MATEMATIKË 1
Detyra të zgjidhura – pregaditje për provim
Nga: Ermon Cervadiku
[]
Elementet e algjebrës lineare-Matricat
Veprimet me matrica Mbledhja e matricave
1. Janë dhënë matricat?
A=(0 −11 2 )
,
B=(2 00 1 )
,
C=(1 01 −2 )
Njehsoni: b) 2A-2B+C
Zgjidhje:
1. b)
2 A−2 B+C=2(0 −11 2 )−2(2 0
0 1 )+(1 01 −2 )=(0 −2
2 4 )−(4 00 2 )+(1 0
1 −2 )= (−3 −2
3 0 ).
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Të kompletohet matrica vijuese?
Nëse janë dhënë a21 = 4, a32 = 5, a13 = 3, a23 = 6, a12 = 7, a31 = -2.
A =(6 ¿ ¿¿ 8 ¿¿ ¿ 9 )
Zgjidhje: 2.
A=( 6 7 34 8 6
−2 5 9 ).
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Gjeni vlerat e ndryshme x,y,z,t që të vërtetojnë barazimin?
b) (2 x − yz t )=( x −4
−1 2 t )+( 4 x+ y2+t 3 ) .
Zgjidhje: 3. b) (2 x − yz t )=( x −4
−1 2 t )+( 4 x+ y2+t 3 )⇒(2 x − y
z t )=(x+4 −4+x+ y1+t 2t+3 )
Për t’a lehtësuar mënyrën e zgjidhjes së problemit, prej shprehjes së sipërme marrim:
I) 2 x=x+4⇒ x=4 ;
II) − y=−4+ x+ y⇒− y=−4+4+ y⇒−2 y=0⇒ y=0 ;
III) t=2 t+3⇒−t=3⇒t=−3 ;
IV) z=1+t⇒ z=1−3⇒ z=−2 .
Pra, parametrat e kërkuar që e vërtetojnë barazimin janë: x=4 ; y=0; z=−2 ; t=−3 ;Prova:
(2 x − yz t )=( x −4
−1 2 t )+( 4 x+ y2+t 3 )⇒
(2⋅4 0−2 −3 )=( 4 −4
−1 2⋅(−3))+( 4 4+02−3 3 )⇒( 8 0
−2 −3 )=( 8 0−2 −3 )
;--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2
Shumëzimi i matricave:
4. Matrica A është e tipit 2x5. Sa duhet të jetë numri i shtyllave të matricës B, që të ekzistojë prodhimi B⋅A .
Po numri i rreshtave të matricës C që të ekzistojë prodhimi A⋅C .?
Zgjidhje:4. Numri i shtyllave të matricës B duhet të jetë 2, ndërsa numri i rreshtave të matricës C duhet të jetë 5.--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5. Tregoni cilat shumëzime janë të mundshme dhe gjeni matricën e prodhimit?
a)
(1 3 41 5 6 )(123);
e)(23 )(05)
; f)
(0 1 2 )( 2 0 3−1 1 40 1 2 )
; h) (m 0n 1 )(1 m 0
0 0 m).
Zgjidhje:
5. a)
(1 3 41 5 6 )(123)
matrica e parë është e tipit (2x3), ndërsa matrica e dytë është e tipit (3x1), meqë numri i shtyllave të matricës së parë është i barabartë me numrin e rreshtave të matricës së dytë atëherë ekziston
mundësia e shumëzimit të këtyre matricave.
Matrica e prodhimit është
(1 3 41 5 6 )(123)=( 1+6+12
1+10+18)=(1929 )
, matricë e tipit (2x1)
e)(23 )(05)
matrica e parë është e tipit (2x1), ndërsa matrica e dytë është e tipit (2x1), meqë numri i shtyllave të matricës së parë nuk është i barabartë me numrin e rreshtave të matricës së dytë atëherë nuk ekziston as mundësia e shumëzimit të këtyre matricave.
f)
(0 1 2 )( 2 0 3−1 1 40 1 2 )
matrica e parë është e tipit (1x3), ndërsa matrica e dytë është e tipit (3x3), meqë numri i shtyllave të matricës së parë është i barabartë numrin e rreshtave të matricës së dytë atëherë ekziston mundësia e shumëzimit të këtyre matricave.
Dhe prodhimi i këtyre matricave është:
(0 1 2 )( 2 0 3−1 1 40 1 2 )= (0−1+0 0+1+2 0+4 +4 )=(−1 3 8 )
Pra, matrica e prodhimit është (−1 3 8 ) , një matricë e tipit (1x3).
h) (m 0n 1 )(1 m 0
0 0 m) matrica e parë është e tipit (2x2), ndërsa matrica e dytë është e tipit (2x3), meqë
numri i shtyllave të matricës së parë është i barabartë numrin e rreshtave të matricës së dytë atëherë ekziston mundësia e shumëzimit të këtyre matricave.
Dhe prodhimi i këtyre matricave është:
3
(m 0n 1 )(1 m 0
0 0 m)=(m+0 m2+0 0+0n+0 nm+0 0+m )=(m m2 0
n nm m ), matricë e tipit (2x3).
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Detyra të kombinuara:
6. Kryeni veprimet?
a)
(0 2 13 −1 4 )(1 5
4 −32 1 )+(−5 7
3 −3 ) ;d)
(−1 −11 0 )
3
.Zgjidhje:
6. a)
(0 2 13 −1 4 )(1 5
4 −32 1 )+(−5 7
3 −3 )=( 0+8+2 0−6+13−4+8 15+3+4 )+ (−5 7
3 −3 )= (10 −5
7 22 )+(−5 7
3 −3 )=( 5 210 19 )
.
6. d)(−1 −1
1 0 )3
=(−1 −1
1 0 )(−1 −11 0 )(−1 −1
1 0 )=
=(−1⋅(−1 )−1⋅1 (−1 )⋅(−1)−1⋅01⋅(−1 )+0⋅1 1⋅(−1)+0⋅0 )(−1 −1
1 0 )=( 1−1 1−0−1+0 −1+0 )(−1 −1
1 0 )=( 0 1−1 −1 )(−1 −1
1 0 )==( 0⋅(−1)+1⋅1 0⋅(−1)+1⋅0
−1⋅(−1 )−1⋅1 −1⋅(−1)−1⋅0 )= (0+1 0+01−1 1−0 )=(1 0
0 1 ).
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
7. Janë dhënë matricat?
A=(0 13 2 )
dhe
B=(1 12 −1 )
; b) Shikoni a vlen barazimi: (A+B)2 = A2 + B2.
Zgjidhje:
7. b) ( A+B )2=A2+B2
I)
( A+B )2=((0 13 2 )+(1 1
2 −1 ))2
=(0+1 1+13+2 2−1 )
2
=(1 25 1 )
2
=(1 25 1 )(1 2
5 1 )= (1+10 2+25+5 10+1 )=(11 4
10 11 )II)A2+B2=(0 1
3 2 )2
+(1 12 −1 )2
=(0 13 2 )(0 1
3 2 )+(1 12 −1 )(1 1
2 −1 )= (0+3 0+20+6 3+4 )+(1+2 1−1
2−2 2+1 )=(3 26 7 )+(3 0
0 3 )=(6 26 10 )
.
( A+B )2=(11 410 11)
dhe
A2+B2=(6 26 10 )
Nga kjo rrjedh që ( A+B )2≠A2+B2.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4
8. Janë dhënë matricat:?
A=(1 −12 −1 )
dhe
B=(1 02 1 )
; c) Tregoni se: A2−B2≠( A−B )( A+B) .
Zgjidhje:
8. c)A2−B2≠( A−B )( A+B)
I)
A2−B2=(1 −12 −1 )
2
−(1 02 1 )
2
=(1 −12 −1 )(1 −1
2 −1 )−(1 02 1 )(1 0
2 1 )=
=(1−2 −1+12−2 −2+1 )−(1+0 0+0
2+2 0+1 )=(−1 00 −1 )−(1 0
4 1 )=(−1 00 −1 )+(−1 0
−4 −1 )=(−2 0−4 −2 ) .
.
II) ( A−B )(A+B)= ((1 −12 −1 )−(1 0
2 1 ))⋅((1 −12 −1 )+(1 0
2 1 ))=(0 −10 −2 )(2 −1
4 0 )= (0−4 0−00−8 0−0 )=(−4 0
−8 0 ).
A2−B2=(−2 0−4 −2 )
dhe ( A−B )(A+B)=(−4 0−8 0 )
Nga kjo rrjedh që A2−B2≠( A−B )( A+B) .
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
9. Njehsoni përcaktorët e rendit të dytë?
a) |3 24 1
|; e)
| a2 a−1
a+1 1|; f)
|a+1 −a−b b
|.
Zgjidhje:
9. a) |3 24 1
|=3⋅1−(4⋅2)=3−8=−5 .
e) | a
2 a−1a+1 1
|=a2⋅1−( (a+1 )⋅(a−1 ) )=a2−(a2−a+a−1 )=a2−a2+1=1
f)|a+1 −a−b b
|=(a+1 )b−(−b )(−a)=ab+b−ab=b
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5
10.Njehsoni përcaktorët e rendit të tretë nëpërmjet plotësve algjebrik?1). Të rreshtit të parë2). Të rreshtit të dytë3). Të shtyllës së tretë
b)
|3 −2 10 4 21 2 1
|
Zgjidhje:
10 b) Sipas rreshtit të parë:
|3 −2 10 4 21 2 1
|=3(−1)1+1|4 22 1
|−2(−1 )1+2|0 21 1
|+1(−1 )1+3|0 41 2
|=
=3⋅(4−4 )+2⋅(0−2 )+0−4=−4−4=−8 . Sipas rreshtit të dytë:
|3 −2 10 4 21 2 1
|=0(−1 )2+1|−2 12 1
|+4(−1 )2+2|3 11 1
|+2(−1 )2+3|3 −21 2
|=
=0+4⋅(3−1)−2⋅(6+2)=8−16=−8 . Sipas shtyllës së tretë:
|3 −2 10 4 21 2 1
|=1⋅(−1)1+3|0 41 2
|+2(−1)2+3|3 −21 2
|+1(−1 )3+3|3 −20 4
|=
=0−4−2 (6+2 )+12−0=−4−16+12=−8 .--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
11. Njehsoni vlerën e përcaktorit:
b)
|−2 3 −15 −4 01 2 7
|.
Zgjidhje:
6
11. b)
|−2 3 −15 −4 01 2 7
|=
|−2 3 −15 −4 01 2 7
|−2 35 −41 2
| =−2⋅(−4 )⋅7+3⋅0⋅1−1⋅5⋅2−(1⋅(−4 )⋅(−1 ))−(2⋅0⋅(−2)−(7⋅5⋅3 )=
=56+0−10−4−0−105=−63 .
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
12. Duke u mbështetur në zbërthimin e përcaktorit sipas plotësve algjebrik të një rreshti ose shtylle, njehsoni përcaktorin?
b)
|
1 0 1 2 10 4 1 0 −1
−2 1 0 1 −32 1 −3 0 1
|
.
Zgjidhje: 12. Matricës të dhënë në detyrë nuk mund t’ia gjejmë përcaktorin meqë nuk është katrore. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------13. Duke zbatuar vetitë e përcaktorëve njehsoni vlerën e përcaktorëve:
b)
|0 2 40 −1 20 3 5
|; d)
|1 2 3x t z
3 x 3 y 3 z|.
Zgjidhje: 13. b) Nëse shtylla apo rreshti i një shtylle është e barabartë me 0 atëherë përcaktori i asaj matrice
është i barabartë me 0. Shtylla e parë e matricës
|0 2 40 −1 20 3 5
| është 0 prandaj përcaktori i kësaj matrice është 0.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Matricat inverse dhe ekuacionet matricore
14. Gjeni matricën e adjunguar të këtyre matricave?
c)( 2 −3−1 5 )
; d) (3 1 01 −5 12 0 2 )
;Zgjidhje:
17. c) ( 2 −3−1 5 )
A11=5
A21=−(−3)=3
A12=−(−1)=1 A22=2
7
adjA=(5 31 2 )
.
d) (3 1 01 −5 12 0 2 )
A11=−5⋅2−0⋅1=−10 A21=−(1⋅2−0⋅0 )=−2 A31=1⋅1−(−5 )⋅0=1A12=−(1⋅2−2⋅1)=−(2−2 )=0
A22=3⋅2−2⋅0=6 A32=−(3⋅1−1⋅0 )=−3
A13=1⋅0−2⋅(−5)=10 A23=−(3⋅0−2⋅1 )=2 A33=3⋅(−5 )−1⋅1=−16
adjA=(−10 −2 10 6 −3
10 2 −16 ).
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
18. a)( 2 1−3 5 )
; c)(3 −14 5 )
; e)( 3 5 −1
0 2 3−4 1 7 )
;Zgjidhje:
18. a)( 2 1−3 5 )
det A=| 2 1−3 5
|=2⋅5−(−3⋅1)=10+3=13
A11=5
A21=−1A12=3
A22=2
adjA=(5 −13 2 )
A−1= 1det A
adjA
A−1= 113 (5 −1
3 2 )=(5
13−113
313
23
)Prova:
A⋅A−1=(1 00 1 )
A⋅A−1=( 2 1−3 5 )⋅(
513
−113
313
23
)=(1013
+ 313
−213
+ 213
−1513
+1513
313
+1013
)=(1313
013
013
1313
)=(1 00 1 )
.
c)(3 −14 5 )
8
det A=|3 −14 5
|=15+4=19
A11=5
A21=1A12=−4
A22=3
adjA=( 5 1−4 3 )
A−1= 119
⋅( 5 1−4 3 )=(
519
119
−419
319
)Prova:
A−1⋅A=(1 00 1 )
A−1⋅A=(5
191
19−419
319
)⋅(3 −14 5 )=(
1519
+ 419
−519
+ 519
−1219
+1219
419
+1519
)=(1919
0
01919
)=(1 00 1 )
.
e)( 3 5 −1
0 2 3−4 1 7 )
det A=|3 5 −10 2 3
−4 1 7|=3(14−3)−5⋅12−8=33−60−8=−35
A11=14−3=11
A21=−36
A31=17A12=−12
A22=17
A32=−9
A13=8
A23=−23
A33=6
adjA=(11 −36 17−12 17 −9
8 −23 6 )A−1=− 1
35 (11 −36 17−12 17 −9
8 −23 6 )=(−1135
3635
−1735
1235
−1735
935
−835
2335
−635
)Prova:
A⋅A−1=A−1⋅A=(1 0 00 1 00 0 1 )
9
A−1⋅A=(−1135
3635
−1725
1235
−1735
935
−835
2335
−635
)⋅¿ ¿( 3 5 −10 2 3
−4 1 7 )=
(−3335
+6835
−5535
+7235
−1735
1135
+10835
−11935
3635
−3635
6035
−3435
+9
35−
1235
−5135
+6335
−2435
+2435
−4035
+4635
− 635
835
+6935
−4235
)(3535
035
035
035
3535
035
035
035
3535
)=(1 0 00 1 00 0 1 ) .
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
19. Njehsoni A−2
nëse:
A=(2 1 11 0 23 1 2 ) .
Zgjidhje:
19.
A=(2 1 11 0 23 1 2 )
A−2=( A−1)2=A−1⋅A−1
det A=|2 1 11 0 23 1 2
|2 11 03 1
|=6+1−4−2=1
A11=0−2=−2 A21=−(2−1 )=−1
A31=2
A12=−(2−6 )=4 A22=4−3=1 A32=−(4−1 )=−3A13=1
A23=−(2−3 )=1 A33=−1
A−1=11 (−2 −1 2
4 1 −31 1 −1 )=(−2 −1 2
4 1 −31 1 −1 )
A−1⋅A−1=(−2 −1 2
4 1 −31 1 −1 )(−2 −1 2
4 1 −31 1 −1 )
=( 4−4+2 2−1+2 −4+3−2−8+4−3 −4+1−3 8−3+3−2+4−1 −1+1−1 2−3+1 )
=( 2 3 −3−7 −6 81 −1 0 ).
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
20. Njehsonif (A )=A2−5 A+A−1 nëse:
10
A=(2 5 76 3 45 −2 −3 ) .
Zgjidhje:
20. f (A )=A2−5 A+A−1
A=(2 5 76 3 45 −2 −3 ) .
I) A2=
(2 5 76 3 45 −2 −3 )(2 5 7
6 3 45 −2 −3 )
=( 4+30+35 10+15−14 14+20−2112+18+20 30+9−8 42+12−1210−12−15 25−6+6 35−8+9 )
⇒
A2=
(69 11 1350 31 42−17 25 36 )
¿
II) -5A=
−5(2 5 76 3 45 −2 −3 )=(−10 −25 −35
−30 −15 −20−25 10 15 )
**
III) A−1= 1
det AadjA
det A=|2 5 76 3 45 −2 −3
|2 56 35 −2
|=−18+100−84−105+16+90=−1
A11=−9+8=−1 A21=−(−15+14 )=1
A31=20−21=−1
A12=− (−18−20 )=38 A22=−6−35=−41
A32=−(8−42)=34A13=−12−15=−27
A23=−(−4−25 )=29 A33=6−30=−24
adjA=( −1 1 −138 −41 34−27 29 −24 )
A−1= 1−1 ( −1 1 −1
38 −41 34−27 29 −24 )=( 1 −1 1
−38 41 −3427 −29 24 )
***
Prova:
A⋅A−1=A−1⋅A=(1 0 00 1 00 0 1 )
A−1⋅A= ( 1 −1 1−38 41 −3427 −29 24 )(2 5 7
6 3 45 −2 −3 )
=
11
=( 2−6+5 5−3−2 7−4−3−76+246−170 −190+123+68 −266+164+10254−174+120 135−87−48 189−116−72 )=(1 0 0
0 1 00 0 1 )
f (A )=A2−5 A+A−1=
=(69 11 1350 31 42−17 25 36 )
+ (−10 −25 −35−30 −15 −20−25 10 15 )
+ ( 1 −1 1−38 41 −3427 −29 24 )
=(60 −15 −21−18 57 −12−15 6 75 )
.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
15. Zgjidhni ekuacionet? c) |3 x −1x 2x−3
|=32 d)
|x2−4 −1x−2 x+1
|=0
Zgjidhje:
15. c)|3 x −1x 2x−3
|=32⇒
⇒3 x (2 x−3 )+x=3
2⇒
⇒6x2−9 x+x=3
2/¿2⇒
⇒12 x2−16 x=3⇒ ⇒12 x2−16 x−3=0
x1/2=
16±√256+14424
=16±√40024
=16±2024
⇒
x1=
16+2024
=3624
=32 dhe
x2=16−2024
=−424
=−16 .
d)|x
2−4 −1x−2 x+1
|=0⇒
⇒( x2−4 )( x+1 )+( x−2 )=0⇒
⇒( x−2)( x+2 )(x+1 )+( x−2 )=0⇒⇒( x−2) [( x+2 )(x+1 )+1]=0⇒x−2=0∧( x+2)( x+1)+1=0⇒x1=2∧x2+x+2 x+2+1=0⇒
12
x2+3 x+3=0⇒
x2/3=−3±√9−122
=−3±√−32
⇒
x 2 =−3+√−32
∧x3=−3−√−32
.
Zgjidhje e vetme reale është zgjidhja e parë , përndryshe dy zgjidhjet e fundit janë komplekse.--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- Sistemet e ekuacioneve lineare -
1. Zgjidhni sistemin?
a)
x+2 y=5−3 x+4 y=5
Zgjidhje:
Zgjidhja e sistemit me metodën e Kramerit:
a) x+2 y=5¿ }¿¿¿
D=| 1 2−3 4
|=4+6=10
Dx=|5 25 4
|=20−10=10
Dy=| 1 5−3 5
|=5+15=20
X=
D x
D y
=1010
=1;
Y=D y
D=20
10=2
;b) Zgjidhja e sistemit përmes metodës së Gausit:
x+2 y=5¿ }¿¿¿
Ekuacionin e parë e shumëzojmë me numrin 3 dhe ekuacionin e fituar e mbledhim me ekuacionin e dytë.
Pra, 3 x+6 y=15 ¿ }¿¿+¿⇒10 y=20⇒ y=2
13
x+2⋅2=5⇒ x=5−4⇒ x=1
c) Zgjidhja e sistemit përmes matricës:
3 x+6 y=15 ¿ }¿¿¿( 1 2−3 4 )⋅( xy )=(5
5)Shumëzojmë nga ana e majtë me
( 1 2−3 4 )
−1
meqë matrica ( 1 2−3 4 )
gjendet në anën e majtë të (xy) ; prandaj,
( 1 2−3 4 )−1
⋅|
( 1 2−3 4 )⋅( xy )=(5
5)⇒( 1 2−3 4 )
−1
( 1 2−3 4 )⋅(xy )=( 1 2
−3 4 )−1
⋅(55)**
( 1 2−3 4 )
−1
= 110 (4 −2
3 1 )=(25
−15
310
110
), ngase det
( 1 2−3 4 )
është: | 1 2−3 4
|=4⋅1+3⋅2=10, adj
( 1 2−3 4 )
=
(4 −23 1 )
, ngase a11=4 a21=−2
a12=3
a22=1
( 1 2−3 4 )
−1
= 110 (4 −2
3 1 )=(4
10−210
310
110
)=(25
−15
310
110
)(
25
−15
310
110
)( 1 2−3 4 )(xy)=
(25
−15
310
110
)(55 )**
⇒
(1 00 1 )(xy )=(
105
−55
1510
+5
10)⇒( xy )=(1
2 )⇒ x=1 dhe y=2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. Të caktohet vlera e parametrave a dhe b ashtu që sistemi:
3 x−ay=16 x+4 y=b
a) të ketë vetëm një zgjidhje; b) të ketë pa fund shumë zgjidhje; c) të mos ketë zgjidhje;
Zgjidhje:
2. 3 x−ay=1
14
6 x+4 y=b
D=|3 −a6 4
|=12+6a
D x=|1 −ab 4
|=4+a⋅b
D y=|3 16 b
|=3⋅b−6
X=
D x
D= 4+ab
12+6 a Y=
D y
D= 3b−6
12+6a
1. Që të ketë vetëm një zgjidhje sistemi, duhet të plotësohet kushti: D≠0 , për çfarëdo Dx, Dy.
meqë D=12+6a⇒12+6a≠0⇒6 a≠−12⇒a≠−2 .
2. Që të ketë pafund shumë zgjidhje, duhet të plotësohet kushti:D=0 , D x=0 , D y=0 ;
D=12+6a=0 dhe Dx=4+ab=0 Dy=3b-6=0 6a=-12 4-2b=0 3b=6 a=-2 -2b=-4 b=2 b=2; Pra, a=-2, dhe b=2
3. Që të mos ketë zgjidhje sistemi, duhet të plotësohet kushti: D=0, dhe mjafton vetëm njëra Dx¿0
, ose Dy¿0
⇒D=0⇒12+6 a=0⇒6a=−12⇒a=−2
D x≠0⇒4+ab≠0⇒4−2b≠0⇒−2b≠−4⇒b≠2
7. Me metodën e Gausit të zgjidhen këto sisteme ekuacionesh?
b)
4 x1+2x2+ x3=23 x1+2 x2−3 x3=5x1−4 x2+4 x3=3
Zgjidhje:
b)
4 x1+2x2+x3=2 ¿} 3x1+2x2−3 x3=5 ¿}¿¿¿
x1−4 x2+4 x3=3
x1−4 x2+4 x3=3
3 x1+2 x2−3 x3=5
III/(-3)+II 14 x2−15 x3=−4***
III/(-3) −3 x1+12 x2−12 x3=−9
4 x1+2x2+ x3=2
III/(-4) +I 18 x2−15 x3=−10¿
III/(-4) −4 x1+16 x2−16 x3=−12
***/(−1 )⇒−14 x2+15 x3=4
18 x2−15 x3=−10
***/(−1 )+¿⇒
4 x2=−6⇒ x2=−32
14 (−32 )−15 x3=−4***
⇒7⋅(−3 )−15 x3=−4⇒−15 x3=21−4⇒−15 x3=17⇒
15
x3=−17
15
x1−4⋅(−32 )+4⋅(−17
15 )=3⇒ x1=3−6+6815
⇒ x1=−3+6815
⇒ x1=−45+6815
⇒ x1=2315
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
10. Për çfarë vlere të parametrit λ sistemi homogjen ?
3 x− y+z=0 x− y+2 z=0 x+λy+(1+λ ) z=0
Zgjidhje:
10.) 3 x− y+z=0 ¿ } x− y+2 z=0 ¿}¿¿¿
Ka zgjidhje përveç zgjidhjes triviale dhe cilat janë ato.
Që sistemi të ketë zgjidhje tjera përveç zgjidhjes triviale atëherë duhet të plotësohet kushti: D=0
D=|3 −1 11 −1 21 λ 1+λ
|=3|−1 2λ 1+λ
|+|1 21 1+ λ
|+|1 −11 λ
|=3 (−1−λ−2λ )+1+λ−2+λ+1=
=3 (−1−3 λ )+2 λ=−3−9 λ+2 λ=−7 λ−3 , D=0 ⇒−7 λ−3=0
⇒−7 λ=3 ⇒ λ=−3
7
Zgjidhjet e tjera te sistemit janë: x=k ; y=5 k ; z=2k ; ngase:
3 x− y+z=0 ¿ }¿¿¿
⇒ 3 x− y=−z ¿ }¿¿¿
D=|3 −11 −1
|=−3+1=−2 ;D x=|− z −1−2 z −1
|=z−2 z=− z ; D y=|3 −z
1 −2 z|=−6 z+z=−5 z
16
X=
D x
D=−z
−2= z
2 Y=
D y
D=−5 z
−2=5 z
2
z2=k⇒
x=k y=5 k z=2k
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Funksionet
1. Njehsoni?f (0) , f (−3 ), f (−1
5 ), nëse f ( x )=3 x2−5x+4
Zgjidhje:
1.f ( x )=3 x2−5x+4
f (0)=3⋅02−5⋅0+4=3⋅0−5⋅0+4=0−0+4=4 .
f (−3 )=3 (−3 )2−5⋅(−3 )+4=3⋅9+15+4=27+15+4=46 .
f (−1
5 )=3⋅(−15 )
2
−5(−15 )+4=3⋅ 1
25+1+4= 3
25+5=3+125
25=128
25.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. Është dhënë funksioni:f ( x )={2x , ¿ {2 , ¿¿¿¿
−1<x<00≤x≤11≤x≤3
Njehsoni f (0) , f (−0. 5 ), f (3)
Zgjidhje:
2)f ( x )={2x , ¿ {2 , ¿¿¿¿
−1<x<00≤x≤11≤x≤3
f (0)=2 .
17
f (−0. 5 )=2−1
2= 1
212
= 1√2
.
f (3)=2−3= 1
23=1
8.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3. Njehsoni f (a+1 ), nëse f ( x )= x+1
x3−1
Zgjidhje: 3. f ( x )= x+1
x3−1
f (a+1 )= a+1+1
(a+1 )3−1= a+2
a3+3a2+3a+1−1= a+2
a3+3a2+3a= a+2
a (a2+3 a+3).
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4. Njehsoni f (3x ), 3 f (x ), nëse f ( x )=5 x2+1
2−x
Zgjidhje: 4. f ( x )=5 x2+1
2−x
f (3x )=
5(3 x )2+12−3 x
=5⋅9 x2+12−3 x
=45x2+12−3 x
.
3 f (x )=3
5 x2+12−x
=15 x2+32−x .
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5. Gjeni zonën e përcaktimit të këtyre funksioneve
a) f ( x )=x3−7 x2+5 x−4 ; d) f ( x )= 2x
x2−9
b) f ( x )=√5−3 x ; e) f ( x )= x−5
x2+1
c) f ( x )=√ x−1+√6−x ; f) f ( x )=√9−x2
Zgjidhje:
5. a)f ( x )=x3−7 x2+5 x−4
X∈(−∞ ,+∞)
b) f ( x )=√5−3 x
5−3x¿0⇒−3 x≥−5/¿ (−1 )⇒ x≤5
3⇒X∈(−∞ ,
53] .
c) f ( x )=√ x−1+√6−x
x−1≥0∧6−x≥0⇒ x≥1∧−x≥−6 /(−1)⇒ x≥1∧x≤6
-1 0 1 2 3 4 5 6
d) f ( x )= 2x
x2−9
18
x2−9≠0⇒ ( x−3 )⋅( x+3 )≠0⇒ x−3≠0∧x+3≠0⇒
⇒ x≠3∧x≠−3
⇒ x∈ (−∞ ,−3 )∪ (−3,3 )∪(3 ,+∞ )
e) f ( x )= x−5
x2+1
x2+1≠0⇒ x2≠−1⇒ x≠±√−1⇒ x≠±i . ⇒ x∈ (−∞ ,+∞ )
f) f ( x )=√9−x2
9−x2≥0⇒ (3−x≥0∧3+x≥0∨3−x≤0∧3+x≤0 ) ⇒(−x≥−3∧x≥−3 ¿ −x≤−3∧x≤−3 ) ⇒( x≤3∧x≥−3 ¿ x≥3∧x≤−3 )
-3 0 3 x
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6. Cilat prej funksioneve vijuese janë çifte, cilat teke e cilat nuk janë as çifte e as teke:
a) f ( x )=x4−5 x2+1 ; d) f ( x )= ln
1−x1+x
;
b) f ( x )=2 x5−x3 ; e) f ( x )= ax+1
ax−1;
c) f ( x )= x3
x2+1;
Zgjidhje:
6. a) f ( x )=x4−5 x2+1
f (−x )=(−x )4−5 (−x )2+1=x4−5 x2+1 ⇒ f ( x )=x4−5 x2+1 është çift, d.m.th. ky funksion është simetrik ndaj boshtit të ordinatës.
b)f ( x )=2 x5−x3
f (−x )=2 (−x )5−(−x )3=−2 x5+x3=−(2 x5−x3 ) ⇒ f ( x )=2 x5−x3 është tek, d.m.th. ky funksion është
simetrik ndaj origjinës së sistemit koordinativ x0y.
c) f ( x )= x3
x2+1
f (−x )=(−x )3
(−x )2+1= −x3
x2+1=− x3
x2+1 ⇒ f ( x )= x3
x2+1 është tek
19
d)f ( x )=ln
1−x1+x
f (−x )=ln
1+x1−x
=ln( 1−x1+x )
−1
=−ln1−x1+x ⇒
f ( x )= ln1−x1+x është tek.
e)f ( x )= ax+1
ax−1
f (−x )= a−x+1
a− x−1=
1ax
+1
1
ax−1
=
1+ax
ax
1−ax
ax
=ax (1+ax )ax (1−ax )
= ax+1
−(ax−1 )=− ax+1
ax−1
⇒
⇒ f ( x )= ax+1
ax−1 është tek.--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
7. Gjeni funksionet inverse të këtyre funksioneve?
a) y=2x+7 ; c)y=3√x+2 ;
b) y=x2; d)
y= 2x
1+2x;
Zgjidhje:
7. a) y=2x+7
y−7=2 x⇒ x= y−7
2⇒ y= x−7
2.
b) y=x2
x=±√ y⇒ y=±√x .
c)y=3√x+2 /3⇒ y3=x+2⇒ x= y3−2⇒ y=x3−2 .
d) y= 2x
1+2x
20
y=2x
1+2x/ (1+2x )⇒ y (1+2x )=2x
1+2x(1+2x )⇒ y+ y 2x=2x⇒2x− y2x= y⇒
⇒2x (1− y )= y⇒2x= y1− y
/log2⇒ log2 2x=log2y1− y
⇒ x log2 2=log2y1− y
⇒
⇒ x=log2y1− y
⇒ y=log2x1−x
.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Limiti i vargut
Të njehsohen limitet:
1. 2. 5.
6. 7. 8.
10. Zgjidhje:
1. .
21
2. .
5.
6. .
22
10.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Derivati i funksionit
1. Gjeni derivatin e këtyre funksioneve? a) ;
b) ; c) ; d) ;
e) ; f) ; g) ;
h) ;
Zgjidhje:
1. a)
23
b)
.
c)
.
d)
.
e)
f)
.
g) .
h) .--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Interesi i përbërë, renta dhe miza
1. Në qoftë se kapitali prej eurosh deponohet në bankë e cila e llogaritë interesin vjetor prej 7%. Sa do të jetë vlera e kapitalit pas 9 viteve?
Zgjidhje:
1.
;
24
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. Sa është norma vjetore e kamatës që llogaritë banka në qoftë se kapitali prej 175 000 eurosh pas 5 viteve bëhet 235 000 euro?
Zgjidhje:
2.
.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3. Sa të holla duhet depozituar në bankë sot, e cila llogaritë kamatën prej 8% në vit, ashtu që në 10 vitet e ardhshme të merret?a) rentë vjetore prej 1000 euro në fund të çdo viti;b) rentë semestrale prej 1500 euro në fillim të çdo semestri;c) rentë tremujore prej 700 në fillim të çdo tremujori.
Zgjidhje:
3. a) në fund
25
= ;
b) në fillim
=
;
c) në fillim
;
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4. Sot depozitojmë në bankë 50 000 euro e cila llogaritë kamatë prej 7%. Sa do të jetë renta nëse ajo merret brenda pesë vitesh?a) në fillim të çdo viti;b) në fund të çdo viti;c) në fillim të çdo katër mujori;d) në fund të çdo katër mujori.
Zgjidhje:
4. a) në fillim të çdo viti
26
= ;
b) në fund të çdo viti
= ;
c) në fillim të çdo katër mujori
d) në fund të çdo katër mujori
;
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
FORMULAT E NEVOJSHME GJATË PROVIMIT
Formulat e Kramer-it:
x=D x
D , y=
D y
D , z=
D z
D .Funksionet:
27
xk=−b2a
f ( xk )=f (−b2a
) x1/2=−b±√b2−4ac
2ax>0 funksioni është ¿ x<0 funksioni është ¿Asimptotat:limx→±∞
f ( x )=L asimptota horizontale
limx→x 0
f ( x )=±∞ asimptota vertikale (x0 pika ku s’është i përkufizuar f-oni!)
y=kx+ lasimptota e pjerrët, ku k= lim
x→±∞
f (x )x dhe
l= limx→±∞
[ f ( x )−kx ]
Monotonia:
f ' ( x )>0 funksioni është f ' ( x )<0 funksioni është Konkaviteti, konveksiteti:
f ''( x )>0 funksioni është ¿ -konkav f ''( x )<0 funksioni është ¿ -konveksMatematika financiare:Interesi i thjeshtë
i= K⋅p100
⋅t
i= K⋅p100
⋅n(në vite)
i= K⋅p1200
⋅m(në muaj)
i= K⋅p36000
⋅d(në ditë)
Interesi i përbërë
Kn=K (1+ p100
)n Kn=K (1+ p100⋅m
)n⋅m
Depozita anticipative Depozita dekurzive
Sa=Kr (rn−1)r−1
Sd=Krn−1r−1
r=1+ p100
Sa=Kr (rnm−1)r−1
Sd=Krnm−1r−1
r=1+ p100m
Renta anticipativeRenta dekurzive
M=Rrn−1
rn−1 (r−1 )M=R
rn−1rn (r−1)
r=1+ p100
M=Rrn⋅m−1
rn⋅m−1(r−1)M=R
rn⋅m−1rn⋅m(r−1 )
r=1+ p100m
Huaja, anuiteti...
H=arn−1
r n(r−1)a=H
r n(r−1)rn−1
Plani i amortizimitPeriudhat e
pagesësShuma e
borxhitIntere
siKësti
nHn=Hn−1−bn−1 in=Hn
p100
bn=a−in
28