STATISTIKA :Kegiatan untuk :• mengumpulkan data• menyajikan data • menganalisis data dengan metode tertentu• menginterpretasikan hasil analisis
KEGUNAAN
?
STATISTIKA DESKRIPTIF :Berkenaan dengan pengumpulan, pengolahan, dan penyajian sebagianatau seluruh data (pengamatan) tanpa pengambilan kesimpulan
STATISTIKA INFERENSI :Setelah data dikumpulkan, maka dilakukan berbagai metode statistik untukmenganalisis data, dan kemudian dilakukan interpretasi serta diambil kesimpulan.Statistika inferensi akan menghasilkan generalisasi (jika sampel representatif)
Melalui fase
dan fase
1. Konsep Statistika
2. Statistika & Metode Ilmiah
METODE ILMIAH :Adalah salah satu cara mencari kebenaran yang bila ditinjau dari segi penerapannya, resiko untuk keliru paling kecil.
LANGKAH-LANGKAH DALAM METODE ILMIAH :1. Merumuskan masalah2. Melakukan studi literatur3. Membuat dugaan-dugaan, pertanyaan-pertanyaan atau hipotesis
4. Mengumpulkan dan mengolah data, menguji hipotesis, atau menjawab pertanyaan
5. Mengambil kesimpulan
PERAN STATISTIKA
INSTRUMEN
SAMPEL
VARIABEL
SIFAT DATA
METODE ANALISIS
3. Data
DATA terbagi atas DATA KUALITATIF dan DATA KUANTITATIF
DATA KUALITATIF :Data yang dinyatakan dalam bentuk bukan angka.Contoh : jenis pekerjaan, status marital, tingkat kepuasan kerja
DATA KUANTITATIF :Data yang dinyatakan dalam bentuk angkaContoh : lama bekerja, jumlah gaji, usia, hasil ulangan
DATA
JENISDATA
NOMINALORDINAL
INTERVALRASIO
KUALITATIF KUANTITATIF
4. Data
DATA NOMINAL :Data berskala nominal adalah data yang diperoleh dengan cara kategorisasi atau klasifikasi.CIRI : posisi data setara
tidak bisa dilakukan operasi matematika (+, -, x, :)CONTOH : jenis kelamin, jenis pekerjaan
DATA ORDINAL :Data berskala ordinal adalah data yang dipeoleh dengan cara kategorisasi atau klasifikasi, tetapi di antara data tersebut terdapat hubunganCIRI : posisi data tidak setara
tidak bisa dilakukan operasi matematika (+, -, x, :)CONTOH : kepuasan kerja, motivasi
DATA INTERVAL :Data berskala interval adalah data yang diperoleh dengan cara pengukuran, di mana jarak antara dua titik skala sudah diketahui.CIRI : Tidak ada kategorisasi
bisa dilakukan operasi matematikaCONTOH : temperatur yang diukur berdasarkan 0C dan 0F, sistem kalender
DATA RASIO :Data berskala rasio adalah data yang diperoleh dengan cara pengukuran, di mana jarak antara dua titik skala sudah diketahui dan mempunyai titik 0 absolut.CIRI : tidak ada kategorisasi
bisa dilakukan operasi matematikaCONTOH : gaji, skor ujian, jumlah buku
5. Pengolahan Data
PROSEDUR PENGOLAHAN DATA :
A. PARAMETER : Berdasarkan parameter yang ada statistik dibagi menjadi
• Statistik PARAMETRIK : berhubungan dengan inferensi statistik yang membahas parameter-parameter populasi; jenis data interval atau rasio; distribusi data normal atau mendekati normal.
• Statistik NONPARAMETRIK : inferensi statistik tidak membahas parameter-parameter populasi; jenis data nominal atau ordinal; distribusi data tidak diketahui atau tidak normal
B. JUMLAH VARIABEL : berdasarkan jumlah variabel dibagi menjadi
• Analisis UNIVARIAT : hanya ada 1 pengukuran (variabel) untuk n sampel atau beberapa variabel tetapi masing-masing variabel dianalisis sendiri-sendiri. Contoh : korelasi motivasi dengan pencapaian akademik.
• Analisis MULTIVARIAT : dua atau lebih pengukuran (variabel) untuk n sampel di mana analisis antar variabel dilakukan bersamaan. Contoh : pengaruh motivasi terhadap pencapaian akademik yang dipengaruhi oleh faktor latar belakang pendidikan orang tua, faktor sosial ekonomi, faktor sekolah.
6. Pengolahan Data
MULAI
JumlahVariabel
?
AnalisisUnivariat
AnalisisMultivariat
JenisData ?
StatistikParametrik
StatistikNon Parametrik
SATU DUA / LEBIH
INTERVAL
RASIO
NOMINAL
ORDINAL
7. Penyajian Data
TABELTabel 1.1 Bidang Pekerjaan berdasarkan Latar Belakang Pendidikan
Count
1 8 6 15
1 7 8
4 3 5 12
2 14 11 27
3 4 6 13
10 30 35 75
administ rasi
personalia
produks i
marketing
keuangan
bidang
pekerjaan
Jumlah
SMU Akademi Sarjana
pendidikan
Jumlah
GRAFIK administrasi
personalia
produksi
marketing
keuangan
bidang pekerjaan
Pies show counts
8. Membuat Tabel
TABEL : memberikan informasi secara rinci. Terdiri atas kolom dan baris
TABEL
KOLOM
Kolom pertama : LABEL
Kolom kedua …. n : Frekuensi atau label
BARIS Berisikan data berdasarkan kolom
Asal Wilayah
Pendapat tentang sertifikasi
JumlahSangat perlu
Perlu Tidak tahu
Tidak perlu
Sangat tdk
perlu
Jawa Barat
Jawa Tengah
Jawa Timur
NTT
Papua
Jumlah
Tabel Tabulasi Silang
9. Membuat Grafik
GRAFIK : memberikan informasi dengan benar dan cepat, tetapi tidak rinci.
Syarat :1. Pemilihan sumbu (sumbu tegak dan sumbu datar), kecuali grafik lingkaran2. Penetapan skala (skala biasa, skala logaritma, skala lain)3. Ukuran grafik (tidak terlalu besar, tinggi, pendek)
Sum
bu tegak
1
2
3
4
1 2 3 4
Sumbu datar
0
Titikpangkal
Jenis Grafik :
• Grafik Batang (Bar)
• Grafik Garis (line)
• Grafik Lingkaran (Pie)
• Grafik Interaksi (Interactive)
bidang pekerjaan
keuanganmarketingproduksipersonaliaadministrasi
Co
un
t
30
20
10
0
bidang pekerjaan
keuanganmarketingproduksipersonaliaadministrasi
Jum
lah
30
20
10
0
keuangan
marketing
produksi
personalia
administrasi
prestasi kerja
sangat baikbaikcukup baikjeleksangat jelek
Me
an
ga
ji p
erb
ula
n
800000
700000
600000
500000
400000
300000
Jenis kelamin
laki-laki
w anita
10. Jenis Grafik
Grafik Batang (Bar) Grafik Garis (line)
Grafik lingkaran (pie) Grafik Interaksi (interactive)
11. Frekuensi
FREKUENSI : banyaknya data untuk satu kelompok/klasifikasi
KELOMPOK FREKUENSI
Kelompok ke-1 f1
Kelompok ke-2 f2
Kelompok ke-3 f3
Kelompok ke-i fi
Kelompok ke-k fk
kn = Σ fi
i=1
Pendidikan Frekuensi
S1 62
S2 19
S3 9
90
kn = Σ fi = f1 + f2 + f3 +….. + fi + …… + fk
i=1
DISTRIBUSI FREKUENSI : mengelompokkan data interval/rasio dan menghitung banyaknya data dalam satu kelompok/klasifikasi
12. Distribusi Frekuensi
Membuat distribusi frekuensi :1. Mencari sebaran (range) yakni selisih antara data paling besar
dengan data paling kecil) 35 – 20 = 152. Menentukan banyak kelas dengan rumus k = 1 + 3,3 log n
71. Menentukan panjang kelas dengan rumus
p = sebaran / banyak kelas 15/7 = 2
KELOMPOK USIA FREKUENSI
20 – 21 11
22 – 23 17
24 – 25 14
26 – 27 12
28 – 29 7
30 – 31 18
32 - 33 5
34 - 35 1
USIA FREKUENSI
20 5
21 6
22 13
23 4
24 7
25 7
26 7
27 5
28 3
29 4
30 15
31 3
33 5
35 1
11. Frekuensi
FREKUENSI : banyaknya data untuk satu kelompok/klasifikasi
KELOMPOK FREKUENSI
Kelompok ke-1 f1
Kelompok ke-2 f2
Kelompok ke-3 f3
Kelompok ke-i fi
Kelompok ke-k fk
kn = Σ fi
i=1
Pendidikan Frekuensi
S1 62
S2 19
S3 9
90
kn = Σ fi = f1 + f2 + f3 +….. + fi + …… + fk
i=1
DISTRIBUSI FREKUENSI : mengelompokkan data interval/rasio dan menghitungbanyaknya data dalam satu kelompok/klasifikasi
12. Distribusi Frekuensi
Membuat distribusi frekuensi :1. Mencari sebaran (range) yakni selisih antara data paling besar
dengan data paling kecil) 35 – 20 = 152. Menentukan banyak kelas dengan rumus k = 1 + 3,3 log n 7
3. Menentukan panjang kelas dengan rumusp = sebaran / banyak kelas 15/7 = 2
KELOMPOK USIA FREKUENSI
20 – 21 11
22 – 23 17
24 – 25 14
26 – 27 12
28 – 29 7
30 – 31 18
32 - 33 5
34 - 35 1
USIA FREKUENSI
20 5
21 6
22 13
23 4
24 7
25 7
26 7
27 5
28 3
29 4
30 15
31 3
33 5
35 1
13. Ukuran Tendensi Sentral
RATA-RATA : suatu bilangan yang bertindak mewakili sekumpulan bilanganRATA-RATA HITUNG (RERATA) : jumlah bilangan dibagi banyaknya
X1 + X2 + X3 + … + Xn
n
nΣ Xii =1
n
X =
Bila terdapat sekumpulan bilangan di mana masing-masing bilangannya memiliki frekuensi,maka rata-rata hitung menjadi :
X1 f1 + X2 f2 + X3 f3 + … + Xkfkf1 + f2 + f3 + … + fk
X =
k
Σ Xifii =1
k
Σ fii =1Cara menghitung :
Bilangan (Xi) Frekuensi (fi) Xi fi
70 3 210
63 5 315
85 2 170
Jumlah 10 695
Maka : X =69510
= 69.5
14. Median
MEDIAN : nilai tengah dari sekumpulan data setelah diurutkan yang fungsinya membantumemperjelas kedudukan suatu data.
Contoh : diketahui rata-rata hitung nilai ulangan dari sejumlah siswa adalah 6.55. Pertanyaannya adalah apakah siswa yang memperoleh nilai 7termasuk istimewa, baik, atau biasa-biasa saja ?
Jika nilai ulangan tersebut adalah : 10 10 8 7 7 6 5 5 5 5 4,maka rata-rata hitung = 6.55, median = 6Kesimpulan : nilai 7 termasuk kategori baik sebab berada di atas rata-rata hitung
dan median (kelompok 50% atas)
Jika nilai ulangan tersebut adalah : 8 8 8 8 8 8 7 5 5 4 3, maka rata-rata hitung = 6.55, median = 8Kesimpulan : nilai 7 termasuk kategori kurang sebab berada di bawah median
(kelompok 50% bawah)
Jika sekumpulan data banyak bilangannya genap (tidak mempunyai bilangan tengah)Maka mediannya adalah rerata dari dua bilangan yang ditengahnya.Contoh : 1 2 3 4 5 6 7 8 8 9 maka median (5+6) : 2 = 5.5
15. Modus
MODUS : bilangan yang paling banyak muncul dari sekumpulan bilangan, yang fungsinya untuk melihat kecenderungan dari sekumpulan bilangan tersebut.
Contoh : nilai ulangan 10 10 8 7 7 6 5 5 5 5 4 Maka : s = 6 ; k = 3 ; p =2
rata-rata hitung = 6.55 ; median = 6modus = 5 ; kelas modus = 5 - 7
Nilai Frekuensi
10 2
8 1
7 2
6 1
5 4
4 1
Jumlah 11
Nilai Frekuensi
8 – 10 3
5 – 7 7
2 – 4 1
Jumlah 11
Mo X Me
+-
Kurva positif apabila rata-rata hitung > modus / medianKurva negatif apabila rata-rata hitung < modus / median
16. Ukuran Penyebaran
Rentang (range) : selisih bilangan terbesar dengan bilangan terkecil. Sebaran merupakan ukuran penyebaran yang sangat kasar, sebab hanya bersangkutan dengan bilangan terbesar dan terkecil.
A : 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10B : 100 100 100 100 100 10 10 10 10 10C : 100 100 100 90 80 30 20 10 10 10
Contoh :X = 55r = 100 – 10 = 90
UKURAN YANG MENYATAKAN HOMOGENITAS / HETEROGENITAS :1. RENTANG (Range)2. DEVIASI RATA-RATA (Average Deviation)3. VARIANS (Variance)4. DEVIASI STANDAR (Standard Deviation)
Rata-rata
17. Deviasi rata-rata Deviasi Rata-rata : penyebaran Berdasarkan harga mutlak simpanganbilangan-bilangan terhadap rata-ratanya.
Nilai X X - X |X – X|
100 45 45
90 35 35
80 25 25
70 15 15
60 5 5
50 -5 5
40 -15 15
30 -25 25
20 -35 35
10 -45 45
Jumlah 0 250
Nilai X X - X |X – X|
100 45 45
100 45 45
100 45 45
90 35 35
80 25 25
30 -25 25
20 -35 35
10 -45 45
10 -45 45
10 -45 45
Jumlah 0 390
Kelompok A Kelompok B
DR = 250 = 25 10
DR = 390 = 3910
Makin besar simpangan,makin besar nilai deviasi rata-rata
DR =nΣi=1
|Xi – X|n
Rata-rata
Rata-rata
18. Varians & Deviasi Standar
Varians : penyebaran berdasarkan jumlah kuadrat simpangan bilangan-bilangan terhadap rata-ratanya ; melihat ketidaksamaan sekelompok data
s2 =nΣi=1
(Xi – X)2
n-1
Deviasi Standar : penyebaranberdasarkan akar dari varians ;menunjukkan keragaman kelompok data
s =√nΣi=1
(Xi – X)2
n-1
Nilai X X -X (X–X)2
100 45 2025
90 35 1225
80 25 625
70 15 225
60 5 25
50 -5 25
40 -15 225
30 -25 625
20 -35 1225
10 -45 2025
Jumlah 8250
Nilai X X -X (X –X)2
100 45 2025
100 45 2025
100 45 2025
90 35 1225
80 25 625
30 -25 625
20 -35 1225
10 -45 2025
10 -45 2025
10 -45 2025
Jumlah 15850
Kelompok A Kelompok B
s = √8250
9 = 30.28 s = √15850
9 = 41.97
Kesimpulan :Kelompok A : rata-rata = 55 ; DR = 25 ; s = 30.28 Kelompok B : rata-rata = 55 ; DR = 39 ; s = 41.97
Maka data kelompok B lebih tersebar daripada kelompok A
A behavioral science RM handout (after Dr. E. Lea Witta Dept. of Educational Research, Technology, and Leadership, University of Central Florida
19. Normalitas, Hipotesis, Pengujian
Distribusi Normal : kurva berbentuk bel, simetris, simetris terhadap sumbu yang melalui nilai rata-rata
+s +2s +3s -s +2s+3s
68%
95%
99%
• Lakukan uji normalitas• Rasio Skewness & Kurtosis berada –2 sampai +2
Rasio =
• Jika tidak berdistribusi normal, lakukan uji normalitas non parametrik (Wilcoxon, Mann-White, Tau Kendall)
Skewness = kemiringan
Kurtosis = keruncingan
nilai
Standard error
Review Page!
Pengaruh Nilai Statistik Dalam Pengambilan Keputusan Personal
BERITA HARIAN NASIONALSepanjang tahun ini telah terjadi 20 kecelakaan pesawat dalam 100
hari terakhir.
Bila 5 hari yang lalu telah terjadi
kecelakaan pesawat, sedangkan anda akan
pergi dari Banda aceh ke Jakarta. Apakah
anda akan naik pesawat?
Berarti 5 hari sekali terjadi kecelakaan pesawat.
STK - Probabilitas
0 < P(A) < 1, P() = 0, dan P(S) = 1
Peluang : pengukuran numerik kemungkinan suatu kejadian terjadi
P E L U A N G
0 10,5
Percobaan (Eksperimen)
•Lempar koin
•Lempar dadu
•Kelahiran
STK - Probabilitas
Percobaan
•Gambar, Angka
•1,2,3,4,5,6
•Laki-laki, Perempuan
Keluaran
RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN
Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin muncul atau terjadi pada suatu percobaan statistik.
Ruang sampel dilambangkan dengan S dan anggota-anggotanyadisebut titik sampel.
Kejadian adalah himpunan dari hasil yang muncul atau terjadipada suatu percobaan statistik.
Kejadian dilambangkan dengan A dan anggota-anggotanyadisebut juga titik sampel.
STK - Probabilitas
RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN (lanjutan)
Ruang sampel S Himpunan semesta S
Kejadian A Himpunan bagian A
Titik sampel Anggota himpunan
STK - Probabilitas
A
S
RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN
(lanjutan)
Bila kejadian A terjadi dalam m cara pada ruang sampel S
yang terjadi dalam n cara maka probabilitas kejadian A
adalah :
dimana :
n(A) = banyak anggota A
n(S) = banyak anggota S
n
m
Sn
An AP
STK - Probabilitas
RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN
(lanjutan)
STK - Probabilitas
Keluaran Percobaan
• Percobaan multi langkah (n1)(n2)...(nk)
• Kombinasi
• Permutasi
RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN
(lanjutan)Contoh :
Pada pelemparan 2 buah uang logam :
a. Tentukan ruang sampel!
b. Bila A menyatakan kejadian munculnya sisi-sisi yang sama dari 2 uang
logam tersebut, tentukan probabilitas kejadian A!
Jawab :
a. Ruang sampelnya :
b. A = {(,g,g),(a,a)} , maka n(A) = 2 dan n(S) = 4, sehingga probabilitas
kejadian A adalah :
Uang logam 2
g a
Uang
Logam 1
g (g,g) (g,a)
a (a,g) (a,a)
2
1
4
2
Sn
An AP
STK - Probabilitas
RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN
(lanjutan)
Latihan :
Pada pelemparan dua buah dadu :
a. Tentukan ruang sampelnya!
b. Bila A menyatakan kejadian munculnya dua dadu dengan muka sama, tentukan P(A)!
c. Bila B menyatakan kejadian munculnya jumlah muka dua dadu kurang dari 5, tentukan P(B)!
d. Bila C menyatakan kejadian munculnya jumlah muka dua dadu lebih dari sama dengan 7, tentukan P(C)!
STK - Probabilitas
PERMUTASI
Susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-
anggota suatu himpunan dengan mengambil
seluruh atau sebagian anggota himpunan dan
memberi arti pada urutan anggota dari
masing-masing susunan tersebut.
Permutasi ditulis dengan P.
PERMUTASI (lanjutan)
Bila himpunan terdiri dari n anggota dan diambil sebanyak
r, maka banyaknya susunan yang dapat dibuat adalah :
Contoh :
Bila n=4 dan r=2, maka
!r-n
n! Prn
12
2!
4.3.2!
2!
4!
!2-4
4! P24
STK - Probabilitas
KOMBINASI
Susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian dari anggota himpunan itu tanpa memberi arti pada urutan anggota dari masing-masing susunan tersebut.
Kombinasi ditulis dengan C.
STK - Probabilitas
KOMBINASI (lanjutan)
Bila himpunan terdiri dari n anggota dan diambil sebanyak
r, maka banyaknya susunan yang dapat dibuat adalah :
Contoh :
Bila n=4 dan r=2, maka
STK - Probabilitas
!r-nr!
n! C n
rrn
6 1.2.2!
4.3.2!
2!2!
4!
!2-42!
4! C 4
224
KOMBINASI (lanjutan)
Contoh :
Dalam suatu kelompok terdiri dari 4 orang ahli mesin dan 3 orang ahli elektronika. Buatlah juri yang terdiri dari 2 orang ahlielektronika dan 1 orang ahli mesin!
Jawab :
Banyaknya jenis juri yang dapat dibentuk adalah
4 x 12 = 48 jenis juri.
12 2!
4.3.2!
2!1!
3!
!2-32!
3! C
4 3!
4.3!
1!3!
4!
!1-41!
4! C
3
223
4
114
STK - Probabilitas
LATIHAN
1. Aturan dari sebuah lotre adalah mengambil secara acak 6 bilangan bulat dari 47 bilangan bulat. Berapa banyak kemungkinan keluaran yang mungkin?
2. Dua item dari 5 item diambil secara acak untuk diteliti. Ada berapa cara mengambil 2 dari 5 item tersebut?
3. Jika 2 item diambil satu terlebih dahulu dan diperiksa, baru setelah itu diambil yang kedua. Berapa kemungkinan cara mengambil 2 dari 5 item tersebut?
STK - Probabilitas
10 !2-52!
5! C 5
225
20
3!
5!
!2-5
5! P25 AB BA AC CA AD DA AE EA BC CB BD DB BE EB
CD DC CE EC DE dan ED
AB AC AD AE BC BD BE CD CE dan DE
3.
2.
KONSEP PROBABILITAS Banyaknya kejadian yang sulit diketahui dengan pasti.
Akan tetapi kejadian tersebut dapat kita ketahui akan terjadi
dengan melihat fakta-fakta yang ada.
Dalam statistika fakta-fakta tersebut digunakan untukmengukur derajat kepastian atau keyakinan yang disebutdengan Probabilitas atau Peluang dan dilambangkandengan P.
STK - Probabilitas
PERUMUSAN PROBABILITAS
Bila kejadian E terjadi dalam m cara dari seluruh n cara
yang mungkin terjadi dimana masing-masing n cara
tersebut mempunyai kesempatan atau kemungkinan yang
sama untuk muncul, maka probabilitas kejadian E adalah :
n
m EP
STK - Probabilitas
PERUMUSAN PROBABILITAS (lanjutan)
Contoh :
Hitung probabilitas memperoleh kartu hati bila sebuah
kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge
yang lengkap!
Jawab:
Jumlah seluruh kartu = 52
Jumlah kartu hati = 13
Misal E adalah kejadian munculnya kartu hati, maka :
52
13
n
m EP
STK - Probabilitas
SIFAT PROBABILITAS KEJADIAN A
• Bila 0<P(A)<1, maka n(A) akan selalu lebih sedikit dari
n(S)
• Bila A = 0, himpunan kosong maka A tidak terjadi pada S
dan n(A)=0 sehingga P(A) = 0
• Bila A = S, maka n(A)=n(S)=n sehingga P(A) = 1
STK - Probabilitas
PERUMUSAN PROBABILITAS
KEJADIAN MAJEMUK
Maka banyak anggota himpunan gabungan A dan B adalah :
Kejadian majemuk adalah gabungan atau irisan kejadian A dan B, maka
probabilitas kejadian gabungan A dan B adalah:
BAn-n(B) n(A) BAn
BAP-P(B) P(A) BAP
STK - Probabilitas
BA
S S
AB
PERUMUSAN PROBABILITAS
KEJADIAN MAJEMUK (lanjutan)
Untuk 3 kejadian maka :
Maka Probabilitas majemuknya adalah :
CBAPCBP-CAP-BAP-CPBPAP CBAP
STK - Probabilitas
BA
S
C
PERUMUSAN PROBABILITAS
KEJADIAN MAJEMUK (lanjutan)
Contoh 1 :
Diambil satu kartu acak dari satu set kartu bridge yang
lengkap. Bila A adalah kejadian terpilihnya kartu As dan B
adalah kejadian terpilihnya kartu wajik, maka hitunglah
Jawab :
BAP
13
4
52
16
52
1
52
13
52
4
BAPBPAP BAP Maka
wajik)As(kartu 52
1 BAP ,
52
13 BP ,
52
4 AP
STK - Probabilitas
PERUMUSAN PROBABILITAS KEJADIAN MAJEMUK
(lanjutan)Contoh 2 :
Peluang seorang mahasiswa lulus Kalkulus adalah 2/3 dan peluang ia
lulus Statistika adalah 4/9. Bila peluang lulus sekurang-kurangnya satu
mata kuliah di atas adalah 4/5, berapa peluang ia lulus kedua mata
kuliah tersebut?
Jawab :
Misal A = kejadian lulus Kalkulus B = kejadian lulus Statistika
45
14
5
4
9
4
3
2
BAPBPAPBAP
BAPBPAPBAP
5
4BAP ,
9
4BP ,
3
2AP
STK - Probabilitas
DUA KEJADIAN SALING LEPAS
Bila A dan B adalah dua kejadian sembarang pada S dan berlaku
maka A dan B dikatakan dua kejadian yang saling lepas.
Dua kejadian tersebut tidak mungkin terjadi secara bersamaan.
Dengan demikian probabilitas adalah :
0BA
BA
STK - Probabilitas
BA
S
BPAPBAP
DUA KEJADIAN SALING LEPAS (lanjutan)
Contoh :
Pada pelemparan dua buah dadu, tentukan probabilitas munculnya
muka dua dadu dengan jumlah 7 atau 11!
Jawab :
Misal A = kejadian munculnya jumlah 7
B = kejadian munculnya jumlah 11
Tentukan ruang sampelnya dulu! Dari ruang sampel akan diperoleh :
A = {(6,1),(5,2),(4,3),(2,5),(1,6),(3,4)}
B = {(6,5),(5,6)}
Maka yang berarti A dan B saling lepas.
P(A) = 4/36 , P(B)=2/36 sehingga
6
1
36
6
36
2
36
4BPAPBAP
0BAP
STK - Probabilitas
DUA KEJADIAN
SALING KOMPLEMENTER
Bila maka Ac atau A’ adalah himpunan S yang bukan
anggota A.
Dengan demikian
dan
Rumus probabilitasnya :
SA
0A'A
STK - Probabilitas
S
AA’
SA'A
AP1A'P
DUA KEJADIAN
SALING KOMPLEMENTER
Latihan
Sebuah kotak berisi 8 bola merah, 7 bola putih, dan 5
bola biru. Jika diambil 1 bola secara acak, tentukan
probabilitas terpilihnya:
a. Bola merah
b. Bola putih
c. Bola biru
d. Tidak merah
e. Merah atau putih
STK - Probabilitas
DUA KEJADIAN
SALING BEBAS
Dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S dikatakan saling
bebas jika kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B dan
sebaliknya kejadian B juga tidak mempengaruhi kejadian A.
Rumus :
BP.APBAP
STK - Probabilitas
DUA KEJADIAN SALING BEBAS
(lanjutan)Contoh :
Pada pelemparan dua buah dadu, apakah kejadian munculnya muka X<=3 dadu I dan kejadianmunculnya muka Y>=5 dadu II saling bebas?
Jawab :
A= kejadian munculnya muka X<=3 dadu I
B= kejadian munculnya muka Y>=5 dadu II
Dari ruang sampel diperoleh :
A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),
(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)}
B={(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(1,6),(2,6),(3,6),
(4,6),(5,6),(6,6)}
Maka diperoleh
P(A) = 18/36 = ½ dan P(B) = 12/36 = 1/3
Tetapi juga berlaku
maka A dan B saling bebas.
(3,6)}(2,6),,(3,5)(1,6)(2,5),{(1,5), BA
B.PAP3
1.
2
1
6
1BAP
STK - Probabilitas
6
1
36
6 BAP
PROBABILITAS BERSYARAT
Kejadian A terjadi dengan syarat kejadian B lebih dulu
terjadi, dikatakan kejadian A bersyarat B dan ditulis A/B.
Probabilitas terjadinya A bila kejadian B telah terjadi
disebut probabilitas bersyarat P(A/B).
Rumusnya :
0BP , BP
BAPA/BP
STK - Probabilitas
PROBABILITAS BERSYARAT
(lanjutan)
Contoh :
Diberikan populasi sarjana disuatu kota yang dibagi menurut jeniskelamin dan status pekerjaan sebagai berikut :
Akan diambil seorang dari mereka untuk ditugaskan melakukanpromosi barang. Ternyata yang terpilih adalah dalam status bekerja, berapakah probabilitasnya bahwa dia :
a. Laki-laki b. wanita
Bekerja Menganggur Jumlah
Laki-laki
Wanita
460
140
40
260
500
400
Jumlah 600 300 900
STK - Probabilitas
PROBABILITAS BERSYARAT
(lanjutan)
Jawab :
A=kejadian terpilihnya sarjana telah bekerja
B=kejadian bahwa dia laki-laki
a.
b. Cari sendiri!
30
23
600
460
AP
BAPA/BP
900
600AP maka 600An
900
460BAP maka 460BAn
STK - Probabilitas
PROBABILITAS BERSYARAT
Untuk Kejadian Saling Bebas
Bila A dan B dua kejadian dalam ruang sampel S yang
saling bebas dengan P(A)=0 dan P(B)=0 maka berlaku :
Bila
Untuk kejadian A,B, dan C maka :
BPB/APdan APA/BP
BP.A/BPBAP
maka , BP
BAPA/BP
STK - Probabilitas
CP.B/CP.CA/BPCBAP
PROBABILITAS BERSYARAT
Untuk Kejadian Saling Bebas
Contoh :
Misal kita mengambil 3 kartu (diambil 3 kali) pada kartu bridge yang lengkap. Setiap mengambil kartu, kartu yang terpilih tidak dikembalikan pada kelompok kartu tersebut. Hal ini dikatakan pengambilan kartu tanpa pengembalian. Tentukanlah probabilitas untuk memperoleh 3 kartu As!
STK - Probabilitas
PROBABILITAS BERSYARAT
Untuk Kejadian Saling Bebas
Jawab :
S = kumpulan kartu dimana n(S) = 52
A = terpilih kartu As pada pengambilan pertama
B/A = terpilih kartu As pada pengambilan kedua dengansyarat pada pengambilan pertama terpilih kartu As
C/ = terpilih kartu As pada pengambilan ketigadengan syarat pada pengambilan pertama dan keduaterpilih kartu As
BA
STK - Probabilitas
PROBABILITAS BERSYARAT
Untuk Kejadian Saling Bebas
Pengambilan 1 : n(A)=4 dan n(S)=52
Pengambilan 2 : n(B/A)=3 dan n(S)=51
Pengambilan 3 : n(C/ ) =2 dan n(S)=50
Maka :
BA
525.5
1
52
4.
51
3.
50
2
AP.B/AP.BC/APCBAP
STK - Probabilitas
DISTRIBUSI DISKRIT
VARIABEL ACAK
VARIABEL ACAK :
suatu fungsi yang nilainya berupa bilangannyata yang ditentukan oleh setiap unsur dalamruang sampel.
Variabel acak ada 2, yaitu :
1. Variabel Random Diskrit/ Cacah
digunakan untuk data cacahan
2. Variabel Random Kontinu
digunakan untuk data ukur
• Contoh :
pada percobaan pelemparan mata uang.
Misal banyaknya muncul gambar
dinyatakan x, maka x = variabel acak
Ruang Sampel :
• Diskrit :
– ruang sampel yang mengandung titik sampel
sebanyak bilangan cacah
• Kontinu :
– mengandung titik sampel sebanyak titik pada
sebuah garis
DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT
• Adalah sebuah tabel atau rumus yang mencantumkan
semua kemungkinan nilai variabel acak diskrit dan
nilai peluangnya
x P(x)
0
1
2
¼
2/4
¼
Contoh :
1) Tentukan rumus distribusi peluang
banyaknya sisi gambar bila sebuah uang
logam dilempar 3 kali. Buatlah tabelnya ?
Eksperimen :
pelemparan 1 mata uang 3x, Banyaknya titik
sampel = 23 = 8
S ={AAA, AAG, AGG, GGG, AGA, GAG,
GAA, GGA}
Banyaknya muncul sisi gambar adalah
Jadi fungsi peluang adalah :
Untuk x = 0,1,2,3
Tabel distribusi peluang :
x
3
8
3
)(
x
f x
2) Sebuah dadu dilemparkan 2x
Misalkan : x = jumlah titik dadu dalam kedua
lemparan itu, maka
x = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
Tabel distribusi probabilitas x :
a) P(x>8) = P(x=9)+P(x=10)+P(x=11)+ P(x=12)
= =
b) P(4<x<7) = P(x=5) + P(x=6)
= =
3) Eksperimen : 8 bit (1 byte) dibangkitkan secara acak.
Variabel random y = banyak bit 1 dalam byte
y = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
y = 0 n = c(8,0) = 1
y = 1 n = c(8,1) = 8
y = 2 n = c(8,2) = 28
y = 3 n = c(8,3) = 56
y = 4 n = c(8,4) = 70
y = 5 n = c(8,5) = 56
y = 6 n = c(8,6) = 28
y = 7 n = c(8,7) = 8
y = 8 n = c(8,8) = 1
n(S)=banyak cara membangkitkan 8 bit(0 & 1)
= = 256
Tabel distribusi probabilitas x :
4) Sebuah toko menjual obral 15 radio, diantara
radio tsb, terdapat 5 yang rusak. Jika seorang
calon pembeli melakukan tes tiga radio yang
dipilih secara random. Tuliskan distribusi
probabilitas x = banyaknya radio yang rusak
dalam sampel itu dan tabelnya
Proses Bernoulli
Distribusi Binomial
Distribusi Geometrik
Distribusi Hipergeometrik
Proses & Distribusi Poisson
Pendekatan untuk Distribusi Binomial
Distribusi Variabel Random Diskrit
Percobaan Bernoulli adalah percobaan yang memenuhi kondisi-kondisi berikut:
1. Satu percobaan dengan percobaan yang lain independen. Artinya, sebuah hasil tidak mempengaruhi muncul atau tidak munculnya hasil yang lain.
2. Setiap percobaan memberikan dua hasil yang mungkin, yaitu sukses* dan gagal. Kedua hasil tersbut bersifat mutually exclusive dan exhaustive.
3.Probabilitas sukses, disimbolkan dengan p, adalah tetap atau konstan. Probabilitas gagal, dinyatakan dengan q, adalah q = 1-p.* Istilah sukses dan gagal adalah istilah statistik yang tidak memiliki implikasi positif atau
negatif.
Proses Bernoulli
Percobaan Bernouli:
• Setiap percobaan menghasilkan dua kejadian:(a) kelahiran anak: laki-laki-perempuan; (b) transaksi saham: jual- beli, (c) perkembangan suku bunga: naik–turun dan lain-lain.
DISTRIBUSI PROBABILITAS BINOMIAL
Rumus distribusi probabilitas binomial:
rnr qprnr
nr
.
)!(!
!)(P
Dimana:P(r) : Nilai probabilitas binomial p : Probabilitas sukses suatu kejadian dalam setiap percobaanr : Banyaknya peristiwa sukses suatu kejadian untuk keseluruhan percobaan n : Jumlah total percobaan q : Probabilitas gagal suatu kejadian yang diperoleh dari q = 1-p
PT MJF mengirim buah melon ke Hero. Buah yang dikirim 90% diterima dan sisanya ditolak. Setiap hari 15 buah dikirim ke Hero. Berapa peluang 15 dan 13 buahditerima? Hitung probabilitas 10 buah diterima???
DISTRIBUSI POISSON
• Dikembangkan oleh Simon Poisson
• Poisson memperhatikan bahwa distribusi binomial sangatbermanfaat dan dapat menjelaskan dengan baik, namununtuk n di atas 50 dan nilai P(p) sangat kecil akan sulitmendapatkan nilai binomialnya.
• Rumus:
P(X) = xe-/X!
Jawab:n = 120 X=5 p=0,1 =n.p =120 x 0,1 = 12
P(X) = 1252,71828-12/5! = 0,0127
Untuk mendapatkan nilai distribusi Poisson, dapat digunakan tabeldistribusi Poisson. Carilah Nilai = 12 dan nilai X = 5, maka akandidapat nilai 0,0127
Jumlah emiten di BEJ ada 120 perusahaan. Akibat krisis ekonomi, peluang perusahaan memberikan deviden hanya 0,1. Apabila BEJ meminta secara acak 5 perusahaan, berapa peluang ke-5 perusahaan tersebut akan membagikan dividen?