7/22/2019 Materi mata kuliah teori Graph2(20 Feb)
http://slidepdf.com/reader/full/materi-mata-kuliah-teori-graph220-feb 1/33
1
Graf(bagian 2)
Bahan Kuliah
TEORI GRAPH DAN APLIKASI20 februari 2014
7/22/2019 Materi mata kuliah teori Graph2(20 Feb)
http://slidepdf.com/reader/full/materi-mata-kuliah-teori-graph220-feb 2/33
Graf Terhubung
(Connected )Dua buah simpul v 1 dan simpul v 2 disebut
terhubung jika terdapat lintasan dari v 1 kev 2.
G disebut graph terhubung (connectedgraph ) jika untuk setiap pasang simpul v i danv j dalam himpunan V terdapat lintasan dari v i
ke v j
Jika tidak, maka G disebut graph tak-terhubung (disconnected graph ).
7/22/2019 Materi mata kuliah teori Graph2(20 Feb)
http://slidepdf.com/reader/full/materi-mata-kuliah-teori-graph220-feb 3/33
Terhubung (Connected )Contoh graph terhubung (1):
7/22/2019 Materi mata kuliah teori Graph2(20 Feb)
http://slidepdf.com/reader/full/materi-mata-kuliah-teori-graph220-feb 4/33
Terhubung (Connected )Contoh graph terhubung (2):
7/22/2019 Materi mata kuliah teori Graph2(20 Feb)
http://slidepdf.com/reader/full/materi-mata-kuliah-teori-graph220-feb 5/33
Terhubung (Connected )Contoh graph tak-terhubung (1):
1
2
3
4
5
6
78
7/22/2019 Materi mata kuliah teori Graph2(20 Feb)
http://slidepdf.com/reader/full/materi-mata-kuliah-teori-graph220-feb 6/33
6
Contoh graph tak-terhubung (2):
7/22/2019 Materi mata kuliah teori Graph2(20 Feb)
http://slidepdf.com/reader/full/materi-mata-kuliah-teori-graph220-feb 7/337
6. Jalan (Walk )
Misalkan G adalah sebuah graf. Sebuah jalan (walk) di G adalahsebuah barisan berhingga (tak kosong). W = v0 e1 v1 e2 v2 ... ek
k.Titik v0 dan titik vk berturut-turut disebut titik awal dan titik akhirW.
7/22/2019 Materi mata kuliah teori Graph2(20 Feb)
http://slidepdf.com/reader/full/materi-mata-kuliah-teori-graph220-feb 8/338
7. Lintasan (Path )
Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal v0 ke simpul tujuanvn di dalam graf G ialah barisan berselang-seling simpul-simpul
dan sisi-sisi yang berbentuk v0, e1, v1, e2, v2,... , vn – 1, en, vn sedemikian sehingga e1 = (v0, v1), e2 = (v1, v2), ... , en = (vn-1, vn)adalah sisi-sisi dari graf G.
(jika semua titik dalam W berbeda dinamakan lintasan)
Tinjau graf G1: lintasan 1, 2, 4, 3 adalah lintasan dengan barisan sisi (1,2),(2,4), (4,3).
Panjang lintasan adalah jumlah sisi dalam lintasan tersebut. Lintasan 1, 2,
4, 3 pada G1 memiliki panjang 3.
G1 G2 G3
1
32
4
1
2
3
4
5
1
2
e1
e2
e3
e4
e53
7/22/2019 Materi mata kuliah teori Graph2(20 Feb)
http://slidepdf.com/reader/full/materi-mata-kuliah-teori-graph220-feb 9/339
Walk : a f b f c d cPath: a e f c g
7/22/2019 Materi mata kuliah teori Graph2(20 Feb)
http://slidepdf.com/reader/full/materi-mata-kuliah-teori-graph220-feb 10/3310
7. Sirkuit (Circuit ) dan Siklus (Cycle )
Lintasan yang ber awal dan ber akhir pada simpul yang sama
disebut sirkuit atau siklus.Bedanya: siklus tidak ada v yang diulang, yg sama hanya v awaldan v akhir (lihat contoh)
Tinjau graf G1: 1, 2, 3, 1 adalah sebuah sirkuit.
Panjang sirkuit adalah jumlah sisi dalam sirkuit tersebut. Sirkuit1, 2, 3, 1 pada G1 memiliki panjang 3.
G1 G2 G3
1
32
4
1
2
3
4
5
1
2
e1
e2 e3
e4
e53
7/22/2019 Materi mata kuliah teori Graph2(20 Feb)
http://slidepdf.com/reader/full/materi-mata-kuliah-teori-graph220-feb 11/3311
Sirkit yang bukan siklus: v1, v2, v3, v5, v2, v6, v1
siklus: v2, v3, v4, v5, v2
7/22/2019 Materi mata kuliah teori Graph2(20 Feb)
http://slidepdf.com/reader/full/materi-mata-kuliah-teori-graph220-feb 12/3312
8. Upagraf (Subgraph ) dan Komplemen Upagraf
Misalkan G = (V , E ) adalah sebuah graf. G1 = (V 1, E 1) adalah
upagraf ( subgraph) dari G jika V 1 V dan E 1 E .
Komplemen dari upagraf G1 terhadap graf G adalah graf G2 = (V 2,
2) sedemikian sehingga E 2 = E - E 1 dan V 2 adalah himpunan
simpul yang anggota-anggota E 2 bersisian dengannya.
(a) Graf G1 (b) Sebuah upagraf (c) komplemen dari upagraf (b)
1
2
3
4 5
6
1
6
5
31
2
3
52
7/22/2019 Materi mata kuliah teori Graph2(20 Feb)
http://slidepdf.com/reader/full/materi-mata-kuliah-teori-graph220-feb 13/3313
9. Upagraf Rentang (Spanning Subgraph )Upagraf G1 = (V 1, E 1) dari G = (V , E ) dikatakan upagraf rentang ika V 1 =V (yaitu G1 mengandung semua simpul dari G).
(a) graf G, (b) upagraf rentang dari G, (c) bukan upagraf rentang dari G
1
2 3
4 5
1
2 3
4 5
1
2 3
7/22/2019 Materi mata kuliah teori Graph2(20 Feb)
http://slidepdf.com/reader/full/materi-mata-kuliah-teori-graph220-feb 14/3314
10. Graf Berbobot (Weighted Graph )
Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi sebuah harga(bobot).
a
b
c d
e
10 12
8
15 911
14
7/22/2019 Materi mata kuliah teori Graph2(20 Feb)
http://slidepdf.com/reader/full/materi-mata-kuliah-teori-graph220-feb 15/3315
Beberapa Graf Khusus
a. Graf Lengkap (Complete Graph )
Graf lengkap ialah graf sederhana yang setiap simpulnya mempunyai sisi
ke semua simpul lainnya. Graf lengkap dengan n buah simpul dilambangkan
dengan K n. Jumlah sisi pada graf lengkap yang terdiri dari n buah simpuladalah n(n – 1)/2.
K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6
7/22/2019 Materi mata kuliah teori Graph2(20 Feb)
http://slidepdf.com/reader/full/materi-mata-kuliah-teori-graph220-feb 16/3316
b. Graf Lingkaran
Graf lingkaran adalah graf sederhana yang setiap simpulnya berderajat dua.
Graf lingkaran dengan n simpul dilambangkan dengan C n.
7/22/2019 Materi mata kuliah teori Graph2(20 Feb)
http://slidepdf.com/reader/full/materi-mata-kuliah-teori-graph220-feb 17/3317
c. Graf Teratur (Regular Graphs ) Graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama disebut grateratur. Apabila derajat setiap simpul adalah r , maka graf tersebut disebutsebagai graf teratur derajat r . Jumlah sisi pada graf teratur adalah e = nr /2. (numlah simpul pada graf )
7/22/2019 Materi mata kuliah teori Graph2(20 Feb)
http://slidepdf.com/reader/full/materi-mata-kuliah-teori-graph220-feb 18/33
18
d. Graf Bipartite (Biparti te Graph )
Graf G yang himpunan simpulnya dapat dipisah menjadi dua himpunan bagian V 1 dan V 2, sedemikian sehingga setiap sisi pada G menghubungkan
sebuah simpul di V 1 ke sebuah simpul di V 2 disebut graf bipartit dan
dinyatakan sebagai G(V 1, V 2).
V 1 V 2
7/22/2019 Materi mata kuliah teori Graph2(20 Feb)
http://slidepdf.com/reader/full/materi-mata-kuliah-teori-graph220-feb 19/33
19
Contoh graph bipartit lainnya
Graf K(2,3)
7/22/2019 Materi mata kuliah teori Graph2(20 Feb)
http://slidepdf.com/reader/full/materi-mata-kuliah-teori-graph220-feb 20/33
20
Graf Isomorfik Dua buah graf yang sama tetapi secara geometri berbeda disebut gra
yang saling isomorfik .
Dua buah graf, G1 dan G2 dikatakan isomorfik jika terdapat
korespondensi satu-satu antara simpul-simpul keduanya dan antara sisi-sisi keduaya sedemikian sehingga hubungan kebersisian tetap terjaga.
Dengan kata lain, misalkan sisi e bersisian dengan simpul u dan v di G1,
maka sisi e’ yang berkoresponden di G2 harus bersisian dengan simpul u’
dan v’ yang di G2.
Dua buah graf yang isomorfik adalah graf yang sama, kecuali penamaan
simpul dan sisinya saja yang berbeda. Ini benar karena sebuah graf dapat
digambarkan dalam banyak cara.
7/22/2019 Materi mata kuliah teori Graph2(20 Feb)
http://slidepdf.com/reader/full/materi-mata-kuliah-teori-graph220-feb 21/33
21
Dua buah graf yang sama (hanyapenggambaran secara geometri berbeda)
isomorfik !
1
1
2 3
3
45
5 4
2
7/22/2019 Materi mata kuliah teori Graph2(20 Feb)
http://slidepdf.com/reader/full/materi-mata-kuliah-teori-graph220-feb 22/33
22
(a) G1 (b) G2 (c) G3
Gambar 6.35 G1 isomorfik dengan G2, tetapi G1 tidak isomorfik dengan G3
3
4
1 2
d c
a b
v w
x y
7/22/2019 Materi mata kuliah teori Graph2(20 Feb)
http://slidepdf.com/reader/full/materi-mata-kuliah-teori-graph220-feb 23/33
23
(a)
(b)
Gambar 6.38 (a) Dua buah graf isomorfik, (b) tiga buah graf isomorfik
7/22/2019 Materi mata kuliah teori Graph2(20 Feb)
http://slidepdf.com/reader/full/materi-mata-kuliah-teori-graph220-feb 24/33
24
Dari definisi graf isomorfik dapat dikemukakan bahwa dua buah graf isomorfikmemenuhi ketiga syarat berikut [DEO74]:
1. Mempunyai jumlah simpul yang sama.
2. Mempunyai jumlah sisi yang sama3. Mempunyai jumlah simpul yang sama berderajat tertentu
Namun, ketiga syarat ini ternyata belum cukup menjamin. Pemeriksaan secara
visual perlu dilakukan.
(a) (b)
x
u
v
w
y
7/22/2019 Materi mata kuliah teori Graph2(20 Feb)
http://slidepdf.com/reader/full/materi-mata-kuliah-teori-graph220-feb 25/33
Dalam graf a, satu-satunya titik yang berderajat 3 adalah titik x. Titik x dihubungkan dengan 2 titik lain yang berderajat 1(titik y dan z).
Sebaliknya, dalam Graf b, satu-satunya titik yang berderajat 3adalah y. Satu-satunya titik berderajat 1 yang dihubungkandengan y hanyalah titik w, sehingga G tidak mungkin isomorfisdengan G’ .
25
x
u
v
w
y
7/22/2019 Materi mata kuliah teori Graph2(20 Feb)
http://slidepdf.com/reader/full/materi-mata-kuliah-teori-graph220-feb 26/33
26
Latihan Apakah pasangan graf di bawah iniisomorfik?
a b
cd
e f
p q
r s
t u
7/22/2019 Materi mata kuliah teori Graph2(20 Feb)
http://slidepdf.com/reader/full/materi-mata-kuliah-teori-graph220-feb 27/33
27
LatihanGambarkan 2 buah graf yang isomorfikdengan graf teratur berderajat 3 yang
mempunyai 8 buah simpul
7/22/2019 Materi mata kuliah teori Graph2(20 Feb)
http://slidepdf.com/reader/full/materi-mata-kuliah-teori-graph220-feb 28/33
28
Jawaban:
7/22/2019 Materi mata kuliah teori Graph2(20 Feb)
http://slidepdf.com/reader/full/materi-mata-kuliah-teori-graph220-feb 29/33
29
Lintasan dan Sirkuit Euler Lintasan Euler ialah lintasan yang melalui masing-masing sisi di
dalam graf tepat satu kali.
Sirkuit Euler ialah sirkuit yang melewati masing-masing sisi tepat satu
kali.
Graf yang mempunyai sirkuit Euler disebut graf Euler ( Eulerian
graph). Graf yang mempunyai lintasan Euler dinamakan juga grasemi-Euler ( semi-Eulerian graph).
Contoh
7/22/2019 Materi mata kuliah teori Graph2(20 Feb)
http://slidepdf.com/reader/full/materi-mata-kuliah-teori-graph220-feb 30/33
30
Contoh.Lintasan Euler pada graf (a) : 3, 1, 2, 3, 4, 1
Lintasan Euler pada graf (b) : 1, 2, 4, 6, 2, 3, 6, 5, 1, 3
Sirkuit Euler pada graf (c) : 1, 2, 3, 4, 7, 3, 5, 7, 6, 5, 2, 6, 1
Sirkuit Euler pada graf (d) : a, c, f , e, c, b, d , e, a, d , f , b, a Graf (e) dan (f) tidak mempunyai lintasan maupun sirkuit Euler
(a) dan (b) graf semi-Euler(c) dan (d) graf Euler
(e) dan (f) bukan graf semi-Euler atau graf Euler
12
3 4
1 2
3
4
5 6
1
2 3
4
5
6 7
a
b
e
d
c
f
ba
c d
1 2
3
4 5 e
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
7/22/2019 Materi mata kuliah teori Graph2(20 Feb)
http://slidepdf.com/reader/full/materi-mata-kuliah-teori-graph220-feb 31/33
31
TEOREMA. Graf tidak berarah memiliki lintasanEuler jika (graf semi-Euler) dan hanya jika terhubungdan memiliki dua buah simpul berderajat ganjil atau
tidak ada simpul berderajat ganjil sama sekali.
TEOREMA. Graf tidak berarah G adalah graf Euler
(memiliki sirkuit Euler) jika dan hanya jika setiapsimpul berderajat genap.
7/22/2019 Materi mata kuliah teori Graph2(20 Feb)
http://slidepdf.com/reader/full/materi-mata-kuliah-teori-graph220-feb 32/33
32
TEOREMA. (a) Graf berarah G memiliki sirkuit Euler jika dan hanya jika
G terhubung dan setiap simpul memiliki derajat-masuk dan derajat-keluarsama.
(b) G memiliki lintasan Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiapsimpul memiliki derajat-masuk dan derajat-keluar sama kecuali dua simpul,
yang pertama memiliki derajat-keluar satu lebih besar derajat-masuk, danyang kedua memiliki derajat-masuk satu lebih besar dari derajat-keluar.
Gambar (a) Graf berarah Euler (a, g , c, b, g , e, d , f , a)
(b) Graf berarah semi-Euler (d , a, b, d , c, b)(c) Graf berarah bukan Euler maupun semi-Euler
a
b
c
d e
f g
a b
c d
a b
c d
(a) (b) (c)
7/22/2019 Materi mata kuliah teori Graph2(20 Feb)
http://slidepdf.com/reader/full/materi-mata-kuliah-teori-graph220-feb 33/33
Latihan
Manakah di antara graf di bawah ini yang dapatdilukis tanpa mengangkat pensil sekalipun?