Materi ke - 6
Penggunaan Integral Tak TentuPenggunaan Integral Tak Tentu
10 April 2014
Industrial Engineering – UNS [email protected]
Persamaan Diferensial dan Penggunaannya
Persamaan diferensial � mengaitkan
suatu fungsi dengan turunannya ( diferensial )
Contoh
2
'
22'''
2'2
xyyy
y
xyxy
=−−
−==
Industrial Engineering – UNS [email protected]
Persamaan Diferensial dan Penggunaannya
Dengan proses integral tak tentu persamaan diferensial
Cxyxy +== 2' solusi mempunyai2
Solusi umum � keluarga kurva yg memenuhi persamaan
Solusi khusus �satu kurva yg memenuhi syarat tertentu
Cxyxy +== solusi mempunyai2
Industrial Engineering – UNS [email protected]
Metoda Pemisahan Peubah
Digunakan untuk persamaan diferensial yang dapat ditulis dalam bentuk
dyyqdxxpyyqxp =+=+ 0)()(atau 0)()( '
CxQxP
dyyqxQdxxpxP
Cdyyqdxxp
dyyqdxxpyyqxp
=+
==
=+
=+=+
∫∫
∫∫
)()(adalah solusinya Maka
)()(dan)()( Jika
)()(
tak tentuintegraldengan diperoleh Solusi
0)()(atau 0)()(
Industrial Engineering – UNS [email protected]
Metoda Pemisahan Peubah
singgung garisgradien diketahui jika (2,-1)titik
melalui yang kurvapersamaan Tentukan
1Contoh
'.adalah
),( kurva pada singgung garisGradien
1 Jawab
ordinatdan absisan perbanding titik disetiap
singgung garisgradien diketahui jika (2,-1)titik
y
kyxf =
=
Industrial Engineering – UNS [email protected]
Metoda Pemisahan Peubah
persamaan maka , (2,-1) titik melalui yang kurva
dan (y)ordinat dan (x) absisan perbanding
dengan sama ) y' ( singgung garisgradien karena
2)1(,'
adalah lnyadiferensia
persamaan maka , (2,-1) titik melalui yang kurva
=−= yy
xy
Industrial Engineering – UNS [email protected]
Metoda Pemisahan Peubah
pemisahan metodadengan Selesaikan
=⇒=⇒= ∫∫ xdxydyxdxydyy
x
dx
dy
3adalah solusinya Maka
3sehingga14maka2)1( Karena2
1
2
1
tak tentuintegraldengan diperoleh Solusi
22
2222
+=
=+==−
+=⇒+=
xy
CCy
CxyCxy
Industrial Engineering – UNS [email protected]
Metoda Pemisahan Peubah
2'
persamaan memenuhi yang x fungsiy Tentukan
2Contoh
xyxy −=
1212ln
)12(
dy
)12(
dy)12(
dx
dy
2 Jawab
cxyxdxy
xdxy
yx
+−=−⇒−=−
−=−
⇒−−=
∫∫
Industrial Engineering – UNS [email protected]
Metoda Pemisahan Peubah
2
21
2
0,1212 22
x
xcx cecyey
−
−+−
≠=−
>=−⇒=−
2
2
2
1
0,12 33
x
x
Cey
cecy
−
−
+=
≠=−
Industrial Engineering – UNS [email protected]
Penggunaan Persamaan Diferensial
Seorang penerjun , terjun dari ketinggian tertentu dan parasut terbuka pada saat t=0 , pada saat itu kecepatannya v(0)=10 m/det. Berat penerjun 712 N . Jika hambatan udara Berat penerjun 712 N . Jika hambatan udara sebanding dengan kuadrat kecepatannya dengan konstanta perbandingan b = 30 N / (m2/det2) dan g = 9,8 m/det2 , tentukan fungsi kecepatn penerjun setiap saat ? Apakah kecepatan bertambah untuk t yang semakin besar ?
Industrial Engineering – UNS [email protected]
Penggunaan Persamaan Diferensial
STOPSTOP
Untuk menyelesaikan masalah diatas kita Untuk menyelesaikan masalah diatas kita HARUS mengerti sistem tersebut
( dalam hal ini FISIKA )
Industrial Engineering – UNS [email protected]
Penggunaan Persamaan Diferensial
Berdasarkan hukum Newton yang kedua F=ma diperoleh
10)0(,2 ==− vdv
mbvmg
10)0(,
ldiferensia persdiperoleh sini Dari
10)0(,
2
2
=−=
==−
vvm
bg
dt
dv
vdt
dvmbvmg
Industrial Engineering – UNS [email protected]
Penggunaan Persamaan Diferensial
( )
( ) ( ) dtbdv
dtbdv
b
mgkkv
m
b
dt
dv
b
mgv
m
b
dt
dv, 2222
−=⇒−=
=−−=⇒
−−=
∫∫( ) ( )
m
kbpCe
kv
kv
ctm
kb
kv
kvct
m
b
kv
kv
k
dtmkv
dtmkv
pt 2,
2lnln
2
121
2222
==+−
+−=+−
⇒+−=+−
−=−
⇒−=−
−
∫∫
Industrial Engineering – UNS [email protected]
Penggunaan Persamaan Diferensial
( )
Ce
kvCekv
pt
pt
1
saat setiappenerjun kec fungsi Sehingga
+
+=−
−
−
m
kbp
b
mgk
Ce
Cektv
pt
pt
2dan dimana
1
1)(
2 ==
−+= −
−
Industrial Engineering – UNS [email protected]
Penggunaan Persamaan Diferensial
m/det87,4712
maka
)/det(m / N 30bdan N 712mg WDari 22
===
===
mgk
0,345Cdiperoleh
m/det 10)dengan v(0 dari
m/det87,430
maka
=
==+−
===
− ptCekv
kvb
k
Industrial Engineering – UNS [email protected]
Penggunaan Persamaan Diferensial
kbp
kkg22
det/02,42
maka
)/det(m / N 30bdan
m/det 87,4,7,27m Dari
==
===
t
t
e
etv
m
kbp
02,4
02,4
345,01
345,0178,4)(
saat setiappenerjun kecepatan Jadi
det/02,42
maka
−
−
−+=
==
Industrial Engineering – UNS [email protected]
Penggunaan Persamaan Diferensial
konstanhampir kecbesar semakin untuk t Artinya
87,4)(,untuk
?bertambah kecbesar semakin apakah t Selidiki
→∞→ tvt
m/det 4,87 mendekatiyaitu
konstanhampir kecbesar semakin untuk t Artinya
Industrial Engineering – UNS [email protected]
Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu dan Penggunaannya
)()('
umumbentuk mempunyai
Satu Tingkat Linier lDiferensiaPersamaan
xqyxpy =+
)()('
diperoleh Maka
P(x),
faktor dng ruasnyakalikan ,kan menyelesaiUntuk
)()()(
)(
xqeyxpeye
p(x)dx e
xPxPxP
xP
=+
= ∫
Industrial Engineering – UNS [email protected]
Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu dan Penggunaannya
( ) ( )=⇒= xPxPxPxP dxxqeyedxqeyedx
d )()()()(
ruas keduan Integralka
)()(
ditulisdapat diatasBentuk
( ) ∫=+=
=+
→=
∫
∫
dxxp
xPxPxP
e(f.i)Cdxx(f.i)qyif
xqyxpy
(f.i)edxxqeye
)(
)()()(
,)(.
adalah)()(' dari umum Solusi
1 Teorema
IntegrasiFaktor ,)(
ruas keduan Integralka
Industrial Engineering – UNS [email protected]
Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu dan Penggunaannya
4 Jawab
2' UmumSolusiTentukan
4Contoh
xxyy =+
22222
2
2
1
2
1)
(f.i) IntegrasiFaktor
1 Teoreman menggunakaDengan
4 Jawab
2)(
xxxxx
xdxxdxxp
CeyCeyedxxeye
eee
−+=⇒+=⇒=
=∫=∫=
∫
Industrial Engineering – UNS [email protected]
Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu dan Penggunaannya
y)dyx()dxy-
bentuk dlm Tulis
5 Jawab
022( UmumSolusiTentukan
5Contoh
=−+
)y-
y
)y-
xx
)y-
y
)y-
xdx
yxdx
)y-y)x(dx
)y-
2(2(
2'
2(2(
2
dy
2dy
2(02dy
2(
bentuk dlm Tulis
=+⇒=+
=+⇒=−+
Industrial Engineering – UNS [email protected]
Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu dan Penggunaannya
22
2)2ln(2
2
2(.)2()2(
)2( (f.i) IntegrasiFaktor 2
−=−
−==∫=
∫
−−
dy)y-
yyxy
yee ydy
y
2
23
232
)2(31
ditulisdapat atau 3
1)2(
2(
−
+−=
+−=−
∫
y
Cyyx
Cyyxy
)y-
Industrial Engineering – UNS [email protected]
Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu dan Penggunaannya
Perhatikan gambar dibawah ( Persoalan Rangkaian Listrik )
R
Industrial Engineering – UNS [email protected]
E(t)
L
S
Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu dan Penggunaannya
Rangkaian Listrik terdiri dari daya E(t)=100sin40t volt , R=10 Ohm , L=0.5 Henry dan Saklar ( S ). Jika S ditutup I(0)=0 , tentukan arus listrik pada setiap Ttentukan arus listrik pada setiap T
Sekali lagi …. Kita Harus memahami sistem sebelum meng-aplikasikan persamaan diferensial
Industrial Engineering – UNS [email protected]
Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu dan Penggunaannya
5.0 arusperubahan laju dengan
lurus berbandinginduktor sepanjang Besar
10 Ohm hukumn Berdasarka
=⇒=⇒
=⇒=⇒
dIE
dILEI
E
IERIE
LL
L
RR
Industrial Engineering – UNS [email protected]
0)0(,40sin20020'
atau0)0(,40sin100105.0
)(Kirchoff Hukum
5.0 arusperubahan laju dengan
==+
==+
+=⇒
=⇒=⇒
ItII
ItIdt
dI
EEtEdt
Edt
LEI
LR
LL
Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu dan Penggunaannya
t
tttdt
CI
CettI
CtdteIeeeif
20
20202020
khusus solusi Maka40)0(Syarat
)40cos240(sin2
40sin200...
−
⇒=⇒=+−=
+=⇒=∫= ∫
Industrial Engineering – UNS [email protected]
t
t
t
etII
etI
ettI
CI
20
120
20
4)11.140(sin52saatsetiapFungsi
11.155
1cos,4)40(sin52
atau4)40cos240(sin2
khusus solusi Maka40)0(Syarat
−
−−
−
+−=
==+−=
+−=⇒=⇒=
φφ
Inspirasi Hari IniInspirasi Hari Ini
Ancaman TERBESAR bagi KEBERHASILAN bukan pada CITA-CITA yang setinggi
langit hingga tak mampu mencapainya langit hingga tak mampu mencapainya secara penuh ;
Namun berasal dari pematokan cita-cita yang terlalu DATAR hingga mudah
mencapainya
Industrial Engineering – UNS [email protected]