Download docx - Matematike 1

Transcript
Page 1: Matematike 1

MATEMATIKË 1

Detyra të zgjidhura – pregaditje për provim

Nga: Ermon Cervadiku

[]

Page 2: Matematike 1

Elementet e algjebrës lineare-Matricat

Veprimet me matrica Mbledhja e matricave

1. Janë dhënë matricat?

A=(0 −11 2 )

,

B=(2 00 1 )

,

C=(1 01 −2 )

Njehsoni: b) 2A-2B+C

Zgjidhje:

1. b)

2 A−2 B+C=2(0 −11 2 )−2(2 0

0 1 )+(1 01 −2 )=(0 −2

2 4 )−(4 00 2 )+(1 0

1 −2 )= (−3 −2

3 0 ).

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Të kompletohet matrica vijuese?

Nëse janë dhënë a21 = 4, a32 = 5, a13 = 3, a23 = 6, a12 = 7, a31 = -2.

A =(6 ¿ ¿¿ 8 ¿¿ ¿ 9 )

Zgjidhje: 2.

A=( 6 7 34 8 6

−2 5 9 ).

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Gjeni vlerat e ndryshme x,y,z,t që të vërtetojnë barazimin?

b) (2 x − yz t )=( x −4

−1 2 t )+( 4 x+ y2+t 3 ) .

Zgjidhje: 3. b) (2 x − yz t )=( x −4

−1 2 t )+( 4 x+ y2+t 3 )⇒(2 x − y

z t )=(x+4 −4+x+ y1+t 2t+3 )

Për t’a lehtësuar mënyrën e zgjidhjes së problemit, prej shprehjes së sipërme marrim:

I) 2 x=x+4⇒ x=4 ;

II) − y=−4+ x+ y⇒− y=−4+4+ y⇒−2 y=0⇒ y=0 ;

III) t=2 t+3⇒−t=3⇒t=−3 ;

IV) z=1+t⇒ z=1−3⇒ z=−2 .

Pra, parametrat e kërkuar që e vërtetojnë barazimin janë: x=4 ; y=0; z=−2 ; t=−3 ;Prova:

(2 x − yz t )=( x −4

−1 2 t )+( 4 x+ y2+t 3 )⇒

(2⋅4 0−2 −3 )=( 4 −4

−1 2⋅(−3))+( 4 4+02−3 3 )⇒( 8 0

−2 −3 )=( 8 0−2 −3 )

;--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2

Page 3: Matematike 1

Shumëzimi i matricave:

4. Matrica A është e tipit 2x5. Sa duhet të jetë numri i shtyllave të matricës B, që të ekzistojë prodhimi B⋅A .

Po numri i rreshtave të matricës C që të ekzistojë prodhimi A⋅C .?

Zgjidhje:4. Numri i shtyllave të matricës B duhet të jetë 2, ndërsa numri i rreshtave të matricës C duhet të jetë 5.--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5. Tregoni cilat shumëzime janë të mundshme dhe gjeni matricën e prodhimit?

a)

(1 3 41 5 6 )(123);

e)(23 )(05)

; f)

(0 1 2 )( 2 0 3−1 1 40 1 2 )

; h) (m 0n 1 )(1 m 0

0 0 m).

Zgjidhje:

5. a)

(1 3 41 5 6 )(123)

matrica e parë është e tipit (2x3), ndërsa matrica e dytë është e tipit (3x1), meqë numri i shtyllave të matricës së parë është i barabartë me numrin e rreshtave të matricës së dytë atëherë ekziston

mundësia e shumëzimit të këtyre matricave.

Matrica e prodhimit është

(1 3 41 5 6 )(123)=( 1+6+12

1+10+18)=(1929 )

, matricë e tipit (2x1)

e)(23 )(05)

matrica e parë është e tipit (2x1), ndërsa matrica e dytë është e tipit (2x1), meqë numri i shtyllave të matricës së parë nuk është i barabartë me numrin e rreshtave të matricës së dytë atëherë nuk ekziston as mundësia e shumëzimit të këtyre matricave.

f)

(0 1 2 )( 2 0 3−1 1 40 1 2 )

matrica e parë është e tipit (1x3), ndërsa matrica e dytë është e tipit (3x3), meqë numri i shtyllave të matricës së parë është i barabartë numrin e rreshtave të matricës së dytë atëherë ekziston mundësia e shumëzimit të këtyre matricave.

Dhe prodhimi i këtyre matricave është:

(0 1 2 )( 2 0 3−1 1 40 1 2 )= (0−1+0 0+1+2 0+4 +4 )=(−1 3 8 )

Pra, matrica e prodhimit është (−1 3 8 ) , një matricë e tipit (1x3).

h) (m 0n 1 )(1 m 0

0 0 m) matrica e parë është e tipit (2x2), ndërsa matrica e dytë është e tipit (2x3), meqë

numri i shtyllave të matricës së parë është i barabartë numrin e rreshtave të matricës së dytë atëherë ekziston mundësia e shumëzimit të këtyre matricave.

Dhe prodhimi i këtyre matricave është:

3

Page 4: Matematike 1

(m 0n 1 )(1 m 0

0 0 m)=(m+0 m2+0 0+0n+0 nm+0 0+m )=(m m2 0

n nm m ), matricë e tipit (2x3).

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Detyra të kombinuara:

6. Kryeni veprimet?

a)

(0 2 13 −1 4 )(1 5

4 −32 1 )+(−5 7

3 −3 ) ;d)

(−1 −11 0 )

3

.Zgjidhje:

6. a)

(0 2 13 −1 4 )(1 5

4 −32 1 )+(−5 7

3 −3 )=( 0+8+2 0−6+13−4+8 15+3+4 )+ (−5 7

3 −3 )= (10 −5

7 22 )+(−5 7

3 −3 )=( 5 210 19 )

.

6. d)(−1 −1

1 0 )3

=(−1 −1

1 0 )(−1 −11 0 )(−1 −1

1 0 )=

=(−1⋅(−1 )−1⋅1 (−1 )⋅(−1)−1⋅01⋅(−1 )+0⋅1 1⋅(−1)+0⋅0 )(−1 −1

1 0 )=( 1−1 1−0−1+0 −1+0 )(−1 −1

1 0 )=( 0 1−1 −1 )(−1 −1

1 0 )==( 0⋅(−1)+1⋅1 0⋅(−1)+1⋅0

−1⋅(−1 )−1⋅1 −1⋅(−1)−1⋅0 )= (0+1 0+01−1 1−0 )=(1 0

0 1 ).

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

7. Janë dhënë matricat?

A=(0 13 2 )

dhe

B=(1 12 −1 )

; b) Shikoni a vlen barazimi: (A+B)2 = A2 + B2.

Zgjidhje:

7. b) ( A+B )2=A2+B2

I)

( A+B )2=((0 13 2 )+(1 1

2 −1 ))2

=(0+1 1+13+2 2−1 )

2

=(1 25 1 )

2

=(1 25 1 )(1 2

5 1 )= (1+10 2+25+5 10+1 )=(11 4

10 11 )II)A2+B2=(0 1

3 2 )2

+(1 12 −1 )2

=(0 13 2 )(0 1

3 2 )+(1 12 −1 )(1 1

2 −1 )= (0+3 0+20+6 3+4 )+(1+2 1−1

2−2 2+1 )=(3 26 7 )+(3 0

0 3 )=(6 26 10 )

.

( A+B )2=(11 410 11)

dhe

A2+B2=(6 26 10 )

Nga kjo rrjedh që ( A+B )2≠A2+B2.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4

Page 5: Matematike 1

8. Janë dhënë matricat:?

A=(1 −12 −1 )

dhe

B=(1 02 1 )

; c) Tregoni se: A2−B2≠( A−B )( A+B) .

Zgjidhje:

8. c)A2−B2≠( A−B )( A+B)

I)

A2−B2=(1 −12 −1 )

2

−(1 02 1 )

2

=(1 −12 −1 )(1 −1

2 −1 )−(1 02 1 )(1 0

2 1 )=

=(1−2 −1+12−2 −2+1 )−(1+0 0+0

2+2 0+1 )=(−1 00 −1 )−(1 0

4 1 )=(−1 00 −1 )+(−1 0

−4 −1 )=(−2 0−4 −2 ) .

.

II) ( A−B )(A+B)= ((1 −12 −1 )−(1 0

2 1 ))⋅((1 −12 −1 )+(1 0

2 1 ))=(0 −10 −2 )(2 −1

4 0 )= (0−4 0−00−8 0−0 )=(−4 0

−8 0 ).

A2−B2=(−2 0−4 −2 )

dhe ( A−B )(A+B)=(−4 0−8 0 )

Nga kjo rrjedh që A2−B2≠( A−B )( A+B) .

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

9. Njehsoni përcaktorët e rendit të dytë?

a) |3 24 1

|; e)

| a2 a−1

a+1 1|; f)

|a+1 −a−b b

|.

Zgjidhje:

9. a) |3 24 1

|=3⋅1−(4⋅2)=3−8=−5 .

e) | a

2 a−1a+1 1

|=a2⋅1−( (a+1 )⋅(a−1 ) )=a2−(a2−a+a−1 )=a2−a2+1=1

f)|a+1 −a−b b

|=(a+1 )b−(−b )(−a)=ab+b−ab=b

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5

Page 6: Matematike 1

10.Njehsoni përcaktorët e rendit të tretë nëpërmjet plotësve algjebrik?1). Të rreshtit të parë2). Të rreshtit të dytë3). Të shtyllës së tretë

b)

|3 −2 10 4 21 2 1

|

Zgjidhje:

10 b) Sipas rreshtit të parë:

|3 −2 10 4 21 2 1

|=3(−1)1+1|4 22 1

|−2(−1 )1+2|0 21 1

|+1(−1 )1+3|0 41 2

|=

=3⋅(4−4 )+2⋅(0−2 )+0−4=−4−4=−8 . Sipas rreshtit të dytë:

|3 −2 10 4 21 2 1

|=0(−1 )2+1|−2 12 1

|+4(−1 )2+2|3 11 1

|+2(−1 )2+3|3 −21 2

|=

=0+4⋅(3−1)−2⋅(6+2)=8−16=−8 . Sipas shtyllës së tretë:

|3 −2 10 4 21 2 1

|=1⋅(−1)1+3|0 41 2

|+2(−1)2+3|3 −21 2

|+1(−1 )3+3|3 −20 4

|=

=0−4−2 (6+2 )+12−0=−4−16+12=−8 .--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

11. Njehsoni vlerën e përcaktorit:

b)

|−2 3 −15 −4 01 2 7

|.

Zgjidhje:

6

Page 7: Matematike 1

11. b)

|−2 3 −15 −4 01 2 7

|=

|−2 3 −15 −4 01 2 7

|−2 35 −41 2

| =−2⋅(−4 )⋅7+3⋅0⋅1−1⋅5⋅2−(1⋅(−4 )⋅(−1 ))−(2⋅0⋅(−2)−(7⋅5⋅3 )=

=56+0−10−4−0−105=−63 .

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

12. Duke u mbështetur në zbërthimin e përcaktorit sipas plotësve algjebrik të një rreshti ose shtylle, njehsoni përcaktorin?

b)

|

1 0 1 2 10 4 1 0 −1

−2 1 0 1 −32 1 −3 0 1

|

.

Zgjidhje: 12. Matricës të dhënë në detyrë nuk mund t’ia gjejmë përcaktorin meqë nuk është katrore. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------13. Duke zbatuar vetitë e përcaktorëve njehsoni vlerën e përcaktorëve:

b)

|0 2 40 −1 20 3 5

|; d)

|1 2 3x t z

3 x 3 y 3 z|.

Zgjidhje: 13. b) Nëse shtylla apo rreshti i një shtylle është e barabartë me 0 atëherë përcaktori i asaj matrice

është i barabartë me 0. Shtylla e parë e matricës

|0 2 40 −1 20 3 5

| është 0 prandaj përcaktori i kësaj matrice është 0.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Matricat inverse dhe ekuacionet matricore

14. Gjeni matricën e adjunguar të këtyre matricave?

c)( 2 −3−1 5 )

; d) (3 1 01 −5 12 0 2 )

;Zgjidhje:

17. c) ( 2 −3−1 5 )

A11=5

A21=−(−3)=3

A12=−(−1)=1 A22=2

7

Page 8: Matematike 1

adjA=(5 31 2 )

.

d) (3 1 01 −5 12 0 2 )

A11=−5⋅2−0⋅1=−10 A21=−(1⋅2−0⋅0 )=−2 A31=1⋅1−(−5 )⋅0=1A12=−(1⋅2−2⋅1)=−(2−2 )=0

A22=3⋅2−2⋅0=6 A32=−(3⋅1−1⋅0 )=−3

A13=1⋅0−2⋅(−5)=10 A23=−(3⋅0−2⋅1 )=2 A33=3⋅(−5 )−1⋅1=−16

adjA=(−10 −2 10 6 −3

10 2 −16 ).

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

18. a)( 2 1−3 5 )

; c)(3 −14 5 )

; e)( 3 5 −1

0 2 3−4 1 7 )

;Zgjidhje:

18. a)( 2 1−3 5 )

det A=| 2 1−3 5

|=2⋅5−(−3⋅1)=10+3=13

A11=5

A21=−1A12=3

A22=2

adjA=(5 −13 2 )

A−1= 1det A

adjA

A−1= 113 (5 −1

3 2 )=(5

13−113

313

23

)Prova:

A⋅A−1=(1 00 1 )

A⋅A−1=( 2 1−3 5 )⋅(

513

−113

313

23

)=(1013

+ 313

−213

+ 213

−1513

+1513

313

+1013

)=(1313

013

013

1313

)=(1 00 1 )

.

c)(3 −14 5 )

8

Page 9: Matematike 1

det A=|3 −14 5

|=15+4=19

A11=5

A21=1A12=−4

A22=3

adjA=( 5 1−4 3 )

A−1= 119

⋅( 5 1−4 3 )=(

519

119

−419

319

)Prova:

A−1⋅A=(1 00 1 )

A−1⋅A=(5

191

19−419

319

)⋅(3 −14 5 )=(

1519

+ 419

−519

+ 519

−1219

+1219

419

+1519

)=(1919

0

01919

)=(1 00 1 )

.

e)( 3 5 −1

0 2 3−4 1 7 )

det A=|3 5 −10 2 3

−4 1 7|=3(14−3)−5⋅12−8=33−60−8=−35

A11=14−3=11

A21=−36

A31=17A12=−12

A22=17

A32=−9

A13=8

A23=−23

A33=6

adjA=(11 −36 17−12 17 −9

8 −23 6 )A−1=− 1

35 (11 −36 17−12 17 −9

8 −23 6 )=(−1135

3635

−1735

1235

−1735

935

−835

2335

−635

)Prova:

A⋅A−1=A−1⋅A=(1 0 00 1 00 0 1 )

9

Page 10: Matematike 1

A−1⋅A=(−1135

3635

−1725

1235

−1735

935

−835

2335

−635

)⋅¿ ¿( 3 5 −10 2 3

−4 1 7 )=

(−3335

+6835

−5535

+7235

−1735

1135

+10835

−11935

3635

−3635

6035

−3435

+9

35−

1235

−5135

+6335

−2435

+2435

−4035

+4635

− 635

835

+6935

−4235

)(3535

035

035

035

3535

035

035

035

3535

)=(1 0 00 1 00 0 1 ) .

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

19. Njehsoni A−2

nëse:

A=(2 1 11 0 23 1 2 ) .

Zgjidhje:

19.

A=(2 1 11 0 23 1 2 )

A−2=( A−1)2=A−1⋅A−1

det A=|2 1 11 0 23 1 2

|2 11 03 1

|=6+1−4−2=1

A11=0−2=−2 A21=−(2−1 )=−1

A31=2

A12=−(2−6 )=4 A22=4−3=1 A32=−(4−1 )=−3A13=1

A23=−(2−3 )=1 A33=−1

A−1=11 (−2 −1 2

4 1 −31 1 −1 )=(−2 −1 2

4 1 −31 1 −1 )

A−1⋅A−1=(−2 −1 2

4 1 −31 1 −1 )(−2 −1 2

4 1 −31 1 −1 )

=( 4−4+2 2−1+2 −4+3−2−8+4−3 −4+1−3 8−3+3−2+4−1 −1+1−1 2−3+1 )

=( 2 3 −3−7 −6 81 −1 0 ).

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

20. Njehsonif (A )=A2−5 A+A−1 nëse:

10

Page 11: Matematike 1

A=(2 5 76 3 45 −2 −3 ) .

Zgjidhje:

20. f (A )=A2−5 A+A−1

A=(2 5 76 3 45 −2 −3 ) .

I) A2=

(2 5 76 3 45 −2 −3 )(2 5 7

6 3 45 −2 −3 )

=( 4+30+35 10+15−14 14+20−2112+18+20 30+9−8 42+12−1210−12−15 25−6+6 35−8+9 )

A2=

(69 11 1350 31 42−17 25 36 )

¿

II) -5A=

−5(2 5 76 3 45 −2 −3 )=(−10 −25 −35

−30 −15 −20−25 10 15 )

**

III) A−1= 1

det AadjA

det A=|2 5 76 3 45 −2 −3

|2 56 35 −2

|=−18+100−84−105+16+90=−1

A11=−9+8=−1 A21=−(−15+14 )=1

A31=20−21=−1

A12=− (−18−20 )=38 A22=−6−35=−41

A32=−(8−42)=34A13=−12−15=−27

A23=−(−4−25 )=29 A33=6−30=−24

adjA=( −1 1 −138 −41 34−27 29 −24 )

A−1= 1−1 ( −1 1 −1

38 −41 34−27 29 −24 )=( 1 −1 1

−38 41 −3427 −29 24 )

***

Prova:

A⋅A−1=A−1⋅A=(1 0 00 1 00 0 1 )

A−1⋅A= ( 1 −1 1−38 41 −3427 −29 24 )(2 5 7

6 3 45 −2 −3 )

=

11

Page 12: Matematike 1

=( 2−6+5 5−3−2 7−4−3−76+246−170 −190+123+68 −266+164+10254−174+120 135−87−48 189−116−72 )=(1 0 0

0 1 00 0 1 )

f (A )=A2−5 A+A−1=

=(69 11 1350 31 42−17 25 36 )

+ (−10 −25 −35−30 −15 −20−25 10 15 )

+ ( 1 −1 1−38 41 −3427 −29 24 )

=(60 −15 −21−18 57 −12−15 6 75 )

.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

15. Zgjidhni ekuacionet? c) |3 x −1x 2x−3

|=32 d)

|x2−4 −1x−2 x+1

|=0

Zgjidhje:

15. c)|3 x −1x 2x−3

|=32⇒

⇒3 x (2 x−3 )+x=3

2⇒

⇒6x2−9 x+x=3

2/¿2⇒

⇒12 x2−16 x=3⇒ ⇒12 x2−16 x−3=0

x1/2=

16±√256+14424

=16±√40024

=16±2024

x1=

16+2024

=3624

=32 dhe

x2=16−2024

=−424

=−16 .

d)|x

2−4 −1x−2 x+1

|=0⇒

⇒( x2−4 )( x+1 )+( x−2 )=0⇒

⇒( x−2)( x+2 )(x+1 )+( x−2 )=0⇒⇒( x−2) [( x+2 )(x+1 )+1]=0⇒x−2=0∧( x+2)( x+1)+1=0⇒x1=2∧x2+x+2 x+2+1=0⇒

12

Page 13: Matematike 1

x2+3 x+3=0⇒

x2/3=−3±√9−122

=−3±√−32

x 2 =−3+√−32

∧x3=−3−√−32

.

Zgjidhje e vetme reale është zgjidhja e parë , përndryshe dy zgjidhjet e fundit janë komplekse.--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Sistemet e ekuacioneve lineare -

1. Zgjidhni sistemin?

a)

x+2 y=5−3 x+4 y=5

Zgjidhje:

Zgjidhja e sistemit me metodën e Kramerit:

a) x+2 y=5¿ }¿¿¿

D=| 1 2−3 4

|=4+6=10

Dx=|5 25 4

|=20−10=10

Dy=| 1 5−3 5

|=5+15=20

X=

D x

D y

=1010

=1;

Y=D y

D=20

10=2

;b) Zgjidhja e sistemit përmes metodës së Gausit:

x+2 y=5¿ }¿¿¿

Ekuacionin e parë e shumëzojmë me numrin 3 dhe ekuacionin e fituar e mbledhim me ekuacionin e dytë.

Pra, 3 x+6 y=15 ¿ }¿¿+¿⇒10 y=20⇒ y=2

13

Page 14: Matematike 1

x+2⋅2=5⇒ x=5−4⇒ x=1

c) Zgjidhja e sistemit përmes matricës:

3 x+6 y=15 ¿ }¿¿¿( 1 2−3 4 )⋅( xy )=(5

5)Shumëzojmë nga ana e majtë me

( 1 2−3 4 )

−1

meqë matrica ( 1 2−3 4 )

gjendet në anën e majtë të (xy) ; prandaj,

( 1 2−3 4 )−1

⋅|

( 1 2−3 4 )⋅( xy )=(5

5)⇒( 1 2−3 4 )

−1

( 1 2−3 4 )⋅(xy )=( 1 2

−3 4 )−1

⋅(55)**

( 1 2−3 4 )

−1

= 110 (4 −2

3 1 )=(25

−15

310

110

), ngase det

( 1 2−3 4 )

është: | 1 2−3 4

|=4⋅1+3⋅2=10, adj

( 1 2−3 4 )

=

(4 −23 1 )

, ngase a11=4 a21=−2

a12=3

a22=1

( 1 2−3 4 )

−1

= 110 (4 −2

3 1 )=(4

10−210

310

110

)=(25

−15

310

110

)(

25

−15

310

110

)( 1 2−3 4 )(xy)=

(25

−15

310

110

)(55 )**

(1 00 1 )(xy )=(

105

−55

1510

+5

10)⇒( xy )=(1

2 )⇒ x=1 dhe y=2

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2. Të caktohet vlera e parametrave a dhe b ashtu që sistemi:

3 x−ay=16 x+4 y=b

a) të ketë vetëm një zgjidhje; b) të ketë pa fund shumë zgjidhje; c) të mos ketë zgjidhje;

Zgjidhje:

2. 3 x−ay=1

14

Page 15: Matematike 1

6 x+4 y=b

D=|3 −a6 4

|=12+6a

D x=|1 −ab 4

|=4+a⋅b

D y=|3 16 b

|=3⋅b−6

X=

D x

D= 4+ab

12+6 a Y=

D y

D= 3b−6

12+6a

1. Që të ketë vetëm një zgjidhje sistemi, duhet të plotësohet kushti: D≠0 , për çfarëdo Dx, Dy.

meqë D=12+6a⇒12+6a≠0⇒6 a≠−12⇒a≠−2 .

2. Që të ketë pafund shumë zgjidhje, duhet të plotësohet kushti:D=0 , D x=0 , D y=0 ;

D=12+6a=0 dhe Dx=4+ab=0 Dy=3b-6=0 6a=-12 4-2b=0 3b=6 a=-2 -2b=-4 b=2 b=2; Pra, a=-2, dhe b=2

3. Që të mos ketë zgjidhje sistemi, duhet të plotësohet kushti: D=0, dhe mjafton vetëm njëra Dx¿0

, ose Dy¿0

⇒D=0⇒12+6 a=0⇒6a=−12⇒a=−2

D x≠0⇒4+ab≠0⇒4−2b≠0⇒−2b≠−4⇒b≠2

7. Me metodën e Gausit të zgjidhen këto sisteme ekuacionesh?

b)

4 x1+2x2+ x3=23 x1+2 x2−3 x3=5x1−4 x2+4 x3=3

Zgjidhje:

b)

4 x1+2x2+x3=2 ¿} 3x1+2x2−3 x3=5 ¿}¿¿¿

x1−4 x2+4 x3=3

x1−4 x2+4 x3=3

3 x1+2 x2−3 x3=5

III/(-3)+II 14 x2−15 x3=−4***

III/(-3) −3 x1+12 x2−12 x3=−9

4 x1+2x2+ x3=2

III/(-4) +I 18 x2−15 x3=−10¿

III/(-4) −4 x1+16 x2−16 x3=−12

***/(−1 )⇒−14 x2+15 x3=4

18 x2−15 x3=−10

***/(−1 )+¿⇒

4 x2=−6⇒ x2=−32

14 (−32 )−15 x3=−4***

⇒7⋅(−3 )−15 x3=−4⇒−15 x3=21−4⇒−15 x3=17⇒

15

Page 16: Matematike 1

x3=−17

15

x1−4⋅(−32 )+4⋅(−17

15 )=3⇒ x1=3−6+6815

⇒ x1=−3+6815

⇒ x1=−45+6815

⇒ x1=2315

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

10. Për çfarë vlere të parametrit λ sistemi homogjen ?

3 x− y+z=0 x− y+2 z=0 x+λy+(1+λ ) z=0

Zgjidhje:

10.) 3 x− y+z=0 ¿ } x− y+2 z=0 ¿}¿¿¿

Ka zgjidhje përveç zgjidhjes triviale dhe cilat janë ato.

Që sistemi të ketë zgjidhje tjera përveç zgjidhjes triviale atëherë duhet të plotësohet kushti: D=0

D=|3 −1 11 −1 21 λ 1+λ

|=3|−1 2λ 1+λ

|+|1 21 1+ λ

|+|1 −11 λ

|=3 (−1−λ−2λ )+1+λ−2+λ+1=

=3 (−1−3 λ )+2 λ=−3−9 λ+2 λ=−7 λ−3 , D=0 ⇒−7 λ−3=0

⇒−7 λ=3 ⇒ λ=−3

7

Zgjidhjet e tjera te sistemit janë: x=k ; y=5 k ; z=2k ; ngase:

3 x− y+z=0 ¿ }¿¿¿

⇒ 3 x− y=−z ¿ }¿¿¿

D=|3 −11 −1

|=−3+1=−2 ;D x=|− z −1−2 z −1

|=z−2 z=− z ; D y=|3 −z

1 −2 z|=−6 z+z=−5 z

16

Page 17: Matematike 1

X=

D x

D=−z

−2= z

2 Y=

D y

D=−5 z

−2=5 z

2

z2=k⇒

x=k y=5 k z=2k

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Funksionet

1. Njehsoni?f (0) , f (−3 ), f (−1

5 ), nëse f ( x )=3 x2−5x+4

Zgjidhje:

1.f ( x )=3 x2−5x+4

f (0)=3⋅02−5⋅0+4=3⋅0−5⋅0+4=0−0+4=4 .

f (−3 )=3 (−3 )2−5⋅(−3 )+4=3⋅9+15+4=27+15+4=46 .

f (−1

5 )=3⋅(−15 )

2

−5(−15 )+4=3⋅ 1

25+1+4= 3

25+5=3+125

25=128

25.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2. Është dhënë funksioni:f ( x )={2x , ¿ {2 , ¿¿¿¿

−1<x<00≤x≤11≤x≤3

Njehsoni f (0) , f (−0. 5 ), f (3)

Zgjidhje:

2)f ( x )={2x , ¿ {2 , ¿¿¿¿

−1<x<00≤x≤11≤x≤3

f (0)=2 .

17

Page 18: Matematike 1

f (−0. 5 )=2−1

2= 1

212

= 1√2

.

f (3)=2−3= 1

23=1

8.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3. Njehsoni f (a+1 ), nëse f ( x )= x+1

x3−1

Zgjidhje: 3. f ( x )= x+1

x3−1

f (a+1 )= a+1+1

(a+1 )3−1= a+2

a3+3a2+3a+1−1= a+2

a3+3a2+3a= a+2

a (a2+3 a+3).

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4. Njehsoni f (3x ), 3 f (x ), nëse f ( x )=5 x2+1

2−x

Zgjidhje: 4. f ( x )=5 x2+1

2−x

f (3x )=

5(3 x )2+12−3 x

=5⋅9 x2+12−3 x

=45x2+12−3 x

.

3 f (x )=3

5 x2+12−x

=15 x2+32−x .

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5. Gjeni zonën e përcaktimit të këtyre funksioneve

a) f ( x )=x3−7 x2+5 x−4 ; d) f ( x )= 2x

x2−9

b) f ( x )=√5−3 x ; e) f ( x )= x−5

x2+1

c) f ( x )=√ x−1+√6−x ; f) f ( x )=√9−x2

Zgjidhje:

5. a)f ( x )=x3−7 x2+5 x−4

X∈(−∞ ,+∞)

b) f ( x )=√5−3 x

5−3x¿0⇒−3 x≥−5/¿ (−1 )⇒ x≤5

3⇒X∈(−∞ ,

53] .

c) f ( x )=√ x−1+√6−x

x−1≥0∧6−x≥0⇒ x≥1∧−x≥−6 /(−1)⇒ x≥1∧x≤6

-1 0 1 2 3 4 5 6

d) f ( x )= 2x

x2−9

18

Page 19: Matematike 1

x2−9≠0⇒ ( x−3 )⋅( x+3 )≠0⇒ x−3≠0∧x+3≠0⇒

⇒ x≠3∧x≠−3

⇒ x∈ (−∞ ,−3 )∪ (−3,3 )∪(3 ,+∞ )

e) f ( x )= x−5

x2+1

x2+1≠0⇒ x2≠−1⇒ x≠±√−1⇒ x≠±i . ⇒ x∈ (−∞ ,+∞ )

f) f ( x )=√9−x2

9−x2≥0⇒ (3−x≥0∧3+x≥0∨3−x≤0∧3+x≤0 ) ⇒(−x≥−3∧x≥−3 ¿ −x≤−3∧x≤−3 ) ⇒( x≤3∧x≥−3 ¿ x≥3∧x≤−3 )

-3 0 3 x

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

6. Cilat prej funksioneve vijuese janë çifte, cilat teke e cilat nuk janë as çifte e as teke:

a) f ( x )=x4−5 x2+1 ; d) f ( x )= ln

1−x1+x

;

b) f ( x )=2 x5−x3 ; e) f ( x )= ax+1

ax−1;

c) f ( x )= x3

x2+1;

Zgjidhje:

6. a) f ( x )=x4−5 x2+1

f (−x )=(−x )4−5 (−x )2+1=x4−5 x2+1 ⇒ f ( x )=x4−5 x2+1 është çift, d.m.th. ky funksion është simetrik ndaj boshtit të ordinatës.

b)f ( x )=2 x5−x3

f (−x )=2 (−x )5−(−x )3=−2 x5+x3=−(2 x5−x3 ) ⇒ f ( x )=2 x5−x3 është tek, d.m.th. ky funksion është

simetrik ndaj origjinës së sistemit koordinativ x0y.

c) f ( x )= x3

x2+1

f (−x )=(−x )3

(−x )2+1= −x3

x2+1=− x3

x2+1 ⇒ f ( x )= x3

x2+1 është tek

19

Page 20: Matematike 1

d)f ( x )=ln

1−x1+x

f (−x )=ln

1+x1−x

=ln( 1−x1+x )

−1

=−ln1−x1+x ⇒

f ( x )= ln1−x1+x është tek.

e)f ( x )= ax+1

ax−1

f (−x )= a−x+1

a− x−1=

1ax

+1

1

ax−1

=

1+ax

ax

1−ax

ax

=ax (1+ax )ax (1−ax )

= ax+1

−(ax−1 )=− ax+1

ax−1

⇒ f ( x )= ax+1

ax−1 është tek.--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

7. Gjeni funksionet inverse të këtyre funksioneve?

a) y=2x+7 ; c)y=3√x+2 ;

b) y=x2; d)

y= 2x

1+2x;

Zgjidhje:

7. a) y=2x+7

y−7=2 x⇒ x= y−7

2⇒ y= x−7

2.

b) y=x2

x=±√ y⇒ y=±√x .

c)y=3√x+2 /3⇒ y3=x+2⇒ x= y3−2⇒ y=x3−2 .

d) y= 2x

1+2x

20

Page 21: Matematike 1

y=2x

1+2x/ (1+2x )⇒ y (1+2x )=2x

1+2x(1+2x )⇒ y+ y 2x=2x⇒2x− y2x= y⇒

⇒2x (1− y )= y⇒2x= y1− y

/log2⇒ log2 2x=log2y1− y

⇒ x log2 2=log2y1− y

⇒ x=log2y1− y

⇒ y=log2x1−x

.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Limiti i vargut

Të njehsohen limitet:

1. 2. 5.

6. 7. 8.

10. Zgjidhje:

1. .

21

Page 22: Matematike 1

2. .

5.

6. .

22

Page 23: Matematike 1

10.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Derivati i funksionit

1. Gjeni derivatin e këtyre funksioneve? a) ;

b) ; c) ; d) ;

e) ; f) ; g) ;

h) ;

Zgjidhje:

1. a)

23

Page 24: Matematike 1

b)

.

c)

.

d)

.

e)

f)

.

g) .

h) .--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Interesi i përbërë, renta dhe miza

1. Në qoftë se kapitali prej eurosh deponohet në bankë e cila e llogaritë interesin vjetor prej 7%. Sa do të jetë vlera e kapitalit pas 9 viteve?

Zgjidhje:

1.

;

24

Page 25: Matematike 1

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2. Sa është norma vjetore e kamatës që llogaritë banka në qoftë se kapitali prej 175 000 eurosh pas 5 viteve bëhet 235 000 euro?

Zgjidhje:

2.

.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3. Sa të holla duhet depozituar në bankë sot, e cila llogaritë kamatën prej 8% në vit, ashtu që në 10 vitet e ardhshme të merret?a) rentë vjetore prej 1000 euro në fund të çdo viti;b) rentë semestrale prej 1500 euro në fillim të çdo semestri;c) rentë tremujore prej 700 në fillim të çdo tremujori.

Zgjidhje:

3. a) në fund

25

Page 26: Matematike 1

= ;

b) në fillim

=

;

c) në fillim

;

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4. Sot depozitojmë në bankë 50 000 euro e cila llogaritë kamatë prej 7%. Sa do të jetë renta nëse ajo merret brenda pesë vitesh?a) në fillim të çdo viti;b) në fund të çdo viti;c) në fillim të çdo katër mujori;d) në fund të çdo katër mujori.

Zgjidhje:

4. a) në fillim të çdo viti

26

Page 27: Matematike 1

= ;

b) në fund të çdo viti

= ;

c) në fillim të çdo katër mujori

d) në fund të çdo katër mujori

;

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

FORMULAT E NEVOJSHME GJATË PROVIMIT

Formulat e Kramer-it:

x=D x

D , y=

D y

D , z=

D z

D .Funksionet:

27

Page 28: Matematike 1

xk=−b2a

f ( xk )=f (−b2a

) x1/2=−b±√b2−4ac

2ax>0 funksioni është ¿ x<0 funksioni është ¿Asimptotat:limx→±∞

f ( x )=L asimptota horizontale

limx→x 0

f ( x )=±∞ asimptota vertikale (x0 pika ku s’është i përkufizuar f-oni!)

y=kx+ lasimptota e pjerrët, ku k= lim

x→±∞

f (x )x dhe

l= limx→±∞

[ f ( x )−kx ]

Monotonia:

f ' ( x )>0 funksioni është f ' ( x )<0 funksioni është Konkaviteti, konveksiteti:

f ''( x )>0 funksioni është ¿ -konkav f ''( x )<0 funksioni është ¿ -konveksMatematika financiare:Interesi i thjeshtë

i= K⋅p100

⋅t

i= K⋅p100

⋅n(në vite)

i= K⋅p1200

⋅m(në muaj)

i= K⋅p36000

⋅d(në ditë)

Interesi i përbërë

Kn=K (1+ p100

)n Kn=K (1+ p100⋅m

)n⋅m

Depozita anticipative Depozita dekurzive

Sa=Kr (rn−1)r−1

Sd=Krn−1r−1

r=1+ p100

Sa=Kr (rnm−1)r−1

Sd=Krnm−1r−1

r=1+ p100m

Renta anticipativeRenta dekurzive

M=Rrn−1

rn−1 (r−1 )M=R

rn−1rn (r−1)

r=1+ p100

M=Rrn⋅m−1

rn⋅m−1(r−1)M=R

rn⋅m−1rn⋅m(r−1 )

r=1+ p100m

Huaja, anuiteti...

H=arn−1

r n(r−1)a=H

r n(r−1)rn−1

Plani i amortizimitPeriudhat e

pagesësShuma e

borxhitIntere

siKësti

nHn=Hn−1−bn−1 in=Hn

p100

bn=a−in

28