-30 år

L ivsmedel , alla målt ider i 1 340 kr hemmet utom lunch

Kläder och skor 620 kr

Fr i t idsakt iv i teter -Mobiltelefon 180 kr

Personlig hygien inkl . tandvård 490 kr

Hur mycket får Simas fritidsaktiviteter kosta som mest, om hon betalar för maten enligt budgetförslaget?

P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O 4 . 1 R Ä N T E B E R Ä K N I N G A R OCH B U D G E T E R I N G 1 1 9

Page 119: Matematik Origo 2b

Företagsekonomi och budgetering Resultatbudget Arvid och Molly har ett gym. Intäkterna från gymet består av försäljningen

av gymkort, träningspass och personlig träning. Intäkterna ska täcka kostnaderna för bland annat marknadsföring, hyra, löner och räntor. För att få klart för sig om gymmet kommer att vara lönsamt, så ställer de upp en resultatbudget för årets första kvartal. I resultatbudgeten ser Arvid och Molly vilka intäkter och kostnader de kan räkna med att få.

Kvartal 1 betyder årets tre första månader.

Resultatbudget kvartal 1

Intäkter (kr)

Gymkort 150 000

Personlig träning 3 000

Träningspass 60 000

Summa intäkter 213 000

Kostnader (kr)

Hyra 35 000

Underhåll av redskap och lokaler 1 000

Löner 150 000

Ränta 9 000

Summa kostnader 195 000

Beräknat resultat: 18 000 Intäkter - kostnader = resultat

213 000 kr - 195 000 kr = 18 000 kr

Lifcvidi te tsbudget Det är inte bara viktigt att se t i l l att företaget är lönsamt. Dessutom måste man hela tiden se t i l l att man har pengar när löner, räkningar, räntor och så småningom också amorteringar ska betalas. Därför gör man en likviditetsbudget. I en likviditetsbudget framgår det hur stora inbetalningarna och utbetalningarna är under en viss tid, t i l l exempel ett kvartal. På så sätt kan man se t i l l att det hela tiden finns pengar t i l l löner, hyra och andra utgifter. Många verksamheter är säsongsberoende och man måste därför förvissa sig om att man hela tiden har tillräckligt med likvida medel, det vill säga t i l l räckligt med tillgängliga pengar.

1 2 0 P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O 4 . 1 R Ä N T E B E R Ä K N I N G A R OCH B U D G E T E R I N G

Page 120: Matematik Origo 2b

75 betyder 75 000 kr

Kvartal 1: inbetalningar - utbetalningar = = 257 - 220 = 37 Likvida medel kvartal 2: 75 + 37 = 112

Ett exempel på en likviditetsbudget från Arvids och Mollys gym ser du här nedanför. Alla belopp anges i tusental kronor.

Likviditetsbudget Kvartal 1 Kvartal 2 Kvartal 3 Kvartal 4

Likvida medel vid periodens början 75 >112 > 20 -> 3

Inbetalningar

Gymkort , personlig träning, t räningspass

250 100 155 300

Övrigt 7 3 5 8

Summa inbetalningar 257 103 160 308

Utbetalningar

Hyra 36 36 36 36

Löner 150 130 115 150

Ränta 12 12 12 12

Amortering 9 9 9 9

Inköp, marknadsför ing, m .m. 10 5 5 20

Övrigt 3 3 0 3

Summa utbetalningar 220 195 177 230

Likvida medel vid periodens slut 112 20 3 81

Likvida medel vid kvartalets slut = I kvartal 2 och 3 är utbetalningarna : Likvida medel vid kvartalets början + Summan av alla större än inbetalningarna,

inbetalningar - Summan av alla utbetalningar

När man ställer upp en likviditetsbudget blir det tydligt att företagets kostnader och intäkter inte är lika för alla månader. I det här fallet ser man t i l l exempel säsongsvariationerna vad gäller försäljning av gymkort, personlig träning och träningspass.

Exempel: Resultatbudgeten som beskrivs i texten på föregående sida ändras under andra kvartalet. Intäkterna från gymkorten blir 60 000 kr och från träningspassen 15 000 kr. Samtidigt minskar lönekostnaderna med 20 000 kr. Övriga intäkter och kostnader är desamma. Hur påverkar förändringarna resultatet?

lösning: Intäkterna är 60 000 kr + 3 000 kr + 15 000 kr = 78 000 kr

Kostnaderna är 36 000 kr + 130 000 kr + 9 000 kr = 175 000 kr

Kvartalets resultat blir 78 000 kr - 175 000 kr = -97 000 kr

Svar: Det andra kvartalet gör de en förlust på 97 000 kr.

P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O 4 . 1 R Ä N T E B E R Ä K N I N G A R OCH B U D G E T E R I N G 1 2 1

Page 121: Matematik Origo 2b

Exempel: När Arvid och Molly startade sitt gym tog de ett lån. Det lånet är i dag 500 000 kr. I likviditetsbudgeten på förra uppslaget var räntesatsen 9,6 %. Hur skulle samma likviditetsbudget se ut om räntesatsen i stället var 12,8 %? Vad kan du dra för slutsatser?

lösning:

'i

Beloppet anges i tusental

kronor. 16 betyder 16 000 kr

Det har ett lån på 500 000 kr med räntesatsen 12,8 %. Räntekostnaden r kr per kvartal blir

r = 500 000 • 0,128 • - kr = 16 000 kr 4

r = k p t

Den rad i likviditetsbudgeten som motsvarar räntan ska ändras t i l l 16 000 kr. Övriga inbetalningar och utbetalningar ska vara desamma.

Likviditetsbudget Kvartal 1 Kvartal 2 Kvartal 3 Kvartal 4

Likvida medel vid periodens början 75 >108 > 12 --> -9

Inbetalningar

Gymkort , personlig träning, t räningspass

250 100 155 300

Övrigt 7 3 5 8

Summa inbetalningar 257 103 160 308

Utbetalningar

Hyra 36 1 36 36 36

Löner 150 130 115 150

Ränta 16 16 16 16

Amorter ing 9 9 9 9

Inköp, marknadsför ing, m.m. 10 5 5 20

Övrigt 3 3 0 3

Summa utbetalningar 224 199 181 234

Likvida medel vid periodens slut 108 12 -9 65

Likvida medel vid periodens slut = likvida medel vi periodens början + summan av alla inbetalningar - summan av alla utbetalningar

j

Svar: För att kunna göra alla utbetalningar under det tredje kvartalet, så måste de söka extern finansiering eller ta ett lån.

1 2 2 P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O 4 . 1 R Ä N T E B E R Ä K N I N G A R OCH B U D G E T E R I N G

Page 122: Matematik Origo 2b

MIVA 1 1122 Joakim har startat en städfirma. Efter att ha

gjort en marknadsundersökning tror han att han kan få intäkter på 1 200 000 kr under första året. Han försöker att skriva upp alla kostnader och uppskatta hur stora de blir under ett år.

Kostnader

Löner till de anstäl lda 850 000 kr

Hyra, el och värme för lokalen 57 000 kr

Arbetsmaterial 300 000 kr

Telefon, it-kostnader och kontorsmaterial

19 000 kr

Ränta på lånet 22 000 kr

Avskrivning för slitage 30 000 kr

Gör en resultatbudget och beräkna resultatet i kronor.

4123 Sandor driver en presentaffär. Hans intäkter är försäljning och kurser i scrap booking. Hans kostnader består av hyra och utrustning 18 000 kr/mån och räntekostnad 5 000 kr/mån. Han börjar göra upp en resultatbudget.

Resultatbudget kvartal

Intäkter (kr)

Försäljning 180 000

Kurser 20 000

Summa intäkter 200 000

a) Komplettera resultatbudgeten med Sandors kostnader.

b) Hur stor månadslön kan han maximalt ta ut enligt resultatbudgeten?

4124 Maria har en frisersalong. Varje månad gör hon en likviditetsbudget där hon kontrollerar hur mycket pengar hon har tillgängliga på bankkonton och i kassan. Denna månad är hennes likvida medel 65 000 kr. Hon räknar med att få in 60 000 kr på arbetet i salongen och 7 000 kr på försäljning av varor. Hennes månadsutgifter är varuinköp för 45 000 kr, hyra 9 800 kr, löner 19 000 kr och arbetsgivaravgifter 6 370 kr. Gör en likviditetsbudget och beräkna hur mycket likvida medel hon kommer att ha i början av nästa månad.

NIVÅ 2

4125 Lisa och Johan ska överta en lunchrestaurang. De räknar med intäkter om i genomsnitt 170 000 kr/månad. De försöker att uppskatta alla kostnader under ett år:

Råvaror 750 000 kr, egna löner och lön t i l l timanställd personal 860 000 kr, hyra, el och värme för lokalen 155 000 kr, telefon och it-kostnader 20 000 kr, disk- och rengöringsmedel samt arbetsmaterial 7 000 kr, underhållskostnader 12 000 kr.

För att kunna överta restaurangen och komma igång tar de ett lån på 300 000 kr med räntan 7,2 %.

a) Gör en resultatbudget för året.

b) Hur förändras resultatbudgeten för nästa år om de då amorterar 100 000 kr på lånet i början av året, ökar intäkterna med 10 000 kr/månad och om samtidigt kostnaderna för råvaror ökar med 5 %?

Resonemang och begrepp

O Vilka faktorer påverkar räntans storlek?

Q Vad finns det för fördelar med att upprätta en budget?

O Vilka är de största svårigheterna när man ska ställa upp en budget?

O När man driver ett företag brukar man göra en resultatbudget och en likviditetsbudget. Vilka skillnader finns mellan de olika budgeterna?

P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O 4 . 1 R Ä N T E B E R Ä K N I N G A R OCH B U D G E T E R I N G 123

Page 123: Matematik Origo 2b

4.2 Potenser och potensekvationer

Exponent

Bas

Potenser med heltalsexponenter I kurs 1 arbetade vi med potenser, det vil l säga uttryck av formen am. En potens är ett kortfattat skrivsätt för upprepade multiplikationer. Til l exempel kan man kortare skriva 3 • 3 • 3 • 3 • 3 som potensen 3 5.

Vi arbetade också med räknereglerna för potenser, de så kallade potenslagarna.

Potenslagar

För alla positiva heltal m och n gäller att

Multiplikation av potenser

a" fl"-'",(a#0) fl'"

(a")

( A • b)" = a"-b" a \n

A "

Division av potenser

Potens av en potens

Potens av en produkt

Potens av en kvot

För att de ska gälla för negativa heltalsexponenter och exponenten noll införde vi två definitioner.

Negativa exponenter och exponenten noll

För alla tal fl # 0 och för alla heltal n, gäller att _ 1 och att 1

Exempel: Beräkna utan att använda räknare

a) 7 3 b) 2- 2 10=

5 3 - 5 2

lösning: a) 7 3 = 7 • 7 • 7 - 343

b) 2"2 = ^ = ^ = 0,25

2 4

c) Försök få samma bas i både täljare och nämnare:

105 105 105 105

5 3 - 5 2 125-25 100 102 LO 5-2 . W = 1 000

124 P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O 4 . 2 P O T E N S E R OCH P O T E N S E K V A T I O N E R

Page 124: Matematik Origo 2b

Exempel: Förenkla med hjälp av potenslagarna , 1 4

a) b) x3-X 5

l 2 h + i

Lösning:

b)

a9

x3

Vid division av potenser subtraheras exponenterna

= x 7 - ( - 3 ) = x 1 0

C) l2h + i

,2h + 3 - 3h .

Börja med att förenkla täljaren för sig och nämnaren för sig. Vid multiplikation av potenser adderas exponenterna

Vid division av potenser subtraheras exponenterna

NIVA 1 NIVÅ 2

Beräkna utan räknare

4201 a) 5 3 b) 2 4

4202 a) 3 • 5 2 b) 4 2 - 2 4

c) 9°

3 4

C ) 1 0 2 - 19

4203 Sätt ut rätt tecken (=, < eller >) mellan följande uttryck

a) 2 1 0 • 102

5 2 b) 5 3 - 5 8 •

Skriv som en potens

4204 a) 5 3 - 5 9 b) ( 2 3 ) 1 1 c) 3 • 3"2

x2 (x3)2

4205 a) x-7 -x4 b) 4? c) '

4206 Förenkla

. x5 • x7

X2

b) c x • x é-x-1

4207 Pär sätter in 12 000 kr på ett bankkonto med räntan 3,8 %. Hur mycket pengar har han på kontot efter 10 år om räntan har varit konstant under hela perioden?

4208 I en by med 2 000 invånare minskar invånarantalet med 4,0 % varje år. Hur många kommer att bo i byn efter 10 år?

4209 Lös ekvationerna

a) 2 X + 1 = 2 3 b) 3 2 x " 3 = 3 x - 1

4210 Utveckla, förenkla om det är möjligt.

a) 5X(5 + 5X) b) ( 2 x + 2 ) 2

4211 Faktorisera uttrycken

a) 3X + 2 b) 32x+ 34x

N I V A 3

4212 Förenkla

, x5-3x4

a) T~ X-5

4213 Förenkla

(3X + 3X + 3 X ) 2

9 * a)

b)

b)

j 4 x

32*

4 2 x — 34x

4 x + 3 2 x

4214 Lös ekvationen

11 • 12 x = 1 2 1 5 - 12 1 4

P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O 4 . 2 P O T E N S E R OCH P O T E N S E K V A T I O N E R 125

Page 125: Matematik Origo 2b

Potenser med rationella exponenter I förra avsnittet repeterade vi potenser med heltalsexponenter och de tillhörande potenslagarna. Ett villkor vi införde var att exponenten m i en potens am skulle vara ett heltal.

Rationella tal är alla tal Nu ska vi utvidga innebörden av begreppet potens, genom att även tillåta a där o och b är hela tal och b * Q. rationella tal i exponenten. Med hjälp av potenslagarna ska vi motivera en

definition som ger en betydelse t i l l potenser där exponenten är ett bråk, som t i l l exempel 9 1 / 2 .

Enligt potenslagarna gäller att

(9,1/2)2 _ 9(1/2) • 2 _ 9I = 9

Men det gäller ju också att

( V 9 ) 2 = 3 2 = 9

Alltså bör 9 1 / 2 = V9

På samma sätt gäller (64 1 / 3 ) 3 = 64 ( 1 / 3 ) 1 3 = 641 = 64.

've? = 4 Vi har också (VöT ) 3 = 4 3 = 64 och därför bör 64 1 / 3 = ^64. eftersom 4 3 = 69

De två exemplen här ovanför motiverar följande definition:

Rationella tal i exponenten

För a > 0 gäller a'" = Vä, där n är ett positivt heltal större än 1.

Exempel: Beräkna utan att använda räknare

, 3 1 / 2

3 -1/2 b) ( 4 1 2 ) 1 / 1 2

Lösning: a) | ^ = 3 1 / 2 -<-" 2 > = 3 1 = 3

b) (4 12-11/12 _ a12- 1/12 _ a 1

Exempel: Beräkna utan att använda räknare 41/2.41/2 3 2

91/2

3 2 _ 9 _ 91/2 ~ 3 "

41/2 . 41/2

b) 2

lösning: a) = - = 3 9 1 ' 2 = \ls = 3

b) ? — = ^ l = ^ = 2 2 2 2

126 P O T E N S E R . L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O 4 . 2 P O T E N S E R OCH P O T E N S E K V A T I O N E R

Page 126: Matematik Origo 2b

Exempel: Beräkna utan att använda räknare

lösning:

a) 2 3 • A/27 + 3

(V9) 2 b) 64

1

2/3

V27 = 3 eftersom 3 • 3 • 3 = 27 (V9) 2 = 3 2 = 9

v 2 3 • V27 + 3 2 3 • 3 + 3 8-3 + 3 a) —?=-; = z = = 3

(V9) 2 9 9

b) 64 2 / 3 = 6 4 1 / 3 ' 2 ( 6 4 l / 3 ) 2 = 4 2 = 16 Använd potenslagarna i första steget

54V3 = VG4 = 4 eftersom 54 = 4 • 4 • 4

NIVA 1

4215 Beräkna utan att använda räknare

a) 16 1 / 4 b) 27 1 / 3 c) 5 • 64 1 / 3

4216 Beräkna med hjälp av räknaren. Avrunda svaret t i l l två decimaler.

b) 300 1 / 2 c) 0,6 2 / 3 a) 29 7/6

4217 Vilka av talen har samma värde?

27 1 / 2 3 64 1 / 2 2 3 8 1 1 / 4 V9

4218 Beräkna utan att använda räknare

)l/2

V36 + 6 - 3 36

4219 Förenkla

. x3^ a ) x1 / 2

b) A/8 + 16

^5/2

4220 Beräkna utan att använda räknare

a) 9 3 / 2 b) 8 4 ' 3

4221 Skriv som en potens med basen a

a) Vä b) a 3 • Vä c) ,1/4

NIVA 2

4222 Lös ekvationen = 18

4223 Bestäm utan att använda räknare

aj A/-8

c) 4V-16

b) A L 2 5

d) V-32

4224 Skriv talet ^— som en potens med basen 2. A/8

4225 a) Visa att a = 4 uppfyller likheten 4 f l = a 4

b) Finns det något annat heltal a som uppfyller likheten?

NIVA 3

4226 För vissa värden på heltalet n > 2 kan man tillåta a < 0 i uttrycket aVn.

a) Vilka värden på n gäller det för?

b) Förklara varför det är så.

4227 Visa med hjälp av potenslagarna att

P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O 4 . 2 P O T E N S E R OCH P O T E N S E K V A T I O N E R iXf

Page 127: Matematik Origo 2b

Potensekvationer Många banker ger kunderna möjlighet t i l l högre ränta om de binder pengarna på ett konto under en bestämd tid. Sixten har fått erbjudandet att om han binder 100 000 kr på ett konto under 15 år, så kommer de insatta pengarna att fördubblas.

Vilken årsränta motsvarar en fördubbling av 100 000 kr på 15 år?

Om vi antar att den årliga förändringsfaktorn är x, så kan vi ställa upp ekvationen

100 000 • x 1 5 = 200 000

Den här typen av ekvationer kallas potensekvationer. Om vi delar båda led med 100 000 kr, så får vi ekvationen x 1 3 = 2. Vi kan lösa sådana ekvationer på två olika sätt

2. Med potenslagarna

x 1 5 = 2

( x 1 5 ) l / 1 5 = 2

x = 2 1 / 1 5

x~ 1,0473 Med räknaren

1. Med rotuttryck

x 1 5 = 2

x= V2

x = 1,0473 Med räknaren

1 / 1 5 Båda led upphöjs till ^

(x 1 5 ) 1 ' 1 5 = x 1 5 ' V " = x1 = x

Banken erbjuder alltså årsräntan 4,7 % t i l l Sixten om han binder pengarna i 15 år.

Antal lösningar

Observera att x = -2 inte är en lösning till ekvationen x 5 = 32

eftersom (-2) B = -32

O N P å d i n räknare

V i har tidigare sett att potensekvationen x2 = 25 har de två lösningarna x - -5 och x = 5, medan potensekvationen x 3 = -8 endast har en lösning, nämligen x = -2 . Allmänt gäller att en potensekvation av formen x" = a, där a är konstant och a > 0, har

• två lösningar om exponenten n är ett jämnt tal

• en lösning om exponenten n är ett udda tal

Til l exempel har ekvationen x 4 = 81 lösningarna x = 3 och x = -3, eftersom både 3 4 = 81 och ( -3) 4 = 81

Men ekvationen x 5 = 32 har endast lösningen x = 2 eftersom 2D = 32.

Vi l l du beräkna potensen 2 1 / 1 5 skriver du

2 D n i B i 5 n _ _ 1.047294123 15

X

T2 1.047294123

Vil l du beräkna rotuttrycket V2~ trycker du först 15 t ^ ^ J och väljer 5: : •/. Tryck sedan 2 och avsluta med o

128 P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O 4 . 2 P O T E N S E R OCH P O T E N S E K V A T I O N E R

Page 128: Matematik Origo 2b

Exempel:

lösning:

Exempel:

lösning:

Lös ekvationen x 1 2 = 88. Svara med två decimalers noggrannhet.

Eftersom exponenten är ett jämnt tal, så har ekvationen två lösningar.

Metod 1 Metod 2

Använd rotuttryck Använd potenser

88 x 1 2 = 88 x " = öö

x = ±'V88

X«=±l ,45 Med hjälp av räknaren x = ± 8 8 1 / 1 2

X - ±1,45

Svar: xx ~ -1,45; x 2 = 1,45

( x l 2 ) 1 / 1 2 = ± 8 8 1 / 1 2 Båda led upphöjs till ^

Med hjälp av räknaren

Anton köpte aktier för 50 000 kr. Fem år senare så hade värdet på aktierna minskat t i l l 22 000 kr. Hur stor årlig värdeminskning i procent motsvarar detta?

Om vi antar att förändringsfaktorn hela tiden varit x, så kan vi ställa upp följande ekvation:

50 000 • x 5 = 22 000

22 000 x 5 = -

50 000

_ /22 000U/5 X ~ 150 000/

x - 0,8486

Kan också beräknas som • 4

72 000 50 000

Med räknaren

Den årliga värdeminskningen var 1 - 0,8486 = 0,1514

Svar: Den årliga värdeminskningen är ca 15 %.

NIVÅ 1

4228 Lös ekvationerna utan att använda räknare.

a) x 3 = 27 b) 3 x = 2 7

c) x 4 = 16 d) 2x3-54 = 0

4229 Ange antalet lösningar t i l l var och en av ekvationerna.

a) x33 = 81 b) x 4 2 = 4 000

c) x 3 0 1 - 5 4 = 0

4230 Lös ekvationerna och ange svaret med två decimalers noggrannhet.

a) x3 = 7 b) 9x5 = 63

c) 6 x 6 - 2 = 0 d) 2x3-52 = 0

4231 Erik har placerat 12 000 kr i en aktiefond. Fem år senare är värdet av samma fond 17 000 kr. Erik ställer upp ekvationen 12 000 • x 5 = 17 000

a) Förklara vad x står för i ekvationen.

b) Lös ekvationen och tolka resultatet.

P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G © 4 . 2 P O T E N S E R OCH P O T E N S E K V A T I O N E R 129

Page 129: Matematik Origo 2b

4232 Ett radhus köptes för 1 500 000 kr och såldes tio år senare för 2 500 000 kr. Hur stor var den genomsnittliga årliga procentuella värdeökningen?

4233 Sixten placerade 10 000 kr av sina sparpengar i en fond som sex år senare hade ökat i värde t i l l 15 000 kr. Hur stor genomsnittlig årlig procentuell värdeökning motsvarar detta?

4234 En bil som kostar 230 000 kr i inköp är fem år senare värd 130 000 kr. Bestäm den genomsnittliga årliga procentuella värdeminskningen.

NIVÅ 2

4235 Lös ekvationen x~3 = 8 utan att använda räknare.

4236 Ge ett exempel på en potensekvation som har 0 a) exakt två lösningar

b) endast en lösning

4237 Ge ett exempel på två potensekvationer som Ö endast har lösningen x — 3.

4238 a) Ge ett exempel på en verklig fråga som Ö kan besvaras med hjälp av potensekvatio

nen 12 000= 15 000 -x6

b) Lös ekvationen och besvara din fråga.

4239 Värdet av Ninas och Mickes sparkapital har på 4 år minskat från 12 350 kr t i l l 9 875 kr. En kväll roar de sig med att beräkna den genomsnittliga årliga procentuella värdeminskningen. Micke skriver följande beräkningar på en lapp:

12 350-1875 12 350

0,20

0,20 0,05

Värdeminskningen är 5 % per år

Nina säger att Micke har räknat fel. Hjälp Nina att förklara vad Micke har gjort för fel och beräkna sedan den riktiga årliga procentuella värdeminskningen.

130 P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O 4.2 P O T E N S E R OCH P O T E N S E K V A T I O N E R

Page 130: Matematik Origo 2b

4240 Vilken genomsnittlig årlig procentuell värdeförändring motsvarar

a) en fördubbling på 20 år

b) en ökning med 50 % på 10 år

c) en minskning med 25 % på 5 år

4241 Falkträsk är en kommun i tillväxt. Mellan åren 2005 och 2012 ökade antalet invånare från 23 562 ti l l 26 089. På kommunkontorets sammanträde diskuterar man hur många invånare som kommunen kan tänkas ha år 2022. Efter sammanträdet ligger två handskrivna lappar med beräkningar kvar på bordet

26 081-23562 36/

26081+ 10-361 ~21700

26 081 = 23 562 x7

x = (26 081/23 562)l/? - 1,015

26 081-1.015'° -30300

Förklara vad man kan ha räknat ut på de två lapparna. Vilken av uträkningarna tror du bäst beskriver tillväxten i kommunen? Mot i vera ditt svar.

Lös ekvationerna

4242 a) x2'7 = 3,57 b)

4243 a) x3 = -125 b)

c) y7 = -10~ 7 d)

4244 Enligt Keplers tredje lag är förhållandet mellan kvadraten av planeternas omloppstid runt solen (Tår ) och kuben på deras medelavstånd t i l l solen (r km) konstant, dvs.

— t = konstant r Enligt en formelsamling befinner sig jorden 1,496 • 108 k m från solen. Saturnus omloppst id är 29,5 år. Hur många gånger längre är det från solen ti l l Saturnus jämfört med avståndet från solen t i l l jorden?

NIVA 3

4245 Om ett lån på K kr är amorteringsfritt och växer med ränta på ränta i t år med räntesatsen p %, så anges det totala lånebeloppet av uttrycket

4246

100/ Låt K = 5 000 kr växa med ränta på ränta tills det totala lånebeloppet är 8 000 kr. Hur stor är räntesatsen om det sker när

a) t= 14 år b) r = 7 å r

Herbert lånar ut 125 000 kr t i l l sin son och de kommer överens om att sonen ska betala tillbaka lånet med 170 000 kr om 10 år. Kommer Herbert att göra någon vinst på att låna till sin son, om man räknar med att värdeminskningen i genomsnitt är 3 % per år?

Resonemang och begrepp

Q Beskriv en potensekvation. Ge exempel.

Q Förklara varför en potensekvation som mest kan ha två lösningar.

Q Förklara varför kvadratroten ur ett tal endast är definierad för positiva ta l , medan kubikroten

ur ett tal är definierad även för negativa tal .

6 Är det någon skillnad på talen a upphöjt t i l l b upphöjt t i l l c och a upphöjt t i l l c upphöjt t i l l b?

O Tänk dig att värdet av en aktie ökar i värde med 12 % på 4 år. Förklara hur man beräknar den genomsnittliga årliga procentuella värdeökningen i procent.

P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O 4 . 2 P O T E N S E R OCH P O T E N S E K V A T I O N E R I 3 I

Page 131: Matematik Origo 2b

4.3 Exponentialekvationer och logaritmer Grafisk lösning av exponentialekvationer I en modell för värdeminskningen av en nyinköpt bil antar man att den årliga värdeminskningen är 20 %. Det ger förändringsfaktorn

100 % - 20 % = 80 % = 0,80

Om bilen kostade 300 000 kr som ny, så kan värdet av bilen x år efter inköpet beskrivas med funktionsuttrycket

v(x) = 300 000 • 0,80*

Med hjälp av funktionen v kan vi t i l l exempel beräkna bilens värde efter 3 år:

v(3) = 300 000 • 0,803 = 153 600 kr

Bilens värde efter 3 år är 153 600 kr.

Exponentialfunktion I vårt exempel med värdeminskningen hos bilen antas förändringsfaktorn vara konstant över en tidsperiod. Man säger då att förändringen är exponen-tiell. Den funktion som beskriver förändringen kallas exponentialfunktion.

Exponentialfunktion f

En exponentialfunktion är en funktion/som bestäms av/(x) = Co* där C och a är konstanter och a > 0.

Exponentialekvation

Potensekvationer

Om man vil l bestämma hur lång tid det tar tills värdet av bilen är 200 000 kr, så kan man ställa upp och lösa ekvationen 300 000 • 0,80* = 200 000.

Denna typ av ekvation kallas exponential-ekvation. Ekvationen kan man lösa grafiskt genom att rita y = 300 000 • 0,80* och y — 200 000 i samma koordinatsystem. Lösningen t i l l ekvationen är x-koordinaten för skärningspunkten mellan kurvorna.

tk ^ Värde

i 20 0

10 n - 30Ö 00 10 u lf = 30Ö 00 0 0 8G

1 "iri i—•i tu

S ] _J J

Efter 1,8 år är bilen värd 200 000

Med hjälp av exponentialekvationen 300 000 • 0,80* = 200 000 har vi bestämt hur lång tid det förväntas ta tills värdet av bilen är 200 000 kr när förändringsfaktorn är 0,80 och bilen som ny kostade 300 000 kr. Om vi i stället vi l l veta vilken förändringsfaktor som får bilen att minska i värde från 300 000 kr t i l l 200 000 kr på 3 år, så behöver vi lösa potensekvationen 300 000 • x 3 = 200 000. Potensekvationer löste vi i förra avsnittet.

132 P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O 4.3 E X P O N E N T I A L E K V A T I O N E R OCH L O G A R I T M E R

Page 132: Matematik Origo 2b

Exempel:

lösning:

Exempel:

Lösning:

Antalet invånare i en tillväxtkommun kan beskrivas med exponential-funktionen N där N{t) = 80 000 • 1,05' och t är antalet år räknat från år 2011.

a) Hur många invånare fanns det i kommunen år 2011?

b) Hur många invånare finns det enligt modellen år 2016? Alltså 5 år efter 2011.

c) Vad betyder 1,05 i funktionsuttrycket?

a) N(0) = 80 000 • 1,05° = 80 000 Beräknar värdet av N då t = 0

Svar: År 2011 fanns det 80 000 invånare i kommunen.

b) N(5) = 80 000- 1,055 - 102 000 Beräknar värdet av N då t = 5

Svar: Det finns enligt modellen 102 000 invånare i kommunen år 2016.

c) Svar: Förändringsfaktorn 1,05 innebär här att antalet invånare ökar med 5 % per år.

Jimmie sätter in 20 000 kr på ett konto med den garanterade räntan 4,5 %. Hur länge dröjer det tills pengarna har fördubblats?

Räntan 4,5 % ger förändringsfaktorn 1,045. Om vi antar att det dröjer x år tills pengarna fördubblats och Jimmie har 40 000 kr på kontot, så får vi exponentialekvationen

20 000 • 1,045* = 40 000

Den här ekvationen kan vi lösa grafiskt WIND0W

Xi»un=0 Xnax=2@ Xscl=5 Vmin=0 Vnax=5000u VSC1=10000 Xres=l

I n t t r s t c t i o n K=iS.717302 -.Y=H0Ö0Ö .

l. Välj 5 : t n t e r s e c t och tryck [ ) tre gånger.

Svar: Efter 16 år har pengarna på kontot fördubblats.

P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O 4.3 E X P O N E N T I A L E K V A T I O N E R OCH L O G A R I T M E R 133

Page 133: Matematik Origo 2b

Exempel :

lösning:

Kinas folkmängd var 1,27 miljarder människor vid folkräkningen år 2000 och ökade t i l l 1,34 miljarder människor år 2010.

a) Bestäm den årliga ökningen av folkmängden i procent.

b) Avgör när Kinas folkmängd kan förväntas vara 1,5 miljarder.

a) Om vi kallar förändringsfaktorn a, så får vi potensekvationen

1,27- a 1 0 = 1,34

.in 1-34

På 10 år ökade antalet invånare exponentiellt från 1,27 miljarder till 1,34 miljarder

a = ±

I , 27

/1,34\'' II, 27

±1,0054 Den negativa lösningen saknar betydelse

Svar: Folkmängden ökar med 0,54 % per år.

b) Folkmängden är 1,34 miljarder år 2010. Anta att det dröjer x år tills folkmängden är 1,5 miljarder. Vi ställer upp ekvationen

1,5 = 1,34 • 1,0054*

och löser den på räknaren.

På samma sätt som i föregående exempel använder vi räknarens intersect-funktion och får lösningen x = 21. Det innebär att 21 år efter 2010, dvs. år 2031 kan Kinas folkmängd förväntas nå 1,5 miljarder.

— ji;

I h t t r s t c t i o h 2Ö.9HHHCI2 .V=1.E

Svar: År 2031 kan Kinas folkmängd förväntas nå 1,5 miljarder.

NIVÅ 1

4301 Lös följande ekvationer med hjälp av figuren,

a) 10x = 5 b) 3 X = 5

/

1 "1 J.

J 1

J 3 -3 -7 .

v 10 J. J 1

J 3 -3 -7 .

J. J 1

J 3 -3 -7 . _j 5 .

J v - r> J

v- 3

X

s n s 1 5 /

— —

4302 Vilka av följande funktioner är exponential-funktioner?

A h(x)=x2 B /(x) = 12*-3

C g(x) = 5 2 -3* D v(x) = 2 - 4 x

4303 Lös potensekvationerna

a) x 4 = 16 b) 3 - x 7 = 79

4304 Lös följande exponentialekvationer med hjälp av grafritande räknare

a) 10* = 2

b) 5 = 2X

c) 3 000 = 4 000-0,95*

134 P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G © 4.3 E X P O N E N T I A L E K V A T I O N E R OCH L O G A R I T M E R

Page 134: Matematik Origo 2b

4305 Antalet bakterier N(t) i en bakteriekultur ökar med tiden t timmar enligt N(t) = 4 300 • 1,045'.

a) Hur stor är den procentuella ökningen per timme?

b) Hur många bakterier fanns det vid försökets början?

c) Hur många bakterier finns det efter 2 t immar?

d) Beräkna hur lång tid det tar för antalet bakterier att öka t i l l 10 000.

4306 Karin placerade 12 000 kr i en fond där den förväntade tillväxten var 6 % per år.

a) Vilken förändringsfaktor beskriver värdeökningen?

b) Bestäm ett funktionsuttryck v(x) som beskriver hur värdet i kronor av placeringen förändras med tiden x år.

c) Hur länge dröjer det tills värdet av Karins placering har vuxit t i l l 18 000 kr?

4307 Ge förslag på ett funktionsuttryck som

ö beskriver hur något

a) ökar med 3 % i värde per år

b) minskar i värde med 14 % per år

4308 Ge förslag på frågor från vardagslivet som ö leder t i l l ekvationerna

a) 15 000- l , 03 x = 20 000

b) 15 000 - x 7 = 20 000

NIVÅ 2

4309 På 10 år växer den lottovinst på 50 000 kr som Lars har haft på banken enligt K(x) = 50 000 • x 1 0 t i l l 64 000 kr. K ä r kapitalet i kronor och x är förändringsfaktorn. Hur stor har den genomsnittliga årliga räntan varit?

4310 Mona investerade 30 000 kr i aktier. Efter 3 år var aktiernas värde 15 000 kr. Hur stor var den årliga minskningen i procent?

4311 Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122 000 invånare och år 2000 fanns det 199 911 invånare i staden.

a) Bestäm förändringsfaktorn.

b) Teckna ett funktionsuttryck som beskriver tillväxten.

c) Hur många invånare finns det år 2010 om invånarantalet fortsätter att växa på samma sätt?

4312 Du sätter in dina besparingar på ett bankkonto. Hur lång t id tar det för kapitalet att fördubblas om årsräntan är 3 %?

NIVÅ 3

4313 Ange funktionsuttrycken t i l l de exponential-funktioner som är ritade i figuren.

a) — s J

•<o. (- 1, 2) •<o. v

1- -x-

-— - ->

b) \ M /

\ ( 1 v v **) \ u 1 1

1" u

X s

L /

4314 Tabellen visar temperaturen hos en varm dryck vid olika tidpunkter.

Tid (min) Temperatur ( C )

0 85,0

5 74.9

10 66,0

15 58,1

20 51,2

25 45,1

30 39,8

a) Pricka in värdena i ett koordinatsystem och rita en kurva över avsvalningen.

b) Beskriv avsvalningen med en exponentialfunktion.

P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O 4.3 E X P O N E N T I A L E K V A T I O N E R OCH L O G A R I T M E R 135

Page 135: Matematik Origo 2b

logaritm kommer från två grekiska ord, logos som betyder förhållande och arithmös som betyder antal.

Tiologaritmen

Tiologaritmer I figuren har vi ritat grafen t i l l exponentialfunktionen/(x) = 10*. Vi ser att om värdet av x ökar, så ökar funktionsvärdet. V i ser också att om värdet av x minskar, så minskar funktionsvärdet och kommer närmare och närmare noll. Att exponentialfunktionen f(x) = 10X har dessa egenskaper innebär att vi kan skriva alla positiva heltal som en potens med basen 10.

/

LO

Q

3-

i

LO

Q

3-

i V 10*

LO

Q

3-

i J J

O i u J

n J

c n u J

r n J J /

40 = 1 0 1 6 » n / 40 = 1 0 1 6

r / Q i

t 8 - 1 0 0 - 9 u X

2 — h -

-1 4— 1

->

Ig 8 = 0,9 Ig 40*1 ,G

Du känner säkert redan t i l l att 10° = 1, att 101 = 10 och att 102 = 100. Men av figuren kan du också se att man även kan skriva talen 8 och 40 som potenser med basen 10. V i kan avläsa i figuren att 8 ~ 100'9 och 40 = 101'6.

Den exponent x som 10 måste upphöjas t i l l för att man ska få det positiva talet y kallas tiologaritmen för y. Det betyder t i l l exempel att tiologaritmen för 100 är 2 eftersom 102 = 100 och att tiologaritmen för 40 är ca 1,6 eftersom 40 = 10 1 ' 6. Kortare kan detta skrivas som lg 100 = 2 och lg 40 = 1,6.

Definition av tiologaritm Tiologaritmen för 100 Tiologaritmen för 40

Tiologaritmen för ett positivt tal y är exponenten x när talet skrivs som en potens med basen 10.

y = 1 0 x <-> x = l g y ( y > 0 )

Definitionen innebär atty = lO' 8^ och att x = lg 10x. Alla positiva tal kan skrivas som en potens med basen 10. Ti l l exempel är 12 = 10 l g 1 2 och 0,8 = lO^ 0 - 8 .

Exempel: Skriv följande tal som en potens med basen 10:

a) 10 000 b) 7 c) 22 000

lösning: a) 10 000= 104

b) 7 = 10's7

c) 22 000= 10 '8 2 2 000

Tiologaritmen för 7 är det tal som 10 ska upphöjas till för att man ska få 7

Tiologaritmen för 22 000 är det tal som 10 ska upphöjas till för att man ska få 22 000

136 P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O 4,3 E X P O N E N T I A L E K V A T I O N E R OCH L O G A R I T M E R

Page 136: Matematik Origo 2b

Exempel: Bestäm utan att använda räknare.

a) lg 1 000 b) lg 10 c) lg 1 d) 10>«3

lösning: a) lg 1 000 = lg 103 = 3 Eftersom tiologaritmen för 1 000 är det tal som 10 ska upphöjas till för att man ska få 1 000 och 10 3 = 1 000

Svar: 3

b) lg 10 = lg 101 = 1

Svar: 1

c) lg 1 = lg 10° = 0

Svar: 0

d) 10>«3 = 3

Svar: 3

Eftersom tiologaritmen för 10 är det tal som 10 ska upphöjas till för att man ska få talet 10 och 101 = 10

Eftersom tiologaritmen för 1 är det tal som 10 ska upphöjas till för att man ska få talet 1 och 10° = 1

Eftersom tiologaritmen för 3 är det tal som 10 ska upphöjas till för att man ska få talet 3

Lös följande uppgifter utan att använda din räknare.

NIVÅ 1

4315 Bestäm med hjälp av figuren så noggrant som möjligt

> / i n n j . /

/ / v = 1 Y i

/ - n n 1

JU J

\ --

a) det tal man ska upphöja 10 t i l l för att få 200

b) det tal man ska upphöja 10 t i l l för att få 500

c) det tal man ska upphöja 10 t i l l för att få 800

4316 Skriv som en potens med basen 10.

a) 100 000

b) 1 000 000

c) 0,001

d) 1

4317 Bestäm med hjälp av figuren så noggrant som möjligt

/

i n 1 1U J

y = i 0*

r j J

i N. — — 1

— — — t -

a) lg 10 b) lg20 c) lg60

4318 Lös ekvationerna

a) 10 x = 10 000 b) 0,001 = 10*

c) 10 • 10* = 1 000

P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G ©4.3 E X P O N E N T I A L E K V A T I O N E R OCH L O G A R I T M E R 137

Page 137: Matematik Origo 2b

4319 Bestäm med hjälp av figuren det tal x man ska upphöja 10 t i l l för att få

/

1 i-

y u*

T /

X

s -( I 5 n 5

--a) 0,6 b) 1,4 c) 0,4

4320 Använd figuren t i l l uppgift 4319 för att så noggrant som möjligt bestämma

a) lg0,4 b) lg0,6 c) lg 0,2

4321 Skriv som en potens med basen 10.

a) 20 b) 7

c) 78 d) 20 000

4322 Bestäm

a) 10's5

c) 10's 1 0

b) 10's(-2>

d) 10's1 2

4323 Bestäm

a) lg 100 b) lg 0,001

c) lg 0,1 d) l g l O 8 8

4324 Lös följande ekvationer med hjälp av figuren t i l l uppgift 4319.

a) 10* = 2

b) 10* = 1,6

c) 4- 10* = 3,2

d) -0,4 = 10*

NIVA 2

4325 Ordna talen i storleksordning med det minsta först.

Ig98 10's2'1 2 lg 982 2,2

4326 a) Ge ett exempel på ett positivt tal som Ö också har en positiv tiologaritm.

b) Ge ett exempel på ett positivt tal som har en negativ tiologaritm.

c) Förklara när tiologaritmen av ett positivt tal är positiv och när den är negativ.

4327 Förklara varför man inte kan beräkna lg (-5).

138 P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O 4.3 E X P O N E N T I A L E K V A T I O N E R OCH L O G A R I T M E R

Page 138: Matematik Origo 2b

Exponent

At t lösa exponentialekvationer

logaritmtabeller

ON P å din räknare

Exponentialekvationer och tiologaritmer Exponentialekvationer! 2X = 16 kan lösas genom att man skriver talet 16 som en potens med basen 2. Ekvationen kan på så sätt skrivas om t i l l 2X = 2 4

eftersom 16 = 2 4 .

Både det vänstra ledet och det högra ledet i 2X = 2 4 består av en potens med basen 2. Därför måste värdet av exponenterna vara detsamma för att likheten ska gälla. Det ger att x = 4 är lösningen t i l l ekvationen.

För exponentialekvationen 2X = 5 är det inte lika enkelt att skriva om det högra ledet t i l l en potens med basen 2. Men med hjälp av tiologaritmer kan vi skriva talen 2 och 5 som potenser med basen 10 eftersom 2 = 10 l g 2 och 5 = 10 l g 5 . Då kan v i lösa ekvationen på följande sätt:

2X=5

( 1 0 l g 2 ) x = 10 l g 5 2 = 10's 2 och 5 = 10'? 5

1 0 x l g 2 = 10 l g 5 V i h a r i V L a n v ä n t p o t e n s l a g e n ( o m ) " = o m n

För att likheten ska gälla, så måste exponenterna vara lika.

x l g 2 = lg5 Dividera båda led med Ig 2

lg 5 lo 5 X = — Med hjälp av räknaren kan vi bestämma närmevärdet » 2,32

lg 2 Ig 2

Eftersom alla positiva heltal kan skrivas som en potens med basen 10, så kan vi lösa alla ekvationer av formen ax = b, där a och b är positiva tal, genom att skriva om ekvationernas båda led t i l l potenser med basen 10.

Förr använde man sig av tabeller när man ville bestämma ett närmevärde t i l l en logaritm. Den första logaritmtabellen skrevs i början av 1600-talet av den skotske matematikern John Napier. I dag har räknare och datorer helt ersatt logaritmtabellerna. Här intill har v i lagt in en del av en logaritmtabell. Det inringade talet ger decimaldelen t i l l värdet av lg 17,2.

Vi l l man beräkna 10-logaritmen av 15 med hjälp av räknaren, så trycker man E l I |och sedan E

L o g a r i t m e r f ö r t a l e n 1 — 5 5 9 .

lo9<15> 1.176091259

T a l D I 3 • 4 10 OOOO " 0043 « O086 " 0Ii8 '• 0170 I I 0414 »

o f å 1 0

O492 » 0531 3» 0569 12 0792 >° o f å 1 0 C864 •

I206 31 0899« 0934

13 1139 » 1173 » C864 • I206 31 1239 " , 2 Z '

M 1461 3 t

1761 " 1492 " H23 3 0 'J53 "* 1584

I S 1461 3 t

1761 " 1790 •» l8l8 - 1847 1875 16 2041 *' 2068 " 209? *' 2122 * 2148 •7 2304 " 2330 2l80 " 2 f S l & 2 ! S ä " 2577 " 2001 '* 2D2r *' 2648 •9 2788 " 2810 " 2833 " 2 8 0 " 2878 2(> 3010 » 3032 ™ 3054" 3°7> " 3096 21 3222 " 3243 " 3263 " 32S4 " 33°4 22 23

3424" 3617 - 363É " 3464 "

3°5S ". 3f3 :i 3°74 3856"

3,-02 3692

M 3802 3S20 •• 3838 ••

3f3 :i 3°74 3856" 1874 25 3979 3997 " 4014 " 4031 " 4048 26 41 >o 16 4166 " 4185 " 4200 4216 *l 43H " 4330 •« 4346 » 4362« 4378 28 29

4472 " 4624 "

4487 " 4639 "

4J02 •« 4054 ' !

30 4771 , s 4786 " 4800 1 4 4814 •' 4829 3« 4914 4928 "

506; " 4942 4955 " 49&?

3> SOCI •< 4928 " 506; " 5079 " 5092 " J i ° S

33 5185 " 3198 •• J 2 I I 1 3 5224 1 3 5237 34 !3ij " ,-328 " 5340 •> 5353 " 53» 35 5441 5453 " 5465 " 5478" 549= 36 ros " 5587 - 5599 " ;6n 37 5682" 5094" 57c; " 5717 " 57*9 38 5798 " 5809 » CS21 " 5832 " 5843 39 40 SI' z

6021 "

3Q22 1 1

603I 1 1

5933 *' Ö042 "

5944 " 6053 " m

4" 6128» 6138 " 6149 " 6160 » 6170 42 Ö232 " 6243 " 6253 » 6263 '• 6274 43 6335 - 634; " 635;

§454 6365 - 6375

44 6+3;' 6444 -635; §454 6464 - 6474

45 6532 " 6542 • 65,-1 - 6561 " 6,-71 46 6628 » 6637 ' 6646 - 6656 •

6749 ' 666;

s 6721 ' 673O 9

6656 • 6749 ' 6758

Ä U . S

P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O 4.3 E X P O N E N T I A L E K V A T I O N E R OCH L O G A R I T M E R 139

Page 139: Matematik Origo 2b

Exempel:

lösning:

Lös ekvationerna. Svara med två decimalers noggrannhet.

a) 10 x = 5 b) lgx = 2 c) 10 5 x =180 d ) 3 x = 22

a) 10x = 5

x = lg5

x - 0,70

b) lgx = 2

x= 102

x= 100

c) 10 5 x = 180

5x = lg 180

lg 180 x = —

5 x - 0,45

d) 3X = 22

( 1 0 l g 3 ) x = 10 l g 2 2

i o x l g 3 = i o l g 2 2

x - l g 3 = lg 22

lg 22 * = H T

x = 2,81

Enligt definitionen av tiologaritm

Enligt definitionen av tiologaritm

180 = 10 ' s 1 8 0

Tryck O 180 O O 5 ED

3 = 10 l g 3 och 22 = 1 0 l ? 2 2

Vi har i VL använt potenslagen ( o m ) n = a"

Tryck Q 22 O Q 1 3 3 O ED

Exempel: Frida sätter in 20 000 kronor på ett bankkonto där kapitalet växer med 4 % per år. Hur länge dröjer det tills Frida har 30 000 kr på sitt konto?

L ö s n i n g ; Om kapitalet växer med 4 % ränta, så blir förändringsfaktorn 1,04.

Förändringsfaktorn ska verka på kapitalet i x år tills beloppet är 30 000 kr.

20 000 • l ,04 x = 30 000 Båda leden divideras med 20 000

l , 0 4 x = 1,5

(10'8 ] ' 0 4 ) x = 10'8 1 , 5 Skriver om båda led till basen 10

10 l g 1 , 5 Vi har i VL använt potenslagen ( o m ) n = amn 10 JCIE 1,04

x l g 1,04 = lg 1,5

x = i S i A = io,3 lg 1,04

Svar: Det tar drygt 10 år tills Frida har 30 000 kr på sitt konto.

140 P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O 4.3 E X P O N E N T I A L E K V A T I O N E R OCH L O G A R I T M E R

Page 140: Matematik Origo 2b

NIVA 1

4328 a) Skriv talet 25 som en potens med basen 10.

b) Använd sedan resultatet i a) för att lösa ekvationen 10x = 25.

Lös ekvationerna

4329 a) 10* = 4,5

c) 2 • 10x = 6,4

4330 a) l g l O x = 8

c) l g x = 3 , 2

b) 10x = 0,7

d) 10 3 x =53

b) lgx = 0,5

d) lg 10 2 x = 1

4331 Du ska lösa ekvationen 3X = 6.

a) Skriv talet 3 som en potens med basen 10.

b) Skriv talet 6 som en potens med basen 10.

c) Lös ekvationen 3X = 6 med hjälp av resul

taten i a) och b).

4332 Lös ekvationerna. Svara med en decimals

noggrannhet.

a) 5 X = 12 b) 3 • 2 X = 15

c) -3 • 5 x = -6 d) 13 x = 17

4333 Lös ekvationerna. Svara med en decimals noggrannhet.

a) 20 000- 1,06'= 50 000

b) 45 000-0,97'= 15 000

c) 4- 10 6- 1,03' = 8- 106

4334 Reza sätter in 5 000 kr på banken t i l l 2,9 % årsränta. Hur lång tid tar det innan han har 6 000 kr på banken?

4335 Lös ekvationerna. Svara exakt.

a) X*=17 b) 5 X = 17

433G Lös ekvationerna. Svara med en decimals noggrannhet.

a) 3 - 4 x + 9 = 30

b) 5 - 2 x - 8 = 14

c) 9 - 2 - 3 x = 2

4337 Lös ekvationen 0 a) 10 000- l ,032 x = 15 000

b) Beskriv ett problem från vardagslivet som man skulle kunna lösa med hjälp av ekvationen i a).

NIVÅ 2

4338 Virkesmängden i familjen Anderssons skog ökar exponentiellt och på 25 år har virkesmängden fördubblats.

a) Hur stor är den årliga procentuella ökningen?

b) Skriv ett funktionsuttryck som beskriver virkesmängden, V(t) m 3 , som funktion av antalet år t om virkesmängden från början var V 0 .

c) År 2010 var virkesmängden i familjen Anderssons skog 2,4 • 106 m 3 . När virkesmängden uppgår t i l l 4 • 106 m 3 tänker de avverka. Vilket år kommer familjen att avverka sin skog?

P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O 4.3 E X P O N E N T I A L E K V A T I O N E R OCH L O G A R I T M E R I 4 I

Page 141: Matematik Origo 2b

4339 Antalet bakterier i en bakterieodling fördubblas varje timme. Hur lång t id tar det för odlingen att växa t i l l 1 000 gånger sitt ursprungliga antal?

4340 Lös ekvationerna. Svara med två decimaler.

a) 2 x + 3 = 11

b) 3 - 4 2 x - 3 = 15

c) 5 - 3 - 2 3 x " 1 = -16

4341 Astrid sätter in en summa pengar på banken. Efter 3 år med årsräntan 2,8 % har pengarna vuxit t i l l 7 000 kr. Hur lång tid tar det innan pengarna vuxit t i l l 10 000 kr om årsräntan hela tiden har varit densamma?

4342 Lös ekvationen 4 + 5 • T = 16 + 2 • T

4343 Förklara varför ekvationen 2X = -5 saknar lösning.

4344 Beräkna följande uttryck på din räknare:

lg (2 • 3) och lg 2 + lg 3

lg (5 • 6) och lg 5 + lg 6

lg (8 • 4) och lg 8 + lg 4

Kan du dra någon slutsats av dina beräkningar?

4345 Beräkna följande uttryck på din räknare:

l g | och lg 8 - lg 3

l g y och I g l 0 - l g 2

I g - j och lg 1 6 - l g 4

Kan du dra någon slutsats av dina beräkningar?

N I V Å 3

4346 Visa att ekvationen ax = b, där a och b är lgb

positiva tal, har lösningen x = lga

4347 Värdet av tiologaritmerna

lg 7 lg 70 lg700 lg7 000 lg 70 000

följer ett visst mönster.

a) Beräkna tiologaritmerna och beskriv mönstret.

b) Förklara varför mönstret får just det här utseendet.

4348 Lös ekvationerna utan räknare

a) l g x 2 = lg49

b) 4 + lg9 = l g x 2

142 P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O 4.3 E X P O N E N T I A L E K V A T I O N E R OCH L O G A R I T M E R

Page 142: Matematik Origo 2b

Räkneregler för logaritmer I uppgifterna 4344 och 4345 beräknade du uttrycken

lg (2 • 3) och lg 2 + lg 3

l g | och lg 8 - lg 3

Om du genomförde de uppgifterna såg du förmodligen att

lg (2 • 3) = lg2 + lg3

lg | = lg 8 - lg 3

Allmänt gäller att man med hjälp av logaritmer kan skriva om en multiplikation t i l l en addition och en division t i l l en subtraktion. De räknereglerna sammanfattas i logaritmlagarna som du hittar i rutan här nedanför.

Potenslagarna

a" • am = o" * m

n" ~ = a"-m,(a* om 0)

(a")m = a" m

(o • b)" = o" • b" ia\" a" .. \b\ =VAb* 0)

Första logaritmlagen

Logaritmlagarna

1. lg ab - lg a + lg b

3. l g a ^ p - l g a

där a, b > 0 och p kan vara vilket reellt tal som helst

För att härleda logaritmlagarna utnyttjar vi potenslagarna och definitionen av tiologaritmer. Med hjälp av definitionen av tiologaritmer kan vi skriva de positiva talen a och b som a = 10 l g f l och b = 10 l g i ' .

lgflk = lg (10 l g f l - lO 1 ^) = l g 10 l g a + l g f c = lgfl + lgfo

Alltså är lg ab = lg a + lg b

10 l g» Andra logaritmlagen lg ^ = lg ^ j p = lg 10 l g fl l g b = lg fl - lg b

Tredje logaritmlagen

Alltså är lg - = lg a - lg b

l g f l P = lg (10 l g f l )P = lg l G V l g < , = p - l g f l

Alltså är lg aP = p • lg a

Exempel: Förenkla uttrycket lg a - lg {ab) + 2 lg b

Ig ab = Ig o + Ig b

lösning: lg a - lg (ab) + 2 lg b = lg a - (lg a + lg b) + 2 lg b •

= le a - le a - le b + 2 le b = le b

P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O 4.3 E X P O N E N T I A L E K V A T I O N E R OCH L O G A R I T M E R 143

Page 143: Matematik Origo 2b

Exempel:

lösning:

Beräkna utan att använda räknare

a) lg 5 + lg 2 0 b) lgVTO c) lg V5ÖÖ - lg V I 7 2

a) lg 5 + lg 2 0 = lg (5 • 2 0 ) = lg 1 0 0 = lg 1 0 2 = 2

Svar: 2

1/2 _ 1

i = l g \ — — = lg VI 0 0 0 = lg W l = -V I 7 2 8 H / 2 8 8 2

\Al ooo =v r io 3 = (10 3) 1 / z = 10 3 / 2

b) lgVlO = lg 1 0

Svar: 1

c) lg V500 - l g V l / 2 = l g

Svar:

Exempel:

lösning:

Lös ekvationen

a) 3 X = 5 b) Igx + lg4 = lg8

a) Den här ekvationen kan vi lösa algebraiskt på olika sätt:

1. V i logaritmerar båda led och använder sedan logaritmlagarna.

3* = 5

Eftersom 3X = 5 så är också lg 3X = lg 5

lg 3- = lg 5

x lg 3 = lg 5 Enligt tredje logaritmlagen: Ig a" = x Ig o

lg3 x « 1,5

2 . På samma sätt som i förra avsnittet kan vi med hjälp av logaritmer skriva om talen 3 och 5 t i l l basen 1 0 .

3 X = 5

( 1 0 ' s 3 ) x = 1 0 1 8 5

1 0 * ' B 3 = 1 0 ' s 5

x l g 3 = lg5

x = ^ lg3

x - 1,5

b) Igx + lg4 = lg8

lg x = lg 8 - lg 4 i i 8

•g * = lg 4

l gx = lg2

x = 2

3 kan skrivas som 1 0 l g 3 och 5 kan skrivas som 10' s-

Sätt Ig x ensam i VL

Ig o - Ig b = Ig —

144 P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O 4.3 E X P O N E N T I A L E K V A T I O N E R OCH L O G A R I T M E R

Page 144: Matematik Origo 2b

N I V Å !

4349 Beräkna utan att använda räknare.

a) lg 107

b) IgVIÖÖ

c ) l gTucJ

4350 Beräkna utan att använda räknare.

a) lg 2 + lg 5

b) lg 750 - lg 75

c) lg 2 - lg 20

4351 Lös ekvationen 7X = 13 på två olika sätt genom att

a) först logaritmera båda leden

b) först skriva om 7 och 13 som en potens med basen 10

Lös ekvationerna

4352 a) 5X = 7

b) 2 • 3X = 17

c) l - 2 - 6 x = -4

4353 a) 3 • 5'- 0 9 x = 14

b) 5 - 2 - 14 3 ' 2 x =4

c) 12 • 3 5 ' 2 x - 2 = 18

4354 Eva köper en båt för 220 000 kr, som minskar i värde med 8 % per år. Efter hur lång tid är den värd 180 000 kr?

4355 Funktionen y—\4 050 • l,02 f visar folkmängden på en ögrupp, där y är antalet invånare t år efter år 1980. När har folkmängden fördubblats?

NIVÅ 2

4356 Visa att 2(lg 20 - lg 5) = lg 2 + lg 8

4357 Lise och Erik löser ekvationen 3 • 5X = 12 ö korrekt, men på två olika sätt.

Lise får

lg5

och Erik får

lg 1 2 - l g 3 lg5

Ge förslag på hur Lise och Erik kan ha kommit fram t i l l sina lösningar.

4358 Lös ekvationerna med hjälp av logaritmlagarna.

a) Igx = lg3 + lg4

b) 3 l g x = l g 2 4 - l g 3

c) l g 5 - l g 1 0 - l g 2x

P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O 4.3 E X P O N E N T I A L E K V A T I O N E R OCH L O G A R I T M E R 145

Page 145: Matematik Origo 2b

Ti llämpni ngar Exponentialfunktioner används ofta som modeller för att beskriva olika typer av förlopp. Det kan t i l l exempel handla om att beskriva ekonomiska förlopp eller hur populationen i ett land förändras med tiden.

Logaritmiska mått Inom naturvetenskapen tar man ibland hjälp av så kallade logaritmiska mått

när det man vi l l beskriva varierar över flera tiopotenser. Ett exempel är pH-värdet, som beskriver surhetsgraden hos en lösning. Ett annat exempel är richterskalan, som beskriver den frigjorda energin vid en jordbävning.

Exempel: År 2011 uppgick populationen i Indien t i l l 1,21 miljarder människor. Enligt en modell som beskriver befolkningstillväxten har den årliga t i l l växten varit 1,47 %.

a) Hur många människor bör det enligt modellen ha bott i Indien när Indien blev självständigt 1947?

b) Hur länge dröjer det tills Indiens folkmängd blir 2 miljarder, om t i l l växten fortsätter på samma sätt?

Lösning: a) År 2011 så fanns det 1,21 miljarder människor i Indien. V i antar att det fanns x miljarder människor i Indien år 1947. En årlig ökning av populationen med 1,47 % motsvarar en förändringsfaktor på 1,0147. Då kan vi ställa upp ekvationen

x- 1,014764 = 1,21

1,21 X ~ 1,014764

X ~ 0,476 Med hjälp av räknaren

Svar: År 1947 bör det enligt modellen ha funnits ca 476 miljoner människor i Indien.

b) Befolkningstillväxten är 1,47 % och år 2011 fanns 1,21 miljarder invånare i Indien. Om x är antalet år efter 2011, så får vi ekvationen

2 011 - 1 947 = 64. På 64 år ökar populationen från x miljarder till 1,21 miljarder

1,21 • 1,0147* = 2

1,0147* = — 1,21

lg 1,0147* = l g - ^ -8 8 1,21

x - l g 1,0147 = lg

x = le 1,21

1,21

lg 1,0147 = 34

På x år växer befolkningen från 1,21 miljarder till 2 miljarder

Vi har delat båda led med 1,21

Logaritmera bägge led

3:e logaritmlagen Ig ap = p Ig o

Svar: Räknat från år 2011, så kommer det att dröja 34 år innan Indiens folkmängd blir 2 miljarder.

P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O 4.3 E X P O N E N T I A L E K V A T I O N E R OCH L O G A R I T M E R

Page 146: Matematik Origo 2b

Exempel: En lösnings pH-värde är ett logaritmiskt mått på en lösnings surhet. Lösningens pH-värde definieras som det negativa värdet av tiologaritmen för lösningens koncentration av vätejoner [ H + ] mätt i enheten mol/dm 3 :

p H = - l g [ H + ]

En neutral lösning är varken sur eller basisk och har pH-värdet 7. Vilken

är koncentrationen av vätejoner i en neutral lösning?

lösning: Eftersom pH-värdet för en neutral lösning är 7 så kan vi beräkna koncen

trationen av vätejoner med hjälp av ekvationen:

7 = - l g [ H + ]

l g [ H + ] = - 7 lgy = x ger y = 10x

[ H + ] = lO" 7

Svar: Koncentrationen av vätejoner är 10"7 mol /dm 3 i en neutral lösning.

NIVA 1

4359 För barn mellan 5 år och 13 år finns en modell som ger sambandet mellan barnets vikt y kg och längd x m. Enligt denna modell ä r y = 2,4 • 10°' 8 x . Använd modellen och besvara följande frågor:

a) Hur mycket väger ett barn som är 1,2 m?

b) Vilken längd har ett barn som väger 32 kg?

(Np MaC ht 2009)

4360 Fridas pensionsförsäkring lovar 3,00 % årlig ränta. Frida har placerat 100 000 kr i försäkringen och har 35 år kvar t i l l pensionering. Hon har räknat ut att värdet på hennes pensionsförsäkring måste uppgå t i l l minst 250 000 kr för att hon ska ha råd att bo kvar i sin lägenhet efter pensionering.

a) Räcker Fridas pensionsförsäkring?

b) Vilket är det minsta belopp hon hade kunnat spara för att det ändå skulle räcka?

4361 Ett företag har som mål att höja värdet av sin export från 400 t i l l 1 000 miljoner kronor på 8 år. Med hur många procent ska exporten i genomsnitt höjas varje år?

4362 Markus köper en bil för 130 000 kr. Värdeminskningen beräknas bli 16 % per år. Hur länge dröjer det innan bilens värde sjunkit t i l l 50 000 kr?

4363 Ljudnivån L mätt i enheten decibel (dB)

definieras som L = 10 lg — där I är ljudinten-

siteten och I 0 = 10~12 W / m 2 är en konstant.

a) Vilken är ljudnivån vid den så kallade hörbarhetsgränsen, dvs. när ljudintensiteten är 10" 1 2 W/m 2?

b) Örats smärtgräns ligger vid en ljudintensitet på ca 1 W / m 2 . Vilken är ljudnivån vid smärtgränsen?

4364 En lösnings pH-värde bestäms av formeln pH = - l g [ H + ] , där [ H + ] är koncentrationen av vätejoner i mol/dm 3 .

a) Beräkna pH-värdet om vätejonkoncentrationen är 0,0015 mol/dm 3 .

b) Bestäm vätejonkoncentrationen om pH-värdet är 7,5.

P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O 4.3 E X P O N E N T I A L E K V A T I O N E R OCH L O G A R I T M E R 147

Page 147: Matematik Origo 2b

4365 Folkmängden i en stad följer den matematis- NIVÅ 2 ka modellen N=N0- I 0 ° ' 0 0 6 f där t är antal år efter år 2010. Efter hur många år har folkmängden ökat med 20 %?

4366 I början av år 1900 uppgick Sveriges folkmängd till 5,1 miljoner och i början av år 2012 uppgick folkmängden i Sverige till 9,5 miljoner.

a) Med hur många procent per år har befolkningen ökat i genomsnitt mellan början av år 1900 och början av år 2012?

b) Hur många människor kommer det att finnas i Sverige år 2050 om vi antar att folkmängden kommer att öka på samma sätt som tidigare?

4367 Arean hos löven på ett träd växer under en period på försommaren exponentiellt med 3,5 % per dygn.

a) Arean är en dag i maj 5,0 m 2 . Beräkna 4371 arean 14 dygn senare.

b) Bestäm ett samband som beskriver t i l l växten.

c) Hur lång tid tar det för lövens area att bli 10 m2?

4368 I ekvationen 160 000 • 0,95x = 50 000 beteck-ö nar x tiden i år.

a) Formulera ett problem som kan lösas med hjälp av denna ekvation.

b) Lös ekvationen och ge ett svar på det problem du formulerat.

(Np MaC vt 1996)

4369 En sjö håller på att växa igen. Sjöns area minskar exponentiellt. Vattenytan mätte 12 k m 2 år 1960 och 8,0 k m 2 år 2000.

a) Med hur många procent minskar arean varje år?

b) Bestäm ett samband som visar hur arean minskar?

c) Hur stor bör vattenytan vara år 2010?

d) Vilket år är arean 4,0 k m 2 om arean fortsätter att minska på samma sätt?

4370 Minna sätter in x kr på ett bankkonto med räntesatsen p %. Pengarna finns på kontot i r år. Ställ upp ett uttryck för kapitalet K kr, t år efter insättningen av x kr t i l l räntesatsen p % .

En fabrik måste minska sina utsläpp i sjöar och vattendrag med sammanlagt 20 procent under de följande fyra åren.

a) Hur stor bör den årliga utsläppsminskningen vara i procent, om man eftersträvar en lika stor relativ minskning under vart och ett av åren?

b) Anta att samma årliga reduktionsmål tillämpas även efter fyraårsperioden. Hur många år kommer det att ta innan utsläppen minskat t i l l mindre än hälften av de ursprungliga?

(Finländsk studentexamen år 2006)

I 4 8 P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O 4.3 E X P O N E N T I A L E K V A T I O N E R OCH L O G A R I T M E R

Page 148: Matematik Origo 2b

4372 Oljeproduktionen i ett land minskar med 7 % per år. Hur länge dröjer det tills oljeproduktionen halverats om minskningen fortsätter på samma sätt?

4373 År 1960 fanns det uppskattningsvis 20 000 gråsälar i Östersjön. På grund av höga halter av miljögifter minskade sedan antalet salar kraftigt. Minskningen var exponentiell och år 1980 fanns endast 2 000 gråsälar kvar.

a) Vilken var den genomsnittliga årliga procentuella minskningen av antalet gråsälar mellan åren 1960 och 1980?

Efter 1980 har sälstammen delvis återhämtat sig. Uppskattningsvis fanns det år 2005 12 000 gråsälar i Östersjön. Enligt en prognos från Naturvårdsverket kommer antalet gråsälar att öka exponentiellt med 6,5 % per år under de närmaste åren.

b) Vilket år kommer antalet gråsälar återigen att vara 20 000 om prognosen håller?

(Np MaC vt 2002)

4374 Jordbävningen vid Salomonöarna år 2007 gav upphov t i l l en tsunami. Jordbävningen hade magnituden 8 på richterskalan. Magnituden beräknas efter formeln

M = | ( l g £ - 4 , 4 )

där E är den frigjorda energin i joule. Hur mycket energi frigjordes i jordbävningen vid Salomonöarna?

NIVÅ 3

4375 Med kol-14 metoden kan man bestämma hur gammalt ett arkeologiskt fynd är. Metoden bygger på att mängden kol-14 är konstant i allt levande och när organismen dör och inga nya kol-14-atomer tillförs, så minskar de kol-14-atomer som då finns i organismen exponentiellt. Man vet att halveringstiden för kol-14 är 5 730 år. Det är alltså den tid det tar för att mängden av kol-14 i en organism ska halveras. Hur gammalt är ett arkeologiskt fynd som innehåller 1,0 • 10~7 ppm kol-14?

4376 I en sjö uppmättes vid ett tillfälle pH = 6. Tre år senare visade nya mätningar att sjön hade försurats och pH uppmättes t i l l 4,5. Hur många gånger högre var vätjonkoncentra-tionen vid den andra mätningen?

© B e s k r i v s k i l l n a d e n m e l l a n e n p o t e n s e k v a t i o n o c h e n e x p o n e n t i a l e k v a t i o n .

© F ö r k l a r a h u r m a n l ö s e r e n p o t e n s e k v a t i o n o c h h u r m a n l ö s e r e n e x p o n e n t i a l e k v a t i o n .

© V a r f ö r ä r d e t n ö d v ä n d i g t a t t y ä r e t t p o s i t i v t t a l i d e f i n i t i o n e n a v t i o l o g a r i t m e r ?

© K a n a l l a e k v a t i o n e r a v f o r m e n a * = b l ö s a s m e d h j ä l p a v t i o l o g a r i t m e r ?

© K a n a l l a t a l s k r i v a s s o m e n p o t e n s m e d b a s e n 10? O m i n t e , v i l k a t a l g å r i n t e a t t s k r i v a

s o m e n p o t e n s m e d b a s e n 10?

© F ö r s ö k a t t f ö r k l a r a för e n k o m p i s , s o m i n t e a r b e t a t m e d l o g a r i t m e r , v a d t i o l o g a r i t m e r ä r .

Q F ö r k l a r a h u r m a n m e d l o g a r i t m e r s h j ä l p k a n g ö r a o m b e r ä k n i n g a r s å a t t m u l t i p l i k a t i o n o c h d i v i s i o n

bl i r t i l l a d d i t i o n o c h s u b t r a k t i o n .

P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O 4.3 E X P O N E N T I A L E K V A T I O N E R OCH L O G A R I T M E R 149

Page 149: Matematik Origo 2b

K o n s e r t e n

Eva och Per ska gå på en konsert. - Spelar dom högt, undrar Eva oroligt. - Nja, det är förbjudet att ha en ljudnivå som är

högre än 115 decibel. Jag vet inte hur noga man är med att följa de reglerna på rockkonserter. Jag har hört att man på vissa ställen har ljudblockerare som helt enkelt stänger s t römmen när ljudet blir för starkt.

- Hur mycket är 115 dB? Jag vi l l inte ha ont i huvudet i en vecka efteråt.

- Smärtgränsen, när det börjar göra ont i öronen, ligger vid 130 dB.

- Oj, det är j u jättenära 115 dB! - Jag har hör t att en ökning på 3 dB innebär en

fördubbling av ljudstyrkan. Den högsta uppmätta ljudstyrkan under ett musikevenemang var under en konsert med Dire Straits 1992. Då uppmättes 134 dB.

- Tur att vi inte var där, då hade vi kanske haft tinnitus nu. Du vet när det ringer i öronen hela tiden.

- V i kan j u ta öronproppar med oss för säkerhets skull.

- Bra idé! Jag vil l ju inte missa konserten

Ljudnivån, L dB, beräknas enligt nedanstående formel där I är ljudintensiteten i W / m 2 och I 0

ljudintensiteten hos det svagaste ljud örat anses kunna uppfatta, 10~12 W / m 2 .

L= 10-hl

Ungefärliga decibelvärden för olika ljud

OdB det svagaste ljud örat kan uppfatta •

10 dB en andning på 3 m avstånd

20 dB en v iskning •

60 dB normalt samta l

90 dB gräsklippare

115 dB konsert eller motorsåg på 1 m avstånd

130 dB smärtgräns

190 dB t rumhinnan kan spricka

Vilken ljudnivå har en viskning som har en ljudintensitet på 10"9 W/m 2?

Vilken ljudintensitet är det i en industri där ljudnivån är 75 dB?

Hur många gånger högre ljudintensitet har smärtgränsen än den högst tillåtna ljudnivån vid en konsert?

Stämmer det Per säger, att en ökning på 3 dB innebär en fördubbling av ljudstyrkan? Undersök om en fördubbling av ljudintensiteten verkligen ger en ljudnivåökning på 3 dB. Välj flera olika intensiteten

Visa med hjälp av logaritmlagarna att det alltid stämmer.

150 P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O n - U P P G I F T

Page 150: Matematik Origo 2b

RÄKNA MED RÄKNESTICKAN

Ta först reda på hur en räknesticka fungerar, t i l l exempel genom att läsa igenom historieavsnittet i det här kapitlet. För att lösa uppgifterna här nedanför behöver du låna en räknesticka.

Beräkna med hjälp av räknestickan

52-31 0,72-0,044 — 16,5

På vilken skala finner du upphöjt t i l l 2 och roten ur? Beräkna 42,32 och VB".

På vilken skala finner du upphöjt t i l l 3 och kubikroten ur? Beräkna VTo och 193.

POÄNGRÄKNING I SJUKAMP

I sjukamp tävlar deltagarna i olika grenar. För att kunna summera resultaten från dessa grenar räknas resultatet i varje gren om ti l l poäng.

Gren Konstanter

a b c

200 m 4 ,99087 42 ,5 1,81

800 m 0,11193 254 1,88

100 m häck 9 ,23076 26,7 1,835

Höjdhopp 1,84523 75 1.348

Längdhopp 0,188807 210 1,41

Kula 56 ,0211 1,5 1,05

Spjut 15 ,9803 3,8

Internationella friidrottsförbundet (IAAF) har bestämt de två formler som används för poängberäkning.

För löpgrenar används:

Poäng = a - (b-M)c

För kast- och hoppgrenar används:

Poäng = a • (M - b)c

Förklaring: M = Uppmätt resultat (löpning i sekunder, hopp i centimeter, kast i meter)

a,b,c= konstanter, se tabellen (b är det sämsta resultat som ger poäng)

Det svenska rekordet i längdhopp för damer är 699 cm. Hur många poäng får en deltagare om hon hoppar så långt i en sjukamp?

Värdet på konstanten c för spjutkastning har fallit bort i tabellen. Bestäm c om du vet att ett kast på 48 meter ger 822 poäng.

Vid OS i Aten 2004 hade Carolina Kluft 6047 poäng inför sista grenen som var 800 m. Vilken t id hade hon behövt springa på för att slå det då gällande europarekordet 7009 poäng?

Varför används två olika formler?

(NpMaCvt2005)

•a 73 O 03 I -

m

o n X C z D m 73 cn O: ^ Z z Cl > 33

P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O P R O B L E M OCH U N D E R S Ö K N I N G A R I 5 I

Page 151: Matematik Origo 2b

John Napier (1550-1617)

Tidig räknesticka.

Från logaritmtabell till räknesticka Räkneproblem Det var inte lätt att utföra komplicerade beräkningar före 1600-talet. Behövde matematiker, astronomer eller fysiker multiplicera stora tal med varandra, så fick de lägga ner massor av t id på det. Därför var det en fullkomlig revolution när John Napier (1550-1617) och Henry Briggs (1561-1630) i början av 1600-talet introducerade logaritmtabeller. Det var kanske ett lika stort framsteg för matematiken som datorerna. Den franske astronomen och matematikern Pierre Simon de Laplace (1748— 1827) påstod t i l l exempel att logaritmtabellernas förenkling av beräkningarna fördubblade en astronoms livslängd.

John Napier John Napier var en skotsk matematiker, fysiker, astronom och astrolog. Hans fullständiga namn var John Napier of Merchiston och kallades ofta för "Marvellous Merchiston" av sin beundrande omvärld. Han delade sin tid mellan vetenskapliga och teologiska studier. Teologin var ofta uppblandad med magi och tro på allehanda ockulta företeelser. Han använde sin matematiska begåvning t i l l att beräkna tiden för världens undergång, som han förutspådde t i l l antingen år 1688 eller år 1700. Han var ansedd som en trollkarl av många, och en av de många historierna om honom handlar om att han med hjälp av en tupp lyckades avslöja en tjuv bland sina tjänare. Han stängde in tjänarna, en åt gången, i en kammare med en tupp. Tjänarna hade blivit tillsagda att stryka tuppen över ryggen varvid tuppen skulle kunna tala om för Napier om tjänaren var skyldig eller inte. Det hela lyckades och tjuven blev avslöjad. Inte med hjälp av magi den här gången, utan det hade gått t i l l så att Napier hade behandlat tuppen med kol och alla tjänarna hade svarta händer utom den som var skyldig, eftersom han av rädsla att bli avslöjad inte hade strukit tuppen över ryggen.

Slider

"Napiers bones" var ett räkne-hjälpmedel konstruerat av John Napier.

SI TI T2

Skala D

, ! , . . , ! . I I , , „ l , „ , l n i , 9 80 10

. . i . . . . t . . . . i . . . . i . . . . i ; i . . . . i , . . ! . . . . , i . . . ,

i »M""r it i i "T Y™i""i :

65

f

" ' "" I "" ' "" ! 20 70

i r r i n n i m u i m l M t o ^ i s 2 i 1 11 12 13 U 15 15 17

995 " 99 Tu l..t . lm.l.. . .l..J . . . . l . . . .1 1 111 • I i . I . l .h l V ' I ' ' ' ' » ' " * I ' ' | " " I " " [ " ' . , . . . . t l , u | u

il.M.I.I.I.M 1""'""

~T

152 P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O H I S T O R I A

Page 152: Matematik Origo 2b

L o g a r i t m e r f ö r t a l e n 1-559.

Tal

10 oooc 0043 0086 0128

11 0414 12 0792 13 1139 14 '5

1461 1761

16 2041 17 2304 18 255J 19 2788 20 3010

21 J222 22 3424 23 3617 24 3802

°*53 0828 " 7 3 1492 1790

2068 2330 2577 2810 3032

0492 0864 1206 15*3 1818

2 0 9 ;

2601 2833 3°54

3 z43C3iS>3zS4 3 3444 I404 3 4 8 3 3 3630 365? 3074 3820 3838 3856

4014

? Be räkna 12 • 1G med

hjälp av logar i tmtabe l len .

Använd bilden av

räknest ickan och beräkna

4 13 och 18 13. T ä n k på

att du själv m å s t e placera

d e c i m a l k o m m a t rätt .

Logaritmtabeller Napiers bok Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, vars svenska titel närmast skulle vara En beskrivning av en underbar tabell av logaritmer, publicerades år 1614 och innehöll bl.a. 90 sidor med logaritmtabeller.

Ett av problemen med tabellerna var att Napier inte definierade logaritmen på samma sätt som vi har gjort. Det var inte förrän man räknade om logaritmtabellerna till 1 O-logaritmer som logaritmer fick sitt stora genomslag.

Med hjälp av en logaritmtabell kan man utföra svåra multiplikationer och divisioner med addition och subtraktion. Vi ska beräkna 13,3-21,2 med hjälp av logaritmtabellen här t i l l vänster. Logaritmen för talet 13,3 är 1,1239. Observera att tabellen ger decimalerna, heltalsdelen får man själv lista ut. Enligt logaritmlagarna är lg (13,3 • 21,2) = lg 13,3 + lg 21,2. Vi letar reda på motsvarande värden i logaritmtabellen och adderar dem: 1239 + 3263 = 4502. Vi hittar värdet 4502 i logaritmtabellen och avläser resultatet t i l l 282. Var decimaltecknet ska placeras masta man sedan tänka ut. Här blir svaret 282. (Med räknaren får vi 13,3 • 21,2 = 281,96). På samma sätt kan vi beräkna 19-11,1 som 2788 + 0453 = 3241. V i hittar värdet 3243 (som är det värde som ligger närmast 3241) och avläser svaret t i l l 211 (med räknaren 19 • 11,1 = 210,9).

Räknestickan Räknestickan kan anses som en utveckling av logaritmtabellerna. Den bestod av logaritmiska skalor som kunde röras i förhållande t i l l varandra. En föregångare var antagligen engelsmannen William Gunthers "line of numbers". Han konstruerade ett antal trälinjaler med logaritmiska skalor som kunde förskjutas i förhållande t i l l varandra och därmed utföra divisioner och multiplikationer. Den första verkliga räknestickan brukar dock anses vara konstruerad av den engelske prästen och matematikern William Oughtred år 1622. Ständiga förbättringar ledde sedan fram t i l l det verktyg som kom att vara centralt inom matematiken i över 300 år, ända in på 1970-talet då miniräknarna tog över.

När v i utför multiplikationen 2-1,3 med hjälp av räknestickan, så börjar vi med att sätta Lan på skala C över 1,3 på skala D och sedan föra slidern t i l l 2:an på skala C. Resultatet 2,6 kan avläsas under 2:an.

På internet kan du hitta raknestickor

att öva på.

P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O H I S T O R I A I 5 3

Page 153: Matematik Origo 2b

r-CL

< sy UJ

i

I Potenser, logaritmer och budgetering

( l Budgetering • ränta på ränta

• privatbudget

• företagsbudget

r Potensekvati oner • ekvationer av formen x" = a

för a > 0 gäller aVn = \fä, där n är ett positivt heltal

Exponentialfunktioner • y = Co*

• upprepade procentuella förändringar med konstant förändringsfaktor

Exponentialekvationer • a' = b

• grafisk lösning

• logaritmer

Tiologaritmer • y = 10*<->x = Igy (y>0)

• skriva som potens med basen 10 y = 10'sv J

Tillämpningar • populationsförändringar

• logaritmiska mått

r Logaritmlagarna • 1. \gAB = IgA + IgS

2 . l g | = l g A - l g B

3. Ig Af = p • Ig A

där A, B > 0 och p kan vara vilket tal som helst

154 P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O T A N K E K A R T A

Page 154: Matematik Origo 2b

1 Bestäm utan att använda räknare

a) lglOOOO

b) lg 0,000 01

c) I g l

2 Lös ekvationerna utan att använda räknare.

a) 10x = 100

b) x2 = 100

3 Bestäm utan räknare

a) 10's5 b) 10 '8° a c) 10'« f l

4 Använd 10-logaritmer och skriv talen som en potens med basen 10. Ange exponenten både exakt och med ett närmevärde.

a) 5 b) 19

c) 0,4 d) 7 000

5 Hur många lösningar finns det t i l l var och en av ekvationerna

a) x13 = 81

b) x1* = 81

c) X15- 81 = 0

6 Beräkna utan att använda räknare

a) 2 3

b) ( 2 3 ) I / 3

c) V ( W

7 Lös ekvationerna

a) 10x = 121

b) 17 = 2- 10x

c) 10 3 x = 3 728

8 Lös följande ekvationer och svara exakt.

a) 8x = 22

b) r 8 = 22

c) 8X = 22

9 Lös ekvationerna

a) 3X = 7

b) 8 = 3 - 4 x

c) 5 + 2 - 3 x = 14

10 Lös ekvationerna

a) x5= 13 b) ^ = -8 c) x4= 11

11 Annas aktier är värda 5 000 kr. De minskar i värde under en hel vecka (5 dagar) med 2,3 % per dag. Hur mycket är de värda efter den veckan?

12 Ingrid sätter in 5 000 kr på banken. Hur många år tar det innan hon har 10 000 kr, om vi antar att årsräntan i genomsnitt är 3,5 %?

13 När Johanna flyttade hemifrån gjorde hon en budget för den första månaden. Den såg ut så här:

Inkomster Lön efter skatt 14 432 kr

Utgifter Hyra 4 640 kr

Mat 1 7 5 0

E l . t e l e 490 kr

Träning, hygien 420 kr

Kläder, skor 650 kr

Nöjen 7

a) Hur mycket kan hon använda t i l l nöjen om hon vi l l spara 4 000 kr t i l l en semesterresa?

b) Den tredje månaden ska hon betala kvartalsränta på ett lån på 100 000 kr. Hur mycket ska hon betala i kvartalsränta om räntesatsen är 8,35 %?

c) Hur mycket kan hon spara den månaden om hon använder lika mycket pengar ti l l nöjen som den första månaden?

14 En ort som har 82 000 invånare är inne i en period där invånarantalet ökar med 1,5 % varje år. Hur många kommer att bo på orten om 10 år om ökningen håller i sig?

P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G © B L A N D A D E U P P G I F T E R 155

Page 155: Matematik Origo 2b

a UJ H U. U a a UJ • < a z < ca

15 Förenkla V3c • x 3 ' 2 + „ l/2 NIVA 2

16 I början av år 2007 köpte Ylvali andelar i en aktiefond t i l l ett värde av 2 000 kr. Fyra år senare hade värdet minskat t i l l 1 640 kr. Beräkna den genomsnittliga procentuella värdeminskningen per år för hennes fondandelar.

17 Lös ekvationerna med hjälp av logaritmlagarna. Svara exakt.

a) lg x = lg 8 + lg 2

b) 3 1gx = l g l 6 - l g 2

c) l g x - 1 = lg 2

18 Lös ekvationerna

a) 5 - 3 ' ' 2 x = 2

c) 9- 1 2 1 - 3 5 x - 4 = 23

b) 2 - 4 2 x = 1

19 Arean som täcks av vattenväxter i en sjö mellan den första juni och första september kan beräknas med hjälp av funktionen A(t) - 45 • 1,03'. A(f) m 2 är arean t dagar efter den första juni.

a) Hur stor area täcks av vattenväxter den första juni?

b) Hur stor area täcks den första juli?

c) Hur lång tid tar det innan 100 m 2 täcks av vattenväxter?

20 Beskriv en verklig situation där något 0 a) ökar exponentiellt

b) minskar exponentiellt

21 Ge ett förslag på vad funktionen y = 20 000 • 0,97x kan beskriva.

22 Sixten köpte aktier för 20 000 kr. Fem år senare kunde han sälja dem för 56 720 kr. Hur stor årlig procentuell värdeökning motsvarar detta?

23 Anna köper aktier för 10 000 kr. Det går dåligt för börsen, så Annas aktier minskar i värde med i genomsnitt 5 % varje månad. Hur lång tid tar det innan värdet på aktierna har halverats?

24 Folkmängden i Umeå har från den 31 december år 2005 t i l l den 31 december år 2010 ökat med 4,3 %. Hur stor genomsnittlig ökning per år motsvarar det?

25 Pers pengar K(t) kr växer på banken under t år enligt K( t) = 2 500- 10° ' 0 1 5 t

a) Hur stor är räntan?

b) Hur länge tar det innan Pers pengar har fördubblats?

26 En person får 4,0 mg av ett läkemedel. Läkemedlet tas upp av kroppen och mängden minskar exponentiellt med tiden. Efter 12 timmar återstår halva mängden. Hur lång tid efter det att personen tagit läkemedlet återstår det 0,1 mg?

Beräkna utan att använda räknare

27 a) 16 3 / 2 b) 27 4 / 3

1 28 a) lg b) lg 400 - lg 4

29 Lös ekvationen lg x2 = 16

30 Visa att om B-2A så är lg — = - l g 2 B

31 År 1900 var koldioxidhalten i atmosfären 280 ppm. År 2006 hade koldioxidhalten stigit till 381 ppm. Förändringen antas vara exponentiell.

a) Med hur många procent ökade halten per år i genomsnitt under perioden?

b) År 2008 ökar koldioxidhalten med 3,3 % per år. Hur lång tid tar det med denna ökningstakt för koldioxidhalten att öka med lika många procent som mellan 1900 och 2006?

32 Är lg 9 större eller mindre än 1? Motivera ditt svar.

(Np MaC vt 2005)

I56 P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O B L A N D A D E U P P G I F T E R

Page 156: Matematik Origo 2b

33 Vilken är exponentialfunktionen y = /(x)?

1

[ 1 1 1

34 Antalet huggormar h på en skärgårdsö antas växa med antal år x enligt sambandet h = 650 • l,03 x och antalet sorkar s på samma ö antas istället minska enligt s = 12 000 • 0,93*. När kan man enligt sambanden förvänta sig att antalet huggormar och antalet sorkar är lika?

NIVÅ 3

35 Julia äger och driver ett hunddagis. Hon gör upp en likviditetsbudget för kvartal 1 och 2.

Likviditetsbudget (1000-tal kr) Kvartal 1 Kvartal 2

Likvida medel vid periodens början 12 18

Inbetalningar

Hundplatser 42 42

Kurser 12 8

Summa inbetalningar 54 50

Utbetalningar

Hyra och utrustning 11 11

Löner 28 28

Ränta 2 1,9

Amortering 5 5

Övrigt 2 13

Summa utbetalningar 48 59

Likvida medel vid periodens slut 18 9

a) Hon har som mål att likvida medel vid periodens slut alltid ska vara positivt. Vad innebär det för inbetalningar och utbetalningar under kvartal 3?

b) Hur stort är hennes lån i början av första kvartalet om räntesatsen är 5,4 %?

c) Rita av tabellen och gör budgeten även för kvartal 3: Då säljer kurser för 10 000 kr. Räntan ökar från 5,4 % t i l l 6,4 %. Julia ökar antalet hundplatser från 15 t i l l 17. Övrigt 2 000 kr. Allt annat är oförändrat.

03 I -

> z a > a m C "O 13 n T) H m 33

36 Sveriges befolkning var 5,14 miljoner år 1900 och 8,86 miljoner år 2000. Hur många bodde i Sverige då Karl X I I dog år 1718 om befolkningsökningen varit exponentiell sedan dess?

37 Ett arkeologiskt fynd innehåller 15 % av den halt av kol-14 som levande organiskt material innehåller. Hur gammalt är fyndet? (Halveringstiden för kol-14 är 5 730 år.)

38 Til l skridskoturen har Martin med sig varmt kaffe i en termos. Temperaturen på kaffet avtar exponentiellt med tiden. Efter 4 timmar är temperaturen 76 °C och efter ytterligare 2 timmar är temperaturen 69 °C.

a) Vilken var temperaturen på kaffet när det hälldes i termosen?

b) Teckna ett uttryck för kaffets temperaturminskning med avseende på tiden.

c) Efter hur lång tid har kaffets temperatur sjunkit t i l l 60 °C?

P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O B L A N D A D E U P P G I F T E R 157

Page 157: Matematik Origo 2b

DEL 1 Utan räknare

1 Beräkna

a) 2 4 b) 4"

2 Lös ekvationerna och svara exakt,

a) 2 = 10x b) 3 = 10x

c) 27 2 / 3

c) 2 X = 3

3 En utgiftspost i Evas budget är räntan på ett lån på 500 000 kr med räntesatsen 6,75 %. Teckna ett uttryck för årsräntan i kronor.

4 Bestäm med hjälp av figuren så noggrant som möjligt

a) lg4

b) lg0,4

/ M r j -f\ / y L0 [

3

->

i

X s

1 i >

5 Skriv som en potens

a) V32 b) 'Vx4"

6 Ordna följande tal i storleksordning från vänster t i l l höger med det minsta talet först

1,01 lg 10 l g l lg 0,1 lg0,99

7 Elina hade satt in 60 000 kr på ett konto med räntesatsen 2 %. Efter t år fanns det 73 140 kr på kontot. Du kan beräkna t med hjälp av en ekvation. Teckna den ekvationen.

8 I tabellen hittar du närmevärden av tiologaritmen för heltal upp t i l l 9. Bestäm med hjälp av tabellen ett närmevärde t i l l

a) lg800

b) lg0,75

c) lg 16

X Ig*

1 0

2 0,30

3 0,48

4 0,60

5 0,70

6 0,78

7 0,85

8 0,90

9 0,95

P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O K A P I T E L T E S T

Page 158: Matematik Origo 2b

DEL 2 Med räknare

9 Rolf och Lena äger en souveniraffär. De har ett lån på 500 000 kr med räntesatsen 4 %. Intäkterna av försäljning är 2 000 000 kr och lönekostnaden är 50 000 kr/mån. De ställer upp en resultatbudget för ett år:

Intäkter Försäl jning ? k r

Kostnader Varukostnad 1 1 0 0 000 kr

Hyra 100 000 kr

E l , värme m m . 60 000 kr

Lönekostnader ? k r

Ränta på lån ? k r

Resultat ? kr

a) Komplettera deras budget.

b) Hur ändras budgeten om räntan sänks med 0,25 procentenheter och

lönerna höjs med 2 %?

10 Klara vill skriva talet 37 som en potens med basen 10. Hjälp Klara att bestämma ett närmevärde t i l l exponenten med två värdesiffrors noggrannhet.

11 Lös ekvationerna. Svara med tre siffrors noggrannhet.

a) 5 ^ = 60 b) 3x 4 = 372 c) 3x 7 + 4 = 92

12 Alpha har satt in 10 000 kr på ett konto. Han har låtit pengarna växa med ränta på ränta i 15 år. Det har t i l l slut gett honom 14 272 kr på kontot. Hur stor har räntesatsen varit i genomsnitt?

13 Agnes och Ken betalade 1 250 000 kr för sin lägenhet. Priset på bostäder i deras område har sedan dess stigit med 8 % per år.

a) Skriv ett funktionsuttryck som beskriver hur priset på deras bostad, p(f), beror av tiden t år.

b) Efter hur lång t id är värdet av bostaden ca 2 000 000 kr?

14 Kalle löser ekvationen lg x2 = 4 så här:

lg x2 = 4

2 lg x = 4

> H m i— H m in —I

• Kalle tycker sedan att det är konstigt att ekvationen inte har två lösningar eftersom "x är i kvadrat". Visa genom prövning att ekvationen har rötterna x = -100 och x = 100

• Lös ekvationen på ett sådant sätt att du får med båda rötterna. Förklara varför Kalles lösning blir fel.

P O T E N S E R , L O G A R I T M E R OCH B U D G E T E R I N G O K A P I T E L T E S T 159

Page 159: Matematik Origo 2b

5 Geometri

Page 160: Matematik Origo 2b

G eometrin är, genom arkitektur och

formgivning, en av matematikens

mest framträdande delar i vardagen.

Naturens former är omväxlande, emellanåt

symmetriska, men framförallt oregelbund

na och föränderliga. Människans skapelser

domineras av enkla geometriska figurer.

Det mesta är rektangelformat, men det

finns även gott om cirklar och trianglar i vår

omgivning.

Ett sätt att skapa former som liknar eller

helt överensstämmer med varandra är

naturligtvis att mäta alla vinklar och sidor

för att kunna reproducera dem. Men det är

ett mödosamt arbetssätt, som kräver

många och komplicerade mätningar.

I det här kapitlet kommer vi - med hjälp

av några klassiska geometriska satser - att

avsevärt minska antalet mätningar som

krävs för att bestämma vinklars storlek

eller avgöra om två figurer har exakt

samma form.

När du är klar med kapitlet ska du kunna

• förklara och använda randvinkelsatsen,

bisektrissatsen, topptriangelsatsen och

transversalsatsen

• förklara och använda likformighet och

kongruens

Pariserhjul Om man sitter i en korg i ett pariserhjul och tittar tvärs över hjulet på två korgar som ligger bredvid varandra, så bildas en vinkel v mellan dem. Det intressanta är att medelpunktsvinkeln w från mitten t i l l de två korgarna, är dubbelt så stor som vinkel v. Se figuren.

• För pariserhjulet på Lisebergs nöjespark är vinkeln v lika med 9°. Hur många korgar har Lisebergs pariserhjul?

• I London finns ett av världens största pariserhjul, London Eye, med en diameter på 135 meter. Pariserhjulet har 32 korgar. Beräkna vinkel v för London Eye.

• Skriv en formel som för ett okänt pariserhjul beskriver hur antal korgar n beror av vinkeln v.

161

Page 161: Matematik Origo 2b

5.1 Satser om vinklar i cirklar

Vinkel

Det är enklast att mäta vinklar med en gradskiva.

Olika slags vinklar Vi inleder med att påminna oss om det vi har resonerat kring vinklar i kurs lb.

Här int i l l har vi ritat två strålar som utgår ifrån samma punkt. De bildar tillsammans en vinkel.

Den gemensamma punkten A kallas vinkelspets

och de två strålarna kallas vinkelben. En och samma vinkel kan betecknas på olika sätt:

a = AA = ABAC = ACAB

Namn på vinklar Spetsig vinkel

/

Rät vinkel Trubbig vinkel

\ Rak vinkel

/ u s \ u h " U°<u<90° u = 90° 90°<u<180° u = 180°

Sidovinklar I figuren utgår en stråle från en punkt på linjen. Det bildas två vinklar, u och v, bredvid varandra. Vinklarna u och v kallas sidovinklar. Summan av sidovinklar är 180°.

u + v= 180°

Även tre eller flera vinklar som tillsammans bildar en rak vinkel kallas sidovinklar. Vinkelsumman av sidovinklar är alltid 180°.

Vertikalvinklar Runt två linjers skärningspunkt bildas fyra vinklar. Motsatta vinklar kallas vertikalvinklar. Vertikalvinklar är lika stora:

y och a = |3

Likbelägna vinklar Vinklarna u och v kallas likbelägna vinklar.

Alternatvinklar Vinklarna u och w kallas alternatvinklar.

Även ömvändningen gäller, dvs. om två likbelägna vinklar

eller alternatvinklar är lika stora, så är linjerna parallella.

Om linjerna k och / är parallella, så är likbelägna vinklar och alternatvinklar lika stora:

u - v och u = w

l 6 2 G E O M E T R I © 5 . 1 S A T S E R OM V I N K L A R I C I R K L A R

Page 162: Matematik Origo 2b

Bisektris En stråle som delar en vinkel i två lika stora delar kallas bisektris.

Bisektris

u = v = %

Exempel: Beräkna vinkeln a.

lösning: De tre vinklarna är sidovinklar.

69° + 2a + a = 180° Vinkelsumman av sidovinklar

69° + 3a = 180° Vi löser ut a

3a = l l l c

111° a = —— 37°

Svar: Vinkeln a är 37°

Exempel: I figuren är linjerna / och k parallella och u = 45°. Bestäm vinklarna v, w och a.

lösning: Vinklarna u och v är alternatvinklar vid parallella linjer. Därför är de lika stora.

u = v = 45°

Vinklarna w och v är vertikalvinklar.

w = v = 45°

Vinklarna u och a är sidovinklar.

u + a = 180°

a = 180° - u = 180° - 45° = 135°

Svar: v = 45°, w = 45° och a = 135°

Vi kan också använda oss av att u = w = 45° eftersom u och w

är likbelägna vinklar.

, •'.»- - '• »Jv !

G E O M E T R I O 5 . 1 S A T S E R OM V I N K L A R I C I R K L A R 163

Page 163: Matematik Origo 2b

NIVA 1 NIVA 2

5101 Beräkna vinkeln z. 5108

4 8 ° 75°

1 1 4 5102 Bestäm vinkeln v.

5103 Vilka av följande likheter gäller?

a) V = A A B C B

b) ADCB = AACB

c) ADAB = ABAC S t

5104 Strålarna utgår från en punkt på linjen och bildar tre vinklar. Bestäm de tre vinklarnas storlek.

5105 I figuren är a = 122°. Bestäm vinklarna p, u och v.

5106 I figuren är linjerna k och / parallella. Bestäm vinklarna u och v.

5107 I figuren är linjerna k och / parallella. Bestäm vinklarna x, y och z.

I figuren är sträckan AD bisektris t i l l ABAC. Beräkna vinkeln BAC.

5109 Sträckan CO är bisektris t i l l vinkeln AOB. Hur stor är vinkeln a? A

0 4 2 :

5110 Gäller följande olikheter? Motivera ditt svar.

a) En rak vinkel + spetsig vinkel < 270°

b) En trubbig vinkel - en spetsig vinkel > 90°

c) En rät vinkel - en trubbig vinkel < 0°

5111 Beräkna den mindre vinkeln mellan visarna.

5112 I figuren är linjerna k och m rätvinkliga mot varandra och vinkeln u är en tredjedel av vinkeln mellan k och m. Bestäm vinkeln v.

NIVA 3

5113 Beräkna den mindre vinkeln mellan visarna när klockan är tjugotvå minuter över åtta.

5114 Simon har ritat en cirkelbåge med medelpunkten i vinkelspetsen mellan två vinkelben. Cirkelbågens längd är lika med summan av längden av de två vinkelbenen. Hur stor är vinkeln mellan vinkelbenen?

I 6 4 G E O M E T R I O 5 . 1 S A T S E R OM V I N K L A R I C I R K L A R

Page 164: Matematik Origo 2b

Ordboken körda kommer från grekiskans

khordé som betyder sträng.

Randvinkelsatsen Om man drar en sträcka mellan två punkter på en cirkel, så får man en körda. En vinkel som bildas mellan två kordor som utgår från samma punkt på cirkelns rand kallas randvinkel. En vinkel som bildas mellan två radier kallas medelpunktsvinkel.

Om man mäter vinklarna i cirklarna t i l l vänster, så finner man att medelpunktsvinklarna är dubbelt så stora som randvinklarna på samma cirkelbåge.

Randvinkelsatsen

Randvinkel Körda

/ / Medelpunktsvinkel

Cirkelbåge

Radie

Medelpunktsvinkeln t i l l en cirkelbåge är dubbelt så stor som en randvinkel t i l l samma cirkelbåge.

w — 2v

Bevis

Tecknet A betyder triangel

Yttervinkelsatsen En yttervinkel till en triangel är lika med summan av de två motstående inre vinklarna.

Vi drar diametern genom båda vinkelspetsarna och bevisar satsen i det då cirkelns medelpunkt ligger mellan vinkelbenen t i l l randvinkeln.

Diametern delar vinklarna v och w i två vinklar med diametern som gemensamt vinkelben. Vinklarna tv, och w2 är yttervinklar t i l l AÄOB respektive AAOC.

Yttervinkelsatsen ger

wx = ux + Vj och w2 = u2 + v2

Trianglarna AOB och AOC är likbenta därför att sträckorna

OB = OA = OC= cirkelns radie.

Då gäller att

U] = V[ och u2 = v2

Det innebär att

wx = 2Vj och w2 = 2v2

Wj + w2 = 2 (v j + v 2 )

w = 2v v.s.b.

fall

Basvinklar i en likbent triangel är lika stora

G E O M E T R I O 5 . 1 S A T S E R OM V I N K L A R I C I R K L A R 165

Page 165: Matematik Origo 2b

Randvinkelsatsen 2v — w gäller också om cirkelns diameter är ett gemensamt vinkelben t i l l båda vinklarna (se figur 1) eller om cirkelns medelpunkt ligger utanför vinkelbenen t i l l randvinkeln (se figur 2).

Det finns tre följdsatser t i l l randvinkelsatsen:

Föl jdsatser t i l l randvinkelsatsen

Figur 1

• Randvinklar t i l l samma cirkelbåge är lika stora. Eftersom randvinkeln är hälften av medelpunktsvinkeln till samma cirkelbåge, så är alla randvinklar till samma cirkelbåge lika stora.

Randvinklar t i l l en halvcirkelbåge är räta vinklar. Kallas även Thales sats. Du får själv bevisa att randvinklar till en halvcirkelbåge är räta vinklar i uppgift 5126.

I en fyrhörning inskriven i en cirkel är summan av motstående vinklar 180°.

u + v= 180°

a + B= 180° Beviset till den här satsen lämnas som uppgift 5133.

Figur 2

En månghörning inskriven i en cirkel är en figur med alla hörn på cirkelns rand.

Exempel: Bestäm vinklarna v och

Lösning: v — AA Randvinklar till samma cirkelbåge är lika stora

v = 68°

w = 2 • AA = 2 • 68° = 136° Randvinkelsatsen

Svar: v = 68° o c h i v = 136°.

l 6 6 G E O M E T R I O 5 . 1 S A T S E R OM V I N K L A R I C I R K L A R

Page 166: Matematik Origo 2b

Exempel: Bestäm vinklarna v och u.

lösning: v = ^ = 54° Randvinkelsatsen

Triangeln OBC är likbent OB = OC = cirkelns radie

108° + 2u = 180° Vinkelsumman i en triangel

2u= 1 8 0 ° - 1 0 8 ° = 72°

72° u = — = 3 6 °

2 Svar: v = 5 4 ° och u = 36°

Exempel: Bestäm vinklarna x och y. Den streckade linjen i figuren är cirkelns diameter.

lösning: x=90° Randvinkel till en halvcirkelbåge.

y + 65° = 180° Summan av motstående vinklar i en inskriven fyrhörning är 180°.

y= 1 8 0 ° - 6 5 ° = 115°

Svar: x = 9 0 ° och y = 115°

Exempel: En tangent t i l l en cirkel är en linje som vidrör cirkeln i endast en punkt. Tangenten och radien bildar alltid en rät vinkel i tan-geringspunkten.

Bestäm vinkeln a i figuren.

Lösning.- Randvinkeln a och medelpunktsvinkeln BOC

hör t i l l samma cirkelbåge.

ABOC

Tangenten till en cirkel är rätvinklig mot cirkelns radie i

tangeringspunkten.

a : Randvinkelsatsen

A B O C + 76° + 90° + 9 0 ° = 3 6 0 ° Vinkelsumman i en fyrhörning

ABOC = 360° - 76° - 9 0 ° - 90° = 104°

104° a = = 52°

Svar: Vinkeln a är 52° .

G E O M E T R I O 5 . 1 S A T S E R OM V I N K L A R I C I R K L A R I 6 7

Page 167: Matematik Origo 2b

NIVÅ 1

Bestäm de markerade vinklarna i figurerna. 5121 I figuren är lika långa sträckor markerade.

5119 Sträckorna PA och PB tangerar cirkeln. Bestäm AP och A Q .

a) A ^ _ b)

5124 Bestäm vinkeln u.

3 a 7a,

5120 Bestäm de obekanta vinklarna u och v.

b)

5125 I figuren är en oktogon (regelbunden åtta-hörning) inskriven i en cirkel. Bestäm vinkeln a.

En inskriven månghörning har alla sina

hörn på cirkelns rand.

l 6 8 G E O M E T R I © 5 . 1 S A T S E R OM V I N K L A R I C I R K L A R

Page 168: Matematik Origo 2b

5130

5126 Bevisa Thales sats, det vil l säga att rand-vinklar t i l l en halvcirkelbåge är räta vinklar.

5127 Enligt ömvändningen av Thales sats gäller att "Varje randvinkel som är rät hör t i l l en halvcirkelbåge". En rätvinklig triangel med kateterna 28 cm och 45 cm är inskriven i en cirkel. Beräkna cirkelns radie.

5128 Beräkna sträckorna markerade med x och y.

5129 Hur stor är vinkeln u?

Bestäm längden av sträckan AC i figuren. AB är tangent t i l l cirkeln.

8,0

5131 En fyrhörning är inskriven i en halvcirkel. Beräkna den större vinkeln mellan fyrhör-ningens diagonaler.

5132

5133

De markerade sidorna i fyrhörningen är lika långa som den omskrivna cirkelns radie. Visa att vinkeln a är 60°.

Visa att summan av motstående vinklar i en inskriven fyrhörning är 180°, dvs. att u och v i figuren tillsammans blir 180°.

R e s o

O Vad är en bisektris?

Q Rita en figur där u och v är likbelägna vinklar, u och w är alternatvinklar och v och w är vertikalvinklar. Hur stora är vinklarna i förhållande till varandra?

O Hur många randvinklar kan det finnas till en och samma cirkelbåge?

© Hur många medelpunktsvinklar kan höra till en randvinkel?

G E O M E T R I O 5 . 1 S A T S E R OM V I N K L A R I C I R K L A R 169

Page 169: Matematik Origo 2b

5.2 Likformighet och kongruens Likformiga månghörningar Om man förstorar, förminskar eller på ett exakt sätt avbildar en geometrisk figur, så får man två figurer som har samma form. I matematiken säger man att dessa figurer är likformiga. Den stora femhörningen är en förstoring av den mindre. Varje sida är dubbelt så lång i den stora. Femhörningarna är likformiga,

o 1 8

•C

Med uttrycket "motsvarande sidor" menas sidor som står

mot lika stora vinklar. Likformiga månghörningar har samma form, men kan

ha olika storlek.

E! C AB = 28 A'B' ~ 14 "

B 2 8 " 1 4

Om femhörningarna är likformiga, så är motsvarande vinklar lika stora, dvs.

AA = AA', AB = AB \ AC = AC AD = AD'och AE = AE'

och förhållandet mellan motsvarande sidor är lika. Alltså är

AB _ BC _ CD _ DE _ EA

A'B'~ B'C'~ C'D'~ D'E'~ EA'

Likformiga månghörningar

I likformiga månghörningar är motsvarande vinklar lika stora och förhållandet mellan motsvarande sidor är lika.

Exempel: Fyrhörningen ABCD är likformig med A 'B 'CD'. 1 6

a) Bestäm vinklarna A' och C.

b) Beräkna längden av A 'B'.

Lösning: a) Motsvarande vinklar är lika i likformiga månghörningar.

A' = A= 83° och C=C = 101°

b) Förhållandet mellan motsvarande sidor är lika.

A'B' _ A'D' AB ~ AD Kalla A 'B' för x: x_ 10 7 " 16 V i löser ut x genom att multiplicera båda leden med 7.

7 • 10

(cm)

A 10

16 = 4,4

Svar: Längden av A'B' är 4,4 cm.

170 G E O M E T R I O 5 . 2 L I K F O R M I G H E T OCH K O N G R U E N S

Page 170: Matematik Origo 2b

Exempel:

lösning:

Är parallellogrammerna likformiga?

o • > c

101 101°

10

Motsvarande kända vinklar är lika stora, vilket även gäller övriga vinklar eftersom motstående vinklar i ett parallellogram är lika stora. Vi undersöker förhållandet mellan motsvarande sidor.

A'B' _8__4 B'C _ 5 10 ~ 5 BC ~ 6 AB

A'B' B'C Förhällandet mellan motsvarande sidor är inte lika

AB BC

Svar: Parallellogrammerna är inte likformiga.

NIVA 1

5201 Rektanglarna är likformiga. Bestäm längden av sidan markerad med x.

J i—

~1 1

l L

~1 r

(cm)

32

5202 Är parallellogrammerna likformiga?

110 120

4 12

5203 Vilka av följande rektanglar är likformiga?

11 J L

A

"1 r

J L_ B 7,5

"1 r 20

5204 Mångörningarna är likformiga. Beräkna längden av sidorna markerade med x, y och z.

12

21 / \ ' c m ' . 32

NIVA 2

5205 Arean av en röd kvadrat är 36 cm 2 . Sidan av en grön kvadrat är 15 cm.

a) Bestäm förhållandet mellan sidorna i den gröna och den röda kvadraten.

b) Är kvadraterna likformiga? Motivera ditt svar.

NIVA 3

8 J L 5206

J L-l C

~i r 3

"1

D

r

15

40

15 cm. En annan likformig parallellogram har omkretsen 64 cm. Hur långa är sidorna i den större parallellogrammen?

G E O M E T R I O 5 .2 L I K F O R M I G H E T OCH K O N G R U E N S VJ\

Page 171: Matematik Origo 2b

Att förhållandet mellan motsvarande sidor är lika gäller för alla likformiga månghörningar, så även

för trianglar.

Likformiga trianglar Om motsvarande vinklar i trianglar är lika stora, så har trianglarna samma form, eftersom det är vinklarna som bestämmer triangelns form. Trianglar är alltså likformiga om deras motsvarande vinklar är lika stora.

Trianglarna i figuren överensstämmer i två vinklar. Det medför att de överensstämmer i alla tre vinklar, eftersom vinkelsumman i alla trianglar är densamma, nämligen 180°. Alltså är trianglar som överensstämmer i två vinklar likformiga.

AABC ~ AA'B'C ~ AA"B"C"

Tecknet - betyder likformig med

Förhållandet mellan motsvarande sidor är lika vid likformiga trianglar. Med uttrycket "motsvarande sidor" menas sidor som står mot lika stora vinklar.

För de två första trianglarna här ovanför innebär det att

AB _ BC _ AC A'B'~ B'C'~ A'C

Likformiga trianglar

Skillnad mellan villkoren för likformighet för trianglar

och månghörningar

Två trianglar är likformiga om

I * två vinklar i den ena triangeln är lika stora som två vinklar i den andra triangeln

eller

• förhållandet mellan motsvarande sidor är lika I ~

Även för två likformiga trianglar gäller det naturligtvis att motsvarande vinklar är lika stora och att förhållandet mellan motsvarande sidor är lika. Men för att två trianglar ska vara likformiga räcker det att ett av dessa villkor är uppfyllt, för då är automatiskt det andra villkoret uppfyllt. För att två månghörningar ska vara likformiga måste däremot båda villkoren vara uppfyllda.

Geometriska problem som handlar om likformighet förekommer i fyra tusen år gamla babyloniska skrifter och i Egypten använde man likformiga trianglar för att bestämma pyramidernas höjd. Grekerna i sin tur konstruerade runt 500 f.Kr. en kilometerlång tunnel på ön Samos med hjälp av likformighet.

*7* G E O M E T R I O S.2 L I K F O R M I G H E T OCH K O N G R U E N S

Page 172: Matematik Origo 2b

Exempel: Avgör om trianglarna i figuren är likformiga.

lösning: V i beräknar trianglarnas alla vinklar för att se om de är lika stora. I AABC gäller

Vinkelsumman i en triangel

a A kan också skrivas a C A B eller A.BAC om det är osäkert vilken

vinkel som menas.

AA + A B + A C = 180° A C = 1 8 0 ° - 4 2 ° - 5 6 ° = 82°

Och på samma sätt i ADEF

A £ = 1 8 0 ° - 4 2 ° - 8 3 ° = 55°

Vinklarna i A A B C är 42°, 56° och 82°.

Vinklarna i ADEF är 42°, 55° och 83°.

Trianglarnas vinklar är inte lika stora, därför är trianglarna inte likformiga.

Svar: Trianglarna är inte likformiga.

Exempel: Gunillas skugga är 2,4 m medan trädets skugga mäter 15,7 m. Gunilla är 1,63 m lång. Hur högt är trädet?

Eftersom avståndet till solen är mycket stort, så kan solstrålarna som når

trädet och Gunilla betraktas som parallella.

lösning: Trianglarna i bilden är likformiga eftersom två av vinklarna är lika.

A 5 = AB'

A A = A A ' = 90° Solstrålarna är parallella. Vinklarna är likbelägna

Både Gunilla och trädet står i rät vinkel mot jorden

Förhållandet mellan motsvarande sidor är lika i likformiga trianglar.

Om trädets höjd är x meter:

x 15,7 1,63 2,4

15,7 • 1,63 x =

2,4

Lös ut x genom att multiplicera båda leden med 1,63

= 10,7

Svar: Trädet är 10,7 m högt.

G E O M E T R I O 5 . 2 L I K F O R M I G H E T OCH K O N G R U E N S *73

Page 173: Matematik Origo 2b

NIVA 1

5207 Är trianglarna likformiga? Motivera ditt svar.

(cm)

5208 Vilka av följande trianglar är likformiga?

5209 I trianglarna är lika stora vinklar markerade på samma sätt. Bestäm längden av sidorna markerade med x och y.

a) / \ <cm>

5210 Bilden visar en gammal egyptisk metod att bestämma höjder med. Stavens längd är 1,2 m och dess skugga är 1,9 m. Pyramidens skugga sträcker sig 228 m från pyramidens mitt.

a) Vilka trianglar är likformiga i figuren?

b) Bestäm pyramidens höjd.

174 G E O M E T R I O 5 .2 L I K F O R M I G H E T OCH K O N G R U E N S

Page 174: Matematik Origo 2b

5211 Förhållandet mellan sidorna i de två likformiga trianglarna är 3:5. Bestäm sidlängderna i den större triangeln.

(cm)

8,1 15,3

17,1

NIVA 2

5212 Vilka trianglar i figuren är likformiga? Motivera ditt svar.

c D

5213 Bestäm vinklarna u och v samt sidorna markerade med x och y.

5214 Vilka ord saknas i nedanstående texter?

a) "Trianglar är likformiga om de ... i två vinklar."

b) "Trianglar är likformiga om ... mellan motsvarande sidor är . . ."

c) "Det är inte säkert att månghörningar är likformiga bara för at t . . . mellan motsvarande sidor är . . ."

d) " Det är inte säkert att två månghörningar är likformiga även om ... i den ena mång-hörningen är som vinklarna i den andra."

5215 Konstruera två likformiga trianglar, där

^ förhållandet mellan motsvarande sidor är —. 2

5216 I figuren är sidan DE parallell med AB. Sidan DE = 4,5 cm, AC = 6 cm och EC = 5 cm. Beräkna sidan AB.

o A

5217 Bestäm längden av sträckorna som är markerade med x.

9,3

a) ^ b) 21,1

5218 Trianglarna i figuren är likformiga. Visa att likformigheten medför att förhållandet mellan två sidor i den ena triangeln är lika med förhållandet mellan motsvarande sidor i den andra triangeln.

A

A

Visa att AB A'B' BC BC

NIVÅ 3

5219 Bestäm längden av sträckan markerad med x.

5220 Johanna som är 1,78 m lång får en viss tid under en solig dag en skugga som är 3,75 m. Hon vil l helt skugga sin lillebror Torsten. Han är 1,10 m lång. Vilket är det längsta avstånd från honom som hon kan stå?

4

G E O M E T R I O 5 ,2 L I K F O R M I G H E T OCH K O N G R U E N S 175

Page 175: Matematik Origo 2b

Transversal

Topptriangel

Ordboken transversal kommer från lati

nets transversus, som betyder vänd på tvären. Inom matematiken kallar man en linje som skär två andra linjer för en transversal.

Bevis

Topptriangelsatsen, transversalsatsen och bisektrissatsen En rät linje som skär två sidor i en triangel kallas transversal. Om transversa-len är parallell med triangelns tredje sida, så kallas den parallelltransversal.

Varje parallelltransversal bildar en topptriangel i triangeln.

Topptriangelsatsen

Topptriangel

Parallelltransversal

Varje topptriangel som bildas av en parallelltransversal är likformig med hela triangeln.

AADE ~ AABC

Vinkeln A är gemensam i trianglarna ABC och ADE.

ABAC = ADAE

I triangeln ABC är sträckan D E parallell med sidan BC.

AABC - AADE eftersom de är likbelägna vinklar vid parallella linjer.

Två av vinklarna i trianglarna ABC och ADE är lika stora.

Trianglarna är därför likformiga.

AABC ~ AADE v.s.b.

Transversalsatsen i En parallelltransversal delar två sidor

i en triangel enligt samma förhållande. a c ,, b d - = - eller b d a c

Beviset lämnas som uppgift 5233.

Bisekt r i s En stråle som delar en vinkel mitt itu kallas bisektris. Bisektris presenterade vi i förra avsnittet.

Bisektrissatsen En bisektris i en triangel delar motstående sida enligt förhållandet x _ a ~y-~b

Bisektris

G E O M E T R I O 5 . 2 L I K F O R M I G H E T OCH K O N G R U E N S

Page 176: Matematik Origo 2b

Bevis Genom att förlänga bisektrisen så att q sträckorna AQ = AC får vi en likbent triangel ACQ.

Konstruktionen medför att

AACP = AAQP Basvinklar i en likbent triangel

AACP = APCB PC är bisektris

AAPQ = ACPB Vertikalvinklar är lika stora

I trianglarna APQ och PCB är två vinklar lika stora

AAPQ ~ AfiPC Trianglarna är likformiga

I triangeln ABC är det svårt att hitta ett samband mellan

sträckorna o, fa, x och y. Vi drar därför hjälplinjer för att kunna jämföra sträckorna

Eftersom trianglarna är likformiga, så är förhållandet mellan motsvarande

sidor lika dvs. x _ a

v.s.b.

BP BC

AP vilket ger

AQ

Bisektrissatsen

Exempel: I triangeln ABC är sträckan MN parallell med sidan BC.

a) Beräkna längden av sträckan x.

b) Beräkna längden av sträckan y.

lösning: a) Enligt topptriangelsatsen är

AAMN ~ AABC

MN AM

(cm)

BC AB

Vilket ger

x 44

I likformiga trianglar är förhållandet mellan motsvarande sidor lika

Lös ut x 48 44 + 20 44

x = 48 • — = 33 64

Svar: Längden av sträckan x är 33 cm.

b) Enligt transversalsatsen är NC _MB

AN~ AM

Vilket ger y__20 36 ~ 44 Lös ut y

Avrunda till lämpligt antal värdesiffror

Svar: Längden av sträckan y är ungefär 16 cm.

7 = 3 6 . f L l 6 44

G E O M E T R I O S.2 L I K F O R M I G H E T OCH K O N G R U E N S *77

Page 177: Matematik Origo 2b

Exempel: I triangeln ABC är sträckan AD en bisektris. Beräkna längden av sträckan DC.

lösning: Enligt bisektrissatsen är

Vilket ger

DC _ 6 7 ~ 10

DC BD

AC AB

DC =7 10

= 4,2

Svar: Längden av sträckan DC är 4,2 cm.

W I V A 1

5221 I figuren är MN en sträcka parallell med BC. Beräkna längden av sträckan markerad med x.

a) (cm) b) (cm)

5222 I figuren är MN parallell med BC. Beräkna längden av sträckan markerad med x.

b)

.10

5223 Sträckan DC är en bisektris. Beräkna sträckan som är markerad med x.

(cm)

5224 Sträckan PQ är parallell med BC. Bestäm vinkeln u.

5225 I figuren är sträckan AD en bisektris. Beräkna sträckan BC med hjälp av bisektrissatsen.

A

5226 Bestäm förhållandet mellan de parallella sträckorna markerade med x och y.

I78 G E O M E T R I G 5 . 2 L I K F O R M I G H E T OCH K O N G R U E N S

Page 178: Matematik Origo 2b

5227 En remsa klipps bort från triangeln längs den streckade linjen som är parallell med basen. Hur mycket kortare blir den nya basen?

NIVA 2

5228 Pyramidens topp kapas med ett tvärsnitt parallellt med basen, vid två tredjedelar av pyramidens höjd. Beräkna det kvadratiska tvärsnittets area.

5229 I figuren är PQ en parallelltransversal. Beräkna längden av sträckan markerad med x.

5230 I figuren är sträckorna DE, FG och BC parallella. Beräkna längden av sträckorna markerade med x och y.

5

5231 Beräkna längden av sträckan BD. A

K (cm)

\ 9

D 5

NIVA 3

5232 I figuren är AD bisektris. Lika långa sträckor är markerade. Visa att längden av sträckorna uppfyller AC • BD = AB2.

A

5233 Enligt transversalsatsen delar en parallelltransversal två sidor i en triangel enligt samma förhållande. Bevisa transversalsatsen med hjälp av figuren.

5234 Beräkna längden av sträckorna markerade med x, y och z.

5235 I figuren är sträckorna AB, CD, och EF parallella. Bestäm längden av sträckan EF.

50 (cm)

. 1 8

18

8 0

C E O M E T R I O 5 .2 L I K F O R M I G H E T OCH K O N G R U E N S 179

Page 179: Matematik Origo 2b

kongruens kommer från latinets congruentia som betyder "överensstämmelse"

Kongruens Om man avbildar en geometrisk figur utan att förändra figurens form, så får man två likformiga figurer. Vi vet sedan tidigare att i likformiga månghörningar är motsvarande vinklar lika stora och att förhållandet mellan motsvarande sidor är lika. I det här avsnittet ska vi behandla ett specialfall av likformighet, som innebär att både motsvarande sidor och vinklar är lika stora. Sådana figurer kallas för kongruenta.

(mm)

Fyrhörningarna har samma form

och storlek

I fyrhörningarna i figuren är motsvarande sidor lika långa och motsvarande vinklar lika stora. Fyrhörningarna är kongruenta.

ABCD = A'B'C'D'

Utläses "är kongruent med"

Kongruenta månghörningar Månghörningar är kongruenta om deras motsvarande sidor och vinklar är lika stora.

ABCD = A'B'C'D'

Definitionen innebär att alla kongruenta månghörningar också är likformiga.

Kongruenta trianglar Om man vi l l avgöra om månghörningar är kongruenta, så bör man mäta eller beräkna förhållandet mellan alla motsvarande sidor och vinklar. Men för att avgöra om trianglar är kongruenta, så räcker det med färre mätningar. I sitt berömda verk Elementa nämner Euklides (omkring år 300 f.Kr.) tre fall av kongruens mellan trianglar. På nästa sida presenterar vi dessa tre kongruensfall.

Euklides bevisade det första kongruensfallet med hjälp av s.k. överlagring, som innebär att man konstruerar två figurer som ligger på varandra. Men Euklides var inte riktigt nöjd med att bevisa satser med överlagring och undvek senare den typen av bevisföring. Vi nöjer oss med att bevisa endast det andra kongruensfallet.

l 8 0 G E O M E T R I O 5 .2 L I K F O R M I G H E T OCH K O N G R U E N S

Page 180: Matematik Origo 2b

Ytterligare ett kongruensfall, som gäller för rätvinkliga trianglar, kan härledas ur dessa tre fall. Det fallet

behandlas i uppgift 5251.

Kongruenta trianglar Trianglar är kongruenta om de överensstämmer enligt något av följande fall:

• två sidor och den mellanliggande vinkeln

alla sidor

två vinklar och den mellanliggande sidan

F ö r s t a kongruensfallet

Andra kongruensfallet

Bevis

Tredje kongruensfallet

Två trianglar är kongruenta om de överensstämmer i två sidor och den mellanliggande vinkeln.

A A' f-SV5:

Sida - Vinkel - Sida

Om AB = A'B',AC = A'C och A A = AA', så är AABC= AA'B'C

Två trianglar är kongruenta om de överensstämmer i alla tre sidorna. A A'

SSS: Sida - Sida - Sida

Om AB - A'B', AC = A'C och B C = B ' C ' , s å ä r AABC= AA'B'C

Om AB = A'B',AC = A'C och B C = B'C\ så är förhållandet mellan motsvarande sidor i de två trianglarna AB AC BC

1 Förhållandet mellan motsvarande sidor är lika A'B' A'C B'C

av detta följer att A A B C ~ A A ' B ' C Trianglarna är likformiga

Om trianglarna är likformiga, så är deras motsvarande vinklar lika stora, dvs. A A = A A ' , A B = A B ' och A C = A C Motsvarande vinklar är lika

Eftersom motsvarande sidor och vinklar i trianglarna A B C och A 'B C är lika, så är trianglarna kongruenta. v.s.b.

Två trianglar är kongruenta om de överensstämmer i två vinklar och den mellanliggande sidan. A A'

VSV: Vinkel - Sida - Vinkel

Om A A = A A ' , A B = A B ' och AB = A'B', så är A A B C = A A ' B C

För att bevisa detta, så använde sig Euklides av det redan bevisade första kongruensfallet.

G E O M E T R I O S.2 L I K F O R M I G H E T OCH K O N G R U E N S l 8 l

Page 181: Matematik Origo 2b

Exempel: Trianglarna i figuren är kongruenta, bestäm vinklar och sidor i t r i angeln MNP.

lösning: Vi bestämmer först vinklar och sidor i triangeln ABC och använder oss sedan av att trianglarna är kongruenta för att bestämma motsvarande vinklar och sidor i triangeln MNP.

A C = 1 8 0 ° - A A - A B = 1 8 0 ° - 8 7 ° - 4 6 , 5 ° = 46 ,5° Triangelns vinkelsumma

Eftersom A C - AB = 46 ,5° , så är AABC likbent och

AB = AC = 8 cm

Av AABC = AMNP följer att

BC = NP = 1 1 samt AB = MN = MP = 8 cm

A A = A M = 87° samt A B = AN = A P = 46 ,5°

Motsvarande sidor är lika i kongruenta trianglar

Motsvarande vinklar är lika i kongruenta trianglar

Svar: I triangeln MNP gäller att NP = 11 cm och MN - MP - 8 cm samt AM = 87° och AN=AP = 46 ,5° .

E x e m p e l :

lösning:

Eftersom trianglarna i så

fall överensstämmer i två

sidor och mellanlig

gande vinkel

Är trianglarna i figuren kongruenta? Motivera ditt svar.

Eftersom båda trianglarna är rätvinkliga, så överensstämmer de i den räta vinkeln. Om de överrensstämmer även i båda kateterna så är de kongruenta. Enligt det första kongruensfallet, Sida - Vinkel - Sida

V i ser att den ena kateten är lika lång i båda trianglarna, därför måste vi undersöka om den andra kateten också är lika i de båda figurerna. Den okända kateten i triangeln t i l l vänster beräknas enligt Pythagoras sats a1 + b2 = c2

a2+ 1 2 2 = 1 5 2

a - V l 5 2 - 1 2 2 = -föl = 9 o är en sträcka, så därför är a > 0

Den okända kateten i den vänstra triangeln är 9 cm.

Kateterna är lika långa, dvs. trianglarna överensstämmer i två sidor och mellanliggande vinkel. Av detta följer att trianglarna är kongruenta. Enligt det första kongruensfallet

Svar: Trianglarna är kongruenta eftersom de överensstämmer i två sidor och den mellanliggande vinkeln.

l 8 2 G E O M E T R I O 5 .2 L I K F O R M I G H E T OCH k O N G R U E N S

Page 182: Matematik Origo 2b

NIVA 1

5236 Bestäm längden av sidorna markerade med x och y. Lika stora vinklar och sidor är markerade på samma sätt.

5237 Bestäm de okända vinklarna i figuren. Lika stora vinklar och sidor är markerade på samma sätt.

5238 Bestäm de okända vinklarna i figuren. Lika sidor är markerade på samma sätt.

A M

C W

5239 Trianglarna i figuren är kongruenta, bestäm okända vinklar och sidor i trianglarna t i l l höger.

(cm)

C W

12

B N

5240 Bestäm okända vinklar och sidlängder i fyrhörningarna. Lika sidor är markerade på samma sätt.

5241 Omkretsen av en röd kvadrat är 48 cm. Hur stor är arean av en gul kvadrat som är kongruent med den röda kvadraten?

N I V Å 2

5242 Är trianglarna kongruenta? Motivera ditt svar.

(cm)

5243 Vilka ord saknas i nedanstående texter?

a) "Om två trianglar ... i motsvarande vinklar och ... , så är de kongruenta."

b) "Trianglar är kongruenta om de överensstämmer i . . . sidor och den . . . vinkeln."

c) " Trianglar är kongruenta om de överensstämmer i . . . sidor."

d) " Om två trianglar överensstämmer i . . . vinklar och den ... sidan, så är de kongruenta."

5244 Omkretsen av en svart rektangel är 58 cm och rektangelns ena sida är 11 cm kortare än den andra sidan. Hur stor är arean av en grön rektangel som är kongruent med den svarta rektangeln?

G E O M E T R I O S.2 L I K F O R M I G H E T OCH K O N G R U E N S I 8 3

Page 183: Matematik Origo 2b

5245 Sträckan M Q är höjd i triangeln. Vilka triang lar i figuren är kongruenta? Motivera ditt

NIVA 3

svar.

5246 Sträckan AD är bisektris i den likbenta t r i angeln ABC. Visa att AABD = AACD.

A

5247 Sträckan AB är diameter i cirkeln och ABCD = BANM. Beräkna vinklarna C och D.

c

5248 I en rektangel ABCD är sidlängderna AB = CD= 123 Le. och BC = AD= 191 Le. Rektangeln MNPQ har sidlängderna MN=PQ= 191 Le. och MQ = NP= 123 Le. Är de två rektanglarna kongruenta? Motivera ditt svar.

5249 Kan vi med den information vi får om figuren dra slutsatsen att BE = EC7. Motivera ditt svar.

5250 Trianglarna i figuren är kongruenta. Bestäm vinklar och sidor i triangeln MNP. Tips: Vilken typ av triangel bildas om man gör en spegling av triangeln ABC så att man låter symmetrilinjen gå igenom AB?

A M (cm)

5251 Visa med hjälp av något av kongruensfallen att om två rätvinkliga trianglar överensstämmer i hypotenusa och en katet, så är de kongruenta.

Resonemang och begrepp O P å v i l k e t s ä t t k a n m a n r i t a f l e r a t o p p t r i a n g l a r i e n o c h s a m m a t r i a n g e l ?

O N ä m n e t t v i l l k o r s o m m å s t e u p p f y l l a s fö r a t t t v å t r i a n g l a r s k a v a r a l i k f o r m i g a ?

O V i l k a v i l l k o r m å s t e u p p f y l l a s fö r a t t t v å m å n g h ö r n i n g a r s k a v a r a l i k f o r m i g a ?

O V a d m e n a s m e d " m o t s v a r a n d e s i d o r " i t v å m å n g h ö r n i n g a r ?

Q K a n m a n r i t a t v å k v a d r a t e r s o m i n t e ä r l i k f o r m i g a ? M o t i v e r a d i t t s v a r .

O V a d m å s t e m a n m i n s t k ä n n a t i l l för a t t k u n n a a v g ö r a o m t v å t r i a n g l a r ä r k o n g r u e n t a ?

Q T r e d j e k o n g r u e n s f a l l e t k a n ä v e n s k r i v a s " . . . t v å v i n k l a r o c h e n m o t s v a r a n d e s i d a " . F ö r k l a r a v a r f ö r .

I 8 4 G E O M E T R I O 5 .2 L I K F O R M I G H E T OCH K O N G R U E N S

Page 184: Matematik Origo 2b

Pappersformat i A - s e r i e n

Efter franska revolutionen år 1789 fanns en stark tro på förnuftet. Bland annat ville man ersätta alla gamla mått med ett enhetligt system som hängde ihop och hade sitt ursprung i naturen. Man införde metern som utgångspunkt för att bygga upp ett måttsystem och konstruerade även ett system för pappersformat. Systemet för pappersformat, som kallades A-serien, föll sedan i glömska men återupptogs under 1920-talet i Tyskland. Därefter har A-serien för pappersformat införts i många länder, däribland i Sverige år 1947.

I A-serien har det rektangulära grundformatet arean 1 m 2 . Detta format kallas A0 (uttalas "A noll"). Övriga format A l , A2, A3, A4 osv. får man genom att halvera närmast föregående format parallellt med kortsidan (enligt figuren).

A5 A4

A3 A2

A l

Formatet för A0 är anpassat så att alla A-format är likformiga med varandra. Formatets nummer anger hur många gånger grundformatet A0 delats. Ett papper i A4-format har alltså skapats genom att grundformatet delats 4 gånger.

Det mest förekommande formatet är A4. Ett papper med A4-format har längden 297 mm och bredden 210 mm.

• Rita av tabellen t i l l höger och fyll i de värden som saknas i tabellen. Avrunda t i l l hela millimeter där det behövs.

Format Längd i mm Bredd i mm

A l

A2

A3

A4 297 210

A5

A6

A 7

• Visa med beräkningar att arean av ett AO-papper är 1 m 2 .

• Hur många gånger större är arean av ett papper med formatet A0 i jämförelse med papper av formatet A l , A2, A3 respektive A4?

• Hur många gånger större är arean av A0 jämfört med ett papper av formatet An?

• Kontrollera i tabellen att det stämmer för alla r längden informat att - — — = V2

bredden

• Kalla papperets längd för a och dess bredd för b.

Visa att — = V2 för alla pappersformat i A-serien.

G E O M E T R I O n - U P P G I F T 185

Page 185: Matematik Origo 2b

Thales frän Mileto ca 625-545 f.Kr.

B e s t ä m a v s t å n d e t

f rån s t randen t i l l en båt

med T h a l e s metod om

st räckan AB = 4 m, BC = 5 m

och CD = 10 m.

Geometri och mätmetoder Geometria Ordet geometri härstammar från grekiskans geometria som kommer av geo, jord och metria mäta. Geometri betyder alltså jordmätning och har ursprungligen utvecklats i de gamla egyptiska och babyloniska kulturerna ur ett behov att dela in och fördela jorden efter de stora flodernas årliga översvämningar. Från början var geometri ungefär samma sak som lantmäteri och man använde olika typer av mätinstrument. Men allt går inte att mäta med enkla mätinstrument och man började tidigt utnyttja geometriska samband för att göra det praktiskt omätbara mätbart.

Thales metod Att mäta minsta avståndet från en strand t i l l en båt är svårt. Den grekiske filosofen och matematikern Thales som levde omkring 600 f.Kr. löste enligt legenden problemet på följande sätt:

Placera en pinne på stranden i en punkt A så att linjen mellan båten och pinnen är vinkelrät mot strandkanten, som vi för enkelhetens skull antar vara rätlinjig. Följ sedan strandkanten ett bestämt antal steg, t.ex. 20 steg, t i l l en punkt B och stick ner en pinne där. Fortsätt nu med hälften så många steg i samma riktning längs stranden t i l l en punkt C och sätt ner ytterligare en pinne. Gå därefter i rät vinkel från strandkanten tills du ser att pinnen vid B och båten ligger i linje och sätt en pinne även i punkten D. Triangeln BCD är likformig med motsvarande triangel där båten ligger i ett av hörnen. V i kan nu dra slutsatsen att avståndet från punkten A t i l l skeppet är dubbelt så långt som sträckan CD, vilken går lätt att mäta.

Denna metod användes flitigt under antiken, framför allt av romerska trupper, för att bedöma riktigt stora floders bredd utan att behöva korsa dem.

Napoleonmetoden Om avståndet från stranden t i l l båten inte är så stort, kan man även använda den s.k. Napoleonmetoden för att uppskatta sträckans längd. Enligt legenden har metoden fått sitt namn av att den uppfanns av Napoleons befälhavare. Metoden går t i l l på följande sätt:

Ställ dig vid strandkanten och böj huvudet med hakan mot bröstet. Lägg nu din utsträckta handflata mot pannan (som när du gör en honnör) så att den främre kanten av handflatan tycks röra vid båten. Gör nu en halv högersväng och notera var din handflata tycks röra marken. Om du har förstått vad likformighet handlar om, så inser du att avståndet t i l l den punkten där din handflata tycks röra marken är lika med avståndet t i l l båten.

l 8 6 G E O M E T R I O H I S T O R I A

Page 186: Matematik Origo 2b

L I K F O R M I G A F I G U R E R ? ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

Likformighet mellan två figurer kan definieras även på följande sätt:

"Två figurer är likformiga om avståndet mellan två godtyckligt valda punkter i den ena figuren (föremål) multiplicerat med ett positivt tal k är lika med avståndet mellan motsvarande punkter i den andra figuren (avbildning).

Talet k kallar vi längdskalan. Om k — 1, så är figurerna kongruenta. Om k > 1, så är den andra figuren en förstoring av den första och om k < 1, så är den andra figuren en förminskning av den första figuren.

I likformiga figurer är alltså motsvarande sträckor proportionella.

Vilka två figurer är kongruenta med varandra?

Är trianglarna G, H och K likformiga?

Kvadraterna A, B och C är likformiga. Vilken är längdskalan då

a) A är föremål och B är avbildning?

b) B är föremål och C är avbildning?

c) C är föremål och B är avbildning?

Övertyga dig om att trianglarna F och J är likformiga.

S K U G G P R Q B L E M

Vid Madison Square Garden i New York pågår en tävling där man ska gissa höjden på stadens julgran. Det är en solig dag och Mary som just haft en geometrilektion i skolan får en idé. Hon mäter att granens skugga når 2 meter upp på ett hus som står 9 meter från granen. Hon håller sedan sin 15 cm långa penna rakt upp från marken och mäter skuggans längd ti l l 22 cm. Hjälp Mary att uppskatta granens höjd.

Mary som är en tävlingsmänniska bestämmer sig för att göra en kontrollmätning dagen därpå innan hon lämnar in sin uppskattade granhöjd t i l l tävlingsledningen. Denna dag är det molnigt så Mary testar en ny strategi. Hon ställer sig med ryggen mot husväggen och håller upp sin penna lodrätt framför sig så att pennan precis täcker synfältet framför granen när hon tittar med ett öga. Marys ögon befinner sig 1,62 m från marken. Avståndet från ögat t i l l nedre kanten av pennan är 17 cm och avståndet från hennes öga t i l l väggen var 18 cm. Vilken uppskattning av granens höjd fick Mary den här dagen?

73

n I C z O m 73 vi O: s\ Z z n > 73

G E O M E T R I O P R O B L E M OCH U N D E R S Ö K N I N G A R I87

Page 187: Matematik Origo 2b

2

< i i UJ Z <

Geometri

Geometriska figurer

l

• cirkel

• triangel

• månghörning

Likformighet • ABCD - A'B'C'0'

• motsvarande vinklar lika

• förhållandet mellan motsvarande sidor lika

• likformiga trianglar

Villkor - två vinklar är lika stora eller - förhållandet mellan motsvarande sidor är lika

Kongruens • ABCD = A'B'CD'

• motsvarande vinklar lika

• motsvarande sidor lika

• tre kongruensfall för trianglar

Satser om triangeln • topptriangelsatsen

• transversalsatsen

• bisektrissatsen

Cirkel Cirkel körda

tangent

randvinkel

medelpunktsvinkel

inskrivna månghörningar

Satser om vinklar i cirkeln • randvinkelsatsen

• följdsatser till randvinkelsatsen

Kongruenta trianglar • två sidor och mellanliggande vinkel

• alla sidor

• två vinklar och mellanliggande sida

l 8 8 G E O M E T R I O T A N K E K A R T A

Page 188: Matematik Origo 2b

NIVA 1

1 Beräkna vinklarna v, x, y och z

a) jS b)

2 Skyttelokalens väggar är parallella. Med vilken vinkel u kommer skytten att träffa målet?

( Skyt t )

—7-7 k 102°

3 Är månghörningarna likformiga? Motivera ditt svar.

(cm)

4 Trianglarna i figuren är likformiga. Beräkna sidan x.

(cm)

5 Bestäm vinkeln AOB i figuren.

6 Vinkeln u = 50° är dubbelt så stor som vinkeln v. Bestäm vinkeln w.

7 Beräkna vinkeln v.

8 Femhörningarna är likformiga. Beräkna vinklarna v och w samt sidorna x och y.

18 (cm)

9

9 Bestäm de okända vinklarna i figuren. Lika stora vinklar och sidor är markerade på samma sätt.

10 Sträckorna MN och PQ är parallella. Visa att trianglarna MNO och QPO är likformiga.

11 Sträckan PQ är parallell med sidan BC. Beräkna längden av sträckan markerad med x.

a) ^ka b ) a (cm)

(cm) 2 / \ . 4

1 4 / ' / \ P / _ X O

\0 11

C B

00 I— > z D

> a m c "O TJ n •rl H m XI

1

G E O M E T R I O B L A N D A D E U P P G I F T E R l 8 g

Page 189: Matematik Origo 2b

12 Beräkna vinkeln a.

13 Sträckorna AB och AC är tangenter t i l l cirkeln. Beräkna vinkeln a.

15 Bilden visar en romersk metod för att bestämma en flods bredd med hjälp av likformiga trianglar. Avstånden kunde mätas utan att de romerska trupperna behövde korsa floden. Hur bred är floden mellan punkterna P och Q?

17 m

NIVÅ 2

16 Bestäm vinkeln a i figuren.

Beräkna längden av sträckan EC på två olika sätt.

(Np MaB ht 1998)

19 I figuren är AE bisektris och DE parallell med AB. Visa att sträckan DE är lika lång som sträckan DA.

20 Hur långa är sträckorna som är markerade med x?

1 9 0 G E O M E T R I O B L A N D A D E U P P G I F T E R

Page 190: Matematik Origo 2b

21 Könens topp kapas med ett tvärsnitt parallellt med basen enligt figuren. Beräkna tvärsnittets omkrets.

(cm)

22 Bestäm längden av sträckan AC i figuren. AB är tangent t i l l cirkeln.

(cm)

NIVÅ 3 ^ ^ ^ ^

23 En linje L tangerar en cirkel i punkten T. M är cirkelns medelpunkt. Vinkeln mellan cirkelns diameter QT och linjen L är 90°. En triangel PST ligger i cirkeln med alla hörnen på cirkelns rand. Se figur.

a) Hur stor är vinkeln y då vinkeln x är 56°?

Om punkterna P och S flyttas längs cirkelns rand kommer vinklarna x och y att variera. För vinkeln x gäller 0° < x < 90°

b) Bestäm sambandet mellan vinklarna x och y.

(Np MaB vt 2011)

24 Cirklarnas diametrar är parallella. Visa att punkterna A, T och B ligger efter en rät linje.

tu r-> Z O > a m C TJ U C l

m XI

25 Sträckorna AD och BD är bisektriser i triangeln ABC. Bestäm vinkeln ADB.

G E O M E T R I O B L A N D A D E U P P G I F T E R 191

I

Page 191: Matematik Origo 2b

1/1

UJ H a <

DEL 1 Utan räknare

1 Bestäm värdet på u.

a) 1 /

J w (

2 Bestäm vinklarna u, v och w.

b)

r i

3 Punkterna A , B och C ligger på en cirkel där O är cirkelns medelpunkt. Bestäm vinklarna i triangeln ABC.

4 I figuren är linjerna k och / parallella. Bestäm alla vinklar i den färgade triangeln.

5 I figuren är lika stora vinklar markerade på samma sätt.

6 I följande figurer har sträckor och vinklar som är lika markerats på samma sätt. Avgör i var och en av figurerna om du har fått tillräckligt med information för att kunna besvara frågan. Motivera ditt svar.

a) Är AB = CD? b) Är AB = CD? c) Är BD = AC?

192 G E O M E T R I © K A P I T E L T E S T

Page 192: Matematik Origo 2b

Med räknare

7 Trianglarna är likformiga. Beräkna vinkeln u och sidan markerad med x.

9 Sofia och Andreas ska bestiga en fjälltopp. De startar från en plats som ligger på höjden 210 meter över havet (m ö.h.). Deras vandring kan förenklat beskrivas av figuren här nedanför. Sofia går ända upp t i l l toppen men Andreas får ont i ett knä och stannar vid en skylt där det står att det är 1 500 m kvar t i l l toppen och att han befinner sig på 950 meters höjd. Hur långt har han gått?

1 500 m ö . h . - - j ™ - Fjälltopp

950 m ö.h. ..TTrr»^^ Andreas

210 m ö.h.~' Start

10 Bestäm vinkel u om v = 2x + 28° och w = 3x - 52°

7

8 Figuren visar en triangel där AB = AC. Til l AABC har bisektrisen BD dragits. Bestäm A A B D om A A C B är 74°.

c

11 En kvadrat är inskriven i en rätvinklig triangel som A figuren visar.

Beräkna längden av sträckan B C om kvadratens sida är 14 cm och sträckan AC är 34 cm.

Beräkna längden av kvadratens sida x om A C = 66 cm och BC = 44 cm.

Visa att om AC = h cm och B C = b cm så är

kvadratens sida x = b-h b + h

G E O M E T R I O K A P I T E L T E S T I 9 3

Page 193: Matematik Origo 2b

6 Statistik

DELKAPITEL

6.1 Läges-och spridningsmått 6.2 Statistiska samband

FORKUNSKAPER

Bråk och procent Sannolikhetslära Statistiska begrepp från kurs 1b som exempelvis olika diagramtyper, frekvens, urval och stickprov Räta linjens ekvation Formler

CENTRALT INNEHALL

• Statistiska metoder för rapportering av observationer och mätdata från undersökningar, inklusive regressionsanalys.

• Orientering och resonemang kring korrelation och kausalitet.

• Metoder för beräkning av olika lägesmått och spridningsmått inklusive standardavvikelse.

• Egenskaper hos normalfördelat material.

* 9 4

Page 194: Matematik Origo 2b

De flesta av oss möter nästan dagligen

statistiska data av olika slag. Det kan

t i l l exempel handla om olika länders

ekonomi, lönejämförelser eller opinionsun

dersökningar. För att man ska få en över

blick över ett statistiskt material redovisas

insamlade data i tabeller och diagram. När

man sedan analyserar materialet använder

man olika statistiska mått. Man beräknar

lägesmått, som ger information om hur det

statistiska materialet grupperat sig, och

spridningsmått, som visar hur materialet

är fördelat.

Vid analys av statistiska data vil l man

inte bara rapportera och beskriva insam

lade data utan också studera samband

mellan olika företeelser. Man kan t i l l

exempel undersöka om en variabel påver

kar en annan och i så fall på vilket sätt och

med vilken styrka.

När du är klar med kapitlet ska du kunna

• beräkna och analysera lägesmått

• använda och analysera olika spridnings

mått

• redogöra för vad som menas med ett

normalförde lat material

• undersöka samband mellan statistiska

mätdata samt föra resonemang kring

begreppen korrelation och kausalitet

Tipsrunda Sju personer deltog i en tipsrunda med åtta frågor. Deras resultat blev 3, 5,4,5,3,7 och 8 rätt.

• Kan du byta ut ett av resultaten mot ett annat resultat och behålla samma median? Motivera ditt svar.

• Kan du byta ut ett av resultaten mot ett annat resultat och behålla samma medelvärde? Motivera ditt svar.

Förkylning och apelsiner Skribenten och kåsören Red Top funderade över följande samband:

"Nu i natt kom jag på en ytterst intressant vetenskaplig teori. Har ni tänkt på att apelsin-och förkylningssäsongen sammanfaller? När apelsinerna är som grannast, då slår också våra förkylningar ut i full blom. Här finns ett klart samband. Antingen sprider apelsiner förkylning eller också sprider förkylning apelsiner."

• Har han rätt? Finns det ett orsakssamband mellan dessa två händelser, i så fall på vilket sätt? Motivera ditt svar.

• Ge exempel på två händelser mellan vilka du anser att det finns ett orsakssamband. Redogör för ditt resonemang.

Page 195: Matematik Origo 2b

Medelvärdet av talen 3, 6 och 12 är

3 + 6 + 12 ,

Medianen av talen 4, 6, Z_9,9 och 15 är

7 + 9

l L_" • S

Observationerna blå, blå, grön, röd,

röd, blå har typvärdet blå

6.1 Läges- och spridningsmått Lägesmått För att beskriva, jämföra och analysera statistiskt material används ofta olika lägesmått. De vanligaste lägesmåtten i media och i vetenskapliga rapporter är medelvärde, median och typvärde. De är bra att känna t i l l när man ska tolka eller presentera ett statistiskt material.

M e d e l v ä r d e Medelvärde är det mest använda lägesmåttet. När man pratar om medelvärde säger man ibland " i genomsnitt" eller " i medeltal". Man beräknar medelvärdet genom att dividera summan av alla observationer med antalet observationer.

Median När man ställer upp alla observationer i storleksordning och tar värdet i mitten, så får man medianen. Om det är ett jämnt antal observationer, så är medianen lika med medelvärdet av de två värdena i mitten. Medianen är ofta ett bättre lägesmått än medelvärdet när fördelningen är sned, eftersom den inte påverkas av enstaka värden som är mycket stora eller mycket små.

Typvärde Typvärdet är det observationsvärde som förekommer flest antal gånger, dvs. har högst frekvens. Typvärdet kan anges även om observationerna inte är tal, dvs. även om vi räknar t.ex. namn eller färger.

Exempel: Månadslönerna i ett företag med 6 anställda och en chef är 22 600,19 800, 23 100, 21 700,21 300,20 300 och 47 200 kr.

Beräkna median och medelvärde för månadslönerna. Vilket lägesmått beskriver löneläget i företaget bäst? Motivera ditt svar.

lösning: För att bestämma medianen börjar vi med att ställa upp observationsvärdena i storleksordning:

19 800 20 300 21300 C21~700) 22 600 23100 47 200

Medianlönen är 21 700 kr Värdet av observationen i mitten

Medellönen:

19 800 + 20 300 + 21 300 + 21 700 + 22 600 + 23 100 + 47 200

7 kr « 25 143 lo-

Medellönen är 25 143 kr Eftersom det endast är ett värde som är högre än medelvärdet, så är medianen ett bättre lägesmått i detta fall.

Svar: Medianlönen är 21 700 kr och är det lägesmått som är lämpligast att använda i detta fall, eftersom chefens lön drar upp medellönen över alla andra löner.

196 S T A T I S T I K O 6 . 1 L Ä G E S - OCH S P R I D N I N G S M Å T T

Page 196: Matematik Origo 2b

Exempel: En grupp elever uppskattade hur många minuter de använt Facebook under en dag. Resultatet ser du i diagrammet. Beräkna medelvärde, median och typvärde.

5 elever använder Facebook 90 min

lösning: Medelvärde =

1 • 0 + 2 • 30 + 6 • 60 + 5 • 90 + 5 • 120 + 3 • 150

Antal elever /K

7--e 5 4 3 2 1 0

1 + 2 + 6 + 5 + 5 + 3

> Antal 30 60 90 120 150 minuter

min « 87 min

Median = 90 min

Typvärde = 60 min

Det är 22 observationer. 0m man delar materialet i två lika stora delar, så ligger gränsen mellan 11:e och 12:e observationen. Eftersom båda dessa observationer är 90 minuter, blir även medianen 90 minuter.

Typvärdet är det värde som förekommer oftast.

Svar: Medelvärdet är 87 minuter, medianen 90 minuter och typvärdet är 60 minuter.

E x e m p e l :

lösning:

Ett hönseri vägde alla ägg under en vecka. Tabellen visar hur äggens vikt var fördelade. Beräkna äggens medelvikt, median och typvärde.

Äggens v i k t (g) F rekvens

4 8 < x < 53 2 400

53 < x < 58 6 600

58 < x < 63 10 200

63 < x < 68 6 600

6 8 < x < 73 4 200

Antal D

Eftersom man inte kan utläsa äggens exakta vikt ur tabellen, så förutsätter man att alla ägg i en klass har klassmittens vikt. Det betyder t i l l exempel att v i antar att alla 2 400 äggen i klassen 48-53 g väger 50,5 g osv.

Äggens v i k t (g) F rekvens K l a s s m i t t (g) F rekvens - k l a s smi t t (g)

48 < x < 53 2 400 50,5 2 4 0 0 - 5 0 , 5 = 121 200

53 < x < 58 6 600 55,5 6 600 • 55,5 = 366 300

5 8 < x < 6 3 10 200 60,5 10 2 0 0 - 6 0 , 5 = 617 100

63 < x < 68 6 600 65,5 6 6 0 0 - 6 5 , 5 = 432 300

68 < x < 73 4 200 70,5 4 200 • 70 ,5 = 296 100

S u m m a 30 000 1 833 000

Medelvärde 1 833 000

30 000 = 61,1 g

Båda mittobservationerna finns i klassen 58-63 Median = 60,5 g

Typvärde: Det finns flest observationer i klassen 58-63 g.

Svar: Medelvikten är 61,1 g, medianvikten är 60,5 g och typvärdet är 58-63 g.

S T A T I S T I K O 6 . 1 L Ä G E S - OCH S P R I D N I N G S M Å T T 197

Page 197: Matematik Origo 2b

NIVA 1

6101 Martina mätte utomhustemperaturen på morgonen under en vecka. Resultatet blev 4 °C, 2 °C, - 1 °C, -2 °C, 1 °C, 3 °C och 5 °C. Beräkna medeltemperaturen.

6102 a) Beräkna medelvärde och median av följande fem tal: 7, 3,12,9 och 6

b) Hur ändras medelvärde och median om man byter ut talet 9 mot talet 15?

6103 En byggmästare skulle bygga ett hyreshus. Han undersökte vilken typ av lägenheter de 10 första i bostadskön ville ha och fick följande svar:

2:a, 4:a, 1:a, 2:a, 4:a, 2:a, 4:a, 2:a, 2:a, 3:a

Vilket lägesmått är lämpligast att använda för att beskriva önskemålen på bästa sätt? Mot i vera ditt svar.

6104 En grupp på 40 elever tillfrågades hur många böcker de hade läst den senaste månaden. Resultatet sammanställdes i en frekvenstabell:

Antal böcker

0 1 2 3 4 5 G 7 8

Frekvens 1 12 8 9 5 1 2 1 1

a) Beräkna medelvärdet.

b) Vilket är typvärdet?

6105 Diagrammet visar hur antalet mål för Bollsta SK var fördelade när 20 matcher spelats i en innebandyserie. Antal matcher

8

6

4

2

-4- -L -> Antal mål

a) Beräkna medelvärdet av antal mål per match.

b) Beräkna medianen av antal mål per match.

6106 Ange fem tal som har medelvärdet 10 och Ö medianen 12.

6107 Medelåldern i en familj är 18 år. Vilken är medelåldern i familjen om 4 år?

6108 Per och Pål har beräknat medelvärdet av talen 0,2, 7, 9 och 12. Per fick det t i l l 7,5 och Pål t i l l 6. Vem har rätt och vad gör den andra för fel?

NIVA 2

6109 Tre klasser tävlar i luftgevärsskytte med fem representanter från varje klass. Resultaten blev:

Klass A 62 94 95 98 98

Klass B 62 63 98 98 99

Klass C 58 62 95 99 99

Var och en av de tre klassernas mentorer ansåg att deras egen klass hade lyckats bäst. Hur kan de ha resonerat?

6110 På en vårdcentral med 11 anställda var medelåldern 41 år och medianåldern 37 år. En anställd som var 57 år slutade och ersattes av en person som var 39 år.

a) Hur ändras medelåldern?

b) Hur ändras medianåldern?

6111 Medlemmarna i en idrottsklubb hade löpträning. Sara tyckte att man skulle flytta träningen t i l l en annan plats eftersom hon hade räknat ut att medlemmarna i genomsnitt hade 1,5 km ti l l träningen. Tränaren tyckte att det var konstigt eftersom han hade räknat ut att de flesta hade mindre än 1 km til l träningen.

Avståndet t i l l träningen för medlemmarna i kilometer var:

0,8 0,6 0,6 0,7 0,9 1,3 0,8 0,4 1,1 1,1 5,2 0,9 4,7 2,3 0,5

Vem har rätt, Sara eller tränaren? Motivera ditt svar.

198 S T A T I S T I K O 6 . 1 L Ä G E S - OCH S P R I D N I N G S M Å T T

Page 198: Matematik Origo 2b

112 Förklara med hjälp av ett exempel när det är Ö lämpligare att använda median i stället för

medelvärde.

113 När Stinas lärare meddelar klassens resultat på ett prov i matematik skriver läraren på tavlan:

Maximal poäng: 40p Medelvärde: 25p Median: 21p Antal elever som deltog: 29

Stina har 25 poäng på provet. Hon påstår att antalet klasskamrater som har bättre resultat på provet än hon har är lika många som antalet klasskamrater som har sämre resultat än vad hon har. Avgör om Stinas påstående är sant eller falskt. Motivera varför.

{Np MaB vt 2002)

114 Jens skulle undersöka beståndet av abborre i en sjö och hade därför provfiskat. Han mätte längden på alla abborrarna han fångat och förde in resultatet i en tabell.

Beräkna abborrarnas medellängd.

Längd (cm) Frekvens

15 < x < 20 14

20 < x < 25 21

25 < x < 30 29

3 0 < x < 3 5 27

35 < x < 4 0 9

6115 I en familj med sex barn är fyra av barnen ö flickor. De två pojkarna är 7 och 13 år. Bar

nens medelålder är 12 år.

a) Vilken är flickornas medelålder?

b) Ge exempel på hur gamla flickorna kan vara?

6116 Vid en fartkontroll där hastighetsgränsen var 50 km/h kontrollerades 30 bilar. Resultatet ser du i histogrammet här nedanför. Beräkna bilarnas medelhastighet.

^ Hastighet 40 45 50 55 60 65 70 75 k m / h

6117 Medelvärdet av fem tal är 70. Om man tar bort ett av talen så minskar medelvärdet med 5. Vilket tal har man tagit bort?

NIVA 3

6118 I tabellen ser du ett testresultat för två klasser. Varje klass består av 24 elever.

Flickor Pojkar (medelvärde) (medelvärde)

Klass S p l a 81 p 73 p

K lass S p l b 78 p 70 p

Uno som är lärare för Splb, påstår att hans klass hade bättre resultat på testet än klass Spla. Klassmedelvärdena var enligt honom 76 poäng för Splb och 74 poäng för Spla. Britta som är lärare för Spla menar att han måste ha räknat fel eftersom både pojkarna och flickorna i hennes klass har bättre medelvärde än i Unos klass. Kan Uno ha rätt? Motivera ditt svar.

6119 Medelvärdet och medianen av fem olika positiva heltal är 22. Hur stort kan det största av de fem talen högst vara? Förklara hur du har kommit fram t i l l ditt svar.

S T A T I S T I K O G . l L Ä G E S - OCH S P R I D N I N G S M Å T T 199

Page 199: Matematik Origo 2b

Spridning

Spridning kring medianen Att ange olika lägesmått för ett statistiskt material är ett bra sätt att snabbt få en överblick över materialet. Det hjälper oss också när vi vill göra en jämförelse mellan olika material. Ibland räcker det inte med att bara beskriva ett statistiskt material med ett lägesmått. Ofta vill v i också veta hur materialet är fördelat, alltså vilken spridning materialet har. Vi visar med ett exempel.

Två grupper i trafikskolan Pedalen genomförde ett teoritest där maxpoäng-en var 24. För att kunna analysera gruppernas resultat gjorde trafikskolläraren en del beräkningar. De båda gruppernas resultat sorterades först i storleksordning. Därefter beräknade trafikskolläraren medelvärde och median för varje grupp.

Grupp 1 11 11 13 13 14 15 Medelvärde 15,G poäng

15 15 17 19 20 20 20 Median 15 poäng

Grupp 2 4 8 11 13 15 Medelvärde 15,6 poäng

15 15 18 19 20 20 Median 15 poäng

21 24

Både median och medelvärde har samma värde för de två grupperna. Trots det ser resultaten helt olika ut. Det ser man tydligt om man markerar de båda gruppernas resultat på en tallinje.

Grupp 1 h H — I — I — I — I — F • • • • • • • • • • •

H — I — I — I — I — I — I — I — I — I — I — I — I — I — I — I — > 10

Grupp 2 |—h - I — I — I — I — I — I — F

15

10 - I — I — I — I — h -

15

20

• • • • • - I — I — I — I — h H — I — > 20

Spridningsmått Resultaten för grupp 2 har större spridning. För att visa hur stor spridningen är kan man ta hjälp av ett spridningsmått.

Variationsbredd Det enklaste spridningsmåttet är variationsbredd, som är skillnaden mellan det största observationsvärdet och det minsta observationsvärdet. Variationsbredden för de båda gruppernas resultat blir alltså

Grupp 1: 20 poäng - 11 poäng = 9 poäng

Grupp 2: 24 poäng - 4 poäng = 20 poäng

I grupp 1 är det mindre skillnad mellan den högsta och den lägsta poängen och resultatet är mer samlat kring medianen.

Variationsbredden är mycket enkel att beräkna, men har nackdelen att den bygger på endast två värden. Den tar alltså inte hänsyn t i l l övriga värden.

2 0 0 S T A T I S T I K O 6 . 1 L Ä G E S - OCH S P R I D N I N G S M Å T T

Page 200: Matematik Origo 2b

Kvartiler

kvartil kommer från latinets quartu som betyder fjärde.

Lådagram

För att bättre kunna beskriva spridningen, så kan man dela in värdena i flera delar. Om vi vil l beskriva spridningen av de båda gruppernas resultat kring medianen, så börjar vi med att sortera värdena i storleksordning och delar sedan in dem i fyra lika stora delar. Medianen delar värdena i två lika stora delar. Genom att beräkna och markera mitten av nedre respektive övre halvan, får vi materialet delat i fyra lika stora delar. Gränserna kallas kvartiler. Vi får tre kvartiler: nedre kvartil-, median och övre kvartil. Grupp 1

11 11 ( l i ) ( l i ) 14 15 (05) 15 17 Öi)f5o) 20 20

Nedre kvartil = Median Övre kvartil = 19,5

Grupp 2

4 8 © @ 15 15 (15) 18 19 (20)(20) 21 24

Nedre kvartil = i T ) Median Övre kvartil

För att visa spridningen kring medianen kan man med hjälp av kvartilerna rita ett lådagram.

Nedre kvartil Median Övre kvartil

Grupp 1

Grupp 2

Minsta värdet i- Största värdet

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 19 20 21 22 23 24 . , , Poäng

Kvartilavständ grupp 1:19,5 - 13 = 6,5

Kvartilavständ grupp 2: 20 - 12 = 8

Kvarti/avstdnd Av värdena ligger 25 % under den nedre kvartilen, 25 % av värdena ligger över den övre kvartilen och 50 % ligger där emellan, i den så kallade lådan. Avståndet mellan den övre och den nedre kvartilen kallas kvartilavständ och är ett mått på spridningen kring medianen.

Om man jämför lådagrammen för de bägge grupperna, så ser man att både variationsbredden och kvartilavståndet är större för grupp 2 än vad de är för grupp 1. Spridningen är alltså större i grupp 2 än i grupp 1 med avseende på både variationsbredd och kvartilavständ.

Percentiler Om man har ett stort material och vill ge en ännu mer noggrann beskrivning av spridningen, så kan man dela in det i percentiler. Percentiler delar upp materialet i hundra lika stora delar och gränserna mellan dem kan betecknas p 1 ,p 2 ,p 3 , . . . , p 9 9 . Den tionde percentilenp 1 0 är det värde som delar observationsvärdena så att 10 % är mindre ä n p 1 0 och 90 % är större ä n p 1 0 . Med samma resonemang inser man då att de 10 % högsta observationerna befinner sig över p 9 0 . Den femtionde percentilen p 5 0 är lika med medianen.

S T A T I S T I K O 6 , 1 L Ä G E S - OCH S P R I D N I N G S M Å T T 2 0 1

Page 201: Matematik Origo 2b

Exempel :

L ö s n i n g :

På en arbetsplats arbetade 14 personer med åldrarna 18, 19, 20, 20, 22, 23, 24, 26, 26, 28, 38, 42, 45 och 53 år.

Rita ett lådagram som visar åldersfördelningen.

De anställdas åldrar är redan ordnade i storleksordning. Vi börjar med att ta reda på medianen och kvartilerna.

18 19 20 20 22 23 24 26 26 28 38 42 45 53

Nedre kvartil Medianen är 25 Övre kvartil

24 + 26 Medianen är 25 Eftersom antalet personer är jämnt, sä är medianen

medelvärdet av de två värdena i mitten.

Nedre kvartilen = 20, övre kvartilen = 38

H 1 1 1—> Älder 15 20 25 30 35 40 45 50 55 år H 1 1 h-

Sätt ut minsta och största värdet, nedre kvartilen, medianen, övre kvartilen och rita lådagrammet.

( S r Exempel:

lösning:

Diagrammet visar lönespridningen för olika slutliga utbildningsnivåer år 2010.

Eftergymnasial utb > 3 år Eftergymnasial utb < 3 år

Cymnasieutb -Förgymnasial utb

10:e-40:e perc 40:e-G0:e perc 60:e-90:e perc

20 000 Källa: Högskoleverket

40 000 60 000 Månadslön kr

a) Inom vilken utbildningsnivå är lönespridningen störst?

b) Avlas p 1 0 för personer med förgymnasial utbildning och förklara vad det betyder.

c) Uppskatta medianlönen för personer med gymnasieutbildning.

a) Lönespridningen visas av längden på stapeln. Alltså är lönespridningen störst för personer med eftergymnasial utbildning som är 3 år eller längre.

Pip är en förkortning för tionde percentilen

b) Den röda delen av stapeln visar 10:e t i l l 40:e percentilen. p 1 0 är ca 19 000 kr. Det betyder att 90 % av de med förgymnasial utbildning har en lön som är högre än 19 000 kr. Man kan också säga att 10 % har en lön som är lägre än 19 000 kr.

c) Avlas lönen för p 4 0 och p 6 0 . Medianlönen, p 5 0 , ligger mellan dessa värden, alltså mellan 24 000 kr och 27 000 kr: ca 25 500 kr

2 0 2 S T A T I S T I K O 6 . 1 L Ä G E S - OCH S P R I D N I N G S M Å T T

Page 202: Matematik Origo 2b

NIVA 1 6123

6120 En grönsaksodlare vägde 5 pumpor och fick följande resultat:

1,89 kg 2,01 kg 2,13 kg 2,21 kg 2,31 kg

Bestäm variationsbredden.

6121 Lådagrammet visar resultatet på ett test i nutidsorientering.

— i — i — i — i — i — i — i — i i i — i — i — i — i i i — t — i — i — i — i — i — i — i — i — ^

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 Poäng

a) Hur stor är variationsbredden?

b) Bestäm medianen.

c) Bestäm kvartilavståndet. d) Hur stor andel av eleverna hade 13 poäng

eller mindre? e) Hur många elever hade 17 poäng eller

mindre om det var 32 elever som skrev provet?

6122 En maskin vid ett bageri bakar limpor som ska väga 800 g. Någon gång per dag tar man ett stickprov på 10 limpor och kontrollväger dem. Vid ett tillfälle såg resultatet ut så här uttryckt i gram:

801 796 800 803 799 797 802 804 798 800

a) Bestäm variationsbredden.

b) Bestäm de tre kvartilerna.

c) Bestäm kvartilavståndet.

Eleverna i en klass springer 80 meter på tid. Resultatet uttryckt i sekunder ser ut så här:

10,9 11,2 11,7 11,6 10,8 11,5 11,8 11,3 11,0 12,3 11,9 12,1 10,9 12,6 12,2 12,3 11,9 12,010,8 11,5 11,6

Vilket av följande lådagram visar elevernas resultat?

- H — I — | — I — I — I — I — | — I — I — I — I — | — I — I — I — I —|— t — I — i 11,0 11,5 12,0 12,5

Tid - »

s

6124 a) Rita ett lådagram med följande värden: minsta värdet = 5 största värdet = 20 medianen =12 nedre kvartilen = 8 övre kvartilen =15

b) Beräkna variationsbredden.

c) Beräkna kvartilavståndet.

6125 Tabellen visar lönespridning för arbetare inom privat sektor:

Percentiler 10 J 5 _ 50 75 90

Kvinnor 17 700 19 400 21 500 24100 27 200

Män 19 300 21 700 24 200 27 000 30 000

a) Hur mycket högre är medianlönen för män än för kvinnor?

b) Bestäm kvartilavståndet för kvinnors lön.

c) Avlas p 9 0 för män och förklara vad det betyder?

S T A T I S T I K O 6 . 1 L Ä G E S - OCH S P R I D N I N G S M Å T T 203

Page 203: Matematik Origo 2b

6126 Lådagrammet visar resultatet av en stickprovsundersökning på en flygplats där man vägde 150 resenärers bagage. Högsta tillåtna avgiftsfria bagagevikt är 20 kg.

Vikt

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 kg

a) Hur många procent av resenärerna i undersökningen hade bagage som vägde mer än 20 kg?

b) Hur många av resenärerna i stickprovet hade ett bagage som vägde 20 kg eller mindre?

6127 När man ska beskriva åldersfördelningen i en stad kan man sortera invånarnas åldrar i storleksordning. Ett samhälle har 12 000 invånare. Vad kan du säga om åldersfördelningen om du vet att p 1 0 = 25 år, p 5 0 = 68 år och p 9 0 =81 år?

NIVÅ 2

6128 Lådagrammen visar resultaten på ett matteprov för flickor respektive pojkar. Jämför och kommentera de båda lådagrammen. Pojkar

Flickor

8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 Poäng

6129 Stolpdiagrammet visar resultatet av en undersökning där man har frågat eleverna i en klass hur många gånger de har varit på bio den senaste terminen. Frekvens

7 '

5

3

1 III -» Antal gånger 2 4 6 8 10

a) Bestäm variationsbredden.

b) Rita ett lådagram som beskriver spridningen.

6130 Rita två lådagram som har samma median. Ö Det ena lådagrammet ska ha större varia

tionsbredd, medan det andra lådagrammet ska ha större kvartilavständ.

6131 Ge förslag på en statistisk undersökning som Ö skulle kunna resultera i följande lådagram.

Motivera ditt val.

+ + 15 000 25 000 35 000 45 000

6132 Tabellen visar chefers månadslön i kronor före och efter skatt vid olika percentiler.

Pio 040 Peo P90

Chefer, före skatt

27 050 38 000 47 089 72 600

Chefer, efter skatt

20 539 26 819 3 1 1 1 8 42 145

a) Avlas p 4 0 för chefer före skatt och tolka resultatet.

b) Hur många procent skatt betalar chefer vid den 60:e percentilen?

c) Rita ett diagram, liknande det i exempel 2 på föregående sida, som visar lönespridningen för chefer före och efter skatt.

NIVÅ 3

6133 En sträcka AB är 15 cm lång. Sträckan kan ö delas i fem delsträckor på olika sätt. Längden

av varje delsträcka måste vara större än noll. A B

H 15 cm

a) Gör en indelning av sträckan AB så att variationsbredden för delsträckornas längder blir 12,5 cm.

b) Beroende på hur man delar in sträckan AB i fem delsträckor kan variationsbredden variera. Utred vilka värden som är möjliga för variationsbredden när man ändrar på de fem delsträckornas längder.

(Np MaB vt 2011)

204 S T A T I S T I K O 6 . 1 L Ä G E S - OCH S P R I D N I N G S M Å T T

Page 204: Matematik Origo 2b

Standardavvikelse

Grupp 1 x = 15,6 X X - X (x-x)2

11 -4 ,6 21,16

11 -4 ,6 21,16

13 -2 ,6 21 ,16

13 -2 ,6 6,76

14 -1 ,6 2,56

15 -0 ,6 0,36

15 -0 ,6 0,36

15 -0 ,6 0,36

17 1,4 1,96

19 3,4 11,56

20 4,4 19,36

20 4 ,4 19,36

20 4 ,4 19,36

I 131 ,08

<f- Avvikelse från medelvärdet

1 - 1 X \

Om man lägger ihop alla avvikelser från medelvärdet,

så blir summan noll.

Stickprov och standardavvikelse

Spridning kring medelvärdet Vi tittar återigen på resultatet från teoritestet på trafikskolan Pedalen.

Grupp 1 11 11 13 13 Median 15 poäng

Grupp 2 4 8 11 13

Median 15 poäng

14 15 15 15 17 19 Medelvärde 15,6 poäng

20 20 20

15 15 15 18 19 20 20 21 24

Medelvärde 15,6 poäng

Sedan tidigare känner vi t i l l att spridningen på teoritestet kring medianen är större i grupp 2. Ett spridningsmått som ofta används för att beskriva spridning kring medelvärdet kallas standardavvikelse.

Lite förenklat kan standardavvikelse beskrivas som observationsvärdenas genomsnittliga avvikelse från medelvärdet.

Om vi vil l beräkna standardavvikelsen för resultatet i grupp 1, så börjar v i med att beräkna hur mycket varje enskilt värde x avviker från medelvärdet x. Vi beräknar alltså x-x. Resultatet syns i tabellen bredvid.

Om vi nu skulle summera alla avvikelser, så skulle summan och därmed medelvärdet av dem att bli noll. För att undvika detta beräknar man kvadraten av alla avvikelser innan man summerar dem. I tabellen har vi beräknat (x - x)2, kvadraten på avvikelsen från medelvärdet.

Om vi beräknar medelvärdet av alla avvikelser i kvadrat blir det

l(x-

l betyder

summa

131,08 13

Summan av kvadraten pa avvikelserna Antalet värden

Det är 13 elever i grupp 1, n = 13

där n står för antalet värden. För att få ett spridningsmått som har samma enhet som medelvärdet, avslutar vi med att dra kvadratroten ur medelvärdet av alla avvikelser i kvadrat. Standardavvikelsen <51 för grupp 1 blir

131,08 13

~ 3 2 o utläses sigma

Gör vi på samma sätt för grupp 2, så får vi standardavvikelsen G 2 ~ 5,4. Ju större standardavvikelsen är, desto mer utspridda kring medelvärdet är observationsvärdena.

När man gör en statistisk undersökning, är det oftast bara ett stickprov som undersöks. Vid ett stickprov gör man ett urval ur populationen. Det har visat sig att man genom att dividera med n — 1, får en bättre skattning av variationen i den totala populationen än om man bara dividerar med antalet observationsvärden n. För att markera skillnaden använder man ofta beteckningen s som symbol för standardavvikelse vid stickprovsundersökningar.

S T A T I S T I K O E . l L Ä G E S - OCH S P R I D N I N G S M Å T T 2<>5

Page 205: Matematik Origo 2b

Standardavvikelse Spridningsmåttet standardavvikelse används för att beskriva spridningen kring medelvärdet och beräknas med formlerna Totalundersökning Stickprov

2Z{x-x) s - X(x-5é)

n i n - 1

där x står för ett enskilt värde, x är medelvärdet och n är antalet

observationsvärden. Ju högre värde på o eller s, desto större är spridningen.

Exempel: Kökschefen på en skola vil l göra en undersökning av hur mycket mat som slängs på ett år. Hon gör därför två stickprov under två olika veckor. Beräkna medelvärde och standardavvikelse för vecka A och vecka B och kommentera ditt resultat.

Må Ti On To Fr

Vecka A 22,3 kg 15,0 kg 38,3 kg IG,7 kg 13,8 kg

Vecka B 13,5 kg 9,8 kg 12,G kg 14,9 kg 13,5 kg

lösning:

Avlas S x , stickprovsun

dersökning

Metod 1: Vi börjar med att beräkna medelvärdet och använder sedan formeln

X(x-x) 2

n-l x ~ 21,2 och s :

på samma sätt som visades på föregående sida. Vi får då

10,1 411,3

Vecka A: Medelvärde = 21,2 kg och standardavvikelse = 10,1 kg

Metod 2: Vi använder räknarens statistikfunktion för att beräkna medelvärde och standardavvikelse. Tryck ^jJJJ o c h x'älj 1: Ed i t . Skriv in dina värden för vecka B i lista Lj.

För att beräkna de efterfrågade statistiska matten tryck igen, ga tiil CALC-menyn och välj 1:1 - V a r S t a t s följt av

Tryck J~~

1-Uar Stats x=12.86 Ix=64.3 Ix*=841.31 Sx=1.898157801 ax=1.697763234 4-n=5

I . Avlas resultatet.

Standardavvikelsen betecknas med Sx för en stickprovsundersökning och a* för en totalun

dersökning. Vecka B: Medelvärde 12,9 kg och standardavvikelse 1,9 kg

I vecka A blev medelvärdet mycket högre. Även standardavvikelsen var högre för vecka A. Det kan bero på att kökschefen serverade något som eleverna inte gillade, och att det därför slängdes mer mat. Förhoppningsvis är vecka B en mer normal vecka och då är det detta medelvärde som kökschefen bör använda i sin analys.

206 S T A T I S T I K O 6 . 1 L Ä G E S - OCH S P R I D N I N G S M Å T T

Page 206: Matematik Origo 2b

NIVA 1

6134 Beräkna medelvärde och standardavvikelse för talen 3,4, 7,9 och 12 i ett stickprov.

6135 Medlemmarna i en idrottsförening plockar blåbär och säljer dem för att få in pengar t i l l föreningen. Enligt ett stickprov bland medlemmarna plockade de så här många liter blåbär per person: 12 9 14 13 8 16 10 7 11 10

a) Beräkna medelvärdet.

b) Beräkna standardavvikelsen.

6136 Vid ett försök med en blodtryckssänkande medicin mätte man blodtrycket före och efter intag av medicinen. Resultatet för ett stickprov med 10 personer uttryckt i mm Hg visas i tabellen.

Blodtryck före Blodtryck efter

85 75

70 70

80 75

80 G5

100 95

90 70

80 65

75 70

90 65

100 90

a) Beräkna medelvärdet och standardavvikelsen både före och efter medicinering.

b) Kan man säga att medicinen haft effekt?

NIVA 2

6137 En ingenjör utvecklade en ny batterityp. Han använde två olika framställningsmetoder. Han tog ett stickprov på 8 batterier från varje grupp och mätte livslängden i månader. Resultatet förde han in i två tabeller.

Metod I

21 24 22 23 25 23 26 20

Metod II

23 27 20 22 26 20 27 19

a) Beräkna medelvärde och standardavvikelse för de bägge metoderna.

b) Vilken av metoderna skulle du rekommendera ingenjören att använda i fortsättningen? Motivera ditt svar.

6138 Petra gillar att spela bangolf och har gjort en sammanställning över alla sina resultat. Beräkna medelvärdet och standardavvikelsen för antal slag per bana.

Antal slag 1 2 3 4 5 6 7 Antal banor 1 2 4 6 3 1 1

6139 Vad händer med medelvärdet och standardavvikelsen om samma tal adderas t i l l alla observationsvärden i en undersökning?

NIVÅ 3

6140 En bonde gjorde i ordning påsar med morötter som han skulle leverera t i l l en affär. Han vägde alla påsar och förde in resultatet i en tabell.

Vikt (g) Frekvens

9 5 6 - 9 6 8 7

9 6 9 - 9 8 1 18

9 8 2 - 9 9 4 30

9 9 5 - 1 0 0 7 25

1 0 0 8 - 1 020 10

a) Beräkna standardavvikelsen.

b) Nästa dag upptäckte bonden att hans våg var felinställd och visade 50 g för lite. Vilket värde får standardavvikelsen i a) om han räknar med de rätta vikterna?

S T A T I S T I K O G . l L Ä G E S - OCH S P R I D N I N G S M Å T T 2.0J

Page 207: Matematik Origo 2b

150 155 160 165 170 175 180 185 cm

Längden av 16-åringar i en kommun kan antas vara normalfördelad.

Normalfördelningskurvan är klockformad

Normalfördelning Om man väger alla nyfödda barn i Sverige, undersöker volymen mjölk i enlitersförpackningar eller mäter längden av Sveriges alla 16-åringar, så visar det sig att observationerna fördelas runt medelvärdet på ett likartat sätt. Man säger att observationsvärdena är normalfördelade. Den kurva som beskriver denna fördelning kallas normalfördelningskurva. Tidigare använde man även normalfördelningskurvan vid betygssättning av elever, eftersom studieresultaten antogs vara normalfördelade.

Grafen för normalfördelningen är klockformad och symmetrisk kring medelvärdet. Kurvan närmar sig x-axeln i båda riktningarna, men skär den aldrig.

Kurvans form bestäms av medelvärdet, x och standardavvikelsen o. En förändring av medelvärdet gör att kurvan förflyttas i sidled.

Den röda kurvan representerar en fördelning som har

ett högre medelvärde än den gröna kurvan. Båda kurvorna

visar samma spridning.

Ett högt värde på standardavvikelsen, dvs. en stor spridning, gör att kurvan blir lite plattare. Ett lågt värde på standardavvikelsen dvs. en liten spridning, gör kurvan smalare och högre.

Båda kurvorna visar samma medelvärde. Den gröna kurvan representerar en större spridning än den blå kurvan,

dvs. standardavvikelsen är större.

För ett normalfördelat material gäller oavsett medelvärde och standardavvikelse att

• ca 50 % av observationerna ligger under respektive över medelvärdet.

• ca 68 % av observationerna finns inom ±1 standardavvikelse från medelvärdet.

• ca 95 % av observationerna finns inom ±2 standardavvikelser från medelvärdet.

• ca 99,7 % av observationerna finns inom ±3 standardavvikelser från medelvärdet.

x- a x x + a

208 S T A T I S T I K O 6 . 1 L Ä G E S - OCH S P R I D N I N G S M Å T T

Page 208: Matematik Origo 2b

Exempel:

Lösning;

Hur många procent av observationerna ligger inom det markerade området?

x - 2c

Alla observationer utgör 100 %, av dem ligger 50 % ti l l höger om medelvärdet och 50 % t i l l vänster.

Inom x±2o ryms 95 % av observationerna. Det betyder att 2,5 % av observationerna ligger t i l l vänster om x - 2a. Den blå delen innefattar alltså 100 % - 2,5 % = 97,5 %.

Svar: 97,5 % av observationerna ligger inom det markerade området.

x - 2c

Längd

Exempel: Antag att kroppslängden hos svenska män är normalfördelad och kan beskrivas med normalfördelningskurvan t i l l höger:

170 180 190 (cm)

Medellängden är 181 cm och standardavvikelsen är 6 cm. Avgör om följande påståenden är sanna eller falska.

A 68 % av männen är mellan 175 och 187 cm.

B 95 % av männen är kortare än 193 cm.

C 50 % av männen är längre än 181 cm.

D 34 % av männen är mellan 181 och 187 cm.

E 5 % av männen är kortare än 169 cm.

lösning: A Sant. 181 cm - l a = 175 cm och 181 cm + l a = 187 cm.

Det motsvarar 68 % för ett normalfördelat material.

B Falskt. 97,5 % av alla män är kortare än 181 cm + 2a = 193 cm.

C Sant. Ett normalfördelat material är symmetrisk kring medelvärdet.

D Sant. 181 cm + l a = 187 cm. 68 % , „ n ,

Det motsvarar = 34 % 2

för ett normalfördelat material. 170 180 190

E Falskt. Det är bara 2,5 % av männen som är kortare än 169 cm = 181 c m - 2 a

S T A T I S T I K O 6 . 1 L Ä G E S - OCH S P R I D N I N G S M Å T T 2<>9

Page 209: Matematik Origo 2b

Exempel :

Lösn!ng:

2,5 % av burkarna väger mindre än

x - 2a

Vid en fabrik som tillverkade kattmat ville man kontrollera hur väl en viss maskin fyllde burkarna. Burkarnas vikt antogs vara normalfördelad. Vid en stickprovsundersökning vägde man 10 burkar och fick resultatet 410, 403, 410, 414, 405,404, 407, 407, 410, och 405 g.

a) Beräkna medelvärdet och standardavvikelsen av burkarnas vikt.

b) Mellan vilka vikter kan man utifrån denna stickprovsundersökning anta att 95 % av burkarna fanns?

c) Maskinen fyller 2 000 burkar i timmen. Ungefär hur många av dessa

Se sidan 206 kan antas väga mindre än 400 g?

Bestäm medelvärdet x och standardavvikelsen a med hjälp av räknaren:

X = 407,5 g Vi använder här beteckningen c för standardavvikelse. Men eftersom det är ett stickprov

O" = 3,4 g är det Sx som ska avläsas på räknaren.

0m burkarnas vikt är normalfördelad. så ska

95 % av dem väga mellan x - 2o och x + 2c

Svar: x = 407,5 g och o = 3,4 g.

b) 95 % av burkarna väger mellan x ± 2a.

x - 2a = 407,5 g - 2 • 3,4 g = 400,7 g

x + 2a = 407,5 g + 2 • 3,4 g = 414,3 g

Svar: 95 % av burkarna väger mellan 400,7 g och 414,3 g.

c) Eftersom x - 407,5 g och a = 3,4 g, så motsvarar 400 g ungefär 407,5 g - 2 • 3,4 g. Det betyder att ca 2,5 % av burkarna väger under 400 g om vikten är normalfördelad.

2,5 % av 2 000 = 0,025 • 2 000 = 50

Svar: Cirka 50 av de 2 000 burkarna väger sannolikt mindre än 400 g.

NIVA 1

6141 Hur många procent av observationerna ligger inom det markerade området?

x - c x x - o

b)

x - 2c

c)

X X + c

X - C X x + 2o

2 1 0 S T A T I S T I K O B . l L Ä G E S - OCH S P R I D N I N G S M Å T T

Page 210: Matematik Origo 2b

6142 Jämför medelvärde och standardavvikelse för de data som normalfördelningskurvorna här nedanför visar.

6143 Vid en stickprovskontroll av golfpeggar mätte man 100 peggar. Medellängden var 50 m m och standardavvikelsen 1 mm. På paketet står det att längden av peggarna är mellan 48 och 52 mm. Hur många procent av de peggar som tillverkas håller inte måttet?

6144 På flingpaketen av ett visst märke står det att paketet innehåller 450 g. Vid en stickprovsundersökning framkommer det att flingpake-tens medelvikt är 453 g och att standardavvikelsen är 1,5 g. Hur många procent av flingpaketen innehåller mer än 450 g?

6145 På en väg med hastighetsbegränsningen 70 km/h utfördes en hastighetskontroll av 360 bilar. Medelhastigheten var 76 km/h och standardavvikelsen 4 km/h. Resultatet antas vara normalfördelat.

a) Hur många procent av bilisterna hade lägre hastighet än 76 km/h?

b) Hur många procent av bilisterna hade en hastighet som var mellan 68 och 84 km/h?

c) Hur många av bilisterna hade en hastighet som var högre än 84 km/h?

6146 Man har mätt längden på ett stort antal elva-åringar. Resultatet visar sig vara normalfördelat med medelvärdet 138 cm och standardavvikelsen 16 cm. Året därpå gör man om mätningen. Mätvärdena är fortfarande normalfördelade, men medelvärdet hade ökat och standardavvikelsen hade minskat. Hur förändras då normalfördelningskurvan?

6147 Vid slutet av en kurs skrev 290 elever ett test. Man gjorde ett slumpmässigt urval av 20 testresultat. För dessa var medelvärdet 30,4 poäng och standardavvikelsen 5,2 poäng.

a) Hur många procent av eleverna kan förväntas ha mindre än 20 poäng om man förutsätter att resultatet är normalfördelat enligt det slumpmässiga urvalet?

b) Gränsen för betyget E gick vid 20 poäng. Uppskatta hur många elever som fick E eller högre i betyg på provet.

c) Samma test har använts tidigare och då var medelvärdet 30,2 poäng och standardavvikelsen 5,3 poäng. Jämför resultaten.

6148 Två olika bagerier bakar minibaguetter som är färdiga att grädda. På båda bagerierna uppges medelvikten av en förpackning vara 300 g. Förpackningarnas vikt är i båda fallen normalfördelade, men hos bageri 1 är standardavvikelsen 10 g och hos bageri 2 är det 15 g. Från vilket bageri är det störst chans att du får en förpackning som väger mer än 300 g?

S T A T I S T I K O 6 . 1 L Ä G E S - OCH S P R I D N I N G S M Å T T 2 1 1

Page 211: Matematik Origo 2b

NIVA 2

6149 Jämför medelvärde och median i ett valfritt ö normalfördelat material och förklara ditt

resultat.

6150 Vikten på burkar med fruktkonserver är normalfördelad med standardavvikelsen 15 g. Hur stor är medelvikten om 97,5 % av burkarna väger 450 g eller mer?

6151 Två företag som sålde datorer angav att datorernas användningstid vid batteridrift var normalfördelad. Företag l:s datorer hade ett medelvärde på 15 timmar och en standardavvikelse på 2 timmar. Företag 2 angav medelvärdet t i l l 13 timmar och standardavvikelsen t i l l 1,5 timmar. Skissa de två normalfördelningskurvorna och kommentera möjligheten t i l l arbete utan elnätanslutning.

6152 Ge exempel på ett statistiskt material som ö inte kan antas vara normalfördelat?

6153 En minkfarmare uppskattar att längden på minkarna är normalfördelad. Honorna har medellängden 34 cm och standardavvikelsen 4,0 cm. I farmen finns 1 200 djur och 75 % är honor.

a) Ungefär hur många minkhonor är mellan 30 och 42 cm långa?

b) Bland hanarna är det bara 8 st som är kortare än 34 cm. Uppskatta standardavvikelsen för hanarnas längd om medellängden är 45 cm.

6154 I ett område där hastigheten är begränsad till 30 km/h hade man en hastighetskontroll. Man mätte hastigheten hos 15 bilar. Resultatet i km/h såg ut så här:

35, 36, 28, 35, 31, 33, 38,42, 30, 34, 29, 31, 35, 39, 37

Hur stor andel av bilarna körde för fort, om man antar att hastigheten för alla bilar är normalfördelad på samma sätt som stickprovsresultatet?

NIVÅ 3 I 6155 Brinntiden för en viss typ av lågenergilampor

uppges t i l l 10 000 timmar med standardavvikelsen 600 timmar. Ett år bytte man t i l l sådana lampor i 12 gatlyktor längs en vägsträcka. Man räknade med att lyktorna är tända 8 timmar/dygn under halva året. Efter hur många år måste man byta lampor om man vil l vara någorlunda säker på att högst två lampor gått sönder?

6156 Jesper testar sin reaktionsförmåga. Reaktionstiden vid testet kan anses normalfördelad kring medelvärdet 0,17 s med standardavvikelsen 0,04 s. Hans reaktionstid var i det testet 0,14 s. Hans kompis Jonatan har testat sin reaktionstid i ett annat test, där resultatet ansågs normalfördelat kring 0,21 s med standardavvikelsen 0,09 s. Hans reaktionstid var i det testet 0,19 s. Vem lyckades bäst? Motivera ditt svar.

Resonemang och begrepp

O På vilket sätt påverkar mätvärdenas fördelning vilket lägesmått som bäst beskriver materialet?

O Vilka för- och nackdelar finns med spridningsmåttet variationsbredd?

O Vilka värden måste du känna t i l l för att kunna rita ett lådagram?

O Förklara vad som menas med percentil och hur begreppet används.

O Beskriv hur medelvärdet och standardavvikelsen påverkar normalfördelningskurvans utseende.

O På vilket sätt är median och medelvärde relaterade t i l l varandra i ett normalfördelat material?

2 1 2 S T A T I S T I K O G . l L Ä G E S - OCH S P R I D N I N G S M Å T T

Page 212: Matematik Origo 2b

6.2 Statistiska samband

Spridningsdiagram

Korrelation och kausalitet I diagrammet t i l l höger har vi prickat in mätvärdena för längd och vikt för 10 nyfödda barn. Ett sådant diagram kallas för ett spridningsdiagram.

i /ii t

-]

r n

n -J JU U

X M x

-1 nn n J UU U > i S n

\ L an \ i— 5

c o 1 55

>

m

Korrelation När man har gjort en statistisk undersökning och samlat in två serier mätvärden kan man undersöka om det finns något samband mellan de olika mätserierna. Ett sådant samband kallas korrelation.

I vårt diagram här ovanför ser vi att mätvärdena ligger lite spridda, men ändå ganska samlade kring en rät linje med positiv lutning. Man säger då att det råder en svag positiv korrelation mellan längd och vikt hos barnen. Om mätvärdena ligger väl samlade kring en linje med positiv lutning, så säger man att det råder en stark positiv korrelation. Om punkterna i stället är samlade kring en linje med negativ lutning talar man om negativ korrelation mellan variablerna.

Stark positiv korrelation

/Ny Svag negativ korrelation

/Ny „

x

Korrelation saknas

/Ny

x

Punkterna ligger väl samlade runt en linje som

har positiv lutning.

Punkterna ligger mer spridda kring en linje med

negativ lutning

Punkterna ligger inte längs någon linje

Kausalitet Men korrelationen säger inget om orsakssamband eller kausalitet, som det också kallas. I vårt exempel är det inte säkert att orsaken t i l l att nyfödda barn väger mycket är att barnet är långt. Det kan ju vara så att andra faktorer påverkar både längd och vikt.

Det är viktigt att skilja på begreppen korrelation och kausalitet. Kausalitet är ett orsakssamband medan korrelation är ett statistiskt samband, ibland kalllat siffersamband eller numeriskt samband.

S T A T I S T I K O 6 . 2 S T A T I S T I S K A S A M B A N D 213

Page 213: Matematik Origo 2b

Det finns många exempel där det finns en stark korrelation utan att det r imligtvis kan finnas någon kausalitet. Ett sådant samband kallas för skensamband. Ett exempel är det som visas i figuren här nedanför.

Förväntad livslängd vid födseln

Figuren visar sambandet mellan antalet tv-apparater per 1 000 invånare i ett land tv-appdrdier per i uuu uivdlidre i e n idiiu

och förväntad livslängd vid födseln.

> Antal tv-apparater per 1 000 invånare

På x-axeln anges hur många tv-apparater per 1 000 invånare som finns i ett visst land. På y-axeln anges hur lång förväntad livslängd det är på barn som föds i landet. Det finns alltså en stark positiv korrelation mellan antalet tv-apparater per 1 000 invånare och hur länge medborgarna i landet förväntas leva. Men hur gammal man blir beror knappast på hur många tv-apparater man har. Den troliga orsaken ti l l korrelationen är att i välutvecklade länder där man har många tv-apparater, så har man också råd med bra sjukvård. Sambandet är alltså ett skensamband. Vi kan se ett samband, men det beror inte på att den ena variabeln orsakar den andra.

I exemplet här ovanför är det relativt enkelt att inse att det inte rör sig om ett kausalt samband, trots att man hittat en så pass stark korrelation. I andra fall kan det vara svårare att avgöra om en stark korrelation är ett skensamband eller inte.

Kausal i tet

För att det ska vara ett kausalt samband mellan två variabler brukar man ställa upp följande tre grundkrav:

• Variablerna måste uppvisa korrelation.

• En förändring i den ena variabeln måste ske före förändringen i den andra variabeln.

• Man måste kunna utesluta att det inte är en tredje variabel som orsakar korrelation mellan de båda övriga.

Page 214: Matematik Origo 2b

Krav på kausalitet Det finns en korrelation mellan glassförsäljning och antalet drunkningso-lyckor. Men finns det ett kausalt samband dem emellan? Uppfyller sambandet de tre kraven?

Första kravet: Ja, det finns en korrelation. När glassförsäljningen är hög så är också antalet drunkningsolyckor som högst.

Andra kravet: Det är inte uppfyllt. Det är inte så att om folk äter mer glass så leder det t i l l att man drunknar.

Tredje kravet: I detta exempel är det enkelt att se att det finns en tredje variabel som påverkar de båda övriga. Här är vackert väder en orsak t i l l både att fler ger sig ut på sjön och att glassätandet ökar.

Det kausala sambandet skulle här kunna vara vackert väder som gör att folk köper glass och det vackra vädret gör att folk ger sig ut i båt eller badar.

Exempel: På en arbetsplats gjorde man en undersökning om trivseln. I den såg man att det fanns en korrelation mellan hög lön och hur bra man trivdes på jobbet. Företagets VD ville genast höja alla lönerna för att öka trivseln. Diskutera om det råder ett kausalt samband mellan hög lön och trivsel.

lösning: De två första kraven på kausalitet är uppfyllda: Enligt undersökningen så finns det en korrelation. Om man får en löneförhöjning, så blir man med största sannolikhet glad och trivs bättre.

Det tredje kravet är mer tveksamt: Hög lön är antagligen ett tecken på mer ansvar och kanske större möjligheter att kunna påverka sin arbetssituation och sina arbetsuppgifter. Då trivs man bättre. Anställda med lägre lön har troligen mindre möjlighet att påverka sin arbetssituation. Därför trivs man sämre. Det kan vara arbetsuppgifternas utformning som påverkar både lön och trivsel.

Svar: Man kan inte med säkerhet säga att det råder ett kausalt samband mellan dessa båda variabler. En tredje variabel, arbetsuppgifterna, kan påverka både lön och trivsel.

S T A T I S T I K O 6 . 2 S T A T I S T I S K A S A M B A N D 2 1 $

Page 215: Matematik Origo 2b

Exempel: Maria tränar längdskidåkning. Hon åker regelbundet ett spår som är 5 km långt och antecknar sina resultat i en tabell. Under fem veckor efter jul försöker hon förbättra sina tider.

Vecka 1 2 3 4 5

Tid 19 .34 19 .21 19 .11 19 .00 18 .53

a) Pricka in värdena i ett spridningsdiagram med hjälp av din räknare och avgör om det finns någon korrelation mellan värdena.

b) Kan man med säkerhet säga att det finna ett kausalt samband? Motivera ditt svar.

Lösning-. a) V i ska pricka in punkterna i ett koordinatsystem på räknaren. Tiden måste först omvandlas t i l l minuter:

53 18 min 53 s = 18 — min»

60 = 18,88 min

Vecka 1 2 3 4 5

Tid (min) 19,57 19 ,35 19 ,18 19 ,00 18 ,88

Tryck j j ^ J och välj l : Ed t t . I.agg in värdena för Vecka under L t och Tid ¥ ? P P ^ B ype: BB L± Jb. under L 2. För att kunna se punkterna i V 1 . . jfr- —

A i 1 SC- • l_1 räknarens koordinatsystem trycker du Y1 i s t : L 2

Mark: • Q . Cfffflrl Markera diagram

typ och lista som i skärmbilden t i l l höger. För att rita punkterna trycker du ( 1 och v ä l j e r 9 :ZoomStat .

I diagrammet ser man att det finns en negativ korrelation mellan antalet veck- • or Maria tränat och hennes åktider.

b) Ja, regelbunden träning förbättrar troligen resultatet men det kan förstås även vara andra faktorer, som exempelvis skidföret, som påverkat tiderna.

2 l 6 S T A T I S T I K O 6 . 2 S T A T I S T I S K A S A M B A N D

Page 216: Matematik Origo 2b

NIVÅ a

6201 Stämmer påståendena nedan? Det är för det mesta en positiv korrelation mellan

a) en persons inkomst och hans/hennes storlek på bostaden.

b) hur långt en person har t i l l skolan och hur ofta den personen kommer för sent t i l l skolan.

6202 Eva kastar pil. Tabellen visar hur många poäng hon får på tre pilar vid olika avstånd från tavlan.

Avstånd (m) 2 \ 4 5 6 7

Poäng 18 13 9 8 10 4

a) Gör ett spridningsdiagram och avgör om det finns någon korrelation mellan antalet poäng (y-axeln) och avstånd från piltavlan (x-axeln).

b) Är det troligt att det finns ett kausalt samband mellan avståndet och antal poäng. Motivera ditt svar.

6203 Påståendet "Om barn tillbringar mycket t id framför datorn så leder det t i l l övervikt" publicerades i en tidning. I samband med en hälsoundersökning av 11-åringar hade en skolsköterska därför slumpvis valt ut ett antal elever som fick svara på frågan "Hur lång tid per dag tillbringar du i genomsnitt framför datorn?" Resultatet blev:

Tid (min) 70 120 90 80 140 40 100

Vikt (kg) 36 32 28 39 33 31 35

Kan undersökningen stödja påståendet i t idningen?

6204 Vilken typ av korrelation, positiv, negativ eller ingen alls, kan man förvänta sig mellan följande händelser? Motivera ditt svar.

a) Trafiktätheten på en vägsträcka och antalet olyckor på vägsträckan

b) Utetemperatur och uppvärmningskostnad

c) Längd och vikt hos vuxna

d) Månfas och brottslighet

6205 Vid ett prov i matematik bad läraren några elever att ange hur många timmar de hade studerat inför provet. Läraren gjorde sedan en tabell som visade elevens studietid och resultat. Den såg ut så här:

Elev 1 2 3 4

Antal timmar 13 6 7,5 10,5

Resultat (poäng) 54 32 42 50

Elev 5 6 7 8

Antal timmar 5 11 9,5 10,0

Resultat (poäng) 40 49 51 40

a) Gör ett spridningsdiagram utifrån tabellen. Finns det korrelation?

b) Finns det ett kausalt samband mellan studietid och provresultat? Motivera ditt svar.

6206 Tabellen visar försäljningspris och körsträcka för ett antal begagnade Volvobilar som finns t i l l försäljning på en bilfirma.

Bil Körsträcka (1 000 mil)

Försäljningspris (1 000 kr)

1 15 110

2 24 80

3 5 280

4 7 240

5 11 170

6 20 100

7 38 20

Kan du hitta några samband och hur kan du i så fall förklara dessa samband?

6207 I media har man kunnat läsa följande rubriker. Diskutera om kausalitet kan finnas i dessa påståenden:

a) Rökning leder t i l l dålig hälsa.

b) Barn som äter mer grönsaker får högre betyg.

c) Barn som börjar tidigt i förskola ägnar sig oftare åt högre studier än andra.

S T A T I S T I K O 6 . 2 S T A T I S T I S K A S A M B A N D 217

Page 217: Matematik Origo 2b

NIVA 2

6208 Tabellen visar månadshyra, antal rum och boyta för ett antal hyreslägenheter i ett bostadsområde.

Antal rum Boyta (kvm)

Månadshyra (kr)

4 94 6 825

3 95 6 244

4 110 8 570

2 64 5 730

4 110 8 782

3 90 6 550

3 86 6 1 8 9

3 90 7 050

2 57 5 562

2 45 5 020

2 72 6 435

4 106 8 875

a) Vilken typ av korrelation finns det mellan boyta och månadshyra? Är det samma korrelation mellan antal rum och månadshyra?

b) Analysera sambandet mellan boyta och månadshyra utifrån de tre krav som gäller för ett kausalt samband. Är det ett kausalt samband?

6209 FN:s statistik från år 2003 visar spädbarnsdödlighet i promille av antal födda barn, och BNP i US-dollar/person, hos några latinamerikanska länder.

Land Spädbarnsdödlighet BNP

Nicaragua 36 2 450

Haiti 79 1 860

Chile 10 9 190

Kuba 7 5 259

Argentina 16 11 320

Mexiko 24 8 230

Gör ett spridningsdiagram över spädbarnsdödlighet och BNP. Verkar det finnas någon korrelation? Kan man dra någon allmän slutsats?

6210 Beskriv korrelationen och ge exempel hämtade Ö ur verkligheten för vart och ett av de tre

spridningsdiagrammen.

b)

X

6211 I tabellen ser du breddgraden (latituden) och årsmedeltemperaturen för 10 städer på norra halvklotet.

Stad Latitud Årsmedeltem-(grader) peratur (°C)

Bogotå 5 19

Mumbai 19 31

Casablanca 34 22

Dublin 53 13

Hong Kong 22 25

Istanbul 4 1 18

S:t Petersburg 60 8

Manila 15 32

Oslo 60 10

Paris 49 15

a) Rita ett spridningsdiagram och dra en linje som ansluter så bra som möjligt t i l l punkterna.

b) En punkt avviker starkt från linjen. Vad kan det finnas för skäl t i l l det?

c) Umeås latitud är 64 grader. Vilken årsme-deltemperatur kan man förvänta sig där?

2 l 8 S T A T I S T I K O E . 2 S T A T I S T I S K A S A M B A N D

Page 218: Matematik Origo 2b

Linjär regression

Med bäst anpassad ekvation menas ekvationen för den räta linje som

minimerar avvikelsen mellan linjen och de observerade värdena. Teorin bakom detta ligger utanför kursen.

U] kWh s E Iförb rukn H •

2 T 2 J

1 in fl 1 JU J

to m lustemperatur i i i i N.

to m lustemperatur i i i i N.

- i n i n 70 •t — — — — — — — —r-

Regressionsanalys Til l höger ser du ett spridningsdiagram som visar elförbrukningen vid olika utomhustemperaturer. V i ser att de utsatta värdena verkar följa en rät linje som lutar nedåt. Det råder alltså stark negativ korrelation mellan utomhustemperatur och elförbrukning. Det är därför rimligt att anta att elförbrukningen kan beskrivas med hjälp av en linjär modell, dvs. med ekvationen för en rät linje, y-kx+m.

Ett sätt att bestämma linjens ekvation är att först dra en rät linje som ligger så nära de observerade värdena som möjligt och sedan bestämma ekvationen för den linjen. Det senare gör man genom att bestämma linjens lutning och skärning med y-axeln. Men för att få en ekvation som är bättre anpassad ti l l observationsvärdena, så kan man använda den grafritande räknaren och göra en så kallad linjär regression. Räknarens inbyggda funktion för linjär regression hjälper oss att bestämma den bäst anpassade ekvationen t i l l de observerade värdena.

Exempel: Tabellen visar några mätvärden på skostorlek y och fotlängd x cm som hör ihop. Anpassa en rät linje till mätvärdena med hjälp av din grafritande räknare och bestäm linjens ekvation.

lösning: Vi prickar först in punkterna i ett koordinatsystem på räknaren. Följ instruktionen på sidan 216 och lägg in x-värdena under

och y-värdena under L 2 .

För att ta reda på den räta linje som bäst passar t i l l mätvärdena trycker du går t i l l C A L C och väljer 4 : l _ m R e g ( a x + b ) . Tryck sedan

r~Hi m i i [ 3 ( i

Den räta linjens ekvation är y= l,26x+ 8,21

Om v i ritar den räta linjen i samma diagram, så ser vi att punkterna sammanfaller väl med ekvationen.

X 23 24 27 29

y 37 39 42 45

LinReg y=ax+b a=1.263736264 b=8.208791209

J

S T A T I S T I K O 6 . 2 S T A T I S T I S K A S A M B A N D 219

Page 219: Matematik Origo 2b

NIVÅ 1 NIVÅ 2

6212 Anpassa en rät linje t i l l värdena med hjälp av räknaren och bestäm linjens ekvation.

X 1,7 2,1 3,2 4,9

y 7,5 8,3 11,3 16,7

X 12,3 23 ,1 1 34 ,2 52.2

y 178,5 328,5 502,3 775 ,7

6213 Tabellen visar sambandet mellan en persons utvecklade effekt, P watt, och personens hjärtverksamhet, N slag per minut. Bestäm ett samband som visar hur N beror av P.

P(W) 32 65 102 138 182

Af (slag/min) 101 120 150 155 187

6214 Anders vet att lufttrycket ändras med höjden över havet. För att undersöka vilket samband som finns antecknar han lufttryck och höjd över havet på fem olika väderstationer. Hans resultat ser du i tabellen.

Höjd över havet 42 91 147 m _ 236

Lufttryck (hPa) 1 008 1002 995 992 984

a) Beskriv sambandet mellan lufttryck och höjden över havet med ord.

b) Bestäm med hjälp av räknaren ekvationen för den räta linje som bäst beskriver sambandet.

6215 Molly planterar skog. Medelhöjden på de plantor som hon sätter ut är 11 cm. Varje år mäter hon sedan plantornas medelhöjd och för in resultatet i en tabell.

Tid (år) 0 1 2 3 4 S

Medelhöjd (cm) 11 19 30 39 45 56

a) Anpassa en rät linje t i l l punkterna och ange linjens ekvation.

b) Efter hur många år bör hon gallra skogen om man räknar med att det bör ske när plantornas medelhöjd är 2 meter?

6216 Elina säljer glass på stranden en sommar. Hon märker ganska snart att morgontemperaturen påverkar hur mycket glass hon säljer. Hon väljer slumpmässigt ut några dagar där hon känner t i l l både morgontemperatur och glassförsäljning. Undersökningens resultat blev:

Morgontemp. (C) 14 I 6 I 18 15 22

Såld glass (kg) 56 35 60 48 70

a) En morgon är det 12 grader. Hur mycket glass är det troligt att hon säljer den dagen?

b) Hon behöver sälja minst 45 kg per dag för att gå med vinst. Vilken morgontemperatur ska det minst vara då?

c) Vilket är lufftrycket vid havsytan?

nang och begrepp Q Vad är ett spridningsdiagram och vad kan det användas till?

O Ge ett exempel från vardagslivet, där det finns en positiv korrelation mellan två variabler.

O Beskriv vad som menas med stark positiv korrelation.

Q Vilken är skillnaden mellan korrelation och kausalitet?

O Förklara vad som menas med regressionsanalys.

2 2 0 S T A T I S T I K © 6 . 2 S T A T I S T I S K A S A M B A N D

Page 220: Matematik Origo 2b

Orkidéer och s a m b a n d

När Mahmoud studerar biologi ser han i en bok att man tror att det finns en positiv korrelation mellan kronbladens bredd och längd hos en viss art av iris. Han blir intresserad av att undersöka om det kan gälla även andra växtarter. Eftersom han just då har många blommande orkidéer av arten Phalaenopsis så börjar han med att ta stickprov på dessa. Han samlar in mätdata från 15 blommor. Resultatet presenteras i tabellen, där x är längden och y bredden i centimeter.

X 3,1 3,0 3,9 3,6 3,2 3,8 3,6 3,3 4,2 4 ,4 4,3 4,5 4 ,0 3,7 3,9

y 4,2 3,4 4,G 4,2 4,1 4,3 4,5 4 ,3 4,7 4 ,7 4 ,6 4,8 4 ,7 4 ,3 4 ,4

Gör en analys av Mahmouds data genom att

- beräkna medelvärde för kronbladens längd.

- beräkna standardavvikelse för kronbladens längd.

Spridningen kring kronbladens medianbredd visas i lådagrammet.

3,4 3,6 4,0 4,2 4,4 4,6

Bredd —>-» 4,8

cm

Rita ett lådagram som visar spridningen kring kronbladens medianlängd och jämför breddens och längdens spridning.

Finns det en positiv korrelation mellan kronbladens bredd och längd för de orkidéer som Mahmoud undersökt? Motivera ditt svar.

Bestäm regressionslinjen och beräkna med hjälp av den längden hos ett kronblad med bredden 5,0 cm. Beräkna också bredden hos ett kronblad med längden 0,5 cm. Hur säker kan du vara på dina resultat?

S T A T I S T I K O n - U P P C I F T 2 2 1

Page 221: Matematik Origo 2b

Gauss och gausskurvan

Normalfördelning som modell Gausskurva Den franske matematikern Abraham de Moivre (1667-1754) var den förste som behandlade sannolikhetsteori. Det gjorde han i boken the Doctrine of Chances: A Method of Calculating the Probabilities ofEvents in Play. Utifrån ett stort antal experiment och händelser visade han också upp en modell för hur olika typer av mätdata kan vara normalfördelade. Han visade även hur sannolikheten för att dö beror på åldern. Med detta som utgångspunkt ställde han upp en formel som liknar den som försäkringsbolagen använder än i dag för att beräkna pensionens storlek.

Men de Moivres arbete med normalfördelningen uppmärksammades inte. I stället blev det Pierre Laplace (1749-1827) och Karl Friedrich Gauss (1777-1855) som oberoende av varandra utvecklade tankarna kring normalfördelningen.

Tysken Gauss var den som praktiskt visade hur normalfördelningskurvan kan användas som en matematisk modell då man har ett tillräckligt stort antal mätdata. Därför var det han som fick ge namn åt kurvan. För att hedra Gauss avbildades han på en tysk tiomarkssedel. I bakgrunden på sedeln syns kurvan som fått namnet gausskurva.

Normalfördelningen för olika värden på p och a .

V i l ken av kurvorna

här ovanför v i sar en

förde ln ing s o m har det

s tö r s ta mede lvä rdet

respekt ive den s tö r s ta

s t anda rdavv i ke l sen?

Funktion för normalfördelningen Eftersom normalfördelningskurvan ser ut som en klocka så kallas den också ibland för klockkurva. Kurvans utseende beror på att en normalfördelad variabel oftast antar värden som ligger nära medelvärdet. Normalfördelning är en viktig modell för statistiska presentationer och beräkningar. Mätresultat från naturen och från samhället visar sig ofta vara normalfördelat. Det beror på att verkliga parametrar ofta uppvisar små, oberoende, slumpmässiga variationer.

En normalfördelning beskrivs av funktionen

f(x) = rjV2rt

(x- iO-2 c 2

där u och a är normalfördelningens karakteristiska konstanter: u är medelvärdet, som ofta kallas väntevärdet, och O" är fördelningens standardavvikelse. Denna normalfördelning betecknas med N(p, a).

Gauss gjorde betydande upptäckter inom många matematiska områden. En av de upptäckter som utöver normalfördelningskurvan haft betydelse för statistiken är minsta kvadratmetoden. Metoden används vid regressionsanalys för att anpassa observerade värden t i l l en matematisk modell så att felet blir så litet som möjligt.

2 2 2 S T A T I S T I K O H I S T O R I A

Page 222: Matematik Origo 2b

BALANSVAGEN

Konstruera en "balansvåg" med hjälp av en styv pappremsa. Gradera remsan och gör ett upphängningshål mitt emellan siffrorna 7 och 8 som figuren visar. Använd sedan likadana klädnypor och placera dem vid de markeringar som anges för de olika punkterna.

Om det hänger klädnypor vid 2,4 och 11, var ska man då placera ytterligare en klädnypa för att få jämvikt?

Ge exempel på hur man kan placera ytterligare två klädnypor för att få jämvikt om det i stället hänger klädnypor vid 2, 5 och 11?

Vad händer om man sätter ytterligare en klädnypa mitt under upphäng-ningspunkten?

Sätt klädnypor vid talen 2,4, 5, 6,9 och 10. Var ska upphängningshålet placeras för att det ska bli jämvikt?

Ge förslag på sju tal som ger jämvikt vid sitt medelvärde, median och typvärde.

O CD I -m 2 o n Z C z o m 73 V) O: * Z z n > 73

SAMBAND Med hjälp av spridningsdiagram kan man undersöka om det kan finnas ett samband mellan olika observationer, t.ex. mellan ett antal personers kroppslängd och skostorlek. Sambandet, eller korrelationen, mellan kroppslängd och skostorlek skulle t i l l exempel kunna se ut som i det andra diagrammet.

j l l l l l l l l l l l

Negativ korrelation Positiv korrelation Ingen korrelation

Hitta på egna exempel som du tror skulle kunna passa in på de olika spridningsdiagrammen. Motivera dina förslag.

Tänk dig att du ska lägga in en linje i vart och ett av de första två diagrammen. Hur skulle du då gå t i l l väga?

Förklara betydelsen av linjens lutning. Vilken nytta kan man ha av den inlagda linjen?

Använd räknarens inbyggda funktion för linjär regression och anpassa en ekvation av formen y=kx+ m t i l l mätvärdena i tabellen.

Antal produkter

Tillverkningskostnader

200

2 300

500 700

3 500 4 300

1 0 0 0

5 500

Gör en tolkning av din ekvation och använd sedan ekvationen för att beräkna hur många produkter som kan tillverkas för 15 000 kr.

S T A T I S T I K O P R O B L E M OCH U N D E R S Ö K N I N G A R 223

Page 223: Matematik Origo 2b

Statistik

Rapportering • presentation av resultat

• lägesmått

• spridningsmått

r Lägesmått • medelvärde

• median

• typvärde

Samband • spridningsdiagram

• korrelation

• kausalitet

• regressionsanalys

Spridningsmått • variationsbredd

• kvartil

• kvartilavständ

• percentil

• standardavvikelse

Presentation av spridning • spridningsdiagram

• lådagram

• normalfördelningskurva

224 S T A T I S T I K O T A N K E K A R T A

Page 224: Matematik Origo 2b

1 En bonde skulle sälja sju lamm. I en annons uppgav han att lammen vägde ungefär 16,5 kg. Lammens vikt i kilogram var:

15,2 17,9 19,7 15,3 16,5 18,0 16,1

a) Var det medelvärdet eller medianvärdet han hade angett?

b) Den första kunden som hörde av sig ville köpa de tre största lammen. Vilken medelvikt fick de som blev kvar?

2 Emmabodas pojklag i fotboll förde statistik över de mål som de släppt in under årets matcher. Så här såg resultatet ut:

Antal mål 0 1 2 3

Antal matcher 2 4 5 1

a) Vilket är typvärdet?

b) Beräkna medianen.

c) Beräkna variationsbredden.

3 En grupp på elva manliga ishockeyspelare väger tillsammans 990 kg. Nio kvinnliga gymnaster har en medelvikt som är 50 kg. Beräkna medelvikten för den grupp som består av både ishockeyspelarna och gymnasterna.

4 Ledningen för en varuhuskedja gjorde en undersökning av en viss avdelning på deras varuhus. De angav arbetstimmar och motsvarande försäljningssumma. Så här såg resultatet ut:

Arbetstimmar (h/vecka) Försäljning (kr/vecka)

170 180 000

190 210 000

170 165 000

200 300 000

160 120 000

220 240 000

190 195 000

160 150 000

a) Gör ett spridningsdiagram och avgör om det finns någon korrelation mellan försäljning och antalet arbetstimmar.

b) Är det ett kausalt samband mellan försäljning och antal arbetstimmar? Motivera ditt svar.

5 Histogrammet visar längden på eleverna i en klass på det samhällsvetenskapliga programmet vid en skola. Antal elever

> Längd (cm) 150 1G0 170 180 190 200 210

a) Beräkna medelvärdet.

b) Beräkna medianen.

En hälsovårdsinspektör utförde mätningar av halten av marknära ozon i luften vid torget i Småstad under en månad. Medelvärdet för ozonhalten var 43 mg/m 3 och standardavvikelsen 2,7 mg/m 3 . Om man antar att halten av ozon var normalfördelad, mellan vilka värden låg då ozonhalten under 95 % av årets dagar?

S T A T I S T I K O B L A N D A D E U P P G I F T E R 225

Page 225: Matematik Origo 2b

a. UJ r-LL

a a 3 UJ a < a z < - i m

7 Vid en kontroll av 100 paket frukostflingor fann man att vikten var normalfördelad med medelvikten 530 g och standardavvikelsen 10 g. Hur stor är risken att du får ett paket som väger mindre än 510 g, om du köper ett paket flingor från detta parti?

8 Man mätte i ett stickprov tiden som det tog för sju elever i en grupp att genomföra en uppgift. Resultatet såg ut så här: 47, 38,41,44, 35, 37 och 45 minuter.

a) Beräkna medelvärde och standardavvikelse.

b) Vad händer med medelvärde och standardavvikelse om de får en tilläggsuppgift som alla arbetar med i 10 minuter?

9 Bestäm vilken typ av korrelation som finns mellan värdena.

X 2,1 4 ,8 1 7,2 8,8

y 2,7 10,8 16,9 23,3

10 Ange fem tal som har typvärdet 8, medianen 10 ö och medelvärdet 12.

NIVÅ 2

11 När eleverna frågade matematikläraren hur gammal han var svarade han: Vi är fem i familjen och medelåldern är 28 år. Om vi räknar bort mig är medelåldern 21 år. Hur gammal var läraren?

12 Vid en stickprovskontroll av spik mätte man 100 spikar. Medellängden var 75 mm och standardavvikelsen 1 mm. På paketet står längd: 75 ± 2 mm. Hur många procent av de spikar som tillverkas håller inte måttet?

13 Gör en uppgift där medianen är 17 530 kr, ö kvartilavståndet 4 320 kr och variationsbredden

8 200 kr. Beräkna medelvärdet.

14 Vid ett företag får alla anställda en bonus på 2 000 kr. Hur förändras medelvärde, median, variationsbredd och kvartilavständ på de anställdas inkomst?

15 Mia ska hyra bil en vecka för en semesterresa. I tabellen ser du kostnaden för bilhyra för olika körsträckor.

Körsträcka (mil) 18 25 32 45 52

Kostnad (kr) 1 6 4 6 1 730 1 814 1 9 7 0 2 054

a) Anpassa en rät linje där kostnaden är en funktion av körsträckan. Skriv linjens ekvation.

b) Vilken är milkostnaden?

c) Vilken är den fasta kostnaden?

d) Vad kostar det att hyra en bil och köra 50 mil?

16 Beräkna och jämför standardavvikelse, variationsbredd och kvartilavständ på följande serier av stickprov.

Serie A 5,7 4 ,4 5,6 3,5 5.4 3,9 5,5

Serie B 4,6 5,4 8,6 5,7 6,8 5,0 7,7

17 Fredrik ska byta jobb och är kallad ti l l anställningsintervju. Han vil l gärna ha högre lön än han har nu och för att ta reda på vad han bör begära så jämför han lönerna på den nya arbetsplatsen med hans nuvarande. Medelvärdet är detsamma och de båda arbetsplatserna har ungefär lika många anställda. Lönespridningen visas med hjälp av lådagrammen.

Nuvarande jobb:

Nya t

jobbet:

> 15 000 20 000 25 000 30 000 35 000 40 000

a) Jämför lönerna på de två arbetsplatserna.

b) Vad tycker du att han ska begära i lön om han tjänar 28 000 kr på sin nuvarande arbetsplats?

226 S T A T I S T I K O B L A N D A D E U P P G I F T E R

Page 226: Matematik Origo 2b

18 En lärare gjorde ett stickprov på 10 elevers resultat av ett prov i matematik och på resultatet av ett prov i engelska för samma elever. Proven hade samma maxpoäng.

Matematik (poäng) Engelska (poäng)

52 42

18 39

31 60

68 54

78 61

16 58

94 46

40 49

75 60

64 67

a) Beräkna medelpoängen och standardavvikelsen för de båda proven.

b) Jämför resultaten på de båda proven.

19 Mario åker buss t i l l skolan. Han behöver 35 minuter på sig för att komma i tid. En vecka mäter han den tid det tar för honom att åka t i l l skolan.

Dag Må Ti Ons To Fr

Restid (min) 28 19 24 33 27

Antag att restiden är oberoende av veckodag och att den är normalfördelad. Hur stor är risken att han kommer för sent?

20 Fabian och Felix är klubbkompisar och tävlar mot varandra i bågskytte. Här följer en sammanställning av deras resultat

Fabian 10 7 8 6 { 10 { 9 8 6 10 5

Felix 9 10 7 6 10 8 5 7 7 10

Eftersom båda har samma totalpoäng, bestämmer de att den som har det jämnaste resultatet ska utnämnas ti l l segrare. Vem vann?

21 De åtta snabbaste löparna i Stockholm Marathon 2011 hade följande sluttider:

2:14:07 2:15:09 2:19:35 2:22:38 2:14:23 2:19:34 2:20:05 2:22:51

a) Bestäm kvartilavståndet.

b) Bestäm standardavvikelsen.

NIVÅ 3

22 Sara kör 12,5 mi l för att hälsa på en kompis. Under de första 9 milen är hennes medelhastighet 93 km/h. Sedan minskar medelhastigheten t i l l 68 km/h. Beräkna medelhastigheten på hela sträckan.

23 De fem talen 5, 2, x, 7 och 6 är alla heltal.

a) Vilka värden får medianen för olika värden på x? Motivera.

b) För vilka värden på x får de fem talen samma värde på median och medelvärde?

S T A T I S T I K O B L A N D A D E U P P G I F T E R Z2J

Page 227: Matematik Origo 2b

DEL 1 Utan räknare

1 Avgör om det finns någon korrelation mellan punkterna (2,6), (4,3), (7,4), (9, 2) och (11,1) och ange i så fall om den är positiv eller negativ.

2 Lönerna i ett företag med sju anställda är 24 000 kr, 22 000 kr, 27 000 kr, 25 000 kr, 68 000 kr, 24 000 kr och 27 000 kr. Vilket lägesmått beskriver lönerna bäst? Motivera ditt svar.

3 Lådagrammet visar resultatet av ett lopp på skidor.

' 1 1 1 1 > • 1 1—> 60 70 80 90 100 110 120 130 140

Minuter

a) Vilken t id hade segraren?

b) Efter hur lång tid hade hälften av deltagarna kommit i mål?

c) Vilket var kvartilavståndet? 4 En undersökning av olika kriminalvårdsformer i en kommun visade att 61 %

av dem som dömts t i l l skyddstillsyn på anstalt hade återfallit i brott efter en tvåårsperiod. Av dem som fått skyddstillsyn utan anstaltsvård var motsvarande återfallsfrekvens 30 %, och för dem som fått villkorlig dom 12 %. Kommunalråd Holgersson menar att det tydligt framgår att ju mindre tvångsmässiga åtgärder de dömda utsattes för desto färre brottsåterfall blir det. Försök att finna en annan förklaring än den Holgersson ger.

5 I en djuraffär paketerar man hundgodis i påsar för att sälja på en hundutställning. En dag visar det sig att vågen man använt inte nollställts på morgonen. Vågen har därför visat 150 g för mycket. Hur ändras medelvärde, median, kvartilavständ och variationsbredd på de redan vägda påsarna?

6 a) Tolka begreppet percentil i följande exempel.

Lenas lön ligger ovanför 90:e percentilen i företagets lönejämförelse.

• Ett sängföretag använder den 95:e percentilen av vuxnas längd som ett mått på sängens längd.

I en affär finns jeans från 5:e t i l l 95:e percentilen av alla storlekar som tillverkas av ett visst märke.

• En students resultat ligger på den 82:a percentilen.

b) Formulera och tolka ett eget liknande exempel som innehåller begreppet percentil.

7 En maskin som fyller på mjölk i förpackningar är inställd så att medelvolymen är x = 1 040 ml och standardavvikelsen a = 20 ml. Hur stor är risken att du får mindre än 1 liter mjölk när du köper en förpackning som den maskinen har fyllt på?

ZZS S T A T I S T I K O K A P I T E L T E S T

Page 228: Matematik Origo 2b

Med räknare

8 En trädgårdsfirma sålde buskar på postorder. En sorts prydnadsbuskar skulle vara ungefär 85 cm höga. På våren kontrollmätte man ett antal sådana buskar för att se om det stämde. Resultatet blev följande: 49, 51, 56, 78, 84, 84, 84, 87, 87, 89, 90, 91, 92, 92, 95, 97 och 99 cm

a) Beräkna medelvärde och median.

b) Borde trädgårdsmästaren ändra värdet på planthöjden i nästa katalog?

Amanda hade plockat äpplen. Histogrammet visar äpplenas vikt.

a) Hur mycket vägde äpplena sammanlagt?

b) Beräkna äpplenas medelvikt.

Antal äpplen

H—> Vikt (g) 100 105 110 115 120 125 130

10 På ett dagis ville man köpa in stövlar som barnen kunde låna. Därför antecknade man barnens skostorlek. Resultatet ser du i frekvenstabellen. Rita ett lådagram som visar spridningen av stövlarnas storlek.

Skostorlek 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

Frekvens 2 0 4 G 2 0 6 2 4 \ 4 5

11 Beräkna kvartilavständ, standardavvikelse och variationsbredd för följande serier. Diskutera spridningen.

A: 5, 7,4, 4, 5, 6, 3, 5, 5,4 B: 4,6,15,3,3,4, 3,3,4,3

12 Använd räknaren för att bestämma den räta linje som är bäst anpassad t i l l följande mätvärden:

X 2 4 5 7 11

y 23 50 65 100 158

13 För att söka t i l l en elitutbildning i USA, så fick Ebbe göra ett prov i tre delar. Resultatet anses vara normalfördelat. Medelvärde och standardavvikelse beräknades för varje delprov.

Muntlig del Matematisk del Logiska resonemang

Medelvärde 84 118 14

Standardavvikelse 10 18 4

Ebbes resultat var 90 på den muntliga delen, 133 på den matematiska och 18 på delen med logiska resonemang. På vilken del lyckades Ebbe bäst?

16 % av alla sökande kom in. Var bör de ha satt poänggränserna på de olika delproven? Kom Ebbe in? Motivera ditt svar.

S T A T I S T I K O K A P I T E L T E S T 229

Page 229: Matematik Origo 2b

Facit

Algebra 1101 a) 9a

b) b c) 16a + 8b

1102 a) 4x + 16

b) - 1 5 x + lOy c) 3xy + Ix - 5

1103 3a + 2a = (a + a + a) + (a + a) = a + a + a + a + a = 5a

1104 a) 3 x - 8

b) y + 8

c) - 2 x + 7y

1105 a) 48b- 12a b) 21x + 42

c) 1 6 x - 4 0 >

1106 a) 7 2 - 2 4 x

b) b

1107 a) 25ab-25a2

b) 22X2 - 77x c) 4,5xy + lOy 2

1108 a) x = 14,5

b ) x = 3

1109 a) 48b + 4 0 a - 3 2

b) 14X2 + 6x + 2xy

c) 14m - 4 ,7n - 0,6

1110 a) a b) 3b

c) 2 och a2

1111 a) 3(fl + 2)

b) 4 y ( y - 3 )

c) 7 a ( 2 - 3 b )

d) 2xy (14-27y)

1112 a) 1 0 x + 15

b)12X 2 + 32x

1113 a) A = (9x + 4,5y) a.e.

b) A = ( 5 x + 35) a.e.

1114

1115

1116

1117

1118

1119

1120

a) x = - 6

b) x = 2

A = 15x a.e.

a) 8a + 46 b) 102

x^ + y a.e.

a) x : _7_ " 10

b ) x = 6

1121

1122

1123

1124

1125

1126

1127

1128

a) 47a + 17b

b) 69 - 75x

c) 6a- 1 6 a 2 - 2 8 b

2a(5a + 3) betyder att 2a ska multipliceras både med 5a och med 3. Eftersom det är additionstecken i parentesen bl ir resultatet 10a 2 + 6a. Jämför med t.ex. 8(3 + 4) = = 8- 3 + 8- 4 = 2 4 + 32 = 56 eller på annat sätt 8(3 + 4) = 8 - 7 = 56.

a) 27/-45YZ- \4y + z b) -51

a) 4a - 1

b) 3x

a) (2a- 18) cm

b) ( a - 9 ) cm

a) 3 och 2x

b ) 4,5 och -3 ,5

5 cm respektive 12 cm

a) 2X2 + 13x + 21 b) - 3 X 2 + 28x - 9

c) fl2-3a- 10

a) 12a 2 + 26 f l+ 12

b) 3 m 2 + 7m - 4 0

c) -ÖOx 2 + 9 8 x + 18

a) 2 f l 2 - « b - 3 b 2

b) 6x 2 + 2 4 x - 8 x y - 3 2 y

c) 2 1 f l 2 - 4 7 a b + 20b 2

1129 (2X2 + 7 x - 4 ) a.e.

1130 a) - 6 a 2 + 3 3 a - 2 4

b ) - 9 b 2 - 19b + 30

1 1131 a ) x =

b ) y =

1132 Anna har rätt. Fel tecken på (-3) • ( - 5 ) Rätt s v a r : x 2 - 8 x + 15

Ix2 \ 1133 a) | y + x j a . e .

b) (2x2 + x-6) a.e.

1134 a) 1

b) 10 och 80

c) 3x och 2

1135 a) x = |

b ) x = 2

1136 /4 = ( 1 3 x 2 - x + 2 )a .e .

1137 a) - 2 x , - 2 x 2 och 28

b) 4 , - 9 o c h 2 x 2

c) T.ex. 4 , - 3 x , 3 och 15x

1138 9 x 2 + 1 6 x - 18

1139 x = 2

1140 a) (a + 2) cm b) (2a + 3) cm

1201 a ) x 2 + 6x + 9

b) x 2 + 12x + 36

c) x 2 + lOx + 25

0 ) 9 ^ + 12x + 4

1202 a ) x 2 - 1 0 x + 25

b) x 2 - 2x + 1

c) x 2 - 2 0 x + 100

d) 4X 2 - 12x + 9

1203 a) 1 6 x 2 - 1 6 x + 4

b) 144x 2 + 72x + 9

c) 25X 2 + 50xy + 25/

d) 4X 2 + 2xy + 0,25/

*30 F A C I T

Page 230: Matematik Origo 2b

1204 I l i ja har rätt. Sacha har missat "dubbla produkten". Rätt svar: 16x 2 + 24x + 9

1205 a) x 2 - x + 1

b) 6 4 b 2 - 1 1 2 b + 49

c) 8 1 a 2 - 5 4 o x + 9x 2

d) 1 0 0 b 2 - 2 a b + 0 , 0 1 a 2

1206 a) A = [Ax2 + 12x + 9) a.e.

b ) A = ( 9 y 2 - 3 0 y + 2 5 ) a . e .

1207 Ina har rätt. Sandra har fel tecken på "andra termen i kvadrat". Rätt svar: 4f - 20y + 25

1208 a) 3

b) 4

c) 5

1209 (a + b ) 2 - 4 a b = = a2 + 2ab + b 2 - 4ab = = a 2 - 2 a b + b 2 = ( a - b ) 2

v.s.v.

1210 a) 2 y o c h 2 0 y

b) 2a

1211 a) 2 704

b) 3 969

c) 1 296

1212 V L = a 2 - 2ab + b 2

H L = b 2 - 2ab + a 2 = = a 2 - 2ab + b 2 = V L

H L = V L v.s.v.

1213 a) - 8 a 2 - 8 a b

b ) 3 m 2 - 3 n 2

1214 o f a

(o - b)2

Den färgade kvadraten har sidan a-b och arean (a - b ) 2

(a-b)2 = a2-2b(a-b)-b2 = = a 2 - 2ab + 2b 2 - b 2 = = a2-2ab + b2

v.s.v.

1215 a)x2-25 b) 4 9 a 2 - 8 1

c) 36X 2 - 9/

d) 4z 2 - 25

b)x-

1216 a) (4/-64) a.e. b) ( 9 a 2 - b 2 ) a.e.

1217 a ) x = - 4

1 4

c) x = 2 5

1218 a) 6, 6 och a2

b) 3b, 1 och 1

1219 a) 2 a 2 + 32

b) -Ab + 8

1220 a) 4 5 x 2 - 8 y 2

b) 2 0 X 2 - 60x + 89

1221 a) 6 391

b) 1 599

c) 391

1222 a) H L = 4 5 2 - 5 2 = = (45 + 5 ) ( 4 5 - 5 ) = = 50 • 40 = V L

b) 8 5 2 = 80 • 90 + 25 = 7 225

c) Enl igt konjugatregeln har v i ( x + 5 ) ( x - 5 ) = x 2 - 2 5 f ö r alla tal x. Al ltså gäller att x 2 = ( x + 5 ) ( x - 5 ) + 25 oavsett värdet på x . Det gäller förstås även om inte x slutar på 5, men då är det inte särskilt effektivt att använda knepet.

1223 Hela figuren har ytan a2 - b2. Efter omfördelning kan figuren få utseendet

1224 a

b

c

d

1225 a

b

c

1226 a b

1227 a

b

o + b

(a + b)(a-b) = a2-v.s.v.

(« + 2 ) 2

( x + 3 ) 2

( 5 + 3 t ) 2

( y + 7 ) 2

(y + 4 ) ( y - 4 )

( 2 x + l ) ( 2 x - 1)

(a + 3 b ) ( a - 3 b )

( « - 9 ) 2

( 3 c + 7 ) ( 3 c - 7 )

a + 6

x - 5

b 2

1228 2 (x + 2 ) 2

1229 a) 2 ( x + 12) 2

b) 4CV2 + 4)

c) - ( z - 3 ) 2

1230 0 , 2 5 ( a - b ) 2

1231 . ) i ± | a - b

b) 2 x - 3 y

1232 ( x - l l ) d m

1233 (8 -2f) cm

1234 (a + b ) 2 - 4 a b = = a 2 + 2ab + b 2 - 4ab = = a 2 - 2ab + b 2 = (a - b ) 2 > 0 v.s.v.

1301 a)

Page 231: Matematik Origo 2b

1303 a)

b)

1309 a)

1304 a) y m i n = 0

b) ymm = - 3

1305 a ) y m i n = - 4

b) ym!a = 5

1306 A - 2 ; B - 5 ; C - 4 ; D - 1; E - 3

" 0 7 a ) y m a x = 7

b) y m ax = - 4 > 5

c) y m , „ = -3 ,25

1308 a)

1310 a)

-4

1311

1312 Ca 1,5 m

1313 a ) / ( 3 ) = 3

b) x = - 4 och x = 2

c) x I = - 3 och x 2 = 1

1314 f. Inget

k 1

1315 x , = - l ; x , = 6

1316 a) x , = 2

b) x 2 = 8

1317 a) x , = - 5 ; x 2 = - l

b) Saknar reell lösning

c) x , = 0; x 2 = 4

1318 a ) x , = 2 ; x 2 = - 4

b) x , = x 2 = 3

c) x , = 0; x 2 = 8

1319 a) 18

b) Xj = - l , 2 ; x 2 = 7,2

c) T v å

1320 a) -6 ,25

b ) x , = - 2 , 5 ; x 2 = 2,5

c) T vå

1321 a) x = 1 o c h x = 5

b) x , = l ; x 2 = 5

c) X[ = 0; x 2 = 6

1322 a) Xj = - 3 ; j t 2 = l

b) x , = - 0 , 8 ; x 2 = 10,8

c) x , = 2,4; x 2 = 4,6

1323 x , = - 3 ; X j = -1

1324

1325 9,0 cm

1326 4 6 c m

1327 a) 18,6 m

b) 8,0 m

1328 a) Symmetri l injen ligger mittemellan nollställena, dvs. på x = —4. Symmetr i ger att

/T-6)=/(-2)=-5. b) För x = - 4

1329 Ca 110 km/h (112)

1330 1,1 s

1331 3,2 m

232 F A C I T

Page 232: Matematik Origo 2b

6 Blandade uppgifter 1 a) a + 10

b) 4x + 7

c) - a + 7b

2 a) 15x + 6

b) 1 2 a 2 - 8 a b

c) 7 X 2 + 8xy

3 a) 5 ( x + 2)

b ) a ( 2 0 + a)

4 a) 81 + 54X+9X2

b) 2 5 z 2 - 1 1 0 z + 121

c) 1 6 b 2 - 121a 2

5 a) 14a(4a 2 + 3)

b) ( y - l l ) 2

c) (3a + 6 ) ( 3 a - 6 )

6 a) x = 3

b) x = 2

c) x = 6

7 a) 2,5a - 2b + 3,5

b) ix2 + 6x2y-9xy

8 a) - 2 2 X - 1 3

b) - l l x + 2

c) 4x

5x-7 9 a)

b)

c)

ix 5 x - 3

3x a

2b

10 a) A = (6x + 6) a.e.

b) A = ( 2 4 - 3 y ) a.e.

c) A = (8a + 12b) a.e.

11 a)

b ) /

X \ 1

l ii

12 a) T v å

b) T v å

13 Pär-Anders har rätt. Mie har missat "dubbla produkten". Rätt svar: 4X 2 + 20x + 25

14 a) ( 0 , - 3 )

b) - 4

c) x = -1 och x = 3

d) x , = - l ; x 2 = 3

15 a) 3 och 5

b) 2 och 4

c) 3m; 5n och 3m; 5n

16 a) 4 a 2 + b 2

b) 50a 2 - 30ab

c) 18X2 + 12xy

17 a) 6 561

b) 8 464

18 a) A = (öx 2 + 16x) a.e.

b) A = (y2 - xy) a.e.

c) A = (25a 2 b + 10ab 2) a.e.

d) A = ( 2 a 2 + a b - b ) a.e.

19 Väl ja värden runt symmetr i l in jen x = - 3 och ändra graderingen av axlarna (skalan) .

20 a) x , -2 ; x , = 3

21 a)

b)

b) x , = 0,27; x 2 « 3,73

3 + 2x

2a

c) x - 2y

d ) 2fLzi

22 (a - b) (a -b) = a2 - ab - ab-b2 = = a 2 - 2ab - b 2

23 a) 7x

b) 9 a - 1 1 b - 5

x + 3 24 a)

b ) '

3 - x

( r ± Z y - 7

25 a) 64 m (63,75)

b) 125 m

c) 10 sekunder

d) V i d t = 2 s och ( = 8 s

26 Ca 34 m 2 (33,75)

27 a) Det minsta värdet ligger på symmetri l injen.

b) O m funktionen har två nollställen, så ligger symmetri l inje mitt emellan dem.

c) I fall funktionen saknar nollställen.

28 a)

b)

q + 2b 3

2m - n 3(2m + n)

,„ , x2 + 7x 29 a) a.e. 2

b) V2^+ 14x + 49 Le.

30 a ) x = - ^

b ) a = ^

c) x = - 5

31 a) 3a; 5 och 35

b) 3; x ; 2y, x och 2y

c) 6n; 2m och 30n 2

32 a) 21 • 19 = ( 2 0 + 1 ) ( 2 0 - 1) : = 400 - 1 = 399

b) 2 2 2 = (20 + 2 ) 2 = = 400 + 80 + 4 = 484

c) 89 2 = ( 9 0 - l ) 2 = = 8 1 0 0 - 180+ 1 = 7921

? Kapiteltest 1 a) 6x + 16X2

b) 3 a 2 + 2ab + 2 1 a + 14b

c) 4/ - 24y + 36

2 B

F A C I T *33

Page 233: Matematik Origo 2b

-2 7

2

- 1

-2

-1

2

7

4 a) 4 f l ( l + 3b)

b) ( f l - 3 ) 2

5 a) - 4

b ) / ( - 2 ) = - 3

c) = - 3 ; x 2 = 1

d) X] = - 4 ; x 2 = 2

6 i = 3

7 a) 3 x - 1

» f e l x + 4

8 Kvadraten har 1 c m 2 större area än rektangeln.

9 a) B

b ) x , - i ; x 2

c) x , = - 3 , 4 ; x 2 ~ 1,4

d) x , = - 4 ; x 2 = 2

10 a) 6x - 8

b ) 2 X 2 - 6x + 2

11 a ) / l - l ) = - 5

b) Största värdet är y = 7,25

c) x , = - 0 , 1 9 ; x 2 - 5,19

12 • 35 m

• V i d vi lken hastighet är stoppsträckan 0 m.

• Ett nollställe

• O.OOSv2 + 0,15v = 50 (egentligen olikheten 0,005v 2 + 0,15v < 50)

• x • 86. Aziz kan köra högst 86 km/h , om han inte ska köra på trädet.

Andragradsekvationer

2101

2102

2103

2104

2105

2106

a) x = ±9

b) x = ±11

c) x = ±10

a) x = ±0,5

b) x = ±0,2

c) x = ±^ 4

a) 8 cm

b) 0,3 dm

c) 2,5 cm

a) x = ±5

b) x = ±1

a) y - ±4,47

b) m-±3,16

c) r = ±l , 78

d) x - ±2,24

48 cm

2107 a) t = ±V5

b) a = ±V6

c) Saknar reella lösningar

2108 a ) x = ±7

b ) x = ±V7

2109 a) A : g(x) = Ix2 - 8 B:f(x) =x2-4

b) Funktionens nollställen är samma som ekvationens rötter, eftersom y = 0 v id nollställena.

c) Ekvat ionen 2 X 2 - 8 = 0 kan skrivas om til l x 2 - 4 = 0, genom att båda leden divideras med 2.

2110 6 cm och 8 c m

2111 a) A , C , F

b) B, E

2112 a) x , = 7 i ; x 2 = -li b) x , = 11 i; x 2 = - l l i

c) Xj = 4 i ; x 2 = —4»

d) y, = 5i; y2 = -5i

2113 a) x , = 3J; X 2 = -3»

b) yl = 6i; y2 = -6i c) r, = iVlT; t2 = - iVT7

d) 5 , = 3 iV3 ; s 2 = -3iV3 (JV27 = n/9 • V J = 3P/3)

2114 Annal isa menar troligen att ekvationen saknar reella lösningar, medan Nina har funnit de imaginära lösningarna

x = ±mo~.

2115 a) T.ex. 1

b) T.ex. V2

c) T.ex. i

2116 O m x = 10/el lerx = - l O i , så är x 2 = lOOr -100. En tänkbar ekvation är därför x 2 = -100 .

2117 Ekvationen saknar reella lösningar och därmed saknar grafen nollställen.

2118 a ) x = ± l

b) x = ±V3

c) x = ±2i

2119 a ) x , = 0 ; x 2 = 8

b) x , = 0 ; x 2 = -13

c) X[ = 0; x 2 = 36

2120 a) x , = 1 2 ; x 2 = 4

b ) x , = 1 0 ; x 2 = - 6

5 2

c) x , = 3; x 2

2121 a) x , = 0 ; x 2 = - 8

b ) x r

C) X! l

2122 a) B

b) A

c) C

2123 a) x ,

0 ; x 2 = 21

0 ; x , = -1

0 ; x 2

b) X[ = 0 ; x 2 =

c) x , = 0; x 2 = 1

2124 a) T . e x . x ( x - 9 ) = 0

b) T . e x . x ( x + 5) = 0

c) T.ex. ( x - 2 ) ( x + 3) = 0

2125 5 s

2126 En enkel lösning genom faktorisering kräver att H L = 0, så att man kan sätta respektive faktor i V L t i l l 0.

2127 a = - 2 ; b = 1 eller a = - -; b ••

2128 T.ex. 3x 2 + x = 0

2129 a) x , = 7 ; x 2 = -1

b) X[ = 5 ; x 2 = - 9

c) x , = l ; x 2 = 3

234 F A C I T

Page 234: Matematik Origo 2b

2130 a) x , = 5 ; x 2 = - l

b) x , = 3; x 2 = - 9

c) x , = 9; x 2 = - 3

2131 a) x = 1

b ) x = 3 2

9 ; x , -1

2132 V L i ekvationen ( x - 3 ) 2 = 36 är skriven i kvadratform. Man kan därför lösa ekvationen genom att inse att x - 3 = ±6, vilket påminner om lösningen ti l l x 2 = 36.

2133 V L är l ika i ekvationerna, eftersom (x + 7 ) 2 = x 2 + 14x + 49.

2134 a) 4

b) 81

c) 1

< 2135 a) x = 1

b) x , = - 3 ; x 2 = - 5

c) x , = 8; x 2 = - 2

2136 a) x 2 - 16= (x + 4 ) ( x - 4 )

b) x = ±4

c) (x + l ) 2 - 9 = = ( ( x + l ) + 3 ) ( ( x + l ) - 3 ) = = (x + 4 ) ( x - 2 ) Ekvationen kan skrivas (x + 4 ) ( x - 2) = 0, så rötterna ärX[ = - 4 och x 2 = 2.

2137 a) 49

b) 81

<>;

2138 x - 11 = ±12,så 11 11

12 ger Xj = 23 och -12 ger x 2 = -1 A 2 " " " 6 C 1 * 2 •

2139 a) 4 , 4 , 1 6 , 4 o c h x ! = 2; b) 9, 9, 3 ,4 , 3, 2 och x ,

x , = l

2140 a ) x , =

b ) x , l ; x 2 =

11; x . -i c) y i = - i ; y 2 = - 4

d) y , = 4 ; y 2 = 3

2141 a) 144 m 2

b) x 2 + 2 4 x + 144 = 2 848

c) V L = ( x + 12) 2

d) x , = 41 och x 2 = - 6 5 , varav endast x , kan ge den sökta sträckan.

2142 12 och 14

2143 a) x = 6 ± 2 V 7

b) x = 2 ± i

c) x , = 3; x 2

2144 x, - - 6 ; x ,

2145 11 cm (10,8) och 17 cm (16,8)

2146 148 x 210 m m

2147 Ett sätt att kvadratkomplettera ekvationen är att följa stegen

x 2 + 1 2 x + 3 = 0

x?+ 12x = - 3

x 2 + 12x + 36 = - 3 + 36

(x + 6 ) 2 = 33

Bosse kan ha haft avsikten att inledningsvis få x 2 +12x ensamt i V L och därför valt att subtrahera 3 från båda led. Helena har nog tänkt att få V L = x 2 + 12x + 36 och adderar därför båda led med 33.

2148 3 ,4 och 5

2149 71 c m 2 (71,25)

2201 x , = 9 ; x , = - l

2202 a) x , b ) x ,

C) X!

2203 a) t, = b) $,=

c) v ,

2204 a) x .

: 3; x 2 = - 7

: l l ; x 2 = - 5

: 1 3 ; x 2 = 1

- l ; t 2 = - 6

3; 5 2 = - 4

: l ; v 2 = - 4

' 1 0 ; x , = - 2

b) x , = 7 ; x 2 = - 1 9

c) x , = 2 + 2 V 3 ; x 2 = 2 - 2 V 3 (VIT = V4~73 = 2V3)

2205 a)y = 5± V2

5 ± V5 b) f = c) s,

2

: 4 ; s 2 = -1

2206 A 2; B 3; C 1

2207 a) 155 m b) h = 0

c) 4,3 s

2208 8 och 12

2209 a) x , = 5; x 2 = -7 b) x , = 9; x 2 = 3 c) x , = 5; x 2 = 1

2210 Ca 29 cm

2211 a) 1,7 m

b) C a 11,5 m

2212 r = 3 , 5 c m

2213 x l i 2 = ± V T 9 ; x 3 i 4 = ± l

2214 Bredd: 1,8 m

2215 Ekvat ionen x 2 + px + q = 0 har lösningarna

* 2 ~ 2

x , + x , =

ar-4 fr-p\2

,2) 1 +

b ) x ,

p\2 2

-9\

=(-fr-m Konjugatregeln

- (fr-(§ r V.S.V.

+ q = q

2216 Förkorta ekvationen a x 2 + bx + c = 0 med a och sätt in i pq-formeln.

V i får T b c

x 2 + - x + - = 0 a a

2a A f . 2a J

Förläng sista bråket med 4a så att det blir (2a)2 som blir gemensam nämnare under rottecknet.

1hl 4ac (2a)2 (2a)2 2a

_-b± Vb2 - 4ac 2fl

v.s.v.

2217 Lösningen ti l l ekvationen är

•£± \l(£\2-q. O m o < 0 ,

P så kommer | J ~1>^ o c n

ekvationen får en positiv och en negativ rot.

F A C I T 235

Page 235: Matematik Origo 2b

2218 a) x = ±3. Diskr iminanten är positiv.

b) x = ±4i. D iskr iminanten är negativ.

2219 a) 41; ekvationen har två lösningar

b) 0; ekvationen har en lösning

2220 a) a < 9 b) a = 9

c) fl > 9

2221 a) T . e x . x 2 + 4x + 3 = 0

b) T . e x . x 2 + 4x + 5 = 0

c) Antalet nollställen är l ika många som antalet reella lösningar til l andragradsekva-tionen.

2222 a) xl = 5 ; x 2 =-1 b) Koefficienten framför x 2 är

-1 och inte 1 i ekvationen.

2223 a = - 9

2224 a) V4Ö < «; a < -V4Ö b) fl = ±ViÖ

c) -V4Ö < fl < V iÖ

2225 a) 42 b) 34

2226 a) - 3 b) ( 3 , - 4 )

c) x = 1 och x = 5

d) x , » 0,4 och x2 ~ 5,6

2227 a) Min imipunkt

b) Max imipunkt

c) Max imipunkt

2228 1 - ingen 2 - A 3 - B 4 - C

2229

2230 a) Minsta värde y = - 4

b) Minsta värde y = 0

c) Största värde y = 3

2231 a) x = - -4

b) x = - 3 v 3

c) x = -

2232 a) M in im ipunk t i ( 0 , 12 )

b) Max imipunkt i (0 , 5)

c) M in imipunkt i ( 0 , - 5 )

2233 a) och c) / \ )

n i

(- 2 . o ) . / 0 ) x \

L ?

b ) x = 1

2234 a) M in im ipunk t i (10, 25)

b) Max imipunkt i ( -1 , 7)

c) Max imipunkt i ( 3 , 0 )

2235

\ / v _ )

\ / \ / V /

1 | Å s

1 ?

2236 a ) T . e x . / ( x ) = - x 2 + 4

b) T.ex. f[x) = - 1 0 x 2 - 0 , 5 x 2

c) T.ex. f[x) = - - r

2237 37 m

2238 32 m 2

2239 a) 140 kr/st

b) 1 750 kr

2240 a ) y = x 2 + 5

b) y = - — 10

2241

a) Förskjuts ett steg åt höger.

b) Förskjuts ett steg åt vänster.

2242 a)

ton / \ Vik t —

r nnn <or n J _

-i r n L J U

Vikt \ i

Vikt

» s -2 50 250 5C

> 0 kg

b) Ca 4 800 ton (4 809 ,6 . . . )

/81\ 2243 Ca 1,0 M k r

80

2244 Mel lan 1,3 m och 3,1 m från staketet

2245 O m försäljningspriset är 11,50 kr blir hennes vinst maximal (1 083,75 k r )

2246 Minimivärdet ligger på symmetri l injen

— P Minimivärdet

E\-t EV H H - :

4 • + q-

2247 Extrempunkten är

b b2 \ n —, v c\. Det ar en 2a 4a /

min imipunkt om a > 0 och en maximipunkt om a < 0.

B Blandade uppgifter 1 a ) x = ± l l

b) y = ± 2

c) s = ±1

2 a) x , = 12i; x 2 -12;

b) yj = 15 i ; x 2 = - 1 5 i

c) al = 30i ; a 2 = -30 i

d) b, = 5 i ; b2 = -5i

3 a) Symmetri l injen är x = -Max imipunkt i ( - 1 , 4 ) .

b) Symmetri l injen är x = 2. Min imipunkt i ( 2 , 2 ) .

4 a) xx = 5; x 2 = - 7

b) X[ = 0; x 2 = - 3

1.

F A C I T

Page 236: Matematik Origo 2b

5 a) x , = 0 ; x 2 = -18

b) x , = 3; x 2 = -17

c) x , = 0; x 2 = 2

d) x , = - 8 ; x 2 = 5

6 2,9 m x 2,9 m x 2,1 m

7 x = 0

8 a) x = 2

b) x = - 3

c) x = 5

9 a) X! = - 2 + 2i; x 2 = - 2 - 2i

b) x , = 7; x 2 = -1

c) Saknar reella lösningar, ( x , = 1 + fV3; x 2 = 1 - iVJ)

10 37 personer

11 x = - 2 ± 2^2 (x = - 2 ± V8)

12 a) x , = 8; x 2 = 4

b) X! = 4; x 2 = 2

, 7 c) xi=j;x2 = -\

d) x , = | ; x 2 = 0

13 / ( x ) : Negativ diskr iminant

g(x): Positiv diskr iminant

14 31 och 32

15 a) Addition med 6

b) Divis ion med 3

c) Subtraktion med 6

16 a) x , = l ; x 2 = 11

b) y2 = - 6 ; y2 = - 2 0

17 Ca 174 cm

18 a) x , = 15; x 2 = - 5

b ) x , = - 2 ; x 2 = - |

38

20 a)

m ' * Avstånd —) T L, 1 J 1, 1 -1, J

n 1, 1

4 1 1,

1 t-

i., 0

J g

0 g 0 ] n 1 - i "

et i " et

3 — — — — —

I T

b) 6,3 m/s

21 a) n = ±i

b) x = - 7 ± <7

c) x , = 0; x 2 = 1

22 a) x 2 + 20x = 629

b) 10 x 10 m

c) x 2 + 20x + 100 = 729 alternativt ( x + 10 ) 2 = 729

d) x , = 17 och x 2 = - 3 7 , men endast x = 17 kan vara måttet på sträckan .

23 a) Max imipunkt i (0 , 5)

b) Max imipunkt i ( 2 , 8)

c) M in imipunkt i ( -6 , - 6 )

24 a) 1,65 m

b) 3,9 m

c) Högsta höjd blir 5,4 m och den höjden når bollen efter 13,8 m i horisontalled.

25 50 c m 2

26 a) X | = 0; x 2 = - 2 ; x 3 = -22

b) x , = 0 ; x 2 = - 4 x 3 = 1

27 a) f{x) = x 2 + 4x + 3

b)f[x) = x 2 - 6 x + 5

28 a) x ^ - 2 5

b) x 2 = -324

c) ^ = - 1 3

d) x 2 = - 2 0

29 4,6 m

30 1,5 s

31 ( 6 , 7 ) och ( 1 , 2 )

32 a) Efter 0,17 s och efter 1,8 s

b) 13,4 m

33 a) x , = 0; x 2 = - 1 ; x 3 = - 2 ; x 4 = - 3

b ) x 1 2 = 0 ; x 3 = - 2 ; x 4 = -

34 125 c m 3

35 x = ±2i

36 a) a < 0 och a > 4

b ) a = 0 och a = 4

c) 0 < a < 4

37 10 km/h

? Kapiteltest

1 a) x = ±V26

b) x = ±8i

2 a) X | = 0 ; x 2 = - 1 6

b ) x , = 5 ; x 2 = - |

3 a) x , = 20; x 2 = 2

b) x = - 3 ± v n

4 a) x = - |

b) y = 6

c) x = - 3 och x = 2

5 a) ( x + 6 ) 2 = 81

b) xl = 3; x 2 = -15

6 a) T.ex. 90 (större än 81)

b) T.ex. 56 (mindre än 81)

x , = - 4 ; x 2 = -14

7 800 a.e.

8 a) x ( x + 8) = 950 eller

x 2 + 8x = 950

b) x , = 27; x 2 = -35

c) 35 x 27 m

9 a) b = 8

b) x = - 7 och x = -1

c) ( - 4 , - 9 )

10 a) 30 m

b) 70 km/h

11 Symmetr i l in jen är t = 5 och minsta värdet är s = 10

12 x = ±i

13 • p < 46. Högre värden på p ger n < 0 och antalet sålda strutar kan inte vara negativt.

• k{n) = 9Jn + 45

• C a 23 kr

F A C I T 237

Page 237: Matematik Origo 2b

Ekvationer och ekvationssystem

3101 a) m = 3

b) m = - 2

3102 a) L in jen skär y-axeln för y = 7

b) Riktningskoefficienten k är - 2

3103 \ c)

\ \ X s ?

) 1 H

3104

3105

3106

3107

3108

3109

3110

a) kA = l;kB = -2

b) L inje A : (0 , 1) ; L in je B: (0 , 3)

c) L inje A : y = x + 1; l inje B: y = - 2 x + 3

Linje A : y = 2 x - 1

Linje B: y = - —x + 2

a) Öppningsavgiften är 0,69 kr och sedan kostar varje samtalsminut 0,59 kr.

b) Ett samtal som varar i 2 minuter kostar 1,87 kr .

c) T.ex. x = 3 och y = 2,46

a) T.ex. y = 2x + 3

b) T . ex . y = 2

T.ex. x = 0; y = 7 eller x = - l ; y = 9

T.ex. punkten med koordinaterna ( 2 , 5 ) eller ( 0 , - 1 )

3111 T.ex. (0 , 2) eller ( 3 , - 7 )

3112 Nej, eftersom 2 2 * - 2 - (-10) + 3 = 23

3113 y = 2x + 2

3114 T.ex. ( 1 , 0 ) eller ( 3 , - 6 )

3115 a = 3 ,b = 1

3116 a = 1,5

3117 y = - 2 x + 4

3118 ( 0 , 2 )

3119 ( 5 , 0 )

3120 T.ex. y = x + 1 och y = - x + 3

3121 f ö r a < 0 och b>0 eller a > 0 och b < 0

3122 a) /t = - = 0,5 2

b) k= i c) i = - l d) Jk

3123 a) k = 3

b)Jk =

3124 a) k-

b)Jfc = 3_ 10

3125 Ekvat ionen för den räta linje som går genom (1 , 3) och (2 , 5) är y = 2x + 1. Punkten (15 , 30) ligger inte på denna linje eftersom 3 0 * 2 - 15 + 1 = 31

3126 kx = 4 och k2 = 4. L in jerna är alltså parallella eftersom /c, = k2.

3127 a) k = -0,21

b) Vattenmängden i kastrullen minskar med 0,21 d l/min .

3128 a = 3

3129 Förläng m e d - 1 :

te-ri) _ - U r i - y 2 ) =

( x 2 - x , ) - l ( x , - x 2 )

_ (y\-yi) ( x , - x 2 )

3130 ( 2 , - 7 ) , (8 , 35) och (17 ,98 )

3131 L i : y = 0 , 5 x + 3 o c h L 2 : y = 0 , 5 x - 4

3132 y = 3 x - 10

3133 y = - 2 x + 1

3134 a ) y = 5 x + 8

b ) y = 5 x - 2 2

3135 a ) y = 7 x - 2 3

b ) y = - 5 x + 13

2 x - 3 3

3136 a) k = -~ 3

b) m = - 3

c) y

3137 a ) y = - x + 8 , . x 1 b ) ' = 5 + 5 c) y = 3 x - 3

å)y=-x-4

3138 y = - 2 x + 6

3139 y = x respektive y = - x + 3

3140 T.ex. ( 1 0 , - 2 5 )

3141 a) k - -45 - 45 kWh/°C

b) y = -45x + 1 400

c) Nej, elförbrukning kan bara gå ner til l 0 k W h .

3142 a = 2

3143 a ) y = - x / 2

b ) T . e x . x = 0 , y = 0

3144 Kostnaden y kr att ringa i

x minuter blir y = 0,99x + 0,69

3145 a = - 2

3146 y = - x + 4

3147 y = 2x

3148 y = - 2 x

3149 a) k = 4

b ) J t = - -

3150 a) x = - 2

b) x = 4 *

c) y = - 3

3151 a) Nej

b ) Ja

c) Nej

3152 a ) y = 2 x - 3

b ) y = 2 , 5 x - l , 5

3153 a) Parallella

b) Ej parallella

3154 a) T . ex . y = 3 x - 1

b ) T . e x . y = - | + 2

3155 Båda har rätt. O m man multiplicerar båda led i Viggos ekvation med - 3 , så far man Maltes ekvation.

*3® F A C I T

Page 238: Matematik Origo 2b

3156 a) Ej vinkelräta

b) Vinkelräta

3157 Ja, l injerna är vinkelräta

3158 p = - 0 , 5 ; q = 3

3159 a) ( - | , o) och (O, 1)

b) ( - | , o ) o c h ( 0 , - 1 )

3160 a) fc1=|,fc2 = 5,fc 3 = - ^

b) Nej, ingen av riktningskoefficienterna ger produkten - 1 . Det är alltså ingen rätvinkl ig triangel.

3161 y = - - x + — 7 3 3

3162 L injerna L, , genom punkterna med koordinaterna ( 0 , 0 ) och ( 4 , 2 ) , samt L2, genom punkterna med koordinaterna ( 1 , 3 ) och (3 , - 1 ) , utgör kvadratens diagonaler. L injerna har r iktningskoefficienterna

2 - 0 1 * 1 - 4 - 0 - 2 , - 1 - 3 „

z 3 - 1 Eftersom

fc,k2=J-(-2): - i

följer också att l injerna är v in kelräta mot varandra. Al ltså är diagonalerna vinkelräta i kvadraten, v.s.v.

3163 a) fe = - 6

b) fe =1,5

3164 a = -3

3165 27 a.e.

3166 y = x eller y = - x

3167 T.ex. y = - x a

3168 (-4, 5) och ( 8 , - 1 )

3201 a) } x = - i

1 y - 4

b ) ( X = 2

1 y = 1

3202 a) 1 X = 1

i y = 2

b ) l X = 3

1 y= 4

0 1 X = - 2 1 y - - 6

3203 a) En lösning

b) Lösningar saknas

3204 a) J x = 1,5 1 y = - \

b) | x = 2 l y = - i

3205 Ekvationssystemet har en lösning. Eftersom riktningskoefficienterna för de linjer som ingår är olika så kommer l injerna att skära varandra i en punkt .

3206 a) ( x = - 2 1 y = - l

b ) j y = x + 1 t y = - 2 x - 5

3207 T .ex.

V - x +

y y / -t

>

3208 a) Saknar lösning ( l injerna är parallella och skär aldrig varandra)

b) E n lösning

3209 a) Al la k* 1,5

b)k= 1,5

3210 a) x är antal hekto billigt godis och y antal hekto dyrt godis.

b) Den övre ekvationen betyder att den sammanlagda vikten av godis ska vara 5 hg. Den undre ekvationen betyder att kostnaden för det billiga godiset och kostnaden för det dyra godiset är 30 kr totalt.

c) j x = 3 ,2hg

1 y = 1,8 hg

Ja, det är möjligt.

3211 a = 4,5 och fe = 2

3212 a)

b)

3213 a)

b)

X = -A y = 3

X = - 6 y= - 2

X = 3

y = 13

X 3

y 4

3214 a) Den övre ekvationen betyder att det f inns x st mindre kulor och y st större kulor i burken. T i l l sammans blir de 50 st. Den undre ekvationen betyder att den mindre sorten väger 2,5 g och den större sorten väger 3,5 g. T i l l sammans väger kulorna i burken 155 g.

b) | x = 2 0

1 y = 30

Det är 30 st av de större och 20 st av de mindre kulorna i burken.

3215 a) f x = 4 1 y = l

b) I x = 5

1 y = 3 3216 a) I a = 0,5

t fe = 2 b ) f x = 0,28

l r = l > 3 2

3217 a) T.ex. kalla talen för x och y:

x + y = 131 x - y = 15

b) Talen är 73 och 58.

3218 340 vuxna och inga barn hade köpt biljett.

3219 a) j s = 9 1 t = 1,5

b ) j u = 2

3220 3 a.e.

3222 j x = 0

1 y = 4 3223 { p= 1

l q = 2 3224 Ca 1,7 m/s

3225 a) f x = 3 1 y = 5

b) f X = 10 l y = 5

O f X = 2 l y= -0 ,5

3226 a) 2

b ) ( X = 2

1 y= 1

F A C I T 239

Page 239: Matematik Origo 2b

3227 a) ( x = 3 l y = 5

b) | x = 5

i r= - 3 3228 a) t x = 2

l r= i b ) f x = - 2

1 y = 3

3229 a ) x + 3 y = 36

b) Priset för en röd skiva är 12 pund och för en blå 8 pund.

3230 a) | x = - l l y = -2

b) | x = 10 l y = - 7

3231 140 hamburgare och 170 läsk.

3232 Talen ä r - — och — 2 2

3233 a) Det är totalt 10 liter mjölk .

b ) Summan av fett i lättmjölken och standardmjölken ska vara l ika med fettmängden i 10 liter mel lanmjölk .

c) 6 liter lättmjölk och 4 liter standardmjölk.

3301 a ) 3 1.e

b) 6 l . e

c) V45 l.e = 6,7 l.e

3302 V901.e~9,5 Le

3303 a) V45 l.e = 6,7 l.e. b) V34 l.e = 5,8 l.e.

3304 6,7 k m

3305 Triangeln är inte l ikbent

3306 20 m

3307 Gör en skiss först. V i kallar punkterna för A(2, 2 ) , B ( 3 , - l ) , 0 ( 0 , - 2 ) och D ( - l , 1) . Då har v i

AB = = V (2-3) 2 + ( 2 - ( - l ) ) 2 l.e = = V1Ö Le.

BC= = V(3-O) 2 + ( - l - ( - 2 ) ) 2 l.e = = VlÖ Le . CD = = V ( 0 - ( - l ) ) 2 + ( - 2 - l ) 2 Le = = VTÖ Le . AD -

3318 m

= V ( 2 - ( - l ) ) 2 + ( 2 - l ) 2 Le = = VTÖ Le . Al la sidor är l ika långa.

3308 Triangeln är inte rätvinkl ig

3309 a = 2

3310 9,2 l.e.

3311 a) Hörnets koordinater är antingen (5 , 4) eller (4 , 5 ) .

b ) Det är möjligt att skapa fyra kvadrater enligt förutsättningarna.

3312 a) I *' = 2

1 y , = -2

och

1 *2 = 4

l yi = 2

b) \ *, = 1

l Vx = 1 och

1 * 2 = 3

t y2

= -1

c) I *> = 0

1 y> = 2

och

= 3

t Y2 = -1

3313 ( - 2 , 4 ) och (4, 16)

3314 y = 5 x - 4 0

3315 Kurvorna har två skärningspunkter, dessa punkter har koordinaterna ( 2 , 6 ) och ( 8 , 9 6 ) .

3316 a) Avläsning i figuren ger P ( l , 4 ) och Q (4, 5 ) . Ol ikheten gäller eftersom 1 4 - < -4 5

b) VTÖ l.e.

3317 L in jen y = -r- —

3319 L injerna kommer att skära parabeln i lösningarna (x , y ) till ekvationssystemet

y = kx + m x 2

Därför söker v i de tal k och m som ger två lösningar til l ekvationssystemet. Substitutionsmetoden ger X3 , — = fcx + m, 2 som kan skrivas

x 2 - 2 fcx- 2m = 0.

x = k ±^k2 + 2m

Den ekvationen har två lösning

ar om

k1 + 2m > 0, som ger k2 > -2m.

v.s.v.

B Blandade uppgifter

i

2 a) y = 3 x - 5

b ) y = - 2 x - 6

x , = l y , = - 2

och

y 2 = 4

4 a) 2

b ) - 3

5 a) T.ex. x = 1; y = 5 är en lösning till ekvationen,

b) Det finns oändligt många lösningar till ekvationen.

6 a) V53 l.e. = 7,3 l.e. b) VIÖLe. = 3,2 l.e.

7 ( x = 2

t y = 5

8 a ) r = - | + 2 b ) y = l , 5 x - 3

240 F A C I T

Page 240: Matematik Origo 2b

9 a) I punkten med koordinaterna ( 0 , - 7 ) .

b) I punkten med koordinaterna 17

10 a)

b)

11 a)

x = 3 y=7 x = A y=7

y = 400 + 25x [ y = 8 0 x

b ) 8 gånger

12 Linje B och linje D är parallella med varandra (deras riktningskoefficienter har samma värde).

13 - 1

14 y

15 Linjerna är inte vinkelräta mot var-

16 a)

b ) j x = 4 1 y=2

17 a ) y = 4

b ) x = 2

1 18 a)

b)

x = y = - l

9 x = —

7 y = -4

19 a) y = -Ix + 6

b)r=f 20 a) T . e x . y = 5 x + 2

b) T.ex. x = - 4

21 k-

22 3 y - 4 x + 9 = 0 d ä r f l = 3, b = -4 och c = 9

23 t-13

3

24 T.ex.

j 2x + y = 0 1 3x + 2y = -

25 | x- 100 1 y = 8 3 , 5

O m hon ringer 100 min/mån så är kostnaden är l ika stor oavsett tele-abonnemang. Då kostar det 83,50 k r /mån .

26 y = 3x + 1

27 a) f x = 2

t r = - 2 b) | y = - 2 x + 2

1 y = x - 4 28 Skärningspunkter: ( -1 , 2) och

(3 , 18)

29 ( 2 , - 7 ) , (8 , 35) och (17 ,98 )

30 b = 5

31 ( 5 , 0 )

32 a = - 6

33 De är vinkelräta; K, • k2 = -1

l ' 3

34 a)

b )

y = --x = 4 y = l

35 a) y = 2x + 2

b) y = 1 2 x - 4 3

c) y = 30x + 34

36 Ekvat ionerna beskriver samma kurva , dvs. parabeln y = x 2 .

37 Madeleine har rätt, punkterna ligger inte på en rät l inje. L in jerna mellan punkterna har ol ika fc-värden.

38 7,5 a.e.

39 Fast avgift 200 kr och 2 k r /km.

40 a = 2; b = - 6

17 41 fl • = 4,25

42 x = 10,7

43 ( - 4 , 4 ) och ( 4 , 4 )

44 a) Efter 74 k m

b) Sträckan mellan 74 k m och 149 k m

45 86,8 kg fläskfärs och 13,2 kg nötfärs.

46 a = 3

Kapiteltest

1 a) x = 3

b ) y = - 2

2 a) y = - 2 x

b ) y = 4 x - 6

3 5 l.e.

4 a)

b) y-

y-

5 a) fc = -

-x + 4

b) T i l l exempel y = - — - 3

c) De angivna l injerna är inte v in kelräta mot varandra eftersom produkten av riktningskoefficienterna inte är - 1 .

6 a) f x + y = 6 i x - y = -14

b) De två talen är 10 och - 4 .

7 a)

b)

x = 3 y = 2 fl = 1 b = 2

8 O m ö = 1 och b = 2, så går l injen genom (4 , 7 ) .

9 f x» 1,7 1 y = 3,2

10 a) y = - 2 x + 10

b) T.ex. ( 0 , 10 )

11 y = - - x + 5 2

12 a) j 2x + y = 817 1 x + 2 y = 737

b) | x = 2 9 9 1 y = 2 1 9

c) Ett åkband för en hel dag kostar 299 kr och ett åkband för en kväl l kostar 219 kr.

13 O m en triangel är l iksidig är alla sidor l ika långa. Med hjälp av avståndsformeln får v i att sidorna i triangeln är VITT l.e., VTJ l.e. och VT7 l.e. Triangeln är med andra ord inte l iksidig.

F A C I T 241

Page 241: Matematik Origo 2b

Ekvationssystemet

i y = 2x + 1

i y = -2* har en lösning och ekvationssystemet f y=2x + 2 \ y=2x-4

saknar lösningar. O m två linjer är parallella så skär de aldrig varandra och det ekvationssystemet saknar lösning.

För t = -2 så saknar ekvationssystemet lösningar. Ekvationssystemet har oändligt antal lösningar endast om de två ekvationerna som ingår i ekvationssystemet beskriver samma linje. Ekvationssystemet skrivs f y = -2x + 4

4 26 \ y = l x + T V i kan inte välja t så att

4 T U 2 6 , - = - 2 och — = 4. t t

4 Potenser, Logaritmer och budgetering

4101 3 240 kr

4102 22,5 %

4103 a) 100 200 kr

b ) 5,5 %

4104 a) 1 575 kr

b) 158 042 kr

4105 a) 6 500 k r

b) 5 500 k r

4106 165 565 kr

4107 2 700 kr

4108 a) Ja , det stämmer: 0,075-150 0 0 0 , , „ , , _ ,

kr = 2 812,5 kr 4

b) 2 343,75 kr

4109 4 875 kr

4110 63 412 kr

4111 a) 39 167 kr b) 4,48 %

4112 a) Amorter ingen är 1 200 000 A n n n . . ,

= 4 000 kr/man. 25 • 12

Högsta månadsränta är

1 200 000 • 0,0475 12

4 750 kr.

Månadskostnaden för lånet är som högst 8 750 kr. Alltså bör de ha råd.

b) Räntekostnaden stiger t i l l som mest 5 250 kr, så även om de inte hunnit amortera på lånet har de råd.

4113 3 , 6 %

4114 Alternativ I I : Kostnaden för företaget motsvarar 1 214 866 kr v id köpet. Alternativ I : Kostnaden för företaget motsvarar 1 285 714 kr.

4115 a) 1 630 kr

b) Hennes totala utgifter skulle minska med 365 kr/mån ti l l 1 265 kr.

4116 a) 18 542 kr

b) inkomst (kr/mån)

Lön 18 542

Utgifter (kr/mån)

Mat hemma, kläder/skor, fritid mm.

3 500

Lunch ute 1 500

Hyra 3 400

Tele, el, mm. 600

Summa utgifter 9 000

4117 a) inkomst (kr/mån)

Studiebidrag 1050

Utgifter (kr/mån)

Mat hemma 300

Mobil 149

Filmklubb 49

Kläder 150

Nöjen 200

Summa utgifter 848

b) Nej, inte om han inte minskar någon annan utgift.

4118 1 680 kr

4119 -

4120 4 880 kr/mån - 5 000 kr/mån om hon räknar med att kunna jobba de månader som hon inte får studiemedel.

4121 2 220 kr

4122 Intäkter (kr) 1 200 000

Kostnader (kr)

Löner till anställda 850 000

Hyra, el och värme 57 000

Arbetsmaterial 300 000

Telefon mm. 19 000

Ränta på lån 22 000

Avskrivning för slitage

30 000

Summa kostnader 1 278 000

Resultat -78 000

F A C I T

Page 242: Matematik Origo 2b

4123 a) Resultatbudget kvartal

4125 a)

4124

Intäkter (kr)

Försäljning 180 000

Kurser 20 000

Summa intäkter 200 000

Kostnader (kr)

Hyra 54 000

Ränta 15 000

Summa kostnader 69 000

Resultat 131000

b) Ca 43 000 kr/mån (43 667)

Likvida medel vid månadens början (kr)

65 000

Inbetalningar (kr)

Arbeta på salongen 60 000

Försäljning 7 000

Summa inbetalningar 67 000

Utbetalningar (kr)

Varuinköp 45 000

Hyra 9 800

Löner 19 000

Arbetsgivaravgifter 6 370

Summa utbetalningar 80170

Likvida medel vid månadens slut (kr)

51830

4201

4202

4203

4204

4205

4206

4207

a) 125

b) 16

c) 1

a) 75

b) 0

c) 1

a) > b) <

a) 5 1 2

b) 2 3 3

c) 3">

a) x " 3

b) x 7

c) x 4

a) x 7

b) l

c) x 1 2

17 424 kr

a)

Intäkter (kr) 2 040 000

Kostnader (kr)

Råvaror 750 000

Lön 860 000

Hyra, el 155 000

Telefon, it 20 000

Rengöringsmedel mm.

7 000

Underhall 12 000

Ränta 21 600

Summa kostnader 1 825 600

Resultat 214 400

b)

Intäkter (kr) 2 160 000

Kostnader (kr)

Råvaror 787 500

Lön 860 000

Hyra, el 155 000

Telefon, it 20 000

Rengöringsmedel mm.

7 000

Underhåll 12 000

Amortering 100 000

Ränta 14 400

Summa kostnader 1 955 900

Resultat 204 100

4208 1 300 st (1 330)

4209 a) x = 2 b ) x = 2

4210 a) 5x+l + 52x

b) 2 2 x + 4 • 2 X + 4

4211 a) 3 2 • 3 X

b ) 3 2 x ( l + 3 2 x )

4212 a) x 4

b) 2 7 x

4213 a) 9

b ) 4 x - 3 2 x

4214 x = 14

4215 a) 2 b) 3

c) 20

4216 a) 50,83

b) 17,32

c) 0,71

4217 3 = V 9 = 8 1 1 / 4

6 4 1 ' 2 = 2 3

4218 a) 4

b) 9

4219 a) x

b)V3c 4220 a) 27

b) 16

4221 a) a 1 / 3

b) fl7'2

c) a 1 ' 2

4222 x = 18

4223 a) - 2 b) Ej definierat

c) Ej definierat

d) - 2

4224 2" 1

4225 a) V L = 4 4 ; H L = 4 4

V L = H L v.s.v.

b ) a = 2

4226 a) Udda n

b) E n negativ bas med udda exponent är ett negativt tal.

4227 V L = a m l n = (am)[/n = "Vä5"

F A C I T 243

Page 243: Matematik Origo 2b

4228 a) x = 3 b) x = 9

c) x = 2 och x = -2

d) x = 3

4229 a) en lösning

b) två lösningar

c) en lösning

4230 a) x = 1,91 b) x = 1,48

c) x = ±0,83

d ) x = 1,92

4231 a) x är den förändringsfaktor som anger fondens värdeförändring per år.

b) x = 1,072. Värdet av aktiefonden har ökat med, i genomsnitt, 7,2 % per år.

4232 5 , 2 %

4233 C a 7 %

4234 Ca 11 %

4235 x = -2

4236 a) T . e x . x 1 2 = 41

b) T.ex. x 1 3 = 41

4237 T . e x . x 3 = 27

4238 a) T.ex. : Ett sparkapital minskar i värde på 6 år från 15 000 kr til l 12 000 kr. V i lken är den genomsnittliga minskningen i procent?

b) x ~ ±0,963. Den genomsnittliga minskningen var ca 3,7 % .

4239 Micke tar den procentuella minskningen för hela perioden och dividerar med antalet år. Det bl ir fel eftersom den årliga minskningen i procent hela tiden ska beräknas på föregående års värde. Den korrekta värdeminskningen ska vara ca 5,4 % per år.

4240 a) Ca 3,5 % b) C a 4,1 %

c) C a 5,6 %

4241 Den första uträkningen ger invånarantalet tio år framåt i tiden om man antar att det kommer att öka med samma antal varje år. Den andra uträkningen ger invånarantalet tio år framåt i tiden om man antar att det kommer att öka med samma andel varje år. Den senare modellen är nog den mest troliga, eftersom til l exempel barnafödandet i kommunen kan förväntas utgöra en konstant andel av befolkningen i kommunen .

4242 a) X" 1,60 b ) x = ±8

4243 a) x = - 5 b) Ej definierad

c) y = - 0 , l

d) y = 4 4244 Ca 9,5 ggr

4245 a) 3,4 % b) 6,9 %

4246 Ja, räntan är ca 3,1 % och värdeminskningen är 3 % : 125 000 • 0 , 9 7 1 0 - 3 , 1 1 0 = = 125 087

4301 a) x = 0,7

b) x = 1,45

4302 C och D

4303 a) x= ±2 b ) x = 1,60

4304 a) x - 0,30 b) x = 2,32

c ) X - 5,61

4305 a) Den procentuella ökningen

är 4,5 % per t imme.

b) 4 300 st

c) C a 4 700

d) Drygt 19 t immar (19 ,173 . . . )

4306 a) 1,06 b) v (x ) = 12 000- 1,06*

c) Det dröjer ca 7 år (6 ,958 . . . )

4307 a) T.ex. V ( x ) = 5 000 • 1,03* b) T.ex. V ( x ) = 70 000 • 0,86*

4308 T.ex. a) D u sätter in 15 000 kr på

banken med årsräntan 3 % . Efter hur många år är behållningen 20 000 kr?

b) Värdet av en aktiefond ökar från 15 000 kr ti l l 20 000 kr på 7 år. Hu r stor var den årliga värdeökningen?

4309 2 , 5 %

4310 2 0 , 6 %

4311 a) 1,025

b) J ( t ) = 122 000- 1,025', där r

är antalet år efter 1980.

b ) C a 256 000 st

4312 23,4 år

4313 a ) / ( x ) = 3 - l , 5 *

b) fix) = 2 • 0 . 5 1

4314 a °c / s, • "er er; tu r n 1

L U J

O 1

u J g

7j

i <c J

T ; h 1 ! •

N 1 n 2 n n rr

} i n

4315

b) 7 = 8 5 , 0 - 0 , 9 7 5 '

a) C a 2,3

b) Ca 2,7

c) C a 2,9

4316 a) 10 5

b) 10"

c) 10" 3

d) 10°

4317 a) lg 10=1

b) lg 2 0 = 1,3

c) l g 6 0 = 1,8

4318 a) x = 4

b) x = - 3

c) x = 2

4319 a ) x - -0 , 2

b ) x - 0 , 1 5

C) X - -0 ,4

4320 a) lg 0,4 - -0 ,4 b) lg 0,6 - -0 ,2

c) lg 0,2 - -0 ,7

244 F A C I T

Page 244: Matematik Origo 2b

4321 a) 10'B 2 0

b) 10's 7

c) 10 '8 7 8

d) 1 0 ' s 2 0 0 0 0

4322 a) 5 b) Ej definierat

c) 10

d) 12

4323 a) 2 b) - 3

c) -1

d) 88

4324 a) x = 0,3 b) x = 0,2

c) x = - 0 , l

d) Lösning saknas

4325 Ig 98 2 10's 2 ' 1 2,2 lg 982

4326 a) T.ex. 100 eftersom lg 100 = 2

b) T.ex. 0,1 eftersom Ig 0,1 = -1

c) Eftersom tiologaritmen för ett positivt tal är det tal man ska upphöja tio til l för att fä det positiva talet och 10° = 1, så ger det att för alla positiva tal som är mindre än ett så måste tiologaritmen för talet vara negativ och för alla positiva tal större än ett så måste tiologaritmen för talet vara positiv.

4327 Logaritmen lg x är bara definierad för x > 0. Logaritmen y = lg x är det tal 10 ska upphöjas til l för att v i ska få x. Det finns inget tal y sådant att 1 0 / < 0 .

4328 a) 25 = = 10'e 2 5

b ) x = lg25

4329 a) x = lg4 ,5

b ) x = lg0,7

c) X = lg3 ,2

d ) x = lg 53

3

4330 a) x = 8

b ) x = 1 00,5

c) X = io3-2

d ) x = 1 2

4331 a) 3 = 10's 3

b) 6 = 10 '8 6

c) x = S4-U3 I g 3

b ) x =

4332 a) x = 1,5 b) x = 2,3

c) x • 0,4

d) x = 1,1

4333 a) r - 15,7 b) t = 36,1

c) t - 23,4

4334 6,4 år

4335 a) x = 17 1 ' 5

. .. Ig 17

l g 5

4336 a) x = 1,4 b) x = 2,1

c) x = 1,1

le 1,5 4337 a ) x = , s ' =12 ,9

lg 1,032 b) T i l l exempel " H u r många år

tar det för ett kapital på 10 000 kr att växa ti l l 15 000 kr om man sätter in pengarna på ett konto med 3,2 % ränta.

4338 a) 2,8 % årlig ökning

b) V(t) = V 0 - 1,028'

c) Under år 2028 (ca 18,5 år från år 2010) .

4339 Ca 10 h (9,97)

4340 a) x = 0,46 b) x = 2,08

c) x = 1,27

4341 16 år (efter ytterligare 13 år)

4342 x = 0,71

4343 Oavsett om x är ett positivt tal eller ett negativt tal , så är 2X a l lt id större än nol l .

4344 Det verkar som att lg ab = lg a + lg b för positiva tal a och b.

4345 Det verkar som att

lg ^ = lg a - lg b för positiva tal

a och b.

4346 ax = b ( i0 ig<! )x = \(y%b

x lg a = lg b \gb

x = f -Iga

v.s.v.

4347 a) lg 7 - 0,845

lg 7 0 = 1,845

lg 700 = 2,845

lg 7 000 = 3,845

lg 70 000 - 4,845

När talet som ska logaritme

ras ökar med 10, så ökar

logaritmen av talet med 1.

b) Eftersom lg 7 = 0,8450980. . .

och 10°> 8 4 5 0 9 8 0 ••• = 7 enligt

definitionen av tiologaritmer

så är 70 = = 1 0 - 7 = 1 0 - 1 0 0 ' 8 4 5 0 9 8 0 - = = 1 0 ' - 8 4 5 0 9 8 0 - v i l k e t i s in tur, enligt definitionen av tiologaritmer ger att lg 7 0 = 1,8450980. . . Samma resonemang kan göras för lg 700 och lg 7 000.

4348 a) x = ±7 b) x = ±300

4349 a) 7 b) l

c) - 2

4350 a) 1 b) l

c) - 1

4351 a) lg 7 X = lg 13

x l g 7 = l g l 3

x = ^ = l , 3 2 l g ?

b ) ( 1 0 ' B 7 ) j c = 10's 1 3

1 0 J C | 8 7 = 10 '« 1 3

x l g 7 = l g l 3

1,32

lg 7

4352 a) x = 1,21 b) x = 1,95

c) x = 0,51

4353 a) x = 0,88 b) x = -0 ,082

c) x = 0,089

4354 2,4 år

4355 Å r 2015

4356 V L = 2 ( l g 2 0 - l g 5 ) =

= 2 l g ^ = 2 l g 4 = l g 4 2

= l g l 6 = l g ( 2 - 8 ) =

= lg 2 + lg 8 = H L

v.s.v.

F A C I T 245

Page 245: Matematik Origo 2b

4357 Lise påbörjar förmodligen sin lösning med att dividera båda leden i ekvationen med 3, medan E r i k förmodligen logar itmerar båda leden direkt och sedan löser ut x .

4358 a) x= 12 b) x = 2

c) x = 1

4359 a) C a 22 kg b) Ca 1,4 m

43G0 a) Värdet av hennes pensionsförsäkring uppgår om 35 år til l ca 280 000 kr. H o n kommer att ha råd att bo kvar i sin lägenhet efter pensionen.

b) 88 850 kr

4361 C a 12 %

4362 C a 5,5 år

4363 a) OdB b) 120 dB

4364 a) 2,8 b) 10~7'5 m o l / d m 3 =

= 3,2 • 10" 8 m o l / d m 3

4365 Ca B å r (13,2 år)

4366 a) Ca 0,56 % per år. b) Ca 12 mil joner människor

( 11 , 7 . . . )

4366 a) 8,1 m 2

b) A = 5,0- 1,035'

c) 20 dygn

4368 a) T i l l exempel ett kapital på 160 000 kr som minskar med 5 % per år. Ef t r hur många år har kapitalet minskat t i l l 50 000?

b ) x = 22

Kapitalet har minskat t i l l 50 000 kr efter 22 år.

4369 a) 1,0 % b) A = 12-0 ,99 ' , t å r efter

år 1960.

c) 7,3 k m 2

d) Å r 2069

l 100 I 4371 a) C a 5,4 %

b) C a 13 år räknat från det år som utsläppsminskningen startade.

4372 C a 10 år

4373 a) 11 %

b) Ä r 2013

4374 2,5 • 1 0 1 6 J

4375 20 500 år

4376 Ca 32 ggr

B Blandade uppgifter

1 a) 4

b ) - 5

c ) 0

2 a) x - 2

b ) x = ±io

3 a) 5

b) 0,1

c) fl

4 a) 10'8 5 = 10 0 ' 7 0

b) 10 'e ' 9 = 10 1 ' 2 8

c) 10'8°' 4 = 10" 0 ' 4 0

d) I O 1 » 7 0 0 0 ^ 3 ' 8 5

5 a) E n lösning

b) T v å lösningar

c) E n lösning

6 a) 8

b) 2

c) 4

7 a) x = 2,08

b) x = 0,93

c)x- 1,19

22 8 a )x = — = 2,75

8 b ) x = 2 2 1 / 8 = 1,47

c ) x = ^ = l , 4 9 lg 8

9 a) x = 1,77

b ) x = 0,71

c) x = 1,37

10 a) x = 1,67

b) x = - 2

c) x - ± l , 8 2

11 4 451 kr

12 20 år

13 a) 2 482 kr

b) 2 088 k r

c) 1 912 kr

14 Ca 95 000 st

15 2X 2

16 Ca 4 , 8 % (4 ,84 . . . )

17 a) x = 16

b) x = 2

c) x = 20

18 a) x « -0 ,70

b) x = 0

c) x = 0,33

19 a) 45 m 2

b) Ca 110 m 2 (109,2)(30 dagar)

c) 28 jun i (27 dagar)

20 a) T.ex. pengar på banken som ökar med lika många procent varje år.

b) T.ex. värdet på en båt som minskar med lika många procent varje år.

21 T.ex. värdet på aktier köpta för 20 000 kr som minskar med 3 % per år.

22 Det motsvarar en årlig procentuell värdeökning på ca 23 % .

23 14 månader (13,5)

24 Ca 0,85 %

25 a) 3,5 %

b) 20 år

26 Ca 64 t immar

27 a) 64 b) 81

28 a ) - |

b) 2

29 x = ±10 8

30 V L = l gf = . g A = l g I =

= lg 1 - lg 2 = - lg 2 = H L v.s.v.

31 a) 0,29 %

b) 9,5 år

32 lg 9 är det tal man ska upphöja tio ti l l för att få nio och lglO är det tal man ska upphöja tio til l för att fa tio. V i vet att 10' = 10 och alltså är lg 10 = 1. lg 9 bör vara mindre än ett eftersom värdet av 10* ökar för ökande värden på x .

33 y = 6,25*

246 F A C I T

Page 246: Matematik Origo 2b

34 O m ca 28,5 år kan man förvänta sig att antalet sorkar och antalet huggormar är l ika på skärgårdsön.

35 a) Utbetalningarna får högst vara 9 000 kr mer än inbetalningarna under kvartal 3.

b) 148 148 kr

c)

Likviditetsbudget Kvartal 1

Kvartal 2

Kvartal 3

Likvida medel vid periodens början

12 18 9

Inbetalningar

Hundplatser 42 42 47,6

Kurser 12 8 10

Summa inbetalningar

54 50 57,6

Utbetalningar

Hyra och utrustning

11 11 11

Löner 28 28 28

Ränta 2 1.9 2,2

Amortering 5 5 5

Övrigt 2 13 2

Summa utbetalningar

48 59 48,2

Likvida medel vid periodens slut

18 9 18,4

36 1,91 mil joner

37 16 000 år (15 683)

38 a) 92 °C

b) T ( r ) = 92 • 0,95', där T ä r temperaturen i ° C och t är tiden i h.

c) 8,3 h

? Kapiteltest

1 a) 16

b) 0,25

c) 9

2 a) x = lg2

b) x = l g 3 , lg 3

c) x = f— lg2

3 500 000-0 ,0675

4 a) Ca 0,6

b) Ca -0 ,4

5 a) 3 2 1 / 2

b ) x 4 / 3

6 lg 0,1 l g 0 , 9 9 lg 1 lg 10 1,01

7 60 000- 1,02'= 73 140

8 a) lg 800 = lg (8 • 100) =

= lg 8 + l g 100 = 0,90 + 2 = 2,90

b) lg 0,75 = l g | =

lg 3 - l g 4 = 0 , 4 8 - 0 , 6 0 = -0 ,12

c) I g l 6 = l g ( 8 - 2 ) = lg8 + l g 2 = = 0,90 + 0 , 3 0 = 1,20

Intäkter (kr)

Försäljning 2 000 000

Kostnader (kr)

Varukostnad 1100 000

Hyra 100 000

El, värme mm. 60 000

Lönekostnader 600 000

Ränta på lån 20 000

Resultat 120 000

b) Räntan minskar t i l l 18 750 kr och lönekostnaden ökar t i l l 612 000 kr. Resultatet bl ir 109 250 kr.

10 1,6

11 a) x = 2,29

b) x = ±3,34

c) x = 1,62

12 2 , 4 %

13 a) p(t) = 1 250 000- 1,08'

b) C a 6 år

14 • x = -100

V L = lg ( -100 ) 2 = 4 = H L

x= 100

V L = l g l 0 0 2 = 4 = H L

Alltså är x = -100 och x = 100

rötter t i l l ekvationen.

• ^ ^ = 4

10's* 2 = 10 4

x 2 = 1 0 4

x = ±100 När Kalle flyttar ner 2:an i exponenten med hjälp av den tredje logaritmlagen, så förutsätter han att x är ett positivt tal . Det behöver det inte vara i det här fallet.

Geometri 5101 z = 57°

5102 v = 246°

5103 L ikheten i a) och c) gäller.

5104 x = 22,5°, 2x = 45° och 5 x = 112,5°

5105 (3= 122° och « = v = 58°

5106 u= 107° och v = 7 3 °

5107 x = 134° ,y = 4 6 ° o c h z = 134°

5108 A B A C = 80°

5109 a = 21°

5110 a) Ol ikheten gäller eftersom en rak v inkel är 180° och en spetsig vinkel är mindre än 90°.

b) Ol ikheten gäller inte eftersom en trubbig vinkel är mellan 90° och 180° och en spetsig v inkel är mindre än 90°. I så fall bl ir t.ex. 1 1 0 ° - 8 0 ° = 30°.

c) Ol ikheten gäller eftersom en rät v inkel är 90° och en trubbig v inkel är mellan 90° och 180°. Ski l lnaden blir alltså ett värde som är mindre än nol l .

5111 V inke ln mellan visarna är 120°.

5112 v = 60°

5113 Den mindre v inkeln mellan visarna är 119°.

5114 115°

5115 a) x = 57°

b) v = 57°

5116 a) x = y = 55°

b) v = 96°

5117 a) u = 52° och v = 104°

b) u = v = 40°

5118 a) w = v = 9 0 °

b) u = 53° och v = 24°

5119 a) A P = 27° och A Q = 63°

b) A P = 60° O C 1 I A Q = 120°

5120 a) u = 59° och v = 117°

b) u = 75°

5121 v = 38°

5122 u = 65° och v = 115°

FACIT 247

Page 247: Matematik Origo 2b

5123 a) 0 = 113°

b ) a = 130°

5124 u = 30°

5125 a = 22,5°

5126 Diametern delar cirkeln mitt i tu . Diametern bildar en medelpunktsvinkel som är 180°. Enligt följdsatsen til l randvinkelsatsen är randvinklar på samma cirkelbåge l ika stora. Av detta följer att alla randvinklar t i l l en halvcirkelbåge är l ika med

180° = 90°,

dvs. en rät vinkel,

v.s.b.

5127 26,5 cm

5128 x ~ 7,4 c m och y ~ 3,9 c m

5129 « = 32,5°

5130 A C = 14,4 c m

5131 126°

5132 Från cirkelns medelpunkt drar v i tre radier som hjälplinjer enligt figurerna.

5133 Från cirkelns medelpunkt drar v i två radier til l de hörn som inte bildar v ink larna u och v.

Båda tr ianglarna som bildas inuti fyrhörningen är liksidiga trianglar med radien som sid-längd. V ink la rna in en liksidig triangel är 60°. V inke ln w är sammansatt av två av dessa v ink lar

tv = 6 0 ° + 6 0 ° = 120°

Då har v i

w + a= 180°

Vinkelsumman av motsatta vinklar i en inskriven fyrhörning a = 1 8 0 ° - 1 2 0 ° = 60° v.s.b.

u + v -

Medelpunktsvinklarna som bi ldas är t i l lsammans 360°. V ink la rna u och v är randv ink lar som spänner upp varsin cirkelbåge som hör ti l l dessa medelpunktsvinklar . Av detta följer att

360° 2

Randvinkelsatsen

u + v = 1 8 0 ° v.s.v.

5201 x = 16 cm

5202 Nej , motsvarande v ink lar är inte l ika stora.

5203 B, C och D

5204 x = 6 , 9 c m , y = 18 c m och z = 14 cm

5205 a) — = 2,5 6

b) Kvadraterna är l ikformiga. I varje kvadrat är alla sidor l ika långa, vi lket innebär att förhållandet mellan respektive sidor för dessa två kvadrater är l ika med 2,5.1 varje kvadrat är varje v inkel l ika med 90°, vilket innebär att alla v ink lar är l ika i de två kvadraterna.

5206 11 cm och 21 cm

5207 Tr ianglarna är inte l ikformiga eftersom förhållandet mel lan motsvarande sidor inte är l ika ,

25 14 t.ex. — * —

14 8

5208 Tr ianglarna 1, 3 och 5 är likformiga.

5209 a) x = 17,5 cm o c h y = 12,5 c m

b) x = 10,2 c m och y ~ 12,1 c m

5210 a) Triangeln som formas av pyramidens höjd, sträckan från pyramidens mitt + skuggan och solstrålen är likformig med triangeln som formas av staven, dess skugga och solstrålen,

b) 140 m (144 m )

5211 13,5 cm , 25,5 cm och 28,5 cm

5212 A A B C - ABDC ~ AADB eftersom

A A och A C är gemensamma vinklar

Trianglarna överensstämmer i två vinklar .

5213 u — 42° , v = 48°, x - 10,3 cm och y ~ 7,6 cm

5214 a) "överensstämmer"

b) "förhållandet" och " l ika"

c) "förhållandet" och " l ika"

d) "v ink larna" och "l ika stora"

5215 T.ex. (cm)

\3

med

5216 AB = 5,4 cm

5217 a ) x - 15 ,7cm

b ) x = 10,3 cm

5218 Likformigheten medför att A B BC

A'B'~ B'C Multipl icera båda leden

A'B'

BC AB A^_BC_ AW_

A'B' BC = B'C BC AB _ A'B' BC~ B'C v.s.b.

5219 x = 2 8 c m

5220 Som mest 1,43 m

5221 a) x = 6,7 cm

b) x = 6,5 cm

5222 a) x = 6,3 cm b) x = 6 cm

5223 Sträckan x är 12 c m

5224 a) u = 115° b) K = 71°

5225 B C = 6 cm

248 F A C I T

Page 248: Matematik Origo 2b

5227 Nya basen bl ir 3,1 cm kortare

5228 Area = 1 1 0 0 m 2 ( l 111)

5229 x = 6 , 0 c m

5230 x = 4 , 5 c m o c h y = 10 cm (10,3)

5231 BD ~ 7,8 cm

5232 Bisektrissatsen ger BD AB DC~ AC Multiplicerar båda leden med

AC • DC och förkortar

ACBD = AB- DC

AB = DC ger

AC-BD = AB2 v.s.v.

5233 De markerade v inklarna är l ika i figuren, dvs.

AADE = AABC

ADEA = ABCA

Detta medför att tr ianglarna ABC och ADE är l ikformiga, eftersom de överensstämmer i två vinklar.

Likformigheten innebär att förhållandet mellan motsvarande sidor är l ika

a + b _ c + d a c

Multiplicerar båda led med ac och förkortar

V i delar upp båda leden i två termer

a b c d - + — = - + — a a c c , b , d 1 + - = 1 + -

a c b_d a c v.s.b.

5234 z = V5 cm « 2,2 cm , y = 7,2 c m

och x = 7,7 c m

5235 E F = 6 5 cm

523G x = 87 cm och y = 52 cm

5237 x = 35° ,y = 79° och z = 66°

5238 AB = 40°, A C = 80°, A M = 60° och A P = 80°

5239 a) Varje sida är 17 cm och varje vinkel är 60° (liksidig triangel)

b) AM = 22°, NP = 5 cm och MN = 12 cm

5240 AD = 12 c m , B C = 18 c m , NP = 24 c m och RM = 19 cm

AB = 87°, A D = 142°, A N = 61° och A P = 70°

5241 1 4 4 c m 2

5242 Ja, enligt Pythagoras sats är längden av den okända kateten i triangeln til l höger 15 cm och hypotenusan i triangeln ti l l vänster 25 cm . O m alla tre sidor överensstämmer i två trianglar, så är tr ianglarna kongruenta (enligt det andra kongruensfallet, SSS) .

5243 a) "överensstämmer" och "sidor"

b) " t vå " och "mellanliggande"

c) " t re"

d) " t vå " och "mellanliggande"

5244 180 c m 2

5245 Triangeln MNP är l iksidig eftersom alla v ink lar är 60°. Höjden i en l iksidig triangel delar basen mitt i tu , vilket medför att i t r i anglarna MNQ och MQP gäller

MN = MP

eftersom MNP är liksidig

MQ = MQ

samma sträcka

NQ=QP

höjden delar basen mitt itu, ty liksidig triangel

Enligt det andra kongruensfallet är AMNQ = AMPQ.

5246 Bisektrisen delar ABAC i l ika delar. Därför är ABAD = A D A C .

Eftersom triangeln är l ikbent är också A A B D = A A C D .

Triangeln ABD och triangeln ACD överensstämmer därmed i två v inklar och i den mellanliggande sidan. Därför är AABD kongruent med A A C D . v.s.v.

5247 A C = 124° och AD = 132°

5248 De två rektanglarna är kongruenta. I varje rektangel är alla v ink lar räta, vilket medför att rektanglarna överensstämmer i alla vinklar . MQ och NP är sidor som motsvarar sidorna AB och CD. På samma sätt motsvarar sidorna MN och P Q i rektangeln MNPQ sidorna BC och AD i rektangeln ABCD.

Eftersom rektanglarna överensstämmer i alla v ink lar och motsvarande sidor, så är rektanglarna kongruenta.

5249 Triangel A B E och triangel CDE har två sidor som överensstämmer men v i vet inte om den tredje också gör det. E n vinkel är l ika stor i de båda trianglarna , men den är inte den mellanliggande v inkeln . V i kan därför inte dra slutsatsen att BE = EC.

5250 MN <• 4,3 c m , NP = 2,5 cm och M P = 5 cm

AM = 30°, AJV = 90° och A P = 60°

5251 O m två rätvinkl iga trianglar överensstämmer i hypotenusa c och en katet b, så medför detta enligt Pythagoras sats att längden a av den tredje sidan är

Vc2 - b2 = a

där a är ett positivt tal

Men i så fall måste längden av den tredje sidan vara l ika i båda tr ianglarna, eftersom det inte finns två olika positiva tal som har samma kvadrat , dvs. det finns bara ett positivt a som ger a2 = c2 - b2. Detta medför att alla tre sidlängderna a, b och c överensstämmer i de två trianglarna. Enligt det andra kongruensfallet är tr ianglarna kongruenta.

B Blandade uppgifter

1 a) v = 148°

b ) x = 112° ,y = 68° o c h z = 112°

2 H = 78°

3 Ja, eftersom v ink larna är l ika stora och förhållandet mellan motsvarande sidor är l ika (1 :2 ) .

4 x = 29 cm (28,8)

F A C I T 249

Page 249: Matematik Origo 2b

5 AAOB = 60°

6 w=25°

7 v = 95°

8 x = 16 c m , / = 28 c m , v= 118° och w = 81°

9 x = 85°, y = 35°, z = 60°

10 A M O N = A P O Q Verri/ca/vmMar A M J V O = A O P Q Alternatvinklar vid parallella linjer Av detta följer att tr ianglarna överensstämmer i två v ink lar och därför är l ikformiga. AMNO ~ APOQ v.s.b.

1 1 a) x = 8,1 cm

b ) x = 14 cm

12 a = 67,5°

13 a = 243°

14 AD = 6 cm

15 C a 22 m

16 a) a = 110° b) a = 60°

17 Tr ianglarna ABC och MNP är kongruenta

A A B C = AMNP = 90°

BC = NP

Båda två är 8 cm

MN är 6 cm enligt Pythagoras sats. Detta medför att två sidor och den mellanliggande vinkeln överensstämmer i de två tr ianglarna och enligt det första kongruensfallet (SVS ) är trianglarna kongruenta.

18 5,2 m

(Kan beräknas med hjälp av topp-triangelsatsen, transversalsatsen och Pythagoras sats)

19 V i ska visa att triangeln EDA är l ik

bent.

Enligt figurens beteckningar gäller att

A £ A B = A £ A D

Sträckan EA är bisektris

A D £ A = A £ A B

Alternatvinklar vid parallella linjer

Då har v i att

A D £ A = A E A D

Triangeln AED är alltså likbent och det medför att DE = DA v.s.v.

20 a) x ~ 2,4 cm

b) x = 12,6 cm

2 1 14 cm (13,7)

22 A C = 7,4 cm

23 a ) y = 5 6 °

b)y = x

AATC = ADTB = 90° Randvinklar som spänner upp en halvcirkelbåge

Då måste även

A B T C = A D T A = 90°

eftersom alla fyra vertikalvinklar är

90°. Det medför att

A A T C + A B T C = 90° + 90° = 180°

Men A A T B = A A T C + A B T C = 180° Vilket betyder att A A T B är en rak v inkel och då måste punkterna A , T och B ligga på samma sträcka, v.s.v.

25 A A D B = 115°

6 a) Triangel A B E och triangel CDE överensstämmer i två sidor och en mellanliggande vinkel . Tr i anglarna är därmed kongruenta och A B = CD.

b) Informationen är otillräcklig. V i kan inte dra någon slutsats om kongruens eller att A B = CD.

c) Triangel ABD och triangel CDA överensstämmer i två sidor men A D A C och A A D B är inte mellanliggande vinklar. V i kan därför inte dra slutsatsen att trianglarna är kongruenta eller att BD = A C .

7 u = 80° och x = 4,3 cm

8 A A B D = 37°

9 Ca 2 000 m (2 018)

10 w = 47°

1 1 • B C = 24 cm (23,8)

• x = 26 cm (26,4)

• Topptriangel: x _ h - x b~~h~

xh = b(h-x)

xh = bh- bx

xh + bx = bh

x(h + b) = bh

v.s.v

? Kapiteltest

1 a) u = 43°

b) u= 12°

2 u = 67°, v = 134° och tv = 89°

3 A A = 60°, A B = 70°, A C = 50°

4 V ink la rna är 65°, 55° och 60°

5 ABAC = APAQ Samma vinkel AABC = A A P Q Enligt figuren

Av detta följer att

A A B C - A A P Q

eftersom trianglarna överensstämmer i två vinklar . Förhållandet mellan motsvarande sidor blir AB AC Ä P = Ä Q

250 F A C I T

Page 250: Matematik Origo 2b

Statistik 6101 1,7 °C

6102 a) Medelvärde = 7,4 Median = 7

b) Medelvärdet stiger til l 8,6, men medianen ändras inte.

6103 Typvärde, eftersom man v i l l ha just en så stor lägenhet.

6104 a) 2,7 böcker

b) 1 bok

6105 a) 4,3 mål

b) 5 mål

6106 T.ex. 3 ,8 , 12 ,13 ,14

6107 22 år, eftersom alla har blivit 4 år äldre och v i förmodar att inga nya famil jemedlemmar har t i l lkommit .

6108 Pål har rätt. Per har inte räknat med 0 som ett värde.

6109 Klass A har högst medelvärde, klass B högst median och klass C högsta typvärde.

6110 a) Medelåldern sjunker t i l l 39,4 år

b) Medianåldern ändras inte

6111 Båda kan ha rätt. Sara har använt medelvärde, medan tränaren använt median.

6112 O m man ska ange ett lägesmått för en sned fördelning. T.ex. 14, 15, 16, 18,107

6113 Stinas påstående är felaktigt, eftersom medianen är 21. Det måste vara minst 15 elever som har färre poäng än vad hon har.

6114 27 cm (27,3)

6115 a) 13 år

b) T.ex. 9 , 11 , 15 och 17 år

6116 55 km/h

6117 Talet 90

6118 Han kan ha rätt om det är 3 flickor och 21 pojkar i S p l a och 18 flickor och 6 pojkar i Sp lb .

6119 62. T v å tal ska vara mindre än eller l ika med 22 och två större eller l ika med 22. Fem tal med medelvärde 22 har summan 110. Den lägsta möjliga summan av fyra av talen är 1 + 2 + 22 + 23 = 48 1 1 0 - 4 8 = 62

6130 T i l l exempel

0,42 kg

a) 22 poäng

b) 17 poäng

c) 7 poäng

d) 2 5 %

e) 16 elever

a) 8 g b ) 798 g, 800

c ) 4 g

C

a)

5 10 15 20

b) 15

c) 7

6125 a) 2 700 kr

b) 4 700 kr

c) P 9 0 = 30 000 kr

10 % av männen har mer än 30 000 kr i lön . (90 % av männen har en lön som är lägre än 30 000 k r )

6126 a) 25 %

b) 113 personer (112,5)

6127 Att 1 200 invånare är under 25 år och l ika många är över 81 år. Medianåldern är 68 år. (Samhället ligger troligen i en avfolkningsbygd.)

6128 Fl ickornas resultat är bättre, medianen är högre och spr idningen mindre , men det allra bästa resultatet hittas i pojk-gruppen.

6129 a) Variationsbredden är 8

b)

10

i i i i i i i i i i i i i i i 10 15 20

6131 T.ex. månadslönerna v id ett företag. V D tjänar 40 000 kr , den lägst betalda 19 000 kr. Medianlönen är 25 000 kr.

6132 a) 40 % av cheferna har lägre inkomst än 38 000 kr före skatt,

b) 34 %

c) A Chefer före skatt B Chefer efter skatt

1 1 I I I 20 000 40 000 60 000 80 000

• 10:e-40:eperc Månadslön 40:e-60:e perc

• 60:e-90:e perc

6133 a) T.ex. 0,5 c m ; 0,5 c m ; 0,5 c m ;

0,5 c m och 13 cm

b) 0 < variationsbredden < 15

6134 Medelvärde = 7 Standardavvikelse = 3,7

6135 a) 11 1

b) 2,8 1

6136 a) Före: medelvärde = 85 standardavvikelse = 1 0

Efter: medelvärde = 74 standardavvikelse = 1 0

b) Ja, eftersom medelvärdet är betydligt lägre efter medici-nering och standardavvikelsen är ungefär densamma.

6137 a) Medelvärdet är v id båda metoderna 23 månader och standardavvikelsen v id metod I 2,0 månader och v id metod I I 3,3 månader,

b) Metod I eftersom medelvärdet är l ika och spridningen v id denna metod är mycket mindre.

6138 Medelvärde = 3,8 slag, standardavvikelse = 1,4

6139 Medelvärdet ändras med det tal man lägger t i l l , men standardavvikelsen ändras inte.

F A C I T 251

Page 251: Matematik Origo 2b

6140 a) Standardavvikelsen = 14 g

b) Standardavvikelsen ändras inte.

6141 a) 68 %

b) 47,5 %

c) 84 %

d) 81,5 %

6142 Medelvärdet är lägre för den röda kurvan . Den blå och lila kurvan har samma medelvärde. Standardavvikelsen är minst för den röda kurvan och störst för den l i la .

6143 2 , 5 %

6144 97,5 %

6145 a) 50 %

b) 95 %

c) 9 bilister

6146 Kurvan förflyttas åt höger, eftersom medelvärdet ökat. Kurvan bl ir smalare och högre, eftersom standardavvikelsen minskat .

6152 T.ex ett material som inte består av tal . E l ler ett material där medelvärdet avviker från medianen, eftersom v i i en normalfördelning förutsätter att observationerna delas i två l ika delar av medelvärdet.

6153 a) Ungefär 730 st (81,5 % finns

mellan 30 och 42 cm)

b) 5,5 cm

6154 C i r ka 8 4 %

6155 Efter 6 år

6156 Jesper. Det är bara ca 20 % som har kortare reaktionstid än Jesper, medan det är närmare 50 % som har kortare reaktionstid än Jonatan.

6201 a) Ja, ofta har personer med hög inkomst också stora bostäder.

b) Nej, det beror mer på personen. Korrelat ion saknas.

6202 a) Ja, negativ korrelation.

6147 a) 2,5 %

b) Drygt 280 elever (283)

c) Medelvärdet är något högre än tidigare (30,4 poäng) och spridningen är något mindre (standardavvikelsen = = 5,2 poäng) . Resultatet är lite bättre på det nya testet.

6148 I båda fallen är det 50 % chans.

b) Ja, det är förmodligen lättare att träffa j u närmare man står.

6205 a) Spridningsdiagrammet visar positiv korrelation.

% . - r r , : | ~ . . | . - ~ . . . . . . . . . ^

b) Ja troligen, men det finns säkert även andra faktorer som påverkar resultatet, som exempelvis hur bra man förstått på lektionerna och hur intresserad man är.

6206 Det finns en svag negativ korrelation. Det finns även ett kausalt samband. O m bilen har gått långt så sjunker priset. Det finns förstås andra saker som också påverkar priset, t.ex. årsmodell och skicket.

6207 a) Ja här finns ett kausalt samband. Att rökning leder till ohälsa är både välkänt och bevisat.

b) Även om man hittat en korrelation så finns det inget kausalt samband. Det är knappast troligt att betygen beror på hur mycket grönsaker man äter. Men en livsstil där man äter rätt leder säkert ti l l att man blir piggare och klarar studierna bättre.

c) Även om någon undersökning påvisat en viss korrelation så är det knappast troligt att det råder kausalitet. Kanske högutbildade sätter sina barn tidigt i förskolan och att barnen studerar därför att föräldrarna har gjort det.

6149 Medelvärde och median sammanfaller och normalfördelningen är symmetr isk k r ing dessa.

6150 480 g

6151

6203

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

En dator från företag 1 har 50 % chans att datorn håller batteritid på mer än 15 h. För en dator från företag 2 är chansen bara 2,5 % . Man har för det mesta en användningstid v id batteridrift som är 2 t immar längre i det första fallet.

Nej , för att det ska finnas ett kausalt samband krävs korrelat ion. Ett spridningsdiagram visar inte någon korrelation.

6204 a) Positiv, fler trafikanter ger fler olyckor.

b) Negativ, högre uppvärmningskostnad v id lägre utetemperatur.

c) Positiv, en lång person väger oftast mer än en kort .

d) Ingen, månens faser påverkar inte brottsligheten.

252 F A C I T

Page 252: Matematik Origo 2b

6208 a) En svag positiv korrelation i båda fallen,

b) Det är inget kausalt samband. Första kravet uppfyllt. Andra kravet inte uppfyllt , eftersom en större lägenhet inte alltid leder till högre hyra än en mindre. Jämför t.ex. 3:an på andra raden med 2:an på näst sista raden, eller 4:an på första raden. Tredje kravet är inte heller uppfyllt eftersom det finns flera saker som påverkar pr i set t.ex. antalet r u m , läge och vilket våningsplan.

6209 Svag negativ korrelation. Ingen kausalitet. Det går inte att ut ifrån materialet säkert dra slutsatsen att hög spädbarnsdödlighet följer med låg BNP. Det kan finnas andra orsaker som landets styre eller folkmängd t.ex.

%0 ' v Spädbarnsdödlighet Q x~

J

7 -1 / J

r 1 u J

r "\ J J

]

3 1 J

2 3 *

i n Lh iie i J (u X n \ID

U M r S

n in ; r nn 1 i nnr us$/ — — — ——L_ person

6210 a) Negativ korrelation: T.ex. tiden som lagts ned på löpträning och tiden för en löprunda i spåret.

b) Positiv korrelation: T.ex. fotstorlek och kroppslängd.

c) Ingen korrelation: T.ex. antal syskon och antal poäng på matteprovet.

f*l

i ] J i 3

*

i n i j

i H La I l l U D

S 20 A n 60 sn /

b) Bogotå ligger på hög höjd och har därför svalt k l imat .

c) C a 7 ° C

6212 a ) y = 2 , 9 x + 2,3

b ) y = 15 ,Qx- 12,0

6213 N = 0 , 6 P + 8 5

6214 a) Lufttrycket sjunker med höj

den över havet.

b) y = -0 ,12x + 1 013

c) 1 013 hPa

6215 a) y = 8,9x + 11,0 där y är höjden i centimeter efter x år.

b) Efter drygt 20 år (21 ,2) .

6216 a) 47 kg

b) Mer än 11° C

B Blandade uppgifter 1 a) Medianvärdet

b) 15,8 kg

2 a) 2 mål

b) 1,5 mål

c) 3 mål

3 72 kg

4 a) Spridningsdiagrammet visar en svag positiv korrelation,

b) Det finns många faktorer som kan påverka försäljningen, inte bara antalet arbetstimmar. Därför kan man inte säga att det finns ett kausalt samband.

5 a) 175 cm

b) 175 cm

6 37,6 m g / m 3 och 48,4 m g / m 3

7 2 , 5 %

8 a) Medelvärde = 41 minuter, standardavvikelse = 4,5 minuter

b) Medelvärdet ökar med 10 m inuter men standardavvikelsen ändras inte.

9 Positiv korrelation

10 T.ex. 8 , 8 , 10, 16 och 18

11 56 år

12 5 %

13 T.ex. lönerna i ett företag med sju anställda är 15 850 kr , 16 740 kr , 17210 kr , 17 530 kr , 18 260 kr , 21 060 kr och 24 050 kr. Beräkna median, variationsbredd och kvartilavständ för de anställdas löner. Medelvärdet är 18 671 kr.

14 Medelvärdet och medianen ökar med 2 000 kr. Variationsbredden och kvartilavståndet ändras inte.

15 a) y= I2x+ 1 430

b) 12 kr/mi l

c) 1 430 kr

d) 2 030 kr

16 Det är större spridning för serie B. För serie A är standardavvikelsen 0,9, variationsbredden 2,2 och kvartilavståndet 1,7. För serie B är standardavvikelsen 1,5, variationsbredden 4 och kvartilavståndet 2,7.

17 a) Lönespridningen är större på den nya arbetsplatsen. Den nya arbetsplatsen har högre medianlön.

b) D å bör han ligga strax över medianen på det nya företaget också, 30 000-32 000 kr är ett r imligt förslag.

18 a) Matematik : medelvärde = 53,6 poäng, standardavvikelse = 26,6 poäng. Engelska: medelvärde = 53,6 poäng, standardavvikelse = 9,2 poäng,

b) Medelvärdet är samma men spridningen är mycket mindre i engelska. Man har fler höga och fler låga resultat på matematiken.

19 Ungefär 2 , 5 %

20 Felix vann. Felix o = 1,7, kvarti lavständ = 3, variationsbredd = 5 Fabian o" = 1,75, kvarti lavständ = 4 , variationsbredd = 5

21 a) 6 m in 35 s

b) 3 m i n 19 s

22 84 km/h

F A C I T 253

Page 253: Matematik Origo 2b

23 a) x < 5 ger medianen = 5, x > 5 ger

medianen = 6

b) x - 5 ger medelvärde och medi

an = 5, x = 10 ger median och

medelvärde = 6.

? Kapiteltest

1 Negativ korrelation

2 Medianvärdet, eftersom den högsta

lönen drar upp medelvärdet.

3 a) 68 m i n

b) 100 min

c) 44 m in

4 De personer som dömts til l skydds

til lsyn har inte gjort l ika allvarliga

brott som de som dömts ti l l

anstaltsvård och har därför troligt

vis färre brottsåterfall .

5 Medelvärdet och medianen ökar

med 150 g, kvartilavståndet och

variationsbredden ändras inte.

6 a) - Lena är bland de 10 % högst

betalda på företaget.

- 5 % av alla vuxna är längre än

sängarna.

- I affären finns 90 % av alla

storlekar som til lverkas, de

5 % minsta och de 5 % största

finns inte.

- Att bara 18 % av studenterna

har ett bättre resultat.

b) T.ex.

Katjas längd ligger på den 40:e

percentilen i hennes ålders

grupp.

Tolkning: I Katjas åldersgrupp är

40 % kortare än Katja

( 6 0 % är längre).

7 2 , 5 %

8 a) Medelvärde = 82,6 cm

Median = 87

b) Nej , det angivna värdet ligger

mellan medelvärdet och medi

anen.

9 a) C a 3 600 g

b) Ca 110 g

10

20 25 30 35

11 Kvartilavståndet är 1 i båda fallen

medan standardavvikelsen är 3,5 i

serie B och 1,1 i serie A . Variations

bredden är 4 i serie A och 12 i serie

B. Värdet 15 påverkar standardav

vikelsen och variationsbredden

mycket.

12 y= 1 5 , 2 * - 9 , 1

13 • På logiska resonemang, eftersom

han där ligger en standardavvi

kelse över medelvärdet. På de

övriga delarna är resultatet min

dre än en standardavvikelse över

medelvärdet.

• 84 % motsvarar x + 1G i ett nor

malfördelat material . Det inne

bär att 16 % presterar ett högre

resultat än x + o". Poänggränser

na för att komma in blir då

94 p, 136 p och 18 p. Ebbe kom

mer inte in eftersom han precis

klarade gränsen på endast ett

delprov.

Bildförteckning 6 - 7 Satin/Shutterstock.com l o OlgaLis/Shutterstock 13 Christian Delbert/Shutterstock 19 Yuri Arcurs/Shutterstock

27 MSPhotographic/Shutterstock 28 Mandy Godbehear/Shutterstock 30:1 Steven Chiang/Shutterstock 30:2 Arunas Gabalis/Shutterstock 31:1 Terenza Medosa/Shutterstock 31:2 Oranong/shutterstock

31:3 Oleksiy Mark/Shutterstock 31:4 Jouke van Keulen/Shutterstock 35 Kruchankova Maya/Shutterstock 3 8 - 3 9 Getty lmages, Pool/Scanpix 47 Joy Brown/Shutterstock

54 YanLev/Shutterstock 63 Vaclav Mach/Shutterstock 64:1 SP1/1BL

64:2 Bettmann/Corbis/Scanpix 68 AMA/Shutterstock 72-73 Alexander Chaikin/Shutterstock

82 Max Topchii/Shutterstock 95 holstphoto/Shutterstock 97 Fotografiche/Shutterstock

102 Edyta Pawlowska 103 Anna Kucherova/Shutterstock 106 holbox/Shutterstock 109 Gosphotodesign/Shutterstock 112-113 NAN728/Shutterstock 116 Mika Heittola/Shutterstock

119 Yuri Arcurs/Shutterstock 120 Kzenon/Shutterstock 122 Lisa S./Shutterstock

130 Noah Strycker/Shutterstock 138 Brand X Pictures

141 D m i t r i Kaiinovsky/Shutterstock 142 Olivier Le Queinec/Shutterstock 145 Zdorov Ki r i l l Vladimirovich/Shutterstock 148 Arpi/Shutterstock 150 T D C Photography/Shutterstock.com 151:1 M P L / I B L

151:2 U l f Palm/Scanpix 151:3 Photoresearchers/IBL

151-152 Typoform 157 Uryadnikov Sergey/Shutterstock 160-161 Vitalliy/Shutterstock 163 Krivosheev Vitaly/Shutterstock

164 Edyta Pawlowska/Shutterstock

169 01y5/Shutterstock 174 nutsiam/Shutterstock

185 loseph/Shutterstock 186 Science Photo Library/IBL 191 tungtopgun/Shutterstock.com 194-195 holbox/Shutterstock

199 Fedor Kondratenko/Shutterstock 200:1 Dimit r ios Kaisaris/Shutterstock 200:2 Dimit r ios Kaisaris/Shutterstock 200:3 Dimit r ios Kaisaris/Shutterstock 203 Natali Glado/Shutterstock 207 Phase4Photography/Shutterstock 211 Jeppe Gustafsson/Scanpix 214:1 Bearman/Shutterstock 214:2 Opimarc/Shutterstock 215:1 pio3/Shutterstock 215:2 jupeart/Shutterstock 215:3 pichayasri/ Shutterstock 216 Val Thoermer/Shutterstock 218 Boris Stroujko/Shutterstock

221 Photodisc 222 Deutsche Bundesbank 225 Sebastian Knight/Shutterstock 227 Sportlibrary/Shutterstock

254 F A C I T

Page 254: Matematik Origo 2b

Matematik Origo är moderna läroböcker skrivna för Gy 2011 med

Utförliga förklaringar, lösta exempel och varierade övningsuppgifter

Tematiska uppgifter, kommunikationsuppgifter och problemlösning för alla

Målbeskrivningar, tankekarta och test t i l l varje kapitel

Serien består av

Matematik Origo ib , 2b och 3b för

Samhällsvetenskapsprogrammet, Ekonomiprogrammet, Humanistiska programmet och Estetiska programmet

Matematik Origo I C , 2c, 3c, 4 och 5 för Naturvetenskapsprogrammet och Te kni kprogrammet

Till varje bok i serien Matematik Origo hör en lärarguide.

SanomaUtbildning www.sanomautbildning.se


Recommended